diferentiale de ordin superior

BioMath C7 Ecuatii diferentiale

Remus Cmpean

BIOMATEMATICA ECUATII DIFERENTIALEContinut1. Ecuatii diferentiale de ordinul I. 2. Ecuatii diferentiale de ordin superior. 3. Probleme Cauchy si probleme bilocale

1. Ecuatii diferentiale de ordinul I.2. Ecuatii diferentiale de ordin superior. 3. Probleme Cauchy si probleme bilocale

DEFINITIE. Ecuatie diferentiala de ordinul nF x, y, y , y ,..., y (n ) = 0, x R (1)

(

)

unde F:Rn+2R, y=f(x), f (n) notat y(n). Rezolvarea ecuatiei diferentiale determinarea functiilor y, n-derivabile care verifica relatia (1). Ecuatie diferentiala de ordinul I: n=1F (x, y, y ) = 0, x R , F:R 3R

FORME PARTICULARE PT. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL I. 1. ECUATII CU VARIABILE SEPARABILEE1(y)y' - E2 ( x) = 0 ,

unde E = expresie numai de y respectiv de xy' = E1(y ) dy dx

dy - E ( x ) = 0 ? E1(y )dy = E2 (x )dx dx 2

1

BioMath C7 Ecuatii diferentiale 1. Ecuatii diferentiale de ordinul I.2. Ecuatii diferentiale de ordin superior. 3. Probleme Cauchy si probleme bilocale

Remus Cmpean

Functia-solutie se determina prin integrare.

E1(y )dy = E2 (x )dx

1(y ) + C1 = 2 (x ) + C 2

unde sunt primitive iar C sunt constante de integrare. 1(y ) = 2 (x ) + C 2 C1 familia de functii-solutie y(xC). 1 24 4 3C

2. ECUATII DE ORDINUL I OMOGENE N SENS EULER. Pot fi exprimate n formay' = f( y ) x

dy du y not Substitutie: = u y=xu =u+ x x dx dx {f (u)

ec. cu variabile separabile n u(x)y 1 + ( )2 x +y x Exemplu. y' = ? y' = y xy x2 2

3.

ECUATII

DE

ORDINUL

I

REDUCTIBILE

LA

ECUATIIOMOGENE N SENS EULERy' = a1x + b1y + c1 ,a,b ,c ? R a2 x + b2 y + c 2 i i i

Observatie. c 1=c 2=0ecuatie omogena n sens Euler Se considera sistemul:a1x + b1y + c 1 = 0 a2 x + b2 y + c 2 = 0

2


Remus Cmpean

1. Ecuatii diferentiale de ordinul I.2. Ecuatii diferentiale de ordin superior. 3. Probleme Cauchy si probleme bilocale

Daca

a1 b1 ? 0 substitutiile x=u+x0 si y=v+y0 unde a2 b2

(x0, y0) solutia unica a sistemului ecuatie omogena n sens Euler n v(u). Dacaa1 b1 = 0 substitutia z=a1x+b 1y ecuatie cu a2 b2

variabile separabile n z(x). 4. ECUATII LINIARE NEOMOGENEy' + p(x)y = q(x)

I. Se ataseaza ecuatia omogena y' + p(x)y = 0 cu variabile separabile avnd solutia y = Ce - ?p(x)dx II. Metoda variatiei constantei: C=C(x). Se cauta solutia ecuatiei neomogene sub formay = C ( x )e - ?p(x)dx ? y ' = C'( x )e - ?p(x)dx + C( x )[- p( x )]e - ?p(x)dx

Expresiile y si y ' se nlocuiesc n ecuatia neomogena se exprima C(x) sub formaC (x ) =

?q (x )e ?p

( x )dx

dx + C 1

Se revine n relatia de variatie a constantei C si se obtine expresia functiei y(x)( ) y = e- ?p(x)dx ? ( x )e ?p x dx dx + C1 q

[

]

3


Remus Cmpean

ECUATII DIFERENTIALE DE ORDIN SUPERIOR1. Ecuatii diferentiale de ordinul I.

2. Ecuatii diferentiale de ordin superior.3. Probleme Cauchy si probleme bilocale

FORME CARE PERMIT REDUCEREA ORDINULUIF (x, y', y '' ) = 0, ?x ? R (fara y)

Substitutie z = y' ? z' = y'' F (x, z, z ') = 0 de gradul I Generalizare.( ) ( ) ( ) ( ) F x, y k , y k +1 ,..., y n = 0 fara termenii cu y, y ',..., y k -1 ( ) ( ) ( ) ( ) Substitutie z = y k ? z' = y k +1 ,..., z n- k = y n ecuatie de( ) gradul n-k, F x, z, z',..., z n- k = 0 .

(

)

(

)

ECUATII

LINIARE

OMOGENE

CU

COEFICIENTI

CONSTANTI( ) ( ) y n + a1y n -1 + ... + an -1y ' + a n y = 0 , aiR

1. Se ataseaza ecuatia algebrica caracteristica rn+a1rn-1++an-1r+an=0 rezolvbila prin metode algebrice: formule cu radicali, metoda Horner, etc (depinde de forma ecuatiei) 2. Ecuatia caracteristica are n solutii. Acestea pot fi: reale simple, reale multiple, complexe simple (n numar par), complexe multiple (n numar par). i solutii reale simple r1,,ri i solutii ale ecuatiei diferentiale de forma y k = e rk x , k = 1,i j solutii reale multiple r1==rj j solutii ale ecuatiei

4


Remus Cmpean

1.

