Derivacija funkcijeMaterijali za nastavu iz Matematike 1

Kristina Krulic Himmelreich i Ksenija Smoljak

2012/13

1 / 45

Definicija derivacije funkcije

Neka je funkcija f definirana u okolini tocke x0 i neka je x tocka iz teokoline. Ako kvocijent

f (x)− f (x0)

x − x0

ima granicnu vrijednost kada x → x0, onda tu granicnu vrijednost zovemoderivacijom funkcije f u tocki x0 i oznacavamo sa f ′(x0). Dakle,

f ′(x0) = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0

2 / 45

Definicija derivacije funkcije

Ako oznacimo s ∆x = x − x0 i s ∆y = f (x)− f (x0), onda prethodnuderivaciju funkcije u tocki x0 mozemo zapisati ovako:

f ′(x0) = lim∆x→0

∆y

∆x,

∆x je prirast varijable x , a ∆y prirast funkcije.Ako funkcija f ima derivaciju u svakoj tocki x intervala (a, b), ondakazemo da je funkcija f derivabilna na intervalu (a, b). U tom slucaju f ′ jenova funkcija koju zovemo derivacija funkcije f na intervalu (a, b) i

f ′(x) = lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x,

za svaki x ∈ (a, b).

3 / 45

Primjeri derivacije funkcije po definiciji

Primjer

1. Derivacija konstante f (x) = c ,

f′(x) = lim

∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x= lim

∆x→0

c − c

∆x= 0

2. (cf )′

= c · f ′ , c je konstanta

3. Derivacija linearne funkcije f (x) = kx + l , x ∈ R

f′(x) = lim

∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x

= lim∆x→0

k(x + ∆x) + l − kx − l

∆x

= lim∆x→0

k∆x

∆x= k

4 / 45

Primjeri derivacije funkcije po definiciji

Primjer

4. Derivacija funkcije f (x) = x2, x ∈ R

f′(x) = lim

∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x= lim

∆x→0

(x + ∆x)2 − x2

∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2

∆x

= lim∆x→0

(2x + ∆x) = 2x

5. Derivacija funkcije f (x) = x3, x ∈ R

f′(x) = lim

∆x→0

(x + ∆x)3 − x3

∆x

= lim∆x→0

(3x2 + 3x∆x + (∆x)2) = 3x2

5 / 45

Primjeri derivacije funkcije

Derivacija potencije

Funkcija f (x) = xn, n ∈ R, n 6= 0 ima derivaciju

(xn)′

= nxn−1.

Zadatak

Odredite po definiciji derivacije f′(2) ako je

(a) f (x) = 2x + 5 (b) f (x) = −32x

2 + 1

(c) f (x) = 1x (d) f (x) =

√2x

Zadatak

Odredite po definiciji derivaciju funkcije f u zadanom intervalu ako je:(a) f (x) = 1

x , x 6= 0 (b) f (x) =√x , x > 0

6 / 45

Pravila deriviranja

Neka su funkcije f i g derivabilne na istom intervalu (a, b). Tada za svakix ∈ (a, b) vrijedi:

1. derivacija zbroja i razlike [f (x)± g(x)]′ = f ′(x)± g ′(x)

2. derivacija produkta [f (x) · g(x)]′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x)

3. derivacija kvocijenta[f (x)

g(x)

]′=

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2, g(x) 6= 0

4. derivacija kompozicije funkcija[f ◦ g ]′(x) = [f (g(x))]′ = f ′((g(x)) · g ′(x)

5. derivacija inverzne funkcije

[f −1(x)]′ =1

f ′(f −1(x))

7 / 45

Zadaci

Zadatak

Derivirajte slijedece funkcije:

(a) f (x) = x5 − 7x2 + 4x −√

2

(b) f (x) =√x + 4 3

√x − 5√x

(c) f (x) = (4x − 3)(x2 + 2x − 3)

(d) f (x) =4

x2+

2

x

Zadatak

Derivirajte slijedece funkcije:

(a) f (x) =3

x + 1(b) f (x) =

x − 3

1 +√x

(c) f (x) =x3 − 4

x −√x

(d) f (x) =

√x − x

x + 1

8 / 45

Derivacije trigonometrijskih funkcija

Derivacije trigonometrijskih funkcija:

(a) (sin x)′

= cos x

(b) (cos x)′

= − sin x

(c) (tg x)′

=1

cos2 x

(d) (ctg x)′

= − 1

sin2 x

Zadatak

Nadite f′(x) ako je

(a) f (x) = x + sin x − sin 2

(b) f (x) = cos x − x + π

(c) f (x) = x · ctg x

(d) f (x) =x

tg x

9 / 45

Derivacija eksponencijalne i logaritamske funkcije

Derivacija eksponencijalne funkcije je:

(ax)′

= ax ln a

Derivacija logaritamske funkcije je:

(loga x)′ =1

x ln a

Za a = e, iz prethodnog, slijedi

(ex)′ = ex

i

(ln x)′ =1

x

10 / 45

Zadatak

Nadite f′(x) ako je

(a) f (x) = 2x + log2 x − ln 2 + e2

(b) f (x) = x · ln x(c) f (x) = 2x · ln x

(d) f (x) =x

ex

(e) f (x) = x ln x +ex

x.

Zadatak

Nadite f′(x) ako je

(a) f (x) = x√

2

(b) f (x) = 2√

2 + sin√

2− x√x

(c) f (x) =√x sin x + tg x

11 / 45

Derivacija arkus funkcija

Primjer (Derivacije arkus funkcija)

Koristeci pravilo

[f −1(x)]′ =1

f ′(f −1(x))

odredite derivacije arkus funkcija.Rjesenje:

(arcsin x)′ =1

cos(arcsin x)=

1√1− sin2(arcsin x)

=1√

1− x2

(arccos x)′ =1

− sin(arccos x)=

−1√1− cos2(arccos x)

=−1√

1− x2

(arctg x)′ =11

cos2(arctg x)

=1

1 + tg2(arctg x)=

1

1 + x2

(arcctg x)′ =1−1

sin2(arcctg x)

=−1

1 + ctg2(arcctg x)=−1

1 + x2

12 / 45

Tablica derivacija elementarnih funkcija

f (x) f′(x)

C 0

x r rx r−1, x > 0, r ∈ Rax ax ln a

ex ex

loga x1

x ln a

sin x cos x

cos x − sin x

tg x 1cos2 x

ctg x −1sin2 x

arcsin x 1√1−x2

arctg x 11+x2

13 / 45

Derivacije viseg reda

Ako funkcija f ima derivaciju u svakoj tocki intervala (a, b), onda je f′

isama funkcija definirana na tom intervalu. Njezinu derivaciju oznacavamos f′′

i nazivamo drugom derivacijom funkcije f .

Primjer

Ako je f (x) = x5 + 3x3 − 2x , onda je f′(x) = 5x4 + 9x2 − 2,

f′′

(x) = 20x3 + 18x .

Derivacije viseg reda

Druga derivacija funkcije f je derivacija prve derivacije. Oznacavamo je sf′′

. Derivacije treceg i cetvrtog reda oznacavamo s f′′′

i f IV . Za vecebrojeve n, derivaciju n−tog reda oznacavamo s f (n).

f (n)(x) = (f (n−1)(x))′.

14 / 45

Primjer

Za funkciju f (x) = 2x4 + 5x3 − x2 + 2x vrijedi:f′(x) = 8x3 + 15x2 − 2x + 2

f′′

(x) = 24x2 + 30x − 2f′′′

(x) = 48x + 30f IV (x) = 48f (5)(x) = 0

Primjer

Za funkciju f (x) = xex vrijedi:f′(x) = ex + xex = (x + 1)ex

f′′

(x) = ex + ex + xex = (x + 2)ex

f′′′

(x) = ex + ex + ex + xex = (x + 3)ex .Indukcijom se pokaze da vrijedi: f (n)(x) = (x + n)ex .

