die ableitung im. erinnerung die ableitung bei funktionen wir sehen: die rote funktion (tangente)...
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Die Ableitung im nR
Erinnerung• Die Ableitung bei Funktionen
Wir sehen: die rote Funktion (Tangente) ist die Gerade, die dieAbbildung f am Punkt P am besten approximiert.
:f R R
Verallgemeinerung im
• Idee: Verallgemeinerung des „Prinzips der Tangente“ im Mehrdimensionalen
• Betrachte dafür eine Funktion ,wie etwa
Was ist nun die Ableitung im Punkt a?
nR
2:f R R
• Aus der VL, Def. 2.1, ist die Abbildung
in einer Umgebung von t = 0 definiert. :
: ( )v
v
f
f t f a tv
R R
• Der blaue Strahl (also die Abbildung ) ist im Endeffekt „eindimensional“
• Die Ableitung von an der Stelle 0 nennt man die Richtungsableitung von f bei a in Richtung v.
Grafik blau: grün:
: ' 0v vD f a f
vf
vf
vf
: ' 0v vD f a f
• Klar: Gleiche Prozedur am gleichen Punkt a nur in eine andere Richtung.
• Die beiden Geraden spannen eine Ebene auf:
Fakt: Jede weitere Richtungsableitung liegt in dieser Ebene
• Oft nimmt man bei der Richtungsableitung als Richtung die x- bzw. y- Richtung, die sog. Partiellen Ableitungen.
(Berechnung: Ersetze für v einfach bzw. )
Die totale-/Fréchet Ableitung in a ist per Definition die lineare Abbildung L, die f bei a am besten approximiert, also aufzufassen mit unserer Tangentialebene.
1e 2e
• Zusatz: Existieren alle Richtungsableitungen in einem Punkt a und ist die Abbildung
linear, so ist die sog. Gâteaux-Ableitung von f in a und f heißt Gâteaux-diffbar in a.
Beachte: Fréchet-d.b. Gâteaux-d.b alle Richtungsabl. ex.
( ) :
( )( ) : ( ) '(0)
n
v v
Df a
Df a v D f a f
R R
( )Df a