MHENDSLK MEKAN

DNAMK

DERS NOTLARI

Yar. Do. Dr. Hseyin Bayrolu

EKM 2002 STANBUL

2

indekiler

1

GR

2

VEKTREL ANALZ 2.1 Vektr fonksiyonu 2.2 Vektr fonksiyonunun trevi 2.3 Vektr fonksiyonunun integrali

3

ERLERDE DFERANSYEL ZELLKLER 3.1 Bir vektr fonksiyonunun hodograf 3.2 Bir vektr fonksiyonunun hodograf zerinde trevler 3.3 Doal koordinat sistemi

4

MADDESEL NOKTANIN KNEMAT 4.1 Kinematiin temel kavramlar 4.2 Maddesel noktann hareketinin kartezyen koordinatlarda incelenmesi.

4.3 Maddesel noktann hareketinin doal koordinatlarda incelenmesi. 4.4 Maddesel noktann hareketinin silindirik koordinatlarda incelenmesi.

4.5 Maddesel noktann dorusal hareketi 4.5.1 Sabit hzl dorusal hareket 4.5.2 Sabit ivmeli dorusal hareket 4.5.3 ( )a f t ivme zamann fonksiyonu eklinde verilmi ise

4.5.4 ( )a f s ivme konumun fonksiyonu eklinde verilmi ise

4.5.5 ( )a f V ivme hzn fonksiyonu eklinde verilmi ise

4.5.6 a kV Bantsna uygun dorusal hareket (geri tepmeyi azaltma) 4.5.7 a ks Bantsna uygun dorusal hareket (Serbest titreim hareketi) 4.5.8. Dorusal harekette toplam yol

3

4.6 Maddesel noktann embersel hareketi 4.6.1 embersel harekette hz ve ivmenin kartezyen koordinatlardaki ifadeleri

4.7 Maddesel noktann bal hareketi (teleme hareketi yapan eksen sistemine gre) 4.8 Maddesel noktann bal hareketi

5

RJD CSMN KNEMAT 5.1 Rijid cismin hareketinde izdm hzlar teoremi 5.2 Rijid cismin teleme hareketi 5.3 Rijid cismin sabit bir eksen etrafnda dnme hareketi 5.4 Rijid cismin genel dzlemsel hareketi 5.5 Rijid cismin genel dzlemsel hareketinde ani dnme merkezi 5.6 Rijid cismin sabit bir nokta etrafnda hareketi 5.7 Rijid cismin genel hareketi

5.8 Maddesel noktann dnen eksen takmna gre bal hareketi

6

KNETK 6.1 Kinetik ve Newtonun ikinci hareket kanunu 6.2 Maddesel noktann kinetii 6.3 Ktle merkezinin hareketi teoremi 6.4 Rijid cismin sabit bir eksen etrafnda hareketi ve atalet momentleri 6.5 Atalet momentleri 6.5.1 Atalet momentleri ile ilgili teoremler

6.6 Genel dzlemsel harekette rijid cismin kinetii 6.7 Buyutlu harekette rijid cismin kinetii

7

VE ENERJ LKES 7.1 Maddesel noktann hareketinde i ve enerji ilkesi 7.1.2 Mekanik enerjinin korunumu ve potansiyel enerji

7.2 Sabit eksen etrafnda dnen rijid cismin kinetik enerjisi 7.3 Genel dzlemsel harekette rijid cismin kinetik enerjisi 7.4 boyutlu harekette rijid cismin kinetik enerjisi

4

8

MPULS VE MOMENTUM LKES 8.1 Maddesel noktann hareketinde impuls ve momentum ilkesi 8.2 Rijid cismin hareketinde impuls ve momentum ilkesi

9

DALAMBERT LKES 9.1 Dalambert ilkesi 9.2 Lagrange tarznda Dalambert ilkesi

5

BLM 1

GR

Mhendislik mekaniin ikinci ksm olan dinamik kuvvetler etkisinde cisimlerin hareketini inceleyen bilim daldr. Mekanikiler Dinamii kinematik ve kinetik ad altnda iki ana blme ayrrlar. Kinematik hareketi douran nedenleri gz nne almadan sadece hareketin geometrisini gz nne alan bilim daldr. Kinetik ise hareketi oluturan nedenlerle birlikte incelemektir. Kinetik kinematii de ierdiinden baz yazarlar kinetie dinamik diyorlar. Genellikle Dinamik ilk nce kinematik veya kinematik iin gerekli matematik bilgileri ile balar. Burada da ilk iki blm kinematik iin gerekli matematik konularn ieriyor.

BLM 2

VEKTREL ANALZ

2.1 Vektr fonksiyonu Statikte grlen e zamanl vektrlerden farkl olarak dinamikte zamanla veya baka bir deikene gre deiebilen vektrlerle de allr.

Bir u reel saysnn tanml olduu blgedeki her deerine bir )(uP

vektr

karlk geliyorsa P

vektrne u deikenine bal vektrel fonksiyon denir. Benzer ekilde birden fazla saydaki u , v , w gibi deikenlere veya r

gibi

vektrlere bal vektrel fonksiyonlar tanmlanabilir.

)(uPP

),,( wvuPP

)(rPP

Problem 2.1.1

( ) 10 8 3P u Cos u i Sin u j uk eklinde verilen vektr fonksiyonunu

3

u

iin hesaplaynz.

3

u

iin ( ) 10 8 33 3 3 3

P Cos i Sin j k

( ) 5 4 33

P i j k

6

2.2 Vektr fonksiyonunun trevi Bir vektrel fonksiyonun trevi adak i ekilde gsterildii gibi skaler fonksiyonlardaki trev ilemlerine benzer biimde alnabilir.Bir vektrel

fonksiyonda u nun herhangi bir deerine karlk gelen )(uP

vektrn u

deikenine verilen artmla elde edilen )( uuP

vektrnden karlrsa P

artm vektr elde edilir. Bu artm vektrn deikenin artm olan u ya blmne ortalama deiim vektr denir. Ortalama deiim vektrnde deikenin artm sfra yaklatrlrsa vektrel fonksiyonunun u da ki trevi elde edilir.

P

u

)( uuP

P

)(uP

)()( uPuuPP

u

uPuuP

du

PdOU

)()(lim

2.2.1 Trev kurallar

P

, Q

, W

vektrleri ve ile s skaleri u nun fonksiyonu olsun.Ayrca

T

vektr nn da s in fonksiyonu olsun iareti u ya gre trevi gstersin.

a) WQPWQP

b) PPP

c) QPQPQP

d) QPQPQP

e) du

ds

ds

d

d

Td

du

Td

7

Problem 2.2.1

( ) 10 8 3P u Cos u i Sin u j uk eklinde verilen vektr fonksiyonunun u ya

gre birinci ve ikinci trevini 3

u

iin hesaplaynz.

zm :

( )

10 8 3dP u

Sin u i Cos u j kdu

2

2

( )10 8

d P uCos u i Sin u j

du

3u

( )3 5 3 4 3

dP

i j kdu

,

2

2

( )3 5 4 3

d P

i jdu

Problem 2.2.2

Modl sabit olarak deien vektrn trevinin kendisine dik bir vektr olduunu gsterin zm:

( )P u sabit

Bir vektrn modl vektrn kendisi ile skaler arpmnn karekk alnarak bulunabileceinden.

( ) ( )P u P u sabit

Bu eitliin her iki tarafnn u ya gre trevi alnrsa

( ) 0dP

P udu

elde edilir. Bylece skaler arpmn sfr olmasndan ( )P u ile dP

du trev

vektrnn birbirine dik olduu ispatlanm olur.

8

Problem 2.2.3

Bir dzleme paralel olarak deien bir birim vektrn bu dzlem iindeki sabit bir dorultuyla yapt aya gre trevi ayn dzlemde bulunan kendisine pozitif ynde dik bir birim vektrdr.

zm: Birim vektrn paralel olduu dzlemi xy dzlemi bu dzlemdeki sabit bir dorultu x ekseni ile gsterilsin Bu dzlemde x ekseni ile as yapan birim vektr e ise buna pozitif ynde dik vektr ile ya gre trevi alnan vektrn ayn vektr olduu grlr.

y

de

d

e

x

e Cos i Sin j

de

Sin i Cos jd

e birim vektrne ayn dzleme paralel olmak koulu ile ve pozitif ynde dik vektr

( )k e k Cos i Sin j

Buradaki vektrel arpma ilemi yaplrsa de

k ed

bulunur.

2.3 Vektrel fonksiyonun integrali )(ux , )(uy , )(uz , u nun belirli bir aralnda srekli fonksiyonlar olmak zere

kuzjuyiuxuP

)()()()(

u ya bal vektrel fonksiyonunu gz nne alalnrsa aadaki integrale

kduuzjduuyiduuxduuP

)()()()(

)(uP

vektrel fonksiyonunun belirsiz integrali denir.

)()( uQdu

duP

eitliini salayan bir )(uQ

vektrel fonksiyonu varsa

9

CuQduuQdu

dduuP

)()()(

olur. Burada C

vektr u skalerine bal olmayan sabit bir vektrdr.

Bu durumda u = a ve u = b snrlar arasndaki belirli integral

)()()()()( aQbQCuQduuQdu

dduuP

b

a

b

a

b

a

eklinde yazlabilir.

