krivulje drugog reda

Formule Krunica

Krunica

1. Odredite sredite i radijus krunice (x-4)2+(y+3)2=25 .

2. Odredite sredite i radijus krunice x2+(y-6)2=81.

3. Odredite sredite i radijus krunice x2+y2=64.

4. Odredite sredite i radijus krunice x2+y2+14x-6y+33=0.

5. Odredite sredite i radijus krunice x2+y2-4x-5=0.

6. Odredite sredite i radijus krunice x2+y2-6y-16=0.

7. Odredite jednadbu krunice koja prolazi tokama A(-3,1), B(5,5), C(-2,4).

8. Odredite jednadbu krunice koja prolazi tokama A(4,-5), B(0,5), C(10,9).

Elipsa 9. Skicirajte elipsu 9x2+4y2=36.

10. Skicirajte elipsu x2+4y2=16.

11. Odredite jednadbu elipse koja prolazi tokama A(-2,2), B(4,-1).


Hiperbola

13. Skicirajte hiperbolu 25x2 - 9y2 =225.

14. Skicirajte hiperbolu 16x2 - 9y2 =144.

15. Odredite jednadbu hiperbole koja prolazi kroz toke A(-9,0) i B(-15,-18).

16. Odredite jednadbu hiperbole koja prolazi kroz toke A(-6,-3) i ( )3,18B .

Parabola

17. Skicirajte parabolu y2=6x.


19. Odredite jednadbu parabole iji fokus je

a) na pozitivnom dijelu x osi i koja prozazi kroz toku A(5,-5)

b) na nagativnom dijelu x osi i koja prolazi kroz toku A(-5,-5) .

20. Odredite jednadbu parabole iji fokus je na

a) pozitivnom dijelu x osi i koja prolazi kroz toku A(2,1) ,

b) negativnom dijelu x osi i koja prolazi kroz toku A(-2,1) .

Rjeenja: Krunica

Na slici 1. su prikazane krunice iz zadataka 1, 2 i 3 asredita sui m po redu: S, C i D.

Opa jednadba krunice dana je formulom: (x-p)2+(y-q)2=r2 , pri emu su p I g coordinate

sredita krunice S = (p,q). a r je radijus krunice. Lako iz prva tri zadatka proita iz zadanih

jednadbi:

1. iz jednadbe (x-4)2+(y+3)2=25 => p = 4, q = -3 => S = (4,-3), r = 5

2. iz jednadbe x2+(y-6)2=81 => p = 0, q = 6 => S = (0,6), r = 9

3. iz jednadbe x2+y2=64 => p = 0, q = 0 => S = (0,0), r = 8 => ovu krunicu koja ima

sredite u ishoditu zovemo sredinja krunica.

Jednadba krunice (x-p)2+(y-q)2=r2

moe se napisati i u obliku:

x2 + y2 + ax + by + c =0,

pri emu je: a = -2p

b = -2q

c = p2 + q2 r2

4. Iz jednadbe:

x2+y2+14x-6y+33=0

vidimo da je 14 = -2p / : (-2)

-6 = -2q / : (-2)

33 = p2 + q2 r2

=> p = -7, q = 3 => S= (-7,3)

r2 = -33 + (-7)2 + 32 = -33 + 49 +9

r2 = 25

r = 5

pa jednadu moemo pisati kao : Slika 1

(x+7)2+(y-3)2=25 a graf joj je dan na slici 2.

Slika 2.

5. Iz jednadbe: x2+y2-4x-5=0 vidimo da je : Slika 3.

-4 = -2p / : (-2

0 = -2q / : (-2)

-5 = p2 + q2 r2

=> p = 2, q = 0 => S= (2,0)

r2 = 5 + 22 + 02 = 9

r = 5

pa jednadu moemo pisati kao :

(x-2)2 + y2 = 9 a graf joj je dan na slici 3.

6. Iz jednadbe: x2+y2-6y-16=0 vidimo da je Slika 4.

0 = -2p / : (-2

-6 = -2q / : (-2)

-16 = p2 + q2 r2

=> p = 0, q = 3 => S= (0,3)

r2 = 16 + 02 + 32 = 25

r = 5

pa jednadu moemo pisati kao :

x2 + (y-3)2 = 25 a graf joj je dan na slici 4.

7. Odredite jednadbu krunice koja prolazi tokama A(-3,1), B(5,5), C(-2,4).

Slika 11.

