definizioni e concetti - macroarea di scienze m.f.n. · = costante di boltzmann. quindi per: 0 0 0...

F. Travaglioni - Appunti di radiazione 1

LO SPETTRO ELETTROMAGNETICO

Regione )( m

Raggi 7105

Raggi x (duri) 57 10105

Raggi x (molli) 25 1010

FUV (lontano ultravioletto) 1,010 2

NUV (vicino ultravioletto) 3,01,0

VIS (visibile) 7,03,0

NIR (vicino infrarosso) 57,0

MIR (medio infrarosso) 505

FIR (lontano infrarosso) 210550

MW (microonde) 62 10105

Radio 610

DEFINIZIONI e CONCETTI

Verranno ora definite le grandezze radiative che interesseranno la presente trattazione.

Il primo concetto basilare è quello di radiazione elettromagnetica, combinazione di campi elettrici e

magnetici rappresentabili attraverso vettori tra loro sempre perpendicolari, ed avente direzione di

propagazione normale ad entrambi. I tre vettori rappresentativi del campo elettromagnetico formano un

sistema destrogiro.

L’onda elettromagnetica, nella sua propagazione, trasporta energia.

Qualora la radiazione elettromagnetica emessa da una sorgente posizionata nel vuoto raggiunga un mezzo,

per esempio l’atmosfera terrestre, interagisce con quella che può essere considerata la superficie di

separazione (o interfaccia). Rimandando ai successivi capitoli la trattazione dei fenomeni relativi, si definisce

indice assoluto di rifrazione di un mezzo il rapporto tra la velocità dell’onda elettromagnetica nel vuoto

rispetto a quella nel mezzo, ipotizzato essere in genere assorbente:

'innc

m

(1)

In ciascun mezzo, tranne il vuoto, tale indice dipende dalla lunghezza d’onda della radiazione incidente e


dalle caratteristiche del mezzo, quali densità, temperatura, ecc..

Chiaramente, se l’onda elettromagnetica che si propaga all’interno di un mezzo omogeneo viene ad incidere

su di un mezzo avente caratteristiche chimico-fisiche differenti, l’indice di rifrazione relativo tra i due mezzi

è dato dal rapporto:

1

2

2

121

m

mm

che risulta essere maggiore dell’unità qualora il secondo mezzo risulti più denso del primo.

L’energia radiante E rappresenta l’energia in transito, misurata in Joule )( J .

Il flusso radiante f , talvolta definito anche luminosità, è definito come l’energia radiante, emessa o

ricevuta, per unità di tempo:

)(Wdt

dEf (2)

L’irradianza F , o densità di flusso radiante, rappresenta il flusso radiante per unità di area:

)( 22

mWdtdA

Ed

dA

dfF (3)

Fig. 3. La geometria della radiazione

Nel caso in cui l’irradianza provenga da una superficie emittente, viene definita come “emittanza”.

La radianza I , detta anche intensità o brillanza, è l’energia radiante per unità di tempo proveniente da una

specifica direzione e passante attraverso l’unità di area perpendicolare a quella direzione:

NORMALE ALLA SUPERFICIE

DIREZIONE DELLA RADIANZA


)(cos

12 srmWd

dFI

(4)

E’ pertanto possibile riscrivere:

2

0

cos dIF (5)

in cui:

= angolo zenitale, calcolato rispetto alla perpendicolare alla superficie;

ddR

dAd sin

2 = angolo solido, misurato in steradianti )( rs ed in cui:

= angolo azimutale.

Nel caso di una sfera di superficie 24 R l’angolo solido risulta ovviamente rs4 .

Qualora la radiazione sia parallela, risulta che 0d e la radianza non è definita.

Quando la radianza non dipende dalla direzione si ha il caso di radiazione isotropa:

dsend 2 (6)

da cui:

IF (7)

Nel caso non isotropo si integra numericamente.

Poiché l’energia radiante è distribuita su diverse e le proprietà emissive/assorbenti dei mezzi sono

funzioni di , l’irradianza e la radianza spettrale risultano essere:

0

0

dFdFF (8)

0

0

dIdII (9)

Esprimibili in funzione delle frequenze dalle:

2

c

I

I

F

F (10)

essendo ovviamente:

c


RADIAZIONE di CORPO NERO

(Planck, 1901)

Per KT 0 la materia emette e ciascuna sostanza ha un picco di emissione ad una lunghezza d’onda

diversa.

Si cercherà una relazione tra intensità spettrale emessa a con T dell’emittente.

Si consideri inizialmente che:

(Postulato 1): l’energia di un oscillatore armonico (atomo) è emessa/assorbita solo in unità discrete

(l’energia è “quantizzata”) secondo la formula:

,...3,2,1 nhn (11)

in cui:

sJh 3410)000036,0626176,6( = costante di Planck.

Ogni atomo, quindi, oscilla avendo proprie , caratteristiche e discrete;

(Postulato 2): gli oscillatori emettono/assorbono solo nelle transizioni energetiche, ovvero nei passaggi

da uno stato energetico ad un altro.

In accordo con la statistica di Boltzmann il numero di oscillatori presenti in uno stato energetico maggiore di

un dato valore è:

kTeNN

0 (12)

con:

0N = numero di oscillatori in uno stato predefinito;

12310)000044.0380662,1( JKk = costante di Boltzmann.

Quindi per:

0

0

0

0

neNNhn

NN

kT

hn

Per ogni stato, il numero totale degli oscillatori con frequenza è:

2

0

2

0

2

000

1

...1...

kT

h

kT

h

kT

h

kT

h

kT

h

e

NeeNeNeNNN

L’energia totale si ottiene moltiplicando ciascun termine per la relativa energia:


2

0

2

000

1

...321...0

kT

h

kT

h

kT

h

kT

h

kT

h

kT

h

e

eNheeeNheNhNE

L’energia media ( NE ), energia emessa da un gruppo di oscillatori che emettono/assorbono solo nelle

transizioni energetiche, risulta essere quindi:

1

kT

h

e

h

N

E

L’energia per unità di volume e di intervallo di frequenza a temperatura T è:

1

kT

h

e

hAu

dove A si determina a partire dalla legge di Rayleigh-Jeans empiricamente ottenuta per temperature elevate

e piccole :

Tkc

u3

28

per:

3

280

cA

kT

h

Quindi:

1

8

3

3

kT

h

ec

hu

Nel caso di corpo nero, la radiazione viaggia in tutte direzioni a velocità c :

4

ucB

Si ottiene pertanto l’equazione di Planck esprimibile in funzione sia delle che delle :

1

2)(

2

3

kT

h

ec

hTB

(13)


1

2)(

5

2

Tk

ch

e

chTB

(14)

Algebricamente risulta ovviamente che per:

)()( 2121 TBTBTT la funzione è monotona crescente;

constBconstT )(

maxmaxmax )( BB

21max21 , TT la funzione è monotona decrescente.

Le approssimazioni per particolari regioni dello spettro

La funzione di Planck può essere convenientemente sviluppata in funzione della particolare regione dello

spettro oggetto di analisi.

Nella regione delle microonde (MW), per valori di cm5,0 ed in particolare di KcmT 10 tale

funzione risulta essere meno decrescente. Algebricamente ciò implica che:

11 kT

he

kT

hkT

h

da cui si ottengono le espressioni dell’approssimazione di Rayleigh-Jeans:

2

22)(

c

TkTB

(15 a)

4

2)(

kTcTB (15 b)

Nelle regioni spettrali in cui m 10 (regione di Wien) ed in condizioni di KT 300 , in particolare per

valori di KcmT 5,0 , l’esponente della funzione di Planck è grande, quindi la sua variazione spettrale è

altamente non-lineare, per cui:

1kT

h

e

e le (13) e (14) assumono la nuova forma asintotica:

2

32)(

c

ehTB

kT

h

(16 a)


5

22)(

Tk

ch

echTB

(16 b)

In ragione della quantità di radiazione emessa nella regione di Wien, tale approssimazione risulta essere

molto buona, con margini di errore dell’ordine di grandezza del 2%.

