dinámica del cuerpo rígido. momento de inercia
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7/29/2019 Dinmica del cuerpo rgido. momento de inercia
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Dinmica del cuerpo rgido:momento de inercia, aceleracinangular.
En un slido rgido las distancias relativas de suspuntos se mantienen constantes.
Los puntos del slido rgido se mueven con velocidadangular constante
vR i = R rR i
Nota 1. ij=1 si i= j
0 si i
jes el smbolo de Kronecker
Energa Cintica:
E=i
12mivR i
2 =i
12mi(R rR i)
2 =i
12mi(R 2rR i
2
(R .rR i)2)=
1
-
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1
2
i
mi(ri2
riri)
E=1
2T
Tensor de inercia:
T =
imi(ri
2 riri)
(AB)(CD) =ijkAjBkilnClDn =
(jlkn jnkl)AjBkClDn =A.CB.DA.DB.C
Momento de Inercia
Rotacin alrededor del eje z:
E=12
I332
I3 es el momento de inercia respecto al eje z:
I3 = T33 =i
midi2, di = distancia del punto i aleje z
Ejercicio 1. Encontrar I1 e I2.
Problema 1. Considere una molcula de Oxgeno (O2)
rotando en el plano xy alrededor del eje z. El eje de rotacin
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pasa a travs del centro de la molcula, perpendicular a su
longitud. La masa de cada tomo de Oxgeno es 2.66 1026
kg, y a temperatura ambiente la separacin promedio entre
los dos tomos es d=1.211010m.(Los tomos se suponen
puntuales).
(a) Calcule el momento de inercia de la molcula alrededor
del eje z. R:1.95 1046kgm2.
I= m(2 d2/4)= md2/2 = 2.66x1.212x1046/2
(b) Si la velocidad angular de la molcula alrededor del
eje z es 4.601012 rad/s, encuentre la energa cintica derotacin.R:2.06 1021J
Clculo de Momentos de Inercia
Consideremos un slido de densidad , el momento deinercia respecto a un eje fijo es:
I=i
(xi)d(xi)2d3xi
d3x(xR )d(xR )2 =
dm(xR ) d2(xR )
xR
puede ser un vector uni,bi o tridimensional.
Ejercicio 2. Encuentre el momento de inercia de una
circunsferencia con masa M, uniformemente distribuida,y
radio R, respecto a un eje perpendicular a la circunsferencia
que pasa por su centro.
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I= R2
dm = M R2
Ejercicio 3. Barra uniforme de largo L y masa M.
I=
L
2
L
2
dxx2 = 2L3
24
= L3
12
M = L, =M
L
4
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I= ML2
12
Ejercicio 4. Cilindro uniforme de radio R,masa M y largo
L.
d m=2rdrdz,I=
2rdrdzr2 =
2L
0
R
d rr3 = 2LR4
4
M =
2rdrdz = 2L
0
R
drr =2LR2
2
M = LR2
I= 2M
L R2L
R4
4=
12
MR2
Ejercicio 5. Casquete cilndrico
5
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I= M R2
Ejercicio 6. Cilindro hueco
dm=2rdrdz,I=
2rdrdzr2 =
2LR1
R2
drr3 = 2L (R24
R14
)4
M =
2rdrdz = 2L
R1
R2
drr =2L(R2
2R1
2)2
M = L(R22R1
2)
I = 2M
L (R22R1
2)L
(R24R1
4)
4=
12 M (R22
+ R12
)
Ejercicio 7. Tablilla rectangular de lados a, b
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dm= dxdy
I= dxdy(x2+ y2) =
b
a
2
a
2
dxx2 + a
b
2
b
2
dyy2
=
2
ba3
24+ a
b3
24
=
ba3
12+ a
b3
12
M= ab
I=Mba3
12+ a
b3
12
ab
=M
12(a2+ b2)
Ejercicio 8. Casquete esfrico de radio R.
dm = R2
sen d d
7
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I= R2
sen d d(R sen )2 =2R40
dsen3 =
2R41
1
du(1u2) =8
3R4 u = cos
M = 4R2
I= 83
M
4R2R4 = 2
3MR2
Ejercicio 9. Esfera slida, alrededor del eje z
I=2
34
0
R
r2d rr2 =8
15R5
M =
4r2dr =
4
3 R3
I=8
15
3M
4R3R5 =
25
M R2
Teorema de los ejes paralelos
I= ICM + MD2
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I=
dm(x2 + y2) x = xCM + x
y = yCM + y
I=
dm(xCM2
+ yCM2
)
+
dm
x2
+ y 2
+ 2xCM
dmx + 2yCM
dmy =
MD2 + ICM + 0
Ejercicio 10. Encuentre el momento de inercia de
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una barra de largo L y masa M alrededor de un eje
perpendicular a la barra que pasa por un extremo.
