diplomsko delo - core · potrebovali v nadaljevanju. v drugem poglavju si bomo pogledali dokaz, da...
TRANSCRIPT
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Oddelek za matematiko in racunalnistvo
DIPLOMSKO DELO
Klara Prah
Maribor, 2011
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Oddelek za matematiko in raunalnitvo
Diplomsko delo
PERMUTAEDER
Mentor: Kandidatka:
doc. dr. Matjaz Kovse Klara Prah
Maribor, 2011
ZAHVALA
Povprecen ucitelj pove.
Dober ucitelj pojasni.
Odlicen ucitelj prikaze.
Velik ucitelj navdihuje.
William Arthur Ward
Iskreno se zahvaljujem mentorju doc. dr. Matjazu Kovsetu, ki mi je s strokovnimi
nasveti pomagal pri nastajanju diplomskega dela.
Posebna zahvala mojima starsema, ki sta me vsa ta leta podpirala in verjela vame ter
mi omogocila dosedanje solanje in pomembno prispevala k mojemu uspehu.
Prav tako hvala mojemu bratu, ki mi je skozi vsa ta leta studija pomagal z nasveti in
mi olajsal studijske tegobe.
Zahvaljujem se tudi vam, prijatelji, ki ste vsak po svoje prispevali k izgradnji mozaika
mojega studija.
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
IZJAVA
Podpisana Klara Prah, rojena 9. 2. 1986, studentka Fakultete za naravoslovje in
matematiko Univerze v Mariboru, studijskega programa matematika in kemija, izja-
vljam, da je diplomsko delo z naslovom
PERMUTAEDER
pri mentorju doc. dr. Matjazu Kovsetu avtorsko delo. V diplomskem delu so upo-
rabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe
avtorjev.
Maribor, 6. 9. 2011
Klara Prah
PERMUTAEDERprogram diplomskega dela
V diplomskem delu predstavite permutaeder. Poudarek naj bo na dokazu hamilton-
skosti grafa vozlisc permutaedra. Predstavljen naj bodo tudi rezultat o vseh moznih
razdaljah med oglisci permutaedra.
Osnovni viri:
1. M. El-Hashash, The Permutohedron πn is Hamiltonian, Int. J. Contemp. Math.
Sciences 4 (2009), 31-39.
2. J. Santmyer, For all possible distances look to the permutohedron, Mathematics
Magazine 80, 120–125 (2007).
3. G. Ziegler, Lectures on polytopes, Springer-Verlag, New York, 1998, druga iz-
daja.
doc. dr. Matjaz Kovse
PRAH K.: Permutaeder.
Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in mate-
matiko, Oddelek za matematiko in racunalnistvo, 2011.
IZVLECEK
S konveksnimi politopi se je ukvarjal ze Platon. V diplomskem delu bomo podrobneje
obravnavali konveksni politop imenovan permutaeder.
V prvem poglavju bomo spoznali matematicne definicije nekaterih pojmov, ki jih bomo
potrebovali v nadaljevanju. V drugem poglavju si bomo pogledali dokaz, da je graf per-
mutaedra hamiltonski graf. V tretjem poglavju bomo dokazali, da razdalje med oglisci v
n-dimenzionalnem permutaedru zavzemajo vsa soda stevila med 2 in(n+1
3
), za n ≥ 4. V
cetrtem poglavju si bomo pogledali asociaeder, ki posplosuje permutaeder.
Kljucne besede: permutaeder, zonotop, konveksni politop, hamiltonski graf, minkowsky-
jeva vsota, Caylejev graf, asociaeder.
Math. Subj. Class. (2010): 52Bxx politopi in poliedri,
52B11 n-dimenzionalni politopi,
05C45 eulerjevi in hamiltonski grafi.
PRAH K.: Permutohedron.
Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Sciences and Ma-
thematics, Department of Mathematics and Computer Science, 2011.
ABSTRACT
Plato was the one who already studied with convex polytopes. In the thesis we discuss in
more detail the convex polytope called permutohedron.
In the first chapter we present mathematical definitions of certain concepts which we need
later on. In the second chapter we show that the graph of permutohedron is a Hamil-
tonian graph. In the third chapter we prove that the distances between the vertices in
n-dimensional permutohedron take all even numbers between 2 and(n+1
3
), for n ≥ 4. In
the fourth chapter we look at another polytope associahedron, which generalizes permuto-
hedron.
Keywords: permutohedron, zonohedron, convex polytopes, Hamiltonian graphs, Minko-
wski sum, Cayley graph, associahedron.
Math. Subj. Class. (2010): 52Bxx polytopes and polyhedra,
52B11 n-dimensional polytopes,
05C45 Eulerian and Hamiltonian graphs.
Kazalo
1 Osnovni pojmi 1
1.1 Politopi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Minkowskijeva vsota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Zonotopi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Teorija grafov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Cayleyev graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Permutaeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1 Oglisca, robovi in lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.2 Druge lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Graf permutaedra πn je hamiltonski graf 15
3 Vse mozne razdalje med oglisci permutaedra 20
3.1 Geometrija permutaedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Okolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Kvadrati razdalj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Inverzija na permutacijah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Povezava med razdaljami in inverzijami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Iskanje vseh razdalj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Asociaeder 28
4.1 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Literatura 36
ix
Poglavje 1
Osnovni pojmi
Za zacetek se je smiselno spomniti nekaj osnovnih pojmov s podrocja geometrije in teo-
rije grafov. V ta namen je navedenih nekaj osnovnih pojmov in definicij, ki nam bodo
pripomogle k boljsemu razumevanju v nadaljevanju.
Naj bo V mnozica in F obseg (na primer obseg realnih stevil) in naj bosta definirani naslednji
dve operaciji:
• operacija sestevanja vektorjev, oznacena kot v + w (kjer sta v, w ∈ V ), in
• operacija mnozenja s skalarjem, oznacena kot a ∗ v (kjer sta v ∈ V in a ∈ F ).
Mnozico V imenujemo vektorski prostor nad obsegom F, ce veljajo naslednje lastnosti:
1. Za vsak u, v, w ∈ V , velja u + (v + w) = (u + v) + w - asociativnost sestevanja
vektorjev v V .
2. Za vsak u, v ∈ V , velja v + w = w + v - komutativnost sestevanja vektorjev v V .
3. Za vsak v ∈ V obstaja element −v ∈ V , tako da je v + (−v) = (−v) + v = 0.
4. V mnozici V obstaja nevtralni element 0 tako, da za vse elemente v ∈ V velja v+0 =
0 + v = v.
5. Za vsak a, b ∈ F in v ∈ V , velja a ∗ (b ∗ v) = (ab) ∗ v - asociativnost mnozenja s
skalarjem v V .
6. Za vsak a ∈ F in v, w ∈ V , velja a ∗ (v + w) = a ∗ v + a ∗ w - distributivnost glede
na sestevanje vektorjev.
1
2
7. Za vsak a, b ∈ F in v ∈ V , velja (a+ b) ∗ v = a ∗ v + b ∗ v - distributivnost glede na
sestevanje v obsegu.
8. V mnozici V obstaja nevtralni element 1 tako, da za vse elemente v ∈ V velja v ∗ 1 =
1 ∗ v = v.
Naj bo U vektorski prostor nad obsegom R preslikavo 〈, 〉 : U × U → R, ki vektorjema
u, v ∈ U priredi stevilo 〈u, v〉 ∈ R imenujemo skalarni produkt, ce zanjo velja:
1. 〈u+ v, w〉 = 〈u,w〉+ 〈v, w〉, za vse u, v, w ∈ U - linearnost,
2. 〈u, v〉 = 〈v, u〉, za vse u, v ∈ U - komutativnost,
3. 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉 = 〈u, αv〉, za vsak u, v ∈ U in α ∈ R - homogenost,
4. 〈u, u〉 ≥ 0, za vsak u ∈ U in 〈u, u〉 = 0 natanko tedaj, ko je u = 0 - pozitivna
definitnost.
