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Desarrollo de habilidades de comprensión de
los números enteros a través de las tic
JULIANA CASTAÑEDA BEDOYA
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Sede Manizales
2018
Desarrollo de habilidades de comprensión de
los números enteros a través de las tic
JULIANA CASTAÑEDA BEDOYA
Trabajo de investigación presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director
Ph.D Diego López Cardona
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Sede Manizales
2018
Dedicatoria
A Dios, quien ha permitido que siga recorriendo el camino que llevo, que no me deja desfallecer
y siempre me brinda fuerzas para levantarme.
A mis padres, quienes iluminan con cada una de sus acciones, sus consejos y regaños cada uno
de los días de mi vida.
“Si quieres vivir una vida feliz, átala a una meta, no a una persona o a un objeto” - Albert
Einstein
Agradecimientos
Agradezco a mis padres por brindarme fuerza, estabilidad, y guiarme en cada uno de los
momentos difíciles de mi vida, en los que he sentido que no hay esperanza de continuar.
A la Universidad Nacional de Colombia – Sede Manizales, por la oportunidad brindada para
cursar mi Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales. A mis profesores quienes,
gracias a su paciente y dedicada guía he podido incrementar mis conocimientos y crecer
profesionalmente.
A mi tutor, el Ph.D. Diego López Cardona, quien gracias a sus recomendaciones y su paciente
guía, es posible la presentación de este trabajo final de maestría, como culmen de mi desarrollo
profesional en la Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad
Nacional de Colombia.
Resumen
Mediante el presente proyecto se elaboró e implementó un nuevo modelo de enseñanza de
números enteros en los estudiantes del grado séptimo de la INSTITUCIÓN EDUCATIVA DE
OCCIDENTE, ubicada en Anserma, Caldas, utilizando una investigación de campo cuantitativa,
correlacional y de diseño cuasi experimental, integrando herramientas de Tecnologías de la
Información y la Comunicación (TIC) en el modelo de enseñanza, con el fin de incentivar el
autoaprendizaje y la mayor interactividad del estudiante con los números enteros, desarrollando
competencias básicas como los signos, el concepto de cero y las operaciones básicas con enteros
positivos y negativos. El modelo favorece la construcción autónoma e independiente del
conocimiento matemático mediante el uso de herramientas cercanas al uso cotidiano de los
estudiantes, quienes las asimilan a una experiencia positiva que puede ser canalizada en el
proceso de aprendizaje. Concretamente, se integró a la enseñanza del concepto de números
enteros el uso de información disponible en la web y las aplicaciones móviles que se pueden
instalar en los teléfonos inteligentes (smartphones).
En primer lugar, se hizo un inventario sobre el conocimiento previo en torno a los números
enteros. Después, se aplicó el modelo pedagógico a un grupo experimental de la Institución
Educativa, mientras se continuaba con la metodología tradicional con un grupo de control en
similares circunstancias que el grupo experimental. La aplicación del modelo pedagógico de
integración de TIC implicó la consulta del concepto de números enteros y el uso práctico de
aplicaciones móviles para la aplicación de estos en circunstancias concretas.
Luego de ello, se efectuó una medición de conocimientos a través de un pos-test, en donde se
pudo corroborar la mayor efectividad del método pedagógico que involucra las TIC de forma
creativa, ante la enseñanza tradicional que fue impartida al grupo de control. A partir de allí se
formulan unas conclusiones y unas recomendaciones para integrar este modelo pedagógico en la
enseñanza de otros conceptos matemáticos.
Palabras clave: Aprendizaje significativo, enseñanza de las ciencias exactas, números
enteros, TIC, modelo pedagógico innovador.
Development of Comprehension Abilities of Whole Numbers
through the Use of Communication and Information
Technologies.
Abstract:
Through this project the investigator has developed and implemented a new teaching model of
the whole number in the seventh level in the students of INSTITUCIÓN EDUCATIVA DE
OCCIDENTE, located in Anserma, Caldas, it uses a quantitative investigation, related to an
experimental design; this process integrates Communicative and Information Technologies
(CIT) in the teaching practice, looking for motivation in self-learning and increasing
interactivity among students and whole numbers, it pretends to develop basic abilities in
mathematical marks, the concept of zero and basic operations with positive and negative
numbers. This model encourages the self and independent construction of mathematical
knowledge using tools to the students have in their daily life, who takes them as a positive
experience that could be appropriately used in the learning process. Specifically, it integrates into
the teaching of whole numbers through the use of web information and as well as mobile
applications available in smartphones.
First of all, an inventory was made with the previous knowledge about the whole numbers. Then,
a pedagogical model was applied in a group of the institution, while the traditional class
methodology was applied in a control group in similar circumstances as the experimental group.
The application of the pedagogical model in CIT integration involved the search of the whole
numbers theory as well as the use of mobile applications in order to use numbers in practical
situations.
Afterward, a knowledge assessment through a test was used, where I could verify the efficacy of
the pedagogical model that involves the CIT in a creative way, in contrast to the traditional
teaching method that was applied the control group. Therefore, I made the conclusions and
suggestions about to integrate this pedagogical model in the teaching of other mathematical
concepts.
Key words: Meaningful learning, accurate science teaching, whole numbers, CIT, innovate
pedagogical model.
Tabla de contenido 1.1. Planteamiento del Problema ................................................................................................................. 3
1.2. Justificación ............................................................................................................................................ 5
1.3 Objetivos ................................................................................................................................................. 7
1.3.1 Objetivo General ....................................................................................................................... 7
1.3.2. Objetivos Específicos....................................................................................................................... 7
2.1. El Número Entero ................................................................................................................................... 8
2.1.1. Descripción conceptual de los números enteros ............................................................................ 8
2.1.2. Descripción gráfica de los números enteros mediante recta numérica ....................................... 10
2.1.3. Propiedades fundamentales de los números enteros ................................................................. 11
2.1.4. Situaciones de uso, representaciones, e interpretaciones de los números enteros (positivos y
negativos) ................................................................................................................................................ 14
2.2. Enseñanza mediante el uso de Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) ..................... 15
2.2.1. El modelo didáctico de proceso. ................................................................................................... 17
2.3 Marco Conceptual ................................................................................................................................. 18
2.3.1. El ABP mediado con tecnología móvil como estrategia pedagógica para el desarrollo de la
competencia matemática en resolución de problemas: un caso con la adición de números enteros
negativos ................................................................................................................................................. 18
2.3.2. Propuesta pedagógica basada en el constructivismo para el uso óptimo de las TIC en la
enseñanza y el aprendizaje de la matemática ........................................................................................ 19
2.3.3. Innovación Educativa: Uso de las TIC en la enseñanza de la Matemática Básica ......................... 20
2.3.4. Las TICs en la enseñanza de las Matemáticas. Aplicación al caso de Métodos Numéricos. ........ 21
2.3.5. Incorporación de entornos tecnológicos de aprendizaje a la cultura escolar: proyecto de
innovación educativa en matemáticas y ciencias ................................................................................... 22
2.3.6. Tendencias Actuales en la Enseñanza-Aprendizaje de las Matemáticas y la Utilización de las
Nuevas Tecnologías de la Información y las Comunicaciones en la Educación ...................................... 24
3.1. Muestra escogida – Grado Séptimo ..................................................................................................... 26
3.2. Enfoque Metodológico ........................................................................................................................ 27
3.3. Estructura Metodológica ..................................................................................................................... 29
3.3.1. Momento uno “de identificación de pre saberes”: ...................................................................... 29
3.3.2. Momento dos, de uso de herramientas TIC para la enseñanza del concepto de números enteros
................................................................................................................................................................ 31
3.3.2.1. Momento de uso de clase magistral para la enseñanza del concepto de números enteros: 32
3.3.3. Momento tres de Pos-test: ........................................................................................................... 33
3.4. Desarrollo de la estructura metodológica ........................................................................................... 33
3.4.1. Desarrollo del primer momento: Aplicación del pre-test ............................................................. 34
3.4.2. Desarrollo del segundo momento, de uso de herramientas TIC para la enseñanza del concepto
de números enteros ................................................................................................................................ 35
3.4.2.1. Momento Dos punto uno de búsqueda de conceptos en la web .......................................... 35
3.4.2.2. Momento dos, punto dos de uso de aplicativos móviles ...................................................... 36
3.4.3. Desarrollo del tercer momento: Aplicación del pos-test .............................................................. 37
4.1. Grupo de control .................................................................................................................................. 40
4.2. Grupo experimental ............................................................................................................................. 46
4.3 Comparación grupo control y experimental ......................................................................................... 52
5.1 Conclusiones ......................................................................................................................................... 54
5.2 Recomendaciones ................................................................................................................................. 54
ANEXO 1. Pre y pos test aplicado al grupo control y experimental ............................................................ 60
ANEXO 2. Evidencias del desarrollo de la metodología .............................................................................. 64
Lista de figuras
Figura 1 – Recta numérica de los números naturales ................................................................... 10
Figura 2 – Recta numérica de los números enteros ...................................................................... 11
Figura 3 – Aplicación del Pre test al grupo experimental ............................................................. 35
Figura 4 – Aplicación del pos-test al grupo de control ................................................................. 38
Figura 5 – Aplicación del pos-test al grupo experimental ............................................................ 39
Figura 6 – Resultados del grupo de control .................................................................................. 40
Figura 7 – Tasa de respuesta en las preguntas 1 a 5 en pre y pos-test en el grupo de control ...... 42
Figura 8 – Tasa de respuesta en las preguntas 6 a 10 en pre y pos-test en el grupo de control .... 43
Figura 9 – Tasa de respuesta en las preguntas 11 a 15 en pre y pos-test en el grupo de control .. 44
Figura 10 – Tasa de respuesta en las preguntas 16 a 22 en pre y pos-test en el grupo de control 45
Figura 11 – Resultados del grupo experimental ........................................................................... 47
Figura 12 – Tasa de respuestas en las preguntas 1 a 5 en el pre y pos-test en el Grupo
Experimental. ................................................................................................................................ 48
Figura 13 – Tasa de respuestas en las preguntas 6 a 10 en el pre y pos test en el Grupo
Experimental ................................................................................................................................. 49
Figura 14 – Tasa de respuesta en las preguntas 11 a 15 en el pre y pos test en el grupo
experimental .................................................................................................................................. 51
Figura 15 – Tasa de respuesta en las preguntas 11 a 15 en el pre y pos test en el Grupo
Experimental ................................................................................................................................. 52
Figura 16 – Comparación de resultados entre grupo de control y grupo experimental. ............... 53
1
Introducción
Comúnmente, la enseñanza de cualquier concepto ha consistido en un diálogo jerárquico entre el
docente y los estudiantes, en el cual el primero imparte su conocimiento a éstos, quienes deben
aprenderlo de forma pasiva. A partir de allí, se plantea una metodología de evaluación mediante
pruebas escritas.
En la metodología docente en las matemáticas también se encuentra presente otro problema: El
abuso de cuestiones teóricas que desorientan a los estudiantes o los llevan al desinterés, sin
mostrar usos prácticos de los conceptos que se imparten y que pueden tener una gran incidencia
en la vida práctica, planteados en forma de competencias básicas (MEN, 2006)
Por tanto, la didáctica de las ciencias exactas, específicamente en la enseñanza del conocimiento
matemático, tiene una preocupación: Cómo contribuir a mejorar la receptividad de los
estudiantes ante los conocimientos que se imparten. Para ello es imperativo el uso de nuevos
métodos y herramientas que dinamicen el proceso pedagógico.
Para ello, se debe tener en cuenta los significados construidos en torno al conocimiento
matemático, los obstáculos de los estudiantes para el aprendizaje, el contexto socioeconómico y
educativo, entre otros.
