denklemi (“enerjinin korunumu prensibi -...

Akışkanlar Mekaniği Akışkanların Dinamiği AKM 204 / Ders Notu H09-S1

[email protected]

İdeal Akışkanların Bir Boyutlu Akımları

Bernoulli Denklemi

Bernoulli denklemi belirli bir akım çizgisi üzerindeki iki nokta arasında yazılabilir.

İki kesit arasındaki mesafe, kinetik enerjinin ısıya dönüşmediği kabulü geçerli kılmalıdır.

Bernoulli denkleminin fiziksel ve geometrik yorumu:

İdeal Akışkan için Enerji Denklemi (“enerjinin korunumu prensibi”)

Bernoulli denklemini oluşturan terimlerin geometrik ve fiziksel yorumu

Enerji Terimlerin

Boyutu Fiziksel Anlam Geometrik Anlam

[ L ]

[ L ]

[ L ]

; Piyezometre Yüksekliği ; Potansiyel Enerji Seviyesi

Akım Borusu

Karşılaştırma Düzlemi

İ.A. Piyezometre Çizgisi = İAPÇ

İdeal Akışkanın Enerji Çizgisi =İAEÇ

Q

Z2

Z1


[email protected]

1 ve 2 kesitleri arasındaki enerji dengesi ;

fiziksel büyüklük Birimin ismi (SI) Birimin simgesi Birimin tanımı

Enerji , İş Joule J kg m2

s-2

= Nm Kuvvet Newton N kg m s

-2 = J m

-1

Basınç, Gerilme Pascal Pa kg m-1

s-2

= N m-2

Güç Watt W kg m2

s-3

= J s-1

Bernoulli denkleminin fiziksel yorumu: Bernoulli denklemindeki bütün terimler mg ile çarpılırsa;

Yukarıdaki ifadeler, için birim ağırlıktaki akışkanın enerjilerine dönüşür.


[email protected]

Güç bağıntısı

H : Birim ağırlıktaki akışkanın toplam enerji seviyesi : [ L ]

Bu değer birim zamanda yapılan iş olduğuna göre, enkesitten geçen akışkanın gücünü göstermektedir. N =

: Birim ağırlıktaki akışkanın Konum Enerjisi

Akım Borusu

Karşılaştırma Düzlemi

: Birim ağırlıktaki akışkanın Kinetik Enerjisi

: Birim ağırlıktaki akışkanın Basınç Enerjisi

Q

Toplam enerji seviyesi

: Birim ağırlıktaki

akışkanın Potansiyel Enerjisi


[email protected]

Dinamik basınç Akım ortamın simetrisini bozmayan katı bir cisim yerleştirilerek, cismin cevresinde oluşan akım çizgileri üzerinde Bernoulli denkleminin (ideal akışkan için enerjinin korunumu ilkesinin) uygulamasıdır.

Kinetik enerji, basınç enerjisine dönüşmektedir.


[email protected]

Pitot borusu ( Tüpü ) SeIne Nehri'nin debisini ölçmek için görevlendirilen Fransız bilim adamı Henri Pitot tarafından 1732'de icat edilmiştir.

Pitot borusu; içiçe yerleştirilmiş iki silindir borudan oluşan bir ölçme sistemidir. Akım ortamında noktasal hız ölçmek için kullanılmaktadır.

Potansiyel enerji seviyesi toplam enerji seviyesinin hız yüksekliği kadar altından geçer.

Pitot tüpünün ortasındaki (içteki) boru akım yönüne dik olarak yönlendirilmiştir. Başlangıçta boru içerisinde akışkan hareketi olur daha sonra akışkan enerji seviyesine bağlı olarak belirli bir seviyede durur ve giriş noktasında (1 nolu nokta da) akışkanın kinetik enerjisi sıfır olur. Kinetik enerji yok olmaz ve bu noktada konum enerjisi değişmediği için basınç enerjisine dönüşür. İçerdeki boruda Kinetik enerji sıfır olması nedeniyle TOPLAM ENERJ SEV YES =POTANS YEL ENERJ SEV YES ’dir.

