dinamica español
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DINÁMICA
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DINÁMICA
INGENIERÍA INDUSTRIAL
ASIGNATURA: Dinámica
• NÚMERO DE HORAS SEMANALES: 3 Horas
• PROFESOR: Ing. Mecánico Italo Mendoza Haro, Mba
• HORARIO: Jueves, de 18H00-21H00 (3 Horas)
BIBLIOGRAFÍA:
1. Mecánica vectorial para ingenieros de Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston
2. Mecánica para ingenieros de Ferdinand L. Singer
3. Dinámica de J. L. Meriam
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Presentación del profesor
• Italo Mendoza H. Ingeniero mecánico, ESPOL. Año 1986.
• Mba. en Administración y Dirección de Empresas.- UTEG.
Universidad Tecnológica Empresarial de Guayaquil. Año
2008
• Supervisor de fabrica en Sociedad Agrícola e Industrial San
Carlos. (1986-1991)
• Jefe de planta en fabrica de caramelos y galletas Guayaquil
Loor Rigaíl (1991-1993)
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Presentación del profesor
• Director de mantenimiento en fabrica de
Compañía Azucarera Valdez S.A. desde el año
1993.
• Catedrático en el SECAP (1985)
• Catedrático en la Escuela Superior Naval (1984-
1993)
• Catedrático en la UNEMI desde el año 2006
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PROCEDIMIENTO DE EVALUACIONESLas pruebas de aportes y especialmente las evaluaciones finales tienen que ser
documentadas; es decir, escritas a base de preguntas y respuestas valorativascuantificables.
MECANICA TEORICA I INGENIERÍA INDUSTRIAL MENCIÓN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL.
Se tomaran 2 evaluaciones/30 puntos en el semestre = 60 puntosSe calificaran trabajos de investigación 20 puntos en el semestre = 20 puntosSe calificaran Gestión en el aula 20 puntos en el semestre= 20 puntosTotal …………………………………………………….. = 100 puntosLas evaluaciones sobre gestión en el aula 20 puntos están divididas: 50% puntos de asistencia a clases; 50 puntos por actuación y participación en clasesAlumnos con puntajes < 34/100 puntos pierden el semestreAlumnos con puntajes (35-70)/100 puntos con opción recuperaciónAlumnos con puntajes (70-100)/100 aprobados
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EVALUACIONES• LAS EVALUACIONES SOBRE 15 PUNTOS TIENEN LA
SIGUIENTE PLANIFICACIÓN
• Evaluación sobre cinemática y cinética de partículas Segunda Ley
de Newton; fecha: Jueves,26 de Jun./14
• Evaluación sobre cinética partículas método de la energía y
cantidad de movimiento; fecha: Jueves, 31 de Julio/14.
• Evaluación sobre cinemática de los cuerpos rígidos, movimiento
general en el plano; Fecha: Jueves, 28 de Agosto/14
• Evaluación sobre movimiento general en el plano método de la
energía y cantidad de movimiento; Fecha: Jueves, 25 Sept./14
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OBJETIVOS DEL CURSO
Liderar la investigación y la enseñanza. Además de
producir los futuros lideres de la industria, universidad,
gobierno y la sociedad cuya perspectiva se sustente en el
conocimiento fundamental, las capacidades, creatividad,
la amplitud de miras y ética. Intentamos desarrollar la
ciencia y combinar el conocimiento básico con la
aplicación innovadora de los principios de ingeniería,
tratamos de enriquecer nuestros programas educativos.
Nuestra misión preparar estudiantes para unas
trayectorias profesionales que requieran alta tecnología y
liderazgo.
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SILABO• SYLLABUS ASIGNATURA MECANICA TEORICA II.pdf
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MECANICA PARA INGENIEROS
MECANICA DE SÓLIDOS MECANICA DE LOS FLUÍDOS
CUERPOS RIGÍDOS
FLUÍDOS DEFORMABLES
FLUÍDOS VISCOSOS
FLUÍDOS COMPRESIBLES
CUERPOS DEFORMABLES
ESTÁTICA.
DINÁMICA
RESISTENCIA DE MATERIALES
TEORÍA DE LA ELASTICIDAD
TEORÍA DE LA PLASTICIDAD
CINEMÁTICA
CINÉTICA
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PRESENTACIÓN INICIAL.
Una de las características del planteamiento que se utiliza en este curso es que la
mecánica de partículas está separada claramente de la mecánica de cuerpos
rígidos.
Estática.- En estática se trata primero la estática de partículas, y el principio de
equilibrio de una partícula se aplica de inmediato a situaciones prácticas que
implican únicamente fuerzas concurrentes.
La estática de cuerpos rígidos se considera después, momento en que se
introducen los productos vectoriales y escalares de dos vectores que se
utilizaron para definir el momento de una fuerza alrededor de un punto y un
eje.
Dinámica.- Se observa la misma división. Los conceptos básicos de fuerza, masa y
aceleración, de trabajo y energía e impulso y cantidad de movimiento se
introducen y aplican primero a problemas que implican únicamente a
partículas así, los estudiantes pueden familiarizarse con los tres métodos
básicos utilizados en dinámica y conocer sus respectivas ventajas antes de
enfrentarse a las dificultades asociadas con el movimiento de cuerpos rígidos.
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Introducción
• La dinámica incluye:
• Las cinemáticas: el estudio de la geometría de movimiento. La cinemática
se usa para relacionar desplazamiento, velocidad, aceleración, y tiempo sin la
referencia a la causa de movimiento.
• Las cinética: el estudio de las relaciones que existen entre las fuerzas que
actúan en un cuerpo, la masa del cuerpo, y el movimiento del cuerpo. Se
usan las cinética para predecir el movimiento causado por las fuerzas dadas o
para determinar las fuerzas exigidas producir un movimiento dado.
• El movimiento rectilíneo: la posición, velocidad, y aceleración de una
partícula como él siguen una línea recta.
• El movimiento curvilíneo: la posición, velocidad, y aceleración de una
partícula como él siguen una línea encorvada en dos o tres dimensiones.
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CAPITULO # 1
•CINEMATICA DE LA PARTÍCULA
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Contenidos
La introducción
El Movimiento rectilíneo: Posición,
el Velocidad & Aceleración
La determinación del Movimiento de
una Partícula
Pruebe Problema 11.2
Pruebe Problema 11.3
El Rectilíneo-movimiento uniforme
El Rectilíneo-movimiento
uniformemente Acelerado
El movimiento de Varias Partículas:
El Movimiento relativo
Pruebe Problema 11.4
El movimiento de Varias Partículas:
El Movimiento dependiente
Pruebe Problema 11.5
La Solución gráfica de Problemas del
Rectilíneo-movimiento
Otros Métodos Gráficos
El Movimiento curvilíneo: Posición, el
Velocidad & Aceleración
Los derivado de Funciones del Vector
Los Componentes rectangulares de
Velocidad y Aceleración
El Pariente del movimiento a un Marco en
la Traducción
Los Componentes tangenciales y
Normales
Los Componentes radiales y Transversos
Pruebe Problema 11.10
Pruebe Problema 11.12
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El Movimiento rectilíneo: Posición, la Velocidad & Aceleración
• Se dice que partícula que sigue una línea
recta está en el movimiento rectilíneo.
• La coordenada de la posición de una
partícula se define por positivo o la distancia
negativa de partícula de un origen fijo en la
línea.
• El movimiento de una partícula es conocido
si la coordenada de la posición para la
partícula es conocida por cada valor de
tiempo t. el Movimiento de la partícula puede
expresarse en el formulario de una función,
por ejemplo, 326 ttx o en el formulario de un gráfico x contra t.
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El Movimiento rectilíneo: Posición, la Velocidad & Aceleración
• La velocidad instantánea puede ser positiva
o negativo. La magnitud de velocidad está
llamado la velocidad de la partícula.
• Considere partícula que ocupa la posición P
en momento t y P ' al t+Dt,
t
xv
t
x
t
0lim
La media velocidad
La velocidad instantánea
• De la definición de un derivado,
dt
dx
t
xv
t
0lim
e.g.,
2
32
312
6
ttdt
dxv
ttx
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El Movimiento rectilíneo: Posición, la Velocidad & Aceleración
• Considere la partícula con la velocidad v en
momento t y v ' al t+Dt,
Aceleración Instantáneat
va
t
0lim
tdt
dva
ttv
dt
xd
dt
dv
t
va
t
612
312e.g.
lim
2
2
2
0
• De la definición de un derivado,
•La aceleración instantánea puede ser:
- positivo: la velocidad positiva creciente o
la velocidad negativa decreciente
- el negativo: la velocidad positiva
decreciente o la velocidad negativa
creciente.
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El Movimiento rectilíneo: Posición, la Velocidad & Aceleración
• Considere la partícula con movimiento
dado por326 ttx
2312 ttdt
dxv
tdt
xd
dt
dva 612
2
2
• at t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
• at t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
• at t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2
• at t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2
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La determinación del Movimiento de una Partícula
• Revoque, el movimiento de una partícula es conocido si la posición es
conocida por todo el tiempo t.
• Típicamente, las condiciones de movimiento son especificadas por el tipo de
aceleración experimentado por la partícula. La determinación de velocidad y
posición requiere dos integraciones sucesivas.
• Tres clases de movimiento pueden definirse para:
• aceleración dada como una función de tiempo, un = el f(t)
• - aceleración dada como una función de posición, un = el f(x)
• - aceleración dada como una función de velocidad, un = el f(v)
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La determinación del Movimiento de una Partícula
• Aceleración dada como una función de tiempo, un = el f(t):
tttx
x
tttv
v
dttvxtxdttvdxdttvdxtvdt
dx
dttfvtvdttfdvdttfdvtfadt
dv
00
0
00
0
0
0
• Aceleración dada como una función de posición, un = el f(x):
x
x
x
x
xv
v
dxxfvxvdxxfdvvdxxfdvv
xfdx
dvva
dt
dva
v
dxdt
dt
dxv
000
202
12
21
or or
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La determinación del Movimiento de una Partícula
• Aceleración dada como una función de velocidad, un = el f(v):
tv
v
tv
v
tx
x
tv
v
ttv
v
vf
dvvxtx
vf
dvvdx
vf
dvvdxvfa
dx
dvv
tvf
dv
dtvf
dvdt
vf
dvvfa
dt
dv
0
00
0
0
0
0
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Pruebe Problema 11.2
Determine:
la velocidad y elevación sobre la tierra en
momento t,
la elevación más alta alcanzó por la pelota
y el tiempo correspondiente, y
tiempo cuando la pelota pegará la
velocidad molida y correspondiente.
La pelota echó con 10 m/s la velocidad
vertical de la ventana 20 m sobre la
tierra.
LA SOLUCIÓN:
Integre para encontrar el v(t dos veces)
y y(t).
• Resuelva para t a que la velocidad
iguala ceros (tiempo para la elevación
máxima) y evalúa la altitud
correspondiente.
• Resuelva para t a que la altitud iguala
ceros (tiempo para el impacto de
tierra) y evalúa la velocidad
correspondiente.
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Pruebe Problema 11.2
tvtvdtdv
adt
dv
ttv
v
81.981.9
sm81.9
00
2
0
ttv
2s
m81.9
s
m10
2
21
00
81.91081.910
81.910
0
ttytydttdy
tvdt
dy
tty
y
2
2s
m905.4
s
m10m20 ttty
LA SOLUCIÓN:
Integre para encontrar el v(t dos veces) y y(t).
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Pruebe Problema 11.2
• Resuelva para t a que la velocidad iguala ceros y
evalúa la altitud correspondiente.
0s
m81.9
s
m10
2
ttv
s019.1t
• Resuelva para t a que la altitud iguala ceros y evalúa la
velocidad correspondiente.
2
2
2
2
s019.1s
m905.4s019.1
s
m10m20
s
m905.4
s
m10m20
y
ttty
m1.25y
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Pruebe Problema 11.2
• Resuelva para t a que la altitud iguala ceros y
evalúa la velocidad correspondiente.
0s
m905.4
s
m10m20 2
2
ttty
s28.3
smeaningles s243.1
t
t
s28.3s
m81.9
s
m10s28.3
s
m81.9
s
m10
2
2
v
ttv
s
m2.22v
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Pruebe Problema 11.3
El mecanismo del freno reducía que el
retroceso del arma consiste en pistón atado
para embarrilar entrando el cilindro fijo
llenado del aceite. Cuando los retrocesos
del barril con el v0 de velocidad inicial, el
pistón mueve y se fuerza el aceite a través
de los orificios en el pistón, mientras
causando pistón y cilindro para disminuir
la velocidad a la proporción proporcional
a su velocidad.
Determine el v(t), x(t), y v(x).
kva
LA SOLUCIÓN:
Integre a = el dv/dt = - el kv para
encontrar el v(t).
• Integre el v(t) = el dx/dt para
encontrar el x(t).
• Integre a = el dv/dx de v = - el kv
para encontrar el v(x).
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Pruebe Problema 11.3
LA SOLUCIÓN:
Integre a = el dv/dt = - el kv para encontrar el v(t).
kt
v
tvdtk
v
dvkv
dt
dva
ttv
v
00
ln
0
ktevtv 0
• Integre el v(t) = el dx/dt para encontrar el x(t).
tkt
tkt
tx
kt
ek
vtxdtevdx
evdt
dxtv
00
00
0
0
1
ktek
vtx 10
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11 - 27
Pruebe Problema 11.3
• Integre un = el dv/dx de v = - el kv para
encontrar el v(x).
kxvv
dxkdvdxkdvkvdx
dvva
xv
v
0
00
kxvv 0
• Alternativamente,
0
0 1v
tv
k
vtx
kxvv 0
00 or
v
tveevtv ktkt
ktek
vtx 10con
y
entonces
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11 - 28
El Movimiento Rectilíneo uniforme
Para la partícula en el movimiento rectilíneo uniforme, la aceleración
es el cero y la velocidad es constante.
vtxx
vtxx
dtvdx
vdt
dx
tx
x
0
0
00
constant
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11 - 29
El Movimiento Rectilíneo uniformemente Acelerado
For particle in uniformly accelerated rectilinear motion, the acceleration of
the particle is constant.
atvv
atvvdtadvadt
dv tv
v
0
000
constant
221
00
221
000
00
0
attvxx
attvxxdtatvdxatvdt
dx tx
x
020
2
020
221
2
constant
00
xxavv
xxavvdxadvvadx
dvv
x
x
v
v
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11 - 30
El movimiento de Varias Partículas: El Movimiento relativo
• Para partículas que siguen la misma línea,
tiempo debe grabarse del mismo momento de
arranque y deben medirse los desplazamientos
del mismo origen en la misma dirección.
ABAB xxx la posición relativa de B
con respecto a AABAB xxx
ABAB vvv la velocidad relativa de B
con respecto a AABAB vvv
ABAB aaa la aceleración relativa de
B con respecto a AABAB aaa
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11 - 31
Pruebe Problema 11.4
Pelota tirada verticalmente de 12 m nivela
en el pozo de elevador con la velocidad
inicial de 18 m/s. Al mismo momento, el
ascensor de la abrir-plataforma les pasa la
mudanza nivelada hacia arriba a 5 m a 2
m/s.
Determine (a) cuando y donde el ascensor
de golpes de pelota y (b) la velocidad
relativa de pelota y ascensor al contacto.
LA SOLUCIÓN:
Suplente la posición inicial y velocidad y
aceleración constante de pelota en las
ecuaciones generales para el movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado.
•Suplente la posición inicial y la velocidad
constante de ascensor en la ecuación para
el movimiento rectilíneo uniforme.
•Escriba la ecuación para la posición del
pariente de pelota con respecto al
ascensor y resuelva para cera posición
relativa, es decir, impacto.
•Tiempo de impacto de suplente en la
ecuación para la posición de ascensor y
velocidad del pariente de pelota con
respecto al ascensor.
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11 - 32
Pruebe Problema 11.4LA SOLUCIÓN:
Suplente la posición inicial y velocidad y aceleración
constante de pelota en las ecuaciones generales para el
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
2
2
221
00
20
s
m905.4
s
m18m12
s
m81.9
s
m18
ttattvyy
tatvv
B
B
• Suplente la posición inicial y la velocidad constante
de ascensor en la ecuación para el movimiento
rectilíneo uniforme.
ttvyy
v
EE
E
s
m2m5
s
m2
0
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11 - 33
Pruebe Problema 11.4• Escriba la ecuación para la posición del pariente de pelota
con respecto al ascensor y resuelva para cera posición
relativa, es decir, impacto.
025905.41812 2 ttty EB
s65.3
smeaningles s39.0
t
t
• Tiempo de impacto de suplente en las ecuaciones para la
posición de ascensor y velocidad del pariente de pelota con
respecto al ascensor.
65.325 Ey
m3.12Ey
65.381.916
281.918
tv EB
s
m81.19EBv
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11 - 34
El movimiento de Varias Partículas: El Movimiento dependiente
• La posición de una partícula puede depender de la
posición de uno o más otras partículas.
• La posición de bloque que B depende de la posición de
bloque A. Desde que la soga es de longitud constante,
sigue esa suma de longitudes de segmentos debe ser
constante. BA xx 2 constante (un grado de libertad)
• Las posiciones de tres bloques son dependientes.
CBA xxx 22 constante (dos grados de libertad)
• Para las posiciones linealmente relacionadas, las
relaciones similares sostienen entre las velocidades y
aceleraciones.
022or022
022or022
CBACBA
CBACBA
aaadt
dv
dt
dv
dt
dv
vvvdt
dx
dt
dx
dt
dx
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Pruebe Problema 11.5
La polea D se ata a un cuello en que se
tira abajo a las 3. / s. At t = 0, agarre
por el cuello A salidas que bajan de K
con la aceleración constante y cera
velocidad inicial. Sabiendo que la
velocidad de cuello A es 12 en. / s
como él pasa L, determine el cambio
en la elevación, velocidad, y
aceleración de bloque B cuando
bloquea A está a L.
LA SOLUCIÓN:
Defina el origen que se extiende hacia abajo a la
superficie horizontal superior con el
desplazamiento positivo.
• Agarre por el cuello A ha acelerado el movimiento
rectilíneo uniformemente. Resuelva durante la
aceleración y tiempo t para localizar L.
• La polea D tiene el movimiento rectilíneo
uniforme. Calcule cambio de posición en
momento t.
• El bloque el movimiento de B es dependiente
en los movimientos de cuello A y polea D.
Escriba la relación del movimiento y resuelve
para el cambio de bloque que B posicionan en
momento t.
• Diferencie la relación del movimiento dos veces
para desarrollar las ecuaciones para la velocidad
y aceleración de bloque B.
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Pruebe Problema 11.5LA SOLUCIÓN:
Defina el origen que se extiende hacia abajo a la
superficie horizontal superior con el desplazamiento
positivo.
• Agarre por el cuello A ha acelerado el movimiento
rectilíneo uniformemente. Resuelva durante la
aceleración y tiempo t para localizar L.
2
2
020
2
s
in.9in.82
s
in.12
2
AA
AAAAA
aa
xxavv
s 333.1s
in.9
s
in.12
2
0
tt
tavv AAA
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Pruebe Problema 11.5• La polea D tiene el movimiento rectilíneo uniforme.
Calcule cambio de posición en momento t.
in. 4s333.1s
in.30
0
DD
DDD
xx
tvxx
• El bloque el movimiento de B es dependiente en los
movimientos de cuello A y polea D. Escriba la
relación del movimiento y resuelve para el cambio
de bloque que B posicionan en momento t.
La longitud total de restos del cable constante,
0in.42in.8
02
22
0
000
000
BB
BBDDAA
BDABDA
xx
xxxxxx
xxxxxx
in.160 BB xx
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Pruebe Problema 11.5
• Diferencie la relación del movimiento dos veces para
desarrollar las ecuaciones para la velocidad y
aceleración de bloque B.
0s
in.32
s
in.12
02
constant2
B
BDA
BDA
v
vvv
xxx
s
in.18Bv
0s
in.9
02
2
B
BDA
v
aaa
2s
in.9Ba
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La Solución gráfica de Problemas del Rectilíneo-movimiento
• Dado los x-t encorvan, la curva del v-t es igual
a la cuesta de curva de x-t.
• Dado los v-t encorvan, el a-t la curva es igual
a la cuesta de curva de v-t.
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La Solución gráfica de Problemas del Rectilíneo-movimiento
• Dado el a-t la curva, el cambio en la velocidad entre el t1 y el t2 es
igual al área bajo el a-t la curva entre el t1 y t2.
• Dado los v-t encorvan, el cambio en la posición entre el t1 y el t2 es
igual al área bajo la curva del v-t entre el t1 y t2.
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Otros Métodos Gráficos
• El método del momento-área para determinar la
posición de la partícula directamente en momento t
del a-t la curva:
1
0
110
01 curve under area
v
v
dvtttv
tvxx
usando dv = a dt,
1
0
11001
v
v
dtatttvxx
1
0
1
v
v
dtattprimero el momento de área bajo a-t
la curva con respecto a t = la línea
del t1.
Ct
tta-ttvxx
centroid of abscissa
curve under area 11001
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Otros Métodos Gráficos
• El método para determinar la aceleración de
la partícula de la curva del v-x:
BC
AB
dx
dvva
tan
subnormal a la curva del v-x
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11 - 43
El Movimiento curvilíneo: Posición, el Velocidad & Aceleración
• Partícula que sigue una curva de otra manera que una
línea recta está en el movimiento curvilíneo.
• Posición vector de una partícula en momento t se
define por un vector entre el origen O de una
referencia fija idean y la posición ocupó por la
partícula.
• Considere partícula que ocupa la posición P
definida por en momento t y P ' definieron por
a t + t,
r
r
dt
ds
t
sv
dt
rd
t
rv
t
t
0
0
lim
lim
la velocidad instantánea (el vector)
la velocidad instantánea (el escalar)
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11 - 44
El Movimiento curvilíneo: Posición, el Velocidad & Aceleración
dt
vd
t
va
t
0lim
la aceleración instantánea (el vector)
• Considere la velocidad de partícula en momento t
y velocidad a t + t,
v
v
• En general, el vector de aceleración no es
tangente al camino de la partícula y vector de
velocidad.
