Lezione 18 (8 gennaio)Limiti

Ripasso

𝑓 𝑥 = ln3

𝑥 − 1𝐷 = (1,+∞)

lim𝑥→1+

ln3

𝑥 − 1= ln

3

1+ − 1= ln

3

0+= ln(+∞) = +∞

lim𝑥→+∞

ln3

𝑥 − 1= ln

3

+∞− 1= ln

3

+∞= ln(0+) = −∞

1

Esempi di forme indeterminate

• lim𝑥→+∞

−𝑥3 + 2𝑥2 + 1 = −∞+∞

• lim𝑥→+∞

3−𝑥(𝑥 + 1) = 0 · (+∞)

• lim𝑥→ 6

+log(𝑥 − 6) · 𝑥 − 6 = −∞ ⋅ 0+

• lim𝑥→−∞

2−𝑥

𝑥+1=

+∞

−∞

Polinomi e forma indeterminata +∞−∞

lim𝑥→+∞

−𝑥3 + 2𝑥2 + 1 = −∞+∞ F. I.

Si raccoglie a fattor comune, sia al numeratore che al denominatore, la potenza di 𝑥 col grado maggiore

lim𝑥→+∞

−𝑥3 + 2𝑥2 + 1 = lim𝑥→+∞

𝑥3 −1 +2𝑥2

𝑥3+

1

𝑥3= lim

𝑥→+∞𝑥3 −1 +

2

𝑥+

1

𝑥3=

= +∞ −1 +2

+∞+

1

+∞= +∞ −1 + 0 + 0 = −∞

Es: lim𝑥→−∞

−𝑥4 + 2𝑥2 + 4𝑥 ; lim𝑥→−∞

−2𝑥2 − 2𝑥 + 5

Polinomi e forma indeterminata ±∞

±∞

lim𝑥→−∞

𝑥2 + 𝑥3 + 1

4𝑥 − 3𝑥2=+∞−∞

−∞

Si raccoglie a fattor comune, sia al numeratore che al denominatore, la potenza di 𝑥 col grado maggiore

lim𝑥→−∞

𝑥2 + 𝑥3 + 1

4𝑥 − 3𝑥2= lim

𝑥→−∞

𝑥31𝑥+ 1 +

1𝑥3

𝑥24𝑥− 3

= lim𝑥→−∞

𝑥1𝑥+ 1 +

1𝑥3

4𝑥− 3

=

=−∞(0 + 1 + 0)

0 − 3=−∞

−3= +∞

Polinomi e forma indeterminata ±∞

±∞

Esempio: lim𝑥→−∞

𝑥+1

𝑥2= lim

𝑥→−∞

𝑥 1+1

𝑥

𝑥2= lim

𝑥→−∞

1+1

𝑥

𝑥=

1

−∞= 0

Esercizi: lim𝑥→+∞

𝑥2+3𝑥

𝑥+2; lim

𝑥→−∞

𝑥2−7𝑥+20

2−𝑥; lim

𝑥→+∞

𝑥4−𝑥2+3𝑥

𝑥2−1005;

Polinomi e forma indeterminata 0

0

lim𝑥→0

𝑥 + 𝑥3

4𝑥 − 3𝑥2=0

0Si raccoglie a fattor comune, sia al numeratore che al denominatore, la potenza di 𝑥 col grado minore

lim𝑥→0

𝑥 + 𝑥3

4𝑥 − 3𝑥2= lim

𝑥→0

𝑥(1 + 𝑥2)

𝑥(4 − 3𝑥)= lim

𝑥→0

(1 + 𝑥2)

(4 − 3𝑥)=1

4

Esercizi:

lim𝑥→0

𝑥+𝑥3

4𝑥−3𝑥2; lim

𝑥→0

3𝑥−𝑥3

4𝑥2+3𝑥4; lim

𝑥→0

8𝑥3+𝑥2

4𝑥+9𝑥3

Polinomi e forme indeterminate

Es: lim𝑥→−∞

(𝑥 + 1)1

𝑥2= −∞ · 0

La forma indeterminata ±∞ · 0 si risolve trasformandola nella forma 0

0oppure

±∞

±∞

lim𝑥→−∞

(𝑥 + 1)1

𝑥2= lim

𝑥→−∞

𝑥+1

𝑥2=

−∞

+∞

Confronto di infiniti

• Si dice che la funzione 𝑓(𝑥) è un infinito per 𝑥 → 𝑥0 se lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 = ±∞

