Univerza v Ljubljani

Pedagoška fakulteta

Oddelek za matematiko in računalništvo

Marko Razpet

DIEDRICH UHLHORN IN NJEGOVE KRIVULJE

Študijsko gradivo

Zgodovina matematike

Ljubljana, september 2021

Vsebina

Seznam slik 3

Predgovor 5

Kdo je bil Diedrich Uhlhorn? 6

Uhlhornova knjiga 9

Geometrijske sorazmernice 20

Ofiurida 25

Analitična obravnava ofiuride 27

Ofiurida in parabola 33

Ofiurida in hiperbola 38

Inverz hiperbole na krožnici s središčem na njej 42

Reševanje kubičnih enačb 48

Še nekaj jezikovnih 51

Za konec 53

Pomembni znanstveniki, rojeni v 18. stoletju 54

Viri 56

Seznam slik

1 Diedrich Uhlhorn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Bockhorn v 19. stoletju. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Naslovnica Uhlhornove knjige. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Ofiurida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Toksoida, lokarica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Kukumaida, strofoida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Kromioida, čebulnica, Pascalov polž. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8 Didaktiloida, dvoprstnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

9 Skifoida, čašnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

10 Diloboida, dvostročnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

11 Pravokotni trikotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

12 Srednji geometrijski sorazmernici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

13 Heronova konstrukcija srednjih geometrijskih sorazmernic. . . . . . 24

14 Nastanek ofiuride. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

15 Do geometrijskih sorazmernic z ofiurido. . . . . . . . . . . . . . . . . 26

16 Ofiurida v koordinatnem sistemu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

17 Ofiurida in njene značilne točke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

18 Ofiurida in predznaka konstant a in b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

19 Dioklova cisoida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

20 Posebni primer: a = 0,b ≠ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

21 List ofiuride. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

22 Ofiurida in družina premic skozi točki C in D. . . . . . . . . . . . . . 33

23 Ofiurida je nožiščna krivulja parabole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

24 Ofiuride kot nožiščne krivulje parabole. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

25 Do ofiuride po cisoidnem postopku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

26 Ofiurida in hiperbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

27 Inverzija hiperbole na krožnici s središčem na tej hiperboli. . . . . . 40

3

28 Inverzija hiperbole na krožnici je lahko strofoida. . . . . . . . . . . . 41

29 Inverz hiperbole na krožnici s središčem na njej. . . . . . . . . . . . . 42

30 Skladni inverzi hiperbole na skladnih krožnicah s središči na njej. . 45

31 Ofiurida v okolici svoje dvojne točke S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

32 Tangenta hiperbole je lahko pravokotna na njeno asimptoto. . . . . 48

33 Reševanje enačbe y3−2 = 0 z ofiurido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

34 Reševanje enačbe 4y3−13y +6 = 0 z ofiurido. . . . . . . . . . . . . . . 50

35 Tretjinjenje kota z ofiurido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

36 Načrt Uhlhornove naprave za risanje ofiurid. . . . . . . . . . . . . . . 55

4

Predgovor

V zgodovini matematike zadnjih nekaj stoletij ni prav veliko samoukov

in amaterjev, ki so napisali odmevnejšo matematično knjigo. Eden takih

je bil Diedrich Uhlhorn, doma na severu Nemčije. Znano je, da je veliko

učenjakov različnih civilizacij že od antike naprej poskušalo rešiti zna-

meniti geometrijski problem kvadrature kroga. Poskusili so s šestilom in

neoznačenim ravnilom, to se pravi z evklidskim geometrijskim orodjem,

na kratko po evklidsko, konstruirati kvadrat, ki ima enako ploščino kot

dani krog. Problem so reševali tako matematiki kot amaterji. Problem, ki

je vsem lahko razumljiv, je prišel celo v vsakodnevno besedno zvezo, ko

govorimo o kakšnem težko rešljivem ali sploh nerešljivem problemu.

Šele v 19. stoletju so matematiki dokazali, da to ni mogoče. V želji, da

bi rešili problem, pa so vendarle odkrili marsikaj drugega. Če drugega ne,

so odkrili bolj ali manj natančne približne metode za kvadraturo kroga in

izračunali vedno bolj natančne približke za krožno konstanto π.

Prav tako so se trudili rešiti po evklidsko še dva druga antična ge-

ometrijska problema, in sicer problem duplikacije ali podvojitve kocke ali

deloški problem, poimenovan po otoku Delos, Δῆλος, v Egejskem morju,

in problem trisekcije ali tretjinjenja kota. Več o tem lahko najdemo na

primer v [2, 4, 5]. Tudi ta dva problema sta po evklidsko nerešljiva, kar so

dokazali tudi šele v 19. stoletju.

Pri deloškem problemu gre za konstrukcijo roba kocke, ki ima dvakrat

večjo prostornino kot dana kocka. Pri problemu trisekcije kota pa je treba

konstruirati tretjino danega kota.

S tema dvema problemoma se je ukvarjal Diedrich Uhlhorn in v nekem

smislu v svoji knjigi, ki je izšla leta 1809 in bila ugodno sprejeta, zaokrožil

5

to takrat že nekoliko pozabljeno problematiko. Že od antičnih časov so

si, videč da po evklidsko nikakor ne gre, pomagali s posebnimi ravnin-

skimi krivuljami in posebnimi geometrijskimi orodji. Uhlhorn je dodal

še nekaj svojih krivulj in jim dal grška in nemška imena ter izdelal za

njihovo načrtovanje posebna orodja, kar mu kot spretnemu mehaniku ni

bilo težko. Orodja so pri tej problematiki novost. Največjo pozornost je

posvetil krivulji, ki jo je poimenoval ”ofiurida”, po naše ”kačjerepa črta”

ali ”kačjerepnica”, po nemško ”Schlangenschwanzlinie”. Ofiuridi je v svoji

knjigi posvetil največ prostora, okoli 40 strani. Vključujejo jo tudi naj-

novejša dela, ki obravnavajo ravninske krivulje, čeprav je Uhlhorn manj

znan in že skoraj pozabljen.

Kdo je bil Diedrich Uhlhorn?

Življenjepis in delo Diedricha Uhlhorna je povzet po novejšem delu [5].

Diedrich Uhlhorn (1764–1837) se je rodil v Bockhornu v okrožju Fries-

land, sedaj na Spodnjem Saškem. Kot samouk je napravil nenavadno

kariero. Njegov oče je bil mizar in kmetovalec. Diedrich je celih prvih 38

let svojega življenja prebil v rojstnem kraju, kjer je obiskoval enorazredno

ljudsko šolo, ki je bila zelo natrpana, kajti učitelj je bil plačan glede na

število učencev in si zato zelo prizadeval, da je bilo le-teh čim več. Navaden

obvezen pouk je bil omejen na branje, pisanje in verouk, za otroke pre-

možnejših staršev je bilo na voljo tudi nekaj računstva. Ker je Diedrich v

šoli pokazal, da je nadarjen za matematiko in fiziko, mu je mati uredila

dodaten pouk matematike v sosednjem kraju pri nekem zemljemercu, ki

je obvladal precej matematike in s tem fanta uvedel v svet matematičnih

znanosti in učencu nudil tudi strokovno literaturo za branje. Po končani

6

šoli je Diedricha vzel v uk kar njegov oče. Fanta pa očetovo delo ni kaj

dosti zanimalo. Začel izdelovati različne fizikalne in matematične inštru-

mente, kar očetu ni bilo prav nič všeč, tako da je sina celo razdedinil. Zato

je najel v Bockhornu neko hišo, kjer je lahko kot obrtnik izdeloval inštru-

mente: sončne ure, elektrostatične generatorje, nivelirje in daljnoglede.

Slika 1. Diedrich Uhlhorn.

Diedrich je začel študirati matematiko iz knjige Christana Wolffa, ki

ima naslov ”Auszug aus den Anfangs-Gründen aller mathematischen Wis-

senschaften, zu bequemerem Gebrauche der Anfänger”, kar pomeni ”iz-

vleček iz začetnih osnov vseh matematičnih znanosti, za udobno uporabo

pri začetnikih”. V knjigi je zajetih 19 matematičnih znanosti: aritmetika,

geometrija, trigonometrija, mehanika, hidrostatika, aerometrija, hidrav-

lika, optika, katoptrika, dioptrika, perspektiva, astronomija, geografija,

kronologija, gnomonika, artilerija, nauk o utrdbah, stavbarstvo in alge-

bra. Izšla je leta 1772 v Hallu. Avtor Christian Wolff (1679–1754) je bil

7

nemški matematik in filozof. Leta 1710 je izšla njegova knjiga ”Anfangs-

gründe aller mathematischen Wissenschaften”, kar pomeni ”začetne os-

nove vseh matematičnih znanosti”, iz katere je potem nastal prej omenjeni

”izvleček”.

Slika 2. Bockhorn v 19. stoletju.

Potem ko je bil Diedrich izdelal zelo kvaliteten daljnogled za svojega

deželnega gospoda, vojvodo Petra Friedricha Ludwiga, je bil leta 1797

imenovan za dvornega mehanika vojvode holsteinskega-oldenburškega.

