dinh ly gioi han toan

8/16/2019 Dinh Ly Gioi Han Toan

http://slidepdf.com/reader/full/dinh-ly-gioi-han-toan 1/91

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹oTR−êng ®¹i häc vinh

---------------------------

NGUYÔN v¡N HuÊn

C¸C §ÞNH Lý GiíI H¹N D¹NG LUËT Sè LíN

§èi víi !ng c¸c "i#n ng$% nhi&n

LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n hc

'inh - ()**



Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹oTR−êng ®¹i häc vinh

---------------------------

NGUYÔN v¡N HuÊn

C¸C §ÞNH Lý GiíI H¹N D¹NG LUËT Sè LíN

§èi víi !ng c¸c "i#n ng$% nhi&n

LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n hc

Chuyªn ngµnh: Lý thuyÕt x¸c suÊt vµ Thèng kª to¸n häc

M· sè: 62. 46. !. "

Ng!"i h!#ng d$n %ho& hc' (gs) ts) Ngu*Ôn v+n ,u-ng

'inh - ()**



i

LI CAM ĐOAN

Lun án này đưc hoàn thành ti Trưng Đi hc Vinh, dưi s

hưng dn ca PGS. TS. Nguyn Văn Qung. Tôi xin cam đoan đây là

công trình nghiên cu ca tôi. Các kt qu trong lun án là trung thc,

đưc các đng tác gi cho phép s dng và chưa tng đưc ai công b

trưc đó.

Tác gi

Nguyn Văn Hun



ii

LI CM ƠN

Lun án này đưc hoàn thành dưi s hưng dn đy trách nhim

ca PGS. TS. Nguyn Văn Qung. Tác gi xin đưc bày t lòng bit ơn

sâu sc ti Thy, ngưi đã đt bài toán, hưng dn, giúp đ tn tình,

chu đáo trong sut quá trình tác gi hc tp và thc hin lun án.

Trong quá trình hoàn thành lun án, tác gi đã nhn đưc s quan

tâm và góp ý ca PGS. TS. Trn Xuân Sinh, TS. Nguyn Trung Hòa,PGS. TS. Đinh Huy Hoàng, PGS. TS. Nguyn Thành Quang, TS. Lê

Hng Sơn, TS. Vũ Th Hng Thanh, TS. Thái Doãn Chương, TS. Nguyn

Văn Dũng, TS. Trn Giang Nam, HVCH Nguyn Trn Thun,... cùng

các nhà khoa hc và bn bè đng nghip. Tác gi xin chân thành cm

ơn v nhng s giúp đ quý báo đó.

Tác gi xin gi li cm ơn ti PGS. TS. Andrei Volodin (Đi hc

Regina, Canada) vì s cng tác vit bài báo, s giúp đ v tài liu

nghiên cu và tho lun nhng bài toán có liên quan.

Tác gi xin đưc gi li cm ơn ti:

- Khoa Toán hc, Khoa Sau đi hc, Trưng Đi hc Vinh

- Khoa Toán hc, Trưng Đi hc Đng Tháp

- Khoa Toán - ng dng, Trưng Đi hc Sài Gòn

v s h tr và to mi điu kin thun li đ tác gi hoàn thành nhimv ca mt nghiên cu sinh.

Cui cùng, tác gi xin bày t lòng bit ơn ti gia đình và nhng ngưi

bn thân thit đã luôn giúp đ và đng viên tác gi trong sut quá trình

hc tp.

Nguyn Văn Hun



iii

MC LC

Mt s ký hiu thưng dùng trong lun án 1

M đu 2

Chương 1. Mng hiu martingale và mt s bt đngthc moment 9

1.1. Các kin thc chun b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Mng hiu martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3. Mt s bt đng thc moment . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4. Kt lun ca Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Chương 2. Lut yu s ln đi vi mng phù hpvà mng phù hp theo hàng 282.1. Lut yu s ln đi vi mng phù hp . . . . . . . . . . . . . 28

2.2. Lut yu s ln đi vi mng phù hp theo hàng . . . . . . . 41

2.3. Kt lun ca Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Chương 3. Lut mnh s ln đi vi mng các binngu nhiên 473.1. Các khái nim và kt qu b tr . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2. Lut mnh s ln đi vi mng các bin ngu nhiên . . . . .

cho trưng hp n → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3. Lut mnh s ln đi vi mng các bin ngu nhiên . . . . .

cho trưng hp |n| → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4. Kt lun ca Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Kt lun chung và kin ngh 78

Danh mc công trình liên quan trc tip đn lun án 79

Tài liu tham kho 80



1

MT S KÝ HIU

THƯNG DÙNG TRONG LUN ÁN

N tp hp các s nguyên dươngN0 tp hp các s t nhiênR tp hp các s thcx := y x đưc đnh nghĩa bng yn phn t n := (n1, n2,...,nd)

∈Nd

01 phn t 1 := (1, 1,..., 1) ∈ Nd

n − 1 phn t n − 1 := (n1 − 1, n2 − 1,...,nd − 1) ∈ Nd02n phn t 2n := (2n1, 2n2,..., 2nd) ∈ Nd

α phn t α := (α1, α2,...,αd) ∈ Rd

αmin giá tr αmin := minαi : i = 1, 2,...,d|n(α)| giá tr |n(α)| := nα11 nα22 ...nαdd|n| giá tr |n| := |n(1)| = n1n2...ndn → ∞ ni → ∞ vi mi i = 1, 2,...,d

m n mi ni vi mi i = 1, 2,...,dm ≺ n mi < ni vi mi i = 1, 2,...,d∆(m) ∆(m) := k : 2m k ≺ 2m+1bn sai phân ca mng bn, n ∈ Nd ti n ∈ Nd

E không gian Banach thc và kh lyx chun ca phn t x ∈ E

B (E) σ-đi s Borel ca E(Ω, F ,P) không gian xác sutEX kỳ vng ca bin ngu nhiên X

I (A) hàm ch tiêu ca tp hp Ah.c.c. hu chc chntr. i trang th i trong tài liu đưc trích dn kt thúc chng minh



2

M ĐU

1. Lý do chn đ tài

1.1. Lut s ln nói riêng, các đnh lý gii hn trong lý thuyt xác sut

nói chung đã đưc nhiu nhà toán hc quan tâm nghiên cu. Lut s

ln có nhiu ng dng trong thng kê, kinh t, y hc và mt s ngành

khoa hc thc nghim khác. Chính vì vy, vic nghiên cu lut s ln

không ch có ý nghĩa lý thuyt mà còn có ý nghĩa thc tin to ln.

1.2. A. N. Kolmogorov là ngưi xây dng lý thuyt xác sut bng phương

pháp tiên đ và đã thit lp lut s ln ni ting mang tên ông. Lut

s ln đi vi dãy các bin ngu nhiên tip tc đưc nhiu nhà toán

hc như J. Marcinkiewicz, A. Zygmund, H. D. Brunk, Y. V. Prokhorov,

K. L. Chung, W. Feller,... quan tâm nghiên cu. Cho đn nay, nghiên

cu lut s ln vn là mt vn đ có tính thi s ca lý thuyt xác sut.

1.3. Đi vi mng các bin ngu nhiên, cu trúc nhiu chiu ca tp

các ch s làm ny sinh nhiu vn đ. Trên tp các ch s, quan h th

t thông thưng không có tính cht tuyn tính; ta có th xây dng các

quan h th t khác nhau; các dng hi t có th đưc xét khi max hoc

min ca các ta đ tin ti vô cùng... Các đc đim đó góp phn to nên

tính đa dng ca các kt qu nghiên cu v lut s ln đi vi mng cácbin ngu nhiên.

1.4. Các lut s ln c đin ch yu tp trung nghiên cu cho dãy mt

ch s các bin ngu nhiên đc lp và nhn giá tr thc. Mt hưng phát

trin các lut s ln c đin là nghiên cu v lut s ln đi vi dãy

và mng các bin ngu nhiên nhn giá tr trong không gian Banach.

Các kt qu theo hưng nghiên cu này thưng có mi liên h cht ch



3

vi lý thuyt hình hc Banach và to ra s giao thoa gia lý thuyt xác

sut và gii tích hàm.

Vi các lý do nêu trên, chúng tôi chn đ tài nghiên cu cho lun án

ca mình là: “Các đnh lý gii hn dng lut s ln đi vi mngcác bin ngu nhiên” .

2. Mc đích nghiên cuMc đích ca lun án là thit lp các đnh lý gii hn dng lut s ln

đi vi mng các bin ngu nhiên nhn giá tr trong không gian Banach

cho các trưng hp: có hoc không có điu kin v cu trúc ca mng

các bin ngu nhiên và có hoc không có điu kin hình hc ca không

gian Banach.

3. Đi tưng nghiên cuLut s ln đi vi mng các bin ngu nhiên.

4. Phm vi nghiên cuLun án tp trung nghiên cu các đnh lý gii hn dng lut s ln

cho mng các bin ngu nhiên bt kỳ nhn giá tr trong không gian

Banach thc và kh ly, mng phù hp, mng hiu martingale và mng

hiu martingale theo khi nhn giá tr trong không gian Banach p-kh

trơn, mng các bin ngu nhiên đc lp, đc lp theo khi và mng

các bin ngu nhiên p-trc giao theo khi nhn giá tr trong không gian

Banach Rademacher loi p.

5. Phương pháp nghiên cuChúng tôi s dng phương pháp nghiên cu lý thuyt trong khi thc

hin đ tài. V mt k thut, chúng tôi s dng ba phương pháp cơ

bn trong chng minh lut s ln. Đó là phương pháp cht ct, phương

pháp s dng bt đng thc cc đi dng bt đng thc Hájek-Rényi

và phương pháp dãy con.



4

6. Ý nghĩa khoa hc và thc tinCác kt qu ca lun án góp phn làm phong phú thêm cho hưng

nghiên cu v các đnh lý gii hn trong lý thuyt xác sut.

Lun án là tài liu tham kho cho sinh viên, hc viên cao hc và

nghiên cu sinh chuyên ngành Lý thuyt xác sut và Thng kê toán hc.

7. Tng quan và cu trúc lun án

7.1. Tng quan v lun ánLut yu s ln đu tiên đưc chng minh bi mt nhà toán hc

ngưi Thy S là J. Bernoulli, kt qu này đưc công b vào năm 1713

khi ông đã qua đi. V sau, lut yu s ln ca J. Bernoulli đưc m

rng bi S. D. Poisson, J. Bienaymé, P. L. Chebyshev, A. A. Markov và

A. Y. Khinchin. Tuy nhiên, phi đn năm 1909 thì lut mnh s ln mi

đưc mt nhà toán hc ngưi Pháp là E. Borel phát hin và kt qu

này đã đưc A. N. Kolmogorov hoàn thin (xem [1], [19]). Mt trong

nhng kt qu khá sm v lut mnh s ln là đnh lý ca F. P. Cantelli(xem [42]). Đnh lý này phát biu rng: Nu dãy các bin ngu nhiên

X n, n 1 đc lp và tha mãn điu kin∞n=1

1

n2

ni=1

E(X i − EX i)4 + ni=1

E(X i − EX i)22

< ∞

thì xy ra lut mnh s ln

1n

ni=1

(X i − EX i) → 0 h.c.c. khi n → ∞.

A. N. Kolmogorov đã thay th điu kin đưc đ cp trong đnh lý ca

F. P. Cantelli bi điu kin ∞n=1 E(X n − EX n)

2/n2 < ∞. Đng thi,

A. N. Kolmogorov ch ra rng nu X n, n 1 là mt dãy các bin ngu

nhiên đc lp, cùng phân phi thì điu kin cn và đ đ có lut mnh

s ln là các bin ngu nhiên đó có moment tuyt đi bc mt hu hn.

Sau đó, kt qu này đã đưc J. Marcinkiewicz và A. Zygmund m rng.



5

Mt hưng phát trin các lut s ln c đin là nghiên cu v lut s

ln đi vi mng các bin ngu nhiên. Đi vi mng các bin ngu nhiên

nhn giá tr thc, R. T. Smythe [59] đã chng minh lut mnh s lnKolmogorov; lut s ln Marcinkiewicz-Zygmund cũng đã đưc nghiên

cu bi A. Gut [15], A. Gut và U. Stadtmuller [18], D. H. Hong và

S. Y. Hwang [24], D. H. Hong và A. Volodin [26], E. B. Czerebak-

Mrozowicz, O. I. Klesov và Z. Rychlik [7]. Lut yu s ln đi vi mng

các bin ngu nhiên nhn giá tr trong không gian Banach đã đưc nhiu

tác gi quan tâm. Mt s kt qu theo hưng nghiên cu này thuc vL. Zhang [67], D. H. Hong, M. Ordónez Cabrera, S. H. Sung và A. Volodin

[25], A. Rosalsky và M. Sreehari [51], A. Rosalsky và A. Volodin [55].

Gn đây, lut mnh s ln đi vi mng các bin ngu nhiên nhn giá tr

trong không gian Banach đã đưc nghiên cu bi J. Hoffmann-Jørgensen,

K. L. Su và R. L. Taylor [23], A. Kuczmaszewska [32], T. Tómács [62],

K. L. Su [60], Z. A. Lagodowski [33].

Trong nưc, lut s ln đi vi mng các bin ngu nhiên cũng đãđưc mt s tác gi như Nguyn Duy Tin, Nguyn Văn Giang, Nguyn

Văn Hùng, Nguyn Văn Qung, Lê Văn Thành, Lê Văn Dũng,... nghiên

cu. Mt s kt qu liên quan trc tip đn lun án có th tìm thy

trong các bài báo [47], [49], [52], [53], [61].

Trong lun án này, chúng tôi nghiên cu các đnh lý gii hn dng

lut s ln đi vi mng các bin ngu nhiên nhn giá tr trong khônggian Banach cho các trưng hp: có hoc không có điu kin v cu trúc

ca mng các bin ngu nhiên và có hoc không có điu kin hình hc

ca không gian Banach.

Trưc ht chúng tôi gii thiu khái nim mng hiu martingale và

chng minh mt bt đng thc cc đi dng bt đng thc Doob đi vi

mng hiu martingale. Chúng tôi cũng chng minh mt bt đng thc

cc đi dng bt đng thc Hájek-Rényi đi vi mng các bin ngu



6

nhiên. S dng nhng kt qu này cùng vi vic b sung các tính cht

hình hc ca không gian Banach, chúng tôi nhn đưc các đc trưng ca

không gian Banach p-kh trơn và không gian Banach Rademacher loi p

dưi dng bt đng thc moment đi vi mng các bin ngu nhiên.

Đi vi lut yu s ln, da vào các bt đng thc moment đi vi

mng hiu martingale, mng hiu martingale theo hàng và phương pháp

cht ct, chúng tôi m rng tiêu chun hi t suy bin cho trưng hp

|n| → ∞ đi vi mng phù hp và mng phù hp theo hàng, nhn giá tr

trong không gian Banach p-kh trơn. Đim lưu ý trong phn chng minhlà cách xây dng mng hiu martingale và mng hiu martingale theo

hàng tương ng t mng phù hp và mng phù hp theo hàng. S dng

nhng kt qu này, chúng tôi thu đưc lut yu s ln Kolmogorov-Feller

đi vi mng phù hp và mng phù hp theo hàng, nhn giá tr trong

không gian Banach p-kh trơn vi gi thit các bin ngu nhiên đó b

tri ngu nhiên.

Đi vi lut mnh s ln, chúng tôi tin hành nghiên cu cho c haitrưng hp n → ∞ và |n| → ∞. V lut mnh s ln cho trưng hp

n → ∞, chúng tôi đưa ra điu kin đ mt mng các bin ngu nhiên bt

kỳ, nhn giá tr trong mt không gian Banach tùy ý tuân theo lut mnh

s ln tng quát. S dng kt qu này, chúng tôi nhn đưc các đc trưng

ca không gian Banach p-kh trơn và không gian Banach Rademacher

loi p dưi dng lut mnh s ln tng quát. Đi vi lut mnh s ln

cho trưng hp |n| → ∞, s dng phương pháp dãy con, chúng tôi

thit lp lut mnh s ln Kolmogorov đi vi mng hiu martingale

nhn giá tr trong không gian Banach p-kh trơn. Chúng tôi cũng đưa

ra điu kin đ mt mng các bin ngu nhiên bt kỳ tuân theo lut

mnh s ln. S dng kt qu này cùng vi vic b sung các gi thit

ràng buc đi vi mng các bin ngu nhiên và tính cht hình hc ca

không gian Banach, chúng tôi m rng mt s lut mnh s ln đi vi



7

mng có cu trúc ràng buc theo khi. Đó là lut mnh s ln Brunk-

Prokhorov đi vi mng hiu martingale theo khi nhn giá tr trong

không gian Banach p-kh trơn và mng các bin ngu nhiên đc lp theokhi nhn giá tr trong không gian Banach Rademacher loi p, lut s ln

dng lut s ln Rademacher-Menshov đi vi mng các bin ngu nhiên

p-trc giao theo khi nhn giá tr trong không gian Banach Rademacher

loi p.

Các kt qu chính ca lun án đã đưc trình bày ti Đi hi Toán

hc Vit Nam ln th 7 (Đi hc Quy Nhơn, 8/2008), Hi ngh khoa hck nim “Na th k Trưng Đi hc Vinh anh hùng” (Đi hc Vinh,

10/2009), Hi ngh toàn quc ln th 4 v xác sut và thng kê (Đi hc

Vinh, 5/2010), Hi tho khoa hc nghiên cu sinh ca Trưng Đi hc

Vinh (Đi hc Vinh, 12/2010), Seminar ca B môn Xác sut thng kê

và Toán ng dng thuc Khoa Toán hc, Trưng Đi hc Vinh (Đi hc

Vinh, 6/2011). Phn ln các kt qu này đã đưc công b trên các tp chí

Journal of Probability and Statistical Science , Statistics and Probability Letters , Sankhy¯ a: The Indian Journal of Statistics , Lobachevskii Journal

of Mathematics và Journal of Inequalities and Applications .

