DIE VERSCHIEBUNGSELLIPSE UND IHRE BEZIEHUNGEN ZUR FEHLERELLIPSE UND F EH LERK U RV E

EMANUEL PROCH.~ZKA

Lehrstuhl f i ir spezielle Geodesie an der Fakult i i t f i ir Bauwesen C VUT, Praha*)

Die Theorien der Verschiebungs- und der Fehlerellipse wurden urspriinglich geson- deft untersucht. Mit der Theorie der Verschiebungsellipse besch/iftigte sich Dagek [ l ] , die Fehlerellipse leitete Eggert [2] ab. Erst Pantofti~ek [3, 4] leitete die Fehler- ellipse statisch ab und verwies auf den Zusammenhang mit der Verschiebungsellipse.

Um eine ausgedehntere Verwendung der Verschiebungsellipse bei Ausgleichungs- rechnung zu erm6glichen, muss man sich griindlicher mit der Theorie dieser Ellipsen vertraut machen und die Beziehungen zwischen Verschiebungs- und Fehlerellipse, ev. aucll zwischen Verschiebungsellipse und Fehlerkurve, sowie die geometrischen Eigenschaften der Kurven beriicksichtigen.

1. V E R S C H I E B U N G S E L L I P S E

Wir werden uns bier nur mit der Ellipse der Verschiebungen befassen, d.h. mit der Ellipse, die bei [1] als erste Verschiebungsellipse Ea bezeichnet wird. Es ist die Ellipse, die yon den Endpunkten der Verschiebungen c5 gebildet wird; diese wird yon irgendeinem Punkt des statischen Systems ausgef~ihrt, wenn in diesem Punkt die Kraft S = I angreift, welche st~indig ihre Richtung 5ndert.

Zur Bestimmung der Verschiebungsellipse geniigt es, wenn wir die Kraft S = 1 fortschreitend in zwei senkrechten Richtungen X, Y wirken lassen. Wir werden dabei zwei F/ille unterscheiden miissen.

1.1 Die L a g e der A c h s e n de r V e r s c h i e b u n g s e l l i p s e ist b e k a n n t

In diesem Fall nehmen wir die Richtung X, Y der einwirkenden Kraft mit den Richtungen Xo, I% der Achsen der Verschiebungsellipse als identisch an. Wirkt die Kraft S~ = I in Richtung der Achse X, entsteht in der Richtung dieser Achse eine Verscbiebung 6,, welche die grosse Halbachse der Verschiebungsellipse darstellt. In gleicher Weise verursacht die Kraft Sy = 1, welche in der Richtung der Achse Y wirkt, die Verschiebung 6b, die die Heine Halbachse dieser Ellipse bestimmt. Falls wit die Achsen der Verschiebungsellipse kennen, k6nnen wir zur Kraft S = 1, deren Richtung q mit der Achse X einen Winkel e einschliesst, die Richtung q' und die Gr6sse der zugeh6rigen Verschiebung 6 bestimmen. Die Komponenten der Kraft S = 1 in der Richtung der Koordinatenachsen X, Y haben einen Wert yon 1 . cos ~.,

*) Adresse: H u s o v a 5, P raha 1 - Star6 M~sto.

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E. Prochazka

1. sin :~ und verursachen in den Richtungen dieser Achsen die Verschiebungen 5o cos und 66 sin ~. Diese Komponenten erhalten wit dutch Drehung der Verschiebungen ~5~ = OA und fib = OB in die Richtung der Kraft S = t und einer senkrechten Projektion auf die Achsen (Abb. 1). Durch Zusammensetzung dieser beiden Kom- ponenten OT und OU erhalten wir die Verschiebung 6 = OP', welche der Kraft S = 1 zugeh6rt. Aus der Konstruktion ist zu ersehen, dass die Verschiebung 5 in Bezug auf Richtung und Gr6sse dutch den Radiusvektor der Ellipse E6 gegeben ist, welcher konjugiert ist mit dem Strahl q der Kraft S auf Grund der Affinit/it zwischen der Ellipse E~ und einer der Kreislinien K 1 oder K:.

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A b b . 1. A b b . 2.