Vojvoda ga je tudi gmotno podpiral. Od leta 1801 do 1810 je živel v Old-

enburgu, potem pa se je preselil v Grevenbroich v Porenju. Tu je prišel na

dober glas kot pionir industrijske dobe. Še danes velja za pionirja nemške

industrije. Že v Oldenburgu so bile v težišču njegovega dela konstruk-

cije strojev v suknarstvu. Znan pa je Uhlhorn postal predvsem po razvoju

8

naprave za izdelavo kovancev, stiskalnico s kolenastim vzvodom, ki deluje

podobno kot naprava za zapiranje steklenic s pokrovčki. Izdelanih je bilo

okoli 200 primerkov. Nekateri so se ohranili po muzejih, v Københavnu

so eno tako Uhlhornovo napravo uporabljali vse do leta 1955. Uhlhornu

pripisujejo tudi iznajdbo tahometra, naprave za merjenje hitrosti. Beseda

”tahometer” je izvedena iz dveh grških: τάχος, hitrost, naglica, in μέτρον,

mera, merilo. Leta 1804 je v nekem nagrajenem spisu razložil optimalno

obliko zobnikov pri mlinih. Taki zobniki se s časom zaradi medsebojnega

drgnjenja najpočasneje izrabljajo. S tem je teorija krivulj veliko pridobila

na praktični uporabnosti. Diedrich Uhlhorn je znal svoje izjemne prak-

tične in teoretične sposobnosti uporabiti tako v lastno korist kot v korist

celotne družbe in v življenju mu ni šlo slabo. Umrl je v Grevenbroichu.

Po Uhlhornu so v Grevenbroichu poimenovali realko: ”Diedrich-Uhl-

horn-Realschule”. V rodnem Bockhornu je dobil svojo ulico ”Uhlhorn-

straße” in svojo spominsko ploščo.

Uhlhornova knjiga

Glede na raznolikost njegovih izumov bi marsikdo zaključil, da je bil Uhl-

horn nekakšen ”Jaka Racman”, ki se loti vsega. Na njegovo čisto drugo

plat, katere pomena doslej, kot kaže, niso pravilno ovrednotili, pa se je

popolnoma pozabilo. Ko je živel še v Oldenburgu, je namreč napisal knji-

go z naslovom ”Entdeckungen in der höhern Geometrie, theoretisch und

practisch abgehandelt”, ki je izšla leta 1809 v Oldenburgu.

Naslov in celotno besedilo sta napisana po takratnem nemškem pravo-

pisu. Prevod naslova je ”odkritja v višji geometriji, obravnavana teoretično

in praktično”. Njegovo ime ima v knjigi eno črko več: namesto uveljavljene

9

oblike ”Diedrich” so zapisali, kdo ve zakaj, ”Diederich”. Avtor je knjigo

posvetil vojvodi Ludwigu.

Slika 3. Naslovnica Uhlhornove knjige.

Na začetku knjige se opravičuje, da ima slabo osnovno izobrazbo, da

nikoli ni poslušal kakšnega matematičnega predavanja in da tudi pisanja

besedil in nemškega pravopisa ne obvlada dovolj dobro, zahvaljuje pa se

prijateljem, ki so mu pri tem pomagali.

10

Ocena knjige je možna šele na podlagi novejših raziskav antične ge-

ometrije. Čudimo se lahko širini in globini Uhlhornovega premišljevanja,

polnosti idej, predvsem pa osupljivemu čutu za to, s čim so se ukvar-

jali antični geometri, nič manj pa tudi njegovemu smislu za dostavke tis-

tim, ki so se imeli za obnovitelje antične geometrije, zlasti Descartesu in

Newtonu. Uhlhorn je potemtakem na široko pokazal, da antične rešitve

lahko prilagodimo tem novim zahtevam. Z današnjega stališča moramo v

Uhlhornu na neki način videti celo ”dovršitelja antične geometrije”. Druga

njegova priljubljena krivulja, ”toksoida”, po naše ”lokarica”, po nemško

”Bogenlinie”, se prav tako kot ”ufiurida” pogosto omenja v novejših delih

o krivuljah. Žal ime ”toksoida” ni bilo preveč posrečeno izbrano, ker nas

preveč spominja na zadeve, ki so povezane s strupi. Uhlhorn je vsekakor

reševanje velikih antičnih problemov uskladil z novo Descartesovo ge-

ometrijo, v bistvu z analitično geometrijo.

V svoji knjigi Uhlhorn obravnava več algebrskih krivulj, ki jih tudi po-

imenuje z vrstilnimi števniki: prva krivulja, druga krivulja itd. Nekatere

so bile sicer v času njegovega življenja že znane, morda zanje ni niti vedel,

vendar pa se je trudil pri vseh pokazati, kako se jih konstruira po točkah.

To je bilo zanj bistveno. Ko je enkrat krivuljo znal narisati, jo je znal tudi

uporabiti in zanjo konstruirati geometrijsko orodje.

Prvim sedmim krivuljam je dal Uhlhorn imena, prilagojena nemške-

mu jeziku in pravopisu, in ki izvirajo iz grščine, pa tudi domača nemška

imena. Ker sam ni obvladal grščine in se je zanašal na pomoč prijateljev,

so morda nekatera imena krivulj nekoliko zgrešena. Vsako ime naj bi izvi-

ralo iz asociacij, ki jih doživimo ob pogledu na krivuljo. Pokomentirajmo

nekoliko vsako posebej in jo tudi slikovno predstavimo. Na prvem mestu

je zapisano nemško ime, nato sledi kratka razlaga njegovega izvora.

11

1. Ophiuride — iz ὄφις, kača; οὐρά, rep — Schlangenschwanzlinie iz

Schlange, kača; Schwanz, rep; Linie, črta — ofiurida, kačjerepa črta,

kačjerepnica. Nekateri uporabljajo morda pravilnejšo obliko: ofi-

uroida, tako da upoštevajo še grško besedo εἶδος, oblika, podoba.

Slika 4. Ofiurida.

V Bibliji najdemo besedo ὄφις, kača, na primer v 1 Mz 49, 17:

καὶ γενηθήτω Δὰν ὄφις ἐφv ὁδοῦ, ἐγκαθήμενος ἐπὶ τρίβου, δάκνων πτέρναν

ἵππου, καὶ πεσεῖται ὁ ἱππεὺς εἰς τὰ ὀπίσω

Klasični prevod:

Dan bo kakor kača ob poti, gad bo ob stezi, ki piči konja v kopita, da

pade jezdec vznak.

Dalmatinov prevod:

Dan bo ena kazha na potu, inu enmadras na stèsi, inu bo kojna v’peto

vgrisnil, de njegou iesdez snak bo padèl.

Dan je bil eden od dvanajstih sinov biblijskega očaka Jakoba.

V Bibliji najdemo besedo οὐρά, rep, na primer v Raz 12, 4:

καὶ ἡ οὐρὰ αὐτοῦ σύρει τὸ τρίτον τῶν ἀστέρων τοῦ οὐρανοῦ, καὶ ἔβαλεν

αὐτοὺς εἰς τὴν γῆν

12

Klasični prevod:

Njegov rep je pometel z neba tretjino zvezd in jih vrgel na zemljo.

Dalmatinov prevod Raz 12, 9:

Inu njegou rep je vlejkel tretji dejl teh svesd, inu je nje na semlo

vèrgal.

2. Toxoide — iz τόξον, lok, izstrelek, strela puščica, εἶδος, oblika, po-

doba — Bogenlinie iz Bogen, lok; Linie, črta — toksoida, lokarica.

Slika 5. Toksoida, lokarica.

V Bibliji najdemo besedo τόξον, lok, na primer v 1 Mz 27, 3:

νῦν οὖν λαβὲ τὸ σκεῦός σου, τήν τε φαρέτραν καὶ τὸ τόξον, καὶ ἔξελθε

εἰς τὸ πεδίον καὶ θήρευσόν μοι θήραν

Klasični prevod:

Vzemi zdaj svojo pripravo, tulec in lok, pojdi na polje in ulôvi zame

kako divjad!

Dalmatinov prevod:

Satu vsami tvojo pripravo, tvoj tull, inu tvoj lok, inu pojdi na púle,

inu vlovi meni eno svirino!

Ker beseda τόξον pomeni tudi puščica, puščice pa so bile pogosto

zastrupljene, lahko izvor toksoloških izrazov iščemo v tej besedi.

13

3. Kukumaide — iz κούκκουμα, cucuma (lat.), kuhinjski lonec, kopalni

kotel; εἶδος, oblika, podoba — Querkolbenlinie iz Querkolben, prečni

bet, prečni kij; Linie, črta — kukumaida.

Beseda κούκκουμα se v grških besedilih pojavi v prvem ali drugem

stoletju, ko je rimski imperij v času cesarja Trajana zavzemal naj-

večji obseg. Kot kaže, beseda izvira v orientalskih jezikih: sirijščini,

aramejščini. Pomenil je neko posodo, morda celo nekakšen mešiček,

izdelan iz živalskega mehurja.

Uhlhorn verjetno ni vedel, da gre za znano krivuljo strofoido, ki

sta jo poznala že Evangelista Torricelli (1608–1647) in Isaac Barrow

(1630–1677). Beseda naj bi izvirala iz grške στροφή, zavoj, obrat, in

εἶδος, oblika, podoba.

Slika 6. Kukumaida, strofoida.

V 18. knjigi Odiseje najdemo v 315. verzu besedo, ki ima enak koren:

ἔρχεσθε πρὸς δώμαθv, ἵνv αἰδοίη βασίλεια:

τῇ δὲ παρv ἠλάκατα στροφαλίζετε, τέρπετε δv αὐτὴν

Prevod A. Sovréta:

pojdite v izbo sedaj, h kneginji, gospóji častiti,

sučite prejo ročnó, skušájte gospo razvedriti

14

4. Krommyoide — iz κρόμμυον, tudi κρόμυον, čebula, εἶδος, oblika, po-

doba — Zwiebellinie iz Zwiebel, čebula; Linie, črta — kromioida,

čebulnica.

