SVEUČILIŠTE U ZAGREBUFAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

DINAMIKA PROCESA

Mentor: Student:Dr. sc. Dražen Lončar, dipl. ing. Darko Mišković

Zagreb, 2013. godina

SADRŽAJ

1. Popis oznaka........................................................................................................................................1

2. Tekst i skica zadatka............................................................................................................................2

3. Diferencijalne jednadžbe sustava........................................................................................................4

4. Stacionarno stanje sustava..................................................................................................................5

5. Linearizacija jednadžbi.........................................................................................................................6

6. Matlab skripta.....................................................................................................................................9

7. Određivanje interpolacijskog polinoma.............................................................................................10

8. Simulink model..................................................................................................................................11

9. Prikaz rezultata simulacije procesa....................................................................................................14

10. Zaključak.............................................................................................................................................18

1. Popis oznaka

Oznaka Jedinica Opis

Mk, Mp [kg] masa kapljevine/pare u sustavu

t [s] vrijeme

h [m] razina vode

H [m] visina odvajača kapljevine

d [m] unutarnji promjer odvajača kapljevine

δ [m] debljina stijenke

A [m2] površina presjeka odvajača kapljevine

c [J/kgK] specifični toplinski kapacitet stijenke

mu [kg/s] maseni protok vlažne pare na ulazu u sustav

x [kg/kg] udio vodene pare

mk [kg/s] maseni protok kapljevine kroz ventil na odvodnom cjevovodu

mp [kg/s] maseni protok pare kroz ventil na odvodnom cjevovodu

r [J/kg] specifična toplina isparavanja

θs, θk [K] temperatura stijenke, kapljevine

θ [K] temperatura u sustavu

αp [W/m2K] koeficijent prijelaza topline suhozasićena para - stijenka

αp [W/m2K] koeficijent prijelaza topline kapljevina - stijenka

YK [ - ] otvorenost izlaznog ventila u odvodnom cjevovodu za kapljevinu

YT [ - ] otvorenost izlaznog ventila u odvodnom cjevovodu za paru

pP [Pa] tlak pare u odvajaču kapljevine

pT [Pa] tlak pare iza turbinskog ventila

pNV [Pa] tlak pare u napojnom spremniku

ρ',ρ'' [kg/m3] gustoća kapljevine, suhozasićene pare

1

2. Tekst i skica zadatka

Opis sustavaU odvajač kapljevine utječe vlažna para (mu = 110 kg/s, x = 0.8). Iz odvajača se odvodi

suhozasićena para prema pregrijačkom dijelu generatora pare (nakon pregrijavanja para ekspandira u turbini a zatim kondenzira u kondenzatoru), dok se vrela kapljevina odvodi u napojni spremnik u kojem

se tlak pNV održava na 6 bar.

ZadatakU okviru zadataka potrebno je izvesti matematički model dinamike sustava i izraziti ovisnost

razine kapljevine u odvajaču o promjenama ulaznog protoka mu i sadržaja pare x, te otvorenosti ventila u

odvodnom cjevovodu kapljevine (YK).

Slika 1.: Skica odvajača kapljevine

Geometrija odvajača • unutarnji promjer odvajača 0.3 m• visina 16.5 m• debljina stijenke 0.037 m

2

Svojstva materijala stijenke • gustoća 7900 kg/m3 • specifični toplinski kapacitet 500 J/kgK

Pretpostavke• para u parnom prostoru je suhozasićena• zanemaren je neposredan utjecaj akumulacije energije na dinamiku promjene specifične entalpije pare u parnom volumenu odvajača• zanemareno je odvođenje topline sa plašta stijenke na okolinu • zanemarena je izmjena energetskih i masenih tokova preko slobodne površine između pare i kapljevine• zanemareni su temperaturni gradijenti u stijenci (aksijalni i radijalni) i pretpostavljena je jednolika progrijanost stijenke posude• svojstva materijala stijenke su konstantna • temperatura kapljevine je po cijelom volumenu jednaka• koeficijente prijelaza topline na stijenci su konstantni (8000 W/m2K za prijelaz topline između pare i stijenke i 2000 W/m2K za prijelaz topline između kapljevine i stijenke)