Die Verschiebungsellipse kann man auch zur L6sung der entgegengesetzten Aufgabe verwenden, wo wit zur Richtung und Gr6sse der Verschiebung A die Richtung und Gr6sse der Kraft S bestimmen wollen. Die Konstruktion (Abb. 2) beruht auf der Affinit/it zwischen der Verschiebungsellipse E6 und den Kreislinien K~ oder K:. Die Affinit/it mit der Kreislinie K1 ist bestimmt durch die Achse der Affinit~t X und die Richtung tier Affmit/it at il Y, die der Kreislinie K2 dutch die Achse Y und die Richtung a z !l X. Zuerst suchen wir zum Strahl q' im System E~ die durch Affinit/it konjugierte Gerade q. Es geniigt zu diesem Zweck, auf der Geraden q' einen belie- bigen Punkt (C') zu w~iklen; die Verbindungslinie B'(C') schneider die Affinit/itsachse (in unserem Fall die Achse X) im Punkt V, durch welchen auch der konjugierte Strahl VB gehen muss. Auf diesem liegt der Punkt (C), wobei die Verbindungslinie (C') (C) parallel ist zu der entsprechenden Richtung der Affinit~it [in unserem Falle (C')(C) [t Y]" Die Verbindungslinie des Punktes (C) mit dem selbstkonjugierten Punkt O bestimmt den konjugierten Strahl q, welcher die entsprechende Kreislinie (in unserem Fall Kt) im Punkte P schneidet. Eine Parallele zur Richtung der Affinit~it,

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Die Verschwbungsetlipse und ihre Beziehungen zur Fehlerellipse. ..

welche dutch diescn Punkt gelegt wird, schneidet den Strahl q' im Punkt P' der Ellipse. welcher mit dem Punkt P konjugiert ist. Die L'ange des Radiusvektors OP' der Ver- sckiebungsetlipse stellt die gesuchte Versckiebung dar, verursacht durch die Kraft S = l. welche in der Richttmg des Strahles q wirkt. Die Konstruktion kann verein- facht werden, wenn man einen Punkt V im Fluchtpunkt der Aftinit'atsachse w/ihlt. In die- sem Fall gehen die Strahlen B'(C'). B(C) in die Strahlen B'C', BC, parallel zur Affini- t/itsachse, tiber und der Strahl q ist bestimmt dutch die Ver- bindungslinie OC.

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Abb. 3. Abb. 4.

Wenn die Verschiebung in der Richtung des StrahIes q' statt des Wertes 6 den Weft A aufweist, wird die Kraft S, welche in Richtung des Strahles q wirkt, statt des Wertes S -- 1, den Wert

(1) s = a / a

haben.

Driicken wit nun noch die GrOsse der Verschiebung <5 numerisch aus. Aus dem rechtwinkligen Dreieck OP'U (Abb. 1)erNbt sich

(2) 3 2 = a~ ~os : ~. + a~ si .- ' 5 .

Bereghnen wir ferner die Projektion 6 s der Verschiebung 5 in Richtung der Kraft S. Die Komponente 5, ergibt sich aus der Gleich.heit der virtuellen Arbeit der Resul-

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E. P r o c h d z k a

tante S = I und der virtaellen Arbeit der Komponenten cos ~ und sin ce, wenn die Verschiebung in Richtung der Resultante den Wert (~, hat und in R ich tung der

Komponenten die Werte 6, cos e und cs,~ sin e. Es gilt also 1. ,5~ = cos c~. ,5~ cos ~. + + sin :~. 0b sin :~ oder

(3) 6~ = ,5~ cos z z~ + c5 b sin 2 a .

1.2 Die L a g e d e r A c h s e n de r V e r s c h i e b u n g s e l l i p s e ist u n b e k a n n t

In diesem Falle lassen wir die Kraft S = 1 fortschreitend in zwei senkrechten. allgemein gew~hlten Richtungen X und Yeinwirken (Abb. 3). Wirkt die K r a f t Sx = 1

in Richtung der Achse X, verschiebt sich der Punkt O um den Wert fi~, gegeben durch die Komponenten c ~ und tS.~ x. In /ihnlicher Weise bewirkt die Kra f t Sy = 1

in Richtung der Achse Y eine Verschiebung c~,, gegeben durch die K o m p o n e n t e n 6yy und fi,p = 6~x. Die resultierenden Verschiebungen d, = OP, 6y = OQ bezeichnen zwei konjugierte Halbmesser der Verschiebungs ellipse.