Uhlhornova kromioida je poseben primer v njegovem času že znanih

krivulj, Pascalovih polžev, imenovanih po Étiennu Pascalu (1588–

1651), ki je bil oče Blaisa Pascala (1623–1662). Pascalovemu polžu na

Zahodu pogosto rečejo ”limaçon”. Pascalove polže lahko uvrstimo

tudi med konhoide krožnice. Za konhoido dane ravninske krivulje

K moramo imeti neko točko O v ravnini te krivulje in neko raz-

daljo a. Na K izberemo točko M in skozi O in M potegnemo pre-

mico p. Od M nato po premici p odmerimo na obe strani a, da

dobimo točki T1 in T2. Ko M preteče K, točki T1 in T2 pretečeta

konhoido krivulje K. Znana Nikomedova konhoida ali školjčnica je

konhoida premice. Ime krivulje izhaja iz gršle besede κόγχη, kar

pomeni školjka. Nikomed, Νικομήδης (280–210 p.n.š.), je bil staro-

grški matematik.

Slika 7. Kromioida, čebulnica, Pascalov polž.

Besedo κρόμυον, čebula, najdemo na primer v 19. knjigi Odiseje, v

15

233. verzu:

οἷόν τε κρομύοιο λοπὸν κάτα ἰσχαλέοιο

Prevod A. Sovréta:

tak nekako na pogled ko lup osušêne čebule

5. Didaktyloide — iz δίς, dvakrat, δάκτυλος, prst, εἶδος, oblika, podoba

— Zweyfingerlinie iz starinsko zwey, moderno zwei, dva; Finger,

prst; Linie, črta – didaktiloida, dvoprstnica.

Slika 8. Didaktiloida, dvoprstnica.

V Bibliji najdemo besedo δάκτυλος, prst, na primer v Janezovem evan-

geliju, 8, 6:

ὁ δὲ ᾿Ιησοῦς κάτω κύψας τῷ δακτύλῳ κατέγραφεν εἰς τὴν γῆν

Klasični prevod:

Jezus se je sklonil in s prstom pisal po tleh.

Dalmatinov prevod:

Iesus pak se je doli pèrpognil, inu je s’pèrstom pissal na semlo.

6. Skyphoide — iz σκύφος, kozarec, čaša, kupa — Becherlinie iz Becher,

kozarec, čaša, kupa; Linie, črta — skifoida, čašnica.

16

Besedo σκύφος, kupa, najdemo na primer v 14. knjigi Odiseje, v 112.

verzu:

καί οἱ πλησάμενος δῶκε σκύφον, ᾧ περ ἔπινεν,

Prevod A. Sovréta:

kupo nalije pastir, leseno, ki sam jo je rabil

Slika 9. Skifoida, čašnica.

7. Diloboide — iz δίς, dvakrat, λοβός, strok, ušesna mečica, jetrno krilo

— Zweyschotenlinie iz starinsko zwey, moderno zwei, dva; Schote,

strok; Linie, črta — diloboida, dvostročnica.

Besedo λοβός, jetrno krilo, najdemo na primer pri Plutarhu, v življe-

njepisu Lucija Kornelija Sule, 27. razdelek, 2. odstavek:

θύσαντος μὲν γὰρ εὐθέως ᾗ διέβη περὶ Τάραντα, δάφνης στεφάνου τύπον

ἔχων ὁ λοβὸς ὤφθη, καὶ λημνίσκων δύο κατηρτημένων.

17

Slika 10. Diloboida, dvostročnica.

Prevod A. Sovréta:

Ko je takoj po prihodu v Italijo opravil v Tarentu daritev, se je pokaza-

lo, da je imelo jetrno krilo obliko lovorovega venca, od katerega sta

visela dva traka.

V grškem besedilu opazimo še eno besedo, ki je odigrala neko vlo-

go v matematiki: λημνίσκων, kar je množinski rodilnik samostalnika

λημνίσκος, kar pomeni volneni trak. To besedo je uporabil Jakob

Bernoulli (1655–1705), da je poimenoval osmici podobno krivuljo

lemniskata, natančneje jo danes imenujemo Bernoullijeva lemniska-

ta, ker obstajajo še druge lemniskate.

V nadaljevanju Uhlhorn obravnava še nekaj drugih algebrskih krivulj,

od tretje do osme stopnje. Ne daje jim imena, ampak le vrstilne števnike.

Zvrstijo se osma krivulja, deveta krivulja, vse do osemnajste krivulje. Sledi

obširna razlaga več načinov, kako konstruiramo Dioklovo cisoido, nato

se vrne k svoji kukumaidi, po naše strofoidi, sledijo Nikomedova kon-

hoida ali školjčnica in kardioida ali srčnica. Nanizanih je veliko primerov

uporabe pri reševanju enačb s pomočjo teh krivulj.

18

V enajstem razdelku Uhlhorn pokaže, kako z Neilovo ali polkubično

parabolo rešimo problem podvojitve kocke. Kot zanimivost povejmo, da

Uhlhorn uporablja nemško starinsko obliko vrstilnega števnika enajsti:

eilfter, moderno je elfter. Ustrezni glavni števnik za enajst je bil eilf.

Nemška števnika elf oziroma eilf in zwölf imata pač svojo zgodovino. Ra-

zlaga obeh tiči v končnici -lf, ki je skrajšana germanska končnica -lif, ki

pa označuje, da je nekaj več, čez. V našem primeru več kot deset, čez de-

set. Johann Wolfgang von Goethe (1749–1832) je uporabljal števnik eilf, ki

izhaja iz ei(n)-l(i)f, torej ena čez, Martin Luther (1483–1546) pa zwolf, ki

izhaja iz zwo-l(i)f, dve čez. Še dandanes slišite nekatere nemško govoreče

šteti: eins, zwo, . . . , namesto standardno eins, zwei, . . . (povzeto po [3]).

Uhlhorn proti koncu knjige uporablja ustrezno besedo Eilfeck namesto

Elfeck za enajstkotnik.

Naslov Uhlhornove knjige [7] ima, kot lahko opazimo na sliki 3, še

nadaljevanje: ”nebst Prüfung, der von A. W. Wlochatius aufgestellten

elementar-geometrischen Auflösung des Delischen Problems u. s. w.”, kar

pomeni ”skupaj s presojo elementarno-geometrijske rešitve deloškega pro-

blema, ki jo je nastavil A. W. Wlochatius itd.” Kdo je bil Wlochatius? Au-

gust Wilhelm Wlochatius (1744–1815) se je rodil v Darkehmenu (sedaj

Ozjorsk) v Prusiji, v vasi, ki leži približno 100 km vzhodno od Königs-

berga (sedaj Kaliningrad). Bil je filozof, matematik in jezikoslovec. Leta

1804 je v Königsbergu objavil članek ”Elementar-geometrische Auflösun-

gen des Delischen Problems, der Aufgabe vom Dreischnitt des Winkels

und einiger anderen Sätzen, als ein reguläres 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Eck

geometrisch zu zeichnen, nebst einer neuen und sehr leichten Methode,

eine Linie proportionaliter ad totam zu theilen”, to se pravi ”Elementarno-

geometrijske rešitve deloškega problema, naloge tretjinjenja kota in nekaj

19

drugih izrekov, kot je geometrijsko načrtovanje pravilnega 7-, 11-, 13-,

17-, 19-, 23-, 29-kotnika, skupaj z novo in zelo preprosto metodo, kako so-

razmerno s celoto razdeliti daljico” (zlati rez). Članek je med drugimi neg-

ativno recenziral matematik in astronom Friedrich Wilhelm Bessel (1784–

1846). Uhlhorn pa mu je posvetil del svoje knjige in dokazal, da Wlochati-

usova metoda podvojitve kocke deluje le v nekaj primerih. Prav tako so

sporne Wlochatiusove metode tretjinjenja kota in konstrukcije pravilnih

večkotnikov. Dal pa je Uhlhorn nasvete, kako bi metode konstrukcije

pravilnih večkotnikov lahko izboljšali. To se mu je zdelo pomembno,

ker se je spoznal na zobnike v urah in strojih, ki morajo biti izdelani

čim natančneje. Glavna zamera je bila, da je Wlochatius uporabljal ne-

dokazane trditve in da je rezultate premalo preverjal na primerih. Ni pa

zaslediti pripomb v zvezi s tem, kako sorazmerno s celoto razdeliti daljico.

Geometrijske sorazmernice

Starogrški matematiki so bili pravi mojstri razmerij in sorazmerij, na ka-

terih je temeljila večina njihove matematike. V razmerjih so bile lahko

samo istorodne količine, na primer dolžine, ploščine in prostornine. Raz-

merja so bila v nekem smislu antična različica realnih števil. Pravokotni

trikotnik in njegove lastnosti so že dobro poznali. Znali so po evklidsko

podvojiti kvadrat, težave pa so nastale s podvojitvijo kocke. Oglejmo si

malo pobliže, kako je bilo s tem.

V pravokotnem trikotniku je višina x na hipotenuzo geometrijska sre-

dina pravokotnih projekcij a in b katet na hipotenuzo. Brez škode za

splošnost vzemimo, da je a ≤ b. Posledica podobnosti dveh pravokotnih

trikotnikov, na katera razdeli višina dani pravokotni trikotnik (slika 11),

20

je sorazmerjeax= xb. (1)

Vpeljanemu x rečemo srednja geometrijska sorazmernica daljic a in b.

Slika 11. Pravokotni trikotnik.

Zato je x2 = ab in x =√ab. To ni nič drugega kot znani višinski izrek

v pravokotnem trikotniku. Pri tem velja relacija a ≤ x ≤ b. Enačaj v njej

velja natanko takrat, ko je a = b. Za b = 2a dobimo x = a√

2. To pomeni,

da ima kvadrat s stranico x ploščino x2 = 2a2, kar je dvakratnik ploščine

kvadrata s stranico a. S tem smo uspeli podvojiti kvadrat. Seveda je bil ves

račun brez potrebe, ker je 2a2 = (a√

2)2, kar pomeni, da ima kvadrat nad

diagonalo kvadrata s stranico a dvakrat večjo ploščino.

