Diseo de compensadoresProf. Alejo Guilln C.UNIVERSIDAD DEL ZULIAESCUELA DE INGENIERIA MECANICACATEDRA DE CONTROLES AUTOMATICOS

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La compensacin es la modificacin de la dinmica de un sistema para satisfacer unas determinadas especificaciones. Nos centraremos en tcnicas de control para el diseo y la compensacin de sistemas de control lineales, invariantes en el tiempo SISO.

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Todos los fundamentos que se han hecho para el anlisis en los temas anteriores llevan al ltimo paso:diseo de sistemas de control

+-Controlador

ProcesoSalida del sistema(variable controlada)y(t)Variable manipuladau(t)e(t)El diseo involucra los 3 pasos siguientes: Determinar que debe hacer el sistema y como hacerlo (especificaciones de diseo) Determinar la configuracin del controlador (compensador) Determinar los valores de los parmetros del controlador para alcanzar los objetivos de diseo.

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1. Especificaciones de diseo

Especificaciones nicas para cada aplicacin individual y normalmente incluyen especificaciones como: Estabilidad Precisin en estado estable (error) Respuesta transitoria: Mp, tr, ts Caractersticas de respuesta en frecuencia: Mr, MG, MF

El diseo de sistemas de control lineales se puede realizar ya sea en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.

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2. El objetivo de diseo es que la variable controlada, representada por la salida y(t) se comporte en cierta forma deseada. El problema esencialmente involucra el determinar de la seal de control u(t) dentro de un intervalo prescrito para que todos los objetivos de diseo sean satisfechos.La mayora de los mtodos de diseo de sistemas de control convencionales se basan en el diseo de una configuracin fija, en el que el diseador decide la configuracin bsica del sistema diseado completo y el lugar donde el controlador estar colocado en relacin con el proceso controlado.

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Configuraciones ms habituales:a) Compensacin en serie (cascada)

+-r(t)ControladorGc(s)

ProcesoGp(s)y(t)u(t)e(t)

H(s)El controlador se coloca en serie con el proceso controladob) Compensacin mediante realimentacin (paralela)

+-r(t)ControladorGc(s)

ProcesoGp(s)y(t)u(t)e(t)

H(s)

-El controlador est colocado en la trayectoria menor de realimentacin

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3. Una vez elegido el controlador, la siguiente tarea es determinar los valores de los parmetros del controlador. Estos parmetros son tpicamente coeficientes de una o ms funciones de transferencia que componen al controlador.Normalmente los parmetros del controlador interactan unos con otros y afectan las especificaciones de diseo en formas conflictivas.Mientras ms especificaciones de diseo y ms parmetros haya, el proceso de diseo se vuelve ms complicado.

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Tipos de compensadores

CompensadorFuncinCaractersticasPProporcionalModifica el transitorioPIProporcional IntegralMejora el error estacionarioIncrementa el tipo del sistemaEl error se hace 0El cero es pequeo y negativoLagAtrasoMejora el error estacionarioMejora el error pero no lo hace cero necesariamenteEl polo es pequeo y negativo

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Tipos de compensadores

CompensadorFuncinCaractersticasPDProporcional- DerivativoMejora la respuesta transitoriaPuede causar ruido y saturacinLeadAdelantoMejora la respuesta transitoriaEl polo es ms negativo que el cero

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Tipos de compensadores

CompensadorFuncinCaractersticasPIDProporcional-Integral-DerivativoMejora la respuesta transitoria y el errorLead-LagAtraso-AdelantoMejora la respuesta transitoria y la permanenteEl polo es ms negativo que el cero

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TerminologaRed de adelanto, red de atraso, y red de adelanto y atraso: si se aplica un entrada sinusoidal a la entrada de la red, y la salida estacionaria (que es tambin sinusoidal) tiene un adelanto de fase, entonces la red se llama red de adelanto. Si la salida en estado estacionario tiene un atraso de fase, entonces la red se denomina red de atraso. En una red de atraso-adelanto, se producen en la salida tanto atraso como adelanto de fase, pero en diferentes regiones de frecuencias; un atraso de fase se produce en la regin de bajas frecuencias y un adelanto de fase en la regin de alta frecuencia. A un compensador con caractersticas de red de adelanto, red de atraso, o red de atraso-adelanto, se le denomina compensador de adelanto, compensador de atraso, o compensador de atrasoadelanto.