Teniendo en cuenta que la didáctica pretende “fundamentar y regular los procesos de enseñanza
y aprendizaje constituyendo un campo de saber de amplio espectro, por cuanto incluye el
conjunto de conocimientos, métodos y técnicas que permiten enseñar con eficacia” (CASTRO et
al. 2011, pág 2) es necesario construir estos métodos y técnicas que permitan obtener mayor
eficacia en la enseñanza de conceptos matemáticos.
En matemáticas es necesario tener en cuenta la ruptura epistemológica en la enseñanza, puesto
que se ha pasado de un paradigma objetivo a una “construcción personal y social de
significados” (QUIROGA, CORONADO Y QUINTANA. 2011. Pág. 2). Aunado a lo anterior,
2
la formación de unas “competencias matemáticas” como concepto complejo, implica una mayor
reflexividad en la didáctica matemática.
En específico, el proceso de enseñanza de matemáticas en la Institución Educativa de Occidente
se caracteriza por tener una metodología tradicional, con gran relevancia de la memoria y con
poco uso práctico de los conceptos, lo cual dificulta la apropiación del conocimiento por parte de
los estudiantes.
Por lo anterior, es necesario elaborar un modelo pedagógico que incluya nuevas herramientas
educativas en el proceso de enseñanza de las matemáticas, concretamente los números enteros,
que vincule nuevas herramientas de Tecnologías de la Información y la Comunicación, con el fin
de dinamizar el proceso y la apropiación por parte de los estudiantes de los conceptos
matemáticos impartidos.
3
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1. Planteamiento del Problema El avance tecnológico a pasos agigantados en los últimos años ha creado un nuevo reto en
materia educativa: Implementar nuevas herramientas que permitan incrementar la efectividad de
la educación y el interés del estudiantado en temas que comúnmente se creen complejos, como la
enseñanza de las ciencias exactas.
Por esto, es necesario que desde esta misma perspectiva se integre al estudiantado en el
aprovechamiento de la tecnología en el desarrollo de competencias matemáticas, las cuales con
el mismo entusiasmo con que se divierten y pasan tiempo en las diferentes actividades que
proporcionan las múltiples aplicaciones, se transformen en campos de acción y metodologías
pedagógicas concretas que generen interés en utilizar estos medios tecnológicos en el
aprendizaje.
Rompiendo con los acostumbrados esquemas basados en una disciplina de orden, jerarquía, y
poca participación del estudiante-oyente, que desembocan en los conocidos casos de
aburrimiento, se hace necesario integrar herramientas TIC en la enseñanza, puesto que
transforman al estudiante en un actor dinámico del aprendizaje, toda vez que utiliza la
información disponible en el ciberespacio para corroborar lo enseñado, o para profundizar este
conocimiento de forma autónoma.
Esta herramienta puede contribuir a la enseñanza y aprendizaje de números enteros, los cuales
presentan particulares problemas metodológicos, como el uso erróneo de los signos, el uso del
cero (0) como una cantidad absoluta y la asimilación de las propiedades de los números naturales
como propios de los enteros. Cabe destacar que, al requerir estos problemas metodológicos una
enseñanza con un gran complemento práctico, las TIC son una alternativa interesante que
permiten profundizar en las propiedades del conjunto de los números enteros y sus usos
cotidianos.
Ahora bien, surge una interrogante en todos los estudiantes que debe ser resuelta mediante la
enseñanza didáctica y el modelo pedagógico que incluye herramientas TIC: ¿Con qué finalidad
se aprenden los números enteros? Los Estándares Básicos de Competencias formulados por el
4
Ministerio de Educación Nacional (2006, pág. 46) indican que la formación básica en
matemáticas debe ser entendida como una formación para la vida práctica y para el desarrollo del
pensamiento lógico, poniendo un destacado énfasis en lo práctico.
Tal como lo expone NINAHUANCA (n.d. Pág. 5), la enseñanza de los números enteros permite
aplicar conceptos prácticos como la contabilidad, la física o ubicaciones geográficas, puesto que
pueden ser expresadas en magnitudes negativas o positivas. Al tener este tipo de aplicaciones
prácticas, se hace imperativa una enseñanza adecuada de los números enteros.
Sin embargo, como lo exponen MARÍN, ROMERO E HIDALGO (2017, Pág. 7), históricamente
en el estudio de los números enteros se encuentra dificultades importantes como errores
conceptuales en listas y escalas, confusiones con el signo y la ubicación gráfica de los números
en un plano cartesiano. Por tanto, en la enseñanza matemática mediante herramientas TIC se
debe reconocer la necesidad de superar estas dificultades con el fin de que mejore realmente la
apropiación del concepto por parte del estudiante y se logre el objetivo de la metodología
indicada.
Evidenciado este problema, y para profundizar el estudio de la misma en un espacio geográfico
delimitado, se plantea la siguiente pregunta de investigación: ¿Cómo aprovechar las
herramientas TIC que llevan los estudiantes de grado 7 en matemáticas a la Institución
Educativa de Occidente del municipio de Anserma Caldas para recuperar su interés por el
aprendizaje de los números enteros?
5
1.2. Justificación El problema de investigación planteado previamente implica una reflexión creativa en torno a la
actividad docente: ¿Cómo utilizar las herramientas TIC para la enseñanza de ciencias exactas
para los estudiantes?
Esta reflexión es importante en dos aspectos: permite la introducción de nuevas herramientas
interactivas en la apropiación y aprendizaje de nuevos conceptos, y permite la eliminación de las
frecuentes barreras que presentan los estudiantes en la enseñanza de ciencias exactas, eliminando
la acostumbrada formalidad y falta de practicidad de la que tanto han escuchado los docentes.
Es común en los estudiantes frente a la enseñanza de áreas de las ciencias exactas (como las
matemáticas, la física, etc.) su constante queja frente a la excesiva teoría allí impartida y la poca
(o nula) importancia práctica de la misma. Por tanto, es urgente que los docentes formulen
modelos pedagógicos encaminados a incentivar y retar a los estudiantes en el aprendizaje de este
tipo de ciencias.
De forma específica, es necesario destacar un concepto importante de las matemáticas que
presenta mayor resistencia y dificultad para el aprendizaje. Este es el conjunto de los números
enteros (Z). Tal como lo indica NINAHUANCA, (n.d. Pág. 5), una de los mayores obstáculos
para la enseñanza de este concepto es la creencia de que en todos los conjuntos numéricos
aplican las propiedades de los números naturales (N). Es decir, que todos los conjuntos
numéricos tienen como límite inferior al 0, cuyo valor es nulo y por lo tanto no puede existir
ninguna expresión numérica menor al mismo.
Con base en esta creencia (arraigada en la enseñanza primaria), los estudiantes no pueden
comprender en su totalidad los usos prácticos del conjunto numérico de los enteros (Z).
En este sentido, y como uno de los retos docentes presente en la enseñanza de las matemáticas,
es necesario identificar una metodología didáctica que permita superar este importante problema
y pueda contribuir al aprendizaje efectivo del concepto y usos de los números enteros.
Para la solución del mismo podrían utilizarse diversas herramientas: Blogs informativos, videos
educativos, etc. No obstante, puesto que la barrera de aprendizaje antes indicada es una creencia
bien arraigada en la enseñanza matemática de los estudiantes, es necesaria la combinación de
6
diversas herramientas y una orientación clara del docente. Sin ello, la resolución del importante
problema del aprendizaje de los números enteros podría no tener éxito.
En este modelo pedagógico se busca obtener la atención completa y el mínimo rechazo hacia las
clases y los conocimientos impartidos, creando una cultura de participación, en un ámbito de
competencia sana, con una constante actualización en aplicaciones y herramientas tecnológicas
que redunden en un mejoramiento de las clases y espacios educativos.
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1.3 Objetivos
1.3.1 Objetivo General
Desarrollar habilidades de comprensión de los números enteros con el uso de las TIC como herramienta
didáctica, con estudiantes del grado 7 de la Institución Educativa de Occidente del municipio de Anserma
Caldas.
1.3.2. Objetivos Específicos
• Diagnosticar los Pre - saberes y conocimientos de los números Enteros en los estudiantes.
• Buscar herramientas didácticas basadas en TIC para la enseñanza de los números Enteros
(z).
• Diseñar una metodología para el uso y la aplicación de las herramientas encontradas.
• Evaluar las competencias y análisis de resultados.
8
2. MARCO TEÓRICO
En este apartado se explicarán los fundamentos teóricos del presente proyecto. Puesto que la
perspectiva teórica es una herramienta que permite profundizar la contextualización del
problema planteado y los objetivos deseados, el presente apartado se dividirá en dos
perspectivas: La construcción teórica del concepto de números enteros (el cual es fundamental
para la identificación de los conceptos por parte del docente), y el concepto de enseñanza
mediante Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC).
2.1. El Número Entero
2.1.1. Descripción conceptual de los números enteros
Las expresiones numéricas, como bien es sabido, se dividen en dos grandes conjuntos: Números
reales y números imaginarios, entendidos los primeros como aquellos que se pueden escribir
como un decimal (CORTES et al, 2016. Pág. 3). Dentro del conjunto de los números reales se
encuentran otros subconjuntos, como el de los naturales (N), el de los racionales (Q) y en
relación con la presente investigación, el de los Enteros (Z).
Se entiende como el conjunto de números enteros a la extensión de los números naturales a
cantidades negativas y el número cero (0), lo que permite una representación gráfica infinita en
el plano cartesiano del mismo y permiten representar cantidades con relaciones opuestas, como
la pérdida o la ganancia de una cantidad, más allá del número cero (0) (CORTES et al, 2016.
Pág. 3)
Este conjunto es utilizado, por ejemplo, para la localización espacial en un plano cartesiano, así
como para magnitudes vectoriales en física, la medición de magnitudes de temperatura, el
registro de operaciones contables, etc.
9
Claramente, la notación y el uso de los números propios de este conjunto no fue inmediato. En
primer lugar, cabe destacar que es el número natural (N) quien antecede a cualquier conjunto
numérico, puesto que es la más sencilla expresión de cantidades visibles y tangibles para el ser
humano: cantidad de compañeros de una tribu, de ovejas de un rebaño, de vacas, etc.
(NINAHUANCA, n.d. Pág. 5)
Con base en esto, se crearon diversos sistemas numéricos que representaban las cantidades
naturales: Algunos las representaban con letras, como las notaciones griega y romana, con
ideogramas como la china, con marcas como la babilonia o la maya. Con base en este concepto,
y en aras de mayor claridad, se fue imponiendo en el mundo civilizado la notación indo-arábiga,
que utilizamos actualmente.
Si bien es cierto se intentaron clasificaciones numéricas, como la que realizaron los pitagóricos
con sus axiomas sobre los números pares e impares, en la teoría de los números no existían una
categorización de la misma, así como se consideraba que no existían propiedades absolutas de
los números, como la divisibilidad o la sustracción (NINAHUANCA, n.d. Pág. 7)
Con base en esto, se entendía que las cantidades negativas eran sustracciones finitas de los
números, y que aquellas que llegaran más allá del cero (0) no tenían representación lógica. Por
ello, se llamaron números absurdos. Son los matemáticos indios, quienes aproximadamente en el
Siglo VII d.C. construyeron una diferenciación entre números negativos y positivos,
interpretándolos como créditos y débitos (respectivamente), creando una distinción simbólica
para los mismos.
Fueron ellos, quienes, utilizando los teoremas del álgebra geométrica acuñados por los griegos,
demostraron las reglas numéricas de solución de ecuaciones en números positivos y negativos.
(NINAHUANCA, n.d. Pág. 9). Como ejemplo del refinamiento logrado por los indios, el
matemático Brahmagupta presentó soluciones negativas para las ecuaciones cuadráticas.
