!!!!!!Apunts de: !!!

�1

DINÀMICA

Isaac Newton(1643-1727)

!LLEIS DE LA DINÀMICA !

Forces. !L’any passat vam veure que la força és la manera en què la matèria es “comunica” amb altra matèria. Aquest any veurem noves aplicacions del concepte de força i aprofundirem en la idea. Com sabeu, la força és una mesura de la interacció entre dos cossos i la Tercera Llei de la Dinàmica ens explica com és aquesta interacció. La 3a LLei de la Dinàmica està intrínsecament lligada al concepte de força: !Com a conseqüència:

1. Per haver-hi força cal que hi hagi dos cossos. 2. La força és una acció que fa un cos sobre un altre cos. Per tant, els cossos no tenen força, fan força sobre un altre cos. 3. La 3a Llei de la Dinàmica ens diu com ha de ser aquesta interacció !!

3a LLEI DE LA DINÀMICA: També coneguda com a 3a Llei de Newton.

Quan dos cossos interaccionen, la força que el primer fa sobre el segon és igual i de sentit contrari a la que fa el segon sobre el primer. !!!!!!!

La força que la Lluna fa sobre la Terra, FLT, és igual i de sentit contrari a la que la Terra fa sobre la Lluna, FTL !! Això és el que ens diu la tercera llei de la dinàmica, les forces que es fan dos cossos qualsevols són iguals i de sentit contrari. !El parell de forces a què fa referència la 3a Llei de la Dinàmica actuen sobre cossos diferents i, per tant, NO ES PODEN ANULAR!!!!!!!!!. !!!Les dues forces que actuen sobre el cos de la figura mai poden ser el parell de forces a què fa referència la 3a Llei de la Dinàmica ja que actuen sobre el mateix cos. Perquè actuen sobre el mateix cos les dues forces es poden anular si tenen el mateix valor. !!!!

�2

F12 = −

F21

!F12 = !

!F21

!En aquesta segona imatge les forces que apareixen poden ser de la 3a llei de la dinàmica si són el resultat de la interacció entre els dos cossos. Per tant, actuen sobre cossos diferents i mai es podran anular físicament. Per contra, si féssim una suma algebraica d’aquestes forces naturalment s’anularien ja que. !!!!!!La força, que és la mesura de la intensitat de la interacció entre els dos cossos, es mesura en el sistema internacional en NEWTONS, N. La força és una magnitud vectorial i com a tal s’ha de manipular i operar. !!Exemples: !

Quan un nadador impulsa l’aigua cap enrera, l’aigua impulsa al nadador amb una força igual i de sentit contrari, és a dir, cap andavant. ! ! !!!!!

Quan la pilota impacte amb la raqueta, la mateixa força que la pilota fa sobre la raqueta cap a la dreta, la raqueta la fa sobre la pilota cap a l’esquerra !!!!

Mentre el projectil recorre el canó de l’arma, la mateixa força que actua sobre el projectil també actua sobre l’arma però de sentit contrari. !Malgrat les forces que actuen sobre els dos cossos són iguals i de sentit contrari, els efectes d’aquestes forces sobre cadascun d’ells SERÀN DIFERENTS. !El 2n Principi de la Dinàmica ens explica quins són els efectes de les forces sobre un cos.

�3

!F12 = !

!F21

F1 = −

F2

A1: Un nen juga a tirar una pedra amb un tiraxines. dibuixa totes les forces que actuen sobre la pedra en el moment que el nen deixa anar a la pedra i aquesta és impulsada pel tiraxines. També dibuixa les forces que acompanyen a les anteriors segons la tercera llei de la dinàmica. !A2: Indica quines de les forces de l’activitat anterior són per contacte o a distània. !!2a LLEI DE LA DINÀMICA !La Segona llei de la Dinàmica ens explica què li passa a un cos quan la suma de forces, és a dir, la força resultant, que actuen sobre ell no és zero:

La força resultant provoca, al cos de massa “m”, una acceleració “a” mentre actua. La relació entre ellles ve donada per: !!!!!!

Conseqüències de la 2a Llei de la Dinàmica: 1. La força resultant i l’acceleració del cos són dos vectors que tenen la mateixa direcció i sentit. 2. L’efecte de la força resultant, l’acceleració, és inversament proporcional a la massa del cos. !

Diego empeny a Begoña amb una força, F12, a la vegada, Begoña empeny a Diego amb F21, Les dues forces són iguals i de sentit contrari, però les acceleracions són diferents!!!, és a dir, els efectes són diferents. Com Begoña té una massa més petita que Diego, la seva acceleració serà més gran que la de Diego. !!!A3: La massa de Diego és de 80 kg i la de Begoña 50 kg. Si Diego fa una força de 200 N sobre Begoña, indicar o calcular:

a. Quina força fa Begoña sobre Diego? b. Quina acceleració provoca la força de Diego sobre Begoña? c. Quina acceleració produirà la força de Begoña sobre Diego? !

A4: La massa de la Terra és de 6,0x1024kg i la massa de la LLuna és 7,4x1022kg. La força que fa la Terra sobre la Lluna és 2,0x1020N, calcular:

a. Quantes vegades és més gran la massa de la Terra que la massa de la Lluna? b. Quina força fa la LLuna sobre la Terra? Fes un dibuix. c. Quina acceleració provoca la força que fa la Terra sobre la Lluna? d. Quin tipus d’acceleració, tangencial o centrípeta, és la provocada per la força que fa la

Terra sobre la lluna? e. Què trobes que passa amb la Terra a causa de la força que fa la LLuna sobre ella? !

�4

FR =

F =m ⋅ a ∑ ⇔ a =

F∑m

!1a LLEI DE LA DINÀMICA o Llei de la Inèrcia ! La 1a Llei de la dinàmica és una conseqüència de la segona Llei. Per veure-ho és suficient preguntar-se: què li passa a un cos si la força resultant que actua sobre ell és zero?. ! !!!Per tant, si la força resultant que actua sobre un cos és zero l’acceleració també ho serà i la velocitat ha de ser un vector constant. Això ens dóna dues possibilitats:

1. El mòbil es mou amb un moviment uniforme i rectili respecte a un Sistema de Referència Inercial (Es considera un sistema de referència inercial aquell que no està sotmés a cap tipus d’acceleració). 2. Un cas particular de velocitat constant és que la velocitat sigui zero, és a dir, que el mòbil estigui aturat respecte a un sistema inercial. Aquesta és una situació habitual de molts cossos que estan en el nostre planeta, és a dir, la suma de forces sobre el cos dóna zero. En aquests casos deim que el cos es troba en equilibri. !

És a dir, des del punt de vista dinàmic les dues situacions anteriors són equivalents.

!!!A5: Indica si són vertaderes o falses les següents afirmacions:

a. Quan un cos es mou a velocitat constant no actua cap força sobre ell. b. Si un mòbil es mou sempre a 20 km/h segur que la força resultant que actua sobre ell és

zero. c. Si la suma de forces que actuen sobre un cos és nul·la, llavors el cos està aturat. d. Si un cos està aturat, segur que la suma de forces que actuen sobre ell és zero. e. Si un cos es mou en línia recte no actua cap força sobre ell. f. Si la suma de forces que actuen sobre un cos no és zero el cos té algun tipus d’acceleració. g. Si un cos es mou a rapidesa constant i en línia recte llavors la suma de forces que actuen

sobre el cos és zero. h. si un cos es mou sobre una trajectòria curvilínia, el cos segur que té acceleració i la força

resultant sobre el cos és diferent de zero. !!

�5

FR =

F =m ⋅ a ∑ ⇔ a =

F∑m

FR =

F = 0 ⇔ a = 0 ⇔ v = cte∑

Un dels avenços funomentals en la comprensió del moviment va ser entendre que dinàmicament no hi diferència entre estar aturat o moure’s a velocitat constant en una trajectòria rectilínia.!Van ser primer Galileo( 1564 -1642) i després Newton els primers que van entendre aquest fet.

!!!INTERACCIONS BÀSIQUES EN LA NATURA !Amb aquest titular ens referim a la naturalesa de les forces que coneixem i que es posen de manifest a la natura. És a dir, què ocasiona que existeixin forces entre la matèria. En coneixem quatre: !- La gravitatòria és la força d’atracció que un tros de matèria exerceix sobre un altre, i afecta tots els cossos. La massa és la causant d’aquesta força i el seu abast és infinit. La gravetat és una força molt feble i tan sols és observable quan, com a mínim, una de les masses és molt gran, per exemple un planeta.

- La força electromagnètica afecta als cossos elèctricament carregats, positivament o negativament, i és la força involucrada en les transformacions físiques i químiques d’àtoms i molècules. És molt més intensa que la força gravitatòria i el seu abast també és infinit.

- La força o interacció nuclear forta és la que manté units els components dels nuclis atòmics, i actua indistintament entre dos nuclis qualssevol, protons o neutrons. El seu abast és molt curt, prop de les dimensions nuclears, però per aquestes distàncies és més intensa que la força electromagnètica.

- La força o interacció nuclear feble és la responsable de la desintegració beta dels nucleons; els neutrins són sensibles únicament a aquest tipus d’interacció. La seva intensitat és menor que la de la força electromagnètica i el seu abast és encara menor que el de la interacció nuclear forta.