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Cosas a tener en cuenta Los polos complejos conjugados de la funcin de transferencia en lazo cerrado producen una respuesta al escaln unitario que es subamortiguada. Si todos los polos son reales, la respuesta al escaln unitario es sobreamortiguada. Los ceros de la funcin de transferencia en lazo cerrado pueden causar un sobrepico aunque el sistema sea sobreamortiguado (mirando slo los polos).La respuesta de un sistema est dominada por aquellos polos ms cercanos al origen del plano s. Los transitorios debidos a aquellos polos a la izquierda decaen ms rpido.

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Mientras ms alejados a la izquierda en el plano s estn los polos dominantes del sistema, el sistema responder ms rpido y mayor ser el ancho de banda.Las especificaciones en los dominios del tiempo y de la frecuencia estn asociadas:El tiempo de subida y el ancho de banda son inversamente proporcionales. El margen de fase, el margen de ganancia, Mr, y el amortiguamiento son inversamente proporcionalesCosas a tener en cuenta

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Tiempo: La salida del controlador es proporcional a la magnitud del errorClculo del valor de la ganancia en un controladorproporcional

E(s)U(s)KpKp = constante proporcionalAumenta la ganancia Reduce los errores en rgimen permanente.Modifica el transitorio y puede tender a desestabilizar el sistema en muchos casos si Kp aumenta demasiado.

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Diseo con Diagramas de Bode (1/2)

Dibujar el Diagrama de Bode del sistema sin compensar.Calcular el margen de fase deseado a partir del sobrepico (sobrepaso Mp) (o coeficiente de amortiguamiento) especificado:

Estas frmulas slo son exactas para los sistemas de segundo orden,En el resto de los casos son una aproximacin a lo que se quiere.

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Diseo con Diagramas de Bode (2/2)

Se busca en el Bode de Fase la frecuencia, m , para la que se tiene el margen de fase calculado en el paso anterior.Ver el valor del Bode de Magnitud en esta frecuencia y calcular la K necesaria para bajar la curva de magnitud a 0dB en esta frecuencia:

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Ejemplo:

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Ajuste de la ganancia del controlador con el mtodo del lugar de las racesg=tf(360, poly([0 -36 -100]))rlocus(g)zgrid(0.6,1)

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Ajuste de ganancia con el lugar de las races

g=tf(360, poly([0 -36 -100]))rlocus(g)zgrid(0.6,100)

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[k,poles]=rlocfind(g)k =160.7639

poles =1.0e+002 *-1.0753 -0.1424 + 0.1832i-0.1424 - 0.1832i>> g_comp=k*g Transfer function: 5.788e004 ---------------------- s^3 + 136 s^2 + 3600 s >> t_comp=feedback(g_comp,1) Transfer function: 5.788e004 ---------------------------------- s^3 + 136 s^2 + 3600 s + 5.788e004 >> step(t_comp)

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No se obtiene el valor exacto de Mp debido a que las frmulas son una aproximacin para sistemas de segundo orden.Se puede depurar un poco ms el sistema dndole inicialmente un valor ms alto del Mp.

Observaciones:

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% Se introduce la funcin de transferencia de lazo abiertonumg=[100]; deng=poly([0 -36 -100]); G=tf(numg,deng)

% Primero dibujamos el Bode del sistema sin compensar con sus % margenes de ganancia y de fase

margin(G)

% Ahora calculamos el lazo cerrado del sistema sin compensar y% la respuesta escaln para ver el sobrepaso del sistema

t_sincompensar = feedback(G,1)figure, step(t_sincompensar)

pos=input('Type %OS '); % Sobrepaso deseadoz=(-log(pos/100))/(sqrt(pi^2+log(pos/100)^2)) % Se calcula el coeficiente de amortiguamientoPm=atan(2*z/(sqrt(-2*z^2+sqrt(1+4*z^4))))*(180/pi) % Se calcula el margen de fase Programa completo con Matlab