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11 - 45
Los derivados de las Funciones del Vector uP
• Permita sea una función del vector de escalar variable
u, u
uPuuP
u
P
du
Pd
uu
00limlim
• Derivativo de suma del vector,
du
Qd
du
Pd
du
QPd
du
PdfP
du
df
du
Pfd
• Derivativo de producto de escalar y vector funciona,
• Derivativo de producto del escalar y producto del vector,
du
QdPQ
du
Pd
du
QPd
du
QdPQ
du
Pd
du
QPd
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Los Componentes rectangulares del Velocidad & Aceleración
• Cuando posiciona el vector de partícula que P se
da por sus componentes rectangulares,
kzjyixr
• El vector de velocidad,
kvjviv
kzjyixkdt
dzj
dt
dyi
dt
dxv
zyx
• El vector de aceleración
kajaia
kzjyixkdt
zdj
dt
ydi
dt
xda
zyx
2
2
2
2
2
2
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11 - 47
Los Componentes rectangulares del Velocidad & Aceleración • Los componentes rectangulares particularmente
eficaz cuando pueden integrarse las aceleraciones del
componente independientemente, por ejemplo,
movimiento de un proyectil,00 zagyaxa zyx
con las condiciones de la inicial,
0,,0 000000 zyx vvvzyx
Integrando los rendimientos dos veces
0
0
221
00
00
zgtyvytvx
vgtvvvv
yx
zyyxx
• Haga señas en la dirección horizontal es uniforme.
• Haga señas en la dirección vertical se acelera
uniformemente. • El movimiento de proyectil podría reemplazarse por
dos movimientos rectilíneos independientes.
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El Pariente del movimiento a un Marco en la Traducción
• Designe un marco como el marco fijo de referencia.
Todos los otros marcos ataron no rígidamente al
marco de la referencia fijo es marcos mudanza de
referencia. • Posicione los vectores para las partículas A y B con
respecto al marco fijo de referencia Oxyz son . and BA rr
• Vector uniendo A y B define la posición de B
con respecto al marco mudanza Ax'y'z ' yABr
ABAB rrr
• Diferenciando dos veces,
ABv la velocidad de pariente de
B a A.ABAB vvv
ABa
la aceleración de pariente
de B a A.ABAB aaa
• El movimiento absoluto de B puede obtenerse combinando el
movimiento de A con el movimiento del pariente de B con respecto a
marco de la referencia mudanza atado a A.
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11 - 49
Los Componentes tangenciales y Normales
• El vector de velocidad de partícula es tangente al
camino de partícula. En general, el vector de
aceleración no es. Desee expresar el vector de
aceleración por lo que se refiere a los
componentes tangenciales y normales.
• es los vectores de la unidad
tangenciales para el camino de la partícula a P y
P '. Cuando arrastrado con respecto al mismo
origen, y es el ángulo entre
ellos.
tt ee and
ttt eee
d
ede
eee
e
tn
nnt
t
2
2sinlimlim
2sin2
00
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11 - 50
Los Componentes tangenciales y Normales
tevv
• Con el vector de velocidad expresado como
la aceleración de la partícula puede escribirse como
dt
ds
ds
d
d
edve
dt
dv
dt
edve
dt
dv
dt
vda tt
pero
vdt
dsdsde
d
edn
t
Después de sustituir,
22 va
dt
dvae
ve
dt
dva ntnt
• El componente tangencial de aceleración refleja
que el cambio de velocidad y el componente
normal refleja cambio de dirección.
• El componente tangencial puede ser positivo o
negativo. El componente normal siempre
apunta hacia el centro de curvatura del camino.
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Los Componentes tangenciales y Normales
22 va
dt
dvae
ve
dt
dva ntnt
• Las relaciones para la aceleración tangencial y
normal también solicitan partícula que sigue la
curva del espacio.
• Avión que contiene los vectores de la unidad
tangenciales y normales se llama el avión
besando.
ntb eee
• Normal al avión besando se encuentra de
binormale
normalprincipal e
b
n
• La aceleración no tiene ningún componente a lo
largo del binormal.
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Los Componentes radiales y Transversos• Cuando la posición de la partícula se da en las
coordenadas polares, es conveniente expresar
velocidad y aceleración con los componentes
paralelos y perpendicular a OP.
rr e
d
ede
d
ed
dt
de
dt
d
d
ed
dt
ed rr
dt
de
dt
d
d
ed
dt
edr
erer
edt
dre
dt
dr
dt
edre
dt
drer
dt
dv
r
rr
rr
• El vector de velocidad de partícula es
• Semejantemente, el vector de aceleración de
partícula es
errerr
dt
ed
dt
dre
dt
dre
dt
d
dt
dr
dt
ed
dt
dre
dt
rd
edt
dre
dt
dr
dt
da
r
rr
r
22
2
2
2
2
rerr
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Los Componentes radiales y Transversos
• Cuando la posición de la partícula se da en las
coordenadas cilíndricas, es conveniente expresar
la velocidad y vectores de aceleración que usan
los vectores de la unidad . and ,, keeR
• Posición del vector,
kzeRr R
• Velocidad del vector,
kzeReRdt
rdv R
• Aceleración del vector,
kzeRReRRdt
vda R
22
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Pruebe Problema 11.10
Un motorista está viajando en la
sección encorvada de carretera a 60
mph. El motorista aplica frenos que
causan una proporción de
desaceleración constante.
Sabiendo que después de 8 s la
velocidad se ha reducido a 45 mph,
determina la aceleración del
automóvil inmediatamente después
de que los frenos son aplicados.
LA SOLUCIÓN:
Calcule componentes tangenciales y
normales de aceleración.
• Determine magnitud de aceleración y
dirección con respecto a la tangente
encorvar.
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Pruebe Problema 11.10
ft/s66mph45
ft/s88mph60
LA SOLUCIÓN:
Calcule componentes tangenciales y normales de
aceleración.
2
22
2
s
ft10.3
ft2500
sft88
s
ft75.2
s 8
sft8866
va
t
va
n
t
• Determine magnitud de aceleración y dirección
con respecto a la tangente encorvar.
2222 10.375.2 nt aaa 2s
ft14.4a
75.2
10.3tantan 11
t
n
a
a 4.48
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Pruebe Problema 11.12
La rotación del brazo sobre O se define
por q = 0.15t2 dónde q está en los radianes
y t en segundos. El cuello las diapositivas
de B a lo largo del brazo tal ese r = 0.9 -
0.12t2 dónde r está en los metros.
Después de que el brazo ha girado a través
de 30o, determine (un) la velocidad total
del cuello, (b) la aceleración total del
cuello, y (c) la aceleración relativa del
cuello con respecto al brazo.
LA SOLUCIÓN:
Evalúe tiempo t para = 30o.
• Evalúe las posiciones radiales y
angulares, y primero y segundos
derivado en momento t.
• Calcule velocidad y aceleración en las
coordenadas cilíndricas.
• Evalúe la aceleración con respecto al
brazo.
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Pruebe Problema 11.12
LA SOLUCIÓN:
Evalúe tiempo t para = 30o.
s 869.1rad524.030
0.15 2
t
t
• Evalúe las posiciones radiales y angulares, y
primero y segundos derivado en momento t.
2
2
sm24.0
sm449.024.0
m 481.012.09.0
r
tr
tr
2
2
srad30.0
srad561.030.0
rad524.015.0
t
t
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Pruebe Problema 11.12• Calcule velocidad y aceleración.
rr
r
v
vvvv
rv
srv
122 tan
sm270.0srad561.0m481.0
m449.0
0.31sm524.0 v
rr
r
a
aaaa
rra
rra
122
2
2
2
22
2
tan
sm359.0
srad561.0sm449.02srad3.0m481.0
2
sm391.0
srad561.0m481.0sm240.0
6.42sm531.0 a
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Pruebe Problema 11.12
• Evalúe la aceleración con respecto al brazo.
• El movimiento de cuello con respecto al brazo es
rectilíneo y definió por la coordenada r.
2sm240.0 ra OAB
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CAPITULO #12
•CINETICA DE PARTÍCULAS:
SEGUNDA LEY DE NEWTÓN
11 - 60
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12 - 61
CINETICA DE LA PARTICULA
LEYES DE NEWTON.
PRIMERA LEY DE NEWTON:
Todo cuerpo sigue en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme,
salvo que sea obligado a cambiar dicho estado por fuerzas aplicadas.
SEGUNDA LEY DE NEWTON
El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza que actúa sobre el cuerpo;
y tiene lugar en la dirección en que se aplica la fuerza.
TERCERA LEY DE NEWTON
A cada acción se le opone una reacción igual, a, las acciones mutuas entre dos
cuerpos siempre son iguales, y dirigidas en sentidos opuestos.
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Bibliografía ser Sir Isaac Newton• Isaac Newton nació en las primeras horas del 25 de diciembre
de 1642 (4 de enero de 1643, según el calendario gregoriano),
en la pequeña aldea de Woolsthorpe, en el Lincolnshire. Su
padre, un pequeño terrateniente, acababa de fallecer a
comienzos de octubre, tras haber contraído matrimonio en abril
del mismo año con Hannah Ayscough, procedente de una
familia en otro tiempo acomodada. Cuando el pequeño Isaac
acababa de cumplir tres años, su madre contrajo de nuevo
matrimonio con el reverendo Barnabas Smith, rector de North
Witham, lo que tuvo como consecuencia un hecho que influiría
decisivamente en el desarrollo del carácter de Newton: Hannah
se trasladó a la casa de su nuevo marido y su hijo quedó en
Woolsthorpe al cuidado de su abuela materna.
• Del odio que ello le hizo concebir a Newton contra su madre y
el reverendo Smith da buena cuenta el que en una lista de
«pecados» de los que se autoinculpó a los diecinueve años, el
número trece fuera el haber deseado incendiarles su casa con
ellos dentro. Cuando Newton contaba doce años, su madre,
otra vez viuda, regresó a Woolsthorpe, trayendo consigo una
sustanciosa herencia que le había legado su segundo marido (y
de la que Newton se beneficiaría a la muerte de ella en 1679),
además de tres hermanastros para Isaac, dos niñas y un niño.
1 - 62
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12 - 63
Introducción
• Las primero y terceras leyes de Newton son en reposo suficientes para
el estudio de cuerpos (las estáticas) o cuerpos en el movimiento sin la
aceleración.
• Cuando un cuerpo acelera (los cambios en magnitud de velocidad o
dirección), la segunda ley de Newton se exige relacionar el movimiento
del cuerpo a las fuerzas que actúan en él.
• La segunda ley de Newton:
- Una partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de
la fuerza del resultante que actúa en él y en la dirección de la fuerza
del resultante.
- El resultante de las fuerzas que actúan en una partícula es igual a la
proporción de cambio de velocidad adquirida lineal de la partícula.
- La suma de los momentos sobre O de las fuerzas que actúan en una
partícula es igual a la proporción de cambio de velocidad adquirida
angular de la partícula sobre O.
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12 - 64
• Un carro de una montaña rusa puede viajar sobre una trayectoria
recta, una trayectoria curva en un plano horizontal, o en una
trayectoria curva en un plano vertical. En cada caso deben
considerarse la fuerza de la gravedad y las fuerzas que ejerce sobre
el carro, así como la aceleración de este último, como se estudió en
el capitulo anterior. La relación que existe entre fuerza, masa y
aceleración se estudiará en este capitulo.
• La primera y tercera ley de Newton fueron utilizadas ampliamente
en el estudio de la estática de los cuerpos en reposo y las fuerzas
que actuaban sobre ellos, estas dos leyes son suficiente para
estudiar el movimiento de los cuerpos que no tienen aceleración.
Sin embargo, cuando los cuerpos están acelerados, esto es, cuando
cambia la magnitud o la dirección de su velocidades necesario
recurrir a la segunda ley de Newton para relacionar el movimiento
del cuerpo con las fuerzas que actúan sobre él.
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12 - 65
La Segunda Ley de Newton de Movimiento• La segunda ley de Newton se comprende mejor al imaginar el siguiente
experimento: una partícula se somete a una fuerza F1 de dirección
constante y magnitud constante F1. bajo la acción de esa fuerza se
observa que la partícula se mueve en línea recta y en la dirección de la
fuerza
• Considerar a la particula sometida a distintas fuerzas.
ma
F
a
F
a
F mass,constant
3
3
2
2
1
1
• Cuando sobre la particula de masa m actúa una
fuerza la celeración de la partícula viene dada por:
,F
amF
• La aceleración debe evaluarse con respecto a un marco de
Newtonian de referencia, es decir, uno que no está
acelerando o está girando.
• Si fuerza que actúa en la partícula es el cero, la partícula
no acelerará, es decir, permanecerá estacionario o
continuará en una línea recta a la velocidad constante.
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12 - 66
La Velocidad adquirida lineal de una Partícula
• Reemplazando la aceleración por la derivada de la
velocidad tenemos:
particle theof momentumlinear
L
dt
Ldvm
dt
d
dt
vdmF
• Princio de la conservación del momentun lineal:
Si el resultado de la fuerza sobre la partícula es cero,
el momentun linel de la particula se mantiene
constante en dirección y sentido..
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Los sistemas de Unidades• De las unidades para las cuatro dimensiones primarias (la
fuerza, masa, longitud, y tiempo), pueden escogerse tres
arbitrariamente. El cuarto debe ser compatible con la 2
Ley de Newton.
• El Sistema internacional de Unidades (las Unidades de
SI): las unidades bajas son las unidades de longitud (m),
masa (el kg), y tiempo (segundo). La unidad de fuerza se
deriva,
22 s
mkg1
s
m1kg1N1
• Las Unidades De costumbre americanas: las unidades
bajas son las unidades de fuerza (el lb), longitud (m), y
tiempo (segundo). La unidad de masa se deriva,
ft
slb1
sft1
lb1slug1
sft32.2
lb1lbm1
2
22
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Las ecuaciones de Movimiento• La segunda ley de Newton proporciona
amF
• La solución para el movimiento de la partícula se
facilita resolviéndose la ecuación del vector en las
ecuaciones de componente de escalar, el ej., para los
componentes rectangulares,
zmFymFxmF
maFmaFmaF
kajaiamkFjFiF
zyx
zzyyxx
zyxzyx
• Para los componentes tangenciales y normales,
2vmF
dt
dvmF
maFmaF
nt
nntt
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El Equilibrio dinámico
• La expresión alternada de la segunda ley de Newton,
ectorinertial vam
amF
0
• Con la inclusión del vector inercial, el sistema de
fuerzas que actúan en la partícula es equivalente
poner a cero. La partícula está en el equilibrio
dinámico.• Pueden aplicarse métodos desarrollados para las
partículas en el equilibrio estático, por ejemplo,
pueden representarse las fuerzas de coplanar con un
polígono del vector cerrado. • Se llaman a menudo los vectores de inercia las fuerzas
inerciales cuando ellos miden la resistencia que las
partículas ofrecen a los cambios en el movimiento, es
decir, cambios en velocidad o dirección.
• Las fuerzas inerciales pueden ser conceptualmente
útiles pero no pueden estar como el contacto y las
fuerzas gravitatorias encontraron en las estáticas.
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Pruebe Problema 12.1
Un 200-lb restos del bloque en un avión
horizontal. Encuentre la magnitud de la
fuerza que P exigió dar una aceleración
o 10 ft/s2 al bloque al derecho. El
coeficiente de fricción cinética entre el
bloque y el avión es el mk = 0.25.
LA SOLUCIÓN:
Resuélvase la ecuación de movimiento
para el bloque en dos ecuaciones del
componente rectangulares.
• Los desconocidos consisten en la fuerza
aplicada P y la reacción normal N del
avión. Las dos ecuaciones pueden
resolverse para estas desconocidas.
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Pruebe Problema 12.1
N
NF
g
Wm
k
25.0
ft
slb21.6
sft2.32
lb200
2
2
x
y
O
LA SOLUCIÓN:
Resuélvase la ecuación de movimiento para el bloque
en dos ecuaciones del componente rectangulares.
:maFx
lb1.62
sft10ftslb21.625.030cos 22
NP
:0 yF
0lb20030sin PN• Los desconocidos consisten en la fuerza aplicada
P y la reacción normal N del avión. Las dos
ecuaciones pueden resolverse para estas
desconocidas.
lb1.62lb20030sin25.030cos
lb20030sin
PP
PN
lb151P
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Pruebe Problema 12.3
Los dos bloques mostrados la salida
del resto. El avión horizontal y la
polea son la fricción menos, y se
asume que la polea es de masa
despreciable. Determine la
aceleración de cada bloque y la tensión
en el cordón.
LA SOLUCIÓN:
Escriba las relaciones de la cinemática
para los movimientos dependientes y
aceleraciones de los bloques.
• Escriba las ecuaciones de movimiento
para los bloques y polea.
• Combine las relaciones de la cinemática
con las ecuaciones de movimiento
resolver para las aceleraciones y tensión
del cordón.
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Pruebe Problema 12.3
• Escriba ecuaciones de movimiento para los bloques
y polea.:AAx amF
AaT kg1001
:BBy amF
B
B
BBB
aT
aT
amTgm
kg300-N2940
kg300sm81.9kg300
2
22
2
:0 CCy amF
02 12 TT
LA SOLUCIÓN:
Escriba las relaciones de la cinemática para los
movimientos dependientes y aceleraciones de los
bloques. ABAB aaxy21
21
x
y
O
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Pruebe Problema 12.3
N16802
N840kg100
sm20.4
sm40.8
12
1
221
2
TT
aT
aa
a
A
AB
A
• Combine las relaciones de la cinemática con las ecuaciones
de movimiento resolver para las aceleraciones y tensión del
cordón.ABAB aaxy
21
21
AaT kg1001
A
B
a
aT
21
2
kg300-N2940
kg300-N2940
0kg1002kg150N2940
02 12
AA aa
TT
x
y
O
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Pruebe Problema 12.4
El 12-lb bloque B empieza del resto y
diapositivas en la 30-lb cuña A que se
apoya por una superficie horizontal.
La fricción descuidando, determine (a)
la aceleración de la cuña, y (b) la
aceleración del pariente del bloque a la
cuña.
LA SOLUCIÓN:
El bloque se reprime para resbalar abajo la
cuña. Por consiguiente, sus
movimientos son dependientes. Exprese
la aceleración de bloque como la
aceleración de cuña más la aceleración
del pariente del bloque a la cuña.
• Escriba las ecuaciones de movimiento
para la cuña y bloque.
• Resuelva para las aceleraciones.
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Pruebe Problema 12.4LA SOLUCIÓN:
El bloque se reprime para resbalar abajo la cuña. Por
consiguiente, sus movimientos son dependientes.
ABAB aaa
• Escriba ecuaciones de movimiento para la cuña y
bloque.
x
y
:AAx amF
AA
AA
agWN
amN
1
1
5.0
30sin
:30cos ABABxBx aamamF
30sin30cos
30cos30sin
gaa
aagWW
AAB
ABABB
:30sin AByBy amamF
30sin30cos1 ABB agWWN
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Pruebe Problema 12.4
AA agWN 15.0
• Resuelva para las aceleraciones.
30sinlb12lb302
30coslb12sft2.32
30sin2
30cos
30sin30cos2
30sin30cos
2
1
A
BA
BA
ABBAA
ABB
a
WW
gWa
agWWagW
agWWN
2sft07.5Aa
30sinsft2.3230cossft07.5
30sin30cos
22AB
AAB
a
gaa
2sft5.20ABa
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Pruebe Problema 12.5
El cogote de un 2-m péndulo describe
un arco de un círculo en un avión
vertical. Si la tensión en el cordón es
2.5 veces el peso del cogote para la
posición mostrada, encuentre la
velocidad y aceleración del cogote en
esa posición.
LA SOLUCIÓN:
Resuélvase la ecuación de movimiento
para el cogote en los componentes
tangenciales y normales.
• Resuelva las ecuaciones del componente
para las aceleraciones normales y
tangenciales.
• Resuelva para la velocidad por lo que se
refiere a la aceleración normal.
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Pruebe Problema 12.5LA SOLUCIÓN:
Resuélvase la ecuación de movimiento para el cogote
en los componentes tangenciales y normales.• Resuelva las ecuaciones del componente para las
aceleraciones normales y tangenciales.
:tt maF
30sin
30sin
ga
mamg
t
t
2sm9.4ta
:nn maF
30cos5.2
30cos5.2
ga
mamgmg
n
n
2sm03.16na
• Resuelva para la velocidad por lo que se refiere a la
aceleración normal.
22
sm03.16m2 nn avv
a
sm66.5v
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Pruebe Problema 12.6
Determine la velocidad tasada de una
curva de la carretera de radio r = 400
pies amontonaron a través de un
ángulo q = 18o. La velocidad tasada
de una curva de la carretera
amontonada es la velocidad a que un
automóvil debe viajar si ninguna
fuerza de fricción lateral será ejercida
a sus ruedas.
LA SOLUCIÓN:
El automóvil viaja en un camino redondo
horizontal con un componente normal
de aceleración dirigido hacia el centro
del camino. Las fuerzas que actúan en
el automóvil son su peso y una
reacción normal de la superficie del
camino.
• Resuélvase la ecuación de
movimiento para el automóvil en los
componentes verticales y normales.
• Resuelva para la velocidad del
vehículo.
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12 - 81
Pruebe Problema 12.6
LA SOLUCIÓN:
El automóvil viaja en un camino
redondo horizontal con un componente
normal de aceleración dirigido hacia el
centro del camino. Las fuerzas que
actúan en el automóvil son su peso y
una reacción normal de la superficie
del camino.
• Resuélvase la ecuación de
movimiento para el automóvil en los
componentes verticales y normales.
:0 yF
cos
0cos
WR
WR
:nn maF
2
sincos
sin
v
g
WW
ag
WR n
• Resuelva para la velocidad del vehículo.
18tanft400sft2.32
tan
2
2 gv
hmi1.44sft7.64 v
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12 - 82
La Velocidad adquirida angular de una Partícula
• el momento de velocidad adquirida o
la velocidad adquirida angular de la partícula sobre O.
VmrHO
• Derivativo de velocidad adquirida angular con respecto
a tiempo,
O
O
M
Fr
amrVmVVmrVmrH
• Sigue de la segunda ley de Newton que la suma de los
momentos sobre O de las fuerzas que actúan en la
partícula es igual a la proporción de cambio de la
velocidad adquirida angular de la partícula sobre O.
zyx
O
mvmvmv
zyx
kji
H
• es perpendicular allanar conteniendoOH
Vmr
and
2
sin
mr
vrm
rmVHO
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12 - 83
Equalidades de Movimiento en Radial & los Componentes Transversos
rrmmaF
rrmmaF rr
2
2
• Considere la partícula a r y , en las coordenadas
polares,
rrmF
rrrm
mrdt
dFr
mrHO
2
22
2
2
• Este resultado también puede derivarse de la
conservación de velocidad adquirida angular,
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12 - 84
La conservación de Velocidad adquirida Angular• Cuando sólo fuerza que actúa en la partícula se
dirige hacia o fuera de un punto fijo O, se dice
que la partícula está moviendo bajo una fuerza
central. • Desde la línea de acción de los pasos de fuerza
centrales a través de O, and 0 OO HM
constant OHVmr
• Posición que el vector y movimiento de partícula
están en un perpendicular plano a .OH
• La magnitud de velocidad adquirida angular,
000 sin
constantsin
Vmr
VrmHO
massunit
momentumangular
constant
2
2
hrm
H
mrH
O
O
or
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12 - 85
La conservación de Velocidad adquirida Angular
• El vector del radio OP barre el área infinitesimal
drdA 221
• Define 2
212
21 r
dt
dr
dt
dAVelocidad
areal
• Revoque, para un cuerpo que mueve bajo una
fuerza central,
constant2 rh
• Cuando una partícula mueve bajo una fuerza
central, su velocidad areal es constante.