Sin embargo, estos números y sus teoremas generaron bastante controversia. Matemáticos como
CARDAMO y WALLIS los consideraban falsos, puesto que no existía nada menor que el cero
10
(0). Frente a estas objeciones, LEONARD EULER en 1770 trata de demostrar, mediante el uso
de la ley de los signos que (-1) • (-1) = +1, puesto que otras operaciones como (-1) • (+1) = -1 y
(+1) • (+1)= +1 eran la prueba matemática de la misma; es decir, que los signos negativo y
positivo multiplicados por otro igual, daban positivo (+ • + = +; - • - = + ) (NINAHUANCA, n.d.
Pág. 10)
Con la introducción de signos como cantidades negativas, se puede extender infinitamente el
conjunto de los números naturales, tanto en términos positivos como en negativos. Con esto, se
elimina la propiedad de clausura que tienen los números naturales y se amplía este conjunto, que
se denominará Conjunto de los Números Enteros (Z).
2.1.2. Descripción gráfica de los números enteros mediante recta numérica
Como lo hemos mencionado anteriormente, el conjunto de los números enteros es una extensión
de los naturales, incluyendo cantidades negativas que permitan romper o diluir la propiedad de
clausura de aquel conjunto, con el fin de extenderse infinitamente en cualquier sentido (gráfico,
algebraico, etc).
Para representar gráficamente los números naturales, como origen de los enteros, se traza la
siguiente recta numérica (Ver Figura 1):
Figura 1 – Recta numérica de los números naturales
En esta recta, se puede evidenciar que el conjunto de los números naturales está integrado por
representaciones positivas infinitas, y con un límite representado mediante el número cero (0),
11
entendido mediante la propiedad de que nada puede ser menor a cero. En este sentido, cualquier
operación matemática tiene soluciones finitas.
Por otra parte, con el uso reiterado y extendido del signo negativo como expresión de deuda o
sustracción, se elimina la regla “nada es menor que cero”, con lo cual se puede expresar
gráficamente cualquier cantidad infinita positiva o negativa de forma gráfica, tal como se
evidencia en la siguiente recta numérica (Ver Figura 2):
Figura 2 – Recta numérica de los números enteros
Con base en lo anterior, operaciones básicas como la suma o la resta se asimilan a un
desplazamiento entre las cantidades negativas y positivas de los números enteros. En tal sentido,
si se plantea la operación 4 – 5, no se hablaría de una cantidad que nunca puede ser menor a cero
(0), sino un desplazamiento gráfico más allá de esta cantidad, la cual cumple la función de
término medio o punto neutro. Es decir, el resultado de esta operación sería -1, tal como se puede
evidenciar en la recta numérica que se relaciona en la Figura No. 2.
2.1.3. Propiedades fundamentales de los números enteros
Tal como lo evidenciamos, al ser el conjunto de los números enteros (Z) una extensión de los
números naturales (N) pero con diferentes propiedades, las cuales son las siguientes:
a. Las operaciones efectuadas entre números enteros como suma, resta o multiplicación, dan
como resultado otro número perteneciente al mismo conjunto. (CORTES ET AL, 2016. Pág. 4)
Es decir:
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Si a, b, ∈ Z, entonces, a+b ∈ Z y ab∈ Z
b. Los números enteros son los números positivos y negativos:
Z = {… -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Con relación a la suma, se encuentran las siguientes propiedades (ÁNGEL, 2008. Pág. 4):
c. La suma de los enteros está definida de manera convencional: 3+5=8, 7+9=16, etc.
d. Para sumar más de dos números enteros, se deben agrupar de dos en dos:
(3+5) + 8 = 8 + 8; (5+6) + 9 = 11+9
e. La suma de números enteros es conmutativa, es decir, el orden de los sumandos no altera el
resultado:
4+9=13; 9+4=13
f. La resta de números enteros es lo mismo que la suma de enteros e inversos aditivos:
6 – 5 =1
g. Todo número entero positivo tiene su negativo, o inverso aditivo:
Para el 1 existe el -1
Para el 3 existe el -3
h. La suma del cero con otro número entero da como resultado el mismo número entero:
5+0 = 5
i. La suma de todo entero positivo con su negativo o inverso aditivo da como resultado cero
3 – 3 = 0
4 – 4 = 0
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Con relación a la multiplicación o producto se tienen las siguientes propiedades (ÁNGEL, 2008.
Pág. 6):
j. El producto es conmutativo, es decir que el orden de los factores no altera el producto:
4 · 5 = 20; 5 · 4 = 20
k. Todo número entero multiplicado por uno da igual al número entero:
5 · 1 = 5; -5 · 1 = -5
l. En el producto de los números enteros se aplica la ley de los signos:
Más por más da más: + · + = +
Menos por menos da más: - · - = +
Más por menos da menos: + · - = -
Menos por más da menos: - · + = -
m. Para combinar la suma y el producto de números enteros se utiliza la ley distributiva:
a (b + c) = ab + ac
Ejemplo: 2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4
Respecto a la divisibilidad de los números enteros, se tienen las siguientes propiedades (ÁNGEL,
2008. Pág. 10)
n. Un número entero a divide a otro entero b si b = ac, con c otro número entero.
2 divide a 10, puesto que 10 = 2 · 5
En este caso se indica que a es factor de b.
o. Propiedad de Euclides: Dados dos enteros a, b, siempre existen otros dos números enteros q,
r. a representa al dividendo, b al cociente, q al divisor, r al residuo, en este sentido a = qb+r. De
esta forma, 0 ≤ r < b.
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2.1.4. Situaciones de uso, representaciones, e interpretaciones de los números
enteros (positivos y negativos)
Una vez definidos el concepto, origen y propiedades de los números enteros, es necesario tener
en cuenta las situaciones en las cuales los alumnos usan, representan e interpretan los números
enteros (Z).
Tal como lo indican GODINO (2004, Pág. 262) existen grandes dificultades entre los alumnos
para manipular y comprender correctamente los números positivos y negativos. Esto es un reflejo
de las dificultades históricas de la comunidad matemática para aceptar los números negativos (tal
como se evidenció anteriormente), así como para aceptar que existen cantidades menores a cero
(0), lo cual permite una extensión infinita de los números positivos y negativos.
En vista de lo anterior, proponen los autores previamente indicados el uso de nuevos conceptos,
y la enseñanza correcta de proporciones y magnitudes.
Adicionalmente, puesto que los números enteros incluyen a los números negativos, es necesario
introducir situaciones en las cuales se hable de cantidades negativas: Medidas, espacio,
temperatura, etc. (BORJAS, 2009. Pág. 31).
Situaciones de medida: En estas situaciones, se usan los números enteros para representar
medidas como las contables, en las que existe un debe y un haber, entendido como saldo
monetario a favor y saldo monetario en contra.
Situaciones espaciales: Los números enteros son utilizados para determinar una ubicación o
distancia, utilizando como punto de referencia un sitio arbitrario, el cual será denominado el cero
(0) de la recta numérica. En este sentido, se puede utilizar para determinar alturas negativas (por
debajo del nivel del mar), para hallar el desplazamiento dado de un punto de referencia hacia la
izquierda o hacia la derecha, etc.
15
2.2. Enseñanza mediante el uso de Tecnologías de la Información y
la Comunicación (TIC)
El uso de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en el ámbito educativo ha
crecido conforme se incrementa su velocidad de transformación y sofisticación. Las TIC, como
herramientas de aprendizaje, deben complementar la actividad de enseñanza, así como lo han
hecho las lecturas, la radio e inclusive la televisión.
Tal como lo ha indicado la UNESCO (2013. Pág. 15) el acceso a herramientas informáticas en la
sociedad del conocimiento y su integración en los modelos educativos es una prioridad, puesto
que la educación tradicional ha sido pensada, diseñada e impartida para satisfacer demandas muy
distintas a las necesarias actualmente.
Por tanto, se deben diseñar esquemas o estrategias pedagógicas flexibles, que integren
herramientas tecnológicas en el proceso de enseñanza y aprendizaje, con el fin de aumentar la
cobertura y la calidad educativa. En el diseño de estas estrategias, se debe tener en cuenta que los
jóvenes que no han vivido sin internet han desarrollado destrezas cognitivas, como el
autoaprendizaje, rapidez en las decisiones y están acostumbrados a tener respuestas instantáneas
a sus acciones (UNESCO, 2013. Pág. 16)
Esto implica rediseñar las estrategias y roles en la enseñanza, para trasladar al estudiante de un
receptor pasivo del aprendizaje, hacia un papel activo, autodidacta y dinámico en dicho proceso.
Sin embargo, este proceso deviene difícil, puesto que existe poca evidencia empírica que permita
contrastar el avance educativo en el uso de herramientas tecnológicas frente a la metodología
tradicional de clase magistral. Por tanto, el alcance actual de la implementación de herramientas
TIC en la enseñanza -y concretamente- en la enseñanza matemática, aún se encuentra en
desarrollo:
“(…) mientras se argumenta sobre el potencial de las Tic para favorecer la mejora de la
calidad de la enseñanza-aprendizaje, lo cierto es que por el momento no hay suficiente
16
aporte empírico que corrobore este hecho (Coll, 2007). Estudios al respecto, por ejemplo
los recopilados por Marquès (2012), de múltiples instituciones y expertos, la síntesis de
resultados del Proyecto Medusa (Area, 2010) o el estudio de Sigalés, Mominó y Meneses,
publicado en 2007, señalan que la integración de las Tic en la enseñanza reglada,
primaria y secundaria, está muy lejos del papel que éstas asumen en otros ámbitos de la
vida.” (ARELLANO, 2014. Pág. 4)
También ha indicado RAMÍREZ (2006. Pág. 3) que esta escasez en instrumentos y trabajos
experimentales que determinen el impacto de las TIC en la enseñanza se presenta por una
preocupación por “hacer las cosas”, puesto que los proyectos aplicativos de entornos de
aprendizaje interactivos se han efectuado de forma desordenada y sin un estudio de resultados
que nutra la investigación (en este caso, a nivel latinoamericano)
Con este fin, los docentes que apliquen el modelo de enseñanza mediante herramientas TIC -y
específicamente, la web-, deben llevar a cabo dos tareas importantes: 1) Inculcar a los
estudiantes un espíritu crítico y de razonamiento lógico, con el fin de que puedan evaluar el
material o información que recolecten de forma autodirigida; y 2) seleccionar sitios (o en este
caso aplicativos) interesantes que contribuyan en la obtención del objetivo (la apropiación de
conocimientos) (DUARTE, 2008. Pág. 4).
Aunado a lo anterior, el uso de herramientas TIC -de forma similar a la educación a distancia-
permite que el autoaprendizaje pueda ser efectuado al ritmo del estudiante, eliminando barreras
como la presión de la obligatoriedad, lo cual le otorga control total al mismo en la educación que
recibe (FERNÁNDEZ y PANADEIRO, 2009. Pág. 7)
Para lograr esto, se deben contar con dos factores fundamentales: La asimilación de las
herramientas tecnológicas por parte de los docentes y centros de enseñanza, y la disponibilidad
de infraestructura apta en TIC (ASTUDILLO, 2016. Pág. 2)
17
2.2.1. El modelo didáctico de proceso.
Dentro de las diferentes corrientes o paradigmas pedagógicos que fundamentan la enseñanza
mediante tecnologías de la información y la comunicación (TIC), y que se tendrán en cuenta en
la presente investigación, se tiene en cuenta el modelo didáctico de proceso (o práctico), que
considera al aprendizaje más como un proceso que como un producto (ASTUDILLO, 2016. Pág.
6). En este sentido, la construcción del conocimiento se genera a partir del desarrollo de
actividades, inspiradas por un objetivo. En estas actividades se encuentran inmersas la
planificación, los contenidos, el espacio, el tiempo y los recursos.