Tot el que succeeix a l’Univers que ens envolta ho justifiquem per l’actuació d’una o vàries d’aquestes forces.

De totes aquestes interaccions, de moment, ens fixarem en la intercció gravitatòria, però ha de quedar clar que sigui quin sigui l’origen de les forces les Lleis de la Dinàmica segueixen sent vàlides i les aplicarem a tot tipus d’interacció.

!!!!!!!!!

�6

!El camp gravitatori o l’acceleració de la gravetat !Com queda la llei de gravitació de Newton pel cas de la Terra i la Lluna, per exemple?

En aquest cas la llei de la gravitació universal queda: On: - FTL és la força que fa la Terra sobre la Lluna - MT és la massa de la Terra. - r2TL és la distància Terra - Lluna al quadrat. -ML és la massa de la Lluna !

Malgrat tot, la idea d’una acció a distància, per exemple la força entre la Terra i la Lluna sense que tinguin contacte, mai ha satisfet als científics i, per solucionar el problema es van inventar el concepte de CAMP, en aquest cas de CAMP GRAVITATORI (*). !La idea es basa en suposar que la Terra, o una altre massa, crea una pertorbació de l’espai al voltant seu i aquesta modificació de l’espai és la que interacciona amb qualsevol altre massa que hi posem, per exemple la Lluna, i provoca la força. El Camp Gravitattori de la Terra creat en un punt que està a una distància “r” ve definit per: !!(*) Les teories actuals donen entitat física real al concepte de camp. !

�7

LLEI$DE$GRAVITACIÓ$DE$NEWTON$Newton$(1642$:$1727),$a"par%r"de"l’equació"de"l’acceleració"centrípeta"trobada"per"Huygens"va"ser"el"primer"cien:fic"en"especificar"com"havia"de"ser"la"força"d’atracció"entre"el"Sol"i"els"planetes"per"provocar"la"seva"acceleració"centrípeta."I"demostrà"que"tan"sols"una"força"inversament"proporcional"al"quadrat"de"la"separació"era"compa%ble"amb"les"òrbites"elDlíp%ques"de"Kepler."A"més,"va"fer"la"hipòtesi"que"aquesta"força"exis%a"entre"dos"cossos"qualsevols"de"l’univers"la"poma"i"la"Lluna,"per"exemple.""

Llei$de$gravitació:"!!12 =!!

"1 !!2

"122

!!12

m1# m2#

!!12

!!12

!!12

•  G=#6,67x10*11#N.m2/kg2#és#la#constant#de#gravitació#universal.#Cavendish#1798.#•  El#vector#######és#un#vector#unitari,#mòdul#1,#sobre#el#cos#m1#i#que#té#el#sen@t#del#cos#1#

al#cos#2.#•  La#força########,#és#la#força#que#fa#el#cos#1#sobre#el#2#!#té#el#seu#punt#d’aplicació#en#el#

cos#2#i#apunta#al#cos#1,#ja#que#la#força#és#atrac@va.#•  La#tercera#Llei#de#la#Dinàmica#ens#assegura#que###############.#Per#tant#el#cos#2#fa#una#

força#sobre#el#cos#1#que#és#igual#i#de#sen@t#contrari.#

!!12

!!12 =!

!!21

FTL = −G

MT ⋅ML

rTL2

ur

g = −G MT

r2ur

!És important veure que en l’equació que defineix el camp gravitatori tan sols apareix la massa del cos que crea el camp i és independent de la massa del cos que hi posem en aquell punt que es troba a una distància “ r ”. També podem veure que podem reescriure la força gravitatòria que fa, per exemple la Terra sobre la Lluna, en funció del camp gravitatòri que crea la Terra en aquell punt, així: !!!!Si comparem aquesta equació amb l’equació general de la Dinàmica, F=m·a, és fàcil veure que el camp gravitatori de la Terra té unitats d’una acceleració, és una acceleració. Aquesta és l’acceleració que tindria qualsevol massa situada en un punt que estés a una distància “ r “ de la Terra. El que diem és que l’acceleració, el camp gravitatori, que provoca la força gravitatòria de la Terra sobre la LLuna és la mateixa que tindria una poma posada a la mateixa distància de la Terra que la Lluna. Això ho podem entendre amb el següent raonament: !

La massa de la LLuna és molt més gran que la massa d’una poma i, per tant, la força gravitatòria entre la Terra i la Lluna també serà molt més gran que la que existiria entre la Terra i una poma. Però, l’acceleració de cada cos és inversament proporcional a la seva massa i aquest fet contraresta exactament l’evidència anterior i provoca que tan la poma com la LLuna, o qualsevol altre cos, tinguin la mateixa acceleració quan es troben a la mateixa distància de la Terra. !!

Camp gravitatori de la Terrra sobre la seva superfície !Com la majoria dels nostres problemes estaran ubicats sobre la superfíce de la Terra, ens interessa trobar el valor de l’acceleració de la gravetat sobre la seva superfície:

�8

LA#TERRA#

•  La#Terra#és#un#planeta#que#gira#al#voltant#del#Sol#a#una#distància#de#1#au,#uns#150#milions#de#kilòmetres.#

•  La#massa#de#la#Terra#és#de#5,974x1024#kg.#El#seu#radi#RT=#6378#km.#•  La#Intensitat#del#Camp#Gravitatori#creat#per#la#Terra#sobre#la#seva#superNcie#ve#donada#

per:#

•  La#força#que#fa#aquest#camp#sobre#qualsevol#cos,#de#massa#“m’#“,#que#esTgui#sobre#la#superNcie#de#la#Terra#ve#donat#per:# !

!" = !# "!"

•  La#força#atracTva#que#fa#la#Terra#sobre#el#cossos#que#es#troben#en#la#seva#superNcie#li#donem#un#nom#especial,#li#diem#PES#del#cos.#

## !! =!" = !# "

!$

!!0 =!!

"# 2!!" =!6!674!10

!11 5!974!1024

"6!378!106#2=!9!80$!%! $&'(2 Acceleració)de)la)

gravetat!!))

Si volem calcular el camp gravitatori en altres astres que no sigui la Terra, tan sols cal aplicar l’equació del camp gravitatori. Per exemple per al planeta Mart tidriem: !!!!!!aquest càlcul per a Mart dóna 3,7 m/s2. El mateix podem fer per a qualsevol altre astre.

!!!També es pot atribuir al camp la idea que és la força que faria l’astre sobre la unitat de massa, 1 kg, posat en el punt on calculem el camp. És a dir, també es defineix g=F/m i també es podem donar les unitats del camp gravitatori en N/s. !!!A6: Busca la massa del Sol, la distància entre la Terra i el Sol i calcula:

a. La força gravitatòria entre la Terra i el Sol. b. El camp gravitatori que crea el Sol sobre la Terra. c. El camp gravitatori creat pel Sol sobre un satèl·lit que es troba a la mateixa distància del

Sol que la Terra. d. Quina acceleració té la Terra a causa de la de la força que fa el Sol sobre ella? e. Quina acceleració té el satèl·lit de l’apartat “c”?. f. Quin tipus d’acceleració tenen la Terra i el satè·lit? g. Quina velocitat han de tenir la Terra i el satèl·lit per a tenir l’accelració que has trobat en

l’apartat anterior?. !A7: A quina distància cal allunyar-se del centre de la Terra perquè l’acceleració de la gravetat sigui la meitat que la que tenim sobre la superfície de la Terra? !A8: Cerca les dades que creguis necessàries per a calcular l’acceleració de la gravetat sobre la superfície de Plutó. !!!

�9

gMart =GMMart

RMart2

g = −G MT

r2ur

MART; g= 3,7 N/kg = 3,7 m/s2TERRA; g= 9,8 m/s2 LLUNA; g= 1,6 m/s2

!!Forces per contacte i forces a distància

Encara que no és molt ortodoxa la classificació que farem ara, ens serà útil des del punt de vista pràctic ja que ens ajudarà a identificar les forces que actuen sobre un cos.

- Forces que actuen a distància: com per exemple, la força de la gravetat o les forces electromagnètiques. En aquests casos no cal que hi hagi contacte directe entre els objectes. Els astres no estan en contacte, malgrat això, la força gravitatòria existeix entre ells.

- Forces de contacte (*): es donen quan dos cosos tenen les seves superfícies en contacte directe.

(*) cal precisar que el que normalment coneixem com contacte, tocar, tan sols és la percepció de la força electromagnètica repulsiva que es fan els electrons dels àtoms dels dos cossos que es “toquen” i que, per tant, en realitat és una força a distància.

Forces de contacte que veurem: la força normal, N, entre dos cossos, la tensió d’una corda o cable, T, la força de fregament, Ff , la força elàstica d’una molla, Fe .

!Força Normal

Quan dos cossos es fan una força estant en contacte, amb o sense desplaçament relatiu, aquestes forces són normals a la superfície de contacte i reben el nom de forces NORMALS, N. En les figures es mostra la normal en diverses situacions. Generalment un cos fa una força, per exemple el seu pes o una component del pes, sobre una superfície i la superfície fa una força igual i de sentit contrari sobre el cos. Aquestes forces són normals.

!!A9: En la figura de la dreta, tens un cos de 10 kg sobre una superfície esfèrica. Troba la força normal si l’angle que forma el radivector amb la vertical és de 30º. !!!

