diseño, modelización y fabricación de un chasis para una...

Diseño, modelización y fabricación de un chasis para una motocicleta de

competición Proyecto para optar al Título de Ingeniero Industrial Superior,

especialidad en mecánica de máquinas

Óscar González Fernández

14/09/2012

Tutorado por:

Daniel García Vallejo

Juan Manuel Ayllón Guerola

Escuela Técnica Superior de Ingenierías

Universidad de Sevilla

Índice

Descripción del proyecto .............................................................. 2 Capítulo I: Concepción ................................................................. 5 1.1 Material ................................................................................. 5 1.2 Definición de variables generales ........................................... 6 Capítulo II: Diseño y optimización ................................................ 9 2.1 Diseño ......................................................................................................................... 9

2.2 Optimización ............................................................................................................ 16

2.2.1 Método matricial 3D ......................................................................................... 24

2.2.2 Descripción del programa ................................................................................. 41

2.2.3 Implementación real del programa .................................................................. 53

Capítulo III: Modelización y simulación: ..................................... 61 3.1 Cálculo a rigidez: ...................................................................................................... 63

3.2 Cálculo de las frecuencias naturales ........................................................................ 70

3.3 Cálculo tensional ...................................................................................................... 73

3.4 Análisis modal .......................................................................................................... 87

Capítulo IV: Conclusiones ........................................................... 91 Capítulo V: Bibliografía .............................................................. 92

Anexo I: ............................................................................... Planos Anexo II: ............................. Esquema del programa del programa

Descripción del proyecto

El presente proyecto se encuentra integrado en un proyecto de mayor envergadura en el que

se diseña desde cero una motocicleta de 250cc, 4T para la competición Motostudent, junto al

equipo de la Universidad de Sevilla, US-R Engineering. El proyecto se lleva a cabo en la Escuela

Técnica Superior de Ingeniería de la Universidad de Sevilla, en el que se colabora con

profesores de diversos departamentos de la Escuela (Ingeniería Mecánica, Energética,

Organización Industrial,...) y en el que se pretende que los alumnos, que se encuentran en los

últimos cursos, se consideren incluidos dentro de un equipo real de competición y que

consigan autofinanciarse gracias a patrocinio y encuentren proveedores y fabricantes para los

componentes estructurales, electrónicos y motrices que ellos mismos diseñen.

Concretamente, el presente proyecto, está incluido dentro del departamento estructural del

equipo, concretamente en la parte más importante del mismo: el chasis. Bien es sabida la

función de los bastidores en todo tipo de máquinas y en especial en la industria de la

automoción. Es por ello a continuación se indican alguna de sus funciones más importantes:

- Soporte estructural de la motocicleta, soportando las diferentes cargas a las

que la misma se encuentra sometida, comportándose con una determinada

rigidez estructural, permitiendo cierto grado de deformaciones y siempre

dentro de los límites de la elasticidad de sus componentes.

- Posicionamiento de los diferentes elementos: el chasis sirve para el

alojamiento de los diferentes elementos de la motocicleta y debe aportar

puntos de apoyo fijos para el sistema de suspensión y basculante, la horquilla

delantera, el motor y todos sus componentes, depósito, carenado y asiento del

piloto. Es por este motivo que el entramado estructural del mismo debe tener

una forma tal que permita dar cabida a la gran cantidad de elementos que

aparecen en la misma y que, además, sea una solución de compromiso entre

espacio y peso.

- Proporcionar una adecuada interacción del piloto con la pista. Es fundamental

que una buena geometría permita absorber las cargas que actúan en la

motocicleta, pero también debe permitir que el piloto reciba sensaciones de la

carretera para complementar su conocimiento de la misma. Asimismo, el

chasis debe favorecer una correcta distribución de pesos, evitando la pérdida

de adherencia de alguna de las ruedas y permitiendo un correcto manejo del

conjunto, mediante una adecuada localización del centro de gravedad.

Como todo proyecto de ingeniería, consta de diferentes fases que parten desde el diseño

hasta la final explotación del mismo, pasando por las que a continuación se indican:

- Concepción: En esta fase se definen las características básicas de la estructura,

como su material, perfil de las secciones, especificaciones, geometría

fundamental del conjunto e interacciones con el resto de elementos de la

motocicleta que, a su vez, se encuentran en la misma fase de concepción

inicial. Es por ello que esta fase debe tener una especial comunicación entre

los diferentes departamentos del equipo.

- Diseño: Partiendo de unas prescripciones indicadas en la fase anterior, se

define una geometría que permita cumplirlas. Dado que los medios son

limitados, se podría pensar que la solución puede siempre estar lejos de la

óptima. Esta tesitura ocurre frecuentemente en los proyectos de ingeniería,

dado que el recurso temporal suele estar muy restringido. En este proyecto se

tratará de subsanar este problema, proporcionando una herramienta

matemática que permita acercar el diseño final lo máximo posible a la solución

óptima del mismo, de tal forma que además sirva de herramienta general para

otras estructuras. Para ello se ha realizado un programa en Matlab, el cual,

mediante algoritmos de minimización por restricciones, permita obtener una

solución factible al problema de minimización que se plantea.

Modelización y simulación: A pesar de que estas fases se encuentran

embebidas dentro de la fase de diseño, se han separado en este caso dado el

grueso de cada una de ellas. Se podría decir que la fase de diseño sirve para

proporcionar una solución rápida sobre la cual partir en el análisis

pormenorizado del detalle mediante métodos computacionales, tales como el

método de elementos finitos.

- Integración con el resto de componentes: como se indicó anteriormente, el

chasis no es únicamente una estructura que sirva para soportar las cargas, sino

que además debe proporcionar puntos de unión y soporte para los diferentes

elementos que se integran en él. Para ello, una vez definida la geometría, se

deben calcular una serie de elementos adicionales como pueden ser los ejes

del basculante y de unión a las cogidas del motor, los tornillos de sujeción de

las diferentes orejetas (con un apriete adecuado) y los rodamientos que alojen

la horquilla o suspensión delantera.

- Fabricación: La fase final del proyecto previa a la explotación del mismo es la

propia materialización de los componentes ideados. Para ello, se debe

establecer una relación comercial con proveedores que, gracias a una buena

financiación del proyecto, permita una fabricación de los diferentes

componentes. Dentro de esta fase se puede incluir la verificación de los

componentes, el montaje y reglaje de los mismos.

Finalmente, cabe indicar que cada una de las fases constituye un proyecto en sí misma si se

tienen en cuenta la gran cantidad de factores que en ella intervienen. No obstante, la

experiencia de pasadas ediciones así como el aprendizaje de la metodología, permiten alcanzar

soluciones satisfactorias y pretendidamente óptimas en un espacio de tiempo adecuado y

dentro de los límites impuestos por la organización del concurso.

Sin más, se pasa a describir detalladamente las fases del proyecto que se consideran más

importantes de ser descritas en el presente documento, comenzando por la fase de

concepción del prototipo y llegando al apartado de modelización y simulación, ya que el resto

de apartados suponen una actuación conjunta con el resto del equipo.

Capítulo I: Concepción

En esta fase del proyecto se comienza definiendo la geometría básica de la motocicleta, el

material a emplear y su calidad, perfil de las secciones de la estructura, tipología de los

diferentes sistemas de suspensión, basculante, motorización y posición de la conducción.

En primer lugar, al tratarse de un prototipo de baja cilindrada, se continúa con la tendencia de

estas categorías de construir un chasis multitubular de acero. Los chasis pueden ser de

diferentes tipologías, siendo los de mayor utilización en la actualidad los de doble viga de

aluminio, los de espina dorsal y los multitubulares triangulados, los cuales se indican en la

Figura 1.1.

Figura 1.1 Tipología común de chasis: Doble viga, espina dorsal y multitubular triangulado

La triangulación en una estructura es fundamental dada la mayor rigidez que presenta dicha

tipología, de tal forma que los chasis multitubulares buscan obtener una correcta geometría en

sus diferentes planos (alzado, planta y perfil) que permita un correcto aprovechamiento del

material.

1.1 Material

El material seleccionado es acero de calidad E355 (St-52) DIN 2391 BK, dado que para el perfil

empleado (tubos huecos de 25 mm x 1.5 mm aprox.) la relación entre rigidez y peso tiene una

tendencia más claramente favorecida en el caso del acero. Las características mecánicas del

acero empleado se indican a continuación:

- Límite elástico medio: 48 kg/mm2

- Resistencia a la rotura: 70 - 80 kg/mm2

- Módulo de Young: 210 GPa

- Coeficiente de Poisson: 0,33

- Módulo elástico transversal: 81 GPa

Concretamente, el tubo empleado es procedente de un acero estirado en frío, cuya

denominación es Ducal, de la marca Schröder.

1.2 Definición de variables generales

Definido el tipo de chasis, se pasa a determinar las dimensiones básicas de la motocicleta. En

esta fase y con la completa colaboración de todos los integrantes del equipo, se fijan los

parámetros siguientes:

- Altura del asiento: Se determina a partir de los valores habituales para

motocicletas de esta cilindrada, así como la altura del piloto para una

adecuada posición de conducción. El valor considerado será de

aproximadamente 750 mm.

- Distancia entre ejes: Dicha distancia tiene una gran influencia en la estabilidad.

Dada la dificultad de establecer un valor a priori, se visitan bibliografías y

catálogos comerciales en los que se indique una distancia recomendada

adecuada. El valor final se encuentra aproximadamente entre 1270 mm

(posición de equilibrio estático) y 1230 mm (posición de máxima compresión

de la suspensión), ya que depende de la posición de la suspensión trasera.

- Ángulo de lanzamiento de la horquilla: La horquilla necesita un ángulo de

lanzamiento* positivo para una correcta estabilidad direccional y que la huella

de la misma se encuentre por detrás del eje de rotación de la misma,

permitiendo la generación de un par que evite que la dirección se

desestabilice. El valor final seleccionado es de 23⁰.

- Longitud del basculante: Esta longitud es importante para el correcto

funcionamiento del sistema de la suspensión, ya que una variación en la

longitud del basculante supone un mayor brazo en el par que generan las

fuerzas en la rueda trasera. La longitud considerada será de 488 mm.

