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Determinação dos parâmetros de um cabo trifásico simétrico
João Vítor Vieira Peres
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Electrotécnica e Computadores
Júri
Presidente: Professor Doutor Paulo José da Costa Branco
Orientador: Professor Doutor Manuel Ventura Guerreiro das Neves
Co-Orientador: Professora Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro
Vogal: Professora Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus
Setembro de 2010
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i
Agradecimentos O autor deseja agradecer ao Professor Doutor Manuel Ventura Guerreiro das Neves e à
Professora Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro pelo empenho e
dedicação sem os quais não seria possível a elaboração deste trabalho.
O autor deseja ainda agradecer à sua família e amigos o apoio demonstrado não só durante
este trabalho mas durante todo o curso, em particular à sua namorada, cuja disponibilidade
para troca de ideias e conceitos estéticos foram importantes para a elaboração deste trabalho.
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ii
Resumo O presente trabalho pretende desenvolver um método eficaz de calcular a capacidade de
cabos de distribuição de energia eléctrica. Para o fazer foram estudados e comparados o
método dos filamentos de carga e o método das fitas de carga.
O método dos filamentos de carga consiste na discretização da carga à superfície dos
condutores, pela substituição dos mesmos por condutores fictícios com toda a carga num
filamento no centro. Deste modo, a carga é simulada como estando a uma profundidade igual
ao raio dos condutores fictícios e não á superfície dos condutores.
O método das fitas de carga baseia-se na substituição dos condutores por um polígono de n
lados formado por fitas carregadas electricamente. Deste modo, a carga fica distribuída de uma
forma contínua pela superfície do polígono.
Foram comparados os resultados de ambos os métodos com os resultados analíticos em
sistemas diferentes, e concluiu-se que apesar de ambos apresentarem resultados razoáveis, o
método das fitas de carga permite chegar a melhores resultados com menos incógnitas. Este
método foi aprofundado para incluir os efeitos de dieléctricos diferentes no sistema e foi
comparado com o resultado da medição em laboratório de um cabo real com quatro condutores
e cinco dieléctricos. Os resultados deram erros da ordem dos 15%, que podem ter origem em
vários factores que não foram contabilizados, nomeadamente, os condutores estarem
entrelaçados dentro do cabo, haver intervalos de ar entre as camadas ou as medições estarem
afectadas de erros devido a harmónicas injectados pelo gerador ou tolerâncias de
componentes.
Palavras Chave- Cálculo da capacidade, Método das fitas de carga, Método dos filamentos de carga.
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iii
Abstract The present work aims to develop an effective method to calculate the capacity of the cables
used in electricity distribution. Therefore, the filament of charge method and the strips of charge
method were studied and compared.
The filament of charge method consists in the discretization of the charge on the surface of
conductors, by replacing them with fictitious conductors with the entire charge in a filament at
the centre. Consequently, the charge is simulated at a depth equal to the radius of the fictitious
conductors and not at the surface of the conductors.
The strips of charge method is based on the replacement of the conductors by an n-sided
polygon formed by strips electrically charged. So, the charge is continuously distributed across
the surface of the polygon.
The results of both methods were compared with the analytical results in different systems, and
it was concluded that although both exhibit reasonable results, the strips of charge method
allows to reach better results with fewer variables in the system (strips). This method was
further developed to include the effects of different dielectrics in the system and was compared
with the results of the measurement of a real cable with four conductors and five dielectrics. The
results were errors in the order of 15%, which can originate from various factors, namely, the
interlacement of the conductors in the cable, the spaces of air between layers or the
measurements errors because of harmonics injected by the generator or the tolerance of the
components.
Key Words- Capacity calculus, Filaments of charge method, Strips of charge method.
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iv
Índice Agradecimentos ......................................................................................................................... i
Resumo .................................................................................................................................... ii
Abstract ................................................................................................................................... iii
Lista de Figuras ....................................................................................................................... vi
Lista de Tabelas....................................................................................................................... ix
Lista de Símbolos ..................................................................................................................... x
1 – Introdução ........................................................................................................................... 1
1.1 - Motivação ...................................................................................................................... 1
1.2 - Objectivos ..................................................................................................................... 3
1.3 - Estrutura do trabalho ..................................................................................................... 3
2 - Cálculo analítico................................................................................................................... 5
2.1 - Campo eléctrico estático ................................................................................................ 5
2.2 - Capacidade ................................................................................................................... 6
2.3 - Cabo bifilar .................................................................................................................... 7
2.4 - Cabo monofásico não centrado ................................................................................... 11
3 - Método dos filamentos de carga ......................................................................................... 13
3.1 - Introdução ao método .................................................................................................. 13
3.2 - Formulação do método ................................................................................................ 14
4 - Método das fitas de carga .................................................................................................. 17
4.1 - Introdução ao método .................................................................................................. 17
4.2 - Formulação do método ................................................................................................ 18
5 - Validação dos métodos ...................................................................................................... 28
5.1 - Sistema 1 .................................................................................................................... 28
5.2 - Sistema 2 .................................................................................................................... 33
5.3 - Sistema 3 .................................................................................................................... 37
5.4 - Sistema 4 .................................................................................................................... 40
5.5 - Comparação dos resultados ........................................................................................ 44
6 - Dieléctricos ........................................................................................................................ 45
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v
6.1 - Método analítico .......................................................................................................... 46
6.1.1 - Cabo monofásico com dois dieléctricos em série ................................................... 46
6.1.2 - Cabo monofásico com dois dieléctricos em paralelo .............................................. 48
6.2 - Método das fitas de carga ............................................................................................ 51
6.2.1 - Cálculo da capacidade .......................................................................................... 59
6.3 - Validação do método das fitas em sistemas com dois dieléctricos................................ 60
6.3.1 - Cabo monofásico com dois dieléctrico em serie..................................................... 61
6.3.2 - Cabo monofásico com dois dieléctricos em paralelo .............................................. 65
6.3.3 - Comparação dos resultados .................................................................................. 67
7 - Simulação de um cabo real ................................................................................................ 69
7.1 - Medição da capacidade ............................................................................................... 70
7.2 - Simulação do cabo ...................................................................................................... 75
8 - Conclusões ........................................................................................................................ 79
9- Referências bibliográficas ................................................................................................... 81
10 – Anexos ............................................................................................................................ 82
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vi
Lista de Figuras Figura 1.1 - Topologia típica de um cabo de baixa tensão ......................................................... 2
Figura 2.1 - Campo de deslocamento eléctrico provocado por uma concentração de carga ...... 6
Figura 2.2 - Cabo bifilar não simétrico ...................................................................................... 8
Figura 2.3 - Campo eléctrico criado por um filamento de carga no vazio ................................... 8
Figura 2.4 - Campo eléctrico criado por um par de filamentos de carga .................................. 10
Figura 2.5 - Cabo monofásico não centrado ........................................................................... 12
Figura 3.1 - Método dos filamentos de carga .......................................................................... 13
Figura 4.1 - Método das fitas de carga ................................................................................... 17
Figura 4.2 - Fita de carga de largura 2L .................................................................................. 19
Figura 4.3 - Transformação do referencial da fita .................................................................... 22
Figura 5.1 - Equipotenciais calculadas analiticamente para o sistema 1 .................................. 29
Figura 5.2 - Potencial eléctrico calculado analiticamente para o sistema 1............................... 29
Figura 5.3 - Campo eléctrico calculado analiticamente para o sistema 1 .................................. 30
Figura 5.4 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
positivo do sistema 1 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de
carga ...................................................................................................................................... 31
Figura 5.5 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
negativo do sistema 1 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de
carga ...................................................................................................................................... 31
Figura 5.6 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
positivo do sistema 1 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
............................................................................................................................................... 32
Figura 5.7 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
negativo do sistema 1 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
............................................................................................................................................... 33
Figura 5.8 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