�10

Força de fregament !Per haver-hi fregament, com en totes les forces, cal que hi hagi dos cossos que estiguin en contacte. La força de fregamen apareix quan els dos cossos rellisquen o els volen fer relliscar un sobre l’altre. Llavors és quan apareix una força que s’oposa al desplaçament entre els dos cossos en contacte, aquesta força rep el nom de FORÇA DE FREGAMENT, Ff . La força de fregament tan sols apareix quan desplacem o volen desplaçar un cos sobre l’altre i depèn de la força que es fan els dos cossos, és a dir, de la NORMAL, N, i d’una constant que depèn de la naturalesa dels materials que estan en contacte i que rep el nom de coeficient de fregament. !

Fregament estàtic: És el que hi ha quan volem iniciar el moviment d’un cos sobre un altre sense arribar a moure’l. !!!!Fregament cinètic: És el que apareix quan hi ha un moviment relatiu entre els dos cossos. !!!La relació en valors absoluts és a causa que la força de fregament i

la normal no tenen la mateixa direcció ni sentit. !El coeficient de fregament, com es pot veure en l’equació, és una magnitud adimensional, no té unitats. També hem d’especificar que el coeficient estàtic és superior al cinètic !L’equació que ens dóna la força de fregament estàtica tan sols ens dóna la força de fricció estàtica màxima!! !!!!Per exemple, imaginem que volem moure el cos de la figura i que la força de fregament màxima, calculada amb la fórmula que tenim a continuació, valgui 300 N. Si la força que fa el senyor de la figura és de 10 N, el cos no es mourà, per tant, la força resultant ha de ser zero i, conseqüentment, la de fregament valdrà -10N. !

�11

Ff = µe ⋅

N

Ff = µc ⋅

N

µc < µe

Ff = µe ⋅

N

Si al força que fa el senyor és de 100 N, el cos tampoc es mourà i Ff =-100N. Així successivament fins arribar a un valor lleugerament més alt de 300N. Per tant, la fórmula anterior no ens dóna el valor de la força de fregament per qualsevol circumstància, tan sols ens dóna el valor màxim del fregament estàtic. El cos es mou quan la força aplicada, la que fa el senyor sobre el cos, supera el valor màxim de la força de fregament i un cop iniciat el moviment el fregament es redueix lleugerament, degut a que el coeficient de fregament cinètic és inferior al estàtic. Això es veu en el gràfic. També es pot veure que la força de fregament sempre és igual a la força aplicada fins que la força aplicada s’iguala a la força de fregament màxima, la que ens dóna l’equació: !!A10: Si el coeficient de fricció estàtic entre el cos i la superfíce esfèrica val 0,3, calcular la força de fricció entre el cos i la superfície per l’angle indicat en l’activitat A9. Patinarà el cos sobre la superfície esfèrica o romandrà en equilibri? !A11: Un cos de 30 kg que es troba sobre una superfície horitzontal té un coeficient estàtic de fregament de 0,35 i un cinètic de 0,30. Calcula la força horitzontal mínima que cal per fer patinar el cos. Un cop arrancat el cos, si continuem aplicant la mateixa força, com es mourà el cos? !!Forces elàstiques. Llei de Hooke !Alguns materials tenen un comportament elàstic, és a dir que quan éstan sotmesos a una força externa es deformen i quan deixa d’actuar la força externa retornen a la forma i posició inicial. La majoria de materials elàstics es comporten de manera que la força que fan i que s’oposa a la deformació és directament proporcional a la deformació provocada. Això és així mentre la força no sigui excessiva, cada material té el seu límit de comportament elàstic.

!!!!!�12

Ff = µe ⋅

N

Fmolla =

Fm = −k ⋅ Δx ⋅

i

Robert Hooke, contemporani de Newton, descobrí aquesta relació i establí: La força que fa un cos que pateix una deformació elàstica és directament proporcional i de sentit contrari al desplaçament provocat per una força externa.

!“ K “ és una constant elàstica que depèn del tipus de material. Si aquesta constant pren un valor alt llavors el material costa de deformar i cal aplicar forces elevades per estirar-lo o comprimir-lo. Si la constant pren un valor petit la molla es deformarà quan s’apliquin forces petites. De l’equació podem veure que les unitats de la constant en el SI són “ N/m”. Un dels materials paradigmàtics amb aquesta propietat són les molles. !!!A12: Una molla penja verticalment sense estar deformada. quan hi pengem un cos de 20 g la molla s’allarga 5 cm. Determinar la constant elàstica de la molla en unitats del SI. !A13: Una molla de constant 800 N/m es troba enganxada per un del seus costats a la paret i per l’altre l’anem estirant a poc a poc sense que hi hagi acceleracions brusques, ho fem de manera que es pugui considerar que la força aplicada i que la força de la molla són iguals mentre l’estirem. si estirem la molla 30cm, fes una representació gràfica de com varia la força aplicada i de com varia la força de la molla en funció del desplaçament. Nota: Recorda que per a fer una representació gràfica primer cal fer una taula de valors. !!!RESOLUCIÓ DE PROBLEMES DE DINÀMICA !En els problemes de dinàmica el que es vol coneixer és com es comportarà un cos o cossos baix l’acció de diverses forces o, també si es coneix el comportament d’un cos/cossos determinar el valor de les forces que actuen sobre ells. Sigui quina sigui la qüestió el procediment a seguir per a la seva resolució sempre és el mateix:

• El primer que necessitem és saber les forces que actuen sobre cadascun dels cossos que participen en el problema. Determinar les forces és fàcil si un es fa les següents preguntes:

- Actuen forces a distància sobre el cos? La resposta a aquesta pregunta per a tots el cossos situats a la Terra és l’atracció gravitatòria, el pes de cada cos. En general, en aquest curs, no hi haurà altres forces a distància.

- Actuen forces per contacte? La resposta a la pregunta és tan fàcil com demanar-se “ Qui o què toca el cos?” qui toca el cos fa força sobre el cos.

- Ara el més important, cal fer un duix on es representin TOTES les forces que actuen sobre cada cos. Això rep el nom de Diagrama del Cos Lliure.

• Un cop identificades les forces s’estableix l’equació fonamental de la dinàmica per a cada cos

del problema. !!!!Recordem que aquesta equació és vectorial i que com a tal es resol descomponent l’equació sobre els eixos de referència reduint-se així a resoldre equacions escalars sobre cada eix. !A continuació anem a veure un exemple resolt de com s’aborden aquest tipus de problemes. !

�13

FR =

F =m ⋅ a ∑ ⇔ a =

F∑m

!!Problema exemple: Es tracta de trobar l’acceleració el sistema format per Steve i Paul. !Primer: dibuixem totes les forces que actuen sobre cada cos. Fer això reb el nom de Diagrama del cos Lliure. !!!

!!!!!!!!!Com ho fem per no deixar-nos cap força per dibuixar? - Primer dibuixem les forces a distància, sense contacte, en aquest cas el pes. - Després totes les forces per contacte, és a dir, cal respondre a la pregunta següent: QUÍ TOCA EL

COS? respondre aquesta pregunta ens soluciona el problema. En el cas de la figura tenim: !- Per Steve: Tan sols el toquen, la corda i la superfície: T , N(Fn en la figura) i el pes, p. Com Steve es troba sobre una superfície gelada, es suposa que no hi ha fregament. - Per Paul: tan sols el toca la corda: T i el pes, p. !!

Segon: Apliquem la Segona Llei de la Dinàmica a cada cos: !!Per Steve, tenim: !!Tercer: Agafem uns eixos de coordenades sobre cada cos. Encara que podem agafar els que volguem, facilita molt la resolució del problema escollir un dels eixos en la provable direcció del moviment i el sentit positiu el que tengui el moviment. En la figura estan escollits així. Quart: L’equació trobada és vectorial i la descomposem en dues equacions escalares, una sobre cada eix, tenint en compte el criteri de signes: !Per Steve, finalment queda: !!!!

�14

FR =

F =m ⋅ a∑

FR =

F =T + pS +

NS∑

T + pS +

NS =m ⋅

a

Eix X: T +mS ⋅ g ⋅sinθ =mS ⋅aEix Y: N −ms ⋅ g ⋅cosθ = 0

!!Per Paul, tenim: !!Cinquè: Ara tan sols queda resoldre el sistema de les 3 equacions escalars. Com els cossos estan lligats, l’acceleració serà la mateixa per a tots dos. !Aproximacions fetes: Hem considerat la massa de la corda despreciable i, per tant, T1=T2=T. !!!A14: Troba l’acceleració amb què es moure el sistema Paul, Steve, suposant que la superfície inclinada forma un angle de 18º respecte l’horitzontal i que la massa de Steve és de 76 kg i la de Paul 70kg. Què val la tensió de la corda?. !A15: Un cos de 40kg es troba sobre un pla inclinat 20º. Calcula el coeficient de fregament mínim que hi ha d’haver entre el cos i el pla per a conseguir que el cos es quedi en equilibri. A16: Si et fixes en com aconsegueixen cotxes, motos i altres vehícles, propulsar-se veuràs que el motor fa girar les rodes i gràcies a la força de fricció amb el terra, la roda empeny el terra cap el darrera i el terra impulsa la roda cap el davant (3a Llei de la Dinàmica). El coeficient de fregament d’una roda d’una moto de 90 kg és 0,6. Si la moto parteix del repòs quina és la màxima acceleració amb què pot arrancar la moto? !A17: Per què és tan difícil caminar sobre una pista de gel? !A18: Dos alumnas de 1r de batxillerat volen trobar el coeficient de fricció entre el terra i les pates de la cadira. Per aconseguir el seu objectiu llancen patinant sobre el terra una cadira amb una velocitat incial de 4 m/s i observen que la força de fricció la va frenant fins parar-la totalment després de recorrer 3,2 m. troba el coeficient de fregament. !A19: Troba la tensió del cable “A” i la força de la barra “B” necessàries per a suportar el pes de la massa W= 306,12 kg. La barra forma un angle de 40º amb la vertical. Com creus que treballa la barra a tensió o compressió? !!!!!!!!