- Inclinación del basculante: La inclinación del basculante viene fijada por la

adecuada alineación de los puntos de salida del piñón del motor, el eje del

basculante y el eje de la rueda. Sin carga, éste deberá tener un cierto ángulo

positivo (el eje del basculante por encima del eje de la rueda) para que una vez

el piloto se monte, se encuentren aproximadamente alineados los citados

puntos y que la cadena no roce con la superficie del basculante y suponga una

pérdida importante de potencia. La inclinación final será de 5,3⁰.

- Altura de la pipa (o cuello) de la dirección: La altura de la pipa de la dirección

viene fundamentalmente determinada por la horquilla delantera. Ésta no

puede verse perjudicada en su recorrido, de tal forma que en ningún instante

del funcionamiento la tija pueda colisionar con algún otro elemento de la

motocicleta, como el carenado de la rueda delantera. La distancia final resulta

ser de 473 mm respecto al eje delantero.

* Ángulo que forma el eje de la horquilla (suspensión delantera) con la vertical medido en sentido horario.

En la Figura 1.2 se indican los diferentes elementos indicados, así como en el Plano 1 del Anexo

I.

Figura 1.2 Dimensiones generales

Una vez definidos todos los parámetros geométricos en el plano longitudinal de la motocicleta,

se le debe dar una profundidad al conjunto. En primer lugar y, partiendo del tipo de chasis

empleado, se considera que el chasis debe envolver al motor en la dimensión transversal del

mismo, quedando el motor suspendido mediante una serie de cogidas a la estructura. En el

apartado de integración de componentes se revisará con detalle el cálculo de los diferentes

elementos como ejes, cogidas y rodamientos, indicando únicamente en este apartado la

prescripción necesaria en esta materia.

En la mayoría de las motocicletas, el basculante está entre el motor y el chasis, tal y como se

indica en la Figura 1.3. En esta figura se observa el eje del basculante que está biapoyado en

sus extremos en el chasis. El motor se coloca en el centro del eje, con un cierto

descentramiento para permitir que el plano del piñón de salida del motor esté alineado con el

plano del plato de la rueda. Finalmente, el basculante tiene dos brazos, cada uno de los cuales

se dispone a ambos lados del motor y por el interior del chasis. Si se tiene en cuenta el ancho

que debe tener el basculante por requerimientos estructurales, y para alojar el motor, además

de una cierta distancia de holgura entre el basculante y el chasis, se obtiene que el ancho del

conjunto en este plano deberá ser al menos de 265 mm. El resto de dimensiones de barras, se

definirán adecuadamente en la fase de diseño, quedando en la fase de concepción de la

motocicleta indicados únicamente los valores más importantes y que permitan trabajar a los

diferentes departamentos dentro del equipo.

Figura 1.3 Eje del basculante

Finalmente y, aunque en esta primera fase la concepción de la motocicleta es simultánea, el

departamento encargado de la suspensión trasera introdujo el diseño del mecanismo plano. El

mismo cuenta con dos cogidas al chasis y una al basculante, quedando determinado por las

cotas de la Figura 1.4, lo que llevará a proporcionar una serie de elementos adicionales que

permitan la localización de dichos puntos.

Figura 1.4 Sistema de la suspensión

Capítulo II: Diseño y optimización

2.1 Diseño

Una vez obtenidas las variables fundamentales de la motocicleta, se comienza la labor

individual de diseño de cada uno de los componentes de la motocicleta. El chasis,

tradicionalmente, se diseña según la rigidez que presente a las deformaciones provocadas por

las cargas externas. A continuación se hace un estudio de las diferentes variables de diseño del

mismo:

Rigidez: Ante la aplicación de una carga (generalmente en la pipa de la dirección) de frenado,

curva, etc. el chasis debe comportarse de tal forma que permita un cierto grado de

deformaciones para que el piloto pueda tener una mejor sensación de conducción de la

motocicleta. A pesar de que este valor es altamente subjetivo, diferentes marcas del mundo

de la competición basan el criterio de diseño de sus chasis en fundamentos como este, en el

que la opinión de sus pilotos es fundamental para el correcto desarrollo y comportamiento de

su producto. Generalmente, estos valores son difíciles de conseguir y son característicos de

cada marca, aunque en este caso se han encontrado valores indicativos en el libro:

“Motocicletas: Comportamiento dinámico y diseño de chasis, el arte y la ciencia” de Tony

Foale. Estos valores son los siguientes:

- Rigidez lateral: debida a la aplicación de una carga lateral (transversal al

sentido de la marcha) y de valor unidad en la pipa de la dirección. El valor de

esta rigidez mínima será de:

- Rigidez vertical: debida a la aplicación de una carga vertical de iguales

características que la anterior. El valor mínimo será:

- Rigidez torsional: en este caso, se debe a la aplicación de dos cargas de valor

unidad en la pipa de la dirección, en sentido contrario y que apliquen un par

sobre la misma, par cuya dirección estará contenida en el plano longitudinal de

la motocicleta. El valor de esta prescripción será de:

Estado tensional: Al tratarse de un elemento que debe soportar elevadas cargas que a

continuación se indican, debe mantenerse dentro de los límites de seguridad del

comportamiento elástico del conjunto. El límite elástico del material considerado (de calidad

E355) fue indicado previamente, por lo que únicamente queda definir el coeficiente de

seguridad considerado en el cálculo de la tensión equivalente de Von Mises, el cual toma un

valor de N=2. Las hipótesis de carga anteriormente citadas, se indican a continuación:

- Potro de ensayo: La organización establece que la carga que debe soportar la

motocicleta al someterse a un ensayo en un banco debe ser de 2500N

aplicados en el eje delantero y trasero de la misma. Esto, genera un momento

reducido en el cuello de la dirección de valor:

( ( ))

((

) ( ))

- Frenada máxima: Se considera el límite de adherencia entre el neumático delantero y el asfalto, tomando un valor del coeficiente de rozamiento de valor , para vehículos turismo. Se debe tener en cuenta que la motocicleta tiene una huella diferente de contacto y que, por tanto, los valores pueden diferir de estos. Según el estudio “Reed WS, Keskin TA, 1987, Vehicular Response to Emergency Braking en Accident Reconstruction: Automobiles, Tractor-Semitrailers, Motorcycles and Pedestrians, Society of Automotive Engineers.”, se tiene que en función del peso de la motocicleta:

Peso (kgf) Rueda trasera Rueda delantera

100 0,31:0,4 0,53:0,67

150 0,36:0,43 0,62:0,76

200 0,36:0,51 0,63:0,88

Se considera por tanto un valor de para tener en cuenta el caso más

desfavorable, para un peso aproximado de 150kg.

La carga se supone completamente desplazada hacia el mismo, ya que en

grandes frenadas, el desplazamiento de la carga y la inercia pueden hacer que

la rueda trasera pierda contacto con el pavimento. Por ello, considerando las

dimensiones previamente indicadas, esta hipótesis representa una carga en la

pipa de la dirección (transmitida a través de la horquilla) en el plano

longitudinal de la motocicleta, normal al eje de la dirección y un par debido al

brazo que presenta la huella de la rueda con respecto al punto de aplicación

de la carga anteriormente indicada. En la figura 2.1 se indica un esquema

sencillo de esta carga, indicando posteriormente el valor que toma la misma.

Nótese que para estimar esta carga se necesita conocer la masa de la

motocicleta, la cual se ha supuesto de un valor de 100kg (el mínimo es 90kg) y

el peso del piloto, que se estima en 75kg.

Figura 2.1 Fuerza de frenado

El momento debido a esta fuerza se calcula teniendo en cuenta el radio R de la

rueda delantera y la altura h de la horquilla, así como el ángulo de avance :

( ( ) )

((

) ( )) )

Se observa que esta hipótesis queda asumida si el chasis resiste la carga que la

organización establece para el potro de ensayo, por lo que se obvia

- Curva: en el negociado de las curvas, la motocicleta se inclina notablemente

respecto al plano vertical, de tal forma que la trayectoria se puede realizar sin

tener que girar apenas la dirección. El efecto giroscópico de las ruedas permite

este fenómeno, pero es el rozamiento de las ruedas con la calzada lo que

permite mantener la estabilidad de la misma, al verse afectado el conjunto por

la fuerza centrífuga que hace que la motocicleta tienda a continuar por la

trayectoria tangente. Nuevamente, se establece la hipótesis de máxima

adherencia y se mantiene el coeficiente de rozamiento (aunque al modificarse

la huella del neumático éste se ve modificado), indicándose en la figura 2.2a

un nuevo esquema para la determinación de las cargas:

Figura 2.2a Curva

En esta hipótesis se deben realizar numerosas suposiciones, las cuales

pretenderán ser suficientemente conservadoras. El modelo para la obtención

de las cargas que se transfieren al chasis en una curva puede ser complicado si

se tienen en cuenta demasiados factores. Una simplificación razonable se

encuentra en el libro anteriormente citado de Tony Foale, Capítulo 4. En éste,

podemos encontrar una serie de gráficos genéricos que nos permitan

establecer una relación (válida para una motocicleta genérica) de la

inclinación, la velocidad y el radio de la curva a tomar. En primer lugar se

supone el ángulo de inclinación de la motocicleta de 45°. En la figura 2.2b se

representa la relación entre estas tres variables:

Figura 2.2b Radio de curva frente a velocidad

Se tiene por tanto que, para una inclinación supuesta de 45 grados, la

velocidad y el radio de la curva que se describe están relacionados por la curva

de la figura 2.2b. Nótese que la fuerza centrífuga en la curva tiene una relación

cuadrática con la velocidad e inversamente proporcional al radio de la curva. Si

escogemos la curva límite de 45 grados, obtendremos las mayores fuerzas

centrífugas posibles, ya que para determinadas velocidades obtendremos

menores radios de curvatura, siendo esta opción mas desfavorable en

cualquier caso. Finalmente, para elegir una velocidad de paso por curva, se

tiene en cuenta que la máxima velocidad de la motocicleta está en torno a 170

km/h (en recta), de forma que considerar 150km/h se considera muy

conservador. De cualquier forma, se consideran velocidades medias de paso

por curva en circuitos de la categoría Moto3, donadas por la organización del

mundial y resulta que las máximas velocidades se encuentran entorno a 140

km/h: 150km/h. Por tanto, para esta velocidad se obtiene un radio de la curva

de 175m aproximadamente, resultando:

Por tanto, esta fuerza se puede descomponer en dos componentes, una

vertical y otra horizontal:

( )

El momento generado en la pipa será:

( ( ) ) ( )

Suspensión trasera: La suspensión trasera se trata de un mecanismo plano de

barras en el que una de ellas se trata de un elemento elástico compuesto por

un muelle y un amortiguador. Al contar un elemento elástico, la fuerza que

realiza en los extremos y que, por tanto, se transmiten a la estructura,

depende del alargamiento del mismo. En la figura 2.3, se indican las cargas

máximas para la hipótesis, siendo las más desfavorables las siguientes:

Figura 2.3 Cargas de la suspensión

En la figura 2.4 se indica la progresividad del sistema de suspensión, así como las cargas sobre

cada uno de los elementos:

Figura 2.4 Cargas de la suspensión

Frecuencias naturales y modos de vibración: Al tratarse de un sistema estructural con masa,

estará sometido a las vibraciones debidas al funcionamiento del motor de 4T y la carretera. El

estudio de las frecuencias naturales del sistema es fundamental para que la vibración forzada

no se encuentre en zonas peligrosas que provoquen desplazamientos inadmisibles en la

estructura y que puedan desestabilizar la motocicleta o hacerla de difícil conducción. El rango

de funcionamiento del motor tiene un valor máximo de 10000rpm, con lo que se debe evitar

que ninguna de las frecuencias naturales esté en el rango de funcionamiento del mismo, por lo

que se fija un mínimo de 12000rpm para considerar que el sistema está suficientemente

alejado del rango que podríamos llamar inadecuado.

Peso del conjunto: El peso de una motocicleta influye enormemente en el consumo de

combustible de la misma. El chasis debe ser tal que permita proporcionar un valor satisfactorio

para las indicaciones anteriores, pero debe tener un compromiso con el peso del conjunto, ya

que es fundamental, no solo para el consumo, sino para el manejo y la estabilidad de la

motocicleta. Al tratarse de un prototipo para competición, se estima oportuno considerar el

peso como un elemento clave en el diseño del mismo, tratando siempre de minimizarlo.

Tamaño: El conjunto debe ocupar un volumen máximo de manera que la posición de

conducción del piloto sea lo más cómoda posible y, además, esté dentro de las restricciones de

la normativa. Además, debe permitir alojar un carenado comercial que proporcione una mejor

eficiencia aerodinámica.

-0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000Reacciones en Bieleta

Fue

rza (

N)

Tiempo (s)

Fx1(chasis)

Fy1(chasis)

Fx2(biela)

Fy2(biela)

Fx3(amort)

Fy3(amort)

2.2 Optimización

Al comenzar el cálculo de cualquier estructura, surge la duda de saber cuál es la geometría

óptima para obtener el mejor compromiso entre peso, rigidez, estado tensional y frecuencias

naturales. La experiencia y la intuición pueden facilitar el cálculo, pero para una geometría

compleja como la de una motocicleta, puede resultar complicado establecer una solución a

priori que nos permita obtener un buen comportamiento en todos los sentidos-especialmente

en una estructura triangulada sometida a cargas en distintos planos. Por ello, en este proyecto

se plantea resolver un problema de minimización con restricciones que, mediante algoritmos

de búsqueda, permita obtener el resultado óptimo de la disposición de los nodos de la

estructura, partiendo de las condiciones anteriormente indicadas. La estructura del problema

indicado es la siguiente:

( )

( )

Donde cada uno de los elementos se indican a continuación:

- La variable fundamental x del problema constituye las coordenadas espaciales de cada

uno de los nodos de la estructura y es la variable a modificar en cada iteración,

buscando la solución óptima. El vector x, será por tanto:

(

)

Siendo i, el índice del nodo i-ésimo de la estructura. El eje de coordenadas se indica en la

figura 2.5, para determinar correctamente la localización del chasis en el espacio. (La

figura 2.5 representa un resultado de una iteración obtenida tras la ejecución del

programa, donde se representa el chasis modelado por elementos tipo barra):

Figura 2.5 Ejes Coordenados

- La función a minimizar o función objetivo es el peso del conjunto, quedando definida

ésta por:

( ) ∑∑

( )

Donde:

M, es el conjunto de m barras que unen un nodo i con un nodo j

N, es el conjunto de n nodos

, es la densidad del material, siendo éste acero de

, es el área transversal de la barra que une el nodo i con el j

, es la longitud de la barra que une el nodo i con el j

- Las restricciones indicadas vienen divididas en restricciones lineales de igualdad, lineales

de desigualdad y no lineales, de desigualdad e igualdad. No todas ellas han sido

empleadas en este problema, indicándose a continuación la formulación empleada:

o Restricciones de simetría: el chasis debe ser un conjunto simétrico, respecto al

plano longitudinal de la motocicleta y, por ello, es necesario incluir en el programa

una restricción de igualdad de la forma siguiente:

-0.2-0.1

00.1

0.2

-0.5

0

0.5

10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

Deformada x 10000 veces

y

z

(

)

(

)

(

)

Donde los nodos i-ésimo y j-ésimo son simétricos y m es el número de barras de la

estructura. Nótese que según los ejes seleccionados, con el plano xz coincidente

con el longitudinal de la motocicleta, se obtiene que la adición de las coordenadas

x de dos nodos simétricos deben ser nula, mientras que la substracción de las

coordenadas y y z respectivamente deben ser nulas.

o Restricciones de volumen, rigidez, tensionales y de frecuencias naturales: estas

restricciones se modelan mediante las restricciones de desigualdad que

pertenecen al vector:

( )

Estas restricciones son no lineales y, aunque posteriormente se detalla el método

de cálculo empleado, a continuación se indican únicamente la forma de las

mismas:

Volumen: Se ha ideado un método que permita evitar que los nodos se

encuentren dentro de una determinada región esférica de radio conocido y

centro prefijado en las condiciones iniciales. Para ello, conocido el centro

( ) de cada región esférica, se obtiene la distancia (d) de cada

punto ( ) al centro de la esfera como sigue:

( ) ( )

( )

Obtenida la distancia al centro, queda únicamente establecer la restricción

como:

(

)

Donde E es el conjunto de e esferas.

Nótese que todas las restricciones deben ser negativas para que sean

verificadas, de tal forma que en este caso, si el nodo se encuentra fuera del

radio de la esfera, , se cumple dicha restricción. Además, se

normaliza cada una de las restricciones a la unidad, de forma que los

desplazamientos de cada una de las variables de diseño del problema no se

vean afectados por diferencias en los órdenes de magnitud entre las

diferentes restricciones.

Rigidez, tensiones y frecuencias naturales: Para obtener la rigidez del chasis

bajo cada una de las hipótesis (de carga unidad) indicadas previamente, se

ha implementado el método matricial 3D que se indicará en apartados

posteriores. Este método permite obtener, para elementos tipo barra con

seis grados de libertad, los desplazamientos, esfuerzos, frecuencias

naturales y modos de vibración del chasis. Una vez obtenidos los resultados

del método matricial implementado, es sencillo obtener la rigidez del

mismo si se hace la inversa del máximo desplazamiento ante una carga

unidad en la pipa de la dirección, valor que se comprueba con los valores

mínimos como sigue:

(

)

Donde H es el conjunto de h hipótesis para el cálculo de la rigidez.

En el caso de las tensiones, una vez obtenidos los esfuerzos en los extremos

del elemento, se obtienen los diagramas de esfuerzos del mismo y se

pueden obtener las tensiones sencillamente, mediante el criterio de Von

Mises. Para una sección determinada, se consideran las tensiones debidas

al cortante, momento flector, axil y momento torsor. Para no despreciar en

ningún caso posibles esfuerzos cortantes importantes, se evalúa en cada

caso el estado tensional en cuatro puntos de la sección transversal, es decir,

el punto de máximo flector y el punto de máximo cortante, tanto positivos

como negativos. Para un sistema de cargas y tensiones como el de la figura

2.6, se pueden obtener las tensiones como sigue:

Figura 2.6 Tensiones en la sección

Las ecuaciones que describen el estado tensional de cada una de las

secciones (de diámetro d, área A, momento de inercia I, y momento polar

de inercia J), en primer lugar para el caso general, son las siguientes:

Axial

Cortante:

Flector

Torsor

Siendo la tensión equivalente la indicada por el criterio de Von Mises:

√

Donde la tensión es la tensión obtenida de la suma (con su

correspondiente signo) de las tensiones normales provocadas por el axil y el

momento flector. De la misma manera, es la adición (con su

correspondiente signo) de la tensión tangencial provocada por el torsor y la

provocada por el cortante. Se debe tener en cuenta para esta expresión

que en este caso una de las tres tensiones principales es siempre nula, por

lo que se puede sustituir la expresión general por la indicada.

Realizando la particularización para cada uno de los puntos de la sección:

Punto 1

Punto 2

Punto 3

Punto 4

Este estado tensional se evalúa únicamente en los extremos de las barras,

al ser el diagrama de momento flectores de cada una de ellas con una

forma genérica como la indicada en la figura 2.7, al no tener esfuerzos de

barra (no existen cargas puntuales en la longitud de ninguna de las barras ni

existen cargas uniformemente repartidas) y estar biempotrada en sus

extremos:

Figura 2.7. Diagrama de momentos de una barra genérica

Finalmente, se obtiene la restricción debida a las tensiones (añadida al

vector C anteriormente obtenido para el volumen y la rigidez) de la forma

que sigue:

(

)

Para el cálculo de las frecuencias naturales se procede de igual forma que

en los casos anteriores, siendo las restricciones obtenidas de la forma:

(

)

- Existen otro tipo de restricciones que hacen que los nodos no se crucen en el plano

longitudinal de la motocicleta y, además, no se excedan los límites de volumen

anteriormente indicados. Estos límites vienen indicados como sigue:

Siendo , las restricciones a nivel inferior para la coordenada x, definidas como sigue:

{

Siendo las restricciones de y y z irrelevantes para el evitar que se crucen los nodos en el

plano longitudinal, por tanto, toman el valor del punto más negativo para la coordenada

y y el valor nulo para la coordenada z.

