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ENSINO DA MATEMÁTICA POR MEIO DA

GEOMETRIA DINÂMICA COM O DESMOS

Organizadores Acylena Coelho Costa Fernando Cardoso de Matos Reginaldo da Silva

BELÉM - PARÁ

outubro 2019

Demetrius Gonçalves de AraújoFábio José da Costa Alves

Gilvan Lira Souza

Organizadores Acylena Coelho Costa Fernando Cardoso de Matos Reginaldo da Silva

Comitê Científico - Coleção VI Demetrius Gonçalves de Araújo José Carlos de Sousa Pereira José Messildo Viana Nunes Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias Natanael Freitas Cabral Copyright © 2019 by EPAEM- 12º Edição Revisão de Texto e Bibliográfica: Os autores Projeto Gráfico e Diagramação: Demetrius Gonçalves de Araújo

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)Belém - Pará - Brasil

ENSINO DA MATEMÁTICA POR MEIO DA GEOMETRIA DINÂMICA COM O DESMOS

Belém : Sociedade Brasileira de EducaçãoMatemática - SBEM, 2019.

1. Educação - Finalidade e objetivos2. Aprendizado 3. Matemática (Ensino fundamental)

4. Matemática - Estudo e ensino 5. Prática de ensino 6. Professores - Formação 7. Sala de aula - Direção I. Gonçalves de Araújo, Demetrius. II.

José da Costa Alves, Fábio.III. Lira Souza, Gilvan.Belém: XII EPAEM, 2019. (Coleção VI)

73 p.

ISBN 978-65-5076-001-4 (V.1) ISBN 978-65-5076-000-7 (Coleção) CDD 510.

Índices para catalogo sistemático:1. Matemática: Estudo e ensino 510.7

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão da Editora. Aos in-fratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei Nº 9.610, de 19 de fevereiro de 1998.

XII ENCONTRO PARAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Diretoria Regional da SBEM-PA

Diretor: Fernando Cardoso de Matos Vice-diretor: Reginaldo da Silva Secretário: José Carlos de Sousa Pereira Secretário: José Messildo Viana Nunes Secretário: Demetrius Gonçalves de Araújo Secretário: Natanael Freitas Cabral Tesoureiro: Acylena Coelho Costa Tesoureiro: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias

Apresentação

Com o intuito de consolidar mais um espaço de divulgação da produção de conhecimento na região norte, a coleção Educação Matemática na Amazônia teve o lançamento de

sua sexta edição durante a realização do XII Encontro Paraense de Educação Matemática – XII EPAEM.

A partir do tema Educação Matemática: Teorias, Práticas e Reflexões, apresenta-se ao leitor um conjunto de obras diversificadas, tendo em vista os avanços dos estudos efetivados no âmbito da Educação Matemática em diversos centros de pesquisa do país.

Cada um dos 12 volumes apresenta múltiplas discussões e reflexões sobre teorias e práticas, as quais foram contempladas durante os minicursos disponibilizados no XII EPAEM. Espera-se, nesse sentido, que a publicação desse material permita que estudantes de graduação e pós-graduação, bem como professores dos níveis básico e superior, ampliem seu olhar crítico no que se refere à pluralidade de produções relativas à Educação Matemática.

Finalmente, almeja-se que essa coleção inspire reflexões e provoque transformações na trajetória acadêmica e profissional de cada um dos leitores.

Boa leitura! Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias (Membro da Diretoria da SBEM-PA)

ENSINO DA MATEMÁTICA POR MEIO DA GEOMETRIA DINÂMICA COM O DESMOS

Demetrius Gonçalves de AraújoFábio José da Costa Alves

Gilvan Lira Souza

SUMÁRIO

CONSIDERAÇÕES INICIAIS ..........................................................11GEOMETRIA DINAMICA ..............................................................13DESMOS .........................................................................................14Interface e Uso .................................................................................16NÚMEROS RACIONAIS .................................................................19A Aritmética dos Números Racionais ................................................19Adição e subtração de frações ...........................................................20Produto entre frações .......................................................................21Razão entre frações ..........................................................................21FUNÇÕES .......................................................................................23FUNÇÃO POLINOMIAL DE PRIMEIRA ORDEM ...........................24Gráfico ............................................................................................25FUNÇÃO POLINOMIAL DE SEGUNDA ORDEM ...........................26Gráfico ............................................................................................27FUNÇOES TRIGONOMETRICAS ...................................................29Funções Periódicas ...........................................................................30Função Seno ....................................................................................31Função Cosseno ...............................................................................33Função Tangente ..............................................................................35ATIVIDADES ..................................................................................39Atividade 1 - Função Polinomial de primeira ordem ..........................39Atividade 2 - Função Polinomial de Segunda Ordem .........................53Atividade 3 - Operações com rações ..................................................58Atividade 4 - Funções Trigonométricas .............................................63Sobre os Autores ..............................................................................67Educação Matemática na Amazônia - Coleção - VI ............................69