15 / 45

Derivacija slozene funkcije

Podsjetimo se:Derivaciju slozene funkcije racunamo formulom:

[f ◦ g ]′(x) = [f (g(x))]′ = f ′(g(x)) · g ′(x).

Primjer

Izracunajte derivaciju slozene funkcije f (x) = (x − 1)2.Funkciju f mozemo zapisati kao f (x) = h(g(x)), gdje je g(x) = x − 1,h(x) = x2.Dakle, f

′(x) = [h(g(x))]′ = h′(g(x)) · g ′(x) = 2(x − 1) · 1.

Zadatak

Derivirajte slozene funkcije:

(a) y = sin x2, y = sin2 x

(b) y = arcsin√x , y =

√arcsin x

(c) y = 2arctg x + cos2x + sin kx , k ∈ R.

16 / 45

Derivacija implicitnih funkcija

Ako je funkcija zadana implicitnom formulom, onda njezinu derivacijumozemo naci primjenom pravila za derivaciju slozene funkcije, ali moramoimati u vidu da je y funkcija od x .

Primjer

Derivacija funkcije x2 +y2

9= 1 je 2x +

2

9y · y ′ = 0, odnosno y

′= −9x

y.

Zadatak

Derivirajte funkciju y = f (x) zadanu implicitno

(a) x2y − ey + 5 = 0

(b) arctg xy − 5xy − y2 = 0.

17 / 45

Logaritamsko deriviranje

Logaritamsko deriviranje koristimo za deriviranje funkcija oblika

y = f (x)g(x).

Postupak kojim dolazimo do derivacije:

1. logaritmiramo obje strane

2. deriviramo obje strane, pri cemu y deriviramo kao slozenu funkciju

3. sredimo dobiveni izraz

18 / 45

Logaritamsko deriviranje

Primjer

Odredite derivaciju funkcije f (x) = x sin x .Ova funkcija je oblika y = f (x)g(x) pa slijedimo postupak logaritamskogderiviranja.

ln f (x) = sin x · ln x

Zatim deriviramo obje strane i dobijemo

f′(x)

f (x)= cos x ln x +

sin x

x,

odnosno

f′(x) =

(cos x ln x +

sin x

x

)· x sin x

19 / 45

Zadaci

Zadatak

Izracunajte derivaciju funkcije

(a) f (x) = (sin x)x

(b) f (x) = x−x

Diferencijal funkcije f u tocki x je izraz

df (x) = f′(x)dx = f

′∆x .

U zadacima ce nam biti vazan slijedeci izraz

f (x + ∆x) ≈ f (x) + f′(x) ·∆x

Zadatak

Priblizno izracunajte:

(a)√

17 (b)√

15 (c) sin 31◦ (d) 3√

7.

20 / 45

Primjena diferencijalnog racuna funkcije jedne varijable

Definicija tangente i normale

Jednadzba tangente na krivulju y = f (x) u tocki x0 je

y − f (x0) = f′(x0)(x − x0)

Normala na krivulju y = f (x) u tocki x0 je pravac koji prolazi tockom(x0, f (x0)) i okomit je na tangentu u toj tocki.Jednadzba normale glasi

y − f (x0) = − 1

f ′(x0)(x − x0)

pri cemu smo pretpostavili da je f′(x0) 6= 0.

Ako je f′(x0) = 0, onda je jednadzba tangente y = y0, a normale x = x0.

21 / 45

Zadaci

Zadatak

Odredite jednadzbu tangente i normale krivulje u zadanoj tocki

(a) f (x) = x2 + 5x − 6, T (2, y0)

(b) y = tg x2 , T

(π2 , y0

)(c) x2 + y2 = 1, T

(12 , y < 0

)(d) xy2 + ln y = 1, T (1, 1)

Zadatak

Napisite jednadzbu tangente krivulje u tockama u kojima su tangenteparalelne zadanom pravcu te nacrtajte sliku ako je