7.2. Cu trúc ca lun ánNgoài các phn Mt s ký hiu thưng dùng trong lun án, M đu,

Kt lun chung và kin ngh, Danh mc công trình liên quan trc tip

đn lun án và Tài liu tham kho, phn ni dung chính ca lun ánđưc trình bày trong ba chương.

Chương 1 đưc dành đ gii thiu khái nim mng hiu martingale và

chng minh mt s bt đng thc moment đi vi mng các bin ngu

nhiên. Mc 1.1 trình bày phn kin thc chun b bao gm các ký hiu và

khái nim cơ bn cùng vi bn b đ liên quan đn ni dung ca c lun

án. Mc 1.2 trình bày khái nim mng hiu martingale. Mc 1.3 đưc

dành đ chng minh mt s bt đng thc moment đi vi mng các bin



8

ngu nhiên cho c hai trưng hp: có và không có điu kin hình hc ca

không gian Banach. Các kt qu chính ca Chương 1 là Đnh nghĩa 1.2.3,

Đnh lý 1.3.1, Đnh lý 1.3.3, Đnh lý 1.3.4 và Đnh lý 1.3.6.Chương 2 trình bày v lut yu s ln đi vi mng phù hp và mng

phù hp theo hàng cho trưng hp |n| → ∞. Mc 2.1 đưc dành đ

thit lp tiêu chun hi t suy bin và lut yu s ln Kolmogorov-

Feller đi vi mng phù hp nhn giá tr trong không gian Banach

p-kh trơn. Mc 2.2 tip tc nghiên cu nhng vn đ tương t như

trong Mc 2.1 đi vi mng phù hp theo hàng. Các kt qu chính caChương 2 là Đnh lý 2.1.1, Đnh lý 2.1.9, Đnh lý 2.2.5 và Đnh lý 2.2.7.

Chương 3 trình bày v lut mnh s ln đi vi mng các bin ngu

nhiên cho hai trưng hp n → ∞ và |n| → ∞. Mc 3.1 trình bày phn

kin thc chun b bao gm các ký hiu và khái nim cùng vi bn b

đ b tr liên quan đn ni dung ca hai mc tip theo. Mc 3.2 đưc

dành đ nghiên cu lut mnh s ln tng quát đi vi mng các bin

ngu nhiên cho trưng hp n → ∞. Mc 3.3 đưc dành đ m rnglut mnh s ln Kolmogorov cho mng hiu martingale nhn giá tr

trong không gian Banach p-kh trơn và chng minh mt s dng lut

mnh s ln đi vi mng các bin ngu nhiên có cu trúc ràng buc

theo khi cho trưng hp |n| → ∞. Các kt qu chính ca Chương 3 là

Đnh lý 3.2.4, Đnh lý 3.2.6, Đnh lý 3.2.8, Đnh lý 3.3.1, Đnh lý 3.3.6,

Đnh lý 3.3.12, Đnh lý 3.3.16 và Đnh lý 3.3.18.



9

CHƯƠNG 1

MNG HIU MARTINGALEVÀ MT S BT ĐNG THC MOMENT

Trong chương này, chúng tôi gii thiu khái nim mng hiumartingale và thit lp mt s bt đng thc moment đi vi mng

các bin ngu nhiên. Các kt qu chính ca chương đưc vit da trên

các bài báo [28], [45] và [46].

1.1. Các kin thc chun b

Mc này trình bày phn kin thc chun b bao gm các ký hiu và

khái nim cùng vi bn b đ liên quan đn ni dung ca c lun án.Ta ký hiu N là tp các s nguyên dương, N0 là tp các s t

nhiên, R là tp các s thc và R+ là tp các s thc dương. Gi s

d ∈ N, nhng phn t thuc Nd0: (0, 0,..., 0), (1, 1,..., 1), (m1, m2,...,md),

(n1, n2,...,nd), (n1 + 1, n2 + 1,...,nd + 1), (n1 − 1, n2 − 1,...,nd − 1),

(2n1, 2n2,..., 2nd) ln lưt đưc ký hiu bi 0, 1, m, n, n+1, n−1, 2n. Gi

s α = (α1, α2,...,αd) ∈ Rd

, ta ký hiu αmin = minαi : i = 1, 2,...,d,αmax = maxαi : i = 1, 2,...,d, |n(α)| = nα11 nα22 ...nαdd và |n| = |n(1)|.

Vi m, n ∈ Nd0, ta vit m n hoc n m (tương ng, m ≺ n) nu

mi ni (tương ng, mi < ni) vi mi i = 1, 2,...,d. Gii hn n → ∞đưc hiu là ni → ∞ vi mi i = 1, 2,...,d. Rõ ràng n → ∞ tương đương

vi nmin → ∞.

Gi s A là mt tp hp, ta ký hiu I (A) là hàm ch tiêu ca tp A,

2A là tp hp tt c các tp con ca A và card(A) là lc lưng ca A.



10

Trong lun án này, các ký hiu o và O đưc s dng vi ý nghĩa thông

thưng như trong gii tích c đin; C là mt hng s dương và giá tr

ca nó có th khác nhau gia các ln xut hin. Đ khng đnh hngs C ch ph thuc vào p, ta dùng cách vit C = C ( p). Ta cũng luôn

gi thit rng E là không gian Banach thc và kh ly; B (E) là σ-đi

s Borel ca E; (Ω, F ,P) là không gian xác sut đy đ; các bin ngu

nhiên đu nhn giá tr trong E.

Gi s X là mt bin ngu nhiên, G là mt σ-đi s con ca F .

Kỳ vng ca bin ngu nhiên X đưc đnh nghĩa là tích phân Bochnerca X (nu tn ti) và đưc ký hiu là EX . Kỳ vng có điu kin ca

bin ngu nhiên X đi vi G (nu tn ti) là bin ngu nhiên Y sao cho

Y là G/B (E) đo đưc và E(Y I A) = E(XI A) vi mi A ∈ G. Kỳ vng có

điu kin ca bin ngu nhiên X đi vi G đưc ký hiu là E(X |G).

Bin ngu nhiên X đưc gi là mt bin ngu nhiên kh tích Bochner

nu EX < ∞. Chú ý rng nu bin ngu nhiên X kh tích Bochner

thì tn ti kỳ vng EX và kỳ vng có điu kin E(X |G) vi mi Glà σ-đi s con ca F . Nhng đ cp chi tit v kỳ vng, kỳ vng có điu

kin và các tính cht ca chúng có th tìm thy trong hai tài liu [10]

và [56].

Gi s bn, n ∈ Nd là mt mng các s thc. Sai phân ca mng

bn, n ∈ Nd ti n ∈ Nd đưc ký hiu là bn và đưc đnh nghĩa

bn :=

k∈Θ(n)

(−1)d

i=1(ni−ki) bk,

trong đó Θ(n) = k ∈ Nd0 : k n k + 1 và quy ưc bk = 0 nu

|k| = 0.

D thy rng card

Θ(n)

= 2d; nu d = 1 thì bi = bi − bi−1 vi

mi i 1; nu d = 2 thì bij = bij − bi,j−1 − bi−1,j + bi−1,j−1 vi mi

i 1, j 1. Mt tính cht quan trng ca sai phân s đưc s dng

trong lun án là bn =

1kn bk vi mi n ∈ Nd. Hơn na, nu tn



11

ti mng các s thc an, n ∈ Nd sao cho bn =

1kn ak vi mi

n ∈Nd thì

bn = an vi mi n

∈Nd.

1.1.1 Đnh nghĩa. Ta nói rng mng xn, n ∈ Nd ⊂ E hi t ti

x ∈ E khi n → ∞ nu vi mi ε > 0, tn ti n0 ∈ N sao cho vi mi

n ∈ Nd mà nmin n0, thì x − xn < ε.

Khi đó ta ký hiu limn→∞ xn = x hoc xn → x khi n → ∞.

1.1.2 Chú ý. Liên quan đn s hi t ca chui bi, chúng ta thng

nht ký hiu n∈Nd

xn := limn→∞kn

xk.

1.1.3 Đnh nghĩa. Ta nói rng mng xn, n ∈ Nd ⊂ E hi t ti

x ∈ E khi |n| → ∞ nu vi mi ε > 0, tn ti n0 ∈ N sao cho vi mi

n ∈ Nd mà |n| n0, thì x − xn < ε.

Khi đó ta ký hiu lim|n|→∞

xn = x hoc xn →

x khi |

n| → ∞

.

1.1.4 Nhn xét.(i) xn → x khi |n| → ∞ khi và ch khi vi mi ε > 0, hu ht xn đu

tha mãn x − xn < ε. Nói cách khác, ch có hu hn xn tha mãn

x − xn ε. Điu này cũng đm bo rng mng xn, n ∈ Nd b chn

(supn∈Nd xn < ∞).

(ii) xn →

x khi |

n| → ∞

khi và ch khi vi mi ε > 0, tn ti n0 ∈

N

sao cho vi mi n ∈ Nd tha mãn nmax n0, thì x − xn < ε. Do đó

xn → x khi |n| → ∞ kéo theo xn → x khi n → ∞. Nói chung, hai dng

hi t này không trùng nhau khi d > 1.

1.1.5 Đnh nghĩa. Mng các s thc bn, n ∈ Nd đưc gi là mt

mng không gim (tương ng, mng không tăng ) nu nó không gim

(tương ng, không tăng) theo quan h th t

, nghĩa là bm bn

(tương ng, bm bn) vi mi m n (m, n ∈ Nd).



12

1.1.6 Đnh nghĩa. ([32], [55]) Mng các bin ngu nhiên X n, n ∈ Ndđưc gi là mt mng b tri ngu nhiên bi bin ngu nhiên X nu tn

ti mt hng s C > 0 sao cho vi mi t 0 và mi n ∈ Nd thì

P(X n > t) C P(X > t).

Rõ ràng, nu X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên cùng

phân phi thì nó là mt mng b tri ngu nhiên bi X 1.

1.1.7 Đnh nghĩa. ([64], tr. 277) Không gian Banach E đưc gi là

mt không gian p-trơn đu (1 p 2) nu môđun trơn ρ(τ ) tha mãn

ρ(τ ) = O(τ p) (khi τ → 0), trong đó môđun trơn đưc đnh nghĩa

ρ(τ ) := supx + y + x − y

2 − 1 : x, y ∈ E, x = 1, y = τ

.

1.1.8 Nhn xét.(i) T bt đng thc tam giác ta có môđun trơn ρ(τ ) τ vi mi

τ > 0. Do đó, vi 1 p 2, điu kin ρ(τ ) = O(τ p) tương đương vi

điu kin tn ti hng s C > 0 sao cho ρ(τ ) Cτ p

vi mi τ > 0. Hơnna, nhng lp lun này đ đ khng đnh rng mi không gian Banach

là không gian 1-trơn đu.

(ii) J. Lindenstrauss trong [35, H qu] (xem thêm [63, H qu 2.1])

ch ra rng ρ(τ ) √

τ 2 + 1 − 1 vi mi τ > 0. Do đó, không th tn ti

p > 2 đ ρ(τ ) = O(τ p). Vì vy, Đnh nghĩa 1.1.7 không có ý nghĩa khi

p > 2.

(iii) Đi vi không gian L p các hàm có lũy tha bc p kh tích(1 p <∞), J. Lindenstrauss trong [35, tr. 243] (xem thêm [9, B đ B1])

đã ch ra

ρ(τ ) =

τ p/p + O(τ 2 p) nu 1 p 2,( p − 1)τ 2/2 + O(τ 4) nu 2 < p < ∞.

Vì vy, không gian L p (1 p < ∞) là không gian min2; p-trơn đu.

Hơn na, điu này cũng đm bo rng không gian p các dãy có lũy tha

bc p kh tng (1 p < ∞) là không gian min2; p-trơn đu.



13

(iv) Theo W. A. Woyczynski [63, Mnh đ 2.2], không gian Banach

E là mt không gian p-trơn đu (1 p 2) khi và ch khi tn ti hng

s C > 0 sao cho vi mi x, y ∈ E thì

x + y p + x − y p 2x p + C y p.Do đó, t đng thc bình hành ta khng đnh đưc mi không gian

Hilbert là không gian 2-trơn đu. Đc bit, đưng thng thc R là mt

không gian 2-trơn đu. Trong trưng hp này, ρ(τ ) =√

τ 2 + 1 − 1 vi

mi τ > 0 (xem [63, H qu 2.1]). Hơn na, nu E là mt không gian

Banach p-trơn đu (1 < p 2) thì nó là mt không gian r-trơn đu vi1 r < p. Chi tit hơn, ta có đánh giá saux + yr + x + yr p/r 2 p/r−1

2x p + C y p

2xr + C yr p/r.1.1.9 Đnh nghĩa. ([64], tr. 277) Không gian Banach E đưc gi là mt

không gian p-kh trơn (1 p 2) nu tn ti mt chun tương đương

vi chun ban đu sao cho E cùng vi chun này tr thành mt không

gian p-trơn đu.

1.1.10 B đ. ([22], Đnh lý 2.2) Gi s p là mt s thc (1 p 2).

Khi đó các phát biu sau là tương đương:

(i) E là mt không gian Banach p-kh trơn.

(ii) Tn ti hng s dương C = C ( p) sao cho vi mi hiu martingale

X j, F j , j 1 nhn giá tr trong E thì

E

i j=1

X j

p C

i j=1

EX j p, i 1. (1.1.1)

(iii) Vi mi hiu martingale X j, F j, j 1 nhn giá tr trong E,

điu kin ∞

j=1

EX j p

j p <

∞ (1.1.2)



14

kéo theo

1

i

i j=1

X j → 0 h.c.c. khi i → ∞. (1.1.3)

1.1.11 B đ. ([66], tr. 217) Gi s p là mt s thc (1 p 2). Khi

đó hai phát biu sau là tương đương:


(ii) Vi mi s thc q 1, tn ti hng s dương C = C ( p, q ) sao cho

vi mi hiu martingale X j, F j, j

1 nhn giá tr trong E

thì

E

i j=1

X j

q C E i j=1

X j pq/p

, i 1. (1.1.4)

1.1.12 Đnh nghĩa. ([34], tr. 246) Gi s r j, j 1 là mt dãy các

bin ngu nhiên đc lp, cùng phân phi và

P(r1 = 1) =

P(r1 = −1) =

1

2.

Không gian Banach E đưc gi là mt không gian Rademacher loi p

(1 p 2) nu tn ti mt hng s C > 0 sao cho vi mi i 1 và

mi v j ∈ E (1 j i) thì

E

i

j=1

r jv j

p

1/p

C

i

j=1

v j p

1/p

. (1.1.5)

1.1.13 Nhn xét.(i) Theo M. Ledoux và M. Talagrand trong [34, tr. 246], bt đng

thc (1.1.5) có th đưc thay th bi

E

i j=1

r jv j

q 1/q

C i j=1

v j p1/p

(1.1.6)

vi q là mt s thc dương bt kỳ.



15

Như vy, không gian Banach E là mt không gian Rademacher loi

p (1 p 2) nu tn ti hng s C > 0 sao cho vi mi i 1 và mi

v j ∈ E (1 j i) thì

E

i j=1

r jv j

C i j=1

v j p1/p

.

Đây là cách đnh nghĩa v không gian Banach Rademacher loi p ca

W. A. Woyczynski trong [65, Đnh nghĩa 1.1]. Hơn na, trong trưng

hp này, chúng ta có th khng đnh đưc rng nu E

là mt khônggian Banach Rademacher loi p (1 < p 2) thì nó là mt không gian

Rademacher loi r vi 1 r < p. Chi tit hơn, ta có đánh giá sau

i j=1

v j p1/p

i j=1

v jr1/r

.

(ii) Trong trưng hp q = 2, bt đng thc (1.1.6) tr thành

E

i j=1

r jv j

21/2 C i j=1

v j p1/p

.

Bng vic chn v j = v = 0 ∈ E (1 j i) ta có

i1/2v C i1/pv.

Bt đng thc trên không đưc đm bo nu p > 2. Điu này ch rarng Đnh nghĩa 1.1.12 không có ý nghĩa khi p > 2.

Ngoài ra, A. Rosalsky và A. Volodin trong [55] đã ch ra rng điu kin

đ không gian Banach E là không gian Rademacher loi p (1 p 2)

tương đương vi điu kin tn ti hng s C > 0 sao cho

E∞

j=1

r jv j p C

∞

j=1

v j p



16

vi mi (v1, v2,....) ∈ C(E), trong đó

C(E) =

(v1, v2,....) ∈ E×E×E× ... :

∞ j=1

r jv j hi t theo xác sut

.

1.1.14 B đ. ([22], Đnh lý 2.1) Gi s p là mt s thc (1 p 2).

Khi đó các phát biu sau là tương đương:

(i) E là mt không gian Banach Rademacher loi p.

(ii) Tn ti hng s dương C = C ( p) sao cho (1.1.1) đúng vi mi dãy

X j, j

1 các bin ngu nhiên đc lp, có kỳ vng bng 0 và nhn giá tr trong E.

(iii) Vi mi dãy X j, j 1 các bin ngu nhiên đc lp, có kỳ vng

bng 0 và nhn giá tr trong E, điu kin (1.1.2) kéo theo (1.1.3).

1.1.15 Nhn xét. T hai b đ 1.1.10 và 1.1.14 ta khng đnh đưc

rng nu E là mt không gian Banach p-kh trơn (1 p 2) thì nó là

mt không gian Rademacher loi p. Tuy nhiên, điu ngưc li không cònđúng na (xem [40, Đnh lý 6.1 và Đnh lý 6.3] cho trưng hp p = 2,

[8, Đnh lý 3] và [66, tr. 216] cho trưng hp 1 < p < 2).

1.1.16 B đ. ([65], Mnh đ 2.1) Gi s p là mt s thc (1 p 2).

Khi đó hai phát biu sau là tương đương:


(ii) Vi mi s thc q

1, tn ti hng s dương C = C ( p, q ) sao chovi mi dãy X j, j 1 các bin ngu nhiên đc lp, có kỳ vng bng 0

và nhn giá tr trong E thì (1.1.4) đúng.