�15

pP +T =mP ⋅

a mP −T =mP ⋅a

!!DINÀMICA DE ROTACIÓ !Quan un cos fa un moviment de rotació a rapidesa constant té una acceleració que denominem centrípeta, com aconseqüència la Força Resultant que actua sobre el cos ha de tenir la mateixa direcció i sentit que l’acceleració centrípeta i ha d’estar relacionat amb l’acceleració d’acord amb la segona llei de la dinàmica, així: ! !!Aquesta força resultant que té la mateixa direcció i sentit que l’acceleració centrípeta rep el nom de Força Centrípeta. Ha de quedar clar que la Forçà Centrípeta, en aquest cas, és una força resultant i, per tant, serà el resultat de fer una suma vectorial de les diverses forces que actuin sobe el cos. !Anem a veure 5 exemples: !1. El cotxe de la figura realitza un moviment de rotació. Malgrat realitzi la trajectòria a rapidesa

constant, el cotxe té acceleració centrípeta. Si el cotxe té acceleració centrípeta segur que la força resultant que actua sobre el cotxe és una força centrípeta: ! !

!!En el nostre cas, les úniques forces que actuen sobre el cotxe són el seu pes, p, la normal, N, que fa la paret vertical i la força de fregament, Ff, que també fa la paret i contraresta la força del pes. Per tant la força resultant, que és una centrípeta, vindrà donada per: !!!! !I com totes les forces resultants cumplirà: !!És important veure que, en aquest cas, la força de fricció contraresta el pes del cotxe, s’anul.len, i que la normal és la que provoca l’acceleració centrípeta i per tant, serà igual a ella, N = Fc. !!!

�16

FR =

Fc

v = cte i trajectòria circular aT =ac ⇔

FR =

Fc

FR =

Fc =p+N +Ff

p+N +Ff =mcotxe ⋅

ac

! !2. El camió de la figura fa una corba pedaltada. Si el camió fa una corba dinàmicament vol dir que la força resultant que actua sobre el camió és una força centrípeta. !En aquest cas no hi ha cap força real en la direcció de la força centrípeta, però la resultant de les dues forces reals que actuen sobre el camió, el pes, p, i la normal, N, ha de ser igual a la força centrípeta que fa girar al camió. !!!!!

3. Ara, tenim un cotxe que fa una corba sense pedalt. La força centrípeta la produeixen la força de fregament del neumàtic amb la carretera. !!!!!! !

!!A20: El cotxe de la figura fa una corba de 200 m de radi a un rapidesa de 110 km/h. Calcular el valor mínim del coeficient de fregament per aconseguir que el cotxe fagi la corba sense sortir per la tangent. !A21: El camió de l’exemple “2” recorre la corba de radi 200 m i 10º de pedalt. Si no hi ha fricció entre el terra i les rodes perquè el terra està gelat, quina és la velocitat màxima que pot tenir el camió mentre fa la corba.

�17

FR =

p+N =Fc

FR =

Fc =

Ff

2

Deformació del perfil d’un neumàtic a causa de la força de fregament lateral amb l’esfalt.

4. Quan un astre gira en una òrbita circular al voltant d’una estrella és perquè sobre ell hi actua una Força Resultant que és Centrípeta. En aquest cas, la força centrípeta és la força gravitatòria que fa l’estrella sobre el planeta. !!!

!Sobre el planeta tan sols actua una sóla força i aquesta força compleix tres condicions:

a. La de ser força gravitatòria. b. La de ser força centrípeta. c. Ser força resultant. !!

5. En la figura de la dreta tenim un Pèndol Cònic. La massa gira en un pla horitzontal al voltant d’un eix vertical, per tant, la força resultant que actua sobre la massa ha de ser una Força Centrípeta de sentit contrari al radi. Les dues forces que actuen sobre la massa són el pes i la tensió del fil. Cap de les dues té la direcció de la força Centrípeta, però segur que la suma vectorial de les dues forces dóna com a resultant una força Centrípeta. En aquest cas la força centrípeta coincideix amb la component horitzontal de la tensió del fil. !!!!

�18

Fc

FR =

Fg =

Fc ⇔ G

MS ⋅Mp

r2 =Mp ⋅v2

r

T

p

!!A22: Cerca la massa de la Lluna, la massa de la Terra, la distància Terra - Lluna i calcula:

a. La força gravitatòria entre els dos astres. b. L’acceleració centrípeta de la Lluna. c. La velocitat lineal de la LLuna en la seva òrbita al voltant de la Terra. d. El temps que tarda la Lluna en donar una volta complerta. e. Compara el resultat anterior amb el temps que hi ha entre dues llunes plenes consecutives. !!

A23: Un pèndul cònic com el de la figura té un fil d’1 m de llargada. Es fa girar un cos de 100g, com mostra la figura, la rapidesa del cos de 1,75 m/s i tarda 1,8 s en donar una volta complerta. Calcular:

a. El radi de la seva trajectòria. b. L’angle que forma el fil amb la vertical. c. La tensió del fil. !!

�19

Possiblement aquest apartat és el més novedós per voltros ja que és un nou concepte del que no heu vist res en el cursos anteriors. Aquest nou concepte, Moment Lineal, és sumament important. !Tots sóm conscients que per una persona és fàcil aturar una mosca que es mou a 2 m/s en 1 segon. En canvi, ja no és tan fàcil aturar a una persona que es mou a aquesta velocitat, seria pràcticament impossible aturar un camió i menys encara un tren i tot això en el mateix temps d’1 segon. On està la diferència, la diferència està en la massa. Hi ha alguna magnitud que tingui en compte aquest fet? És a dir, que tingui en compte tant la velocitat del cos com la seva massa? La resposta és SÍ, i la magnitud es diu Quantitat de Moviment o Moment Lineal, p. Ve definida per: !Unitas del Moment Lineal: kg.m/s !!Per tant, la Quantitat de Moviment és un vector que té la mateixa direcció i sentit que la velocitat del cos. Per aturar alguna cosa que es mou, cambiar el seu moment lineal, hem de fer força, per tant, cal pensar que hi d’haver alguna relació entre les forces i la variació del moment lineal dels cossos. !Per què és importat aquesta magnitud?

1. És una magnitud que es conserva en les col·lisions quan es cumpleixen determindes circumstàncies que ja veurem. Fins hi tot la llum té quantitat de moviment. 2. A efectes dinàmics, el comportament de dos cossos de massa diferent por ser igual si el de massa més petita o compensa movent-se a major velocitat i així tenir el mateix moment lineal. !!

Variació de Moment Lineal i la Força. Novament l’Equació Fonamental de la Dinàmica !Podem definir la força, que actua sobre un cos, com el ritme de la variació de la quantitat de moviment del cos? Anem a veure quin aspecte té la variació del moment lineal. !

!!Per tant, també podem definir la força que actua sobre un cos com la variació de la quantitat de moviment per unitat de temps i posar: !!!!

�20

MOMENT LINEAL O QUANTITAT DE MOVIMENT

p =m ⋅ v

m

v p

dpdt=ddt

m ⋅ v( ) =m ⋅ dvdt+v ⋅ dm

dtSi m = cte, ⇒ d

pdt=m ⋅ a

F = d

pdt

La pregunta que ens podem fer ara és: - Aquesta definició tan sols és vàlida quan la massa del cos és constant? - O la definició bona de força és !!!!i la definció de F=m.a tan sols és un cas particular d’una definició més general com l’anterior. !

Resposta: La contestació bona és la segona, però noltros, en aquest curs, no estudiarem sistemes de massa variable, per tant, les dues deficions les aplicarem segons conveniència. !L’impuls mecànic !Definim l’Impuls que una força constant F dóna a un cos com el producte de la força pel temps que hi actua !!!!

-És una magnitud vectorial, producte del vector força per l’escalar positiu Δt. Té, per tant, la mateixa direcció i el mateix sentit que el vector força. -En el SI el seu mòdul s’expressa en N·s.

!!

L’impuls, per tant, és igual a la variació de la quantitat de moviment (*). L’Impuls és més gran si la força és aplicada en un temps més gran. Si un tenista acompanya al màxim a la pilota quan la colpeja (allarga el temps de contacte entre la raqueta i la pilota), la pilota arriba més enfora, és a dir, provoca a la pilota una variació major del seu moment lineal. !(*) No ens hem de confondre, mentre l’Impuls és igual a la variació del moment lineal, les Forces són les causants del ritme de canvi del moment lineal. !!!!