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12 - 86
La Ley de Newton de Gravitación
• Fuerza gravitatoria ejercida por el sol en un planeta o
por la tierra en un satélite un ejemplo importante de
fuerza gravitatoria está. • La ley de newton de gravitación universal - dos
partículas de masa M y m nos atraen con el igual y la
fuerza opuesta dirigidas a lo largo de la línea que
conecta las partículas,
4
49
2
312
2
slb
ft104.34
skg
m1073.66
ngravitatio ofconstant
G
r
MmGF
• Para la partícula de masa m en la superficie de la tierra,
222 s
ft2.32
s
m81.9 gmg
R
MGmW
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12 - 87
Pruebe Problema 12.7
Un bloque B de masa que m puede
resbalar libremente en una fricción
menos brazo OA que gira en un avión
horizontal a una proporción constante .0
a) el componente vr de la velocidad de
B a lo largo de OA.
b) la magnitud de la fuerza horizontal
ejerció en B por el brazo OA.
Sabiendo que B se suelta a una distancia
r0 de O, exprese como una función de r
LA SOLUCIÓN:
Escriba las ecuaciones radiales y
transversas de movimiento para el
bloque.
• Integre la ecuación radial para
encontrar una expresión para la
velocidad radial.
• Suplente la información conocida en
la ecuación transversa para encontrar
una expresión para la fuerza en el
bloque.
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12 - 88
Pruebe Problema 12.7
LA SOLUCIÓN:
Escriba las ecuaciones radiales y
transversas de movimiento para el
bloque.
:
:
amF
amF rr
rrmF
rrm
2
0 2
• Integre la ecuación radial para encontrar
una expresión para la velocidad radial.
r
r
v
rr
rr
rr
rrr
drrdvv
drrdrrdvv
dr
dvv
dt
dr
dr
dv
dt
dvvr
r
0
20
0
20
2
dr
dvv
dt
dr
dr
dv
dt
dvvr r
rrr
r
20
220
2 rrvr
• Suplente la información conocida en la
ecuación transversa para encontrar una
expresión para la fuerza en el bloque.
2120
2202 rrmF
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12 - 89
Pruebe Problema 12.8
Un satélite se lanza en una dirección
paralelo a la superficie de la tierra
con una velocidad de 18820 mi/h de
una altitud de 240 mi. Determine la
velocidad del satélite como él lo
alcanza la altitud máxima de 2340
mi. El radio de la tierra es 3960 mi.
LA SOLUCIÓN:
Desde que el satélite está moviendo bajo
una fuerza central, su velocidad adquirida
angular es constante. Iguale la velocidad
adquirida angular a A y B y resuelve para
la velocidad a B.
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12 - 90
Pruebe Problema 12.8
LA SOLUCIÓN:
Desde que el satélite está moviendo bajo
una fuerza central, su velocidad adquirida
angular es constante. Iguale la velocidad
adquirida angular a A y B y resuelve para la
velocidad a B.
mi23403960
mi2403960hmi18820
constantesin
B
AAB
BBAA
O
r
rvv
vmrvmr
Hvrm
hmi12550Bv
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12 - 91
La trayectoria de una Partícula Bajo una Fuerza Central
• Para partícula que mueve bajo la fuerza central dirigida hacia el centro de fuerza,
022 FrrmFFrrm r
• Segunda expresión es equivalente a de que,constante,2 hr
rd
d
r
hr
r
h 1y
2
2
2
2
2
• Después de sustituir en la ecuación radial de movimiento y simplificar,
rudonde
umh
Fu
d
ud 1222
2
• Si F es una función conocida de r o u, entonces la trayectoria de la
partícula puede encontrarse integrando para u = f(), con las
constantes de integración determinadas de las condiciones de la
inicial.
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12 - 92
La aplicación para Espaciar las Mecánicas
constant
1where
22
2
2
2222
2
h
GMu
d
ud
GMmur
GMmF
ru
umh
Fu
d
ud
• Considere satélites de tierra sujetados a sólo tirón gravitatorio
de la tierra,
• La solución es ecuación de sección cónica,
adscentricidGM
hC
h
GM
ru ecos1
1 2
2
• El origen, localizado al centro de tierra, es un enfoque de la
sección cónica.
• La trayectoria puede ser la elipse, parábola, o hipérbola que
dependen del valor de excentricidad.
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12 - 93
La aplicación para Espaciar las Mecánicas
tyeccentricicos11 2
2
GM
hC
h
GM
r
• La trayectoria de satélite de tierra se define por
• la hipérbola, > 1 o C > GM/h2. El vector del radio se
pone infinito para
2
1111 cos
1cos0cos1
hC
GM
• la parábola, = 1 or C = GM/h2. El vector del radio se
pone infinito para
1800cos1 22
• la elipse, < 1 or C < GM/h2. El vector del radio es finito
para y es constante, es decir, un círculo, para < 0.
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12 - 94
La aplicación para Espaciar las Mecánicas• La integración el C constante está determinado por las
condiciones en empezar de vuelo libre, =0, r = r0 ,
2000
20
2
20
11
0cos11
vr
GM
rh
GM
rC
GM
Ch
h
GM
r
00
200
2
2
or 1
r
GMvv
vrGMhGMC
esc
• El satélite escapa la órbita de tierra para
• La trayectoria es elíptica para v0 < vesc y se pone
redondo para = 0 or C = 0,
0r
GMvcirc
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12 - 95
La aplicación para Espaciar las Mecánicas• Revoque que para una partícula que mueve bajo una
fuerza central, la velocidad areal es constante, es
decir,
constante212
21 hr
dt
dA
• Tiempo periódico o tiempo requeridos para un
satélite para completar una órbita son iguales al
área dentro de la órbita dividida por la velocidad
areal,
h
ab
h
ab
2
2
where
10
1021
rrb
rra
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Pruebe Problema 12.9
Determine:
a) la altitud máxima alcanzada por el
satélite.
b) el tiempo periódico del satélite.
Un satélite se lanza en una dirección
paralelo a la superficie de la tierra
con una velocidad de 36,900 km/h a
una altitud de 500 km.
LA SOLUCIÓN:
La trayectoria del satélite se describe por
cos1
2C
h
GM
r
Evalúe C que usa las condiciones
iniciales a = 0.
• Determine la altitud máxima
encontrando r a = 180o.
• Con las altitudes al perigeo y apogeo
conocido, el tiempo periódico puede
evaluarse.
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Pruebe Problema 12.9LA SOLUCIÓN:
La trayectoria del satélite se describe por
cos1
2C
h
GM
r
Evalúe C que usa las condiciones
iniciales a = 0.
2312
2622
29
3600
3
0
6
0
sm10398
m1037.6sm81.9
sm104.70
sm1025.10m106.87
sm1025.10
s/h3600
m/km1000
h
km36900
m106.87
km5006370
gRGM
vrh
v
r
1-9
22
2312
6
20
m103.65
sm4.70
sm10398
m1087.6
1
1
h
GM
rC
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Pruebe Problema 12.9
• Determine la altitud máxima encontrando r1 a
= 180o.
km 66700m107.66
m
1103.65
sm4.70
sm103981
61
9
22
2312
21
r
Ch
GM
r
km 60300km6370-66700 máxima altitud
• Con las altitudes al perigeo y apogeo conocido, el
tiempo periódico puede evaluarse.
sm1070.4
m1021.4m1036.82
h
2
m1021.4m107.6687.6
m1036.8m107.6687.6
29
66
6610
66
21
1021
ab
rrb
rra
min31h 19s103.70 3
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12 - 99
Las Leyes de Kepler de Movimiento Planetario
• También pueden aplicarse resultados obtenidos para las trayectorias de
satélites alrededor de la tierra a las trayectorias de planetas alrededor del
sol. • Las propiedades de órbitas planetarias alrededor del sol eran las
observaciones astronómicas determinadas por Johann Kepler (1571-
1630) antes de que el Newton hubiera desarrollado su teoría
fundamental.
1) Cada planeta describe una elipse, con el sol localizado a uno de su
focos.
2) El vector del radio deducido del sol a un barridos planetarios las
áreas iguales en tiempos del igual.
3) Los cuadrados de los tiempos periódicos de los planetas son
proporcionales a los cubos de las hachas mayores de sus órbitas.
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12 - 100
Hay cuatro volúmenes de tapa dura, todos del
mismo tamaño y con el mismo numero de
pagina. Las cubiertas y los lomos están hechos
de una tira de 0.4 cm. de ancho. Las paginas de
cada uno de los cuatro libros ocupan
exactamente 5 cm. de ancho.
¿SI UN GUSANO DE PAPEL COMIENZA A
COMER EN LA PAGINA UNO DEL PRIMER
VOLUMEN Y TERMINA EN LA ULTIMA
PAGINAS DEL VOLUMEN 4. CUANTO A
VIAJADO?
D.O
D.O
D.O
D.O
El sistema de informaciones y el
mantenimiento
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CAPITULO #13
•CINETICA DE PARTÍCULAS:
MÉTODOS DE LA ENERGÍA Y LA
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
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13 - 102
ContenidosIntroducción
El trabajo de una Fuerza
El principio del trabajo & Energía
Las aplicaciones del Principio del
trabajo & Energía
Poder y Eficacia
Pruebe Problema 13.1
Pruebe Problema 13.2
Pruebe Problema 13.3
Pruebe Problema 13.4
Pruebe Problema 13.5
La Energía potencial
Las Fuerzas conservadoras
La conservación de Energía
Haga señas Bajo una Fuerza Central
Conservadora
Pruebe Problema 13.6
Pruebe Problema 13.7
Pruebe Problema 13.9
El principio de Impulso y Velocidad adquirida
El Movimiento impulsivo
Pruebe Problema 13.10
Pruebe Problema 13.11
Pruebe Problema 13.12
El impacto
El Impacto Central directo
El Impacto Central oblicuo
Problemas que Involucran Energía y
Velocidad adquirida
Pruebe Problema 13.14
Pruebe Problema 13.15
Pruebe Problemas 13.16
Pruebe Problema !3.17
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13 - 103
Introducción
• Previamente, se resolvieron problemas que tratan con el
movimiento de partículas a través de la ecuación fundamental de
movimiento,
El capítulo actual introduce dos métodos adicionales de análisis.
.amF
• El método de trabajo y energía: directamente relaciona fuerza,
masa, velocidad y desplazamiento.
• El método de impulso y velocidad adquirida:
directamente relaciona fuerza, masa, velocidad, y tiempo.
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13 - 104
El trabajo de una Fuerza
• El vector diferencial es el desplazamiento de la
partícula.
rd
• El trabajo de la fuerza es
dzFdyFdxF
dsF
rdFdU
zyx
cos
• El trabajo es una cantidad del escalar, es decir, tiene
la magnitud y firma pero no la dirección.
force. length • Las dimensiones de trabajo son Las unidades
son J 1.356lb1ftm 1N 1 J 1 joule
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13 - 105
El trabajo de una Fuerza
• El trabajo de una fuerza durante un
desplazamiento finito,
2
1
2
1
2
1
2
1
cos
21
A
Azyx
s
st
s
s
A
A
dzFdyFdxF
dsFdsF
rdFU
• El trabajo se representa por el área bajo la
curva de Ft trazado contra s.
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13 - 106
El trabajo de una Fuerza
• El trabajo de una fuerza constante en el movimiento
rectilíneo, xFU cos21
• El trabajo de la fuerza de gravedad,
yWyyW
dyWU
dyW
dzFdyFdxFdU
y
y
zyx
12
21
2
1
• El trabajo del peso es igual al producto de
peso W y el desplazamiento vertical y.
• El trabajo del peso es positivo cuando y <
0, es decir, cuando el peso baja.
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13 - 107
El trabajo de una Fuerza• La magnitud de la fuerza ejercida por una
primavera es proporcional a la desviación,
lb/in.or N/mconstant spring
k
kxF
• El trabajo de la fuerza ejerció por primavera,
222
1212
121
2
1
kxkxdxkxU
dxkxdxFdU
x
x
• El trabajo de la fuerza ejercido por primavera es positivo
cuando el x2 < x1, es decir, cuando la primavera está
devolviendo a su posición del no deformado.
• El trabajo de la fuerza ejercido por la primavera es igual
negar de área bajo la curva de F trazó contra x,
xFFU 2121
21
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13 - 108
El trabajo de una Fuerza
El trabajo de una fuerza gravitatoria (asuma la partícula
M ocupa la posición fija O mientras la partícula m sigue
camino mostrado),
12221
2
2
1r
MmG
r
MmGdr
r
MmGU
drr
MmGFdrdU
r
r
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13 - 109
• LEY DE GRAVITACIÓN DE NEWTON
Es la fuerza gravitacional que ejerce el Sol sobre un planeta o
por parte de la Tierra sobre un Satélite el órbita.
En su Ley de Gravitación Universal, Newton Postulo que dos
partículas de masa M y m a una distancia r una de otra se
atraen con fuerzas iguales y opuestas F y –F dirigida a lo
largo de la línea que las une.
G es una constante universal llamada constante de gravitación
y los experimentos indican G= (66.73±0.03)X 10ˉ¹² m³/Kg.s²
2r
GMmF
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13 - 110
• LEY DE GRAVITACIÓN DE NEWTON
Las fuerzas gravitacionales existen entre cualquier par
de cuerpos, pero su efecto sólo es apreciable cuando
uno de los cuerpos tiene una masa muy grande. El
efecto de las fuerzas de las fuerzas gravitacionales es
evidente en los casos de movimiento de un planeta
alrededor del Sol, de satélites que orbitan alrededor
de la tierra o de cuerpos que caen sobre la superficie
de la Tierra.
W=mg=
g=GM/r²
2r
GMm
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13 - 111
El trabajo de una Fuerza
Fuerzas que no hace trabajan (ds = 0 o cos 0:
• el peso de un cuerpo cuando su centro de movimientos de
gravedad horizontalmente.
• la reacción a un rodillo que sigue su huella, y
• A reacción a la fricción menos superficie cuando el
cuerpo en los movimientos del contacto a lo largo de la
superficie,
• La reacción a la fricción menos alfiler apoyando que gira el cuerpo,
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13 - 112
La partícula la Energía Cinética: El principio del Trabajo & Energía
dvmvdsF
ds
dvmv
dt
ds
ds
dvm
dt
dvmmaF
t
tt
• Considere una partícula de masa que m actuó en por la fuerza F
• Integrando de A1 a A2 ,
energykineticmvTTTU
mvmvdvvmdsFv
v
s
st
221
1221
212
1222
12
1
2
1
• El trabajo de la fuerza es igual al cambio en la
energía cinética de la partícula.
F
• Las unidades de trabajo y la energía cinética son el mismo:
JmNms
mkg
s
mkg
2
22
21
mvT
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13 - 113
Las aplicaciones del Principio de Trabajo y Energía
• Desee determinar velocidad de cogote del
péndulo a A2. Considere el trabajo & la
energía cinética.• La fuerza los actos normal al camino y no
hace el trabajo.
P
glv
vg
WWl
TUT
2
2
10
2
22
2211
• La velocidad encontró sin determinar la
expresión para la aceleración e integrar.
• Todo las cantidades son los escalares y
pueden agregarse directamente.
• Se eliminan fuerzas que no hacen el trabajo
del problema.
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13 - 114
Las aplicaciones del Principio de Trabajo y Energía
• El principio de trabajo y energía no puede
aplicarse para determinar la aceleración del
cogote del péndulo directamente.
• Calculando la tensión en el cordón requiere
complementando el método de trabajo y
energía con una aplicación de la segunda ley
de Newton. • Como los pasos del cogote a través de A2
,
Wl
gl
g
WWP
l
v
g
WWP
amF nn
32
22
glv 22
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13 - 115
Poder y Eficiencia
• tase a que el trabajo se hace.
vF
dt
rdF
dt
dU
Power
• Las dimensiones de poder son el trabajo / tiempo o fuerza
* la velocidad. las Unidades para el poder son
W746s
lbft550 hp 1or
s
mN 1
s
J1 (watt) W 1
entrada depoder
salida depoder
entrada de trabajo
salida de trabajo
eficiencia
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Pruebe Problema 13.1
Un peso automovilístico que 4000 lb
se maneja abajo una 5o cuesta a una
velocidad de 60 mi/h cuando los frenos
son los causando aplicados una fuerza
de la ruptura total constante de 1500
lb.
Determine que la distancia viajada por
el automóvil como él viene a una
parada.
LA SOLUCIÓN:
Evalúe el cambio en la energía cinética.
• Determine la distancia requerida para el
trabajo para igualar el cambio de
energía cinético.
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Pruebe Problema 13.1
LA SOLUCIÓN:
Evalúe el cambio en la energía cinética.
lbft481000882.324000
sft88s 3600
h
mi
ft 5280
h
mi60
2
212
121
1
1
mvT
v
0lb1151lbft481000
2211
x
TUT
ft 418x
• Determine la distancia requerida para el trabajo
para igualar el cambio de energía cinético.
x
xxU
lb1151
5sinlb4000lb150021
00 22 Tv
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Pruebe Problema 13.2
Dos bloques son unidos por un cable
improrrogable como mostrado. Si el
sistema se suelta del resto, determine la
velocidad de bloque A después de que ha
movido 2 m. Asuma que el coeficiente de
fricción entre el bloque A y el avión es el
mk = 0.25 y que la polea es ingrávida y
fricción menos.
LA SOLUCIÓN:
Aplique el principio de trabajo y energía
separadamente a los bloques A y B.
• Cuando las dos relaciones se
combinan, el trabajo del cable fuerza
la cancelación. Resuelva para la
velocidad.
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Pruebe Problema 13.2LA SOLUCIÓN:
Aplique el principio de trabajo y energía
separadamente a los bloques A y B.
221
221
2211
2
kg200m2N490m2
m2m20
:
N490N196225.0
N1962sm81.9kg200
vF
vmFF
TUT
WNF
W
C
AAC
AkAkA
A
221
221
2211
2
kg300m2N2940m2
m2m20
:
N2940sm81.9kg300
vF
vmWF
TUT
W
c
BBc
B
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Pruebe Problema 13.2• Cuando las dos relaciones se combinan, el trabajo del
cable fuerza la cancelación. Resuelva para la
velocidad. 2
21 kg200m2N490m2 vFC
221 kg300m2N2940m2 vFc
221
221
kg500J 4900
kg300kg200m2N490m2N2940
v
v
sm 43.4v
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13 - 121
Pruebe Problema 13.3
Una primavera se usa para detener un 60
kg paquete que está resbalando en una
superficie horizontal. La primavera tiene
un k constante = 20 kN/m y se sostiene
por los cables para que sea el 120 mm.
inicialmente comprimido que El paquete
tiene una velocidad de 2.5 m/s en la
posición mostrada y la desviación
máxima de la primavera es 40 mm.
Determine (un) el coeficiente de fricción
cinética entre el paquete y superficie y (b)
la velocidad del paquete como él
atraviesa la posición mostrada de nuevo.
LA SOLUCIÓN:
Aplique el principio de trabajo y energía
entre la posición inicial y el punto en
que la primavera está totalmente
comprimida y la velocidad es el cero.
El único desconocido en la relación es
el coeficiente de fricción.
• Aplique el principio de trabajo y
energía para el rebote del paquete. El
único desconocido en la relación está la
velocidad en la último posición.
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13 - 122
Pruebe Problema 13.3LA SOLUCIÓN:
Aplique principio de trabajo y energía entre la posición de la
inicial y el punto en que primavera está totalmente comprimida.
0J5.187sm5.2kg60 22
212
121
1 TmvT
kk
kfxWU
J377m640.0sm81.9kg60 2
21
J0.112m040.0N3200N2400
N3200m160.0mkN20
N2400m120.0mkN20
21
maxmin21
21
0max
0min
xPPU
xxkP
kxP
e
J112J377212121 kefUUU
0J112J 377-J5.187
:2211
k
TUT
20.0k
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13 - 123
Pruebe Problema 13.3
• Aplique el principio de trabajo y energía para el rebote
del paquete.
232
1232
132 kg600 vmvTT
J36.5
J112J377323232
kefUUU
232
1
3322
kg60J5.360
:
v
TUT
sm103.13 v
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13 - 124
Pruebe Problema 13.4
Un 2000 automóvil del lb empieza del resto
a punto 1 y movimientos sin la fricción
abajo la huella mostrada.
Determine:
a) la fuerza ejercida por el trayecto en
el automóvil al punto 2, y
b) el valor seguro mínimo del radio de
curvatura a punto 3.
SOLUCIÓN:
• Aplique principio de trabajo y energía para
determinar la velocidad a punto 2.
• Aplique la segunda ley de Newton para
encontrar la fuerza normal por el trayecto al
punto 2.
• Aplique principio de trabajo y energía para
determinar la velocidad a punto 3.
• Aplique la segunda ley de Newton para
encontrar radio mínimo de curvatura a punto
3 tal que una fuerza normal positiva se ejerce
por el trayecto.
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13 - 125
Pruebe Problema 13.4LA SOLUCIÓN:
• Aplique principio de trabajo y energía para determinar
la velocidad a punto 2.
sft8.50ft2.32ft402ft402
2
1ft400:
ft40
2
10
222
2
222211
21
22
222
121
vsgv
vg
WWTUT
WU
vg
WmvTT
• Aplique la segunda ley de Newton para encontrar la
fuerza normal por el trayecto al punto 2.
:nn amF
WN
g
g
Wv
g
WamNW n
5
ft20
ft402
2
22
lb10000N
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13 - 126
Pruebe Problema 13.4• Aplique principio de trabajo y energía para determinar la
velocidad a punto 3.
sft1.40sft2.32ft252ft252
2
1ft250
323
233311
vgv
vg
WWTUT
• Aplique la segunda ley de Newton para encontrar radio
mínimo de curvatura a punto 3 tal que una fuerza normal
positiva se ejerce por el trayecto.
:nn amF
33
23 ft252
g
g
Wv
g
W
amW n
ft503
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13 - 127
Pruebe Problema 13.5
El montaplatos D y su carga tienen un peso
combinado de 600 lb, mientras el C del
contrapeso pesa 800 lb.
