dinamica de sistemas de tuberias1 - usuarios de...

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Universidad Simón Bolívar

MC-7178 Sistemas de tuberías II

Euro Casanova, junio 2005

Esp. en ingeniería mecánica de plantas de procesos

MC-7178Sistemas de Tuberías IIAspectos Dinámicos

Por :Euro CASANOVA Departamento de Mecánica, USBOfc.: MEU-317B email: [email protected]: http://prof.usb.ve/ecasanov

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Esquema del curso • Introducción

• Código ASME B31.3

• Tipos de vibración

• Fuentes de vibración (excitación)

• Diseño, prevención y control

• Descripción matemática del fenómeno vibratorio

• Sistema masa-resorte-amortiguador (1 grado de libertad)

• Sistemas discretos de múltiples grados de libertad

• Modelado numérico de problemas en dinámica de estructuras

• Simulaciones numéricas CaesarII y ANSYS

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• Los sistemas de tuberías, como todos las estructuras mecánicas, son susceptibles de experimentar problemas de vibraciones (resonancia).

• Los esfuerzos dinámicos además de ser alternativos (fatiga) pueden ser varias veces mayores que los esfuerzos estáticos (amplificación dinámica).

• Muchos de los problemas dinámicos se observan sólo cuando la planta ya está en operación.

• La experiencia indica que una amplitud de vibración de 1/16” (1.6 mm) en una línea de mas de 12” de diámetro (300 mm) es suficiente para causar alarma en el personal si la tubería está en un espacio cerrado. (1/4” = 6 mm si está en el exterior) !

I. Introducción

II. Código ASME

III. Tipos de Vibración

IV. Diseño, prevencióny control

V. Fenómeno vibratorio

VI. Simulación numérica

Observaciones generales

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• Los aspectos dinámicos en sistemas de tuberías no son en general la variable mas importante para el diseño, salvo en líneas críticas.

• Las técnicas para el estudio de problemas dinámicos son relativamente complejas y requieren en general, de experticia en el modelado numérico.

I. Introducción

II. Código ASME





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I. Introducción

II. Código ASME





Código ASME B31.3

• 301.5.3 Impact. Impact forces caused by external or internal conditions (including changes in flow rates, hydraulic shock, liquid or solid slugging, flashing, and geysering) shall be taken into account in de design of piping.

• 301.5.3 Wind. The effect of wind loading shall be taken into account in the design of exposed piping. The method of analysis may be as described in ASCE 7, Minimum Design Loads for Buildings and Others Structures, or the Uniform Building Code.

• 301.5.3 Earthquakes. Piping shall be designed for earthquake-induced horizontal forces. The method of analysis may be as described in ASCE 7, Minimum Design Loads for Buildings and Others Structures, or the Uniform Building Code.

PART 1: Conditions and criteria / Design conditions

301.5 Dynamics effects

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• 301.5.4 Vibration. Piping should be designed arranged, and supported so as to eliminate excessive and harmful effects of vibration which may arise from such sources as impact, pressure pulsation, turbulent flow, vortices, resonance in compressors, and wind.

• 301.5.6 Discharge Reactions. Piping shall be designed, arranged, and supported so as to withstand reaction forces due to let-down or discharge of fluids.

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• Vibraciones libres

• Respuesta a condiciones iniciales (impulsos)

• Vibraciones forzadas

• Respuesta armónica a una excitación periódica

• Respuesta transitoria

• Vibraciones autoexcitadas

• Respuesta transitoria a una excitación interna,

debido en general a inestabilidades

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• Excitaciones determinísticas(Origen: interno / humano / mecánico)

• Periódicas

• Armónicas simples (desbalance)

• Armónicas complejas

• No-periódicas

• Transitorias (arranque o parada de un equipo, perdida de un alabe)

• Impulsivas (choques, válvula de alivio, choque del rotor y la carcaza)

• Excitaciones aleatorias(Origen: externo / natural / físico )

• Estacionarias (estadística no depende del tiempo)

• No-estacionarias (estadística depende del tiempo) (ola, viento, sismos)

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• Considerar efectos dinámicos sólo en líneas críticas o que manejen fluidos tóxicos o inflamables.