La temperatura di brillanza e la temperatura equivalente di corpo nero.

E’ spesso utile esaminare la temperatura che avrebbe un corpo nero in equilibrio con l’ambiente circostante

per emettere una radiazione di intensità uguale a quella osservata. Algebricamente è quindi rappresentata

come:

)( bTBI

Nel campo delle MW la radianza è direttamente proporzionale a T e la bT , definita temperatura di

brillanza, si ottiene dal seguente semplice rapporto:

B

k

cB

ckTb 2

24

22 (17)

Nella regione dell’IR (regione di Wien) si usa invece il termine temperatura equivalente di corpo nero ed il

valore si ottiene attraverso l’inversione della funzione di Planck:

B

hck

ch

B

chk

chTb 32

5

2 2ln

2ln

(18)

Ne consegue che la relazione esistente tra le due temperature è definita dalla:

Te

xT

xb1

(19)

in cui, per semplicità si è assunto che:

kT

hx

Poiché solo il corpo nero (emettitore perfetto) irradia in ragione della sua temperatura, nella realtà si avrà

sempre TTb .

La sensibilità termica

Un incremento termico, per la legge di Planck, è associato ad un incremento radiativo ed un incremento

percentuale varia in funzione della lunghezza d’onda e della temperatura.


La variazione radiativa percentuale associata ad una variazione percentuale di temperatura è chiamata

sensibilità termica di una data banda spettrale:

T

dT

B

dB

Chiaramente tale fattore risulta essere, in ultima analisi, una potenza.

Nel caso di lunghezze d’onda IR, si ha che:

kT

hc

Tk

hc

ovvero, più piccole sono le lunghezze d’onda, maggiore è la sensibilità termica.

Come esempio è possibile considerare due frequenze IR. Per:

124

3,411

m

m

per cui, rispettivamente, la radianza varia all’incirca come la quarta potenza e la dodicesima potenza della

temperatura

La legge di Stefan-Bolzmann

L’intensità radiante totale di un corpo nero si ottiene integrando la B su tutto lo spettro. Ponendo:

Tk

hcx

0

3

32

44

01

2dx

e

x

hc

TkdBB

x

in cui il termine integrale è esprimibile come:

151

4

0

3

dxe

xx

Si ottiene pertanto la forma seguente, utile allo studio del trasporto radiativo con in IR:

4

32

4

15

2T

hcB

(20)

che, nel caso di radianza di corpo nero (indipendente dalla direzione di emissione) diviene:

44

32

5

15

2TT

hcF

(21)


in cui: 4281067,5 KmW

Fig. 4. Gli spettri di emissione di corpo nero e le relative temperature

Fig. 5. Gli spettri di corpo nero normalizzati rappresentativi del Sole (sinistra) e della Terra

(destra) su una scala logaritmica delle lunghezze d’onda. Le ordinate sono moltiplicate per

per avere le aree sottese proporzionali alle irradianze.

La frazione di radianza totale di corpo nero emessa al di sotto di una specifica lunghezza d’onda è quindi

facilmente espressa dalla relazione:

4

0

4

0

T

dB

T

dF


Qual è la frazione di radianza di corpo nero emessa al di sotto/sopra di una data ?

Per max 0.23 (<25%)

Inoltre:

Radiazione solare: < 1% per m 4

Radiazione terrestre: < 1% per m 4

La legge di Wien

Tale legge è facilmente esprimibile dalla (14), a partire dalla considerazione che l’espressione di Planck

presenta un massimo assoluto:

0

B

da cui:

T

max (22)

in cui:

Km 8,2897

E’ opportuno notare che la differenziazione rispetto al dominio delle frequenze porta ad una soluzione del

tipo:

T max

in cui: 110108789,5 KHz

Attraverso la conoscenza del valore in cui l’intensità spettrale risulta massima è possibile calcolare la

temperatura di corpo nero. Nella figura 4 sono riportate le funzioni di Planck per temperature dell’ordine dei

K70005000 , mentre nella figura 5 sono presentate, normalizzate, le funzioni di Planck per temperature

prossime a quella solare e terrestre.

La cosiddetta temperatura di colore si ottiene dalla misura di max qualora il corpo emittente non sia nero.

Poichè la max determina il colore percepito dall’osservatore, ne consegue che una barra di ferro, soggetta a

riscaldamento, assume dapprima un aspetto rosso (regione del visibile avente la più elevata) per poi

passare al bianco (somma di tutte le visibili).

Le leggi di Kirchhoff

Dalla legge di Planck è noto che la quantità di radianza emessa è legata alla del corpo emittente ed alla T

del mezzo. Tale mezzo assorbe ed emette alla stessa con tasso di emissione dipendente da T e .


Si consideri ora una cavità perfettamente isolata con pareti nere ed in equilibrio termodinamico. Tale

condizione, caratterizzata da temperatura uniforme e radiazione isotropa, sarà essenziale nello sviluppo delle

successive considerazioni.

La radiazione elettromagnetica introdotta nella cavità viene quindi completamente assorbita dalle pareti nere.

Per il principio di conservazione dell’energia, in ragione dell’equilibrio termodinamico, le radiazioni

emesse ed assorbite si equivalgono, ovvero:

consta

(23)

in cui:

a = coefficiente di assorbimento spettrale;

= coefficiente di emissione spettrale,

esprimibili come:

),(

),(

TB

TIa ass

(24 a)

),(

),(

TB

TIem

(24 b)

Nel caso in cui il corpo sia nero, :

1 a (25)

Altrimenti:

1 a (26)

In tal caso sarà possibile definire dei nuovi termini, in analogia con i precedenti:

r = coefficiente di riflettività spettrale;

= coefficiente di trasmissività spettrale,

esprimibili come:

),(

),(

TB

TIr

rifl

(27 a)

),(

),(

TB

TI trasm

(27 b)

Ricordando il principio di conservazione dell’energia:

BIII rifltrasmass

risulta quindi che tutta la radiazione incidente in un mezzo in equilibrio termodinamico è soggetta ai

fenomeni di assorbimento, trasmissione e riflessione:


1 ra (28)

Nel caso di una superficie opaca (avente quindi 0 ), la (28) diviene:

1 ra

I corpi che presentano elevata riflettività (la neve nel visibile) sono cattivi assorbenti, mentre materiali

altamente assorbenti (l’asfalto nel visibile) sono cattivi riflettori.

Il corpo che presenta emissività costante su tutto lo spettro (non esiste in natura) è detto grigio.

L’atmosfera terrestre non è assimilabile ad un insieme isotropo e non ha T uniforme.

E’ possibile tuttavia definire un equilibrio termodinamico locale applicabile per volumi gassosi fino a

kmz 40 .


LO SPETTRO SOLARE

E’ la distribuzione di radiazione elettromagnetica emessa dal Sole in funzione di incidente.

Fig. 6. Le curve di distribuzione spettrale dell’irradianza solare. La più esterna rappresenta l’irradianza osservata

alla sommità dell’atmosfera (Thekaekara, 1976). La più interna rappresenta l’irradianza osservata a livello

del mare. La aree in grigio rappresentano l’assorbimento da parte dei diversi gas atmosferici in cielo sereno.

La costante solare S rappresenta l’energia solare totale all’estremità dell’atmosfera coincidente con il flusso

di energia solare per unità di superficie normale al raggio solare incidente alla distanza media tra Terra e

Sole.

E’ stato possibile osservare variazioni cicliche funzioni del ciclo 11-le solare e dell’eccentricità orbitale.

2)211353( WmS

In figura 6 è rappresentato lo spettro solare alla sommità dell’atmosfera ed al suolo.

