CAPITULO V: DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS. DINAMICA DE UN CUERPO RIGIDO

I. SISTEMA DE PARTICULAS

Cuando en el movimiento interactúa más de una partícula, se tiene un sistema de partículas. Este sistema posee características particulares como posición, velocidad, aceleración. Para poder determinarlas es necesario idealizarlascomo una sola partícula ubicad en el centro de masa de todoel sistema.

1.1 CENTRO DE MASA.

El C.M. de un sistema de partículas es el punto en el cual se considera está concentrado todo el sistema, es decir todo el sistema de partículas se mueve como se mueve el C.M. En un sistema de coordenadas rectangulares se tiene:

xM =∑ximi∑mi

; yM =∑ yimi∑mi

; zM =∑zimi∑mi

que son las coordenadas del CM.

4.2 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASAS.

POSICION. Lo constituye el vector posición con respecto a un punto fijo como el origen de coordenadas.

rCM = ∑r imi∑mi

rCM = r1m 1+r2m 2+…r nmn

m1+m 2+…mn

VELOCIDAD.

r2 rirCM CM (xm. ym, zm)

r1

mi

m2

m1

O X

Z

CM (xm. ym, zm)mi

m3m2

m1

Y

Y

X

Z

VCM = ∑V imi∑mi

= V 1m1+V 2m2+…V nmn

m1+m2+…mn

ACELERACION.

aCM = ∑aimi∑mi

= a1m1+a2m2+…anmn

m1+m 2+…mn

ECUACION DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Para un sistema de partículas:

∑Fi = ∑mi ai = ∑mi ai (∑mi∑mi

) = ∑mi (∑mi a i∑mi

¿ = M aCM

MOMENTUM LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTICULAS.

o MOMENTUM LINEAL DE UNA PARTICULA: p.

p = mV

La cantidad de movimiento de una partícula es una cantidad vectorial, que resulta de multiplicar la masa m de la partícula por su velocidad lineal.

La cantidad de movimiento puede ser variable, dependiendo de las características de la velocidad lineal.

Además. Como p = mV, se cumple:dp =d (mV). Si la masa es constante.

d pdt

= m dVdt

= ma = ∑Fi

Trayectoria de la masa m

mm

V2V1

P2P1

El cambio de la cantidad de movimiento de una partícula en el tiempo, es igual a la masa de la partícula por su velocidad tangencial. Es decir, la resultante de fuerzas que actúan sobre una partícula determinan el cambio de su cantidad de movimiento en un periodo de tiempo. (2ª Ley de Newton.)o MOMENTUM LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTICULAS: P.

Para un sistema de n partículas, la cantidad de movimiento se mide como:

PTOTAL = ∑pi = ∑mi Vi = ∑mi Vi ¿) = M VCM

La cantidad de movimiento de un sistema de partículas es una cantidad vectorial, que resulta de sumar la cantidad de movimiento de cada una de los partículas en un momento determinado

Además.

d P totaldt

= d(M VCM) = M aCM =∑Fi

…….. 2ª Ley de Newton

COLISIONES Y CHOQUES

Trayectoria de la masa m

m2

m1

V2V1

P2P1

DINAMICA DE CUERPO RIGIDO

CUERPO RIGIDO. Es aquél que se considera estar formado por un número infinito de partículas el cual no sufre deformaciones cuando actúa sobre él un sistema de cargas, es decir, la distancia entre dos partículas del cuerpo se mantiene constante con o sin la presencia de cargas.

MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO

Se considera que el movimiento de un cuerpo rígido puede presentarse de dos formas:

Movimiento traslacional: Cuando el segmento de línea que une a dos puntos del cuerpo rígido se mantiene paralelo a sí mismo durante todo el movimiento. Esta traslación puede ser rectilínea o curvilínea.

Movimiento rotacional: Cuando cada una de la s partículas del cuerpo se mueven siguiendo trayectorias circulares cuyos centros están sobre un eje fijo. El CR gira sobre este eje.

P

QQ

Fi F3

F2F1

A B A B

SIN CARGAS CON CARGAS

P P

Traslación Rectilínea Pura

P

Q

QTraslación Curvilínea Pura

CANTIDAES ANGULARES. Si el eje de rotación coincide con el eje Z, tenemos:

VELOCIDAD ANGULAR: Es la rapidez de cambio de la coordenada angular de posición θ.

