distribucion muestral clase 2

8/16/2019 Distribucion Muestral Clase 2

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DISTRIBUCIONES MUESTRALES

MEDIA MUESTRAL


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TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Si es la media de una m.a. de tamaño n tomada de una poblacióncon media μ y desviación estándar σ, entonces la forma límite de la

distribución de

− μ

σ donde σ

= σ

conforme → ∞, es la distribución normal estándar.

• La aproximación normal para por lo general será buena si n>=30

sin importar la forma de la población.

•

Si n


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Ejercicios

1. En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta recibiratención es una variable normal de media 10 minutos y desviación típica

2 minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los

clientes que llegan un día concreto. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de unamuestra de 25 clientes no supere los 9 minutos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una

muestra de 25 clientes esté entre los 9 minutos y 12 minutos?

c) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras

aleatorias de 64 clientes? Especificar sus parámetros.

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2. Los candidatos a empleados del departamento de bomberos de cierta

ciudad han de realizar un examen de actitudes. Las puntuaciones en

dicho examen siguen una distribución normal con media 280 y

desviación típica de 60. Se toma una muestra aleatoria de nueve puntuaciones de estos exámenes.

a. ¿Cuál será el error estándar de la media muestral de las puntuaciones?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor de 270?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor de 250?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor de 270

pero menor de 300 ?

d. Supongamos que la desviación típica de la población fuese 40 en lugar

de 60. Sin repetir los cálculos, establecer como cambiarían las respuestas

de los apartados (a), (b) y (c)..4


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3. Supongamos que la desviación típica de la cuota pagada

mensualmente por los estudiantes de cierta ciudad americana es

de 40 dólares. Se toma una muestra de 100 estudiantes con el fin

de estimar la renta media pagada mensualmente por el total de la

población.

a. ¿Cuál será el error estándar de la media muestral de la cuotamensual?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral exceda a la

media poblacional en más de cinco dólares?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté más de

cuatro dólares por debajo de la media poblacional?


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4. En cierta cuidad americana hay 400 agentes que se dedican al

negocio de venta de propiedades. El valor medio de las propiedades

vendidas por estos agentes en un año es de 800,000 dólares, y sudesviación típica es de 300,000 dólares. Se selecciona una muestra de

100 agentes y se anota el valor de las propiedades que han vendido en

un año.

a. ¿Cuál es el error estándar de la media muestral?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor que

825,000 dólares?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor que

780,000 dólares?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté entre

790,000 y 820,000 dólares?


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Distribución muestral de una proporciónmuestral

La distribución muestral de la proporción muestral es la distribución delos valores de las proporciones muestrales de todas las posibles

muestras del mismo tamaño n tomadas de la misma población.

Suponga que estamos interesados en conocer la proporción de mujeres

en Villavicencio. Nuestro parámetro de interés es:

ú

ú ℎ

La población es demasiado grande. Hacer un censo sería demasiadocaro. Decidimos estimar el verdadero parámetro a partir de una muestra.

ú

ú


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Si P representa la proporción de elementos en una población con cierta característica de

interés, es decir, la proporción de “éxitos”, donde “éxito” corresponde a tener la

característica. Si sacamos muestras aleatorias simples de tamaño n de la población

donde la proporción de “éxitos” es P, entonces la distribución muestral de la proporciónmuestral tiene las siguientes propiedades:

1. El promedio de todos los valores posibles de p es igual al parámetro P. En otras

palabras, p es un estimador insesgado de P:

2. Error estándar de la proporción muestral: Es la desviación estándar de las

posibles proporciones muestrales y mide la dispersión de la proporción muestral:

(1 − )

Si analizamos la fórmula, vemos que la desviación estándar de p disminuye si el

tamaño de la muestra aumenta.3. Si n es “suficientemente” grande, la distribución de la proporción muestral es

aproximadamente Normal:

~ ,(1 − )


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La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad en una

distribución muestral de proporciones está basada en la

aproximación de la distribución binomial a la normal . Esta

fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del

comportamiento de la proporción en la muestra.

−

(1 − )


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1. En 1992 los canadienses votaron en un referéndum acerca de una

nueva Constitución. En la provincia de Quebec, el 42.4% de la

gente que votó lo hizo a favor de la nueva Constitución. Se tomó

una muestra de 100 votantes de dicha provincia.

a. ¿Cuál es la media de la proporción muestral que esta a favor de

la nueva constitución?

b. ¿Cuál es la varianza de la proporción muestral?

c. ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral seamayor que 0.5?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea menor

que 0.35?


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3. De acuerdo con los datos del Ministerio de Hacienda, el

15% de las declaraciones del Ingreso sobre la renta del

último año darán lugar a una devolución. Se toma una

muestra aleatoria de 100 declaraciones.

a. ¿Cuál es la media de la proporción muestral que daránlugar a una devolución?




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El dueño de una tienda de discos ha comprobado que el 20% de los

clientes que entran en su tienda realizan alguna compra. Cierta

mañana, entraron en esta tienda 180 personas, que pueden ser

consideradas como una muestra aleatoria de todos sus clientes.

a. ¿Cuál es la media de la proporción muestral de clientes que

realizaron alguna compra?



d. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea menorque 0.15?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté entre

0.15 y 0.24?

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