Dış boruda (2) nolu delik akıma paralel olarak açılmıştır. Bu nedenle akışkanın kinetik enerjisi dönüşüme uğramaz. POTANS YEL ENERJ SEV YES =TOPLAM ENERJ SEV YES -K NET K ENERJ SEV YES ’dir.


[email protected]

Venturimetre ölçeği Akım borusuna dışardan bağlanan piyezometre borusunda akışkan potansiyel enerji seviyesine kadar yükselir. Potansiyel enerji seviyesi toplam enerji seviyesinin hız yüksekliği kadar altındadır.

Venturimetre sisteminde akım borusunda birbirlerine yeterince yakın olan (sürtünme kayıpları ihmal edilecek kadar) ve kesit alanları birbirinden farklı iki kesitine piyezometre boruları bağlanır. Enerji seviyeleri arasındaki fark dışardan ölçülerek ve enerjinin korunumu ilkesini yansıtan Bernoulli denklemiyle ilişkili olarak kesitten birim zamanda geçen akışkan hacmi hesaplanır.

Kesitsel ortalama hesaplanır.

Süreklilik denklemine göre :

ve


[email protected]

Orifis Sistemleri Sonsuz büyük kabul edilen depolama sisteminde, hazne yüzeyi ile çıkış deliği arasında ideal akışkan için enerji korunumu prensibi uygulanarak Toricelli bağıntısı elde edilir.


[email protected]

KKoonnuuyyllaa İİllggiillii SSoorruullaarr

1) Soru: İdeal akışkan için şekildeki biriktirme hacmi çok büyük olan hazne sisteminde, a) Borudan geçen debiyi, b) A, B, C, D noktalarındaki hızları ve basınçları bulunuz. c) Sistemin mutlak ve rölatif enerji ve piyezometre çizgilerini çiziniz. d) Suyun mutlak buharlaşma basıncı pv=2.5 kPa olduğuna gore h en çok ne olabilir?

Not: Buharlaşma basıncı, akışkanın sıvı halden buhar haline geçtiği basınç değeridir. Akım ortamında, negatif rölatif basınç olan bölgelerde, basınç

buharlaşma basıncına düşerse, sıvı buharlaşmaya başlar ve buhar kabarcıkları oluşur. Bu kabarcıklar akım yönünde sürüklenerek basıncın buharlaşma basıncından büyük olduğu bölgelerde ve tepe dirseklerde toplanır (buhar cepleri ve boşluklar oluşur). Burada sürekli toplanan ve sıkışan buhar kabarcıkları, kendilerini sınırlayan katı cidarlar üzerine büyük hidrodinamik basınç etkitirler ve cidar malzemesi üzerinde büyük fiziksel hasarlar meydana getirirler. Bu olaya kavitasyon adı verilir. Kavitasyondan kaçınmak için, akım ortamında hiçbir noktada, basınç buharlaşma basıncının altına düşmemelidir.

Çözüm:

a) Hazne su yüzeyi ile Çıkış noktası arasında Enerji (Bernoulli) denklemi yazılırsa

EEE zP

g

Vz

P

g

V

22

2

11

2

1 Hazne yüzeyi : V1 = 0 ve p1=pE =p(atm)R =0

)(2 1 EE zzgV = 3,13 m/s

Sistemden geçen debi : Q=VE.AE=4

2,013,3

2= 0, 098 m

3/s

b) VA=VB= 3,13 m/s

VA=VB= 44,0

098,02

= 0,78 m/s

H1=HA : AAA zP

g

Vz

P

g

V

22

2

11

2

1

)4(2

78,0000

2

AP

g

Ap =3,97 m (metre su sütunu)

H1=HB : BBB zP

g

Vz

P

g

V

22

2

11

2

1

1

4 m 7 m

0,5 m

h = 3 m

D2 = 20cm

D1 = 40cm

E

C

B

A

D


[email protected]