U jednadbu krunice (x-p)2+(y-q)2=r2 uvrstimo koordinate toaka A, B i C.

222 )1()3....( rqpA =+ 222 )5()5....( rqpB =+

______________________

)4()2....( 222 rqpC =+

222 2169.... rqqppA =++++ ( )1/10251025.... 222 =+++ rqqppB

____________________________

81644.... 222 rqqppC =++++

Zbrajanjem prve i druge, te druge i tree jednadbe dobijemo:

222 2169.... rqqppA =++++ 222 10251025.... rqqppB =++ 222 10251025.... rqqppB =++ 222 81644.... rqqppC =++++

__________________________0291421.....08241616.....

=+++=+++

qpCBqpBA

( )__________________________

4/30214.....40816.....

=++=++

qpCBqpBA

(__________________________

4/120856.....40816.....

=+ )=++qpCB

qpBA

=> ( )

240:/8040

==

pp

408216 =+ q => 8q = 40 32 => 8q = 8 /:8 => q = 1

Uvrstimo p = 2 i q = 1 u poetnu jednadbu sa A: 222 )11()23....( rA =+ => 25 + 0 = r2 => r = 5

pa jednadba krunice glasi:

(x-2)2+(y-1)2=25 , a skica joj je na slici 11.

8. Odredite jednadbu krunice koja prolazi tokama A(4,-5), B(0,5), C(10,9).

Po skici na slici 12. provjeri svoje rijeenje.

Slika 12.

Rjeenje: (x-7)2 + (y-2)2 = 58

Rjeenja: Elipsa

9. Elipsa 9x2+4y2=36 dana je opom formulom bx2 + ay2 = a2 b2 Da bi skicirali elipsu treba

jednadbu elipse prikazati u kanonskom obliku: 122

2

2

=+by

ax .

9x2+4y2=36 / :36

194

22

=+ yx => dakle, velika poluos 24 ==a I mala poluos 39 ==b

Kordinate fokusa elipse su: )0,(2,1 eF = , ako je a > b, ),0(2,1 eF = , ako je b > a, a e je linearni ekscentricitet i za njega vrijedi :

e2 = a2 - b2 za a >b

e2 = b2 - a2 za b >a => 23,254922 ==== abe => )5,0(2,1 =F

Slika 5.

10. Elipsa x2+4y2=16

Da bi skicirali elipsu treba jednadbu elipse prikazati u kanonskom obliku: 122

2

2

=+by

ax .

x2+4y2=16 / :16

1416

22

=+ yx => dakle, velika poluos 416 ==a I mala poluos 24 ==b

Koordinate fokusa elipse su: )0,(2,1 eF = , jer je a > b =>

e2 = a2 - b2 => 73,3321241622 ===== bae => )0,32(2,1 =F

Slika 6.


U jednadbu elipse : 122

2

2

=+by

ax uvrstimo koordinate toaka A i B

( ) 122.... 22

2

2

=+ba

A => 144.... 22 =+ baA => zbrojimo jednadbe =>

( ) 114.... 22

2

2

=+ba

B => ( )4/1116.... 22 =+ baB 144.... 22 =+ baA =>

22 /360.... aa

BA =+ => => ( 3:/360 2 = a )4464.... 22 =+ baB

20 = a2 => 20=a => 14204.... 2 =+ bA => 5

1142 =b => 2

2 5/544 b

b= =>

4:/420 2b= => => 52 =b 5=b => jednadba elipse glasi:

20/1520

22

=+ yx => 204 22 =+ yx

Slika 13.


Slika 14.

Rjeenje: 22500/1625900

22

=+ yx => 225003625 22 =+ yx

Rjeenja: Hiperbola

13. Da bi skicirali hiperbolu 25x2 - 9y2 =225, zadanu u jednadbom u opem obliku:

bx2 - ay2 = a2 b2 , trebamo tu jednadbu prebaciti u kanonski oblik: 122

2

2

=by

ax .

25x2 - 9y2 =225 /: 225

1259

22

= yx => dakle, velika poluos 39 ==a I mala poluos 525 ==b

Kordinate fokusa hiperbole su: )0,(2,1 eF = , ako je jednadba hiperbole: bx2 - ay2 = a2 b2

),0(2,1 eF = , ako je jednadba hiperbole: - bx2 + ay2 = a2 b2 a e je linearni ekscentricitet i za njega vrijedi :

e2 = a2 + b2 => 83,53425922 ==+=+= bae => )0,34(2,1 =F

Asimptote hyperbole a1,2 dane su formulom xaby = , pa iz toga vidimo da su

xya35...2,1 =

A tjemena hiperbole su toke: A = (a,0) i B = (-a,0) za hiperbolu bx2 - ay2 = a2 b2

A = (0,b) i B = (0,-b) za hiperbolu -bx2 + ay2 = a2 b2

Pa su tjemena nae hyperbole: A = (3,0) i B = (-3,0)

Skicu hiperbole pogledati na slici 7.

