1DIDCTICA DE LA MATEMTICA PARA EDUCACIN INICIAL I

AUTORIDADES UNIVERSITARIAS

RECTOR DE LA UANCVDr. Juan LUQUE MAMANI

VICERRECTOR ACADEMICODr. Justo SOSA AROHUANCA

VICERRECTOR ADMINISTRATIVOMg. Julio Vctor HUAMN MEZA

DECANO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACINDr. LUIS Otto GUERRA PACHECO

SUPERVISOR GENERALDr. Pascual HUACASI SUCASACA

COORDINADOR GENERALMg. Marciano TOLEDO PACHA

ASISTENTE TCNICO Y SECRETARIOBach. David OLAGUIVEL YTURY

DOCENTE DEL DISEO, ELABORACIN Y REVISIN DEL CURSO- Dr. Luis Otto Guerra Pacheco- Mg. Marciano Toledo Pacha

SEDE CENTRAL DE ESTUDIO: FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACINCiudad Universitaria Salida Puno

SEDE ADMINISTRATIVA-UANCV-JULIACAOficina 209 2do piso Edificio el Campin (Oficina de atencin Principal)Pasaje La Cultura s/n Celular 951-633201Pgina Web: http://www.dueduancv.3a2.com

http://www.dueduancv.edu.pe

1ra EDICIN:

Noviembre 2011

2NDICE

PRESENTACIN ................................................................ 4

CAPITULO I

1. FUNDAMENTOS DEL REA DE MATEMTICA PARA EDUCACIN INICIAL

1.1. FUNDAMENTACIN ................................................ 5

1.2. LOGROS DE APRENDIZAJE (COMPETENCIAS)................... 7

1.2.1.COMPONENTE 1: NUMERO, RELACIONES Y FUNCIONES.7

1.2.2. COMPONENTE 2: GEOMETRA Y MEDIDA ............... 9

1.3. ENFOQUE DIDCTICO DE LA MATEMTICA EN EDUCACIN

INICIAL...............................................................11

1.4. METODOLOGA DE LA ESTIMULACIN A LAS MATEMTICAS 13

1.5. PROCESO DE FORMACIN DE NOCIONES MATEMTICAS EN EL

NIO ................................................................14

CAPTULO II

1. APRENDIZAJE DE LAS MATEMTICAS EN EDUCACIN INICIAL EN LAPERSPECTIVA PIAGETANA ...............................................16

1.1. GENERALIDADES .......................................................16

1.2. CONOCIMIENTO FSICO Y CONOCIMIENTO MATEMTICO....17

1.3. ALGUNAS REFLEXIONES..........................................20

1.4. PIAGET Y LAS ESTRUCTURAS MATEMTICAS..................22

1.5. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ...................................24

1.6. ESTRUCTURAS DE ORDEN .......................................26

1.7. ESTRUCTURAS TOPOLGICAS...................................26

1.8. COMENTARIOS FINALES ..........................................27

3CAPTULO III

1. ESPACIO Y FORMA GEOMTRICA........................................29

2. RELACIONES ESPACIALES Y GEOMTRICAS ............................30

2.1. DESPLAZAMIENTOS ...............................................31

2.2. FORMAS ............................................................31

2.3. ESTATUAS .........................................................32

3. FORMAS Y CUERPOS GEOMTRICOS....................................32

4. TIEMPO.....................................................................34

5. SERIE NUMRICA..........................................................36

5.1. SERIE DE NMEROS CONSECUTIVOS............................40

5.2. EL NMERO PARA CALCULAR ...................................42

5.3. ESCRITURA NUMRICA ...........................................43

6. LA MEDIDA Y SUS MAGNITUDES.........................................45

7. APRENDIZAJES ESPERADOS..............................................47

8. COMPONENTE: PROCESOS MATEMTICOS (ESPECIO Y FORMASGEOMTRICAS)............................................................48

9. COMPONENTE: PROCESOS MATEMTICOS (LA MEDIDA Y SUS

MAGNITUDES: PESO, CAPACIDAD, TIEMPO Y LONGITUD) ...........49

10. COMPONENTES: PROCESOS MATEMTICOS(SERIE NUMRICA)......51

TRABAJO AUTOINSTRUCTIVO

BIBLIOGRAFA

4PRESENTACIN

El presente curso, denominado Didctica de la Matemtica para educacin Inicial I, el cual estdirigida a los docentes del nivel inicial en formacin, consta de dos captulos, sus contenidos sonproducto de la recopilacin de fuentes bibliogrficas significativas y experiencias propias de losdocentes responsables de la asignatura.

El aprendizaje del rea del rea de Matemtica, para nios o alumnos de todos los niveleseducativos del nuestro sistema educativo peruano, siempre ha sido visto como algo difcil, no sesabe a ciencia cierta cules pueden ser las razones, tal vez sea la metodologa utilizada por losdocentes desde el nivel inicial o los primeros grados de educacin primaria, o el uso inadecuado delos materiales educativos para estimular la inteligencia matemtica en los nios y nias.

Es indudable que los nios y nias hasta los seis aos de edad, se encuentran en la etapa de lasoperaciones concretas, y se hace necesario utilizar materiales concretos estructurados o noestructurados, que a su vez debe ser adecuados y pertinentes a su edad, lo cual nos hace ver quese debe tener en cuenta el lenguaje natural, cotidiano, comn que los utilizan en el hogar y en sucomunidad.

Por eso, en el nivel inicial y los primeros grados de educacin primaria la matemtica debetener un valor netamente utilitario y debe servir para desarrollar el pensamiento de los nios ynias y que no sea un temor de ir a la escuela porque el rea de matemtica es difcil.

El primer captulo contiene: los fundamentos del rea de matemtica, logros de aprendizajes,enfoque didctico de la matemtica en educacin inicial, metodologa de la estimulacin a lasmatemticas, proceso de formacin de las nociones matemticas en el nio.

El segundo captulo contiene: El aprendizaje de las matemticas en educacin inicial en laperspectiva Piagitana, cuyo autor fue el que ms aportes ha realizado a esta rea delconocimiento.

Finalmente en el tercer captulo, se considera lo siguiente: espacio y forma geomtrica,relaciones espaciales y geomtricas, formas y cuerpos geomtricos, tiempo, serie numrica, lamedida y sus magnitudes, aprendizajes esperados y los componentes de procesos matemticos.

El pensamiento matemtico tiene su origen en la capacidad de establecer relaciones entreobjetos y construir modelos de situaciones a partir de su accin, mediante procedimientosintuitivos o aproximaciones inductivas.

La lectura y el desarrollo del presente curso deben servir a los docentes del nivel inicial parasu formacin como docentes del nivel y el ejercicio permanente en la accin.

Los autores

5CAPTULO I

1. FUNDAMENTOS DEL REA DE MATEMTICA PARA EDUCACIN INICIAL

1.1. FUNDAMENTACIN.

Cuando las nias y los nios llegan a los 3 aos e ingresan a la Institucin

Educativa o programa no escolarizado de Educacin Inicial, ya han alcanzado un

desarrollo en su pensamiento matemtico, lo que les permite establecer relacionescon el mundo real y construir nuevos aprendizajes, y tienen ideas aproximadas de

algunos cuantificadores bsicos que han surgido de su propia experiencia lingstica. Y

es as como van acumulando un caudal de experiencias que mediante sucesivas

precisiones les permitir construir su futuro lenguaje matemtico.

El conocimiento matemtico es construido por las nias y los nios a partir de los

problemas a los que se enfrentan en su vida cotidiana, pero este conocimiento no es

espontneo, sino que es un producto cultural (como por ejemplo, el sistema de

numeracin).

Aprender matemtica es hacer matemtica. Ante una situacin problemtica, la

nia y el nio muestran asombro, elaboran supuestos, buscan estrategias para dar

respuestas a interrogantes, descubren diversas formas para resolver las cuestiones

planteadas, desarrollan actitudes de confianza y constancia en la bsqueda de

soluciones. El desarrollo de los conocimientos matemticos permite a la nia y el nio

realizar elaboraciones mentales para comprender el mundo sociocultural y natural que

les rodea, ubicarse y actuar en l, representarlo e interpretarlo. El entorno presenta

desafos para solucionar problemas, pero al mismo tiempo ofrece mltiples

oportunidades para desarrollar competencias (capacidades y actitudes) matemticas.

Significa que el pensamiento matemtico se va estructurando desde los primeros

aos de vida, en forma gradual y sistemtica. La nia y el nio observan y exploran su

entorno inmediato y los objetos que lo configuran, estableciendo relaciones entre ellos

al realizar actividades concretas en su vida cotidiana mediante la exploracin y

manipulacin de objetos de su entorno, participacin en juegos, elaboracin de

esquemas, grficos y dibujos.

Estas interacciones les permiten representar y evocar aspectos diferentes de la

realidad vivida, interiorizarlas en operaciones mentales y manifestarlas utilizando

smbolos como instrumentos de expresin, pensamiento y sntesis de las acciones que

6despliegan sobre la realidad. Luego se aproximarn a niveles de abstraccin, a partir de

la reflexin sobre lo realizado.

Las nias y los nios llevan al aula una considerable experiencia matemtica

como resultado de su socializacin primaria dentro de su contexto cultural y natural, y

poseen cierto nivel de desarrollo de sus estructuras cognitivas, a partir de las cuales

pueden seguir avanzando en la construccin de sus conocimientos matemticos; para

ello debern contar con el apoyo pedaggico de la docente, en funcin de las

necesidades particulares de cada nia y nio, a fin de permitirles desarrollar sus

potencialidades en forma ptima. A partir de las actividades elaboradas para la

matemtica van desarrollando y modificando sus esquemas de interpretacin de la

realidad, amplindolos, reorganizndolos y relacionando los nuevos saberes con sus

conocimientos previos.

La representacin matemtica hace evidente la necesidad que tienen las nias y

los nios de establecer y comunicar relaciones espaciales y representarlas en el plano,

identificar caractersticas de los objetos del entorno relacionndolos con figuras y

formas geomtricas, comunicar informacin cuantitativa correspondiente a situaciones

del entorno, resolver problemas relacionados con situaciones del cotidianas, reflexionar

sobre situaciones reales, producir, registrar y comunicar informacin cuantitativa

utilizando cuadros, esquemas y cdigos (lenguaje grfico) correspondientes a

situaciones reales y significativas, realizar mediciones en circunstancias cotidianas,

analizar la informacin pertinente, aplicar su conocimiento matemtico para

comprenderlas y emitir un juicio o tomar decisiones.

Por eso es necesario favorecer la utilizacin de conocimientos y procedimientos

matemticos de la cultura en el quehacer de las nias y los nios.

Hay seis tipos de actividades relacionados con el entorno que implican el uso de las

matemticas, y que estn presentes en todas las culturas:

- Contar, calcular (cuantificar el entorno).

- Orientarse en el espacio (localizar un lugar en relacin a otros).

- Medir (con mayor o menor precisin).

- Disear (dimensin esttica de toda cultura).

- Jugar (establecimiento de formas y reglas de inferencia).