Determine el poder entregado por el M de
motor eléctrico cuando el montaplatos (un)
está subiendo a una velocidad constante de 8
ft/s y (b) tiene una velocidad instantánea de 8
ft/s y una aceleración de 2.5 ft/s2, los dos
dirigieron más de.
LA SOLUCIÓN:
Fuerza ejercida por el cable de
motor tiene la misma dirección
como la velocidad de
montaplatos. Power entregó por
el motor es igual a FvD, vD = 8
ft/s.
• En el primer caso, los cuerpos están en el
movimiento del uniforme. Determine
fuerza ejercida por el cable del motor de
las condiciones para el equilibrio estático.
• En el segundo caso, ambos cuerpos están
acelerando. Aplique la segunda ley de
Newton a cada cuerpo determinar la
fuerza del cable de motor requerida.
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13 - 128
Pruebe Problema 13.5
• En el primer caso, los cuerpos están en el movimiento
del uniforme. Determine fuerza ejercida por el cable
del motor de las condiciones para el equilibrio estático.
slbft1600
sft8lb 200
DFvPoder
hp 91.2slbft550
hp 1slbft1600
Poder
Cuerpo libre C:
:0 yF lb 4000lb8002 TT
Cuerpo libre D:
:0 yF
lb 200lb 400lb 600lb 600
0lb 600
TF
TF
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13 - 129
Pruebe Problema 13.5
• En el segundo caso, ambos cuerpos están acelerando.
Aplique la segunda ley de Newton a cada cuerpo determinar
la fuerza del cable de motor requerida.
2212 sft25.1sft5.2 DCD aaa
Cuerpo libre C:
:CCy amF lb5.38425.12.32
8002800 TT
Cuerpo libre D:
:DDy amF
lb 1.2626.466005.384
5.22.32
600600
FF
TF
slbft2097sft8lb 1.262 DFvPoder
hp 81.3slbft550
hp 1slbft2097
Poder
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13 - 130
Energía potencial
2121 yWyWU
• El trabajo de la fuerza de gravedad, W
• El trabajo es independiente de camino seguido;
sólo depende de los valores iniciales y finales de
Wy. WyVg
la energía potencial del cuerpo con respecto a la
fuerza de gravedad.
2121 gg VVU
• Las unidades de trabajo y la energía potencial son el
mismo: JmN WyVg
• La opción de dato de que la elevación y es
moderado es arbitrario.
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13 - 131
Energía potencial
• La expresión anterior para la energía potencial de
un cuerpo con respecto a la gravedad sólo es válida
cuando el peso del cuerpo puede asumirse
constante.
• Para un vehículo espacial, la variación de la fuerza
de gravedad con la distancia del centro de la tierra
debe ser considerada.
• El trabajo de una fuerza gravitatoria,
1221
r
GMm
r
GMmU
• a energía potencial Vg cuando la variación en
la fuerza de gravedad no puede descuidarse,
r
WR
r
GMmVg
2
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13 - 132
Energía potencial
• El trabajo de la fuerza ejercido por una
primavera sólo depende adelante el inicial y
último desviaciones de la primavera,
222
1212
121 kxkxU
• La energía potencial del cuerpo con respecto a
la fuerza elástica,
2121
221
ee
e
VVU
kxV
• La nota que la expresión precedente para Ve
sólo es válido si la desviación de la primavera
es moderada de su posición del no deformado.
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13 - 133
Fuerzas conservadas• El concepto de energía potencial puede aplicarse si el
trabajo de la fuerza es independiente del camino seguido
por su punto de aplicación.
22211121 ,,,, zyxVzyxVU
Se describen las tales fuerzas como las fuerzas
conservadoras.• Para cualquier fuerza conservadora aplicada en un camino
cerrado, 0 rdF
• Trabajo elemental que corresponde al desplazamiento
entre dos puntos vecinos,
zyxdV
dzzdyydxxVzyxVdU
,,
,,,,
Vz
V
y
V
x
VF
dzz
Vdy
y
Vdx
x
VdzFdyFdxF zyx
grad
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13 - 134
Conservación de la energía• El trabajo de una fuerza conservadora,
2121 VVU
• El concepto de trabajo y energía,
1221 TTU
• Sigue eso
constante
2211
VTE
VTVT
• Cuando una partícula mueve bajo la acción de
fuerzas conservadoras, la energía mecánica total es
constante.
WVT
WVT
11
11 0
WVT
VWgg
WmvT
22
2222
12 02
2
1• Las fuerzas de fricción no son conservadoras. La
energía mecánica total de un sistema que involucra
las disminuciones de fricción.
• La energía mecánica es disipado por la fricción en
la energía termal. La energía total es constante.
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13 - 135
Haga señas Bajo una Fuerza Central Conservadora• Cuando una partícula mueve bajo una fuerza central
conservadora, ambos el principio de conservación de
velocidad adquirida angular,
y el principio de conservación de energía
puede ser aplicado.
sinsin 000 rmvmvr
r
GMmmv
r
GMmmv
VTVT
221
0
202
1
00
• Dado r, las ecuaciones pueden resolverse para v y j.
• Al mínimo y máximo r, j 90o. Dado el lanzamiento
condiciona, las ecuaciones pueden resolverse para
rmin, rmax, vmin, y vmax.
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13 - 136
Pruebe Problema 13.6
Un 20 lb agarran por el cuello las
diapositivas sin la fricción a lo largo de una
vara vertical como mostrado. La primavera
atada al cuello tiene una longitud del no
desviado de 4 en. y una constante de 3
lb/in.
Si el cuello se suelta del resto a posición 1,
determina su velocidad después de que ha
entrado 6. para posicionar 2.
SOLUCIÓN:
• Aplique el principio de conservación de
energía entre las posiciones 1 y 2.
• Se evalúan las energías potenciales elásticos
y gravitatorios a la 1 y 2 de la información
dada. La energía cinética inicial es el cero.
• Resuelva para la energía cinética y velocidad
a las 2.
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13 - 137
Pruebe Problema 13.6SOLUCIÓN:
• Aplique el principio de conservación de energía entre las
posiciones 1 y 2.
Posición 1:
0
lbft20lbin.24
lbin.24in. 4in. 8in.lb3
1
1
2
212
121
T
VVV
kxV
ge
e
Posición 2:
22
22
222
12
2
2
212
221
311.02.32
20
2
1
lbft 5.5lbin. 6612054
lbin. 120in. 6lb 20
lbin.54in. 4in. 01in.lb3
vvmvT
VVV
WyV
kxV
ge
g
e
Conservación de la energía:
lbft 5.50.311lbft 20 22
2211
v
VTVT
sft91.42v
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13 - 138
Pruebe Problema 13.7
La 0.5 pelotilla del lb se empuja contra la
primavera y soltó del resto a A.
Descuidando la fricción, determine la
desviación más pequeña de la primavera
para que la pelotilla viajará alrededor de la
vuelta y permanecerá en todo momento en
el contacto con la vuelta.
SOLUCIÓN:
• Desde que la pelotilla debe permanecer en el
contacto con la vuelta, la fuerza ejercida en la
pelotilla debe ser mayor que o iguala para
poner a cero. Poniendo la fuerza ejercida por
la vuelta para poner a cero, resuelva para la
velocidad mínima a D.
• Aplique el principio de conservación de
energía entre los puntos UN y D. Solve para
la desviación de la primavera exigió
producir la velocidad requerida y la energía
cinética a D.
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13 - 139
Pruebe Problema 13.7SOLUCIÓN:
• Poniendo la fuerza ejercida por la vuelta para poner a cero,
resuelva para la velocidad mínima a D.
:nn maF
222
2
sft4.64sft32.2ft 2
rgv
rvmmgmaW
D
Dn
• Aplique el principio de conservación de energía entre los
puntos A y D.
0
18ftlb360
1
22
212
21
1
T
xxkxVVV ge
lbft5.0sft4.64sft2.32
lb5.0
2
1
lbft2ft4lb5.00
22
2
2
21
2
2
D
ge
mvT
WyVVV
25.0180 2
2211
x
VTVT
in. 47.4ft 3727.0 x
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13 - 140
Pruebe Problema 13.9
Un satélite se lanza en una dirección
paralelo a la superficie de la tierra con
una velocidad de 36900 km/h de una
altitud de 500 km.
Determine (un) la altitud máxima
alcanzada por el satélite, y (b) el error
aceptable máximo en la dirección de
lanzar si el satélite es venir ningún más
íntimo que 200 km a la superficie de la
tierra
SOLUCIÓN:
• Para el movimiento bajo una fuerza central
conservadora, pueden aplicarse los principios de
conservación de energía y conservación de
velocidad adquirida angular simultáneamente.
• Aplique los principios a los puntos de mínimo y
la altitud máxima determinar la altitud máxima.
• Aplique los principios al punto de inserción de
órbita y el punto de altitud mínima determinar
el órbita inserción ángulo error aceptable
máximo.
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13 - 141
Pruebe Problema 13.9• Aplique los principios de conservación de energía y
conservación de velocidad adquirida angular a los puntos de
mínimo y la altitud máxima determinar la altitud máxima.
Conservación de energíA:
1
212
1
0
202
1
r
GMmmv
r
GMmmvVTVT AAAA
La conservación de velocidad adquirida angular:
1
0011100
r
rvvmvrmvr
Combinando,
2001
0
1
0
02
1
202
021 2
111vr
GM
r
r
r
r
r
GM
r
rv
23122622
60
0
sm10398m1037.6sm81.9
sm1025.10hkm36900
km6870km500km6370
gRGM
v
r
km 60400m104.60 61 r
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13 - 142
Pruebe Problema 13.9• Aplique los principios al punto de inserción de órbita y el
punto de altitud mínima determinar el órbita inserción ángulo
error aceptable máximo.
Conservación de energía:
min
2max2
1
0
202
100
r
GMmmv
r
GMmmvVTVT AA
La conservación de velocidad adquirida angular :
min
000maxmaxmin000 sinsin
r
rvvmvrmvr
Combinando y resolviendo para sin j0,
5.1190
9801.0sin
0
0
j
5.11error allowable
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13 - 143
El principio de Impulso y Velocidad adquirida
• De la segunda ley de Newton,
vmvmdt
dF
la velocidad adquirida
lineal
2211
21 force theof impulse 2
1
vmvm
FdtFt
t
Imp
Imp
• La último velocidad adquirida de la partícula
puede obtenerse agregando su velocidad
adquirida inicial y el impulso de la fuerza
vectorialmente durante el intervalo de tiempo.
12
2
1
vmvmdtF
vmddtF
t
t
• Las dimensiones del impulso
de una fuerza son
force*time.
• Las unidades para el impulso
de una fuerza son
smkgssmkgsN 2
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13 - 144
El Movimiento impulsivo
• Se llama fuerza que actúa en una partícula durante
un intervalo de tiempo muy corto que es grande
bastante para causar un cambio significante en la
velocidad adquirida una fuerza impulsiva.
• Cuando el acto de fuerzas impulsivo en una partícula,
21 vmtFvm
• Cuando un béisbol se golpea por un palo, el
contacto ocurre encima de un intervalo de tiempo
corto pero la fuerza es grande bastante para
cambiar sentido de movimiento de la pelota.
• las fuerzas no impulsivas son las fuerzas para que
es pequeño y por consiguiente, puede
descuidarse.tF
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13 - 145
Pruebe el Problema 13.10
Un peso automovilístico que 4000 lb se
maneja abajo una 5o cuesta a una
velocidad de 60 mi/h cuando los frenos
son aplicados, mientras causando un
total constante que frena fuerza de 1500
lb.
Determine el tiempo requerido para el
automóvil para venir a una parada.
SOLUCIÓN:
• Aplique el principio de impulso y
velocidad adquirida. El impulso es igual
al producto de las fuerzas constantes y el
intervalo de tiempo.
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13 - 146
Pruebe el Problema 13.10
SOLUCIÓN:
• Aplique el principio de impulso y
velocidad adquirida.
2211 vmvm
Imp
Los componentes tomando
parangonan a la cuesta,
015005sin4000sft882.32
4000
05sin1
tt
FttWmv
s49.9t
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13 - 147
Pruebe el Problema 13.11
Un 4 onz. béisbol se tira con una
velocidad de 80 ft/s. después de que la
pelota se pega por el palo, tiene una
velocidad de 120 ft/s en la dirección
mostrada. Si el palo y pelota están en
el contacto para 0.015 s, determine la
media fuerza impulsiva ejercida en la
pelota durante el impacto.
SOLUCIÓN:
• Aplique el principio de impulso y
velocidad adquirida por lo que se refiere
a las ecuaciones del componente
horizontales y verticales.
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13 - 148
Pruebe el Problema 13.11SOLUCIÓN:
• Aplique el principio de impulso y velocidad adquirida por
lo que se refiere a las ecuaciones del componente
horizontales y verticales.
2211 vmvm
Imp
x
y
la componente x de la ecuación :
lb89
40cos1202.32
16415.080
2.32
164
40cos21
x
x
x
F
F
mvtFmv
la componente y de la ecuación :
lb9.39
40cos1202.32
16415.0
40sin0 2
y
y
y
F
F
mvtF
lb5.97,lb9.39lb89 FjiF
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13 - 149
Pruebe Problema 13.12
Un 10 kg gotas del paquete de una
cascada en una 24 kg carreta con una
velocidad de 3 m/s. Sabiendo que la
carreta es inicialmente en reposo y
puede rodar libremente, determine (un)
la último velocidad de la carreta, (b) el
impulso ejercido por la carreta en el
paquete, y (c) el fragmento de la
energía inicial perdió en el impacto.
LA SOLUCIÓN:
Aplique el principio de impulso y
velocidad adquirida al sistema del
paquete-carreta determinar la último
velocidad.
• Aplique el mismo principio al paquete
solo determinar el impulso ejercido en él
del cambio en su velocidad adquirida.
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13 - 150
Pruebe Problema 13.12LA SOLUCIÓN:
Aplique el principio de impulso y velocidad adquirida al sistema del
paquete-carreta determinar la último velocidad.
2211 vmmvm cpp
Imp
x
y
los componentes
de x:
2
21
kg 25kg 1030cosm/s 3kg 10
030cos
v
vmmvm cpp
m/s 742.02 v
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13 - 151
Pruebe Problema 13.12
• Aplique el mismo principio al paquete solo determinar el impulso ejercido
en él del cambio en su velocidad adquirida.
x
y
2211 vmvm pp
Imp
los componentes
de x: 2
21
kg 1030cosm/s 3kg 10
30cos
vtF
vmtFvm
x
pxp
sN56.18 tFx
los componentes
de y: 030sinm/s 3kg 10
030sin1
tF
tFvm
y
yp
sN15 tFy
sN 9.23sN 51sN 56.1821 tFjitF
Imp
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13 - 152
Pruebe Problema 13.12
Para determinar el fragmento de energía perdido,
J 63.9sm742.0kg 25kg 10
J 45sm3kg 10
2
212
221
1
2
212
121
1
vmmT
vmT
cp
p
786.0J 45
J 9.63J 45
1
21
T
TT
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13 - 153
El Impacto• El impacto: La colisión entre dos cuerpos que
ocurren durante un intervalo de tiempo pequeño y
durante que los cuerpos ejercen las fuerzas
grandes en nosotros.
• La línea de Impacto: El normal común a las
superficies en el contacto durante el impacto.
• El Impacto central: Impacte para que la masa
centra de los dos cuerpos quede en la línea de
impacto; por otra parte, es un impacto excéntrico.
El Impacto Central
directo
• El Impacto directo: Impacte para que se dirigen
las velocidades de los dos cuerpos a lo largo de la
línea de impacto.
El Impacto Central
oblicuo
• El Impacto oblicuo: Impacte para cuál o los dos
de los cuerpos sigan una línea de otra manera que
la línea de impacto.
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13 - 154
El Impacto Central directo
• Cuerpos que entran la misma línea recta, vA
> vB .
• En el impacto los cuerpos sufren un
período de deformación al final de que,
ellos están en el contacto y moviendo a una
velocidad común.
• Un período de restitución sigue durante
que los cuerpos o recobran su forma
original o permanecen permanentemente
deformado. • Desee determinar las último velocidades de
los dos cuerpos. La velocidad adquirida
total del dos sistema del cuerpo es en
conserva, BBBBBBAA vmvmvmvm
• Una segunda relación entre las último
velocidades se requiere.
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13 - 155
El Impacto Central directo
• Periodo de deformación: umPdtvm AAA
• Periodo de restitución: AAA vmRdtum
10
e
uv
vu
Pdt
Rdt
nrestitutio of tcoefficien e
A
A
• Un análisis similar de partícula los rendimientos
de B B
B
vu
uv e
• Combinando las primacías de las relaciones a los
deseamos segunda relación entre las último
velocidades.
BAAB vvevv
• Perfectamente el impacto
plástico, e = 0: vvv AB vmmvmvm BABBAA
• El impacto absolutamente elástico, e = 1:
La energía total y velocidad adquirida del total
conservaron.
BAAB vvvv
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13 - 156
El Impacto Central Oblícuo
• Último velocidades
son desconocidas en la
magnitud y dirección.
Se requieren cuatro
ecuaciones.
• Ningún componente de impulso
tangencial; el componente tangencial
de velocidad adquirida para cada
partícula se conserva.
tBtBtAtA vvvv
• El componente normal de velocidad
adquirida total de las dos partículas
se conserva.
nBBnAAnBBnAA vmvmvmvm
• Los componentes normales de
velocidades relativas antes de y después
del impacto está relacionado por el
coeficiente de restitución.
nBnAnAnB vvevv
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13 - 157
El Impacto Central Oblícuo
• El bloque reprimió para seguir la superficie
horizontal.
• Los impulsos de las fuerzas interiores
a lo largo del eje de n y de la fuerza externa
ejercido por la superficie horizontal y dirigió a
lo largo del vertical a la superficie.
FF
and
extF
• Último velocidad de pelota desconocido en la
dirección y magnitud y desconocido la
magnitud de velocidad de bloque final. Tres
ecuaciones requirieron.
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nth
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13 - 158
El Impacto Central Oblícuo
• F que la velocidad adquirida
Tangencial de pelota se conserva.
tBtB vv
• Total que la velocidad adquirida
horizontal de bloque y pelota se
conserva.
xBBAAxBBAA vmvmvmvm
• El componente normal de velocidades
relativas de bloque y pelota está
relacionado por el coeficiente de
restitución.
nBnAnAnB vvevv
• La nota: La validez de última expresión no sigue de la relación anterior para
el coeficiente de restitución. Una derivación similar pero separada se
requiere.
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Problemas que Involucran Energía y Velocidad adquirida
•Tres métodos para el análisis de problemas de las
cinética:
•La aplicación directa de la segunda ley de Newton
•El método de trabajo y energía
•El método de impulso y velocidad adquirida
• Seleccione el mejor el método satisfecho para el problema o parte de un
problema bajo la consideración.
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Pruebe Problema 13.14
Una pelota se tira contra una fricción
menos, la pared vertical.
Inmediatamente antes de las huelgas
de la pelota la pared, su velocidad
tiene una magnitud v y ángulo de los
formularios de 30o con el horizontal.
Sabiendo que e = 0.90, determine la
magnitud y dirección de la velocidad
de la pelota como él rebota de la
pared.
LA SOLUCIÓN:
La velocidad de pelota de resolución en
los componentes normal y tangencial a la
pared.
• Impulso ejercido por la pared es normal
a la pared. El componente de velocidad
adquirida de la pelota tangencial a la
pared se conserva.
• Asuma que la pared tiene la masa
infinita para que la velocidad de la
pared antes de y después de que el
impacto es el cero. Aplique coeficiente
de relación de la restitución para
encontrar el cambio en la velocidad del
pariente normal entre la pared y ovillar,
es decir, la velocidad de la pelota
normal.
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Pruebe Problema 13.14
• El componente de velocidad adquirida de la pelota tangencial
a la pared se conserva.
vvv tt 500.0
• Aplique coeficiente de relación de la restitución con cera
velocidad de la pared.
vvv
vev
n
nn
779.0866.09.0
00
LA SOLUCIÓN:
La velocidad de pelota de resolución en los componentes
parangona y perpendicular a la pared.
vvvvvv tn 500.030sin866.030cos
n
t
7.32500.0
779.0tan926.0
500.0779.0
1vv
vvv tn
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Pruebe Problema 13.15
La magnitud y dirección de las
velocidades de dos fricción idéntica
menos pelotas antes de que ellos
nos golpeen es como mostrado. E
arrogante = 0.9, determine la
magnitud y dirección de la
velocidad de cada pelota después
del impacto.
LA SOLUCIÓN:
Resuélvase las velocidades de la pelota en los
componentes normal y tangencial al avión del
contacto. • El componente tangencial de velocidad
adquirida para cada pelota se conserva.
• El componente normal total de la
velocidad adquirida del dos sistema de la
pelota se conserva.
• Las velocidades relativas normales
de las pelotas están relacionadas por
el coeficiente de restitución.
• Resuelva las últimas dos ecuaciones
simultáneamente para las velocidades
normales de las pelotas después del
impacto.
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Pruebe Problema 13.15LA SOLUCIÓN:
Resuélvase las velocidades de la pelota en los componentes
normal y tangencial al avión del contacto.
sft0.2630cos AnA vv sft0.1530sin AtA vv
sft0.2060cos BnB vv sft6.3460sin BtB vv
• El componente tangencial de velocidad adquirida para
cada pelota se conserva.
sft0.15tAtA vv sft6.34
tBtB vv
• El componente normal total de la velocidad adquirida
del dos sistema de la pelota se conserva.
0.6
0.200.26
nBnA
nBnA
nBBnAAnBBnAA
vv
vmvmmm
vmvmvmvm
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Pruebe Problema 13.15
6.557.23
6.34tansft9.41
6.347.23
3.407.17
0.15tansft2.23
0.157.17
1
1
B
ntB
A
ntA
v
v
v
v
t
n
• Las velocidades relativas normales de las pelotas están
relacionadas por el coeficiente de restitución.
4.410.200.2690.0
nBnAnBnA vvevv
• Resuelva las últimas dos ecuaciones simultáneamente para
las velocidades normales de las pelotas después del impacto.
sft7.17nAv sft7.23
nBv
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Pruebe Problema 13.16
Pelota que B está colgando de un
cordón improrrogable. Una pelota
idéntica A se suelta del resto cuando
está tocando simplemente el cordón y
adquiere un v0 de velocidad antes de la
pelota llamativa B. Asumiendo el
impacto absolutamente elástico (e = 1)
y ninguna fricción, determine la
velocidad de cada pelota
inmediatamente después del impacto.
LA SOLUCIÓN:
Determine orientación de línea de impacto
de acción.