1.2. Mng hiu martingale

Khái nim mng hiu martingale đưc gii thiu trong mc này là

mt dng nhiu chiu ca khái nim hiu martingale. Đ đưa ra khái

nim này, ta cn trình bày đnh nghĩa v cơ s ngu nhiên và mng phù



17

hp s dng quan h th t trên Nd0. Chú ý rng hai đnh nghĩa đưc

đ cp sau đây ch là s m rng t nhiên t trưng hp mt chiu.

1.2.1 Đnh nghĩa. Mng các σ-đi s con F n, n ∈ Nd0 ca F đưc

gi là mt cơ s ngu nhiên nu nó không gim theo quan h th t trên Nd0, nghĩa là F m ⊂ F n vi mi m n.

1.2.2 Đnh nghĩa. Gi s F n, n ∈ Nd0 là mt cơ s ngu nhiên và

X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên nhn giá tr trong không

gian Banach E

tha mãn X n là F n/B (E) đo đưc vi mi n ∈ Nd

. Khiđó X n, F n, n ∈ Nd đưc gi là mt mng phù hp.

Gi s F n, n ∈ Nd0 là mt cơ s ngu nhiên (quy ưc F n = ∅, Ωnu |n| = 0). Vi mi n ∈ Nd0, đt

F 1n =

ki1 (2id)

F n1k2k3...kd := σ

∞k2=1

∞k3=1

· · ·∞kd=1

F n1k2k3...kd

,

F jn =

ki1 (1i j−1)

ki1 ( j+1id)

F k1...kj−1njkj+1...kd nu 1 < j < d,

F dn =

ki1 (1id−1)

F k1k2...kd−1nd,

Gn =

1id

F in,

trong trưng hp d = 1, đt

F 1n =

F n.

1.2.3 Đnh nghĩa. Mng phù hp X n, F n, n ∈ Nd đưc gi là mt

mng hiu martingale nu E(X n|F in−1) = 0 h.c.c. vi mi n ∈ Nd và

mi i = 1, 2,...,d.

Như vy, khái nim mng hiu martingale chính là mt dng nhiu

chiu ca khái nim hiu martingale. Sau đây, chúng ta s đ cp đn

hai ví d đ minh ha cho mi quan h gia mng hiu martingale và

mng các bin ngu nhiên đc lp, có kỳ vng bng 0.



18

1.2.4 Ví d. Gi s X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên

đc lp và có kỳ vng bng 0. Vi mi n ∈Nd, đt

F n = σX k, 1 k n.

Khi đó X n, F n, n ∈ Nd là mt mng phù hp. Hơn na, vi mi n ∈ Nd

và mi i = 1, 2,...,d, E(X n|F in−1) = EX n = 0. Vì vy X n, F n, n ∈ Ndlà mt mng hiu martingale.

1.2.5 Ví d. Gi s d là mt s nguyên dương và X j , F j, j 1 là

mt hiu martingale tha mãn X j , j 1 không phi là mt dãy cácbin ngu nhiên đc lp. Vi mi n ∈ Nd, đt

X n =

X n1 nu n2 = n3 = ... = nd = 1,0 nu tn ti i : 2 i d sao cho ni > 1,

và vi mi k ∈ Nd0, đt

F k = F k1 nu |k| = 0,

∅, Ω

nu

|k| = 0.

Khi đó X n, n ∈ Nd không phi là mt mng các bin ngu nhiên đc

lp. Tuy nhiên X n, F n, n ∈ Nd là mt mng phù hp. Hơn na, vi

mi n ∈ Nd,

F in =

F n1 nu i = 1,σ∞ j=1 F j

nu i = 1,

và F ik

= ∅, Ω nu ki = 0. Do đó E(X n|F in−1) = 0 vi mi n ∈ Nd và

mi i = 1, 2,...,d. Vì vy X n, F n, n ∈ N

d

là mt mng hiu martingale.Như vy, tp tt c các mng hiu martingale thc s rng hơn tp

tt c các mng các bin ngu nhiên đc lp và có kỳ vng bng 0.

1.3. Mt s bt đng thc moment

Trong mc này, chúng tôi thit lp mt s bt đng thc moment đi

vi mng các bin ngu nhiên cho c hai trưng hp: có và không có

điu kin hình hc ca không gian Banach.



19

Đnh lý sau đây thit lp mt bt đng thc cc đi dng bt đng

thc Doob đi vi mng hiu martingale nhn giá tr trong mt không

gian Banach thc và kh ly.

1.3.1 Đnh lý. Nu q là mt s thc (q > 1), g là mt hàm li, không

gim và nhn giá tr không âm, X n, F n, n ∈ Nd là mt mng hiu

martingale nhn giá tr trong mt không gian Banach thc và kh ly thì

E

max1kn

g1lk

X lq

q

q − 1

qdE

g

1kn

X kq

, n ∈ Nd.

(1.3.1)Chng minh . Vì g là mt hàm li và nhn giá tr không âm nên t bt

đng thc Doob đi vi martingale dưi không âm (xem [5, tr. 255])

ta thu đưc (1.3.1) cho trưng hp d = 1. Gi s rng (1.3.1) đúng khi

d = D − 1 1. Ta s chng minh nó cũng đúng khi d = D.

Tht vy, vi mi k ∈ ND (1 k n), đt

S k = 1lk

X l, Y kD = max1kini (1iD−1)

g(

S k

).

Khi đó

E(S k1k2...kD−1kD |F Dk1k2...kD−1,kD−1)

= E(S k1k2...kD−1,kD−1|F Dk1k2...kD−1,kD−1)

+ E

1liki (1iD−1)

X l1l2...lD−1kD|F Dk1k2...kD−1,kD−1

= S k1k2...kD−1,kD−1.

Do đó

E(Y kD|F Dk1k2...kD−1,kD−1) = E

max

1kini (1iD−1)g(S k) |F Dk1k2...kD−1,kD−1

max

1kini (1iD−1)E

g(S k) |F Dk1k2...kD−1,kD−1

max

1kini (1iD−1)g

E(S k|F Dk1k2...kD−1,kD−1)

= max1kini (1iD−1)

g(S k1k2...kD−1,kD−1) = Y kD−1.



20

Hay Y kD, F Dk1k2...kD−1kD, 1 kD nD là mt martingale dưi không

âm. Theo bt đng thc Doob thì

E

max1kn

g(S k)q

= E

max

1kDnDY kD

q

q

q − 1

q EY q nD . (1.3.2)

Đt

X k1k2...kD−1 =

nDkD=1

X k1k2...kD−1kD, F k1k2...kD−1 =

∞kD=1

F k1k2...kD−1kD.

Khi đó X k1k2...kD−1, F k1k2...kD−1, (k1, k2,...,kD−1) ∈ ND

−1

cũng là mtmng hiu martingale. Vì vy

EY q nD =E

max1kini (1iD−1)

g(S k1k2...kD−1nD)q

=E

max

1kini (1iD−1)g

1liki (1iD−1)

X l1l2...lD−1q

p

p − 1 p(D−1)

Eg

1lini (1iD−1)X l1l2...lD−1q

= p

p − 1

p(D−1)E

g(S n)q

. (1.3.3)

Kt hp (1.3.2), (1.3.3) ta nhn đưc (1.3.1) cho trưng hp d = D.

H qu sau đây đưc suy ra trc tip t Đnh lý 1.3.1 và là dng

nhiu chiu ca bt đng thc Doob đi vi hiu martingale (xem [20,

Đnh lý 2.2]).

1.3.2 H qu. Nu q là mt s thc (q > 1), X n, F n, n ∈ Nd là mt

mng hiu martingale nhn giá tr trong mt không gian Banach thc

và kh ly thì

E max1

k

n

1lk

X lq

q

q −

1qdE

1kn

X kq , n ∈ N

d. (1.3.4)



21

Bt đng thc Hájek-Rényi đã đưc chng minh bi J. Hájek và

A. Rényi trong [21] cho dãy các bin ngu nhiên đc lp, có kỳ vng

bng 0. Kt qu này tng quát bt đng thc Kolmogorov (xem [31],[17, tr. 122]) và là mt công c hu ích đ chng minh lut mnh s ln

(xem [11, tr. 436]).

Đnh lý sau đây thit lp mt bt đng thc cc đi dng bt đng

thc Hájek-Rényi đi vi mng các bin ngu nhiên nhn giá tr trong

mt không gian Banach thc và kh ly. Phương pháp chng minh đnh

lý này da trên ý tưng ca G. R. Shorack và R. T. Smythe trong [58].1.3.3 Đnh lý. Gi s p là mt s thc dương, bn, n ∈ Nd là mt

mng các s thc dương và có sai phân không âm (nghĩa là bn > 0 và

bn 0 vi mi n ∈ Nd), X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu

nhiên nhn giá tr trong mt không gian Banach thc và kh ly. Khi đó

vi mi ε > 0 và mi m n (m, n ∈ Nd),

P

maxmkn

1bk

1lk

X l ε 2 p(d+1)

ε p E

max1kn

1lk

X lbl + bm

p.Chng minh . Vì bn 0 vi mi n ∈ Nd nên bn, n ∈ Nd là mt mng

không gim. Do đó, vi mi ε > 0 và mi m n (m, n ∈ Nd),

P

maxmkn

1

bk

1lk

X l

ε

P

maxmkn

1bk + bm

1lk

X l ε

2

P

max1kn

1

bk + bm

1lk

X l

ε

2

. (1.3.5)

Vi mi k ∈ Nd, đt

rk = bk + bm, Dk = 1lk

X l

rl.



22

S dng phép hoán v th t ly tng ta có

1lk

X l = 1lk

1tl

rtX l

rl=

1tkrt

tlk

X l

rl.

Hơn na, vì rt 0 nên

max1kn

1

rk

1lk

X l

2d max1ln

Dl. (1.3.6)

T (1.3.5), (1.3.6) và bt đng thc Markov ta nhn đưc

P maxmkn

1

bk 1lk

X l ε P max1ln

Dl

ε

2d+1

2 p(d+1)

ε p E

max1ln

Dl p

.

Điu này kéo theo kt lun ca đnh lý.

Các kt qu tip theo là nhng trưng hp riêng ca Đnh lý 1.3.1 và

Đnh lý 1.3.3 khi ta b sung các gi thit v cu trúc ca mng các bin

ngu nhiên và tính cht hình hc ca không gian Banach.Đnh lý sau đây đưa ra ba đc trưng ca không gian Banach p-kh

trơn dưi dng ba bt đng thc moment đi vi mng hiu martingale.

1.3.4 Đnh lý. Gi s p là mt s thc (1 p 2) và d là mt s

nguyên dương. Khi đó các phát biu sau là tương đương:


(ii) Tn ti hng s dương C = C ( p)

sao cho vi mi mng hiu

martingale X n, F n, n ∈ Nd nhn giá tr trong E thì

E

1kn

X k

p C d 1kn

EX k p, n ∈ Nd. (1.3.7)

(iii) Vi mi s thc q 1, tn ti hng s dương C = C ( p, q ) sao cho

vi mi mng hiu martingale X n, F n, n∈Nd nhn giá tr trong E thì

E max1kn1lk

X lq C d

|n|maxq/p; 1−1

1kn

E

X k

q , n

∈Nd. (1.3.8)



23

(iv) Tn ti hng s dương C = C ( p, d) sao cho vi mi mng hiu

martingale

X n,

F n, n

∈ Nd

nhn giá tr trong E, vi mi mng

bn,

n ∈ Nd các s thc dương và có sai phân không âm, mi ε > 0 và mi

m n (m, n ∈ Nd) thì

P

maxmkn

1

bk

1lk

X l

ε

C

ε p

1kn

E

X kbk + bm

p. (1.3.9)

Chng minh . (i) ⇒ (iii): Vì E là mt không gian p-kh trơn (1 p 2)

nên E cũng là mt không gian r-kh trơn vi 1 r p. Do vy, không

mt tính tng quát, ta gi s q p. Hơn na, vì bt đng thc (1.3.8)đúng khi p = q = 1 nên ta gi thit thêm rng q > 1.

Mt khác, nh H qu 1.3.2, ta ch cn chng minh

E

1kn

X k

q C d|n|q/p−1 1kn

EX kq . (1.3.10)

Nhn thy trong trưng hp d = 1, bt đng thc (1.3.10) đưc suy

ra t B đ 1.1.11 và bt đng thc Holder. Gi s rng (1.3.10) đúng

khi d = D − 1 1. Ta s ch ra nó cũng đúng khi d = D.Đt S k =

1lk X l, k ∈ ND. Khi đó, vi mi n ∈ ND, mi kD 1,

E(S n1n2···nD−1,kD+1|F Dn1n2···nD−1kD)

= E(S n1n2···nD−1kD|F Dn1n2···nD−1kD)

+ E

1kini(1iD−1)

X k1k2···kD−1,kD+1|F Dn1n2···nD−1kD

= S n1n2···nD−1kD.

Do đó S n1n2···nD−1kD, F Dn1n2···nD−1kD , 1 kD nD là mt martingale.

Theo B đ 1.1.11 và bt đng thc Holder thì

ES nq C E nDkD=1

1kini (1iD−1)

X k1k2...kD−1kD

pq/p

C (nD)q/p−1nD

kD=1

E 1kini (1iD−1)

X k1k2...kD−1kDq . (1.3.11)



25

(iii)⇒ (iv): Gi s X n, F n, n ∈ Nd là mt mng hiu martingale.

Khi đó, vi mi m ∈Nd,

X n/(bn + bm),

F n, n

∈Nd

cũng là mt mng

hiu martingale. Vì vy, t Đnh lý 1.3.3 ta thu đưc ((iii) ⇒ (iv)).(iv) ⇒ (i): Gi s rng (iv) đúng vi mt s nguyên dương d nào đó.

Ta cn chng minh E là mt không gian p-kh trơn.

Tht vy, gi s X j , F j, j 1 là mt hiu martingale nhn giá tr

trong E và tha mãn điu kin (1.1.2). Vi mi n ∈ Nd, đt bn = n1.

Khi đó

bn =

1 nu n2 = n3 = ... = nd = 1,0 nu ngưc li.

Điu đó có nghĩa rng bn, n ∈ Nd là mt mng các s thc dương và

có sai phân không âm.

Mt khác, s dng cách xây dng mng hiu martingale xut phát

t hiu martingale X j, F j , j 1 như trong Ví d 1.2.5, ta thu đưc

mng hiu martingale

X n,

F n, n

∈Nd

. Hơn na, vi mi ε > 0 và mi

m n (m, n ∈ Nd), tn ti hng s C > 0 sao cho

P

maxmkn

1

bk

1lk

X l

ε

C

ε p

1kn

E

X kbk + bm

p.Điu này kéo theo

P maxm1k1n1

1

k1k1

i=1

X i ε C

ε p

n1

i=1

EX i p

(i + m1) p

C

ε p

m1i=1

EX i pm p1

+

n1i=m1+1

EX i pi p

,

cho n1 → ∞ ta nhn đưc

P supk1m1

1

k1k1

i=1

X i ε C

ε pm1

i=1

EX i pm p

1

+

∞

i=m1+1

EX i pi p .



26

Điu này cùng vi (1.1.2) và b đ Kronecker đm bo rng

P

supk1m1

1k1

k1i=1

X i ε→ 0 khi m1 → ∞.

Do đó (1.1.3) đúng. Theo B đ 1.1.10, E là mt không gian p-kh trơn.

Trong trưng hp d = 1, Đnh lý 1.3.4 kéo theo kt qu chính ca

S. Gan trong [13]. C th, ta có h qu sau:

1.3.5 H qu. ([13], Đnh lý) Gi s p là mt s thc (1

p

2). Khi đó hai phát biu sau là tương đương:


(ii) Tn ti hng s dương C = C ( p) sao cho vi mi hiu martingale

X j, F j , j 1 nhn giá tr trong E, mi dãy không gim các s thc

dương b j , j 1, mi ε > 0 và mi s nguyên dương n, n0 (n0 n) thì

P

maxn0in 1bi i j=1

X jε

C

ε p n0 j=1

E

X j p

b pn0+

n j=n0+1

E

X j p

b p j

. (1.3.16)

Nhn thy bt đng thc (1.3.4) đúng vi mi mng các bin ngu

nhiên đc lp và có kỳ vng bng 0. Do vy, bng vic s dng hai b đ

1.1.14 và 1.1.16 cùng vi phương pháp chng minh tương t như đi vi

Đnh lý 1.3.4, ta thu đưc đnh lý sau đây. Chú ý rng đc đim nhiu

chiu trong phát biu (ii) ca Đnh lý 1.3.4 không còn ý nghĩa khi ta xét

cho trưng hp mng các bin ngu nhiên đc lp và có kỳ vng bng 0.


nguyên dương. Khi đó các phát biu sau là tương đương:


(ii) Vi mi s thc q 1, tn ti hng s dương C = C ( p, q ) sao cho

vi mi mng

X n, n ∈ Nd

các bin ngu nhiên đc lp, có kỳ vng

bng 0 và nhn giá tr trong E thì (1.3.8) đúng.



27

(iii) Tn ti hng s dương C = C ( p, d) sao cho vi mi mng

X n, n

∈ Nd

các bin ngu nhiên đc lp, có kỳ vng bng 0 và nhn

giá tr trong E, mi mng bn, n ∈ Nd các s thc dương và có sai phân

không âm, mi ε > 0 và mi m n (m, n ∈ Nd) thì (1.3.9) đúng.

H qu sau đây đưa ra mt đc trưng ca không gian Rademacher

loi p dưi dng bt đng thc Hájek-Rényi đi vi mng các bin ngu

nhiên đc lp và có kỳ vng bng 0. Trong trưng hp E = R, t h qu

này ta nhn đưc kt qu chính ca J. Hájek và A. Rényi trong [21].

