desenvolvimento análise de sistemas lineares

20

1 INTRODUÇÃO

O trabalho constitui-se da análise do comportamento do sistema de Pêndulo

de Torção. Antes do desenvolvimento do trabalho é preciso definir o que é um

sistema de controle e quais as componentes que fazem parte do sistema de Pêndulo

de Torção, para assim entendermos seu funcionamento. A definição de sistemas de

controle é muito ampla, apesar da presença constante destes em nossa vida muitas

vezes temos dificuldades de entender o processo de que estes são constituídos e

sua definição. O autor do livro Engenharia de sistemas de controle, Norman Nise

define este conceito no seguinte trecho do livro: “[...] Um sistema de controle

consiste em subsistemas e processos (‘ou plantas’) reunidos com o propósito de

controlar as saídas do processo.” (NISE, 2009, p. 2). Sistemas de segunda ordem

possuem características bem particulares, as quais serão aprofundadas durante o

desenvolvimento deste trabalho.

2 ENUNCIADO DO EXERCÍCIO

O enunciado do exercício escolhido como exemplo para o desenvolvimento

do trabalho foi retirado do livro de Sistemas de controle e realimentação, é o

seguinte: “[...] Considere o pêndulo de torção modelado na Figura 1. Uma aplicação

deste tipo de pêndulo são os relógios que normalmente são colocados dentro de

uma cúpula de vidro. O momento de inércia da esfera do pêndulo é representado

por J, B indica o atrito entre a esfera e o ar, e K representa a elastância da

suspensão metálica. Aqui assumimos que o torque é aplicado á esfera do pêndulo,

enquanto em um relógio o torque é aplicado por um complexo mecanismo de mola.

Somando os torques na esfera temos: Jd2θ(t )dt 2

=τ ( t )−B dθ( t )dt

−Kθ (t).”

(PHILLIPS,1997, p. 41). A figura 1 mostra a imagem retirada do livro Sistemas de

controle e realimentação que mostra o diagrama do Pêndulo de Torção.

21

Figura 1 – Diagrama do pêndulo de torção

Fonte: Sistemas de controle e realimentação, 1997

3 MEMÓRIA DE CÁLCULO

Os cálculos do trabalho foram divididos em tópicos para facilitar a

compreensão do leitor e o desenvolvimento do trabalho, sendo que toda a memória

de cálculo esta em anexo ao final do trabalho com as contas realizadas de forma

manuscrita.

3.1 Função de transferência do sistema

1º passo: modelar matematicamente o sistema (equações):

τ ( t )=J d2θ( t)dt 2

+Bdθ(t)dt

+Kθ(t)

2º passo: aplicar a transformada de Laplace:

τ ( s )=J s2θ (s )+Bsθ (s )+Kθ(s )

τ ( s )=[J s2+Bs+K ]θ(s)

3º passo : função de transferência:

22

F .T .=θ (s )τ (s)

=θ (s)

[ J s2+Bs+K ]θ (s )= 1J s2+Bs+K

Como o exemplo adotado nos forneceu apenas uma função de transferência

genérica, ou seja, para quaisquer valores de constantes, precisamos encontra-las

neste momento. Por termos mais familiaridade com circuitos elétricos, optamos por

encontrar um que seja análogo ao nosso sistema, a fim de, através de valores de

componentes elétricos, determinarmos os valores de nossas constantes, sendo que

este circuito deverá ter uma resposta subamortecida, já que foi recomendado que o

exemplo adotado para o trabalho tivesse esse tipo de resposta.

4º passo: isolar a derivada de mais alta ordem na equação:

Jd2θ(t )dt 2


−Kθ (t)

5º passo: modelo matemático análogo (elétrico paralelo):

Cdv (t )dt

=i (t )− 1Rv ( t )−1

L∫ v ( t )dt

6º passo: desenho do análogo elétrico paralelo:

Figura 2 – Circuito elétrico análogo paralelo

Fonte: Elaborado pelos autores

23

7º passo: encontrar as constantes através de um circuito elétrico com

subamortecido:

Para uma resposta subamortecida, deveremos obter α<ωn , onde:

α = frequência neperiana = 12RC

rad/s;

ωn = frequência de ressonância = 1

√LC rad/s.