ω = dθdt

k

ACELERACION ANGULAR: Es la rapidez de cambio de la velocidad angular.

α = dωdt

k

VELOCIDAD TANGENCIAL

V = d rdt

; V= ωxr = ωrsenϕ

ACELERACION

a = d vdt

= d (wxr )dt

= ωxdrdt

+ dwdt

x r

a = ωxV + αxr = ωx(ωxr) + αxra = aN + at

MOMENTUM ANGULAR DE UN CR.

LCR =( rCM x mVCM) + ICM ω, donde:

LCR: momentum angular del cuerpo rígido.ICM: momento de inercia con respecto al centro de gravedad del CR.ω : velocidad angular del CR.ICM ω : momentum angular del cuerpo rígido respecto a su CM.

Si la rotación se produce en un plano, es decir el movimiento es planar, la ecuación anterior se reduce a:

LCR = Io ωI0: momento de inercia con respecto cualquier eje perpendicular al plano.

Vdθρ

OYX

Zω

P P

oRotación Pura

rϕ

Eje de rotación fijo

Si la rotación se produce en un plano, y el cuerpo gira en torno a su eje de simetría, tendremos:

LCR = ICM ω

CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA. En general:

I = ∫ r2 dm

r: distancia del eje de rotación a cada partículadm: masa de la partícula.

Pero: ρ=m/V; m= ρV; dm = ρdV, cuando ρ es constante.

I = ∫ r2 dm= I = ∫ r2 ρdV = ρ ∫ r2 dV

dV: diferencial de volumen, que según el caso puede clasificarse como líneas, áreas o sólidos.

Ejemplo: Para una barra delgada como la de la figura siguiente, el momento de inercia respecto al eje Y será:

Iy = ∫ x2 dm dm= ρdV yM = ρV

entonces:dmdV

=¿ MV

; dmAdx

= MAL

; de aquí dm = ML

dx

Iy = ∫ x2 dm = Iy =ML

∫−h

L−h

x2dx

Iy = M3

(L2−3 Lh+3h2)

Si h=0: Iy = M3L2

Si h=L/2: Iy = M12L2 (momento de inercia respecto al CM)

L-h

M,L,A

dxxh

dm

r

X

Y

2. A continuación se presentan los momentos de inercia de las principales figuras planas, lineales y cúbicas.

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER.

Un CR tiene infinitos momentos de inercia, de acuerdo al eje con respecto al cual se deseen determinar a éstos.

Por tanto, conocido el momento de inercia respecto a un eje que pasa por su CM, se puede determinar el momento de inercia con respecto a otro eje que pase por cualquier punto como:

IP = ICM + Md2

Ejemplo: Hallar el momento de inercia de un disco delgado de masa M y radio R alrededor de un eje perpendicular a su plano en el borde.

IX´= IX + Md2

IX´= ½ MR2+ MR2

IX´= 3/2 MR2

ECUACION DEL MOVIMIENTO DE UN CR.

El movimiento de un CR en general, queda determinado por las siguientes ecuaciones:

∑Fi = M aCM ; ∑Mp = Ip α ;

Es decir: En función de sus componentes rectangulares:

∑Fx = M ax ; ∑Fy = M ay ; ∑Mpz = Ipz α

En función de sus componentes tangencial y normal:∑Fn = M an = Mω2r ; ∑Ft = M at =Mαr ; ∑Mpz = Ipz α r= radio de giro. Distancia entre un punto fijo de rotación y el CM

del CR. Si la rotación tiene lugar alrededor de un eje que pasa por el CM del cuerpo

rígido, el radio de giro r=0. Entonces, el CR sólo rota.∑Fn = 0; ∑Ft = 0; ∑MCMz = ICMz α ∑Fx = 0; ∑Fy = 0; ∑MCMz = ICMz α

CM

dPCM

Eje PEje CM

d = R

X

X´

ENERGIA CINETICA DE ROTACION DE UN CR.

Sabemos que: Ec = ½ mv2.Pero v=rω. Entonces Ec = ½ m(rω)2 = ½ mr2ω2

Siendo I = mr2

Ec = ½ I ω 2. …….Energía cinética de rotación.

Rotación y traslación: Ec = ½ M V 2 CM

+ ½ ICM ω 2

Rotación pura: Ec = ½ ICM ω 2

EJEMPLOS DE APLICACION