- Explicar (conexin del razonamiento con la estructura lingstica).

La Educacin Inicial debe atender, desde su espacio y a travs del currculo, estos

requerimientos, vinculando su quehacer educativo con el ambiente en el que se

7desenvuelven la nia y el nio, teniendo en cuenta las demandas de la realidad y

reflexionando sobre las capacidades y actitudes que deben adquirir y desarrollar.

En el Diseo Curricular Nacional de la Educacin Bsica Regular (EBR) del nivel de

Educacin Inicial del MED se plantean competencias relacionadas al desarrollo de las

capacidades de razonamiento y demostracin, comunicacin matemtica y resolucin de

problemas, as como tambin en relacin con los siguientes componentes: nmero,

relaciones y funciones, geometra y medida.

1.2. LOGROS DE APRENDIZAJE (COMPETENCIAS)

1.2.1. COMPONENTE 1: NMERO, RELACIONES Y FUNCIONES

LOGRO DE APRENDIZAJE (competencia)

Establece relaciones entre personas y objetos de acuerdo a sus propiedades ensituaciones cotidianas, en forma autnoma y creativa.

CAPACIDADES Y ACTITUDES

3 AOS 4 AOS 5 AOS

Identifica objetos ysus caractersticaspreceptales: color,tamao, forma.

Identifica objetos y suscaractersticaspreceptales y funcionales:color, tamao, textura,forma y uso.

Identifica objetos y suscaractersticas preceptales yfuncionales: color, tamao, espesor,textura, forma, estructura y losutiliza de acuerdo a su funcin.

Relaciona objetos porsemejanzas ydiferencias teniendoen cuenta un atributo.

Relaciona objetos porsemejanzas y diferenciasteniendo en cuenta dosatributos y los explica.

Relaciona objetos por semejanzas ydiferencias teniendo en cuenta doso ms atributos y los explica.

Relaciona los objetosde una coleccinutilizandocuantificadores:muchos/pocos,ninguno, ms.

Relaciona los objetos deuna coleccin utilizandocuantificadores: muchospocos, uno ninguno,varios.

Relaciona los objetos de unacoleccin utilizando cuantificadores:muchos pocos, uno ninguno,varios ms que... menos que...

Agrupa objetosutilizando un atributo.

Agrupa objetos con 1 2atributos y argumenta lapertenencia y nopertenencia de un objeto auna coleccin.

Agrupa objetos utilizando diversosatributos y argumenta la pertenenciay no pertenencia de un objeto a unacoleccin.

8Relaciona objetos enfuncin decaractersticaspreceptales: msgrande, mspequeo, ms duro,ms blando.

Relaciona objetos enfuncin de caractersticaspreceptales: ms alto,ms bajo, ms duro, msblando, ms suave, msspero.

Relaciona objetos en funcin decaractersticas preceptales: msalto, ms bajo, ms duro, msblando, ms suave, ms spero,ms fro, ms caliente.

Relaciona coleccioneshasta de 5 objetos: tantoscomo, uno ms que yuno menos que.

Relaciona colecciones hasta de 10objetos: tantos como, uno msque y uno menos que.

LOGRO DE APRENDIZAJE (competencia)

Resuelve y comunica situaciones cotidianas que implican operaciones sencillasapreciando la utilidad de los nmeros en diferentes contextos.

CAPACIDADES Y ACTITUDES

3 AOS 4 AOS 5 AOS

Interpreta lascaractersticas yrelaciones encolecciones deobjetos.

Representagrficamentecolecciones de objetos ylas interpreta.

Representa grficamentecolecciones de objetos y lasinterpreta y argumenta.

Utiliza cdigos noconvencionalespara representaruna coleccin deobjetos.

Representagrficamente la cantidadde objetos de unacoleccin mediantecdigos convencionalesy no convencionales.

Representa grficamente lacantidad de objetos de unacoleccin mediante cdigosconvencionales y noconvencionales.

Reconoce cantidades deobjetos de una coleccinhasta el 5.

Codifica el nmero de objetos deuna coleccin hasta 9.

Realiza diversasacciones para

Organiza y ejecutadiversas acciones para

Planifica acciones para resolversituaciones problemticas y lascomprueba.

9resolver situacionesproblemticas.

resolver situacionesproblemticas.

Interpreta y crea seriesde objetos de acuerdo aun criterio, y lasargumenta.

Interpreta y crea series deobjetos de acuerdo a un criterio,y las argumenta.

Ordena objetos deuna coleccinutilizando losordinales: primero yltimo.

Ordene objetos de unacoleccin utilizando losordinales hasta el tercerlugar.

Ordena objetos de una coleccinutilizando los ordinales hasta elquinto lugar.

Resuelvesituacionesproblemticas queimplicanaplicacionessencillas: agregar.

Resuelve situacionesproblemticas queimplican aplicacionessencillas: agregar,reunir.

Resuelve situacionesproblemticas que implicanaplicaciones sencillas: agregar,reunir, quitar.

Resuelve situacionesproblemticas queimplican aplicacionessencillas: quitar,separar, prestar.

Resuelve situacionesproblemticas que implicanaplicaciones sencillas: quitar,separar, prestar, repartir.

1.2.2. COMPONENTE 2: GEOMETRA Y MEDIDA

LOGRO DE APRENDIZAJE (competencia)

Establece y comunica relaciones espaciales de ubicacin, direccin, distancia yposicin respecto a objetos, personas y lugares de su entorno. Valora la importancia deorientarse en el espacio.

CAPACIDADES Y ACTITUDES

3 AOS 4 AOS 5 AOS

Se ubican en elespacio identificandolas nociones: dentro,

Se ubica en el espacioidentificando las nociones:dentro, fuera, arriba, abajo,

Se ubica en el espacioidentificando las nociones:dentro, fuera, arriba, cerca de,lejos de, a un lado, al otro

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fuera, arriba, abajo,cerca de, lejos de.

cerca de, lejos de, a un lado,al otro lado, delante, atrs.

lado, delante, atrs, a laderecha, a la izquierda.

Interpreta en grficos lasrelaciones de los objetossegn su ubicacin en elespacio teniendo comoreferencia diversos puntos:arriba, abajo, delante, atrs,cerca de, lejos de, dentro de,fuera de, a un lado, al otrolado.

Interpreta en grficos lasrelaciones de los objetossegn su ubicacin en elespacio teniendo comoreferencia diversos puntos:arriba, abajo, delante, atrs,cerca de, lejos de, dentro de,fuera de, a un lado, al otrolado, a la derecha, a laizquierda.

Representa e interpretacdigos de desplazamiento ydescribe su direccionalidad:hacia delante, hacia atrs,hacia arriba, hacia abajo, aun lado y al otro lado.

Representa e interpretacdigos de desplazamiento ydescribe su direccionalidad:hacia delante, hacia atrs,hacia arriba, hacia abajo, a unlado y al otro lado, hacia laderecha, hacia la izquierda.

LOGRO DE APRENDIZAJE (competencia)

Reconoce, describe y representa formas y figuras geomtricas de su entorno yexperimenta creativamente con ellos.

CAPACIDADES Y ACTITUDES

3 AOS 4 AOS 5 AOS

Identifica las formas y lasfiguras geomtricasbsicas: cuadrado ycrculo, y las relacionescon objetos de suentorno.

Identifica las formas y lasfiguras geomtricas bsicas:cuadrado, rectngulo ycrculo; y las relaciona conobjeto de su entorno.

Identifica las formas y lasfiguras geomtricas bsicas:cuadrado, rectngulo,circulo, rombo; y lasrelaciona con objetos de suentorno.

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LOGRO DE APRENDIZAJE (competencia)

Realiza mediciones en situaciones cotidianas usando unidades de medida arbitrariaspropias de su contexto registrando y comunicando los resultados y apreciando lautilidad de la medicin en la vida cotidiana.

CAPACIDADES Y ACTITUDES

3 AOS 4 AOS 5 AOS

Calcula la longitud deobjetos de su entorno conunidades arbitrarias: mano,brazo, pie.

Calcula la longitud de objetosde su entorno con unidadesarbitrarias de su cuerpo yobjetos.

Estima la duracin deciertas actividades:mucho tiempo, pocotiempo, rpido, lento.

Estima la duracin deciertas actividades: muchotiempo, poco tiempo, lento,rpido y las relaciona conreferentes temporales: en elda, en la noche, a la horade.

Estima la duracin de ciertasactividades: mucho tiempo,poco tiempo, lento, rpido ylas relaciona con referentestemporales: en el da, en lanoche, a la hora de, da de lasemana.

1.3. ENFOQUE DIDCTICO DE LA MATEMTICA EN EDUCACIN INICIAL.

En los ltimos tiempos, han surgido investigaciones desde elcampo de la matemtica, las cuales sealan que los nios y las nias muchoantes de ingresar a cualquier contexto educativo (convencional o noconvencional), han construido ciertas nociones de matemtica en interaccincon su entorno y con los adultos que la utilizan. Este conocimiento de lavida diaria es necesario incorporarlo a los procesos de construccin de lamatemtica desde la Educacin Inicial como objeto presente en nuestrasociedad.

Durante muchos aos, la propuesta de trabajar matemtica enEducacin Inicial estuvo orientada por una concepcin que trataba dedesarrollar y ejercitar la nocin del nmero, presentndolo de uno en uno,solo y de acuerdocon elorden de la serie numrica (ejercitacin escrita contrazado correcto), acompaada por la idea de que los nios(as) nadasaban de los nmeros y que para aprenderlos era conveniente hacerlo

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desde el principio (1-2-3...).Esto trajo como consecuencia que el trabajodidctico se centrara slo en los aspectos lgicos del nmero comoprerrequisito indispensable para el trabajo numrico.

Para que los nios y nias descubran cmo funcionan los distintossistemas de notacin y puedan operar con ellos, deben utilizarlos en inversassituaciones, sin segmentaciones artificiales impuestas por el adulto.

Slo como ilustracin, pensemos en las diversas actividades que serealizan en la vida cotidiana donde podemos explorar las diferentesfunciones que cumple la matemtica. Ejemplo: los nios y nias utilizanlos nmeros para seleccionar los canales de televisin, lo observan en lasplacas de los carros, en los telfonos, en las monedas, y tambin ensituaciones vinculadas con los conceptos de medicin. Ejemplo. Yo midoms que o esto pesa como mil kilos. Ensayan capacidades conrecipientes, distinguen formas en el espacio, experimentan con los nmerosrecitando la serie numrica o contando los objetos que tienen a su alcance.

Segn G. Vergnaud, (1994) Las concepciones de los nios(as) sonmoldeadas por las situaciones que han encontrado. Esto nos indica que elaprendizaje se logra si estn inmersos en contextos plenos de sentidoy cuando los nios y nias desarrollan sus acciones para la resolucin de unasituacin dada.

Es por ello, que se hace necesario proponer a los nios y nias,situaciones didcticas contextualizadas en lo social, donde se tome en cuentasus experiencias previas, como punto de partida para planificar nuevosproblemas a plantear.