Iremos testar a resposta para : R = 1KΩ, L = 256mH e C = 100nF:

α= 1

2∗(1∗103 )∗(100∗10−9)=5000 rad / s

ωn=1

√(256∗10−3 )∗(100∗10−9)=6253 rad /s

Como α (5000 )<ωn(6250), então este circuito é subamortecido.

8º passo: transformar as grandezas elétricas para as constantes do sistema:

J=C=100∗10−9

B= 1R

= 11000

=1∗10−3

K= 1L= 1

256∗10−3=3,91

9º passo: função de transferência com as constantes:

F .T .=θ (s )τ (s)

= 1

(100∗10−9 ) s2+(1∗10−3 ) s+3,91

3.2 Representação em espaço de estados

1º passo: isolar a derivada de mais alta ordem:

24

Jd2θ(t )dt 2


−Kθ (t)

2º passo: identificação dos parâmetros:

x (t )=[ x1( t)x2( t)]; x ' ( t )=[ d x1( t)dtdx2(t)dt

]; u (t )=[τ (t )]; y (t )=[θ(t) ]

3º passo: mudança de variáveis:

x1 ( t )=θ (t); x2 ( t )=dθ (t)dt

; x1' ( t )=dθ(t )

dt=x2 (t ); x2

' ( t )=d2θ (t)dt2

;

x1' (t )=x2(t); x2

' ( t )=1Jτ ( t )−B

Jx2 ( t )−K

Jx1( t);

4º passo: colocar em espaço de estados:

x ' ( t )=Ax ( t )+Bu (t );

[ x1' (t)x2' (t)]=[ 0 1

−39,1∗106 −10∗103]∗[x1 ( t )x2 ( t )]+[ 0

10∗106]∗[ τ ( t ) ];

y (t )=Cx ( t )+Du(t );

θ (t )=[1 0 ]∗[ x1(t)x2(t)];

3.3 Forma padrão dos sistemas de segunda ordem

Para expressarmos este sistema na forma padrão, teremos de calcular alguns

valores característicos destes sistemas de segunda ordem. Forma padrão do

sistema de segunda ordem:

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θ(s)τ (s)

=ωn

2

s2+2ξωn s+ωn2=

(39,1∗106)s2+(10∗103 ) s+(39,1∗106)

A partir de uma analogia entre as duas equações da igualdade acima, vamos

encontrar os parâmetros do sistema em questão. Os parâmetros são a frequência

natural não amortecida e o coeficiente de amortecimento. Como o sistema é

subamortecido, temos 0<ξ<1.

3.3.1 Frequência natural não amortecida

A frequência natural não amortecida é representada pelo símbolo (ωn¿. Como

o sistema do trabalho é subamortecido temos a seguinte equação genérica para o

sistema: s2+2ξωn s+ωn2=0(1). Por analogia com a equação característica do sistema

estudado temos s2+(10 x103 ) s+(39,1x 106 )=0 (2). Comparando as equações (1) e (2).

Chegamos as seguintes condições: 2ξωn= (10x 103 ) e ωn2=(39,1 x106 ). Desta forma

temos:ωn= 6253 rad/s. Através de um algoritmo no MATLAB este valor também foi

calculado e o valor foi o mesmo. O algoritmo se encontra no final do trabalho.

3.3.2 Coeficiente de amortecimento do sistema

O coeficiente de amortecimento do sistema é representado pelo símbolo (ξ ¿.

Utilizando a seguinte equação deduzida anteriormente e substituindo o valor de ωn

encontrado temos: 2ξωn= (10x 103 ) => 2∗ξ∗6253=(10 x103 )=¿ξ=0,8. O que comprova

que o sistema é subamortecido já que 0<ξ<1. Através de um algoritmo no MATLAB

este valor também foi calculado e o valor foi o mesmo. O algoritmo se encontra no

final do trabalho.

3.4 Erro em regime permanente

26

Quando o sistema entra em regime estacionário, uma forma de analisar este

sistema é pelo erro em regime permanente que é calculado pelo “Teorema do valor

final”: ess= limt →∞

e ( t )=¿ lims ‐ ›0

s [¿ E(s)]¿¿.