Početni uvjeti

• tlak pare u odvajaču pP = 90 bar

• tlak pare iza turbinskog ventila pT = 83 bar

• tlak u napojnom spremniku pNV = 6 bar

Protoci kroz ventile

• m p=0.0118 ∙Y T ∙√2 ρ' ' ( pP−pT )

• mk=0.00022461 ∙ Y T ∙√2 ρ' ( pP+ ρ' g h−pNV )

3

3. Diferencijalne jednadžbe sustava

Za proces odvajanja kapljevine neophodne su jednadžbe očuvanja mase i zakon očuvanja energije. Vlažna para ulazi u sustav te je potrebno napraviti bilancu mase pare i bilancu mase kapljevine. Međutim, iz zakona očuvanja energije i uvjeta u spremniku, doći će do preuzimanja ili odavanja toplinskog toka u materijalu stijenke zbog čega može doći do kondenzacije pare i povećanja razine kapljevine. Također, može doći do isparivanja kapljevine i na taj način do smanjenja razine kapljevine u spremniku.

zakon očuvanja mase – para (1):

dM p

dt=mu∙ x−mko−m p

zakon očuvanja mase – kapljevina (2):

dM k

dt=mko+mu ∙(1−x )−mk

zakon očuvanja energije (3):

dQdt

=qk+qp

Eksplicitni izraz

(1)

dM p

dt=

d ( ρV )dt

=dρp

dt∙ V p+

dV p

dt∙ ρp

dρdt

∙ A ∙ ( H −h )−A ∙ ρp ∙dhdt

=mu ∙ x−α p ∙ [ A+du ∙ π ( H−h ) ] ∙ ( θ−θ s )

r p

−0,0118 ∙ Y T ∙√2 ∙ ρ' ' ∙ ( p p−pT )

(2)

ρk Adhdt

=mu ∙(1−x)−α p ∙ [ A+du ∙ π ( H−h ) ] ∙ ( θ−θ s )

r p

−0,00022461 ∙Y k ∙√2 ρ ' ( pp+ ρ' gh−pNV )

(3)

ρ s ∙ cs ∙V s ∙d θ s

dt=α k ∙ ( A+du ∙ π ∙ h ) ∙ ( θk−θ s )+α p ∙ [ A+du∙ π ∙ ( H−h )] ∙ (θk−θ s )

4

4. Stacionarno stanje sustava

U stacionarnom stanju sustava vrijedi d ()dt

=0. Na taj način ćemo odrediti referentnu vrijednost

otvorenosti ventila, pri čemu u jednadžbe treba uvrstiti zadane vrijednosti za stacionarno stanje.

(1)

mu x−α p [ A+du π ( H−h ) ] (θ−θs )

r p

−0,0118 Y T √2ρ' ' ( p p−pT )=0

(2)

mu (1−x )−α p [ A+du π ( H−h ) ] (θ−θ s )

r p

−0,00022461Y k√2 ρ' ( pp+ρ' gh−pNV )=0

(3)

α k ( A+du πh ) (θk−θ s )+α p[ A+du ∙ π ∙ ( H −h )] (θk−θs )=0

Zadane vrijednosti za stacionarno stanje

h0 = 8 m

θp0 = θk0= 303,35 ˚C

pp0 = 90 bar

• očitano iz toplinskih tablica:

ρ''0 = 48,797 kg/m3

ρ'0 = 705,368 kg/m3

r0 = 1379,23 kJ/kg

• iz jednadžbe (1) slijedi izraz za otvorenost ventila turbine YT:

Y T ,ref=mu x

0,0118√2 ∙ ρ ' ' ∙ ( pp−pT )= 110 ∙ 0,8

0,0118√2 ∙ 48.797 ∙ ( 90−83 ) ∙ 105

Y T ,ref=¿0,9023

5

• iz jednadžbe (2) slijedi izraz za otvorenost ventila u odvodnom cjevovodu kapljevine YK:

Y K , ref=mu(1−x )

0,00022461√2 ∙ ρ' ∙( p p+ρ' ∙ g ∙h−pNV )= 110 ∙ 0,2

0,00022461√2∙705,368 ∙(90 ∙105+707,368 ∙ 9,80665 ∙8−6 ∙105)

Y K , ref= 0,8968

• iz jednadžbe (3) slijedi izraz za temperaturu θs0:

θs0 = θp0 = θk0= 303,35 ˚C

5. Linearizacija jednadžbi

Linearizacija nelinearnog modela u stacionarnom referentnom stanju svodi se na izražavanje otklona nelinearnih pribrojnika linearnom kombinacijom otklona varijabli, zamjenu varijabli u linearnim pribrojnicima njihovim otklonima i na odbacivanje konstantnih pribrojnika.

• linearizacija jednadžbe 1:

AHd ∆ ρ ' '

dt−A(h

d ∆ ρ ' 'dt

+( dρ' 'dt )

r

∆ h)−A [( dhdt )

r

∆ ρ ' '+ρ ' 'd ∆ h

dt ]=−α p A[( ∂(θ (ρ ' ')r ( ρ' ') )∂ ρ ' '

)r

∆ ρ' ' ]+αp

A [( ∂( θ s

r ( ρ' '))∂θ s

)r

∆ θ s+( ∂( θ s

r (ρ ' '))∂ ρ ' '

)r

∆ ρ ' ' ]−α pdπH [( ∂( θ(ρ ' ')r (ρ' ' ))∂ ρ ' '

)r

∆ ρ ' ' ]+α p dπH [( ∂( θs

r (ρ' '))∂ θs

)r

∆ θ s+( ∂( θ s

r ( ρ' ' ))∂ ρ ' '

)r

∆ ρ ' ' ]+α p dπ [( ∂( hθ( ρ' ')r (ρ ' ') )∂ h

)r

∆ h+( ∂( hθ( ρ' ')r (ρ ' ') )∂ ρ' '

)r

∆ ρ ' ' ]−α p dπ [( ∂ (hθ s¿¿¿ r (ρ ' '))∂ h )

r

∆ h+( ∂( hθs

r ( ρ' ' ))∂ θs

)r

∆ θ s+( ∂( hθ s

r ( ρ' ') )∂ ρ

)r

∆ ρ ' ' ]−¿

AHd ∆ ρ' '

dt−Ah

d ∆ ρ' '

dt−A ρ

' ' d ∆hdt =−α p A [614.8∙10−9∆ ρ' ' ]+α p A [725.04 ∙ 10−9 ∆θ s+1.5704 ∙ 10−6 ∆ ρ' ' ]−α p dπH [614.8 ∙10−9 ∆ ρ' ' ]+α p dπH [725.042∙ 10−9∆ θ s+1.5704 ∙ 10−6 ∆ ρ' ' ]+521632 α p dπ [219.942∙10−6 ∆ h+9.952163 ∙10−6 ∆ ρ' ' ]−α p dπ [219.942 ∙10−6 ∆ h+5.8 ∙ 10−6 ∆ θ s+12.059∙ 10−6 ∆ ρ' ' ]−0.90172 ∆ ρ' '+90.53098 ∆Y T+0.8 ∆ mu+110 ∆ x

0.60083d ∆ ρ' '

dt−3.4493

d ∆ hdt

=−0.61634 ∆ ρ' '+0.0468794 ∆ θs+2.1 ∙10−6 ∆ h+90.53098 ∆ Y T+0.8 ∆ mu+110 ∆ x

• linearizacija jednadžbe 2:

ρ' Ad ∆ h

dt=−α p A[( ∂( θs

r (ρ ' '))∂ θs

)r

∆θ s]+α p A [( ∂( θ( ρ' ' )r (ρ' ') )∂ ρ ' '

)r

∆ ρ' '−( ∂( θ s

r (ρ' '))∂ ρ ' '

)r

∆ ρ' ']+α p dπH [−( ∂( θ s

r (ρ ' '))∂ θ s

)r

∆ θs+( ∂( θ(ρ ' ')r ( ρ' ') )∂ ρ ' '

)r

∆ ρ' '−( ∂( θ s

r (ρ ' '))∂ ρ ' '

)r

∆ ρ' ']+α p dπ [( ∂( h θ s

r (ρ ' '))∂ θ s

)r

∆ θs−( ∂( hθ s

r ( ρ' '))∂ ρ ' '

)r

∆ ρ' '+( ∂( hθ( ρ' ' )r (ρ ' ') )∂ ρ' '

)r

∆ ρ ' ' ]−α p dπθ( ρ' ' )r (ρ ' ')

∆ h+α p dπθ (ρ ' ')r ( ρ' ')

∆ h−[ 0.00022481 (Y k )r (ρ'2 g)

√2 ρ' ( pP+ ρ' gh−pNV ) ]∆ h−0.00022461√2 ρ'( pP+ρ' gh−pNV )∆ Y K+0.2 ∆ mu−110 ∆ x

6

49.85953d ∆ h

dt=−α p A [725.042∙10−9 ∆θ s ]+α p A [614.8∙ 10−9 ∆ ρ' '−1.50741 0−6 ∆ ρ' ' ]+α p dπH [725.042 ∙ 10−9 ∆ θ s+614.8∙ 1 0−9 ∆ ρ' '−1.5074 ∙1 0−6 ∆ ρ' ' ]+α p dπ [5.8 ∙ 10−6 ∆ θ s−12.059 ∙1 0−6 ∆ ρ' '+12.059 ∙1 0−6 ∆ ρ' ' ]−0.00022481∙ 0.8968 ∙ (705.3682 ∙ 9.81 )

√2 ∙705.368¿¿¿

49.85953d ∆ h

dt+0.00901 ∆ h=0.1335214 ∆θ s−0.1115505 ∆ ρ' '−24.553 ∆ Y K+0.2 ∆ mu−110 ∆ x

• linearizacija jednadžbe 3:

ρ sc sV s

d ∆ θs

dt=−αk A ∆ θ s+α k dπ θk ∆ h−α k dπ ¿

2585275d ∆ θs

dt=−45 π ∆ θ s+182010 π ∆ h−182010 π ∆ h−4800 π ∆ θs+693.739 ∆ ρ' '−180 π ∆ θ s+152622.592 ∆ ρ' '−39600 π ∆ θ s−0.07504 π ∆ ρ' '−2287205 ∆ h+2287205 ∆ h+19200 ∆ θ s

2585181d ∆ θ s

dt+79875 ∆ θs=153316.256 ∆ ρ ' '