Wir erw/ihnen noch kurz das Vorgehen, mit dessen HiVe wir die Verschiebung 6 finden, welche die Kraft S = 1 ausiibt, die in Richtung q wirkt. Diese schliesst mit der Achse X einen Winkel :~ ein. Die Komponenten der gedachten Kra f t 1 . cos :~,

1. sin e in Richtung der Koordinatenachsen X. Y fiihren in der Rich tung dieser

Achsen Verschiebungen 3xx cos :z und csyy sin x aus, welche die K o m p o n e n t e n der Verschiebungen ( ~ ) = 6~ cos :~ = O(l) und (c5) = ,5 x sin :~ = 0(2) darstellen. Durch Vektorzusammensetzung dieser Versclaiebungen erlaalten wir die resultierende Ver- schiebung ~ = OR, hervorgerufen durch die Kraft S = 1.

Da die Verschiebungen 8xx, dyy, Oxy = fiyx proportional zu den Spannungen sind, gelten zwischen ihnen die gleichen Beziehungen wie zwischen normalen und tangentialen Spannungen und man kann auf sie die Konstruktion anwenden, die Weyrauch [5] ffir Erdmassen ableitete. Mit Hilfe dieser Konstrukt ion kann man aus den Verschiebungen 8xx, ~yy und dxy := dyx ffir die

- t ~ t , - I - Achsen X, Y die Verschiebungen fi~x, oyy und 0.,~y = oy x fur eine beliebige Lage der Achsen X', Y' (Abb. 4) bestimmen. In der Richtung der Achse X tragen wir die Abschnit te O A - - ~ .~ und A B - - d~,y, in der Richtung der Achse Y den Abschnitt A C = dxy = 15;x auf und fiber der Strecke O B als Durchmesser beschreiben wit einen Kreis k. Die Achsen X', Y', welche durch den Punkt O gelegt sind, schneiden diese Kreislinie in den Punkten B'. O'. Bezeichnen wir endlich den Fusspunkt der Senkrechten, gef/illt yore Punkt C auf den Durchmesser O'B" mit dem Buchstaben A', sind die gesuchten Verschiebungen gegeben durch die Gleichungen dxx = O ' A ' . 8~,y = A ' B ' , 6xy = = 6~: = A ' C ' .

Fi.ir die Achsen der Verschiebungsellipse mtissen die Querverschiebungen fix ~ -- ~),_~ verschwin- den. Dies geschieht bei Lage der Achsen Xo, l" o, welche die Kreislinie k in den Punkten Oo, B o schneiden: diese liegen auf dem Durchmesser, welcher dutch den Punkt C geht. Verbinden wit daher den Punkt C mit der Mitte S tier Kreislinie k, erhalten wit den Durchmesser O o B o , dessen Endpunkte die Lage der Hauptachsen der Verschiebungsellipse bestimmen. Ihre Halb- achsen da, ~5 b sind gegeben durch die Abschnitte d a = O o C , 6 b = C B o. Durch die Kons t rukt ion der Achsen der Verschiebungsellipse k6nnen wit die L6sung auf den oben beschriebenen Fall (Abs. 1.I) fiberffihren.

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D i e V e r s c h i e b u n g s e l l i p s e a n d i h r e B e z i e h u n g e n _-ur F e h l e r e l l i p s e . . .

Deuten wir nun noch das Vorgehen an, wie man auch ohne Kenntnis der Achsen der Verschiebungsellipse die Richtung und Gr6sse der Kraft S finden kann, welche die Verschiebung A verursacht, wenn die Richtung und Gr6sse dieser Verschiebung

gegeben sind. Bei der Lasung dieser X /V~ V~,~/ , V,,/ Atffgabe beniitzen wir wieder die Affinit~it [ I ,..//q ,

p. i 4, P," ._.,E,, ~'Y/ / ~.-.~ .~" ~ , ~ /I .. r 7"<TC" ~ \R// '.. / I i.." / " - ~ - . . ~ ,' ; ~ q , '

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/ ~ 7 . I ' Y

zwischen Verschiebtmgsellipse E~ und Kreislinie K (Abb. 5). Das Verfahren ist analog dem in Abs. 1.1 beschriebenen und auf Abb. 2 veranschaulichten. Der Unter-

~ ' A QY" j/

- -~ .40 + Abb. 5.