Las restricciones a nivel superior serán tales que el chasis no adquiera unas dimensiones

desmesuradas. Para no realizar un mapeado de cada uno de los nodos y no establecer

una condición dependiente de la posición del nodo, se fija un límite superior en la

longitud del chasis para la coordenada y, es decir, 0,8 m. Para las coordenadas x y z, se

fija el límite en la altura de la pipa de la dirección, es decir: 0,4 m.

( )

( )

Una vez definidas las bases del programa matemático para la optimización del problema, se

pasa a definir detalladamente el modelo estructural empleado para el cálculo matricial.

El algoritmo empleado para realizar la búsqueda de la solución óptima del problema se trata

de una función fmincon implementada en el programa de cálculo matemático Matlab. Esta

función trata de encontrar el mínimo de una función escalar de varias variables partiendo de

una estimación inicial para un problema con restricciones. Generalmente estos problemas son

denominados como: problemas de optimización no lineal con restricciones.

La función trabaja con distintos tipos de restricciones: lineales y no lineales; siendo las lineales

indicadas al comienzo del apartado de tipo matricial, mientras que las no lineales deben ser

referenciadas a funciones que dependan de las variables del problema. Dentro de la citada

función fmincon se tienen diferentes algoritmos que se diferencian entre sí según la forma en

la que manejen el Hessiano (matriz con las derivadas segundas del Lagrangiano) de la función

objetivo, las restricciones de desigualdad e igualdad. Concretamente, el algoritmo que ha

proporcionado buenos resultados en este proyecto se trata del conocido como Interior Point,

el cual trata de resolver el problema mediante la solución de una serie de problemas de

minimización aproximados, de tal forma que se transforman los problemas con restricciones

de desigualdad en una secuencia de problemas con restricciones de igualdad. El algoritmo se

aproxima al mínimo resolviendo los problemas aproximados mediante dos pasos diferentes en

cada iteración: paso directo, realizando un aproximación lineal del problema, o paso mediante

el gradiente conjugado, el cual trata de realizar una aproximación cuadrática del problema en

una región determinada por las restricciones lineales del problema. En líneas generales, el

algoritmo decide hacia donde continuar mediante la minimización de la norma de las

restricciones linealizadas (o aproximadas) en una región con radio R. El tamaño del paso viene

indicado mediante la resolución de un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son los

incrementos en las variables básicas del problema y las holguras, siendo éstas inversamente

proporcionales al Hessiano de las funciones indicadas anteriormente.

2.2.1 Método matricial 3D

2.2.1.1 Definición del elemento

La implementación del método matricial 3D (obtenido del libro: “Calculo Matricial de

Estructuras de 1° y 2° Orden- Teoría y Problemas, 1° ED. - Ramón Arguelles Álvarez) conlleva la

definición previa del tipo de elemento a emplear en el cálculo. Se considera un elemento viga

3D con seis grados de libertad en cada extremo que cuenta con la formulación indicada en la

Figura 2.8, en ejes principales de barra:

Figura 2.8 Esfuerzos y desplazamientos locales

Como se observa en la figura se tienen seis grados de libertad en cada uno de los nodos.

Independientemente de la figura mostrada, la notación empleada, la cual se considera más

práctica y fácil de entender, es la siguiente:

, desplazamiento generalizado del nodo a de la barra ab, referido a los ejes principales

de la sección. Sus componentes son las siguientes:

(

)

, desplazamiento generalizado del nodo b de la barra ab, referido a los ejes principales


(

)

, esfuerzo generalizado del nodo a de la barra ab, referido a los ejes principales de la

sección. Sus componentes son las siguientes:

(

)

, desplazamiento generalizado del nodo b de la barra ab, referido a los ejes principales


(

)

Con esta notación, los subíndices hacen referencia a la dirección de los ejes principales del

extremo de la barra, y la primera letra del texto del superíndice, al nodo al que se

encuentran asociados los esfuerzos y desplazamientos y la segunda al otro nodo de la misma

barra. Esta notación permite localizar la barra a la que se hace referencia dentro de un sistema

espacial de barras, ya que a un nodo puede acudir más de una barra.

2.2.1.2 Ecuaciones y matrices de rigidez

Para establecer la relación entre desplazamientos y esfuerzos de barra en la notación indicada

y, teniendo en cuenta que no existen cargas de barra y, por tanto, las reacciones de barra se

pueden obviar, resulta:

,{ }

{ }- *

[ ] [ ]

[ ] [ ]

+,{ }

{ }- ,

{ }

{ }-

Donde, como se indica, las reacciones de barra son nulas:

,{ }

{ }-

Las submatrices de rigidez indicadas son las siguientes:

[ ]

(

)

[ ]

(

)

[ ]

(

)

[ ]

(

)

Donde se tiene que los coeficientes indicados son:

, coeficiente de número n asociado a la posible articulación de los extremos de la barra con

relación al eje principal . Dado que en este caso, las barras se consideran biempotradas,

todos los coeficientes toman el valor de la unidad.

, coeficiente de número n asociado a la posible articulación de los extremos de la barra con

relación al eje principal . Al igual que en el caso anterior, al tener barras biempotradas en

toda la estructura, los coeficientes se consideran de valor unidad.

Una vez definida la estructura del cálculo matricial en coordenadas locales, se pasa al modelo

de la estructura en coordenadas globales, haciendo el correspondiente ensamblaje de las

matrices. Bien es sabido que una carga sobre la estructura provoca una serie de

desplazamientos globales en cada uno de los nodos de la misma, los cuales tienen una

formulación:

(

)

Y que se relacionan con las cargas en los nodos (que incluye las ligaduras libres y las reacciones

en las ligaduras impedidas que inicialmente son desconocidas) mediante la siguiente

expresión:

* + , -* +

Donde:

P, es el vector de cargas de nodos que incluye las ligaduras anteriormente indicadas

K, matriz completa de rigidez que representa el número de ecuaciones del sistema y, por

tanto, el número de filas y columnas de la matriz de rigidez completa. El número de

ecuaciones será 6 x número de nodos

, vector desplazamientos de nodos. Se conocen los desplazamientos asociados a los

grados de libertad impedidos (coacciones) y desconocidos los desplazamientos de los

grados de libertad libres.

Este sistema de ecuaciones es fácilmente resoluble al poder reducir la matriz de rigidez en

coordenadas globales al considerar únicamente los desplazamientos no nulos (y las filas de la

matriz de rigidez asociados a ellos) y obteniéndolos de la forma:

* + , - * +

Nótese que los desplazamientos nulos están asociados a las reacciones, por lo que en esta

ecuación no se incluyen las mismas en * + . Obtenidos los desplazamientos desconocidos,

se establece de nuevo la ecuación general y se obtienen los valores de las reacciones como:

* + * + * +

Donde * + es el vector de cargas externas.

2.2.1.3 Ecuaciones y matrices de cambio de base

A continuación se pasa a definir el conjunto de matrices de cambio de base. De forma general,

existirán cambios de base de coordenadas globales del sistema a coordenadas locales de las

barras. Posteriormente, para obtener los esfuerzos en ejes principales de barra (planos

principales de inercia) se debe convertir a este último sistema, pero dado que nos

encontramos con un sistema de barras de sección transversal circular hueca, no existen planos

principales generales, por lo que los ejes principales de barra coinciden con los locales. No

obstante, para poder mantener la generalidad del programa para cualquier tipo de estructura,

se pasará a describir e implementar el sistema de matrices para poder realizar el cambio de

base y que éste sea independiente del elemento seleccionado. Se ha de notar que este sistema

de coordenadas locales se emplea para evitar utilizar los cosenos directores y hacer más

sencillamente el cambio de base en dos etapas.

En la figura 2.8 se muestran los sistemas de coordenadas globales y locales de barra:

Como se observa, los ejes locales están únicamente asociados al eje axial de la barra. Se

representan por xaux, yaux y zaux y son determinados automáticamente: el eje local xaux es el eje

axial de la barra en el nodo de menor numeración (nodo a), el eje local yaux es el eje

perpendicular al plano definido por el eje global Z y el eje xaux. Finalmente, el eje local zaux es el

eje perpendicular a los dos anteriores. Con esto, se define la matriz de cambio de base de ejes

generales a ejes locales de barra como sigue:

√

Donde y son las coordenadas de los nodos a y b de una barra de longitud

:

(

)

(

)

Donde convierte los desplazamientos globales en el nodo de menor numeración de

una barra ab (nodo a) a desplazamientos locales. La matriz realiza la misma operación

pero para el nodo de mayor numeración, es decir, el nodo b.

Por tanto, para obtener los desplazamientos y esfuerzos locales en función del desplazamiento

global, se tienen las siguientes ecuaciones:

Para cambiar de ejes locales a globales, se utilizan las matrices traspuestas, ya que las matrices

de cambio de base son ortogonales e unitarias:

Finalmente, si el eje auxiliar xaux es paralelo al eje global Z, el eje yaux queda indefinido, por lo

que deberá establecerse algún método para determinarlo. En este caso, el eje local yaux

coincidirá con el eje global Y, siendo la matriz de cambio de base de la forma que sigue, en

caso de coincidir el eje x con el sentido positivo del eje Z:

(

)

Y de la siguiente forma en caso de que coincida con el sentido negativo del mismo:

(

)

Para finalizar la definición de las matrices de cambio de base, se pasa a definir el cambio

realizado entre ejes locales de barra y ejes principales de la misma. Para ello, se realiza una

rotación respecto al eje xaux, con un valor del ángulo que se denominará como β, medido en el

nodo a desde el eje local yaux al eje principal de la sección yp y en sentido antihorario. Esto se

representa en la figura 2.10:

Figura 2.10 Cambio de ejes locales a principales de barra.