Ker se pa rešitev podobnega problema, to je problema podvojitve kocke,

nikakor ni posrečila, je v 5. stoletju p.n.š. živeči Hipokrat z otoka Hios, v

grščini ῾Ιπποκράτης ὁ Χῖος, prišel na idejo, da bi problem rešil z dvema

srednjima geometrijskima sorazmernicama, prva naj bo x, druga y, za

daljici a in b, kjer je a ≤ b. Mimogrede: Hipokrat je reševal tudi prob-

lem kvadrature kroga. Srednji geometrijski sorazmernici x in y morata

zadoščati relacijiax= xy= yb, (2)

21

ki je analogna relaciji (1). Če označimo te tri kvociente z λ in jih med seboj

zmnožimo, dobimoax⋅ xy⋅ yb= ab= λ3.

To pomeni, da je

λ = 3

√ab, x = 3√

a2b, y = 3√ab2.

Pri tem velja relacija a ≤ x ≤ y ≤ b, ki je posledica relacije

a3 = a2a ≤ a2b = aab ≤ abb = ab2 ≤ bb2 = b3,

iz katere sledi po kubičnem korenjenju a < 3√a2b ≤ 3√

ab2 ≤ b. Zato lahko

rečemo, da sta x in y sredini daljic a in b, saj sta med a in b. Enačaji v

zgornjih relacijah veljajo natanko tedaj, ko je a = b.

Za b = 2a je x = a 3√

2 in y = a 3√

4. To pomeni, da se s tem posreči pod-

vojiti in početveriti kocko. Kocka z robom x ima namreč dvakrat, kocka z

robom y štirikrat večjo prostornino kot kocka z robom a in dvakrat večjo

kot kocka z robom x, ker je x3 = 2a3 in y3 = 4a3 = 2x3. Podvojitev je sicer

uspela, a le računsko, ne pa geometrijsko, po evklidsko.

S tem Hipokratovim odkritjem je postal problem podvojitve kocke ena-

kovreden iskanju dveh srednjih geometrijskih sorazmernic daljic a in b.

Kaže, da se je problem s tem poenostavil, a to še zdaleč ni res. Kubičnih

korenov, ki nastopajo v izrazih za obe sorazmernici, se namreč ne da kon-

struirati po evklidsko, kvadratne pa se da, na primer z uporabo višinskega

izreka v pravokotnem trikotniku.

Poskušali so na več načinov. Načrtali so pod pravim kotom daljici a =∣BO∣ in b = ∣AO∣ (slika 12). Nato so na premici skozi A in O izbrali točko

C′, na daljico BC′ v C′ postavili pravokotnico, ki preseka premico skozi B

in O v točki D′. V D′ so na daljico v C′D′ postavili še eno pravokotnico, ki

22

seka premico skozi A in O v točki A′. Nato so točko C′ premikali sem in

tja po premici skozi A in O, dokler A′ ni pokrila A. Pri tem ves čas velja

∣OB∣ ⋅ ∣OD′∣ = ∣OC′∣2 in ∣OC′∣ ⋅ ∣OA′∣ = ∣OD′∣2 oziroma

∣OB∣∣OC′∣ =

∣OC′∣∣OD′∣ =

∣OD′∣∣OA′∣ .

Slika 12. Srednji geometrijski sorazmernici.

Ko je A = A′, je C′ = C in D′ = D. Za ta primer označimo x = ∣OC∣ in

y = ∣OD ∣, iz česar slediax= xy= yb,

kar pomeni, da sta x in y srednji geometrijski sorazmernici daljic a in b.

V praksi je težko doseči, da je A = A′, zato velja zgornja relacija le prib-

ližno. Da bi dosegli čim boljši rezultat, so si pomagali z mehanskim orod-

jem, na primer z dvema kotnikoma. Tak način pripisujejo filozofu Platonu

(427–347 p.n.š.), Πλάτων, je pa malo verjetno, da ga je on odkril, ker je bil

naklonjen samo konstrukcijam z neoznačenim ravnilom in šestilom.

23

Preprosta in razumljiva je rešitev problema srednjih geometrijskih so-

razmernic je poznal Heron iz Aleksandrije, ῞Ηρων ὁ Αλεξανδρεύς, ki je živel

v 1. stoletju. Podobno rešitev sta našla tudi Apolonij iz Perge (265–170

p.n.š.), Απολλώνιος ὁ Περγαῖος, in Filon iz Bizanca (280–220 p.n.š.), Φίλων

ὁ Βυζάντιος.

Slika 13. Heronova konstrukcija srednjih geometrijskih sorazmernic.

Heron je načrtal pravokotnikABCD in poiskal njegovo središče S (slika

13). Nato je skozi C potegnil premico in presečišči s premicama skozi A

in B ter skozi A in D označil z E in F. To premico je prilagajal toliko časa,

dokler ni dosegel enakost ∣SE∣ = ∣SF∣. Tedaj sta x = ∣DF∣ in y = ∣BE∣ srednji

geometrijski sorazmernici daljic a in b.

Kako to vidimo? Najprej zaradi podobnosti trikotnikov DCF in BEC

velja relacija a/x = y/b oziroma xy = ab, po Pitagorovem izreku za pra-

vokotna trikotnika GES in HSF pa

(a/2+y)2 + (b/2)2 = (a/2)2 + (b/2+x)2,

24

kar da po poenostavitvi relacijo y(a+y) = x(b+x), iz katere sledi:

xy= a+yb+x =

y(a+y)y(b+x) =

y(a+y)by +xy = y(a+y)

by +ab = y(a+y)b(a+y) =

y

b.

Ko rezultate lepo zložimo skupaj, dobimo

ax= xy= yb,

kar smo želeli dokazati.

Uhlhorn ni bil navdušen nad reševanjem problemov s poskušanjem

in uravnavanjem. Zanj je bilo bistveno, da je po točkah znal konstruirati

primerno krivuljo, da je izdelal primerno mehansko orodje, s katerim je to

krivuljo lahko narisal, tako kot narišemo s šestilom krožnico in z ravnilom

daljico, nato pa na krivulji poiskal točke, ki določajo obe srednji geometri-

jski sorazmernici. Takih krivulj je našel več, kaže pa, da je bil najbolj

ponosen na prvo, ki jo je imenoval ofiurida, kateri je posvetil največ pros-

tora v svoji knjigi. V nadaljevanju si bomo pobliže ogledali le ofiurido.

Toksoido je avtor tega gradiva predstavil v [6].

Ofiurida

Ponovimo Uhlhornovo konstrukcijo ofiuride, izhajajoč iz slike 12.

Na premici skozi točki A in O izberemo točko C in načrtamo daljico

BC (slika 14). Skozi C postavimo pravokotnico na BC, skozi A pa BC

vzporednico, ki jo seka v točki D. Ko C spreminjamo po premici skozi A

in O, točka D opiše ofiurido, ki pripada daljicama a in b.

Ko ofiurido za a in b imamo, poiščemo njeno presečišče D′ s premico

skozi B in O (slika 15). Nad BD′ načrtamo polkrog s središčem v točki S.

Polkrog preseka premico skoziA inO v točki C′, daljici BC′ in C′D′ tvorita

25

Slika 14. Nastanek ofiuride.

pravi kot z vrhom v C′, daljici AD′ in D′C′ pa pravi kot z vrhom v D′, ker

je D′ na ofiuridi. Daljici x = ∣OC′∣ in y = ∣OD′∣ sta, kot nam je že znano,

srednji geometrijski sorazmernici daljic a in b. Za b = 2a dobimo x = a 3√

2,

kar pomeni, da se nam s tako ofiurido posreči podvojiti kocko.

Uhlhornov načrt orodja za risanje ofiuride kaže slika 36.

Slika 15. Do geometrijskih sorazmernic z ofiurido.

26

Analitična obravnava ofiuride

Diedrich Uhlhorn je s svojim znanjem matematike svojo ofiurido že kar

dobro obdelal tudi analitično, v smislu Descartesove geometrije. Najlaže

jo obravnavamo, kot smo vajeni, v pravokotnem kartezičnem koordinat-

nem sistemuOxy. Dvojno točko ofiuride, na sliki 14 je toA, bomo postavili

v koordinatno izhodišče O. Točka B bo imela koordinati (b,a), kjer je a > 0

in b > 0, gibljiva točka C na abscisni osi pa koordinati (τ,0) (slika 16).

Slika 16. Ofiurida v koordinatnem sistemu.

Premica skozi B in C ima enačbo y(b − τ) = a(x − τ), pravokotnica p

skozi C nanjo enačbo ay = (τ −b)(x− τ) in vzporednica prvi premici skozi

O enačbo y(b−τ) = ax. Presečišče T dobimo kot rešitev sistema enačb

ay = (τ −b)(x−τ), y(b−τ) = ax,

ki se glasi:

x(τ) = τ(b−τ)2

a2 + (b−τ)2 , y(τ) =aτ(b−τ)a2 + (b−τ)2 .

27

To sta parametrični enačbi ofiuride. Lepšo obliko dobimo, če vpeljemo

nov, številski parameter t z relacijo b−τ = at:

x(t) = t2(b−at)1+ t2 , y(t) = t(b−at)

1+ t2 . (3)

Ker je x(t) = ty(t), lahko iz (3) izločimo parameter t. Dobimo implicitno

enačbo ofiuride:

y(x2 +y2) = x(by −ax). (4)

Ofiurida je algebrska krivulja tretje stopnje. Včasih je ugodnejša oblika,

urejena kot kubična enačba spremenljivke y:

y3 +x(x−b)y +ax2 = 0. (5)

Iz oblike (4) lahko razberemo enačbi tangent v dvojni točkiO. Za točke,

ki so dovolj blizu O, lahko kubični del na levi zanemarimo v primerjavi

s kvadratnim delom na desni strani enačbe. Ofiurida se tam obnaša kot

x(by − ax) = 0, to pa pomeni, da ima tam tangenti x = 0 in by = ax. Prva je

kar ordinatna os, druga pa premica skozi A in B z naklonskim koeficien-

tom a/b.