Le zone ombrate sono gli assorbimenti dei principali gas atmosferici, CO2, H2O, O3, O2.

La struttura (VIS e IR) è ben rappresentata dalla radianza di corpo nero per KT 6000 .

Nel VIS ( m7,04,0 ) l’energia emessa %40 del totale. Per superiori al visibile si ha un valore

%50 , mentre il residuo %10 lo si ha nell’UV.

Nell’UV ( m 4,0 ), si è in presenza di grosse differenze. La temperatura equivalente di corpo nero del


sole va dai K6000 nell’intervallo spettrale tra 26002100 Å ai K4700 per la lunghezza d’onda

1400Å dove si ha la linea di emissione (Lyman ) per la transizione del primo stato eccitato dell’atomo di

H.

Per m 3,0 il contenuto energetico della radiazione solare è relativamente piccolo, ma l’assorbimento di

O3, O2, O e N rendono tale regione spettrale come primaria sorgente energetica per kmz 10 .

Calcolo della T del Sole a partire dall’energia da lui emessa (27102,6 mW )

Per il principio di conservazione dell’energia si ha che:

2

22 44

m

s

ms

d

aFS

dSaF

in cui:

F = emissività del Sole;

sa = raggio del Sole;

md = distanza media Terra-Sole.

L’energia totale intercettata dalla Terra è:

2

eaS

Se distribuita uniformemente, alla sommità dell’atmosfera, per unità di area e tempo:

44 2

2 S

a

aSE

e

es

E’ possibile calcolare la temperatura del Sole, nell’ipotesi che si comporti come corpo nero. Per la legge di

Stefan-Boltzman:

4TF

da cui:

4

2

S

a

dT

s

m

(29)

Quindi:

KT 5800 .


Determinazione della costante solare

Lo Smithsonian Institution ha sviluppato due tecniche che permettono di determinare il valore di S in

funzione delle misure radiometriche effettuate sulla Terra. In ragione della durata delle osservazioni

necessarie, sono state denominate metodi “lungo” e “corto”.

La strumentazione impiegata per ottenere il valore della costante solare consiste di:

pireliometri, che misurano la radiazione solare diretta;

piranometri, che misurano la radiazione totale (diretta più diffusa);

spettrobolometri, spettrografi con specchi focalizzatori ad inseguimento che, attraverso un prisma (o una

griglia di diffrazione) permettono una misura spettrale della radiazione solare (40 lunghezze d’onda)

nell’intervallo mm 5,234,0 .

a) b) c)

Fig. 7. Immagini di: a) pireliometro; b) piranometro (Kipp & Zonen); c) eliofanografo.

Metodo Lungo

Nell’ipotesi in cui l’atmosfera è stratificata orizzontalmente, e data una posizione del Sole avente angolo

zenitale 0 , il cammino ottico è rappresentato dal termine 0secu

1z

dzu

in cui:

1z = altezza della stazione.

Per la legge di Bouguer-Lambert-Beer, la radiazione solare spettrale diretta osservata al suolo è:

muk

FeFF

0

0

0

sec

(30)

ovvero:

lnlnln0

mFF

in cui:

0F = irradianza spettrale solare alla sommità dell’atmosfera,

constk = sezione d’urto spettrale,

= trasmissività spettrale,

0secm = rapporto della massa d’aria tra sole/osservatore con quella relativa a 0 .


Le osservazioni vengono effettuate a diversi angoli 0 nell’arco della giornata.

Se le proprietà atmosferiche sono costanti, risulta che:

const

E’ possibile estrapolare il grafico per 0m (sommità atmosferica).

Fig. 8. Il procedimento del “metodo

lungo”.

Per osservazioni su tutto lo spettro, è possibile integrare:

i

N

ii

FdFF

10

0 00

con:

N = numero delle irradianze misurate.

Se d è la distanza istantanea Terra/Sole, per la conservazione dell’energia:

2

0

md

dFS (31)

Per la tecnica di osservazione effettuata sono necessarie correzioni empiriche nella regione spettrale in cui

m 34,0 e m 5,2 , che rappresenta l’8% circa del flusso.

Alcune sorgenti di errore nel metodo risultano essere:

le correzioni empiriche necessarie per gli assorbimenti di O3 (UV), H2O e CO2 (IR);

la radiazione diffusa incognita che entra negli strumenti di osservazione;

le variazioni di k e la presenza di aerosol durante le osservazioni;

gli errori di misura.

Questo metodo richiede lunghi tempi di misura, che comportano elevata probabilità di variazione delle

caratteristiche atmosferiche, ed elaborazione. Risulta pertanto opportuno individuare un nuovo metodo.

ln F0

2 4 6 m = sec0

ln F


Metodo Corto

Misura della radiazione solare diffusa (brillanza del cielo) in una data località per un lungo periodo di tempo

(intensità diffusa media).

Tali letture piranometriche differiranno dalla media di un valore (eccesso del piranometro).

L’attenuazione della radiazione solare in un giorno sereno dipende da:

scattering (molecole e aerosol);

assorbimento dei gas (H2O, CO2, O3, ecc.).

Si definisce una relazione empirica tra irradianza solare diretta, scattering e assorbimento:

qwF (32)

con: w = acqua precipitabile totale;

q = costante empirica determinata .

Nota q , si ottiene F da osservazioni piranometriche e di acqua precipitabile.

Con una serie temporale di osservazioni di F , m , sulla località di misura, si costruisce un grafico

),( mF per un insieme di .

Quindi, misurata F , nota m , si introduce la relativa nell’eq. di Bouguer-Lambert-Beer per ottenere 0

F

. Si segue quindi il “metodo lungo”.

Sono necessarie 3 misure (15’):

un bologramma del sole (misura l’intensità dell’energia radiante solare);

un’osservazione piranometrica (brillanza del sole);

una determinazione della massa d’aria (posizione del Sole con il teodolite).

Da centinaia di osservazioni mondiali:

2)211353( WmS

Altre osservazioni vengono effettuate con:

palloni stratosferici;

razzi;

satelliti.

Radiazione al di fuori dell’atmosfera

In una data località, il flusso di radiazione solare incidente per unità di area orizzontale è definito come

insolazione e dipende principalmente da 0 e dalla distanza Terra-Sole (la massima differenza tra inverno ed

estate è di circa il 7%).

Di seguito viene sviluppato il ragionamento che permette di ottenere un’espressione per il calcolo

dell’insolazione solare giornaliera.

La densità di flusso presente alla sommità dell’atmosfera è data da:


00 cosFF

con 0F valido alla distanza d tra Terra e Sole.

Quindi dalla (31) si ha:

0

2

cos

d

dSF m

Definendo Q il riscaldamento radiativo solare ricevuto alla sommità dell’atmosfera per unità di area, si ha

che la densità di flusso solare è:

dt

dQF

per cui:

t

dttFQ )(

L’energia solare totale ricevuta giornalmente per unità di superficie può essere calcolata integrando

l’insolazione totale sul periodo di effettiva illuminazione diurna.

L’insolazione giornaliera è quindi:

tram

alba

m dttd

dSQ )(cos 0

2

Questa espressione, a partire dalle considerazioni di geometria sferica:

hcoscoscossinsincos 0

con:

= latitudine;

= inclinazione solare (distanza angolare del Sole rispetto all’equatore definita positiva a N);

h = angolo orario,

può essere riscritta come:

dhhd

dSQ

H

H

m

)coscoscossinsin(

2

con:

H = tempo della giornata trascorso tra l’alba ed il mezzogiorno,

2dt

dh = velocità angolare della Terra.

L’integrazione fornisce infine:


)coscoscossinsin(

2

HHd

dSQ m

(33)

Il rapporto

2

d

dm , durante l’anno solare è compreso tra un valore massimo di 1,0344 (il 3 gennaio) ed un

minimo di 0,9675 (il 5 luglio).