Demetrius Gonçalves de Araújo - Fábio José da Costa Alves - Gilvan Lira Souza

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CONSIDERAÇÕES INICIAIS

É notório em nossa sociedade a evolução da tecnologia da informação (T.I), principalmente nos últimos 50 anos. Em

todas as áreas o uso dessas tecnologias é fundamental para bons resultados. Mas o que é tecnologia da informação:

“Tecnologia da Informação (TI) é a infraestrutura organizada de hardware, software, banco de dados e redes de telecomunicações, que permite manipular, gerar e distribuir dados e informações ao longo dos seus usuários (empresas ou pessoas).” Afrânio Miglioli (2007).

A época da Informação, resultante da convergência das tecnologias de telecomunicações e informática, não implica apenas em um grande impacto sócio-econômico sobre a sociedade industrial contemporânea; ela vai se construir em uma força suficientemente poderosa para realizar a transformação da sociedade em um tipo completamente novo de sociedade humana, que é a Sociedade da Informação. Castells aborda o seguinte sobre a Sociedade da Informação:

[...] chamo esse novo de desenvolvimento informacional, constituído pelo surgimento de um novo paradigma tecnológico baseado na tecnologia da informação [...] é a busca por conhecimentos e informação que caracteriza a função tecnológica do informacionismo. (1999, p. 54)

Coleção VI - Educação Matemática na Amazônia - V. 1

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Entretanto não temos o mesmo resultado quando trabalhamos com ensino de matemática. O estudo de objetos matemáticos nem sempre é uma tarefa agradável aos alunos. Seja pela dificuldade de visualizar comportamentos, propriedades matemáticas aplicadas, estrutura física das escolas ou pela simples falta de uma sequência didática mais atraente aos olhos do aluno.

Diante disso, elaboramos este curso, tendo como objetivo capacitar o aluno a desenvolver atividades para o ensino de matemática por meio de ferramentas tecnológicas, mais especificamente a Geometria dinâmica.

A plataforma que utilizaremos é o DESMOS, onde os participantes aprenderão a desenvolver sequencias didáticas para o ensino de matemática. Nosso público serão alunos de graduação de diversos cursos, pós-graduação e professores, em dois dias.

Elaboramos quatro propostas de atividades para o ensino de matemática. Onde pode ser trabalhado os seguintes objetos:

Operações com números racionais; Função de primeira ordem; Função de segunda ordem e Função trigonométrica.

Desmos é uma calculadora gráfica avançada implementada como uma aplicação web e uma aplicação móvel


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escrita em JavaScript*. Foi fundado por Eli Luberoff - um curso duplo de matemática e física da Universidade de Yale e foi lançado como uma startup na conferência Disrupt New York do TechCrunch em 2011.

* JavaScript, frequentemente abreviado como JS, é uma linguagem de programação interpretada de alto nível, caracterizada também, como dinâmica, fracamente tipificada, prototype-based e multi-paradigma. Juntamente com HTML e CSS, o JavaScript é uma das três principais tecnologias da World Wide Web


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Capítulo 1

GEOMETRIA DINAMICA

Geometria Dinâmica é a geometria proporcionada por programas gráficos que, numa área de desenho, permitem construções geométricas a partir de objetos-base, que atualizam automaticamente as construções sempre que o usuário alterar um dos objetos-base.

Este termo foi originalmente usado por Nick Jackiw e Steve Rasmussem com a intenção de ressaltar a diferença entre softwares de Geometria Dinâmica e outros softwares de Geometria.

Um software de Geometria Dinâmica é um ambiente que permite simular construções geométricas no computador. Diferentemente do que ocorre com a régua e o compasso tradicionais, a construção feita com este tipo de software são dinâmicos e interativos, o que faz do programa um excelente laboratório de aprendizagem da geometria. Esses softwares possuem um recurso que possibilita a transformação contínua, em tempo real, ocasionada pelo “arrastar”.