Točko O ofiuride dobimo, ko je t = 0 in t = b/a. Vmes opiše zanko v

prvem kvadrantu. Za t < 0 so točke v četrtem kvadrantu, za t > b/a pa v

tretjem. Takoj tudi opazimo, da ∣x(t)∣ → ∞ in y(t) → −a, ko ∣t∣ → ∞. To

pomeni, da je premica y = −a vodoravna asimptota ofiuride (3). Ofiurida

svojo asimptoto preseka v točki F(a2/b,−a).

Pri ofiuridi naletimo na kopico kvadratnih in kubičnih enačb. Kje ima

ofiurida vodoravni tangenti? V ta namen je treba rešiti enačbo y(t) = 0. S

piko je označen odvod po parametru t. Iz

y(t) = b−2at −bt2(1+ t2)2 = 0

28

dobimo rešitvi t± = (−a ± c)/b, kjer je c =√a2 +b2 (na sliki 16 je c = ∣OB∣).

Ustrezni točki na ofuiridi sta

Y−((c+a)2

2b,−c+a

2) , Y+(

(c−a)2

2b,c−a

2) .

Da je odstopanje največje, spoznamo iz sprememb predznakov odvoda

y(t) pri parametru t±.

Kje ima ofiurida navpični tangenti? Eno navpično tangento, x = 0, že

poznamo, in sicer v dvojni točki O. Da bi poiskali drugo, moramo najprej

izračunati

x(t) = t(2b−3at −at3)(1+ t2)2 .

Pogoj x(t) = 0 je izpolnjen za t1 = 0, ki nam da prvo, že znano tangento x = 0

v točki O. Za drugo pa moramo rešiti kubično enačbo at3 +3at −2b = 0, ki

ima realno rešitev, ki je presenetljivo enostavna:

t2 =3

√c+ba

− 3

√c−ba.

Ker je at32 + 3at2 − 2b = at2(1 + t22) − 2(b − at1) = 0, dobimo y(t2) = at22/2in x(t2) = t2y(t2) = at32/2. Nazadnje dobimo na ofiuridi drugo točko X z

navpično tangento:

X (b− 32( 3√a2(c+b)− 3

√a2(c−b)) ,−a+ 1

2( 3√a(c+b)2 + 3

√a(c−b)2)) .

Ofiurida ima tudi prevoj. Pogoj zanj je

x(t)y(t)− x(t)y(t)x3(t) = 2(1+ t2)3(abt3 +3a2t2 −3abt +b2)

t3(at3 +3at −2b)3 = 0.

Prevoj P nastopi za parameter t, ki ustreza enačbi

abt3 +3a2t2 −3abt +b2 = 0.

29

Ker je t = x/y, velja enačba

abx3 +3a2x2y −3abxy2 +by3 = 0,

v katero vstavimo y3, ki ga izrazimo iz (5). Dobimo lep rezultat:

x(ax−by)(bx+3ay −b2) = 0.

Prva dva faktorja nam dasta tangenti v točki O, na katerih ne leži prevoj,

drugi faktor pa premico bx+3ay−b2 = 0. Ofiurida ima prevoj P v presečišču

s to premico.

Koordinati prevoja P se izražata zapleteno:

P (3 3√a4c2(3 3√

a4c2 +d2)+d4

b(6a2 +d2) ,a(b2 −3a2)− 3√

ac2(3 3√a4c2 +d2)

6a2 +d2 ) ,

pri čemer je c2 = a2 +b2 in d2 = 3a2 +b2.

Slika 17. Ofiurida in njene značilne točke.

V enačbi (4) pravzaprav lahko dovolimo tudi negativne konstante a ali

b. Toda če ohranimo njuni absolutni vrednosti, dobimo še vedno ofiurido,

le da je glede na tisto z a > 0 in b > 0 prezrcaljena: za a > 0 in b < 0 čez os

30

y, za a < 0 in b > 0 čez os x ter za a < 0 in b < 0 čez koordinatno izhodišče

(slika 18). To ustreza izbiri točke B. Zato je dovolj obravnavati primer

a > 0, b > 0.

Slika 18. Ofiurida in predznaka konstant a in b.

Kaj pa, če dovolimo, da je v enačbi (4) katera od konstant a in b enaka

0? Za a = b = 0 dobimo kar abscisno os, y = 0. Za a ≠ 0 in b = 0 pa x2(y +a) =−y3, kar je enačba Dioklove cisoide, ki ima v točki O namesto zanke ost

z navpično tangento ter vodoravno asimptoto y = −a. Ugotovitvi nista v

nasprotju s prvotno definicijo ofiuride (slika 19).

Za a = 0 in b ≠ 0 dobimo iz enačbe (4) enačbo y(x2 + y2 − bx) = 0, ki

predstavlja unijo premice y = 0 in krožnice x2 + y2 − bx = 0 s središčem v

točki S(b/2,0) in polmerom % = ∣b∣/2. Tudi ta ugotovitev ni v nasprotju

z uvodno definicijo ofiuride. Točka B ≠ O v tem primeru leži na osi x.

Za C ≠ B dobimo vse točke T na osi x. Za C = B pa je treba upoštevati

vse premice skozi B, vse pravokotnice skozi B nanje in vse pravokotne

projekcije točke O na slednje. S tem dobimo točke T , ki ležijo na krožnici

31

Slika 19. Dioklova cisoida.

s središčem v središču daljice OB in polmerom % = ∣OB∣/2.

Slika 20. Posebni primer: a = 0,b ≠ 0.

Za a > 0,b > 0 izračunajmo še ploščino S(a,b) lista ofiuride (slika 21).

Če je le-ta dana parametrično z enačbama (3), točka obkroži list v nega-

tivni smeri, ko se t spreminja od 0 do b/a. Uporabimo formulo

S(a,b) = −12 ∫

b/a0

(x(t)y(t)−y(t)x(t))dt.

Po daljšem računu dobimo:

S(a,b) = 12 ∫

b/a0

t2(b−at)2

(1+ t2)2 dt = 14(b2 −3a2)arctg

ba+ 3ab

4−ab ln

ca.

V posebnem primeru a ≠ 0,b = 0 je S(a,0) = 0, kar ni presenetljivo, saj

ofiurida, ko b→ 0 pri a ≠ 0, preide v Dioklovo cisoido, zanka ofiuride pa se

stisne v točko.

32

Slika 21. List ofiuride.

Ofiurida in parabola

Vrnimo se k sliki 16. Kaj se dogaja s premicami p skozi točkiC in T , ko teče

C po abscisni osi? Točka T opiše ofiurido, premice p pa izrazito ogrinjajo

neko krivuljo (slika 22).

Slika 22. Ofiurida in družina premic skozi točki C in D.

Enačba enoparametričnie družine premic p je pri danih konstantah a

in b ofiuride

F(x,y,τ) = ay + (τ −b)(τ −x).

33

Parameter je tu τ . Da bi našli njihovo ogrinjačo ali envelopo (več o tem na

primer v [8]), to je krivuljo, ki se v vsaki točki dotika ene članice družine,

v različnih točkah pa različnih članic, moramo obravnavati sistem enačb

F(x,y,τ) = 0,∂F∂τ

(x,y,τ) = 0.

Če se posreči izločiti parameter τ iz sistema, dobimo iskano krivuljo, po

navadi v implicitni obliki. Če pa sistem razrešimo na x in y, pa najdemo

parametrični enačbi ogrinjače. V našem primeru je

∂F∂τ

(x,y,τ) = 2τ −x−b = 0

in rezultat izločanja parametra τ je parabola

4ay = (x−b)2. (6)

Os parabole je premica x = b, teme ima v točki B′(b,0), gorišče v točki

B(b,a), za vodnico pa premico y = −a, asimptoto ofiuride.

Slika 23. Ofiurida je nožiščna krivulja parabole.

Lahko pa povemo tudi obratno. Če na tangente parabole (6) pravokotno

projiciramo točkoO, ki jo imenujemo pol, potem njene projekcije ali nožišča

34

T sestavljajo ofiurido. Ofiurida je zato nožiščna krivulja parabole (6) glede

na polO, koordinatno izhodišče. Bolj splošno: ofiurida je nožiščna krivulja

parabole glede na pol na njeni temenski tangenti. Če je pol teme, je nožišč-

na krivulja Dioklova cisoida. Slika 24 kaže nekaj nožiščnih krivulj, ofi-

urid, glede na nekaj različnih leg polov na temenski tangenti parabole, ki

je dana z goriščem F in vodnico v.

Slika 24. Ofiuride kot nožiščne krivulje parabole.

Kje se dotikata ofiurida (4) in parabola (6)? Če v (6) upoštevamo (3),

dobimo po preureditvi enačbo za t:

(at3 +2at −b)2 = 0,

ki ima dvojni koren

t0 =√

3 3√

46

⎛⎝

3

√δ+3b

√3

a− 3

√δ−3b

√3

a

⎞⎠,

pri čemer je δ2 = 32a2 + 27b2. Ker je at30 + 2at0 − b = at0(t20 + 1)− (b − at0) =0, dobimo takoj z uporabo (3): x(t0) = at30 ,y(t0) = at20 . Točka, v kateri se

35

dotikata ofiurida in parabola, je torej T0(at30 ,at20) oziroma T0(b−2at0,at20).

Ker je vrednost polinoma at3+2at−b v krajiščih intervala [0,b/a] različno

predznačen, je točka T0 na zanki ofuride.

Točka T0 je na zanki ofiuride od koordinatnega izhodišča najbolj oddal-

jena. Kvadrat razdalje D(t) točke T (x(t),y(t)) ima, če uporabimo enačbi

(3), preprosto obliko

D2(t) = x2(t)+y2(t) = t2(b−at)2

1+ t2 .