Slika 7.

14. Skicirajte hiperbolu 16x2 - 9y2 =144 za vjebu. Moete se pomoi slikom 8.

Slika 8.

15. Odredite jednadbu hiperbole koja prolazi kroz toke A(-9,0) i B(-15,-18).

Rijeava se kao i zadatak 16. Za pomo su dani skica i rjeenje.

Slika 15.

Rjeenje: 1

472981

22

= yx => 729/17294

81

22

= yx => 72949 22 = yx

16. Odredite jednadbu hiperbole koja prolazi kroz toke A(-6,-3) i ( )3,18B . U jednadbu hiperbole : 12

2

2

2

=by

ax uvrstimo koordinate toaka A i B

( ) ( ) 136.... 22

2

2

=ba

A => 1936.... 22 = baA => zbrojimo jednadbe =>

1318.... 2

2

2

2

=ba

B => ( )3/1318.... 22 = baB --------------------------- -----------------------------

1936.... 22 = baA => 2

2 /218.... aa

BA =+ => => ( 2:/218 2 = a )3954.... 22 =+ baB

---------------------------

9 = a2 => 39 ==a => 19936.... 2 = bA => 41

92 = b => )(/3

9 22 bb

= =>

3:/39 2b= => => 32 =b 3=b => jednadba hiperbole glasi:

9/139

22

=+ yx => 93 22 =+ yx

Linearni ekscentricitet 32123922 ==+=+= bae pa su koordinate fokusa: F1,2 = ( 0,32 )

Slika 16.

Rjeenja: Parabola


Jednadba parabole je: y2=2px. => 2p = 6 => p = 3, parameter parabole, a jednadba

direktrise ii ravnalice je 2px = =>

23=x . Koordinate fokusa

= 0,

2pF =>

= 0,

23F

Slika 9.

18. Skicirajte parabolu y2=10x za vjebu. Moete se pomoi slikom 10.

Slika 10.


a) pozitivnom dijelu x osi i koja prolazi kroz toku A(5,-5),

b) negativnom dijelu osi x i koja prolazi kroz toku A(-5,-5) .

Rjeenje:

Jednadba parabole y2 = 2px ovisno o vrijednosti parametra p moe imati razliiti

grafii prikaz:

za p>0, a fokus F se nalazi na pozitivnom dijelu osi x

za p => xy 52 =

a koordinate fokusa su

=

= 0,450,

2pF , a ravnaloca ili direktrisa:

45=x

Slika 17.

b) Uvrstimo koordinate toke A i jednadbu parabole: ( )

25

1025

)10(/1025)5(25 2

====

p

pp

=> => xy 52 =

a koordinate fokusa su

=

= 0,450,

2pF , a ravnaloca ili direktrisa:

45=x

Slika 18.


a) pozitivnom dijelu x osi i koja prolazi kroz toku A(2,1),

b) negativnom dijelu osi x i koja prolazi kroz toku A(-2,1) .

Isti zadatak kao i 20. Skica rjeenja dana na slici 19.

Slika 19.

Odnos krivulje i pravca

21. Odredite jednadbu tangente i normale krunice (x-1)2+(y+2)2=26 u toki D(0,3).

22. Odredite jednadbu tangente i normale elipse 115

22

=+ yx u toki D(0,-1). 23. Odredite jednadbu tangente i normale hiperbole 2x2-9y2=18 u toki D(9,4).