1.3.7 H qu. Gi s p là mt s thc (1 p 2). Khi đó hai phát

biu sau là tương đương:


(ii) Tn ti hng s dương C = C ( p) sao cho vi mi dãy X j, j 1các bin ngu nhiên đc lp, có kỳ vng bng 0 và nhn giá tr trong E,

mi dãy không gim các s thc dương

b j , j 1

, mi ε > 0 và mi s

nguyên dương n, n0 (n0 n) thì (1.3.16) đúng.

1.4. Kt lun ca Chương 1

Trong chương này, lun án đã gii quyt đưc nhng vn đ sau:

- Gii thiu khái nim mng hiu martingale - dng nhiu chiu ca

khái nim hiu martingale;

- Thit lp bt đng thc cc đi dng bt đng thc Doob đi vi

mng hiu martingale và bt đng thc cc đi dng bt đng thc

Hájek-Rényi đi vi mng các bin ngu nhiên nhn giá tr trong mt

không gian Banach thc và kh ly bt kỳ;

- Đưa ra mt s đc trưng ca không gian Banach p-kh trơn và không

gian Banach Rademacher loi p dưi dng các bt đng thc moment.



28

CHƯƠNG 2

LUT YU S LN ĐI VI MNG PHÙ HPVÀ MNG PHÙ HP THEO HÀNG

Trong chương này, chúng tôi thit lp tiêu chun hi t suy bin và

lut yu s ln Kolmogorov-Feller đi vi mng phù hp và mng phù

hp theo hàng, nhn giá tr trong không gian Banach p-kh trơn. Các

kt qu chính ca chương đưc vit da trên hai bài báo [43] và [45].

2.1. Lut yu s ln đi vi mng phù hp

Tiêu chun hi t suy bin c đin (xem M. Loève [36, tr. 290]) cung

cp điu kin cn và đ đ mt dãy các bin ngu nhiên đc lp tuân

theo lut yu s ln. Sau đó, tiêu chun hi t suy bin đã đưc nghiên

cu đi vi martingale (xem P. Hall và C. C. Heyde [20, tr. 29]). Kt qu

này cung cp điu kin đ đ xy ra lut yu s ln đi vi martingale.

P. Hall và C. C. Heyde cũng đã đưa ra mt ví d đ khng đnh rng kt

qu này không th phát biu dưi dng điu kin cn và đ như trong

trưng hp đc lp (xem P. Hall và C. C. Heyde [20, tr. 29-30]).

Gn đây, Nguyn Văn Qung và Lê Hng Sơn trong [48] đã ch rarng tiêu chun hi t suy bin vn đúng khi gi thit dãy các bin ngu

nhiên lp thành martingale đưc thay th bi mt gi thit yu hơn: gi

thit dãy đó lp thành dãy phù hp.

Trong mc này, chúng tôi s dng phương pháp cht ct (xem [17,

tr. 121]) đ m rng tiêu chun hi t suy bin đi vi mng phù hp.

Da vào kt qu này, chúng tôi thu đưc lut yu s ln Kolmogorov-

Feller cho mng phù hp các bin ngu nhiên b tri ngu nhiên.



29

2.1.1 Đnh lý. Gi s an, n ∈ Nd và bn, n ∈ Nd là hai mng các

s thc dương,

X n,

F n, n

∈ Nd

là mt mng phù hp nhn giá tr

trong không gian Banach p-kh trơn E (1 p 2) tha mãn điu kin

E(X nI A|Gn−1) là F n/B (E) đo đưc vi mi A ∈ σ(X n) và mi n ∈ Nd.

Đt Y nk = X k I (X kan). Khi đó

1

bn

1kn

X k − E(Y nk|Gk−1) P→ 0 khi |n| → ∞ (2.1.1)

nu hai điu kin sau đây đưc tha mãn:1kn

P(X k > an) → 0 khi |n| → ∞, (2.1.2)

1

b pn

1kn

EY nk − E(Y nk|Gk−1) p → 0 khi |n| → ∞. (2.1.3)

Chng minh . Vi mi ε > 0, ta có

P 1bn 1kn

X k −

E(Y nk|Gk−1

) > ε= P

1bn

1kn

X k − Y nk + Y nk − E(Y nk|Gk−1)

> ε

P

1bn

1kn

X k − Y nk > ε/2

+ P1

bn 1knY nk − E(Y nk|Gk−1) > ε/2. (2.1.4)

T (2.1.2) ta thu đưc

P

1bn

1kn

X k − Y nk > ε/2

= P

1bn

1kn

X k I (X k>an)

> ε/2 P

1kn

(X k > an)

1kn

P(

X k

> an) →

0 khi |

n| → ∞

. (2.1.5)



30

Mt khác, vì Y nk−EY nk|Gk−1

là F k/B (E) đo đưc vi mi k ∈ Nd

nên

Y nk

−EY nk

|Gk

−1, F

k, k ∈ Nd

là mt mng phù hp. Hơn na,

vi mi k ∈ Nd và mi i = 1, 2,...,d,

E

Y nk − E(Y nk|Gk−1)|F ik−1

= 0.

Vì vy Y nk − E(Y nk|Gk−1), F k, k ∈ Nd là mt mng hiu martingale.

S dng bt đng thc Markov, Đnh lý 1.3.4 và điu kin (2.1.3) ta có

P1

bn 1knY nk − E(Y nk|Gk−1) > ε/2

2 p

ε pb pnE

1kn

Y nk − E(Y nk|Gk−1) p

2 pC

ε pb pn

1kn

EY nk − E(Y nk|Gk−1) p → 0 khi |n| → ∞. (2.1.6)

Kt hp (2.1.4), (2.1.5) và (2.1.6) ta nhn đưc (2.1.1).

H qu sau đây đưc suy ra trc tip t Đnh lý 2.1.1 và nó đưa ratiêu chun hi t suy bin đi vi mng phù hp.

2.1.2 H qu. Gi s an, n ∈ Nd và bn, n ∈ Nd là hai mng các

s thc dương, X n, F n, n ∈ Nd là mt mng phù hp nhn giá tr

trong không gian Banach p-kh trơn E (1 p 2) tha mãn điu kin

E(X nI A|Gn−1) là F n/B (E) đo đưc vi mi A ∈ σ(X n) và mi n ∈ Nd.

Đt Y nk = X k I (X kan). Khi đó 1

bn

1kn

X kP→ 0 khi |n| → ∞ (2.1.7)

nu

1

bn 1kn

E(Y nk|Gk−1) P→ 0 khi |n| → ∞ (2.1.8)

và hai điu kin (2.1.2), (2.1.3) đưc tha mãn.



31

Chú ý rng trong trưng hp d = 1, điu kin E(X nI A|Gn−1) là

F n/

B (E) đo đưc vi mi A

∈ σ(X n) và mi n

∈Nd đưc suy ra t gi

thit X n, F n, n ∈ Nd là mt mng phù hp. Tuy nhiên, nu d > 1 thìđiu này không còn đúng na. Ví d sau đây đưc da trên Ví d 3.1

trong [3] và s chng minh khng đnh này.

2.1.3 Ví d. Gi s (Ω, F ,P) là mt không gian xác sut ri rc vi

Ω = n : n ∈ Nd ⊂ R, F = 2Ω,

P

(n) = pn > 0 (n ∈Nd

).

Vi mi n ∈ Nd, đt

X n = I (n), F n = σX k : 1 k n,

An = k : k ∈ Nd sao cho tn ti i : 1 i d đ ki < ni.

Khi đó X n, F n, n ∈ Nd là mt mng phù hp nhn giá tr thc. Hơn

na, vi mi n ∈Nd,

Gn−1 = σX k : k ∈ Nd sao cho tn ti i : 1 i d đ ki < ni

= C,D ,C ∪ D : C ⊂ An, D = Ω\D ⊂ An.

Vi mi n ∈ Nd, đt Y n = aI (An) trong đó a = pn/P(An). Ta s chng

minh Y n = E(X n|Gn−1) vi mi n ∈ Nd. Do Y n là Gn−1/B (R) đo đưc

vi mi n ∈ Nd nên vn đ còn li là cn ch ra E(Y nI (B)) = E(X nI (B))

vi mi B ∈ Gn−1.Trong trưng hp B ⊂ An, ta đưc I (An)I (B) = 0 và X nI (B) = 0, do

đó E(Y nI (B)) = E(X nI (B)) = 0.

Trong trưng hp B ⊂ An, ta đưc I (An)I (B) = I (An) và X nI (B) = X n,

do đó E(Y nI (B)) = E(X nI (B)) = pn.

Xét trưng hp còn li khi B = C ∪ D trong đó C, D ⊂ An, ta có

I (B) = I (C ) + I (D)

−I (C

∩D). Do C

∩D

⊂ An nên bng nhng lp lun

tương t như hai trưng hp trên ta ch ra đưc E(Y nI (B)) = E(X nI (B)).



33

đo đưc vi mi A ∈ σ(X n) và mi n ∈ Nd. Hơn na, vi mi ε > 0,

P 1

bn

1kn

X k > ε

= P n1+1i=1

Y i − 1 > bnε

1

bnε

E

n1+1i=1

Y i + 1

= 1

2|n|ε

n1+1i=2

2(1 − i−1)

+ 1

= 12|n|ε

2n1n1+1i=2

(1 − i−1) + 1

= 1

2|n|ε

2n1

n1 + 1 + 1

→ 0 khi |n| → ∞,

hay (2.1.7) đúng. Tuy nhiên

1kn

P(|X k| > an) =

n1

j=1

P j+1

i=1

Y i − j

i=1

Y i > n1=

n1 j=1

P

|Y j+1 − 1|

ji=1

Y i > n1

=

n1 j=1

P

ji=1

Y i > n1

log2 n1 jn1

P j

i=1

Y i > n1=

log2 n1 jn1

ji=2

(1 − i−1)

=

log2 n1 jn1

j−1

log2 n1 jn1

j+1

jx−1dx

0 khi n1 → ∞.

Do đó (2.1.2) không đưc tha mãn.



34

Trong trưng hp X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên

đc lp, t H qu 2.1.2 ta nhn đưc h qu sau đây. H qu này m

rng tiêu chun hi t suy bin c đin.

2.1.6 H qu. Gi s an, n ∈ Nd và bn, n ∈ Nd là hai mng các

s thc dương, X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên đc lp,

nhn giá tr trong mt không gian Banach p-kh trơn (1 p 2). Đt

Y nk = X k I (X kan). Khi đó (2.1.7) đúng nu các điu kin sau đây

đưc tha mãn:1kn

PX k > an→ 0 khi |n| → ∞,

1

b pn

1kn

EY nk − EY nk p → 0 khi |n| → ∞,

1

bn

1kn

EY nk → 0 khi |n| → ∞.

Ví d sau đây s ch ra rng vi mi s nguyên dương d, H qu 2.1.2thc s mnh hơn H qu 2.1.6. C th hơn, ví d này s đ cp đn

mt trưng hp mà lut yu s ln (2.1.7) đưc suy ra t H qu 2.1.2

và không th suy ra t H qu 2.1.6.

2.1.7 Ví d. Gi s d là mt s nguyên dương bt kỳ, an = |n|2,

bn = |n|4 (n ∈ Nd), X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên

cùng phân phi, nhn giá tr thc và có hàm mt đ xác sut

f (x) =

1/x2 nu x > 1,0 nu ngưc li.

Ta gi s thêm rng X n, n ∈ Nd không là mt mng các bin ngu

nhiên đc lp. Khi đó kt lun (2.1.7) không th suy ra t H qu 2.1.6.



35

Tuy nhiên, X n, F n = F , n ∈ Nd là mt mng phù hp tha mãn

1kn

P(|X k| > an) = |n|

∞

|n|21

x2 dx =

1

|n| → 0 khi |n| → ∞,

1

b2n

1kn

E|Y nk − E(Y nk|Gk−1)|2 → 0 khi |n| → ∞,

1

bn

1kn

E(Y nk|Gk−1) 1

|n|4

1kn

|n|2 = 1

|n| → 0

khi |n| → ∞. Do đó các điu kin (2.1.2), (2.1.3) và (2.1.8) đưc tha

mãn. T H qu 2.1.2 ta nhn đưc (2.1.7).Lut yu s ln Kolmogorov-Feller (xem [17, tr. 279]) đã đưc tip

tc nghiên cu bi A. Gut trong [16] cho dãy các bin ngu nhiên đc

lp, cùng phân phi, nhn giá tr thc, và bi A. Rosalsky và Lê Văn

Thành trong [52] cho mng các bin ngu nhiên đc lp, nhn giá tr

trong không gian Banach Rademacher loi p. Trong phn tip theo,

lut yu s ln Kolmogorov-Feller s đưc thit lp cho mng phù hp,trong đó gi thit cùng phân phi đưc thay th bi mt gi thit yu

hơn, đó là gi thit b tri ngu nhiên. Nhưng trưc ht, chúng ta cn

b đ sau đây:

2.1.8 B đ. Nu p là mt s thc (1 p 2) và k là mt s nguyên

dương thì

(i) k p/r p

r

ki=1

i p/r−1, r ∈ (0, p),

(ii)ki=i0

i p/r−2 r

k p/r−1 − (i0 − 1) p/r−1

p − r , i0 ∈ N, r ∈ ( p/2, p).

Chng minh . (i) Vì r ∈ (0, p) nên hàm y = x p/r−1 đng bin trên tp

(0, ∞). Do đó, vi mi i = 1, 2,...,k, ta có

i p/r−1 = ii−1

i p/r−1dx ii−1

x p/r−1dx.



36

Điu này kéo theoki=1

i p/r

−1

ki=1

ii−1

x p/r

−1

dx = k

0x p/r

−1

dx = r

p k p/r

.

(ii) Trong trưng hp này, y = x p/r−2 là hàm nghch bin trên tp

(0, ∞). Khi đó, vi mi i = 1, 2,...,k,

i p/r−2 =

ii−1

i p/r−2dx

ii−1

x p/r−2dx.

Do vy

ki=i0

i p/r−2 ki=i0

i

i−1x p/r−2dx =

r

p − r

k p/r−1 − (i0 − 1) p/r−1

.

B đ đưc chng minh.

2.1.9 Đnh lý. Gi s p là mt s thc (1 p 2), α =(α1,...,αd) ∈ Rd

tha mãn αmin > 1/p, X n, F n, n ∈ Nd là mt mng phù hp nhn giá

tr trong không gian Banach p-kh trơn E tha mãn X n, n ∈ Nd b

tri ngu nhiên bi bin ngu nhiên X và E(X nI A|Gn−1) là F n/B (E) đođưc vi mi A ∈ σ(X n) và mi n ∈ Nd. Đt Y nk = X k I (X k|n(α)|).

Nu

limλ→∞

λP(X > λαmin) = 0 (2.1.9)

thì 1

|n(α)

| 1knX k − E(Y nk|Gk−1)

P→ 0 khi |n| → ∞. (2.1.10)

Chng minh . Chúng ta cn ch ra hai điu kin (2.1.2) và (2.1.3) trong

Đnh lý 2.1.1 đưc tha mãn vi an = bn = |n(α)|.T (2.1.9) ta suy ra

1kn

PX k > |n(α)| C

1kn

PX > |n(α)|

= C |n|PX > |n(α)| C |n|P(X > |n|αmin) → 0 khi |n| → ∞,



37

do đó (2.1.2) đúng.

Tip theo, ta s chng minh

1

|n(α)| p

1kn

EY nk − E(Y nk|Gk−1) p → 0 khi |n| → ∞.

S dng (2.1.9) và bt đng thc Jensen ta có

1

|n(α)| p

1kn

EY nk − E(Y nk|Gk−1) p

1

|n(α)| p

1kn

EY nk

+

E(Y nk

|Gk

−1)

p

1

|n(α)| p

1kn

EY nk + E(Y nk |Gk−1) p

2 p−1

|n(α)| p

1kn

EY nk p + E(E(Y nk p|Gk−1))

= 2 p

|n(α)

| p 1

k

n

EY nk p

= 2 p

|n(α)| p

1kn

EX k p I (X k|n|αmin)

+ 2 p

|n(α)| p

1kn

EX k p I (|n|αmin<X k|n(α)|)

= 2 p

|n(α)| p

1kn


+ 2 p

|n(α)| p

1kn

|n(α)| p P(|n|αmin < X k |n(α)|)

2 p

|n(α)| p

1kn


+ 2 pC

1kn

PX > |n|αmin

= 2 p

|n(α)| p

1kn


+ 2 pC |n|PX > |n|αmin

2 p

|n(α)| p 1kn

EX k p I

(X k

|n|αmin

)+ o(1) (khi

|n| → ∞

).



38

Do vy, ta ch cn chng minh1

|n(α)| p 1kn

EX k p I

(X k|n|αmin

)→ 0 khi

|n| → ∞

.

T B đ 2.1.8(i) ta suy ra1

|n(α)| p

1kn


= 1

|n(α)| p 1k

n

|n|

i=1

E

X k p I ((i−1)

αmin<X kiαmin)

1

|n(α)| p

1kn

|n|i=1

i p αmin P

(i − 1)αmin < X k iαmin

p αmin

|n(α)| p

1kn

|n|i=1

i j=1

j p αmin−1P

(i − 1)αmin < X k iαmin

= p αmin

|n(α)| p

1kn

|n|

j=1

j p αmin−1

|n|

i= j

P(i

−1)αmin <

X k

iαmin

C

|n(α)| p

1kn

|n| j=1

j p αmin−1PX k > ( j − 1)αmin

C

|n(α)| p

1kn

|n| j=1

j p αmin−1PX > ( j − 1)αmin

= C |n||n(α)| p|n| j=1


C

|n| p αmin−1

|n| j=1


.

Trong trưng hp αmin > 2/p, ta đưc j p αmin−2 |n| p αmin−2 vi mi

j = 1, 2,..., |n|. Hơn na, t (2.1.9) ta nhn đưc

lim j→∞ j P(X > ( j − 1)αmin) = 0.