La integracin de los nuevos conocimientos a los ya existentes es unproceso muy complejo que requiere de mltiples y variadas situaciones deaprendizaje, tiempo y oportunidades para que los nios y nias pongan enjuego ciertas acciones: comparar, establecer relaciones, transformar,analizar, anticipar los resultados, el proceso a seguir, ensayar una posiblesolucin, razonar y justificar los resultados.

El descubrimiento, la exploracin, la prctica continua de procedimientos(acciones sistemticas, ordenadas y encaminadas hacia un fin) y lamediacin intencionada del adulto permitir a los nios(as) apropiarse de

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los aprendizajes matemticos. Se incluye por ello en el documento, losprocesos matemticos que debe abordar el/la docente en la EducacinInicial, en sus dos fases o nivelesmaternal y preescolar: espacio y formasgeomtricas, la mediday sus magnitudes: peso, capacidad, tiempo, longitud y laserie numrica.

1.4. METODOLOGA DE LA ESTIMULACION A LAS MATEMTICAS.

La nueva concepcin sobre desarrollo de la inteligencia ha tenido influenciasignificativa en la actual metodologa empleada para guiar el aprendizaje del nio ensus primeros aos de vida.

Las investigaciones y trabajos experimentales realizados han demostrado quelas estructuras bsicas de las nociones matemticas corresponden a estructurasfundamentales de la inteligencia.

Una de las investigaciones ms importantes es la del psiclogo Jean Piaget,porque abarca el sistema bsico del aprendizaje de los primeros aos y por lo tantoproporciona un slido fundamento al nuevo enfoque metodolgico.

Si bien Jean Piaget en su investigacin demuestra la invariabilidad de lasprimeras etapas y el orden de sucesin de las mismas, no trata de determinar la edadcronolgica en la que el nio alcanza los diferentes niveles de desarrollo mental.

El desarrollo intelectual se concibe como un proceso interior influenciado por lascaractersticas del ambiente, porque si bien el nio est dotado al nacer de aptitudes enpotencia, las condiciones exteriores favorecen o desfavorecen su evolucin.

Un medio fsico y humano con estmulos abundantes y variados promueve unaevolucin normal al provocar reacciones que permiten que las funciones intelectualesse desarrollen perfeccionen; en cambio un ambiente deficitario no slo afecta sino quedetiene el desarrollo.

Esto no significa que la accin exterior puede hacer o deshacer todo, el ambienteque rodea al nio influye siempre dentro de los lmites impuestos por los factoresgenticos.

En base a los resultados cientficos realizados, la nueva metodologa trata deque los procedimientos didcticos se apliquen respetando el carcter espontneo del

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desarrollo de su inteligencia y orientando su dinamismo natural hacia el desarrollo denociones bsicas que constituyen el punto de partida de su formacin matemtica.

Es fundamental el ajuste recproco de las estructuras naturales del pensamientocon los mtodos empleados para el aprendizaje de las matemticas

Toca al maestro comprobar en su tarea diaria la validez de estas informacionesproporcionando las condiciones y ayudas adecuadas para el logro de los objetivosdurante el proceso de aprestamiento de la matemtica.

1.5. PROCESO DE LA FORMACIN DE NOCIONES MATEMTICAS EN ELNIO.

El punto de partida de la formacin de las nociones matemticas est presenteen el periodo de desarrollo del pensamiento. El desarrollo espontneo de la inteligenciaparte de las acciones sensorio-motrices iniciales y llega a las operaciones concretaspor sistemas progresivos de transformacin.

LA NOCIN O CONCEPTO ES UN PRODUCTO DELA ACCIN.

Los nios no aprenden por meras observaciones, es la experiencia activa con losobjetos la que estimula e impulsa el ejercicio de sus capacidades mentales.

Cuando al realizar una actividad no se permite participar activamente al nio y sedeja solo en la condicin de observador se pierde en gran parte el valor estimulante dela accin porque el efecto de la percepcin visual es muy dbil para producir unareaccin interna.

Se da como ejemplo el resultado de la participacin de tres nios en laconstruccin de bloques.

Al primer nio se le hizo observar la construccin terminada de una casa, elsegundo observ el proceso de la construccin, al tercero se le pidi que realice laconstruccin de la casa de acuerdo al modelo pintado.

Al evaluar el efecto del estmulo externo se pidi a cada nio que recuerde elmodelo de la construccin y repita la actividad.

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El primer nio tuvo gran dificultad para recordar lo que vio. La evocacin delsegundo nio fue ms amplia por haber observado el proceso de la construccin, encambio el tercero no tuvo dificultad para volver a construir la casa de acuerdo almodelo.

EL DESARROLLO INTELECTUAL DEL NIO ESTA NTIMAMENTE LIGADO ASU EXPERIENCIA MOTORA Y SENSORIAL.

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CAPTULO II

1. EL APRENDIZAJE DE LA MATEMTICA INFANTIL EN LA PERSPECTIVAPIAGETANA

1.1. GENERALIDADES

Segn Piaget, el conocimiento se adquiere no por interiorizacin de un algodado y exterior, sino por un largo proceso de construccin desde dentro, quecomienza al nacer y contina a lo largo de lamadurez. Este punto de vista, llamado constructivismo, es evidentemente distintoal de los empiristas que sostienen que el conocimiento tiene su fuente fuera delnio y que ste lo adquiere al interiorizarlo mediante los sentidos y el lenguaje. APiaget podemos ubicarlo ms bien entre los racionalistas, aunque tomando ciertadistancia de ellos al insistir en que todo conocimiento, incluyendo la capacidad derazonar lgicamente, es construido por el individuo a medida que acta sobre losobjetos y con las personas e intenta sacar algn provecho de su experiencia.

Piaget fundamenta sus afirmaciones en numerosas observaciones hechastrabajando con nios; por ejemplo, muestra cmo la experiencia sensorial por ssola no capacita al nio menor de seis aos para entender la conservacin de lacantidad de lquido al cambiarlo de un recipiente a otro de distintas dimensiones.No es pues la informacin sensorial ni el lenguaje los que capacitan al nio parapercibir la conservacin del lquido; por el contrario, la atraccin perceptivageneralmente gana y nios menores de 6 o 7 aos creen que la cantidad neta dealgo cambia cuando su apariencia se modifica; es el razonamiento el que le hacesentir la necesidad lgica de que la cantidad de lquido se mantenga, y es laconsecuencia de la interaccin de sus estructuras mentales con el ambiente. Engeneral, para Piaget el desarrollo intelectual es un proceso dinmico dereestructuracin conocimiento, que comienza con una estructura o una forma depensar propia de un nivel, pasa por una situacin de conflicto y desequilibrio por

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efecto de algn cambio externo, contina con la resolucin del conflicto mediantesu propia actividad intelectual y llega a un estado de nuevo equilibrio, con unanueva forma de pensar y estructurar las cosas.

1.2. CONOCIMIENTO FSICO Y MATEMTICO

Para ubicarnos ms especficamente en torno al aprendizaje de la matemtica,consideramos importante detenernos en lo que en la corriente piagetana sedenomina conocimiento fsico y conocimiento matemtico:

El conocimiento fsico es un conocimiento sobre objetos observables en larealidad externa. La manipulacin del objeto es fundamental para desarrollareste tipo de conocimiento, pues su fuente est principalmente en el objeto.Cuando el nio percibe que un trozo de hielo es fro, o que las canicas ruedan,que las pelotas de jebe rebotan, que un pedazo de corcho flota en el agua, etc.,est adquiriendo conocimientos fsicos.

El conocimiento lgico-matemtico est constituido por relaciones que crea elsujeto e introduce en o entre los objetos. El conocimiento lgico-matemtico seinventa, se construye; su fuente est principalmente en el sujeto, en la maneracmo ste organiza la realidad. Su origen est en los actos que el sujeto realizacon los objetos y no en los objetos mismos. Los objetos slo son un medio quepermiten que ocurra la construccin. Esto, evidentemente, est en la mismalnea de concebir la matemtica, ante todo, como una actividad mental (escribirsmbolos en el papel es slo una ayuda). Cuando el nio juega con canicas yadvierte que la cantidad que tiene se mantiene independientemente del lugaren el que las guarde, cuando advierte que tiene ms canicas que su amigo,cuando agrupa sus canicas con algn criterio (las rojas, las verdes, las nuevas,etc.) est construyendo conocimientos lgico-matemticos. Es claro que paraque el nio haga este tipo de construcciones no es indispensable que losobjetos sean canicas y menos an que sean objetos que rueden. El nio estestableciendo relaciones lgico matemticas entre los objetos, estorganizando una realidad dada. Al respecto, consideramos muy ilustrativa unanota aclaratoria de las educadoras Constance Kamii y Rheta DeVries (1983, p.19, nota 4): La relacin ms elemental y la base para todas las relacioneslgico-matemticas ms complejas, es la que se establece entre dos objetos.Cuando, por ejemplo, el nio encuentra dos cucharas de distinto tamao,puede concebirlas como iguales, diferentes, ms grande que o dos. Estas

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relaciones no existen ni en una cuchara ni en la otra. Las relaciones las crealiteralmente el sujeto que pone en relacin los objetos, y si no los pusiera enrelacin, para l cada objeto permanecera separado y sin relacionar con elotro. Como las relaciones las crea el sujeto, no pueden ser juzgadas comocorrectas o equivocadas por verificacin emprica. As, pues, las doscucharas pueden ser consideradas como iguales, diferentes o dos, segnel punto de vista del sujeto.

En la misma obra citada, Kamii y DeVries explican que Piaget establececlaramente que la fuente del conocimiento fsico est principalmente en el objeto yla fuente del conocimiento lgico-matemtico est principalmente en el sujeto, peroque tambin sostiene que estas fuentes no son completamente diferentes, puesambas estn inseparablemente unidas en la realidad psicolgica de la experienciadel nio pequeo. Por ello, resulta esencial para comprender el procesoconstructivo la relacin entre experiencia fsica y experiencia lgico-matemtica.En ambas experiencias est presente la abstraccin, pero mientras que en laexperiencia fsica el nio obtiene informacin de los objetos mediante laabstraccin emprica, centrndose slo en alguno o algunos de los aspectos delobjeto, en la experiencia lgico-matemtica el conocimiento que adquiere el niose construye por abstraccin reflexiva, pues no resulta de los objetos en s, sino dela accin del nio sobre stos al introducir relaciones en o entre los objetos.

Cabe aclarar que el trmino accin tiene dos acepciones en la terminologapiagetana: uno en el sentido corriente de hacer algo al objeto o con el objeto yotro, como actividad mental, con la cual se centra en lo que es especfico de losobjetos, pero tambin los ubica en el marco de toda una red de relaciones, comoparte de una estructuracin general de diversas experiencias especficas. Por esto,son inseparables la experiencia fsica y la lgico-matemtica, pues no puede darsela primera sin una armazn lgico-matemtica, y en el caso de bebs y nios muypequeos, no puede haber experiencia lgico-matemtica sin objetos querelacionar. Los conocimientos que puede construir un nio a partir de un juguetesern el resultado de sus manipulaciones diversas y de las relaciones que lestablezca entre tal juguete y otros objetos que conoce; as, segn Piaget, laexperiencia fsica que acumule el nio le ayudar a estructurar su armazn lgico-matemtica y el funcionamiento de su inteligencia se estimular y desarrollar mscuanto ms variados e interesantes sean los problemas presentados por larealidad.