24. Odredite jednadbu tangente i normale parabole y2=18x u toki D(2,6).

25. Odredite zajednike toke pravca x-2y+3=0 i krunice (x-4)2+(y-6)2=25 .

26. Odredite zajednike toke pravca 4x+3y+1=0 i krunice x2+y2-6x-8y=0.

27. Odredite zajednike toke pravca x-y+2=0 i krunice (x+2)2+(y-3)2=4.

28. Odredite zajednike toke elipse x2+4y2=20 i pravca 3x+2y-10=0.

29. Odredite zajednike toke elipse x2+4y2=16 i pravca y= - x+5.

30. Odredite zajednike toke elipse x2+4y2=20 i pravca x+4y+10=0.

31. Odredite zajednike toke pravca 3x-4y-2=0 i hiperbole x2-2y2=2.

32. Odredite zajednike toke pravca 15x-8y+18=0 i hiperbole 9x2-4y2=36.

33. Odredite zajednike toke pravca 2x-y+1=0 i hiperbole x2-2y2=2.

34. Odredite zajednike toke pravca 4x+y-4=0 i parabole y2=8x.

35. Odredite zajednike toke pravca 2x-y+2=0 i parabole y2=4x.

Rjeenja:

21. Odredite jednadbu tangente i normale krunice (x-1)2+(y+2)2=26 u toki D(0,3).

Rjeenje: Ako je zadana jednadba krunice: (x-p)2+(y-q)2=r2 i toka D(x1, x2 ) koja lei na

toj krunici jednadba pravca koji dira tu krunicu u toj toki, odnosno tangenta dana je

formulom: ( 11

11 xxqy

pxyy = ) , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz toku

diralita, odnosno normala, dan je formulom: ( )11

11 xxpx

qyyy = .

Krunica: (x-1)2+(y+2)2=26 ima sredite u toki S(1,-2) i radijus: 26=r

Slika 20.

Izraunavanje jednadba tangente: ( )11

11 xxqy

pxyy = => ( )0

)2(3103

= xy

=> xy513 = => 3

51 += xy u eksplicitnom obliku ili t...x -5y +15 = 0 u implicitnom

obliku.

Izraunavanje jednadba normale: ( )11

11 xxqy

pxyy = => ( )0

10)2(33

= xy

=> => u eksplicitnom obliku ili n...5x +y -3 = 0 u implicitnom

obliku.

xy 53 = 35 += xy

22. Odredite jednadbu tangente i normale elipse 115

22

=+ yx u toki D(0,-1).

Rjeenje: Ako je zadana jednadba elipse: 122

2

2

=+by

ax i toka D(x1, x2 ) koja lei na toj

elipsi jednadba pravca koji dira tu elipsu u toj toki, odnosno tangenta dana je formulom:

( 11

21

2

1 xxyaxbyy = ) , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz toku diralita,

odnosno normala, dan je formulom: ( )11

21

2

1 xxxbyayy = .

Elipsa: 115

22

=+ yx ima veliku poluos 5=a , a malu poluos b = 1, a linearni ekscentricitet

215 ==e pa su koordinate fokusa )0,2(2,1 =F . Skiciramo elipsu i diralite:

Slika 21.

Iz slike 21. lako je oitati da je t...y = -1, a n...x = 0 . Provjerimo to raunski:

( 11

21

2

1... xxyaxbyyt = ) => ( ) ( 015

01)1(... 22

= xyt ) => t... y +1 = 0

( 11

21

2

1... xxxbyayyn = ) => ( ) ( ) 0/0

0115)1(... 2

2

= xyn => x250 = => n...x = 0

23. Odredite jednadbu tangente i normale hiperbole 2x2-9y2=18 u toki D(9,4).

Rjeenje: Ako je zadana jednadba hiperbola: 122

2

2

=by

ax i toka D(x1, x2 ) koja lei na toj

hiperboli jednadba pravca koji dira tu hiperbolu u toj toki, odnosno tangenta dana je

formulom: ( 11

21

2

1 xxyaxbyy = ) , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz toku

diralita, odnosno normala, dan je formulom: ( )11

21

2

1 xxxbyayy = .

Hiperbola: 2x2-9y2=18 / :18 => 129

22

= yx ima veliku poluos a = 3, a malu poluos

2=b , a linearni ekscentricitet 1129 =+=e pa su koordinate fokusa )0,11(2,1 =F . Skiciramo hiperbolu i diralite:

Slika 22.

Provjerimo sliku raunski:

( )11

21

2

1... xxyaxbyyt = => ( 9

49924 )= xy => ( 9

214 = xy ) => 4

29

21 += xy

=> 21

21 = xy u eksplicitnom obliku ili t ... x -2y -1= 0 u implicitnom obliku.

( 11

21

2

1.... xxxbyayyn = )=> ( 9

92494 )= xy => ( 924 = ) xy =>

=> u eksplicitnom obliku ili t ... 2x + y - 22= 0 u

implicitnom obliku.