Potreben pogoj za nastop ekstrema je (D2(t)) = 0. Po krajšem računu do-

bimo za ta pogoj enačbo

t(at −b)(at3 +2at −b) = 0.

Rešitvi t = 0 in t = b/a ne prideta v poštev, ker nam dasta dvojno točko O

ofiuride. Pravilna rešitev je realni koren enačbe at3 +2at −b = 0, ki je t0, to

je tisto število, ki smo ga našli pri računanju dotika ofiuride in parabole.

Ustrezna točka T0 je seveda na zanki ofiuride. Za razdaljo dobimo

∣OT0∣ =√

(b−at0)(b−2at0).

Do enakega rezultata pridemo, če zapišemo ofiurido v polarnih koordi-

natah, ki se glasi

%(ϕ) = asinϕ +bcosϕ − asinϕ

,

in poiščemo lokalni ekstrem funkcije ϕz→ %(ϕ).

Do ofiuride pridemo tudi po tako imenovanem cisoidnem postopku.

Tako se postopek imenuje zato, ker se tudi običajno, Dioklovo cisoido dobi

na podoben način. Posplošiti se ga da na dve krivulji in izbrano točko.

V koordinatnem sistemu Oxy izberemo točko B(b,a). Spet se bomo

ukvarjali s primerom, ko je a > 0 in b > 0. Določimo središče S(b/2,a/2)

36

daljice OB in načrtamo krožnico s središčem v S skozi B. Krožnica ima

polmer % =√a2 +b2/2 = c/2 in poteka skozi koordinatno izhodiščeO. Skozi

B načrtamo vzporednico p z osjo x, na p pa poljubno izberemo točko M.

Nato načrtamo skoziM inO še premico q, ki preseka krožnico, ki ji odvza-

memo točko O, v točki N . VektorÐÐ⇀MN premaknemo vzdolž q, tako da nje-

gov začetek pade v O, konec pa v točko T . S tem jeÐÐ⇀MN =Ð⇀OT . Ko točka M

potuje po premici p, točka T opiše ofiurido s konstantama a in b.

Slika 25. Do ofiuride po cisoidnem postopku.

Krožnica ima enačbo (x−b/2)2+(y−a/2)2 = c2 oziroma x2+y2 = bx+ay,

premica p pa y = a. Premica q ima enačbo x = ty in preseka p v točki

M(ta,a). Pri tem je t parameter, natančneje kotangens naklonskega kota

premice q. Ko t preteče vse realne vrednosti, M preteče premico p. Da bi

določili koordinati točke N , vstavimo x = ty v enačbo krožnice in dobimo

t2y2 + y2 = tby + ay. Rešitev y = 0 ne pride v poštev. Na koncu dobimo

koordinati točke N :

xN = t(bt +a)1+ t2 , yN = bt +a

1+ t2 .

37

Koordinati vektorjaÐÐ⇀MN v standardni bazi sta potem

t(bt +a)1+ t2 − ta = t

2(b−at)1+ t2 ,

bt +a1+ t2 −a =

t(b−at)1+ t2 .

Zato sta koordinati vektorjaÐ⇀OT :

x(t) = t2(b−at)1+ t2 , y(t) = t(b−at)

1+ t2 ,

kar se ujema z enačbama ofiuride (3).

Ofiurida (4) s konstantama a in b je cisoida premice y = a in krožnice

x2 + y2 = bx + ay glede na koordinatno izhodišče O. Do istega sklepa bi

prišli, če bi zapisali enačbo ofiuride v polarnih koordinatah:

%(ϕ) = asinϕ +bcosϕ − asinϕ

.

Prva dva člena dasta %1(ϕ) = asinϕ+bcosϕ, kar je enačba krožnice x2+y2 =bx+ay v polarnih koordinatah, tretji člen pa %2(ϕ) = a/sinϕ, kar je enačba

premice y = a v polarnih koordinatah.

Ofiurida in hiperbola

Kaj dobimo, če ofiurido (4) zrcalimo na krožnici x2+y2 = r2? Zrcaljenje ali

inverzija na taki krožnici je preslikava

ι ∶ (x,y)z→ ( r2xx2 +y2 ,

r2y

x2 +y2) .

Do rezultata pridemo najhitreje, če enačbo (4) prepišemo v obliko

r2y

x= b r2y

x2 +y2 −ar2x

x2 +y2

in upoštevamo, kako deluje preslikava ι. Takoj imamo

r2y

x= by −ax

38

in nato enačbo bxy −ax2 = r2y, iz katere sledi

y = ax2

bx− r2 = axb+ ar

2

b2 + ar4

b2(bx− r2) .

Iskana krivulja je stožnica, in sicer hiperbola z asimptotama

x = r2

bin y = ax

b+ ar

2

b2 .

Presečišče asimptot je središče Sh(r2/b,2ar2/b2) hiperbole (slika 26).

Slika 26. Ofiurida in hiperbola.

Poševna asimptota hiperbole je vzporedna tangenti na ofiurido v točki

O. Inverzija ι seveda preslika hiperbolo nazaj v ofiurido. Kaj pa asimp-

toti? Navpična asimptota, ki je vzporedna tangenti na ofiurido v točki

O, se preslika v krožnico x2 + y2 = bx s središčem v točki S1(b/2,0) in

polmerom %1 = b/2 in se dotika navpične tangente na ofiurido vO, poševna

pa v krožnico a(x2 + y2) = b2y − abx s središčem v točki S2(−b/2,b2/(2a))in polmerom %2 = bc/(2a), kjer je c =

√a2 +b2. Ta krožnica se v O dotika

poševne tangente na ofiurido v O. Središče S2 leži namreč na premici

39

ay = −bx, ki je pravokotna na poševno tangento na ofiurido v O. Opazimo

tudi, da je prvi polmer odvisen le od konstante b.

Obe krožnici, inverzni sliki asimptot hiperbole, sta tudi pritisnjeni

krožnici na ofiurido v točki O. Kako to vidimo? V točki, ki jo določa

parameter t v parametrizaciji (3), je krivinski polmer

ρ(t) = (x2(t)+ y2(t))3/2

∣x(t)y(t)− x(t)y(t)∣ =(b2 −4abt +4a2t2 +a2t4)3/2

2∣b2 −3abt +3a2t2 +abt3∣ . (7)

Za t = 0 in t = b/a res dobimo

%1 = ρ(0) = b2, %2 = ρ(b/a) =

bc2a.

To ni nič čudnega in je v soglasju s tisto lastnostjo inverzije na krožnici,

ki pravi, da inverzija ohranja kote med krivuljami. Ofiurida s pritisnje-

nima krožnicama v O vred se z inverzijo preslikajo v hiperbolo in njeni

asimptoti. Asimptoti sta v bistvu tangenti na hiperbolo v neskončnosti.

Slika 27. Inverzija hiperbole na krožnici s središčem na tej hiperboli.

Če zrcalimo hiperbolo na krožnici, ki ima središče S na tej hiperboli,

lahko v izjemnem primeru dobimo ofiurido, v splošnem pa krivuljo, ki se

40

nam zdi podobna ofiuridi (slika 27).

Da bi se prepričali, da ne dobimo vedno ofiuride, zrcalimo hiperbolo

(x+a)2−y2 = a2 na krožnici x2+y2 = r2. Hiperbola poteka skozi koordinatno

izhodišče O, kjer ima krožnica središče. Zrcalna slika hiperbole na tej

krožnici je strofoida y2(r2 − 2ax) = x2(r2 + 2ax), ki ni ofiurida (slika 28).

Strofoida ima dvojno točko v O, navpično asimptoto x = r2/(2a) in teme v

točki A(−r2/(2a),0). Simetrična je glede na os x.

Slika 28. Inverzija hiperbole na krožnici je lahko strofoida.

Če zrcalimo na krožnici x2 + y2 = r2 hiperbolo ax2 − bxy + d2y = 0 ali

pa hiperbolo, ki se z rotacijo okoli O da prevesti na tako obliko, dobimo

ofiurido y(x2 + y2) = x(br2y/d2 − ar2x/d2). To vemo, ker preslikava ι na

krožnici x2+y2 = r2 tako ofiurido preslika v hiperbolo ax2−bxy+d2y = 0. To

nas napelje na misel, da mora središče krožnice, na kateri zrcalimo hiper-

bolo, da dobimo ofiurido, ležati na hiperboli v ostrem kotu med asimp-

totama. To pa pomeni, da pridejo v poštev samo hiperbole, ki imajo tako

imenovano imaginarno polos krajšo od realne polosi. Središče krožnice se

prezrcali v dvojno točko nastale krivulje.

41

Inverz hiperbole na krožnici s središčem na njej

Da bi lahko to raziskali, vzemimo enačbo hiperbole v standardni obliki

b2x2−a2y2−a2b2 = 0. Pri tem je a realna, b pa imaginarna polos hiperbole.

Njeni asimptoti sta premici bx ± ay = 0. Zaradi simetrije glede na koordi-

natni osi je dovolj obravnavati desno vejo te hiperbole, ki jo parametrizira-

mo s x(t) = a/cost,y(t) = b tgt, kjer je −π/2 < t < π/2. Na hiperboli izbe-

remo središče S(p,q) krožnice s polmerom r, na kateri bomo zrcalili. Vzeli

bomo p = a/cost,y = b tgt za neki t in hiperbolo vzporedno premaknili

tako, da bo točka S padla v koordinatno izhodišče. Naredili bomo torej

zamenjavo: koordinato x bomo nadomestili z x+p, koordinato y pa z y+q.

Enačba hiperbole po tej zamenjavi je

b2(x+p)2 −a2(y +q)2 −a2b2 = 0, (8)

enačbi njenih asimptot pa sta b(x+p)±a(y +q) = 0.

Slika 29. Inverz hiperbole na krožnici s središčem na njej.