Nella figura 9 è quindi mostrata la variazione dell’insolazione media giornaliera in funzione della latitudine.

La distribuzione di energia solare tra i due emisferi è leggermente asimmetrica. La Terra è più vicina al Sole

a gennaio ed il massimo dell’insolazione solare nell’emisfero sud risulta essere maggiore di quello

nell’emisfero nord. Si ha inoltre che il massimo di insolazione nel solstizio estivo è ottenuta al polo nord, in

corrispondenza con un minimo in quello sud. Agli equinozi, il massimo viene ad aversi all’equatore, quando

ai poli risulta essere ancora nullo.

Fig. 9. Insolazione solare giornaliera (2mW ) incidente su di una superficie orizzontale alla sommità

dell’atmosfera in funzione della latitudine e della data (adattato da Milankovitch, 1930).

Attraverso ulteriori considerazioni, tralasciate per brevità, è possibile ottenere l’espressione dell’insolazione

solare totale annuale:

21

4

2eT

SQ ta

in cui:

tT = anno tropicale (relativo a due successivi transiti del Sole nell’equinozio di primavera);

a

bae

22 = eccentricità orbitale;


a = semiasse orbitale maggiore;

b = semiasse orbitale minore.

Tale espressione risulta quindi indipendente da parametri quali la declinazione solare o la posizione relativa

al perielio.


PRINCIPI di TRASPORTO RADIATIVO

Assorbimento ed emissione della radiazione

Un’onda elettromagnetica che attraversa un mezzo non omogeneo, interagisce con esso e si attenua.

L’interazione della radiazione determina la modifica della direzione originale di propagazione dell’onda,

della sua fase e della sua polarizzazione, mentre la lunghezza d’onda, in genere, rimane invariata.

La quota di radiazione assorbita nel passaggio nella materia è una caratteristica specifica del materiale.

Le espressioni (24 a,b), (27 a,b) e (28) definiscono i principi fisici del problema che è rappresentato

schematicamente nella figura 10.

Fig. 10. Geometria della radiazione incidente su di un mezzo

L’EQUAZIONE DEL TRASPORTO RADIATIVO

Nel processo di attenuazione radiativa all’interno di un mezzo non omogeneo, ad esempio l’atmosfera, la

riduzione d’intensità deriva principalmente da:

assorbimento del mezzo;

scattering,

che tendono in genere a sovrapporsi tra loro.

Nella corrente trattazione verrà definito scattering il fenomeno che determina la divergenza rispetto alla

direzione di propagazione della radiazione elettromagnetica, con un angolo di qualsiasi apertura, anche

piccola a piacere.

Nell’atmosfera le disomogeneità generanti lo scattering sono attribuibili a particelle di vario tipo, quali gli

aerosol, le idrometeore e le molecole d’aria stesse, caratterizzate da indici di rifrazione diversi da quello del

mezzo in cui sono inserite e che nel caso atmosferico risulta essere unitario.

Il cammino libero medio dell’onda elettromagnetica in atmosfera è sufficientemente grande da non

permettere interferenza tra la radiazione diffusa da una singola particella e lo scattering relativo a quelle

immediatamente vicine. In tal modo lo scattering complessivo è dato con buona approssimazione dalla

somma di quelli prodotti delle singole particelle e viene definito come scattering incoerente (o indipendente).

Le conseguenze dello scattering atmosferico sono di particolare interesse nel caso della componente spettrale

del visibile per le quali si verificano i fenomeni del cielo diurno blu o il sole rosso al tramonto. Esse verranno

comunque approfondite in un capitolo successivo.

Da quanto appena descritto, quindi, i fenomeni ottici di riflessione, rifrazione e diffrazione verranno

considerati all’interno dello scattering.

Allo scopo di definire l’impianto teorico del trasporto radiativo, si consideri la radiazione elettromagnetica

incidente I perpendicolare ad uno strato di materia di spessore ds . La sua attenuazione dovrà essere

proporzionale alla:

dimensione del cammino, ovvero lo spessore attraversato ds ;

It

I,T

Ir

Ie(a)


densità del mezzo ;

sezione d’urto spettrale, o coefficiente di attenuazione spettrale k :

duIdsIkdI ass )( (34)

con:

du = spessore ottico,

definito come:

s

dsku0

(35)

Fig. 11. Geometria del processo del trasporto radiativo

Come verrà esaminato successivamente la sezione d’urto di attenuazione rappresenta la somma delle sezioni

d’urto dovute all’assorbimento ed allo scattering:

sa kkk

Il contributo di emissione (comprensivo di scattering multiplo che incrementa la radiazione considerata) è:

dsjdI em )( (36)

con:

j = coefficiente di sorgente.

Definendo la funzione di sorgente '

I :

k

jI '

(37)

si ottiene l’espressione più generale dell’equazione del trasporto radiativo (RTE):

duIIdI )( ' (38)

I(0) I0 I(s1)

s0=0 I I+dI s1

ds


Nell’ipotesi in cui la componente emissiva (e di scattering) sia trascurabile, si ottiene l’eq. di Bouguer-

Lambert-Beer:

ueII

0

(39)

Non dipende dalla direzione e può applicarsi sia al flusso che alla densità di flusso.

Se lo spessore ottico dello strato è u , la trasmissività spettrale risulta essere:

us

eI

I

0

1)( (40)

Si consideri ora che la radiazione attraversante un mezzo sia:

in equilibrio termodinamico;

privo di scattering;

emittente come corpo nero per cui:

BI '

l’RTE assume la forma dell’Eq.di Schwartzchild:

duIBdI )( (41)

equazione differenziale lineare del 1° ordine, molto importante in IR in assenza di nubi. Risolvendo a partire

da u :

1

0

1 )0,(

s

dsksu (42)

che differenziata fornisce:

dsksdu )0,( 1 (43)

Moltiplicando la (41) per ue

, ed integrando su tutto il percorso si ottiene:

1

0

0

1)(

s

uudseBkeIsI

(44)

che rappresenta l’attenuazione della radiazione dovuta al:

mezzo (1° termine);

contributo emissivo di ogni strato del mezzo lungo tutto il percorso.

L’intensità nel punto di interesse ( 1s ) si ottiene integrando numericamente la (44) qualora siano noti i valori

di T e u .

La (42) è ampiamente applicata nella ricostruzione dei profili termici verticali da satellite.


La RTE per atmosfere stratificate orizzontalmente

Nelle applicazioni meteorologiche, è spesso possibile ipotizzare che in determinate porzioni volumetriche

l’atmosfera sia stratificata orizzontalmente (approssimazione per piani paralleli). Le variazioni dei principali

parametri (temperatura, umidità, profilo dei costituenti gassosi) avvengono quindi con la quota.

In relazione a questo riferimento verticale principale, la RTE può essere riscritta, omettendo la dipendenza

spettrale, come:

),;(),;(cos

zIzBdzk

dI (45)

in cui:

= inclinazione rispetto alla normale al piano diretta verso l’alto;

= angolo azimutale riferito all’asse x .

La (45) può essere riscritta nella forma più comune al problema dello scattering multiplo in atmosfera

stratificata come:

),;(),;(

zIzBd

dI (46)

avendo definito, come di consueto:

z

dzk ' = spessore ottico riferito alla verticale (dall’esterno verso la superficie);

cos

Tale espressione può essere risolta per fornire le intensità radiative uscenti (verso l’alto) ed entranti (verso il

basso) ai limiti degli strati componenti l’atmosfera (figura 12).

In maniera analoga a quanto già visto per l’eq. di Schwartzchild, per ottenere le intensità della radiazione

uscente ed entrante a livello , è sufficiente moltiplicare per il fattore esponenziale contenente lo spessore

ottico ed integrare sullo strato d’interesse:

)01(),;(),;(),;(''

'

*

'

'

*

d

eIeII (47 a)

)01(),;(),;0(),;(''

'

0

'

d

eIeII (47 b)

in cui, ovviamente:

),;( * I e ),;0( I = sorgenti di radiazione verso lo strato rispettivamente alle superfici inferiore e

superiore.


