derivados agrícolas

Hedging late frost risks in viticulture with exotic optionsAgricultural Finance Review, 73(1), 136–179, April, 2012

Elsa Cortina Ignacio Sánchez

Maestría en FinanzasUniversidad de San Andrés

Julio de 2014

E. Cortina (Finanzas - UdeSA) Hedging late frost risk Julio de 2014 1 / 59

Introducción al problema

1 Introducción al problema

2 Modelado del índice de temperatura

3 Análisis de datos

4 El modelo

5 Calibración del modelo

6 Las opciones

7 Conclusiones



Objetivo

Construir y valuar un derivado para neutralizar el riesgo de heladas tardías queenfrentan los productores vitivinícolas de la zona de Valle de Uco de la provinciade Mendoza.

El derivado propuesto difiere de los derivados climáticos tradicionales sobretemperatura en el subyacente y el tipo de ejercicio de la opción.



Industria frutícola en la provincia de Mendoza

Producción total de fruta

1 78% de la producción total - Uvas

2 22% de la producción total - Otras frutas: duraznos, cerezas, peras, nueces...

La industria del vino es la más importante de la provincia

Zonas de producción de vino

Valle de Uco, arteria vitivinícola del centro al norte de la provincia,departamentos de Tunuyánan, Tupungato and San Carlos; vinos premium

San Rafael, sur y este de la provincia, 200 a 800 km del Valle de Uco.



Zonas vitivinícolas de Mendoza



Daños en las frutas producidos por heladas

Ocurren cuando se forma hielo dentro de los tejidos de la planta y lesiona o matalas células. Pueden matar la planta o sólo producir una pérdida de calidad.

Temperatura crítica

La mínima temperatura que se debe alcanzar antes de que se produzca el daño.Depende de:

etapa de desarrollo;

intensidad y duración de la helada;

susceptibilidad a la congelación;

hardening (aclimatación al frío) ;

condiciones de congelación y descongelación;

nivel de sobreenfriamiento (supercooling);

condiciones de viento y nubes, suelo, superficie cubierta, etc.



Heladas tardías (de primavera)

Cuando comienza la primavera ocurre el proceso de dehardening, mucho másrápido que el hardening.

Las heladas en esta época producen daño especialmente a primeras ysegundas hojas, primera floración y pequeños frutos.

La recuperación es posible cuando el daño se produce en las hojas.

Cuando la helada ocurre en octubre o noviembre, después de la primerafloración, el daño es más extenso.

Una helada severa después de la primera floración puede matar la planta.

El daño producido por fluctuaciones repetidas de temperaturasmoderadas-altas en el día y heladas en la noche puede matar la planta.



Pérdidas en viñedos por heladas tardías en los últimos años

Info del Instituto de Vitivinicultura de la provincia de Mendoza

En los últimos 15 años aumentó la frecuencia de heladas de primavera.

2009 - Más de una helada en octubre y noviembre.

2010 - Más de una helada en octubre y noviembre. Pérdidas del 25% de laproducción total en Tunuyán.

2011 - Bajos yields y pérdidas de hasta 75% de la producción en algunosviñedos.

2012 - Pérdidas entre 20% a 40% en las áreas sur de Valle de Uco.



Temperatura crítica en ◦C según estado fenológico

Especie Receso Yemas Plena Pequeños Frutos de 2cminvernal cerradas floración frutos verdes

VID -17.0 -1.1 -0.6 -0.6

DURAZNERO -26.1 -3.9 -2.8 -1.1 -3.0

CEREZO -28.9 -2.8 -2.2 -1.1 -3.0

PERAL -28.9 -3.9 -2.2 -1.1 -4.0

CIRUELO -34.4 -3.4 -2.2 -1.1 -2.0



Periodos de mayor riesgo para la vid

Estado fenológico Comienzo Final

Yemas cerradas mostrando color 14 - Sept 03 - Oct

Plena floración 04 - Oct 16 - Nov

Pequeños frutos verdes 17 - Nov 21 - Nov

el periodo total de riesgo es 69 días

hay 3 subperiodos correpondientes a distintos estados fenológicos

tomar en cuenta las 3 temperaturas críticas: una para cada periodo

Notar: la fechas que definen los periodos no son fijas, pueden variar de un año aotro.