Para determinar el ángulo β, se deben determinar previamente los cosenos directores del eje

yp en el nodo menor mediante las ecuaciones siguientes:

(

)

si el eje local xaux no es paralelo al eje

global Z

si el eje local xaux es paralelo al eje global Z

Por tanto, las matrices para cada uno de los nodos quedan definidas como:

(

)

(

)

Finalmente, para convertir los esfuerzos y desplazamientos en ejes principales a locales:

Para cambiar de ejes principales de barra a ejes auxiliares se utilizan las matrices traspuestas:

Finalmente, para concluir la definición matemática del problema, se retoma la formulación

indicada al comienzo:

,{ }

{ }- *

[ ] [ ]

[ ] [ ]

+,{ }

{ }-

Desarrollando la expresión y aplicando las transformaciones indicadas, se tiene:

Por tanto, queda fácilmente identificado el sistema matricial:

{* + * +

} *

+ {* + * +

}

Donde:

Una vez definido el método de generación de las matrices, queda únicamente definir la matriz

global a través del bien conocido método de ensamblaje, completamente análogo al de 2D,

pero con submatrices de 3x3 en lugar de 2x2. Posteriormente se simplifica el sistema como se

indicaba previamente y se obtienen las matrices reducidas, que permitirán obtener las

incógnitas de desplazamientos y reacciones, quedando cerrado el problema

matemáticamente.

Con la implementación del método matricial 3D se pueden obtener eficientemente las

matrices de rigidez de la estructura completa, con la que se pueden obtener tanto esfuerzos

como deformaciones y, por tanto, evaluar los valores de los esfuerzos locales mediante las

transformaciones anteriormente citadas. Con estos esfuerzos y desplazamientos, se pueden

obtener, respectivamente, las tensiones (según el método indicado anteriormente) para cada

una de las barras y las deformaciones, obteniendo por tanto la rigidez de la estructura al hacer

la inversa del máximo desplazamiento. Quedan por tanto, definidas las restricciones

concernientes a rigidez, tensiones y volumen.

2.2.1.4 Ecuaciones y matrices de masa

A continuación, se hará la descripción de la implementación del análisis modal de la

estructura. Para ello, es necesario previamente obtener la matriz de masa, del mismo tamaño

que la matriz de rigidez global, (obtenida del libro: “Theory of Matrix Structural Analysis”, J.S.

Przemieniecki) y posteriormente obtener los modos y frecuencias de vibración del sistema

formado por la ecuación diferencial de segundo orden y homogénea:

, - , -

Donde [M] es la matriz global de masa del sistema y [K] es la matriz global de rigidez. El vector

representa cada una de los grados de libertad del sistema, es decir, cada uno de los

desplazamientos y rotaciones presentes en los nodos de la estructura.

Para obtener la matriz de masa global, se debe hacer el análisis dinámico de cada uno de los

elementos, para posteriormente realizar el ensamblaje de cada una de las matrices de masa

elementales obtenidas previamente.

Para poder realizar este procedimiento, se deben hacer consideraciones particulares como que

cada elemento es susceptible de ser representado por desplazamientos estáticos. Dado que se

va a tratar el problema desde un punto de vista computacional, es preferible calcular las

matrices de masa de elementos desacoplados en coordenadas locales y, posteriormente,

realizar la transformación de estas matrices al sistema global de referencia para la estructura

ensamblada. De forma general, la matriz de masa de un elemento se calcula mediante la

expresión:

∫

Donde la matriz se refiere a todos los desplazamientos nodales en coordenadas locales. Tal y

como se ha indicado anteriormente, los desplazamientos locales y los globales están

relacionados mediante la expresión:

Donde ya han sido analizadas las correspondientes matrices de cambio de base. Si se realiza la

derivada de segundo orden de ambos términos, resulta evidente:

Ahora bien, es necesario aplicar el principio de trabajos virtuales para las fuerzas de inercia, de

forma que de ahora en adelante se cambiará la notación hasta ahora empleada para mantener

la notación clásica del principio de trabajos virtuales. Por esto, se considera que el vector de

grados de libertad nodales en coordenadas locales pasa a denominarse:

Y el vector en coordenadas globales pasa a ser:

Por esto, que indicando de nuevo las expresiones anteriores:

De esta forma, se puede formular mediante la nomenclatura clásica el principio de trabajos

virtuales mediante un desplazamiento virtual:

Y como el trabajo virtual de las fuerzas de inercia debe ser independiente del sistema de

referencia, se debe cumplir:

( ) ( )

Esto quiere decir que tanto en el sistema de referencia local (coordenadas ) como en el

global (coordenadas ) las fuerzas de inercia ,( ) ( )- obtenidas a partir del

principio de d’Alembert deben realizar un trabajo virtual , ( )- que sea

idéntico en ambos casos. Nótese que es la matriz de masa en coordenadas locales y es la

matriz de masa en coordenadas globales.

Por tanto, si combinamos las expresiones anteriores, se obtiene:

( )

De donde, al tener que y son arbitrarios, se deduce que:

Por lo que se obtiene la misma transformación que en las matrices de rigidez anteriormente

representadas, es decir:

, -

, -

Finalmente, se pueden combinar estas expresiones con la integral inicial para obtener la matriz

de masa de un elemento, para llegar a la transformación generalmente conocida que resulta

(en las coordenadas inicialmente presentadas):

∫

Por tanto, se tiene que:

∫

Expresión que representa la matriz de masa global en función de los desplazamientos globales

de la estructura.

Una vez obtenida esta matriz, se debe realizar la matriz de masa global para la matriz

completa, realizando el ensamblaje de los diferentes elementos. Este procedimiento es

completamente análogo al de la matriz de rigidez completa de la estructura en coordenadas

globales.

Se debe tener en cuenta una consideración importante en este apartado: para determinar la

matriz de rigidez fueron consideradas fuerzas externas aplicadas en los nodos (por lo que las

reacciones de barra eran nulas). En el caso de la matriz de masa, se deben considerar fuerzas

de inercia aplicadas en la estructura ensamblada, es decir, que en caso de contar con masas

concentradas, se deberán tener en cuenta en la matriz global de masa, de forma que:

Donde representa las masas concentradas y M es la matriz completa de masa, en

coordenadas globales y considerando las masas concentradas. En este caso particular, no se

tienen en cuentan las masas concentradas, dada la dificultad de cuantificar las mismas a priori.

Entiéndase que estas masas concentradas pueden ser los elementos auxiliares como

rodamientos, motor, suspensión y demás elementos que serán soportados por el chasis de la

motocicleta y que, debido a su gran variedad y complejidad geométrica, no son considerados

en el análisis inicial. De cualquier modo, este análisis deberá ser verificado posteriormente

mediante un método computacional más complejo, tal como un análisis mediante elementos

finitos tridimensionales e, incluso, un análisis modal experimental, ya que al no considerar las

masas concentradas no nos encontramos del lado de la seguridad.

A continuación se pasa a describir detalladamente la matriz de masa seleccionada para la

obtención de las frecuencias naturales y los modos de vibración de la estructura. Como se ha

citado anteriormente, se realizará el análisis de la misma en coordenadas locales, para

posteriormente pasar al ensamblaje global de la estructura. Los doce grados de libertad

considerados tienen la notación y son representados en la figura 2.11:

* +

Los cuales se relacionan mediante la matriz de funciones de forma a con los desplazamientos

de forma:

Figura 2.11 Grados de libertad del elemento

Por tanto, la matriz de funciones de forma resulta ser:

(

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) )

Donde las coordenadas adimensionales para una longitud l del elemento son:

En las figuras siguientes (2.12, 2.13 y 2.14) se representan algunos de los modos de vibración

que anteriormente se han indicado en :

Figura 2.12 Cuarto Modo de vibración

Figura 2.13 Quinto modo de vibración

00.2

0.40.6

0.81

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

(Axial) (Flexión Horizontal)

(

Fle

xió

n V

ert

ica

l)

00.2

0.40.6

0.81

-1

-0.5

0

0.5

1-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0


(

Fle

xió

n V

ert

ica

l)

Figura 2.15 Noveno modo de vibración

Se puede realizar la integración a lo largo del volumen del elemento de tal forma que:

∫

∭

Por tanto, la matriz completa del elemento, siendo esta de 12x12, resulta ser la combinación

de cuatro submatrices de 6x6, tal y como se indicó previamente en el desarrollo de la matriz

de rigidez:

*[

] [ ]

[ ] [ ]

+

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


(

Fle

xió

n V

ert

ica

l)

(

)

(

)

(

)

(

)

Donde, al igual que en el caso de la matriz de rigidez, se tienen en cuenta los momentos de

inercia de la sección transversal e , así como el momento de inercia polar J.

Una vez obtenida la matriz de masa del problema, se pueden obtener los modos y frecuencias

de vibración del sistema a partir de la ecuación diferencial de segundo orden y homogénea

anteriormente indicada:

Como se conoce la relación entre la aceleración y el desplazamiento:

( )

Se tiene por tanto que resolver el problema de autovalores y autovectores definido por:

( )

Por tanto, se puede escribir como:

De donde se sabe que las frecuencias naturales al cuadrado son los autovalores de la matriz

y que el autovector del correspondiente autovalor es el modo de vibración del sistema.

Se debe tener en cuenta que la estructura a calcular se encuentra restringida debido a una

serie de apoyos. Por este motivo, la matriz de masa y la matriz de rigidez no serán las mismas

que la general, ya que se deben eliminar ciertos grados de libertad. Éstas quedarán

representadas como sigue:

Es importante hacer esta distinción, ya que la motocicleta, bajo ninguna situación se va a

encontrar sometida a una vibración libre sin restricciones. La diferencia entre los tres

diferentes tipos de vibraciones a los que puede verse sometida se representan en la figura

2.16, para el caso de vibración libre, vibración estáticamente restringida (isostático) y vibración

hiperestáticamente restringida:

Figura 2.16 Vibraciones libres (a), isostáticas (b) e hiperestáticas (c)

Para la obtención de los modos y frecuencias naturales de vibración, se realiza la misma

operación de eliminación de filas y columnas que se realiza en la obtención de la matriz de

rigidez reducida en el método matricial, previo a la resolución del sistema para obtener las

reacciones y los desplazamientos de los nodos no restringidos.

Finalmente, el análisis se ha realizado bajo la suposición de ausencia de amortiguamiento

estructural, lo cual se considera más conservador.