schied besteht nur darin, dass die Affini- ditsachse diesmal die Richtung des Radius- vektors OP der Verschiebungsellipse dar- stellt und dass die Richtung der Aflinit~it gegeben ist dutch die Verbindungslinie QQ+. Zur Konstruktion wurde der Flucht- punkt V~, auf der Affinitfitsachse verwen- det. Die Lfinge des Radiusvektors OR der Verschiebungsellipse stellt die gesuchte Verschiebung in Richtung des Strahles q' dar; der ibm konjugierte Strahl q+ be-

deutet diesmal jedoch nicht die Richtung der Kraft S. Zur Auffindung der Rich- tung q der Kraft S verwenden wir die entgegengesetzte Konstruktion wie die auf Abb. 3 beniitzte. Vom Punkt R aus bestimmt man durch Parallele zu den Verschie- bungen 6y und 8~ die Punkte (1)

i und (.2). Die durch diese Punkte iX

gefiihrten Parallelen mit den ~ ~ T - - c - - - - - ~ i i ~ Achsen Y und X schneiden wir mit Kreislinien yon Halbmessern //1 \ 6x~ und 3~,? Dadurch erhalten /" @Y i ' \ ,k wir die Punkte 1 und 2, welche ..r '\ durch gegenseitige Kontrolle den 2r ........ /,7 .............. q~ \ , Strahl q der Kraft S = 1 bestim- ~ " ~ ~-'-r-L~ - --~__!~ol'~;~.~_C ", / / ................. . . . . men, welche die Verschiebung

I ~~ ........ i.~t- -- ~: /%r,, / Wenn die Verschiebung in i : .i ,_+ ,~,

S

Richtung des Strahles q' statt \\ , cf~i ! ~ / ~ 3 des Wertes 6 den Wert A hat, wird die Kraft S, welche in \ i i 6J der Richtung des Strahles q ii i ........ wirkt, statt des Wertes S = 1 den Wert S, entsprechend der GI. (1), haben. I Abb. 6.

Studi~ geoph, et geod. I0 (1956) |41

E. Proch6zka

Die oben angeffihrte Aufgabe kann man auch noch auf andere Weise 16sen, indem man die Eigenschaften des Weyrauchschen Spannungskreises k (Abb. 6) zu Grunde legt. Wollen wir die zur KraR S geh6rige Verschiebung d und deren Komponenten c~', d" in der Richtung dcr Kraft S und in senkrechter Richtung bestimmen, ffahren wit dutch den Schnittpunkt 3 des Kraftstrahles S mit der Kreistinie k den Durchmesser 23. Die Verschiebung d ist gegeben durch den Abschnitt 2C und ihre Komponenten d', fi" durch die Projektion dieser L/inge auf den Durchmesser 23 und in senkrechter Richtung. Wenn wit diese Komponenten in Richtung der Kraf t S und in senkrechter Richtung auftragen, erhalten wir den Strahl der Verschiebung d in Richtung dec Sehne 01, wobei der Punkt 1 auf der verl~ingerten Verbindungslinie 2C liegt. Diese Eigenschaft kann man auch umgekehrt anwenden. Durch diese Konstruktion kann man die Richtung der Kraft S bestimmen, welche zum gegebenen Strahl der Verschiebung geh6rt. Den Schnittpunkt I dieses Strahles mit der Kreislinie k verbinden wir mit dem Punkt C und dutch den entstan- denen Schnittpunkt 2 mit dec Kreislinie k ftihren wit den Durchmesser. Sein zweiter Endpunkt 3 bestimmt den Strahl der Kraft S und die Strecke 2C bestimmt die Gr6sse der Verschiebung g.

Eine Aufgabe dieser Art ergibt sich z.B. bei der Ausgleichung eines Polygonzuges [6]. Die Verschiebungsellipse im ideaten Schwerpunkt der Polygvnpunkte ist in diesem Fall gegeben dutch die konjugierten Durchmesser. Wit soll~n nun die Rich- tung und Gr6sse der Kraft bestimmen, welche die Verschiebung A bewirkt. Diese entspricht der Richtungsabweichung O~ = ,j(O~ + O~), wobei O~ und Oy die Ko- ordinatenabweichungen des beiderseitig angeschlossenen Polygonzuges nach Winkel- ausgleichung darstellen.

2. DIE FEHLERELLIPSE

Wollen wit statisch den mittleren Fehler m irgendeines Scheitelpunktes O in bestimmter Richtung untersuchen, betasten wir das statische Ersatzsystem in diesem Punkt und in gegebener Richtung mit der Kraft S = 1. Den mittleren Fehler m kann man ausdriicken mit Hilfe des mittleren Fehlers mo der Gewichtseinheit und mittels des Gewichtes p nach der GI.