32

78,0000

2

BP

g

Bp =-3,03 m (metre su sütunu)

H1=HC : C

CC zP

g

Vz

P

g

V

22

2

11

2

1

32

13,3000

2

CP

g

Cp =-3,5 m (metre su sütunu)

H1=HD : DDD zP

g

Vz

P

g

V

22

2

11

2

1

)7(2

13,3000

2

DP

g

Dp =6,5 m (metre su sütunu)

c)

d) C noktasındaki hız yüksekliği B noktasındaki hız yüksekliğine göre daha büyüktür. Bu nedenle enerji denklemine göre h yüksekliğinin artışı esnasında basınç daha fazla düşecektir. Dolayısıyla hesap C noktasına göre yapılmalıdır.

H1=HC : C

CC zP

g

Vz

P

g

V

22

2

11

2

1

hg

81,9

5.2

2

13,30

81,9

2.1010

2

h için en çok değer, h = 9,6 m olabilir.

deal Akışkanın Rölatif Enerji Çizgisi = .A.R.E.Ç.

deal Akışkanın Rölatif Piyezometre Çizgisi = .A.R.P.Ç.

1

E

C

B

A

D


[email protected]

2) Soru : Bir su manometresine bağlı pitot tüpü hava hızını ölçmek için kullanılıyor. Sapma (iki koldaki sıvı seviyeleri arasındaki

mesafe) 7,3 cm olduğuna göre, havanın hızını belirleyiniz. Havanın özgül kütlesini 1,25 kg/m3 olarak alınız.

Sonuç: V2=33,8 m/s

özüm : Pitot tüpünün enkesiti hava akımına dik olan içteki (1) nolu giriş noktası ile enkesiti akıma paralel olan (2) nolu noktasından geçen akım çizgisi üzerinde Bernoulli denklemi yazılırsa ; Not : (1) ile (2) noktaları arasındaki mesafe kısa olması nedeniyle yol boyunca enerji kaybının olmadığı kabul edilerek

Bernoulli denklemi yazılmaktadır.

z1 = z2 ve V1=0 olduğu gözönüne alınırsa;

Su manometresinden ;

=716,13 Pa


[email protected]

3) Soru ) Şekilde kartezyen koordinat sisteminde gösterilen ve yatay düzlemde bulunan boru birleşimi içerisinde su ( ρsu=1000 kg/m

3 ) hareket etmektedir. Akışkanın sürtünmesiz ve sıkışmaz olduğunu kabul ederek, kesitlerdeki hızları ve basınçları

bulunuz. Akışkanın birleşim noktasına uyguladığı kuvvetin x ve y doğrultularındaki bileşenlerini bulunuz. Verilenler : (1) nolu kesitte hız V1=5,197 m/s , boru çapı D1= 0,7 m ;

(2) nolu kesitte basınç p2=100 kPa , boru çapı D2= 0,8 m ; (3) nolu kesitte debi Q3=6 m

3/s , boru çapı D3= 1 m .

Çözüm:

=7,64 m/s = 2 m

3/s

=7,96 m/s

(2) ile (3) kesitleri arasında Bernoulli denklemi yazılırsa;

Sistem yatay düzlemde olduğuna göre konum enerjileri eşit olmalıdır;

ve

(1) ile (3) kesitleri arasında Bernoulli denkleminden;

ve

Sistem yatay düzlemde ve yerçekim alanında çözüm yapıldığına göre;

x- doğrultusunda mpuls-momentum denklemi;

Ç Ç

; Yönü ( ← ) y- doğrultusunda mpuls-momentum denklemi;

Ç Ç

; Yönü ( ↑)

Bileşke reaksiyon kuvveti :

(2)

(1)

Q3=6 m3/s D3=1,0 m

30o

Q1

Q2

Q3

x

y

plan

(3)

15o

ƥ2=100 kPa D2=0,8 m

V1=5,197 m/s D1=0,7 m


[email protected]

