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Graphen Beweise Bäume Aufgaben

DisMod-Repetitorium Tag 2Beweise, Graphen, Bäume

20. März 2018


1 GraphenFormale und grafische DarstellungEigenschaften von GraphenGraphproblemeKomplementär- und KonfliktgraphenClique, Independent Set und Vertex Cover

2 BeweiseBegründungen sind keine Beweise!InduktionenAndere Beweistechniken

3 BäumeDefinition, Gewurzelte und ungewurzelte BäumeTerminologie

4 Aufgaben


Formale und grafische Darstellung

Formale vs. grafische Darstellung

In formaler Darstellung existieren Graphen als Tupel (V ,E ) einerKnotenmenge V und einer Kantenmenge E . Für gerichteteGraphen sind alle Elemente in E Tupel von 2 Knoten, fürungerichtete sind es Mengen.Jeden Graphen können wir sowohl formal als auch graphischdarstellen!

Beispiele (Tafel):Graph (V ,E ) mit V = {a, b, c, d}, E = {{a, b}, {a, b}, {b, c}}Graph (V ,E ) mit V = {i : i ∈ N, 0 < i < 5},E = {(u, v) : u = 1, v ∈ V , u + v 6= 3}


Grad

Grad

Ungerichteter Graph: Der Grad eines Knoten ist die Anzahl Kantendes Knoten.Gerichteter Graph: Aus-Grad ist die Anzahl der ausgehendenKanten eines Knoten, Ein-Grad die Anzahl der eingehendenKanten.


Isomorphie

Zwei Graphen (V1,E1), (V2,E2) sind isomorph, wenn es einebijektive Funktion gibt, die jedem Knoten des ersten Graphen einenKnoten im zweiten zuweißt, s.d. gilt:(i , j) ∈ E1 ⇐⇒ (f (i), f (j)) ∈ E2. (analog für ungerichteteGraphen)


(Starke) Zusammenhangskomponenten

Zusammenhangskomponente

Für ungerichtete Graphen besteht dieZusammenhangskomponente eines Knoten v aus allen von verreichbaren Knoten.v erreicht sich immer selbst über einen Weg der Länge 0!Ein Graph G heißt zusammenhängend wenn alle Knoten in G zurselben Zusammenhangskomponente gehören.

Starke Zusammenhangskomponente

Für gerichtete Graphen besteht die starkeZusammenhangskomponente eines Knoten v aus allen von v ausallen Knoten die sowohl v erreichen, als auch von v erreichtwerden.Ein Graph G heißt stark zusammenhängend wenn alle Knoten inG zur selben starken Zusammenhangskomponente gehören.


Planare Graphen

Definition

Ein Graph heißt planar, wenn man ihn zwei-dimensional zeichnenkann, ohne dass sich Kanten Kreuzen

Welche dieser Graphen sind planar?

G1

a

b

c

d

G2

a

b

c

d

G3

1

2

3 4

5


Bipartite Graphen

Definition

Ein ungerichteter Graph G heißt biparit, wenn seine KnotenmengeV sich so in zwei disjunkte Partitionen V1 und V2 aufteilen lässt,dass keine Kante innerhalb einer Partition verläuft.

Welche dieser Graphen sind bipartit?

G1

a

b

c

d

G2

a

b

c

d

G3

1

2

3 4

5


Vollständige und vollständig bipartite Graphen

Vollständiger Graph

Ein Graph heißt vollständig wenn seine Kantenmenge aus allenMöglichen Tupeln (gerichtet) bzw. 2-stelligen Mengen(ungerichtet) über der Knotenmenge besteht.

15

3

121

2 1 2

34

1

2

34

K 1 K 2 K 3 K 5K 4

Vollständig bipartiter Graph

Knotenmenge{

(1, i) : i ∈ {1, ...,m}}∪{

(2, i) : i ∈ {1, ..., n}}

Kantenmenge{{(1, i), (2, j)} : i ∈ {1, ...,m}, j ∈ {1, ..., n}

}


Komplementär- und Konfliktgraphen

Das Komplement eines Graphen G = (V ,E ) ist ein GraphG ′ = (V ,E ′) mit der selben Knotenmenge, aber einerangepassten Kantenmenge: In diesem Graphen ist genau danneine Kante zwischen zwei Knoten u und v , wenn in G dortkeine Kante ist.

Bei vielen Problemen, die in DisMod modelliert werdenmüssen, ist ein Konfliktgraph zu konstruieren. Oft handelt essich um Probleme in denen bestimmte Elemente (als Knotendargestellt) nicht in Verbindung (dargestellt als Kanten) zubestimmten anderen Elementen stehen dürfen

Mögliche gültige Verbindungen erhält man dann durch dasBilden des Komplementärgraphen des Konflikgraphen.