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O aluno (ou o professor) pode testar suas conjecturas através de exemplos e contra-exemplos que ele pode facilmente gerar. Uma vez feita a construção, pontos, retas e círculos podem ser deslocados na tela mantendo-se as relações geométricas (pertinência, paralelismo, etc) previamente estabelecidas, permitindo assim que o aluno (ou o professor), ao invés de gastar o seu tempo com detalhes de construção repetitivos, se concentre na associação existente entre os objetos.

DESMOS

É uma calculadora que tanto estudantes e professores quanto administradores podem utilizar para diferentes finalidades. Ela é gratuita, completamente online, utiliza cores para facilitar a identificação das operações, e você pode compartilhar qualquer gráfico com um simples link. E agora, com este aplicativo para Google Chrome**, está ainda mais fácil utilizá-la.

A calculadora interativa é capaz de transformar em gráficos as equações à medida que são digitadas. Agora, após investimento dos desenvolvedores, ela ficou melhor, com barras deslizantes para variáveis, suporte para coordenadas

** O Google Chrome é um navegador de internet, desenvolvido pela companhia Google com visual minimalista. Foi lançado pela primeira vez em setembro de 2008, para o Microsoft Windows, e mais tarde foi portado para Linux, macOS, iOS e Android.


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polares, linhas pontilhadas para discrepâncias e suporte para vários idiomas.

Você pode escrever funções, e a Desmos as coloca em gráficos com códigos de cores se for o caso. A calculadora também interpreta trigonometria e faz gráficos polares com zoom. Até mesmo matemática avançada a Desmos é capaz de acompanhar, como secção cônica. Você pode definir funções e variáveis para referenciá-las posteriormente.

imagem 1 - Interface Desmos

Fonte - autor

Antes do uso é necessario que os estudantes façam o login ***nos sistemas do Desmos para não perder o material criado.

*** Em termos informáticos, login ou logon ou signin, é o processo para acessar um sistema informático


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Com isso é possível armazenar um número imenso de gráficos. Para isso, basta digitar o nome, endereço de e-mail e fazer uma senha própria de cada usuário.

imagem 2 - Tela de Login

Fonte - autor

Interface e Uso

A Desmos pode executar cálculos complexos, mas é fácil desvendar a interface da calculadora. A maior parte da tela é ocupada pela grade com os gráficos. À esquerda se encontra a área para a escrita das equações. Para cada uma, você pode utilizar uma cor, o que facilita a identificação dela. Adicione quantos gráficos quiser.

Você pode configurar os gráficos pelo menu “Graph

restrito feita através da autenticação ou identificação do utilizador, usando credenciais previamente cadastradas no sistema por esse utilizador.


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Settings”, no qual é possível aproximar e afastar o zoom, centralizar os eixos, equalizar as escalas X e Y, restaurar domínio e alcance, entre outras opções.


Fonte - autor


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Capítulo 2NÚMEROS RACIONAIS

Os Números Racionais surgiram da necessidade de representar partes de um inteiro. No Egito Antigo, durante

inundações do Rio Nilo, muitas terras ficavam submersas, e isso fazia com que elas recebessem nutrientes. Essas terras tornavam-se muito férteis para a agricultura. Dessa forma, quando as águas baixavam, era necessário remarcar os limites entre os terrenos de cada proprietário.

No entanto, por mais eficientes que tentassem ser, não encontravam um número inteiro para representar tais medidas, o que os levou à utilização de frações.

Assim, o conjunto dos números racionais engloba todos os números fracionários e as dízimas periódicas (números decimais). O conjunto é representado pela letra Q maiúscula.

A AritméticA dos Números rAcioNAis

As quatro operações matemáticas básicas – adição, subtração, multiplicação e divisão – são definidas para o conjunto dos números reais. Sabendo que as frações são números racionais, que, por sua vez, é um subconjunto dos números reais, então essas quatro operações podem ser definidas para as frações.


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Adição e subtração de frações

As regras para somar frações são exatamente as mesmas para subtraí-las. Portanto, quando escrevermos uma regra para adição, ela também será válida para subtração.

