DESIGUALDADES

1) La desigualdad de la media aritmética, geométrica y armónica.Sean n números reales no negativos, entonces:

La igualdad se da si .

2) La desigualdad de la media aritmética y geométrica con pesos.Sean números racionales positivos y números reales positivos. Entonces,

¿Se dará la igualdad bajo alguna condición adicional?

¿Se verificará, bajo alguna condición adicional la desigualdad?

?

Aplicación de la desigualdad de la media aritmética-geométrica.La desigualdad de la media aritmética-geométrica puede escribirse equivalentemente como:

Por lo tanto, si la suma de n números reales no negativos es S, el máximo valor posible

para estos números es (Problema de máximo sujeto a condiciones o máximo

restringido).

3) Media de la potencia r-ésima.Sean números reales positivos y r un número real, se define la media de la potencia r-ésima por:

Nótese que es una función creciente de r, a menos que en cuyo caso

es constante. Además, como se ha definido como la media geométrica, se nos

asegura que es una función continua de r. Si , obtenemos la media aritmética. Si obtenemos la media armónica.

DesigualdadesDados dos números reales, x, y tales que se tiene que

3a) Media de la potencia r-ésima con pesosSi son números reales tales que la media de la potencia r-ésima se define por

Si para toda i, la media de la potencia r-ésima con pesos se convierte

en la media de la potencia r-ésima. La función es una función continua de r.

DesigualdadesSi son pesos tales y dos números reales, x, y satisfacen que

, es que

.

4) Desigualdad de Cauchy-Schwartz-BuniakowskySi y son números reales entonces,

con la igualdad si .

Notación VectorialUn vector no es más que una n-upla de números reales, o sea , y por lo

tanto es un elemento de . Dados dos vectores su

producto interno (o producto punto) denotado se define por

.

Podemos asignar a cada vector su norma o longitud, dada por

.

Es posible ahora reinterpretar la desigualdad de Cauchy-Schwartz-Buniakowsky vectorialmente:

Si son dos vectores en

.

5) Desigualdad Triangular GeneralizadaSi son dos vectores en y entonces:

.

O sea,

6) Desigualdad de ChebyshevSupongamos que y o bien y

. Si son números positivos y entonces,

.

Esta desigualdad permite relacionar la media aritmética de los y la media aritmética de

los con la media aritmética de los . Como caso especial se da:

7) Desigualdad de HolderSi y son números reales nonegativos y p, q satisfacen que

, entonces:

La igualdad se da si y son proporcionales.

¿Recuerda la desigualdad:

Si a, b son números nonegativos y p, q satisfacen que entonces

con la igualdad si ?

¿Cómo se puede usar esta desigualdad para establecer la de Holder?

Note que si , la desigualdad de Holder nos da la desigualdad de Cauchy-

Schwartz-Buniakowsky.

8) Desigualdad de MinkowskiSi y son números reales no negativos y entonces:

La igualdad se da si y sólo si los vectores y son proporcionales.

9) Desigualdad de Bernoulli Si y n es un entero positivo, entonces:

.

Si el exponente es real, la versión es: si y entonces si

y si

10) Funciones convexasMuchas desigualdades se pueden establecer elegantemente haciendo uso de una propiedad de las funciones continuas a valores reales definidas en intervalos, la propiedad de convexidad.Una función a valores reales, continua y definida en un intervalo I subconjunto de se dice de gráfica convexa (o por abuso de lenguaje, convexa) si para todos los puntos

y para cualquier se tiene que:

.

Geométricamente, la gráfica de la función f es convexa si independientemente de cómo se escojan los puntos en la gráfica de la función, el segmento que une a estos dos puntos está por encima de la gráfica.

Para ver ésto asumamos que son dos puntos de la gráfica de f

con . Sea un

punto arbitrario de la gráfica de f que satisface .

Si es un punto en el

segmento , estableceremos que .

Sea,

entonces, y

.

Además,

, por lo que

En consecuencia, la condición es equivalente a la condición de convexidad

.

La definición de convexidad es equivalente a una condición más sencilla: Una función a valores reales, continua y definida en un intervalo I subconjunto de se dice de gráfica convexa (o por abuso de lenguaje, convexa) si para todos los puntos se tiene que:

.

Notas: 1. Si para todo entre 0 y 1, se verifica que

entonces la condición de continuidad no es necesaria.

Si en la condición la desigualdad se invierte se dice que la gráfica de la función es cóncava.2. Si f definida en el intervalo I es tal que para todo x en I, , la gráfica de f es convexa en I. Si , la gráfica de f es cóncava en el intervalo I.

Desigualdad de JensenSi son números reales tales que y son n puntos de un intervalo en el cual f es continua y convexa, entonces:

.

y 2

f(x m )

xm x 2x 1

y n

B

AM

N

y 1

La desigualdad de Jensen está basada en el siguiente hecho geométrico que satisfacen las

funciones convexas: En todo punto de la gráfica de una función convexa en un

intervalo I, existe al menos una recta de soporte, o sea una recta de la forma para la cual

para todo Precisamente, si f es convexa en el intervalo I, entonces la desigualdad anterior se da para todo x en I.

Propiedad Importante: Si f es continua y convexa en el intervalo , entonces el

máximo valor de f lo toma en los puntos extremos, o sea si ,

entonces:

para todo .