10

BLM 3

ERLERDE DFERANSYEL ZELLKLER

3.1 Bir vektr fonksiyonunun hodograf u ya bal deerler alan )(uP

vektrel fonksiyonunun balanglar

ayn noktaya getirilirse u noktalarnn izdii eriye bu vektrel fonksiyonun hodograf denir.

y

Hodograf

)(uP

o x

z

3.2 Bir vektrel fonksiyonun hodograf zerinde ( )P u vektrel fonksiyonunun

trevi

y

11

P

u

dP

du

s

T

P s (+)

o1

o x

z

Yukardaki ekilde grld gibi eri zerinde keyfi bir balang ve yn ile belirlenen s erisel lsne (OA arasndaki eri uzunluuna) erisel apsis

denir. Burada P

vektr s deikeninin s de u nun fonksiyonu olarak ifade

edilebilir. Bylece P

vektrnn u ya gre trevi aadaki gibi alnabilir.

du

ds

ds

Pd

du

Pd

burada ds

Pd

vektrnn T

teet birim vektrne eit olduu trevin tanm

kullanlarak anlalr.

Ts

PLim

ds

Pds

0

Bylece

Tdu

ds

du

Pd

P

vektrnn u ya gre birinci mertebeden trevi bulunmu olur.

P

vektrnn u ya gre ikinci mertebeden trevi ise birinci mertebeden trevinin tekrar u ya gre trevi alnarak bulunur.

)(2

2

Tdu

ds

du

d

du

Pd

12

du

Td

du

dsT

du

sd

du

Pd

2

2

2

2

Burada du

Td

teet birim vektrn u ya gre trevini almak iin boyutlu

erilere ait baz tanmlar kullanmak gerekir. Osklatr dzlem : Eri zerindeki noktalara gre deiebilen ve bir nokta civarnda eriyi dzlem eri kabul etmekle bu nokta civarnda eriye en iyi uyan dzlemdir. ki boyutlu erilerde eriyi iinde bulunduran dzlem osklatr dzlemdir. Asal normal birim vektr : Teete osklatr dzlemde dik olan ve erilik merkezine doru ynelmi olan birim vektre denir. boyutlu erilerde erilik yarap , asal normal birim vektr gibi tanmlar yapabilmek iin bir nokta civarnda eriyi dzlem erisi ve R yarapl ember paras olarak kabul etmek gerekir. Bir A noktas civarnda aadaki ekilde gsterildii gibi osklatr dzlemde bulunan ds yay uzunluunda, d merkez asnda ve R yarapnda bir ember paras kabul edilebilir.

d T ds

T R

d

burada ds = R d

Burada grld gibi T

birim vektrn nn y s in fonksiyonu olarak dnlp zincir kuralndan faydalanlrsa aadaki eitlik yazlabilir.

du

ds

ds

d

d

Td

du

Td

burada d

Td

ilemini yapabilmek iin sabit bir dzleme paralel olarak deien

T

birim vektrnn bu dzlemde bulunan sabit bir dorultuyla yapt asna gre trevi gz nne alnabilir.

y

13

dT

d

T

x

jSiniCosT

jCosiSind

Td

Buradan T

birim vektrnn ya gre trevinin ayn dzlemde kendisine

pozitif ynde dik bir vektr olduu anlalr. Bu vektre N

asal normal birim

vektr denir.

Nd

Td

Bu denklem teet birim vektrn u ya gre trevi ifadesinde yerine yazlrsa

du

ds

Rd

dN

du

Td

Tdu

ds

Rdu

Td

1

Teet birim vektrn u ya gre trevi bulunur. Bu eitlikler ile 2

2

du

Pd

ikinci trev

ifadesine gidilirse

N

R

dudsT

du

sd

du

Pd

2

2

2

2

2 /

P

vektrnn u ya gre trevi teet ve asal normal birim vektrleri dorultusunda bulunur.

3.3 Doal koordinat sistemi

Bu elde edilen T

ve N

birim vektrleri ile birde bunlara sa el kuralna gre dik nc bir birim vektr tanmlanrsa

NTB

bir koordinat sistemi tanmlanm olur. Buradaki B

birim vektrne

binormal birim vektr denir. Bu T

, N

ve B

birim vektrlerinin belirledii koordinat sistemine doal koordinat denir.

T

ve N

birim vektrlerinin belirledii dzleme osklatr dzlem

N

ve B

birim vektrlerinin belirledii dzleme normal dzlem

T

ve B

birim vektrlerinin belirledii dzleme rektifiyen dzlem denir. Bu koordinat dzlemine birlikte Frenet yzls de denir.

3.4 Doal koordinat sisteminde T , N , B birim vektrleri ve R erilik yarap

Bir )(uPP

vektrel fonksiyonunda elde edilen Tdu

ds

du

Pd

denkleminden

14

du

Pd

du

ds

ve

du

Pd

duPd

T

elde edilir.

N birim vektr ise

1dT dsN

du R du

formlnden elde edilir.

dTRduNdP

du

R erilik yarap ise P

vektrnn u ya gre 1. ve 2. mertebeden trevleri birbiri ile vektrel arplarak elde edilir.

R

duds

du

Pd

du

Pd3

2

Bu denklemin her iki tarafnn modl alnr ve du

Pd

du

ds

eitlii gz

nne alnrsa R erilik yarap aadaki gibi yazlabilir.

2

2

3

du

Pd

du

Pd

duPd

R

Problem 3.4.1

y = f(x) kartezyen denklemiyle verilen bir dzlem eride erilik yarapn veren forml yaznz.

zm:

jxfixP

)( jxfidx

Pd

)( jxfdx

Pd

)(2

2

ve 2)(1 xfdx

Pd

)(2

2

xfdx

Pd

dx

Pd

denklemleri ile R erilik yarapn veren forml

15

2/32)(

)(1

xf

xfR

eklinde elde edilir.

Problem 3.4.2

( ) 10 8 3P u Cos u i Sin u j uk eklinde vektr fonksiyonu ile verilen

erinin 3

u

deki erilik yarapn ve teet birim vektrn bulunuz.

zm :

2

2

3

du

Pd

du

Pd

duPd

R

( )

10 8 3dP u

Sin u i Cos u j kdu

2

2

( )10 8

d P uCos u i Sin u j

du

2

2

( ) ( )10 8 3

10 8 0

i j kdP u d P u

Sinu Cosudu du

Cosu Sinu

2

2

( ) ( )24 30 80

dP u d P uSinu i Cosu j k

du du

2

2 2

2

( ) ( )576 900 6400

dP u d P uSin u Cos u

du du

2 2( ) 100 64 9dP u

Sin u Cos udu

3

2 2 3 / 2( ) (100 64 9)dP u

Sin u Cos udu

3

2 2 3 / 2

2 2 2

2

( )

(100 64 9)

( ) ( ) 576 900 6400

dP u

du Sin u Cos uR

dP u d P u Sin u Cos u

du du

16

2 2

( )

10 8 3

( ) 100 64 9

dP u

Sin u i Cos u j kduTdP u Sin u Cos u

du

2 2 1/ 2

10 8 3

(100 64 9)

Sin u i Cos u j kT

Sin u Cos u

3u

iin

2 2 1/ 2

10 8 33 3( )

3(100 64 9)

3 3

Sin i Cos j k

T

Sin Cos

1/ 2

5 3 4 3 3 2 3( )

3003 2 5 10( 16 9)

4

i j kT i j k

2 2 3 / 2

2 2

(100 64 9)3 3

576 900 64003 3

Sin Cos

R

Sin Cos

3 / 2300( 16 9)4 11.9

432 225 6400R

BLM 4 MADDESEL NOKTANIN KNEMAT

4.1 Kinematiin temel kavramlar

17

Yer vektr : Bir maddesel noktann bir mukayese cismine (koordinat sistemine) gre bulunduu yere orijinden uzanan vektr. Hz vektr : Yer vektrnn zamana gre trevi vme vektr: Hz vektrnn zamana gre trevi veya yer vektrnn zamana gre ikinci trevi Asal hz: Ayn dzlemde hareket eden noktay sabit bir noktaya balayan dorunun ayn dzlemdeki sabit bir doru ile yapt ann zamana gre trevi Asal ivme: Asal hzn zamana gre trevi

y

p

r

x

z

r (Yer vektr )

dt

rdV

( Hz Vektr )

dt

Vda

( vme vektr )

y

P

x

)(t (Zaman fonksiyonu olan ayn dzlemdeki a )

dt

d ( Asal hz ) ,

dt

d (Asal ivme )

4.2 Maddesel noktann hareketinin kartezyen koordinat sisteminde incelenmesi

y

18

),,( zyxA

r

y

z Bir maddesel noktann hareketinde koordinatlar

)(txx , )(tyy , )(tzz

eklinde ise yer , hz ve ivme vektrleri aadaki gibi hesaplanr.

ktzjtyitxr

)()()(

ktzjtyitxV

)()()(

ktzjtyitxa

)()()(

Burada deikenlerin zerindeki noktalar zamana gre trevi gstermektedir.