Para este tipo de modelo pedagógico, el proceso de construcción del conocimiento inicia en la
identificación de un problema o quehacer en su oficio por parte del docente, quien, a partir de
allí, construye un modelo pedagógico con un significado concordante con su contexto
sociocultural producto (ASTUDILLO, 2016. Pág. 6). En este sentido, el docente se convierte en
un artista que, mediante una mirada creativa libre de restricciones por parte de normas estrictas,
utiliza técnicas para moldear sus estrategias de enseñanza.
Este modelo tiene una interesante aplicación a la enseñanza mediante Tecnologías de la
Información y la Comunicación (TIC), puesto que permite desligar el uso tradicional de las
mismas como un mero banco de información, mediante el cual los estudiantes (de forma similar
a una biblioteca física) recaudan información de textos y documentos (en este caso digitales)
para construir el conocimiento, proceso que sería guiado rígidamente por un docente.
Este modelo pedagógico implica un proceso creativo del docente para la puesta en práctica de las
TIC como estrategia educativa; por lo tanto, el docente tiene la posibilidad de involucrar a sus
alumnos mediante un proceso creativo que sea considerado como un medio para lograr la
apropiación de un conocimiento.
Con base en lo anterior, se ha formulado mediante el presente trabajo de grado el uso de
Tecnologías de la Información y la Comunicación en la enseñanza de los números enteros,
retomando como principio fundamental de esta metodología pedagógica que: 1) El docente debe
18
ser un agente creativo que identifique un problema en la apropiación y uso práctico de los
números enteros, y 2) debe ser un agente que utilice de forma innovadora las herramientas
otorgadas mediante las Tecnologías de la Información y la Comunicación. Con base en lo
anterior, tal como se describirá a profundidad en el marco metodológico, el uso de Tecnologías
de la Información y la Comunicación se llevará más allá de una sola recolección de información,
para crear un proceso interactivo entre los estudiantes y el concepto.
De ello, y usando el modelo didáctico de proceso, se utilizarán dos momentos: La recolección de
información usando como herramienta TIC el internet; y el segundo consistirá en el uso de
diversas aplicaciones disponibles para los teléfonos celulares, que permitan la enseñanza de los
números enteros.
2.3 Marco Conceptual En el ámbito académico, tal como se ha manifestado en el Marco Teórico, son pocas las
investigaciones experimentales que hayan estudiado de forma concreta el efecto del uso de
herramientas TIC en el aprendizaje (aún menos, en el ámbito de la enseñanza matemática). Para
el particular, destacamos seis trabajos académicos sobre problemas de investigación similares al
aquí planteado
2.3.1. El ABP mediado con tecnología móvil como estrategia pedagógica para
el desarrollo de la competencia matemática en resolución de problemas: un
caso con la adición de números enteros negativos
Esta investigación desarrollada por DOMÍNGUEZ et al (2011), tiene por objeto medir el impacto
del uso del modelo pedagógico de Aprendizaje Basado en Proyectos (ABP) con tecnología móvil
en la enseñanza de problemas aditivos con números enteros negativos. La metodología utilizada
en dicha investigación fue basada en un diseño cuasiexperimental, con enfoque correlacional y
uso de pre y pos-test en la medición de preconceptos y resultados posteriormente a la aplicación
del modelo de ABP (DOMÍNGUEZ et al (2011, Pág. 5). De forma similar a la metodología
desarrollada en el presente proyecto, se determina un grupo experimental y uno de control,
19
teniendo en cuenta que en el primero se implementará el uso del modelo pedagógico y en el
segundo se desarrollarán clases de forma tradicional.
El modelo pedagógico ABP consistió en el uso de tecnología móvil mediante aplicativos para el
aprendizaje y dominio de problemas aditivos en números enteros negativos. Como resultados
determinó que el avance entre pre y posconceptos en el grupo experimental en el que se llevó a
cabo el modelo pedagógico fue casi similar que el presentado en el grupo de control, teniendo en
cuenta que el modelo pedagógico ABP con o sin mediación móvil permite una mayor
participación de los estudiantes en la construcción del conocimiento. (DOMÍNGUEZ et al (2011.
Pág. 11)
Por último, concluyen los investigadores que la mediación de la tecnología móvil no tiene mayor
impacto puesto que este es dado por el uso de la metodología ABP (DOMÍNGUEZ et al (2011.
Pág. 14)
2.3.2. Propuesta pedagógica basada en el constructivismo para el uso óptimo
de las TIC en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática
Esta investigación desarrollada por CASTILLO (2008) realiza una revisión bibliográfica sobre el
enfoque constructivista en la pedagogía matemática, al mismo tiempo que realiza una lectura
sobre el constructivismo en relación con el uso de herramientas TIC en el campo de la
enseñanza. Plantea como preguntas eje las siguientes: “¿qué implicaciones tiene el
constructivismo en Matemática Educativa? y ¿cómo se pueden vincular el constructivismo, la
práctica pedagógica y la enseñanza de las matemáticas que promueven los docentes que utilizan
las TIC?” (CASTILLO, 2008. Pág. 1)
En primer lugar, desarrolla la concepción constructivista, entendida como una propuesta
epistemológica en materia educativa que pretende construir el conocimiento a partir de
experiencias sociales, el entorno, los significados lingüísticos. Se antepone a los enfoques
positivistas y conductistas, puesto que no parte de un concepto de mundo ya determinado, sino
que utiliza los elementos del entorno para construir su significado y a partir de allí determinar la
forma en la que se contribuirá a la adquisición de conocimiento (en la enseñanza o en el
aprendizaje). Se retoman como autores principales a Piaget (Constructivismo Cognitivo),
20
Vigotsky (Constructivismo socio-cognitivo), junto con Maturana y Von Glaserferd como
representantes del constructivismo radical. (CASTILLO, 2008. Pág. 4)
Como implicaciones del constructivismo dentro de la enseñanza matemática, se encuentra la
abstracción reflexiva como forma de construir el conocimiento matemático, y un desarrollo
continuo de estructuras cognitivas a través del aprendizaje matemático. (CASTILLO, 2008. Pág.
6) A partir del concepto constructivista en este campo se pueden identificar problemas,
deconstruir y reconstruir el conocimiento y el aprendizaje por medio de problemas, en un
esquema de autoaprendizaje dirigido y coordinado.
A partir de allí, se plantea un modelo de práctica pedagógica que, basado en el enfoque
constructivista, permite un autoaprendizaje activo, autónomo, diagnóstico, reflexivo y crítico. A
partir de aquí, y con base en el avance tecnológico actual, se permite la integración de
tecnologías de la información y la comunicación (TIC), puesto que incentiva el aprendizaje
autodirigido, siempre y cuando la construcción del mismo se realice mediante la formulación de
problemas que incentiven el modelo constructivista: Crítico, con aprendizaje activo, autónomo,
diagnóstico, etc.
En el área de las matemáticas, particularmente, permite la enseñanza de campos como los
números, la geometría, la estadística, el álgebra, etc, siempre y cuando se enfoquen en la
resolución de problemas y la toma de decisiones.
Aunado a lo anterior, resalta CASTILLO (2008. Pág. 16) que el aprendizaje matemático
mediante TIC es una herramienta y una metodología que incentiva el aprendizaje al usar
problemas de la vida real, así como permite crear y facilitar los procesos cognitivos del
estudiante.
2.3.3. Innovación Educativa: Uso de las TIC en la enseñanza de la Matemática
Básica
En esta investigación de CRUZ y PUENTES (2012) se pretendió medir el impacto del uso de
herramientas TIC en la enseñanza de competencias básicas matemáticas elegidas en el proyecto
PISA de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE): Pensar,
razonar, argumentar, comunicar, modelar, plantear y resolver problemas, representar, utilizar el
21
lenguaje simbólico, formal y técnico, utilizar las operaciones matemáticas, usar herramientas y
recursos. El modelo pedagógico utilizado fue el aprendizaje con herramientas TIC a través de la
conformación de grupos de estudiantes para desarrollar actividades que permitieran desarrollar
las habilidades matemáticas elegidas en el proyecto PISA. En esta investigación no se utilizaron
herramientas de medición de conocimientos como los pre y pos-test (CRUZ Y PUENTES, 2012.
Pág. 3)
Se utilizaron dos actividades disponibles: La actividad No. 1 era utilizada para establecer
patrones y fortalecer la orientación espacial de los alumnos. La actividad No. 2 era la
representación de objetos, fenómenos y situaciones matemáticos, a través de la graficación de
ecuaciones y las funciones trigonométricas seno y coseno. (CRUZ Y PUENTES, 2012. Pág. 10)
Como resultado se determinó que el 91% de la muestra aprobó la asignatura, y de ellos el 46%
aprobó con altas calificaciones. Cabe destacar que esta muestra representaba el 13% de la
población que cursaba la asignatura. (CRUZ Y PUENTES, 2012. Pág. 15). No obstante, resultan
discutibles los resultados, puesto que no se determinaron en primer lugar cuáles eran los
preconceptos de la muestra escogida como grupo experimental, así como tampoco se estableció
un grupo control que permitiera determinar si la metodología TIC tuvo la incidencia que se le
pretende asignar en esta investigación. En cierta medida, podemos indicar que este trabajo no
cumplió con el principio de falsabilidad, tan imprescindible en la investigación científica.
2.3.4. Las TICs en la enseñanza de las Matemáticas. Aplicación al caso de
Métodos Numéricos.
Este trabajo de investigación de PIZARRO (2009) plantea como problema la enseñanza de
métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales, sobre todo por la acumulación de
obstáculos en la enseñanza matemática y el poco interés de los estudiantes por la misma. Por
tanto, propone, como metodología de investigación, la elaboración de un software educativo para
la enseñanza de estos métodos numéricos.
Este software busca complementar a otros ya existentes respecto de métodos numéricos para
resolución de ecuaciones no lineales, puesto que éstos grafican el resultado de esta, pero no
realiza la correspondiente aproximación gráfica; es decir, no “refleja el modo en que cada
método resuelve la ecuación propuesta” (PIZARRO, 2009. Pág. 47).
22
A partir de la construcción del software, busca su aplicación en la enseñanza de los métodos
numéricos para la resolución de ecuaciones no lineales, combinando una metodología mixta
consistente en la impartición de una cátedra presencial sobre el concepto matemático a apropiar,
y combinándolo con ejercicios prácticos a resolver dentro del software construido. Para la
medición del impacto se realizó una observación directa de la interacción de los estudiantes con
el software, así como la realización de encuestas que permitiesen medir el impacto de la
herramienta en la enseñanza de métodos numéricos y una evaluación de conocimientos (a
manera de pre y pos-test) con el fin de determinar la apropiación real del concepto matemático.
(PIZARRO, 2009. Pág. 60)
Como resultados determina el autor que aún al existir dificultades por parte del alumnado en el
uso del software y la interacción con un PC, se incrementa el nivel de apropiación del
conocimiento de métodos numéricos, inclusive en una proporción mayor en aquellos quienes se
atrevieron a formular nuevas ecuaciones no lineales para ser resueltas mediante el software. Por
otra parte, destaca la favorable receptividad de los alumnos en la implementación del software
(PIZARRO, 2009. Págs. 80 a 86)
2.3.5. Incorporación de entornos tecnológicos de aprendizaje a la cultura
escolar: proyecto de innovación educativa en matemáticas y ciencias
Este trabajo de investigación de ROJANO (2003) realiza un recuento de la experiencia en la
aplicación de tecnologías de la información y la comunicación en la enseñanza de las
matemáticas y ciencias básicas en las escuelas secundarias de México. Para la implementación
de herramientas TIC en la enseñanza, la Secretaría de Educación Pública de México ha
elaborado el modelo pedagógico EMAT (enseñanza de las matemáticas con tecnología) en las
que se usan software diseñados especialmente para la enseñanza de conceptos matemáticos,
como “álgebra, geometría, aritmética, resolución de problemas y modelación” (ROJANO,
2003. Pág. 10)
El modelo pedagógico está diseñado para que sea el docente quien oriente a los estudiantes en el
uso de las herramientas TIC (software de geometría dinámica, hoja electrónica de cálculo,
calculadora gráfica, software de simulación y representación de fenómenos de movimiento, y
software de modelación). Aunado a lo anterior, propicia la discusión colectiva y contribuye a que
23
los alumnos exploren, formulen, validen hipótesis, expresen y debatan ideas (ROJANO, 2003.