A adição e a subtração de frações são divididas em dois casos. O primeiro envolve apenas frações com denominadores iguais e o segundo envolve frações com denominadores diferentes. Os cálculos no primeiro caso são fáceis, bastando somar os numeradores e repetir o numerador no resultado.

Exemplo: 37−

27

=17

Entretanto, a caso em que os denominadores são diferentes é um pouco mais trabalhoso. Na realidade, antes de somar esse tipo de fração, é necessário encontrar frações equivalentes a elas que possuam o mesmo denominador. O exemplo abaixo é de uma soma de frações feita dessa maneira:

3

4

5

9

27 20

36

47

36� �

��

Para encontrar essas frações equivalentes, existe um método prático no qual o primeiro passo é encontrar o mínimo múltiplo comum entre os denominadores. Observe que 36 é o MMC de 4 e 9.


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O segundo passo é encontrar frações equivalentes que possuem o MMC encontrado como denominador. Para tanto, divida o MMC pelo denominador da primeira fração e multiplique o resultado dessa divisão pelo numerador dela. Repita o processo para a segunda fração, terceira, enfim, quantas houver.

Produto entre frações

A multiplicação de frações é bem mais simples que a adição. Basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador.

Exemplo: 49

7

8

4

9

8

7

28

72

7

18* *= = =

Razão entre frações

Para dividir duas frações, basta multiplicar a primeira pelo inverso da segunda.

Exemplo:

56 :

25 =

2512

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Capítulo 3FUNÇÕES

Definimos função como a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida por uma lei de formação, isto

é, uma regra geral. Os elementos de um grupo devem ser relacionados com os elementos do outro grupo, através dessa lei. Por exemplo, vamos considerar o conjunto A formado pelos seguintes elementos {–3, –2, 0, 2, 3}, que irão possuir representação no conjunto B de acordo com a seguinte lei de formação y = x².

Tabela 1 - Lei de formação

A lei de formação 𝒚 = 𝒙𝟐 B

-3 𝒚 = (−𝟑)𝟐= 𝟗 9

-1 𝒚 = (−𝟏)𝟐= 𝟏 1

0 𝒚 = 𝟎𝟐 = 𝟎 0

2 𝒚 = 𝟐𝟐 = 𝟒 4

4 𝒚 = 𝟒𝟐 = 𝟏𝟔 16

Fonte - Autor

Aplicada a lei de formação, temos os seguintes pares ordenados: {(–3, 9), (–1, 1), (0, 0), (2, 4), (4, 16)}. Essa relação também pode ser representada com a utilização de diagramas de flechas, relacionando cada elemento do conjunto A com os


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elementos do conjunto B. Observe:imagem 4 - Interface Desmos

Fonte - autor

No diagrama é possível observar com mais clareza que todos os elementos de A estão ligados a pelo menos um elemento de B, então podemos dizer que essa relação é uma função. Dessa forma o domínio é dado pelos elementos do conjunto A, e a imagem, pelos elementos do conjunto B.

FUNÇÃO POLINOMIAL DE PRIMEIRA ORDEM

Definição. Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.


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Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:

Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).

Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.


Fonte - autor


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Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.

O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

FUNÇÃO POLINOMIAL DE SEGUNDA ORDEM

DEFINIÇÃO

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas:

f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0


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Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

Tabela 2 - Valores

x y-3 6-2 2-1 0

−12

−14

0 01 22 6

Fonte - Autor


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imagem 6 - Gráfico

Fonte - Autor

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;


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se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

FUNÇOES TRIGONOMETRICAS

As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico.

As principais funções trigonométricas são:

» Função Seno

» Função Cosseno

» Função Tangente

No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um ponto da circunferência.


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imagem 7 - Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos

Fonte - Autor

Funções Periódicas

As funções periódicas são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo.


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O período corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a repetição de determinado fenômeno.

Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que

» f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A

O menor valor positivo de p é chamado de período de f.

Note que as funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto que apresentam certos fenômenos periódicos.

Função Seno

A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:

função f(x) = sen x

No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo.


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imagem 8 -Sinal da função seno

Fonte - Autor

Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente.

O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R.


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Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < sen x <1.

Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x).

O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide:

imagem 9 - Gráfico da função seno

Fonte - Autor

Função Cosseno

A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:

função f(x) = cos x

No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já


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no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo.imagem 10 - Sinal da função cosseno

Fonte - Autor

Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente.

O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R.


