deret dan aproksimasi -...

Deret dan

Aproksimasi

Deret MacLaurin

Deret Taylor

Tujuan

• Kenapa perlu perkiraan?

– Perkiraan dibentuk dari fungsi paling sederhana –

polynomial.

– Kita bisa mengintegrasikan dan mendiferensiasi dengan – Kita bisa mengintegrasikan dan mendiferensiasi dengan

mudah.

– Kita bisa gunakan saat kita tidak tahu fungsi sebenarnya.

Polynomial Approximations

• Misalkan kita ingin membuat perkiraan untuk sebuah fungsi

yang kompleks pada sekitar x = 0;

• Perkiraan paling simple adalah menentukan sebuah konstanta,

sehingga:

00 )( axp =• Catatan: perkiraan di atas disebut sebagai zero’th order

polynomial approximation;

• Lalu, nilai berapa yang harus kita berikan pada konstanta itu?

00 )( axp =


• Kita inginkan angka paling akurat pada x = 0.

• Sehingga: )0()(0 fxp =

2 f(x)

-1 -0.5 0 0.50.5

1

1.5

x

y

p(x)


• Contoh

xxf

−=

1

1)(

1)(11

1)0( 0 =⇒== xpf


1.5

2 f(x )

Kurang akuratTidak akurat

-1 -0 .5 0 0 .50.5

1

x

y

p0

(x )

Sangat

akurat


• Sekarang kita tingkatkan dengan perkiraan dengan

menggunakan aproksimasi linier (1st order

approximation);

xaaxp 101 )( +=

• Sekarang kita pilih nilai sehingga perpotongan dan

garis nya semirip mungkin dengan fungsi sebenarnya.


• Menyamakan perpotongan:

• Menyamakan slope:

)0(

)0(0)0()0(

0

101

fa

faafp

=⇒

=×+⇒=

• Menyamakan slope:

• Sehingga polinom nya:

)0()0()0( 11 fafp ′=⇒′=′

xffp )0()0()0(1′+=


• Contoh

xxf

−=

1

1)(

xaaxp 101 )( +=

11)0(1

01

1)0( 0 ==⇒=

−= faf

( )1)0(1

1

1)0( 12

=′=⇒=−

=′ fax

f

xxp +=⇒ 1)(1

Ingat, Metode Newton Raphson

( ) ( )

tangent = =

=−

dy

dxf

f xf xi

'

'0

f(xi)

tangent

( ) ( )

( )( )

=−

−

= −

+

+

f xf x

x x

rearrange

x xf x

f x

i

i

i i

i i

i

i

'

'

0

1

1

xixi+1

1.5

2 f(x)


1.5

2 f(x)

p1(x)

Masih ‘lumayan’ sampai disini

-1 -0.5 0 0.50.5

1

x

y

p0(x)

-1 -0.5 0 0.50.5

1

x

y

p0(x)


• Sekarang coba dengan perkiraan kuadratik:

• Kita inginkan perpotongan, gradient dan kurva

2

2102 )( xaxaaxp ++=

• Kita inginkan perpotongan, gradient dan kurva

(turunan kedua) dari perkiraan kita dapat match

dengan fungsi sebenarnya pada x = 0.


• Menyamakan perpotongan:

• Menyamakan kemiringan:

)0(

)0(00)0()0(

0

2

2102

fa

faaafp

=⇒

=×+×+⇒=

• Menyamakan kemiringan:

)0(02)0()0( 212 faafp ′=×+⇒′=′


• Mencocokkan kurva (turunan ke 2):

• Memberikan polinom

)0(2

1

)0(2)0()0(

2

22

fa

fafp

′′=⇒

′′=⇒′′=′′

• Memberikan polinom

2

2 )0(2

1)0()0()( xfxffxp ′′+′+=


• Contoh

• Dari sebelumnya:

xxf

−=

1

1)(

2

2102 )( xaxaaxp ++=

1,1 == aa• Dari sebelumnya: 1,1 10 == aa

( )1

2)0(21

2)(

2

23

=⇒

=′=⇒−

=′′

a

fax

xf

2

2 1)( xxxp ++=⇒


1.5

2 f(x)

p1(x)

1.5

2

y

f(x)

p1(x)

p2(x)

Lebih ‘lumayan’ lagi ya..

-1 -0.5 0 0.50.5

1

x

y

p0(x)

-1 -0.5 0 0.50.5

1

x

y

p0(x)


• Kita bisa teruskan penaksiran secara polinom hingga

n derajad.

• Kalau kita teruskan, kita akan mendapatkan rumus:

)0()0()()( xffxpxf ′+=≈

!)0(

!2)0(

)0()0()()(

)(2

n

xf

xf

xffxpxf

nn

n

++′′+

′+=≈

K


• Akurasi perkiraan akan bertambah seiring dengan

penambahan polinom;

• Kita lihat polinom derajad 0, 1, 2 dan 6 (warna hijau),

dibanding fungsi asli nya f(x) (warna biru).


1.5

2

y

f(x)

p1(x)

p2(x)

p6(x)

-1 -0.5 0 0.50.5

1

x

p0(x)

Maclaurin (Power) Series

• Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajad tak

hingga

KK +++′′+

′+=

!)0(

!2)0(

)0()0()(

)(2

n

xf

xf

xffxf

nn

• Notice: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa

akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, bukan

penaksiran lagi!

!!2 n

Taylor Series

• Sesungguhnya, kita bisa membuat

deret polinom yang berasal dari titik

• Dari awal kita selalu memulai

perkiraan pada nilai 0=x

deret polinom yang berasal dari titik

manapun. 0xx =

• Ini disebut Taylor Series.