Matching

Matching

Matching auf (V ,E ) ist Teilmenge E ′ ⊆ E so dass gilt: keinKnoten ist Endpunkt von mehr als einer Kante aus E ′.Perfektes Matching: Alle Knoten sind Endpunkt einer Kante ausE ′.


Hamilton und Euler

Eulerweg/-kreis

Eulerweg (beginnt mit E wie die Kantenmenge):Ein Weg in dem jede Kante einmal vorkommt.

Hamiltonweg/-kreis

Hamiltonweg:Ein Weg in dem jeder Knoten einmal vorkommt.

Beispiele

G1

a

b

c

d

G2

1

2

3 4

5

G3

1

2

3 4

5


Färbungsproblem

Färbung

Eine Färbung ist eine Funktion die jedem Knoten eines Grapheneine natürliche Zahl zuordnet.Eine konfliktfreie Färbung m ist eine Färbung bei der für jedeKante {u, v} ∈ E gilt: m(u) 6= m(v).Die chromatische Zahl eines Graphen G gibt die Anzahl derFarben an, die für eine konfliktfreie von G mindestens nötig ist.Was ist die chromatische Zahl des untenstehenden Graphen?Warum reicht diese Zahl von Farben aus und warum müssenmindestens so viele Farben verwendet werden?

1

2

3 4

5


Cliquen in Graphen

Eine Teilmenge C ⊆ V der Knoten eines Graphen nennt maneine Clique, wenn jeder Knoten in C mit jedem anderenKnoten in C verbunden ist.

Für vollständige Graphen gilt deshalb logischerweise C = V .

Im Clique-Problem ist eine größtmögliche Clique für einengegebenen Graphen zu finden.


Independent Set/Unabhängige Knotenmengen

Eine Teilmenge I ⊆ V der Knoten eines Graphen nennt maneine Independen Set (oder auch unabhängigeKnotenmenge), wenn jeder Knoten in I mit keinem anderenKnoten in I verbunden ist.

Für Graphen ohne Kanten gilt deshalb logischerweise I = V .

Im Independent Set-Problem ist ein größtmöglichesIndependent Set für einen gegebenen Graphen zu finden.

Das Finden eines Independent Set in einem Graphen Genspricht dem Finden einer Clique im KomplementärgraphenG ′


Vertex Cover

Eine Teilmenge U ⊆ V der Knoten eines Graphen nennt manein Vertex Cover, wenn jede Kante des Graphen mindestenseinen Endpunkt in U hat.

Es müssen also alle Kanten durch eine Auswahl von Knotenüberdeckt werden.

Im Vertex-Cover-Problem ist ein kleinstmögliches VertexCover für einen gegebenen Graphen zu finden.


Begründungen 6= Beweise

Begründungen oft komplett ausreichend, wenn aber nacheinem Beweis gefragt ist, nicht ausreichend

Beispiele sind keine Beweise, sondern dienen höchstens demintuitiven Verständnis bzw. der Klarifizierung

Beispiel:∑n

i=1 i =n(n+1)

2 gilt für alle n ∈ N, denn wenn manfür n = 5 einsetzt, ergibt sich

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 und es gilt auch5 · (5 + 1)

2= 15

deswegen gilt die Aussage für alle n ∈ N.︸︷︷︸NEIN!


Induktionen

Bieten sich immer an, wenn eine Aussage für alle möglichenWerte für eine Variable, beispielsweise für alle n ∈ N, geltensoll

Zuerst wird die Aussage für das erste Element gezeigt, für dasdie Aussage gelten soll. Oft wählt man hierfür das kleinste n,für das die Aussage gelten soll, oder das größte.

Danach zeigt man, dass folgende Aussage gilt: Wenn die zuzeigende Aussage für ein n gilt, dann gilt sie auch für n + 1.

Alternativ kann man den Induktionsschritt auch von n nachn − 1, oder von n nach n + 2 oä. führen. In jedem Fall mussman sicherstellen, dass man alle Elemente trifft, für die dieAussage zu zeigen ist.


Klassisches Beispiel: Gaußsche Summenformel

Zu zeigen: Die Aussage

n∑i=1

i =n(n + 1)

2

gilt für alle n ∈ N.Induktionsanfang: Es ist hier n = 0. Es ergibt sich

∑0i=1 = 0

und auch 0·(0+1)2 = 0.


Klassisches Beispiel: Gaußsche Summenformel 2

Im Induktionsschritt können wir jetzt die Induktionsannahmeverwenden; nämlich dass die Aussage für ein n ∈ N schonmalgilt. Wir müssen diese dann verwenden, um zu zeigen, dassdie Aussage dann auch für n + 1 gilt.