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w=0.01:0.01:1000; % Rango de frecuencias para el Bode[M,P]=bode(G,w); Ph=-180+Pm % Calcular el margen de fase que hace faltafor k=1:1:length(P); % Se busca en el Bode la fase que nos hace falta if P(k)-Ph

% Bode del sistema compensadofigure, margin(K*G)

T=feedback(K*G,1); % Generar la funcion en lazo cerradofigure, step(T) % Calcular la respuesta saltotitle(['Respuesta en lazo cerrado para K= ',num2str(K)]) 'Sistema compensado en lazo abierto'K*G'Sistema en lazo cerrado compensado'T

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Ejemplo 2 con el programaSe desea lograr un sobrepaso de 1.52% (es decir, un coeficiente de amortiguamiento de 0.8) en el sistema:

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s + 1.5G(s)= ------------------- s^3 + 11 s^2 + 10 s s + 1.5T(s)= ------------------------- s^3 + 11 s^2 + 11 s + 1.5 Sobrepaso deseado: 1.52%Amortiguamiento: 0.7998Margen de fase: Pm = 69.8534

Fase que se debe tener:Ph =

-110.1466

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Valor del Bode de Magnitud 0.0728

Ganancia por la que se multiplica el sistema original: K = 13.7290

frecuencia en la que sucede: 1.5800

Sistema compensado en lazo abierto13.73 s + 20.59-------------------s^3 + 11 s^2 + 10 s Sistema en lazo cerrado compensado13.73 s + 20.59------------------------------s^3 + 11 s^2 + 23.73 s + 20.59

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Debido al cero en -1.5 el sistema no se aproxima bien a uno de segundo orden y por eso el valor final no es bueno.

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Ajuste con el lugar de las racesrlocus(g)zgrid(0.7998,10)[k,poles]=rlocfind(g)k =39.3705poles =-4.6001 + 3.4134i-4.6001 - 3.4134i-1.7998 k =12.7714poles =-8.6149 -1.1926 + 0.8953i -1.1926 - 0.8953ik =7.3840poles =-9.2501 -0.8749 + 0.6572i-0.8749 - 0.6572i

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Diseo de la respuesta transitoria por medio del ajuste de la gananciaResulta que hay 3 puntos que satisfacen la condicin.

Para cada punto se evalan: Tiempo de asentamiento:

Tiempo de pico:

Error en estacionario:

Diseo de la respuesta transitoria por medio del ajuste de la gananciaPara probar nuestra suposicin de un sistema de 2 orden, debemos ver la ubicacin del 3 polo.Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

Los casos 1 y 2 dan los terceros polos en lazo cerrado relativamente lejos del cero en lazo cerrado. Para estos casos no hay cancelacin de polos y ceros y la aproximacin de un sistema de segundo orden no es vlida.En el caso 3, el tercer polo en lazo cerrado y el cero en lazo cerrado estn bastante cercanos entre s, y la aproximacin de un sistema de segundo orden puede ser considerada como vlida.

CasoPolos dominantes en lazo cerradoTercer polo en lazo cerradoGananciaCero en lazo cerradoTsTpKvev1-0.870.66j-9.257.40-1.5+0j5.704.771.110.902-1.190.89j-8.6212.73-1.5+0j4.203.511.910.523-4.603.44j-1.8039.55-1.5+0j1.090.915.930.17

Diseo de la respuesta transitoria por medio del ajuste de la gananciaComparaciones de respuestas escaln

Diseo de la respuesta transitoria por medio del ajuste de la gananciaComparaciones de respuestas escaln

Diseo de la respuesta transitoria por medio del ajuste de la gananciaComparaciones de respuestas escalnSe justifica la aproximacin de segundo orden, donde hay una pequea diferencia en el sobrepaso del porcentaje.Con excepcin del exceso de sobrepaso, las respuestas del caso 3 son semejantes.