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Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < cos x < 1.

Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x).

O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de cossenoide:

imagem 10 -Gráfico da função cosseno

Fonte - Autor

Função Tangente

A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa por:

função f(x) = tg x

No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positivo quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes.


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Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo.

imagem 11 -Sinal da função tangente

Fonte - Autor

Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo trigonométrico.

O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R∈x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ.


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Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais.

Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(-x).

imagem 12 - Gráfico da função tangente

Fonte - Autor

O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide:


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Capítulo 4ATIVIDADES

Atividade 1 - Função Polinomial de primeira ordem

Objetivo: Estudar função afim, em ambiente de geometria dinâmico, a partir de interações.

Procedimento:

1º passo: Entre no site: https://www.desmos.com/calculator


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Fonte - Autor

O ambiente apresenta duas telas, a da esquerda se destina a entrada de expressões cujo gráfico são apresentados na tela da direita. Quando entramos com uma função o Desmos reconhece automaticamente a variável dependente e as independentes, como podemos observa no etapa a seguir, onde trabalharemos a função afim, sem a necessidade o conhecimento prévio de programação por parte do aluno.

2º passo: Entre com a , como mostra a tela a seguir:


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imagem 14 - Entrada de dados no Desmos

Fonte - Autor

Apertando no botão todos estamos aceitando que as incógnitas “a” e “b” são variáveis independentes, com isso o Desmos cria controle deslizantes, de forma automática, para podermos estudar o efeito de tais incógnitas no gráfico da função.


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imagem 15 - Criação controle deslizantes

Fonte - Autor

O ícone faz com que o gráfico fique visível ou não.

Para orientar a aprendizagem do aluno, de forma que ele otimize a potencialidade do recurso didático em favor de uma aprendizagem mais significativa é importante que você sugira alguma experimentações, que poder ser disposta na forma de tabela, no mostraremos a seguir.


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Tabela 3 - Orientação de aprendizagem

Valor “a” Valor “b”Comportamento da função

ObservaçõesCrescente Decrescente

1 1−1 12 1−2 12 22 −12 12 −1

O que você observou nessa experimentação?

Fonte - Autor

Se clicarmos no botão aparecerá um tela flutuante que possibilitará visualizarmos uma planilha referente a essa função.


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imagem 16 - Planilha da função

Fonte - Autor

Ao inserirmos pontos na tabela, visualizamos de forma automática esses na tela, como vemos a seguir.

imagem 17 - Inserindo dados na tabela

Fonte - Autor

Se no campo onde está , escrevermos , a planilha passa a ter um comportamento dinâmico, colocando o valor da imagem de forma automática a partir de um valor de que se coloque, com a seguinte apresentação, como mostramos a seguir.


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imagem 18 - Inserção de dados

Fonte - Autor

Para se estudar a relação do domínio com a imagem da função afim devemos criar primeiro uma variável “c”, que gerará um controle deslizante automaticamente, em seguida inserimos um ponto , 𝑃 = (𝑐 ,𝑓(𝑐)), 𝑃1 = (𝑐 , 0) e 𝑃2 = (0 ,𝑓(𝑐)). .


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imagem 19 - Inserção de dados

Fonte - Autor

Com a manipulação do controle deslizante “c” pode ser feito um estudo do zero da função e sua relação com o sinal da função.

Para nortear a aprendizagem é importante levantarmos algumas questões, para que os alunos respondam a partir da manipulação do gráfico no ambiente virtual****.

**** É um local virtual onde são disponibilizadas ferramentas que permite o acesso a um curso ou disciplina e também permite a interação entre os alunos, professores e monitories envolvidos no processo de ensino-aprendizagem.


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Tabela 3 - Orientação de aprendizagem

Função Valor em que a 𝑓(𝑥) toca o eixo

do 𝑥 (𝑥0)

Valor da função se

𝑥 > 𝑥0

Valor da função se

𝑥 < 𝑥0𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2𝑓 𝑥 = −𝑥 + 2𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 2𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 2𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 6𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 6𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 9𝑓 𝑥 = −3𝑥 + 9O que você observou nessa experimentação?

Fonte - Autor

Outra possibilidade é trabalhar o paralelismo de retas, para isso devemos trabalhar com as funções 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 e 𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑥 em que o controle deslizante

de possibilitara esse estudo.