No sistema do trabalho vamos analisar o erro para uma resposta ao degrau,

então utilizando e o terrorem anterior obtemos a seguinte expressão:

ess= lims ‐ ›0

s

[¿ 1

(100∗10−9 ) s2+(1∗10−3 ) s+3,91]∗1

s¿

Rescrevendo a equação anterior e simplificando os (s) da expressão,

obtemos:

ess=lims ‐ ›0

[¿ 1

(100∗10−9 ) s2+ (1∗10−3 ) s+3,91]¿

ess=lims ‐ ›0

[¿ 1(s+5− j3,75 )∗(s+5+ j 3,75)

]¿

ess=25,6 x 10−3ouess=2,56%

Através de um algoritmo no MATLAB este valor também foi calculado e o

valor foi o mesmo. O algoritmo se encontra no final do trabalho.

3.5 Sobre sinal máximo

O sobre sinal máximo pode ser definido como o quanto a forma de onda, no

instante de pico, ultrapassa o valor estacionário e é expresso em porcentagem. É

encontrado através da seguinte equação:

M p=e−( ξ√(1−ξ 2))π∗100%=e

−( 0,8√ (1−0,8 2))π∗100%=1,52%



3.6 Tempo de estabilização

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O tempo de estabilização pode ser definido como o tempo necessário para

que as oscilações amortecidas atinjam um valor de cerca de ¿ 2% em torno do valor

de estado estacionário. Adotando o critério de 2%, então o tempo de estabilização t s

é aproximadamente quatro vezes a constante de tempo do sistema, e é encontrado

através da equação:

t s=4 τ=4ξωn

= 45000

=800μs



3.7 Mapeamento dos polos e zeros

Para fazermos o mapeamento dos polos e zeros primeiro precisamos

determinas eles. Sabendo-se que polos são os valores de s que tornam o

denominador igual a zero e zeros os valores de s que tornam o numerador igual à

zero, vamos identificar eles encontrado as raízes do numerador e denominador.

Como não existe nenhum valor que possa tornar o numerador igual à zero o nosso

sistema não possui zeros. Mas o sistema possui dois polos, sendo que temos um

numerador de grau dois. As raízes do denominador vão ser encontradas através do

método de Bhaskara. Assim, o denominador da F. T. pode ser escrito da seguinte

forma: As2+Bs+C=0 => s2+(10∗103 ) s+(39,1∗106) => A=1; B=(10∗103 ); C=(39,1∗106).

Substituindo estes valores na Fórmula de Bhaskara temos:

s=−b±√b2−4 ac2a

s=−(10∗103 )±√(10∗103 )2−4∗1∗(39,1∗106)

2∗1

Desta forma obtemos as seguintes raízes complexas para o denominador da

F.T. s1= (-5+j3,75)*103 e s2= (-5-j3,75)*103. Através de um algoritmo no MATLAB

28

estes valores também foram calculados e os valores foram os mesmos. O algoritmo

se encontra no final do trabalho. Como essas raízes são os polos, podemos fazer o

mapeamento dos polos e zeros. Podemos reescreve a F.T. colocando em função de

sus raízes:

1

(s+5∗103− j3,75∗10³ )∗(s+5∗103+ j3,75∗10³)

Figura 3 – Mapeamento de polos e zeros

Obs.: Os elementos estão multiplicados por 10³.


3.8 Resposta em regime transitório e permanente

A resposta do sistema será dada pela seguinte expressão:

c (t )=1− 1

√(1−ξ2 )∗e−(ξωn ) t∗cos (ωn√(1−ξ2)t−ϕ)

29

Onde ϕ=tan−1( ξ

√(1−ξ2))=tan−1¿

c (t )=1−1,67∗e−5000 t∗cos (3750t−53,13o )

Observando a equação, enquanto a exponencial não for nula, esta irá

amortecer a resposta com o decorrer do tempo, caracterizando o regime transitório.

Após o decorrer do tempo, o valor da exponencial tenderá a 1, e a resposta então irá

variar somente com a função cosseno, caracterizando o regime permanente ou sem

amortecimento.