�21

F = d

pdt=ddt

m ⋅ v( ) =m ⋅ dvdt+v ⋅ dm

dt

t · F I Δ=→→

F = d

pdt

⇔ F ⋅dt = dp ⇔ d

I =F ⋅dt = dp

F = Δ

pΔt

⇔ F ⋅ Δt = Δp ⇔

I =F ⋅ Δt = Δp

IMPULS: Representació gràfica En la gràfica es mostra l’acció d’una força constant F que actua un temps Δt sobre un cos. !L’impuls que proporciona la força ve donat per l’àrea del rectangle ombrejat. !

!!!!Si la força és variable,

igualment, l’impuls serà l’àrea sota la corba o recta. !Per tant, sempre l’àrea sota el gràfic força - temps és igual a l’impuls, és a dir, és igual a la variació del moment lineal del cos sigui o no constant la força que actua. !!!

A24: Quina velocitat hauria de tenir un cotxe de 1200 kg de massa per a tenir la mateixa quantitat de moviment que un camió de 10 tones que es mou a 60 km/h? Si volem parar-los en un mateix temps, en quin del dos hem d’aplicar una força major? I si els volem parar aplicant la mateixa força, com ho hem de fer?. !A25: Indicar si és vertader o fals:

a. El moment lineal d’un objecte pesat és més gran que el d’un objecte lleuger que es mogui a la mateixa velocitat.

b. Apliquem la mateixa força a un objecte pesat i a un objecte lleuger. Si la força s’aplica al llarg de temps iguals el petit tindrà una variació major del moment lineal.

c. Sempre és més fàcil parar, en un mateix temps, un objecte lleuger que un pesat. !A26: Intenta explicar perquè les xarxes dels circs són capaces de salvar als acrobats quan cauen en ella. !A27: Per què un vas de vidre provablement es romp quan cau a un terra dur i no es romp si cau sobre una superfície de llenya? !A28: Com dissenyeries un cotxe que donés més possibilitats de sobre viure en el cas d’una col·lisió frontal?

�22

ombrejada Àrea )t - (t · F t · F I 0 ==Δ=

I = Δp = pf −

pi

!Ara entrem en la part on es mostra la vertadera importància del concepte Moment Lineal. Anem a consirerar un sistema de partícules on cadascuna d’elles tenen masses i velocitats diferents i que interaccionen entre elles, és a dir, hi ha forces entre elles i també hi ha forces externes. Bé, per a noltros considerarem que el nostre sistema de partícules està format tan sols per dues partícules, però no hi cap problema en generalitzar els resultats que trobarem. !Així el nostre sistema format de 2 partícules tindrà un Moment Lineal Total que serà la suma vectorial dels moments lineals de cadascuna de les dues partícules. !!!!!Ara anem a buscar pistes per a saber com podem variar el Moment Lineal Total d’aquest sistema de partícules. És a dir, velem saber de què depèn ! !!!!

Per a trobar la resposta suposarem que sobre cada partícula actuen tant forces externes com forces internes entre les partícules. Així ho podem veure en el dibuix adjunt. Anem a calcular

!Calculem les variacions en el temps dels moments lineals de caa partícula. Aquestes variacions es poden deure tant a forces externes, Fext , com a les forces internes, F12 i F21, que es facin les dues partícules. Tal com mostra la figura. !! !!

!!�23

MOMENT LINEAL D’UN SISTEMA DE PARTÍCULES

ptotal =p1 +p2

dptotaldt

=ddtp1 +p2( ) = d

p1dt

+dp2dt

Fext1 +

F21 =

dp1dt

Fext2 +

F12 =

dp2dt

Fext1 +

F21 +

Fext2 +

F12 =

dp1dt

+dp2dt

F12 = −F21 ⇒

Fext1 +

Fext2 =

dp1

dt+dp2

dt=dptotaldt

És important veure que F12 i F21 s’anulen algebraicament ja que són iguals i de signe contrari però físcament no s’anulen, existeixen. El que acabem de veure en aquesta demostració és que:

Aquest resultat rep el nom de TEOREMA DE CONSERVACIÓ DEL MOMENT LINEAL !!!Matemàticament ho expresem: !!!Conseqüències del Teorema !Conseqüències que tan sols les forces externes al sistema de partícules poden variar el moment lineal total del sistema de partícules: !1a. Si sobre el sistema de partícules no actuen forces externes, el moment lineal total es conservarà: !!!!2a. Que el moment lineal total sigui constant implica que el moment lineal total abans d’una col.lisió sigui igual al moment lineal final total després de la col.lisió: !!!!3a. La conservació del moment lineal total no imposa que hagin de ser constants els moments lineals individuals de cada partícula abans i després de la col.lisió!! !Efectivament, en la figura podem veure que abans de la col.lisió el moment lineal de la partícula que estroba en l’origen de coordenades és zero, ja que està en repòs. Després de la col.lisió, aquesta mateixa partícula té un moment diferent de zero. Però el que és segur és que el moment total inicial serà igual al final. És a dir, després de la col·lisió, les components verticals del moment lineal de cada partícula seran iguals i de sentit contrari i s’anularan. A més la suma de les components horitzontals de les dues partícules serà igual al moment lineal inical de la particula 1 abans de la col·lisió. !!

�24

TAN SOLS LES FORCES EXTERNES AL SISTEMA PODEN VARIAR EL MOMENT LINEAL TOTAL D’UN SISTEMA DE PARTÍCULES

Ftotal Exter =

dptotaldt

Ftotal Ext =

dptotaldt

; Si Ftotal Ext = 0 ⇔ ptotal = cte.

ptotalinicial =

ptotalfinal ⇔ p1

i +p2i =p1f +p2f

A29: Imagina que la partícula 1 inicialment es mou cap a la 2 amb una velocitat de 2 m/s. La partícula 2 està inicialment en repòs i les dues partícules tenen la mateixa massa de 5 kg. Després de la colisió la partícula 1 surt desviada un angle de 30º i la partícula 2 surt desviada in angle de 60º. Calcula les rapideses finals de les dues partícules. Ha sigut una col·lisió elàstica? És a dir, s’ha conservat l’energia cinètica en aquesta col·lisió?. ! A30: Un expert karateca colpeja un bloc de ciment tal i com mostra la figura. Considera que la ma del karateca té una massa de 0,7 kg i que té una velocitat de 5,0 m/s en el moment de colpejar el bloc i que recorre 6 mm fins que la ma es para. Quin Impuls exerceix el bloc sobre la ma? quin és el promig de força que el bloc sobre la ma?. !!A31: Un pal de golf colpeja la pilota de 45 g i està en contacte amb ella al llarg de 2 cm. la pilota surt amb un angle de 13º i arriba a una distància de 192 m. Calcular:

a. La rapidesa amb què surt la pilota després de rebre el cop del pal.

b. L’impuls que transmet el pal a la pilota. c. La mitjana de força que fa el pal sobre la pilota. !!

A32: Una al·lota llança una pilota de 60 g contra una paret amb la qual xoca amb una rapidesa de 10 m/s. La pilota surt rebotada amb una velocitat de 8 m/s. Calcula:

a. L’impuls que comunica la paret a la pilota. b. Si la pilota està en contacte amb la paret al llarg de 0,003s,

quina és la força mitjana que fa la paret sobre la pilota? !!A33: Un bloc de 2kg es mou a 5m/s en sentit positiu al llarg de l’eix “x” i xoca contra un altre bloc de 3 kg de massa que es movia en el mateix sentit i direcció però amb una velocitat de 2 m/s. Després de la col·lisió el bloc de 3kg es mou a 4,2 m/s en el mateix sentit i direcció. Calcular la velocitat final del bloc de 2 kg. !!!!!!!!!!!

�25

!PROBLEMES !Lleis de la Dinàmica !1. Una patinadora es desplaça a rapidesa constant i en línia recta sobre una pista de gel. Identifica

les forces que actuen sobre ella i troba la força resultant. Si en una situació real la velocitat de la patinadora disminueix lentament, a què es pot deure?. !

2. En l’últim control de la força màxima de frenada d’un cotxe s’han obtingut els següents resultats: roda davantera esquerra 1.870 N, roda davantera dreta 1.990 N, roda posterior esquerra 1.180 N i la de la dreta 1.120 N. Si la massa del cotxe és 1.100 Kg, determinar:

a. L’acceleració màxima de frenada del cotxe. b. L’espai que recorreria fins parar-se quan la seva velocitat inicial fos de 90 Km/h. Fer el

mateix quan la velocitat és 120 Km/h. c. Si considerem que quan frena la roda no patina però que es troba en la situació límit, ja

que disposa d’ABS, calcular el coeficient de fricció entre l’asfalt i la roda. Sol: a) 5,6 m/s2 ; b) 55,8 m i 99,2 m ; c) 0,57 !

3.   Una  puça  de  0,2  mg  (1  mil·ligrams  =  10-­‐3g)  tarda  1  ms  (10-­‐3s)  en  passar  del  repòs  a  tenir  una  velocitat  de  1,2  m/s.  Al  llarg  d’aquest  interval  de  temps  les  seves  potes  de  darrera  estan  en  contacte  amb  el  terra  tal  com  mostren  les  imatges  “a,  b  i  c”  i  el  que  fan  és  estirar-­‐se.  

a.   Quina  és  l’acceleració  de  la  puça  mentre  les  potes  de  darrera  s’empenyen  per        saltar?.  

b.   Quina  és  la  força  que  actua  sobre  la  puça  mentre  accelera  per  saltar?.        