• El componente de velocidad adquirida de
pelota Atangencial al avión del contacto
se conserva.
• La velocidad adquirida horizontal total
del dos sistema de la pelota se conserva.
• Las velocidades relativas a lo largo de la
línea de acción antes de y después del
impacto está relacionado por el
coeficiente de restitución.
• Resuelva las últimas dos expresiones
para la velocidad de pelota A a lo largo
de la línea de acción y la velocidad de
pelota B que está horizontal.
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Pruebe Problema 13.16LA SOLUCIÓN:
Determine orientación de línea de impacto de
acción.
30
5.02
sin
r
r
• El componente de velocidad adquirida de
pelota A tangencial al avión del contacto
se conserva.
0
0
5.0
030sin
vv
vmmv
vmtFvm
tA
tA
AA
• El total horizontal (el componente de x) la
velocidad adquirida del dos sistema de la
pelota se conserva.
0
0
433.05.0
30sin30cos5.00
30sin30cos0
vvv
vvv
vmvmvm
vmvmtTvm
BnA
BnA
BnAtA
BAA
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Pruebe Problema 13.16• Las velocidades relativas a lo largo de la línea de
acción antes de y después del impacto está
relacionado por el coeficiente de restitución.
0
0
866.05.0
030cos30sin
vvv
vvv
vvevv
nAB
nAB
nBnAnAnB
• Resuelva las últimas dos expresiones para la
velocidad de pelota A a lo largo de la línea de acción
y la velocidad de pelota B que está horizontal.
00 693.0520.0 vvvv BnA
0
10
00
693.0
1.16301.46
1.465.0
52.0tan721.0
520.05.0
vv
vv
vvv
B
A
ntA
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Pruebe Problema 13.17
Un 30 kg bloque se deja caer de una
altura de 2 m hacia el la 10 kg cacerola
de una balanza primaveral. Asumiendo
el impacto para ser absolutamente
plástico, determine la desviación
máxima de la cacerola. La constante de
la primavera es k = 20 kN/m.
LA SOLUCIÓN:
Aplique el principio de conservación de
energía para determinar la velocidad del
bloque al momento de impacto.
• Desde que el impacto es absolutamente
plástico, el bloque y movimiento de la
cacerola juntos a la misma velocidad
después del impacto. Determine esa
velocidad del requisito que la velocidad
adquirida total del bloque y cacerola se
conserva.
• Aplique el principio de conservación de
energía para determinar la desviación
máxima de la primavera.
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Pruebe Problema 13.17LA SOLUCIÓN:
Aplique principio de conservación de energía para
determinar velocidad del bloque al momento de impacto.
sm26.6030 J 5880
030
J 588281.9300
2222
1
2211
2222
1222
12
11
AA
AAA
A
vv
VTVT
VvvmT
yWVT
• Determine la velocidad después del impacto de
requisito que la velocidad adquirida total del bloque y
cacerola se conserva.
sm70.41030026.630 33
322
vv
vmmvmvm BABBAA
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Pruebe Problema 13.17
La desviación primaveral inicial
debido al peso de la cacerola:
m1091.4
1020
81.910 3
33
k
Wx B
• Aplique el principio de conservación de energía para
determinar la desviación máxima de la primavera.
2
43
213
4
24
3
21
34
242
14
4
233
212
321
3
2
212
321
3
10201091.4392
1020392
0
J 241.01091.410200
J 4427.41030
xx
xxx
kxhWWVVV
T
kx
VVV
vmmT
BAeg
eg
BA
m 230.0
10201091.43920241.0442
4
24
3
213
4
4433
x
xx
VTVT
m 1091.4m 230.0 334
xxh m 225.0h
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CAPITULO #14
•SISTEMAS DE PARTÍCULAS
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Contenidos
Introducción
La aplicación de las Leyes de
Newton: Las Fuerzas eficaces
La Velocidad adquirida lineal y
Angular
El movimiento de Centro de Masa de
Sistema de Partículas
La Velocidad adquirida angular Sobre
el Centro de Masa
La conservación de Velocidad
adquirida
Pruebe Problema 14.2
La Energía cinética
El Principio de trabajo-energía. La
conservación de Energía
El principio de Impulso y Velocidad
adquirida
Pruebe Problema 14.4
Pruebe Problema 14.5
Los Sistemas inconstantes de Partículas
El Arroyo firme de Partículas
El Arroyo firme de Partículas. Las
aplicaciones
Los arroyos Ganando o Perdiendo la
Masa
Pruebe Problema 14.6
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Introducción
• En el capítulo actual, usted estudiará el movimiento de
sistemas de partículas.
• Se define la fuerza eficaz de una partícula como el producto
de él la masa y aceleración. Se mostrará que el sistema de
fuerzas externas que actúan en un sistema de partículas es el
equipollent con el sistema de fuerzas eficaces del sistema.
• El centro de masa de un sistema de partículas se definirá y
su movimiento describió.
• a aplicación del principio de trabajo-energía y el principio
del impulso-velocidad adquirida a un sistema de partículas
se describirá. Resultado obtenido también es aplicable a un
sistema de partículas rígidamente conectadas, es decir, un
cuerpo rígido.
• Se presentarán los métodos del análisis para los sistemas
inconstantes de partículas, es decir, sistemas en que las
partículas incluyeron en el cambio del sistema.
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La aplicación de las Leyes de Newton. Las Fuerzas eficaces• La segunda ley de newton para cada Pi de la
partícula en un sistema de partículas de n,
force effective
forces internal force external
1
1
ii
iji
iii
n
jijiii
ii
n
jiji
am
fF
amrfrFr
amfF
• El sistema de fuerzas externas e interiores en
una partícula es equivalente a la fuerza
eficaz de la partícula.
• El sistema de fuerzas externas e interiores
que actúan en el sistema entero de
partículas es equivalente al sistema de
fuerzas eficaces.
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La aplicación de las Leyes de Newton. Las Fuerzas eficaces
• Sumando encima de todos los elementos,
n
iiii
n
i
n
jiji
n
iii
n
iii
n
i
n
jij
n
ii
amrfrFr
amfF
11 11
11 11
• Desde que las fuerzas interiores ocurren
en el igual y el choque opuesto aparea, la
fuerza del resultante y pareja debido a las
fuerzas interiores es el cero,
iiiii
iii
amrFr
amF
• El sistema de fuerzas externas y el
sistema de fuerzas eficaces no es los
equipollent por equivalente.
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14 - 176
Lineal & la Velocidad adquirida Angular
• La velocidad adquirida lineal del
sistema de partículas,
n
iii
n
iii
n
iii
amvmL
vmL
11
1
• La velocidad adquirida angular sobre el
punto fijo O de sistema de partículas,
n
iiii
n
iiii
n
iiiiO
n
iiiiO
amr
vmrvmrH
vmrH
1
11
1
• El resultante de las fuerzas
externas es igual tasar de cambio
de velocidad adquirida lineal del
sistema de partículas,
LF
OO HM
• El resultante del momento sobre el
punto fijo O de las fuerzas externas es
igual a la proporción de cambio de
velocidad adquirida angular del sistema
de partículas,
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14 - 177
El movimiento del Centro de Masa de un Sistema de Partículas
• Centro de masa que G de sistema de partículas
se define por vector de la posición que satisfaceGr
n
iiiG rmrm
1
• Diferenciando dos veces,
FLam
Lvmvm
rmrm
G
n
iiiG
n
iiiG
1
1
• Los movimientos de centro de masa como si se
concentraran la masa entera y todo las fuerzas
externas a ese punto.
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14 - 178
La Velocidad adquirida angular Sobre el Centro de Masa
G
n
iii
n
iiii
G
n
ii
n
iiii
n
iGiii
n
iiiiG
n
iiiiG
M
Framr
armamr
aamramrH
vmrH
11
11
11
1
• La velocidad adquirida angular del sistema de
partículas sobre el centro de masa,
• El resultante del momento sobre G de las fuerzas
externas es igual a la proporción de cambio de
velocidad adquirida angular sobre G del sistema
de partículas.
• En general, el marco del
centroidal no es un marco de
Newtonian.
• Considere que los centroidal
idean de referencia Gx'y'z '
que traduce con respecto al
marco de Newtonian Oxyz.
iGi aaa
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14 - 179
La Velocidad adquirida angular Sobre el Centro de Masa• La velocidad adquirida angular sobre G de
partículas en su pariente del movimiento
absoluto al Newtonian Oxyz idea de
referencia.
GGG
n
iiiiG
n
iii
n
iiGii
n
iiiiG
MHH
vmrvrm
vvmr
vmrH
11
1
1
• La velocidad adquirida angular
sobre G de las partículas en su
pariente del movimiento al
centroidal Gx'y'z ' idean de
referencia,
n
iiiiG vmrH
1
GGi vvv
• La velocidad adquirida angular sobre G de las
velocidad adquirida de la partícula o puede
calcularse con respecto al Newtonian o el
centroidal idea de referencia.
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14 - 180
La conservación de Velocidad adquirida
• Si ningún acto de fuerzas externo en
las partículas de un sistema,
entonces la velocidad adquirida
lineal y la velocidad adquirida
angular sobre el punto fijo se
conservan O.
constant constant
00
O
OO
HL
MHFL
• En algunas aplicaciones, como
problemas que involucran las fuerzas
centrales,
constant constant
00
O
OO
HL
MHFL
• El concepto de conservación de
velocidad adquirida también aplica al
análisis del movimiento de centro de
masa,
constant constant
constant
00
GG
G
GG
Hv
vmL
MHFL
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14 - 181
Pruebe el Problema 14.2
Un 20-lb proyectil está moviendo con
una velocidad de 100 ft/s cuando explota
en 5 y 15-lb fragmentos.
Inmediatamente después de la explosión,
los fragmentos viajan en las direcciones
A = 45o y B = 30o.
Determine la velocidad de cada
fragmento.
LA SOLUCIÓN:
No hay fuerzas externas
subsecuentemente, la velocidad
adquirida lineal del sistema se
conserva.• Escriba las ecuaciones del
componente separadas para la
conservación de velocidad adquirida
lineal.
• Resuelva las ecuaciones
simultáneamente para las
velocidades del fragmento.
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14 - 182
Pruebe Problema 14.2
LA SOLUCIÓN:
No hay fuerzas externas
subsecuentemente, la velocidad
adquirida lineal del sistema se
conserva.
x
y
• Escriba las ecuaciones del componente
separadas para la conservación de
velocidad adquirida lineal.
0
0
20155 vgvgvg
vmvmvm
BA
BBAA
los componentes
de x: 1002030cos1545cos5 BA vv
los componentes de
y:030sin1545sin5 BA vv
• Resuelva las ecuaciones simultáneamente
para las velocidades del fragmento.
sft6.97sft207 BA vv
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14 - 183
La Energía cinética
• La energía cinética de un sistema de
partículas,
n
iii
n
iiii vmvvmT
1
221
121
iGi vvv
• Expresando la velocidad por lo que se refiere al
marco de referencia de centroidal,
n
iiiG
n
iii
n
iiiGG
n
ii
n
iiGiGi
vmvm
vmvmvvm
vvvvmT
1
2
212
21
1
2
21
1
2
121
121
• La energía cinética es igual a la energía cinética
de centro de masa más el pariente de energía
cinético al marco del centroidal.
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14 - 184
El Principio de trabajo-energía. La conservación de Energía
• El principio de trabajo y energía puede aplicarse a cada partícula
Pi ,2211 TUT
donde representa el trabajo hecho por las fuerzas interiores
y el resultante la fuerza externa actuando adelante Pi .ijf
iF21U
• El principio de trabajo y energía puede aplicarse al sistema entero
agregando el energies cinético de todas las partículas y considerado
el trabajo hecho por las fuerzas todo externas e interiores.
• Aunque es igual y en situación opuesta, el trabajo de
estas fuerzas no quiere, en general, cancele fuera.jiij ff
and
• Si las fuerzas que actúan en las partículas son conservadoras, el
trabajo es igual al cambio en la energía potencial y
2211 VTVT
qué expresa el principio de conservación de energía para el
sistema de partículas.
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14 - 185
El principio de Impulso y Velocidad adquirida
21
12
2
1
2
1
LdtFL
LLdtF
LF
t
t
t
t
21
12
2
1
2
1
HdtMH
HHdtM
HM
t
tO
t
tO
OO
• Las velocidad adquirida de las partículas al t1 de tiempo y el impulso
de las fuerzas del t1 al t2 forman un sistema de equipollent de los
vectores al sistema de velocidad adquirida de las partículas en
momento t2 .
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14 - 186
Pruebe Problema 14.4
La pelota B, de mB,is de masa suspendido
de un cordón, de longitud l, ató para
carretear A, de masa MA que puede rodar
libremente en un frictionless el tracto
horizontal. Mientras la carreta es en reposo,
la pelota se da una velocidad inicial
Determine (A) la velocidad de B como él lo
alcanza la elevación máxima, y (b) la
distancia vertical máxima h a través de que
B subirá.
.20 glv
LA SOLUCIÓN:
• Sin las fuerzas horizontales externas, sigue
del principio del impulso-velocidad
adquirida que el componente horizontal de
velocidad adquirida se conserva. Esta
relación puede resolverse para la velocidad
de B a su elevación máxima.
• La conservación de principio de energía
puede aplicarse para relacionar la energía
cinética inicial a la energía potencial
máxima. La distancia vertical máxima es
determinada de esta relación.
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Pruebe Problema 14.4LA SOLUCIÓN:
• Sin las fuerzas horizontales externas, sigue del principio del
impulso-velocidad adquirida que el componente horizontal de
velocidad adquirida se conserva. Esta relación puede
resolverse para la velocidad de B a su elevación máxima.
21
2
1
LdtFL
t
t
(la velocidad de pariente de
B a A es el cero a
posición 2)
2,2,2,2,
01,1, 0
AABAB
BA
vvvv
vvv
Las velocidades a las posiciones 1 y 2 son
2,0 ABAB vmmvm
02,2, vmm
mvv
BA
BBA
la x componente ecuación:
2,2,1,1, BBAABBAA vmvmvmvm x
y
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Pruebe Problema 14.4
• La conservación de principio de energía puede aplicarse para
relacionar la energía cinética inicial a la energía potencial
máxima. 2211 VTVT
Posición 1 - la Energía Potencial:
La Energía cinética:
Posición 2 - la Energía Potencial:
La Energía cinética:
glmV A1
202
11 vmT B
ghmglmV BA 2
22,2
12 ABA vmmT
ghmglmvmmglmvm BAABAAB 22,2
1202
1
g
v
mm
mh
BA
A
2
20
2
0
20
22,
20
2222
v
mm
m
mg
mm
g
v
g
v
m
mm
g
vh
BA
B
B
BAA
B
BA
g
v
mm
m
g
vh
BA
B
22
20
20
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Pruebe Problema 14.5
Oville A tiene la velocidad inicial v0 = 10
ft/s paralelos al eje de la tabla. Este golpea
la bola B y entonces la bola C el cual ambos
se restan. Las bolas A y C golpea los lados
de la mesa en ángulos rectos en A’ y C’ y la
bola B golpea oblicuamente en B’.
Las colisiones absolutamente elásticas
asumiendo, determine las velocidades vA, vB,
y vC con el cual las bolas golpean los lados
de la tabla.
SOLUCIÓN:
• Hay cuatro desconocidos: vA, vB,x, vB,y, y vC.
• Escriba las ecuaciones de conservación por
lo que se refiere a las velocidades
desconocidas y resuelva simultáneamente.
• La solución requiere cuatro ecuaciones: los
principios de conservación para la
velocidad adquirida lineal (dos ecuaciones
del componente), la velocidad adquirida
angular, y energía.
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Pruebe Problema 14.5
x
y
ivv
jvivv
jvv
CC
yBxBB
AA
,,
SOLUCIÓN:
• Hay cuatro desconocidos: vA, vB,x,
vB,y, y vC.
• La conservación de velocidad adquirida y ecuaciones de
energía,
yBACxB mvmvmvmvmv
LdtFL
,,0
21
0
2
212
,2
,212
212
021
2211
CyBxBA mvvvmmvmv
VTVT
CyBA
OOO
mvmvmvmv
HdtMH
ft3ft7ft8ft2 ,0
2,1,
Resolviendo las primeras tres ecuaciones por lo que se refiere a
vC,CxBCyBA vvvvv 10203 ,,
Sustituyendo en la ecuación de energía,
080026020
100102032
2
222
CC
CCC
vv
vvv
sft47.4sft42
sft8sft4
BB
CA
vjiv
vv
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14 - 191
Los Sistemas inconstantes de Partículas
• Se derivaron principios de las cinética establecidos hasta
ahora para los sistemas constantes de partículas, es decir,
sistemas que ni no ganan ni pierden las partículas.
• Un número grande de diseñar las aplicaciones requiere la
consideración de sistemas inconstantes de partículas, por
ejemplo, turbina hidráulica, el artefacto del cohete, etc.,
• Para los análisis, considere sistemas auxiliares que consisten
instantáneamente en las partículas dentro del sistema más las
partículas que entran o dejan el sistema durante un intervalo
de tiempo corto. Los sistemas auxiliares, así definió, es
sistemas constantes de partículas.
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14 - 192
Arroyo firme de Partículas
• El sistema consiste en un arroyo firme de partículas
contra una veleta o a través de un conducto.
BiiAii
t
t
vmvmtFvmvm
LdtFL
21
2
1
• El sistema auxiliar ha terminado un sistema
constante de partículas t.
• Defina sistema auxiliar que incluye partículas en
que fluyen y fuera encima de t.
AB vvdt
dmF
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14 - 193
Arroyo firme de Partículas. Las aplicaciones
• Fluido que Fluye A través de
una Cañería
• El Artefacto del motor de
reacción
• El ventilador
• Arroyo fluido Desviado por
Veleta o Conducto
• Helicóptero
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14 - 194
Arroyos Ganando o Perdiendo la Masa• Defina el sistema auxiliar para incluir partículas
de masa m dentro del sistema en momento t más
las partículas de masa m qué entra en el sistema
con el tiempo el intervalo t.
21
2
1
LdtFL
t
t
• El sistema auxiliar es un sistema constante de
partículas.
udt
dmFam
udt
dm
dt
vdmF
vmvvmvmtF
vvmmtFvmvm
a
a
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14 - 195
Pruebe el Problema 14.6
El grano se cae a razón de hacia una
cascada 240 lb/s. pega la cascada con
una velocidad de 20 ft/s y hojas con
una velocidad de 15 ft/s. El peso
combinado de la cascada y el grano que
lleva está 600 lb con el centro de
gravedad en G.
Determine las reacciones al C y B.
SOLUCIÓN:
• Defina un sistema que consiste en la
masa de grano en la cascada más la
masa que se agrega y quitó durante el
intervalo de tiempo t.
• Aplique los principios de conservación
de velocidad adquirida lineal y angular
para tres ecuaciones para las tres
reacciones desconocidas.
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14 - 196
Pruebe el Problema 14.6
SOLUCIÓN:
• Defina un sistema que consiste en
la masa de grano en la cascada
más la masa que se agrega y quitó
durante el intervalo de tiempo t.
• Aplique los principios de
conservación de velocidad adquirida
lineal y angular para tres ecuaciones
para las tres reacciones
desconocidas.
10sin
10cos
21
ByA
Bx
vmtBWCvm
vmtC
LdtFL
10sin1210cos6
1273
2,1,
BB
A
CCC
vmvm
tBWvm
HdtMH
Solve for Cx, Cy, and B with
sslug45.7sft32.2
slb2402
t
m
lb 3071.110 lb 423 jiCB
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CAPITULO #15
• CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
11 - 197
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15 - 198
ContenidosLa introducción
La traducción
La rotación Sobre un Eje Fijo: La velocidad
La rotación Sobre un Eje Fijo: La
aceleración
La rotación Sobre un Eje Fijo: La Tabla
representativa
Ecuaciones que Definen la Rotación de un
Cuerpo Rígido Sobre un Eje Fijo
Pruebe Problema 5.1
El Movimiento del Avión general
La Velocidad absoluta y Relativa en el
Movimiento del Avión
Pruebe Problema 15.2
Pruebe Problema 15.3
El Centro instantáneo de Rotación en el
Movimiento del Avión
Pruebe Problema 15.4
Pruebe Problema 15.5
La Aceleración absoluta y Relativa en el
Movimiento del Avión
El análisis de Movimiento Plano por lo que se
refiere a un Parámetro
Pruebe Problema 15.6
Pruebe Problema 15.7
Pruebe Problema 15.8
La proporción de Cambio con respecto a un
Marco Girando
La Aceleración de Coriolis
Pruebe Problema 15.9
Pruebe Problema 15.10
Haga señas Sobre un Punto Fijo
El Movimiento general
Pruebe Problema 15.11
Tres Movimiento Dimensional. La Aceleración
de Coriolis
El marco de Referencia en general el
Movimiento
Pruebe Problema 15.15
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12 - 199
Introducción
A1
A2
B1
B2
A1
A2
B1
B2
a) b)
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12 - 200
• TRASLACIÓN.- Se afirma que un movimiento será de traslación
si toda línea recta dentro del cuerpo mantiene la misma dirección
durante el movimiento. También puede observarse que en la
traslación todas las partículas que constituyen el cuerpo se mueven
a lo lardo de trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son líneas
rectas, se afirma que el movimiento es una traslación rectilínea
figura a): si las trayectorias sin líneas curvas el movimiento es una
traslación curvilínea figura b).
• ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO.- En este
movimiento, las partículas que forman el cuerpo rígido se mueven
en planos paralelos a lo largo de círculos centrales sobre el mismo
eje fijo como se muestra en la figura c): si este eje, llamado eje de
rotación, intercepta al cuerpo rígido, las partículas localizadas
sobre el eje tienen velocidad cero y aceleración cero. La rotación
no debe confundirse con ciertos tipos de traslación curvilíneas.
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12 - 201
• Por ejemplo la placa que se en la figura d): es una traslación
curvilínea, con todas sus partículas moviéndose a lo largo de
círculos paralelos, mientras que la placa que se muestra en la figura
e) esta en rotación, con todas sus partículas moviéndose a lo largo
de círculos concéntricos.
• En el primer caso, cualquier línea recta dada dibujada sobre la
placa mantendrá la misma dirección, e tanto que en el segundo
caso, el punto o permanece fijo.
• MOVIMIENTO PLANO GENERAL.- Hay muchos otros tipos de
movimiento plano, esto es movimiento en los cuales todas las
partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos, cualquier
movimiento plano que no s ni una rotación ni una traslación se
conoce como un movimiento plano general. En la figura f) se dan
dos ejemplos de movimiento plano general.