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Esta perspectiva presenta, pues, un serio reto a los docentes, ya que sernellos los que con sus conocimientos, con su creatividad, con su afectividad y supaciencia brinden al nio experiencias que favorezcan la construccin de suspropios conocimientos. Sin embargo, Piaget advierte, en su artculo La iniciacinmatemtica. La matemtica moderna y la psicologa del nio (Piaget, Choquet yDieudonn, 1978), que la primera precaucin que hay que tomar es la de noquemar etapas. Tal advertencia resulta completamente natural, pues comosabemos Piaget no slo considera que en el desarrollo intelectual hay periodos yetapas que conocer y respetar, sino tambin que existe un desarrollo espontneode las operaciones lgico-matemticas en el nio y el adolescente, que puede seralimentado, completado y prolongado mediante una enseanza adecuada, pero noolvidado, como ocurre con aquellos maestros que hablan de conjuntos a nios decinco aos, sin sospechar que ms tarde estos nios descubrirn por s mismoslas reuniones, las particiones, las intersecciones y las equivalencias porcorrespondencias, siempre que se les deje actuar libremente, en vez de llenarlesla cabeza con discursos incomprensibles (Piaget, Choquet y Dieudonn, 1978, p.183).

En relacin con lo mismo, en su trabajo Cmo forman los nios los conceptosmatemticos (Piaget, 1975, p. 108), sostiene: Es un gran error suponer que elnio adquiere la nocin de nmero y otros conceptos matemticos justamente porla enseanza. Por el contrario, hasta un interesante punto los descubre l mismoindependiente y espontneamente. Cuando los adultos tratan de imponerprematuramente a un chico los conceptos matemticos, su aprendizaje esmeramente verbal; la verdadera comprensin de los mismos slo llega con sucrecimiento mental. Sustenta esta afirmacin narrando por una parte cmo niosde 5 o 6 aos, aunque conozcan los nombres de los nmeros, porque tuvieron unaenseanza verbal de stos, todava no captan la idea esencial de nmero, que essu permanencia o conservacin en conjuntos de objetos, sin importar la forma enque stos estn dispuestos, y por otra parte, narrando cmo nios de 6 a 7 aosgeneralmente muestran que han formado espontneamente el concepto denmero, aunque no le hayan enseado todava a contar. Esto se verifica, segnPiaget, porque los nios advierten que dos conjuntos cuyos elementos puedenemparejarse sin que sobren ni falten en ninguno de ellos, son conjuntos que tienenel mismo nmero de elementos y ste se mantiene aunque los elementos de losconjuntos se ubiquen de diferentes formas.

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Lo dicho anteriormente no debe llevar a concluir que, segn Piaget, debemosdejar que el nio descubra l solo los conocimientos matemticos, sin intervencinde los maestros. Valoraba la docencia y prevea un replanteamiento de laenseanza de la matemtica en los niveles preescolar, primaria y secundaria,planteando que una organizacin razonable de las acciones del nio, en oposicina los discursos conjuntistas, podra servir de preparacin para una adecuadautilizacin de las funciones, de los conjuntos y de la matemtica cualitativa. Poneespecial nfasis en la organizacin conveniente de las acciones, tanto por laimportancia que stas tienen en su planteamiento constructivista de elaboracin deconocimientos, como porque es consciente de que hay demasiados ensayoseducativos contemporneos que incurren en la triste paradoja de pretenderensear las matemticas modernas con mtodos que, de hecho, son arcaicos, esdecir, esencialmente verbales y basados solamente en la transmisin ms que enla reinvencin o redescubrimiento por el alumno (Piaget, Choquet y Dieudonn,1978, p. 185).

Tener en cuenta todos estos criterios es fundamental en la tarea docente,pues se estar ayudando al nio a que aprenda matemtica, en la medida en quese le vaya brindando experiencias adecuadas que le permitan ir construyendoconocimientos lgico - matemticos. Evidentemente, cada nio considerando noslo su individualidad y sus caractersticas personales, sino la etapa de sudesarrollo intelectual en la que se encuentre tendr su forma de construir talesconocimientos. Al respecto, resulta particularmente esclarecedor el resumen quehacen Constance Kamii y Rheta DeVries en la pgina 30 de su ya citada obra(1983): El nio pequeo se centra principalmente en contenidos fsicos concretos,observables y, en particular, en el resultado de su accin. A medida que se vahaciendo mayor, se rompe el equilibrio entre los aspectos fsico y lgico-matemtico y este ltimo se va separando cada vez ms del contenido fsico. En laadolescencia y, finalmente, la madurez, el aspecto lgico matemtico puedehacerse completamente independiente del contenido fsico (como puede verse enla matemtica pura), mientras que el aspecto fsico depende cada vez ms deuna organizacin lgico matemtica (como puede verse en la fsica.1.3. ALGUNAS REFLEXIONES

Luego de revisar estos aportes de Piaget y de los investigadores de su entorno,cabe hacernos algunas preguntas vinculadas con el quehacer docente enmatemticas:

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Cuando un nio es obligado a memorizar y manejar una tcnica para sumarnmeros sin las suficientes experiencias previas que le permitan tantorelacionar el conteo con la adicin como entender la numeracin de posicin,est construyendo conocimientos lgico-matemticos?

Es frecuente escuchar a padres o maestros afirmaciones como la siguiente:Este nio ya sabe hacer bien las operaciones, pero cuando se le pone unproblema no sabe qu hacer. No ser esto el resultado de no haberestimulado lo suficiente su capacidad de relacionar, de organizar su realidad yde vincular lo que va aprendiendo con sus experiencias concretas? Sirecordamos que para Piaget la inteligencia es la capacidad de adaptarse asituaciones nuevas y que en la adaptacin hay que considerar la comprensinde la situacin y la invencin de una solucin basada en esa comprensin, esevidente que trabajar con problemas es parte esencial para el aprendizaje de lamatemtica y para el desarrollo de la inteligencia; sin embargo, podemos hacerun mal uso de ellos si no cuidamos su dificultad ni su oportunidad y peor an sipretendemos obligar al nio a seguir determinado camino para su solucin y amemorizar procedimientos. Creemos oportuno mencionar al respecto que engeneral lo interesante de un problema no acaba cuando se encuentra unasolucin de l. Una vez hallada una solucin, siempre es posible buscar otras,darse cuenta de los caminos equivalentes, pensar en modificaciones alproblema, formular conjeturas, plantear casos particulares interesantes yensayar generalizaciones.

Acaso no se est forzando al nio y engandose a s mismo el docente detercero o cuarto grado de primaria que exige a sus alumnos en una evaluacinde matemticas que enuncien las propiedades de la adicin? Decimosengandose a s mismo el docente, porque seguramente cree que aquellosnios que escribieron el enunciado tal como figura en su cuaderno o texto,saben ms matemtica que aquellos que no lo hicieron as, cuando en realidadlo ms probable es que slo estn revelando capacidad de memorizar y quizlo cual sera ms grave disposicin a responder teniendo como criterio lo quecree que satisfar al maestro.

Podemos citar muchos ejemplos en los que el docente, actuando de buenavoluntad, en lugar de favorecer a que el educando construya conocimientos lgico-matemticos, lo que hace es conducirlo a aceptar reglas y trucos sin el sustentode experiencias adecuadas. Lamentablemente esto se repite ao tras ao y llega a

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lo que podramos llamar a su mxima expresin en dos niveles: uno en loscursos que en muchos colegios se dan paralelos a los de matemticas, que ohirona se llaman razonamiento matemtico, y el otro en las academias depreparacin para los exmenes de ingreso a las universidades. Se llega, pues, a laaberracin de ensear razonamiento matemtico en tiempo rcord, haciendomemorizar procedimientos y frmulas, con el agravante que en los colegios sehace fuera de los cursos de matemtica. Las consecuencias las encontramosfcilmente en la universidad, pues los trucos memorizados sin la comprensin delos conceptos y un adecuado ejercicio de abstraccin reflexiva, no llegan a formarparte del conocimiento lgico-matemtico construido por el alumno, pronto sonolvidados y pasan sin haber aportado a enriquecer el periodo de las operacionesformales. As, es comprensible que muchos jvenes opten por estudiar carreras deletras, no porque les gusten las letras, sino porque quieren estar alejados de lasmatemticas.

1.4. PIAGET Y LAS ESTRUCTURAS MATEMTICAS

Pasemos ahora a comentar un poco el papel que juega la matemtica en losplanteamientos de Piaget; quien dice que la matemtica est muy presente en lateora, y no slo como parte de las observaciones y conclusiones respecto a losconceptos de nmero, volumen, rea, distancia, horizontalidad, espacio,probabilidad, etc. En su planteamiento del desarrollo intelectual, presentainteresantes ejemplos de aplicacin cualitativa de la matemtica en las cienciashumanas, pues considera las estructuras fundamentales de la matemtica que sonlas estructuras algebraicas, las topolgicas y las de orden como modelos deestructura cognoscitiva, sobre todo hacia la mitad y el final de la niez. Piaget, ensu artculo Las estructuras matemticas y las estructuras operatorias de lainteligencia (Piaget, Beth y Dieudonn, 1963, p. 7), sostiene que es del mayorinters comprobar que si se quiere analizar hasta sus races el desarrollopsicolgico de las operaciones aritmticas y geomtricas espontneas en el nio,y, sobre todo, las operaciones lgicas que constituyen sus necesarias condicionesprevias, se encuentra en todas las etapas, primero, una tendencia fundamental ala organizacin de totalidades o sistemas, fuera de los cuales los elementoscarecen de significado y aun de existencia, y en seguida, una distribucin de estossistemas de conjunto segn tres especies de propiedades que correspondenprecisamente a las de las estructuras algebraicas, las estructuras de orden y las

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estructuras topolgicas. Y es que segn l, en el terreno de la inteligencia el papelde las totalidades es constante, pues la inteligencia aparece esencialmente comouna coordinacin de las acciones que se organizan en esquemas que comportanciertas estructuras de totalidad; luego, con ayuda de la funcin simblica y enparticular de las imgenes mentales del lenguaje, las acciones se interiorizanprogresivamente y despus del llamado periodo preoperatorio, entre los 2 y los 7 u8 aos, se constituyen en operaciones propiamente dichas y as ofrecen lasestructuras de conjunto, caractersticas de la inteligencia.