2.2.2 Descripción del programa

Una vez realizada la descripción de las bases teóricas del modelo, se pasará a describir el

programa realizado en Matlab. Este programa cuenta con la integración de todos los métodos

anteriormente indicados, además de funciones auxiliares que facilitan la programación y la

implementación de los procedimientos. Además, se incluyen una serie de elementos de

comprobación de la bondad del método, que se describirán posteriormente. La estructura

fundamental del programa se indica en las figuras del Anexo II.

De cara a realizar la comprobación de los resultados, se ha implementado la optimización de

vigas discretizadas con los mismos elementos que componen la estructura del chasis. La figura

2.17 representa la estructura citada:

Figura 2.17 Estructura de prueba

Esta estructura se puede encontrar soportada en sus extremos de tres formas diferentes:

biapoyada, biempotrada o en voladizo. De cara a comprobar la bondad, en primer lugar, del

programa creado según los principios anteriormente indicados, se realiza el cálculo de los tres,

sometiendo la viga a una carga centrada en el caso de la biapoyada y biempotrada; y a una

carga en el extremo en el caso de la viga en voladizo.

Dado que se trata de una estructura reticulada, el cálculo teórico para la comprobación se

hace más complicado de hacer manualmente, por lo que, para poder comprobar que el

método está bien implementado, la viga se reducirá a una línea discretizada en varios nodos

longitudinalmente. Este cálculo es fácilmente comprobable con la teoría de la resistencia de

materiales.

00.2

0.40.6

0.81

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

xy

z

La sección transversal se trata de una sección circular hueca de las siguientes características:

El material será acero como el estructural empleado para el chasis, la longitud será 1m y la

carga en el extremo de 100N.

Para una discretización longitudinal en 9 nodos, se obtiene la figura 2.17:

Figura 2.17 Discretización en 9 nodos

El valor de la máxima deflexión en el extremo para este caso será:

Siendo el giro en esta sección de un valor:

Para obtener un análisis de convergencia adecuado, se realiza este mismo ensayo con más

elementos:

Elementos/longitud 9 21 41 101 201

Desplazamiento (m)

Giro (rad) 1ª Frec. Nat. (rpm)

00.2

0.40.6

0.81

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

x


y

z

El resultado teórico para este caso, resulta ser el siguiente:

Donde :

En el caso de la viga biapoyada, se tiene lo representado en la figura 2.18:

Figura 2.18 Viga biapoyada

Para este caso, se hace el mismo análisis de convergencia que en el caso anterior y se obtiene:

Elementos/long 9 21 41 101 201

Desplazamiento (m)

Giro central (rad)

1ª Frec. Nat. (rpm)

El valor de la máxima deflexión en el centro de la sección para este caso donde n=2 se trata de:

00.2

0.40.6

0.81

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

x


y

z

, -

Finalmente, para comprobar el caso de la viga biempotrada, se realiza el ensayo de igual

manera, resultando la geometría indicada en la figura 2.19:

Figura 2.19 Viga biempotrada

Elementos/long

9 21 41 101 201

Desplaz. (m)

Giro central (rad)

1ª Frec. Nat. (rpm)

Donde se observa una convergencia en todo caso, siendo los desplazamientos teóricos

coincidentes a los desplazamientos de las vigas discretizadas. Al observarse una convergencia

en todos los casos, se acepta la bondad del modelo y se utiliza para la representación de la

estructura.

A continuación se probará el programa de minimización con restricciones, para comprobar si el

mismo funciona adecuadamente. Para ello, se plantearán distintas situaciones de carga en las

que se solicitará al programa la realización de la optimización de las vigas en diferentes

situaciones de carga, tratando de, como se comentó anteriormente, minimizar el peso total de

la estructura.

00.2

0.40.6

0.81

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

x


y

z

Se comienza por el caso de la viga biapoyada sometida a una carga vertical en el centro de la

misma. Las premisas son minimizar el peso únicamente teniendo en cuenta un criterio

tensional y de rigidez, es decir, las tensiones, las menores posibles y la rigidez lo mayor posible.

El resultado de la función objetivo tras varias iteraciones es la representada en la figura 2.20:

Figura 2.20 Optimización de una viga biapoyada

0 2 4 6 8 10 12 141600

1700

1800

1900

2000

2100

2200

Iteration

Fun

cti

on

va

lue

Current Function Value: 1682.56

Siendo el resultado de la optimización el representado en la figura 2.21:

Figura 2.21 Optimización de una viga biapoyada

Si se observa más detenidamente la estructura en la figura 2.22:

Figura 2.22 Detalle de la optimización

00.2

0.4

0.60.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

x


y

z

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x


y

z

Se observa que el programa ha reducido al máximo la sección transversal de la viga y ha

mantenido el plano de mayor inercia (plano horizontal) con una dimensión suficiente para que

la flexión en el plano vertical no provoque una deformación excesiva. Además, se observa que

e la estructura se ha rebajado en la zona intermedia, asemejándose al alma de los perfiles en I,

que son bien conocidos por aprovechamiento del material a flexión y son ampliamente

utilizados.

A continuación se analiza la viga en voladizo, bajo las mismas indicaciones que en el caso

anterior, se tiene el conjunto de datos representados en la figura 2.23-2.24:

Figura 2.23 Iteración de la viga en voladizo

0 5 10 15 201000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

Iteration number

fval

Figura 2.24 Viga en voladizo optimizada

Se observa que en la geometría general se ha disminuido al máximo la sección en la zona en la

que no es necesaria debido a criterio tensional, pero que por otra parte, se ha mantenido la

inercia como en el caso anterior, es decir, se ha reducido la misma en el plano vertical para

mantenerla en un número adecuado en el plano horizontal. Tal y como se observa en la figura,

se ha degenerado en una estructura de espiga, ya que la tensión en el extremo es mínima

teóricamente. Finalmente, en la zona de transición se observa la geometría de la misma como

un perfil en I, es decir, los nodos interiores se “juntan” mientras que los exteriores se

mantienen a cierta distancia para dotar de mayor inercia en dicho a la sección (figura 2.25)

Figura 2.25 Detalle de la viga en voladizo.

00.2

0.40.6

0.81

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

x


y

z

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x


y

z

A continuación se analiza la viga biempotrada, en este caso con un mayor número de nodos, se

tienen los resultados siguientes, representados en la figura 2.26:

Figura 2.26 Iteración de la viga biempotrada

Es interesante también hacer la comparación entre los resultados obtenidos para la viga

biempotrada y la viga biapoyada. Para este último caso se obtuvo un peso final, tras 14

iteraciones de valor superior a 1700kg. En el caso de la viga biempotrada, al contar con una

mayor rigidez en los apoyos al estar impedido el giro, el peso de la misma se puede disminuir

más, ya que parece ser que el criterio de búsqueda prima en cierto modo la rigidez por encima

de las tensiones. Los resultados geométricos son representados en la figura 2.27 y 2.28, donde

se observa la máxima deformada del primer modo de vibración de la geometría:

0 5 10 15 20 25 30 351600

1700

1800

1900

2000

2100

2200

Iteration

Fun

cti

on

va

lue


Figura 2.27 Viga biempotrada

Figura 2.28 Representación deformada e indeformada de la viga biempotrada optimizada

0

0.5

1

-1

0

1-1

-0.5

0

0.5

1

x


y

z

00.2

0.40.6

0.81

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

x

Modo de vibración número: 1. Frecuencia: 51080.1202rpm

y

z

Figura 2.29 Detalles de la iteración de la viga biempotrada

Es interesante de nuevo analizar estos detalles: al igual que ocurría con los dos casos

anteriores, la viga biempotrada es optimizada de forma que la sección en los apoyos sea lo

mayor posible y así compensar las tensiones debidas al empotramiento. Dado que la rigidez

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x


y

z

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x


y

z

parece no ser un criterio decisivo en la geometría general del conjunto, es decir, la restricción

se ve satisfecha con holgura, la sección en la zona intermedia se ve reducida al plano de mayor

inercia y mantiene las premisas anteriormente indicadas.

2.2.3 Implementación real del programa:

Aunque el objetivo fundamental del programa es la generación de una estructura del chasis

óptima bajo unas restricciones, se observa que, dentro de su generalidad, se puede conseguir

que éste trabaje adecuadamente para otros tipos de estructuras, como pueden ser las vigas

anteriormente indicadas o, de forma genérica, cualquier tipo de estructura modelable con los

elementos indicados. Se queda abierta la puerta del programa a establecer otros tipos de

elementos, tales como placas o láminas y a discretizar las barras que constituyen la estructura

de cara a obtener resultados que converjan más rápidamente.

En el caso del modelo del chasis empleado, se genera una solución básica del problema de

forma que varios puntos, indicados en la figura 2.30 son fijos y no se pueden modificar ya que

deben interaccionar con otros elementos tales como la horquilla delantera o el conjunto

basculante-suspensión trasera.

Figura 2.30 Puntos fijos de la estructura

Para aportar una solución inicial y sin necesidad de introducirla “a mano”, el programa ha sido

realizado de forma que distribuya los nodos linealmente entre los puntos fijos de los sendos

cordones superiores e inferior del chasis, de forma que resulte una configuración en celosía de

las barras entre cordones superior e inferior de un mismo lateral del chasis. En función del

número de nodos que se decida introducir, se tendrá una configuración diferente (nótese que

este número debe ser siempre par) y por tanto se consideran opciones factibles los valores 4,6

y 8.

Para cada una de las configuraciones, se obtienen los resultados y se decide finalmente, tal y

como se detalla a continuación, por aquel que cumpla con las restricciones y que, además,

tenga una fabricación e integración con el resto de componentes que satisfaga las

necesidades.