Fig. 12. Schema delle intensità radiative

uscenti (in blu, verso l’alto) ed

entranti (in rosso, verso il basso)

ai limiti degli strati (*,,0 )

componenti l’atmosfera.

Nel caso delle applicazioni del telerilevamento, dello studio del bilancio radiativo è spesso necessario

calcolare l’intensità uscente alla base (* ) ed alla sommità dell’atmosfera ( 0 ). In tal caso le (47)

assumono la forma:

''

'

*

0

'

*

* ),;(),;(),;0(d

eIeII

(48 a)

''*

'

*

0

'

*

* ),;(),;0(),;(d

eIeII

(48 b)

in cui il primo ed il secondo termine rappresentano rispettivamente nella:

(48 a) il contributo della sommità ed il contributo dello strato atmosferico;

(48 b) il contributo della superficie ed il contributo dello strato atmosferico.

La RTE in mezzi non omogenei tridimensionali

Nel caso in cui non sia possibile ipotizzare l’atmosfera stratificata orizzontalmente (nubi caratterizzate da

dimensioni finite e/o con elevata disomogeneità orizzontale) è opportuno utilizzare una formulazione più

adeguata.

La RTE può essere riscritta, omettendo i pedici per semplicità, come:

'IIds

dI

(49)

in cui:

k

Riscrivendo il differenziale in funzione delle componenti spaziali e temporali:

tcds

d 1

I(*;-,)

I(;-,)

I(0;,)

I(*;,)

I(0;-,)

I(;,)

=0

=*


in cui:

c = velocità della luce;

= vettore unitario che definisce la direzione dello scattering attraverso il vettore di posizione s .

Nel caso quasi stazionario (radiazione indipendente dal tempo), realistico per quanto riguarda l’attenuazione

da parte del Sole, la (49) può essere riscritta come:

),(),(),()()(

1 '

sIsIsIs

(50)

in cui ora la funzione sorgente 'I può essere dovuta allo scattering singolo della luce solare diretta, dallo

scattering multiplo dell’intensità diffusa e dall’emissione del mezzo.

Rappresentando ora la componente avvettiva dell’operatore in coordinate cartesiane:

zyxzyx

in cui ovviamente i coseni direttori sono dati da:

cos

sin1sinsin

cos1cossin

2

2

s

z

s

y

s

x

z

y

x

con:

e = rispettivamente angoli zenitali ed azimutali;

222 zyxss

Soluzioni analitiche della (50) non sono in genere possibili.

Il ricorso a soluzioni numeriche può essere evitato in casi particolari di omogeneità direzionali dove la (50) si

riduce ad un’equazione differenziale alle derivate parziali del 1° ordine che permette soluzioni semplificate.


CONCETTI BASE DI EMISSIONE ED ASSORBIMENTO

Il modello dell’idrogeno

La radiazione emessa da un corpo presenta per la legge di Planck uno spettro continuo mostrato in fig. 4.

Tuttavia l’osservazione quotidiana degli spettri gassosi evidenzia come l’assorbimento sia altamente

discontinuo per la presenza di un elevato numero di bande. Nel caso in cui sia possibile analizzare lo spettro

con una risoluzione maggiore, si nota che le bande consistono di un gran numero di linee spettralmente

molto ravvicinate.

La teoria quantistica di Planck, comunque, risolve questa apparente contraddizione ed il legame tra le linee

spettrali e la struttura atomica può essere facilmente compreso analizzando il semplice modello dell’atomo di

idrogeno di Bohr. Egli ipotizzò che:

gli elettroni ruotassero intorno al nucleo secondo orbite circolari mantenendo l’equilibrio tra forze

elastiche, statiche e centrifughe), postulando che il momento angolare M fosse quantizzato, ovvero

multiplo di un valore base:

,...3,2,12

nh

nM

in cui:

n = numero quantico;

h = costante di Planck,

Fig.13. Schematizzazione dei livelli energetici

dell’idrogeno ed alcune della transizioni che

appaiono nello spettro. Esistono infiniti livelli

tra il numero 6 e l’ .

gli atomi si trovino in stati stazionari senza fornire alcun apporto radiativo;

l’irraggiamento avvenga in occasione di transizioni, discrete, da uno stato energetico kE ad un altro

kj EE tale per cui:

hEE jk (51)

Ciascuna transizione tra orbite è cioè accompagnata da salti energetici (quantici).

Pertanto, definendo come stato fondamentale (ground state) quello avente energia minima, quando un

elettrone assorbe energia sufficiente, per esempio per collisione, si posiziona (“salta”) in una orbita

Serie di

Lyman

Serie di

Balmer

Serie di

Paschen

n

6 4 3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11

-12

-13

En

erg

ia (

eV

)


caratterizzata da uno stato energetico più elevato (stato eccitato). La transizione energetica verso uno stato

energetico inferiore determina l’emissione di un fotone.

Fig.14. Schematizzazione dei fenomeni di emissione a) ed

assorbimento b) per un atomo di idrogeno composto da

un elettrone e da un protone.

Un salto quantico tra livelli energetici comporta quindi la presenza di linee nello spettro. La frequenza di tali

linee nel caso dell’atomo di idrogeno è data da:

22

11

kjRH (52)

in cui: 1510097,1 cmRH = costante di Rydberg per l’idrogeno.

L’assorbimento di molecole più complesse

Il modello di assorbimento dell’idrogeno rappresenta la base per la comprensione degli spettri di

assorbimento che divengono via via più complessi in ragione della struttura delle molecole.

Per lo studio della fisica dell’atmosfera ed in particolare per lo studio del comportamento della radiazione

solare e terrestre in relazione alla presenza dei costituenti atmosferici è importante capire gli effetti su

molecole quali H2O, O3 e CO2.

Allo scopo di comprendere la complessità degli spettri dei predetti gas, è necessario quindi introdurre e

sviluppare ulteriori considerazioni.

L’energia di una molecola può essere descritta dalla composizione dei seguenti contributi:

elvibrrottrasl EEEEE (53)

in cui:

traslE = energia di traslazione, legata al moto della molecola nello spazio che risulta proporzionale al termine

2kT , in cui è ovvio il significato dei termini;

rotE = energia di rotazione della molecola complessa, legata alla sua possibilità di effettuare moti di

rotazione e rivoluzione rispetto al proprio asse e centro di massa;

a)

b)

Stato Stato

Eccitato Fondamentale

Transizione

Fotone

Stato Fondamentale Stato

Eccitato

Transizione

Fotone


vibrE = energia del moto vibratorio, associata ai legami interni delle molecole che determinano la possibilità

per gli atomi di muoversi rispetto alle posizioni di equilibrio;

elE = energia del moto degli elettroni, legata alle variazioni negli stati energetici degli elettroni di cui è

composta la molecola.

Le ultime tre componenti assumono valori discreti e sono soggette a regole di quantizzazione.

Le osservazioni spettrali, in alta risoluzione, permettono di individuare:

le linee rotazionali nelle regioni in onda lunga del FIR e delle MW caratterizzate da basse energie (

mcm 41 10;1 );

le linee vibrazionali nell’IR, ben al di sopra dei livelli rotazionali ( mcm 10;10 13 ). Le transizioni

vibrazionali sono sempre osservate in accoppiamento con quelle rotazionali dando luogo alle ben note

bande roto-vibrazionali dello spettro del MIR;

le linee elettroniche, a causa dell’elevata energia necessaria, nelle regioni ad onda corta dello spettro,

principalmente in UV e visibile.