I= M
L
2
2
+1
12M L2 =
1
3ML2
Momento Angular Total:
LR =i
rR imivi =
i
mirR i (R rR i) =
i
mi(R ri2 rR i.ri) =
i
mi(ri2 riri)
L = T
A (B C) = ijkAjklnBlCn =
(iljn injl)AjBlCn =
BiA.CCiA.B
Rotacin respecto al eje z
L3 = I33
Ecuacin de Movimiento
Los momentos de inercia de un slido rgido sonindependientes del tiempo.
d LR
dt = R
L3 = I33 = I33
Aceleracin angular:
R
= R
Nota 2.En general
La = Tabb
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Ejercicio 11. Una varilla rgida de masa M y longitud
l rota sin friccin alrededor de su centro (Fig. ). Dos
partculas de masas m1 y m2 se pegan a sus extremos. La
combinacin rota en un plano vertical con velocidad angular.
(a) Encontrar la magnitud del momento angular del
sistema.
L = I
I=1
12Ml2 + m1 l
22
+ m2 l22
=
l2
4
M
3+ m1 + m2
(b) Encontrar la aceleracin angular del sistema cuando la
varilla hace un ngulo con la horizontal.
=(m2m1)gl
2cos +Mg 0
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=(m2m1)g cos l
4
M
3+ m1 + m2
Ejercicio 12.
L = m1v R + m2v R + Iv
R(torque externo)m1g R =
dL
dt=(m1 + m2)R a + I
a
R
a =m1g
(m1 + m2) +I
R2
Ejercicio 13. Una estrella rota alrededor de un eje que
pasa por su centro con un perodo de 30 das. Despus
que la estrella se transforma en supernova, su centro de104km.colapsa para formar una estrella de neutrones, de
radio 3 km. Cul es el perodo de rotacin de la estrella
de neutrones?
Iii = Iff
Ii =2
5
MRi2 If=
2
5
MRf2
2
TiIi =
2
TfIf Tf= Ti
IfIi
= Ti
RfRi
2
12
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Tf= .23s
Ejercicio 14.Una plataforma horizontal con forma dedisco de radio R = 2m. y masa M= 100kg, rota en un plano
horizontal sin roce alrededor de un eje vertical que pasa por
su centro. Un estudiante de masa m = 60kg. camina desde
el borde de la plataforma hasta una distancia rf = 0.50m
del centro. Si la velocidad angular de la plataforma cuando
el estudiante estaba en el borde era 2 rad/s, encuentre la
velocidad angular al final.
Iii = Iff
f= i
IiIf
I=1
2MR2 + m r2
f= 2 (50 4 + 60 4)50 4 + 600.25 = 2 440215 = 4.1rad/s
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Ejercicio 15. Rueda en rotacin
Li = Lf= Lrueda
Lf= LestudianteLrueda
Lestudiante = 2Lrueda
Ejercicio 16. Descomponga la energa cintica de un
cuerpo rgido en energa cintica de traslacin del CM y
energa cintica de rotacin alrededor del CM.
K=i
1
2mivR i
2 =i
1
2mi(vR CM + vR i
)2 =
1
2Mv
R CM2 + K + vR CM .
i
mivR i =
1
2
MvR CM2 + K
K =12
T
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Ejercicio 17. Disco y palo. Un disco de masa md = 2kg.
impacta un palo de masa mp = 1kg. que reposa sobre una
superficie de hielo sin roce, con una velocidad vdi = 3m/s.
Suponga que el choque es elstico.
Encuentre la velocidad de traslacin del disco, del palo yla velocidad de rotacin del palo despus del choque.Ip =
1.33kg m2 alrededor de su centro de masa. La longitud
del palo es l = 4m.
mdvdi = mpvs + mdvdf12
mdvdi2 =
12
mdvdf2 +
12
mpvs2 +
12
Ip2
mdvdil
2
=mdvdfl
2
+ Ip
vdf= 2.3m/s vs = 1.3m/s
=2rad/s
Problema 2. Teorema de los ejes perpendiculares.