Problem 4.2.1

Bir maddesel nokta bir eri zerinde 10x Cos t , 8y Sin t , 3z t

bantlarna gre hareket etmektedir. 6

t

iin maddesel noktann yer, hz ve

ivme vektrlerini bulunuz.

zm:

10 8 3r Cos t i Sin t j t k

10 8 3V Sin t i Cos t j k

10 8a Cos t i Sin t j

6t

iin

10 8 36 6 6

r Cos i Sin j k

5 3 42

r i j k

10 8 36 6

V Sin i Cos j k

5 4 3 3V i j k

10 86 6

a Cos i Sin j

19

5 3 4a i j

4.3 Maddesel noktann hareketinin Doal koordinat sisteminde incelenmesi

y

V

Ta

a T

s (+)

N

o1 Na

r

o x

z

Daha nce formlleri karlan doal koordinat sistemindeki P

vektr yerine r

yer vektr u yerine t zaman deikeni alnrsa aadaki hz ve

ivme ifadeleri elde edilir.

Tdt

ds

dt

rdV

NR

dt

ds

Tdt

sd

dt

rda

2

2

2

2

2

Problem 4.3.1

Bir maddesel nokta bir eri zerinde 3 22 5 4s t t ( Burada s metre , t saniye cinsindendir.) bantsna uygun olarak hareket etmektedir. 1t de maddesel noktann bulunduu yerin erilik yarap 5 .R m olduuna gre bu andaki hz ve ivme vektrlerini doal koordinat sisteminde hesaplaynz. zm:

dsV T

dt , N

R

dt

ds

Tdt

sd

dt

rda

2

2

2

2

2

23 10ds

t tdt

, 2

26 10

d st

dt

20

1t de 13ds

dt

2

216

d s

dt

13V T , 2(13)

165

a T N

16 33,8 a T N

Problem 4.3.2

Bir maddesel nokta bir eri zerinde hareket ederken bir t annda hz ve ivme vektrlerinin kartezyen koordinatlardaki bileenleri

6 2 3V i j k

3 4a i j

olduuna gre bu an iin hz ve ivme vektrlerinin doal koordinat sistemindeki ifadelerini ve eri zerinde bulunduu noktann erilik yarapn bulunuz.

zm:

V

Ta

A

a

Na

2 2 26 ( 2) 3V , 7 /V m s , 7V T

V a V a Cos , 2 23 4a , 25 /a m s

V a

CosV a

, 6*3 2*4

7*5Cos

,

10

35Cos 73,4 o

20,86 /Ta a Cos m s , 22,87 /

Na a Sin m s

0,86 2,87 a T N

2

N

Va

R

2

N

VR

a ,

49

4R , 12,25R m

4.4 Maddesel noktann hareketinin silindirik koordinat sisteminde incelenmesi z

21

k

e

),,( zA

e

r

o y

k

1A e

x e

Yukardaki ekilden r

vektr

AAOAr 11

eklinde yazlabilir. Bu eitlik silindirik koordinatlarn birim vektrleri cinsinden yazlrsa

kzer

elde edilir. Yer vektrnn zamana gre trevlerinden hz ve ivme vektrleri bulunur.

kdt

dz

dt

ede

dt

d

dt

rdV

Burada e

birim vektr nn fonksiyonu olduundan zincir kural uygulanp

dt

d

d

ed

dt

ed

eitlii yazlabilir.

Burada

d

ed

bir dzleme paralel olarak deien bir birim vektr dr. Bu

vektrn bu dzlem iindeki sabit bir dorultu ile yapt aya gre trevi kendisine pozitif ynde dik bir birim vektr olan e

vektrdr.

Bylece elde edilen ee denklemi ile hz denklemine gidilirse silindirik

koordinatlardaki hz vektr

kzeeV

eklinde elde edilir. Bu elde edilen hz vektrnn zamana gre trevi alnrsa ivme vektr bulunur.

kzeeeeedt

Vda

Burada e

gibi e

da nn fonksiyonudur. Bundan dolay

22

dt

d

d

ed

dt

ede

eitlii yazlabilir.

Burada

d

ed

bir dzleme paralel olarak deien bir birim vektrdr. Bu birim

vektrn bu dzlem iindeki sabit bir dorultu ile yapt aya gre trevi kendisine pozitif ynde dik bir birim vektr olan e

vektrdr.

Bylece elde edilen ee ve ee

eitlii ivme denklemine gidilirse

kzeea

22

silindirik koordinatlardaki ivme denklemi elde edilir.

Problem 4.4.1

Bir maddesel nokta bir eri zerinde 20 106

Cos t

, 33t

, 10

4z Sin t

Bantlarna uygun olarak hareket etmektedir. 1t iin yer ,hz ve ivme vektrlerini silindirik koordinatlarda hesaplaynz.

kzeeV

kzeea

22

5

3 6Sin t

,

25

18 6Cos t

2t , 2 t

5

2 4z Cos t

,

25

8 4z Sin t

1t de 20 5 3 , 5

6

,

253

36

3

, , 2

5 2z , 5

24

z

, 25

216

z

(20 5 3) 5 2 r e k , 5 5

(20 5 3) 26 4

V e e k

2 225 5 5[ 3 (20 5 3) ] [(20 5 3)2 2( ) ] 2

36 6 16a e e k

22 2185 5 5[ (20 3) ] [(40 10 3) ( ) ] 2

36 3 16 a e e k

4.5 Maddesel noktann dorusal hareketi

23

Maddesel noktann yrngesi bir koordinat sistemine gre doru eklinde ise maddesel noktann bu koordinat sistemine gre yapt harekete dorusal hareket denir. y

U

s A

o1 r

x

o

z

Maddesel noktann yrngesi olan bu doru zerinde keyfi bir balang noktas ve yn seilebilir. Buradaki s A da bulunan maddesel noktan doru zerindeki balang noktasna gre alnan ldr. Burada maddesel noktann konumunu gsteren r

yer vektr

1 1r OO O A eklinde yazlabilir. 1O A sU olduundan

1r OO sU olur.

Hz vektr Udt

dsV

vme vektr Udt

sda

2

2

Bu elde edilen hz ve ivme vektrleri ayn dorultuda olduundan nce iddetleri hesaplanp sonra vektr formuna kolayca getirilir. Dorusal hareketi iin aadaki skaler denklemler kullanlr.

dt

dsV ,

dt

dVa ,

2

2

dt

sda

ve ayrca dt

dsV den ekilen

V

dsdt eitlii

dt

dVa denklemine

yerletirilirse

ds

VdVa

denklemi elde edilir. Bu elde edilen 4 adet denklemden dorusal harekete ait problemler zlmeye allr.

4.5.1 Sabit hzl dorusal hareket

Bir dorusal hareketteki hz V sabit ise aadaki ilemler yaplabilir.

24

dt

dVa den

0a bulunur. Ve

dt

dsV den Vdtds yazlp V sabit olduu iin kolayca integre ederek

ts

S

dtVds

00

tVss 0

sabit hzl dorusal harekete ait konum zaman bants bulunur.

Problem 4.5.1.1

Bir maddesel nokta bir doru zerinde 6 /V m s sabit hz ile hareket ettiine

gre 0t da 8s m olduuna gre 5 inci saniyedeki konumunu bulunuz.

zm: 0s s V t konum zaman denkleminden

5t deki konum t yerine 5 yazarak bulunur.

8 6*5s

38 .s m

4.5.2 Sabit ivmeli dorusal hareket

Bir dorusal hareketteki ivme a sabit ise aadaki ilemler yaplabilir.

dt

dVa den dtadV yazp integre ederek

tV

V

dtadV

00

taVV 0

hz zaman bants elde edilir.

dt

dsV den dttaVds )( 0 yazp integre ederek

S

S

t

dttaVds

0 0

0 )( 2

002

1tatVss

konum-zaman bants elde edilir.

Ayrca ds

VdVa bantsndan yazlan dVV

ads

1 bants integre edilirse

25

V

V

S

S

dVVa

ds

00

1 )(

2

1 20

20 VV

ass

konum-hz bants elde edilir.

Problem 4.5.2.1 Bir maddesel nokta bir doru zerinde 23 /a m s sabit ivmesi

ile hareket ettiine gre 0t da konumu 8s m ve hz 4 /V m s olduuna

gre 5 inci saniyedeki konumunu bulunuz.

zm:

2002

1tatVss konum zaman denkleminden

7 .t s deki konum t yerine 7 yazarak bulunur.

218 4*7 3*72

s , 109,5 .s m

4.5.3 )(tfa vme zamann fonksiyonu eklinde verilmi ise

dt

dVa den elde edilen dtadV denklemde a yerine )(tf yazp

integre edilirse

dttfdV )( dttfdV

tV

V

)(

00

t

dttfVV

0

0 )(

hz zaman bants elde edilir. Bu bantdaki V hz yerine dt

ds yazp

dzenlendikten sonra integre edilirse

t

dttfVdt

ds

0

0 )( dtdttfVds

ttS

S

])([

0

0

00

dtdttfVss

tt

])([

0

0

0

0

konum-zaman bants elde edilir. Burada 0s ve 0V Balang deerleridir.

Problem 4.5.3.1 Bir maddesel nokta bir doru 2 3a t ivme zaman bants ile hareket ediyor. 0t da konum 4 .s m ve hz 10 / .V m s olduuna gre

6t daki konumu ve hz hesaplaynz.