7

6. Matlab skripta

% Odvajac kapljevine - ulazne varijablemuref=110; % maseni protok vlazne pare, [kg/s]xref=0.8; % udio vodene pare, [kg/kg]alfak=2000; % koef. prijelaza topl. kaplj.-stijenka, [W/m^2K]alfap=8000; % koef. prijelaza topline para-stijenka, [W/m^2K]g=9.80665; % gravitacijsko ubrzanje, [m/s^2] pnv=6e5; % tlak u napojnom spremniku, [Pa]pt=83e5; % tlak pare iza turbinskog ventila, [Pa]ppref=90e5; % tlak pare u odvajaèu, [Pa]href=8; % visina kapljevine u odvajaèu,[m] d = 0.3; % unutarnji promjer, [m]H = 16.5; % visina, [m]delta=0.037; % debljina stijenke, [m]Vs=0.6545; % volumen stijenke, [m^3] ros=7900; % gustoca, [kg/m^3]c=500; % specificni toplinski kapacitet, [J/kgK] A=d^2*pi/4; % povrsina poprecnog presjeka odvajaca, [m^2] % suhozasicena para pp=90bar, toplinske tablice Tsref=303.35; % temperatura stijenke, [K]Tref=303.35; % temperatura sustava, [K]vkref=0.0014177; % specificni volumen kapljevine, [m^3/kg]rokref=1/vkref; % gustoca kapljevine, [kg/m^3]vpref=0.020493; % specificni volumen pare, [m^3/kg]ropref=1/vpref; % gustoca pare, [kg/m^3]hkref=1363.65e3; % entalpija vrele kapljevine, [J/kg]hpref=2742.88e3; % entalpija suhozasicene pare, [J/kg]rpref=(hpref-hkref)*1000; % specificna toplina isparavanja, [J/kg] %Ykref=solve('mu*(1-x)-0.00022461*Yk*sqrt(2*rokref*(pp+rokref*g*h-pnv))/r',Yk);%Ytref=solve('mu*x-0.0118*Yt*sqrt(2*ropref*(pp-pt))', Yt); Ykref=0.8968; % stac. otvorenost odvodnog ventila za kapljevinuYtref=0.9023; % stacionarna otvorenost odvodnog venitla za paru

8

7. Određivanje interpolacijskog polinoma

Interpolacijski polinom određivao se u funkciji drugih veličina stanja. Dobiva se unošenjem vrijednosti veličina stanja na apscisu i ordinatu pri čemu je bilo bitno da se sve veličine stanja budu funkcija gustoće suhozasićene pare. U Excelu se interpolacijsi polinom može dobiti da se nacrta graf funkcije, te naknadnim odabirom opcije “Trendline” gdje se odabire opcija prikaza interpolacijskog polinoma na grafu. Na sličan način se interpolacijski polinom može dobiti i u Matlabu, gdje bi se vrijednosti pojedine veličine stanja zapisale u obliku vektor - retka, te bi uporabom funkcije “polyfit” došli do traženih koeficijenata interpolacijskog polinoma.

Interpolacijski polinomi:

tlak suhozasićene pare, cijeli interval 0.01 – 221.2 bar

p=−628.79∙ ρ ' '2+216983 ∙ ρ' '−106807

temperatura, u intervalu tlakova 50-200 bar

T=−0.0168 ∙ ρ ' '2+2.8 664 ∙ ρ' '+203.36

specifična toplina isparivanja, u intervalu tlakova 50 – 150 bar

r=66.87 ∙ ρ ' ' 2−15981∙ ρ ' '+2 ∙ 106

gustoća kapljevine, interval tlakova 50 – 150 bar

ρ '=0.018 ∙ ρ' '2−4.363 ∙ ρ ' '+875.1

Slika 2.: Interpolacijski polinom T=f(ρ'')

9

8. Simulink model

U nastavku je prikazan Simulink model dinamike odvajača kapljevine. Zadatak je bio prikazati ovisnost promjene razine kapljevine h u odvajaču o promjenama ulaznog protoka mu i sadržaja pare x, te otvorenosti ventila YK. U prvom dijelu izvedena je ovisnost veličina stanja u sustavu u funkciji gustoće suhozasićene pare kombinacijom „Goto“, „From“ i „Function“ blokova. Na taj način je blok shema procesa postala jednostavnija i preglednija. Na slici 7. je prikazan model za stacionarno stanje, te su mu na ulaze dodani „Step“ i „Switch“ blokovi koji su iskombinirani sa ulaznim varijablama YK, mu i x, kako bi se skokovitom promjenom njihovog iznosa dobile nestacionarnosti u procesu koje su naknadno prikazane u dijagramima.