Regione spettrale m Tipo di transizione

Ultravioletto (UV) < 0,4 Elettronica

Visibile (VIS) 0,4 – 0,7 Elettronica

Vicino Infrarosso (NIR) 0,7 – 2,0 Elettronica / Vibrazionale

Infrarosso (IR) 2,0 – 102

Vibrazionale / Rotazionale

Lontano Infrarosso (FIR) 102 - 10

3 Rotazionale

Microonde (MW) 103 - 10

5 Rotazionale

Tabella 1. Tipo di transizioni che determinano linee nelle diverse regioni spettrali.

Gli spettri rotazionali

Le molecole biatomiche hanno uno spettro rotazionale solo nel caso in cui esista un momento di dipolo

elettrico oscillante, cioè se i centri delle cariche positive e negative sono separati. In tal modo molecole quali

N2 ed O2, che presentano distribuzioni di carica simmetriche, non hanno bande rotazionali nell’IR. E’ tuttavia

possibile individuare una debole attività di dipolo nelle regioni UV in cui la componente radiativa è più

intensa.

In atmosfera sono rari altri componenti gassosi biatomici, e comunque le loro bande rotazionali giacciono

nella regione delle microonde.

I principali gas atmosferici, attivi dal punto di vista radiativo, sono pertanto quelli triatomici accennati in

precedenza: H2O, O3 e CO2. Di questi:

il vapor d’acqua presenta una banda rotazionale pura centrata intorno ai m65 (IR). Tale frequenta

risulta essere relativamente alta in quanto gli atomi di idrogeno, leggeri, sono caratterizzati da

relativamente piccoli momenti di inerzia, inversamente proporzionali alle energie rotazionali;

la banda rotazionale dell’ozono si trova nella regione delle MW;

l’anidride carbonica non ha bande rotazionali essendo una molecola lineare priva di momento di dipolo.

Poiché le energie degli stati rotazionali sono piccole rispetto a 2kT , è possibile che un gran numero di stati

rotazionali sia molto popolato.

A causa di contributi energetici ulteriori che provengono per esempio dalle rotazioni dei nuclei atomici e

dalla variazione dei momenti rotazionali d’inerzia, vengono in genere osservate più linee spettrali rispetto al

numero di stati rotazionali.

Nel caso della molecola di H2O, è possibile inoltre individuare uno spettro contenente molte linee rotazionali

prive di un’apparente regolarità dovuto all’interazione tra gli stati vibrazionali e gli stati rotazionali (i cui

momenti d’inerzia rispetto ai tre assi di rotazione risultano essere tra loro differenti).


Dal punto di vista formale, è possibile rappresentare l’energia rotazionale dei nuclei intorno al proprio

comune centro di massa attraverso la:

)1( JJBhcEJ (54)

in cui:

J = numero quantico rotazionale.

Ic

hB

28 = costante rotazionale;

I = momento d’inerzia.

Tale relazione è valida per un dipolo rigido rotante di forma simmetrica.

La distanza tra i livelli rotazionali vicini, si ottiene facilmente attraverso la:

)1(2)1()2)(1(1 JBhcJJJJBhcEEE JJJ (55 a)

Esprimendo le energie in 1cm l’espressione prende la forma:

)1(2 JBEJ (55 b)

Quindi, la distanza in energia tra i livelli rotazionali non è costante: dipende linearmente dal numero

quantico, secondo un fattore proporzionale B2 : maggiore è l’energia rotazionale, più si allontanano i livelli

rotazionali (figura 16).

Gli spettri vibrazionali

La struttura dei tre modi normali vibrazionali (fondamentali) delle principali molecole triatomiche di

interesse atmosferico è schematizzata in figura 15 in cui le diverse frequenze sono state espresse sia in 1cm

(numero d’onda) che in m (lunghezze d’onda).

Nella regione dell’IR termico, ed in particolare nell’intervallo tra m505 , sono presenti le seguenti bande

di assorbimento:

per quanto concerne l’H2O, la sola banda relativa al modo di bending ( m 3,62 ) si trova nella

regione IR. Gli altri due modi ( m 73,21 , stretching simmetrico di debole intensità e m 66,23

, stretching antisimmetrico) interessano la regione del vicino IR dove la radiazione solare riveste ancora

un’elevata importanza;

sebbene tutti i modi vibrazionali dell’O3 cadano nella regione IR, i primi due ( m 0,91 e

m 3,142 ) risultano essere relativamente deboli, mentre il terzo m 6,93 è quello che viene

impiegato nelle applicazioni di telerilevamento per la ricostruzione dei profili verticali di temperatura;

il CO2 è caratterizzato da una forte banda di assorbimento per m 152 . Essendo una molecola

lineare, la componente di stretching simmetrica non induce un momento di dipolo oscillante ed il

corrispondente modo 1 è assente. La componente antisimmetrica ( m 3,43 ), pur non essendo di

particolare interesse nel trasporto radiativo IR in quanto ancora interessata dall’azione radiativa solare, è

tuttavia ampiamente utilizzata per la ricostruzione dei profili verticali di temperatura.


Fig. 15. Schematizzazione dei modi vibratori normali delle molecole triatomiche:

CO2 (lineare – a): 1 assente (stretching simmetrico);

mcm 15667 1

2 (bending - IR)

mcm 3,42349 1

3 (stretching antisimmetrico - NIR);

H2O (triangolare – b): mcm 73,23657 1

1 (NIR) ;

mcm 25,61593 1

2 (IR);

mcm 665,23756 1

3 (NIR);

O3 (triangolare – b): mcm 0,91110 1

1 (IR);

mcm 3,14701 1

2 (IR);

mcm 6,91045 1

3 (IR);

Nel caso vibrazionale i livelli energetici quantizzati per una vibrazione armonica sono ottenuti attraverso la:

2

1kkhE (56)

in cui:

...,3,2,1,0k = numero quantico vibrazionale;

k = termine rappresentativo dei modi normali.

La distanza tra i livelli vibrazionali vicini risulta essere indipendente dal numero quantico, e quindi costante:

kkkk hhEEE

2

1

2

111 (57)

Analizzando inoltre il contributo energetico, si ottiene che:

JEE 310

Come descritto in tabella 1 ed evidenziato in figura 15, le bande vibrazionali si manifestano a frequenze

(ovvero energie) più elevate di più ordini di grandezza rispetto a quelle rotazionali. Una vibrazione

molecolare dà quindi luogo ad un momento di dipolo elettrico sufficiente alla produzione simultanea sia di

transizioni vibrazionali che rotazionali generando degli spettri roto-vibrazionali. In pratica una variazione


dello stato vibrazionale di una molecola è sempre accompagnata da una variazione dello stato rotazionale. Le

basse frequenze degli spettri rotazionali si sovrappongono a quelle vibrazionali (di due o tre ordini di

grandezza superiori), per cui lo spettro risultante, somma delle diverse energie di transizione, sarà composto

da una caratteristica struttura a righe e bande.

In tal modo lo spettro conterrà per ogni livello vibrazionale molti livelli rotazionali risultando un insieme

complesso di linee rotazionali raggruppate intorno a ciascun numero d’onda vibrazionale.

La forma energetica finale potrà essere espressa come:

2

1)1(, kkJ hJJBhcE (58)

E’ possibile ora sviluppare un semplice esempio, rappresentato nella figura 16, in cui le transizioni

avvengono tra ),(),( '''''' JJ kk ed in cui:

0'' k è lo stato base e 1' k è il primo livello eccitato;

'J e

''J sono gli stati rotazionali in cui il primo rappresenta quello più elevato.

Le regole di selezione sono inoltre 1 k e 1J ; le molecole nello stato base sono distribuite su

diversi livelli di ''J .

Tutte le molecole che saltano al livello superiore ' , possono venire a trovarsi con la stessa probabilità al

livello superiore 1J o inferiore 1J .