Según la configuración de 4 nodos móviles, los resultados obtenidos son los siguientes,

representados en las figuras 2.31:

Figura 2.31a Iteración en 4 nodos

0 0.5 1 1.5 26.65

6.7

6.75

6.8

6.85

6.9

6.95

7

7.05

7.1

Iteration

Fun

cti

on

va

lue


-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-0.2

0

0.2

0.4

0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x


y

z

Figura 2.31b Geometría del chasis de 4 nodos

Figura 2.31c Geometría lateral del chasis de 4 nodos

Figura 2.31d Solución de 4 nodos con deformada

-0.100.10.20.30.40.50.60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

x


z

-0.2

0

0.2

-0.2-0.100.10.20.30.40.50.6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

y


z

Esta configuración es la que menor peso tiene de todas, pero no cumple con las restricciones

de rigidez que se le solicitan, ya que el vector resultado de las restricciones no lineales de

rigidez es (deberían ser todos negativos):

(

)

En cuanto a la configuración de 6 nodos, la solución es satisfactoria en todos los sentidos ya

que en comparación con la de 4 nodos, tiene un mayor peso, pero cumple con las restricciones

de rigidez, mientras que en comparación con la estructura de 8 nodos, se tiene un peor

comportamiento mecánico (aunque satisfactorio) pero con un menor peso. Los resultados de

ambos casos se encuentran representados a continuación, observándose los valores de la

primera frecuencia naturales para ambas configuraciones. Comenzando por el caso de seis

nodos:

Figura 2.32a Iteración en 6 nodos

0 0.5 1 1.5 27.1

7.12

7.14

7.16

7.18

7.2

7.22

7.24

Iteration

Fun

cti

on

va

lue


Figura 2.32b Geometría general de 6 nodos con deformada

Figura 2.32c Geometría general de 6 nodos con deformada II

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-0.2

0

0.2

0.4

0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x


y

z

-0.2

0

0.2

-0.200.20.4

0.60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

x


y

z

Figura 2.32d Primer modo de vibración de 6 nodos

En cuanto al caso de 8 nodos:

Figura 2.33a Iteración con 8 nodos

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-0.2

0

0.2

0.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x


y

z

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 47.84

7.85

7.86

7.87

7.88

7.89

7.9

7.91

7.92

7.93

7.94

Iteration

Fun

cti

on

va

lue


Figura 2.33b Geometría general del chasis de 8 nodos

Figura 2.33c Geometría lateral del chasis de 8 nodos

En ambos casos se observa un buen comportamiento de la estructura, estando las

restricciones satisfechas en ambos casos. Dado que el peso de la estructura de 6 nodos es

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-0.2

0

0.2

0.4

0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x


y

z

-0.2-0.100.10.20.30.40.50.6

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

x


y

z

menor al de la estructura de 8, se considera que este caso es más satisfactorio, de forma que

la solución definitiva de los nodos móviles es:

(

)

Finalmente, de cara a detallar y comparar los resultados de la solución obtenida con el modelo

en Matlab, con el modelo realizado en Ansys, se indican las diez primeras frecuencias naturales

siendo el primer modo de vibración de flexión lateral, representado en las figuras 2.32.

(

)

Capítulo III: Modelización y simulación:

Una vez obtenida una solución óptima en función de los requerimientos citados, se pasa a

modelar el conjunto en un programa que permita realizar un cálculo de los elementos del

chasis de una forma más precisa. Para ello se pasará a realizar el cálculo según el método de

los elementos finitos, empleando software disponible en el Dpto. de Ingeniería Mecánica de la

ESI de la Universidad de Sevilla. La modelización del mismo se representa en la figura 3.1,

incluyendo ciertos elementos auxiliares como la suspensión, detalle del cuello de la dirección,

y cogidas del motor:

Figura 3.1a Renderizado del chasis I

Figura 3.1b Rendezizado lateral del chasis

Figura 3.1c Renderizado del conjunto

Se debe, a continuación, establecer la misma relación de comprobaciones que en las realizadas

en el caso anterior. Para ello, se comienza realizando la comprobación a rigidez del conjunto

en un modelo más sencillo que el 3D.

Para la comprobación general de que la estructura es suficientemente rígida, se realizará un

modelo de elementos finitos tipo barra (BEAM) de tal forma que se pueda determinar

rápidamente la bondad de la estructura. Posteriormente, en base al modelo en 3D del chasis,

se comprobarán las hipótesis de tensiones y frecuencias naturales, quedando comprobadas las

de integración con el resto de elementos en el modelado del conjunto.

Se comienza por tanto con la generación de la estructura lineal en un programa de cálculo por

elementos finitos. La estructura obtenida en el modelo de Matlab se exporta a éste y se

realizan comprobaciones de rigidez, tensiones y frecuencias naturales. Se hará para todos los

casos un análisis de la malla, es decir, se comprobará la convergencia de la misma para

asegurar el buen comportamiento del modelo.

Para el primer caso, se cuenta con una discretización de la barra en 8 tramos circunferenciales,

siendo este primer modelo el indicado en la figura 3.2:

Figura 3.2a Elementos con 8 divisiones

3.1 Cálculo a rigidez:

Se indican a continuación los gráficos obtenidos del programa de elementos finitos para

posteriormente, una vez obtenidos todos los análisis de convergencia de la malla,

representarlos en la tabla correspondiente que se encuentra al final de este apartado. Para

ello se aplica una carga de valor unidad en el cuello de la dirección, de forma que se obtenga

un desplazamiento que, al hacer su inversa, nos proporcione la rigidez del conjunto en cada

eje, es decir, rigidez lateral, vertical y torsional.

Figura 3.2b Cálculo de la rigidez lateral

Figura 3.2c Cálculo de la rigidez vertical

Figura 3.2d Cálculo de la rigidez torsional


Figura 3.3b Cálculo de la Rigidez lateral

Figura 3.3c Cálculo de la Rigidez vertical

Figura3.3d Cálculo de la rigidez torsional


Figura 3.4b Cálculo a rigidez lateral

Figura 3.4c Cálculo a rigidez vertical

Figura 3.4d Cálculo de la rigidez torsional

Se observa que el mallado de la estructura es satisfactorio desde el mallado más grueso (que

cuenta con 8 elementos en cada circunferencia, es decir, la barra está dividida en 8 tramos de

igual arco) hasta el mallado más fino, con 32 elementos que discretizan circunferencialmente

el tubo.

Número de elementos Desplazamiento lateral (mm)

Desplazamiento vertical (mm)

Desplazamiento torsional (mm)

8

16

32

Se aceptan por tanto los resultados del modelo como válidos, aunque se hace notar lo

siguiente: las rigideces obtenidas en este caso son mucho mayores respecto al caso anterior ya

que las barras han cambiado su diámetro. En el modelo generado en matlab, las barras son de

25x2mm, mientras que, tras el análisis tensional del modelo 3D se obtienen tensiones debido a

concentradores de tensión inadmisibles, debiéndose cambiar en ciertas zonas el diámetro de

las barras para poder salvar este inconveniente. De cualquier modo, la geometría empleada en

el cálculo de este modelo es la misma que la obtenida mediante el programa de matlab.

3.2 Cálculo de las frecuencias naturales

Dado que la resolución del modelo de líneas no revela los concentradores de tensiones, en

este caso se realiza únicamente el análisis adicional de las frecuencias naturales de vibración,

dejando el análisis tensional para el modelo en tres dimensiones del conjunto. Para ello, se

emplea el mismo programa de elementos finitos y se obtienen, para el caso de máximo

número de elementos en cada barra:

(

)

(

)

Se observa que las frecuencias son parecidas a las obtenidas al método programado en

matlab, aunque no iguales debido a la variación de las secciones de las barras. Para comprobar

la bondad del método programado en matlab, se propone el mismo cálculo con las mismas

secciones, donde se obtiene, a título de comprobación y mera comparación de resultados de

las frecuencias lo siguiente:

(

)

(

)

(

)

Donde se observan dos circunstancias. En primer lugar y dada la modelización del elemento

tipo barra del modelo matricial, existen ciertas discrepancias entre los valores de las

frecuencias naturales y aunque no es de un orden de magnitud, el error es considerable y el

modelo de matlab resulta incompleto en este sentido. Por otra parte, la formulación del

elemento parece ser adecuada para capturar los diferentes modos de vibración presentes, en

cuanto a número de grados de libertad se refiere, aunque cabe plantearse que la no división

del elemento en diversos tramos sea muy adecuada. Si se realiza una comparativa entre el

primer modo obtenido en cada uno de los programas, se observa que el primer modo de

vibración es el semejante en ambos, obteniendo únicamente discrepancias en las frecuencias

naturales:

Figura 3.5a Obtención del primer modo de vibración mediante el modelo de matlab

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-0.2

0

0.2

0.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x


y

z

Figura 3.5b Obtención del primer modo de vibración mediante el modelo de MEF

3.3 Cálculo tensional

En este apartado se hará el estudio tensional del modelo anteriormente dimensionado, de

acuerdo a las cargas presentes en el mismo. Para ello, se recuerda brevemente que se

someterá al conjunto a cuatro hipótesis de carga, cada una de las cuales se indicarán a

continuación: frenada, curva, suspensión y potro de ensayo. Las propiedades del material se

recuerdan a continuación:

- Límite elástico medio: 48 kg/mm2

- Resistencia a la rotura: 70 - 80 kg/mm2

- Módulo de Young: 210 GPa

- Coeficiente de Poisson: 0,33

- Módulo elástico transversal: 81 GPa

La geometría definitiva del chasis no varía de la obtenida del cálculo mediante el modelo de

Matlab, aunque sí se han hecho algunas modificaciones en el diámetro de algunas de las

barras del mismo, aumentando éstas hasta los valores indicados en los planos. Además se han

realizado modificaciones en las sujeciones de los elementos, como la suspensión trasera y el

motor, detalles de las cuales se representan en los planos. El modelo de elementos finitos

tiene una gran cantidad de elementos que dificultan el cálculo con una geometría compleja

que incluya los redondeos correspondientes en las soldaduras de los materiales. Se considera

que los modelos empleados obtienen resultados suficientemente acordes a la realidad, siendo

los detalles del mallado representados en las figuras siguientes:

Figura 3.6a Mallado

Figura 3.6b Mallado II

Figura 3.6c Mallado III

Se trata por tanto que en el mallado tengamos siempre una relación de aspecto del elemento

adecuada y que no tengamos elementos con una dimensión característica muy superior a otra

dimensión del mismo, de forma que los resultados sean suficientemente fiables.