positivo do sistema 2 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de
carga ..................................................................................................................................... 34
Figura 5.9 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
negativo do sistema 2 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de
carga ..................................................................................................................................... 35
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vii
Figura 5.10 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
positivo do sistema 2 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
............................................................................................................................................... 36
Figura 5.11 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
negativo do sistema 2 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
............................................................................................................................................... 36
Figura 5.12 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
positivo do sistema 3 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de
carga ..................................................................................................................................... 38
Figura 5.13 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
negativo do sistema 3 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de
carga ..................................................................................................................................... 38
Figura 5.14 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
positivo do sistema 3 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
............................................................................................................................................... 39
Figura 5.15 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
negativo do sistema 3 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
............................................................................................................................................... 40
Figura 5.16 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
positivo do sistema 4 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de
carga ..................................................................................................................................... 41
Figura 5.17 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
negativo do sistema 4 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de
carga ..................................................................................................................................... 42
Figura 5.18 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
positivo do sistema 4 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
............................................................................................................................................... 43
Figura 5.19 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
negativo do sistema 4 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
............................................................................................................................................... 43
Figura 6.1 - Cabo monofásico com dois dieléctricos em série ................................................. 46
Figura 6.2 - Cabo monofásico com dois dieléctricos em paralelo ............................................ 48
Figura 6.3 - Cabo típico com 4 condutores e 5 dieléctricos ..................................................... 51
Figura 6.4 - Dieléctrico polarizado .......................................................................................... 52
Figura 6.5 - Diferentes abordagens de uma interface de dois meios ....................................... 53
-
viii
Figura 6.6 - Equipotenciais calculadas analiticamente para o sistema 5 .................................. 62
Figura 6.7 - Potencial calculado analiticamente para o sistema 5 ............................................ 62
Figura 6.8 - Módulo do campo eléctrico calculado analiticamente para o sistema 5 ................. 63
Figura 6.9 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
positivo do sistema 5 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
............................................................................................................................................... 64
Figura 6.10 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
negativo do sistema 5 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
............................................................................................................................................... 64
Figura 6.11 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
positivo do sistema 5 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
............................................................................................................................................... 66
Figura 6.12 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
positivo do sistema 5 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
............................................................................................................................................... 66
Figura 6.13 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor
positivo do sistema 5 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
............................................................................................................................................... 67
Figura 7.1 - Cabo utilizado nas medições ............................................................................... 69
Figura 7.2 - Capacidades parciais .......................................................................................... 70
Figura 7.3 – Montagem para medição da impedância ............................................................. 73
Figura 7.4 – Carga por unidade de superfície nos condutores em regime simétrico ................ 75
Figura 7.5 – Potencial em regime simétrico ............................................................................ 76
Figura 7.6 – Equipotenciais em regime simétrico .................................................................... 76
Figura 7.7 – Carga por unidade de superfície nos condutores em regime assimétrico ............ 77
Figura 7.8 – Potencial em regime assimétrico ........................................................................ 77
Figura 7.9 – Equipotenciais em regime assimétrico ................................................................ 78
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ix
Lista de Tabelas
Tabela 5.1 - Sistemas utilizados na validação do método dos filamentos de carga ................. 28
Tabela 5.2 - Resultados analíticos do sistema 1 ...................................................................... 28
Tabela 5.3 - Resultados do sistema 1 aplicando o método dos filamentos de carga ............... 30
Tabela 5.4 - Resultados do sistema 1 aplicando o método das fitas de carga ......................... 32
Tabela 5.5 - Resultados analíticos do sistema 2 ...................................................................... 33
Tabela 5.6 - Resultados do sistema 2 aplicando o método dos filamentos de carga ............... 34
Tabela 5.7 - Resultados do sistema 2 aplicando o método das fitas de carga ......................... 35
Tabela 5.8 - Resultados analíticos do sistema 3 ...................................................................... 37
Tabela 5.9 - Resultados do sistema 3 aplicando o método dos filamentos de carga ............... 37
Tabela 5.10 - Resultados do sistema 3 aplicando o método das fitas de carga ....................... 39
Tabela 5.11 - Resultados analíticos do sistema 4 .................................................................... 40
Tabela 5.12 - Resultados do sistema 4 aplicando o método dos filamentos de carga .............. 41
Tabela 5.13 - Resultados do sistema 4 aplicando o método das fitas de carga ....................... 42
Tabela 6.1 - Parâmetros dos cabos utilizados ........................................................................ 61
Tabela 6.2 - Resultados analíticos para o sistema 5 ................................................................ 61
Tabela 6.3 - Resultados do sistema 1 aplicando o método das fitas de carga ......................... 63
Tabela 6.4 - Resultados analíticos para o sistema 6 ................................................................ 66
Tabela 6.5 - Resultados do sistema 1 aplicando o método das fitas de carga ......................... 66
Tabela 7.1 – Características do cabo utilizado nas medições ................................................. 70
Tabela 7.2- Valores das grandezas nas medições .................................................................. 74
Tabela 7.3- Coeficientes de capacidade medidos ................................................................... 74
Tabela 7.4- Coeficientes de capacidade simulados através do método das fitas de carga ...... 78
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x
Lista de Símbolos
- Campo eléctrico
– Deslocamento eléctrico
- Campo de indução magnética
- Campo magnético
- Vector densidade de corrente eléctrica
-Densidade de polarização
- Densidade volúmica de carga eléctrica
- Constante dieléctrica
- Permeabilidade magnética
[ ] – Vector de carga
[ ] - Matriz de coeficientes de capacidades
[ ] - Vector de tensões dos condutores
r - Coordenada radial
- Vector unitário normal exterior
- Constante de integração
- Distância do centro do condutor fictício j ao ponto da superfície do condutor fictício i
tangente à superfície do seu respectivo condutor real
- Número de condutores reais
– Densidade de carga por unidade de superfície no inicio da fita
– Densidade de carga por unidade de superfície no final da fita
- Metade do comprimento da fita
- Tensão imposta no condutor real
-Susceptibilidade eléctrica
- Metade do comprimento da fita
- Tensão incidente na carga
- Impedância característica
- Constante de propagação
- Factor de reflexão
-
xi
– Impedância longitudinal
- Admitância transversal
- Capacidade parcial entre e
- Coeficiente de capacidade entre e
- Frequência angular
-
1
1 – Introdução
1.1 - Motivação
A humanidade está cada vez mais necessitada de energia. Desde a década de 70 até 2005 o
consumo de energia, a nível mundial, aumentou cerca de 50%, totalizando cerca de 17 PWh,
suportado pelo forte desenvolvimento económico dos países actualmente desenvolvidos, como
os EUA, Inglaterra, Alemanha ou França. Nestes países, ditos desenvolvidos, tem-se assistido
a uma tendência de estagnação dos consumos energéticos, o que poderia levar a concluir que
o consumo mundial de energia estaria a estabilizar. No entanto, tal não se verifica, uma vez
que esta estagnação é contraposta pela explosão do consumo nos países em forte
desenvolvimento como a China, Índia e Brasil, prevendo-se um aumento do consumo a nível
mundial. Segundo projecções do WEC, o consumo de energia vai aumentar em cerca 1.6% por
ano até 2030, sendo que 70% deste aumento se deverá a países em desenvolvimento, a China
sozinha será responsável por cerca de 30% do aumento.
Em Portugal, segundo as previsões da ERSE (Entidade Reguladora dos Serviços
Energéticos), o consumo de energia em 2010 será de 48 588 GWh registando-se uma queda
na procura da ordem de 1% em relação a 2009. Esta queda na procura é justificada pela grave
crise económica que se verifica actualmente. Assim, com a retoma económica, espera-se que
os consumos de energia em Portugal voltem às tendências de crescimento, acompanhando o
resto do mundo.
Assim se compreende que o problema de produzir e levar até ao consumidor toda a energia
necessária, de uma forma eficiente, é dos maiores desafios de engenharia que enfrentamos
actualmente.
O transporte e distribuição de energia eléctrica é feito com recursos a linhas aéreas e/ou cabos
subterrâneos. Os últimos são normalmente utilizados em zonas com grande densidade
populacional, como as cidades, em que as linhas de transmissão são inoportunas, uma vez
que existem construções elevadas, falta de espaço para as infra-estruturas de suporte das
linhas e ainda introduzem poluição visual.
O cálculo dos parâmetros eléctricos dos cabos e das linhas são essenciais para a integração
dos mesmos nas redes de energia, nomeadamente para a sua regulação e controlo e também
para o fornecimento de energia com qualidade. Por outro lado, o conhecimento destes
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2
parâmetros torna-se fundamental do ponto de vista do projecto, uma vez que permite um
dimensionamento correcto, possibilitando o uso eficiente dos recursos disponíveis.