(a) y = 1 + 2√−x , x + y − 3 = 0

(b) y = x2 − 6x + 8, y = 2x − 3

22 / 45

Zadaci

Zadatak

Napisite jednadzbu normale krivulje u tockama u kojima su normaleparalelne zadanom pravcu te nacrtajte sliku ako je

(a) y = − 1

x + 1,x

8+

y

2= 1

(b) y =√

5− x2, y = 2x

Zadatak

Odredite tangentu koja prolazi ishodistem za krivulje te nacrtajte sliku akoje

(a) y = − 1

x − 1+ 3

(b) y = 2 ln x + 1

23 / 45

Zadaci

Zadatak

Napisite jednadzbu tangenata krivulje povucenih iz zadane tocke nakrivulju

(a) y = 2− x2

2, T

(12 , 2)

(b) y =1

x, T (4,−2)

Zadatak

Napisite jednadzbu tangente i normale krivulje x2 − 2x + y2 = 0 u

tockama presjeka krivulje i pravca y =x

2te nacrtajte sliku.

Zadatak

Za koju se vrijednost parametra a krivulje y = ax4 i y = ln x dodiruju tenacrtajte sliku.

24 / 45

Kut izmedu krivulja

Kut pod kojim se sijeku dvije krivulje definira se kao kut izmedu njihovihtangenata povucenih u tockama sjecista.Neka je T (x0, y0) tocka sjecista krivulja. Tada kut izmedu krivuljadefiniramo kao

tgϕ =

∣∣∣∣ kt1 − kt2

1 + kt1kt2

∣∣∣∣ ,gdje je kt1 = f

′1 (x0), a kt2 = f

′2 (x0).

Zadatak

Odredite kut pod kojim krivulja

(a) y = ln(x + 1) sijece x os

(b) y = ex + 1 sijece y os

te nacrtajte sliku.

25 / 45

Zadaci

Zadatak

Odredite kut pod kojim se sijeku krivulje

(a) y = x3, y = 1x2

(b) y = 1 + sin x , y = 1

(c) x2 + y2 = 5, y2 = 4x

(d) y =√

2 sin x , y =√

2 cos x

(e) x2 − y2 = 5, 4x2 + 9y2 = 72

te nacrtajte sliku.

26 / 45

L’Hospitalovo pravilo

L’Hospitalovo pravilo za neodredeni oblik 00 ,∞∞ : Neka su

f , g : (a, b)\{x0} → R derivabilne funkcije i vrijedi

limx→x0

f (x) = limx→x0

g(x) = 0 i g ′(x) 6= 0 za svaki x ∈ (a, b)\{x0}.

Tada vrijedi

limx→x0

f (x)

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g ′(x).

Zadatak

Izracunajte:

(a) limx→0

3x−x3

2x−x2

(b) limx→0

x−sin 3xx+sin 2x

(c) limx→∞

ex

x3

(d) limx→0

x ln x

27 / 45

Pad i rast funkcije

Interval (a, b) na kojem je funkcija rastuca ili padajuca nazivamo intervalmonotonosti funkcije f .

Neka je funkcija f derivabilna na intervalu (a, b). Tada vrijedi:

1. funkcija f je rastuca na intervalu (a, b) ako i samo ako je f′(x) ≥ 0

za svaki x ∈ (a, b)

2. funkcija f je padajuca na intervalu (a, b) ako i samo ako je f′(x) ≤ 0

za svaki x ∈ (a, b)

3. funkcija f strogo rastuca na intervalu (a, b) ako je f′(x) > 0 za svaki

x ∈ (a, b)

4. funkcija f strogo padajuca na intervalu (a, b) ako je f′(x) < 0 za

svaki x ∈ (a, b).

28 / 45

Ekstremi funkcije i intervali monotonosti

Tocku u kojoj je vrijednost derivacije funkcije jednaka nuli nazivamostacionarna tocka.

Minimum i maksimum funkcije:Kazemo da je tocka x0 lokalni minimum funkcije f , ako postoji interval(c, d) koji sadrzi tocku x0 tako da vrijedi

f (x0) < f (x), za svaki x ∈ (c , d), x 6= x0.