Slika 3.: Funkcionalna ovisnost veličina stanja u ovisnosti o gustoći suhozasićene pare

10

Slika 4.: Stacionarni model sustava

11

Slika 5.: Linearizirani model sustava

12

9. Prikaz rezultata simulacije procesa

U modelu sa referentnim ulaznim vrijednostima YK, mu i x sustav se stacionira, te visina kapljevine nakon 40000 sekundi postiže visinu od 9,218 m. Vidimo da u početnom stanju, nema promjene visine kapljevine jer model je u okolici referentne točke stabilan. Pri skokovitoj promjeni, kada se mu i x za povećaju za 0,1% u 10000. sekundi dolazi do pada razine kapljevine u sustavu, ali se razina u konačnici stacionira na 1,577 m nakon 50 k sekundi. Ukoliko se povećavaju vrijednosti ulaznih varijabli iznad 0,5% dolazi do velikih odstupanja što znači da model u referentnom stanju dobro opisuje model sustava dok za ostala stanja ne pokazuje adekvatne rezultate.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

0

2

4

6

8

10

vrijeme t [s]

visi

na h

[m

]

nelinearni model

Slika 6.: Promjena visine kapljevine pri skokovitoj promjeni mu i x

13

Kod ispitivanja razine kapljevine pri skokovitoj povećanju YK za 0,1% u 10e3. sekundi vidimo da dolazi do porasta razine kapljevine koja se u oba slučaja stacionira na 9,366 m. Prije toga razina vode je bila konstantna jer je model bio u stacionarnom stanju.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

9.2

9.25

9.3

9.35

9.4

vrijeme t [s]

visi

na h

[m

]

nelinearni model

Slka 7.: Promjena razine kapljevine pri skokovitoj promjeni YK

U okolini referentne točke linearni model dobro oponaša stacionarni model, te se oba stacioniraju na 9,219 m. Međutim, u području dok se model stacionira dolazi do značajnijih odstupanja linearnog modela

od stacionarnog modela.

14

Slika 8.: Usporedba stacionarnog i linearnog modela

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

9

10

11

12

13

14

15

visi

na h

[m

]

vrijeme t [s]

nelinearni modellinearni model

Slika 9.: Usporedba stacionarnog i linearnog modela na skokovitu promjenu mu

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

0

2

4

6

8

10

visi

na h

[m

]

vrijeme t [s]

nelinearni modellinearni model

Slika 10.: Usporedba stacionarnog i linearnog modela na skokovitu promjenu x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

9

9.5

10

10.5

11

11.5

12

visi

na h

[m

]

vrijeme t [s]

nelinearni modellinearni model

Slika 11.: Usporedba stacionarnog i linearnog modela na skokovitu promjenu YK

16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

0

2

4

6

8

10

visi

na h

[m

]

vrijeme t [s]

nelinearni modellinearni model

Slika 12.: Usporedba stacionarnog i linearnog modela na skokovitu promjenu mu i x

17

10. Zaključak

Na slikama 8.-12. prikazane su usporedbe stacionarnog i linearnog modela na skokovite promjene mu, x i YK. S obzirom da matematički model sadrži nelinearne jednadžbe i dosta pretpostavki, bilo je i za očekivati da linearizirani model izvan referentne točke sustava za početno pretpostavljenu visinu 8m neće moći adekvatno opisivati dinamiku procesa u cijelom radnom području. U lineariziranom modelu sve do skokovite promjene navedenih varijabli sustav je u referentnom stanju zato jer je otklon varijabli jednak nuli. Nakon skokovitih promjena varijabli vidimo da dolazi do velikog odstupanja linearnog od nelinearnog modela u odabranom referentnom stanju. S obzirom da se radi o „oštrim nelinearnostima“ radno područje nelinearnog modela nalazi se samo u infinitezimalnom području oko referentnog stanja.

18