39

Nhng điu này cùng vi đnh lý Stolz đm bo rng

0 1

|n(α)| p 1kn

EX k p I

(X k

|n|αmin

)

C 1

|n||n| j=1

j P(X > ( j − 1)αmin) → 0 khi |n| → ∞.

Bây gi chúng ta s xét tip trưng hp 1/p < αmin < 2/p. Vì

lim j→∞

j P(X > ( j − 1)αmin) = 0

nên vi mi ε > 0, tn ti j0 ∈ N tha mãn

j P(X > ( j − 1)αmin) < ε, j j0.

Khi đó theo B đ 2.1.8(ii),

1

|n| p αmin−1

|n| j=1


= 1|n| p αmin−1

j0 j=1


+ 1

|n| p αmin−1

|n| j= j0+1


C

|n| p αmin−1 +

ε

|n| p αmin−1

|n|

j= j0 j p αmin−2

o(1) + ε|n| p αmin−1

1 p αmin − 1

|n| p αmin−1 − ( j0 − 1) p αmin−1

o(1) + ε

p αmin − 1 (vi mi |n| > j0).

Điu này kéo theo

1

|n| p αmin−1

|n|

j=1

j p αmin−1P

X > ( j − 1)αmin

→ 0 khi |n| → ∞.

Vì vy, đnh lý đưc chng minh.



40

Ví d sau đây minh ha cho Đnh lý 2.1.9. Nó s ch ra rng điu

kin αmin > 1/p không th thay th bi điu kin αmin 1/p. Ví d này

đưc ly ý tưng t Ví d 5.1 trong [52].

2.1.10 Ví d. Ta đ cp đn không gian 1 gm các dãy s thc kh

tng x = x j, j 1 vi x =∞ j=1 |x j|. Theo Nhn xét 1.1.8(iii) thì

1 là không gian 1-kh trơn. Vi mi j 1, phn t thuc 1 có v trí th

j nhn giá tr bng 1 và nhng v trí còn li đu nhn giá tr bng 0 đưc

ký hiu là x( j). Gi s ϕ : Nd → N là mt song ánh và X n, n ∈ Nd là

mt mng các bin ngu nhiên đc lp tha mãn

P

X n = x(ϕ(n))

= P

X n = −x(ϕ(n))

= 1

2 , n ∈ N

d.

Khi đó X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên đc lp và

có kỳ vng bng 0. Hơn na,

X n, F n = σX k, 1 k n, n ∈ Ndlà mt mng phù hp, nhn giá tr trong không gian Banach 1-kh trơn

1 tha mãn E

(X nI A|Gn−1) là F n-đo đưc vi mi A ∈ σ(X n) và min ∈ Nd.

Nhn thy X n, n ∈ Nd b tri ngu nhiên bi X 1 và gi thit (2.1.9)

đưc tha mãn vi α = 1. Tuy nhiên, vi mi n ∈ Nd,

1

|n(α)| 1kn

X k − E(Y nk|Gk−1) = 1

|n| 1kn

X k

= 1.

Vì vy, kt lun (2.1.10) ca Đnh lý 2.1.9 không đúng.

H qu sau đây thit lp lut yu s ln Kolmogorov-Feller cho mng

các bin ngu nhiên đc lp.

2.1.11 H qu. Gi s p là mt s thc (1 p2),α =(α1,...,αd) ∈ Rd

tha mãn αmin > 1/p, X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên

đc lp, nhn giá tr trong mt không gian Banach p-kh trơn và b

tri ngu nhiên bi bin ngu nhiên X . Đt Y nk = X k I (X k|n(α)|).



41

Khi đó (2.1.9) kéo theo

1

|n(α)| 1kn

(X k − EY nk) P

→ 0 khi |n| → ∞.

2.1.12 H qu. Gi s r là mt s thc (r > 1/2), X n, n ∈ Nd là

mt mng các bin ngu nhiên đc lp, cùng phân phi và nhn giá tr

thc. Nu

limλ→∞

λP(|X 1| > λr) = 0

thì

1

|n|r 1kn

X k − |n| EX 1 I (|X 1||n|r)

P→ 0 khi |n| → ∞.

Trong trưng hp d = 1 và r = 1, H qu 2.1.12 kéo theo lut yu s

ln Kolmogorov-Feller.

2.2. Lut yu s ln đi vi mng phù hp theo hàngHai khái nim mng phù hp theo hàng và mng hiu martingale theo

hàng đã đưc gii thiu bi Nguyn Văn Qung và Nguyn Ngc Huy

trong [47]. Trong mc này, chúng tôi tip tc nghiên cu tiêu chun hi

t suy bin và lut yu s ln Kolmogorov-Feller đi vi mng phù hp

theo hàng, nhn giá tr trong không gian Banach p-kh trơn.

TrênN2

, ta xét quan h th t t đin: (i, j) (k, l) nu i < k, hoci = k và j < l. Quan h th t này đưc s dng trong hai đnh nghĩa

sau đây:

2.2.1 Đnh nghĩa. Gi s F mn, m 1, n 1 là mt mng các σ-đi

s con ca F tha mãn F ij ⊂ F kl vi mi (i, j) (k, l), X mn, m 1,

n 1 là mt mng các bin ngu nhiên nhn giá tr trong không gian

Banach E và X mn là F mn/

B (E) đo đưc vi mi m 1, n 1. Khi đó

X mn, F mn, m 1, n 1 đưc gi là mt mng phù hp theo hàng .



42

2.2.2 Chú ý. Trong mc này, ta quy ưc

F 1,0 = ∅, Ω, F i,0 =

∞ j=1

F i−1,j nu i > 1.

2.2.3 Đnh nghĩa. Mng phù hp theo hàng X mn, F mn, m1, n1đưc gi là mt mng hiu martingale theo hàng nu nó lp thành hiu

martingale trên mi hàng, nghĩa là, vi mi m 1,

E(X m,n|F m,n−1) = 0 h.c.c., n 1.

B đ sau đây thit lp mt bt đng thc moment đi vi mng hiu

martingale theo hàng, nhn giá tr trong không gian Banach p-kh trơn.

2.2.4 B đ. Nu E là mt không gian Banach p-kh trơn (1 p 2)

thì tn ti hng s dương C = C ( p) sao cho vi mi mng hiu

martingale theo hàng X mn, F mn, m1, n1 nhn giá tr trong E,

E

mi=1

n j=1

X ij

p C

mi=1

n j=1

EX ij p, m 1, n 1. (2.2.1)

Chng minh . Vi mi m 1 và n 1, ta liên kt m hàng ca mngX ij, F ij, 1 i m, 1 j n đ thu đưc dãy X j , F j, 1 j mnbng cách đt

X 1 = X 11, X 2 = X 12,...,X n = X 1n,

.............., X (i−1)n+ j = X ij, ...........

X (m−

1)n+1 = X m1,...,X m·n = X mn,

vàF 1 = F 11, F 2 = F 12,..., F n = F 1n,..............,F (i−1)n+ j = F ij, ...........

F (m−1)n+1 = F m1,..., F m·n = F mn.Khi đó

m

i=1

n

j=1

X ij =

mn

i=1

X i,m

i=1

n

j=1

X ij

p =

mn

i=1

X i p. (2.2.2)



43

Hơn na, vì X mn, F mn, m 1, n 1 là mt mng hiu martingale

theo hàng nên vi mi (i, j)

(k, l),

E(X kl|F ij) = EE(X kl|F k,l−1)|F ij

= E(0|F ij) = 0.

Điu này đm bo rng X j , F j, 1 j mn là mt hiu martingale.

T (2.2.2) và B đ 1.1.10 ta nhn đưc (2.2.1).

Đnh lý sau đây m rng tiêu chun hi t suy bin đi vi mng phù

hp theo hàng. Chú ý rng, trong kt qu này, điu kin đo đưc tương

t như trong Đnh lý 2.1.1 là không cn thit.2.2.5 Đnh lý. Gi s amn, m 1, n 1 và bmn, m 1, n 1 là

hai mng các s thc dương, X mn, F mn, m 1, n 1 là mt mng

phù hp theo hàng và nhn giá tr trong mt không gian Banach p-kh

trơn (1 p 2). Đt Y mnij = X ij I (X ijamn). Khi đó

1

bmn

m

i=1

n

j=1X ij − E(Y mnij |F i,j−1)

P→ 0 khi mn → ∞ (2.2.3)

nu hai điu kin sau đây đưc tha mãn:mi=1

n j=1

P(X ij > amn) → 0 khi mn → ∞, (2.2.4)

1

b pmn

mi=1

n j=1

EY mnij−E(Y mnij|F i,j−1) p→0 khi mn→∞. (2.2.5)

Chng minh . Vi mi ε > 0, ta có

P

1

bmn

mi=1

n j=1

X ij −E(Y mnij |F i,j−1) > ε

P

1

bmn

mi=1

n j=1

(X ij − Y mnij) > ε/2

+ P 1

bmnm

i=1

n

j=1Y mnij

−E(Y mnij

|F i,j

−1) > ε/2. (2.2.6)



44

T (2.2.4) ta thu đưc

P 1

bmn mi=1

n j=1

(X ij − Y mnij)

> ε/2

= P

1

bmn

mi=1

n j=1

X ij I (X ij>amn)

> ε/2

P

1im1 jn

(X ij > amn)

mi=1

n j=1

P(X ij > amn) → 0 khi mn → ∞. (2.2.7)

Nhn thy Y mnij − E(Y mnij|F i,j−1), F ij, i 1, j 1 là mt mng

phù hp theo hàng. Hơn na, vi mi i 1 và j 1,

E

Y mnij −E(Y mnij|F i,j−1)|F i,j−1

= 0.

Do đó Y mnij − E(Y mnij|F i,j−1), F ij, i 1, j 1 là mt mng hiu

martingale theo hàng. S dng bt đng thc Markov, B đ 2.2.4 vàđiu kin (2.2.5), ta có

P

1bmn

mi=1

n j=1

Y mnij −E(Y mnij|F i,j−1) > ε/2

2 p

ε p E

1

bmn

mi=1

n j=1

Y mnij − E(Y mnij |F i,j−1)

p

= 2 p

b pmnε p E

mi=1

n j=1

Y mnij − E(Y mnij |F i,j−1) p

C 2 p

b pmnε p

mi=1

n j=1

EY mnij−E(Y mnij |F i,j−1) p→0 khi mn →∞. (2.2.8)

Kt hp (2.2.6), (2.2.7) và (2.2.8) ta nhn đưc (2.2.3).

H qu sau đây đưc suy ra trc tip t Đnh lý 2.2.5 và đưa ra tiêu

chun hi t suy bin đi vi mng phù hp theo hàng.



45

2.2.6 H qu. Gi s amn, m 1, n 1 và bmn, m 1, n 1 là

hai mng các s thc dương,

X mn,

F mn, m 1, n 1

là mt mng

phù hp theo hàng và nhn giá tr trong mt không gian Banach p-kh

trơn (1 p 2). Đt Y mnij = X ij I (X ijamn). Khi đó

1

bmn

mi=1

n j=1

X ijP→ 0 khi mn → ∞

nu

1bmn

mi=1

n j=1

E(Y mnij|F i,j−1) P→ 0 khi mn → ∞

và hai điu kin (2.2.4), (2.2.5) đưc tha mãn.

Rõ ràng, nu X mnP−→ X khi mn → ∞ thì X 1n

P−→ X khi n → ∞.

Do vy, t H qu 2.2.6 ta thu đưc Đnh lý 2.1 trong [48].

Đnh lý sau đây thit lp lut yu s ln Kolmogorov-Feller đi vi

mng phù hp theo hàng. Trưng hp r = s và E = R, kt qu này kéotheo Đnh lý 3.4 trong [47]. Phn chng minh ca Đnh lý 2.2.7 là hoàn

toàn tương t như đi vi Đnh lý 2.1.9 nên nó s không đưc đ cp.

2.2.7 Đnh lý. Gi s p, r, s là các s thc dương tha mãn 1 p 2

và r s < p, X mn, F mn, m 1, n 1 là mt mng phù hp theo

hàng, nhn giá tr trong mt không gian Banach p-kh trơn và tha mãn

điu kin X mn, m 1, n 1 b tri ngu nhiên bi bin ngu nhiên X .Đt Y mnij = X ij I (X ijm1/rn1/s). Nu

limλ→∞

λPX > λ1/s

= 0

thì

1

m1/rn1/s

m

i=1

n

j=1X ij −E(Y mnij|F i,j−1)

P→ 0 khi mn → ∞.



46


Trong chương này, lun án đã gii quyt đưc nhng vn đ sau:- M rng tiêu chun hi t suy bin đi vi mng phù hp và mng

phù hp theo hàng;

- Thit lp lut yu s ln Kolmogorov-Feller đi vi mng phù hp

và mng phù hp theo hàng;

- Đưa ra các ví d làm sáng t hơn cho các kt qu chính và nhng

vn đ liên quan.



48

trong trưng hp n ∈ Λm, ta ký hiu

r

(m)

n (i) = min

r: r ∈ [ωi(ni), ωi(ni + 1) ∩ [2mi

, 2mi+1

)

(1 i d),r(m)n =

r(m)n (1), r

(m)n (2),...,r

(m)n (d)

.

D thy rng nu ω(n) = 2n−1 vi mi n ∈ Nd thì ∆n = ∆(n−1), do

đó ϕ(n) = ψ(n) = 1 vi mi n ∈ Nd.

Trong phn tip theo, chúng ta s đ cp đn khái nim mng hiu

martingale theo khi. Đ thun li cho vic đưa ra khái nim này, chúng

ta cn trình bày đnh nghĩa mng hiu martingale cho trưng hp tpch s đưc thu hp theo khi. Chú ý rng khái nim cơ s ngu nhiên

và khái nim mng phù hp đưc s dng sau đây ch là s thu hp ch

s t các khái nim tương ng đã đưc đ cp trong Mc 1.2.

Gi s F n, n ∈ Nd0, n m là mt cơ s ngu nhiên (quy ưc

F n = ∅, Ω nu |n| = 0). Vi mi n: 0 n m − 1, đt

F 1n =

1limi (2id)

F n1l2l3...ld := σ m2l2=1

m3l3=1

...

mdld=1

F n1l2l3...ld

,

F jn =

1limi (1i j−1)

1limi ( j+1id)

F l1...lj−1njlj+1...ld nu 1 < j < d,

F dn =

1limi (1id−1)

F l1l2...ld−1nd,

trong trưng hp d = 1, đt F

1

n =

F n.

3.1.1 Đnh nghĩa. Mng phù hp X n, F n, n ∈ Nd, n m đưc

gi là mt mng hiu martingale nu E(X n|F in−1) = 0 h.c.c. vi mi

1 n m và mi i = 1, 2,...,d.

3.1.2 Nhn xét.(i) Nu X n, F n, n ∈ Nd là mt mng hiu martingale thì vi mi

k, l ∈ Nd (k l), X n, F n, k n l là mt mng hiu martingale.



50

mi n m và

E 1nk

aπ1

(n1

)π2(n

2)...π

d(n

d) X π

1(n

1)π

2(n

2)...π

d(n

d) p

E

1nl

aπ1(n1)π2(n2)...πd(nd) X π1(n1)π2(n2)...πd(nd)

pvi mi k, l (1 k l m), mi mng các s thc an, 1 n mvà mi phép hoán v π1, π2,..., πd tương ng trên các tp s nguyên

1, 2,...,l1, 1, 2,...,l2,..., 1, 2,...,ld.

3.1.7 Nhn xét.(i) Trong trưng hp X n, n m là mt mng các bin ngu nhiên

nhn giá tr thc, nu X n, n m là mt mng trc giao (xem [37,

tr. 256]) thì nó là mt mng 2-trc giao.

(ii) Nu X n, n m là mt mng các bin ngu nhiên p-trc giao

(1 p < ∞) thì X n, k n l là mt mng p-trc giao vi mi

1

k

l

m.

3.1.8 Đnh nghĩa. Mng các bin ngu nhiên X n, n ∈ Nd đưc

gi là mt mng p-trc giao theo khi (1 p < ∞) đi vi các khi

∆k, k ∈ Nd nu X n, n ∈ ∆k là mt mng p-trc giao vi mi

k ∈ Nd.

B đ sau đây đã đưc chng minh bi F. Móricz, K. L. Su và

R. L. Taylor cho trưng hp d = 2 (xem [39, B đ 3.2]). Trong trưng

hp d > 2, nó cũng đưc chng minh tương t.

3.1.9 B đ. Nu X n, n ∈ Nd, n m là mt mng các bin ngu

nhiên p-trc giao, nhn giá tr trong mt không gian Banach Rademacher

loi p (1 p 2) thì tn ti mt hng s dương C (không ph thuc

vào m) sao cho

E max1km 1lk

X l p C

d

i=1

(1 + log2

mi) p 1km

E

X k

p.



52

T (3.1.3), (3.1.4) và (3.1.5), vi mi n ∈ Nd (|n| m0), ta có

di=1

Φi(2ni)−1

0kn

di=1

Φi(2ki+1)

xk

di=1

Φi(2ni)−1

|k|<n0, 0kn

di=1

Φi(2ki+1)

xk

+ di=1

Φi(2ni)−1

|k|n0, 0kn

di=1

Φi(2ki+1)

xk

ε2

+ C ε2C

= ε.

Vì vy, ta nhn đưc kt lun (3.1.2).

B đ tip theo đưc ly ý tưng t B đ 2.6 ca I. Fazekas và

T. Tómács [12]. B đ này là mt dng nhiu chiu ca b đ Kronecker.

3.1.11 B đ. Gi s xn, n ∈ Nd là mt mng các s thc không âm

và bn, n ∈ Nd là mt mng không gim các s thc dương tha mãn bn → ∞ khi n → ∞. Nu

n∈Nd

xn < ∞

thì

1

bn

1kn

bkxk

→ 0 khi n

→ ∞. (3.1.6)

Chng minh . Vi mi ε > 0, tn ti n0 ∈ Nd sao chok∈Nd

xk −

1kn0

xk ε.