Cabe mencionar que en la base de los modelos de Piaget de las estructuraselementales de la inteligencia est el criterio de reversibilidad como la leyfundamental de las composiciones propias de la inteligencia, presentndose sta,desde los esquemas sensoriomotrices, bajo dos formas complementarias eirreducibles: la inversin y la reciprocidad, Sera largo explicar y lo hara mejor unpsiclogo el significado de la reversibilidad y sus dos formas a las que estamoshaciendo alusin. Baste decir, ahora, en trminos muy generales, que lareversibilidad se refiere a la posibilidad de hacer algo que anule o compense unacierta accin previa, de modo que se tenga nuevamente una situacin similar a laque se tuvo antes; en cuanto a sus dos formas, que ambas estarn juntas a lolargo de todo el desarrollo, pero que slo llegarn a una sntesis en un sistemanico, cuando, al nivel de las operaciones formales, despus de los 11 o 12 aos,se constituya el grupo de las cuatro transformaciones interproposicionales; y encuanto a su vinculacin estrecha con el aprendizaje de la matemtica, quemientras no haya reversibilidad en el pensamiento, no pueden existir en el nionociones de conservacin, ni siquiera en los campos ms simples de laobservacin; por ejemplo, conservacin de la equivalencia entre dos conjuntoscuando slo a uno se vara la ubicacin de sus elementos y ya se pierde lacorrespondencia ptica, o conservacin de las longitudes de dos varillas, cuandouna se desplaza ligeramente respecto a la otra. Segn Piaget, las primerasestructuras representativas reversibles, que se van construyendo hacia los 7 u 8aos, llevan consigo, necesariamente, la elaboracin de las correspondientesnociones de conservacin.

Por ser de gran importancia en el planteamiento piagetano y por su naturalvinculacin con la matemtica, ahora nos detendremos ligeramente en lasestructuras matemticas, que Piaget considera que corresponden a estructuraselementales de la inteligencia.

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Tengamos en cuenta que las estructuras matemticas, en general, quedanestablecidas al definir una o varias relaciones entre elementos de un conjunto,independientemente de la naturaleza de stos, y al postular que tal o talesrelaciones satisfacen ciertas condiciones, que son los axiomas de la estructuraconsiderada.

1.5. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Son aquellas en las que las relaciones que se definen son leyes decomposicin; es decir, una manera de relacionar tres elementos del conjunto, demodo que uno de ellos queda determinado de manera nica en funcin de losotros dos. Una estructura algebraica muy importante es la estructura de grupo, quesi bien es cierto aparece como ente matemtico recin en el siglo XIX, segnPiaget, expresa algunos de los mecanismos ms caractersticos de la inteligencia.

Para comprender ms fcilmente esta estructura, veamos un ejemplofamiliar a todos nosotros: el conjunto de los nmeros fraccionarios, sin considerarel cero, en el que se define como ley de composicin la multiplicacin. Advertimosque en este conjunto:

Podemos tomar dos elementos cualesquiera y al multiplicarlos siempreobtendremos otro elemento del conjunto. Suele decirse que el conjunto escerrado con respecto a la operacin definida;

Existe un elemento del conjunto, la fraccin 1, que al multiplicarla por cualquierotra fraccin da como resultado la misma fraccin. Se dice que el conjuntoposee un elemento identidad;

Para todo elemento del conjunto siempre existe un elemento, tambin delconjunto, llamado su inverso, de modo que al multiplicarlos se obtiene elelemento 1, o sea el elemento identidad. Por ejemplo, para la fraccin 3/5 suinverso es la fraccin 5/3, pues al multiplicarlas se obtiene 1, y

Para multiplicar tres fracciones es indiferente multiplicar dos de ellas primero yluego el resultado con la tercera, que multiplicar la primera con el resultado demultiplicar la segunda con la tercera. Esta propiedad es conocida comoasociatividad.

En general, si en un conjunto cualquiera se define una ley de composicin, demodo que se cumpla:

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Que el conjunto sea cerrado respecto a tal ley; Que todo elemento tenga un correspondiente elemento inverso; Que exista un elemento identidad, y Que la ley de composicin sea asociativa, diremos que tal conjunto, con su ley

de composicin, tienen una estructura de grupo.

Para Piaget, Beth y Dieudonn (1963, p. 11), el conjunto de esquemas deaccin, en el cual se define la ley de composicin de coordinar esquemas, tieneuna estructura de grupo, pues:

La coordinacin de dos esquemas de accin constituye un nuevo esquemaque se aade a los anteriores;

Una coordinacin puede, a voluntad, realizarse o suprimirse, y, dicho mssimplemente, una accin inteligente puede desarrollarse en los dos sentidos;

El retorno al punto de partida permite volver a encontrar ste sin cambio, y Puede alcanzarse el mismo punto de llegada por diferentes caminos, sin que

dicho punto cambie, cualquiera que sea el camino elegido.

Debemos reconocer que desde el punto de vista del rigor matemtico estasafirmaciones no son suficientemente claras, pero Piaget estaba convencido de queel grupo es la traduccin simblica de algunos de estos caracteresfundamentales del acto de inteligencia: la posibilidad de una coordinacin de lasacciones (se est refiriendo a que el conjunto de los esquemas de accin escerrado respecto a la coordinacin); la posibilidad de los retornos (se estrefiriendo a la existencia del inverso de cada esquema de accin; es decir a lareversibilidad), y la posibilidad de los giros (se est refiriendo a la asociatividad)La estructura de grupo se da completa todava a partir de la adolescencia, con elgrupo de operaciones interproposicionales cuando se consideran no slo objetossino tambin hiptesis, pero las primeras operaciones lgicas relacionadas connmeros naturales, recta, medida, tiempo, etc., exigen tambin, para constituirse,ciertas estructuras de tipo algebraico, an no idnticas al grupo, pero con algunassemejanzas. Piaget define, entonces, las estructuras llamadas agrupamientos, queen parte son grupos y en parte son reticulados, pero en conjunto no son ni lo unoni lo otro. Define nueve agrupamientos elementales que describen la estructuracognoscitiva del subperiodo operacional concreto (entre 7 y 11 aos).

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Los agrupamientos:

Describen la organizacin de las operaciones lgicas propiamente dichas; estoes, de las clases y relaciones lgicas;

Son adecuadas para la organizacin de lo que Piaget llama operacionesinfralgicas (las vinculadas a la posicin, la proximidad, la relacin parte-todo,etc.);

Serviran tambin como modelos para las operaciones cognoscitivas relativas avalores y relaciones interpersonales.

1.6. ESTRUCTURAS DE ORDEN

Son estructuras de relaciones y no de operaciones. En stas la relacin se definepara dos elementos del conjunto, sin que esto signifique la determinacin unvocade uno de los elementos en funcin del otro. Las propiedades que debe cumplir talrelacin son la reflexividad, la anti simetra y la transitividad. Como ejemplostenemos al conjunto de nmeros naturales con la relacin menor o igual y alconjunto de subconjuntos de un conjunto con la relacin de inclusin. Unaestructura de orden a la que Piaget le presta mucha atencin es la de reticulado.Esta se caracteriza por la propiedad adicional segn la cual todo par de elementosdel conjunto tiene un supremo y un nfimo. Piaget encuentra tambin lareversibilidad en el reticulado, no en su forma de inversin, como en los grupos,sino en su forma de reciprocidad; es decir, una transformacin en base a lapermutacin del orden, sin negacin de las operaciones en juego.

1.7. ESTRUCTURAS TOPOLGICAS

stas tienen que ver con nuestra concepcin del espacio y dan unaformulacin matemtica abstracta a las nociones intuitivas de vecindad, de lmite yde continuidad. Desde el punto de vista topolgico son equivalentes una regincuadrada y una regin circular, y una aproximacin intuitiva a esta afirmacinmatemtica es que cualquiera de estas figuras puede obtenerse mediantetransformaciones continuas de la otra. Por eso en textos de divulgacin sobretopologa suele encontrarse la expresin la matemtica de la plastilina. Con lodicho ya podemos ver la vinculacin de la topologa con la geometra y entenderms fcilmente la importancia que le asign Piaget a estas estructuras al observar

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que el nio va aprendiendo a ubicarse en el espacio y adquiriendo criterios deinterior, de exterior, de curva cerrada, etc. Estas son parte de sus construccionesde nociones geomtricas, y Piaget advierte que van ocurriendo precisamente enorden inverso a cmo se formalizaron a lo largo de la historia.

1.8. COMENTARIOS FINALES

Para terminar, deseamos hacer algunas puntualizaciones relacionadas connuestro quehacer docente, y con la enseanza y el aprendizaje de la matemtica:

Ante los estudios y propuestas de Piaget en torno a los conocimientosmatemticos, y los significativos avances de esta disciplina, surgieronnaturalmente innovaciones en su enseanza. En la actualidad todava existenlas corrientes que podemos llamar ortodoxa y numrica, que ponen nfasis, laprimera en el trabajo detenido con conjuntos, clasificaciones y seriacionespara llegar al concepto de nmero, y la segunda en un trabajo menos detenidoen los conjuntos, que lleve ms rpidamente a identificar nmeros y a operarcon ellos. Particularmente, creemos que no se trata de alinearse con una de lascorrientes, sino de buscar creativamente alternativas en cada realidad concreta,teniendo en cuenta los estudios y advertencias que hace el mismo Piaget y sugrupo de investigadores y las experiencias previas de los nios. En estesentido, consideramos muy interesante el proyecto que actualmente se vienetrabajando en el Per, de articulacin de la educacin inicial con la educacinprimaria.

Los docentes tenemos el reto de mejorar la calidad de la educacinmatemtica en el Per, y al asumirlo, debemos ser ms respetuosos de losritmos, las iniciativas, los sentimientos, los conocimientos y experienciasprevias, las curiosidades y las diversas etapas del desarrollo intelectual de loseducandos. Sobre todo en los niveles correspondientes a periodos anteriores alde las operaciones formales o sea antes de la adolescencia debemos tenerespecial cuidado de no caer en una enseanza meramente verbal, puesmediante sta se obligar a aceptar conocimientos ya elaborados, creandobloqueos emocionales y fobias que se llevan a la universidad y en general avida adulta, con su consiguiente efecto multiplicador negativo.

Es esencial tener docentes bien formados, con bases slidas no slo en losaspectos pedaggico y psicolgico, sino tambin en el aspecto matemtico,

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pues slo as podrn orientar adecuadamente las iniciativas de los educandos ytener la capacidad y creatividad necesarias para brindar oportunidades deconstruccin de conocimientos fsicos y lgico matemticos a los nios. En latarea de formacin de docentes, es claro que tienen gran responsabilidad lasuniversidades, los institutos superiores pedaggicos y el Ministerio deEducacin con sus programas de capacitacin docente.

Es muy grande la responsabilidad que tenemos los docentes de formar a losjvenes, a los ciudadanos y a los profesionales del siglo XXI, que estnviviendo ya la era del conocimiento, de la informacin, de la competencia y delos avances tecnolgicos. Tenemos que cambiar de actitudes, revisar nuestroejercicio docente y educar poniendo ms nfasis que nunca en desarrollar losconocimientos lgico-matemticos y con ellos las capacidades de observar, derelacionar, de organizar la informacin y de crear nuevos conocimientos yalternativas, ms all de los paradigmas imperantes en nuestra sociedad.Evidentemente, conocer ms los estudios de Piaget y de sus investigadores,as como las crticas a sus conclusiones, sern de gran utilidad en esta opcin.