!!4.   Una  senyora  de  60  kg  està  dintre  d’un  ascensor  i  sobre  una  balança  de  bany.  Indica  el  que      

marcarà  la  balança  en  els  següents  casos:  a. Pugem a velocitat constant. b. L’ascensor està parat en l’aire. c. L’ascensor arranca amb una acceleració cap a amunt de 0,6 m/s2. d. L’ascensor baixa amb una acceleració 0,4 m/s2.

Sol: a) 588 N ; b) 588 N ; c) 624N ; d) 564 N !!!!!!�26

!5. Una maleta de 20 kg de massa es troba sobre una superfície

horitzontal . a. Identifica i dibuixa totes les forces que actuen sobre

ella. b. Estirem de la maleta amb una força de 100 N que forma

un angle de 50º amb l’horitzontal, tal i com mostra la figura. Calcula la força que fa la maleta sobre el terra.

c. És sempre la força normal igual al pes de la maleta? Per què?. Sol: b) 119,4 N !

6. Un cos de 100g de massa penja d’un fil d’1 m de llargada que penja del sostre d’un bus. Si el vehicle arranca amb una acceleració de 2 m/s2, calcula:

a. L’angle d’inclinació de la corda. b. La tensió del fil. Sol: a) 11,31º ; b) T= 1,02 N !

7. Quina força mútua s’exerceixen les dues masses de la figura sabent que la força que les empeny val 8 N. El conjunt es mou amb una acceleració de 3,2 m/s2. Quin valor tindria aquesta força mútua en cas de que la força de 8 N l’apliquéssim en sentit contrari sobre la massa de 1 Kg? Sol: 3,2 N i 4,8 N.

8. El dos cavalls d’en Nesto: Un grup d’al·lots i al·lotes d’entre 55 i 60 kg cadascun, tenen un cotxe de poca potència, popularment conegut com el Citroën 2CV. Decideixen esbrinar quina és l’acceleració màxima del cotxe. Per fer la mesura pensen realitzar la següent experiència. El cotxe amb un sol ocupant, el conductor, partirà del repòs i , amb l’accelerador al màxim, mesuraran el temps que tarda el cotxe en arribar a la velocitat de 20 m/s (72 km/h). Després de repetir unes quantes vegades l’experiència, la mitjana de valors els dóna 20,0 segons. Calcular:

a.   L’acceleració  màxima  del  cotxe.      b.   Si  la  massa  del  cotxe  amb  el  seu  ocupant  és  de  750    kg,  quina  és  la  força  resultant  que  ha  actuat  sobre  el  cotxe?.  

c.   Decideixen  repetir  l’experiència  amb  uns  quant      ocupants  més  dintre  del  cotxe  i  prenen  novament  la  mesura  del  temps  que  tarda  el  cotxe  \ins  arribar  aconseguir  els  20  m/s.  El  nou  valor  trobat  és  24,8  s.  Suposa  que  la  força  resultant  que  actua  sobre  el  cotxe  és  la  mateixa  que  la  trobada  en  l’apartat  (b)  i  calcula  el  nombre  de  al·lots  o  al·lotes  que  han  pujat  al  cotxe  per  realitzar  aquesta  segona  mesura.  !!

�27

!!9. Un cos de 10 kg rellisca per un pla inclinat des d’una altura de 2m. Si la inclinació del pla es de

30o i la velocitat inicial cap a baix és de 5 m/s, determina el coeficient de frec del cos amb el pla inclinat sabent que la velocitat amb què arriba el cos a baix és de 6 m/s.

Sol: 0,4

10. Es deixa anar un cos per un pla inclinat de 2 m de llarg i 30º d’inclinació i arriba a baix 3 m/s. Prenent g = 10 m/s2 determina quina és el coeficient de frec dinàmic.

11. Un cos de 10 Kg es troba al damunt d’una taula horitzontal amb un coeficient de frec de 0.3. Determina:

a. Força que cal fer horitzontalment perquè passi de la velocitat 0 a 2 m/s en dos segons.

b. Força necessària per a mantenir-lo amb aquesta velocitat.

c. Si als 5 segons deixa d’actuar la força, quan de temps passarà abans no es pari?

d. Dibuixa el gràfic F-t corresponents als apartats anteriors.

Sol: a) 39,4 N ; b) 29,4 N

12.  Una  força  F  arrossega  les  masses  de  la  \igura,  totes  de  4  Kg.  La  tensió  de  la  corda  en  el  punt  A  és  de  16  N  i  el  coe\icient  de  frec  de  totes  les  masses  és  0,1.  Calcula  el  valor  de  la  força  F  

Sol: 21,3 N

!!13. Una politja de baixa fricció es troba al cantell d’una taula horitzontal en la qual es troba una

massa de 6 Kg amb la qual exerceix una força de frec de coeficient μ=0.25. Aquesta massa està lligada a una fil que passa per la politja i en l’altre extrem hi penja una massa de 2 Kg. Determineu:

a. L’acceleració del sistema

b. La tensió de la corda.

Sol: a) 0,61 m/s2 ; b) 18,4 N

!!!!!

�28

13

DINÀMICA DE NEWTON FÍSICA DE 1r BATXILLERAT 1.- Del cable d’una grua penja una massa de 200 Kg. Quina tensió experimenta el cable

a) si puja la massa amb una acceleració de 2,5 m/s2. b) si puja la massa amb una velocitat constant de 2 m/s

c) si baixa amb una acceleració de 1,5 m/s2 d) si la tensió màxima que pot admetre el cable fos de 3800 N, quina és la màxima

acceleració que podria suportar la grua sense que es trenqués el cable? 2- Quina força mútua s’exerceixen les dues masses de la figura sabent que la força que les empeny val 8 N. Quina valor tindria aquesta força mútua en cas de que la força de 8 N l’apliquéssim en sentit contrari sobre la massa de 1 Kg? 3.- Un cos rellisca per un pla inclinat des d’una altura de 2m. Si la inclinació del pla es de 30º i la velocitat inicial cap a baix és de 5 m/s, determina el coeficient de frec del cos amb el pla inclinat sabent que la velocitat amb què arriba el cos a baix és de 6 m/s. 4.- Un cos de 10 Kg es troba al damunt d’una taula horitzontal amb un coeficient de frec de 0.3. Determina:

a) Força que cal fer horitzontalment perquè passi de la velocitat 0 a 2 m/s en dos segons. b) Força necessària per a mantenir-lo amb aquesta velocitat c) Si als 5 segons deixa d’actuar la força, quan de temps passarà abans no es pari? d) Dibuixa el gràfic F-t corresponents als apartats anteriors. 5.-

A F Una força F arrossega les masses de la figura, totes de 4 Kg. La tensió de la corda en el punt A és de 16 N i el coeficient de frec de totes les masses és 0,2. Calcula el valor de la força F 6- Una politja de baixa fricció es troba al cantell d’una taula horitzontal en la qual es troba una massa de 6 Kg amb la qual exerceix una força de frec de coeficient µ=0.25. Aquesta massa està lligada a una fil que passa per la politja i en l’altre extrem hi penja una massa de 2 Kg. Determineu: a) acceleració del sistema b) tensió de la corda 7.- A l’interior d’un ascensor hi ha una persona al damunt d’una bàscula de bany. Abans de posar-se en marxa l’ascensor la bàscula indica 70 Kg. En successives etapes del viatge la bàscula indica a)75 Kg b) 65 Kg c) 70 Kg

13

DINÀMICA DE NEWTON FÍSICA DE 1r BATXILLERAT 1.- Del cable d’una grua penja una massa de 200 Kg. Quina tensió experimenta el cable

a) si puja la massa amb una acceleració de 2,5 m/s2. b) si puja la massa amb una velocitat constant de 2 m/s

c) si baixa amb una acceleració de 1,5 m/s2 d) si la tensió màxima que pot admetre el cable fos de 3800 N, quina és la màxima

acceleració que podria suportar la grua sense que es trenqués el cable? 2- Quina força mútua s’exerceixen les dues masses de la figura sabent que la força que les empeny val 8 N. Quina valor tindria aquesta força mútua en cas de que la força de 8 N l’apliquéssim en sentit contrari sobre la massa de 1 Kg? 3.- Un cos rellisca per un pla inclinat des d’una altura de 2m. Si la inclinació del pla es de 30º i la velocitat inicial cap a baix és de 5 m/s, determina el coeficient de frec del cos amb el pla inclinat sabent que la velocitat amb què arriba el cos a baix és de 6 m/s. 4.- Un cos de 10 Kg es troba al damunt d’una taula horitzontal amb un coeficient de frec de 0.3. Determina:

a) Força que cal fer horitzontalment perquè passi de la velocitat 0 a 2 m/s en dos segons. b) Força necessària per a mantenir-lo amb aquesta velocitat c) Si als 5 segons deixa d’actuar la força, quan de temps passarà abans no es pari? d) Dibuixa el gràfic F-t corresponents als apartats anteriors. 5.-

A F Una força F arrossega les masses de la figura, totes de 4 Kg. La tensió de la corda en el punt A és de 16 N i el coeficient de frec de totes les masses és 0,2. Calcula el valor de la força F 6- Una politja de baixa fricció es troba al cantell d’una taula horitzontal en la qual es troba una massa de 6 Kg amb la qual exerceix una força de frec de coeficient µ=0.25. Aquesta massa està lligada a una fil que passa per la politja i en l’altre extrem hi penja una massa de 2 Kg. Determineu: a) acceleració del sistema b) tensió de la corda 7.- A l’interior d’un ascensor hi ha una persona al damunt d’una bàscula de bany. Abans de posar-se en marxa l’ascensor la bàscula indica 70 Kg. En successives etapes del viatge la bàscula indica a)75 Kg b) 65 Kg c) 70 Kg

14.  Una  massa  de  10Kg  es  troba  en  una  taula  llisa  (sense  frec).  Al  damunt  hi  té  una  altra  massa  de  2  Kg  amb  una  coe\icient  de  frec  de  valor  0.25.  Quina  és  la  força  F  màxima  podem  efectuar  sobre  la  massa  de  10  Kg  per  tal  que  la  de  2  Kg  no  caigui.  