Figura 16. Schematizzazione di una transizione simultanea vibrazionale e rotazionale in condizioni di modi normali

fondamentali )(1 1k e )(3 3k per il CO2 (molecola triatomica lineare). Le branche P ed R

sono dovute alle transizioni 1J e 1J ; la Q è relativa a 0J . Le righe spettrali sono

separate energeticamente di un valore B2 .

Come si evince dalla figura 16, essendo interessato un elevato numero di livelli energetici rotazionali molto

ravvicinati associati al singolo numero d’onda, le transizioni comportano una banda di linee rotazionali

disposte intorno al numero d’onda vibrazionale k e tra loro equispaziate secondo il termine B2 .

Il gruppo caratterizzato da 1J , avente energia e frequenza minore, è chiamato branca P, mentre quello

relativo alle energie superiori è noto come branca R con 1J .

J=7

6

5

4

3 2 1

0

J=7

6

5

4

3 2 1

0

’=1

’’=0

2B 2B


Tutta la precedente discussione è stata sviluppata nel caso di un oscillatore armonico nel quale le regole di

selezione sono solamente 1 k 1J .

Nel caso di oscillatori non armonici il risultato determinerà uno spettro un po’ più complesso.

Alla luce di quanto è stato trattato in precedenza, in ragione delle diverse regioni energetiche in cui

avvengono le transizioni (elettroniche, vibrazionali e rotazionali), lo spettro complessivo si compone di linee

rotazionali raggruppate intorno ai livelli vibrazionali e quindi ai livelli elettronici (fig. 17). Ogni transizione

che comporta una variazione nell’energia elettronica produce infatti un’intera serie di linee di emissione in

quanto si rendono possibili molteplici combinazioni delle variazioni energetiche rotazionali e vibrazionali.

Fig. 17. Schematizzazione dei livelli energetici di una molecola biatomica.

Per ciascun livello energetico elettronico è mostrata la struttura fine vibrazionale (contenente p.es. 6 livelli)

e quella rotazionale a lei associata (p.es. 4 livelli). Per semplicità sono sempre evidenziati 2 soli stati.

I valori tipici di separazione tra il livello base ed il primo eccitato sono:

per le componenti energetiche elettroniche: eV102 ;

per le componenti energetiche vibrazionali: eV22,0 ;

per le componenti energetiche rotazionali: eV35 1010 ,

in cui: JeV 19106,11 , corrispondente all’emissione radiativa a m 24,1 .

La trattazione appena sviluppata risulta essere semplificata. Un discorso più rigoroso, che tuttavia esula dagli

scopi di questo testo, dovrebbe tener conto dello spin elettronico e di varie altre correzioni. In particolare, le

transizioni elettroniche costituiscono un argomento piuttosto complesso e le regole di selezione cui esse

obbediscono non sono di immediata comprensione.

L’emissione monocromatica non viene mai osservata in pratica.

Nelle transizioni, infatti, i livelli energetici vengono modificati a causa di influenze esterne ottenendo linee

spettrali di larghezza finita. Le cause dell’allargamento delle linee sono dovute a:

“effetto pressione” (pressure broadening): è legato alle collisioni molecolari (tra molecole assorbenti e

tra molecole assorbenti e non assorbenti). In pratica le interazioni tra atomi causano piccole variazioni

nei livelli energetici degli elettroni e nell’energia dei fotoni assorbiti. Tale fenomeno è presente

soprattutto negli spettri rotazionali in cui gli urti determinano una forte diminuzione della vita media

delle molecole eccitate. Il conseguente allargamento delle righe e la loro sovrapposizione può


comportare la scomparsa della struttura rotatoria della banda. Aumentando pressione e temperatura si

giunge alla sovrapposizione completa delle singole bande;

“effetto Doppler”: è associato alla distribuzione delle velocità delle molecole. Ad elevate temperature,

l’incremento della velocità delle molecole provoca uno spostamento verso le alte frequenze (e

viceversa).

In alta atmosfera si ha generalmente una concomitanza di effetti, mentre in basso prevale l’effetto pressione.

Nel primo caso è possibile determinare la forma caratteristica del profilo (detto di Lorentz) in funzione del

coefficiente di assorbimento esponenziale )(k :

)()(

)( 0122

0

1

fk

kk (59)

con:

0

1 )( dkk = intensità della linea, talvolta chiamato assorbimento integrato;

= semiampiezza della linea a metà del massimo;

0 = numero d’onda centrale di una linea spettrale ideale;

)( 0 f = fattore di forma della linea spettrale.

L’intensità di una linea dipende invece principalmente dalla popolazione degli stati energetici eccitati,

funzione della temperatura attraverso la distribuzione di Boltzmann, ed in parte dall’energia di transizione.

La semiampiezza di una linea, allargata per collisione, è rappresentabile nella forma:

T

T

p

pLL

0

00

in cui:

0L = semiampiezza del profilo di Lorentz a pressione e temperatura standard ( 0p e 0T ).

La semiampiezza a 0p e 0T , dipendendo altresì dal tipo di molecola interessata e dall’energia di transizione,

è differente tra linea e linea, ma in genere, per ciascuna banda, viene usato un valore medio rappresentativo.

Tale forma delle linee di assorbimento è fondamentale nella teoria del trasporto radiativo in atmosfera.

Nel caso dell’effetto Doppler, in cui si ipotizza l’assenza di collisioni in un gas altamente rarefatto, la forma

della distribuzione diviene:

2

'

0

'

1)(

Dek

kD

(60)

con:

m

kT

cD

20' = larghezza della linea Doppler.

In questo caso, la semiampiezza della linea a metà del massimo assume il valore:

2ln'

DD


per cui, la semiampiezza Doppler è proporzionale alla radice quadrata della temperatura.

Fig. 18. Curve di Lorentz (blu) e Doppler

(rossa) per intensità e spessore

di linea simili. Sono anche

rappresentate le ampiezze di

banda a metà del massimo

Chiaramente la dipendenza del coefficiente di assorbimento dall’esponenziale, determina una forma più

intensa intorno al centro della linea con delle code molto più deboli rispetto alla forma di Lorentz.

Nel caso in cui si ha un grosso assorbimento al centro della linea, ulteriori assorbimenti avverranno sulle

code e saranno causati dagli effetti delle collisioni (predomina l’effetto pressione) piuttosto che dall’effetto

Doppler.

Le semiampiezze delle linee dei profili di Lorentz e Doppler risultano essere uguali ad una quota dell’ordine

dei 30 km. Al disotto di tale altezza prevalgono quelle di Lorentz che a livello del mare raggiungono circa

due ordini di grandezza superiori. Chiaramente dalla figura emerge la maggiore estensione, rispetto al centro

della linea, delle code del profilo di Lorentz determinando in genere la loro possibile sovrapposizione e

quindi la contaminazione delle informazioni acquisibili da satellite. Tale fenomeno dovrà essere tenuto in

considerazione nel trasporto radiativo, con particolare riferimento alla capacità di risolvere adeguatamente

gli spettri nelle tecniche di ricostruzione dei profili verticali di temperatura.

Se il profilo di Lorentz è adeguato a rappresentare il comportamento nella troposfera e nella bassa

stratosfera, nell’alta stratosfera e nella bassa mesosfera entrambi i tipi di allargamento sono importanti

permettendo una rappresentazione intermedia (profilo di Voigt). Al di sopra risulta essere appropriato il

profilo Doppler.

La rappresentazione di Lorentz, buona approssimazione del profilo delle linee nell’intorno di alcune

semiampiezze rispetto al centro, viene utilizzata nel trasporto radiativo dove è possibile trascurare i piccoli

spostamenti della frequenza centrale che accompagnano gli allargamenti per collisione.

Il vero spettro di assorbimento atmosferico contiene moltissime linee, in genere organizzate in bande le cui

code tendono a sovrapporsi.

Le bande

Allo scopo di rappresentare le osservazioni spettrali complesse contenenti diverse linee spettrali di forma

generalmente “lorentziana” sono stati sviluppati diversi modelli teorici.