• No se analizan casos de cargas concurrentes (se analiza cada caso por separado y se diseña en base al caso más severo)

• Se diseña en base a cargas estáticas afectadas por factores dinámicos

Diseño

• Supresión, disminución o modificación de las excitaciones

• Aislamiento (fundación flexible, aislamiento acústico)

• Modificación del sistema de tuberías• Soportería• Trazado del sistema• Inclusión de rigidizadores, amortiguadores, etc.

Prevención y control

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Un sistema masa – resorte - amortiguador está formado por:

• Una masa, en donde se concentra toda la masa e inercia del sistema (energía cinética)

• Un resorte, donde se concentra toda la rigidez/flexibilidad del sistema (energía potencial elástica)

• Un amortiguador viscoso lineal, donde se concentran todas las fuentes de disipación de energía del sistema (energía de disipación)

mk

c

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Diagrama de cuerpo libre

( ) ( ) ( ) ( )tttt fkxxcxm =++ &&&

( ) 00 x==tx

( ) 00 v==tx&Condiciones iniciales:

Ecuación diferencial, ordinaria, de 2do orden, lineal, no-homogénea

kxf(t)

xc&m

mg

Nx(t)

mk

cf(t)

p.e.e.

Ecuaciones de movimiento:

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La ecuación de movimiento se expresa:

Definiendo:

• Frecuencia natural del sistema:

• Factor de amortiguación:

( ) ( ) ( )( )

mf

xxx ttntnt =++ 22 ωζω &&&

mk

n =ω

02

≥=nm

cω

ζ[adimensional]

[r/s]

Ecuaciones de movimiento:

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( ) ( ) ( ) 02 2 =++ tntnt xxx ωζω &&&

( )t

t Aex λ=

02 22 =++ nn ωλζωλ

dn iωζωλζ ±−=⇒<≤ 10

Sol. propuesta:

Ecuación característica:

Valores de λ en función de ζ:

• Sist. sub-amortiguado (oscila)

• Sist. críticamente-amortiguado (no oscila)

• Sistema sobre-amortiguado (no oscila)

21 ζωω −= ndFrecuencia natural

amortiguada

Ecuación de movimiento:

Respuesta Libre -> Excitaciones externas nulas

12 −±−= ζωζωλ nn

(armónica)

11 2 −±−=⇒> ζωζωλζ nn

nωλζ −=⇒=1

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( ) ( ) ( )[ ]tSinAtCosAex ddt

tn ωωζω

21 += −

Solución:

Dependen de las condiciones iniciales ( ) 00 x==tx

( ) 00 v==tx&

0 4 8 12 16 20 24 28-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo [s]

x(t)

[m]

Respuesta Libre

dn iωζωλ ±−=

x(t)

mk

c

p.e.e.

15





Frecuencia de excitación

Solución propuesta:


( ) ( ) ( )tptht xxx +=

( ) ( )γ−Ω= tSinXx tp

−= −

21

12

rrtg ζγ

( ) ( )222

0

21 rrk

fX

ζ+−=

( ) ( ) ( )[ ]tSinAtCosAex ddt

thn ωωζω

21 += −

Solución homogénea (transitoria):

Solución particular (permanente):

Amplitud Desfasaje

n

rωΩ

=Relación de frecuencias

( ) ( ) ( ) ( )tSinmfxxx O

tntnt Ω=++ 22 ωζω &&&

Resp. forzada: Excitación armónica

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Factor de amplificación

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

4

5

6

Relación de frecuencias, r

kfX0

( ) ( )2220 21

1

rrkfX

ζ+−=

ζ = 0.001ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1

Desfasaje

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

20

40

60

80

100

120

140

160

180


γ

−= −

21

12

rrtg ζγ

ζ = 0.001ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1

( ) ( )( ) ( )

−−Ω

+−=−Ω= 2222

0

12

21 rrtSin

rr

kftSinXx tpς

ζγ


17





0 5 10 15 20 25 30 35-3

-2

-1

0

1

2

3

Tiempo [s]x(

t)[m

]

x(t) = xh(t)+xp(t)

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )γωωζω −Ω++=

+=− tSinXtSinAtCosAe

xxx

ddt

tptht

n21

x(t)

mk

cf(t)

p.e.e.