A presente tese pretende dar resposta a este problema, centrando-se no cálculo da capacidade
dos cabos de baixa tensão. Este tipo de cabos tem normalmente uma topologia semelhante à
ilustrada na figura seguinte:
1-Condutor
2-Isolante
3-Isolante comum
4-Bainha
5-Isolante exterior
Figura 1.1 - Topologia típica de um cabo de baixa tensão
Estes cabos podem ter um número arbitrário de almas condutoras de cobre ou alumínio (1),
sendo que os mais utilizados para transmissão de energia são os de um, dois, três ou quatro
condutores. Cada condutor tem isolamento próprio (2) embebido num isolamento comum (3),
que podem ser de polietileno termofixo (XLPE) ou de policloreto de vinilo (PVC). Pode existir
também uma bainha condutora comum (4) que actua como gaiola de faraday, permitindo
reduzir a interferência electromagnética e ainda dar resistência mecânica ao cabo. Por fim
existe ainda um isolamento exterior (5) normalmente de poricloreto de vinilo (PVC) que pode
ter várias funções entre elas, proteger pessoas do contacto directo com os condutores activos,
protecção do cabo contra roedores ou ainda agir como retardante de chamas.
A utilização destes cabos não se restringe às redes de distribuição subterrâneas, tem também
utilidade no transporte de energia subaquático e em ambientes industriais com grandes
necessidades de potência como refinarias de petróleo, fábricas de betão, metalurgias, etc.
1
2
3 4
5
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3
1.2 - Objectivos
Este trabalho tem como objectivo desenvolver e estudar um método de cálculo da capacidade
de cabos com um qualquer número de condutores e com geometrias arbitrárias. Nos cabos
subterrâneos este parâmetro tem muito maior expressão que nas linhas aéreas, pois nestas o
dieléctrico envolvente é o ar. Para o cálculo da capacidade faz-se um estudo do campo e do
potencial eléctrico nos dieléctricos em que os condutores estão embebidos, bem como da
densidade de carga na superfície dos condutores. Vão ser estudados dois métodos de cálculo
diferentes: o método dos filamentos e o método das fitas. O método dos filamentos baseia-se
na discretização da carga na superfície dos condutores através da introdução de filamentos de
carga imaginários à superfície dos condutores reais. No método das fitas, a carga dos
condutores é substituída por fitas de carga estrategicamente colocadas à superfície dos
mesmos. Ambos os modelos são validados através da comparação dos resultados obtidos com
o cálculo analítico em dois tipos de cabo simples - o cabo bifilar e o cabo monofásico não
centrado.
Vai utilizar-se o programa de simulação MATLAB como uma plataforma informática para
implementar cada um dos algoritmos considerados bem como os algoritmos de cálculo teórico
que os vão validar. A plataforma irá receber como dados os parâmetros dos cabos,
nomeadamente, os raios e localização dos condutores, as constantes dieléctricas dos meios
circundantes e as tensões nos condutores, e vai dar como resultados o campo eléctrico, o
potencial eléctrico, a densidade de carga à superfície de cada condutor e a capacidade do
sistema. Este trabalho servirá para comparar os métodos acima referidos do ponto de vista da
qualidade dos resultados obtidos, de modo a perceber qual produz resultados mais
aproximados dos teóricos. O método considerado melhor será desenvolvido de modo a ser
aplicado a um cabo real com três almas condutoras. Os resultados serão comparados com os
resultados reais, medidos em laboratório, de modo a tirar conclusões sobre a capacidade do
método.
1.3 - Estrutura do trabalho
No capítulo 2 faremos uma breve introdução ao cálculo analítico da capacidade em dois
sistemas simples nomeadamente o cabo bifilar e o cabo monofásico não centrado também.
Estes cabos têm como dieléctrico o vácuo e são considerados como sendo condutores
perfeitos. Será feita uma breve revisão das equações fundamentais do campo eléctrico estático
necessárias a partir das equações de Maxwell, de modo a deduzir o potencial e o campo
eléctrico num ponto arbitrário dos dois sistemas. Deste modo será deduzida a equação da
capacidade de cada um dos sistemas.
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4
No capítulo 3 será introduzido o método dos filamentos de carga. A partir das equações do
introduzidas no capítulo 2 nomeadamente o potencial e campo eléctrico produzidos por um
filamento de carga, e aplicando o método da sobreposição será desenvolvido o método em
estudo. Este será formulado tendo em vista sistemas com um número arbitrário de condutores,
de geometria cilíndrica, e admitindo que o dieléctrico é o vácuo. Tirando estes
constrangimentos o método será explicado de uma forma geral o suficiente de modo a poder
ser aplicado a um número variado de sistemas.
No capítulo 4 explicaremos e formularemos o método das fitas de carga. Este simula a carga
nos condutores como estando distribuída linearmente em filamentos de espessura infinitesimal
estrategicamente localizados. Deste modo, a partir do potencial provocado por um elemento
longilíneo de carga e do postulado da distribuição linear de carga no filamento, será deduzido o
potencial provocado por uma fita de carga. Assim, será aplicado o teorema da sobreposição
para chegar expressão final do potencial e campo eléctrico provocado por todos os filamentos.
Posto isto, serão deduzidas as fórmulas fundamentais do método nomeadamente a capacidade
de um sistema com vários condutores e tendo como dieléctrico o vácuo.
No capítulo 5 os métodos dos filamentos de carga e das fitas de carga serão validados. A partir
de rotinas desenvolvidas para o cálculo de ambos os métodos, bem como para o cálculo
analítico, serão calculados os resultados de quatro sistemas diferentes. Dois destes serão do
tipo cabo bifilar e os outros dois do tipo cabo monofásico não centrado todos com o vácuo
como dieléctrico. Far-se-á a comparação dos resultados em relação ao cálculo analítico, bem
como a comparação entre os métodos, nomeadamente em relação à diminuição do erro com
aumento de filamentos ou fitas simulados.
No capítulo 6 serão estudados os efeitos de mais de um dieléctrico diferente. Será introduzido
o cálculo analítico para sistemas do tipo cabo monofásico com dois dieléctricos ou em série ou
em paralelo. O método dos filamentos de carga será desenvolvido de modo a ser utilizado para
resolver sistemas mais complexos e reais, com mais de um dieléctrico diferente. Assim, o
método será utilizado para resolver dois sistemas com cabo monofásico, um com dois
dieléctricos em série e outro com dois dieléctricos em paralelo. Serão comparados os
resultados com os resultados do cálculo analítico.
No capítulo 7, são apresentados os resultados da medição em laboratório de um cabo real, e
estes são comparados com os resultados da simulação do mesmo cabo através do método das
fitas de carga.
No capítulo 8 são tiradas conclusões do presente trabalho, nomeadamente conclusões gerais e
trabalhos a desempenhar futuramente.
A nomenclatura utilizada neste trabalho será letra maiúscula e a negrito para representar vectores, letra maiúscula para representar escalares, constantes ou módulos de vectores e
letra maiúscula entre parentes rectos para representar matrizes.
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5
2 - Cálculo analítico
2.1 - Campo eléctrico estático
Comecemos por considerar as equações fundamentais do electromagnetismo, ou seja, as
equações de Maxwell:
= − (2.1)
= + (2.2)
= 0 (2.3)
= (2.4)
Onde, - Campo eléctrico (Vm-1)
– Deslocamento eléctrico (Cm-2)
- Campo de indução magnética (T)
- Campo magnético (Am-1)
- Vector densidade de corrente eléctrica (Am-2)
- Densidade volúmica de carga eléctrica (Cm-3)
Bem como as equações constituintes dos meios para meios lineares e isótropos:
= (2.5)
= (2.6)
Onde - Constante dieléctrica (Fm-1)
- Permeabilidade magnética (Hm-1)
No que diz respeito ao campo eléctrico estático, em (2.1) e em (2.2) são nulos ou
invariantes no tempo, e considerando derivável duma função potencial escalar e aplicando
a propriedade do gradiente ( ) = 0 vem:
-
6
= −
(2.7)
Por outro lado, assumindo que há uma concentração de carga não nula num determinado
volume V limitado por uma superfície fechada , como na figura 2.1, partindo de (2.4) e
integrando em volume ambos os membros vem:
= ⟺ . =
(2.8)
Onde é a normal exterior à superfície fechada .