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12 - 202
Introducción
B
A
c) d)
B
A
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15 - 203
La Aceleración de Coriolis • El marco OXY es fijo y marco que Oxy gira con la velocidad
angular .
• La posición del vector para la partícula P es el mismo en
ambos marcos pero la proporción de cambio depende de la
opción de marco.
Pr
• La velocidad absoluta de la partícula que P es
OxyOXYP rrrv
• Imagine una tabla rígida atada al marco girando Oxy o F para
el corto. Permita a P ' ser un punto en la tabla que
corresponde para posicionar de partícula P. instantáneamente
OxyP rv F
la velocidad de P a lo largo de su camino
en la tabla'Pv
la velocidad absoluta de punto P ' en la tabla
• La velocidad absoluta para la partícula P puede escribirse
comoFPPP vvv
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15 - 204
La Aceleración de Coriolis
FPP
OxyP
vv
rrv
• La aceleración absoluta para la partícula P es
OxyOXYP rdt
drra
OxyOxyP rrrra
2
OxyOxyOxy
OxyOXY
rrrdt
d
rrr
but,
OxyP
P
ra
rra
F
• Utilizando el punto conceptual P ' en la tabla,
• La aceleración absoluta para la partícula P se vuelve
22
2
F
F
F
POxyc
cPP
OxyPPP
vra
aaa
raaa
La aceleración de
Coriolis
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15 - 205
La Aceleración de Coriolis • Considere un cuello P que se hace resbalar a la velocidad del
pariente constante u a lo largo de la vara OB. La vara está
girando a una velocidad angular constante w. El punto A en la
vara corresponde a la posición instantánea de P.
cPAP aaaa
F
• La aceleración absoluta del cuello es
0 OxyP ra F
uava cPc w22 F
• La aceleración absoluta consiste en los vectores radiales y
tangenciales mostrados
2wrarra AA
donde
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15 - 206
La Aceleración de Coriolis
uvvtt
uvvt
A
A
,at
,at
• Cambie en la velocidad encima de t se
representa por la suma de tres vectores
TTTTRRv
2wrarra AA renombra,
• es debido al cambio en la dirección de la
velocidad de punto A en la vara,
AAtt
arrt
vt
TT
2
00limlim www
TT
• sea el resultado de los efectos
combinados de movimiento relativo de P y rotación de
la vara
TTRR and
uuu
t
r
tu
t
TT
t
RR
tt
www
w
2
limlim00
uava cPc w22 F
renombra,
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15 - 207
Pruebe el Problema 15.9
Disco que D del mecanismo de Ginebra gira
en sentido contrario a las agujas del reloj con
la constante la velocidad angular wD = 10
rad/s.
Al momento cuando = 150o, determine (A)
la velocidad angular de disco S, y (b) la
velocidad de alfiler el pariente de P al disco
S.
SOLUCIÓN:
• La velocidad absoluta del punto como que
P puede escribirse
sPPP vvv
• La magnitud y dirección de velocidad de
alfiler P son calculados del radio y la
velocidad angular de disco D.
Pv
• La dirección de velocidad de punto P '
en S que coincide con P es perpendicular al
radio OP.
Pv
• La dirección de velocidad de P con
respecto a S es paralelo a la hendedura.sPv
• Resuelva el triángulo del vector para la
velocidad angular de S y velocidad del
pariente de P.
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15 - 208
Pruebe el Problema 15.9
SOLUCIÓN:
• La velocidad absoluta del punto como que P puede
escribirsesPPP vvv
• La magnitud y dirección de velocidad absoluta de alfiler P
son calculados del radio y la velocidad angular de disco D.
smm500srad 10mm 50 DP Rv w
• La dirección de velocidad de P con respecto a S es paralela a
la hendedura.De la ley de cosenos,
mm 1.37551.030cos2 2222 rRRllRr
De la ley de cosenos,
4.42742.0
30sinsin
30sin
R
sin
r
6.17304.4290
El ángulo interior del triángulo del vector es
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15 - 209
Pruebe el Problema 15.9
• La dirección de velocidad de punto P ' en S que coincide con
P es perpendicular al radio OP. Del triángulo de velocidad,
mm 1.37
smm2.151
smm2.1516.17sinsmm500sin
ss
PP
r
vv
ww
ks
srad08.4w
6.17cossm500cosPsP vv
jiv sP
4.42sin4.42cossm477
smm 500Pv
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15 - 210
Pruebe el Problema 15.10
En el mecanismo de Ginebra, disco
D gira en sentido contrario a las
agujas del reloj con una constante la
velocidad angular de 10 rad/s. Al
momento cuando j = 150o,
determine aceleración angular de
disco S.
SOLUCIÓN:
• La aceleración absoluta del alfiler como
que P puede expresarse
csPPP aaaa
• La velocidad angular instantánea de Disco
S es determinado como en el Problema de
la Muestra 15.9.
• El único desconocido involucrado en la
ecuación de aceleración es la aceleración
angular instantánea de Disco S.
• Resuélvase cada término de aceleración en
el componente paralelo a la hendedura.
Resuelva para la aceleración angular de
Disco S.
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15 - 211
Pruebe el Problema 15.10SOLUCIÓN:
• La aceleración absoluta del alfiler como que P puede
expresarse csPPP aaaa
• De la Muestra Problema 15.9.
jiv
k
sP
S
4.42sin4.42cossmm477
srad08.44.42 w
• Considerando cada término en la ecuación de
aceleración,
jia
Ra
P
DP
30sin30cossmm5000
smm5000srad10mm500
2
222w
jia
jira
jira
aaa
StP
StP
SnP
tPnPP
4.42cos4.42sinmm1.37
4.42cos4.42sin
4.42sin4.42cos2
w
nota: S puede ser positivo o negativo
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15 - 212
• La aceleración relativa debe ser paralela a la
hendedura.sPa
Pruebe el Problema 15.10
sPv
• La dirección de la aceleración de Coriolis se
obtiene girando la dirección de la velocidad
relativa
por 90o en el sentido de wS.
ji
ji
jiva sPSc
4.42cos4.42sinsmm3890
4.42cos4.42sinsmm477srad08.42
4.42cos4.42sin2
2
w
• Los componentes igualando del perpendicular de
condiciones de aceleración a la hendedura,
srad233
07.17cos500038901.37
S
S
kS
srad233
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15 - 213
Haga señas Sobre un Punto Fijo• El desplazamiento más general de un cuerpo rígido con un
punto fijo O es equivalente a una rotación del cuerpo sobre
un eje a través de O.
• Con el eje instantáneo de rotación y la velocidad angular la
velocidad de una partícula que P del cuerpo es,w
rdt
rdv
w
y la aceleración de la partícula que P es
.dt
drra
www
• Las velocidades angulares tienen magnitud y dirección y
obedecen ley del paralelogramo de suma. Ellos son los vectores.
• Como el vector los movimientos dentro del cuerpo y en el
espacio, genera un cono del cuerpo y cono del espacio que
son tangente a lo largo del eje instantáneo de rotación.
w
• La aceleración angular representa la velocidad de la
punta de .w
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15 - 214
El Movimiento general• Para las partículas A y B de un cuerpo rígido,
ABAB vvv
• La partícula A es fijo dentro del cuerpo y movimiento
del pariente del cuerpo a AX'Y'Z ' es el movimiento de
un cuerpo con un punto fijo
ABAB rvv
w
• Semejantemente, la aceleración de la partícula que P
es
ABABA
ABAB
rra
aaa
ww
• Más movimiento general de un cuerpo rígido es equivalente a:
• una traducción en que todas las partículas tienen la misma
velocidad y aceleración de una partícula de la referencia A, y
• de un movimiento en que la partícula A es supuesto fijo.
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15 - 215
Pruebe el Problema 15.11
La grúa gira con una velocidad angular
constante w1 = 0.30 rad/s y el estampido
está levantándose con una velocidad
angular constante w2 = 0.50 rad/s. La
longitud del estampido es l = 12 m.
Determine:
• la velocidad angular del estampido,
• la aceleración angular del estampido,
• la velocidad de la punta del estampido,
y
• la aceleración de la punta del estampido.
• La aceleración angular del estampido,
21
22221
ww
wwwww
Oxyz
• La velocidad de punta del estampido,
rv
w
• La aceleración de punta del
estampido, vrrra
www
SOLUCIÓN:
Con
• La velocidad angular del estampido,
21 www
ji
jir
kj
639.10
30sin30cos12
50.030.0 21
ww
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15 - 216
Pruebe el Problema 15.11
jir
kj
639.10
50.030.0 21
ww
SOLUCIÓN:
• La velocidad angular del estampido,
21 www
kj
srad50.0srad30.0 w
• La aceleración angular del estampido,
kj
Oxyz
srad50.0srad30.021
22221
ww
wwwww
i 2srad15.0
• La velocidad de punta del estampido,
0639.10
5.03.00
kji
rv
w
kjiv
sm12.3sm20.5sm54.3
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15 - 217
Pruebe el Problema 15.11
jir
kj
639.10
50.030.0 21
ww
• La aceleración de punta del estampido,
kjiik
kjikji
a
vrrra
90.050.160.294.090.0
12.320.53
50.030.00
0639.10
0015.0
www
kjia 222 sm80.1sm50.1sm54.3
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El Movimiento tridimensional. La Aceleración de Coriolis
• Con respecto al marco fijo OXYZ y el marco
girando Oxyz,
QQQ OxyzOXYZ
• Considere movimiento de partícula el pariente de P a un marco girando Oxyz o F para cortos. La velocidad
absoluta puede expresarse como
FPP
OxyzP
vv
rrv
• La aceleración absoluta puede expresarse como
onaccelerati Coriolis 22
2
F
F
POxyzc
cPp
OxyzOxyzP
vra
aaa
rrrra
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El marco de Referencia en general el Movimiento
• Considere:
• el marco arreglado OXYZ,
• el marco traduciendo AX'Y'Z ', y
• traduciendo y girando el marco Axyz o
F.
• Con respecto a OXYZ y AX'Y'Z ',
APAP
APAP
APAP
aaa
vvv
rrr
• The pueden encontrarse la velocidad y aceleración
de pariente de P a AX'Y'Z ' por lo que se refiere a
la velocidad y aceleración de pariente de P a Axyz.
FPP
AxyzAPAPAP
vv
rrvv
cPP
AxyzAPAxyzAP
APAPAP
aaa
rr
rraa
F
2
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Pruebe el Problema 15.15
Para el disco montado en el brazo,
las proporciones de la rotación
angulares indicadas son constantes.
Determine:
• la velocidad del punto P,
• la aceleración de P, y
• la velocidad angular y la
aceleración angular del disco.
SOLUCIÓN:
• Defina un marco de la referencia fijo
OXYZ a O y un marco de la referencia mudanza Axyz o F atado al brazo a A.
• Con P ' de la referencia mudanza idee
coincidiendo con P, la velocidad del punto
de que P se encuentra,
FPPP vvv
• La aceleración de P se encuentra de
cPPP aaaa
F
• La velocidad angular y la aceleración
angular del disco son
ww
ww
F
FD
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Pruebe el Problema 15.15SOLUCIÓN:
• Defina un marco de la referencia fijo OXYZ a
O y un marco de la referencia mudanza Axyz o F atado al brazo a A.
j
jRiLr
1w
k
jRr
D
AP
2ww
F
• Con P ' de la referencia mudanza idee
coincidiendo con P, la velocidad del punto de
que P se encuentra,
iRjRkrv
kLjRiLjrv
vvv
APDP
P
PPP
22
11
www
ww
FF
F
kLiRvP
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Pruebe el Problema 15.15• La aceleración de P se encuentra de
cPPP aaaa
F
iLkLjraP
2111 www
jRiRk
ra APDDP
2222 www
ww
FFF
kRiRj
va Pc
2121 22
2
wwww
F
kRjRiLaP
21
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21 2 wwww
• La velocidad angular y aceleración del disco,
FDww
kj
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CAPITULO #16
•MOVIMIENTO PLANO DE
CUERPOS RÍGIDOS: FUERZAS
Y ACELERACIONES
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Contenidos
Introducción
Las ecuaciones de Movimiento de un
Cuerpo Rígido
La Velocidad adquirida angular de un
Cuerpo Rígido en el Movimiento del
Avión
El Movimiento plano de un Cuerpo
Rígido: el Principio de d'Alembert
Los axiomas de las Mecánicas de
Cuerpos Rígidos
Problemas que Involucran el
Movimiento de un Cuerpo Rígido
Pruebe Problema 16.1
Pruebe Problema 16.2
Pruebe Problema 16.3
Pruebe Problema 16.4
Pruebe Problema 16.5
El Movimiento Plano reprimido
El Movimiento Plano reprimido:
La Rotación de Noncentroidal
El Movimiento Plano reprimido:
El Movimiento rodante
Pruebe Problema 16.6
Pruebe Problema 16.8
Pruebe Problema 16.9
Pruebe Problema 16.10
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Introducción• En este capítulo y en los Capítulos 17 y 18, nosotros tendremos
relación con las cinética de cuerpos rígidos, es decir, relaciones entre
las fuerzas que actúan en un cuerpo rígido, la forma y masa del
cuerpo, y el movimiento produjo.
• Nuestro acercamiento será considerar los cuerpos rígidos como
hecho de números grandes de partículas y usar los resultados de
Capítulo 14 para el movimiento de sistemas de partículas.
Específicamente,
GG HMamF and
• Los resultados de este capítulo se restringirán a:
• el movimiento plano de cuerpos rígidos, y
• cuerpos rígidos que consisten en tablas planas o cuerpos
que son simétrico con respecto al avión de la referencia.
• El principio de D'Alembert se aplica para demostrar que las
fuerzas externas que actúan en un cuerpo rígido son equivalentes
un vector atado al centro de masa y un par de momentoam
.I
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Las ecuaciones de Movimiento para un Cuerpo Rígido• Considere que un cuerpo rígido actuó
en por varias fuerzas externas.
• Asuma que el cuerpo es hecho de un
número grande de partículas.
• Para el movimiento del centro de
masa G del cuerpo con respecto al
marco de Newtonian Oxyz,
amF
• Para el movimiento del cuerpo con
respecto al marco del centroidal
Gx'y'z ',
GG HM
• El sistema de fuerzas externas es el
equipollent al sistema que consiste de
. and GHam
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La Velocidad adquirida angular de un Cuerpo Rígido en el Movimiento del Avión
• Considere una tabla
rígida en el movimiento
del avión.
• La velocidad adquirida angular de la tabla
puede computarse por
w
w
w
I
mr
mrr
mvrH
ii
n
iiii
n
iiiiG
Δ
Δ
Δ
2
1
1
• Después de la diferenciación,
w IIHG
• Los resultados también son válidos para el
movimiento del avión de cuerpos que son
simétrico con respecto al avión de la referencia.
• Los resultados no son válidos para cuerpos
asimétricos o el movimiento tridimensional.
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El Movimiento plano de un Cuerpo Rígido: El Principio de D'Alembert
IMamFamF Gyyxx
• El movimiento de un cuerpo rígido en el movimiento
plano es completamente definido por el resultante y
resultante del momento sobre G de las fuerzas
externas.
• Las fuerzas externas y las fuerzas eficaces colectivas de
las partículas de la tabla son los equipollent (reduzca al
mismo resultante y resultante del momento) y
equivalente (tiene el mismo efecto en el cuerpo).
• El movimiento más general de un cuerpo rígido que es
simétrico con respecto al avión de la referencia puede
reemplazarse por la suma de una traducción y una
rotación del centroidal.
• el Principio de d'Alembert: Las fuerzas externas que
actúan en un cuerpo rígido son equivalentes a las
fuerzas eficaces de las varias partículas que forman el
cuerpo.
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16 - 229
Los axiomas de las Mecánicas de Cuerpos Rígidos
• Las fuerzas actúe a los puntos
diferentes en un cuerpo rígido pero tiene la
misma magnitud, dirección, y línea de acción.
FFy
• Las fuerzas producen el mismo momento
sobre cualquier punto y son por consiguiente,
equipollent las fuerzas externas.
• Esto demuestra el principio de transmisibilidad
considerando que se declaró previamente como
un axioma.
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16 - 230
Problemas que Involucran el Movimiento de un Cuerpo Rígido
• La relación fundamental entre las fuerzas que
actúan en un cuerpo rígido en el movimiento del
avión y la aceleración de su centro de masa y la
aceleración angular del cuerpo se ilustra en una
ecuación del libre-cuerpo-diagrama.
• Pueden aplicarse las técnicas por resolver
problemas de equilibrio estático para resolver
problemas de movimiento plano utilizando
• el principio de d'Alembert, o
• el principio de equilibrio dinámico
• Estas técnicas también pueden aplicarse a
problemas que involucran movimiento plano de
cuerpos rígidos conectados dibujando una
ecuación del libre-cuerpo-diagrama para cada
cuerpo y resolviendo las ecuaciones
correspondientes de movimiento
simultáneamente.
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Pruebe el Problema 16.1
En una velocidad delantera de 30 ft/s, los
frenos del camión estaban aplicados,
mientras causando las ruedas para dejar
de girar. Fue observado que el camión a
derrapó a una parada en 20 pies
Determine la magnitud de la reacción
normal y la fricción fuerce a cada rueda
como el camión derrapado a una parada.
SOLUCIÓN:
• Calcule la aceleración durante la parada
derrapando asumiendo la aceleración
uniforme.
• Aplique las tres ecuaciones del escalar
correspondientes para resolver para la
rueda normal desconocida fuerza al
frente y trasero y el coeficiente de
fricción entre las ruedas y superficie del
camino.
• Dibuje la ecuación del libre-cuerpo-
diagrama que expresa la equivalencia de
las fuerzas externas y eficaces.
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Pruebe el Problema 16.1
ft20s
ft300 xv
SOLUCIÓN:
• Calcule la aceleración durante la parada derrapando
asumiendo la aceleración uniforme.
ft202s
ft300
2
2
020
2
a
xxavv
s
ft5.22a
• Dibuje una ecuación del libre-cuerpo-diagrama que
expresa la equivalencia de las fuerzas externas y eficaces.
• Aplique las ecuaciones del escalar correspondientes.
0 WNN BA
effyy FF
699.02.32
5.22
g
a
agWW
NN
amFF
k
k
BAk
BA
effxx FF
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Pruebe el Problema 16.1
WNWN BA 350.0
WNN Arear 350.021
21 WNrear 175.0
WNN Vfront 650.021
21 WN front 325.0
WNF rearkrear 175.0690.0 WFrear 122.0
WNF frontkfront 325.0690.0
WFfront 227.0.0
• Aplique las ecuaciones del escalar correspondientes.
WN
g
aWa
g
WWN
amNW
B
B
B
650.0
4512
4512
1
ft4ft12ft5
effAA MM
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Pruebe el Problema 16.2
El plato delgado de masa 8 kg se
sostiene en el lugar como mostrado.
Descuidando la masa de los eslabones,
determine inmediatamente después del
alambre ha estado cortado (un) la
aceleración del plato, y (b) la fuerza en
cada eslabón.
SOLUCIÓN:
• Note que después de que el alambre está
cortado, todas las partículas del movimiento
del plato a lo largo de los caminos redondos
paralelos de radio 150 mm. que El plato está
en la traducción curvilínea.
• Dibuje la ecuación del libre-cuerpo-diagrama
que expresa la equivalencia de las fuerzas
externas y eficaces.
• Resuélvase en las ecuaciones de componente
de scalar parangone y perpendicular al
camino del centro de masa.
• Resuelva las ecuaciones del componente y la
ecuación del momento para la aceleración
desconocida y fuerzas del eslabón.
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Pruebe el Problema 16.2SOLUCIÓN:
• Note que después de que el alambre está cortado, todas
las partículas del movimiento del plato a lo largo de los
caminos redondos paralelos de radio 150 mm. que El
plato está en la traducción curvilínea.
• Dibuje la ecuación del libre-cuerpo-diagrama que
expresa la equivalencia de las fuerzas externas y
eficaces.
• Resuélvase la ecuación del diagrama en los
componentes parangone y perpendicular al camino del
centro de masa.
efftt FF
30cos
30cos
mg
amW
30cosm/s81.9 2a
2sm50.8a 60o
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Pruebe el Problema 16.2
2sm50.8a 60o
• Resuelva las ecuaciones del componente y la
ecuación del momento para la aceleración
desconocida y fuerzas del eslabón.
effGG MM
0mm10030cosmm25030sin
mm10030cosmm25030sin
DFDF
AEAE
FF
FF
AEDF
DFAE
FF
FF
1815.0
06.2114.38
effnn FF
2sm81.9kg8619.0
030sin1815.0
030sin
AE
AEAE
DFAE
F
WFF
WFF
TFAE N9.47
N9.471815.0DFF CFDF N70.8
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Pruebe el Problema 16.3
Una polea pesando 12 lb y teniendo un radio de
giro de 8 en. se conecta a dos bloques como
mostrado.
No asumiendo la fricción del eje, determine la
aceleración angular de la polea y la aceleración
de cada bloque.
SOLUCIÓN:
• Determine la dirección de rotación
evaluando el momento neto en la polea
debido a los dos bloques.
• Relacione la aceleración de los bloques a la
aceleración angular de la polea.
• Dibuje la ecuación del libre-cuerpo-
diagrama que expresa la equivalencia de las
fuerzas externas y eficaces en la polea
completa más el sistema de los bloques.
• Resuelva la ecuación del momento
correspondiente para la polea la aceleración
angular.
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16 - 238
Pruebe el Problema 16.3
• Relacione la aceleración de los bloques a la
aceleración angular de la polea.
ft1210
AA ra
ft126
BB ra
2
2
2
22
sftlb1656.0
ft12
8
sft32.2
lb12
kg
WkmInote:
SOLUCIÓN:
• Determine la dirección de rotación evaluando el
momento neto en la polea debido a los dos bloques.
lbin10in10lb5in6lb10 GM
la rotación es en sentido contrario a las agujas del reloj.
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16 - 239
Pruebe el Problema 16.3• Dibuje la ecuación del libre-cuerpo-diagrama que
expresa la equivalencia de las fuerzas externas y eficaces
en la polea completa y sistema de los bloques.
2
126
2
1210
2
sft
sft
sftlb1656.0
B
A
a
a
I
effGG MM
1210
1210
2.325
126
126
2.3210
1210
126
1210
126
1210
126
1656.0510
ftftftlb5ftlb10
AABB amamI
• Resuelva la ecuación del momento correspondiente para
la polea la aceleración angular.
2srad374.2
2
126 srad2.374ft
BB ra2sft187.1Ba
2
1210 srad2.374ft
AA ra
2sft978.1Aa
Entonces,
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Pruebe el Problema 16.4
Un cordón se envuelve alrededor de
un disco homogéneo de masa 15 kg.