Do đó, vi mi n n0,

0 1

bn 1kn

bkxk− 1kn0

bkxk 1kn

xk− 1kn0

xk ε,



53

điu này kéo theo

1

bn 1kn

bkxk − 1kn0

bkxk→ 0 khi n → ∞. (3.1.7)

Mt khác, vì bn → ∞ khi n → ∞ nên

1

bn

1kn0

bkxk → 0 khi n → ∞. (3.1.8)

Kt hp (3.1.7) và (3.1.8) ta nhn đưc (3.1.6).

3.1.12 B đ. Gi s X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên

nhn giá tr thc tha mãn

limn→∞P

supkn

|X k| ε

= 0 (3.1.9)

vi mi ε > 0. Khi đó X n → 0 h.c.c. khi n → ∞.

Chng minh . Vi mi n ∈ N

d

và mi i, j 1, đt

A(i)n =kn

|X k| 1

i

, B

(i) j = A

(i) j,j,...,j.

Khi đó n∈Nd

A(i)n = j∈N

B(i) j ,

và điu này kéo theoP

n∈Nd

A(i)n

= P

j∈N

B(i) j

= lim j→∞

P(B(i) j ).

Vi mi i 1, mng P(A(i)n ), n ∈ Nd và dãy P(B

(i) j ), j 1 không

tăng và b chn dưi bi 0 nên

limn→∞

P(A(i)n ) = lim j→∞

P(B(i)

j

) = P n∈Nd

A(i)n . (3.1.10)



54

T (3.1.9) và (3.1.10) ta nhn đưc

P n∈Nd

kn

|X k| 1

i

= limn→∞P kn

|X k| 1

i

limn→∞P

supkn

|X k| 1

i

= 0.

Đt

A =i1

n∈Nd

kn

|X k| 1

i

.

Khi đó P(A) = 0 và nu ω /∈ A thì

ω ∈i1

n∈Nd

kn

|X k| < 1

i

,

nghĩa là vi mi i 1, tn ti l ∈ Nd sao cho |X k(ω)| < 1/i vi mi

k l. Điu này kéo theo X k → 0 h.c.c. khi k → ∞.

3.2. Lut mnh s ln đi vi mng các bin ngu nhiên chotrưng hp n → ∞Mc này đưc dành đ thit lp lut mnh s ln tng quát đi vi

mng các bin ngu nhiên theo gii hn n → ∞ cho c hai trưng hp:

có và không có điu kin hình hc ca không gian Banach. Phương pháp

chng minh các kt qu này ch yu da vào bt đng thc cc đi dng

bt đng thc Hájek-Rényi đưc trình bày trong Đnh lý 1.3.3 và mt

dng nhiu chiu ca b đ Kronecker đưc trình bày trong B đ 3.1.11.

I. Fazekas và O. Klesov trong [11] đã chng minh mt bt đng thc

cc đi dng bt đng thc Hájek-Rényi và đưa ra điu kin đ mt

dãy các bin ngu nhiên tuân theo lut mnh s ln tng quát. Sau đó,

O. Klesov, I. Fazekas, C. Noszály và T. Tómács trong [30] đã m rng

kt qu này cho trưng hp nhiu chiu. H đã đưa ra điu kin đ mt



55

mng các bin ngu nhiên nhn giá tr thc tuân theo lut mnh s ln1

bn

1kn

X k →

0 h.c.c. khi n → ∞

, (3.2.1)

trong đó bn, n ∈ Nd là mt mng có dng tích ca d dãy các s thc

dương, không gim và không b chn, nghĩa là bn =di=1 b

(i)ni , trong đó

b(i) j , j 1 là mt dãy các s thc dương, không gim và không b chn

vi mi i = 1, 2,...,d. Kt qu ca h đưc phát biu như sau:

3.2.1 Đnh lý. ([30], Đnh lý 3.2) Gi s p là mt s thc dương,

an, n ∈ Nd là mt mng các s thc không âm, bn, n ∈ Nd là mt mng có dng tích ca d dãy các s thc dương, không gim và không b

chn, X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên nhn giá tr thc

tha mãn

E

max1kn

1lk

X l

p

1kn

ak, n ∈ Nd.

Khi đó điu kin n∈Nd

anb pn

< ∞ (3.2.2)

kéo theo lut mnh s ln (3.2.1).

Nhn xét sau đây liên quan đn điu kin ca dãy bn, n ∈ Nd đưc

s dng trong Đnh lý 3.2.1.

3.2.2 Nhn xét. Gi s bn, n ∈Nd

là mt mng có dng tích ca ddãy các s thc dương, không gim và không b chn. Khi đó tn ti

d dãy các s thc dương, không gim và không b chn b(1) j , j 1,

b(2) j , j 1,..., b

(d) j , j 1 sao cho

bn = b(1)n1 b

(2)n2 ...b

(d)nd , n ∈ N

d. (3.2.3)

Chú ý rng bn =

1kn bk, do đó

bn = (b(1)n1 − b

(1)n1−1)(b

(2)n2 − b

(2)n2−1)...(b

(d)nd − b

(d)nd−1), n ∈ Nd. (3.2.4)



57

3.2.4 Đnh lý. Gi s p là mt s thc dương, an, n ∈ Nd là mt

mng các s thc không âm,

bn, n

∈ Nd

là mt mng các s thc

dương, có sai phân không âm và bn → ∞ khi n → ∞, X n, n ∈ Ndlà mt mng các bin ngu nhiên nhn giá tr trong mt không gian

Banach thc và kh ly sao cho tn ti hng s C > 0 đ vi mi m n(m, n ∈ Nd) thì

E

max1kn

1lk

X lbl + bm

p

C

1kn

ak(bk + bm) p

. (3.2.7)

Khi đó điu kin (3.2.2) kéo theo lut mnh s ln (3.2.1).

Chng minh . T (3.2.7) và Đnh lý 1.3.3, vi mi ε > 0 và mi m n,

P

maxmkn

1

bk

1lk

X l

ε

C

ε p E

max1kn

1lk

X lbl + bm

p

C

ε p 1kn

ak(bk + bm) p

.

Khi đó, cho n → ∞, ta có

P

supkm

1

bk

1lk

X l

ε

C

ε p

k∈Nd

ak(bk + bm) p

= C

ε p

1km

ak(bk + bm) p

+ k∈Nd

ak(bk + bm) p

−

1km

ak(bk + bm) p

C

ε p

1km

ak

b pm

+ k∈Nd

ak

b pk − 1km

ak

b pk. (3.2.8)

Mt khác, t (3.2.2) và B đ 3.1.11 ta suy ra

limm→∞

1

b pm

1km

ak

= 0, (3.2.9)

và cũng t (3.2.2),

limm→∞

k∈Nd

ak

b pk − 1km

ak

b pk = 0. (3.2.10)



59

Các kt qu tip theo là nhng trưng hp riêng ca Đnh lý 3.2.4

khi ta b sung các gi thit v cu trúc ca mng các bin ngu nhiên

và tính cht hình hc ca không gian Banach. Đnh lý sau đây đưa ramt đc trưng ca không gian Banach p-kh trơn dưi dng lut mnh

s ln tng quát đi vi mng hiu martingale.


nguyên dương. Khi đó hai phát biu sau là tương đương:


(ii) Vi mi mng hiu martingale X n, F n, n ∈ Nd nhn giá tr trong E, mi mng bn, n ∈ Nd các s thc dương, có sai phân không

âm và bn → ∞ khi n → ∞, điu kin n∈Nd

EX n pb pn

< ∞ (3.2.11)


Chng minh . (i) ⇒ (ii): D thy rng nu X n, F n, n ∈ Nd là mt mng

hiu martingale thì vi mi m ∈ Nd, X n/(bn + bm), F n, n ∈ Nd cũng

là mt mng hiu martingale. Vì vy, kéo theo ((i) ⇒ (ii)) đưc suy ra

t Đnh lý 1.3.4 và Đnh lý 3.2.4.

(ii) ⇒ (i): Gi s phát biu (ii) đúng vi mt s nguyên dương d nào

đó. Ta s s dng B đ 1.1.10 đ chng minh E là mt không gian

Banach p-kh trơn.Tht vy, gi s X j , F j, j 1 là mt hiu martingale nhn giá tr

trong E và tha mãn điu kin (1.1.2). Vi mi n ∈ Nd, đt bn = n1.

Khi đó bn, n ∈ Nd là mt mng các s thc dương, có sai phân không

âm và bn → ∞ khi n → ∞. Hơn na, s dng cách xây dng mng

hiu martingale xut phát t hiu martingale X j , F j, j 1 như trong

Ví d 1.2.5, ta thu đưc mng hiu martingale X n, F n, n ∈ Nd

tha



60

mãn đng thc

n∈Nd

E

X n

p

b pn =

∞n1=1

E

X n1

p

n p1 .

Vy nên (1.1.2) kéo theo (3.2.11), do đó ta nhn đưc lut mnh s ln

(3.2.1). Điu này cùng vi đng thc

1

n1

n1 j=1

X j = 1

bn

1kn

X k

đm bo rng (1.1.3) đúng. Theo B đ 1.1.10, E là mt không gian

p-kh trơn.

Trong trưng hp d = 1, Đnh lý 3.2.6 kéo theo h qu sau đây. H

qu này đã đưc chng minh bi S. Gan trong [13].

3.2.7 H qu. Gi s p là mt s thc (1 p 2). Khi đó hai phát

biu sau là tương đương:

(i) E

là mt không gian Banach p-kh trơn.(ii) Vi mi hiu martingale X j, F j , j 1 nhn giá tr trong E và

mi dãy không gim các s thc dương b j, j 1 tha mãn b j → ∞khi j → ∞, điu kin

∞ j=1

EX j pb p j

< ∞

kéo theo lut mnh s ln

1

bi

i j=1

X j → 0 h.c.c. khi i → ∞.

Bng vic s dng B đ 1.1.14 và phương pháp chng minh tương

t như đi vi Đnh lý 3.2.6, ta nhn đưc đnh lý sau đây. Kt qu này

đưa ra mt đc trưng ca không gian Banach Rademacher loi p dưi

dng lut mnh s ln tng quát đi vi mng các bin ngu nhiên đc

lp và có kỳ vng bng 0.



61


nguyên dương. Khi đó hai phát biu sau là tương đương:


(ii) Vi mi mng X n, n ∈ Nd các bin ngu nhiên đc lp, có kỳ

vng bng 0 và nhn giá tr trong E, mi mng bn, n ∈ Nd các s thc

dương, có sai phân không âm và bn → ∞ khi n → ∞, điu kin (3.2.11)


3.2.9 H qu. Gi s α = (α1, α2,...,αd) ∈ Rd+, p là mt s thc

(1 p 2), X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên đc lp,nhn giá tr thc và có kỳ vng bng 0. Khi đó điu kin

n∈Nd

E|X n| p|n(α)| p < ∞


1

|n(α)| 1kn

X k →

0 h.c.c. khi n → ∞

. (3.2.12)

Chng minh . Vì bn = |n(α)|, n ∈ Nd là mt mng có dng tích ca

d dãy các s thc dương, không gim và không b chn nên theo

Nhn xét 3.2.2, nó là mt mng các s thc dương, có sai phân không âm

và bn → ∞ khi n → ∞. Mt khác, vì R là mt không gian Rademacher

loi 2 nên nó cũng là mt không gian Rademacher loi p vi 1 p < 2.

Vì vy, H qu 3.2.9 đưc suy ra t Đnh lý 3.2.8.

Trong trưng hp p = 2 và α = 1, H qu 3.2.9 kéo theo Đnh lý 2.8

ca T. C. Christofides và R. J. Serfling trong [6].

3.2.10 Chú ý. Nhn xét 3.2.2 cùng vi Ví d 3.2.3 đã ch ra rng nu

bn, n ∈ Nd là mt mng các s thc dương thì điu kin bn, n ∈ Ndcó các sai phân không âm yu hơn điu kin nó là mt mng có dng

tích ca d dãy không gim các s thc dương. Tuy nhiên, H qu 3.2.9



62

li đ cp đn mt trưng hp mà bn, n ∈ Nd là mt dng đc bit

ca mng có dng tích ca d dãy không gim các s thc dương. Vic

chn mng bn, n ∈ Nd như trong H qu 3.2.9 cũng có nhng hn chnht đnh. Nhn xét 3.3.5 ca mc tip theo s cho ta thy điu này.

3.3. Lut mnh s ln đi vi mng các bin ngu nhiên chotrưng hp |n| → ∞

Mc này đưc dành đ thit lp lut mnh s ln đi vi mng các

bin ngu nhiên theo gii hn

|n| → ∞

cho c hai trưng hp: có và

không có điu kin hình hc ca không gian Banach.Đnh lý sau đây m rng lut mnh s ln Kolmogorov đi vi mng

hiu martingale và đưa ra hai đc trưng ca không gian Banach p-kh

trơn. Ngoài ra, phát biu (ii) ca đnh lý còn ch ra đưc s hi t theo

trung bình cp p. Phương pháp chính đ chng minh kt qu này là

phương pháp dãy con (xem [4, tr. 61]).

3.3.1 Đnh lý. Gi s p là mt s thc (1 p 2) và d là mt s nguyên dương. Khi đó các phát biu sau là tương đương:


(ii) Vi mi α = (α1, α2,...,αd) ∈ Rd+ và mi mng hiu martingale

X n, F n, n ∈ Nd nhn giá tr trong E, điu kin

n∈Nd

EX n p

|n(α)

| p

< ∞ (3.3.1)

kéo theomax1kn

1lk

X l

|n(α)| → 0 h.c.c. và trong L p khi |n| → ∞. (3.3.2)

(iii) Vi mi mng hiu martingale X n, F n, n ∈ Nd nhn giá tr

trong E, điu kin

n∈Nd

EX n p|n| p

< ∞

(3.3.3)



63


1

|n| 1kn

X k → 0 h.c.c. khi |n| → ∞. (3.3.4)

Chng minh . (i) ⇒ (ii): Vi mi k ∈ Nd, đt S k =

1lk X l. Khi đó,

t (3.3.1) và Đnh lý 1.3.4 ta có

k∈Nd

E

max1m2

k

1lm

X l

di=1

2kiαi

p C

k∈Nd

1l2

k

EX l p

di=1

2kiαi p C l∈Nd

EX l p|l(α)| p < ∞.

Theo bt đng thc Markov thì

max1m2

k

1lm

X ld

i=12kiαi

→ 0 h.c.c. và trong L p khi |k| → ∞.

Vi mi n ∈ Nd, chn k ∈ Nd sao cho n ∈ ∆(k−1). Khi đó

max1mn

1lm

X l

|n(α)|

max1m2

k

1lm

X l

d

i=12(ki−1)αi

= di=1

2αi max1m2

k

1lm

X l

di=1

2kiαi

→ 0 h.c.c. và trong L p khi |k| → ∞.

Vì vy, ta nhn đưc (3.3.2).

(ii) ⇒ (iii): Kéo theo này là hin nhiên.



64

(iii)⇒ (i): Gi s phát biu (iii) đúng vi mt s nguyên dương d nào

đó. Ta s s dng B đ 1.1.10 đ chng minh E là mt không gian

Banach p-kh trơn.Tht vy, gi s X j , F j, j 1 là mt hiu martingale nhn giá tr

trong E và tha mãn điu kin (1.1.2). S dng cách xây dng mng

hiu martingale xut phát t hiu martingale X j , F j, j 1 như trong

Ví d 1.2.5, ta thu đưc mng hiu martingale X n, F n, n ∈ Nd tha

mãn đng thc

n∈Nd

E

X n

p

|n| p =

∞n1=1

E

X n

1 p

n p1.

Điu này cùng vi (1.1.2) đm bo rng (3.3.4) đúng. Khi đó, vi vic

chn n2 = n3 = ... = nd = 1 và cho n1 → ∞, ta nhn đưc (1.1.3). Theo

B đ 1.1.10, E là mt không gian p-kh trơn.

Đnh lý 3.3.1 tng quát Đnh lý 4 ca W. A. Woyczynski trong [64].

Trong trưng hp X n, n ∈ Nd

là mt mng các bin ngu nhiên đclp và có kỳ vng bng 0, Đnh lý 3.3.1 kéo theo h qu sau đây:

3.3.2 H qu. Gi s α = (α1, α2,...,αd) ∈ Rd+, X n, n ∈ Nd là mt

mng các bin ngu nhiên đc lp, có kỳ vng bng 0 và nhn giá tr

trong không gian Banach p-kh trơn (1 p 2). Khi đó điu kin

(3.3.1) kéo theo (3.3.2).

Vì đưng thng thc R là mt không gian Banach p-kh trơn vi1 p 2 nên H qu 3.3.2 kéo theo h qu sau đây:


(1 p 2), X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên đc lp,

nhn giá tr thc và có kỳ vng bng 0. Khi đó điu kin

n∈Nd

E|X n| p|n(α)| p

< ∞



65


1

|n(α)| 1kn

X k → 0

h.c.c. khi |

n| → ∞

. (3.3.5)

Ví d sau s ch ra mt trưng hp mà ta nhn đưc (3.3.5) nh s

dng H qu 3.3.3.

3.3.4 Ví d. Gi s p = 2, α = 1, X n, n ∈ Nd là mt mng các bin

ngu nhiên đc lp và có phân phi xác sut

P

(X n = −|n|1/4

) =P

(X n = |n|1/4

) =

1

2 , n

∈Nd

.Khi đó X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên đc lp, nhn

giá tr thc, có kỳ vng bng 0 vàn∈Nd

E|X n| p|n(α)| p =n∈Nd

|n|1/2|n|2

< ∞.

Do vy, lut mnh s ln (3.3.5) đưc suy ra t H qu 3.3.3.