Ecuatii diferentiale de ordinul I.

diferntiale de forma y k = x k -1e r1x , k = 1, j 2m solutii complexe simple, conjugate 2 cte 2, r1=+i, r2=-i 2m solutii ale ecuatiei diferntiale de forma y1=e xcos(x), y2=e xsin(x) 2p solutii complexe multiple, conjugater1,2 = a i = r3,4 = ... = r2p-1,2p


2p solutii ale ecuatiei diferntiale de forma yk1=xk-1excos(x), yk2= xk-1exsin(x), k = 1,p Important: i+j+2m+2p=n Ecuatia diferentiala omogena admite sistemul

fundamental de solutiiy 0 = C1y1 + ... + Cn y n , C1,..., Cn ? R ,

unde y1, , yn poate avea oricare din formele de mai sus. Particularizare. n=2 (Tema) ECUATII LINIARE NEOMOGENE CU COEFICIENTI

CONSTANTI( ) ( ) y n + a1y n -1 + ... + an -1y' + an y = f, f = f(x) , aiR

I. Se rezolva ecuatia omogena corespunzatoare obtinnduse un sistem fundamental de solutii ale ecuatiei dupa algoritmul de mai sus.y 0 = C1y1 + ... + Cn y n , C1,..., Cn ? R

II. Se variaza constantele C 1=C1(x), , C n=Cn(x).

5


Remus Cmpean

Se cauta o solutie particulara de forma1. Ecuatii diferentiale de ordinul I.

y p = C1(x ) y1 + ... + Cn ( x )y n , C1( x ),..., C n (x ) ? C (I)


Functiile C i(x) se determina din sistemul de ecuatiiC' y1 + ... C'n y n = 0 1 C' y' + ... C'n y'n = 0 1 1 ...(n C1y1n -1 + ... C'n y n -1) = f ' ( )

Se rezolva prin metoda Cramer. Determinantul sistemului senumste Wronskian (determinant de functii).y1 W (y1, y 2 ,..., y n ) = y'1 ... y1n-1( )

y2 y '2 ...n y 2 -1

... ... ...)

yn y 'n ...( )

(

n ... y n -1

Exemplu pentru gradul II. Ecuatia neomogena: y '' - 5y' + 6y = e x Ecuatia omogena corespunzatoare: y '' - 5 y' + 6y = 0 Ecuatia caracteristica atasata: r2-5r+6=0 cu solutiile r1=2, r2=3. Solutii ale ecuatiei y1=e 2x, y2=e 3x Sistemul fundamental de solutii: y0=C1e2x+C2e3x, C1, C2 R Variatia constantelor y0(x)=C1(x)e2x+C2(x)e3x, C1, C2 C(I)

C1 ( x )e 2 x + C 2 ( x )e x = 0 ' 'Sistemul

2C1 ( x )e 2 x + 3C 2 ( x )e 2 x = e x ' '

;

6


Remus Cmpean

1.


e 2x Wronskianul W = 2x 2e

e 3x 5x 3x = e 3e


Aplicnd metoda Cramer C'1( x ) = -e - x C'2 ( x ) = e - 2x

(? )?

C1( x ) = e - x + k 1, k1 ? R 1 C2 ( x ) = - e - 2x + k 2 , k 2 ? R 2

Solutia generala1 y0(x)= ( e - x + k1 ) e2x+( - e- 2x + k 2 ) e3x ; 2x 2x + k e 3 x + e , k , k R y0(x)= k1e 14 244 4 2 3 { 1 2 2 y0 y

y=y0+y

7


Remus Cmpean

1.


PRINCIPIUL: Selectarea unei solutii particulare din familia de functii solutie a ecuatiei diferentiale prin impunerea de conditii. Familia de functii-slutii ale unei ecuatii diferentiale y0

2.

Ecuatii diferentiale de ordin superior.

3. Probleme Cauchy si probleme bilocale

Curba din familie care ndeplineste conditia y(x0)=y0 x0 PROBLEME CAUCHYy ' = f (x, y ), x ? I y(x 0 ) = y 0

o constanta de integrare o conditie PROBLEME BILOCALEy '' = f (x, y ), x ? I = [a, b] y (a ) = 0 y (b) = 0

doua constante de integrare doua conditii

8


Remus Cmpean

NTREBARI Q1: Definiti forma generala a unei ecuatii diferentiale. Q2: Explicati notiunile de omogenitate si omogenitate n sens Euler relativ la ecuatii diferentiale. Q3: Ce nseamna a varia o constanta? Q4: Precizati tipurile de solutii posibile ale unei ecuatii diferentiale liniare omogene cu coeficienti constanti. Q5: Care este principiul de baza n cazul problemelor Cauchy si bilocale?

9

diferentiale de ordin superior

Documents