Dependen de las condiciones iniciales ( ) 00 x==tx

( ) 00 v==tx&


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k cx(t)(M-m )

θ(t) = Ω t

m

p.e.e.

Ωe

( ) ( ) ( ) ( )tSineMmxxx tntnt ΩΩ=++ 222 ωζω &&&

( ) ( )γ−Ω= tSinXx tp

( ) ( )222

2

21 rr

rMmeX

ζ+−=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

4

5

6

Relacion de frecuencias, r

meMX

( ) ( )222

2

21 rr

rmeMX

ζ+−=

ζ = 0.001ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1

Resp. forzada: Excitación armónica debida al desbalance


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k c

x(t)m

p.e.e.

z(t) = Z0 Sen(Ω t)

y(t)

( ) ( ) ( ) ( )tSinm

Zmyyy tntnt ΩΩ

=++2

022 ωζω &&&

( ) ( )222

2

021 rr

rZYζ+−

=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

1

2

3

4

5

6


0ZY

( ) ( )222

2

0 21 rr

rZY

ζ+−=

ζ = 0.001ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1

Resp. forzada: Excitación armónica debida a movimiento de la base


( ) ( )γ−Ω= tSinYy tp

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( ) ( )tptptr kxxcf += &

Transmisibilidad

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

4

5

6


ζ = 0.001ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1

0fftr

( )( ) ( )222

2

0 2121

rrr

fftr

ζζ+−

+=

( )tSenff t Ω= 0)(

Transmisibilidad

( )tSenmef t ΩΩ= 2)(

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

4

5

6


2n

tr

Mefω

( )( ) ( )222

22

2 2121

rrrr

mef

n

tr

ζζ

ω +−

+=

ζ = 0.001ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1

Resp. forzada: Fuerza transmitida a la fundación

21





f2 Cos(Ω t)k1

x1

m1c1

x2

m2

c2

x3

m3

c3

k2 k3

• Varias masas con N grados de libertad (GDL), en donde se concentran todas la masas e inercias del sistema (energía cinética)

• Varios resortes, donde se concentran todas la rigideces / flexibilidades del sistema (energía potencial elástica)

• Varios amortiguadores viscosos lineales, donde se concentran todas las fuentes de disipación de energía del sistema.

Un sistema de múltiples gdl está formado por:

22





Utilizando las Ecuaciones de Lagrange o haciendo los diferentes diagramas de cuerpo libre y aplicando la 1ra y 2da Ley de la Mecánica, se obtienen N ecuaciones diferenciales ordinarias, de 2do orden y acopladas, que describen el movimiento del sistema.

( )

=

)(

)(1

tN

t

t

x

xMx

( ) 00 xx ==t

( ) 00 vx ==t&

Con las condiciones iniciales:

Definiendo el vector de coordenadas físicas como:

Las N ecuaciones se pueden escribir en forma matricial como:

( ) ( ) ( ) ( )tttt fKxxCxM =++ &&&

Ecuaciones de movimiento para un sist. de N gdl:

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( ) ( ) ( ) 0KxxCxM =++ ttt &&&

( )t

t eλφx =

[ ] 0φKCM =++ λλ2

=

−

−− −−

00

φφ

I0I

KMCM λλ

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Problema de autovalores en la forma cuadrática:


Problema de autovalores en la forma estándar:

2N autovalores complejos conjugados (parte real < 0)2N autovectorescomplejos conjugados

2N constantes que dependen de la condiciones iniciales:

( ) 00 xx ==t

( ) 00 vx ==t&

La solución decae en el tiempo !

jj AA 21 ,

iba jjj ±−=λ

ijj IRj φφφ ±=

Nj L1=

Respuesta Libre -> Excitaciones externas nulas

(armónica)

Solución: ( ) ( ) ( )[ ]∑∑=

−

=

±− +==N

jjjjj

taj

N

j

tibajt tbSinAtbCosAee jjj

121

1)( φφx

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( ) ( ) ( )ti

ttt e Ω=++ OfKxxCxM &&&

( ) ( ) ( )ththt xxx +=

( )( )φ+Ω= ti

tp eψx

[ ] OfψKCM =+Ω+Ω− φiei2

Ω−ΩΩ−Ω−

=

−

0f

MKCCMK

ψψ O

1

2

2

I

R



Solución homogénea (transitoria):

Solución particular (permanente):

Sistema de N ecuaciones con Nincógnitas en variable compleja:

Solución álgebra real

( ) ( )[ ]∑=

− +=N

jjjjj

tajth tbSinAtbCosAe j

121)( φx

Frecuencia de excitación

Respuesta forzada: Excitaciones armónicas

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0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

Frecuencia de excitación, ΩA

mpl

itud

de la

resp

uest

a, |x

i|

|x1||x2||x3|

0.8

1

f Cos(Ω t)k

x1

mc

x2

mc

x3

2mc

k k

m = 1, c = 0.5, k = 10, f = 1, Ω = 0...10

=

mm

m

2000000

M

−−−

−=

ccccc

cc

02

02C

−−−

−=

kkkkk

kk

02

02K

=

3

2

1

xxx

x

±−±−±−

=iii

j

5.5140.7753.5530.3181.1250.032

λ

[ ]321 φφφΦ =

Autovalores

Autovectores

Respuesta forzada: Excitaciones armónicas (ejemplo)

=

0

0fOf

+−−−−+−−

++−−=

iiiiii

iii

01.002.010.001.014.049.008.011.015.002.010.036.0

07.010.020.003.005.019.0Φ

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42

ALEI

nn ρλω =

Frecuencias propias de vigasbajo diferentes condiciones de apoyo

* Valor aproximado

πρλω

21

42

ALEI

nn =[r/s] [Hz]

(2n+1) π/210.9967.8534.730encastrada-encastrada

(4n-1) π/48.6395.4982.365empotrada-guiada

(4n+1) π/410.2107.0693.927empotrada-articulada

nπ9.4256.2833.142articulada-articulada

(2n-1) π/27.8554.6941.875empotrada-libre

(2n-1) π/27.8545.7121.561guiada-articulada

(n-1) π6.2833.1420guiada-guiada

(4n-3) π/47.0693.9270libre-articulada

(4n-5) π/25.4982.3650libre-guiada

(2n-1)π/27.8534.7300libre- libre

n > 3 *n = 3n = 2n = 1Condición de apoyo

Valor propio λn

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• Método del elemento finito

• Matrices de masa, rigidez y amortiguación

• Ecuación de movimiento del sistema

• Tipos de análisis

• Frecuencias propias y modos de vibración de viga

Modelado numérico de problemas en dinámica de estructuras

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Simulaciones numéricas en ANSYS

Viga empotrada en un extremo

Viga L empotrada en ambos extremos

modo 1

modo 2

modo 3

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FIX HEADBOUNDARY CONDITIONPs = 10 psig

TIME FLOW

BOUNDARY CONDITION

t Q

0 35 70-1

0

1

0 35 70-1

0

1

Cálculo de frecuencias, modos propios de vibracióny de la respuesta forzada armónica en sistemas de tuberías bajo condiciones de flujo pulsante

Problemas dinámicos

dinamica de sistemas de tuberias1 - usuarios de...

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