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imagem 20 - Retas paralelas

Fonte - Autor

Podemos trabalhar o perpendicularismo de retas, para isso devemos trabalhar com as funções 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 e 𝑔 𝑥 = −1

𝑎 𝑥 em que o controle deslizante de possibilitará esse estudo.

imagem 21 - Retas paralelas

Fonte - Autor

A interpretação geométrica da resolução de um sistema de duas equações com duas incógnitas também pode ser


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estudado, neste contexto, para isso usamos as expressões 𝑥 + 𝑦 = 3 e 𝑥 − 𝑦 = 1 . Se clicarmos na interseção das retas o

Desmos insere um ponto com uma legenda mostrando o seu valor como podemos ver a seguir.

imagem 22 - Ponto com uma legenda

Fonte - Autor

Podemos trabalhar o entendimento das funções modulares, a partir da compreensão gráfica dos funções intervalares, um exemplo e a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 , que pode ser expresso pela função intervalar é:

𝑓 𝑥 = � 𝑥 ,𝑠𝑒 𝑥 > 0−𝑥 ,𝑠𝑒 𝑥 < 0


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Cuja representação gráfica é:imagem 23 - Representação gráfica

Fonte - Autor

A interpretação de geométrica da inequação é outro tópico que pode ser trabalhado nesse ambiente dinâmico, e a seguir mostraremos alguns exemplos:

Representação gráfica da inequação 𝑥 − 1 > 0imagem 24 - Representação gráfica

Representação gráfica da inequação 𝑦 > 𝑥 − 1


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imagem 25 - Representação gráfica

Fonte - Autor

Representação gráfica da inequação 𝑦2 + 𝑥2 < 9


Fonte - Autor

Representação gráfica da inequação −𝑥 < 𝑦 < 𝑥2 , no intervalo 0 < 𝑥 < 3


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Fonte - Autor


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Atividade 2 - Função Polinomial de Segunda Ordem

Objetivo: Estudar função quadrática, em ambiente de geometria dinâmico, a partir de interações.

Procedimento:

Entre no site: https://www.desmos.com/calculator , em seguida entre com a 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 , como mostra a tela a seguir:

imagem 28 - Entrada de dados

Fonte - Autor

Apertando no botão todos estamos aceitando que as incógnitas “a” , “b” e “c” são variáveis independentes, com isso o Desmos cria controle deslizantes, de forma automática, para podermos estudar o efeito de tais incógnitas no gráfico da função.


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Fonte - Autor

Podemos iniciar com o estudo da relação do valor da incógnita “a” com a concavidade da parábola, para isso devemos orientar a experimentação do aluno a partir de uma sequencia didática de experimentação, e temos como exemplo a tabela a seguir.


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Tabela 4 - sequencia didática de experimentação

Função 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥2 + 𝑏 𝑥+ 𝑐

Coeficiente “a”

Concavidade Função 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 +

𝑏 𝑥 + 𝑐𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2𝑓 𝑥 = −𝑥 + 2𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 2𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 2𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 6𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 6𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 9𝑓 𝑥 = −3𝑥 + 9O que você observou nessa experimentação?

Fonte - Autor

Podemos desenvolver, com os alunos, uma estudo que relacione o valor do delta com o número de raízes, para isso, precisamos inserir mais uma constante “d” que correspondera ao valor do delta, de forma que ficaremos com a seguinte de experimentação:


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Fonte - Autor

Para facilitar a análise do gráfico, devemos ensinar os aluno como ajusta a malha do gráfico, cuja configuração aparece quando apertamos no botão .


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imagem 31 - Ajuste malha do gráfico

Fonte - Autor

Os pontos , (1 , 0), (3 , 0) e (2 ,−1), , que estão relacionados aos zeros e o vértice da função, ganham destaque no gráfico, com legenda, a partir do momento que que clicamos nesses ponto na tela com o mouse.

Para orientar a aprendizagem devemos propor para os alunos uma sequência experimental, onde terão a oportunidade de observar a relação entre o valor do delta e o número de zeros da função quadrática.


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Tabela 5 - sequencia didática de experimentação

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 + 𝑏 𝑥+ 𝑐 Valor do Delta (d) Zeros da função𝑥1 𝑥2

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5 𝑥 + 6𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 5 𝑥 − 6𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4 𝑥 + 4𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 6 𝑥 − 9𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5𝑓 𝑥 = −𝑥2 − 𝑥𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 4 𝑥 − 5O que você observou nesta experimentação?