Pág. 11)
Para medir el avance y apropiación de los conceptos por parte de los estudiantes, se utilizan
hojas de trabajo que el docente pueda analizar para repasar, reforzar o evaluar temas. El espacio
utilizado para la implementación de la metodología EMAT es un salón de clases que cuenta por
un computador para cada dos estudiantes, con el fin de que puedan trabajar colaborativamente en
el tema o concepto matemático a trabajar. (ROJANO, 2003. Pág. 14).
Para el caso de la enseñanza de la Física, se utiliza el modelo EFIT, que de forma similar al
EMAT, permite integrar herramientas TIC en la enseñanza de estos conceptos, a partir de 6
programas software: Interactive Physics, para simular situaciones del mundo físico; Sensores de
Introducción a la Física Pasco, que utiliza sensores conectados a la PC para medir magnitudes
físicas; NIH image, para medir imágenes del macro y micromundo de la computadora; LXR
Test, para evaluar el progreso en cada herramienta utilizada en la metodología; AT ease ANAT,
para que el docente pueda monitorear el trabajo en cada uno de los computadores de los
alumnos; y NetScape, para el acceso a internet. (ROJANO, 2003. Págs. 14 y 15)
Para la aplicación de estas metodologías se elaboraron currículos especiales, se capacitaron a los
docentes que harían parte de las escuelas EMAT y EFIT, y se dotaron a los centros de enseñanza
escogidos para este fin de las herramientas físicas para desarrollar esta metodología (ROJANO,
2003. Págs. 17 a 26)
Como resultados se determina el avance de la población escolar de las escuelas que fueron objeto
de las metodologías EMAT y EFIT, en forma significativa, en aspectos de lenguaje simbólico y
abstracto, y, en menor medida, en representaciones gráficas y modelado. (ROJANO, 2003. Pág.
27).
Estos resultados fueron utilizados por la Secretaría de Educación Pública como insumo para la
elaboración de una política educativa concerniente a la masificación de las herramientas TIC en
la enseñanza de matemáticas y ciencias en el Plan Nacional de Educación (PNE).
24
2.3.6. Tendencias Actuales en la Enseñanza-Aprendizaje de las Matemáticas y
la Utilización de las Nuevas Tecnologías de la Información y las
Comunicaciones en la Educación
Esta investigación de VILLANUEVA (2005) plantea como problema la necesidad de asimilar,
aplicar y difundir las TIC como una alternativa en la enseñanza matemática. A partir de allí,
plantea la construcción de un modelo pedagógico en que utilice herramientas informáticas para
transformar la práctica educativa matemática.
En primer lugar, hace un estudio del uso de las herramientas TIC como apoyo pedagógico en la
enseñanza que permite externalizar la enseñanza, cambiar el esquema de la misma y dar un papel
más relevante al estudiante en su aprendizaje (VILLANUEVA, 2005. Pág. 3).
Uno de los problemas principales de la introducción de herramientas TIC en la enseñanza es la
reticencia y la falta de flexibilización en los paradigmas educativos en la introducción de esta
clase de insumos, pues desvirtúan el clásico modelo jerárquico de maestro-alumno. Por tanto, la
investigadora plantea un modelo pedagógico que permita incorporar el uso de herramientas TIC
que simule fenómenos de la realidad y que motiven a un trabajo creativo por parte de los
estudiantes (VILLANUEVA, 2005. Pág. 4)
25
3. MARCO METODOLÓGICO
Este trabajo de aplicación denominado “Desarrollo de habilidades de comprensión de los
números enteros a través de las TIC”, se llevó a cabo en la INSTITUCIÓN EDUCATIVA DE
OCCIDENTE, ubicada en Anserma - Caldas.
La Institución Educativa de Occidente es un plantel educativo de naturaleza oficial y ubicada en
el casco urbano, con NIT 890802641-2 y código DANE 117042000561 perteneciente a la
Secretaría de Educación del Municipio de Anserma, Departamento de Caldas.
La historia de esta institución se remonta a lo que era conocido como la antigua NORMAL DE
SEÑORITAS DE ANSERMA (hoy I.E NORMAL SUPERIOR REBECA SIERRA CARDONA
reubicada en el sector nororiental del municipio). Las instalaciones de este espacio educativo
sirvieron de espacio para la creación de una sede de la UNIVERSIDAD DEL VALLE en
Anserma, Caldas. La desaparición de los programas ofrecidos por esta universidad en el
municipio, la falta de apoyo y de matrícula suficiente hizo que esta experiencia educativa durara
poco.
Posteriormente, las citadas instalaciones fueron cedidas al Colegio de Occidente (hoy Institución
Educativa de Occidente) debido al crecimiento de la población estudiantil de secundaria y allí
inicialmente se albergaron estudiantes de los grados 6° y 7° (Jornada de la Mañana). Este antiguo
edificio estaba conformado por dos bloques, uno construido en concreto y el otro de mayor
antigüedad construido en tapia y bahareque.
Debido al mal estado de las aulas de tapia y bahareque, la administración municipal decide en el
año 2008 que los mencionados estudiantes (grados 6° y 7°) fueran trasladados a la sede de la
antigua escuela CELMIRA PIEDRAHITA quedando en el bloque de concreto los grados 8° del
Colegio de Occidente (fusionado a partir del 2003).
El estado de abandono y de fallas estructurales en que se hallaba la escuela CELMIRA
PIEDRAHITA obligó a las autoridades locales a gestionar la reconstrucción del bloque antiguo
de la sede de la Universidad con el compromiso de que una vez fuese terminado se reinstalarían
de nuevo los alumnos de grado sexto y séptimo.
26
A finales del año 2011 se inaugura la nueva sede con 7 aulas en concreto, las unidades sanitarias
y un laboratorio de Ciencias y a partir del año 2012 empiezan a laborar allí los grados
mencionados.
En la actualidad la INSTITUCIÓN EDUCATIVA DE OCCIDENTE (antiguo Colegio de
Occidente) cuenta con 5 sedes físicas, con grados de preescolar a once y con una población
estudiantil aproximadamente de 1600 estudiantes en todas las sedes.
La secundaria y media está distribuida en grados de sexto a once, con un número de 800
estudiantes, distribuidos en 26 grupos: 6 sextos, 5 séptimos, 5 octavos, 4 novenos, 3 decimos, 3
once. Estos grupos se encuentran repartidos en dos sedes: La sede 1 -principal- tiene 15 grupos
de octavo a once; y la sede 3 Celmira Piedrahíta, tiene 11 grupos con una población de 329
estudiantes, dividido entre sexto de 185 y séptimo 144 estudiantes.
El pre y pos test se aplicaron en la sede 3 de la Institución Educativa de Occidente a 60
estudiantes del grado séptimo: 30 estudiantes del curso 7-2 y 30 estudiantes del curso 7-3. Cabe
resaltar que en cada curso se desarrolló una metodología de enseñanza diferente con el fin de
contrastar resultados y nutrir el análisis de los datos frente al problema planteado: En 7-2 se
aplicó un modelo pedagógico de enseñanza matemática mediante herramientas TIC interactivas
para el aprendizaje de números enteros, mientras que en 7-3 se continuó la enseñanza de este
concepto mediante metodología tradicional (clase magistral).
3.1. Muestra escogida – Grado Séptimo
Toda vez que el problema objeto de investigación en el presente trabajo se enmarca en la
enseñanza de números enteros en estudiantes de grado séptimo de bachillerato fueron parte de la
muestra escogida para delimitar el estudio, en la siguiente proporción.
El grado séptimo cuenta con 141 estudiantes, distribuidos en 5 grupos, así:
• 7-1 con 35 estudiantes pertenecientes a la banda sinfónica.
27
• 7-2 con 30 estudiantes entre 11 y 12 años, serán a los cuales se aplicó el pre-test y el
modelo pedagógico objeto de la presente investigación. Es decir, fue el grupo
experimental.
• 7-3 con 30 estudiantes entre 11 y 12 años, a los cuales se aplicó el pre-test y se trabajará
con metodología de enseñanza tradicional - clase magistral, siendo el “grupo de control”
de la presente investigación.
• 7-4 con 31 estudiantes que vienen de otras instituciones, y los estudiantes promovidos del
grupo 6,5 del colegio, con problemas de comportamiento y de aprendizaje.
• 7-5 con 15 son estudiantes de 15 años o más, repitentes del mismo colegio y con
problemas sociales.
Es decir, la muestra escogida consiste en 30 estudiantes de 7-2 y 30 estudiantes de 7-3, en
quienes se aplicó la metodología diseñada en el presente capítulo.
Con base en lo anteriormente expresado, se define el enfoque y modelo metodológicos mediante
los cuales se desarrolló el presente proyecto.
3.2. Enfoque Metodológico
Con base en lo determinado por FORNS (citado por GONZÁLEZ, 2004, Pág. 4), la evaluación
es un proceso cuantitativo y cualitativo para determinar el valor, la importancia o la incidencia de
un hecho, objetos o personas. Por tanto, el enfoque metodológico adoptado es el integral, que
compila lo cualitativo y lo cuantitativo, con el fin de dar cuenta de las características del
desempeño de la apropiación de los estudiantes del concepto de números enteros (cualitativo)
mediante la identificación e interpretación de las respuestas dadas a los indicadores que se
pretende enseñar y/o reforzar en los estudiantes: Ubicación de los números en el plano
cartesiano, concepto de números enteros, uso práctico de los números enteros, operaciones
matemáticas sencillas con números enteros, ley de los signos, concepto de opuesto, valores
absolutos, negativos, etc. (Cuantitativo). Adicionalmente, el enfoque de la misma fue
correlacional y el diseño fue cuasi-experimental, con la realización de un pre y un pos test.
28
Para el proceso de enseñanza y apropiación de conceptos e indicadores de conceptos
matemáticos, se utilizan como referentes metodológicos dos enfoques: La innovación en las
aulas mediante la enseñanza de conceptos a través de herramientas TIC, y el uso de “situaciones
problema”, contemplados en los Estándares Básicos del Ministerio de Educación Nacional
(MEN) (2006, Pág. 50).
En primer lugar, el uso de herramientas TIC está llamado a complementar la enseñanza
tradicional, puesto que permite estructurar de forma eficaz situaciones problema de la vida
cotidiana, combinando ilustraciones, aplicaciones interactivas y conceptos matemáticos. No
obstante, esto debe tener en cuenta la capacidad de los estudiantes para manejar herramientas, y
la estructuración de las herramientas correctas, con el fin de que esta herramienta sea un
complemento y no un obstáculo en el aprendizaje (REAL, n.d., Pág. 6). Por tanto, la escogencia
de las técnicas y aplicaciones que se utilizaron para la recolección de la información que permita
demostrar la pregunta problema objeto de esta investigación, tuvo en cuenta la necesidad de usar
herramientas innovadoras TIC en el uso y enseñanza de números enteros, sin que se volvieran
tediosas y agotadoras, o se convirtieran en un distractor y desviaran la atención del concepto a la
aplicación en sí misma.