26

zm:

dV

adt

den dV adt yazlabilir. Burada a yerine 2 3t yazp integre

edilirse

(2 3)O

V t

V O

dV t dt 2 3OV V t t

denklemi elde edilir. Bu denklemde OV yerine 10 konursa

2 3 10V t t

Hz-zaman denklemi elde edilir.Burada t yerine 6 yazlrsa

29 /V m s

bulunur.

dsV

dt den ds V dt yazlabilir. Burada V yerine 2 3 10t t yazp integre

edilirse

2

0

( 3 10)

O

S t

S

ds t t dt

3 20

1 310

3 2s s t t t

denklemi elde edilir. Burada 0s yerine 4 yazlrsa

3 21 3 10 43 2

s t t t

konum-zaman denklemi elde edilir. Burada t yerine 6 yazlrsa

70s m

bulunur.

4.5.4 )(sfa vme konumun fonksiyonu eklinde verilmi ise

27

a yerine ds

VdV veya

2

2

dt

sd yazp denklem dzenlendikten sonra integre

ederek hz-konum veya konum-zaman denklemleri bulunur.

Problem 4.5.4.1

Bir maddesel nokta bir doru 1/ 212a s ivme -konum bants ile hareket

ediyor. 0t da konum 0s ve hz 0V olduuna gre 2t deki konumu hz ve ivmeyi hesaplaynz.

zm:

a yerine ds

VdV yazp elde edilen

1/ 212VdV

sds

denklemi

1/ 212V dV s ds eklinde dzenlenip integre edilirse

1/ 2

0 0

12

V s

V dV s ds

2 3/ 21 1122 3/ 2V s

3/ 44V s denklemi elde edilir. Bu denklemde V yerine ds

dt yazp

3/ 4256ds

sdt

elde edilen denklem 3/ 44

dsdt

s eklinde yazlp integre edilirse

3/ 4

0 0

1

4

s t

s ds dt

1/ 4s t

4s t , 34V t , 212a t

2t de 16 .s m , 32 /V m s , 248 /a m s

4.5.5 )(Vfa vme hzn fonksiyonu eklinde verilmi ise

a yerine dt

dV veya

ds

VdVyazlrsa aadaki denklemler elde edilir.

)(Vfdt

dV

)(Vf

dVdt

)(Vfds

VdV

)(Vf

VdVds

Bu son eitlikler integre edilirse hz-zaman ve konum-hz denklemleri bulunur.

28

Problem 4.5.5.1 Bir maddesel nokta bir doru 20,2a V ivme hz bants

ile hareket ediyor. 0t da konum 0s ve hz 20 /V m s olduuna gre

2t deki konumu hz ve ivmeyi hesaplaynz.

zm:

a yerine dV

dt yazarak elde edilen

20,2dV

Vdt

denklemi 2

5dV

dtV

eklinde dzenlenip integre edilirse

2

0 20

5

t VdV

dtV

5 1

4t

V

5 1

4t

V

5

1

4

V

t

20

1 4V

t

denklemi elde edilir. Bu denklemde V yerine

ds

dt yazarak

20

1 4

ds

dt t

elde edilen denklem

20

1 4ds dt

t

eklinde dzenlenip integre

edilirse 0 0

20

1 4

S t

ds dtt

5 (1 4 )s Ln t konum-zaman bants elde edilir.

2t de 11s m , 2,22 /V m s , 20.2 a V , 2

0.2 2,22 a

20,988 / a m s

4.5.6 kVa Bantsna uygun dorusal hareket (geri tepmeyi azaltma)

Burada k pozitif reel say

ds

VdVa de a yerine kV yazlp

ds

VdVkV elde edilen denklem

kdsdV eklinde dzenlendikten sonra integre edilirse

S

S

V

V

dskVd

00

)( 00 sskVV

hz-konum bants elde edilir. Elde edilen bantda V yerine dt

ds yazlrsa

00 ksksVdt

ds bants elde edilir. Eer hz-konum bantsnda 00 s

alnabilirse ksVdt

ds 0 ekline gelen denklem dt

ksV

ds

0 eklinde

dzenlenip integre edilirse

tS

dtksV

ds

00 0

tV

ksV

k

0

0ln1

kteVksV 00

)1(0 ktek

Vs

konum-zaman bants elde edilir.

29

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-10

-5

5

10

4.5.7 ksa Bantsna uygun dorusal hareket (serbest titreim hareketi)

Burada k pozitif reel say

ksa denkleminde a yerine 2

2

dt

sd yazlrsa

02

2

skdt

sd

ikinci mertebeden sabit katsayl lineer diferansiyel denklemi elde edilir. Bu

denklemin zm fonksiyonu olarak

tSinBtCosAs

nerilirse diferansiyel denklemi salad grlr. Burada k dr. A ve B

sabitleri ise balang koullar aadaki denklemlerde yerine konarak bulunur.

tSinBtCosAs

tCosBtSinAV

kullanlarak bulunur. Eer 0t daki s ve V biliniyorsa aadaki denklemler yazlabilir.

tACoss 0 , tCosBV 0 bunlardan 0sA ve

0V

B

Bylece tSinV

tCosss

00

Denklemi elde edilir.

tSinBtCosAs denklemi

)( tCosCs eklinde yazlabilir.

Burada 22 BAC A

BArc tan dr. Eer fonksiyonun s-t grafii izilirse

buradaki eri tCos erisinden Cos )( t fonksiyonunun argman olan

)( t yi sfr yapan

t kadar geriden balar .

tBSintACos

tACos

tBSin

t

30

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-10

-5

5

10

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-10

-5

5

10

)( tCosC

t

t

Yukardaki grafikler 10A , 6B , 66,116)10( 22 C ,

.54,010

6tan RadArc , 3 ve 18,0

iin izilmitir.

s

s

t

t t

Problem 4.5.7.1

Bir maddesel nokta bir doru 2

36a s

ivme konum bants ile hareket

ediyor. 0t da konum 10s ve hz 4 /V m s olduuna gre

2t deki konumu hz ve ivmeyi hesaplaynz.

zm:

2

36a s

denkleminde a yerine

2

2

d s

dt yazlrsa

31

2 2

20

36

d ss

dt

ikinci mertebeden sabit katsayl diferansiyel denklem elde edilir. Bu denklemin

genel zm

6 6s ACos t B Sin t

6 6 6 6V A Sin t B Cos t

0t daki konum 10s ve hz 4 /V m s denklemlerde yerine konursa

10A ve 24

B

elde edilir. Bu bulunan deerler konum-zaman ve hz-

zaman denklemlerinde yerine konursa

2410

6 6s Cos t Sin t

2410

6 6 6 6V Sin t Cos t

5 43 6 6

V Sin t Cos t

denklemleri elde edilir. Burada t yerine 2 yazlrsa 2t deki konum ve hz

deerleri elde edilir.

2410

3 3s Cos Sin

125 3s

, 11,62 .s m

5 43 3 3

V Sin Cos

35 23 2

V

, 6,53 / .V m s

4.5.8 Dorusal harekette toplam yol

Maddesel nokta bir doru zerinde hareket ederken yn deitirebilir. Bundan dolay toplam yolu bulurken yn deitirdii noktalar arasndaki

32

yollar toplanmaldr. Yn deitirdii noktalardaki zamanlar hz sfr yapan zaman deerleridir.Bu elde edilen zamanlar ve istenen zaman noktas arasndaki konum farklarnn mutlak deerleri toplandnda toplam yol bulunur.

Aadaki ekilde gsterildii gibi bir maddesel noktann 4tt

zamanna kadar ald toplam yolu inceleyelim. Maddesel nokta 0t da

0s konumundan harekete balar. Hz denklemini sfr yapan zaman

deerleri

1t , 2t ve 3t ise maddesel nokta 0t dan 1tt e , 1tt den 2tt ye,

2tt den 3tt e kadar ve 3tt den sonra ayn ynde hareket

edeceinden bu aralklardaki konum farklarnn mutlak deerleri toplanarak toplam yol bulunur.

12 ss

01 ss 23 ss 34 ss

1s 0s 0 3s 2s 4s

4tt kadar alnan Toplam Yol = 01 ss + 12 ss + 23 ss + 34 ss

Burada zaman gsteren alt indisleri birlikte s konumlar maddesel

noktann doru zerinde indisin belirttii zamandaki konumunu gstermektedir.

Problem 4.5.8.1

Bir maddesel nokta bir doru zerinde 3 24

12 273

s t t t konum zaman

bantsna gre hareket ediyor. lk 4 saniye iinde maddesel noktann ald toplam yolu bulunuz.

zm: Maddesel noktann 4. saniyeye kadar ayn ynde gittii zaman dilimlerindeki konum farklarnn mutlak deerleri toplanrsa toplam yol bulunur. Yn deitirdii zamanlar hz sfr yapan deerleridir.

24 24 27V t t denklemini sfr yapan zaman deerleri

2

1,2

24 ( 24) 4*4*27

2*4t

, 1,2

24 12

8t

33

1 1,5t , 2 4,5t olarak bulunur.

4 1,5 0 4 1,5. tTopYol s s s s

0 0s

3 21,5

41,5 12*1,5 27*1,5 18 .

3s m

3 24,5

44,5 12*4,5 27*4,5 1,33 .