Fonte - Autor

Ainda com os valores da tabela anterior podemos pedir para os alunos verificarem os valores dos vértices, e relacionarmos com a expressão que determina seu valor.

𝑉 = −𝑏2𝑎 , −𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎

4𝑎 , onde 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

Atividade 3 - Operações com rações

Objetivo: Estudar as operações básicas envolvendo frações.

Procedimento:


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Como o Desmos possibilita a visualização de resultados de operações na forma decimal e na forma de fração, propicia ambiente de experimentação, para que os alunos possam observar as regras de soma e subtração com mesmo denominador, como vemos nas telas a seguir.

imagem 32 - Tela de resultados na forma de fração

Fonte - Autor

Para facilitar que os alunos observem a regra na operação com fração de mesmo denominador devemos propor que eles resolvam uma sequência didática com esse objetivo.

Efetue as operações usando o Desmos:

(a) 25 + 1

5 = (b) 37 + 2

7 =

(c) 25 + 1

5 = (d) 16 + 3

6 =

(e) 711 + 2

11 = (f) 49 + 3

9 =

Espera-se, com essa atividade o aluno consiga perceber que:


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𝑎𝑏

+𝑐𝑏

=𝑎 + 𝑐𝑏

𝑒 𝑎𝑏−𝑐𝑏

=𝑎 − 𝑐𝑏

Para trabalharmos operações com denominadores diferentes devemos propor a seguinte experimentação para os alunos:

imagem 33 - Tela de resultados

Fonte - Autor


(a) 23 + 1

5 = (b) 37 + 2

3 =

(c) 25 + 1

4 = (d) 12 + 3

4 =

(e) 13 + 12 = (f) 79 + 2

3 =



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𝑎𝑏

+𝑐𝑑

=𝑎𝑑 + 𝑐𝑏𝑏𝑑

𝑒 𝑎𝑏−𝑐𝑏

=𝑎𝑑 − 𝑐𝑏𝑏𝑑

Para trabalharmos operações de multiplicação com frações devemos propor a seguinte experimentação para os alunos:

imagem 34 - Tela de resultados

Fonte - Autor


(a) 23 × 1

5 = (b) 37 × 2

5 =

(c) 25 × 1

3 = (d) 72 × 3 =

(e) 3 × 52 = (f) 9 × 2

5 =


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𝑎𝑏

×𝑐𝑑

=𝑎𝑐𝑏𝑑

Para trabalharmos operações de divisão com frações devemos propor a seguinte experimentação para os alunos:


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imagem 35 - Tela de resultados na forma de fração

Fonte - Autor


(a)2315

= (b) 37 / 25 =

(c) 25/ 1

3 = (d)253 =

(e) 3/ 52 = (f) 9 25

=



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𝑎𝑏

𝑐𝑑

� =𝑎𝑏

×𝑑𝑐

=𝑎𝑑𝑏𝑐

Atividade 4 - Funções Trigonométricas

Objetivo: Estudar funções trigonométricas, em ambiente de geometria dinâmico, a partir de interações.

Procedimento:

Para que o aluno possa entender a influências das constantes na função seno, demos propor a seguinte atividade, onde devemos escrever a função 𝑓 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 sin 𝑐 𝑥 + 𝑑 no Desmos, que automaticamente, identificara que os parâmetros “a”, “b”, “c” e “d” são constantes e logo propõem a criação de controles deslizantes para eles parâmetros, como podemos ver na figura a seguir.


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imagem 36 - criação de controles deslizantes

Fonte - Autor

Apertando no botão , e ajustando a configuração da figura com os seguintes dados:


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imagem 37 - criação de controles deslizantes

Fonte - Autor

Com as alterações anteriores a interface gráfica passará a ter o seguinte aspecto:

imagem 38 - Gráfico

Fonte - Autor


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Para que possamos entender o efeitos dos parâmetros “a”, “b”, “c” e “d” no gráfico, precisamos inserir a função 𝑔 𝑥 = sin 𝑥 definida no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π , para servir

de padrão na comparação, com isso nosso ambiente de experimentação passa a ter o como mostra a figura a seguir.

imagem 39 - Gráfico

Fonte - Autor


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Sobre os Autores

Demetrius Gonçalves de Araújo é Bacharel em Ciência da Computação pela Faculdade Pan Amazônica – FAPAN, Licenciado em Matemática pelo Instituto Federal do

