distancia entre puntos_413

Distancia entre puntos 413 www.amatematicas.cl 1

Graficar y unir con una línea cada par de puntos en el plano:

a) A ( 2 ; 4 ) y B(-1 ; 3 )

b) C( 3 ; -1 ) y D(-4 ; -4 )

c) E( -3 ; -1 ) y F( 0 ; -3 )

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y


Graficar y unir con una línea cada par de puntos en el plano:

a) A( 4 ; -1 ) y B(-1 ; 0 )

b) C( -4 ; 0 ) y D(-0,5 ; 1 )

c) E( -0,2 ; 3 ) y F( 0,5 ; -0,5 )

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y


Distancia entre dos puntos:

Se define así:

Sean P1 y P2 dos puntos ubicado en plano cartesiano, luego la distancia entre ellos está dado

por:

( ) ( )2 2= x - x + y - yp1p2 2 1 2 1d

Ej.: Determinar la distancia entre los punto P1 ( 2 ; 7 ) y P2 (-1 ; 3 )

( ) ( )

( ) ( )

=p1p2

=p1p2

=p1p2

= p1p2

2 2 -1 - 2 + 3 - 7

2 2 - 3 + - 4

16 + 9

d

d

d

d 5

Aplicando la fórmula, nos queda:

Nota: Si la raíz no es un número exacto, entonces dejarlo expresado.



Graficar en el plano los siguientes pares de puntos y luego calcular la distancia entre ellos:

a) A( 4 ; -1 ) y B(-1 ; 2 )

b) C( 3 ; 0 ) y D( 5 ; 2 )

c) E( -3 ; 2 ) y F( -4 ; 5 )

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Respuesta:

a)

b)

c)



Graficar en el plano los siguientes pares de puntos y luego calcular la distancia entre ellos:

a) A( 4 ; -1 ) y B( 3 ; - 2 )

b) C( -4 ; 0 ) y D( -1 ; -3 )

c) E( -2 ; 2 ) y F( 0 ; 0 )

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Respuesta:

a)

b)

c)


Punto Medio:

Se define así:

Sean 1 1 1 2 2 2P (x ; y ) y P (x ; y ) dos puntos ubicado en plano cartesiano, luego el

punto medio entre ellos MP , se encuentra geométricamente en medio de la recta que los une

y está dado por:

= M

x y 1 2 1 2; 2 2

Px y

+ +

Ej.: Determinar el punto entre los punto 1 2P (3 ; 5) y P ( 7 ; 1)

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

X

Y

(3 ,5 )

(7 ,1 )

( )

3 7 5 1P = ; M 2 2

P = ; 3M 5

Aplicando la fórmula, nos queda:

+ +


Punto Medio:

Graficar en el plano los siguientes pares de puntos y luego encontrar el punto medio entre

ellos:

1 2

1 2

1 2

1 2

a) P (2 ; 3) y P ( 2 ; -1)

b) P (4 ; -1) y P ( -2 ; -3)

c) P (-3 ; 0) y P ( 1 ; 2)

d) P (-4 ; 3) y P ( 2 ; -4)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Respuesta:

a)

b)

c)

d)


Punto Medio:

Graficar en el plano los siguientes pares de puntos y luego encontrar el

punto medio entre ellos:

a) A(-4 ; 3) y B( 8 ; -3)

b) A(7 ; -2) y B( -4 ; 2)

c) A(-7 ; 5) y B( 3 ; -1)

d) A(-5 ; -3) y B( 6 ; 1)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Respuesta:

a)

b)

c)

d)


Aplicaciones:

1) Determinar el perímetro de la figura determinada por lo puntos:

A(-1 ; 0) ; B( 2 ; 4) y C( 2 ; 6)

-2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

x

y

Respuesta:

AB

BC

CA

d

d

d

Perímetro=

Nota: El perímetro de cualquier figura plana, se obtiene sumando la longitud de sus lados.


Aplicaciones:

1) Determinar el perímetro de la figura definida por los puntos:

1 2 3P ( 1 ; 1) , P ( 4 ; 5) y P ( 1 ; 5)

1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

x

y

Respuesta:

p1p2

p2p3

p3p1

d

d

d

Perímetro=


Aplicaciones:

1) Determinar el perímetro de la figura definida por los puntos:

A(-4 ; -3) , B( 4 ; -3) , C( 4 ; 2) y D( -4 ; 8)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Sugerencia: Se debe calcular la distancia entre

A y B , B y C; C y D y A y D; luego sumarlas.