Temperaturas mínimas en (◦C) - 1997 to 2011

Septiembre Octubre NoviembreAño Tmin Días con Tmin Días con Tmin Días con

Tmin < Tcritica Tmin < Tcritica Tmin < Tcritica1997 -1.8 2 -2.8 1 1.2 01998 -4.0 6 -1.1 2 0.2 01999 -4.2 2 0.8 0 0.6 02000 -4.5 6 -0.8 1 -0.2 02001 -3.3 3 1.7 0 0.9 02002 -2.8 2 -0.5 0 1.4 02003 -2.5 1 0.4 0 2.9 02004 -1.0 0 2.2 0 -1.4 22005 -2.6 3 0.8 0 1.8 02006 -2.6 4 1.1 0 0.5 02007 -4.3 2 0.7 0 0.7 02008 -3.7 NA* 0.3 NA* 2.0 NA*2009 -3.5 NA* -1.3 NA* -0.6 NA*2010 -3.0 NA* -2.5 NA* -0.6 NA*2011 -5.9 NA* -0.3 NA* 1.5 NA*



Métodos tradicionales de prevención

1 Quema de combustible: el método más común, utiliza dos o máscombustibles

el aumento de temperatura provocado por la quema impide la helada;altos costos en relación a los costos de producción.

2 Riego por aspersión: sólo reduce daños, no es efectivo en casos de heladasseveras;

3 Calefactores: remueven el aire mezclando diferentes estratos detemperatura, ídem anterior.


Modelado del índice de temperatura




4 El modelo


6 Las opciones

7 Conclusiones



Derivados climáticos

DefiniciónUn derivado climático es un contrato financiero cuyo payoff depende de un índiceclimático y está definido por los siguientes atributos:

periodo del contrato: fechas de comienzo y vencimiento;

estación climatológica de medición;

variable climática medida en la estación durante el periodo del contrato;

índice climático, el subyacente al contrato;

payoff, define la estructura del contrato;

prima, la cantidad fija que paga el comprador al vendedor del contrato alcomienzo del periodo.

ValuaciónCálculo de la prima. Se valúa por arbitrage.



Hipótesis sobre el daño de heladas tardías (de primavera)

1 Cuando la temperatura mínima desciende por debajo de la crítica se produceun daño proporcional a la diferencia entre temperaturas crítica y mínima.

2 Para una temperatura mínima dada inferior al nivel crítico, la magnitud deldaño aumenta con la velocidad previa de enfriamiento.

3 La lesión es independiente del tiempo de exposición a la temperatura pordebajo de la crítica, porque en primavera estos periodos son cortos.

Hipótesis financiera adicional: el inversor quiere neutralizar o mitigar el dañoacumulado durante el periodo de riesgo.

Nota: las hipótesis 2) y 3) no valen para las heladas de invierno.



Primer factor de riesgo (hipótesis 1 )

Freezing Degree Day (FDD)

Cuántos grados por debajo de la temperatura crítica está la temperatura mínimaen el día i

FDDi = max (0,Ki − Tmi ) , (1)

Tmi : temperatura mínima observada en el día i

Ki : temperatura crítica el día i

Este índice es funcionalmente similar a los índices HDDs y CDDs usados comosubyacente en la mayoría de los contratos sobre temperatura.



Freezing Degree DayGráfico

t

T

Ki = Temperatura crítica el día i

Tmi = Temperatura mínima el día i

FDDi = Ki − Tmi

FDDi = 0

FDDi = Ki − Tmi



Segundo factor de riesgo (hipótesis 2 )

La temperatura media está dada por

T a =Tm + TM

2Hipótesis adicional: la velocidad de enfriamiento es función lineal de la diferenciaentre temperaturas media y mínima.