4) Soru : Şekildeki hazne-boru sisteminden geçen akışkanı ideal kabul ederek, sistemin debisini hesaplayınız. D1=0.5 m, D2=0,30 m ve D3=0.40 m olduğuna göre, herbir borudaki hız yüksekliklerini belirleyiniz. Manometre borularındaki su seviyelerini hesaplayarak şekilde gösteriniz (manometre boruları 1. ve 2. borulara dışardan bağlı , fakat 3. borudaki manometre borusunun ucu akım yönüne çevrili olduğunu dikkate alınacak) . Sistemin rölatif enerji ve rölatif piyezometre çizgilerini çiziniz.

5) Soru :

Şekildeki çok geniş bir haznedeki su, tabanındaki yatay bir boru ile atmosfere dökülmektedir. Sistemin debisini hesaplayınız. Enerji ve piyezometre çizgilerini çiziniz. Venturi borularındaki su seviyelerini çiziniz.

Sonuç: Q=0,313 m3/s

1m

0.30m 0.40m 0.40m

0.20m

D2

t

D3

t

D1

t

2 m

1 m


[email protected]

6) Soru :

Şekildeki çok geniş bir haznedeki su, tabanındaki yatay bir boru ile atmosfere dökülmektedir. Boru çapları şekilde verilmiştir. Akışkanı ideal ve sıkışmaz, mutlak buharlaşma basıncını pv=2.5 kPa, mutlak atmosfer basıncını 101 kPa alarak, atmosfere dökülen debinin maksimum olmasına karşı gelen “h” yükünün maksimum değerini belirleyiniz. “h” ya daha büyük değer verildiğinde, debinin değişip değişmeyeceğini gerekçeli olarak açıklayınız. Sistemin rölatif enerji ve piyezometre çizgilerini çiziniz. Sonuç: h=2,47 m

7) Soru :

Şekildeki hazne-boru sistemi ile, çok geniş bir hazneden alınan ideal akışkan (su) atmosfere dökülmektedir. Boru çapları AB, BC ve CD kısımlarında sırası ile 0.30m, 0.10m ve 0.20m’ dir. Mutlak atmosfer basıncı 100 kPa ve suyun mutlak buharlaşma basıncı v =2.5 kPa olduğuna göre; a) Sistemin debisini ve farklı kesitlerdeki akım hızlarını bulunuz. b) Sistemin debisini değiştirmeden, z kotunun alabileceği maksimum değeri hesaplayınız. c) Şekil üzerinde bu duruma ait sistemin mutlak ve rölatif, enerji ve piyezometre çizgilerini çiziniz. Not: Buharlaşma basıncı, akışkanın sıvı halden buhar haline geçtiği basınç değeridir. Akım ortamında, negatif rölatif basınç olan bölgelerde, basınç

buharlaşma basıncına düşerse, sıvı buharlaşmaya başlar ve buhar kabarcıkları oluşur. Bu kabarcıklar akım yönünde sürüklenerek basıncın buharlaşma basıncından büyük olduğu bölgelerde ve tepe dirseklerde toplanır (buhar cepleri ve boşluklar oluşur). Burada sürekli toplanan ve sıkışan buhar kabarcıkları, kendilerini sınırlayan katı cidarlar üzerine büyük hidrodinamik basınç etkitirler ve cidar malzemesi üzerinde büyük fiziksel hasarlar meydana getirirler. Bu olaya kavitasyon adı verilir. Kavitasyondan kaçınmak için, akım ortamında hiçbir noktada, basınç buharlaşma basıncının altına düşmemelidir.

Sonuç: Zmax=3.76 m

8) Soru : Yatay düzlemde bulunan şekildeki basınçlı boru sistemi (atmosferle temas etmeyen sistem) içerisinde ideal ve sıkışmayan akışkan ( su ) yönlendirilmektedir. V1=6 m/s, 1=250 kPa (mutlak basınç), V2=4 m/s olduğuna göre;

a) 2 , 3 basınçlarını hesaplayınız. b) Suyun ikiye ayrıldığı bölgede, akışkanın boruya uyguladığı etki kuvvetinin yönünü ve şiddetini hesaplayınız. Not : atm = 100 kPa , su=1000 kg/m

3 ve hesaplarda sürtünme ihmal edilecektir.