La figura 19 mostra gli spettri di assorbimento dell’H2O e del CO2 in parte della regione IR.

La risoluzione, relativamente elevata, permette di evidenziare la struttura più fine che nel primo caso, risulta

essere irregolare con porzioni di spettro abbastanza ben separate e regioni che evidenziano sovrapposizioni.

Per il CO2 le linee mostrano una spaziatura ed un’intensità tendenzialmente uniformi. Un’analisi più

dettagliata permetterebbe inoltre di individuare una moderata sovrapposizione delle code delle linee.

2D

2L

-3 -2 -1 0 1 2 3 (-0) /

k


Fig.19. Spettri di assorbimento a media risoluzione dell’ H2O e del CO2:

a) banda rotazionale dell’H2O;

b) banda del CO2 intorno ai m15 . Da notare la relativa regolarità dello spettro.

Senza inoltrarsi nei dettagli, è pertanto possibile presentare i risultati dei principali modelli, basati tutti

sull’uso di una linea avente il profilo alla Lorentz, rispettivamente nel caso di approssimazione per una linea

di forte intensità e di debole intensità:

Tipo di modello Linea intensa Linea debole

Ladenburg-Reiche:

Su21

Su1

Elsasser

d

Suerf

1 d

Su1

Goody d

uS

e02

d

uS

e0

in cui: = trasmissività della banda;

= semiampiezza della banda;

= intervallo di frequenza;

S = intensità della linea;

u = lunghezza del cammino;

...42103

22)(

753

0

2 xxxxdxexerf

x

x

= funzione di errore o probabilità integrale;

d = intervallo medio tra le linee.

a)

b)


Tra i modelli sopra riportati, quello statistico di Goody sembra essere il più realistico, ma, approssimando in

forma lineare l’esponenziale e la funzione di errore e nell’ipotesi in cui d , i risultati ottenuti sono

simili. In particolare, le espressioni della trasmissività per le linee intense tendono alla forma d

S mentre

per le linee deboli tendono a d

S che riflettono la differenza tra assorbimento nelle code e nel centro.

Gli effetti della pressione totale sull’assorbimento, legati al parametro , sono presenti nei soli casi

rappresentativi delle linee intense, sebbene le bande spettrali contengano normalmente sia le linee deboli che

quelle forti.


EFFETTI DI ASSORBIMENTO ED EMISSIONE

Assorbimento

Si viene ora brevemente ad analizzare l’assorbimento di alcuni componenti atmosferici (azoto, ossigeno ed

ozono) nelle diverse regioni spettrali.

Assorbimento in Ultravioletto

Vengono ora rappresentate le caratteristiche degli spettri di assorbimento delle principali molecole

atmosferiche nella regione dell’UV.

lo spettro di assorbimento dell’azoto molecolare (N2) è rappresentato da un sistema di bande con

11201450 Å (bande di Lyman-Birge-Hopfield). Per 8501000 Å si osservano diverse

bande aventi coefficienti di assorbimento molto variabili. Per 800 Å si ha invece la dissociazione

delle molecole e la loro ionizzazione;

lo spettro di assorbimento dell’ossigeno molecolare (O2) è rappresentato inizialmente dalla debole banda

di Herzberg con 20002600 Å di relativa importanza poiché coincidente con il più pronunciato

assorbimento da parte dell’ O3. Tuttavia contribuisce attivamente alla formazione dello strato di ozono.

Fig.20. Spettri di assorbimento di CH4, N2O, O2 e O3, CO2, H2O e, in basso, spettro complessivo di assorbimento

dell’atmosfera nel suo complesso. In rosso è evidenziata la regione del continuo dell’H2O.

(Adattato da J.N.Howard, 1959; R.M.Goody-G.D.Robinson, 1951)


Nell’adiacente regione spettrale con 17502000 Å si osservano le bande di Schumann-Runge,

prodotte dalle transizioni dello stato fondamentale, che si concludono con la regione del continuo di

Schumann-Runge, la più assorbente dell’O2, compresa tra 13001750 Å e dovuta alla

dissociazione molecolare. Per 1216 Å si ha la linea Lyman , mentre nella regione

8501100 Å si osservano le bande di Hopfield, associate a transizioni tra stati eccitati, e, per

1026 Å, l’assorbimento è dovuto alla ionizzazione sotto forma di un continuo;

lo spettro di assorbimento dell’ozono (O3) è dovuto alla transizioni elettroniche che avvengono

essenzialmente nell’alta stratosfera e nella mesosfera. Le più significative bande (Hartley) si osservano

per 20003000 Å, con il massimo a 2553 Å, mentre per 30003600 Å si hanno le più

deboli strutture delle bande di Huggins. Nelle regioni IR dello spettro si potranno individuare le ancora

più deboli bande di Chappuis, molto importanti ai fini del telerilevamento.

In tabella 2 sono rappresentate le principali regioni atmosferiche interessate dagli assorbimenti in UV.

Lunghezza d’onda

(Å)

Assorbente Banda Regione atmosferica

1000-1750 O2 Continuo di Schumann-Runge Termosfera

1216 O2 Linea di Lyman Mesosfera

1750-2000 O2 Bande di Schumann-Runge Mesosfera

2000-2420 O2-O3 Continuo di Herzberg - Banda di Hartley Stratosfera

2420-3100 O3 Banda di Hartley Stratosfera

3100-4000 O3 Bande di Huggins Stratosfera/Troposfera

4000-8500 O3 Bande di Chappuis Troposfera

Tabella 2. Principali regioni atmosferiche interessate dall’assorbimento in UV

Il continuo del vapor d’acqua in IR

E’ ben noto che nell’intervallo spettrale compreso tra m 128 , e corrispondente alla regione di

massima emissione radiativa della superficie terrestre, i gas atmosferici non presentano significativi

assorbimenti. Tale regione, analogamente a quella presente per lunghezze d’onda visibili, è pertanto definita

come “finestra atmosferica” in quanto la radiazione elettromagnetica viene essenzialmente trasmessa.

L’esistenza di tali finestre, posizionate attorno ai picchi di radiazione solare incidente e di quella terrestre

uscente, permette, attraverso un bilancio radiativo dinamico ma nella media tendenzialmente costante, lo

sviluppo delle condizioni ambientali che caratterizzano la vita sulla Terra. Nel campo del telerilevamento si è

potuto utilizzare tale fenomeno per l’analisi della superficie terrestre e di quella dei corpi condensati, le nubi,

da un punto di vista “visivo”, radiazione visibile riflessa, e termico, radiazione IR emessa.

Tuttavia, analizzando nel particolare la finestra IR si può notare come, oltre la stretta banda di assorbimento

dell’O3 a m 6,9 , sia presente una regione di assorbimento che si comporta alla stregua di uno spettro

continuo piuttosto che di una linea.

In un contesto di osservazioni influenzate dalla presenza degli aerosol si ritiene che ciò sia dovuto

principalmente alle code degli assorbimenti del vapor d’acqua presenti ai margini della finestra.

O2 e N (99% del volume atmosferico) assorbono fortemente per m 3,0 . L’UV è quindi assorbito in alta

atmosfera (20-50 km – O3).

Ionizzazione molecole per molto corte.

In IR principali assorbenti: H2O e CO2. O3 e NO2 meno forti ma importanti.


Grandi variazioni di )( per piccole variazioni di . Il calcolo dell’energia totale assorbita e trasmessa

risulta essere difficile: i dettagli degli spettri di assorbimento atmosferico non sono ben noti per avere calcoli

accurati.

Fig. 21. Caratteristiche trasmissive atmosferiche con le principali bande assorbenti.

m 8,03,0 : finestra atmosferica (VIS). La Terra non emette.

definizioni e concetti - macroarea di scienze m.f.n. · = costante di boltzmann. quindi per: 0 0 0...

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