Construir un factor de amplificación del daño, EFi en el día i , tal que

EFi (adimensional)

> 1 for T a

i−1 > TH, Tmi < Ki

= 1 for T ai−1 = TH, Tm

i = Ki ,

= 1 for T ai−1 ≤ TH,

T ai−1 : temperatura media en el día i − 1

TH : umbral de temperatura media (10◦C )



Factor de amplificaciónGráfico

t

TH = 10◦C

Ki=Temperatura mínima el día i

T media

EFi > 1

T media

EFi = 1

T mínima

T



Factor de amplificaciónConstrucción

EFi = 1+(T a

i−1 − Tmi

TH − Ki− 1)I(T a

i−1−TH),

I(x) es la función indicador

I(T ai−1−TH) =

1 para T ai−1 > TH

0 para T ai−1 ≤ TH,



Construcción del índice climático

Cuantificar el daño en el dia i

IFDDi = FDDi ∗ EFi ,

que satisface a

IFDDi

{= FDDi for T a

i−1 ≤ TH,> FDDi for T a

i−1 > TH.

Indice climático

Se acumula IFDDi durante el periodo de exposición al riesgo (n días).

CumIFDD =n∑

i=1

IFDDi .

Este es el índice climático subyacente al contrato.


Análisis de datos




4 El modelo


6 Las opciones

7 Conclusiones


Análisis de datos

Datos de temperatura

11 años de temperaturas diarias mínima y máxima registrados en la estaciónde Tunuyán, Mendoza (1997-2009);

37 observaciones faltantes;

26 se intepolaron por el Método de Componentes Principales;

11 por interpolación lineal.

Trayectorias de temperatura

Combinación de una tendencia determinística y shocks aleatorios.

1 Evidencia visible de una componente periódica anual

2 Reversión a la variación periódica (mean reversion)


Análisis de datos

Registros diarios de tempertura mínima


Análisis de datos

Test de normalidad de los retornos


Análisis de datos

Autocorrelación de los retornos


Análisis de datos

Distribución de frecuencias de los retornos

En los gráficos se observa:

Desviación de normalidad: colas pesadas

1er. coeficiente de autocorrelacion no despreciable: periodicidad

La distribución de frecuencia justificaría modelar la componente estocástica condistribución Normal.


El modelo




4 El modelo


6 Las opciones

7 Conclusiones


El modelo

Modelo continuo en el ”mundo real”

Dinámica de las temperaturas

Tm(t) = f1(t) + X1(t), mínima

T a(t) = f2(t) + X2(t), media

con

dXi (t) = −κiXi (t)dt + σi (t)dWi (t), i = 1, 2 (SDE)

fi (t) : términos determinísticos

Xi (t): procesos con niveles de reversión dependientes del tiempo y velocidades dereversión κi > 0.

Wi (t) : procesos de Wiener standard correlacionados con factor de correlación ρ.


El modelo

Ecuaciones diferenciales estocásticas en el ”mundo real”

Primer modelo general de Lucia&Schwartz.

dTm(t) = κ1 [α1(t)− Tm(t)] dt + σ1dW1,

dT a(t) = κ2 [α2(t)− T a(t)] dt + σ2dW2,

donde

αi (t) ≡1κi

∂fi (t)∂t

+ fi (t), i = 1, 2.

dW1dW2 = ρdt


El modelo

Cálculo por arbitrage del precio de opciones

Precio ”fair” de un contrato contingente

Precio = e−rT EQ [Payoff ] .

Valor esperado del payoff a vencimiento T del contrato

bajo la medida de martingala Q

descontado a la tasa libre de riesgo

Esta es la expresión que se aproxima numéricamente en la valuación porsimulación de Monte Carlo.