3s m

4. 18 0 1,33 18tTopYol

4. 34,67 .tTopYol m

4.6 Maddesel noktann embersel hareketi Maddesel noktann bir koordinat sistemine gre yrngesi ember veya ember paras eklinde ise bu tr harekete embersel hareket denir.

y

V

Ta

a P

R s

o x

Hz ve ivme vektrlerinin doal koordinat sistemindeki ifadeleri embersel harekette asal hz ve asal ivme cinsinden yazlabilir.

dt

d ,

dt

d

s ember yay uzunluunu gsterdiinden

Rs

yazlabilir. Bu bantnn her iki tarafnn t ye gre 1. ve 2. trevleri

34

alnrsa

Rdt

ds

Rdt

sd2

2

denklemleri elde edilir. Bu denklemler doal koordinat sistemine ait

Tdt

dsV

, N

R

dt

ds

Tdt

sda

2

2

2

denklemlerinde yerine konursa

TRV

NRTRa 2

embersel harekete ait hz ve ivme vektrlerinin doal koordinat sistemindeki

ifadeleri elde edilir.

Buradaki asal hz ve asal ivme nn deerleri

dt

d

dt

d

2

2

dt

d

d

d

denklemlerinden elde edilir. Bu denklemler dorusal harekete ait diferansiyel denklemlerle ayn formdadr. Bundan dolay zm yntemleri de ayndr.

Problem 4.6.1

Bir maddesel nokta 12 .R cm yarapl ember zerinde saat akrebinin

tersi ynnde hareket ederken bir t annda asal hz 6 / .Rad s ve

35

asal ivmesi 22 /Rad s olduuna gre bu an iin hz ve ivme

vektrlerini doal koordinat sisteminde bulunuz.

zm:

TRV

eklindeki embersel hareketteki hz vektrnn doal koordinat sistemindeki formlnde verilenler yerine konursa

12*6V T

72V T

hz vektrnn doal koordinat sistemindeki ifadesi elde edilir. Ayn ekilde ivme vektrnn doal koordinat sistemindeki forml olan

NRTRa 2

denkleminde verilenler yerine konursa 212*2 12*6a T N

24 432a T N

ivme vektrnn doal koordinat sistemindeki ifadesi bulunur.

Problem 4.6.1

Basit bir sarkacn hareketi k

eklinde veriliyor. 0t da 0 ve 0 olduuna gre a ,

asal hz ve asal ivme nn zamana bal ifadelerini bulunuz.

zm:

yerine 2

2

d

dt

yazlrsa

2

20

dk

dt

ikinci mertebeden sabit katsayl diferansiyel denklem elde edilir. Bu denklemin genel zm

ACos t BSin t

eklindedir. Burada 2k dir. A ve B sabitleri ise balang artlarndan bulunur.

ACos t BSin t

denkleminde yerine 0 , t yerine sfr yazlrsa

0 A bulunur.

A Sin t B Cos t

denkleminde yerine 0 , t yerine sfr yazlrsa

B elde edilir. Buradan

36

B

bulunur. Bu bulunan A ve B deerleri a-zaman bantsnda

yerine yazlrsa

0Cos t Sin t

a-zaman denklemi bulunur.Bu denklemin zaman gre birinci trevi

0Sin t Cos t

asal hz-zaman denklemini verir. Bu denklemin tekrar zaman gre trevi 2

0Cos t Sin t

asal ivme-zaman denklemini verir.

4.6.1 embersel harekette hz ve ivmenin kartezyen koordinatlardaki ifadeleri

y

V

Ta

a P

R s

o x

embersel harekette

asal hz vektr tanmlandktan sonra V

hz vektr

OPV

eklinde hesaplanabilir.Burada

asal hz vektrdr.Asal hz vektrnn modl asal hzn mutlak deerine eit , dorultusu ember dzlemine dik yn sa el kuralna uygun maddesel noktann dn ynne bal olarak tesbit edilen ynde bir vektrdr.

ile OP vektr birbirine dik olduundan OP

nin iddeti R

deerine eit , dorultusu embere teet, ynde hz vektr ynnde

olduundan OP

vektr hz vektrne eittir. Yukardaki ekle gre

37

k

jSinRiCosROP

yazlabilir. Bu eitliklerle hz vektr

jCosRiSinRV

eklinde kartezyen koordinat sisteminde yazlabilir.

Bu hz vektrnn OPV

eklindeki denkleminin zamana gre trevi alnrsa ivme vektr bulunur.

VOPa

Burada

vektr dt

d

dir.

Yukardaki ekilde

yerine k

alnp ivme vektrnde yerine

yazlp gerekli ilemler yaplrsa

VkOPka

)()( jCosRiSinRkjSinRiCosRka

jSinRCosRiCosRSinRa

)()( 22

ivme vektrnn kartezyen koordinatlardaki ifadesi bulunur.

Problem 4.6.1.1

Bir maddesel nokta 14 .R cm yarapl bir ember zerinde 324

t

bantsna uygun olarak hareket etmektedir. ember ekilde gsterildii gibi yz dzlemindedir. as da ekilde gsterildii gibi alnyor. 2t iin maddesel noktann yer hz ve ivme vektrlerini kartezyen koordinatlarda hesaplaynz.

y

R A

38

C zC

O x yC

z

Burada 14 .R cm 20 .yC cm 18 .zC cm 3

24t

dr.

zm:

r OC CA

20 18OC j k

CA RCos j RSin k

2t de 3

7 7 3CA j k

27 (18 7 3)r j k

27 30,12r j k

Hz vektr kartezyen koordinatlarda

V CA

forml ile hesaplanabilir.Burada d

idt

( nk x ekseni ember

dzlemine diktir ve maddesel nokta ember etrafnda y den z ye doru dnyor.)

2

4

dt

dt

2t iin d

dt

deeri V CA denkleminde yerine yazlrsa

(7 7 3)V i j k

7 3 7V j k

38,1 22V j k

2t deki hz ifadesi hesaplanm olur. vme vektr kartezyen koordinatlarda

a CA V

forml ile hesaplanabilir.Burada 2

2

di

dt

( nk asal ivme vektr

dorultu deitirmiyor.)

39

2

2 2

dt

dt

2t iin 2

2

d

dt

deeri ve dier elde edilenlerle birlikte

a CA V denklemine gidilirse

(7 7 3 ) ( 7 3 7 )a i j k i j k

(7 7 3) (7 7 3 )a j k

107,18 97,67a j k

4.7 Maddesel noktann bal hareketi (teleme hareketi yapan eksen sistemine gre )

ki maddesel noktann birbirine gre bal yer hz ve ivme vektrleri aadaki ekilden elde edilebilir. Bu maddesel noktalardan birisi teleme hareketi yapan eksen sisteminin orijini alnrsa aadaki ekil izilebilir.

y yP1 2P

12 / PP

r

1P

xP1

zP1 1Pr

2Pr

o x

z

Yukardaki ekilden yer vektrleri arasnda

2121 / PPPPrrr

bants yazlabilir. Buradan P2 noktasnn P1 noktasna veya teleme

hareketi yapan eksen sistemine gre 12 / PP

r

bal yer vektr ekilip zamana

gre birinci ve ikinci trevi alnrsa bal hz ve bal ivme vektrleri elde edilir.

1212 / PPPPrrr

40

1212 / PPPP

VVV

1212 / PPPP

aaa

Problem 4.7.1

ekilde gsterildii gibi 1P maddesel noktas d1 dorusu zerinde

10 812

s Sin t

konum-zaman bantsna gre 2P maddesel noktas ise xy

dzleminde bulunan 12 .R cm yarapl bir ember zerinde 324

t

a-zaman

bantsna gre hareket etmektedir. 2t iin 2P maddesel noktasnn 1P

maddesel noktasna gre bal yer , hz , ivme vektrlerini ve aralarndaki

uzakl bulunuz.

y 20cm.

10cm. 2P

1P C

s 15cm.

O x

z

zm:

1212 / PPPPrrr

2 2 2P

r OP OC CP , 20 15OC i j

2(20 12 ) (15 12 )Pr Cos i Sin j

1 1Pr OA AP ,

110Pr s j k

2 1/(20 12 ) (15 12 ) 10P Pr Cos i Sin s j k

2t de 32 .24 3

Rad

, 10 8 2 14 .12

s Sin cm

41

2 1/

(20 12 ) (15 12 14) 103 3

P Pr Cos i Sin j k

2 1/

(20 6) (15 6 3 14) 10P Pr i j k

2 1/

26 (1 6 3) 10P Pr i j k , 2 1/ 26 11,39 10P Pr i j k

2 1/12 (12 )P PV Sin i Cos V j

2

8t

,

2

3 12V Cos t

2t de / .2Rad s

,

3/ .