Ejemplo 3Se desea lograr un sobrepico de 1.52% (un coeficiente de amortiguamiento de 0.8) en el sistema:

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Funcin de transferencia en lazo abierto sin compensar: 1-------------------s^3 + 11 s^2 + 10 s Funcin de transferencia en lazo cerrado sin compensar:

1-----------------------s^3 + 11 s^2 + 10 s + 1 Sobrepaso deseado: 1.52%z =0.7998Pm =69.8534Ph =-110.1466

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M =0.2876K = 3.4769frecuencia en la que sucede 0.3300Sistema compensado en lazo abierto

3.477-------------------s^3 + 11 s^2 + 10 s Sistema en lazo cerrado compensado

3.477---------------------------s^3 + 11 s^2 + 10 s + 3.477

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Controladores PID Aplicacin simultnea de 3 acciones: proporcional, integral y derivativa Es el controlador ms utilizado en la prctica por su flexibilidad y ajuste sencillo Para ver cmo afecta cada una de las acciones a la salida, consideraremos la siguiente planta, cuya respuesta a la entrada escaln aparece a continuacin:

Controladores PID

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Controladores PIDSistemas de control digitales

Fenmeno indeseado: offset, que es un error en estado estacionario debido a que la accin de control es constante si el error tambin lo es Kp = 300

Reduce el tiempo de subida Aumenta el sobreimpulso mximo Disminuye el tiempo de establecimiento

Accin P (proporcional)

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Controladores PID La accin integral elimina el offset, ya que la accin de control aumenta aunque el error permanezca constante (integra el error). Con Kp = 30 y Ki = 70,

Incrementa el tiempo de subida Reduce el sobreimpulso mximo Disminuye el tiempo de establecimiento Mejora el sobreamortiguamiento

Accin I (Integral)

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Controladores PID La accin derivativa aumenta la velocidad de reaccin a un cambio del error (accin anticipadora) D(s) = KP + KDs. Con Kp = 300 y Kd = 10,

Reduce el sobrepico mximo Disminuye el tiempo de establecimiento Aumenta el ancho de banda

Accin D (Derivativa)

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Controladores PID Rene todas las ventajas de las acciones P, I y D

Pero tambin arrastra los problemas de cada una de las acciones

Saturacin de la accin derivativa (la salida se hace muy grande ante cambios repentinos de la seal de error). Se soluciona incluyendo en el trmino derivativo una constante de relajacin = 0.050.2. Integral windup: debido a la integracin de la seal de error. Si hay un sobrepaso, la accin integral sumar estos errores positivos para generar la accin integral necesaria. Si el error se hace negativo entonces, la direccin de la seal de control no variar para compensar este error mientras la suma del error previo sea dominante.

Controladores PID (Proporcionales Integrales - Derivativos)

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Sintonizacin de reguladores PID Sintonizacin: ajuste de los parmetros Kp, Ti y Td para que se satisfagan los requisitos del diseo Mtodos clsicos. Se utilizan desde los aos 50, y son bsicamente un ajuste emprico de los parmetros. Veremos 3 mtodos principales:

Mtodo de oscilacin de Ziegler-Nichols: halla el valor de la accin proporcional mediante el mtodo de lugar de races y calcula el resto de los parmetros mediante unas tablas. Mtodo de la curva de reaccin de Ziegler-Nichols Mtodo de la curva de reaccin de Cohen-Conn

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Sintonizacin de reguladores PID Mtodo de oscilacin de Ziegler-Nichols: ajuste de los parmetros Kp, Ti y Td para que se satisfagan los requisitos del diseo Se utiliza un controlador P para el control del sistema en lazo cerrado Se incrementa la ganancia Kp hasta que el sistema se hace crticamente estable. Se calcula la ganancia Ku y el periodo de las oscilaciones Tu Los parmetros del regulador se calculan segn la tabla:

AccinKpTiTdP0.5/Ku--PI0.4/Ku0.8Tu-PID0.6/Ku0.5Tu0.12Tu

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Sintonizacin de reguladores PID Analizaremos la planta

Ejemplo:

Kc (ganancia crtica) = 4.6

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Sintonizacin de reguladores PID Con un controlador proporcional con Kp = 4.6 tenemos la siguiente respuesta a la entrada escaln

Ejemplo

Mediante la tabla de Ziegler- Nichols obtenemos los siguientes valores:

Tu = 2.2 seg

AccinKpTiTdP2.3--PI1.81.8-PID2.81.10.3

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Sintonizacin de reguladores PID

Ejemplo

Controlador PControlador PIControlador PID

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