En segundo lugar, los Estándares Básicos del Ministerio de Educación Nacional contiene el
concepto de “situaciones problema” mediante los cuales se busca el uso de ejemplos y problemas
procedentes de la vida diaria, relacionadas directamente con las matemáticas, creando un
aprendizaje activo que permita consolidar las facetas y tipos de conocimientos matemáticos, con
el fin de consolidar un estudiante que sea matemáticamente competente. (MEN, 2006, Pág. 50).
Para ello, se busca que el estudiante desarrolle competencias relacionadas con el “saber qué, el
saber qué hacer, y el saber cómo, cuándo y porqué” (MEN, 2006, Pág. 50). Es decir, que
conozca los conceptos (saber formal), los aplique (saber práctico), los comprenda, argumente y
refine.
Para tal fin, se requiere conocer el contexto en el que convive y se forma el estudiante: Ello
permite conocer los intereses y capacidades de los estudiantes, generando contextos de
29
aprendizaje activo, y con ello “les permiten buscar y definir interpretaciones, modelos y
problemas, formular estrategias de solución y usar productivamente materiales manipulativos,
representativos y tecnológicos” (MEN, 2006. Pág. 72). Aunado a lo anterior, se requieren
estrategias por parte del docente que faciliten este aprendizaje activo gracias a la generación de
seguridad y confianza en los estudiantes para derruir actitudes negativas que, en muchos casos,
se inculcan culturalmente frente a las matemáticas (MEN, 2006. Pág. 72).
Es precisamente este espacio de desarrollo de contextos de aprendizaje activo y generación de
seguridad en los estudiantes, que permite el uso de herramientas TIC como programas,
aplicaciones y otro tipo de tecnologías interactivas que, reforzando el conocimiento, generen un
espacio seguro y un dominio de las matemáticas mediante juegos y estímulos.
3.3. Estructura Metodológica
El uso de las herramientas TIC en el proceso de enseñanza y aprendizaje del concepto,
significado e indicadores de los números en los estudiantes de grado séptimo de la Institución
Educativa de Occidente de Anserma, Caldas, con el fin de obtener aprendizajes significativos, se
desarrolló en tres etapas:
3.3.1. Momento uno “de identificación de pre saberes”:
El pre test y pos test se aplicó en la SEDE 3 CELMIRA PIEDRAHÍTA (ANTIGUA
UNIVALLE) de la Institución Educativa de Occidente. A los grupos 7-2 de 30 estudiantes
(grupo experimental) y en el grupo 7-3 de 30 estudiantes (grupo control), con el fin de contrastar
resultados de ambos grupos y enriquecer el análisis de resultados respecto a la intervención
realizada en el grupo control.
Con este proyecto de aula se pretendía mejorar la comprensión del concepto y significado de los
números enteros y sus operaciones a través de la búsqueda e implementación de actividades que
integren las TIC que ayuden a obtener aprendizajes significativos.
30
Diagnóstico de pre-saberes:
Para recolectar esta información se aplicó la herramienta de Pretest, que está conformado por 22
preguntas, que midieron los siguientes conocimientos:
• Las preguntas 1 y 3 determina si identifican gráficamente la ubicación de los números
enteros en el plano cartesiano.
• La pregunta 4 determina si los estudiantes asimilan el concepto de números enteros y lo
relacionan con usos prácticos de los mismos.
• Las preguntas 2, 5, 8, 14, 19, 20, 21, 22 permitieron conocer si los estudiantes tienen la
capacidad de ejecutar operaciones matemáticas sencillas con números enteros.
• Las preguntas 6 y 7 determinan si los estudiantes tienen claro el signo del resultado de
una suma de los enteros.
• La pregunta 9 determinan si los estudiantes asimilan el concepto de opuesto de un
número.
• La pregunta 10 determina si los estudiantes asimilan el concepto de valor absoluto de un
número.
• La pregunta 11 determina si los estudiantes tienen claro que números pertenecen a los
números enteros negativos.
• Las preguntas 12 y 13 son de verdadero y falso y determinan si los estudiantes son capaz
de verificar la respuesta dada.
• La pregunta 15 determinan si los estudiantes asimilan el concepto de sucesor.
• La pregunta 16 identifica la capacidad que tienen los estudiantes para ordenar de menor a
mayor los números enteros.
• La pregunta 17 es de completar, y determina si los estudiantes tienen claro la propiedad
del elemento neutro de la suma.
• La pregunta 18 determina si los estudiantes tienen claro la ley de signos para multiplicar
y dividir.
El espacio físico utilizado para el desarrollo del pre-test fue el aula normal de clase. El material
utilizado fueron hojas de papel. El pretest se puede observar en el Anexo 1 del presente trabajo.
31
3.3.2. Momento dos, de uso de herramientas TIC para la enseñanza del
concepto de números enteros
Una vez identificado el conocimiento, apropiación y uso que tiene cada estudiante integrante de
la población objeto de este estudio, del concepto de números enteros, se pasó al momento 2,
consistente en el uso de herramientas TIC para la enseñanza del concepto de números enteros, el
cual se desarrolló con los estudiantes del curso 7-2 de la Institución Educativa de Occidente,
ubicada en Anserma (Caldas), quien fue el grupo experimental y se componía de 30 alumnos.
Este momento se llevó a cabo en dos pasos: El primero fue la consulta en buscadores de internet
sobre los conceptos y operaciones básicas de números enteros, que se desarrolló en los salones o
aulas de informática y computación de la Institución Educativa de Occidente. Mediante este se
pretendió que los estudiantes, de forma autodidacta, conozcan el concepto de números enteros y
todos los indicadores que se pretende afianzar mediante el presente proyecto.
El segundo paso consistió en el uso de diversas aplicaciones móviles disponibles para los
celulares de los estudiantes, las cuales son “-4+4 números enteros free”, “operaciones con
Enteros”, “Orco: operaciones con enteros” y “Ejercicios de Matemáticas”, las cuales contribuyen
a enseñar los conceptos básicos de los números enteros: Ubicación de los números en el plano
cartesiano, concepto de números enteros, uso práctico de los números enteros, operaciones
matemáticas sencillas con números enteros, ley de los signos, concepto de opuesto, valores
absolutos, negativos, sucesor, mayor y menor, y elemento neutro de la suma.
Mediante el uso de sencillas operaciones matemáticas, ubicación de los números enteros en el
plano cartesiano (de forma paralela), y un sistema competitivo de puntos, se va afianzando cada
concepto, gracias al mecanismo de “niveles de juego” y el uso de vidas como “intentos” u
oportunidades de juego, que se van reduciendo según cada error cometido al contestar las
operaciones planteadas en la aplicación.
Con el uso de las aplicaciones en el salón de clase, cada estudiante se confronta con su saber
anterior y con el resultado de la búsqueda autodidáctica llevada a cabo en el aula de informática,
32
con el fin de cumplir con cada una de las operaciones exigidas en las aplicaciones utilizadas y
afianzar cada concepto conforme se avanza en “niveles”
Adicionalmente a lo anterior, la docente interactuó con todos y cada uno de los estudiantes en los
dos pasos que conforman este momento, a través de preguntas sobre el avance en la búsqueda
autodidacta y en la aplicación a utilizar, así como se indagó por obstáculos que enfrenten los
estudiantes.
Para estimular la participación de los estudiantes en la interacción con la aplicación, se dio como
estímulo a los 5 estudiantes que tengan mayor avance en la aplicación altas calificaciones, en las
siguientes proporciones: Al más avanzado, una nota de 5.0 sobre 5; al segundo y tercero, una
nota de 4.5 sobre 5; al cuarto y al quinto, una nota de 4.0 sobre 5.
Después, se realizó una mesa redonda con los estudiantes en las que se socializaron los
resultados y las experiencias de los estudiantes, con el fin de pasar al momento 3, la aplicación
del pos-test.
3.3.2.1. Momento de uso de clase magistral para la enseñanza del concepto de números
enteros:
De forma paralela al uso de las herramientas TIC para la apropiación del concepto de números
enteros, con los estudiantes del curso 7-3 de la Institución Educativa de Occidente ubicada en
Anserma (Caldas), quienes figuraron como el grupo de control, se desarrollaron clases
magistrales con metodología tradicional, mediante las cuales se impartieron los conceptos e
indicadores del tema, y los cuales se evaluaron mediante el pos-test en el momento 3.
Para ello, se desarrolló la siguiente dinámica: La docente, mediante explicación oral y con apoyo
del tablero ubicado en el salón de clases, enseñó a los estudiantes el concepto de números
enteros, junto con los siguientes indicadores: Ubicación de los números en el plano cartesiano,
concepto de números enteros, uso práctico de los números enteros, operaciones matemáticas
sencillas con números enteros, ley de los signos, concepto de opuesto, valores absolutos,
negativos, sucesor, mayor y menor, y elemento neutro de la suma.
33
Una vez terminada la correspondiente explicación, se dieron ejercicios problema a desarrollar
mediante talleres, y por último se observaron preguntas e inquietudes que tuvieron por parte de
los alumnos. Una vez desarrollado esto, se pasó al momento 3 de pos test.
Con base en lo anterior, el curso 7-3 de la Institución Educativa de Occidente fue el grupo de
control, con el objetivo de efectuar un análisis real y objetivo del avance en la apropiación de los
estudiantes del concepto y usos de los números enteros, para constatar la efectividad de las
herramientas TIC.
3.3.3. Momento tres de Pos-test:
Una vez desarrollado los momentos 3.3.2. de uso de herramientas TIC para la enseñanza del
concepto de números enteros en el grupo experimental, y 3.3.2.1. de uso de metodología
magistral para la enseñanza de números enteros con el grupo de control, se realizó un Pos-test en
el que se evaluó, de forma posterior a la socialización de experiencias, el nivel de apropiación de
los indicadores de aprendizaje del concepto de números enteros.
Para la recolección de la información aquí pertinente, se estructuró un instrumento con los
mismos indicadores contemplados en el pre-test. El espacio físico utilizado para el desarrollo del
pos-test fue el aula normal de clase. El material a utilizar serán hojas de papel y fue aplicado
tanto al grupo experimental como al grupo de control
3.4. Desarrollo de la estructura metodológica
Durante este proceso se construyeron los materiales basados en la temática de números enteros.
Las herramientas tecnológicas utilizadas fueron Microsoft Word (de Office) para la construcción
del pre y pos-test, materiales de la web como información sobre la temática “Números enteros”
disponible mediante el buscador Google, videos disponibles en la página de internet
Youtube.com, así como las siguientes aplicaciones: “-4+4 números enteros free”, “operaciones
con Enteros”, “Orco: operaciones con enteros” y “Ejercicios de Matemáticas”. Con base en lo
34
anterior, los estudiantes pudieron gestionar su autoaprendizaje, apropiar conceptos y utilizarlos
en situaciones prácticas, específicamente en las siguientes competencias:
• Ubicación gráfica de números enteros en el plano cartesiano
• Apropiación del concepto de números enteros y uso práctico
• Operaciones sencillas con números enteros
• Ley de signos y números enteros
• Opuestos
• Valor absoluto de números enteros
• Números enteros negativos
• Sucesor
• Signos de mayor que y menor que en números enteros
• Propiedad del elemento neutro
3.4.1. Desarrollo del primer momento: Aplicación del pre-test
Para determinar los pre-saberes y encontrar los resultados después de aplicar las herramientas del
marco metodológico, se aplicó un pre-test (ver figura 3 y anexo 1)
Se construyeron 22 preguntas, cumpliendo las exigencias de los derechos básicos de aprendizaje
(DBA) de matemáticas del Ministerio de Educación Nacional y el plan área de la Institución
Educativa de Occidente de Anserma, Caldas. Se aplicó al grupo experimental y al grupo de
control, cada uno con 30 estudiantes (respectivamente). La duración de la prueba fue de 20
minutos aproximadamente, donde se manifestaron las dudas e inseguridades de los estudiantes,
pues muchos en el pre-test indicaron no comprender bien el concepto de los números enteros.