3V cm s

2 1/

312 (12 )

2 3 2 3 3P PV Sin i Cos j

2 1/

3 1 312 (12 )

2 2 2 2 3P PV i j

,

2 1/

33 3 (3 )

3P PV i j

2 1/

16,32 7,61P PV i j

2 1

2 2/ (12 12 ) (12 12 )P Pa Sin Cos i Cos Sin a j

4t

,

2

18 12V Sin t

2t de 2/2Rad s

,

22/

36a cm s

2 1

2 2 2

/ (12 12 ) (12 12 )2 3 4 3 2 3 4 3 36

P Pa Sin Cos i Cos Sin j

2 1

2 2 2

/

3 1 1 3(12 12 ) (12 12 )

2 2 4 2 2 2 4 2 36P Pa i j

2 1

22 2

/

3 3(3 3 ) (3 3 )

2 2 36P Pa i j

2 1/

3 3(3 3 ) (3 3 )

2 2 36P Pa i j

2 1/31,13 14,57P Pa i j

Problem 4.7.2

ekilde gsterildii gibi 1P maddesel noktas xy dzleminde bulunan ve

merkezi x ekseni zerinde 8 .R cm yarapl bir ember zerinde 6t

bantsna gre hareket etmektedir. 2P maddesel noktas ise 1 2 5PP L R sabit

42

olmak zere Z ekseni zerinde hareket ediyor. 1t iin 2P maddesel

noktasnn hz ve ivmesini bulunuz.

z

2P

5L R y

z

R

3R C x

zm:

2P

r z k , 2P

V z k , 2P

a z k

2 1/

5P Pr L R

1212 / PPPPrrr

1

(3 )Pr R RCos i RSin j

2 1/(3 )P Pr R RCos i RSin j z k

2 1

22 2 2 2 2 2 2 2 225 9 6P PL r R R R Cos R Cos R Sin z

2 2 215 6z R R Cos

15 6z R Cos , 1/ 2(15 6 )z R Cos

1/ 21 (15 6 ) ( 6 )2

z R Cos Sin

1/ 23 (15 6 )z R Sin Cos 3

15 6

R Sinz

Cos

1/ 2 2 1/ 2 3/ 233 (15 6 ) 3 (15 6 ) 3 ( )(15 6 ) (6 )2

z R Sin Cos R Cos Cos R Sin Cos Sin

2 2 23 ( ) 27

15 6 (15 6 ) 15 6

R Sin Cos R Sinz

Cos Cos Cos

43

6t

,

6

, 0

1t de .6Rad

36 6

15 66

R Sin

z

Cos

2

15 3 3z

2 / .z cm s

22PV k

2 223 ( ) 27

36 6 36 6

15 6 (15 6 ) 15 66 6 6

R Cos R Sin

z

Cos Cos Cos

2 23 3

3 15 3 3 2(15 3 3) 15 3 3z

21,34 /z cm s 2

1,34Pa k

4.8 Maddesel noktalarn bal hareketi Bir maddesel noktann hareketi dier maddesel noktalarn hareketine bal olarak veriliyorsa bu tr harekete bal hareket denir. Bir maddesel noktalar sistemi dnldnde bu sistemin konumunu belirten deikenlere genelletirilmi koordinatlar denir. Genelletirilmi koordinatlarn birbirinden bamsz saysna sistemin serbestlik derecesi denir.

Bir maddesel noktalar sistemindeki her bir bant serbestlik derecesini bir azaltr. Aadaki bir makara sistemindeki maddesel nokta kabul edilen ktleler dey dorultuda hareket ediyorlar.Sistemin konumu 3 tane deikenle gsterilebilir. Bu makaralardan dolandrlan ve cisimleri birbirine bal olarak hareket etmesini salayan ipin boyunun deimedii kabul edilirse

ek olarak bir bant gelir. Bylece sistemin serbestlik derecesi 2 olur.

As Cs

44

Bs

C

A

B

pin toplam uzunluunun deimedii kabul edilirse

CBA sss 2 sabit

yazlabilir. Bu eitliin her iki tarafnn zamana gre trevleri alnrsa

02 CBA VVV

hzlar arasndaki bant bulunur. Tekrar trev alnrsa

02 CBA aaa

ivmeler arasndaki bant bulunur.

Bu problemden ayr olarak maddesel noktalar sisteminde maddesel noktalar arasndaki uzaklklar deimiyorsa bu sistem rijid cisim modelini oluturur. Bu modelde serbestlik derecesi 6 dr.

Problem 4.8.1

ekilde gsterilen A asansr aa doru 5 m/s. Sabit hz ile aa doru hareket ediyor.

a) W Kar arlnn hzn b) C kablosunun hzn c) C kablosunun A asansrne gre hzn d) W kar arlnn A asansrne gre hzn bulunuz.

45

C

W

A

M

zm:

Ws

Cs As

C

W

A

M

a) A Ws s sabit

0A WV V

W AV V

5 / .WV m s

46

b) 2C As s sabit

2 0C AV V

10 /CV m s

c) /C A C AV V V

/ 15 /C AV m s

d) /W A W AV V V

/ 5 5W AV

/ 10 /W AV m s

Problem 4.8.2

ekilde gsterilen B blou saa doru 450 / .BV mm s sabit hz ile hareket

ediyor.

a) A blounun hzn b) Kablonun D ksmnn hzn c) A nn B ye gre hzn d) Kablonun C ksmnn hzn D ksmna gre bulunuz.

C

A D B 450 /B sV mm

E

zm:

0 (+) AS BS

C

D 450 /B sV mm

A E B

47

a)

3 2B As s sabit

3 2 0B AV V

3

2A BV V

3450

2AV

675 /AV mm s

b)

2 B Ds s sabit

2 0B DV V

2D BV V

2*450DV

900 / .DV mm s

c)

/A B A BV V V

/ 675 450A BV

/ 225 / .A BV mm s

d)

/C D C DV V V

450 / .C BV V mm s

/ 450 900C DV

/ 450 / .C DV mm s

48

BLM 5

RJD CSMN KNEMAT

5.1 Rijid cismin hareketinde izdm hzlar teoremi

Rijid cismin hareketinde ayn doru zerinde bulunan noktalarn hzlarnn bu doru zerindeki izdmleri birbirine eittir. Bu teoremin ispat aadaki ekilde yaplabilir.

y V

AV

B

A V BV

Br

Ar

49

o x

z

Rijid cisim zerindeki herhangi iki nokta arasndaki uzaklk deimediinden

AB sabit

yazlabilir. Bir vektrn modl vektr kendisiyle skaler arpp karekkn alarak da bulunur. Bir vektr sabit ise modlnn karesi de sabittir.

AB AB sabit

Her iki tarfn zamana gre trevi alnrsa

0d AB

ABdt

elde edilir. Burada d AB

dt yerine AB VV

yazlrsa

( ) 0B AV V AB

A BV AB V AB

bants bulunur. Bu bantnn her iki tarf AB vektrnn modlne blnrse

ABBABA UVUV

izdm hzlar teoremi ispatlanm olur.

Problem 5.1.1:

Bir rijid cismin koordinatlar (1,1,0) olan A noktasnn hz vektr

3 7 8AV i j k ve koordinatlar (3,4,6) olan B noktasnn hz vektrnn

dorultusunun x eksenine paralel olduu bilindiine gre iddetini bulunuz. (Burada uzunluklar metre zaman saniye cinsindendir.)

zm: zdm hzlar teoreminden

50

A BV AB V AB

yazlabilir.

AB OB OA

2 3 6AB i j k

B BV V i

3*2 7*3 8*6AV AB

21 /AV AB m s

2* 21 /B BV AB V m s

21

/2

BV m s

10,5 / .BV m s

Problem 5.1.2:

ekilde gsterilen AB cisminin A ucu y ekseni zerinde AV hz iddeti ile

aa doru hareket ederken B ucu x ekseni zerinde hareket ediyor. B ucunun hznn iddetini A ucunun hznn iddetine ve asna bal olarak bulunuz.

y

AV Sin

A

AV

B BV x

BV Cos

zm: zdm hzlar teoremine gre A noktasnn hznn AB dorultusu zerindeki izdm B noktasnn hznn AB dorultusu zerindeki izdmne eittir.

51

A BV Sin V Cos

B AV V tg

5.2 Rijid cismin telenme hareketi Rijid cismin hareketinde zerindeki hibir doru dorultu deitirmiyorsa bu tr harekete teleme hareketi denir. Bu durumda rijid cisme bal vektrler dzlemler eksen sistemleri dorultu deitirmezler. Rijid cisme bal her vektr sabit vektrdr. ekilde bu sabit vektrlerden

herhangi biri AB vektr olsun.

y

B

A

Ar

Br

x

o

z

ekildeki A ve B nin yer vektrleri arasnda aadaki bant yazlabilir.

52

A Br AB r

AB sabit olduu gz nnde bulundurularak eitliin her iki tarafnn zamana gre trevi alnrsa

BA VV

hz vektrleri arasndaki bant bulunur.Tekrar trev alndnda ise

BA aa

ivmeler arasndaki bant bulunur. Bu bantlardan teleme hareketinde rijid cismin btn noktalarnn hz vektrlerinin birbirine eit , ivme vektrlerinin birbirine eit olduu grlr. telenme hareketinde btn noktalarn hzlar birbirine eit olduu iin yrngeleri de birbirinin ayn veya telenmi eriler olur. Eer bu yrngeler doru eklinde ise bu harekete dorusal telenme, eri eklinde ise erisel telenme hareketi denir.

Problem 5.2.1

ekil dzleminde kalmak art ile A noktasndan B etrafnda dnebilen AB ubuu ile D noktasndan C etrafnda dnebilen CD ubuu ile mafsall olarak hareket ediyor. AB ubuunun ekilde verilen konumdan geerken asal hz

5 /Rad s asal ivmesi 22 /Rad s olduuna gre bu an iin ADEF dikdrtgen levhasnn E noktasnn hz ve ivme vektrlerini

a) doal koordinat sisteminde b) kartezyen koordinat sisteminde bulunuz.