4 SIMULAÇÃO DOS RESULTADOS

4.1 Diagrama de blocos e gráfico do MATLAB e SIMULINK para degrau unitário

Gráfico 1 – Resposta ao degrau unitário (MATLAB)


Gráfico 2 – Resposta ao degrau unitário (SIMULINK)

30


Figura 4 – Diagrama de blocos do SIMULINK para degrau unitário


4.2 Diagrama de blocos e gráfico do MATLAB e SIMULINK para a rampa

unitária

Gráfico 3 – Resposta a rampa unitária (MATLAB)

31


Gráfico 4 – Resposta a rampa unitária (SIMULINK)


Figura 5 – Diagrama de blocos do SIMULINK para rampa unitária


4.3 Diagrama de blocos e gráfico do MATLAB e SIMULINK para espaço de

estados

32

Gráfico 5 – Resposta ao degrau unitário em espaço de estados (MATLAB)


Gráfico 6 – Resposta a rampa unitária em espaço de estados (MATLAB)


Gráfico 7 – Resposta final - regime transitório e permanente para espaço de

estados (SIMULINK)

33


Figura 6 – Diagrama de blocos para o degrau unitário do SIMULINK para

espaço de estados


Figura 7 – Diagrama de blocos para a rampa unitária do SIMULINK para espaço

de estados


4.4 Diagrama de blocos e gráfico do MATLAB e SIMULINK para a resposta final

Gráfico 8 – Resposta final - regime transitório e permanente (MATLAB)


34

Gráfico 9 – Resposta final - regime transitório e permanente (SIMULINK)


Figura 8 – Diagrama de blocos do SIMULINK para resposta final


4.5 Respostas de segunda ordem subamortecidas com os valores dos

coeficientes de amortecimentos

Figura 9 – Diagrama de respostas

Fonte: Engenharia de sistemas de controle, 2005

35

Observando-se a figura 8, entende-se que quanto mais próximo de 1 for o

valor do coeficiente de amortecimento do sistema, menos amortecido será o sinal.

4.6 Mapeamento dos polos e zeros

Gráfico 10 – Mapeamento dos polos e zeros (MATLAB)


4.7 Resultados pelo MATLAB

Figura 10 – Resultados pelo MATLAB

36


4.8 Algoritmos do MATLAB

37

Figura 11 – Algoritmo geral (parte 1)



38



39



40


5 CONCLUSÃO

41

Constatou-se, pelo presente trabalho, o dinamismo dos sistemas físicos

mecânicos de translação, os quais são modelados através de equações íntegro-

diferenciais de segunda ordem, que possuem um comportamento inicial e outro após

um dado tempo. Este comportamento inicial, definido como transitório, é uma

pequena faixa de tempo onde o sinal sofre um amortecimento e o outro, definido

como regime permanente, é a fase em que não há mais amortecimento na resposta

final. Analisando todos os cálculos realizados e comparando-os com as simulações

no MATLAB e SIMULINK, observou-se que houve certa coerência entre ambos, já

que em sistemas desta natureza, onde há uma precisão considerável devido as

constantes de tempo bem pequenas, pequenos desvios entre cálculos feitos à mão

e resultados computacionais são perfeitamente aceitáveis.

REFERÊNCIAS

42

BARCZAK, Czeslau L. Controle digital de sistemas dinâmicos: projeto e análise. São Paulo: E. Blücher, c1995. 295p.

DORF, Richard C.; BISHOP, Robert H. Sistemas de controle modernos. 11. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2009. xx, 724 p.

NILSSON, James William; RIEDEL, Susan A. Circuitos elétricos. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, c2009. xiii, 574 p.

NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2009. xix, 682 p.

NORMAS DA ABNT. Citações e Referências Bibliográficas. Disponível em: < http://www.leffa.pro.br/textos/abnt.htm >. Acesso em: 10 de mar. 2013.

OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2003. x, 788 p.

PADRÃO PUC MINAS DE NORMALIZAÇÃO. Trabalhos Acadêmicos. Disponível em: < http://pucminas.br/biblioteca/index_padrao.php >. Acesso em: 10 de mar. 2013.

PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo: Makron Books do Brasil, c1997. 558 p.

ANEXOS A

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ANEXOS B

desenvolvimento análise de sistemas lineares

Engineering