3.3.5 Nhn xét. Liên quan đn hai loi gii hn |n| → ∞ và n → ∞,ta thy rng kt lun (3.3.5) kéo theo kt lun (3.2.12) và điu ngưc

li không đúng khi d > 1. Điu này cùng vi Ví d 3.3.4 đm bo rng

H qu 3.3.3 thc s mnh hơn H qu 3.2.9. Hơn na, ta khng đnh

đưc H qu 3.3.3 không ch tng quát mà còn mnh hơn Đnh lý 2.8 ca

T. C. Christofides và R. J. Serfling trong [6].

Chú ý rng H qu 3.3.3 có th tip tc đưc m rng. Vn đ nàys đưc đ cp trong H qu 3.3.17 ca phn tip theo.

Đnh lý sau đưa ra điu kin đ mt mng các bin ngu nhiên tuân

theo lut mnh s ln. Kt qu này là mt công c quan trng đ thit

lp lut mnh s ln đi vi mng các bin ngu nhiên có cu trúc ràng

buc theo khi. Tương t như đi vi Đnh lý 3.2.4, trong đnh lý này

không có các gi thit v cu trúc ca mng các bin ngu nhiên và tính

cht hình hc ca không gian Banach.



66

3.3.6 Đnh lý. Gi s q là mt s thc (q 1), X n, n ∈ Nd là mt

mng các bin ngu nhiên nhn giá tr trong mt không gian Banach

thc và kh ly, Φ1(.), Φ2(.),..., Φd(.) là nhng hàm nhn giá tr dương,

không gim và không b chn trên tp (0, ∞) tha mãn

supn∈Nd

0

di=1

Φi(2ni)−1

0kn

di=1

Φi(2ki+1)

< ∞. (3.3.6)

Khi đó điu kin

di=1

Φi(2m

i+1

)−1

ψ(2m

)(1

−q )/q

k∈Λm

maxl∈∆(m)

k

r (m)k

tl

X t→ 0 (3.3.7)

h.c.c. khi |m| → ∞ kéo theo di=1

Φi(ni)−1

ψ(n)(1−q )/q

1kn

X k → 0 h.c.c. khi |n| → ∞. (3.3.8)

Chng minh . Vi m ∈ Nd0, đt

γ m = di=1

Φi(2mi+1)−1

ψ(2m)(1−q )/q

k∈Λm

maxl∈∆(m)

k

r(m)k tl

X t

.T (3.3.7) và B đ 3.1.10 ta nhn đưc di=1

Φi(2mi)−1

0km

di=1

Φi(2ki+1)

γ k→0 h.c.c. khi |m|→∞. (3.3.9)

Vi mi n ∈Nd

, chn m ∈Nd

0 sao cho n ∈ ∆(m)

. Khi đó

0 di=1

Φi(ni)−1

ψ(n)(1−q )/q

1kn

X k

di=1

Φi(ni)−1

ψ(n)(1−q )/q

0km

di=1

Φi(2ki+1)

ψ(2k) q−1

q γ k

d

i=1

Φi(2mi)−1 0km

d

i=1

Φi(2ki+1)γ k. (3.3.10)



67

Kt lun (3.3.8) đưc suy ra t (3.3.9) và (3.3.10).

H qu sau đây là mt trưng hp riêng ca Đnh lý 3.3.6 khi ∆n

là “khi nh thc” (∆n = k : 2n−1 k ≺ 2n, n ∈ Nd) và điu kin

(3.3.6) đưc thay th bi hai điu kin yu hơn. Hai điu kin đó đưc

gii thiu bi F. Móricz, U. Stadtmuller và M. Thalmaier trong [38].

3.3.7 H qu. Gi s X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên

nhn giá tr trong mt không gian Banach thc và kh ly, Φ1(.), Φ2(.),...,

Φd

(.) là nhng hàm nhn giá tr dương, không gim và không b chn

trên tp (0, ∞) tha mãn

lim sup j→∞

Φi(2 j+1)

Φi(2 j) < ∞, 1 i d, (3.3.11)

lim inf j→∞

Φi(2 j+1)

Φi(2 j) > 1, 1 i d. (3.3.12)

Khi đó điu kin

di=1

Φi(2mi+1)−1

max2mk≺2

m+1

2mlk

X l

→0 h.c.c. khi |m|→∞ (3.3.13)


di=1

Φi(ni)−1

1kn

X k → 0 h.c.c. khi |n| → ∞. (3.3.14)

Chng minh . D thy rng vi vic chn ω(n) = 2n−1 (n ∈ Nd) thì

((3.3.13) ⇒ (3.3.14)) đưc suy ra t ((3.3.7) ⇒ (3.3.8)). Do đó, ta ch cn

chng minh hai điu kin (3.3.11) và (3.3.12) kéo theo điu kin (3.3.6).

Tht vy, gi s (3.3.11) và (3.3.12) đúng. Trưc ht ta s ch ra rng

vi mi s nguyên dương i (1 i d), tn ti mt hng s dương C

sao cho

Φi(2 j+1) − Φi(2 j) C Φi(2 j+1), j 0. (3.3.15)



68

Điu này s đưc chng minh bng phn chng. Gi s (3.3.15) không

đúng. Khi đó tn ti mt s nguyên dương i0 (1 i0 d) sao cho vi

mi t 1, tn ti mt s t nhiên jt sao cho

Φi0(2 jt+1) − Φi0(2 jt) < 1

tΦi0(2 jt+1),

do đó

lim inf t→∞

Φi0(2 jt+1)

Φi0(2 jt) 1 + lim inf

t→∞

1t

Φi0(2 jt+1)

Φi0(2 jt)

. (3.3.16)

Mt khác, theo điu kin (3.3.11) thì

lim inf t→∞

1t

Φi0(2 jt+1

)Φi0(2 jt)

= 0. (3.3.17)

Kt hp (3.3.16) và (3.3.17) ta nhn đưc

lim inf t→∞

Φi0(2 jt+1)

Φi0(2 jt) 1.

Điu này mâu thun vi (3.3.12), hay (3.3.15) đúng. Khi đó, vi mi s

nguyên dương i (1 i d) và vi mi ni 0,

1Φi(2ni)

ni j=0

Φi(2 j+1) 1C

Φi(2ni+1)Φ1(2ni)

,

điu này cùng vi (3.3.11) đm bo rng

supni0

1

Φi(2ni)

ni j=0

Φi(2 j+1)

< ∞.

Vì vy, (3.3.6) đúng.

Phn chng minh trên đã khng đnh đưc (3.3.11) và (3.3.12) kéotheo (3.3.6). Mi quan h này là cơ s cho Nhn xét 3.3.15 trong phn tip

theo. Bây gi ta s ch ra (3.3.6) thc s yu hơn (3.3.11) và (3.3.12). Ví

d sau đây s cho ta thy rng t (3.3.6) không th suy ra đưc (3.3.12).

3.3.8 Ví d. Vi mi x > 0 và 1 i d, đt

Φi(x) = 2 nu 0 < x < 1,

22x(0)

+(−1)

x(0)

nu x 1,



69

trong đó x(0) là mt s t nhiên tha mãn 2x(0)

x < 2x(0)+1. Khi đó,

vi mi 1 i d, Φi(.) là mt hàm nhn giá tr dương, không gim và

không b chn trên tp (0, ∞) tha mãn

Φi(21) + Φi(22) + ... + Φi(2 j+1)

Φi(2 j) =

1

22 j+(−1)j

js=0

22(s+1)+(−1)s+1

16

4 j

js=0

4s < ∞ ( j 0),

do đó điu kin (3.3.6) đưc tha mãn. Tuy nhiên, điu kin (3.3.12)

không đưc tha mãn vì

Φi(2 j+1)

Φi(2 j) =

16 nu j là mt s l,1 nu j là mt s chn

(1 i d).

3.3.9 Nhn xét. Nu Φ1(.), Φ2(.),..., Φd(.) là nhng hàm nhn giá tr

dương trên tp (0, ∞) thì hai điu kin (3.3.11) và (3.3.12) đưc kéo theo

t hai điu kin sau đây:

sup j0

Φi(2 j+1

)Φi(2 j)

< ∞, inf j0

Φi(2 j+1

)Φi(2 j)

> 1, 1 i d.

Chú ý rng, trong trưng hp d = 1, hai điu kin trên đã đưc s

dng bi A. Rosalsky và Lê Văn Thành trong [54].

H qu tip theo đưc suy ra trc tip t H qu 3.3.7 khi Φi(x) = xαi

(x > 0, αi > 0, 1 i d). Trưng hp X n, n ∈ Nd là mt mng các

bin ngu nhiên nhn giá tr thc, h qu này đã đưc chng minh bi

Lê Văn Thành (xem [61, Đnh lý 2.1]).

3.3.10 H qu. Gi s α = (α1, α2,...,αd) ∈ Rd+, X n, n ∈ Nd là mt

mng các bin ngu nhiên nhn giá tr trong mt không gian Banach

thc và kh ly. Khi đó điu kin 1

2m(α)

max

2mk≺2

m+1

2mlk

X l

→ 0 h.c.c. khi |m| → ∞




70

H qu tip theo đưa ra điu kin đ mt mng hiu martingale nhn

giá tr trong không gian Banach tuân theo lut mnh s ln.

3.3.11 H qu. Gi s q là mt s thc (q > 1), X n, F n, n ∈ Nd là

mt mng hiu martingale nhn giá tr trong mt không gian Banach

thc và kh ly, Φ1(.), Φ2(.),..., Φd(.) là nhng hàm nhn giá tr dương,

không gim và không b chn trên tp (0, ∞) tha mãn hai điu kin

(3.3.11) và (3.3.12). Khi đó điu kin

m∈Nd

0

d

i=1

Φi(2mi+1)−q E

2ml≺2

m+1

X lq < ∞

(3.3.18)


Chng minh . Vì X n, F n, n ∈ Nd là mt mng hiu martingale nên

theo Nhn xét 3.1.2(i) thì X n, F n, n ∈ ∆(m) cũng là mt mng hiu

martingale vi mi m ∈ Nd0. Khi đó, t Nhn xét 3.1.2(iii), H qu 1.3.2

và (3.3.18) ta có

m∈Nd

0

E

di=1

Φi(2mi+1)−1

max2mk≺2

m+1

2mlk

X l

q

C m∈Nd

0

di=1

Φi(2mi+1)−q

E

2ml≺2

m+1

X l

q < ∞.

Điu này cùng vi bt đng thc Markov đm bo rng điu kin (3.3.13)

ca H qu 3.3.7 đưc tha mãn. Vì vy, ta nhn đưc (3.3.14).

Các kt qu tip theo là nhng trưng hp riêng ca Đnh lý 3.3.6

khi ta b sung các gi thit v cu trúc ca mng các bin ngu nhiên

và tính cht hình hc ca không gian Banach.

Đnh lý sau đây m rng lut mnh s ln Brunk-Prokhorov cho mng

hiu martingale theo khi và nhn giá tr trong không gian Banach p-kh

trơn. Trong trưng hp p = q , kt qu này m rng lut mnh s ln

Kolmogorov cho mng hiu martingale theo khi.



72

Điu này kt hp vi (3.3.19) đm bo rng

m∈Nd0Eγ q m < ∞. Vì vy

(3.3.7) đúng, do đó t Đnh lý 3.3.6 ta nhn đưc (3.3.8).

(ii) Vi m ∈ Nd0, đt

γ m = di=1

Φi(2mi+1)−1

k∈Λm

maxl∈∆(m)

k

r(m)k

tl

X t

.Khi đó

Eγ q

m = di=1

Φi(2mi+1

)−q E

k∈Λm

maxl∈∆(m)k

r(m)k

tlX tq

di=1

Φi(2mi+1)−q

card(Λm)q −1 k∈Λm

E

maxl∈∆(m)

k

r(m)k tl

X t

q

C

2mk≺2

m+1

di=1

Φi(ki)−q

ϕ(k)q −1|k|maxq/p; 1−1

EX kq

.

T (3.3.20) ta có

m∈Nd0Eγ q m < ∞, do đó γ m → 0 h.c.c. khi |m| → ∞.

Kt lun (3.3.14) đưc suy ra t Đnh lý 3.3.6.

H qu sau đây đưc suy ra trc tip t Đnh lý 3.3.12 và là dng

nhiu chiu ca Đnh lý 3.1(a) trong [66]. Trong trưng hp d = 1 và

X n, n 1 là mt dãy các bin ngu nhiên đc lp, nhn giá tr thc

và có kỳ vng bng 0, h qu này kéo theo lut mnh s ln Brunk-

Prokhorov (xem H. D. Brunk [2] và Y. V. Prokhorov [41]).

3.3.13 H qu. Gi s X n, F n, n ∈ Nd là mt mng hiu martingale

nhn giá tr trong mt không gian Banach p-kh trơn (1 p 2), q là

mt s thc (q p). Khi đó điu kin

n∈N

d

EX nq

|n|q +1−q/p < ∞



73


1

|n| 1kn

X k → 0 h.c.c. khi |n| → ∞.

H qu sau đây đưc suy ra t Đnh lý 3.3.12 trong trưng hp E = R,

q = 2 và Φi(x) = xαi (x > 0, αi > 0, 1 i d). H qu này kéo theo

Đnh lý 3.1 trong [49] khi d = 2, α = 1, X n, n ∈ N2 là mt mng các

bin ngu nhiên đc lp theo khi và có kỳ vng bng 0. Ngoài ra, phát

biu (i) ca h qu còn tng quát Đnh lý 3.1 trong [50].

3.3.14 H qu. Gi s α = (α1, α2,...,αd) ∈ Rd+, X n, F n, n ∈ Nd là

mt mng hiu martingale theo khi đi vi các khi

∆k, k ∈ Nd và

nhn giá tr thc.

(i) Nu

n∈Nd

E|X n|2

|n(α)

|2

< ∞

thì

1

|n(α)| ψ(n)1/2

1kn

X k → 0 h.c.c. khi |n| → ∞.

(ii) Nu

n∈Nd

ϕ(n) E|X n|2

|n(α)|2 <

∞thì

1

|n(α)|

1kn

X k → 0 h.c.c. khi |n| → ∞.

3.3.15 Nhn xét. F. Móricz, U. Stadtmuller và M. Thalmaier trong

[38] đã thit lp mt bt đng thc cc đi đi vi mng các bin ngu

nhiên M-ph thuc (xem [38, B đ 3]) và thu đưc điu kin đ mt



74

mng các bin ngu nhiên M-ph thuc theo khi đi vi các “khi nh

thc” (∆n =

k : 2n−1

k

≺ 2n

, n

∈Nd) tuân theo lut mnh s ln

di=1

Φi(ni)−1

1kn

X k → 0 h.c.c. khi n → ∞,

trong đó Φ1(.), Φ2(.),..., Φd(.) là nhng hàm nhn giá tr dương, tăng

ngt và không b chn trên tp (0, ∞) tha mãn hai điu kin (3.3.11)

và (3.3.12) (xem [38, Đnh lý 1]). Mt khác, trong phn chng minh ca

H qu 3.3.7 và Ví d 3.3.8, ta đã ch ra điu kin (3.3.6) thc s yu

hơn hai điu kin (3.3.11) và (3.3.12). Hơn na, theo Nhn xét 1.1.4, nu

mng xn, n ∈ Nd ⊂ R hi t ti x khi |n| → ∞ thì nó cũng hi t

ti x khi n → ∞ và supn∈Nd |xn| < ∞. T nhng lp lun này cùng vi

phương pháp chng minh tương t như đi vi Đnh lý 3.3.12, trong đó

thay th vic s dng Đnh lý 1.3.4 bi B đ 3 trong [38], ta có th m

rng Đnh lý 1 trong [38] cho trưng hp mng M-ph thuc theo khi

đi vi các khi tng quát và theo gii hn |n| → ∞.Đnh lý tip theo m rng lut mnh s ln Brunk-Prokhorov cho

mng các bin ngu nhiên đc lp theo khi và nhn giá tr trong không

gian Banach Rademacher loi p. Phương pháp chng minh kt qu này

là hoàn toàn tương t như đi vi Đnh lý 3.3.12, trong đó thay th

vic s dng Đnh lý 1.3.4 bi Đnh lý 1.3.6. Kt qu này m rng

Đnh lý 3.1 trong [54] và Đnh lý 3.1(a) trong [65].3.3.16 Đnh lý. Gi s q là mt s thc (q 1), X n, n ∈ Nd là mt

mng các bin ngu nhiên có kỳ vng bng 0, đc lp theo khi đi vi

các khi

∆k, k ∈ Nd và nhn giá tr trong mt không gian Banach

Rademacher loi p (1 p 2), Φ1(.), Φ2(.),..., Φd(.) là nhng hàm

nhn giá tr dương, không gim và không b chn trên tp (0, ∞) tha

mãn điu kin (3.3.6). Khi đó hai phát biu (i) và (ii) trong

Đnh lý 3.3.12 đúng.



75

Vì đưng thng thc R là mt không gian Rademacher loi p vi

1 p 2 nên Đnh lý 3.3.16 kéo theo h qu sau đây:


(1 p 2), X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên nhn

giá tr thc, có kỳ vng bng 0 và đc lp theo khi đi vi các khi ∆k, k ∈ Nd

. Khi đó điu kin

n∈Nd

ϕ(n)

p−1

E|X n| p

|n(α)

| p

< ∞


1

|n(α)|

1kn

X k → 0 h.c.c. khi |n| → ∞.

Lut s ln dng lut s ln Rademacher-Menshov đi vi mng các

bin ngu nhiên ta trc giao đã đưc thit lp bi F. Móricz trong

[37]. Sau đó, dng lut s ln này đã đưc tip tc nghiên cu biF. Móricz, K. L. Su và R. L. Taylor trong [39], A. Rosalsky và Lê Văn

Thành trong [53] cho mng các bin ngu nhiên p-trc giao nhn giá

tr trong không gian Rademacher loi p, và bi A. Rosalsky và Lê Văn

Thành trong [54] cho dãy các bin ngu nhiên p-trc giao theo khi.

Đnh lý sau đây thit lp lut s ln dng lut s ln Rademacher-

Menshov đi vi mng các bin ngu nhiên p

-trc giao theo khi vànhn giá tr trong không gian Banach Rademacher loi p. Kt qu này

m rng Đnh lý 3.1 trong [39] và Đnh lý 3.3 trong [54].