Lo anterior demuestra las falencias previamente expuestas en la enseñanza y aprendizaje del
concepto de números enteros.
35
3.4.2. Desarrollo del segundo momento, de uso de herramientas TIC para la
enseñanza del concepto de números enteros
3.4.2.1. Momento Dos punto uno de búsqueda de conceptos en la web
Los estudiantes se dirigieron a la sala de informática y efectuaron búsquedas en la web mediante
el buscador Google del concepto de números enteros. Con esta actividad encontraron conceptos
en diferentes portales web como ekuatio.com o euston96.com, así como videos sobre números
enteros y sus aplicaciones prácticas en la página web Youtube.com.
Figura 3 – Aplicación del Pre test al grupo experimental
36
El propósito fundamental de esta actividad es mejorar el aprendizaje de los estudiantes mediante
una aproximación inicial al concepto de números enteros, mediante una de las herramientas que
ofrecen las TIC, con el fin de que el estudiante se familiarice con este concepto y sus usos
prácticos. Con ello, adicionalmente, se incentiva el autoaprendizaje como proceso pedagógico,
bajo el entendimiento de que el estudiante es quien gestiona su conocimiento y la apropiación de
los conceptos necesarios bajo la guía del docente.
El uso de estas herramientas pedagógicas contribuye a que el estudiante se acerque al concepto
de números enteros, desmitifique al mismo como un “número complejo” y pueda entender que
este concepto tiene una gran incidencia práctica. Asociado a lo anterior, el material audiovisual
disponible en internet permite que el conocimiento tenga mayor receptividad por parte de los
estudiantes.
Posteriormente a esta búsqueda en internet, se efectuó una socialización en clase con los
estudiantes.
3.4.2.2. Momento dos, punto dos de uso de aplicativos móviles
Una vez desarrollada la búsqueda de información sobre el concepto y usos de los números
enteros en la web, los estudiantes procedieron a descargar los siguientes aplicativos móviles del
sistema operativo Android: “-4+4 números enteros free”, “operaciones con Enteros”, “Orco:
operaciones con enteros” y “Ejercicios de Matemáticas”. Cabe destacar que todos y cada uno de
ellos fueron descargados mediante la PlayStore de Android.
En este proceso a los estudiantes únicamente se les dio la instrucción de descargar las
aplicaciones previamente indicadas, puesto que el componente más importante de este momento
es el aprendizaje. Es decir, los estudiantes del grupo experimental exploraron y aprendieron a
manejar las aplicaciones descargadas, con el fin de aprender el concepto y usos de los números
enteros. Gracias a ello, pusieron en práctica los conocimientos autoadquiridos mediante la
búsqueda en internet efectuada en el momento anterior.
37
3.4.3. Desarrollo del tercer momento: Aplicación del pos-test
Para evidenciar el avance y resultados obtenidos mediante el uso de la metodología propuesta en
la presente investigación, se aplicó en los alumnos de los grupos experimental y de control, un
pos-test construido con 22 preguntas iguales a las formuladas mediante el pre-test (ver figuras 4
y 5)
En el grupo de control se evidenció un avance en las competencias medidas en el pre-test,
aunque este avance es mucho menor al obtenido por el grupo experimental, puesto que su
apropiación del concepto y los usos incrementó hasta llegar a la comprensión (en algunos
módulos) del cien por ciento (100%) de los estudiantes.
El uso de las TIC en el proceso de aprendizaje de números enteros generó motivación en los
estudiantes del grupo experimental, quienes al evidenciar el cambio de metodología gestionaron
de forma activa su autoaprendizaje mediante las actividades formuladas en la presente
investigación. Adicionalmente, generaron una interacción permanente con el docente e
incrementó su interés en el tema. El espíritu competitivo de los estudiantes del grupo de control,
junto con el autoaprendizaje, contribuyó al éxito de la metodología.
Las evidencias del desarrollo de la metodología se pueden observar en el Anexo 2 del presente
proyecto.
38
Figura 4 – Aplicación del pos-test al grupo de control
39
Figura 5 – Aplicación del pos-test al grupo experimental
40
4. PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE
RESULTADOS
La presentación de los resultados se deriva de la comparación entre la información recolectada
del pre-test efectuado al comienzo de la aplicación del modelo didáctico para el hallazgo de pre-
saberes, y el pos-test que se aplicó al final, a 30 estudiantes del grupo experimental y 30 del
grupo de control.
4.1. Grupo de control
De las 22 preguntas realizadas a los 30 estudiantes del grupo de control (ver figura 6), en el cual
se efectuó el desarrollo de las clases de forma magistral o tradicional, en el pretest se evidenció
un índice de respuesta del 36%, y al aplicar el pos test se encontró un aumento del 17% para
alcanzar un total del 53%.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
GRUPO CONTROL
PRE-TEST POS-TEST
Figura 6 – Resultados del grupo de control
41
Una vez tabulados los datos se puede evidenciar un leve aumento en la apropiación del
conocimiento por parte de los estudiantes en el concepto a enseñar. Las preguntas que tuvieron
mayor aumento en la tasa de respuesta fueron la 14 y 19 (operaciones básicas con enteros) (ver
Figuras 9 y 10).
Mientras tanto, el avance en la tasa de respuesta en otras preguntas del pre y pos-test fue menor
para el grupo de control.
Pregunta 1: “Ubica en el plano cartesiano” Tuvo un avance del 24% (Ver figura 7).
A (2,3) B (-2,1)
C (-1,-3) D (4,-2)
Pregunta 2: “La suma de -15 + 15 es:” Tuvo un avance del 11% (Ver figura 7).
A) 30 B) 0
C) -15 D) -30
Pregunta 3: “Ubica en la recta numérica -9, 3, -1 ,5” Tuvo un avance del 6% (Ver figura 7).
Pregunta 4 “¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta para el número -44?” Tuvo un
avance del 6% (Ver figura 7).
A) El termómetro marca 44º C. B) La temperatura es 44º C. bajo cero.
C) Un submarino está 44 metros bajo el nivel del mar D) Ese matemático nació el año 44
antes de Cristo.
Pregunta 5 “Un submarino, desciende a 50 metros bajo el nivel del mar y luego asciende a 20
metros. Entonces queda a una profundidad de:” No presentó ningún avance (Ver figura 7).
42
A) 70 m sobre el nivel del mar B) 30 m bajo el nivel del mar
C) 70 m bajo el nivel del mar D) 30 m sobre el nivel del mar
Figura 7 – Tasa de respuesta en las preguntas 1 a 5 en pre y pos-test en el grupo de control
Pregunta 6: “La suma de dos enteros que tienen signos negativos es:” Tuvo un avance del 20%
(Ver figura 8)
A) Siempre un número negativo B) Siempre cero
C) No se puede determinar D) Siempre un número positivo
Pregunta 7: “La suma de dos números enteros que tienen signos diferentes es:” Tuvo un avance
del 10% (Ver figura 8)
A) Siempre un número entero positivo. B) Depende del número entero mayor.
C) Siempre un número entero negativo. D) Siempre cero.
1 2 3 4 5
23%
50%
77%
67%70%
47%
61%
83%
73%70%
Preguntas 1 a 5 Grupo de control
PRE-TEST POS-TEST
43
Pregunta 8: “¿Qué número corresponde a x ? 50 + x = -5” Tuvo un avance del 6% (Ver figura 8)
A) -55 B) -45
C) 55 D) 45
Figura 8 – Tasa de respuesta en las preguntas 6 a 10 en pre y pos-test en el grupo de control
Pregunta 9: “El opuesto de (-6) es:” Tuvo un avance del 3% (Ver figura 8)
A) Es el mismo número. B) 0
C) El número que le sigue D) 6
Pregunta 10: “El valor absoluto de |100|?” Tuvo un avance del 6% (Ver figura 8)
6 7 8 9 10
30%
55%
41%
80%
37%
50%
65%
47%
83%
47%
Preguntas 6 a 10 Grupo de Control
PRE-TEST POS-TEST
44
Pregunta 11: “Nombre el conjunto de números enteros negativos z¯” Tuvo un avance del 17%
(Ver figura 9)
Pregunta 12: “Si después de subir 6 pisos el ascensor de un edificio llega al piso 5 la planta de la
cual ha salido es -1?” Tuvo un avance del 14% (Ver figura 9)
Verdadero Falso
Figura 9 – Tasa de respuesta en las preguntas 11 a 15 en pre y pos-test en el grupo de control
Pregunta 13: “El valor de 3 – ((–7 + 4) + (8 – 3) – 5) es 6 ?” Tuvo un avance del 23% (Ver
figura 9)
Verdadero Falso
Pregunta 14: “Soluciona (-2 + 4) - (-4 - 3 + 5) + (4 - 5)=” Tuvo un avance del 40% (Ver figura 9)
11 12 13 14 15
23%
63%
30%
0%
7%
40%
77%
53%
40%43%
Preguntas 11 a 15 Grupo de Control
PRE-TEST POS-TEST
45
Pregunta 15: “El sucesor par de -16 es?” Tuvo un avance del 23% (Ver figura 9)
Pregunta 16: “Ordenar de menor a mayor” Tuvo un avance de 17% (Ver figura 10)
Pregunta 17: “Cualquier número entero sumado con cero da como resultado
____________________” No tuvo avance (Ver figura 10)
Pregunta 18: “Cuál es la ley de signos para multiplicar y dividir números enteros”. Tuvo un
avance de 30 % (Ver figura 10)
Figura 10 – Tasa de respuesta en las preguntas 16 a 22 en pre y pos-test en el grupo de control
Pregunta 19: “(-24) : (-8)=” Tuvo un avance del 36% (Ver figura 10)
Pregunta 20: “(+12) : (-4) =” Tuvo un avance del 27% (Ver figura 10)
16 17 18 19 20 21 22
30%
57%
17%
7%10% 10%
7%
47%
57%
47%43%
37%
30%
37%
Preguntas 16 a 22 Grupo de Control
PRE-TEST POS-TEST
46
Pregunta 21: “(-2) · (-2) · (-2) · (-2)=” Tuvo un avance del 20% (Ver figura 10)
Pregunta 22: “(+2) · (-3) · (-4)=” Tuvo un avance del 30% (Ver figura 10)
Se pudo verificar, así mismo, que fueron muy pocas las preguntas en las que se supera de forma
significativa la tasa de respuestas por parte de los estudiantes en el grupo de control, con lo cual
se evidencia que la temática no tuvo importancia para los estudiantes y la metodología de
enseñanza a través de la clase magistral no tuvo mayor incidencia en el aprendizaje de los
números enteros.
4.2. Grupo experimental
Los resultados del grupo experimental en el pre y pos test contrastan con la información
recabada del grupo de control puesto que presenta un aumento mucho más alto en la tasa de
respuestas del pos test. Mientras que en el pre-test los 30 estudiantes del grupo experimental
presentaron una tasa de respuesta efectiva de las preguntas de un 34%, en el pos-test este
indicativo se eleva hasta el 73%, con lo cual se evidencia un incremento del 39% (ver figura 11).
Resulta llamativo que el mayor incremento en la tasa de respuestas, entre muchas otras
preguntas, se presentan en la pregunta 1 (ubicación en el plano cartesiano de números enteros), la
pregunta 5 (uso práctico de los números enteros) y la 22 (operaciones básicas con números
enteros) (Ver figuras 14 y 15)
Por otra parte, el avance en el porcentaje de respuesta exitoso en el grupo experimental fue
mayor en todas las preguntas, en relación con el grupo de control.
Pregunta 1: “Ubica en el plano cartesiano” Tuvo un avance del 63% (Ver figura 12).
A (2,3) B (-2,1)
C (-1,-3) D (4,-2)
47
Pregunta 2: “La suma de -15 + 15 es:” Tuvo un avance del 33% (Ver figura 12).