Figura 2.1 - Campo de deslocamento eléctrico provocado por uma concentração de carga
Onde se fez intervir o teorema da divergência, de modo a transformar o integral em volume do
primeiro membro num integral em superfície. A equação (2.8) é a forma integral da lei (2.4), o
significado físico desta lei é que as linhas de campo têm início nas zonas com cargas positivas e terminam em zonas com carga negativa. As equações (2.7), (2.8) e (2.5) formam as
leis fundamentais que regem o campo eléctrico estático.
2.2 - Capacidade
Qualquer sistema com dois ou mais condutores imersos num dieléctrico produz um dispositivo
que pode armazenar energia eléctrica. Nestes sistemas, devido à linearidade das equações
fundamentais do campo eléctrico estático, (2.7), (2.8) e (2.5), a tensão nos condutores é
proporcional à carga nos condutores, assim introduzindo a noção de capacidade obtêm-se:
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7
[ ] = [ ] [ ]
(2.9)
Onde [ ] – Vector de carga dos condutores (C)
[ ] - Matriz de coeficientes de capacidades (F)
[ ] - Vector de tensões dos condutores (V)
A capacidade relaciona a carga com a tensão, e representa uma propriedade do sistema
completamente definida pela geometria e forma dos condutores e pelas propriedades do
dieléctrico envolvente.
2.3 - Cabo bifilar
Para resolver o problema do cabo bifilar no vácuo, recorre-se à técnica de substituir cada um
dos condutores reais por um filamento de carga equivalente. Assim, o problema cinge-se a
calcular a localização do centro dos condutores e a distância dos filamentos fictícios de carga à
origem do referencial. De notar que o referencial utilizado foi o referencial com origem no ponto
equidistante dos filamentos de carga em que o plano = 0 e as superfícies dos condutores são
equipotenciais. Por outro lado, as linhas de força do campo eléctrico são arcos de
circunferência com origem nos filamentos de carga fictícia e atravessam perpendicularmente a
superfície dos condutores e o plano = 0.
Como se pode ver pela figura 2.2, tem-se:
⎩⎪⎨
⎪⎧ + =
+ = − =
⇔
⎩⎪⎨
⎪⎧ = −
−2 − 2
= +
= −
(2.10)
-
8
y
-q
( , 0) ( , 0)
+q x
Figura 2.2 - Cabo bifilar não simétrico.
Posto isto, e fazendo intervir o teorema da sobreposição, calculam-se as contribuições do
campo eléctrico e do potencial de cada um dos filamentos e somam-se. O facto das equações
(2.7), (2.8) e (2.5) serem lineares valida a utilização do teorema da sobreposição.
Figura 2.3 - Campo eléctrico criado por um filamento de carga no vazio.
-
9
Considere-se o filamento de carga ilustrado na figura 2.3. Fazendo uso de (2.8) e considerando
a superfície indicada e o carácter radial do campo, vem sucessivamente:
. = ⇔ 2 = ⇔ = 2
(2.11)
Onde - carga por unidade de comprimento (Cm-1)
r – coordenada radial (m)
- Vector unitário normal exterior do cilindro
Ao fazer intervir (2.5) e (2.11), e tendo em conta que o filamento se encontra no vácuo, obtém-
se então o campo eléctrico:
= ⇔ = 2
(2.12)
Utilizando (2.7), obtém-se o potencial:
= 2 = 2 ln1
+
(2.13)
A constante é uma constante de integração arbitrária que representa a distância à qual se
considera o potencial nulo.
O potencial do ponto arbitrário de coordenadas (x,y) representado na figura 2.4 é portanto:
= 2 − = 2 ln
= 2 ln( + ) + ( − ) +
(2.14)
-
10
Onde e são as distâncias aos filamentos de carga positiva e de carga negativa,
respectivamente. Considera-se a equipotencial nula no plano constituído pelos pontos
equidistantes dos filamentos de carga, como mostra a figura 2.4.
Figura 2.4 - Campo eléctrico criado por um par de filamentos de carga.
O campo eléctrico no mesmo ponto é, a partir de (2.12):
= 2 − 2 =
= 2cos( ) + ( )
−cos( ) + ( )
Tendo em conta que da figura (2.4) se tira:
( ) =
( ) =−
( ) =
( ) =+
= ( − ) +
= ( + ) +
Vem o campo eléctrico provocado pelo cabo bifilar num ponto arbitrário de coordenadas x e y:
R+
R-
x -a +a
y
+q -q
-
11
= 2−
( − ) + −+
( + ) + +1
( − ) + −1
( + ) +
(2.15)
A diferença de potencial entre os condutores terá que ser igual à tensão aplicada, e a
densidade de carga do filamento, por unidade de comprimento é:
= 2 ln|C − R + a||C − R − a| − ln
|C − R + a||C − R − a| ⇔ q =
2U
ln (C − R + a)(C − R − a)(C − R − a)(C − R + a)
(2.16)
Assim a capacidade do sistema é:
= =2
ln (c − R + a)(C − R − a)(C − R − a)(c − R + a)
(2.17)
2.4 - Cabo monofásico não centrado
Para o cálculo da capacidade de um sistema com dois condutores em que um envolve o outro,
segue-se o mesmo raciocínio utilizado para o cabo bifilar não simétrico. Ambos os condutores
vão ser substituídos por um filamento de carga fictício, respectivamente. O problema fica
resolvido com o cálculo das coordenadas desses filamentos, bem como dos centros dos
condutores no referencial, com origem equidistante dos filamentos fictícios de carga, ou seja, o
eixo do y é a equipotencial nula.
Para calcular a C1 e C2 da figura 5 tem-se:
⎩⎪⎨
⎪⎧ + =
+ = − =
⇔
⎩⎪⎨
⎪⎧ = −
−2 − 2
= +
= −
(2.18)
-
12
Figura 2.5 - Cabo monofásico não centrado.
Posto isto, o problema cinge-se ao cálculo do potencial e do campo eléctrico de um sistema de
dois filamentos de carga. Logo as equações (2.14), (2.15), (2.16) e (2.17) continuam a ser
válidas.
C1
R
R2
1
y
x +q -q
a a
V=0
+q
y
V=0
R1
( , 0) ( , 0)
-
13
3 - Método dos filamentos de carga
3.1 - Introdução ao método
O método dos filamentos de carga é uma abordagem numérica ao cálculo da capacidade nos
cabos. A introdução de algoritmos numéricos na resolução destes problemas é essencial para
cabos com geometrias não triviais, uma vez que, para estes não é possível encontrar solução
analítica. A ideia deste método nasce do facto teórico de a carga num condutor em equilíbrio
electrostático se distribuir à superfície do mesmo, resultado que deriva directamente da
ausência de campo eléctrico dentro do condutor. O campo eléctrico anula-se, pois caso
contrário, haveria movimento das cargas no interior do condutor, e este não estaria em
equilíbrio electrostático. É então natural discretizar a carga à superfície do condutor,
substituindo-a por um número elevado de condutores fictícios distribuídos pela superfície do
condutor real e com toda a sua carga concentrada no centro, como mostra a figura 3.1. Assim,
as aproximações que se fazem neste método são concentrar a carga em determinados pontos
do condutor, e ainda considerar que estes pontos não estão à superfície do condutor, mas sim
a uma profundidade infinitesimal igual ao raio dos condutores fictícios.
Figura 3.1 - Método dos filamentos de carga.
.
. . .
.
. .
. . . . . .
. .
. . . .
. . . .
. .
. . .
. .
. .
P
-
14
3.2 - Formulação do método
O potencial criado no ponto P por um condutor fictício de carga por unidade de comprimento
a uma distância é, de acordo com (2.13):
= 21
+
(3.1)
Onde, é a constante de integração.