B C

A D

F E

20 .AB CD cm

32 .BC AD cm

030

53

zm:

B C

x

Na Aa

A D Ta

AV

E Aa a

F E

y E AV V

AB uzunluu CD uzunluuna ve BC uzunluu AD uzunluuna eit olduu iin ABCD daima paralel kenar olur. Bundan dolay dikdrtgen plaka teleme hareketi yapar. teleme hareketi yapan cisimlerin btn noktalarnn hzlar ve ivmeleri birbirinin ayn olduundan E noktasnn hz ve ivmesi A noktasnn hz ve ivmesine eit olur. a) Doal koordinat sisteminde hz ve ivme vektrleri

AV AB T

20 5AV T

100AV T

2Aa AB T AB N

220 2 20 5Aa T N

40 500Aa T N

100E AV V T

40 500E Aa a T N

b) Kartezyen koordinat sisteminde hz ve ivme vektrleri

AV BA

5k

BA BA Sin i BA Cos j

0 020 30 20 30BA Sin i Cos j

10 10 3BA i j

5 ( 10 10 3 )AV k i j

50 3 50AV i j

A Aa BA V

54

2 ( 10 10 3 ) 5 (50 3 50 )Aa k i j k i j

(20 3 250) (20 250 3)Aa i j

50 3 50E AV V i j

(20 3 250) (20 250 3)E Aa a i j

5.3 Rijid cismin sabit bir eksen etrafnda dnme hareketi Rijid cismin zerindeki noktalarn sabit bir eksene ve bu eksen zerindeki bir noktaya uzaklklar hareket boyunca deimiyorsa rijid cismin bu hareketine sabit bir eksen etrafnda dnme hareketi denir.

B

DV

C r

D

A

Yukardaki ekilde bir rijid cisim A ve B noktalarndan geen ekseni etrafnda asal hz ve asal ivmesi ile dnyor. Cismin zerindeki

55

btn noktalarn yrngeleri eksenine dik dzlemlerdeki emberlerdir. Burada D noktas C merkezli r yarapl eksenine dik dzlemde bir ember izer. embersel harekette bir noktann hz vektrnn dorultusu embere teet ,yn hareket ynnde , iddeti ise asal hz ile yarapn arpmna eittir.

TrV

vme vektr ise

NrTra 2

eklindedir.

Sabit bir eksen etrafnda dnme hareketinde V

hz vektrnn

DV AD

eklinde yazlabilecei aada gibi gsterilebilir.

Burada

asal hz vektrdr. Asal hz vektr asal hz iddetinde dnme

ekseni dorultusunda ve sa el kural ile cismin dnme ynn belirten ynde

bir vektrdr.

DV AD AD Sin

Burad AD Sin r olduundan rV

hzn iddetini veren denklemi

salanm olur.

Vektrel arpmn dorultusu arpmdaki her iki vektre de dik olacandan

asal hz vektr ile AD vektrne dik dorultu teet dorultusunda olur. Yn ise sa el kural ile bulunur. Bu elde edilen dorultu ve yn hz vektrnn dorultu ve yn ile ayn olur. Bylece sabit bir eksen etrafnda dnme hareketindeki hz vektrnn hesabnda

DV AD

ifadesi kullanlabilr. Bu eitliin her iki tarafnn zamana gre trevi alnrsa ivme vektr forml elde edilir.

D Da AD V

Burada dt

d

dr.

Problem 5.3.1

Dikdrtgenler prizmas eklindeki cisim bir t annda asal hz pozitif ynde

7 /Rad s ve asal ivmesi 22 /Rad s dir. Ayrca ayn anda kenarlar koordinat eksenlerine akacak konumdan gemektedir. B noktasnn hz ve ivme vektrlerini cisim

56

a) x ekseni etrafnda dnerken b) y ekseni etrafnda dnerken c) z ekseni etrafnda dnerken d) OA ekseni etrafnda dnerken

y

C B

20cm.

D A

30cm. O H x

E 60cm. F

Z

zm:

a) cisim x ekseni etrafnda pozitif ynde ( y den z ye doru) dnyor.

BV HB T , 30 7BV T , 210BV T

BV HB , 7 i , 30HB j , 7 30BV i j

210BV k

2Ba HB T HB N , 230 2 30 7Ba T N

60 1470Ba T N

B Ba HB V , 2 30 7 210Ba i j i k

1470 60Ba j k

b) cisim y ekseni etrafnda pozitif ynde (z den x e doru) dnyor.

BV CB T , 60 7BV T , 420BV T

260 2 60 7Ba T N , 120 2940Ba T N

BV CB , 7 j , 7 60BV j i

420BV k

B Ba CB V , 2 60 7 420Ba j i j k

2940 120Ba i k

c) Cisim z ekseni etrafnda pozitif ynde (x den y ye doru) dnyor.

57

BV OB T , 2 230 60OB , 2 230 60OB , 10 45OB

70 45BV T , 469,57BV T

210 45 2 10 45 7Ba T N , 20 45 490 45Ba T N

134,16 3287,02Ba T N , 23289,8 /Ba cm s

BV OB , 7k , 60 30OB i j

7 (60 30 )BV k i j

210 420BV i j

B Ba OB V , 2 (60 30 ) 7 ( 210 420 )Ba k i j k i j

120 60 1470 2940Ba j i j i

3000 1350Ba i j

d) Cisim OA ekseni etrafnda pozitif ynde (O dan bakldnda saat

ibrelerinin tersi ynnde) dnyor.

BV AB

OAU ,

2 2 2

60 30 20

60 30 20OA

i j kOAU

OA

6 3 2

7 7 7OAU i j k , 6 3 2i j k , 20AB k

(6 3 2 ) 20BV i j k k

60 120BV i j

B Ba AB V , OAU , 12 6 4

7 7 7i j k

12 6 4( ) 20 6 3 27 7 7

60 120 0

B

i j k

a i j k k

120 240

( 240) ( 120) 9007 7

Ba i j k

58

257,14 85,71 900Ba i j k

Problem 5.3.2

Bir rijid cisim A(5,6,2) ve B(7,3,8) noktalarndan geen ve A dan B ye doru ynelmi ekseni etrafnda pozitif ynde dnyor. Cismin bir t anndaki asal

hz 14 /Rad s ve asal ivmesi 27 /Rad s dir. Bu anda C noktas (10,8,6) koordinatlarndan getiine gre C noktasnn a) bu andaki hz ve ivme vektrlerini b) dnme eksenine olan uzakln bulunuz.

zm:

CV AC , C Ca AC V

U , U , AB

UAB

, 2 2 2

(7 5) (3 6) (8 2)

(7 5) (3 6) (8 2)

i j kU

2 3 6

7 7 7U i j k , 4 6 12i j k , 2 3 6i j k

(10 5) (8 6) (6 2)AC i j k , 5 2 4AC i j k

a)

4 6 12

5 2 4

C

i j k

V AC

( 6 4 12 2) (12 5 4 4) (4 2 6 5)CV i j k

48 44 38CV i j k

b)

C Ca AC V , 2 3 6 4 6 12

5 2 4 48 44 38

C

i j k i j k

a

( 3 4 6 2 6 38 12 44) (6 5 2 4 48 12 4 38)

(2 2 3 5 4 44 6 48)

Ca i j

k

780 706 93Ca i j k

59

c)

C CV R C

C

VR

48 44 38CV i j k , 75,39 /CV cm s

75,39

14CR

5,39 .CR cm

5.4 Rijid cismin genel dzlemsel hareketi Rijid cisim zerindeki btn noktalarn yrngeleri dzlemsel eriler ise rijid cismin bu tr hareketine genel dzlemsel hareket denir. Dzlemsel eriler izen bu noktalar ayn dzlemde veya birbirine paralel dzlemlerde bulunur.Genel dzlemsel hareket iin yaplan bu tanmdan sabit bir eksen etrafndaki hareketin de bir dzlemsel hareket olduu anlalr. Bu paralel dzlemlerden birinde elde edilen hz ve ivmeler bu dzleme klan dik doru zerindeki her noktada ayndr.yrngeler ise ayn yrngenin bu noktaya telenmi halidir. Bundan dolay genel dzlemsel hareket yapan bir rijid cisim zerindeki yrngelere paralel dzlemlerden birini ana levha olarak adlandrp bunun zerinde inceleme yapmak yeterli olur.

y

ABr /

B

A

Ar

Br

x

o

z

60

ekildeki oAB vektr geninden A ve B nin yer vektrleri arasnda aadaki bant yazlabilir. /B A B Ar r r

Bu yer vektrleri arasndaki bantnn zaman gre trevinden hz vektrleri arasndaki bant elde edilir.

/B A B AV V V

Bu eitliin zamana gre trevi alnrsa ivmeler arasndaki bant elde edilir.

/B A B Aa a a

Buradaki denklemlerin sol tarafndaki ikinci terimler B nin A daki telenme hareketi yapan eksen sistemine gre hareketini gstermektedir. Burada B ile A arasndaki uzaklk deimediinden ve B dzlemsel bir yrngeye sahip olduundan B nin A daki eksen sistemine gre yrngesi ember olur. embersel harekette sabit eksen etrafnda dnme hareketine ait aadaki denklemler yazlabilir.