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CAPTULO III

1. ESPACIO Y FORMA GEOMTRICA

El nio y la nia, desde los primeros aos de vida experimentan con laforma de los objetos y las personas (juguetes, utensilios, rostros, otros), yvan construyendo progresivamente las relaciones espaciales entre estos, atravs de sus acciones. A partir de las primeras construcciones, logranestructurar paulatinamente el mundo que los rodeaen una organizacin mental orepresentada.

No slo las experiencias que los nios y nias viven en formaespontnea les permiten adquirir conocimientos acerca de su entorno y suorganizacin espacial, es necesario que los adultos les planteen problemassencillos que los/las lleven a explorar los distintos espacios y analizar losresultados de dicha exploracin.

Para favorecer la apropiacin del conocimiento espacial as como de lasformas geomtricas, es preciso considerar los elementos del entorno comoun punto de referencia externo a la persona. Ejemplo: realizar caminatas porel barrio, por calles cercanas al centro educativo, a una plaza y utilizar lospuntos de referencia (doblar a la derecha, comentar Jos est mscerca que Ral, El perro est al lado del rbol..., otros.

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El tratamiento de las relaciones espaciales involucra las relaciones:

Con el objeto (ejemplo: en sus manos, arriba de m cabeza. Entre los objetos: (ubicacin y posicin en el espacio desde las

relaciones entre los objetos. En los desplazamientos.

Estas relaciones espaciales nos permiten familiarizarnos con nuestroespacio vital, dado que a travs de ellas conocemos y comprendemos el mundotridimensional, las distintas formas y sus relaciones, as como las expresionesespaciales de nuestra cultura.

El/la docente debeproponer a los/las nios(as),situacionesdidcticasde carcter ldico que generen conflictos cognitivos superables, quegaranticen la motivacin del nio/a, y la construccin de saberes. Esto implicaque cada situacin debe tener una intencionalidad pedaggica. Ejemplo:Introducir retos, que estimulen a los nios y nias arealizar desplazamientoscomplejos y creativos: Distribuir cuerdas largas y cortas en diferenteslugares (aula, patio, cancha, otros), proponer a los nios y nias queobserven las cuerdas y decirles miren como puse las cuerdas cmopodran pasarlas?. Colocar obstculos y presentar nuevos retos donde sepuedan utilizar diferentes posiciones (cuerdas en zigzag, curvas, sinuosas) ydirecciones para desplazarse (corriendo, saltando, reptando, otras).

2. RELACIONES ESPACIALES Y GEOMTRICAS:

El abordaje de l o s conocimientos espaciales deber realizarsemediante el planteo de situaciones problemticas, concretas e intencionales,que le permitan al nio y a la nia construir nuevos conocimientos espacialesy geomtricos. Esto implica, por parte del docente, ofrecer a los nios unapropuesta didctica centrada en el juego y actividades ldicas variadas,donde se incluyan acciones tales como: construir, anticipar, observar,

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representar, describir, interpretar y comunicar oralmente las posiciones ydesplazamientos de los objetos y de las personas, as como el reconocimientode los atributos en cuerpos y figuras geomtrica. Ejemplos:

Orientarse en el espacio con relacin a los objetos y personas (adentro-afuera, arriba-abajo, adelante-atrs, a un lado-al otro lado, otros):

Distribuir varios aros en el piso o cualquier otro objeto. Hacerpreguntas cmo podran avanzar pasando dentro o afuera de losaros?

Brindar la oportunidad al nio y a la nia de tomar sus propiasdecisiones y buscar la forma de resolver el problema a travs de supropia accin.

Variar la situacin didctica plantendole a los nios y nias nuevosdesafos cognitivos. Ejemplo: cmo haremos para estarms cerca unode otros al rededor de los aros?, De qu manera podemos colocarnospara acercarnos ms?.

Permitir que todos los jugadoresparticipen activamente, proponiendoideas y buscando soluciones a la situacin planteada.

2.1. DESPLAZAMIENTOS:

Ejemplo:

Distribuir cuerdas largas y cortas en diferentes lugaresdel espaciofsico (aula, patio, cancha deportiva, otros)

Proponerle a los nios(as) que observen las cuerdas y decirles: mirencomo puse las cuerdas, cmo podran pasarlas? Regularizar losobstculos y presentar nuevos retos donde puedan utilizar diferentesposiciones y direcciones para desplazarse (corriendo, saltando,reptando, otros)

Establecer las reglas del juego y plantear las consignas de acuerdo a lasituacin seleccionada.

Variacin de la propuesta inicial. Ejemplo: colocar las cuerdas u otromaterial, formando lneas: quebradas, en forma de zigzag, curvas,otras.

Representar grficamente en el plano bidimensional los desplazamientosrealizados.

2.2. FORMAS

Juego: Formas entre dos cuerpos Presentar el juego y formar los grupos.

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Incentivar a los nios y nias a que construyan o adopten unaforma con su cuerpo.

Variante: construir formas entre dos cuerpos, haciendo puentesgrandes, puentes pequeos (un grupo de nios o nias)

Otro grupo, recorren los puentes construidos, ensayando y explorandodiferentes soluciones.

Pedir a los nios y nias, que describan lo que hicieron, cmo hicieronpara.....?

2.3. LAS ESTATUAS

Juego: Realizar una estatua igual a la del otro grupo. Se forman dos grupos con tres integrantes cada uno. Dentro de cada grupo uno hace de escultor, otro de estatua y el otro

de observador. El escultor del grupo A le dicta al escultor del grupo B las

posiciones de la estatua, con posiciones corporales variadas, sinque el grupo B lo vea.

El observador del grupo A le dicta al escultor del grupo B lasposiciones de la estatua a fin de que ste logre armar una igual.El escultor del grupo puede realizar preguntas. Ejemplo, cuando ledicen: coloca el brazo arriba, puede preguntar cul brazo?. Al finalizarse comparan las estatuas y se sacan conclusiones.

3. FORMAS Y CUERPOS GEOMTRICOS:

Hoy en da el trabajo sistemtico de la enseanza y aprendizaje de lageometra (figuras cuerpos geomtricos) en Educacin Inicial, incluye tantolas relaciones espaciales, como la identificacin de los atributos de lasformas, figuras y cuerpos geomtricos: tamao, grosor, otros.

Anteriormente se observaba en las aulas de preescolar, que el/ladocente hacia nfasis en el reconocimiento de las formas, separadas delcontexto espacial. Ejemplo: las actividades para describir e identificar lasformas consistan en recortar, pintar y rellenar un cuadrado dibujado opresentado por el adulto. La enseanza de las figuras y de las formasgeomtricas se hacan en forma separada casi siempre relacionndolascon el color, ejemplo: primero el cuadrado (rojo, amarillo o azul), luego elcrculo... (En secuencias).

El objetivo de trabajar los conocimientos espaciales y las formasgeomtricas en Educacin Inicial, implica ampliar el marco de experiencias

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que los nios y nias han construido en su entorno social y familiar.

Es importante que el/la docente y otros adultos indaguen sobre lasexperiencias que han construido los nios y nias previamente, para ampliarsus conocimientos en direccin de un trabajo pedaggico intencional que incluyaacciones como: construir, anticipar situaciones, observar, representar,describir e identificar progresivamente las figuras o cuerpos geomtricos,focalizando la exploracin del objeto en el espacio concreto.

Organizar situaciones pedaggicas como: plegar, armar y desarmarformas, brindan la oportunidad de analizar las transformaciones de losobjetos.

Los nios y nias, en sus experiencias cotidianas pueden modificar ycambiar las formas de los objetos, ejemplo: estirar y encoger elsticos,doblar, desdoblar y plegar papeles, enrollar, estirar y encoger alambresmoldeables, otros.

En sntesis, la construccin de los aprendizajes de las formasgeomtricas en los nios(as) de Educacin Inicial, incluye tanto lasrelaciones espaciales como el reconocimiento de los atributos de los cuerposgeomtricos y figuras. Por ejemplo: al presentarle a los nios/as un conjuntode figuras y formas geomtricas: cuadrado, rectngulos, tringulos, cilindro,crculos, rombos, de diferente color, tamao, grosor, textura; pedirle quelas identifiquen, nombren, comparen entre s y representen en el planobidimensional y tridimensional (dibujos y construcciones)

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La manipulacin de los objetos de la vida cotidiana con distintasformas, ejemplo: galletas, platos, pulseras, tubos, cajas, pelotas, aros,otros, son materiales que ayudan a los nios y nias a descubrir lascaractersticas de los objetos al compararlos y establecer relaciones desemejanzas y diferencias entre ellos.

4. EL TIEMPO:

La organizacin del tiempo y del espacio lo construye el nio y la niaen interaccin con situaciones de la vida cotidiana e implica laelaboracin de un sistema de relaciones (secuencia temporal).

El nio y la nia toman conciencia de la dimensin temporal, engran parte, gracias a sus movimientos corporales y actividades diarias:gateando, caminando, golpeando, dibujando. Cada gesto o movimiento tieneun principio y un final: un antes, un durante y un despus (secuenciatemporal). La sucesin de acciones y la velocidad con las que las realiza,sern puntos de referencia que favorecern el proceso de organizacintemporal, es decir, la adquisicin de las nociones antes, durante y despus.

As mismo, la percepcin de la duracin del tiempo: apreciacincuantitativa del tiempo transcurrido entre unos lmites (principio y final),permite comparar:

a) Estimaciones del tiempo sobre la base de referencias externas,ejemplo: comienzo y final de una cancin.

b) Apreciacin de velocidades, de aceleracin del propio cuerpo y de losobjetos.Ejemplo: practicar distintos tiempos cambiando las velocidades de lasmarchas, los ritmos, las canciones, los movimientos, las palabras.

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La clasificacin: Es un proceso que permite organizar la realidadcircundante, ordenar los objetos segn sus diferencias y semejanzas, ypor lo tanto reconocerlas como similares aunque todas sus propiedadesno sean idnticas.

El proceso de clasificacin comienza a darse desde las primerasdiferenciaciones que hace el/la beb de los objetos. Alrededor del ao yaidentifica las cosas que sirven para comer, las que sirven para vestirse oson para jugar; progresivamente va desarrollando acciones mentales paraintroducir otras relaciones entre los objetos, situaciones y personas(abstraccin reflexiva).

El aspecto cualitativo de la clasificacin, est basado en relaciones desemejanzas y diferencias y se refiere a los atributos de los objetos queconsideramos para agruparlos; incluye tambin el establecimiento derelaciones de pertenencia y de inclusin, en funcin del criterio elegido.

Los atributos: Se relacionan con el color, la forma, el grosor, latextura, el material, el uso, otros. A partir de ellos se pueden clasificar oagrupar los objetos.

Los nios y nias han de descubrir que un objeto tiene variosatributos. Ejemplo: una coleccin (grupo de objetos) formada por laclase de los tringulos o cuadrados, pueden presentar varios atributos,adems de la forma, pueden ser grandes o pequeos, delgados o gruesos opresentar varios colores (negro, azul, verde, rojo).

Lo anteriormente expuesto, implica que el material o universo que sele ofrezca a los nios(as) debe estar bien definido; es decir que loselementos deben presentar diferencias en la forma, color, tamao, grosor,textura, olor, peso, sabor, para que los nios/as progresivamente descubranlas propiedades que lo caracterizan.