Pendiente entre dos puntos:

Se define así:

Sean 1 1 1 2 2 2P (x ; y ) y P (x ; y ) dos puntos ubicado en plano cartesiano, luego la

pendiente entre ellos la llamaremos " "m y está definida por:

2 1

2 1

y y

x xm =

−−

Ej. 1: Determinar la pendiente entre los puntos P (2 ; 2) y P ( 4 ; 8)1 2

Reemplazando en la fórmula, se tiene:

8 2

4 2 m = −

−

Luego 3m =

Ej. 2: Determinar la pendiente entre los puntos P ( 1 ; 4) y P ( 5 ; 7)1 2


7 4

5 1 m = −

−

Luego 3

4m =

Ej. 3: Determinar la pendiente entre los puntos P ( 4 ; -3) y P ( 6 ; -11)1 2


11 3

6 4 m = − − −

−

Luego 4m = −



1) Graficar en el plano cartesiano y unir con una línea recta los siguientes puntos, luego

calcular su pendiente:

a) P ( 6 ; 3) y P ( 8 ; -7)1 2

b) P (-5 ; -2) y P ( -4 ; 7)1 2

c) P (-3 ; 0) y P ( 1 ; 4)1 2

d) P (-4 ; -6) y P ( 3 ; 1)1 2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-6-5-4-3-2-1

1234567

x

y

Las pendientes son:

a)

b)

c)

d)


Determinar punto faltante:

Dados los puntos, determinar el componente faltante de modo que coincida con el punto

medio.

2

1) Sea P ( 6 ; 3) y P ( X ; 5) tengan como punto medio a P ( 4 ; 4)M1 2

¿ Cuánto vale X ?

2) Sea P ( 10 ; -1) y P ( X ; 1) tengan como punto medio a P ( 5 ; 0)M1 2

¿ Cuánto vale X ?

3) Sea P (1

)

)

4 ; y y P ( 6 ; -2) tengan como punto medio a P ( 5 ; 8)M2

¿ Cuánto vale Y ?

4) Sea P ( X ; -5 y P ( 3 ; -3) tengan como punto medio a P ( 6 ; 8)M1 2

¿ Cuánto vale X ?



1) Dibujar el cuadrilátero definido por los puntos a continuación:

A( -2 ; 0) ; B( 4 ; 0) ; C( 7 ; 4) y D( 1 ; 4) . Luego obtener:

a) Perímetro del cuadrilátero.

b) Punto medio de los 4 lados.

c) Medidas de las diagonales.

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

x

y

Respuesta:

a)

b)

c)



1) Dibujar el triángulo definido por los puntos:

A( 2 ; -4) ; B( -4 ; 4) y C( -4 ; -4) . Luego obtener:

a) Perímetro del triángulo.

b) Puntos medios.

c) Longitud de sus medianas.

-4 -3 -2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Respuesta:

a)

b)

c)


Ecuación de la recta en su forma particular:

y = mx +c

¿ Cómo graficarla ?

Ej.: y = 2x + 1 Para esto podemos usar una tabla de valores la que se

indica a continuación:

Forma de determinar los puntos:

1) Se escogen 2 valores de “x” ( arbitrarios)

2) Se reemplazan en la función

3) Con el valor de “y” obtenido, se obtiene el par ordenado

correspondiente al punto que se debe graficar

¿ cómo se reemplazar ?

Si x = 0 y = 2 0 + 1 luego y = 1

Si x = 1 y = 2 1 + 1 luego y = 3

⋅

⋅

x Y = 2x +1

0 1

1 3

Luego tenemos los puntos P1(0 ; 1) y P2(1 ; 3)

1 2 3 4

1

2

3

4

x

y


Ecuación de la recta: Graficar

1) y = 3x + 1

Si x = 0 y = 3 0 + 1⋅ luego y =

Si x = 1 y = 3 1 + 1⋅ luego y =

x Y = 3x +1

0

1

Luego tenemos los puntos P1(0; ) y P2(1; )