/B AV AB

/ /B A B Aa AB V

Problem 5.4.1

ekilde gsterilen sistemde OA kolu O silindirik mafsal etrafnda AB kolu ise A silindirik mafsal etrafnda dnme hareketi yapmaktadr. Sistem bir t annda verilen konumdan geerken OA kolunun asal hz 8 /OA Rad s ,asal

ivmesi 23 /OA Rad s AB kolunun asal hz ise 6 /AB Rad s ,asal ivmesi 22 /AB Rad s olduuna gre bu an iin C noktasnn hz ve ivme vektrlerini

bulunuz.

y B

AB

A

OA

61

O

x

26 .OA cm 20 .AB cm

Sistem verilen konumdan geerken: 060 , 045 , 8 /OA Rad s

23 /OA Rad s , 6 /AB Rad s , 22 /AB Rad s

dr.

zm:

/B A B AV V V , A OAV OA , /B A ABV AB

8OA k , 3OA k , 6AB k , 2AB k

( )OA OA Cos i Sin j , 13 13 3OA i j

( )AB AB Cos i Sin j , 10 2 10 2AB i j

8 (13 13 3 )AV k i j , 104 3 104AV i j

/ 6 (10 2 10 2 )B AV k i j , / 60 2 60 2B AV i j

(104 3 60 2) (104 60 2)BV i j

265 188,9BV i j

/B A B Aa a a , A OA OA Aa OA V , / /B A AB AB B Aa AB V

3 (13 13 3 ) 8 ( 104 3 104 )Aa k i j k i j ,

(39 3 832) (39 832 3)Aa i j

/ 2 (10 2 10 2 ) 6 ( 60 2 60 2 )B Aa k i j k i j

/ (20 2 360 2 ) (20 2 360 2 )B Aa i j , / 380 2 340 2B Aa i j

(39 3 380 2 832) (39 832 3 340 2)Ba i j

1436,95 1882,9Ba i j

Problem 5.4.2

62

Aadaki ekilde kaymadan yuvarlanma hareketi yapan bir disk gsterilmektedir. Diskin evresindeki A , B , C , D ve I noktalarnn hz ve ivme vektrlerini bulunuz.

C 2C GV V

y /D GV DV B GV

/B G B GV V V

D GV G GV A GV

I /A GV AV x

/I GV 0IV GV

zm:

Yukardaki ekilde gsterildii gibi btn noktalarn hz vektrn ktle merkezinin hz vektr ile bu noktalarn ktle merkezine gre hz vektrlerinin toplamndan elde edilir. vme vektrleri de ayn ekilde ktle merkezinin ivmesi ile bu noktalarn ktle merkezine gre ivmelerinin toplamndan elde edilir.

A noktasnn hz ve ivme vektr:

/A G A GV V V

GV R i , /A GV R j

AV R i R j

/A G A Ga a a

Ga R i

2/A Ga R T R N

2/A Ga R i R j

2( )Aa R i R j

B noktasnn hz ve ivme vektr:

/B G B GV V V

GV R i , / ( )B GV k RCos i RSin j

/B GV R Sin i R Cos j

(1 )BV R Sin i R Cos j

63

/B G B Ga a a

/ ( ) ( )B Ga k RCos i RSin j k R Sin i R Cos j

2 2/ ( ) ( )B Ga R Sin R Cos i R Cos R Sin j

2 2( ) ( )Ba R R Sin R Cos i R Cos R Sin j

C noktasnn hz ve ivme vektr:

/C G C GV V V

GV R i , /C GV R i

2CV R i

/C G C Ga a a

Ga R i

2/C Ga R T R N

2/C Ga R i R j

22Ca R i R j

A noktasnn hz ve ivme vektr:

/D G D GV V V

GV R i , /D GV R j

DV R i R j

/D G D Ga a a

Ga R i

2/D Ga R T R N

2/D Ga R i R j

2( )Da R i R j

I noktasnn hz ve ivme vektr:

/I G I GV V V

GV R i , /I GV R i

0IV

/I G I Ga a a

64

Ga R i

2/I Ga R T R N

2/I Ga R i R j

2Ia R j

5.5 Genel dzlemsel harekette ani dnme merkezi Genle dzlemsel hareketteki BABA VVV

/ eitlii gz nne alnrsa

Herhangi bir noktann hz vektr hz vektr bilinen bir noktann hz vektrne bu noktay baz alarak elde edilen bal hz vektr eklenerek bulunur. Bu sylenen bantdan genel dzlemsel harekette hz sfr olan

Bir noktay bulmak mmkn olur. Hzn sfr olan nokta bulunduktan sonra dier noktalarn bu nokta etrafnda embersel hareket yapt dnlerek hzlar hesaplanr.

CV

C AV

AV

I

A AIV /

ekilde grld gibi A noktasnn hzna klan dikme zerinde hz sfr olan noktay bulmak mmkndr. Eer

AAI VV

/

olacak ekilde bir I noktas bulunursa bu noktann hz sfr olur. Hz sfr olan noktay bulduktan sonra baka bir C noktasnn hznn dorultusu IC dorusuna

65

dik karak, yn nn gsterdii ynde , iddeti ise IC dorusunun uzunluu ile asal hz vektrnn arpmndan ekildeki gibi kolaylkla bulunur.

CV IC

Problem 5.5.1:

ekilde gsterilen L uzunluundaki AB cisminin A ucu y ekseni zerinde AV

hz ile aa doru hareket ederken B ucu x ekseni zerinde hareket ediyor. B ucunun hzn ve C merkezinin hzn A ucunun hzna ve asna bal olarak bulunuz.

y

A

AV

C

B x

zm:

y

I

A

66

AV

C CV

B BV x

AV IA AV

IA

BV IB , CV IC

B AIB

V VIA

, C AIC

V VIA

AB L , IA LCos , IB LSin , 2

LIC

B ALSin

V VLCos

, 2C A

L

V VLCos

B AV V tg

ACV

VCos

Problem 5.5.2:

ekildeki krank biyel mekanizmasnda AB=10cm. uzunluundaki krank A

etrafnda saat ibreleri ynnde 5 / .Rad s sabit asal hz ile dnyor. 030

iin BC=30cm. uzunluundaki biyelinin asal hzn ve C pistonunun hzn bulunuz.

B

C

A x

AB

zm : I

BC

B

67

C

A CV x

AB BV

B AB BCV AB IB BC ABAB

IB

C BCV IC , C ABAB

V ICIB

10 5BV , 50 /BV cm s

Sins teoreminden

0(180 )Sin Sin Sin

AB BC AC

ABSin Sin

BC

AC ABCos BCCos

21Cos Sin , 2 21 ( )AB

Cos SinBC

2 21 ( )AB

AC ABCos BC SinBC

0 2 2 010

10 30 30 1 ( ) 3030

AC Cos Sin

37,815 .AC cm

AC

IACos

, 0

37,815

30IA

Cos

43,665 .IA cm

IC IASin , 043,665 30IC Sin

21,833 .IC cm

IB IA AB , 43,665 10IB

33,665 .IB cm

BC ABAB

IB ,

105

33,665BC

1,485 /BC Rad s

C BCV IC , 21,833 1,485CV

32,42 /CV cm s

68

5.6 Rijid cismin sabit bir nokta etrafnda hareketi Aadaki ekilde o etrafnda

asal hz vektr ve

asal

ivme vektr ile dnen bir rijid cismin C noktasnn hz ve ivme vektrleri aadaki gibi yazlabilir.

C

O

CV OC

C Ca OC V

Sabit bir nokta etrafnda dnme hareketinde asal ivme vektr ile asal hz vektr ayn dorultuda olmak zorunda deildir. Sabit bir nokta etrafnda dnme hareketi her an iin sabit bir eksen etrafnda dnme hareketine edeer dnlebilir. Ani dnme ekseni denen bu eksen zerindeki noktalarn hz sfrdr.Fakat ivmeleri sfr olmayabileceinden ivme vektr bu eksen dnda olabilir.

69

Problem 5.6.1:

ekilde gsterildii anda OAB Robot kolu y ekseni etrafnda 1 0,15 /Rad s

sabit asal hz ve z ekseni etrafnda 2 0,25 /Rad s sabit asal hz ile

dnyor. OB robot kolunun uzunluu 1m. olduuna gre a) OAB robot kolunun asal hzn b) OAB robot kolunun asal ivmesini c) B noktasnn hzn d) B noktasnn ivmesini bulunuz.

y

1

A B

o

350

2

z x

zm: a) 1 2

1 1 j , 2 2k , 1 2j k

0,15 0,25j k , 2 2

0,15 0,25

0,29 / .Rad s

b)

70

1 2d dd

dt dt dt

iddeti sabit olan 1 asal hz vektrnn dorultusu da

deimediinden 1 0d

dt

dr.

2 1 2d

dt

, 0,15 0,25j k

0,0375 i

c)

BV OB , 0 035 35OB Cos i Sin j

0,819 0,5736OB i j , 0 0,15 0,25

0,819 0,5736 0

B

i j k

V

0,1434 0,205 0,123BV i j k , 0,279 /BV m s

d)

B Ba OB V

0,0375 (0,819 0,5736 ) 0 0,15 0,25

0,1434 0,205 0,123

B

i j k

a i i j

0,0697 0,0359 0,043Ba i j k , 20,089 /Ba m s

Problem 5.6.2:

eitli dz ubuklardan birletirilerek oluturulan OABC robot kolu O da kresel mafsal ile balanmtr. OA ubuu D , OB ubuu ise E plakasndaki dorusal kanallarda hareket ediyor. E plakasndaki kanal z eksenine paraleldir. D plakas z eksenine diktir. ekilde gsterildii anda B noktasnn hznn

(180 / )BV mm s k ve sabit olduu bilindiine gre

a) OABC robot kolunun asal hzn , b) A noktasnn hzn c) C noktasnn hzn , d) OABC robot kolunun asal ivmesini e) C noktasnn