Induktionsschritt:

n+1∑i=1

i =

(n∑

i=1

i

)+ n + 1

I .A.=

n · (n + 1)2

+ n + 1

=n · (n + 1) + 2 · (n + 1)

2=

(n + 1)(n + 2)

2

Die zu zeigende Aussage gilt also, wenn man n + 1 einsetztund davon ausgehen darf, dass sie für n gilt.

Damit haben wir gezeigt, dass sie für alle n ∈ N gilt.


Andere Beweistechniken

Eine Aussage der Form Es gibt ein Objekt a mit... lässt sichbeispielsweise zeigen, indem man ein solches Objekt angibtoder zeigt, wie es sich konstruieren lässt

Eine Aussage der Form Für alle ... gilt kann man mit einemGegenbeispiel leicht widerlegen

direkter Beweis: Auf direktem Wege eine Äquivalenz zeigen,beispielsweise die eine Seite direkt in die andere umformen...


Andere Beweistechniken 2

Beweis durch Widerspruch: Eine Folgerung A =⇒ B kannman beweisen, indem man annimmt, dass A gilt und B nicht,und daraus auf irgendeine Art und Weise einen Widerspruchherleitet. Dann kann ein solcher Fall nicht eintreten, und dieFolgerung muss gelten.

Eine Folgerung der Form A =⇒ B kann man zeigen, indemman zeigt, dass ¬B =⇒ ¬A gilt, was unter Umständenleichter sein kann. (Beweis durch Kontraposition)


Definition, Gewurzelte und ungewurzelte Bäume

Definition

Ein ungerichteter Baum ist ein ungerichteterzusammenhängender kreisfreier Graph G = (V ,E ).

Gewurzelter Baum

Ein gewurzelter Baum entsteht aus einem ungerichtetenBaum durch vorgeben einer Wurzel und anschließendesorientieren der Kanten, so dass sie von der Wurzel weg zeigen.

Ein Graph heißt gewurzelter Baum wenn gilt:1 Es gibt genau einen Knoten w ∈ V mit Ein-GradG (w) = 0.2 Es gibt einen Weg von w zu jedem Knoten im Graphen.3 Jeder Knoten hat einen Ein-Grad von 1 oder 0.


Terminologie

In einem Baum nennt man alle Knoten mit Grad ≤ 1 Blätter.In einem gewurzelten Baum nennt man alle Knoten, die wederBlätter noch die Wurzel sind, innere Knoten.

Die Höhe oder Tiefe eines Baums B ist die Länge eineslängsten Weges in B.

Jeder gewurzelte Baum hat genau eine Kante mehr alsKnoten, es gilt |E | = |V |+ 1Die Kinder eines Knotens v in einem gewurzelten Baum sinddie Knoten, zu denen v Kanten hat


Terminologie 2

Der Elternknoten eines Knoten v ist der Knoten u, der v alsKind hat.

Die Geschwisterknoten von v sind alle anderen Kinder seinesElternknotens.

Einen gewurzelten Baum nennt man Binärbaum, wenn jederKnoten maximal einen Aus-Grad von 2 hat

Ein Binärbaum heißt voll, wenn jeder Knoten, der kein Blattist, auch genau einen Aus-Grad von 2 hat

Ein Binärbaum heißt vollständig, wenn er ein vollerBinärbaum ist und alle Blätter dieselbe Tiefe haben


Aufgaben - Induktion

Zeigen Sie jeweils mit vollständiger Induktion über n:

1∑n−1

i=0 (2i + 1) = n2 für alle n ∈ N>0.

2 (1 + x)n ≥ 1 + nx gilt für alle n ∈ N, falls x ∈ R und x ≥ −1.3 an = 2

n + 3n gilt für alle n ∈ N>0, wobei a1 := 5, a2 := 13und an+1 := 5an − 6an−1 f.a. n ≥ 2.


Aufgaben - Graphen 1

Geben Sie die folgenden Graphen G1 und G2 in grafischerDarstellung an:

G1 := (V1,E1) mit V1 := {k ∈ N : k < 6} undE1 := {a, b} : a, b ∈ N, 0 ≤ a < b < 6, a + b > 4}G2 := (V2,E2) mit V2 := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} undE2 := {(a, b) ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}2 : b = a− 2}



1 Geben Sie jeweils die Knoten- und Kantenmenge von G3 undG4 an.

2 Geben Sie alle starken Zusammenhangskomponenten von G3an.

3 Ist G4 planar? Begründen Sie Ihre Antwort.



GraphenFormale und grafische DarstellungEigenschaften von GraphenGraphproblemeKomplementär- und KonfliktgraphenClique, Independent Set und Vertex Cover

BeweiseBegründungen sind keine Beweise!InduktionenAndere Beweistechniken

BäumeDefinition, Gewurzelte und ungewurzelte BäumeTerminologie

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