De cara a dar unos detalles sobre el mallado realizado:

- Mallado:

o Número total de nodos: 2110693

o Número total de elementos: 1145339

o Tipo de elemento: Tetraédrico con interpolación parabólica en las

aristas de máximo tamaño 0,002m

En cuanto a los criterios de seguridad empleados, se debe tener en cuenta las limitaciones del

modelo empleado en cuanto a precisión del número de elementos. Aunque pueda parecer que

el número de elementos es muy grande, en realidad en algunas zonas del chasis sería

necesario realizar un refinamiento, pero dada la ausencia de memoria en el ordenador

empleado, se considera que los resultados son suficientemente fiables.

El criterio de seguridad empleado debe tener en cuenta que los concentradores de tensión

presentes en la estructura modelo pueden hacer parecer que la misma falla, aunque tal y

como se ha comentado con los fabricantes del chasis, existen dos factores importantes que

permiten considerar que estamos del lado de la seguridad. En primer lugar, la soldadura de

acero conseguida se puede considerar mucho más resistente que el propio tubo de acero a

soldar, por lo que los concentradores en esta zona tienen un mayor rango de tensiones

disponibles. Por otra parte, como se ha indicado anteriormente, la soldadura supone en cierto

modo un radio de acuerdo entre las aristas de la intersección de los tubos pero que, para

simplificar la geometría del modelo y reducir el coste computacional, ha sido omitida ya que

de otra forma el modelo no podía ser resuelto. Con estas consideraciones, se realiza el análisis

tensional en elementos finitos del conjunto, siendo los resultados, los indicados a

continuación.

- Frenada:

Figura 3.6a Fuerza de frenado

Los resultados obtenidos son los siguientes:

- Máximo desplazamiento =

- Máxima tensión = 620 MPa (en presencia de concentrador de tensiones, ver

imágenes)

Figura 3.6b Distribución global de tensiones. Frenado I

Figura 3.6c Distribución global de tensiones. Frenado II

Figura 3.6d Detalle de la distribución de tensiones. Frenado I

Figura 3.6e Detalle de la distribución de tensiones. Frenado II

Se observa que, en todas las figuras, los concentradores de tensión se encuentran en las zonas

de unión de los tubos donde, como se ha indicado anteriormente, no se ha modelado la

soldadura. De cualquier modo, se observa que el valor de la tensión máxima no está en el

rango de rotura (70 kg/m2), aunque sí supera el valor del límite elástico (40 kg/m2 en una

pequeña región.

- Curva:

Figura 3.7a Fuerzas en curva

Los resultados obtenidos son los siguientes:


- Máxima tensión = 643,38 MPa (en presencia de concentrador de tensiones,

ver imágenes)

Figura 3.7b Distribución global de tensiones. Curva I

Figura 3.7c Distribución global de tensiones. Curva II

Figura 3.7d Detalle de la distribución de tensiones. Curva I

Figura 3.7e Detalle de la distribución de tensiones. Curva II

Suspensión

- Figura 3.8a Cargas de la suspensión

Los resultados obtenidos en el mallado grueso son los siguientes:



imágenes)

Figura 3.8b Distribución global de tensiones. Suspensión I

Figura 3.8c Distribución global de tensiones. Suspensión II

Figura 3.8d Detalle de la distribución de tensiones. Suspensión I

Figura 3.8e Detalle de la distribución de tensiones. Suspensión II

Se observa en este caso que la presencia de aristas vivas en las placas, tiene una influencia en

la concentración de tensiones bastante importante, circunstancia que no se dará en la

realidad.

Potro de ensayo:

Las cargas del potro de ensayo se aplican en ambos ejes, delantero y trasero, siendo el valor de

la misma:

Los resultados obtenidos en el mallado grueso son los siguientes:



imágenes)

Figura 3.9a Distribución global de tensiones. Potro de ensayo I

Figura 3.9b Distribución global de tensiones. Potro de ensayo II

Figura 3.9c Detalle de la distribución de tensiones. Potro de ensayo I

Se observa en esta figura que la zona de concentración de tensiones tiene una influencia muy

pequeña en cuanto a espacio pero muy importante en el valor de la tensión máxima. De

nuevo, se explica esta circunstancia teniendo en cuenta que no están representados los radios

de acuerdo y que esta carga será aplicada únicamente una vez en la prueba de la competición.

Figura 3.9d Detalle de la distribución de tensiones. Potro de ensayo II

Finalmente, se concluye el cálculo tensional indicando que en todas las hipótesis de carga

existen únicamente pequeñas zonas de concentración de tensiones en las que aparecen

tensiones elevadas, de las cuales ya se ha realizado la pertinente aclaración.

3.4 Análisis modal

Para concluir el análisis de elementos finitos realizado del conjunto, se realiza el análisis modal

del mismo. Los resultados obtenidos difieren de los obtenidos en Matlab y el modelo de líneas

por una sencilla razón: la inclusión de una barra adicional en la parte frontal para soportar el

motor. Las frecuencias se ven notablemente reducidas, ya que el modo de vibración de esta

barra tiene una menor frecuencia y, por tanto, disminuye la frecuencia natural de vibración de

la estructura. De cualquier forma, las frecuencias naturales de vibración no se encuentran

dentro del rango de funcionamiento del motor. Por otra parte, para estar del lado de la

seguridad y teniendo en cuenta que las frecuencias reales de vibración son inferiores a las

obtenidas del modelo, se observa que los primeros modos no son excitados por el motor, es

decir, según se representa en la figura 3.10a, donde se tiene un modo de vibración de flexión

lateral de la estructura y la barra de la cogida delantera, la excitación vibracional provocada

por el motor no afecta a este modo de vibración, ya que la vibración proveniente del mismo es

perpendicular a la dirección del movimiento del modo de vibración.

Por otra parte, el segundo modo de vibración (representado en la figura 3.10b) ya tiene una

frecuencia natural más alejada incluso del régimen de giro del motor y además, no se

encuentra ninguna excitación que pueda excitar este modo a esta frecuencia. Se podría citar la

excitación procedente del pavimento, pero la frecuencia de ésta es muy inferior a la natural.

Los resultados obtenidos de las diez primeras frecuencias naturales son los siguientes:

(

)

Figura 3.10a Primer modo de vibración

Figura 3.10b Segundo modo de vibración

Finalmente para concluir con el análisis modal, se realiza una comparativa del tercer modo de

vibración de la estructura, que parece tener una cierta similitud con los encontrados mediante

Matlab y el modelo de barras, siendo la frecuencia ligeramente inferior, posiblemente por la

presencia de la barra delantera, además de los pletinas de cogida a la suspensión, que parecen

tener una gran importancia en este modo:

Figura 3.10c Tercer modo de vibración

Finalmente y para concluir el proyecto, se indica que el resto de componentes de la

motocicleta a dimensionar son diseñados en común con el resto de integrantes del equipo, de

tal forma que el apartado de integración del chasis con el resto de componentes no se

considera adecuado incluirlo en el presente documento ya que es trabajo común con otros

estudiantes. Simplemente citar en los apartados de cálculo en los que se ha realizado una

parte importante del trabajo, los cuales son:

o Cálculo a fatiga de los ejes del basculante y eje de la bieleta de la

suspensión trasera.

o Cálculo y selección de los cojinetes del eje de la bieleta.

o Cálculo y selección de rodamientos del cuello de la dirección y eje del

basculante.

Capítulo IV: Conclusiones

El objetivo de este apartado es realizar una revisión del proceso seguido para el diseño del

chasis, obteniendo una serie de conclusiones que puedan ser aplicables a futuros trabajos.

En primer lugar, cabría analizar si los objetivos propuestos se han ido cumpliendo a lo largo de

la realización del proyecto. Al comienzo del mismo se planteaba realizar una herramienta que

permitiera la obtención sencilla de una geometría de partida para el cálculo del conjunto. El

resultado es, desde mi punto de vista, bastante interesante, ya que puede tratarse de una

herramienta de utilidad para casos en los que la programación se pueda adaptar a las

necesidades específicas del proyecto. A pesar del gran número de horas de programación, el

programa finalmente ha obtenido resultados interesantes, no únicamente en la obtención de

la geometría del chasis, si no también en los ensayos realizados para comprobar su

funcionamiento. En cuanto al diseño del chasis, ha supuesto una herramienta de utilidad para

probar diferentes geometrías, las cuales, a pesar de obtener una estética quizás más atractiva

para el conjunto, resultaron escasamente funcionales, desde el punto de vista de los criterios

citados.

En el caso del cálculo por elementos finitos y, en comparación con el programa anteriormente

citado, cabe decir que los resultados obtenidos son bastante próximos, dentro de lo que la

formulación del mismo permite, al caso de un programa comercial de elementos finitos.

Evidentemente, no se debe olvidar que el programa fue diseñado como una herramienta

rápida para obtener una geometría inicial factible y que aproveche adecuadamente los

recursos disponibles, minimizando el peso y manteniendo una relación adecuada rigidez/peso.

Es por este motivo que no se pretende considerar esta herramienta como un programa que

proporcione resultados definitivos.

Finalmente, los resultados globales de la experiencia tanto en el equipo de la motocicleta

como en la realización del proyecto han sido bastante positivos, habiendo obtenido una masa

total del conjunto de:

Teniendo en cuenta que los chasis de motocicletas comerciales suelen encontrarse en torno a

los 7 kg y que, el motor en este caso no se considera portante, el resultado se considera muy

satisfactorio, tanto en resultados obtenidos como en experiencia y conocimientos adquiridos.

Capítulo V: Bibliografía

La bibliografía empleada en este documento es la siguiente:

- Calculo Matricial de Estructuras de 1° y 2° Orden- Teoría y Problemas, 1° ED. -

Ramón Arguelles Álvarez.

- Theory of Matrix structural analysis. J.S. Przemieniecki.

- Mechanical Vibrations, 2° ED. - Singiresu S. Rao.

- Reed WS, Keskin TA, 1987, Vehicular Response to Emergency Braking en

Accident Reconstruction: Automobiles, Tractor-Semitrailers, Motorcycles and

Pedestrians, Society of Automotive Engineers.

- Documentación y ayuda de Matlab.

- Documentación y ayuda de Ansys Multiphysics.

diseño, modelización y fabricación de un chasis para una...

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