Pará, Especialista em Ensino de Matemática pela Universidade do Estado do Pará. Faz parte do Grupo de Pesquisas em História, Educação e Matemática na Amazônia - GHEMAZ e do Grupo de Pesquisa em Ensino de Matemática e Tecnologias. É membro da Diretória da Sociedade Brasileira de Educação Matemática - Regional Pará - SBEM-PARÁ. É professor de matemática na Secretaria Municipal de Educação de Paragominas - SEMEC. Está atuando no desenvolvimento de software educativo para o ensino de matemática.E-mail: [email protected]

Fábio José da Costa Alves é Licenciatura em Matemática pela União das Escolas Superiores do Pará , UNESPa (1990), Licenciatura em Ciências de 1º Grau pela União das Escolas Superiores

do Pará, UNESPa (1989), graduação em Engenharia Civil pela Universidade Federal do Pará (1994), Mestrado em Geofísica pela Universidade Federal do Pará (1999), Doutorado em Geofísica pela Universidade Federal do Pará (2003) e PósDoutorado pelo Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (2017). Atualmente é Professor Adjunto IV da Universidade do Estado do Pará, Docente do Mestrado em Educação/UEPA e Docente do Mestrado Profissional em Ensino de Matemática/UEPA. Líder do Grupo de Pesquisa em Ensino de Matemática e Tecnologias. Está atuando no desenvolvimento de software educativo para o ensino de matemática.


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Gilvan Lira Souza é Licenciado em Matemática pela UFPA, Especialista em Educação Matemática para o Ensino Médio, Mestre em Matemática pela UFPA. Docente nos Cursos de

Graduação em Licenciatura em Matemática e Física do IFPA- Campus Belém. Coordenador do Curso de Graduação em Licenciatura em Matemática do IFPA- campus Belém. Membro do Grupo Interdisciplinar para a Educação em Ciências e Matemática.E-mail: [email protected]


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Educação Matemática na Amazônia - Coleção - VI

Volume 1 – Ensino da matemática por meio da geometria dinâmica com o desmos.Autores: Demetrius Gonçalves de Araújo, Fábio José da Costa Alves e Gilvan Lira Souza.

Volume 2 – A noção do raciocínio combinatório nos anos iniciais do ensino fundamental a partir da teoria antropológica do didático.Autores: Guilherme Motta de Moraes, José Carlos de Souza Pereira e José Messildo Viana Nunes.

Volume 3 – Educação Matemática e Educação Hospitalar: um paralelo entre o solo oncológico e solo geométrico. Autores: Marcos Evandro Lisboa de Moraes, Felipe Moraes dos Santos, Elielson Ribeiro Sales.

Volume 4 – Altas habilidades em matemática no contexto escolar: reflexões iniciais.Autores: Maria Eliana Soares, Elielson Ribeiro de Sales e Edson Pinheiro Wanzeler.

Volume 5 – Pelas trilhas históricas do pesar e do medir.Autora: Elenice de Souza Lodron Zuin.

Volume 6 – O uso de materiais manipuláveis e suas perspectivas na atividade matemática.Autores: Fernando Cardoso de Matos, Reginaldo da Silva e Wellington Evangelista Duarte.

Volume 7 – O ensino de Frações por atividades.Autores: Pedro Franco de Sá e Kamilly Suzanny Felix Alves.

Volume 8 – Criatividade na história da criação matemática: potencialidades para o trabalho do professor.Autor: Iran Abreu Mendes.

Volume 9 – Sequências didáticas: olhares teóricos e construção.Autores: Acylena Coelho Costa e Natanael Freitas Cabral.

Volume 10 – Limite de uma função: História e atividades para o ensinoAutores: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias e João Cláudio Brandemberg.

Volume 11 – O ensino de fatoração algébrica por atividaes.Autores: Glaucianny Amorim Noronha e Pedro Roberto Sousa da Silva.

Volume 12 – Medidas Lineares e de Superfície: um enfoque histórico e matemático.Autores: Maria Lúcia Pessoa Chaves Rocha, Francisco Fialho Guedes Ferreira e Francisca Janice dos Santos Fortaleza.

demetrius gonçalves de araújo fábio josé da costa alves ... · polares, linhas pontilhadas para...

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