Evklidski prostor je realni vektorski prostor v katerem je definiran skalarni produkt. S
pomocjo skalarnega produkta lahko v evklidskem prostoru merimo razdalje in kote.
Razdaljo v evklidskem prostoru imenujemo evklidska razdalja. Za u = (u1, u2, u3, ..., un) in
v = (v1, v2, v3, ..., vn) dve tocki v Pn je evklidska razdalja d(u, v) med u in v definirana na
obicajen nacin, kot: d(u, v) =√∑n
i=1(ui − vi)2.
Poleg definicije vektorskega in evklidskega prostora potrebujemo tudi definicijo afinega pro-
stora. Mnozico tock S imenujemo afin prostor nad vektorskim prostorom V , kadar je podana
preslikava φ : S × S −→ V , ki vsakemu urejenemu paru tock (A,B) priredi vektor uA,B in
pri tem zadosca naslednjima pogojema:
• ∀A ∈ S, v ∈ V ∃!B ∈ S uA,B = v;
• ∀A,B,C ∈ S uA,C = uA,B + uB,C
Dimenzija prostora ali objekta je definirana kot minimalno stevilo koordinat, potrebnih
za dolocitev polozaja tocke v prostoru ali na objektu. Afin podprostor dimenzije n − 1
imenujemo hiperravnina v Rn. Povedano drugace, hiperravnina je mnozica vseh resitev
linearne enacbe oblike:
a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = b
kjer je vsaj eden od a1, a2, ..., an razlicen od 0.
1.1 Politopi 3
V geometriji govorimo tudi o polprostorih. Polprostor 3- dimenzionalnega evklidskega pro-
stora je eden od dveh delov, na katera ravnina razdeli 3-dimenzionalni evklidski prostor.
Na splosno je polprostor eden od delov v katere hiperravnina razdeli afin prostor.
Konveksna mnozica je mnozica tock, za katero velja, da pri poljubni izbiri tock X in Y iz
te mnozice, daljica XY v celoti lezi v tej mnozici.
Slika 1.1: Konveksna mnozica.
Konveksna ovojnica za mnozico tock X v realnem vektorskem prostoru V je minimalna
konveksna mnozica, ki vsebuje X, oznacimo jo s conv (X).
Slika 1.2: Konveksna ovojnica: analogija z elastiko.
Za ravninske objekte si konveksno ovojnico lahko najlazje vizualno predstavimo z napeto
elastiko okoli dolocenega objekta. Ko se elastika sprosti, bo prevzela obliko objekta to pa
je konveksna ovojnica tega objekta.
1.1 Politopi
Politop V je konveksna ovojnica za koncno mnozico tock v Rn.
1.1 Politopi 4
Slika 1.3: Petkotnik kot politop V .
Da lahko govorimo o dimenziji politopa, moramo spoznati se nekaj drugih pojmov. Tocke
so afino neodvisne, kadar so v mnozici S samo tocke katerih ni mozno zapisati z afino kom-
binacijo ostalih tock. Afino kombinacijo tock P1, ..., Pn v afinem prostoru lahko definiramo
kot:
α1P1 + ...+ αnPn
kjer so α1, ..., αn skalarji in
α1 + ...+ αn = 1.
Afina ovojnica mnozice S v evklidskem prostoru Rn je najmanjsa afina mnozica, ki vsebuje
S ali je presek vseh afinih mnozic, ki vsebujejo S. Afina ovojnica, ki jo oznacimo z aff(S)
mnozice S je mnozica vseh afinih kombinacij elementov mnozice S, kar je enako
aff(S) =
{k∑
i=1
αixi | xi ∈ S, αi ∈ R, i = 1, 2, ..., k ;k∑
i=1
αi = 1; k = 1, 2, ...
}.
Dimenzijo politopa definiramo kot dimenzijo njegove afine ovojnice.
Zgled. • Afina ovojnica mnozice dveh razlicnih tock je premica, ki ju vsebuje.
• Afina ovojnica mnozice treh nekolinearnih tock je ravnina, ki jih vsebuje.
• Afina ovojnica mnozice stirih tock, ki niso v isti ravnini v R3 je ves prostor R3.
Naj bo P ⊆ Rn konveksni politop. Ce velja cx ≤ c0 za vse tocke x ∈ P , potem recemo, da
je neenakost cx ≤ c0 ustrezna za politop P . Lice P je vsaka mnozica oblike
F = P ∩ {x ∈ Rn : cx = c0} ,
kjer je neenakost cx ≤ c0 ustrezna za P . Lica dimenzije k imenujemo k-lica.
Delna ureditev ≤ je relacija na mnozici P , ki je refleksivna, antisimetricna in tranzitivna.
Za vsak a, b, c ∈ P torej velja:
1.1 Politopi 5
• a ≤ a (refleksivnost),
• ce je a ≤ b in b ≤ a potem je a = b (antisimetricnost),
• ce je a ≤ b in b ≤ c potem je a ≤ c (tranzitivnost).
Pravimo, da b pokriva a, ce ne obstaja tak c ∈ A, da velja aRc in cRb.
Ce je (A,≤) koncna delno urejena mnozica, potem jo lahko predstavimo z hassejevim dia-
gramom. Hassejev diagram je usmerjen graf katerega vozlisca so iz mnozice A in povezave
ustrezajo relaciji pokritja. Povezava od x ∈ A do y ∈ A obstaja, ce velja:
• x < y,
• ne obstaja z ∈ A tako, da je x < z in z < y (ni vmesnih elementov).
Ce je x < y, potem je y narisan visje kot x. Zaradi tega smer povezav v hassejevim diagramu
ni oznacena.
Na mnozici vseh lic politopa lahko vpeljemo delno ureditev glede na vsebovanost lic. Za
lici L1 in L2 velja L1 ≤ L2, ce velja L1 ⊆ L2.
Slika 1.4: Kocka z oglisci a, b, c, d, e, f, g, h (levo), ter delna urejenost lic kocke (desno).
Rob je daljica v kateri se stikata dve mejni ploskvi telesa ali pa omejuje ravninski lik.
0-lica (oglisca) politopa predstavljajo vozlisca grafa, 1-lica (robovi) politopa predstavljajo
povezave v grafu. Tak graf imenujemo graf politopa. Na sliki 1.5 je prikazan graf kocke.
1.2 Minkowskijeva vsota 6
Slika 1.5: Graf kocke.
1.2 Minkowskijeva vsota
Minkowskijeva vsota dveh mnozic P,Q ⊆ Rn je definirana kot
P +Q = {x+ y : x ∈ P, y ∈ Q}.
Naslednja slika ponazarja 2-dimenzionalno minkowskijevo vsoto stozca in politopa.
Slika 1.6: 2-dimenzionalna minkowskijeva vsota.
n-simpleks je konveksna ovojnica mnozice (n+ 1) afino neodvisnih tock v evklidskem pro-
storu z dimenzijo vsaj n. Na primer: tocka je 0-simpleks, daljica je 1-simpleks, trikotnik je
2-simpleks, tetraeder je 3-simpleks in tako naprej.
Slika 1.7: 0-simpleks (tocka), 1-simpleks (daljica), 2-simpleks (trikotnik), 3-simpleks(tetraeder).
1.2 Minkowskijeva vsota 7
Zgled. Podana sta dva trikotnika (2-simpleksa):
A = conv {(1, 0), (0, 1), (0,−1)} in B = conv {(0, 0), (1, 1), (1,−1)}, potem je minkowskijeva
vsota
A+B = conv {(1, 0), (2, 1), (2,−1), (0, 1), (1, 2), (0,−1), (1,−2)},ki izgleda kot sestkotnik na sliki .