- Tem o significado da figura 3.1
Devido à linearidade de (2.7), (2.8) e (2.5), pode ser utilizado o teorema da sobreposição e,
logo, o potencial eléctrico produzido por um condutor é expresso pela soma das contribuições
individuais de cada condutor fictício distribuído pela sua superfície. Este resultado pode ser
generalizado e assim, o potencial criado por um sistema com um número arbitrário de
condutores é expresso pela soma das contribuições individuais dos condutores fictícios
distribuídos pelas superfícies dos mesmos, ou seja:
= 21
+
(3.2)
Por outro lado, a soma das cargas do sistema é nula, logo a soma da carga dos condutores
fictícios também o é, assim:
= 0
(3.3)
Ao utilizar (3.2) para calcular o potencial dos pontos da superfície dos condutores fictícios
tangentes à superfície de cada um dos respectivos condutores reais, tendo em conta que o
potencial à superfície do condutor é igual à tensão imposta no mesmo, obtêm-se equações
linerarmente independentes. Juntando a equação (3.3) chega-se a um sistema de + 1
equações do tipo:
-
15
⎣⎢⎢⎡ 1⋮
1 …1
1 0 ⎦⎥⎥⎤
( + 1) × ( + 1)
⋮
( + 1) × 1
=
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ ⋮
⋮
⋮
0 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
( + 1) × 1
⇔ ⋮ =
⎣⎢⎢⎡ 1⋮
1 …1
1 0 ⎦⎥⎥⎤
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ ⋮
⋮
⋮
0 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
(3.4)
Onde, =
- Distância do centro do condutor fictício j ao ponto da superfície do condutor fictício i
tangente à superfície do seu respectivo condutor real [m]
- Carga por unidade de comprimento do condutor fictício i [Cm-1]
- Constante de integração
- Número de condutores reais
- Tensão imposta no condutor real x [V]
A equação (3.4) permite calcular a carga por unidade de comprimento existente em cada
condutor fictício, a constante de integração e, ainda, a carga por unidade de comprimento
total existente em cada condutor. Esta última é a soma das cargas por unidade de
comprimento de cada um dos condutores fictícios dentro do respectivo condutor real.
Note-se que da figura 3.1 pode ser expresso em termo das coordenadas x e y de um ponto
arbitrário:
= ( − ) + −
(3.5)
Onde e têm o significado da figura 3.1.
Com este resultado já é possível calcular o potencial eléctrico de um ponto arbitrário (x,y)
através de (3.2):
-
16
= 2⎝
⎛ 1
( − ) + − ⎠
⎞+
(3.6)
Da mesma maneira, utilizando o resultado (2.12) e fazendo intervir o teorema da sobreposição,
o campo eléctrico num ponto arbitrário de coordenadas x e y é expresso por:
= 2 = 2 ( − ) + −( − ) + −
(3.7)
As equações (3.4), (3.6) e (3.7) permitem implementar um algoritmo baseado no método dos
filamentos de carga. Estas equações permitem resolver problemas com número de condutores
cilíndricos arbitrário, com qualquer geometria entre eles. No caso do cabo bifilar não simétrico e
do cabo monofásico não centrado, o cálculo da capacidade, depois de resolver (3.4), é trivial,
basta somar todas as cargas dos filamentos existentes no condutor positivo e dividir pela
diferença de potencial. Assumindo que os primeiros valores do vector q de (3.4)
correspondem aos filamentos no condutor positivo, ou seja que existem filamentos de carga
no condutor positivo:
=∑−
(3.8)
Para se calcular a distribuição de carga superficial nos condutores, é necessário ter em
consideração que a carga de cada filamento representa na realidade a carga que está
distribuída no arco do respectivo condutor fictício. Assim, a carga de cada filamento tem que
ser dividida pelo comprimento do arco que realmente ocupa:
2
(3.9)
Onde representa o raio do condutor real , onde está .
-
17
4 - Método das fitas de carga
4.1 - Introdução ao método
O método das fitas de carga, como o nome indica, baseia-se na substituição dos condutores
reais por fitas de carga à sua superfície, como mostra a figura 4.1. Assume-se que a carga ao
longo das fitas pode variar da forma ( ) = + . Logo, ao contrário do método dos
filamentos de carga, em que a carga fica concentrada em determinados pontos, no método das
fitas de carga a carga é contínua, uma vez que o limite de uma fita coincide com o limite de
outra. Deste modo, as aproximações que se fazem neste método consistem em substituir a
superfície cilíndrica do condutor real por um prisma de n lados, e considerar uma distribuição
de carga linear por troços (em cada fita). Este facto leva a que o método seja mais complexo
do ponto de vista da formulação, do que o método dos filamentos de carga. No entanto, como
se verá, produz resultados mais exactos.
Figura 4.1 - Método das fitas de carga.
.
x
y qj+1
qj
Fita de carga j
-
18
4.2 - Formulação do método
Neste método, quando se fala em fitas de carga, considera-se um elemento de volume
carregado electricamente, com uma largura 2 , um comprimento igual ao do cabo e uma
espessura infinitesimal. Assume-se ainda que a densidade de carga por unidade de
comprimento varia linearmente ao longo da largura da fita, e que ao longo do comprimento não
há variação de carga, logo, quando se falar em distribuição de densidade de carga por unidade
de comprimento, está a referir-se à distribuição de densidade de carga na largura da fita.
Assim de – a a distribuição de carga é:
( ′) = ′ +
(4.1)
Com, =
=
– Carga por unidade de superfície no inicio da fita [Cm-2]
– Carga por unidade de superfície no final da fita [Cm-2]
A carga por unidade de comprimento total na fita é:
( ′) ′ = ( + )
(4.2)
O potencial num ponto genérico ( , ) criado pela fita de carga ilustrada na figura 4.2
determina-se a partir da equação:
=( ′)
2 ln1
( ′) ′ +
(4.3)
Com ( ′) = + ( − ′) e ( ′) dado por 4.1
-
19
Figura 4.2 – Fita de carga de largura 2L.
Resolvendo 4.3 (Resolução em anexo):
( , ) = 1( , , ) + 2( , , ) +
(4.4)
Com,
1( , , ) = −1
8 1−′
( − ′)−1
2[( − ) + ] [( − ) + ]
+ 1−′
( + ′) +1
2[(− − ) + ] [(− − ) + ]
+ 2 1−′
−2 + tan− ′′ + tan
− − ′′
−1
2[−( − ) + (− − ) ]
q1 q2
x x0 L -L
y
y0
r(x’)
θ(x’)
P
y’
x’
-
20
2( , , ) = −1
8 1 +′
( − ′) +1
2[( − ) + ] [( − ) + ]
+ 1 +′
( + ′)−1
2[(− − ) + ] [(− − ) + ]
+ 2 1 +′
−2 + tan− ′′ + tan
− − ′′
+1
2[−( − ) + (− − ) ]
Quanto ao campo eléctrico a partir de (2.12), e seguindo o raciocínio utilizado para o potencial,
podia ser calculado por:
=( ′)
21
( ′) cos(θ) + sin (θ) ′
(4.5)
Mas por simplicidade usou-se (2.7) e vem (resolução em anexo):
( , ) = 1 ′( , , ) + 2 ′( , , )
( , ) = 1 ′( , , ) + 2 ′( , , )
(4.6)
Com,
1 ′( , , ) =1
8⎩⎨
⎧− 1−
′[( − ) + ] + 1−
′[(− − ) + ]
+ 2 1−′
⎣⎢⎢⎡−
1
1 + −
−′
1 + −′
+1
1 + − −
+′
1 + − −′
−2 ′
tan− ′′ − tan
− − ′′ + 4
-
21
2 ′( , , ) =1
8⎩⎨
⎧− 1 +
′[( − ) + ] + 1 +
′[(− − ) + ]
+ 2 1 +′
⎣⎢⎢⎡−
1
1 + −
−′
1 + −′
+1
1 + − −
+′
1 + − −′
+2 ′
tan− ′′ − tan
− − ′′ − 4
1 ( , , ) =1
8 2 1 −′
tan− ′′ +
( − ′)( − ) +
−( − ′)
1 + −−tan
− − ′′ −
(− − ′)(− − ) + +
(− − ′)
1 + − −
−′
ln[( − ) + ]− ln [(− − ) + ]
2 ′( , , ) =1
8 2 1 +′
tan− ′′ +
( − ′)( − ) +
−( − ′)
1 + −−tan
− − ′′ −
(− − ′)(− − ) + +
(− − ′)
1 + − −
+′
ln[( − ) + ]− ln [(− − ) + ]
, Componente do campo eléctrico
, componente do campo eléctrico
Com n fitas, utiliza-se o teorema da sobreposição para calcular o potencial, somando-se a
contribuição de cada fita. Tem-se a função potencial de uma fita em coordenadas x e y num
referencial em que a mesma está centrada, e o que se pretende é calcular o potencial num
ponto arbitrário de um referencial diferente, que vai ser comum a todas as fitas. Assim, será
necessário fazer uma rotação e translação de referencial da fita, como mostra a figura abaixo.