El cordón se tira más de con una
fuerza T = 180 N.
Determine: (a) la aceleración del
centro del disco, (b) la aceleración
angular del disco, y (c) la aceleración
del cordón.
SOLUCIÓN:
• Dibuje la ecuación del libre-cuerpo-
diagrama que expresa la equivalencia de
las fuerzas externas y eficaces en el disco.
• Resuelva las tres ecuaciones de equilibrio
de escalar correspondientes para las
aceleraciones horizontales, verticales, y
angulares del disco.
• Determine la aceleración del cordón
evaluando la aceleración tangencial del
punto A en el disco.
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16 - 241
Pruebe el Problema 16.4SOLUCIÓN:
• Dibuje la ecuación del libre-cuerpo-diagrama que
expresa la equivalencia de las fuerzas externas y
eficaces en el disco.
effyy FF
kg15
sm81.9kg15-N180 2
m
WTa
amWT
y
y
2sm19.2ya
effGG MM
m5.0kg15
N18022
2
21
mr
T
mrITr
2srad0.48
effxx FF
xam0 0xa
• Resuelva las tres ecuaciones de equilibrio del escalar.
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16 - 242
Pruebe el Problema 16.4
2sm19.2ya
2srad0.48
0xa
• Determine la aceleración del cordón evaluando la
aceleración tangencial del punto A en el disco.
22 srad48m5.0sm19.2
tGAtAcord aaaa
2sm2.26corda
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16 - 243
Pruebe el Problema 16.5
Una esfera uniforme de masa m y radio que
r se proyecta a lo largo de una superficie
horizontal áspera con una velocidad lineal
v0. El coeficiente de fricción cinética entre
la esfera y la superficie es k.
Determine: (a) el t1 de tiempo a que la
esfera empezará rodando sin resbalar, y (b)
las velocidades lineales y angulares de la
esfera al t1 de tiempo.
SOLUCIÓN:
• Dibuje la ecuación del libre-cuerpo-
diagrama que expresa la equivalencia de las
fuerzas externas y eficaces en la esfera
• Resuelva las tres ecuaciones de equilibrio de
escalar correspondientes para la reacción
normal de la superficie y las aceleraciones
lineales y angulares de la esfera.
• Aplique las relaciones de la cinemática para
el movimiento uniformemente acelerado
determinar el tiempo en que la velocidad
tangencial de la esfera a la superficie está el
cero, es decir, cuando la esfera deja de
resbalar.
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16 - 244
Pruebe el Problema 16.5SOLUCIÓN:
• Dibuje la ecuación del libre-cuerpo-diagrama que
expresa la equivalencia de fuerzas externas y eficaces
en la esfera.
• Resuelva las tres ecuaciones de equilibrio de escalar.
effyy FF
0WN mgWN
effxx FF
mg
amF
k ga k
2
32 mrrmg
IFr
k
r
gk
2
5
effGG MM
NOTA: Con tal de que la esfera gire y resbala, sus
movimientos lineales y angulares se aceleran
uniformemente.
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16 - 245
Pruebe el Problema 16.5
ga k
r
gk
2
5
• Aplique las relaciones de la cinemática para el movimiento
uniformemente acelerado determinar el tiempo en que la
velocidad tangencial de la esfera a la superficie está el cero,
es decir, cuando la esfera deja de resbalar.
tgvtavv k 00
tr
gt k
ww
2
500
1102
5t
r
grgtv k
k
g
vt
k0
17
2
g
v
r
gt
r
g
k
kk
w 0
117
2
2
5
2
5
r
v01
7
5w
r
vrrv 0
117
5w 07
51 vv
En el instante t1 cuando la esfera deja de resbalar,
11 wrv
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El Movimiento Plano reprimido• Más aplicaciones de la ingeniería involucran
cuerpos rígidos que están moviendo bajo los
constreñimientos dados, el ej., los cigüeñales, las
bielas, y no resbalan las ruedas.
• El movimiento plano reprimido: los movimientos
con las relaciones definidas entre los componentes
de aceleración del centro de masa y la aceleración
angular del cuerpo.
• La solución de un problema que involucra el
movimiento plano encogido empieza con un
análisis de la cinemática
• e.g., dado , w, y , encuentre P, NA, y NB.
- los rendimientos de análisis de cinemática
- la aplicación de los rendimientos del principio de
d'Alembert P, NA, y NB.
. and yx aa
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El Movimiento reprimido: La Rotación de No centroidal
• La rotación de No centroidal: el movimiento de
un cuerpo se reprime para girar sobre un eje fijo
que no atraviesa su centro de masa.
• La relación de la cinemática entre el movimiento
del centro de masa G y el movimiento del cuerpo
sobre G, 2w rara nt
• Las relaciones de la cinemática se usan para
eliminar de ecuaciones derivadas del
principio de d'Alembert o del método de
equilibrio dinámico.
nt aa and
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El Movimiento Plano reprimido: El Movimiento rodante
• Para un disco equilibrado rodar sin
resbalar reprimieron,
rarx
• Rodando, ningún corredizo:
NF s ra
Rodando, resbalando amenazando:
NF s ra
Girando y resbalando :
NF k ra , independent
• Para el centro geométrico de un
disco desequilibrado,
raO
La aceleración del centro de masa,
nOGtOGO
OGOG
aaa
aaa
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Pruebe el Problema 16.6
La porción AOB del mecanismo se actúa
por el vestido D y al momento mostrado
tiene un en el sentido de las agujas del reloj
la velocidad angular de 8 rad/s y un en
sentido contrario a las agujas del reloj la
aceleración angular de 40 rad/s2.
Determine: a) fuerza tangencial ejercida por
el vestido D, y b) los componentes de la
reacción al árbol O.
kg 3
mm 85
kg 4
OB
E
E
m
k
m
SOLUCIÓN:
• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para AOB,
mientras expresando la equivalencia de las
fuerzas externas y eficaces.
• Evalúe las fuerzas externas debido a los
pesos de vestido E y brazo que OB y las
fuerzas eficaces asociaron con la velocidad
angular y aceleración.
• Resuelva las tres ecuaciones del escalar
derivadas de la libre-cuerpo-ecuación para
la fuerza tangencial a A y los componentes
horizontales y verticales de reacción al
árbol O.
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Pruebe el Problema 16.6
rad/s 8w
2srad40
kg 3
mm 85
kg 4
OB
E
E
m
k
m
SOLUCIÓN:
• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para AOB.
• Evalúe las fuerzas externas debido a los pesos de
vestido E y brazo OB y las fuerzas eficaces.
N4.29sm81.9kg3
N2.39sm81.9kg4
2
2
OB
E
W
W
mN156.1
srad40m085.0kg4 222
EEE kmI
N0.24
srad40m200.0kg3 2
rmam OBtOBOB
N4.38
srad8m200.0kg322
wrmam OBnOBOB
mN600.1
srad40m.4000kg3 22
1212
121
LmI OBOB
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Pruebe el Problema 16.6
N4.29
N2.39
OB
E
W
W
mN156.1 EI
N0.24tOBOB am
N4.38nOBOB am
mN600.1 OBI
• Resuelva las tres ecuaciones del escalar derivadas de la libre-
cuerpo-ecuación para la fuerza tangencial a A y los
componentes horizontales y verticales de reacción a O.
effOO MM
mN600.1m200.0N0.24mN156.1
m200.0m120.0
OBtOBOBE IamIF
N0.63F
effxx FF
N0.24tOBOBx amR
N0.24xR
effyy FF
N4.38N4.29N2.39N0.63
y
OBOBOBEy
R
amWWFR
N0.24yR
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Pruebe el Problema 16.8
Una esfera de peso que W se suelta sin la
velocidad inicial y rollos sin resbalarse en
la cuesta.
Determine: a) el valor mínimo del
coeficiente de fricción, b) la velocidad de
G después de que la esfera ha rodado 10
pies y c) la velocidad de G si la esfera
fuera mover 10 pies abajo una cuesta del
de menos fricción.
SOLUCIÓN:
• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para la esfera,
mientras expresando la equivalencia de las
fuerzas externas y eficaces.
• Con las aceleraciones lineales y angulares
relacionadas, resuelva las tres ecuaciones del
escalar derivadas de la libre-cuerpo-ecuación
para la aceleración angular y las reacciones
normales y tangenciales a C.
• Calcule la velocidad después de 10 pies de
movimiento uniformemente acelerado.
• No asumiendo la fricción, calcule la
aceleración lineal abajo la cuesta y la
velocidad correspondiente después de 10 pies
• Calcule el coeficiente de fricción requerido
para la reacción tangencial indicada a C.
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Pruebe el Problema 16.8SOLUCIÓN:
• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para la esfera, mientras
expresando la equivalencia de las fuerzas externas y eficaces.
ra
• Con las aceleraciones lineales y angulares relacionadas,
resuelva las tres ecuaciones del escalar derivadas de la libre-
cuerpo-ecuación para la aceleración angular y las reacciones
normales y tangenciales a C.
effCC MM
2
2
52
5
2
sin
rg
Wrr
g
W
mrrmr
IramrW
r
g
7
sin5
7
30sinsft2.325
7
30sin5
2
gra
2sft50.11a
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Pruebe el Problema 16.8• Resuelva las tres ecuaciones del escalar derivadas de la
libre-cuerpo-ecuación para la aceleración angular y las
reacciones normales y tangenciales a C.
r
g
7
sin5
2sft50.11 ra
effxx FF
WWF
g
g
W
amFW
143.030sin7
2
7
sin5
sin
effyy FF
WWN
WN
866.030cos
0cos
• Calcule el coeficiente de fricción requerido para la
reacción tangencial indicada a C.
W
W
N
F
NF
s
s
866.0
143.0
165.0s
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Pruebe el Problema 16.8
r
g
7
sin5
2sft50.11 ra
• Calcule la velocidad después de 10 pies de
movimiento uniformemente acelerado.
ft10sft50.1120
2
2
020
2
xxavv
sft17.15v
effGG MM 00 I
• No asumiendo la fricción, calcule la aceleración lineal
y la velocidad correspondiente después de 10 pies
effxx FF
22 sft1.1630sinsft2.32
sin
a
ag
WamW
ft10sft1.1620
2
2
020
2
xxavv
sft94.17v
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Pruebe el Problema 16.9
Un cordón se envuelve alrededor del cubo
interno de una rueda y tiró
horizontalmente con una fuerza de 200 N.
La rueda tiene una masa de 50 kg y un
radio de giro de 70 mm. ms Inteligente =
0.20 y mk = 0.15, determine la
aceleración de G y la aceleración angular
de la rueda.
SOLUCIÓN:
• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para la rueda,
mientras expresando la equivalencia de las
fuerzas externas y eficaces.
• Asumiendo rodando sin resbalarse y por
consiguiente, las aceleraciones lineales y
angulares relacionadas, resuelva las ecuaciones
del escalar para la aceleración y las reacciones
normales y tangenciales a la tierra.
• Compare la reacción tangencial requerida a la
posible fuerza de fricción máxima.
• Si resbalándose ocurre, calcula la fuerza de
fricción cinética y entonces resuelve las
ecuaciones del scalar para las aceleraciones
lineales y angulares.
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Pruebe el Problema 16.9SOLUCIÓN:
• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para la rueda.
Asuma rodando sin resbalarse,
m100.0
ra
2
22
mkg245.0
m70.0kg50
kmI
• Asumiendo rodando sin resbalarse, resuelva las
ecuaciones del scalar para la aceleración y reacciones
de tierra.
22
2
22
sm074.1srad74.10m100.0
srad74.10
mkg245.0m100.0kg50mN0.8
m100.0m040.0N200
a
Iam
effCC MM
effxx FF
N5.490sm074.1kg50
0
2
mgN
WN
effxx FF
N3.146
sm074.1kg50N200 2
F
amF
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Pruebe el Problema 16.9
N3.146F N5.490N
Sin resbalarse,
• Compare la reacción tangencial requerida a la posible
fuerza de fricción máxima.
N1.98N5.49020.0max NF s
F > Fmax , rolling without slipping is impossible.
• Calcule la fuerza de fricción con resbalarse y resuelva
las ecuaciones del scalar para las aceleraciones lineales
y angulares. N6.73N5.49015.0 NFF kk
effGG MM
2
2
srad94.18
mkg245.0
m060.0.0N200m100.0N6.73
2srad94.18
effxx FF
akg50N6.73N200 2sm53.2a
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Pruebe el Problema 16.10
Las extremidades de un 4-pie vara
que pesa 50 lb puede mover
libremente y sin la fricción a lo
largo de dos huellas rectas. La vara
se suelta sin la velocidad de la
posición mostrada.
Determine: a) la aceleración
angular de la vara, y b) las
reacciones a A y B.
SOLUCIÓN:
• Basado en las cinemáticas del movimiento
encogido, exprese las aceleraciones de A,
B, y G por lo que se refiere a la aceleración
angular.
• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para la
vara, mientras expresando la
equivalencia de las fuerzas externas y
eficaces. • Resuelva las tres ecuaciones del escalar
correspondientes para la aceleración
angular y las reacciones a A y B.
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Pruebe el Problema 16.10SOLUCIÓN:
• Basado en las cinemáticas del movimiento encogido,
exprese las aceleraciones de A, B, y G por lo que se
refiere a la aceleración angular.
Exprese la aceleración de B como
ABAB aaa
Con el triángulo del vector
correspondiente y la ley de rendimientos de las señales
,4ABa
90.446.5 BA aa
La aceleración de G se obtiene ahora de
AGAG aaaa
2 where AGa
Resolviéndose en x y componentes de y,
732.160sin2
46.460cos246.5
y
x
a
a
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Pruebe el Problema 16.10• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para la vara, mientras
expresando la equivalencia de las fuerzas externas y
eficaces.
69.2732.12.32
50
93.646.42.32
50
07.2
sftlb07.2
ft4sft32.2
lb50
12
1
2
2
2
2
121
y
x
am
am
I
mlI
• Resuelva las tres ecuaciones del escalar correspondientes
para la aceleración angular y las reacciones a A y B.
2srad30.2
07.2732.169.246.493.6732.150
effEE MM
2srad30.2
effxx FF
lb5.22
30.293.645sin
B
B
R
R
lb5.22BR
45o
effyy FF
30.269.25045cos5.22 AR
lb9.27AR
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CAPITULO #17
•MOVIMIENTO PLANO DE
CUERPOS RIGÍDOS: MÉTODOS
DE LA ENERGÍA Y LA CANTIDAD
DE MOVIMIENTO
11 - 262
LAS MECÁNICAS DEL VECTOR PARA INGENIEROS:
LA DINÁMICA
Séptima edición
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Capítulo
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11El Movimiento plano de los
cuerpos: Energía Rígida y
Métodos de Velocidad
adquirida
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17 - 264
Contenidos
La introducción
El principio de Trabajo y Energía para un
Cuerpo Rígido
El trabajo de Fuerzas que Actúan en un Cuerpo
Rígido
La Energía cinética de un Cuerpo Rígido en el
Movimiento del Avión
Los sistemas de Cuerpos Rígidos
La conservación de Energía
Power
Pruebe Problema 17.1
Pruebe Problema 17.2
Pruebe Problema 17.3
Pruebe Problema 17.4
Pruebe Problema 17.5
El principio de Impulso y Velocidad adquirida
Los sistemas de Cuerpos Rígidos
La conservación de Velocidad adquirida
Angular
Pruebe Problema 17.6
Pruebe Problema 17.7
Pruebe Problema 17.8
El Impacto excéntrico
Pruebe Problema 17.9
Pruebe Problema 17.10
Pruebe Problema 17.11
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17 - 265
Introducción
• El método de trabajo y energía y el método de impulso y velocidad
adquirida se usará para analizar el movimiento plano de cuerpos rígidos
y sistemas de cuerpos rígidos.
• El principio de trabajo y energía se satisface bien a la solución de
problemas que involucran desplazamientos y velocidades.
2211 TUT
• El principio de impulso y velocidad adquirida es apropiado para
problemas que involucran velocidades y tiempo.
2121
2
1
2
1
O
t
tOO
t
t
HdtMHLdtFL
• Problemas que involucran el impacto excéntrico son resueltos
complementando el principio de impulso y velocidad adquirida con la
aplicación del coeficiente de restitución.
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17 - 266
El principio de Trabajo y Energía para un Cuerpo Rígido
• El método de trabajo y energía se adapta bien a
problemas que involucran velocidades y
desplazamientos. La ventaja principal es que el trabajo
y la energía cinética son las cantidades del escalar.
• Asuma que el cuerpo rígido es hecho de un número
grande de partículas.
2211 TUT
21, TT
21U
el total inicial y final la energía cinética de
partículas que forman el cuerpo
el trabajo total de fuerzas interiores y externas
que actúan en las partículas de cuerpo.
• Las fuerzas interiores entre las partículas A y B son
iguales y en situación opuesta.
• Por consiguiente, el trabajo neto de fuerzas interiores es
el cero.
• En general, desplazamientos pequeños de las partículas
A y B no son iguales pero los componentes de los
desplazamientos a lo largo de AB son iguales.
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17 - 267
El trabajo de Fuerzas que Actúan en un Cuerpo Rígido• El trabajo de una fuerza durante un desplazamiento de
su punto de aplicación,
2
1
2
1
cos21
s
s
A
A
dsFrdFU
• Considere el trabajo neto de dos fuerzas
el un par de momento formando durante un
desplazamiento de sus puntos de aplicación.
FF
y M
dM
dFrdsF
rdFrdFrdFdU
2
211
12
21
2
1
M
dMU
si M es constante.
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17 - 268
El trabajo de Fuerzas que Actúan en un Cuerpo Rígido
Fuerzas que actúan en cuerpos rígidos que no hacen el trabajo:
• Las fuerzas aplicaron a los puntos fijos:
• las reacciones a un alfiler del de menos fricción cuando el
cuerpo apoyado gira sobre el alfiler.
• Forces acting in a direction perpendicular to the displacement
of their point of application:
- reaction at a frictionless surface to a body moving along
the surface
- weight of a body when its center of gravity moves
horizontally
• Friction force at the point of contact of a body rolling without
sliding on a fixed surface.
0 dtvFdsFdU cC
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17 - 269
La Energía cinética de un Cuerpo Rígido en el Movimiento del Avión
• Considere un cuerpo rígido de masa m en el movimiento
del avión.
2
212
21
22
212
21
2
212
21
Δ
Δ
w
w
Ivm
mrvm
vmvmT
ii
ii
• La energía cinética de un cuerpo rígido puede separarse
en:
• la energía cinética asoció con el movimiento del
centro de masa G y
• la energía cinética asoció con la rotación del cuerpo
sobre G.
• Considere un cuerpo rígido que gira sobre un eje fijo a
través de O.
2
21
22
212
212
21 ΔΔΔ
w
ww
O
iiiiii
I
mrrmvmT
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17 - 270
Systems of Rigid Bodies
• Para problemas que involucran sistemas que consisten en varios cuerpos rígidos, el
principio de trabajo y energía puede aplicarse a cada cuerpo.
• Nosotros también podemos aplicar el principio de trabajo y energía al sistema
entero,
2211 TUT = la suma aritmética del energies cinético de
todos los cuerpos que forman el sistema
= el trabajo de todo las fuerzas que actúan en
los varios cuerpos, si estas fuerzas son en
conjunto interiores o externas al sistema.
21,TT
21U
• Para problemas que involucran el alfiler los miembros, bloques y poleas
conectadas por los cordones improrrogables conectaron, y enredó los vestidos,
• las fuerzas interiores ocurren en los pares de igual y las fuerzas opuestas
• los puntos de aplicación de cada movimiento del par a través de las
distancias del igual
• el trabajo neto de las fuerzas interiores es el cero
• trabaje en el sistema reduce al trabajo de las fuerzas externas
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17 - 271
Conservation of Energy• Expresando el trabajo de fuerzas conservadoras
como un cambio en la energía potencial, el
principio de trabajo y energía se vuelve
2211 VTVT
w
w
sin3
sin2
1
32
10 2
22211
l
g
mglml
VTVT
0,0 11 VT
22
22121
212
21
21
222
1222
12
32
1www
w
mlmllm
IvmT
sinsin21
21
2 mglWlV
• nsidere la vara delgada de masa m.
• masa m
• soltado con cera
velocidad
• determine w en
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17 - 272
Power
• Poder = tase a que el trabajo se hace
• Para un cuerpo actuó en por la fuerza y moviendo con la velocidad ,F
v
vFdt
dU Poder
• Para un cuerpo rígido que gira con una velocidad angular y actuó en
por un par de momento parangone al eje de rotación,
w
M
w
Mdt
dM
dt
dUPoder
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17 - 273
Pruebe el Problema 17.1
Para el tambor y volante,
La fricción productiva está equivalente a un par
de En el momento mostrado, el
bloque está moviendo que se extiende hacia
abajo a 6 ft/s.
.sftlb5.10 2I
ft.lb60
Determine la velocidad del bloque después de
que ha movido 4 pies que se extiende hacia
abajo.
SOLUCIÓN:
• Considere el sistema del volante y
bloque. El trabajo hecho por las
fuerzas interiores ejercidas por las
cancelaciones del cable.
• Aplique el principio de trabajo y la
energía cinética para desarrollar una
expresión para la último velocidad.
• La nota que la velocidad del bloque y
la velocidad angular del tambor y
volante está relacionada por
wrv
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17 - 274
Pruebe el Problema 17.1SOLUCIÓN:
• Considere el sistema del volante y bloque. El trabajo hecho
por las fuerzas interiores ejercidas por las cancelaciones del
cable.• La nota que la velocidad del bloque y la velocidad angular del
tambor y volante está relacionada por
1.25srad80.4
ft1.25
sft6 222
11
v
r
v
r
vrv www
• Aplique el principio de trabajo y la energía cinética para
desarrollar una expresión para la último velocidad.
lbft255
srad80.4sftlb5.102
1sft6
sft32.2
lb240
2
1 22
2
212
1212
11
wImvT
22
222
2
222
1222
12
09.725.1
5.102
1
2.32
240
2
1v
vv
IvmT
w
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Pruebe el Problema 17.1
lbft255212
1212
11 wImvT
22
222
1222
12 09.7 vIvmT w
• La nota que el desplazamiento del bloque y la rotación
de la polea está relacionada por
rad20.3ft25.1
ft422
r
s
• El principio de trabajo y energía:
sft01.12
7.09lbft768lbft255
2
22
2211
v
v
TUT
sft01.122 v
lbft768
rad20.3ftlb60ft4lb240
121221
MssWU
Then,
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Pruebe el Problema 17.2
mm80kg3
mm200kg10
BB
AA
km
km
El sistema es en reposo cuando un
momento de se aplica para
engranar B.