• Siano 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) due funzioni che per 𝑥 → 𝑥0 tendono a ±∞. Allora il rapporto dei loro limiti può essere

1. 𝑓(𝑥) è un infinito di ordine superiore rispetto a 𝑔(𝑥)

2. 𝑓(𝑥) è un infinito di ordine inferiore rispetto a 𝑔(𝑥)

3. 𝑓(x) e 𝑔(𝑥) sono infiniti dello stesso ordine

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= ±∞

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 0

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝑙 ≠ 0

Esempi sul confronto di infiniti

lim𝑥→+∞

5𝑥

𝑒2𝑥= 0 lim

𝑥→+∞

ln 𝑥

2𝑥= 0 lim

𝑥→+∞

5 𝑥

ln(2𝑥)= +∞

𝑥

𝑥𝑥2

𝑒𝑥

ln 𝑥

𝑥

𝑥𝑥2

𝑒𝑥

log 𝑥

Esempio

Quando si hanno limiti di rapporti di polinomi, l’ordine di infinto si può utilizzare anche per𝑥 → −∞. Per esempio

lim𝑥→−∞

5𝑥3

−34𝑥2

Il numeratore è un infinito di ordine superiore rispetto al denominatore, cioè il numeratoreva a infinito più velocemente del denominatore e quindi il limite dell’intera frazione va ainfinito.

lim𝑥→−∞

5𝑥3

−34𝑥2

= lim𝑥→−∞

5𝑥

−34=

−∞

−34= +∞

Confronto di logaritmi, potenze e esponenziali

lim𝑥→+∞

log𝑎 𝑥

𝑥𝛽= 0 , ∀𝑎 > 1, 𝛽 > 0

lim𝑥→+∞

𝑎𝑥

𝑥𝛽= +∞ ,∀𝑎 > 1, 𝛽 > 0

Calcolare i seguenti limiti

lim𝑥→+∞

ln 𝑥

𝑥3lim

𝑥→+∞

−3𝑥2

2𝑥lim

𝑥→+∞

−3𝑥

4𝑥3lim

𝑥→+∞

𝑥5

−ln 𝑥

Ricapitolando: 𝑙𝑖𝑚𝑥→±∞

𝑓 𝑥 = ?

• Si possono verificare tre casi:

1. lim𝑥→±∞

𝑓 𝑥 = 𝑙 la retta 𝑦 = 𝑙 è asintoto orizzontale

Es: lim𝑥→−∞

2𝑥 = 0

2. lim𝑥→±∞

𝑓 𝑥 = ±∞

Es: lim𝑥→+∞

2𝑥 = +∞

3. lim𝑥→±∞

𝑓 𝑥 = ∄ ⇒ non esiste il limite

Esempi in cui 𝑙𝑖𝑚𝑥→±∞

𝑓 𝑥 = ∄

lim𝑥→±∞

cos 𝑥 = ∄

lim𝑥→+∞

𝑓 𝑥 = ∄

Ricapitolando: 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 = ? con 𝑥0 ∈ 𝑅

• Si possono verificare tre casi:

1. lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 = 𝑙

2. lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 = ±∞ ⇒ la retta 𝑥 = 𝑥0 è un asintoto verticale

Es: lim𝑥→0+

log 𝑥 = −∞

3. lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 =∄ ⇒ non esiste il limite

Osservazione 1

• Il limitelim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)

esiste se e solo se esistono e sono uguali

il limite destro lim𝑥→𝑐+

𝑓(𝑥) e il limite sinistro lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥).

• Chiaramente, se la funzione 𝑓 𝑥 : 𝑎, 𝑏 → 𝑅, non ha senso calcolare

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) oppure lim𝑥→𝑏+

𝑓(𝑥).