-
22
Figura 4.3 – Transformação do referencial da fita.
Por simplicidade utilizou-se o plano complexo.
Assim:
=−−
(4.7)
Rotação do referencial:
+ = ( + ) = ( + ) cos( ) − ( )
= ( ) + ( ) + (− sin( ) + cos ( )
′′ =
cos( )− sin( )
sin ( )cos ( )
(4.8)
Rotação e translação do referencial:
x
x’ y’
y
y2
y1
x1 x2
cy
cx
-
23
′′ =
cos( )− sin( )
sin ( )cos ( )
−−
(4.9)
Posto isto, para se calcular o potencial num ponto (x,y) provocado por fitas de carga, é
necessário somar as contribuições de cada fita. Assim, a contribuição de cada fita será dada
pela equação (4.4), mas com as coordenadas do ponto (x’,y’) transformadas por (4.9):
( , ) = +
(4.10)
Onde =1 , , + 2 , , ( =
= )1 , , + 2 , , ( á )
Note-se que 1 e 2 variam consoante a fita a que estão associadas uma vez que dependem
do comprimento da fita 2 e das coordenadas , que são as coordenadas de ( , ) no
referencial centrado na fita , ou seja aplicando (4.9). Deste modo, usou-se a nomenclatura
1 , , e 2 , , para realçar estas diferenças.
Por outro lado, é a carga por unidade de superfície no extremo inicial da fita e também
naturalmente do extremo final da fita − 1. Na equação (4.10) os casos especiais apresentados
são introduzidos pelo fechar de cada superfície condutora do sistema. Assim, se o valor de
representa a ultima fita de uma superfície esta vai acabar no inicio da primeira fita da superfície
e logo:
= =
(4.11)
Quanto ao campo eléctrico provocado por fitas, o raciocínio é idêntico: há que somar as
contribuições de cada fita de carga transformando o referencial da fita no referencial comum a
todas as fitas. Mas como o campo é um vector e não um escalar como o potencial, é
necessário fazer a transformação inversa para que as componentes do campo venham
expressas no referencial comum a todas as fitas, e não no referencial centrado na fita.
A transformação inversa das componentes do campo é, a partir de (4.9):
-
24
= cos( )
sin( )−sin ( )cos ( )
(4.12)
Deste modo, as contribuições do campo eléctrico de cada fita no referencial desta, são
calculadas por (4.6), utilizando as coordenadas (x’,y’) provenientes da transformação (4.9).
Depois, as componentes do campo eléctrico de cada fita têm que ser transformadas para
referencial comum por (4.12), antes de serem somadas, ou seja:
( , ) = = [cos ( ) − sin ]
= cos 1 , , + 2 , ,
− sin 1 , , + 2 , ,
=1 , , + 2 , , ( =
= )1 , , + 2 , , ( á )
( , ) = = [sin ( ) + cos ]
= sin 1 , , + 2 , ,
+ ( ) 1 , , + 2 , ,
=1 , , + 2 , , ( =
= )1 , , + 2 , , ( á )
(4.13)
Onde:
11 =
cos( )sin( )
−sin ( )cos ( )
1 ′1 ′
22 =
cos( )sin( )
−sin ( )cos ( )
2 ′2 ′
(4.14)
O problema da obtenção do potencial e do campo eléctrico de um sistema com fitas de carga
fica assim reduzido ao cálculo da densidade de carga nos extremos de cada fita.
-
25
Para este cálculo vai utilizar-se um raciocínio semelhante ao utilizado no método dos
filamentos de carga. Logo, vai ser calculado o potencial provocado pelas fitas de carga
(equação (4.10)) nos pontos à superfície dos condutores que são extremos das fitas. Na
realidade não se pode calcular o potencial nestes pontos pois de (4.4) verifica-se haver uma
indeterminação ao calcular o potencial nas duas extremidades de uma fita, assim esta
indeterminação é resolvida pelo cálculo do potencial em pontos infinitesimalmente próximos
destes. Note-se que o potencial nestes pontos é aproximadamente igual à tensão imposta no
condutor adjacente, uma vez que pontos onde se calcula o potencial estão infinitesimalmente
próximos da superfície dos condutores. Assim, tendo fitas têm-se pontos extremos de fitas
e logo equações linearmente independentes da forma (4.10). Estas equações, de modo a
expor as incógnitas ( ) podem ser rearranjadas da seguinte forma:
( , ) = = 1 , , + 2 , , +
=
+1( ′, ′, ) + 2( ′, ′, ) ( =
( = )1( ′, ′, ) + 2( ′, ′, ) ( á )
(4.15)
Onde é a tensão imposta ao condutor a que o ponto ( , ) é infinitesimalmente próximo.
As particularidades dos fechos das superfícies já explicadas na equação (4.12) passam agora
a ser representadas como mostrado na equação (4.15). Assim ao calcular a parcela
correspondente à carga por unidade de superfície da extremidade inicial da primeira fita de
uma superfície é necessário ter em consideração que esta corresponde também à extremidade
final da fita anterior que neste caso será a fita final da mesma superfície.
De notar que se têm equações com + 1 incógnitas ( cargas por unidade de superfície
mais a constante de integração ). Para o sistema ter resolução é necessário adicionar uma
equação. Esta equação é a que mostra o fecho da carga, ou seja que a soma de toda a carga
do sistema é nula. Assim, a soma da carga total de cada fita por unidade de comprimento
também é nula, de (4.2):
-
26
( + ) = 0
(4.16)
Com - Carga por unidade de superfície no inicio da fita [Cm-2 ]
- Carga por unidade de superfície no final da fita [Cm-2]
- Metade do comprimento da fita [m]
Deste modo, com as equações (4.10) e a equação (4.16) chega-se a um sistema de + 1
equações com + 1 incógnitas na forma:
⎣⎢⎢⎢⎡ 1⋮
…10⎦⎥⎥⎥⎤
⋮ =
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ ⋮
⋮
⋮
0 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
⇔ ⋮ =
⎣⎢⎢⎢⎡ 1⋮
…10⎦⎥⎥⎥⎤
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ ⋮
⋮
⋮
0 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
(4.17)
Onde,
De(4.10):
=1( , ′, , ′, ) + 2( , ′, , ′, ) ( =
= )1( , ′, , ′, ) + 2( , ′, , ′, ) ( á )
=+ ( =
= )+ ( á )
- Carga por unidade de superfície dos extremos das fitas [Cm-2]
- Constante de integração
- Número de condutores no sistema
- Tensão imposta no condutor real [V]
De (4.17) tira-se a carga por unidade de superfície nos extremos de cada fita e, como se
assumiu que em cada fita esta varia linearmente, chega-se à distribuição radial de carga na
superfície de todos os condutores. Posto isto, utilizando (4.10), (4.13) e (4.17), é possível aferir
-
27
o campo eléctrico e o potencial num ponto arbitrário de um sistema com qualquer geometria e
número de condutores.
No caso de existirem dois condutores no sistema o cálculo da capacidade a partir da carga por
unidade de superfície nas extremidades das fitas é trivial. De (4.2) tira-se a carga por unidade
comprimento de cada fita, somando-a para todas fitas do condutor positivo e dividindo pela
diferença de potencial entre os condutores chega-se á capacidade do sistema. Assim tendo
fitas no condutor positivo:
=∑
−
(4.18)
Onde é a carga por unidade de comprimento da fita calculado pela equação (4.2)
-
28
5 - Validação dos métodos Com o intuito de validar o método dos filamentos de carga e o método das fitas de carga, os
resultados obtidos por estes métodos vão ser comparados com os resultados obtidos
analiticamente. Vão ser utilizados nas simulações quatro sistemas diferentes, dois constituídos
por cabos bifilares não simétricos e dois constituídos por cabos monofásicos não centrados. Os
sistemas simulados têm as características expostas na tabela 5.1.
Tabela 5.1 - Sistemas utilizados na validação do método dos filamentos de carga.