42

Pri zrcaljenju na krožnici se asimptoti hiperbole preslikata v krožnici,

ki se sekata v točki S, tangenti nanju pa sta vzporedni z asimptotama

hiperbole. Krožnici sta v S pritisnjeni krožnici na dobljeno krivuljo. Zanka

ofiuride, kot vemo, leži v ostrem kotu med njenima tangentama v dvojni

točki oziroma med slikama asimptot. Zato morata asimptoti hiperbole ok-

lepati oster kot, v katerem leži hiperbola. To pa gre le, če je v enačbi (8)

izpolnjen pogoj b < a. Toda tudi tedaj še ne dobimo ofiuride kot zrcalne

slike hiperbole za vsako središče S na njej. Zagotovo ne, če je S v temenih

hiperbole.

Enačba (8) ima z upoštevanjem parametrizacije točke S obliko

(b2x2 −a2y2)cost −2a2by sint +2ab2x = 0,

krivulja, dobljena z zrcaljenjem na krožnici x2 +y2 = r2, pa enačbo

r2(b2x2 −a2y2)cost −2ab(x2 +y2)(ay sint −bx) = 0. (9)

Dobili smo enačbo algebrske krivulje tretje stopnje. Kdaj je ta ofiurida, pa

je odvisno od parametra t. Zato bomo zadnjo krivuljo zavrteli okoli točke

S za kot ϕ, ki ga bomo skupaj s t določili tako, da bo enačba dobila tako

obliko, kot jo ima ofiurida, to se pravi obliko (4). Naredimo torej v (9)

zamenjavo: koordinato x nadomestimo z xcosϕ − y sinϕ, koordinato y pa

z xsinϕ +y cosϕ. Dobimo nekoliko bolj zapleteno enačbo:

r2 cost[(b2x2 −a2y2)cos2ϕ)+ (b2y2 −a2x2)sin2ϕ)−xy(a2 +b2)sin2ϕ]−

−2ab(x2 +y2)(ay sint cosϕ +axsint sinϕ −bxcosϕ +by sinϕ) = 0.

Ker v (4) ni člena z y2, mora, da dobimo ofiurido, veljati enačba

−a2 cos2ϕ +b2 sin2ϕ = 0.

43

Iz tega sledi za kot rotacije:

tg2ϕ = a2

b2 .

Pred x2 + y2 v (4) lahko nastopa le y, pomnožen s faktorjem, ki ni odvisen

od koordinat x in y, zato mora veljati enačba

asint sinϕ −bcosϕ = 0,

iz katere dobimo

sint = batgϕ

= ±b2

a2 , cost = ±√a4 −b4

a2 , tgt = ± b2√a4 −b4

.

S tem imamo koordinati točke S v začetnem koordinatnem sistemu Oxy:

p = ± a3√a4 −b4

, q = ± b3√a4 −b4

. (10)

Z upoštevanjem dobljenega kota rotacije in parametra t ima krivulja v

zasukanem sistemu enačbo

2a2b2√a2 +b2y(x2 +y2) = x(±2abr2y

√a4 −b4 ± r2x(a2 −b2)

√a4 −b4),

kar je do konstantnega faktorja na levi enako enačbi ofiuride

y(x2 +y2) = x(βy −αx).

Konstanti dobljene ofiuride sta torej

α = ± r2

2a2b2 (a2 −b2)

√a2 −b2, β = ± r

2

ab

√a2 −b2. (11)

Ugotovili smo naslednje. Na hiperboli b2x2−a2y2−a2b2 = 0 pri pogoju b < aobstajajo natančno štiri točke (v vsakem kvadrantu po ena), ki so središča

krožnic, na katerih se ta hiperbola prezrcali v ofiurido. Koordinate središč

44

so dane z izrazi (10), konstanti ofiuride pa z izrazi (11). Asimptota vsake

ofiuride je pravokotna na eno od asimptot hiperbole (slika 30). V koor-

dinatnem sistemu Oxy imajo asimptote ofiurid za naklonske koeficiente

števili a/b in −a/b. Polmeri krožnic, na katerih zrcalimo hiperbolo, so

lahko različni.

Slika 30. Skladni inverzi hiperbole na skladnih krožnicah s središči na

njej.

Oglejmo si nekoliko natančneje obnašanje dobljenih ofiurid v okolici

točke S v koordinatnem sistemu Sxy tako kot na sliki 29. Zaradi simetrije

je dovolj obravnavati primer, ko je S v prvem kvadrantu koordinatnega

sistema Oxy. Vemo že, da se asimptoti hiperbole z inverzijo na krožnici

x2 + y2 = r2 preslikata v pritisnjeni krožnici ofiuride v njeni dvojni točki

S in da zanka ofiuride leži med tema krožnicama. Zanju bomo poiskali

45

središče in polmer. Asimptoti hiperbole, ki imata enačbi b(x+p)+a(y+q) =0 in b(x+p)−a(y +q) = 0, se z inverzijo ι preslikata v krožnici

x2 +y2 + r2(bx+ay)bp+aq = 0, x2 +y2 + r

2(bx−ay)bp−aq = 0.

Prva je slika asimptote z negativnim naklonom in ima središče S1 in polmer

ρ1, druga pa je slika asimptote s pozitivnim naklonom in ima središče S2

in polmer ρ2. Središči in polmera se takole izražajo:

S1(−br2

2(bp+aq) ,−ar2

2(bp+aq)) , S2(−br2

2(bp−aq) ,ar2

2(bp−aq)) ,

ρ1 =r2

√a2 +b2

2∣bp+aq∣ , ρ2 =r2

√a2 +b2

2∣bp−aq∣ .

Če upoštevamo izraza za p > 0 in q > 0 v (10), dobimo za središči v koor-

dinatnem sistemu Sxy in polmera, izraženo vse samo z a in b oziroma s

konstantama α in β ofiuride:

S1⎛⎝− r

2

2a

√a2 −b2

a2 +b2 ,−r2

2b

√a2 −b2

a2 +b2

⎞⎠, S2

⎛⎝− r

2

2a

√a2 +b2

a2 −b2 ,r2

2b

√a2 +b2

a2 −b2

⎞⎠,

ρ1 =r2

√a2 −b2

2ab= ∣β∣

2, ρ2 =

r2(a2 +b2)2ab

√a2 −b2

= ∣β∣γ2∣α∣ .

Pri tem je γ =√α2 +β2. V prvotnem koordinatnem sistemu Oxy imata

središči krožnic koordinate:

S1(2a4 − r2(a2 −b2)

2a√a4 −b4

,2b4 − r2(a2 −b2)

2b(a2 +b2)√a4 −b4

) ,

S2(2a4 − r2(a2 +b2)

2a(a2 −b2)√a4 −b4

,2b4 + r2(a2 +b2))

2b√a4 −b4

) ,

46

Slika 31. Ofiurida v okolici svoje dvojne točke S.

Središča krožnic, na katerih zrcalimo hiperbolo, da dobimo ofiuride,

in ta središča ležijo na njej, imajo tudi drug pomen. To so točke hiperbole,

v katerih so njene tangente pravokotne na eno od njenih asimptot (slika

32). Take točke ima samo hiperbola b2x2−a2y2−a2b2 = 0, pri kateri je b < a.Kako to dokažemo?

Asimptoti hiperbole b2x2−a2y2−a2b2 = 0 sta premici bx∓ay = 0 s smern-

ima koeficientoma ±b/a. Brez škode za splošnost je dovolj poiskati tako

točko, ki je očitno ena sama, na hiperboli v prvem kvadrantu. Hiperbolo

parametrizirajmo z x(t) = a/cost,y(t) = b tgt, kjer je 0 < t < π/2. Parameter

t iskano točko natančno določa. Strmina tangente v tej točki je

y′(x) = y(t)x(t) =

basint

.

Tangenta je lahko pravokotna na tisto asimptoto, ki ima smerni koeficient

−b/a. Pogoj pravokotnosti tangente in te asimptote je

basint

= ab,

47

kar pomeni

sint = b2

a2 , cost =√a4 −b4

a2 , tgt = b2√a4 −b4

.

Iz tega je tudi razvidno, zakaj mora za eksistenco iskane točke biti b < a.Iskana točka je

S ′( a3√a4 −b4

,b3

√a4 −b4

) ,

to je središče krožnice, na kateri se hiperbola prezrcali v ofiurido. Z zrca-

ljenjem le-te prek koordinatnih osi dobimo še preostale tri točke s to last-

nostjo na hiperboli.

Slika 32. Tangenta hiperbole je lahko pravokotna na njeno asimptoto.

Reševanje kubičnih enačb

Za kubično enačbo x3 + ax2 + bx+ c = 0 so matematiki hitro ugotovili, da v

njej kvadratni člen odpade z uvedbo nove neznanke y, ki jo z x povezuje

relacija y = x+a/3. Enačba s tem dobi obliko y3 +py +q = 0.

Uhlhorn je pokazal, kako se ofiurido lahko uporabi za reševanje ku-

bičnih enačb oblike

y3 +py +q = 0.

48

V ta namen je treba uporabiti ofiurido v implicitni obliki (5), to se pravi

y3 +x(x−b)y +ax2 = 0.

Ko primerjamo koeficiente, vidimo, da je treba vzeti p = x(x−b) in q = ax2.

Z izbiro primernega x = x0 določimo konstanti a in b ofiuride, jo načr-

tamo in krivuljo presekamo s premico x = x0. Ordinate presečišč so realne

rešitve dane enačbe.

Slika 33. Reševanje enačbe y3 −2 = 0 z ofiurido.

Poglejmo primer enačbe y3−2 = 0, ko je p = 0 in q = −2. Izberemo x0 = 1.

Pri tej izbiri mora biti a = −2 in b = 1. V koordinatnem sistemu načrtamo

ofiurido y(x2 +y2) = x(y +2x), jo presekamo s premico x = 1, ordinata pre-

sečišča A je rešitev. Precej natančno to ordinato lahko odčitamo: yA = 1.26

(slika 33).