Problemas en mercados incompletos (e.g. clima, energía, renta fija...)

1 La medida de martingala Q no es única.

2 Cada medida está caracterizada por un ”precio de mercado del riesgo ”(MPR).

3 Definir criterio para seleccionar un MPR adecuado.


El modelo

Procesos en el ”mundo neutral al riesgo”

La temperatura no es un activo comercializable =⇒ el mercado no es completo.Para valuar por arbitraje se necesita

Ajustar por riesgo las ecuaciones anteriores

Un ”precio de mercado del riesgo” λ para cada temperatura

Ecuaciones dinámicas ajustadas por riesgo

dTmt = κ1

[(α1(t)−

λ1σ1

κ1− Tm(t)

)]dt + σ1dW ∗1 ,

dT at = κ2

[(α2(t)−

λ2σ2

κ2− T a(t)

)]dt + σ2dW ∗2 ,

λ1,2 = precios de mercado del riesgo

W ∗1,2(t) = procesos de Wiener en el mundo ”neutral al riesgo”


Calibración del modelo




4 El modelo


6 Las opciones

7 Conclusiones



Pasos de la calibración

Ecuación de trayectoria de la temperatura ajustada por riesgo

dT (t) = κ

[1κ

∂f (t)∂t

+ f (t)− λσ

κ− T (t)

]dt + σdW ∗,

1 Estimar la función determinística f (t): nivel, tendencia, parámetros deamplitud y frecuencia de componentes periódicas.

2 Estimar la velocidad de reversión κ.

3 Desestacionalizar la temperatura: filtrar la señal para obtener sólo la parteestocástica, los retornos filtrados.

4 Aplicar tests de correlación y normalidad univariada y bivariada: ver si elmodelo estocástico (normal) ajusta a los datos de los retornos filtrados.

5 Estimar la volatilidad de los retornos filtrados σ.



Estimación de componentes periódicasSe eliminan los registros para el 29 de febrero y se examina el contenido defrecuencias vía periodograma

Periodogram(ω) =1N

√√√√[ N∑t=1

Tt sin(ωt)

]2

+

[N∑

t=1

Tt cos(ωt)

],

1 4 picos en Tm: 1 año, 6 meses, 9 meses y 3 años

2 5 picos en T a: 1 año, 6 meses, 9 meses, 3 años y 4 años

Forma funcional de la componente determinística

f (t) = A1 + A2t + A3 sin (ωt + φ1) + A4 sin (2ωt + φ2) + A5 sin(ω3t + φ3

)+A6 sin

(43ωt + φ4

)+ A7 sin

(14ωt + φ5

), ω =

2 ∗ π365



Parámetros de la componente determinística

Temperatura mínima Temperatura mediaA1 (◦C) 5.6290 13.336A2(◦C/día) -0.0002 0.00004Amplitud (◦C)A3 (1 año) 7.682 8.263A4 (6 meses) 0.556 (7.2%) 0.505 (6.1%)A5 (9 meses) 0.373 (4.9%) 0.254 (3.8%)A6 (3 años) 0.214 (2.8%) 0.272 (3.3%)A7 (4 años) 0.00 0.104 (1.3%)Faseφ1 1.3196 1.4291φ2 -1.1747 -1.0732φ3 -1.4607 -0.3579φ4 0.124 0.5932φ5 0.00 -0.9838



Componente determinística de la temperatura mínima



Estimación de velocidad de reversión

Velocidad de Reversión. Se utiliza el método de (Bibby and Sorensen, 1995)

κ̂ = − log

∑nj=1 [f (j − 1)− T (j − 1)]

[T (j)− f (j)

]/σ2

j−1∑nj=1 [f (j − 1)− T (j − 1)] [T (j − 1)− f (j − 1)] /σ2

j−1,

Primera estimación de la volatilidad. se usa el método de (Alaton et al., 2002)que estima volatilidades mensuales

σ̂k =1Nk

Nt−1∑j=0

(Tj + 1− Tj)2 , σk =

σ1 en eneroσ2 en febrero.......... ......................σ12 en diciembre,

Se obtiene κ̂1 = 0,480, and κ̂2 = 0,365.