El momento de inercia de una lmina rgida y plana
respecto a un eje normal a su plano es igual a la
suma de los momentos de inercia respecto a dos
ejes perpendiculares situados en el plano que se
cortan en el eje normal.
I3 =
dm(x2 + y2) =
d mx2 +
dm y2
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Ejercicio 18. Giro sin deslizamiento. Consideremos, como
indica la fig, el giro hacia abajo por un plano incli- nado de
un objeto de periferia circular y una distribu- cin simtrica
de masa alrededor de su centro. (Puede tratarse de uncilindro slido, un cilindro hueco, una esfera, etc.)
Rotacin alrededor del punto instantneo de contacto.
En cualquier instante el movimiento consiste en una
rotacin alrededor de P, punto de contacto con la super-
ficie inclinada. La direccin del eje de rotacin es cons-
tante, aunque su posicin avanza a lo largo del plano. La
aceleracin en el movimiento del cuerpo que rueda se calculateniendo en cuenta que instantneamente el movimiento
es simplemente una rotacin alrededor de un punto en la
periferia del objeto. El momento de la fuerza respecto de P
debe ser igual a la variacin respecto al tiempo del momento
cintico alrededor de P (vase figura).
El carcter del movimiento de un cuerpo rodando es,en cualquier Instante, la rotacin alrededor del punto
instantneo de contacto P.
L = (MR2 + I) =(MR2 + I)v
R = MgR sen
L =M R2 + I
R
a = MgR sen
a =g
1 +I
MR2
sen
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Ejercicio 19. Pndulo fsico
=m gd sen = Io Io = ICM + M d2
Io =m gd 1
=m gd
Io
Permite determinar empricamente Io.
Momentos y productos de inercia:Ejes
principales y ecuacin de Euler
El tensor de inercia es, visto como matriz:
T= I11 I12 I13
I21 I22 I23
I31 I32 I33
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Como ya sabemos, los elementos diagonales se llamanmomentos de inercia.
Los elementos no diagonales son los productos deinercia.
En todo slido rgido, podemos encontrar un conjuntode ejes(ejes principales) donde T es diagonal.
El momento angular del slido respecto a los ejesprincipales es:
LR = I11x + I22y + I33 z
Los ejes principales estn atados al cuerpo y dependendel tiempo(Movimiento relativo).
LR
=I11x
+I22y
+I33 z
+I11x
+I22y
+I33 z
Recordemos que el cambio temporal de un vector enrotacin es:
vR
= R
rR
x = R x
y = R y
z = R z
Ecuaciones de Euler:
LR
= I11x + I22y + I33 z + R LR = R
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R
:torque respecto a los ejes principales.
1 = I11 (I2 I3)23
2 = I22 (I3 I1)31
3 = I33 (I1 I2)12
Ejercicio 20. Rotor rgido de dos partculas. Ejes fijos.
Volvamos al sistema de dos masas puntuales unidas por una
barra sin peso, que giran alrededor de un eje fijo que pasa
por su centro de masas, segn un ngulo arbitrario.
Consideraremos el problema usando los ejes principales
con referencia a la fig. Elegiremos el eje y que coincidacon la barra y origen en el centro de masas. El eje x es
perpendicular a la barra en el plano determinado por la
barra y .
El eje z (no indicado) en el instante representado est
dirigido hacia el observador. Con esta eleccin de ejes
resulta
Ix= 2ma2
Iy = 0
Iz = 2ma2
y = cos
x = sen
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z = 0
J = m a2 sen x
Para mantener la velocidad angular constante debemos
aplicar un torque:
R
= R
JR
1 = 0
2 = 0
3 =2m a2 sen cos =
2ma22 sen cos
Ejercicio 21. Disco circular
Ejercicio 22. Trompo o girscopo
Equilibrio esttico
Condiciones de equilibrio:i
FR i = 0R equilibrio traslacional (1)
i
R i = 0R respecto a cualquier eje. equilibriorotacional
equilibrio translacional:CM se mueve con velocidadv
R cm constante respecto a un sistema inercial.
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equilibrio rotacional: El cuerpo rota con velocidadangular
R
constante, respecto a cualquier eje.
Equilibrio esttico:vR cm = 0R = R
Si (1) se satisface, entonces el torque total no dependedel punto O.
Sea RR el vector posicin de O respecto a O.