Slika 1.8: Minkowskijeva vsota A+B.
1.3 Zonotopi 8
1.3 Zonotopi
Hiperkocka je n-dimenzionalni objekt (n=2 kvadrat, n=3 kocka). Hiperkocko katere stranica
je dolga eno enoto imenujemo enotska hiperkocka. Izraz se pogosto uporablja za politop,
katerega oglisca so vse tocke v Rn s koordinatami enakimi 0 ali 1. Tocka je hiperkocka
dimenzije nic. Pri premiku tocke za enoto dolzine se razpre daljica, ki je enotska hiper-
kocka dimenzije ena. Pri premiku daljice za njeno dolzino v pravokotni smeri od premice
na kateri lezi, se razpre 2-dimenzionalni kvadrat. Pri premiku kvadrata za enoto dolzine v
smeri pravokotno na ravnino na kateri lezi, nastane 3-dimenzionalna kocka. To lahko po-
splosimo na visje dimenzije. Pri premiku kocke za enoto dolzine v cetrto dimenzijo nastane
4-dimenzionalna enotska hiperkocka.
Slika 1.9: 0, 1, 2, 3 in 4 dimenzionalne hiperkocke.
V geometriji k-skelet n-politopa P sestavljajo vsi pod i-politopi dimenzije manjse od k.
Skelet oznacimo skelk(P ). Na primer:
skel0(kocke) = 8 oglisc,
skel1(kocke) = 8 oglisc, 12 robov,
skel2(kocke) = 8 oglisc, 12 robov, 6 kvadratov lic.
Zonotop je n-dimenzionalna slika n-dimenzionalne kocke pri afini projekciji.
Slika 1.10: Projekcija 3-dimenzionalne kocke na ravnino da konveksni sestkotnik, kije 2-dimenzionalni zonotop.
1.4 Teorija grafov 9
1.4 Teorija grafov
Graf je urejeni par G = (V,E), kjer je V neprazna mnozice vozlisc, E mnozica povezav in
kjer je vsaka povezava e ∈ E par vozlisc e = {u, v} , u, v ∈ V . Mnozici V in E pogosto
oznacimo z V (G) in E(G).
Slika 1.11: Primer grafa. V (G) = {a, b, c, d, e} in E(G) = {ab, ad, bc, bd, de}.
Bijektivna preslikava f : V (G) −→ V (H) je izomorfizem grafov, ce je uv ∈ E(G) natanko
tedaj, ko je f(u)f(v) ∈ E(H). Grafa G in H sta izomorfna, G ' H, ce obstaja izomorfizem
V (G) −→ V (H). Izomorfizem grafe nase je avtomorfizem. Graf G je vozliscno tranzitiven,
ce velja da za poljubni vozlisci v1, v2 ∈ V (G) obstaja avtomorfizem f : V (G)→ V (G), tako
da velja f(v1) = v2
Slika 1.12: Levi graf je vozliscno tranziteven, desni pa ni vozliscno tranzitiven.
Graf H = V (H), E(H) je induciran podgraf grafa G = V (G), E(G), ce za poljubni par tock
u, v ∈ V (H) iz uv ∈ E(G) sledi uv ∈ E(H).
1.4 Teorija grafov 10
Slika 1.13: Podgraf H1 je inducirani podgraf grafa G, za H2 pa to ne velja.
Pot je graf, ki ima n− 1 povezav. Pot na n vozliscih oznacimo s Pn
Slika 1.14: Prve stiri poti.
Graf je povezan, ce je vsak par njegovih tock povezan s potjo.
Slika 1.15: Levi graf je povezan, desni pa je nepovezan.
Cikel je povezan graf, pri katerem gresta iz vsake tocke natanko dve povezavi.
Slika 1.16: Cikel na petih tockah.
Pot v grafu je hamiltonska, ce vsebuje vse tocke grafa natanko enkrat.
1.4 Teorija grafov 11
Slika 1.17: Poudarjene povezave so hamiltonska pot.
Cikel je hamiltonski, ce vsebuje vse tocke grafa natanko enkrat in sta zacetna in koncna
tocka poti enaki.
Slika 1.18: Poudarjene povezave so hamiltonski cikel.
Graf je hamiltonski, ce ima hamiltonski cikel.
1.5 Cayleyev graf 12
1.5 Cayleyev graf
Grupa je mnozica G z binarno operacijo ∗ : G→ G, ki ima naslednje lastnosti:
• G je zaprta za operacijo ∗, ∗ : G×G→ G.
• ∗ je asociativna operacija, ∀a, b, c ∈ G (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
• Obstaja enota, ∃e ∈ G, ∀a ∈ G e ∗ a = a ∗ e = a.
• Obstaja inverz, ∀a ∈ G ∃a−1 ∈ G a−1 ∗ a = a ∗ a−1 = e.
Generatorska mnozica grupe je taksna podmnozica, da lahko vsak element v grupi izrazimo
kot kombinacijo koncnega stevila elementov podmnozice.
Predpostavimo, da je G grupa in S mnozica generatorjev. Cayleyev graf Γ = Γ(G,S) je
barvno usmerjen graf (digraf) dolocen na naslednji nacin:
• Vsakemu elementu g ∈ G je dodeljeno vozlisce.
• Vsakemu generatorju s ∈ S je dodeljena barva cs.
• Za g ∈ G in s ∈ S, sta g in gs v povezavi z usmerjeno povezavo barve cs. Tako
mnozico povezav E(Γ) sestavljajo urejeni pari oblike (g, gs).
Mnozica S je pogosto koncna in simetricna, torej velja S = S−1, in ne vsebuje identitete.
V tem primeru je Cayleyev graf neusmerjen graf brez zank.
Zgled. Razlicni primeri Cayleyevih grafov
Grupo porojeno z enim samim elementom imenujemo ciklicna grupa.
• Denimo, da je G = Z neskoncna ciklicna grupa in mnozica S sestavljena iz generatorja
1, potem je Cayleyev graf neskoncna usmerjena pot.
Slika 1.19: Neskoncna pot.
1.5 Cayleyev graf 13
• Podobno, ce je G = Zn koncna ciklicna grupa reda n in mnozica S sestoji iz dveh
elementov, standardnega generatorja G in njegovega inverza, potem je Cayleyev graf
cikel Cn.
Zgled. Za G = Z6 in generator 1 oz 5, dobimo naslednja Cayleyeva grafa.
Z6 ={
0, 1, 2, 3, 4, 5} ⟨
1⟩
={
1, 2, 3, 4, 5, 0}
=⟨5⟩
Slika 1.20: Prvi Cayleyev graf doloca generator 1, drugi pa generator 5.
• Cayleyev graf direktnega produkta grup je kartezicni produkt ustreznih Cayleyevih
grafov. Tak Cayleyev graf je recimo Caylejev graf Abelove grupe Z2 z mnozico ge-
neratorjev, sestavljene iz stirih elementov (±1, 0),(0,±1). To je neskoncna mreza na
ravnini R2. Direktni produkt Zn × Zm s podobnimi generatorji da Cayleyev graf, ki
je mreza dimenzije n×m na torusu .
1.6 Permutaeder 14
1.6 Permutaeder
Permutaeder πn−1 ⊆ Rn, dimenzije n-1, je konveksni politop definiran kot konveksna ovoj-
nica vseh tock pridobljenih s permutacijami koordinat vektorja (1, 2, . . . , n). Mnozico vseh
takih tock oznacimo z Sn.
Dve tocki permutaedra sta sosedni, ce se razlikujeta za sosedni prenos. Na primer, 123 je
sosedna z 132, zaradi prenosa 23 in sosedna s 312, zaradi prenosa 12. Cikel je dolocen z
opredelitvijo vozlisca in zaporedih sosednih prenosov, na primer, ce zacnemo z vozliscem
123 in zaporedje 12-13-23-12-13-23, dobimo cikel 123-213-231-321-312-132-123.