A partir del proceso de comparacin, el nio y la nia irnestableciendo relaciones de similitud ode diferencia cualitativa que lo llevarn

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a clasificar o seriar los elementos. La informacin no procede de los objetos,sino de las acciones que realizan con ellos.

El/la docente deber plantear situaciones de aprendizaje que lepermitan a nios y nias elegir por si mismos los criterios clasificatorios, lasrelaciones cuantitativas entre los elementos y las diferencias que losdistinguen de una coleccin con los de otra (reconocer cuando un elemento nopertenezca a esa coleccin); y las relaciones de similitud entre lasagrupaciones para establecer una agrupacin o coleccin ms amplia. El nioo la nia, es quien decidir cmo va a realizar las agrupaciones.

Es aconsejable que las consignas,situaciones y materiales didcticosque se utilicen para plantear cualquier problema, tengan una intencinpedaggica, vinculada con las experiencias previas de los nios/as y con losaprendizajes esperados y planificados por el/la docente.

5. SERIE NUMRICA

La serie numrica oral y la accin de contar, son herramientas muyvaliosas tanto para evaluar cantidades de objetos, como para resolver losprimeros problemas aditivos. Es por ello, que sera conveniente incluir estaactividad en la Educacin Inicial.

El recitado de los nmeros es uno de los primeros aprendizajes de losprocesos matemticos; se consider como un aprendizaje memorstico y depoca importancia, sin embargo constituye una tarea compleja y valiosapara la adquisicin de la nocin de nmero y aprendizaje posterior de losmismos.

Existe cierta lgica en algunos errores que cometen los nios y niasal decir la serie o al contar. Ejemplo: hemos escuchado muchas veces alos nios(as) decir en voz alta: uno, dos, tres, cinco, ocho, nueve, seis, diez;cuando juegan al escondite, o dicen los aos que tienen, o cuando realizancualquier otra actividad de conteo oral.

Este tipo de recitado nos hace pensar que los nios(as) nada saben delos nmeros, lo cual no es cierto, porque han aprendido que al decir laserie numrica no dicen otras cosas ms que el nombre de losnmeros. Se tratar entonces de favorecer el recitado de los nmeros, ya

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que, lejos de ser una actividad mecnica y despojada de sentido para elnio(a), le ofrece datos sobre la organizacin de stos. Adems, los primerosconocimientos numricos servirn tanto para comparar nmeros como paracalcular.

El hecho de contar en forma correcta no es siempre garanta decorrespondencias cuantitativas. La accin de contar implica algo ms queel recitado de la serie numrica; involucra, tambin un procedimiento decorrespondencia trmino a trmino entre el conjunto de los nmeros y delos objetos que se deben contar; ejemplo: Mara, nia de cuatro aos,agrupa varios objetos (tazas plsticas) y luego realiza el conteo, sealandocon el dedo cada uno de los objetos, correspondiendo con el nmero que vadiciendo.

La serie de los nmeros naturales la construye el/la nio/a poco apoco, creando y coordinando relaciones de correspondencia, de ordenacin,de cuantificacin, de numeracin, de relacin nmero-cantidad y cifra-cantidad.

Podemos decir que el nio o la nia construye el concepto de nmero naturala partir de los conocimientos previos que proporciona el medio en que vive ycoordinando las actividades sistemticas de aprendizaje que le brinda elcontexto educativo.

El/la docente ofrecer oportunidades a los nios y nias de: Ampliar elconteo de la serie numrica oral conocida. Usar adecuadamente la sucesinoral en las situaciones de enumeracin de objetos, es decir, que el nmero

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dicho corresponda con el objeto contado: Detenerse ante un nmero dado. Continuar la sucesin partiendo de un nmero diferente de uno. Reconocer el sucesor o antecesor de un nmero. Uso de relaciones entre los nmeros: estar entre, uno ms que, uno

menos que.

En conclusin, se puede decir que un nio/a sabe contar si utilizaprocedimientos tales como: Asigna a cada uno de los objetos a contaruna palabra y slo una, que es el nombre de un nmero. Estas palabras(nombre de los nmeros) deben pronunciarse en un orden fijo, siempreigual, es decir respetando el orden de la serie numrica. Reconoce que elltimo nmero nombrado de la serie utilizada durante el conteo corresponde ala cantidad total de objetos. El orden en el cual cuenta los elementos deuna coleccin no afecta el resultado del conteo.

Consigna:Cmo podemos saber cuntos objetos hay?

Juego: La pesca de animalesObjetivo: Tratar de pescar la mayor cantidad posible de animales.Materiales:

Siluetas de animales con imanes. Caas de pescar con broche metlico en la punta. Una bandeja.

Desarrollo: Selecciona el grupo de nio(a), para realizar el juego. Todos los jugadores empiezan a jugar al mismo

tiempo.Consigna: Tienen que pescartodos los animales posibles, eljuego termina cuando en la bandeja no hay ms siluetas; seanota cuantas siluetas saca cada nio(a).Variante: Darle un puntaje a cada animal. Ejemplo:

La tortuga: 3 puntos.

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Los peces: 2 puntos. Luego se suma el puntaje obtenido (individual y

colectivo). Otros....

Gana el equipo con mayor puntaje.

Experiencia de aula encuanto a las relaciones cuantitativas

Edad de los nios y nias: 4, 5 y 6 aos. Centro Educativo: Santa Elena

Docente: Coloca una cantidad de objetos sobre una mesa,(pajaritos de madera) y le plantea a los nios y nias, formarcolecciones con el material.Mary Carmen: selecciona tres pajaritos y los agrupa (3)Nicole: toma dos, (2) y Jacobo forma una de tres elementos.Docente: Qu les parece, si observamos todos los objetosque ustedes han reunido para saber quin tiene ms pajaritos?Andrs: yo tengo ms y cuenta los elementos: 1, 2, 3, 4, y por ltimodice: cuatro.Docente: Quines tienen igual cantidad que la de Andrs?Cmo lo podemos averiguar?.Jacobo: Propone, utilizar el conteo para determinar lascantidades, luego comienza a contar: 1, 2, 3, yo tengo tres (3)pajaritos, Nicole, tiene dos, (2) Mary Carmen tres (3) y Andrscuatro (4).Docente: Quines tienen la misma cantidad de pajaritos?Andrs: Jacobo y Mary tienen lo mismo (3) y Nicole, dos (2) yotengo ms que ellos.Docente: Por qu creen ustedes que Andrs tiene ms pajaritos?Mary Carmen: Porque tiene cuatro, yo tengo tres y Nicoletres.Docente: Cuntos te faltan Mary Carmen, para tener la mismacantidad que Andrs?.Mary Carmen: No responde y vuelve a contar.Andrs: Le falta uno.Andrs: Porque yo tengo cuatro, uno ms que ella.Mary Carmen: Yo tengo lo mismo que Jacobo, tres y tres.Jacobo: S, tengo lo mismo que Mary.Nicole: Se mantiene callada, y la docente pregunta quinestienen menos cantidad de pajaritos? Andrs responde: Nicole,

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tiene ms poquito.Docente: Nicole, qu nos puedes decir de lo que hemos hechohasta ahora?Nicole, responde: contar. Jacobo dice: s i , tiene ms poquitodos.

5.1.SSERIE DE NMEROS CONSECUTIVOS

Para obtener en la serie de nmeros consecutivos, la nocin deorden y de sucesin, se han de proponer actividades que favorezcan enlos nios(as) la idea de la formacin del siguiente por adicin de la unidad; yel reconocimiento del sucesor o antecesor de un nmero dentro de ungrupo de objetos.Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

De esta misma actividad se pueden establecer niveles sucesivos dedificultad. Ejemplo: podemos tomar un nmero de objetos al azar y luegoplantearle a los nios(as) que busquen el anterior y luego el posterior.

Anterior posteriorEjemplo 3: a partir de un nmero diferente de uno.

Comienza por 2

Comenzando por el mayor

Cuantificacin:

En la vida cotidiana, el nio y la nia utilizan muy pronto un vocabulariorelacionado con la cantidad: todo, nada, algunos... y tambin con las parejas decontraste: muchos-poco,ms-menos.Ejemplo: dame muchos caramelos, dameun poquito de agua, esto pesa mucho, esta cuerda es ms larga que laotra.... Todos estos trminos se utilizan para comparar.

Los nmeros sirven para comparar cantidades desde el punto de vista

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cuantitativo utilizando: Relaciones de igualdad: tantos como. Relaciones de desigualdad: ms que, menos que, mayor que,

menor que.Es importante que en el ambiente de aprendizaje se planifiquen

situaciones didcticas vinculadas con las relaciones de igualdad y las dedesigualdad, comenzando por ejemplo: con las caractersticas personalesde los nios(as) (tamao, color, nmero de calzado, largo del cabello,otros); y con los materiales del aula o espacio comunitario.

Las actividades de la rutina diariapueden ser aprovechables en lamedida que se presenten a los/las nios(as) en forma de problemavinculadas con la serie numrica. Se deben presentar mltiplesexperiencias, que permitan resolver diferentes tipos de problemas,oportunidad de construir colecciones, actuar sobre las mismas, compararcantidades, situaciones en las cuales puedan acceder a losconocimientos. Se trata de proponer actividades en la que se utilicenlos nmeros en diferentes contextos. Ejemplo: construir coleccionescompuestas por un nmero determinado de objetos, comparar lascantidades, establecer las relaciones de: tantos como (igualdad) yrelaciones de desigualdad ms que, menos que.

Igual que

Ms que

5.2. EL NMERO PARA CALCULAR

Esta funcin implica comprender que una cantidad puede resultar de

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la composicin de varias cantidades; y que se puede operar sobre losnmeros y objetos para prever u obtener un resultado.

Por ejemplo: Luisa docente de un grupo de nios y nias de 5 aos, lesinforma que en el espacio para construir y armar tienen 4 carritos; peroque hoy la mam de Valentina trajo 2 ms. Les plantea ahoracuntos carritos tenemos?.

La situacin planteada tiene una intencin pedaggica: transformacinde la cardinalidad, producto de reunir los cardinales de ambos conjuntos (4 y 2)se transforman en (6). Al juntar los dos conjuntos estamos calculando(operaciones aditivas). Tambin podemos quitar, sacar cardinales de distintosconjuntos para producir transformaciones. Ejemplo:

5.3.EESCRITURA NUMRICA

La escritura de los nmeros entra en la vida de los nios y las nias atravs de diversos contextos sociales; lo observamos en los nmeros delos telfonos, en los precios de las chucheras, juguetes, productoscomerciales, nmeros de las casas y apartamentos, edad,otros; con el cuallos/las nios(as) tienen reiteradas oportunidades de interaccionar antes deingresar al Centro de Educacin Inicial.

Por ejemplo: Judith, docente de un grupo de nios de 3, 4 y 5 aosdel Centro de Educacin Inicial La Capilla, les propone realizar un juego:Derribar Objetos. Antes de iniciar el juego los nios y nias determinan ladistancia de la lnea de juego, utilizando los pies y/o una cinta mtrica paramedir. Van anotando en una hoja la cantidad de objetos derribados (bolos opines).