Osservazione 2

Per poter calcolare il limite lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)

𝑐 deve essere un punto del dominio di 𝑓 oppure uno degli estremi del dominio, come per esempio:

𝑓 𝑥 = 𝑥2, con 𝑥 ∈ 𝑅 ∖ {2}, e comunque lim𝑥→2

𝑥2 = 4

Funzioni continue

Definizione: Una funzione 𝑓:𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅 è continua in 𝑥0 ∈ 𝐷 se

lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0)

ovvero, se il limite esiste ed è uguale a 𝑓(𝑥0).

Se una funzione è continua ∀𝑥0 ∈ 𝐷 allora è detta continua.

Esempio 1

𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝐷 = 𝑅

lim𝑥→𝑥0

𝑥2 = 𝑥02

𝑓 𝑥0 = 𝑥02

Quindi lim𝑥→𝑥0

𝑥2 = 𝑥02 = 𝑓(𝑥0) ∀𝑥0 ∈ 𝑅

e la funzione è continua su tutto il suo dominio.

Esempio 2

Esempio: 𝑓 𝑥 = ቐ𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 < 01 𝑠𝑒 𝑥 = 0𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 > 0

• lim𝑥→0

𝑓 𝑥 =0 perché lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→0−

𝑓(𝑥) = 0

• 𝑓 0 = 1

Quindi lim𝑥→0

𝑓 𝑥 = 0 ≠ 𝑓 0 = 1 e la funzione non è

continua in 𝑥0 = 0.

Esempio 3

𝑓 𝑥 = ቊ3𝑥 + 1, 𝑥 < 0𝑥 + 2, 𝑥 ≥ 0

lim𝑥→0

𝑓 𝑥 =∄ perché i due limiti

lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0+

(3𝑥 + 1) = 1 e lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0−

(𝑥 + 2) = 2

sono diversi.

Poiché il limite non esiste la funzione non è continua in 𝑥0 = 0.

Funzioni continue

• Le funzioni polinomiali, le potenze, le funzioni esponenziali, le funzioni logaritmiche e le funzioni trigonometriche sono continue nel loro insieme di definizione.

• Siano 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) due funzioni continue definite su un dominio comune, allora

𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥

𝑔 𝑥con 𝑔 𝑥 ≠ 0,

sono continue.

• La composizione di funzioni continue è continua.

Esercizi

• Calcolare i limiti delle seguenti funzioni agli estremi del dominio e stabilire se sono continue nel loro dominio

𝑓 𝑥 = ൝1

𝑥−3𝑠𝑒 𝑥 ≠ 3

2 𝑠𝑒 𝑥 = 3𝑓 𝑥 = ൝

1

𝑥2+1𝑠𝑒 𝑥 ≠ −1

2 𝑠𝑒 𝑥 = −1

𝑓 𝑥 = ቊln 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 > 0−2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0

𝑓 𝑥 = ቊ𝑒𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 01 𝑠𝑒 𝑥 < 0

𝑓 𝑥 = ቊcos 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 02 𝑠𝑒 𝑥 = 0

𝑓 𝑥 = ቐ3 𝑠𝑒 𝑥 > 1

𝑥 + 2 𝑠𝑒 − 6 < 𝑥 ≤ 1−5 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −6

Derivate• Rapporto incrementale

• Definizione di derivata

• Significato geometrico

Rapporto incrementale

Sia 𝑓(𝑥) una funzione definita in 𝐼 ⊆ 𝑅 e si consideri il passaggio da 𝑥0 ∈ 𝐼 a 𝑥0 + ℎ ∈ 𝐼. La retta secante nei punti (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) e (𝑥0 + ℎ, 𝑓 𝑥0 + ℎ ) ha

equazione: 𝑦 − 𝑓 𝑥0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0),

𝑚 =𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)

ℎ=

Δ𝑓

Δ𝑥

con Δ𝑥 = 𝑥0 + ℎ − 𝑥0. Δ𝑓

Δ𝑥si chiama rapporto incrementale

Derivata di una funzione, significato geometrico

Data una funzione 𝑓(𝑥) continua in 𝑥0 , la derivata è il limite

limℎ→0

𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)

ℎse tale limite esiste ed è finito.

• La derivata di 𝑓(𝑥) in 𝑥0 si indica con 𝑓′ 𝑥0 ,𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥0) oppure 𝐷𝑓(𝑥0).

• La derivata di una funzione in un punto 𝑥0 rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto(𝑥0, 𝑓(𝑥0)).