demonstração da lei dos senos e dos cossenos
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8/17/2019 Demonstração Da Lei Dos Senos e Dos Cossenos
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DEMONSTRAÇÃO DA LEI DOS COSSENOS
Construção:
Triângulo qualquer ABC;Altura relativa ao vértice C.
Demonstração:Pelo Teorema de Pitágoras (página 78 do livro Geometria Euclidiana Plana) temos que:
i) ² = ² + ℎ²
ii) ² = ² + ℎ² ℎ² = ² − ²
Também sabemos (por definição) que
iii) cos =
= . cos
e (por construção) que
iv) = − .
Substituindo a equação ii) na i) obtemos:
² = ² + ² − ²
Agora, trocando m por c-n,
² = − + ² − ²
= ² −2+² + ² − ²
= ² −2+²
= ² + ² − 2
Por fim, substituindo a equação iii) nessa última, conseguimos:
² = ² + ² − 2.cos
² = ² + ² − 2.cos
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8/17/2019 Demonstração Da Lei Dos Senos e Dos Cossenos
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DEMONSTRAÇÃO DA LEI DOS SENOS
Construção:Triângulo qualquer ABC;
Circunferência circunscrita ao triângulo;
Diâmetro a partir de um vértice (neste caso, vértice B);
Ponto D na outra extremidade do diâmetro construído;
Segmento .
Demonstração:
Os ângulos e são congruentes, pois correspondem ao mesmo arco ( ). (Corolário6.15)
(Ver Arcos de Circunferências, página 90 do livro Geometria Euclidiana Plana)
O triângulo BCD é retângulo em porque esse ponto pertence à circunferência de raio
. (Corolário 6.14)
Como ∆ é retângulo, temos que
se =
2!
Da congruência dos ângulos, obtemos:se =
2!
2! =
se
Ao traçar diâmetros partindo dos outros vértices, chegamos analogamente às seguintes
relações:
2! =
se"
2! =
se
Juntando todas as igualdades obtemos:
2! = se
= se"
= se