INSTITUTO TECNOLGICO DE CAMPECHE.ALGEBRA LINEAL.UNIDAD II.- DETERMINANTES.

Sea A = una matriz de 2 x 2. El determinante de A se define como:det A = a11a22 a12a21A menudo se denotar det A por:|A| = Una matriz cuadrada es invertible, es decir tiene inversa si su determinante es diferente de cero.Determinante de 3 x 3. Sea A = . Entonces el determinante de A:det A = |A| = = a11 - a12 + a13Ntese en la expresin anterior que: resulta de eliminar el primer rengln y la primera columna de la matriz A. Que resulta de eliminar el primer rengln y la segunda columna de la matriz A y que resulta de eliminar el primer rengln y la tercera columna de la matriz A. Estas matrices se denotan como M11, M12, M13 respectivamenteTambin ntese el signo negativo del segundo trmino.Calculo de un determinante de 3 x 3 Sea A = |A| = |A| = 2 - (-3) + 5 = 2(12) (-3)(-3) + 5(-3) = 0Podemos concluir adems que la matriz A no es invertible, es decir, no tiene inversa.

Menor. Sean A una matriz de n x n y Mij la matriz de (n-1) x (n-1) obtenida de eliminar de A su i-simo rengln y su j-sima columna. A Mij se le llama ij-simo menor de A.Ejemplo:Sea A = Calcule M13 y M32 M13 = M32 =

Cofactor: Sea A una matriz de n x n. El ij-simo cofactor de A, denotado por Aij esta dado por:Aij = (-1)i+j|Mij|Es decir el ij-simo cofactor de A se obtiene calculando el determinante del ij-simo menor y multiplicndolo por(-1)i+j. Advirtase que:

1 si i+j es par-1 si i+j es impar(-1)i+j =

En general se puede decir que el determinante de una matriz de n x n esta dado por:|A|= a11A11 + a12A12++a1nA1n =El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos situados en su diagonal.Ejemplo: Sea A = Obteniendo los cofactores del tercer rengln resulta:0-0+1 = 0-0+4 = 4 = 2 x 2 x 1 = 4Clculo de un determinante de 4x4 sea A=1-3+5-2

1[-48+12-56]-3[0+6-76]+5[0-2+4]-2[0-19+3]=-92+210+10+32=160.

Problemas:Calcule los siguientes determinantes:1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.-7.- 8.-

Propiedades de los determinantes: Un determinante se puede obtener mediante el desarrollo de cofactores a lo largo de cualquier rengln o columna.Ejemplo: (desarrollar en clase) Sea A = Obtener el determinante mediante cofactores del segundo rengln y con la tercera columna. Si cualquier rengln o columna de A es el vector cero, entonces el determinante de A=0.Ejemplo: Si se desarrollan los cofactores con el segundo rengln el determinante es 0. Si el i-simo rengln o la j-sima columna de A se multiplican por la constante c, entonces det A se multiplica por c.Ejemplo: sea A = Multiplique el segundo rengln por 4 y encuentre los dos determinantes. Supngase que A B y C son idnticas excepto por j-sima columna, y que la j-sima columna de C es igual a la suma de las j-simas columnas de A y B. Entonces det C = det A + det BSean A = B = C = = Encontrar los tres determinantes. Al intercambiar dos renglones (o columnas) cualesquiera de A, el determinante de la matriz as obtenida es igual al det A multiplicado por 1.Ejemplo: Sea A = Intercambiando el primer y el tercer rengln se obtiene B= (encontrar los dos determinantes). Si A tiene dos renglones o columnas iguales, entonces det A=0.Ejemplo: A = Calcular el determinante. Si un rengln (columna) de A es mltiplo constante de otro rengln (columna) de A entonces det A=0Ejemplo: A = La adjunta: Sea A una matriz de n x n y sea B la matriz de sus cofactores. Entonces, la adjunta de A, (adj A) es la transpuesta de la matriz B de n x n.Ejemplo: sea A= los cofactores son:A11 =(-1)1+1 = (1x7)-(-1x5)=12A12 =(-1)1+2 =(-1)[(0x7)-(-1x3)]= - 3A13 =(-1)1+3 = (0x5)-(1x3)= - 3A21 =(-1)2+1 =(-1)[(4x7)-(3x5)]= -13A22 =(-1)2+2 = (2x7)-(3x3)=5A23 =(-1)2+3 =(-1)[(2x5)-(4x3)]= 2A31 =(-1)3+1 =(4x-1)-(3x1)= -7A32 =(-1)3+2 =(-1)[(2x-1)-(3x0)]= 2A33 =(-1)3+3 =(2x1)-(4x0)= 2La matriz de cofactores ser: B=De modo que la adjunta de A = adj A = Clculo de la adjunta de una matriz de 4 x 4 A= A11==-12[(2)(3)-(5)(1)]+2[(10)(3)-(5)(6)]-6[(10)(1)-(2)(6)]=0A12==-[3[(2)(3)-(5)(1)]+2[(-2)(3)-(5)(-1)]-6[(-2)(1)-(2)(-1)]]=-1A13==3[(10)(3)-(5)(6)]+12[(-2)(3)-(5)(-1)]-6[(-2)(6)-(10)(-1)]=0A14==-[3[(10)(1)-(2)(6)]+12[(-2)(1)-(2)(-1)]-2[(-2)(6)-(10)(-1)]=2Y as sucesivamente hasta encontrar la matriz de cofactores B=Y la adj de A =

Otra forma de encontrar la inversa es: Ejemplo: A= el determinante de A = |A|= es:2[(1)(7)-(-1)(5)]-4[(0)(7)-(-1)(3)]+3[(0)(5)-(1)(3)] = 3 dado que es 0 la matriz A es invertible yA-1 = Sea A = El determinante de A = |A| = |A| = 1|A|= 1[(-12)[(2x3)-(5x1)]-(-2)[(10x3)-(5x6)]+(-6)[(10x1)-(2x6)]] (3)[3[(2x3)-(5x1)]+2[(-2x3)-(5x-1)]-6[(-2x1)-(2x-1)]] +2[3[(10x1)-(2x6)]+12[(-2x1)-(2x-1)]-2[(-2x6)-(10x-1)]]= 0 +3 4 =-1 Dado que |A|0 entonces A es invertibleA-1 =