Slika 1.21: Primer π2 in π3, skupaj z oznakami vozlisc.
1.6.1 Oglisca, robovi in lica
Permutaeder dimenzije (n − 1) ima n! oglisc, vsako od teh oglisc ima n − 1 sosedov, tako
da je skupno stevilo robov (n−1)n!2 . Vsak rob je dolzine
√2 in povezuje dve oglisci, ki se
razlikujeta za sosedni prenos-zamenjavo koordinat.
Permutaeder ima eno lice za vsako neprazno podmnozico S mnozice {1, 2, 3, ..., n}, ki jo
sestavljajo oglisca, v katerih so vse koordinate na mestih z S manjse od vseh koordinat na
mestih, ki niso v S. Tako je skupno stevilo lic enako 2n − 2.
1.6.2 Druge lastnosti
Permutaeder je vozliscno tranzitiven: simetricna grupa Sn deluje na permutaeder s per-
mutacijo koordinat. Permutaeder je zonotop; premik kopije permutaedra lahko generira
Minkowskijevo vsoto na n(n−1)2 daljicah, ki povezujejo pare standardnih baznih vektorjev.
Grah permutaedra je izomorfen Cayleyevemu grafu simetricne grupe Sn.
Poglavje 2
Graf permutaedra πn je
hamiltonski graf
S pomocjo matematicne indukcije bomo dokazali, da je πn hamiltonski graf za vsak n ≥ 2.
poiskali bomo hamiltonski cikel grafa πn, ki bo uporabil del hamiltonskega cikela grafa πn−1.
Izrek 2.1 Graf permutaedra πn je hamiltonski graf za (n ≥ 2).
Dokaz. Dokazimo, da je πn hamiltonski graf z matematicno indukcijo.
Baza indukcije: π2 je 6-cikel, torej hamiltonski graf.
Induktivna predpostavka: Recimo, da hamiltonski cikel povezujejo oglisca permutaedra
πn−1.
Induktivni korak: Uporabimo ta cikel za dokaz obstoja hamiltonskega cikla, ki povezuje
oglisca πn, n > 2.
Permutaeder πn ima (n+ 1)! oglisc, ki jih dolocajo permutacije stevil 1, 2, 3, . . . , n+1.
Ce je n = 4 dobimo naslednja oglisca za graf π3
1234 2134 3124 4123
1243 2143 3142 4132
1324 2314 3214 4213
1342 2341 3241 4231
1423 2413 3412 4312
1432 2431 3421 4321
15
16
Za n = 5 so oglisca od grafa π4 naslednja
12345 21345 31245 41235 51234
12354 21354 31254 41253 51243
12435 21435 31425 41325 51324
12453 21453 31452 41352 51342
12534 21534 31524 41523 51423
12543 21543 31542 41532 51432
13245 23145 32145 42135 52134
13254 23154 32154 42153 52143
13425 23415 32415 42315 52314
13452 23451 32451 42351 52341
13524 23514 32514 42513 52413
13542 23541 32541 42531 52431
14235 24135 34125 43125 53124
14253 24153 34152 43152 53142
14325 24315 34215 43215 53214
14352 24351 34251 43251 53241
14523 24513 34512 43512 53412
14532 24531 34521 43521 53421
15234 25134 35124 45123 54123
15243 25143 35142 45132 54132
15324 25314 35214 45213 54213
15342 25341 35241 45231 54231
15423 25413 35412 45312 54312
15432 25431 35421 45321 54321
Pri tem velja, da ima prvih 4! oglisc na seznamu (prvi stolpec v razpredelnici) prvo koor-
dinato enako 1, naslednjih 4! oglisc ima 2, itd. Podobno lahko razvrstimo oglisca v stolpce
za poljubno dimenzijo n.
Tako vsak stolpec predstavlja oglisca n− 1 dimenzionalnega lica politopa, katerega graf je
πn. Vsako od teh lic predstavlja πn−1. Oglisca, katerih prva koordinata je 1 poimenujemo
”lice 1“ permutaedra. Oglisca ki se zacnejo z k poimenujemo
”lice k“ permutaedra.
Po induktivni predpostavko, lahko povezemo oglisca lica 1 v hamiltonski cikel.
Povezimo oglisca vsakega od preostalih (n − 1)-dimenzionalnih permutaedrovih lic na po-
doben nacin. Pri tem pazimo, da je hamiltonski cikel vozlisc vsakega lica podan v istem
vrstnem redu (leksikografska ureditev glede na stolpec).
17
Zgled. Za π3
Slika 2.1: Vsako lice (stolpec v razpredelnici) je samo π2 in vsak cikel v vsakem licuima isto zaporedje prenosov 23-34-23-34-23-34-23 [3].
Zgled. Za π4
Slika 2.2: Vsako lice (stolpec v razpredelnici) je samo π3 in vsak cikel v vsakem licuima isto zaporedje prenosov 23-34-23-34-45-34-23-34-45-34-45-34-23-34-23-34-45-34-23-34-45-34-45-34 [3].
18
Zdruzimo hamiltonski cikel, ki povezuje vozlisca lica 1 s hamiltonskim ciklom vozlisc lica 2
in ustvarimo hamiltonski cikel ki poveze vse tocke s prvo koordinato 1 ali 2. Ce zelimo to
narediti, moramo poiskati povezavo, ki povezuje dve oglisci, katerih prvi dve koordinati sta
enaki 1 in 2; imenuje se 12a.
Vsako oglisce katerega permutacija, ki ga doloca, se zacne z 12 ima n sosedov. Od teh n−2,
ki se zacnejo z 12, eden se zacne s 21 in eden se zacne z 1 in druga stevilka ni 2. Hamiltonski
cikel, ki povezujejo vozlisca lica 1 ne zajema soseda s permutacijo, ki se zacne z 21, tako
zajame kvecjemu eno od povezav cikla 12a, ki vodi do vozlisca, katerih permutacija se ne
zacne z 12. Zato mora biti vsaj ena povezava hamiltonskega cikla 12a povezana do nekega
vozlisca 12b, katerega permutacija se zacne z 12. Odstranili bomo povezavo, ki povezuje
12a in 12b ter ustvarili povezavo, ki povezuje hamiltonski cikel lic 1 in 2.
Ker so vozlisca lica 2 povezana v istem vrstnem redu, kot vozlisca lica 1, par tock 21a in 21b
ustreza paroma tock 12a in 12b, ki sta povezana z hamiltonskim ciklom, ki povezuje vozlisca
lica 2. Brisanje povezav (12a, 12b) in (21a, 21b) in njihova nadomestitev z (12a, 21a) in
(12b, 21b) poveze dva hamiltonska cikla v en vecji hamiltonski cikel, ki povezuje vsa vozlisca
lic 1 in 2.
Slika 2.3: Konkretna ponazoritev povezave lica 1 in 2 v hamiltonski cikel z brisanjempovezav (1234, 1243) in (2134, 2143) in nadomestitev z povezavami (1234, 2134) in(1243, 2143).
Podobno velja za zdruzitev lica k z licem k+ 1 z zamenjavo povezav (kk+ 1 a, kk+ 1 b) in
(k + 1k a, k + 1k b) povezavo (kk + 1 a, k + 1k a) in (kk + 1 b, k + 1k b).
Upostevajmo, da sta lica k in k− 1 povezana z robovi, katerih vozlisca se zacnejo z k− 1, k
in k, k−1, te spremembe dajo cikel na licu k in ne vplivajo na izbiro povezave, ki je na voljo
za oblikovanje povezave iz vozlisc zacensi s k, k + 1, na teh zacetnih k + 1, k. Hamiltonski
cikel sestavljajo lica k te sestavljajo lica k + 1 za k je od 1 do n dobimo hamiltonski cikel
grafa πn.