(4) m = +-'"o/,/P.

Das Gewicht p ist identisch mit der Starrheit des statischen Ersatzsystems in der untersuchten Richtung und man kann sie daher statisch aus dem Verh/iltnis p = = S/As ausdriicken. Dabei bedeutet A~ die Komponente der Verschiebung in Richtung der Kraft S. Bei Belastung mit der Kraft S = ! ist das Gewicht dann p = 6[ ~. Dutch Einsetzung in die GI. (4) erhalten wir dann

(s) ,,, = _+,,o 4 s.

Setzen wir hierin den Wert yon 6~ aus der Gl. (3) ein und erheben wir zum Quadrat, so wird

(6) m 2 = 0102(5a COS 2 ~ + /~'l 0 t) b sin 2x.

142 Studia geoph, et geod. I0 (19661

D i e V e r s c h i e b n n g s e l l i p s e u n d ihre B e z i e h u n g e n z u r F e h l e r e l l i p s e . . .

Extreme mittlere Fehler m,, m b k6nnen durch analoge Gleichungea wie (5) fiir den mittleren Fehler m ausgedriickt werden

(7) m~= _+too ,] '6,, mb = 4-mo .~/0~

und nach Einsetzung in die G1. (6) erhalten wir

23~ (S) ,n 2 = ,n~ cos + m~ sin'- .~.

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A b b . 7.

Auch die mittleren Fehler m richten sich also nach dem Gesetz der Ellipse. Wir bezeichnen sie als Fehlerellipse und ihre Halbachsen m,, m b liegen in Richtung der Italbachsen 6,, 6 bder Verschiebungsellipse. Aus der GI. (8) kann der mittlere Fehler rn als L/inge des Radiusvektors der Fehlerellipse bestimmt werden, welcher durch Affinit/it mit der Richtung konjugiert ist, in der wir den Fehler suchen.

Untersuchen wir welter mittels der Abb. 7 die gegenseitigea Beziehungen zwischen Verschiebungsellipse mit den Halbachsen O A = 5,,, O B = 0b (Abb. 7a) und Fehler- ellipse mit den Halbachsen 0 1 A 1 = m a = m o ,j'~5,, O 1 B t = m b = m. o \./6b(Abb. 7b). Auf der Abb. 7a withlen wit unter dem Winkel ~ die Richtung q der Kraft S. Dutch affme Abbildung erhalten wit den Radiusvektor q ' =_ O P , welcher mit der Achse X den Winkel :~' einschliesst und den Vektor der Verschiebung 5 nach der GI. (2) bestimmt.

Auf der Abb. 7b w/ihlen wit die Richtung des mittleren Fehlers qt !1 q" Dutch affine Abbildung erhalten wir den Radiusvektor (q) - OI(P), welcher mit der Achse X

Studia ~eoph. et geod. I0 (/966) 143

E. P r o c h a z k a

den Winkel (~) einschliesst und nach G1. (8) die Gr6sse des mittleren Fehlers m bestimmt. Durch wiederholte affine Abbildung erhalten wir den zum Strah, l (q) kon- jugierten Radiusvektor q't - OtPt , welcher mit der Achse X den Winkel =' einschliesst.

Vergleichen wir nun die Dreiecke OPU und OtPtU1. Aus der Abb. 7b mit Hilfe der G1. (7) geht hervor:

m a COS 3~ i n 0 P~UI = m~ cos (~) = m, (P) (UI~) - m ~ - - - 6~ cos ~ ,

rn l~ m

sin : OtU~ = m b sin (=) = m~ - m b - - - 6 b sin z .

t7~. m D'/

Beim Vergleich dieser Lfingen mit den L~ingen PU = 5, cos z, OU = 6h sin :~ sehen wir, dass das Verhgltnis ). = P , U , / P U = 0 1 U , / O U = mo/'m konstant ist, dass die Dreiecke OPU und O t P 1 U t /J.hnlich sind und dass daher auch die Richtungen q', q~ parallel verlaufen. Das VerMltnis der L/ingen 2 lfisst sich mit Hilfe der G1. (5) iiber- fiihren auf die Form 2 = m/@

F~.llen wir nun yon dem Punkt P und P~ je eine Senkrechte auf die Strahlen q und ql und bezeichnen wir die Fusspunkte dieser Senkrechten mit Z und L, so sind auch die Dreiecke OPZ und O 1P,L/ihnlich und daher gilt

(9) O , L = O Z . 2 = 6~. m/as = m .