1 2 3 4

1

2

3

4

x

y



1) y = x + 3

x Y = x + 3

0

1

-2 -1 1 2 3

1

2

3

4

x

y

2) y = 2x + 4

x Y = 2x + 4

-1

0

-3 -2 -1 1 2

1

2

3

4

x

y



1) y – 3x = – 3

x Y = 3x - 3

0

1

-1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

x

y

2) y –2x + 4 = 0

x Y = 2x -4

0

1

-1 1 2

-4

-3

-2

-1

1x

y



1) Graficar las rectas a) y b) en el mismo plano:

a) y = -x + 3

x Y = -x + 3

0

1

b) y - 3 = -2x

x Y = -2x + 3

0

1

-1 1 2-1

1

2

3

4

x

y


a) y = 2x +1

x Y =

0

1

b) y –2x = 3

x Y =

0

1

-1 1 2-1

1

2

3

4

5

x

y




a) y = -x

x Y =

0

1

b) y = -2x

x Y =

0

1

c) y = 2

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

x

y


a) y = 3

b) x = - 2

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

x

y


Ecuación de la recta:

La Ecuación General de la recta se define de la siguiente forma:

Ax + By + C = 0

De la forma General también se puede llegar a la forma particular. Veamos algunos ejemplos.

Ax + By + C = 0

A CDespejando: y = - x -

B B

Escribir en forma particular:

1) - 5x + 5y + 20 = 0

2) 10x + 2y + 8 = 0

3) 15x + 3y - 21 = 0

4) -12x + 4y + 24 = 0




- 20x + 5y + 25 = 0

5y = 20x - 25y =

1) 10x + 10y + 100 = 0

2) -26x + 13y - 39 = 0

3) -8x - 4y - 12 = 0

4) -18x - 9y - 81 = 0

5) -22x - 11y - 44 = 0




1) 20x + 4y + 18 = 0

2) 3x + 10y + 10 = 0

3) 11x + 3y - 39 = 0

4) -8x - 6y - 12 = 0

5) -16x - 4y - 22 = 0

6) -2x - 8y - 10 = 0




1) 5x + 5y = 20

2) -6x + 8y = 4

3) 11x + 3y - 39 = 0

4) -6x - 2y = 10

5) -3x - 3y = 9

6) -4x + 2y = 8




1) 2( x + 4y + 9 ) = 0

2) 4( 2x + 3y + 3) = 0

3) 5( 4x + 5y - 2 ) = 0

4) 6( -8x - 3y - 3 ) = 0

5) 5( 6x - 3y - 8 ) = 0

6) 7( -2x - y - 4 ) = 0




1) 4( 2x + y ) = 9

2) 4( 4x + 2y ) = -5

3) -2( 3x + 15y ) = 8

4) 9( -3x - 8y ) = -10

5) 4( 4x - 8y ) = -4

6) -6( 4x - 2y ) = -1



Escribir en forma general:

y = 3x + 9

-3x + y - 9 = 0

1) y = 10x - 7

2) y = -3x + 19

3) y = 8x + 6

4) y = 4x + 2

5) y = -5x - 4




2 y = x + 1

5

2y - x - 1 = 0 / 5

5

5y - 2x - 5 = 0

x1) y = - 11

2

22) y = - x + 1

3

43) y = x + 2

5

44) y = x + 1

7




y =

3y = 2x + 1

3y - 2x - 1 = 0

1) y =

2) y =

3) y =

4) y =

2x + 1 / 3

3

x + 4

2

6 - 3x

2

2x + 9

3

5x + 2

6



Pertenencia de un punto a una recta.

1 1

Se dice que un punto P( x ; y ) pertenece a una recta "L" cuándo al 1 1

reemplazar en la ecuación general ó particular, esta se satisface, es decir,

Ax y + C = 0 se cumple.

1) 6x + 2y + 2 = 0

+ B

P( 2 ; -6 )

2) x + 3y + 6 = 0 P( 3 ; -3 )

3) -2x + y +1 = 0 P( 2 ; 6 )

4) 5x - 2y + 2 = 0 P( 0 ; 1 )

5) 6x + 2y +1 = 0 P( 3 ; 0 )



Probar si los puntos indicados, pertenecen a la recta dada.

1) y = 3x + 9 P( 3 ; 2)

2) y = 3x - 7 P( 2 ; -1)

3) y = -2x + 1 P( 0 ; 1)

4) y = 3x + 2 P( -1 ; 0)

5) y = 4x + 10 P( -3 ; -2)

6) y = -5x - 4 P( 0 ; 1)

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