R =
i
rR iFR i rR i = RR + rR i
R =
i
rR
i
FR i + RR
i
FR i = R
Ejercicio 23. Balancn
Una tabla uniforme que pesa 40N soporta a un padre y a
su hija que pesan 800N y 350N respectivamente. El pivote
est bajo el centro de gravedad de la tabla.
Si el padre est a 1m del pivote
(a) Encuentre la fuerza normal que el pivote ejerce sobre la
tabla.
n 40800 350 = 0
n = 1190N
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(b) Encuentre donde la nia debe sentarse para equilibrar
el balancn.
800 1 350 d = 0
d =800
350m =2.29m
Ejercicio 24. Escalera inclinada
Una escalera uniforme de largo l y peso mg = 50N se apoya
sobre una pared vertical suave. Si el coeficiente de roce
esttico entre el suelo y la escalera es = .4, encuentre
el ngulo mnimo 0 para que la escalera no deslice.
m gn = 0
nP = 0 frn
mgl
2cosP l sen = 0
tan =m g
Pl=
1
2=1.25
0 = 51
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Ejercicio 25. p357
Un anillo plano de masa M = 2.40 kg, radio interior
Ri = 6.00 cm, y radio exterior Re = 8.00 cm rueda(sin
deslizarse) subiendo un plano inclinado que hace un ngulo
= 36.9(Fig.). Cuando el anillo est en la posicin x =
2.00 m sobre el plano, su velocidad v = 2.80 m/s. El anillo
sigue su ascenso y luego se devuelve, sin salirse del plano
inclinado.
(a) Encuentre el momento de inercia del anillo
(b) Encuentre la distancia xf de mximo recorrido.
I=
dm r2 = 2
Ri
Re
drr3 =
2(Re
4Ri
4)
M = (Re2Ri
2)
ICM =1
2M(Re
2 + Ri2)
(b) L = I = (ICM + M Re2)
v
Re
(ICM + M Re2)
a
Re= Mg sen Re
v = v0 at
tf=v0a
x = x0 + v0t1
2at2
xf= x0 +1
2
v02
a
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Ejercicio 26. p360
Un cilindro con momento de inercia I1 rota alrededor de un
eje vertical sin friccin, con velocidad angular i . Un segudo
cilindro con momento de inercia I2 y que inicialmente no
rota cae sobre el primer cilindro (Fig.). Debido a la friccin
entre las superficies de contacto, los dos cilidros finalmene
alcanzarn la misma volocidad angular f .
(a) Calcule f.
(b) Muestre que la energa cintica del sistema decrece
con esta interaccin y calcule el cuociente entre la energa
cintica final y la energa cintica inicial.
Slo hay torques internos. Se conserva el momentumangular:
I1i = (I1 + I2)f
(a)f=I1
I1 + I2i
(b)Kf=12
(I1 + I2)f2 Ki =
12
I1i2
KfKi
= I1I1 + I2
Ejercicio 27. p385
Una barra uniforme de masa mb y longitud l soporta bloques
de masas m1, m2 en dos posiciones, como se muestra en la
figura. La barra se sostiene en dos puntos.
Para cul valor de x la barra se encontrar balanceada en
P tal que la fuerza normal en O se anula?
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Fuerzas:
nO + nPmbgm1gm2g = 0
Torques:
m2gxmbgdm1gl
2
+ d+ nOl
2
+ d= 0 nO = 0
x =mbd + m1
l
2+ d
m2
Ejercicio 28. p423
Un pndulo fsico en la forma de un cuerpo plano realiza
un movimiento armnico simple con frecuencia f = 0.450Hz. Si el pndulo tiene masa m = 2.20 kg y el pivote est
a una distancia d = 0.350 m del CM, encuentre el momento
de inercia I del pndulo.
I =m gd sen m g d 1
=m gd
I = 2f
I=m g d
42f2
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I=2.2x9.8x.35
4x3.142x.452=
7.557.99
= 0.95
Ejercicio 29. p425
Una esfera slida de radio R rueda sin deslizamiento
en un agujero cilndrico de radio Rc=5R, como semuestra en la Figure P13.56. Muestre que, para
pequeos desplazamientos desde el punto de equilibrio,
perpendiculares a la longitud del agujero, la esfera tiene
un movimiento armnico simple con perodo T=228R
5g
.
L = Iv
R= (ICM + MR
2)v
R =M gR sen =MgR
(ICM + MR2)
a
R=MgR
a = 4R
=
M gR
4(ICM + MR2)
ICM =25
M R2
=5 g
28R
=5g
28R
=
2T
T = 228R
5 g
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