Los nios y nias realizaron el registro de la siguiente forma:

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En otro ejemplo realizado en el mismo centro educativo, la maestrapropone a un grupo de nios y nias de cuatro, cinco y seis aos,registrar el resultado de la suma (adicin) de dos colecciones: una formadapor tres pajaritos de madera y la otra por dos pajaritos. (5 pajaritos).

Como situacin previa al registro de cantidades, los nios y nias,formaron agrupaciones de objetos, utilizando como procedimiento el conteo delos elementos, las relaciones de cuantificacin y de comparacin: ms que,menos que, igual que, ejemplo, Andrs dice: tengo ms pajaritos queNicole, ella tiene dos y yo tengo cuatro, Jacobo y Mary, tienen lo mismo,tres.

Los nios y nias realizaron el registro de la siguiente forma:

La forma utilizada por los nios y nias para registrar las cantidadesfue diferente. Lo cual demuestra diferentes niveles de construccin alregistrar las cantidades: palitos, nmeros, letras.

Martn Huges (1986) investig en nios y nias de 3 a 7 aos la

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posibilidad de representar una cantidad determinada entre 1 y 9. Losresultados obtenidos le permitieron agrupar en cuatro grandes categoras:

a) Idiosincrsicas

El nio(a) al representar no tiene en cuenta ni el tipo ni la cantidad de objetospresentados. Realiza una representacin grfica que no tiene relacincon la situacin planteada.

b) Pictogrficas

El nio(a) representa tanto los objetos presentados como la cantidad delos mismos.

c) Icnicas

El nio(a) representa la cantidad de objetos mediante smbolos que no separecen al objeto presentado.Los registros realizados por los nios y nias del Santa Catalinaponen en evidencia este tipo de construccin (representacin de unacoleccin de cinco pajaritos). Mary registra la cantidad mediantecrucecitas (5crucecitas).

Nicole y Andrs utilizan palitos.

d) Simblicas

El nio representa la cantidad de objetos mediante nmeros. Si analizamoslas producciones de Jacobo y Eimi, expuesta anteriormente, podramosdecir que Jacobo, aunque reconoce la cantidad de elementospresentados y utiliza los nmeros convencionales para representarlos,todava no reconoce que el primer nmero que utiliz (5) incluye a todoslos dems.

Jacobo comienza con el nmero 5 y luego escribe 4321. El registro quedade la siguiente manera (5,4,3,2,1), Jacobo y Eimi utilizan la formaconvencional para representar cantidades. Eimi se encuentra en un nivel deconstruccin mayor que Jacobo.

6. LA MEDIDA Y SUS MAGNITUDES

La operacin de medir se basa siempre en una comparacin de doscantidades de una misma magnitud: longitud, peso, tiempo, capacidad. El

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acto de medir siempre est inmerso en una situacin que requiereanalizar la conveniencia de utilizar una unidad de medicin: E l litro, elkilogramo, el metro, la hora. A diario hacemos uso de la medida paracuantificar las situaciones de la realidad. No todos los elementos secuantifican de la misma manera, en algunos casos, medimos y en otroscontamos. Hay situaciones de la vida cotidiana que, al no poder sercontadas, necesitan para su cuantificacin del uso de unidades especficasque permitan medirlas.

Por ejemplo: calcular la cantidad de lquido que contiene una jarra ydecir: tiene la capacidad para un litro de leche. Faltan 20 minutospara llegar al trabajo. Calcular la altura de una mesa y expresar:tiene 20 centmetros de alto y 15 centmetros de ancho.

En la cotidianidad son muchas las situaciones en las cuales no sehace la medicin mediante el uso de instrumentos que impliquen precisin, sinode aproximaciones, estimadas ejemplo: el edificio est como a trescuadras.

El actual enfoque de la matemtica, propone un trabajo intencional de lamedida, desde la Educacin Inicial, ya que el nio y la nia, desde losprimeros aos de vida, se conectan con situaciones donde se necesitamedir. Por ejemplo:

Al acompaar a la familia en las compras diarias, reconocen que lasbalanzas sirven para pesar diferentes alimentos: carne, fruta, queso,entre otros.

Ven cuando el adulto organiza su vida en base al tiempo a partirdel calendario, reloj, entre otros.

Al cocinar con la mam, vivencia que para realizar una torta esnecesario calcular la cantidad de harina, leche y mantequilla, entreotros.

Tradicionalmente la medida no se incluy en forma intencional como uncontenido a ser abordado en Educacin Inicial. Se trabajabaasistemticamente nociones relacionadas con distancia, longitud y peso. Porejemplo, se le peda al nio(a) que diferenciara las relaciones de: cerca-lejos,largo-corto, pesado- liviano, sin problematizar la situacin. Estasrelaciones se abordaban, con una mirada ms cualitativa que cuantitativa,desdeun planteo descriptivo de la realidad.

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Los problemas relacionados con medidapodrn plantearse a partir delas situaciones cotidianas que surgen en los espacios educativos, as comotambin en el contexto de los planes o proyectos de trabajo.

Por ejemplo, el/la docente puede plantear a los nios y nias lasiguiente situacin: cuntas latas o vasos de agua necesitamos pararegar las plantas?

Chamorro, M. y Belmonte (1988) sostienen... Solo manipulando es posibledistinguir las distintas propiedades de los objetos; es difcil comprenderque unos objetos son ms pesados que otros usando tan slo la vista, que unrecipiente tiene ms o menos capacidad que otro sin recurrir al transvasadode lquidos.

En relacin con la medida es necesario abordar las magnitudes: longitud,peso, capacidad, tiempo desde su uso social y a partir de unidades noconvencionales.

El uso de unidades no convencionales obedece a que el nio(a) realizaestimaciones y comparaciones de tipo visual y con elementos intermediosde su cuerpo y del entorno sin poder comprender aun el significado y el usode las unidades convencionales.

Los espacios educativos deben proporcionar un acercamiento de losnios(as) a los instrumentos de medida socialmente conocidos en suscontextos. Por ejemplo, el metro de madera, el metro plegadizo (el que usanlos carpinteros), la cinta mtrica que utilizan las modistas, la cintamtrica que usan los arquitectos, la regla de madera o plstica que seutilizan en los espacios educativos.

Para Castro, E (1989) existen diferentes unidades para calcular y medir;entre ellas tenemos la unidad de peso: diferentes tipos de balanzas, ascomo el uso social que se hace de cada una de ellas. Por ejemplo: la balanzade la cocina, la de expendio de alimentos, la de platillo que es la que se usaen los espacios educativos, otras.

Capacidad: con los nios y nias de Educacin Inicial, se trabaja solamenteel concepto de capacidad como propiedad que poseen algunos objetos que

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contienen lquidos o slidos del tipo de agua y arena, ejemplo: los utensiliosque se utilizan a diario en la cocina (jarras, vasos de medir, otros).

Tiempo: Los instrumentos que se utilizan para medir el tiempo son el reloj,los calendarios.

7. APRENDIZAJES ESPERADOS

Para el abordajeintencional de los procesos matemticos en maternal ypreescolar, el/la docente debeconsiderar su inclusin en la evaluacin yplanificacin. Por ello se incorporan en el fascculo los aprendizajesesperados, entendindose que stos no son excluyentes para agregarotros que se consideren pertinentes, tomando en cuenta lascaractersticas regionales y locales.

8. COMPONENTE: PROCESOS MATEMTICOS (ESPACIO Y FORMASGEOMTRICAS).Se concibe como la iniciacin a la adquisicin de las nociones espaciales

vivenciadas en el entorno cotidiano y de las relaciones de orientacin yposicin que se dan entre los objetos, personas y lugares, as como laidentificacin y descripcin de las caractersticas de las figuras ycuerpos geomtricos en sus dimensiones bidimensionales ytridimensionales.

Maternal PreescolarObjetivo: 1)Establecerrelacionesespaciales entreobjetos y/opersonas.

Objetivo: 1) Establecer relacionesespaciales entre los objetos ypersonas, tomando como punto dereferencia el propio cuerpo, y loselementos del entorno.2) Identificar y describir los

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2) Identificar ydescribir losatributos dealgunas figuras ycuerposgeomtricos.

atributos de algunas figuras ycuerpos geomtricos presentes enel espacio, desde sus dimensionesbidimensional y tridimensional.

8.1. Aprendizajes esperados:Que el nio y la nia aprendan a: Identificar distintas relaciones espaciales: arriba- abajo, al lado

de, adelante- atrs, dentro-fuera, cerca- lejos, lleno-vaco. Identificar cuerpos geomtricos y lneas simples en objetos de

su entorno. Cambiar la forma y organizacin de diversos materiales de su

entorno: arruga, tuerce, pila, envuelve... Anticipar algunas trayectorias de objetos de su entorno.

8.2.Aprendizajes esperados:Que el nio y la nia aprendan a: Describir las relaciones espaciales entre los objetos,personas y lugares, tomando en consideracin la ubicacin,direccin y posicin de los mismos: arriba-abajo, al lado de,adelante-atrs, dentro- fuera, cerca-lejos, lleno- vaco.Anticipar y comunicar acciones, posiciones, desplazamientos ytrayectorias, realizadas con diferentes objetos.Describir los atributos, propiedades y uso de algunas figuras ycuerpos geomtricos tales como cuadrado, rectngulo, tringulo,crculo, cilindro, cubo y esfera, presentes en el entorno.Comparar objetos concretos del entorno, figuras y cuerposgeomtricos utilizando las relaciones ms grande que mspequeo que ms grueso que ms delgado que ms alto que

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ms bajo que ms pesado que ms liviano que menos que...forma, color, tamao, grosor, cantidad ysecuencia temporal.Representar objetos, personas y lugares e distintas maneras,utilizando figuras y/o cuerpos geomtricos en dibujos,construcciones, otros.Utilizar materiales que se pueden transformar al reproducirmodelos de objetos presentes en el medio natural y social.

9. COMPONENTE: PROCESOS MATEMTICOS: (LA MEDIDA Y SUSMAGNITUDES: PESO, CAPACIDAD, TIEMPO Y LONGITUD).

Implica desarrollar capacidades para establecer relaciones y formasde clasificar o de ordenar los elementos del medio, considerando losaspectos cualitativos y cuantitativos de los elementos del entorno, vinculadoscon los procesos de correspondencia trmino a trmino, comparacin ycuantificacin de cantidades numricas y el procedimiento para medir.

Maternal PreescolarObjetivo:Establecerrelaciones cuali-cuantitativas desemejanzas,diferencias yorden en objetosy situaciones delentorno.

Objetivo: Establecerrelaciones cuantitativas desemejanzas, diferencias yorden entre los objetos,situaciones del entorno yresolver problemas simples,empleando la clasificacin y laseriacin, el conteo, lacuantificacin, el tiempo y lamedida de manera convencionalo no convencional.

9.1. Aprendizajes esperados:Que el nio y la nia aprendan a:

Reconoce