Desestacionalización de los retornos de temperatura

Quitar 5 outliers positivos en temperatura mínima

Quitar 38 outliers positivos y 17 negativos en temperatura media

Desestacionalizar

Histograma de retornos filtrados



Test de normalidad de retornos filtrados



Autocorrelación de los retornos filtradosEvaluar la inclusión de frecuencias de baja amplitud en las autocorrelaciones

cálculo con todas las componente periódicas

cálculo con la componente anual solamente, como en (Alaton et al., 2002)

El primer coeficiente de autocorrelación disminuye de 0.111 a 0.059.E. Cortina (Finanzas - UdeSA) Hedging late frost risk Julio de 2014 41 / 59


Test de normalidad bivariada

Para series correlacionadas la normalidad univariada es condición necesariapero no suficiente.

Aplicar el test de Doornik–Hansen para normalidad multivariada

Minimum temperature Average temperatureMean -0.0013 0.0006Standard deviation 3.2142 2.6529Skewness -0.0333 -0.0455Kurtosis 3.1523 2.9906Jarque-Bera test (5%) 4.5233 1.3779Doornik-Hensen testCorrelation factor 0.5170dof 4Ep-statistics 8.5476

Cuadro : Estadística descriptiva de los retornos transformados



Volatilidad mensual de los retornos filtrados

Sugiere un comportamiento estocástico de las volatilidades mensuales de losretornos filtrados.



Modelo de la volatilidad

σm,ai = σm,a

0 + γm,aεm,ai ,

i varía en los meses

σ0 es el nivel de volatilidad constante

γ es la volatilidad de la voltilidad

εi son variables aleatorias extraidas de una distribución gaussiana

Modelo validado por tests de normalidad univariada y bivariada (conjunta)

Temperatura mínima Temperatura mediaσ0 (nivel) 2.8830 2.1237γ (volatilidad de volatilidad) 0.3725 0.4992



Simulación de una trayectoria de temperatura mínima


Las opciones




4 El modelo


6 Las opciones

7 Conclusiones


Las opciones

Opciones valuadas en el trabajo

Call

C = N max (CumIFDD − E , 0) ,

E (◦C/degree days) strike

N = 1$/(degree days) cash asociado a cada IFDD; se normaliza porque no tieneincidencia en el cálculo.

Spread

Spread = N [max (CumIFDD − E1, 0)−max (CumIFDD − E2, 0)] .

Esta es la opción propuesta para hedgear el riesgo de heladas tardías.


Las opciones

Diagrama de payoff del spread

Indice

payoff

E1 E2

BULL SPREAD CON CALLS


Las opciones

Selección de los strikes

Para determinar el strike se deben considerar varios factores, básicamente,

1 la cantidad de riesgo que el productor quiere hedgear

2 el periodo de hedging

Los datos históricos pueden ser una guía para definir el strike

promedio histórico de los índices acumulativos: no hay datos suficientes (sólo11 años)

el índice acumulativo del año más frío: sobreestima la prima

Random strikesCall strike : promedio del índice acumulado sobre todas las trayectorias simuladas

Spread strikes : percentiles 20 y 80 de la distribución simulada del índiceacumulado.


Las opciones

Precios de las opciones

Método de valuación: simulación de Monte Carlo con 30000 trayectorias.

Indice Media (E ) Valor del callCumIFDD 9.1514 3.2026CumFDD 7.2756 2.5032

Indice E1 (percentile 20) E2 (percentile 80) Valor del spreadCumIFDD 2.7353 15.2935 5.2393CumFDD 2.2285 12.1217 4.1615

Se observa el efecto del factor de amplificación.