Kazemo da je tocka x0 lokalni maksimum funkcije f , ako postoji interval(c , d) koji sadrzi tocku x0 tako da vrijedi

f (x0) > f (x), za svaki x ∈ (c , d), x 6= x0.

Minimum i maksimum funkcije zovemo ekstremima funkcije.

29 / 45

Ekstremi funkcije i intervali monotonosti

Nuzan uvjet za lokalni ekstrem:

Ako funkcija u tocki ekstrema ima derivaciju, onda ta derivacija mora bitijednaka nuli.

Trazenje lokalnih ekstrema:

1. odredimo stacionarne tocke funkcije f

2. odredimo intervale monotonosti

3. ako je x0 stacionarna tocka, onda se njezin karakter odreduje natemelju rasta ili pada funkcije lijevo i desno od te tocke, a oni su danipredzacima derivacije

30 / 45

Ekstremi funkcije i intervali monotonosti

Ako je lijevo od x0 f′(x0) > 0, a desno od x0 f

′(x0) < 0, onda je x0 lokalni

maksimum funkcije f .

max

f ’>0 f ’

<0

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

Ako je lijevo od x0 f′(x0) < 0, a desno od x0 f

′(x0) > 0, onda je x0 lokalni

minimum funkcije f .

min

f ’<0 f ’

>0

-3 -2 -1 1 2 3

-2

2

4

6

31 / 45

Ekstremi funkcije i intervali monotonosti

Ako je i lijevo i desno od x0 f′(x0) > 0, (f

′(x0) < 0) onda x0 nije ekstrem

funkcije f .

f ’>0

f ’>0

0.5 1.0 1.5 2.0

1.5

2.0

2.5

3.0

f ’<0

f ’<0

0.5 1.0 1.5 2.0

1.5

2.0

2.5

3.0

32 / 45

Globalni ekstrem

Ako trazimo maksimum ili minimum na cijelom intrevalu [a, b], ondagovorimo o globalnim ekstremima. Takav se ekstrem ne mora postizati ustacionarnoj tocki unutar intervala, vec i na njegovom rubu. U toj tockiderivacija ne mora biti nula.

Nuzan uvjet za globalni ekstrem:

Na intervalu [a, b] funkcija moze poprimiti ekstrem samo u tockama ukojima je:

1. derivacija jednaka nuli

2. derivacija ne postoji (tocka prekida)

3. u krajevima intervala

33 / 45

Druga derivacija i ekstremi

Dovoljan uvjet za postojanje ekstrema mozemo izraziti i pomocu drugederivacije.

Ispitivanje karaktera ekstrema pomocu druge derivacije:

1. izracunajmo f′

i f′′

2. rijesimo jednadzbu f′(x) = 0 (njena rjesenja su stacionarne tocke)

3. ako je f′′

(x0) > 0, onda funkcija u x0 postize minimum

4. ako je f′′

(x0) < 0, onda funkcija u x0 postize maksimum

5. ako je f′′

(x0) = 0, onda karakter tocke x0 istrazujemo pomocu prvederivacije

34 / 45

Zadaci

Zadatak

Odredite lokalne ekstreme i intervale monotonosti funkcija

a) f (x) = x2 + 2x

b) f (x) = x2e−x

c) f (x) = x23 (1− x)

23 .

Zadatak

Pomocu druge derivacije odredite lokalne ekstreme funkcija

a) f (x) = −13x

3 + 16x

4

b) f (x) = 2x2 − ln x

35 / 45

Konveksnost i konkavnost funkcije

Konveksnost i konkavnost funkcije:

Za funkciju f kazemo da je konveksna na intervalu (a, b) ako na intervalu(a, b) vrijedi f

′′(x) > 0. Graf konveksne funkcije lezi iznad tangente

povucene u po volji odabranoj tocki intervala.

f ’’>0

-1 1 2 3

10

20

30

40

36 / 45

Konveksnost i konkavnost funkcije

Za funkciju f kazemo da je konkavna na intervalu (a, b) ako na intervalu(a, b) vrijedi f