Es wird also der Endpunkt des Radiusvektors m = 01L als Fusspunkt der Senkrech- ten, gef/illt vom Punkt P~ auf die Richtung, in welcher wir den mitt leren Fehler suchen, bestimmt.

3. F E H L E R K U R V E

Die Endpunkte der mittleren Fehler m, als Vektor aufgetragen, best immen die Fehlerkurve. In polaren Koordinaten wird sie ausgedriickt durch die GI. (8).

Durch die Substitution m = x/'(x 2 + y2), cos ~ = x / v / ( x 2 + y2), sin c~ =

= y / x / ( x z + y2) geht die Gl. (8) iiber in die Form, welche die Gleichung de r Fehler- kurve in rechtwinkligen Koordinaten bestimmt ( x 2 + y2)2 = D,la X - ' ) ' At- / '~by2 2. Es

ist dies eine Gleichung yon elliptischen Lemniskaten, welche zum erstenmal Booth [7] anftihrte und welche, gemeinsam mit den hyperbolischen Lemniskaten, nach ihm auch Booth'sche benannt wurde. Ihre Punkte L k6nnen nach Abb. 7b konstruiert werden, entweder auf Grund der GI. (8) oder (9).

Im ersten Fall drehen wir den Radiusvektor 01(P ) um den Mit te lpankt O~; er geh/3rt zu dem Strahl (q), welcher eine affin abgebildete Richtung des Strahles q~ darstellt. Zur Konstruktion des Radiusvektors O~(P) verwenden wir Parallele mit Achsen, welche durch die Punkte Mr, N, gefiihrt sind, wobei 0 l M 1 = m,, O t N t =

~. 1~ b.

1 ~ 4 Studia geoph, et geod. 10 (1966>

Die Verschiebungsellipse und ihre Beziehungen zur Fehlerellipse. . .

Im zweiten Fall konstruieren wir zum Strahl (q) mit Hilfe der Punkte (Mr), (N,) [O~(M~) = m~, OI(N, )= mb] eine weitere affin abgebildete Richtung O,P t. Der mittlere Fehler m ist dann gegeben durch die senkrechte Projektion des Radius- vektors O~P~ in die Richtung qt. Mit Riicksicht darauf, dass die elliptische Lemnis- kate die Fusspunktkurve der Ellipse in Bezug auf ihre Mitte darstellt, ist der Punkt Pt gleich- zeitig der Beriihrungspunkt, in welchem die Tangente, senkrecht zur Richtung ql, die Fehlerellipse bertihrt.

Eine andere Konstruktion einer clliptischen Lemniskate ffihrt Wie- leimer [8] an. Danach werden die Punkte L (Abb. 8) so konstruiert, dass man aufjeden Strahl des Strahienbfin- dels mit dem festen Mittelpunkt O yon diesem Punkt aus jenen Abschnitt der Geraden auftr~igt, welcher inner- halb der Kreislinie k liegt. Der Radius dieser Kreislinie und die Strecke OS,

welche die Lage des Mittelpunktes S dieser Kreislinie bestimmt, kann aus- gedrtickt werden durch die Halbach- sen m~, m b und die Exzentrizit/it e der Fehlerellipse, oder auch, mit Be- zug auf die G1. (7), direkt aus den Halbachsen der Verschiebungsellipse, mit Hilfe der Gleichungen

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/ / /

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S

\ \ \

\ \ "\ 0

X

. / .H./ /'

Abb. 8.

(10) • = l m 0 4 d a O S l e 1 ' "~ r = = = ,,/(m a - m ~ ) = ~-m o ,v/(6a -- 5b) 2 a ~

Sollen wir also aus der Verschiebungsellipse die Fehlerkurve konstruieren, brauchen wir dazu nicht einmal die Fehlerellipse. Es genfigt, mit Hilfe der GI. (10) den Radius r u n d die kage des Mittelpunktes S der Hilfskreislinie k zu bestimmen und daraus direkt die Fehlerkurve zu kon- struieren, wie Abb. 8 zeigt.

Eingegangen am 19. 3. 1965 Rezensent." J. Ka~par

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P e 3 r o M e

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EMANUEL PROCH,'~ZKA

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['[OCTVr~UIO 19. 3. 1965

146 Studia geoph, et geod. I0 (1966}