19
Slika 2.4: Konstrukcija hamiltonskega cikla z razlicnimi lici.
Slika 2.5: Hamiltonski cikel grafa π4, ki nastane z zgornjo konstrukcijo [3].
Poglavje 3
Vse mozne razdalje med oglisci
permutaedra
3.1 Geometrija permutaedra
Poglejmo na mnozico P3 = {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)} kot na tocke
v R3. Ali imajo ta oglisca permutaedra kaksne posebne lastnosti? Po premisleku lahko
enostavno vidimo, da vse lezijo na ravnini x+y+z = 6. Prav tako lahko opazimo, da lezijo
na preseciscu te ravnine in sfere x2 + y2 + z2 = 14, kar pomeni, da lezijo na kroznici v 3-
dimenzionalnem prostoru. Poleg tega so tocke P3, oglisca pravilnega sestkotnika, vcrtanega
v kroznico. Tocke iz P3 so torej tocke pravilnega sestkotnika vcrtanega v kroznico, skupaj
z povezavami tvorijo 2-dimenzionalni objekt, ki se nahaja v 3-dimenzionalnem prostoru.
Razmislimo o podobni situaciji za P4, sklop 4-teric, ki ustrezajo 24 permutacijam na mnozici
{1, 2, 3, 4}. Permutaeder lezi na sferi, katere tocke so 4-terice. Permutaeder se torej lahko
obravnava kot 3-dimenzionalni objekt, ki se nahaja v 4-dimenzionalnem prostoru. Oglisca
permutaedra pripadajo preseciscu hiperravnine x+ y+ z+w = 10 in 4-dimenzionalne sfere
x2 + y2 + z2 + w2 = 30. Na splosno, ce je Pn mnozica tock v n-razseznem prostoru, ki
ustrezajo n! permutacijam na mnozici {1, 2, 3, ..., n} in tvorijo oglisca permutaedra, le te
lezijo na preseciscu z hiperravnino:
x1 + x2 + x3 + ...+ xn = n(n+1)2
in n-dimenzionalne sfere
x21 + x2
2 + x23 + ...+ x2
n = n(n+1)(2n+1)6 .
To pomeni, da lezijo na n− 1-dimenzionalni sferi, ki lezi v n-dimenzionalnem prostoru.
20
3.2 Okolica 21
Slika 3.1: Realizacija 3-dimenzionalnega permutaedra v R3. [8]
3.2 Okolica
Za ε ≥ 0, je ε-okolica, N(u, ε), tocke u mnozica tock N(u, ε) = {v ∈ Pn | d(u, v) ≤ ε}.Oglisca v P4 na sliki 3.1 so oznacena tako, da so bolj oddaljena od dolocenega oglisca tista,
ki se nahajajo v vecji ε-okolici oglisca.
Zgled. Izracun okolice tock iz P4
x = (2, 4, 1, 3) ∈ R4 y = (2, 3, 1, 4) ∈ R4
z = (4, 3, 1, 2) ∈ R4 w = (1, 3, 2, 4) ∈ R4
3.2 Okolica 22
d(x, y) =√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2 + (x4 − y4)2
d(x, y) =√
(2− 2)2 + (4− 3)2 + (1− 1)2 + (3− 4)2
=√
2
d(x,w) =√
(x1 − w1)2 + (x2 − w2)2 + (x3 − w3)2 + (x4 − w4)2
d(x,w) =√
(2− 1)2 + (4− 3)2 + (1− 2)2 + (3− 4)2
=√
4
d(x, z) =√
(x1 − z1)2 + (x2 − z2)2 + (x3 − z3)2 + (x4 − z4)2
d(x, z) =√
(2− 4)2 + (4− 3)2 + (1− 1)2 + (3− 2)2
=√
6
d(y, z) =√
(y1 − z1)2 + (y2 − z2)2 + (y3 − z3)2 + (y4 − z4)2
d(y, z) =√
(2− 4)2 + (3− 3)2 + (1− 1)2 + (4− 2)2
=√
8
Ce izberemo tocko (2,4,1,3), potem ε-okolica vkljucuje N(2413, ε) = {2413} za 0 ≤ ε <√
2,
N(2413, ε) = {2413, 3412, 2314, 1423} za√
2 ≤ ε <√
4,
N(2413, ε) = {2413, 3412, 2314, 1423, 1324} za√
4 ≤ ε <√
6,
N(2413, ε) = {2413, 3412, 2314, 1423, 1324, 4312, 3421, 1432, 3214} za√
6 ≤ ε <√
8.
Izraza√
4 in√
8 namenoma nista poenostavljena v 2 in 2√
2, ker razkrivata splosni vzorec.
Stevilo tock v ε-okolici poljubne tocke je videti popolnoma enako za poljubno tocko. Dejstvo,
da je ε-okolica neodvisna od opazovanega oglisca daje izhodisce za raziskavo razdalj med
oglisci v permutaedru.
3.3 Kvadrati razdalj 23
3.3 Kvadrati razdalj
V nadaljevanju bomo potrebovali naslednji dve enostavni lemi.
Lema 3.1 Ce je {d1, d2, d3, ..., dn} mnozica celih stevil tako, da je∑n
i=1 di = 0 potem je∑ni=1 d
2i celo stevilo.
Lema 3.2 Ce je X = {x1, x2, x3, ..., xn} mnozica realnih stevil, P = {xi1 , xi1 , xi3 , ..., xin}permutacija elementov iz X in dj = xj − xij za 1 ≤ j ≤ n, potem je
∑nj=1 dj = 0.
Zgled. X ={
12 , 2, 3,
14
}∈ R, P =
{14 , 3, 2,
12
}.
dj = xj − xijd1 = 1
2 − 14 = 1
4
d2 = 2− 3 = −1
d3 = 3− 2 = 1
d4 = 14 − 1
2 = −14∑4
j=1 dj = 14 + (−1) + 1 +
(−1
4
)= 0
Dokaz. Iz primera je razvidno, da vsak element iz mnozice X nastopi dvakrat, enkrat ima
pozitivni predznak drugic negativnega. Od tu sledi, da je vsota teh elementov enaka nic.
3.4 Inverzija na permutacijah 24
3.4 Inverzija na permutacijah
Naj bo f = (a1, a2, a3, ..., an−1, an) permutacija iz Sn. Par (ai, aj), kjer je ai > aj in i < j,
se imenuje inverzija f .
Z I(f) = {(ai, aj) | ai > aj in i < j} oznacimo vse inverzije permutacije f in z i(f) = |I(f)|,moc mnozice vseh inverzij.
Zgled. Naj bo f = (5, 6, 2, 1, 8, 7, 4, 3) permutacija S8. Potem je
I(f) = {(2, 1), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1),
(6, 2), (6, 3), (6, 4), (7, 3), (7, 4), (8, 3), (8, 4), (8, 7)} in
i(f) = |I(f)| = 15.
Naj bo f = (a1, a2, a3, ..., an−1, an) permutacija v Sn. Inverzija razlike za mnozico I(f) je
vsota dI(f) =∑
(x,y)∈I(f) (x− y)
Zgled. Naj bo f = (5, 6, 2, 1, 8, 7, 4, 3) permutacija S8. Potem je
dI(f) = (2− 1) + (4− 3) + (5− 1) + (5− 2) + (5− 3) + (5− 4) + (6− 1) + (6− 2)
+ (6− 3) + (6− 4) + (7− 3) + (7− 4) + (8− 3) + (8− 4) + (8− 7) = 43
3.5 Povezava med razdaljami in inverzijami 25
3.5 Povezava med razdaljami in inverzijami
Na prvi pogled se zdi, da imajo razdalje med permutacijami in njihove inverzije le malo
skupnega.