′′(x) < 0. Graf konkavne funkcije lezi ispod tangente

povucene u po volji odabranoj tocki intervala.

f ’’<0

-1 1 2 3

-40

-30

-20

-10

37 / 45

Konveksnost i konkavnost funkcije

Ako je na intervalima (a, b), (b, c) druga derivacija razlicitih preznaka,onda u tocki b funkcija prelazi iz konveksne u konkavnu granu ili obratno.Tocku b nazivamo tockom pregiba (infleksije) funkcije f .

interval konkavnosti

interval konveksnosti

tocka infleksije

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

38 / 45

Odredivanje intervala konveksnosti, konkavnosti i tocakapregiba

Intervale konveksnosti, konkavnosti i tocke pregiba odredujemo na sljedecinacin:

1. izracunamo f′′

2. rijesimo jednadzbu f′′

(x) = 0 (njezina rjesenja su moguce tockepregiba)

3. na intervalima na kojima je f′′

(x) > 0 funkcija je konveksna, naostalima je konkavna. Na granici izmedu intervala konveksnosti ikonkavnosti nalazi se tocka infleksije.

39 / 45

Zadaci

Zadatak

Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti i tocke infleksije za funkciju

a) f (x) = x3 + 14x

4

b) f (x) =x2

x − 1c) f (x) = x + arctg x .

40 / 45

Asimptote

Asimptota funkcije je pravac sa svojstvom da udaljenost izmedu tocke nagrafu funkcije i tog pravca tezi k nuli kada tocka na grafu tezi ubeskonacnost.Funkcija moze imati vertikalne, horizontalne i kose asimptote.Pravac x = x0 je

vertikalna asimptota funkcije f u tocki x0 s lijeve strane ako je

limx→x−0

f (x) = ±∞

vertikalna asimptota funkcije f u tocki x0 s desne strane ako je

limx→x+

0

f (x) = ±∞.

Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u tockama prekida funkcije ili uotvorenim rubovima podrucja definicije.

41 / 45

Asimptote

Pravac y = y0 je

horizontalna asimptota funkcije f u lijevoj strani ako jelimx→−∞ f (x) = y0

horizontalna asimptota funkcije f u desnoj strani ako jelimx→+∞ f (x) = y0.

Pravac y = kx + l nazivamo kosa asimptota funkcije f u lijevoj strani ako:

limx→−∞

f (x)

x= k , k 6= 0,∞,−∞

limx→−∞

(f (x)− kx) = l , l 6=∞,−∞

Kosu asimptotu funkcije f u desnoj strani definiramo analogno.

42 / 45

Zadaci

Zadatak

Nadite asimptote sljedecih krivulja i skicirajte njihov graf

a) y =x2 + 1

2x + 3

b) y =x2

x2 − 4

a) y =√x2 + 4

43 / 45

Tok funkcije

Postupak crtanja grafa funkcije

1. Istrazivanje funkcije f :

odredi se domenaodredi se ponasanje u rubnim tockama domene, te asimptoteispitaju se svojstva parnosti, neparnosti, periodicnostiodrede se nultocke i predznak

2. Istrazivanje funkcije f′:

izracuna se f′

rijesi se jednadzba f′(x) = 0 i odrede stacionarne tocke

odrede se intervali pada, odnosno rastaodredi se karakter ekstrema i vrijednosti funkcije u tim tockama

3. Istrazivanje funkcije f′′

:

izracuna se f′′

i rijesi se jednadzba f′′

(x) = 0odrede se intervali konveksnosti i konkavnosti, te tocke infleksije

44 / 45

Zadaci

Zadatak

Ispitajte tok funkcije:

a) f (x) = x3 + 14x

4

b) y =x2

x − 1c) y = xe−x

i nacrtajte graf.

Zadatak

Odredite domenu, nul-tocke, ekstreme i tocke infleksije, te nacrtajte graffunkcije

a) f (x) =x + 2

(x − 1)(x + 3)

b) f (x) =x

x2 − 4.

45 / 45