  Sol:  29,4  N  

15. El sistema que es mostra en la figura està en equilibri. El pla inclinat no té fricció. Quina ha de ser la massa que es troba en el pla inclinat? La massa que penja és de 3,5 kg i la inclinació del pla és de 40º. Sol: 5,45 kg !!!

�29

!Dinàmica de rotació !1. Un cos de massa m lligat a una corda de longitud l oscil.la com si fos un pèndol. A l'instant en

què la corda forma un angle a amb la vertical, fes un diagrama de les forces que actuen sobre el cos i dibuixa la força resultant (recorda de dibuixar les forces proporcionades al seu valor). !!

2. Una cabina cilíndrica gira respecte el seu eix amb una velocitat de 5 rad/s. En contacte amb la paret interior hi ha un cos que gira solidàriament amb la cabina. El coeficient de fregament entre la paret i el cos és 0,2. Quin és el radi de la cabina) Sol: 1,96 m !!

3. Un pilot acrobàtic d’avions segueix una trajectòria circular (looping) de 2.000 m de radi en un pla vertical amb una velocitat constant de 540 km/h. El pilot té una massa de 70 kg i porta una bàscula en el seient de pilotatge.

a. Quant marcarà la bàscula en el punt més alt i en el punt més baix del looping? b. Quina velocitat hauria de portat l'avió perquè la bàscula marqués zero en el punt més

alt?. Sol: 87,5 N ; 1.487,5 N ; 141 m/s !

4. Un cos de 500 g lligat a una corda de 0,5 metres de longitud dóna voltes amb velocitat constant en un pla horitzontal. El sistema forma un pèndol cònic d'angle constant de 60 graus amb la vertical. Calcula:

a. La tensió de la corda. b. La velocitat lineal del cos. c. L'angle que formen el vector velocitat i el vector acceleració.

Sol: 10 N ; 2,73 m ; 90 º !5. Un bloc de 2 kg de massa que està lligat a l'extrem d'un fil de 30 cm fa un moviment circular a

10 revolucions per minut sobre una taula horitzontal sense fregament. L'altre extrem del fil està fixat a la taula.

a. Quant val la tensió del fil? b. Mitjançant un fil de 15 cm lliguem a

aquest bloc un segon bloc de 5 kg de massa i fem girar el conjunt a 20 revolucions per minut, Quant valdran les tensions dels fils?

Sol: 0,65 N ; 9,86 N i 12,49 N !!17. Calcula la rapidesa màxima a la que un cotxe de massa “m” pot prendre una corba de 100 m de radi si el coeficient de fricció estàtica entre el terra i les rodes és de 0,5. Sol: 22,36 m/s. !!

�30

! 18. (PAU setembre 97) Una massa “m” col·locada sobre una

taula sense fregament està unida a una massa M penjada mitjançant una corda que passa per un forat practicat a la taula. El cos de massa M està en repòs mentre que el cos de massa m descriu un moviment circular uniforme de radi r.

a. Fes un esquema de les forces que actuen sobre cada cos i especifica les relacions que hi ha entre elles.

b. Calcula la velocitat v amb què es mou el cos de massa m. c. Indica quines són les acceleracions tangencial i normal del cos de massa m.

Dades: m = 1 kg, M = 4 kg, r = 0,1 m Sol: 2 m/s; 0 m/s2 i 40 m/s2 !19.  Una  persona  quan  camina  sempre  té  un  peu  en  

contacte  amb  el  terra  i  ,  el  seu  cos,  realitza  una  corba  al  voltant  del  peu  de  contacte  amb  el  terra.  Per  tant  fa  un  moviment  de  pujar  i  baixar,    el  seu  cos  dibuixa  un  arc.  Si  la  persona  augmenta  la  velocitat  de  caminar  arriba  un  moments  en  què  hi  ha  instants  que  els  peus  perden  el  contacte  amb  el  terra,  aquest  és  l’instant  en  què  es  passa  de  caminar  a  corre.  Donat  que  el  moviment  del  cos  és  una  corba,  una  persona  corre  quan  el  pes  no  és  su\icientment  gran  com  per  produir  la  força  centrípeta  necessària  per  la  velocitat  a  què  es  desplaça.  Busca  a  partir  de  quina  velocitat  comença  a  corre  una  persona  que  té  unes  cames  de  0,9  m  de  longitud.  Sol:  2,97  m/s.  !!!!  

20.  Un  enginyer  de  carreteres  ha  de  dissenyar  una  corba.  Ell  sap  que  la  velocitat  màxima  a  què  es  podrà  circular  per  aquella  carretera  és  de  90  km/h  però  vol  que  hi  hagi  un  ampli  marge  de  seguretat  del  100%  per  si  hi  ha  algun  imprudent  que  li  agradi  transgredir  les  normes.  Suposant  que  el  coe\icient  de  fricció  entre  les  rodes  i  el  terra  sigui  0,6  i  que  el  pis  de  la  carretera  sigui  horitzontal,  quin  ha  de  ser  el  radi  de  la  corba?  Dibuixa  totes  les  forces  que  actuen  sobre  el  cotxe  mentre  fa  la  corba  tot  indicant  qui  fa  la  força.  !!

�31

!Camp gravitatori !1. Calcula la força gravitatòria entre dues masses puntuals d’1 kg separades una distància de 10

cm. Compara el resultat obtingut amb el pes de les masses. Sol: Força entre les dues masses = 6,67.10-9 N, que és uns 1500 milions de vegades més petita que el pes de les masses. !

2. Calcula l’acceleració de la gravetat de la Terra i el pes d’un senyor de 70 kg de massa quan es troba a:

Sobre la superfície de la Terra. A una alçada de 10 km sobre la superfície de la Terra. A una alçada de 100 km sobre la superfície de la Terra.

Sol: a) g= 9,8 m/s2, p= 686,0 N. (b) g= 9,74 m/ s2, p= 681,8 N (c) g= 9,47 m/ s2. !3. Calcula l’acceleració de la gravetat a Júpiter sabent que el seu radi és “R=7,2.107m”, i la seva

massa “M= 2,25.1027 kg”. Quina és la relació que hi ha entre el pes d’una persona a Júpiter i a la Terra?. I quina relació hi ha entre la massa de la persona a la Terra i a Júpiter. Sol: gJ = 3 . gT . A Júpiter el pes serà tres vegades més gran. !

4. La massa de Mart és la dècima part de la massa de la Terra i el seu radi la meitat del terrestre. Calcula l’acceleració de la gravetat a Mart. Sol: gT = 2,5 . gM ; gM = 3.9 m/s2. !

5. En el moment del teu naixement, tenies al teu costat el metge amb una massa d’uns 80 kg i a una distància de 0,5 m. Al mateix temps el planeta Mart, de massa uns 6,0.1023 kg, es trobava a la màxima proximitat de la Terra que són uns 56,2 milions de km. Troba quin dels dos exercia més influència gravitatòria en el moment del teu naixement. Sol: El metge té més influència gravitatòria sobre el nadó que Mart. !

6. Troba la força gravitatòria que fa la Terra sobre un satèl·lit, de 500 kg de massa, que gira al seu voltant a una alçada de 300 km. Quant valdria la força que fa el satèl·lit sobre la Terra?. La massa de la Terra és MT = 6,0x1024 kg i el seu radi RT = 6,4x103 km. Sol: 4458 N !

7. Si el satèl·lit del problema anterior fa una òrbita circular, indicar: a. Qui o què fa la força centrípeta sobre el satèl·lit? Què val aquesta força?. b. Quina és la velocitat de rotació del satèl·lit al voltant de la Terra?. c. Quant tarda en donar una volta complerta? És a dir, quin és el seu període de rotació.

Sol: a) la força gravitatòria ; b) 7730 m/s ; c) 1,5 h. !8. L’estació espacial internacional (ISS), es troba en una òrbita circular a 400 km d’alçada sobre la

superfície de la Terra. Quantes vegades veuen sortir el Sol cada dia els astronautes? Dades:

• Massa de la Terra 6,0x1024 kg. • Radi de la Terra 6378 km. !!