Lema 3.3 Naj bo f ∈ Sn in d2(f) kvadrat razdalje med f in identicno permutacijo i =
(1, 2, 3, ..., n− 1, n), potem je d2(f) = 2dI(f).
V lemi 3.3 je permutacija f ∈ Sn in oglisce v Pn obravnavano enako. Poleg tega je d(f, i)
krajse zapisano, kot d(f), saj so vse razdalje merjene od i. Pred dokazom leme 3.3 zapisimo
in dokazimo naslednjo lemo. Lema 3.3 bo posledica te leme.
Lema 3.4 Ce g ∈ Sn izpolnjuje d2(g) = 2dI(g) in f ∈ Sn, lahko dobimo iz g z zamenjavo
dveh zaporednih elementov v g, potem je d2(f) = 2dI(f).
Dokaz. Recimo, da f nastane iz g z zamenjavo i in j, ki se nahajata na koordinatah k
in k + 1. Ce je i < j, se inverzija razlike povecala za j − i, dI(f) = dI(g) + j − i, ce je
i > j se inverzija razlike zmanjsa za i− j, dI(f) = dI(g) − (i− j). V obeh primerih dobimo
dI(f) = dI(g) + j − i. Sedaj si poglejmo kako se spreminjajo kvadrati evklidske razdalje. Pri
tem velja:
d2(f) = d2(g) + (k − j)2 − (k − i)2 + (k + 1− i)2 − (k + 1− j)2
= d2(g) + k2 − 2kj + j2 − k2 + 2ki− i2 + k2 + 1 + i2 + 2k
− 2ki− 2i− k2 − 1− j2 − 2k + 2kj + 2j = d2(g) + 2j − 2i
= d2(g) + 2(j− i).
Ker g izpolnjuje d2(g) = 2dI(g) dobimo:
d2(f) = 2dI(g) + 2(j − i) = 2(dI(g) + j − i
)= 2dI(f).
Dokaz. (lema 3.3) Zacensi z identicno permutacijo i imamo d2(i) = 2dI(i) = 0. Poljubna
permutacija f razlicna od i se lahko dobi iz i z zaporedjem menjav zaporednih elementov.
Ponavljajoca uporaba leme za vmesne permutacije g v zaporedju pripelje na koncu do
zelenega rezultata d2(f) = 2dI(f), kar dokazuje lemo 3.3.
3.6 Iskanje vseh razdalj 26
3.6 Iskanje vseh razdalj
Za iskanje razdalj so v clanku [6] uporabili program Mathematica [9]. Uporabljena je bila
za racunanje razdalj v primerih, n = 4, 5, 6, 7, 8 in 9. S pomocjo teh rezultatov so izpeljali
splosno ugotovitev.
Podatki so pokazali, da permutacije oblike (a1, a2, a3, a4, 5), kjer je 5 fiksna tocka, generirajo
razlicne kvadrate razdalj 0, 2, 4, ..., 20. Preureditev podatkov izloci permutacije oblike
(5, a2, a3, a4, a5), ki dajo preostale kvadrate razdalj 22, 24, 26, ..., 40.
Izrek 3.5 Za n ≥ 4 so razlicne vrednosti inverzije razlike za permutacijo Sn enake{0, 1, 2, ...,
(n+1
3
)}.
Dokaz. Za n = 4 so v clanku [3] s pomocjo programa Mathematica preverili resnicnost
trditve. Naj bo v nadaljevanju n ≥ 5 in upostevamo vse permutacije f ∈ Sn oblike f =
(a1, a2, a3, ..., an−1, n). Vse take permutacije dolocajo permutacije g = (a1, a2, a3, ..., an−1) ∈Sn−1. Poleg tega je vrednost inverzije razlike Id(f) enaka vrednosti inverzije razlike Id(g)
(inverziji sta enaki, ker n ne vpliva na inverzijo, ker je na koncu in najvecji). Ce upostevamo
vse permutacije f ∈ Sn oblike f = (n, a2, a3, ..., an−1, an), lahko vrednost inverzije razlike f
zapisemo kot
dI(f) =n∑
i=2
(n− ai)︸ ︷︷ ︸n je najvecji in od njega lahko odstejemo vse od a2 do an
+∑
2≤i<j
(ai − aj)︸ ︷︷ ︸ostali cleni - inverzija razlike
Za razliko ai− aj , ki se pojavi v drugi vsoti velja ai > aj . Vrednosti ai in aj se uporabljata
za izracun razlike v obeh vsotah. Torej, najprej izracunamo prvo vsoto vseh (pozitivnih)
razlik n− i. Vrednost prve vsote je(n2
)(vsota pozitivne razlike prvih n stevil).
Razlika ai − aj , ki se pojavi v drugi vsoti uporabi vrednosti ai in aj , kjer je ai > aj . Zato
druga vsota ustreza inverziji razlike za permutacijo g ∈ Sn−1, posledicno za vsak f ∈ Snoblike f = (n, a2, a3, ..., an−1, an) velja
dI(f) =
(n
2
)︸︷︷︸
prva vsota
+ dI(g)︸︷︷︸druga vsota
Po indukcijski predpostavki, so razlicne vrednosti, inverzije razlike dI(g) za vsak g ∈ Sn−1
0, 1, 2, ... ,( Sn−1︷ ︸︸ ︷n− 1 +1
3
). Tako obstajajo permutacije gi v Sn, za 1 ≤ i ≤
(n2
), tako da je
3.6 Iskanje vseh razdalj 27
dI(gi) =(n3
)−(n2
)+ i (ce pogledamo pogoj za i vidimo, da lahko dobimo najvec
(n2
)kar pa
ustreza izbrani mnozici). Permutacije gi ustrezajo permutacijam fi v Sn, za 1 ≤ i ≤(n2
),
tako da je
dI(f) =(n2
)+ dI(g)
dI(fi) =(n2
)+ dI(gi)
dI(fi) =(n2
)+(n3
)−(n2
)+ i
dI(fi) =(n3
)+ i.
Poglavje 4
Asociaeder
Naj bo G koncni graf. Cev je neprazna mnozica vozlisc G, ki inducirajo povezan podgraf
G. Za dve cevi u1 in u2 definiramo
(a) cevi sta ugnezdeni, ce je u1 ⊂ u2,
(b) cevi se sekata, ce velja u1 ∩ u2 6= ∅ in u1 6⊂ u2 in u2 6⊂ u1,
(c) cevi sta sosedni, ce velja u1 ∩ u2 = ∅ in u1 ∪ u2 je cev v G.
Cevi so skladne, ce se ne sekajo in niso sosedne. Veljavna mnozica cevi grafa G je mnozica
cevi, kjer nobeni dve cevi nista sosedni in se ne sekata.
Za nepovezan graf G s povezanimi komponentami G1, ..., Gk potrebujemo dodaten pogoj:
ce je ui cev iz G, ki se nahaja v Gi potem vsaka veljavna mnozica cevi G ne vsebuje vseh
cevi {u1, ..., uk}. Tako lahko veljavna mnozica cevi grafa G z n vozlisci vsebuje najvec n−1
cevi.
a b c
d e
(B)(A)
Slika 4.1: (A) primeri veljavnih mnozic cevi, (B) primeri neveljavnih mnozic cevi
Sliki 4.1 (B) prikazuje neveljavne mnozice cevi. Primer a je neveljavna mnozica cevi, ker
se cevi sekata. V primeru b in c sta cevi sosedni. Primera d in e sta neveljavna, ker sta
nepovezana grafa in ne zadoscata dodatnemu pogoju.
28
29
Za graf G je grafovski asociaeder PG enostaven konveksni politop katerega delno urejena
mnozica lic je izomorfna mnozici cevi grafa G urejenih tako, da je U ≺ U ′, ce U dobimo iz
U ′ z dodajanjem cevi.