3.3.18 Đnh lý. Gi s X n, n ∈ Nd là mt mng các bin ngu nhiên

p-trc giao theo khi đi vi các khi

∆k, k ∈ Nd

và nhn giá tr trong

mt không gian Banach Rademacher loi p (1 p 2), Φ1(.), Φ2(.),...,

Φd(.) là nhng hàm nhn giá tr dương, không gim và không b chn trên

tp (0, ∞) tha mãn điu kin (3.3.6).



76

(i) Nu

n∈Nd

di=1

Φi(ni)− p di=1

(log2 ni) p EX n p < ∞ (3.3.21)

thì di=1

Φi(ni)−1

ψ(n)(1− p)/p

1kn

X k → 0 h.c.c. khi |n| → ∞. (3.3.22)

(ii) Nu

n∈Nd

di=1

Φi(ni)− p

ϕ(n) p−1 di=1

(log2 ni) pEX n p

< ∞

thì (3.3.14) đúng.

Chng minh . Vì phương pháp chng minh (i) và (ii) là ging nhau nên

ta ch chng minh (i).

Vi mi m ∈Nd0, đt

γ m = di=1

Φi(2mi+1)−1

ψ(2m)(1− p)/p

k∈Λm

maxl∈∆(m)

k

r(m)k

tl

X t

.Theo bt đng thc Holder, Nhn xét 3.1.7 và B đ 3.1.9 thì

Eγ pm

di=1

Φi(2mi+1)− p card(Λm) p−1

ψ(2m) p−1

k∈Λm

E

maxl∈∆(m)

k

r(m)k

t

l

X t

p

C di=1

Φi(2mi+1)− p

k∈Λm

di=1

(log2 2mi) p l∈∆(m)

k

EX l p

C

2mk≺2

m+1

di=1

Φi(ki)− p di=1

(log2 ki) pEX k p

.

T (3.3.21) ta có m∈Nd0Eγ pm < ∞, do đó γ m → 0 h.c.c. khi m → ∞.

Kt lun (3.3.22) đưc suy ra t Đnh lý 3.3.6.



77


Trong chương này, lun án đã gii quyt đưc nhng vn đ sau:- Đưa ra hai điu kin đ mt mng các bin ngu nhiên bt kỳ, nhn

giá tr trong mt không gian Banach tùy ý tuân theo lut mnh s ln

cho hai trưng hp n → ∞ và |n| → ∞;

- Đưa ra mt s đc trưng ca không gian Banach p-kh trơn và

không gian Banach Rademacher loi p dưi dng lut mnh s ln đi

vi mng các bin ngu nhiên;

- Thit lp mt s lut mnh s ln đi vi mng các bin ngu nhiêncó cu trúc ràng buc theo khi.



78

KT LUN CHUNG VÀ KIN NGH

1. Kt lun chung

Lun án đã thu đưc các kt qu chính sau đây:

- Thit lp bt đng thc cc đi dng bt đng thc Doob đi

vi mng hiu martingale và bt đng thc cc đi dng bt đng thc

Hájek-Rényi đi vi mng các bin ngu nhiên bt kỳ, nhn giá tr trong

không gian Banach;

- Thit lp tiêu chun hi t suy bin và lut yu s ln Kolmogorov-

Feller đi vi mng phù hp và mng phù hp theo hàng, nhn giá tr

trong không gian Banach p-kh trơn;

- Đưa ra các đc trưng ca không gian Banach p-kh trơn và không

gian Banach Rademacher loi p dưi dng bt đng thc moment và

lut mnh s ln đi vi mng các bin ngu nhiên;- Đưa ra các điu kin đ mt mng các bin ngu nhiên bt kỳ, nhn

giá tr trong mt không gian Banach tùy ý tuân theo lut mnh s ln

cho hai trưng hp n → ∞ và |n| → ∞;

- Thit lp lut mnh s ln đi vi mng các bin ngu nhiên có cu

trúc ràng buc theo khi.

2. Kin ngh v nhng hưng nghiên cu tip theoTrong thi gian ti, chúng tôi d đnh nghiên cu các vn đ sau đây:

- Lut s ln đi vi mng các bin ngu nhiên nhn giá tr tp hoc

mng các bin ngu nhiên nhn giá tr m;

- Đnh lý gii hn trung tâm đi vi dãy và mng các bin ngu nhiên.



79

DANH MC CÔNG TRÌNH

LIÊN QUAN TRC TIP ĐN LUN ÁN

1. Quang N. V. and Huan N. V. (2008), “On the weak law of large num-bers for double arrays of Banach space valued random elements”,Journal of Probability and Statistical Science , 6(2), 125-134.

2. Quang N. V. and Huan N. V. (2009), “On the strong law of largenumbers and L p-convergence for double arrays of random elementsin p-uniformly smooth Banach spaces”, Statistics and Probability

Letters , 79(18), 1891-1899.3. Quang N. V. and Huan N. V. (2010), “A characterization of

p-uniformly smooth Banach spaces and weak laws of large numbersfor d-dimensional adapted arrays”, Sankhy¯ a: The Indian Journal of Statistics , 72-A(2), 344-358.

4. Huan N. V., Quang N. V. and Volodin A. (2010), “Strong laws forblockwise martingale difference arrays in Banach spaces”, Lobachevskii Journal of Mathematics , 31(4), 326-335.

5. Quang N. V. and Huan N. V. (2010), “A Hájek-Rényi-type maximalinequality and strong laws of large numbers for multidimensionalarrays”, Journal of Inequalities and Applications , Art. ID 569759,14 pp.

6. Huan N. V. and Quang N. V., “The Doob inequality and stronglaw of large numbers for multidimensional arrays in general Banachspaces”, Kybernetika (accepted).



80

TÀI LIU THAM KHO

Ting Vit[1] Nguyn Duy Tin và Vũ Vit Yên (2003), Lý thuyt xác sut , Nhà

xut bn Giáo dc.

Ting nưc ngoài[2] Brunk H. D. (1948), “The strong law of large numbers”, Duke Math.

J., 15, 181-195.

[3] Castaing C., Quang N. V. and Thuan N. T. (2012), “A new familyof compact convex valued random variables in Banach space andapplications to laws of large numbers”, Statist. Probab. Lett., 82(1),

84-95.[4] Chandra T. K. and Ghosal S. (1998), “Some elementary strong laws

of large numbers: a review”, Frontiers in probability and statistics ,61-81.

[5] Chow Y. S. and Teicher H. (1997), Probability Theory: Independence,Interchangeability, Martingales , third edition. Springer-Verlag, NewYork.

[6] Christofides T. C. and Serfling R. J. (1990), “Maximal inequalities formultidimensionally indexed submartingale arrays”, Ann. Probability ,18(2), 630-641.

[7] Czerebak-Mrozowicz E. B., Klesov O. I. and Rychlik Z. (2002), “Marcinkiewicz-type strong law of large numbers for pairwiseindependent random fields”, Probab. Math. Statist., 22(1), 127-139.

[8] Davis W. J. and Lindenstrauss J. (1976), “The ln1 problem and degreesof non-reflexivity II”, Studia Math., 58(2), 179-196.



81

[9] Donahue M. J., Gurvits L., Darken C. and Sontag E. (1997), “Rates of convex approximation in non-Hilbert spaces”, Constr. Approx., 13(2),

187-220.[10] Edgar G. A. and Sucheston L. (1992), Stopping times and directed

processes. Encyclopedia of Mathematics and its Applications , 47,Cambridge University Press, Cambridge.

[11] Fazekas I. and Klesov O. (2002), “A general approach to the stronglaws of large numbers”, Theory Probab. Appl., 45(3), 436-449.

[12] Fazekas I. and Tómács T. (1998), “Strong laws of large numbers

for pairwise independent random variables with multidimensionalindices”, Publ. Math. Debrecen , 53(1-2), 149-161.

[13] Gan S. (1997), “The Hájek-Rényi inequality for Banach space valuedmartingales and the p smoothness of Banach spaces”, Statist. Probab.Lett., 32(3), 245-248.

[14] Gan S. and Qiu D. (2007), “On the Hájek-Rényi inequality”, Wuhan Univ. J. Nat. Sci., 12(6), 971-974.

[15] Gut A. (1978), “Marcinkiewicz laws and convergence rates in the lawof large numbers for random variables with multidimensional indices”,Ann. Probability , 6(3), 469-482.

[16] Gut A. (2004), “An extension of the Kolmogorov-Feller weak lawof large numbers with an application to the St. Petersburg game”,J. Theoret. Probab., 17(3), 769-779.

[17] Gut A. (2005), Probability: a graduate course , Springer, New York.

[18] Gut A. and Stadtmuller U. (2009), “An asymmetric Marcinkiewicz-Zygmund LLN for random fields”, Statist. Probab. Lett., 79(8), 1016-1020.

[19] Hald A. (2007), A history of parametric statistical inference from Bernoulli to Fisher , Springer, New York.

[20] Hall P. and Heyde C. C. (1980), Martingale limit theory and its application, Probability and Mathematical Statistics, AcademicPress, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-

London.



82

[21] Hájek J. and Rényi A. (1955), “Generalization of an inequality of Kolmogorov”, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 6, 281-283.

[22] Hoffmann-Jørgensen J. and Pisier G. (1976), “The law of largenumbers and the central limit theorem in Banach spaces”, Ann.Probability , 4(4), 587-599.

[23] Hoffmann-Jørgensen J., Su K. L. and Taylor R. L. (1997), “The lawof large numbers and the Ito-Nisio theorem for vector valued randomfields”, J. Theoret. Probab., 10(1), 145-183.

[24] Hong D. H. and Hwang S. Y. (1999), “Marcinkiewicz-type strong law

of large numbers for double arrays of pairwise independent randomvariables”, Int. J. Math. Math. Sci., 22(1), 171-177.

[25] Hong D. H., Ordónez Cabrera M., Sung S. H. and Volodin A. (1999), “Again on the weak law in martingale type p Banach spaces”, Extracta Math., 14(1), 45-50.

[26] Hong D. H. and Volodin A. (1999), “Marcinkiewicz-type law of largenumbers for double arrays”, J. Korean Math. Soc., 36(6), 1133-1143.

[27] Howell J. O. and Taylor R. L. (1981), “Marcinkiewicz-Zygmundweak laws of large numbers for unconditional random elements inBanach spaces”, Probability in Banach spaces III , Lecture Notes inMath., Vol. 860, Springer, Berlin-New York, pp. 219-230.

[28] Huan N. V. and Quang N. V., “The Doob inequality and stronglaw of large numbers for multidimensional arrays in general Banachspaces”, Kybernetika (accepted).

[29] Huan N. V., Quang N. V. and Volodin A. (2010), “Strong

laws for blockwise martingale difference arrays in Banach spaces”,Lobachevskii J. Math., 31(4), 326-335.

[30] Klesov O., Fazekas I., Noszály C. and Tómács T. (1999), “Stronglaws of large numbers for sequences and fields”, Theory Stoch.Process., 5(3-4), 91-104.

[31] Kolmogorov A. N. (1928), “ Uber die Summen durch den Zufallbestimmter unabhangiger Großen”, Math. Ann., 99(1), 309-319.



83

[32] Kuczmaszewska A. (2004), “On Chung-Teicher type strong law forarrays of vector-valued random variables”, Int. J. Math. Math. Sci.,

9-12, 443-458.[33] Lagodowski Z. A. (2009), “Strong laws of large numbers for B-valued

random fields”, Discrete Dyn. Nat. Soc., Art. ID 485412, 12 pp.

[34] Ledoux M. and Talagrand M. (1991), Probability in Banach spaces.Isoperimetry and processes. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), Springer-Verlag, Berlin.

[35] Lindenstrauss J. (1963), “On the modulus of smoothness and

divergent series in Banach spaces”, Michigan Math. J., 10, 241-252.[36] Loève M. (1977), Probability theory I , Fourth edition, Springer-

Verlag, New York-Heidelberg.

[37] Móricz F. (1989), “Strong limit theorems for quasi-orthogonalrandom fields”, J. Multivariate Anal., 30(2), 255-278.

[38] Móricz F., Stadtmuller U. and Thalmaier M. (2008), “Strong laws forblockwise M-dependent random fields”, J. Theoret. Probab., 21(3),

660-671.[39] Móricz F., Su K. L. and Taylor R. L. (1994), “Strong laws of large

numbers for arrays of orthogonal random elements in Banach spaces”,Acta Math. Hungar., 65(1), 1-16.

[40] Pisier G. (1986), “Probabilistic methods in the geometry of Banachspaces”, Probability and analysis , Lecture Notes in Math., Vol. 1206,Springer, Berlin, pp. 167-241.

[41] Prokhorov Y. V. (1950), “On the strong law of large numbers”,Izvestiya Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., 14, 523-536.

[42] Prokhorov Y. V. (1993), “Strong law of large numbers”, Encyclopae-dia of mathematics , Vol. 9, (Translation edited by M. Hazewinkel),Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, pp. 34-36.

[43] Quang N. V. and Huan N. V. (2008), “On the weak law of largenumbers for double arrays of Banach space valued random elements”,J. Probab. Stat. Sci., 6(2), 125-134.



84

[44] Quang N. V. and Huan N. V. (2009), “On the strong law of largenumbers and L p-convergence for double arrays of random elements

in p-uniformly smooth Banach spaces”, Statist. Probab. Lett., 79(18),1891-1899.

[45] Quang N. V. and Huan N. V. (2010), “A characterization of p-uniformly smooth Banach spaces and weak laws of large numbersfor d-dimensional adapted arrays”, Sankhy¯ a: The Indian Journal of Statistics , 72-A(2), 344-358.

[46] Quang N. V. and Huan N. V. (2010), “A Hájek-Rényi-type maxi-mal inequality and strong laws of large numbers for multidimensional

arrays”, J. Inequal. Appl., Art. ID 569759, 14 pp.[47] Quang N. V. and Huy N. N. (2008), “Weak law of large numbers for

adapted double arrays of random variables”, J. Korean Math. Soc.,45(3), 795-805.

[48] Quang N. V. and Son L. H. (2006), “On the weak law of largenumbers for sequences of Banach space valued random elements”,Bull. Korean Math. Soc., 43(3), 551-558.

[49] Quang N. V. and Thanh L. V. (2005), “On the strong laws of large numbers for two-dimensional arrays of blockwise independentand blockwise orthogonal random variables”, Probab. Math. Statist.,25(2), 385-391.

[50] Quang N. V. and Thanh L. V. (2006), “Marcinkiewicz-Zygmundlaw of large numbers for blockwise adapted sequences”, Bull. Korean Math. Soc., 43(1), 213-223.

[51] Rosalsky A. and Sreehari M. (2001), “A weak law with randomindices for randomly weighted sums of random elements in martingaletype p Banach spaces”, Nonlinear Anal., 47(2), 1257-1270.

[52] Rosalsky A. and Thanh L. V. (2006), “Strong and weak laws of large numbers for double sums of independent random elements inRademacher type p Banach spaces”, Stoch. Anal. Appl., 24(6), 1097-1117.

[53] Rosalsky A. and Thanh L. V. (2007), “On almost sure and mean

convergence of normed double sums of Banach space valued randomelements”, Stoch. Anal. Appl., 25(4), 895-911.



85

[54] Rosalsky A. and Thanh L. V. (2007), “On the strong law of large numbers for sequences of blockwise independent and blockwise

p-orthogonal random elements in Rademacher type p Banach spaces”,Probab. Math. Statist., 27(2), 205-222.

[55] Rosalsky A. and Volodin A. (2007), “On the weak law with randomindices for arrays of Banach space valued random elements”, Sankhy¯ a:The Indian Journal of Statistics , 69(2), 330-343.

[56] Scalora F. S. (1961), “Abstract martingale convergence theorems”,Pacific J. Math., 11, 347-374.

[57] Schwartz L. (1981), Geometry and probability in Banach spaces , Lec-ture Notes in Mathematics, 852, Springer-Verlag, Berlin-New York.

[58] Shorack G. R. and Smythe R. T. (1976), “Inequalities for max |S k|/bkwhere k ∈ Nr”, Proc. Amer. Math. Soc., 54, 331-336.

[59] Smythe R. T. (1973), “Strong laws of large numbers forr-dimensional arrays of random variables”, Ann. Probability , 1(1),164-170.

[60] Su K. L. (2007), “Best possible sufficient conditions for strong law of large numbers for multi-indexed orthogonal random elements”, Int.J. Math. Math. Sci., Art. ID 86909, 15 pp.

[61] Thanh L. V. (2007), “On the strong law of large numbers ford-dimensional arrays of random variables”, Electron. Comm. Probab.,12, 434-441.

[62] Tómács T. (2005), “Convergence rates in the law of large numbersfor arrays of Banach space valued random elements”, Statist. Probab.

Lett., 72(1), 59-69.[63] Woyczynski W. A. (1975), “Geometry and martingales in Banach

spaces”, Probability-Winter School , Lecture Notes in Math., Vol. 472,Springer, Berlin, pp. 229–275.

[64] Woyczynski W. A. (1976), “Asymptotic behavior of martingalesin Banach spaces”, Probability in Banach spaces , Lecture Notes inMath., Vol. 526, Springer, Berlin, pp. 273-284.



86

[65] Woyczynski W. A. (1980), “On Marcinkiewicz-Zygmund laws of large numbers in Banach spaces and related rates of convergence”,

Probab. Math. Statist., 1(2), 117-131.[66] Woyczynski W. A. (1982), “Asymptotic behavior of martingales

in Banach spaces II”, Martingale theory in harmonic analysis and Banach spaces , Lecture Notes in Math., Vol. 939, Springer, Berlin-New York, pp. 216-225.

[67] Zhang L. (1998), “Rosenthal type inequalities for B-valued strongmixing random fields and their applications”, Sci. China Ser. A,41(7), 736-745.

dinh ly gioi han toan

Documents