Pregunta 3: “Ubica en la recta numérica -9, 3, -1 ,5” Tuvo un avance del 10% (Ver figura 12).
Pregunta 4: “¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta para el número -44?” Tuvo un
avance del 33% (Ver figura 12).
Figura 11 – Resultados del grupo experimental
Figura 10. Tasa de respuesta en las preguntas 1 a 5 en el pre y pos test en el Grupo Experimental
Pregunta 5 “Un submarino, desciende a 50 metros bajo el nivel del mar y luego asciende a 20
metros. Entonces queda a una profundidad de:” presentó un avance del 63% (Ver figura 12).
A) 70 m sobre el nivel del mar B) 30 m bajo el nivel del mar
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
GRUPO EXPERIMENTAL
PRE TEST POS TEST
48
C) 70 m bajo el nivel del mar D) 30 m sobre el nivel del mar
Figura 12 – Tasa de respuestas en las preguntas 1 a 5 en el pre y pos-test en el Grupo
Experimental.
1 2 3 4 5
17%
50%
83%
40%
73%80%
83%
93%
73%
100%
Preguntas 1 a 5 Grupo Experimental
PRE TEST POS TEST
49
Figura 13 – Tasa de respuestas en las preguntas 6 a 10 en el pre y pos test en el Grupo
Experimental
Pregunta 6: “La suma de dos enteros que tienen signos negativos es:” tuvo un avance del 50%
(Ver figura 13)
A) Siempre un número negativo B) Siempre cero
C) No se puede determinar D) Siempre un número positivo
Pregunta 7: “La suma de dos números enteros que tienen signos diferentes es:” tuvo un avance
del 42% (Ver figura 13)
A) Siempre un número entero positivo. B) Depende del número entero mayor.
C) Siempre un número entero negativo. D) Siempre cero.
Pregunta 8: “¿Qué número corresponde a x? 50 + x = -5” tuvo un avance del 38% (Ver figura
13)
6 7 8 9 10
30% 28%
45%
80%
50%
80%
70%
83%
100%
87%
Preguntas 6 a 10 Grupo Experimental
PRE TEST POS TEST
50
A) -55 B) -45
C) 55 D) 45
Pregunta 9: “El opuesto de (-6) es:” tuvo un avance del 20% (Ver figura 13)
A) Es el mismo número. B) 0
C) El número que le sigue D) 6
Pregunta 10: “10. El valor absoluto de |100| ?” tuvo un avance del 37% (Ver figura 13)
Pregunta 11: “Nombre el conjunto de números enteros negativos z¯” tuvo un avance del 70%
(Ver figura 14)
Pregunta 12: “Si después de subir 6 pisos el ascensor de un edificio llega al piso 5 la planta de la
cual ha salido es -1?” tuvo un avance del 17% (Ver figura 14)
Verdadero Falso
Pregunta 13: “El valor de 3 – ((–7 + 4) + (8 – 3) – 5) es 6 ?” tuvo un avance del 33% (Ver figura
14)
Verdadero Falso
Pregunta 14: “Soluciona (-2 + 4) - (-4 - 3 + 5) + (4 - 5)=” tuvo un avance del 57% (Ver figura
14)
Pregunta 15: “El sucesor par de -16 es?” tuvo un avance del 53% (Ver figura 14)
51
Figura 14 – Tasa de respuesta en las preguntas 11 a 15 en el pre y pos test en el grupo
experimental
Pregunta 16: “Ordenar de menor a mayor” tuvo un avance de 30% (Ver figura 15)
-21, 14, 10, -7, -34, 8,-1,0, 3,-17
Pregunta 17: “Cualquier número entero sumado con cero da como resultado
____________________” tuvo un avance del 30% (Ver figura 15)
Pregunta 18: “Cuál es la ley de signos para multiplicar y dividir números enteros” tuvo un
avance de 30 % (Ver figura 15)
Pregunta 19: “(-24) ÷ (-8)=” tuvo un avance de 43 % (Ver figura 15)
Pregunta 20: “(+12) ÷ (-4) =” tuvo un avance del 50% (Ver figura 15)
Pregunta 21: “(-2) · (-2) · (-2) · (-2)=” tuvo un avance del 27% (Ver figura 15)
11 12 13 14 15
3%
60%
30%
3%
10%
73%77%
63%60%
63%
Preguntas 11 a 15 Grupo Experimental
PRE TEST POS TEST
52
Pregunta 22: “(+2) · (-3) · (-4)=” Tuvo un avance del 63% (Ver figura 15)
Figura 15 – Tasa de respuesta en las preguntas 11 a 15 en el pre y pos test en el Grupo Experimental
Esta experiencia de autoaprendizaje fue significativa para los estudiantes, quienes gracias a las
herramientas TIC pudieron gestionar su propio conocimiento. Por lo tanto, tuvo mayor
incidencia en el aprendizaje y la apropiación del conocimiento.
4.3 Comparación grupo control y experimental Analizados los datos del grupo control y experimental se puede observar que:
Del total de respuestas acertadas del grupo control una vez aplicado el pos test, se logra un
avance de 17 puntos, pasando de 36% al 53%; mientras que en el grupo experimental se pasó del
16 17 18 19 20 21 22
40%43%
20%
10% 10% 10%
3%
70%73%
57%53%
60%
37%
70%
Preguntas 16 a 22 Grupo Experimental
PRE TEST POS TEST
53
34% al 73% logrando crecer en 39 puntos, más del 50% de crecimiento en respuestas acertadas
(ver Figura 16)
Figura 16 – Comparación de resultados entre grupo de control y grupo experimental.
Esto demuestra la efectividad del modelo pedagógico planteado y desarrollado mediante la
presente investigación, teniendo en cuenta que se demostró un mayor avance entre los pre y los
pos conceptos de los estudiantes en el grupo experimental que en el grupo de control. Esta
incidencia se debe, tal como se ha destacado, al uso de las herramientas TIC para la autogestión
del conocimiento y el aprendizaje auto guiado, con orientación del docente. Se pudo observar
que la metodología desarrollada pudo superar las barreras que comúnmente se presentan a los
estudiantes para el aprendizaje de los números enteros, tal como se destacó en el respectivo
planteamiento del problema. Por tanto, y como se indicará en las conclusiones, se cumplieron los
objetivos planteados.
control experimental
36% 34%
53%
73%
Grupo control vs grupo experimental
PRE TEST POS TEST
54
5. Conclusiones y recomendaciones
5.1 Conclusiones
Los estudiantes del grupo experimental apropiaron el concepto, uso y ubicación en el plano
cartesiano de los números enteros, a través de un proceso práctico que permitió un aprendizaje
autónomo e interactivo, así como aplicándolo a situaciones prácticas.
La unidad didáctica propuesta funciona para el aprendizaje del concepto y uso de los números
naturales en los estudiantes del grado séptimo.
Adicionalmente, al utilizar las herramientas TIC manipuladas durante el desarrollo de la
metodología propuesta en la presente investigación, los estudiantes aprendieron a canalizar el
uso de las mencionadas en el aprendizaje y no en actividades exclusivas para el ocio.
El uso de la competitividad sana fue un factor fundamental para retar intelectualmente a los
estudiantes, y junto con el autoaprendizaje, contribuyó a superar pre-conceptos errados y a
mejorar la sensación de practicidad que sienten frente al aprendizaje matemático.
El cambio de metodología de un proceso mecánico y vertical (como lo es la metodología
magistral) a uno autodirigido y horizontal (como el utilizado en la presente investigación)
permitió el intercambio de saberes, así como fomentó una actitud propositiva y un clima abierto
y favorable para el aprendizaje.
5.2 Recomendaciones
Los estudiantes, una vez concluido el módulo de pedagogía interactiva, recomiendan que esta
misma metodología se replique en otras asignaturas y otras temáticas impartidas por el colegio,
ya que les permite aprender de forma autodirigida y con una mayor receptividad. Así mismo, el
uso de la competitividad sana fomenta un crecimiento cada vez mayor del conocimiento de los
estudiantes y permite el uso de la tecnología para finalidades académicas y no sólo de ocio.
Por lo tanto, la recomendación dada en el presente trabajo investigativo se encamina a incentivar
el uso de un modelo pedagógico interactivo mediante herramientas TIC que se implemente en
55
diversas áreas de la enseñanza. Con esto se puede canalizar el uso de estos medios como un
factor importante de aprendizaje, que permita imprimir mayor dinamismo a la enseñanza y pueda
contribuir a la efectividad de la tarea docente.
56
6. REFERENCIAS
ÁNGEL, J. (2008). Números enteros. Propiedades básicas de los números enteros. Ciudad de
México: MathCon. Disponible en línea en: <
http://www.math.com.mx/docs/sec/sec_0004_Numeros_Enteros.pdf>. Recuperado el 19 de junio
de 2018.
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60
ANEXO 1. Pre y pos test aplicado al grupo control y experimental
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DE OCCIDENTE
CALDAS- ANSERMA
NIT 890802641-2 DANE 117042000561
OBJETIVO: Diagnosticar los pre-saberes y conocimientos de los números Enteros en los
estudiantes de grado séptimo.
PRE – TEST
NOMBRE: _________________________________________
1- Ubica en el plano cartesiano
A (2,3) B (-2,1)
C (-1,-3) D (4,-2)
2- La suma de -15 + 15 es:
A) 30 B) 0
C) -15 D) -30
3- Ubica en la recta numérica -9, 3, -1 ,5
61
4- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta para el número -44?
A) El termómetro marca 44º C. B) La temperatura es 44º C. bajo cero.
C) Un submarino está 44 metros bajo el nivel del mar D) Ese matemático nació el año 44
antes de Cristo.
5- Un submarino, desciende a 50 metros bajo el nivel del mar y luego asciende a 20 metros.
Entonces queda a una profundidad de:
A) 70 m sobre el nivel del mar B) 30 m bajo el nivel del mar
C) 70 m bajo el nivel del mar D) 30 m sobre el nivel del mar
6- La suma de dos enteros que tienen signos negativos es:
A) Siempre un número negativo B) Siempre cero
C) No se puede determinar D) Siempre un número positivo
7- La suma de dos números enteros que tienen signos diferentes es:
A) Siempre un número entero positivo. B) Depende del número entero mayor.
C) Siempre un número entero negativo. D) Siempre cero.
8- ¿Qué número corresponde a x ? 50 + x = -5
A) -55 B) -45
C) 55 D) 45
62
9- El opuesto de (-6) es:
A) Es el mismo número. B) 0
C) El número que le sigue D) 6
10- El valor absoluto de |100| ?
11- Nombre el conjunto de números enteros negativos z¯
12- Si después de subir 6 pisos el ascensor de un edificio llega al piso 5 la planta de la cual ha
salido es -1?
Verdadero
Falso
13- El valor de 3 – ((–7 + 4) + (8 – 3) – 5) es 6 ?
Verdadero
Falso
14- Soluciona (-2 + 4) - (-4 - 3 + 5) + (4 - 5)=
15- El sucesor par de -16 es?
16- Ordenar de menor a mayor
-21, 14, 10, -7, -34, 8,-1,0, 3,-17
17- Cualquier número entero sumado con cero da como resultado ____________________
63
18- Cuál es la ley de signos para multiplicar y dividir números enteros
»________ » _________
»________ » ________
Resuelve
19- (-24) ÷ (-8)=
20- (+12) ÷ (-4) =
21- (-2) · (-2) · (-2) · (-2)=
22- (+2) · (-3) · (-4)=
64
ANEXO 2. Evidencias del desarrollo de la metodología
Pre test experimental
Post test experimental
65
Actividad experimental 1
Actividad experimental 2
66
Pre test control
Pre test control
67
Post test control