Tipo de cabo
Raio do condutor
positivo (cm)
Raio do condutor
negativo (cm)
Distância entre os centros dos
condutores (cm)
Tensão aplicada (V)
Sistema 1 Bifilar 1 0.5 4 10
Sistema 2 Bifilar 1.5 2.5 7 15
Sistema 3 Monofásico 1 5 2 10
Sistema 4 Monofásico 0.5 3 1 20
5.1 - Sistema 1 Os resultados do cálculo analítico para o sistema 1 da tabela 5.1 estão apresentados na tabela
5.2 e nas figuras seguintes.
Tabela 5.2 Resultados analíticos do sistema 1
Carga no condutor positivo por unidade de comprimento
(pCm-1)
Capacidade do sistema por unidade de comprimento
(pFm-1)
Sistema 1 164.21 16.421
-
29
-6 -4 -2 0 2 4 6-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5
0
5 -5
0
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Pot
enci
al [V
]
Figura 5.1-Equipotenciais calculadas analiticamente para o sistema 1.
Figura 5.2 - Potencial eléctrico calculado analiticamente para o sistema 1
[Cm]
[Cm]
[Cm]
[Cm]
-
30
-6 -4 -2 0 2 4 6-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Figura 5.3 - Campo eléctrico calculado analiticamente para o sistema 1
Os resultados obtidos através do método dos filamentos de carga, para o sistema 1 são
apresentados na tabela 5.3 e nas figuras seguintes.
Tabela 5.3 - Resultados do sistema 1 aplicando o método dos filamentos de carga
Número de filamentos por
condutor
Carga no condutor positivo por unidade de
comprimento (pCm-1)
Capacidade do sistema por unidade de
comprimento (pFm-1)
Erro em relação aos resultados analíticos (%)
10 129.92 12.992 20.9
50 158.75 15.875 3.3
100 162.09 16.209 1.2
500 164.06 16.406 0.001
1 000 164.18 16.418 ≈0
[Cm]
[Cm]
-
31
0 1 2 3 4 5 6 71.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5x 10
-11
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo dos filamentos com n=50Método dos filamentos com n=100Método dos filamentos com n=500Método dos filamentos com n=1000
Figura 5.4 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor positivo do sistema 1 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga
Figura 5.5 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor negativo do sistema 1
entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga
0 1 2 3 4 5 6 7
-6.5
-6
-5.5
-5
-4.5
-4
-3.5x 10
-11
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo dos filamentos com n=50Método dos filamentos com n=100Método dos filamentos com n=500Método dos filamentos com n=1000
× 10
× 10
Car
ga p
or u
nida
de d
e su
perfí
cie
[Cm
-2]
Car
ga p
or u
nida
de d
e su
perfí
cie
[Cm
-2]
-
32
Os resultados obtidos através do método das fitas de carga, para o sistema 1 são
apresentados na tabela 5.4 e nas figuras seguintes.
Tabela 5.4 - Resultados do sistema 1 aplicando o método das fitas de carga
Número de fitas por condutor
Carga no condutor positivo por unidade de
comprimento (pCm-1)
Capacidade do sistema por unidade de
comprimento (pFm-1)
Erro em relação ao resultado analítico (%)
10 162.60 16.260 0.98
20 163.79 16.379 0.26
50 164.14 16.414 0.04
100 164.19 16.419 0.01
Figura 5.6 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor positivo do sistema 1
entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
0 1 2 3 4 5 6 71.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
-11
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo das fitas com n=10Método das fitas com n=20Método das fitas com n=50Método das fitas com n=100
× 10
Car
ga p
or u
nida
de d
e su
perfí
cie
[Cm
-2]
-
33
0 1 2 3 4 5 6 7
-6.5
-6
-5.5
-5
-4.5
-4
-3.5x 10
-11
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo das fitas com n= 10Método das fitas com n= 20Método das fitas com n= 50Método das fitas com n= 100
Figura 5.7 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor negativo do sistema 1 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
5.2 - Sistema 2 Os resultados do cálculo analítico para o sistema 2 da tabela 5.1 estão apresentados na tabela
seguinte.
Tabela 5.5 Resultados analíticos do sistema 2
Carga no condutor positivo por unidade de comprimento
(pCm-1)
Capacidade do sistema por unidade de comprimento
(pFm-1)
Sistema 2 351.49 23.433
× 10 C
arga
por
uni
dade
de
supe
rfíci
e [C
m-2
]
-
34
Os resultados obtidos através do método dos filamentos de carga, para o sistema 2 são
apresentados na tabela 5.6 e nas figuras seguintes.
Tabela 5.6 - Resultados do sistema 2 aplicando o método dos filamentos de carga
Número de filamentos por
condutor
Carga no condutor positivo por unidade de
comprimento (pCm-1)
Capacidade do sistema por unidade de
comprimento (pFm-1)
Erro em relação ao resultado analítico
(%)
10 241.59 16.106 31.3
50 329.57 21.972 6.2
100 342.30 22.820 2.6
500 350.65 23.376 0.2
1 000 351.26 23.417 0.001
Figura 5.8 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor positivo do sistema 2
entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga
0 1 2 3 4 5 6 72
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5x 10
-11
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo dos filamentos com n=50Método dos filamentos com n=100Método dos filamentos com n=500Método dos filamentos com n=1000
× 10
Car
ga p
or u
nida
de d
e su
perfí
cie
[Cm
-2]
-
35
0 1 2 3 4 5 6 7-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1x 10
-11
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo dos filamentos com n=50Método dos filamentos com n=100Método dos filamentos com n=500Método dos filamentos com n=1000
Figura 5.9 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor negativo do sistema 2 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga
Os resultados obtidos através do método das fitas de carga, para o sistema 2 são
apresentados na tabela 5.7 e nas figuras seguintes.
Tabela 5.7-Resultados do sistema 2 aplicando o método das fitas de carga
Número de fitas por condutor
Carga no condutor positivo por unidade de
comprimento (pCm-1)
Capacidade do sistema por unidade de
comprimento (pFm-1)
Erro em relação ao resultado analítico
(%)
10 345.87 23.058 1.60
20 350.04 23.336 0.41
50 351.26 23.417 0.07
100 351.43 23.429 0.02
× 10 C
arga
por
uni
dade
de
supe
rfíci
e [C
m-2
]
-
36
0 1 2 3 4 5 6 72
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5x 10
-11
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo das fitas com n=10Método das fitas com n=20Método das fitas com n=50Método das fitas com n=100
Figura 5.10 -Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor positivo do sistema 2 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
Figura 5.11 -Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor negativo do sistema 2 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
0 1 2 3 4 5 6 7-5.5
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5x 10
-11
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo das fitas com n=10Método das fitas com n=20Método das fitas com n=50Método das fitas com n=100
× 10
× 10
Car
ga p
or u
nida
de d
e su
perfí
cie
[Cm
-2]
Car
ga p
or u
nida
de d
e su
perfí
cie
[Cm
-2]
-
37
5.3 - Sistema 3
Os resultados do cálculo analítico para o sistema 3 da tabela 5.1 estão apresentados na tabela
seguinte:
Tabela 5.8- Resultados analíticos do sistema 3
Carga no condutor positivo por unidade de comprimento
(pCm-1)
Capacidade do sistema por unidade de comprimento
(pFm-1)
Sistema 3 389.75 38.975
Os resultados obtidos através do método dos filamentos de carga, para o sistema 3 são
apresentados na tabela 5.9 e nas figuras seguintes.
Tabela 5.9 - Resultados do sistema 3 aplicando o método dos filamentos de carga
Número de filamentos por
condutor
Carga no condutor positivo por unidade de
comprimento (pCm-1)
Capacidade do sistema por unidade de
comprimento (pFm-1)
Erro em relação ao resultado analítico (%)
10 212.40 21.240 45.5
50 344.93 34.493 11.5
100 369.49 36.949 5.2
500 387.49 38.749 0.6
1 000 389.03 38.903 0.2
-
38
0 1 2 3 4 5 6 74.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8x 10
-11
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo dos filamentos com n=50Método dos filamentos com n=100Método dos filamentos com n=500Método dos filamentos com n=1000
Figura 5.12 -Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor positivo do sistema 3 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga
Figura 5.13 - Comparação da distribuição radial da densidade de carga por unidade comprimento do condutor
negativo do sistema 3 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga
0 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5x 10
-11
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo dos filamentos com n=50Método dos filamentos com n=100Método dos filamentos com n=500Método dos filamentos com n=1000
× 10
× 10
Car
ga p
or u
nida
de d
e su
perfí
cie
[Cm
-2]
Car
ga p
or u
nida
de d
e su
perfí
cie
[Cm
-2]
-
39
Os resultados obtidos através do método das fitas de carga, para o sistema 3 são
apresentados na tabela 5.10 e nas figuras seguintes.