Naj bo G graf z n vozlisci in naj bo MG maksimalna mnozica cevi grafa G, kjer vsaka
mnozica cevi U iz MG vsebuje n−1 cevi (oglisca politopa PG so v bijekciji z elementi MG).
Naj bo t(v) najmanjsa cev iz U , ki vsebuje v. Ce ni cevi v U , ki vsebuje v potem naj bo
t(v) celotni graf G.
Definirajmo preslikavo fU iz vozlisc grafa G na cela stevila. Ce je v = t(v) potem je
fU (v) = 0, za vsa ostala vozlisca v iz G funkcija fU zadosca rekurzivnemu pogoju:
fU (v) =∑
vi∈t(v)
fU (vi) = 3|t(v)|−2
iz katerega lahko izracunamo vrednosti.
a b c
v1 v2
v3v4
v1v1
v1
v1v1
d e f
v2 v2v2v2
v2
v3 v3v3
v3
v3
v4 v4 v4
v4 v4
0 1
2
6
0
0
0
9
0
0
3
6
1 080 1 080 9 000
Slika 4.2: Stevilske vrednosti vozlisc v povezavi z mnozico cevi
Zgled. Izracun stevilskih vrednosti vozlisc
Primer a:
fU (v1) = v1 = 0
fU (v2) =∑
vi∈t(v2)={v1,v2} fU (vi) =
0︷ ︸︸ ︷fU (v1) +fU (v2) = 32−2
fU (v2) = 1
fU (v3) =∑
vi∈t(v3)={v1,v2,v3} fU (vi) =
0︷ ︸︸ ︷fU (v1) +
1︷ ︸︸ ︷fU (v2) +fU (v3) = 33−2
fU (v3) = 2
fU (v4) =∑
vi∈t(v4)={v1,v2,v3,v4} fU (vi) =
0︷ ︸︸ ︷fU (v1) +
1︷ ︸︸ ︷fU (v2) +
2︷ ︸︸ ︷fU (v3) +fU (v4) = 34−2
fU (v4) = 6
30
Primer b:
fU (v1) = v1 = fU (v3) = v3 = fU (v4) = v4 = 0
fU (v2) =∑
vi∈t(v2)={v1,v2,v3,v4} fU (vi) =
0︷ ︸︸ ︷fU (v1) +fU (v2) +
0︷ ︸︸ ︷fU (v3) +
0︷ ︸︸ ︷fU (v4) = 34−2
fU (v2) = 9
Primer c:
fU (v1) = v1 = fU (v3) = v3 = 0
fU (v2) =∑
vi∈t(v2)={v1,v2,v3} fU (vi) =
0︷ ︸︸ ︷fU (v1) +
0︷ ︸︸ ︷fU (v3) +fU (v2) = 33−2
fU (v2) = 3
fU (v4) =∑
vi∈t(v4)={v1,v2,v3,v4} fU (vi) =
0︷ ︸︸ ︷fU (v1) +
3︷ ︸︸ ︷fU (v2) +
0︷ ︸︸ ︷fU (v3) +fU (v4) = 34−2
fU (v4) = 6
Primer d:
fU (v2) = v2 = fU (v4) = v4 = 0
fU (v1) =∑
vi∈t(v1)={v1,v2} fU (vi) =
0︷ ︸︸ ︷fU (v2) +fU (v1) = 32−2
fU (v1) = 1
fU (v3) =∑
vi∈t(v3)={v1,v2,v3,v4} fU (vi) =
1︷ ︸︸ ︷fU (v1) +
0︷ ︸︸ ︷fU (v2) +
0︷ ︸︸ ︷fU (v4) +fU (v3) = 34−2
fU (v3) = 8
Primer e:
fU (v2) = v2 = fU (v4) = v4 = 0
fU (v1) =∑
vi∈t(v1)={v1,v2} fU (vi) =
0︷ ︸︸ ︷fU (v2) +fU (v1) = 32−2
fU (v1) = 1
fU (v3) =∑
vi∈t(v3)={v1,v2,v3,v4} fU (vi) =
1︷ ︸︸ ︷fU (v1) +
0︷ ︸︸ ︷fU (v2) +
0︷ ︸︸ ︷fU (v4) +fU (v3) = 34−2
fU (v3) = 8
Primer f:
fU (v2) = v2 = fU (v3) = v3 = fU (v4) = v4 = 0
fU (v1) =∑
vi∈t(v1)={v1,v2,v3,v4} fU (vi) = fU (v1) +
0︷ ︸︸ ︷fU (v2) +
0︷ ︸︸ ︷fU (v3) +
0︷ ︸︸ ︷fU (v4) = 34−2
fU (v1) = 9
31
Naj bo G graf z vozlisci v1, ..., vn. Definirajmo preslikavo c : MG −→ Rn kjer je U ∈MG
c(U) = (fU (v1), fU (v2), ..., fU (vn))
Izrek 4.1 Naj bo G graf z n vozlisci. Potem je konveksna ovojnica tock c(MG) v Rn enaka
grafovskemu asociaedru PG.
Dokaz. Obravnavajmo hiperravnino H iz Rn definirano z enacbo
n∑i=1
xi = 3n−2.
Presek kvadranta {x1, ..., xn | xi ≥ 0} s H je enak standardnemu (n− 1)-simpleksu ∆. Naj
bo u cev iz G, ki ima k vozlisc, kar ustreza (n− 1− k) dimenzionalnim licem simpleksa ∆,
ki so hiperravnine, dolocene z enacbo
∑vi∈u
xi = 0
v Rn omejeno na ∆. Povezavi u priredimo polprostor hu, definiran kot
∑vi∈u
xi ≥ 3k−2.
Trdimo, da je presecisce teh polprostorov z ∆, kjer je vsak polprostor dolocen z eno cevjo,
enako PG. V nadaljevanju dokaza se bomo sklicevali tudi na izrek 4.2, ker so po tem izreku
lica ∆ okrnjena. Okrnitev je operacija v kateri koli dimenziji, ki odreze oglisca politopa in
na mestih oglisc ustvarja nova lica.
Izrek 4.2 Za dani graf G, okrnjena lica ∆ ustrezajo cevem iz G v narascajocem zaporedju
dimenzije v realizaciji PG. Dokaz izreka je podan v [2, poglavje 2].
Naj bo p vozlisce iz PG, ki ga doloca maksimalna mnozica cevi U iz G.
1. Ce je cev u ∈ U , potem mora p lezati na preseku ∆ in hiperravnine, ki jo doloca hu.
2. Ce je cev u 6∈ U , potem mora p lezati na preseku ∆ in v notranjosti polprostora hu.
4.1 Primeri 32
Prvi pogoj je izpolnjen s konstrukcijo koordinat vozlisc PG dolocenih z enacbo fU (v) =∑vi∈t(v) fU (vi) = 3|t(v)|−2. Pokazati moramo, da ce u 6∈ U potem je∑
vi∈ufU (vi) > 3k−2.
Vsakemu vozliscu v iz G mnozica U dodeli najmanjso cev t(v) iz U , ki vsebuje v. Trdimo,
da obstaja vozlisce v∗ iz cevi u tako, da je u ⊂ t(v∗). Predpostavimo nasprotno, za vsako
vozlisce v1 iz u velja u 6⊂ t(v1) torej lahko izberemo vozlisce v2 iz u\ t(v1) sosedno z t(v1) (ta
sosednost je mogoca, ker je u cev G). Iz sosednosti v2 skupaj z dejstvom, da je U mnozica
cevi, sledi t(v1) ⊂ t(v2). Nadaljujemo na podoben nacin in izberemo vozlisce vi+1 iz u\ t(vi)sosedno z t(vi). Rezultat tega je ugnezdeno zaporedje t(v1) ⊂ t(v2) ⊂ ... ⊂ t(vi+1). Ker bo
ta proces zajel vsa vozlisca iz cevi u, mora obstajati vozlisce v∗, tako da je u ⊂ t(v∗).Ker velja u 6∈ U je u prava podmnozica t(v∗) iz cesar sledi |t(v∗)| ≥ k + 1. Potem dobimo
∑vi∈u
fU (v1) ≥ fU (v∗) =∑
vi∈t(v∗)
fU (vi)−∑
vi∈t(v∗)−v∗
fU (vi)
≥ 3|t(v∗)|−2 − 3|t(v∗)|−3 = 2 · 3|t(v∗)|−3 ≥ 2 · 3(k+1)−3 > 3k−2.