• Jadi, Deret MacLaurin merupakan

Deret Taylor yang berpusat pada x0=0

Taylor Series

• Rumus umum Deret Taylor:

−

−′′+−′+=

)(

!2

)()())(()()(

2

00000

xx

xxxfxxxfxfxf

n

KK +−

++!

)()( 0

0

)(

n

xxxf

nn

∑∞

=

−=

0

00

)(

!

)()(

n

nn

n

xxxf

Taylor Series

• Approximate function? Copy derivatives!

0.0

0.5

1.0

f(x)=

sin

(2πx

) What is f(x) near x=0.35?

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

X

f(x)=

sin

(2

0.0

0.5

1.0

f(x)=

sin

(2πx

)Taylor Series


What is f(x) near x=0.35?

0 ( ) (0.35)T x f=

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

X

f(x)=

sin

(2

0

0.0

0.5

1.0

f(x)=

sin

(2πx

)Taylor Series


( )1( ) (0.35)T x f=What is f(x) near x=0.35?

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

X

f(x)=

sin

(2

( )'(0.35) 0.35f x+ −

0.0

0.5

1.0

f(x)=

sin

(2πx

)Taylor Series


( )2 ( ) (0.35)T x f=

What is f(x) near x=0.35?

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

X

f(x)=

sin

(2

( )

( )212

'(0.35) 0.35

''(0.35) 0.35

f x

f x

+ −

+ −

0.0

0.5

1.0

f(x)=

sin

(2πx

)Taylor Series


10 ( )T x

( )2 ( ) (0.35)T x f=What is f(x) near x=0.35?

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

X

f(x)=

sin

(2

( )( )( )

0

( )!

iiN

N

i

f a x aT x

i=

−=∑

( )

( )212

'(0.35) 0.35

''(0.35) 0.35

f x

f x

+ −

+ − K

0.0

0.5

1.0

f(x)=

sin

(2πx

)Taylor Series


( )1( ) ( )T x f a= +

Most Common: 1st Order

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

X

f(x)=

sin

(2

• Look out for “approximate” or “when x is small” or

“small angle” or “close to” %

( )'( )f a x a−

Contoh – Taylor Series

• Bentuklah Deret Taylor untuk:

1),ln()( 0 == xxxf

• Cari nilai fungsi dan turunannya untuk

fungsi pada x0=1


0)1ln()()ln()( 0 ==⇒= xfxxf

11

1)(

1)( 0 ==′⇒=′ xf

xxf

11

1)(

1)(

202−=−=′′⇒−=′′ xf

xxf

11

0

)(

1)(

)1()!1(1

)1()!1()(

)1()!1()(

−−

−

−−=−−

=⇒

−−=

n

n

nn

n

nn

nn

xf

x

nxf

M

21

2)(

2)(

303==′′′⇒=′′′ xf

xxf


• Gunakan Rumus Umum Deret Taylor:

−− )1(!2)1( 32 xx

KK +−

++

−′′+−′+=

!

)()(

!2

)()())(()()(

00

)(

2

00000

n

xxxf

xxxfxxxfxfxf

nn

KK +−

−−++

−+

−−−+=⇒

−

!

)1()1()!1(

!3

)1(!2

!2

)1()1(0)ln(

1

32

n

xn

xxxx

nn

KK +−

−++

−+

−−−=⇒

−

n

x

xxxx

nn )1(

)1(

3

)1(

2

)1()1()ln(

1

32

Truncated Taylor Series

• We cannot evaluate a Taylor series – it is infinite!

• Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari

sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu yang tidak

tak terhingga;

• Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.• Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.

Truncated Taylor Series

• To find an nth order truncated Taylor series

• Note: This is the same concept as the polynomial

!

)()(

!2

)()())(()()(

00

)(

2

00000

n

xxxf

xxxfxxxfxfxf

nn −

++

−′′+−′+≈

K

• Note: This is the same concept as the polynomial

approximations we introduced earlier.

Example – Truncated Taylor Series

• Find a cubic (degree 3) truncated

Taylor series for the function:

)2cos()( xxf =

centered at:

4

π=x


• For a degree 3 approximation:

!3

)()(

!2

)()(

))(()()(

3

00

2

00

000

xxxf

xxxf

xxxfxfxf

−′′′+

−′′+

−′+≈

• So we need to evaluate the function

and its first three derivatives at the

center.

!3)(

!2)( 00 xfxf ′′′+′′+


• Evaluating these:

22

sin24

)2sin(2)(

02

cos4

)2cos()(

−=

−=

′⇒−=′

=

=

⇒=

ππ

ππ

fxxf

fxxf

82

sin84

)2sin(8)(

02

cos44

)2cos(4)(

22

sin24

)2sin(2)(

=

=

′′′⇒=′′′

=

−=

′′⇒−=′′

−=

−=

′⇒−=′

ππ

ππ

fxxf

fxxf

fxxf


• % which gives:

20)(

!3

)()(

!2

)()(

))(()()(

3

00

2

00

000

−×−≈⇒

−′′′+

−′′+

−′+≈

πxxf

xxxf

xxxf

xxxfxfxf

!3

48

!2

40

420)(

32

−×+

−×+

−×−≈⇒

ππxx

xxf

3

43

4

42)(

−+

−−≈⇒ππ

xxxf


0.2

0.4

0.6

0.8

1 f(x) t3(x) ππππ/4

)2cos( x)(3 xp

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

x

y

40π=x

Series Accuracy

• Kenapa mesti pakai Deret Taylor kalau bisa pakai

Maclaurin?

• Perkiraan kita akan makin jauh dari akurat jika semakin jauh

dari titik awal x0;

• Kita harus selalu memakai titik awal yang dekat dengan titik

yang akan diperkirakan dan juga mudah untuk melakukan yang akan diperkirakan dan juga mudah untuk melakukan

perkiraan.

deret dan aproksimasi -...

Documents