La fricción descuidando, a) determina el
número de revoluciones de vestido B antes
de que su velocidad angular alcance 600
rpm, y b) fuerza tangencial ejercida por el
vestido B en el vestido A.
mN6 M
SOLUCIÓN:
• Considere un sistema que consiste en los dos
vestidos. Notando que el vestido las
velocidades rotatorias están relacionadas,
evalúe la energía cinética final del sistema.
• Aplique el principio de trabajo y energía.
Calcule el número de revoluciones requerido
para el trabajo del momento aplicado para
igualar la energía cinética final del sistema.
• Aplique el principio de trabajo y energía a un
sistema que consiste en vestido A. Con la
energía cinética final y número de
revoluciones conocido, calcule el momento y
la fuerza tangencial requirió para el trabajo
indicado.
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Pruebe el Problema 17.2SOLUCIÓN:
• Considere un sistema que consiste en los dos vestidos.
Notando que el vestido las velocidades rotatorias están
relacionadas, evalúe la energía cinética final del
sistema.
srad1.25250.0
100.08.62
srad8.62mins60
revrad2rpm600
A
BBA
B
r
rww
w
222
222
mkg0192.0m080.0kg3
mkg400.0m200.0kg10
BBB
AAA
kmI
kmI
J9.163
8.620192.01.25400.02
212
21
2
212
21
2
BBAA IIT ww
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Pruebe el Problema 17.2• Aplique el principio de trabajo y energía. Calcule el
número de revoluciones requerido para el trabajo.
rad32.27
163.9JJ60
2211
B
B
TUT
rev35.42
32.27
B
• Aplique el principio de trabajo y energía a un sistema
que consiste en vestido A. Calculate el momento y la
fuerza tangencial requirió para el trabajo indicado.
J0.1261.25400.02
212
21
2 AAIT w
mN52.11
J0.261rad10.930
2211
FrM
M
TUT
AA
A
rad93.10250.0
100.032.27
A
BBA
r
r
N2.46250.0
52.11F
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Pruebe el Problema 17.3
Una esfera, el cilindro, y aro, cada uno
que tiene la misma masa y radio, se
suelta del resto en una cuesta. Determine
la velocidad de cada cuerpo después de
que ha rodado a través de una distancia
que corresponde a un cambio de
elevación h.
SOLUCIÓN:
• El trabajo hecho por el peso de los
cuerpos es el mismo. Del principio de
trabajo y energía, sigue que cada cuerpo
tendrá la misma energía cinética después
del cambio de elevación.
• Porque cada uno de los cuerpos tiene un
momento del centroidal diferente de
inercia, la distribución de la energía
cinética total entre los componentes
lineales y rotatorios también será
diferente.
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Pruebe el Problema 17.3SOLUCIÓN:
• El trabajo hecho por el peso de los cuerpos es
el mismo. Del principio de trabajo y energía,
sigue que cada cuerpo tendrá la misma energía
cinética después del cambio de elevación.
r
vwCon
2
221
2
212
212
212
21
2
vr
Im
r
vIvmIvmT
w
22
2
2
221
2211
1
22
0
mrI
gh
rIm
Whv
vr
ImWh
TUT
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17 - 281
Pruebe el Problema 17.3
2
2
1
2
mrI
ghv
ghvmrIAro
ghvmrICilindro
ghvmrIEsfera
2707.0:
2816.0:
2845.0:
2
2
21
2
52
• Porque cada uno de los cuerpos tiene un momento
del centroidal diferente de inercia, la distribución de
la energía cinética total entre los componentes
lineales y rotatorios también será diferente.
• La velocidad del cuerpo es independiente de su
masa y radio.
NOTA:
• Para un bloque del de menos fricción que resbala
a través de la misma distancia, ghv 2,0 w
• La velocidad del cuerpo depende adelante
2
2
2 rk
mrI
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17 - 282
Pruebe el Problema 17.4
Una 30-lb vara delgada monta sobre un eje
sobre el punto O. El otro fin se aprieta
contra una primavera (k = 1800 lb/in) hasta
que la primavera sea la una pulgada
comprimida y la vara está en una posición
horizontal.
Si la vara se suelta de esta posición,
determine su velocidad angular y la
reacción al pivote como la vara atraviesa
una posición vertical.
SOLUCIÓN:
• El peso y las fuerzas primaverales son
conservadoras. El principio de trabajo y
energía puede expresarse como
2211 VTVT
• Evalúe la energía potencial inicial y final.
• Exprese la energía cinética final por lo que
se refiere a la velocidad angular final de la
vara.
• Basado en la ecuación del libre-cuerpo-
diagrama, resuelva para las reacciones al
pivote.
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17 - 283
Pruebe el Problema 17.4SOLUCIÓN:
• El peso y las fuerzas primaverales son
conservadoras. El principio de trabajo y energía
puede expresarse como 2211 VTVT
• Evalúe la energía potencial inicial y final.
lbft75lbin900
in.1in.lb180002
212
121
1
kxVVV eg
lbft45
ft1.5lb3002
WhVVV eg
• Exprese la energía cinética final por lo que se
refiere a la velocidad angular de la vara.
2
2
2
2
121
sftlb941.1
ft5sft32.2
lb30
12
1
mlI
22
222
122
222
1222
1222
1222
12
019.2941.15.12.32
30
2
1www
www
IrmIvmT
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17 - 284
Pruebe el Problema 17.4
srad86.32 wlbft452.019lbft750 22
2211
w
VTVT
Del principio de trabajo y energía,
• Basado en la ecuación del libre-cuerpo-diagrama,
resuelva para las reacciones al pivote.
w
ra
ra
t
n
2222 sft3.22srad86.3ft5.1
ra
a
t
n
2sft3.22
effOO MM rrmI 0 0
effxx FF rmRx 0xR
effyy FF
lb22.9
sft3.22sft32.2
lb30
lb30
2
2
y
ny
R
maR
22.9R
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17 - 285
Pruebe el Problema 17.5
Cada uno de las dos varas delgadas tiene
una masa de 6 kg. El sistema se suelta del
resto con = 60o.
Determine a) la velocidad angular de vara
AB cuando = 20o, y b) la velocidad del
punto D al mismo momento.
SOLUCIÓN:
• Considere un sistema que consiste en las dos
varas. Con la fuerza de peso conservadora,
2211 VTVT
• Exprese la energía cinética final del sistema por
lo que se refiere a las velocidades angulares de
las varas.
• Evalúe la energía potencial inicial y final.
• Resuelva la ecuación de energía para la
velocidad angular, entonces evalúe la velocidad
del punto D.
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17 - 286
Pruebe el Problema 17.5
• Evalúe la energía potencial inicial y final.
J26.38
m325.0N86.5822 11
WyV
J10.15
m1283.0N86.5822 22
WyV
SOLUCIÓN:
• Considere un sistema que consiste en las dos
varas. Con la fuerza de peso conservadora,
2211 VTVT
N86.58
sm81.9kg6 2
mgW
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17 - 287
Pruebe el Problema 17.5
subsecuentemente es perpendicular a AB y es
horizontal, el centro instantáneo de rotación para la vara
BD es C. m75.0BC m513.020sinm75.02 CD
y aplicando la ley de cosenos a CDE, EC = 0.522 m
Bv
Dv
• Exprese la energía cinética final del sistema por lo que
se refiere a las velocidades angulares de las varas.
wm375.0ABv
ABB BCABv ww ww BD
Considere la velocidad de punto B
wm522.0BDv
22
1212
121 mkg281.0m75.0kg6 mlII BDAB
Para la energía cinética final,
2
2
212
1212
212
121
2
212
1212
212
121
2
520.1
281.0522.06281.0375.06
w
wwww
ww
BDBDBDABABAB IvmIvmT
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17 - 288
Pruebe el Problema 17.5
srad3.90
J10.151.520J26.380 2
2211
w
w
VTVT
• Resuelva la ecuación de energía para la
velocidad angular, entonces evalúe la velocidad
del punto D.
srad90.3ABw
sm00.2
srad90.3m513.0
wCDvD
sm00.2Dv
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17 - 289
El principio de Impulso y Velocidad adquirida
• El método de impulso y velocidad adquirida:
• bien satisfecho a la solución de problemas que involucran tiempo y
velocidad
• el único método factible para problemas que involucran
movimiento impulsivo e impacto.
Sys Momenta1 + Sys Ext Imp1-2 = Sys Momenta2
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17 - 290
El principio de Impulso y Velocidad adquirida
vmmvL ii
Δ
• Pueden reducirse las velocidad adquirida de las partículas de un sistema
a un vector atado al igual de centro de masa a su suma,
iiiG mvrH Δ
y un igual de la pareja a la suma de sus momentos sobre el centro de
masa,
wIHG
• Para el movimiento plano de una tabla rígida o de un cuerpo rígido
simétrico con respecto al avión de la referencia,
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17 - 291
El principio de Impulso y Velocidad adquirida• Principio de impulso y velocidad adquirida para el movimiento plano de una
tabla rígida o de un cuerpo rígido simétrico con respecto al avión de la referencia
expresado como una ecuación del libre-cuerpo-diagrama,
• Las primacías a tres ecuaciones de movimiento:
• sumando e igualando velocidad adquirida e impulsos en los x y direcciones de y
• sumando e igualando los momentos de las velocidad adquirida e impulsos con
respecto a cualquier punto dado
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17 - 292
El principio de Impulso y Velocidad adquirida
• La rotación No centroidal:
• La velocidad adquirida angular sobre O
www
ww
2rmI
rrmI
rvmIIO
- Igualando los momentos de las velocidad
adquirida e impulsos sobre O,
21
2
1
ww O
t
tOO IdtMI
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17 - 293
Los sistemas de Cuerpos Rígidos
• El movimiento de varios cuerpos rígidos puede analizarse
aplicando el principio de impulso y velocidad adquirida
separadamente a cada cuerpo.
• Para problemas que involucran ningún más de tres
desconocidos, puede ser conveniente aplicar el principio de
impulso y velocidad adquirida en conjunto al sistema.
• Para cada parte mudanza del sistema, los diagramas de velocidad
adquirida deben incluir a un vector de velocidad adquirida y/o
una pareja de velocidad adquirida.
• Las fuerzas interiores ocurren en el igual y los pares opuestos
de vectores y no generan el no cero los impulsos netos.
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17 - 294
La conservación de Velocidad adquirida Angular
• Cuando la suma del paso de impulsos angular a través de O, la
velocidad adquirida lineal no puede conservarse, todavía la
velocidad adquirida angular sobre O se conserva,
2010 HH
• Dos ecuaciones adicionales pueden ser escritas sumando x y
componentes de y de velocidad adquirida y pueden usarse
determinar dos impulsos lineales desconocidos, como los
impulsos de los componentes de la reacción a un punto fijo.
• Cuando ningún acto de fuerza externo en un cuerpo rígido o un
sistema de cuerpos rígidos, el sistema de velocidad adquirida al t1
está el equipollent al sistema en el t2. Se conservan la velocidad
adquirida lineal total y la velocidad adquirida angular sobre cualquier
punto,
2010 HH 21 LL
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17 - 295
Pruebe el Problema 17.6
El sistema es en reposo cuando un momento
de se aplica para engranar B
La fricción descuidando, a) determine el
tiempo requerido para el vestido B para
alcanzar una velocidad angular de 600 rpm, y
b) la fuerza tangencial ejercida por el vestido
B en el vestido A.
mN6 M
mm80kg3
mm200kg10
BB
AA
km
km
SOLUCIÓN:
• Considerando cada vestido separadamente,
aplique el método de impulso y velocidad
adquirida.
• Resuelva las ecuaciones de velocidad
adquirida angulares simultáneamente para los
dos vestidos para el tiempo desconocido y la
fuerza tangencial.
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17 - 296
Pruebe el Problema 17.6SOLUCIÓN:
• Considerando cada vestido separadamente, aplique el
método de impulso y velocidad adquirida.
sN2.40
srad1.25mkg400.0m250.0
0 2
Ft
Ft
IFtr AAA w
los momentos sobre A:
los momentos sobre B:
srad8.62mkg0192.0
m100.0mN6
0
2
2
Ftt
IFtrMt BBB w
• Resuelva las ecuaciones de velocidad adquirida angulares
simultáneamente para los dos vestidos para el tiempo desconocido y la
fuerza tangencial. N 46.2s 871.0 Ft
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17 - 297
Pruebe el Problema 17.7
La esfera uniforme de masa m y
radio que r se proyecta a lo largo de
una superficie horizontal áspera con
una velocidad lineal y ninguna
velocidad angular. El coeficiente de
fricción cinética es
Determine a) el t2 de tiempo a que la
esfera empezará rodando sin
resbalar y b) las velocidades lineales
y angulares de la esfera al t2 de
tiempo.
.k
1v
SOLUCIÓN:
• Aplique principio de impulso y velocidad
adquirida para encontrar variación de
velocidades lineales y angulares con tiempo.
• Relaciona las velocidades lineales y angulares
cuando la esfera deja de resbalar notando que
la velocidad del punto de contacto está el cero
en ese momento.
• Sustituya para las velocidades lineales y
angulares y resuelva durante el tiempo a que las
paradas corredizas.
• Evalúe las velocidades lineales y angulares a
ese momento.
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17 - 298
Pruebe el Problema 17.7SOLUCIÓN:
• Aplique principio de impulso y velocidad
adquirida para encontrar variación de
velocidades lineales y angulares con
tiempo.
0WtNt
Componentes y:
Componentes x:
21
21
vmmgtvm
vmFtvm
k
gtvv k 12
mgWN
Los momentos sobre G:
22
52
2
w
w
mrtrmg
IFtr
k
tr
gkw
2
52
Sys Momenta1 + Sys Ext Imp1-2 = Sys
Momenta2
• Relacione las velocidades lineales y
angulares que cuando la esfera deja de
resbalar notando esa velocidad de punto de
contacto es el cero a ese momento.
tr
grgtv
rv
kk
w
2
51
22
• Sustituya para las velocidades lineales y
angulares y resuelva durante el tiempo a
que las paradas corredizas.
g
vt
k1
7
2
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17 - 299
Pruebe el Problema 17.7
Componentes x: gtvv k 12
Componentes y: mgWN
Momentos sobre G: tr
gkw
2
52
Sys Momenta1 + Sys Ext Imp1-2 = Sys
Momenta2
tr
grgtv
rv
kk
w
2
51
22
g
vt
k1
7
2
• Evalúe las velocidades lineales y
angulares a ese momento.
g
vgvv
kk
1
127
2
g
v
r
g
k
k
w 1
27
2
2
5
127
5vv
r
v12
7
5w
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17 - 300
Pruebe el Problema 17.8
Dos esferas sólidas (el radio = 3 en., W =
2 lb) está montado en una vara horizontal
que hila (
w = 6 rad/sec) como mostrado. Las
pelotas se unen por un cordón que está
repentinamente cortado. Determine un)
la velocidad angular de la vara después
de que las pelotas han movido a A ' y B ',
y b) la energía perdió debido al impacto
plástico de las esferas y paradas.
,sftlb 0.25 2RI
SOLUCIÓN:
• Observando que ninguno de las fuerzas
externas produce un momento sobre el eje de
y, la velocidad adquirida angular se conserva.
• Iguale la inicial y las velocidad adquirida
angulares finales. Resuelva para la velocidad
angular final.
• La energía perdida debido al impacto plástico
es igual al cambio en la energía cinética del
sistema.
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17 - 301
Pruebe el Problema 17.8
Sys Momenta1 + Sys Ext Imp1-2 = Sys
Momenta2 2222211111 22 wwwwww RSsRSs IIrrmIIrrm
SOLUCIÓN:
• Observando que ninguno de
las fuerzas externas produce
un momento sobre el eje de
y, la velocidad adquirida
angular se conserva.
• Iguale la inicial y las
velocidad adquirida
angulares finales. Resuelva
para la velocidad angular
final.
22
2522
52 sftlb00155.0ft
12
2
sft32.2
lb2
maIS
2696.012
25
2.32
20108.0
12
5
2.32
22
22
22
1
rmrm SS
RSs
RSs
IIrm
IIrm
22
21
12 ww
srad61 w2sftlb 25.0 RI
srad08.22 w
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17 - 302
Pruebe el Problema 17.8
• La energía perdida debido al
impacto plástico es igual al
cambio en la energía cinética
del sistema.
2sftlb00155.0 SI
221 sftlb0108.0 rmS
srad61 w
2sftlb 25.0 RI
srad08.22 w
222 sftlb2696.0 rmS
22
212
212
212
21 222 www RSSRSS IIrmIIvmT
95.471.1
lbft71.108.2792.0
lbft95.46275.0
12
2
21
2
2
21
1
TTΔT
T
T
lbft 24.3 T
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17 - 303
El Impacto excéntrico
Período de deformación El período de restitución
dtRImpulse
dtPImpulse
nBnA uu
• El principio de impulso y velocidad adquirida se complementa por
nBnA
nAnB
vv
vv
dtP
dtRnrestitutiooftcoefficiene
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17 - 304
Pruebe el Problema 17.9
Una bala de 0.05-lb se dispara en el lado
de un 20-lb tablero del cuadrado que es
inicialmente en reposo.
Determine a) la velocidad angular del
tablero inmediatamente después de que
la bala se empotra y b) la reacción
impulsiva a A, asumiendo que la bala se
empotra en 0.0006 s.
SOLUCIÓN:
• Considere un sistema que consiste en la
bala y tablero. Aplique el principio de
impulso y velocidad adquirida.
• La velocidad angular final se encuentra
de los momentos de las velocidad
adquirida e impulsos sobre A.
• La reacción a A se encuentra de las
velocidad adquirida horizontales y
verticales e impulsos.
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17 - 305
Pruebe el Problema 17.9
SOLUCIÓN:
• Considere un sistema que
consiste en la bala y tablero.
Aplique el principio de
impulso y velocidad
adquirida.
• La velocidad angular final se
encuentra de los momentos de
las velocidad adquirida e
impulsos sobre A.
Momentos sobre A:
2129
21214 ft0ft wPPBB Ivmvm
2129
2 ft wv 22
2
61 sftlb2329.0
12
18
2.32
20
6
1
bmI PP
2129
2129
1214 2329.0
2.32
201500
2.32
05.0ww
sft50.3
srad67.4
2129
2
2
w
w
v
srad67.42 w
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17 - 306
Pruebe el Problema 17.9
sft50.3srad67.4 2129
22 ww v
• Las reacciones a A se
encuentra de las velocidad
adquirida horizontales y
verticales e impulsos.
Componentes x:
50.32.32
200006.01500
2.32
05.0
2
x
pxBB
A
vmtAvm
lb259xA lb259xA
Componentes y:
00 tAy 0yA
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17 - 307
Pruebe el Problema 17.10
Un 2-kg la esfera con una velocidad
inicial de 5 m/s golpea el más bajo fin
de un 8-kg la vara AB. La vara es de
bisagra a A e inicialmente en reposo.
El coeficiente de restitución entre la
vara y la esfera es 0.8.
Determine la velocidad angular de la
vara y la velocidad de la esfera
inmediatamente después del impacto.
SOLUCIÓN:
• Considere la esfera y vara como un solo
sistema. Aplique el principio de
impulso y velocidad adquirida.
• Los momentos sobre A de las velocidad
adquirida e impulsos proporcione una
relación entre la velocidad angular final
de la vara y velocidad de la esfera.
• La definición del coeficiente de
restitución proporciona una segunda
relación entre la velocidad angular final
de la vara y velocidad de la esfera.
• Resuelva las dos relaciones
simultáneamente para la velocidad
angular de la vara y velocidad de la
esfera.
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17 - 308
Pruebe el Problema 17.10SOLUCIÓN:
• Considere la esfera y vara como
un solo sistema. Aplique el
principio de impulso y
velocidad adquirida.
• Los momentos sobre A de las
velocidad adquirida e impulsos
proporcione una relación entre la
velocidad angular final de la
vara y velocidad de la vara.
Momentos sobre A:
w Ivmvmvm RRssss m6.0m2.1m2.1
22
1212
121 mkg96.0m2.1kg8
m6.0
mLI
rvR ww
ww
2mkg96.0
m6.0m6.0kg8m2.1kg2m2.1sm5kg2 sv
w 84.34.212 sv
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17 - 309
Pruebe el Problema 17.10
Momentos sobre A:
w 84.34.212 sv
• La definición del coeficiente
de restitución proporciona
una segunda relación entre la
velocidad angular final de la
vara y velocidad de la esfera.
sm58.0m2.1
s
sBsB
v
vvevv
w
Velocidades relativas:
• Resuelva las dos relaciones
simultáneamente para la
velocidad angular de la vara
y velocidad de la esfera.
Resolviendo,
sm143.0sv sm143.0sv
rad/s21.3w rad/s21.3w
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17 - 310
Pruebe el Problema 17.11
Un paquete cuadrado de masa los
movimientos de m abajo la banda
transportadora A con la velocidad
constante. Al final del portador, la esquina
del paquete golpea un apoyo rígido a B. El
impacto es absolutamente plástico.
Derive una expresión para la velocidad
mínima de banda transportadora A porque
que el paquete girará sobre B y banda
transportadora del alcance C.
SOLUCIÓN:
• Aplique el principio de impulso y velocidad
adquirida para relacionar la velocidad del
paquete en la banda transportadora A antes
de que el impacto a B a la velocidad angular
sobre B después del impacto.
• Aplique el principio de conservación de
energía para determinar la inicial mínima la
velocidad angular tal que el centro de masa
del paquete alcanzará una posición
directamente sobre B.
• Relacione la velocidad angular requerida a
la velocidad de banda transportadora A.
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17 - 311
Pruebe el Problema 17.11SOLUCIÓN:
• Aplique el principio de impulso y velocidad adquirida para relacionar la
velocidad del paquete en la banda transportadora A antes de que el impacto a
B a la velocidad angular sobre B después del impacto.
Momentos sobre B:
222
221
1 0 wIavmavm 2
61
222
2 amIav w
22
61
22
222
21
1 0 ww amaamavm
234
1 wav
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17 - 312
Pruebe el Problema 17.11• Aplique el principio de conservación de energía para determinar
la velocidad mínima inicial angular tal que el centro de masa del
paquete alcanzará una posición directamente sobre B.
3322 VTVT
22 WhV
22
2
312
22
61
21
2
222
21
222
1222
12
www
w
mamaam
ImvT
33 WhV
03 T (resolviendo para el mínimo w2)
aa
GBh
612.060sin
1545sin
22
2
aah 707.022
3
agaaa
ghh
ma
W
WhWhma
285.0612.0707.033
0
2232
22
3222
2
31
w
w
agaav 285.034
234
1 w gav 712.01