S tem smo dokazali, da je izpolnjena lastnost 2 in pogoji izreka 4.2, s cimer je zakljucen
dokaz izreka 4.1.
4.1 Primeri
Simpleks: Naj bo G graf z n vozlisci. Mnozica MG maksimalne mnozice cevi ima n elemen-
tov, vsaka ustreza izbiri n − 1 od moznih n vozlisc. Elementom iz MG bo dodeljena tocka
v Rn, sestavljena iz nicel za vse koordinate razen ene, ki ima vrednost 3n−2. Tako je PGkonveksna ovojnica n vozlisc v Rn enaka (n− 1)-simpleksu.
4.1 Primeri 33
Slika 4.3: Simpleks kot rezultat maksimalne mnozice cevi (n=3).
Permutaeder : Naj bo G polni graf z n vozlisci. Vsako maksimalno mnozico cevi je mogoce
razumeti kot zaporedje n vozlisc. Z drugimi besedami, so bijekcija z permutacijami na n
oznakah. Elementom iz MG bodo dodeljene koordinatne vrednosti na podlagi vseh permu-
tacij{
0, 1, 31 − 30, ..., 3n−2 − 3n−3}
. Po izreku 4.1 je PG konveksna ovojnica n! vozlisc v
Rn, kar ustreza permutaedru.
x
y
z2 0
1
2 1
0
1 2
0
0 2
1
0 1
2
1 0
2
(1, 0, 2)
(2, 0, 1)
(2, 1, 0)
(0, 0, 0)
(1, 2, 0)
(0, 2, 1)
(0, 1, 2)
Slika 4.4: Permutaeder kot rezultat maksimalne mnozice cevi (n=3).
n-to Catalanovo stevilo je definirano kot:
Cn =1
n+ 1
(2n
n
)Catalanova stevila so podana tudi z rekurzivno relacijo
C0 = 1 Cn =∑n−1
i=0 CiCn−1−i
n-to Catalanovo stevilo je enako:
1. Stevilo razlicnih nacinov postavitve oklepajev med n+ 1 faktorjev. Na primer n = 3,
torej imamo 4 faktorje in 5 razlicnih postavitev oklepajev.
a(b(cd)) a((bc)d) (ab)(cd) (a(bc))d ((ab)c)d
4.1 Primeri 34
2. Cn je enako tudi stevilu razlicnih nacinov delitve mnogokotnika z n+ 2 stranicami v
trikotnike, ce povezemo njegova oglisca z ravnimi crtami.
n = 2
C2 = 2
n = 3
C3 = 5
Slika 4.5: Primera povezave med Catalonovim stevilom in delitev mnogokotnika natrikotnike.
3. Stevilo binarnih dreves z natanko n+ 1 listi.
n = 2
C2 = 2
n = 3
C3 = 5
Slika 4.6: Primera povezave med Catalonovim stevilom in binarnimi drevesi.
Ravninsko binarno drevo je povezano usmerjeno drevo, tako da ima vsako vozlisce bodisi
nic ali dva potomca. Vozlisca z nic potomci imenujemo listi, vozlisca z dvema potomcema
pa notranja vozlisca.
Zgled. Ravninska binarna drevesa za n = 0, 1, 2, 3
Y0 = {} Y1 = { } Y2 = { , }, ,
Y3 = { , , , , }
Slika 4.7: Ravninska binarna drevesa.
4.1 Primeri 35
Naj bo Yn mnozica ravninskih binarnih dreves z n+ 1 listi.
Celo stevilo n se imenuje stopnja t ∈ Yn. Oznacimo liste od t od leve proti desni s 0, 1, ....
Potem oznacimo notranje vozlisce z 1, 2,.... i-to vozlisce je tisto, ki je med listi i− 1 in i. Z
ai oz. bi oznacujemo stevilo listov na levi oz. desni strani i-tega vozlisca. Produkt aibi se
imenuje teza i-tega vozlisca. Drevesa t ∈ Yn povezujemo s tocko M(t) ∈ Rn, katerega i-ta
koordinata je teza i-tega vozlisca in je enako:
M(t) = (a1b1, ..., aibi, ..., anbn)
ai - listi (vozlisce stopnje 1) na levi strani i-tega vozlisca
bi - listi na desni strani i-tega vozlisca
M ( ) = (1), , ,M ( ) = (1, 2) M ( ) = (2, 1)
M ( ) = (1, 2, 3) M ( ) = (1, 4, 1),
Slika 4.8: Teza i-tega vozlisca M(t).
Po vseh teh definicijah lahko definiramo asociaeder Kn−1 kot konveksni politop, ki je enak
konveksni ovojnici M(t) ∈ Rn.
Kn−1 = conv {M(t); t ∈ Yn}
Asociaeder : Naj bo G pot na n vozliscih. Stevilo maksimalnih mnozic cevi je v bijekciji
s Catalanovimi stevili 1n+1
(2nn
). Po izreku 4.1 je konveksna ovojnica teh tock v Rn enaka
(n− 1) dimenzionalnemu asociaedru.
(1, 0, 2)
(2, 0, 1)
(2, 1, 0)
(0, 0, 0)(0, 3, 0)
(0, 1, 2)
x y z12 0 12 0 01 2 10 2 30 0
(2, 1, 0) (2, 0, 1) (1, 0, 2) (0, 1, 2) (0, 3, 0)(0, 0, 0)
Slika 4.9: Asociaeder kot rezultat maksimalne mnozice cevi (n=3).
Literatura
[1] S. L. Devadoss, A realization of graph-associahedron. Dostopno na naslovu:
http://web.williams.edu/go/math/devadoss/files/realization.pdf. (citirano
19. 05. 2011 )
[2] S. L. Devadoss, M. Carr, Coxeter complexes and graph-associahedra. Dostopno na na-
slovu: http://web.williams.edu/go/math/devadoss/files/graphassoc.pdf. (ci-
tirano 19. 05. 2011)
[3] M. El-Hashash, The Permutahedron πn is Hamiltonian, Int. J. Contemp. Math. Scien-
ces 4 (2009), 31-39.
[4] Jean-Louis. Loday, Associahedron. Dostopno na naslovu:
http://www.claymath.org/programs/outreach/academy/LectureNotes05/Loday.pdf.
(citirano 20. 05. 2011)
[5] M. Pugelj, Konveksne mnozice in poliedri. Dostopno na naslovu:
http://www.fmf.uni-lj.si/ juvan/Racunalnistvo3/0809/gradivo/konveksnost.pdf
(citirano 10. 04. 2011)
[6] J. Santmyer, For all possible distances look to the permutohedron, Mathematics Ma-
gazine 80, 120–125 (2007).
[7] G. Ziegler, Lectures on polytopes, Springer-Verlag, New York, 1998, druga izdaja.
[8] Wikipedija, Permutohedron. Dostopno na naslovu:
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Permutohedron.svg (citirano 03. 04. 2011)
[9] Wolfram, Mathematica. Dostopno na naslovu: www.wolfram.com/mathematica/. (ci-
tirano 12. 06. 2011 )
36