Naslednji primer naj bo enačba 4y3 − 13y + 6 = 0. V tem primeru je

p = −13/4 in q = 3/2. Podobno kot v prejšnjem primeru morata veljati

49

zvezi x(x − b) = −13/4 in ax2 = 3/2. Izberemo x0 = 1/2 in dobimo a = 6 in

b = 7. V koordinatnem sistemu načrtamo ofiurido y(x2+y2) = x(7y−6x), jo

presekamo s premico x = 1/2, ordinate presečišč A,B in C so rešitve. Odči-

tamo: yA = −2, yB = 1.5 in yC = 0.5 (slika 34). To so tudi točne vrednosti.

Slika 34. Reševanje enačbe 4y3 −13y +6 = 0 z ofiurido.

Taka metoda reševanja kubičnih enačb, česar se je zavedal D. Uhlhorn,

ni posebno praktična, saj je za vsako enačbo posebej treba določiti kon-

stanti a in b ofiriude.

Tretjinjenje kota lahko obravnavamo v okviru kubičnih enačb. Če je

namreč α = 3β, velja enakost 4cos3β − 3cosβ = cosα, kar pomeni, da pri

znanem kotu α število y = cosβ zadošča kubični enačbi

y3 − 34y − 1

4cosα = 0,

ki je oblike (5) in jo lahko rešujemo z ustrezno ofiurido. Dovolj je, da

znamo tretjiniti oster kot. Topi kot bi tretjinili tako, da bi ga najprej

50

razpolovili, dobljeni ostri kot tretjinili, nazadnje pa dobljeni rezultat pod-

vojili.

Pri izbrani enoti cosα oster kot α enolično določa. Isto velja za kot β.

Zato vzamemo x(x−b) = −3/4 in ax2 = −(1/4)cosα. Za x0 = 1/2 dobimo b =2 in a = −cosα. Načrtamo ofiurido s konstantama a in b ter jo presekamo s

premico x = 1/2. Dobimo tri presečišča. V poštev pride A, ki ima pozitivno

ordinato, to je cosβ, kot β pa se potem zlahka določi (slika 35).

Slika 35. Tretjinjenje kota z ofiurido.

Še nekaj jezikovnih

V besedilu pogosto uporabljamo besedo parameter. Je grškega izvora,

sestavljena iz predloga πάρα, kar pomeni poleg, pri, zraven, in samostal-

nika μέτρον, kar pomeni merilo, mera. V matematiki običajno parameter

pomeni neko pomožno spremenljivko.

51

Krivulja Dioklova cisoida, s katero se da podvojiti kocko, je dobila ime

po bršljanu, grško κισσός. Končnica besede izhaja iz εἶδος, kar pomeni

podoba, oblika. Dioklova pa je zato, ker jo je uvedel grški matematik

Diokles (240–180 p.n.š.), Διοκλῆς. O njem ne vemo veliko. Znano je prek

drugih antičnih in arabskih matematikov, da se je ukvarjal poleg podvo-

jitve kocke tudi s stožnicami in s konkavnimi zrcali. Omenjajo njegovo

delo ”O zažigalnih zrcalih”, Περὶ πυρεῖων. Beseda πῦρ pomeni ogenj.

Večkrat smo omenili besedo parabola, v grščini παραβολή, kar pomeni

med drugim primera, prilika, zgled. Besedo je laže razumeti skupaj s pre-

ostalima dvema stožnicama, elipso in hiperbolo. Prva je v grščini ἔλλειψις,

po naše zaostajanje, pomanjkanje, druga pa ὑπερβολή, kar pomeni med

drugim tudi pretiravanje, prekašanje. Imena stožnic najlaže razumemo,

če jih zapišemo v enotni obliki v polarnih koordinatah:

%(ϕ) = p

1+ εcosϕ.

Za ε = 1 je to parabola, za 0 ≤ ε < 1 elipsa (za ε = 0 je to krožnica kot poseben

primer elipse), za ε > 1 pa hiperbola. Število ε je numerična ekscentričnost

stožnice. Navedena imena je uporabljal Apolonij iz Perge v svoji razpravi

o stožnicah, Κωνικά. Slednja beseda izvira iz κῶνος, kar pomeni smrekov

storž, pa tudi smreka.

Beseda asimptota je grška. Nastala je iz grške ἀσύμπτωτος, kar pomeni

nesovpadajoč. Analizirajmo! Predpona ἀ- je nikalna, po naše ne-, brez-.

Beseda σύν pomeni hkrati, vkup, s kom ali s čim vred, πτωτος pa pride iz

glagola πίπτω, kar pomeni padam, zlagam se, ujemam se. Zlog πί mu čr-

tamo in dodamo končnico -τος in imamo pridevnik ἀ-σύμ-πτω-τος v moški

obliki, v ženski pa ἀ-σύμ-πτω-τη. Če dodamo še besedo γραμμή, črta, imamo

polno obliko ἀσύμπτωτη γραμμή, asimptotska črta. Iz praktičnih razlogov

52

so γραμμή začeli opuščati in ἀσύμπτωτη je postala samostalnik, asimptota.

Beseda σύν kot predpona συν- preide v določenih okoliščinah v συμ-,

tako kot v latinščini in- v im-. To so soglasniške spremembe. Vsak jezik

jih ima. Primeri v grščini:

συν-γ → συγγ,συν-κ → συγκ,συν-χ → συγχ,συν-π → συμπ,συν-β → συμβ,συν-φ → συμφ,συν-λ → συλλ,συν-μ → συμμ.Navedimo nekaj besed te vrste. Besedo simfonija smo prepisali iz grške

συμφωνία, ujemanje, soglasje, ki pa je nastala iz συν- in φωνή, kar pomeni

glas, zvok, šum. Italijani, Španci in Luzitanci rečejo sinfonia, torej ne

uporabljajo glasovne spremembe.

Beseda simbol prihaja iz grške σύμβολον, znak, znamenje. Nastala je

iz συν- in βάλλω, mečem, lučam. Podobno razložimo besede simpozij,

grško συμπόσιον, silogizem, grško συλλογισμός, simetrija, grško συμμετρία,

ter manj znan izraz singonija, po grško συγγωνία, ki ga dobro poznajo

kristalografi, obstaja pa tudi syngonium, rastlina, imenovana po domače

oslovska glava. Glasba pozna besedo sinkópa, po grško συγκοπή. Sočasen

ali sinhron pa je po grško σύγχρονος. Pri tem ne pozabimo, da se γγ, γκ,

γξ, γχ v grščini berejo kot ng, nk, nks, nh.

Za konec

Videli smo, kaj vse se da povedati o neki krivulji, če obvladamo infinitez-

imalni račun in algebro. Seveda nam je to sedaj, ko imamo na voljo na-

jnovejše pripomočke in obsežno ter dostopno matematično literaturo, ve-

liko laže, kot je bilo matematikom v 17., pa tudi v 18. stoletju, ko so v

marsičem še orali ledino.

53

Pomembni znanstveniki, rojeni v 18. stoletju

Navedimo nekaj pomembnih znanstvenikov, predvsem matematikov, fizikov

in astronomov, rojenih v 18. stoletju. Navedeni so po letnicah rojstva. Ve-

liko podatkov dobimo v [1, 4] in na svetovnem spletu.

Gabriel Cramer (1704–1752)

Leonhard Euler (1707–1783)

Alexis Claude Clairaut (1713–1765)

Caspar Wessel (1745–1818)

Jean de Rond d’Alembert (1717–1783)

Louis de Lagrange (1736–1813)

Georg Simon Klügel (1739–1812)

Gaspard Monge (1746–1816)

Pierre-Simon de Laplace (1749–1827)

Adrien-Marie Legendre (1752–1833)

Lazare Nicolas Carnot (1753–1823)

Jurij Vega (1754–1802)

Marc-Antoine Parseval (1855–1836)

Christian Kramp (1760–1826)

Diedrich Uhlhorn (1764–1837)

Paolo Ruffini (1765–1822)

François-Joseph Servois (1767–1847)

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830)

Jean-Robert Argand (1768–1822)

Carl Friedrich Gauß (1777–1855)

Jozéf Maria Hoëné-Wroński (1778–1853)

Bernard Bolzano (1781-1848)

54

Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846)

Georg Simon Ohm (1789–1854)

Augustin Louis Cauchy (1789–1857)

August Ferdinand Möbius (1790–1868)

Charles Babage (1791–1871)

John Herschel (1792–1871)

Martin Ohm (1792–1872)

Nikolaj Ivanovič Lobačevski (1792–1856)

Andreas von Ettingshausen (1796–1865)

Slika 36. Načrt Uhlhornove naprave za risanje ofiurid.

55

Viri

[1] I. Asimov, Biografska enciklopedija znanosti in tehnike, Tehniška za-

ložba Slovenije, Ljubljana 1978.

[2] H. Hischer, Die drei klasischen Probleme der Antike, Franzbecker,

Hildesheim 2018.

[3] K. Menninger, Zahlwort und Ziffer, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttin-

gen 1958.

[4] U. C. Merzbach, C. B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley &

Sons, Hoboken, New Jersey 2011.

[5] B. von Pape, Von Eudoxus zu Uhlhorn, Books on Demand, Norderstedt

2019.

[6] M. Razpet, De Sluse in njegove krivulje, spletni vir:

http://www.pef.uni-lj.si/matwww/De_Sluze_02.pdf (videno 24.

8. 2021)

[7] D. Uhlhorn, Entdeckungen in der höhern Geometrie, theoretisch und

practisch abgehandelt, Schulze’sche Buchhandlung, Oldenburg, 1809.

[8] I. Vidav, Višja matematika 1, DZS, Ljubljana 1968.

Avtor se zahvaljuje prof. dr. Milanu Hladniku za strokovni pregled.

©(2021) Marko Razpet

56