Las opciones

Burn análisis

Se valúa la opción como el promedio de los payoffs calculado sobre lastemperaturas históricas, descontado a la tasa libre de riesgo.

Es el método que usan los practitioners, criticado por los investigadores.

No se considera un método legítimo y debería tomarse en cuenta sólo comoguía para conocer el orden de magnitud del precio.

Es muy sensible a la longitud de la muestra.

Indice Precio del call Precio del spreadCumIFDD 1.5712 3.6167CumFDD 1.4590 3.5459


Las opciones

Datos históricos 1997 - 2007


Conclusiones




4 El modelo


6 Las opciones

7 Conclusiones


Conclusiones

Conclusiones sobre el modelo

1 Incorporar las frecuencias de baja amplitud (generalizando el modelo deAlaton, (2002)) permite estimar con más precisión la tendencia y filtrarmejor los residuos. Esto se observa en la disminución del 1er. coeficiente deautocorrelación.

2 Incorporar el factor de amplificación permite capturar el efecto de lavelocidad de enfriamiento en el daño por heladas: los valores del call y elspread son mayores usando como subyacente CumIFDD en lugar deCumFDD.

3 Los resultados de sensibilidad a los parámetros muestran que:

la opción es más sensible a los parámetros de la temperatura mínima que alos de temperatura media;

la dependencia temporal es consistente con las características estacionales dela temperatura: para periodos más cortos o fechas de comienzo posteriores al14 de septiembre el valor de la opción disminuye;

los resultados para sensibilidad al MPR son consistentes dentro del contextode valuación ”neutral al riesgo”: el precio de la opción aumenta para valoresmás altos del MPR.


Conclusiones

Conclusiones sobre el contrato

Es un típico contrato OTC, diseñado ”a medida” del productor, que debe elegir

1 periodo de hedging

2 strikes

3 cantidad de contratos necesarios para cubrir

el riesgo de producción: difícil hacer una estimación previa de estacantidad porque el precio futuro es incierto.

los costos incurridos: datos más precisos porque cada productor tieneuna estimación previa de costos.


Conclusiones

Otras conclusiones

1 Las 3 temperaturas, mínima, media y máxima exhiben una tendencia linealno despreciable

mínima −2 ∗ 10−4

media 4 ∗ 10−5

máxima 3 ∗ 10−4

2 La componente lineal de la temperatura media es del mismo orden que lasinformadas para otros lugares (Bromma, Tokyo, Osaka, Beijing, Taipei)

3 Los resultados pueder ser consistentes con

calentamiento global (no hay efecto urbano en Tunuyán);componentes periodicas desfasadas de muy baja frecuencia que no sepueden detectar debido a la longitud de la serie de datos.

4 Si valiera el primer caso, i.e. un decrecimiento estable de la temperaturamínima, habría consecuencias negativas para las cosechas en el área deestudio: en poco más que una década aumentaría considerablemente el riegode helada tardía.


Conclusiones

Líneas de trabajo abiertas

Estimar la tendencia lineal de las tres temperaturas en otros lugares paraexaminar la validez cualitativa de nuestros resultados.

Con series de tiempo más largas se podría

determinar si las tendencias detectadas son realmente lineales osegmentos de funciones periodicas de muy baja frecuencia;

hacer un análisis estadístico del índice;

proponer un modelo estocástico continuo de la volatilidad.

Estimar la velocidad de reversión con un método más directo, que evite eluso de la primera aproximación de las volatilidades.


Conclusiones

Líneas de trabajo abiertas

Examinar en detalle el comportamiento de la temperatura máxima: losresultados indican que la desviación de la normalidad de sus retornos es máspronunciada que la de la temperatura mínima, debido a una marcadaasimetría y a colas más pesadas.

Analizar datos de temperatura máxima de otros lugares. Si se obervaranresultados cualitativamente similares a los detectados en este trabajo habríaque examinar si una distribución de valores extremos puede capturar estecomportamiento y ajustar mejor las temperaturas máxima y media.


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