4182 ++= xy 222 += xy

24. Odredite jednadbu tangente i normale parabole y2=18x u toki D(2,6).

Rjeenje: Ako je zadana jednadba parabole: y2 = 2px i toka D(x1, x2 ) koja lei na toj

paraboli jednadba pravca koji dira tu parabolu u toj toki, odnosno tangenta dana je

formulom: ( )11 xxpyy += , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz toku diralita, odnosno normala, dan je formulom: ( )111 xxp

yyy = .

Parabola y2=18x ima parametar p=9, a jednadba ravnalice joj je 29=x , a fokus u toki

= 0,29F , pa u toki D(2,6) moemo izraunati jednadbu tangente pomou formule:

( 11..... xxpyyt += ) => ( ) 6:/296 += xy => ( 223 += xy ) => 3

23... += xyt u

eksplicitnom obliku, a u implicitnom glasi t.... 3x 2y + 6 =0.

A jednadbu normale formulom: ( 111... xxpyyyn = ) => ( 2

966... = xyn ) =>

634

32... ++= xyn =>

322

32... += xyn u eksplicitnom obliku, a u implicitnom

2x + 3y + 22 = 0. Pogledajmo rjeenja na skici na slici 23.

Slika 23.

25. Odredite zajednike toke pravca x-2y+3=0 i krunice (x-4)2+(y-6)2=25 .Nai

jednadbe tangenti u tokama presjeka.

Rjeenje :

Ako napiemo jednadbu pravca i krunice jednu ispod druge dobivamo sustav dvije

jednadbe sa svije nepoznanice. A rjeenja tog sustava su koordinate toaka presjeka pravca i

krunice.

x-2y+3=0 => x = 2y -3

(x-4)2+(y-6)2=25 => (2y -3 4 )2 + (y 6)2 = 25 => (2y - 7 )2 + (y 6)2 = 25 =>

-----------------------

4y2 - 28y + 49 + y2 -12y +36 25 =0 => 5y2 - 40y + 60 =0 / : 6 => y2 - 8y + 12 =0

( ) ( )2

4812

121488 22,1

==y => 2,6 21 == yy => 1322

9362

2

1

====

xx

=>

toke presjeka su : A=(1,2) i B=(9,6). A jednadbe tangenti i normali u tokama A i B su : t1 ... 3x+4y=11 n1 ..... 4x-3y=-2 t2 ... x=9 n2 ... y=6 Vidi na slici 24.

Slika 24.

26. Odredite zajednike toke pravca 4x+3y+1=0 i krunice x2+y2-6x-8y=0. Nai jednadbe

tangenti i normala u tokama presjeka.

Postupak rjeavanja isti kao i u zadatku 25.Rezultate provjeri na slici 25.

Rjeenje A = (-1,1), pravac a je tangenta krunice : 4x -3y +1 = 0, a normala n...-3x+4y=7

Slika 25.

27. Odredite zajednike toke pravca x-y+2=0 i krunice (x+2)2+(y-3)2=4. Nai jednadbe

tangenti i normali u tokama presjeka.

Rjeenje :

Slika 26.

A=(-6.7, 4.7) B=(-0.3, -1.7) t1 -4,7x+1.7y-39.51=0 t2 -1.7x+4.7y+7.49=0

n1 1.7x+4.7y-10.7=0 n2 4.7x+1.7y+4.3=0

28. Odredite zajednike toke elipse x2+4y2=20 i pravca 3x+2y-10=0. Nai jednadbe

tangenti u tokama presjeka.

Rjeenje:

Slika 27.

Toke presjeka: B=(2,2) C=(4,-1) t1 y=-0,5x+2,5 t2 . y=x-5,01

Krunica - zadatci za vjebu

1. Odredi koordinate sredita i polumjer krunice kojoj je sredinja jednadba 9)3()1( 22 =++ yx .

2. Kako glasi centralna jednadba krunice kojoj je sredite u toki )41,3(S , a polumjer

15=r ? 3. Odredi koordinate sredita krunice, polumjer krunice i prikai grafiki krunicu :

a) 1622 =+ yxb) ( ) ( ) 932 22 =+ yx

4. Kako glasi jednadba krunice: 5),0,3( =rS 5. Odredi jednadbu krunice koncentrine krunici ( ) 492 22 =+ yx iji je polumjer r = 1. 6. Kako glasi jednadba krunice kojoj je sredite S(4,2) , a prolazi tokom A(3,-1).