Tabela 5.10 - Resultados do sistema 3 aplicando o método das fitas de carga
Número de fitas por condutor
Carga no condutor positivo por unidade de
comprimento (pCm-1)
Capacidade do sistema por unidade de
comprimento (pFm-1)
Erro em relação ao resultado analítico (%)
10 392.13 39.213 0.61
20 390.28 39.028 0.14
50 389.83 38.983 0.02
100 389.77 38.977 0.01
Figura 5.14 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor positivo do sistema 3 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
0 1 2 3 4 5 6 75
5.5
6
6.5
7
7.5
8x 10
-11
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo das fitas com n=10Método das fitas com n=20Método das fitas com n=50Método das fitas com n=100
× 10
Car
ga p
or u
nida
de d
e su
perfí
cie
[Cm
-2]
-
40
0 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5x 10
-11
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo das fitas com n=10Método das fitas com n=20Método das fitas com n=50Método das fitas com n=100
Figura 5.15 -Comparação da distribuição radial da densidade de carga por unidade comprimento do condutor negativo do sistema 3 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
5.4 - Sistema 4 Os resultados do cálculo analítico para o sistema 4 da tabela 3.1 estão apresentados na tabela
seguinte:
Tabela 5.11- Resultados analíticos do sistema 4
Carga no condutor positivo por unidade de comprimento
(pCm-1)
Capacidade do sistema por unidade de comprimento
(pFm-1)
Sistema 4 665.37 33.268
× 10 C
arga
por
uni
dade
de
supe
rfíci
e [C
m-2
]
-
41
0 1 2 3 4 5 6 71.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6x 10
-10
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo dos filamentos com n=50Método dos filamentos com n=100Método dos filamentos com n=500Método dos filamentos com n=1000
Os resultados obtidos através do método dos filamentos de carga, para o sistema 4 são
apresentados na tabela 5.12 e nas figuras seguintes.
Tabela 5.12 - Resultados do sistema 4 aplicando o método dos filamentos de carga
Número de filamentos por
condutor
Carga no condutor positivo por unidade de
comprimento (pCm-1)
Capacidade do sistema por unidade de
comprimento (pFm-1)
Erro em relação ao resultado analítico (%)
10 391.04 19.552 41.2
50 601.46 30.073 9.6
100 636.93 31.847 4.3
500 662.17 33.109 0.5
1 000 664.32 33.216 0.2
Figura 5.16 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor positivo do sistema 4
entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga.
× 10
Car
ga p
or u
nida
de d
e su
perfí
cie
[Cm
-2]
-
42
0 1 2 3 4 5 6 7-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0x 10
-11
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo dos filamentos com n=50Método dos filamentos com n=100Método dos filamentos com n=500Método dos filamentos com n=1000
Figura 5.17 -Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor negativo do sistema 4
entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga.
Os resultados obtidos através do método das fitas de carga, para o sistema 4 são
apresentados na tabela 5.13 e nas figuras seguintes.
Tabela 5.13-Resultados do sistema 4 aplicando o método das fitas de carga
Número de fitas por condutor
Carga no condutor positivo por unidade de
comprimento (pCm-1)
Capacidade do sistema por unidade de
comprimento (pFm-1)
Erro em relação ao resultado analítico (%)
10 667.98 33.399 0.4
20 665.92 33.296 0.08
50 665.46 33.273 0.01
100 665.40 33.270 0
× 10 C
arga
por
uni
dade
de
supe
rfíci
e [C
m-2
]
-
43
0 1 2 3 4 5 6 71.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5x 10
-10
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo das fitas com n=10Método das fitas com n=20Método das fitas com n=50Método das fitas com n=100
Figura 5.18 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor positivo do sistema 4 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga
Figura 5.19 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor negativo do sistema
4 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga.
0 1 2 3 4 5 6 7-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0x 10
-11
Rad
Den
sida
de d
e ca
rga
por u
nida
de d
e co
mpr
imen
to [C
/m]
Cálculo analíticoMétodo das fitas com n=10Método das fitas com n=20Método das fitas com n=50Método das fitas com n=100
× 10
× 10
Car
ga p
or u
nida
de d
e su
perfí
cie
[Cm
-2]
Car
ga p
or u
nida
de d
e su
perfí
cie
[Cm
-2]
-
44
5.5 - Comparação dos resultados
As figuras 5.1, 5.2 e 5.3 mostram o potencial e o campo eléctrico calculados analiticamente
para o sistema 1. Os resultados de ambos os métodos analisados para estas grandezas são
muito próximos dos calculados analiticamente; por essa razão e para não haver repetições
desnecessárias de figuras, foram só apresentados os resultados analíticos para o sistema 1,
podendo o leitor analisar a evolução do erro pelos outros resultados apresentados.
Pode observar-se pelos resultados apresentados nos capítulos 5.1 a 5.4 que ambos os
métodos produzem resultados aproximados dos obtidos analiticamente, sendo que, com o
aumento dos filamentos no método dos filamentos de carga e das fitas no método das fitas de
carga, os resultados da capacidade e da densidade de carga superficial tendem para os
calculados analiticamente. Assim, ambos os métodos são válidos.
Comparando o método dos filamentos de carga com o método das fitas de carga pode
verificar-se que os resultados do segundo tendem muito mais rapidamente para os resultados
analíticos. Analisando as tabelas 5.3, 5.6, 5.9 e 5.12 conclui-se que para obter um erro da
ordem de 1% no método dos filamentos o número de filamentos terá de ser da ordem da
centena. Por outro lado, pelas tabelas 5.4, 5.7, 5.10 e 5.13, conclui-se que para se obter um
erro da mesma ordem de grandeza no método das fitas de carga só é necessário um número
de fitas da ordem da dezena. Deste modo o método das fitas de carga permite chegar a erros
da mesma ordem de grandeza mas com menos incógnitas no sistema. Posto isto, daqui para a
frente, desenvolver-se-á apenas o método das fitas de carga, por ter ficado verificado que este
produz resultados mais próximos dos reais sem recorrer a um número exorbitante de incógnitas
no sistema.
-
45
6 - Dieléctricos
Denomina-se por dieléctrico um meio não condutor, ou seja, um meio em que os electrões não
se podem mover livremente no material.
Um dieléctrico é constituído por átomos ou moléculas, que podem ser polares ou não polares.
Nas moléculas polares, o centro da distribuição de carga negativa não coincide com o centro
da distribuição de carga positiva, ao contrário das moléculas não polares. Na presença de um
campo eléctrico uniforme, as moléculas não polares tornam-se polares, uma vez que as cargas
negativas e positivas sofrem forças iguais, mas de sinal contrário. Por outro lado, as moléculas
polares alinham-se sob a acção do mesmo campo, nestas condições diz-se que o dieléctrico
está polarizado. Este efeito é representado pelo vector densidade de polarização eléctrica que,
nos meios lineares e isótropos, é proporcional ao campo eléctrico:
=
(6.1)
Onde -Densidade de polarização [Cm-2]
-Susceptiblidade eléctrica
A polarização tem efeito no campo eléctrico que a induziu, uma vez que ela própria é uma fonte
de campo eléctrico, assim:
= +
(6.2)
Substituindo (6.1) em (6.2) vem:
= (1 + )
(6.3)
Ao comparar com (2.5) pode inferir-se que:
= (1 + )
(6.4)
-
46
Onde normalmente, 1 + é representado por , que se denomina por constante dieléctrica
relativa.
6.1 - Método analítico
6.1.1 - Cabo monofásico com dois dieléctricos em série
Figura 6.1 – Cabo monofásico com dois dieléctricos em série
Aplicando o teorema de Gauss às superfícies S1 e S2 indicadas na figura (6.1), conclui-se que,
em ambos os dieléctric