�32

Forces elàstiques: !1. Tenim una molla penjada verticalment i té una longitud de 20cm. Hi pengem una massa de 850

g i acompanyem a la massa enganxada a la molla fins arribar a la posició d’equilibri. Quan mirem la nova longitud de la molla trobem que és de 32 cm. Calcular la constant de la molla. Quant s’estiraria si hi pengéssim una massa de 1,4 kg?. !!

2. Una molla col·locada horitzontalment sobre una taula té una longitud de 30 cm i una constant elàstica de 2000 N/m. La comprimim fins que la seva longitud és de 22 cm i la mantenim en aquesta posició.

a) Quina força hem de fer sobre la molla per deformar-la així. Quina força fa la molla?. b) Si posem un cos de 4 kg davant la molla deformada i amollem el sistema amb quina

acceleració arrancarà el cos?. Sol: a) 160 N ; b) 40 m/s2. !

3. Sobre un pla inclinat 30º es col·loca una molla de constant elàstica 500 N/m, i un cos de 2 kg la comprimeix tal i com mostra la figura. Suposa que la fricció és inexistent i calcula la deformació de la mola si la situació és d’equilibri. Sol: 1,96·10-2m. !

!4.   Sobre  una  taula  horitzontal  sense  fricció  tenim  un    cos  està        

lligat  amb  una  molla  de  constant  k=98  N/m  que  per  l’altre  extrem  està  lligada  al  centre  de  la  taula  al  voltant  del  qual  fem  girar  el  cos  de  manera  que  dona  1,2  voltes  per  segon.  La  molla  tenia  una  longitud  en  repòs  de  24  cm  però  quan  el  cos  gira  té  una  longitud  de  28  cm.  Calcula  la  massa  del  cos.  Sol: 0,246 kg. !!!

�33

Moment lineal o Quantitat de Moviment !1. Sobre un cotxe de massa “M” i sobre un gra d’arena de massa “m” (m>>M), actuen

simultàniament una força d’1 N durant 1 s. En quin dels dos variarà més la quantitat de moviment?. Quin és aquest valor?. Sol: 1 Kg.m/s. !

2. a) Explica en quines condicions conserva la quantitat de moviment o moment lineal, d’un sistema de partícules. Fes una petita demostració a partir del Segon Principi de la Dinàmica generalitzat. b) Tenim a l’espai, lluny de qualsevol interacció, un cos de massa M que es troba en repòs respecte a un determinat sistema de referència. En un moment donat esclata i es romp en tres trossos que surten disparats en diverses direccions. En el dibuix es representen els vectors de la quantitat de moviment de dos dels trossos. Representa, dibuixa, encara que sigui de forma aproximada, el vector quantitat de moviment del tercer tros. Important, justifica la teva proposta. Es compleix que M= m1+ m2+ m3 !!! !!!!!!! ! Situació inicial Situació final !!

3. Explica quina és la condició que es conservi la quantitat de moviment total d’un conjunt de partícules que interaccionen. Posa un exemple en què es conservi i un en què no es conservi la quantitat de moviment total. !

4. Defineix què és impuls i quines unitats té. Apliqueu al cas d’una col·lisió d’un cotxe. Explica dos maneres diferents de aconseguir el mateix impuls sobre el cotxe, una en què els ocupants no corrin perill i una altra en què l’impuls sigui greument perillós pels seus ocupants. !

5. Una pilota de tenis de 58 g de massa és mou amb una velocitat de 20 m/s contra una raqueta de tenis. L’impacte dura 0,08 s i la pilota surt rebotada amb la mateixa rapidesa però en sentit contrari. Calcular la força entre la raqueta i la pilota. !!!!!!

�34

6. COL·LISIÓ PERFECTAMENT INELÀSTICA es diu quan, al xocar dos cossos, aquests queden enganxats. Rep aquest nom perquè és un esdeveniment en què es perd una gran part de l’energia cinètica de les partícules.

a) Suposa que llancem un projectil de massa “m” amb una velocitat “v” contra un bloc de fusta, de massa “M” que es troba sobre una superfície horitzontal sense fricció. Si el projectil queda incrustat en el bloc, calcular l’expressió que ens doni la velocitat final “vf” després de la col·lisió en funció de les dades anteriors.

b) Si el projectil té una massa de 20 g, la massa del bloc de fusta 5 kg i la velocitat final del conjunt després del xoc és 4 m/s, quina era la velocitat del projectil abans de xocar?. !

7. Dues persones de masses “m” i “M” es troben sobre una superfície sense fricció. Si la primera dóna una empenta a la segona de manera que surt amb una velocitat “V”, calcular la velocitat amb la que sortirà la primera. !

8. Un canó de llançar pilotes el posem sobre un carret amb rodes i sense fricció que es troba sobre una superfície horitzontal. El canó llança horitzontalment 3 pilotes de 100 g de massa cada 4 segons amb una velocitat de 72 km/h cada una. Si la massa del canó amb el carret és de 20 kg, quina serà l’acceleració del carret?. Quina potència aporta el canó a les pilotes?. Suposa que la massa del carret amb el canó és constant al llarg del procés. !

9. Una pilota de 300 g té una rapidesa de 12 m/s i xoca amb una altra pilota de 1000 g que es mou en sentit contrari amb una rapidesa de 4 m/s. Després del xoc la pilota surt rebotada en sentit contrari al que inicialment anava, amb una rapidesa de 12,7 m/s. Si la col·lisió dura és de 0,1 segons:

a. Calcula la força de la pilota gran sobre la petita i l’impuls d’aquesta força. Quina és la força de la pilota petita sobre la gran.

b. Quina serà la rapidesa de la pilota gran després del xoc?. !10. Com ja sabeu del 1r trimestre la hidrazina, N2H4 , s’utilitza per a propulsar satèl·lits.

Els gasos que surten per la tovera ho fan a una velocitat de 3000 m/s. Si volem augmentar la velocitat d’un satèl·lit de 8000 kg en 0,35 m/s, quina massa d’hidrazina es necessita?. Sol: 0,93 kg.

11. Una sèpia té una bossa que conté 100 g de tinta. Quan es troba en una situació de perill expulsa de cop la tinta a una velocitat de 5 m/s en 0,5s. Si la massa de la sèpia és de 400 g, calcula:

a. La seva velocitat cada cop que expulsa la tinta. b. La força que fa la sèpia sobre el líquid cada cop que

l’expulsa. !12. Un astronauta de 100 kg de massa, equip inclòs, s’ha separat accidentalment de la nau 45 m. Per

a retornar a la nau i salvar-se, allibera 0,45 kg d’oxigen que surten amb una rapidesa de 50 m/s, calcula:

• La velocitat que adquireix l’astronauta. • El temps que tardarà en arribar a la nau. • Si en el dipòsit d’oxigen hi havia inicialment 0,5 kg i respira a un ritme que consumeix

2,5x10-4kg, arribarà viu a la nau?. !�35

PROBLEMA RESOLT !La massa del cos de la figura és de 2 kg, la inclinació del pla és de 30º i el coeficient de fricció entre el cos i el pla val 0,2. Calcula:

a) La força que es fan les dos superfícies. b) La resultant de totes les forces. c) El temps que tarda en pujar 5 metres partint de repòs (g=

10 N/kg). !!!SOLUCIÓ: !

1. Primer cal fer un dibuix gran, en el qual es vegin bé totes les forces, els eixos i la descomposició de les forces sense cap mena de dubte. El dibuix t’ajudarà a no equivocar-te en el balanç de forces. !

2. Establir l’equació corresponent al Segon Principi de la Dinàmica: FR=m·a ! (Equació 1)

!�36

Aquesta última equació és vectorial i això implica que es pot descompondre com a qualsevol vector. Agafem uns eixos de manera que un d’ells tingui la direcció del moviment i, l’altra, perpendicular a aquesta direcció. El criteri de signes és l’indicat en el dibuix. !El primer que hem de fer és trobar les components de les forces que no han quedat sobre els eixos, com és el cas del pes i de la força aplicada.

3. Ara ja estem en condicions d’establir les dos components de l’equació “1”. Cal posar el signe de les forces: !

- Eix Y: ; !!Aquesta primera equació ens diu que el balanç de forces sobre l’eix Y és zero. Això implica:

La normal, sempre és la força que es fan les superfícies en contacte, per tant, és la resposta de la primera qüestió. És important ressaltar, que en aquest cas, la normal no és tan sols igual a la component Y del pes. !A partir de la normal, força entre les dos superfícies, podem trobar la força de fricció entre les dos superfícies a partir de l’equació:

Novament hem de recordar que la relació entre la força de fricció i la normal NO ÉS VECTORIAL, és una relació entre el mòduls. Aquests dos vectors tenen sentits perpendiculars un a l’altre. !!!!!

�37

Ara estem en condicions d’establir el balanç de forces sobre l’eix X. !- Eix X:

Com la suma de forces sobre l’eix Y ens ha donat zero, la força resultant tan sols serà la suma de forces sobre l’eix X:

Aquesta és la resposta de l’apartat (b). !Si existeix una força resultant no nul·la, això implica que el cos tindrà una acceleració que ve donada per: ! !!!L’últim apartat és un problema de 4t d’eso, es tracte de trobar el temps que tardarà el mòbil en recorre 5m partint del repòs. Així tenim un mua en què la posició inicial la podem fer zero i la velocitat inicial també ho és:

!!!

�38