7. Odredi jednadbu krunice kojoj je AB promjer ako je A(-3,-4), B(10,-1).

8. Odredi jednadbu krunice koja prolazi kroz toke A(2,5), B(4,1),C(8,3).

9. Odredi jednadbu krunice koja prolazi tokama A(6,6),B(-3,3) a sredite joj je na x

osi.

10. Odredi polumjer i sredite krunice 072222 =++ yxyx11. Odredi jednadbu krunice polumjera r = 1 koncentrine krunici 0910622 =++ yxyx12. Odredi presjek pravca i krunice 0163 =+ yx i 06422 =+ xyx13. Odredi duljinu tetive krunice odreene pravcem ako je zadano: 021422 =+ yyxi 0397 =+ yx14. Odredi jednadbu tangente na krunicu u njezinoj toki D(-6,-8). 10022 =+ yx15. Odredi jednadbu tangente na krunicu u njezinoj toki D(5,1). 0126422 =++ yxyx16. Odredi jednadbu tangente na krunicu ( ) 1691)1( 22 =++ yx u njezinoj toki D(x>-1, -9) 17. Odredi jednadbe tangenata povuene iz toke T(1,9) na krunicu ( ) 54)1( 22 =+ yx18. Odredi jednadbe tangenata krunice ( ) ( ) 5041 22 =+ yx paralelnih pravcu

10= xy

19. Kako glase jednadbe krunica koje diraju obje koordinatne osi i kojima je 2=r ?

20. Odredi polumjer i sredite krunice . 072222 =++ yxyx

21. Napii jednadbu tangente na krunicu u njenoj toki . 10022 =+ yx )0,8(

22. Odredi poloaj toke obzirom na krunicu )2,4(T ( ) .16)3(2 22 =++ yx

23. Kako glasi jednadba krunice koja prolazi tokama )0,2(A , i ? )0,2(B )2,0(C

Elipsa - zadatci za vjebu

1.Odredi osnu jednadbu elipse parametra 94

i male osi duljine 3.

2.Odredi jednadbu elipse koja prolazi tokama A(4,-2) i B( 6 ,3).

3.arita elipse i jedno njezino tjeme vrhovi su jednakostraninog trokuta povrine 39

.Odredi jednadbu elipse.

4.Koliki kut zatvaraju tangente na elipsu 11832

22

=+ yx iz toke P(12,-3)?

5.U kojim tokama tangente elipse paralelne s pravcem 3x2y +18 = 0

dodiruju elipsu?

4843 22 =+ yx

6.Odredite zajednike toke pravca x-2y+4=0 i parabole y2=4x. Odredi m R elipse tako da je pravac x + 4y - 16 = 0 tangenta elipse. Odredi numeriki i

linearni ekscentricitet elipse.

mx y2 216 192+ =

7.Odredi tangentu na elipsu 3 iz toke T(4,2).Odredi numeriki i linearni

ekscentricitet te parametar elipse. Slika.

4 482 2x y+ =

8.Odredi normalu elipse u toki x y2 24 2+ = 0 ( )T y2, > 0 .Odredi kut normale i pravca y - x = 2.

Hiperbola - zadatci za vjebu

1.Odredi jednadbu tangente i normale hiperbole u toki sjecita hiperbole i

pravca y = 5.

9 1442 2x y =

2.Odredi jednadbu hiperbole numerikog ekscentriciteta 43

i linearnog ekscentriciteta 2.

3.Odredi jednadbu hiperbole linearnog ekscentriciteta 17 ako je a - b + 7 = 0.

4.Odredi tangentu hiperbole iz toke (3,5). Slika. 3 32 2x y =

5.Kolika je povrina trokuta to ga zatvaraju asimptote hiperbole 421 22 = yx s pravcem koji

prolazi aritem okomito na os apscisu? Koliki kut zatvaraju tangente hiperbole povuene u

tokama trokuta?

6.Kolika je povrina trokuta to ga zatvaraju asimptote hiperbole s pravcem koji

prolazi aritem okomito na os apscisu?

82 22 = yx

7.Pravac je asimptota hiperbole kojoj su arita udaljena 023 = yx 134 . Odredi jednadbu hiperbole.

8.Odredi zajednike tangente krivulja i . 44 22 =+ yx 3694 22 = yx

FormuleKrunicaElipsaHiperbolaParabolaOdnos krivulje i pravca

krivulje drugog reda

Documents