Sonuç: Rx = -763,2 N ; Ry = -328,3 N

0.30m 0.30m 0.20m

Atm.

h=?

Atm.

A

B C

D

0.10m

0.20m

0.30m

Z

0.40m

-0.00m


[email protected]

9) Soru :

Çapı D=40 cm olan yatay bir basınçlı su borusuna, bir pitot borusu yerleştirilmiştir. Bu pitot borusunun bağlı bulunduğu civalı diferansiyel manometredeki seviyeler farkı Hciva=40 mm’dir. Pitot borusunun

bulunduğu doğrultudaki akım hızını hesaplayınız. civa=13600 kg/m

3

Sonuç: V = 1 m/s

10) Soru :

Yatay düzlemde bulunan T şeklindeki boru parçası içerisindeki ideal akışkanın (su) permanan akımında, D1=0.20 m, D2=0.30 m, D3=0.10 m, V1=V2=3m/s, (P1)mutlak=350 kPa olduğuna göre,

a) (3) kesitindeki akımın yönünü ve borulardaki debileri hesaplayınız.

b) (2) ve (3) kesitlerindeki rölatif basınç değerlerini bulunuz.

c) Akımın boru parçasına uyguladığı bileşke kuvvetin şiddetini ve doğrultusunu belirleyiniz.

Sonuç: V3=15 m/s ; p2=249 kPa ; p3=141 kPa ; Rx=8177 N () ; Ry=15359 N ()

11) Soru :

Yatay düzlemde bulunan, şekildeki boru parçası içerisinde; ideal ve sıkışmaz akışkanın (su), permanan akımı vardır. Boru çapı, D1=D2=0.30 m, V1=2 m/s, (p1)rölatif =75 kPa olduğuna göre, akımın dirseğe (taralı yapıya) etkittiği bileşke kuvvetin şiddetini ve doğrultusunu hesabediniz. Sonuç: Rx=5867 N () ; Ry=0

1

2

3

D1=0.20m

D2=0.30m

D3=0.10m

Q1

Q2

(1)

(2)

y

x 60o

60o

ΔH

Civa

Su V2

V1 D=40cm


[email protected]

12) Soru :

Çapı D1=5 cm olan yatay bir hortumun ucuna takılan konik bir enjektörün çıkış çapı D2=2 cm’dir. Enjektörün başlangıcında 1 = 200 kPa ve V1 =3.5 m/s, enjektörün çıkışında ise 2 = atm =0 ve V2 =22 m/s’dir. Enjektörün giriş ve çıkış kesitleri arasına etki eden impuls itki kuvvetini hesaplayınız. Akışan sudur.

Sonuç: Rx=265.6 N ()

13) Soru :

Suyun yönünü değiştirmek amacıyla kullanılan şekildeki dirsek sistemi yatay düzlemdedir. Sistemden iletilen suyun debisi 200 lt/s dir. Dirseğin 1 ve 2 kesitlerini birleştiren borular 45

0’lik bir

açıyla birbirlerine bağlanmış ve bir beton kütle ile yere tespit edilmiştir. 2 kesitinde boru atmosfere açılmaktadır. Sistemdeki akışkan su olup ideal kabul edilecektir. Buna göre akımın tespit kütlesine uyguladığı kuvvetin şiddetini, doğrultusunu ve yönünü belirleyiniz.

Sonuç: Rx=3189.5 N () ; Ry=1915 N ()

1

2

V2 V1

þ2

þ1

D1= 5 cm D2= 2 cm

40 cm

20 cm

Atmosfer

(2)

y

x

(1)

BETON

KÜTLE

denklemi (“enerjinin korunumu prensibi -...

Documents