KOSSUTH LAJOS TUDOMÁNYEGYETEM

TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR

Dede Miklós-Demény András

KÍSÉRLETI FIZIKA

2. KÖTET

NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ

I. REZGÉSEK ÉS HULLÁMOK

Rezgések

Rezgésről többnyire akkor beszélünk, ha a kérdéses fiz ika i mennyi­

ség az időnek valam ilyen periodikus függvénye: x = f(t) = f(t + T), ahol T

a periódus- vagy rezgésidő. (A definíció pontos jelentését aláásó "többnyi­

re" szó szándékosan került a mondatba, m ert p l. a később tárgyalandó

csillapodó rezgőmozgás szigorúan véve nem periodikus jelenség. Hogy en­

nek ellenére m ié rt soroljuk mégis a rezgések közé, az a tárgyalásánál ter­

mészetessé vá lik m a jd .) A legegyszerűbb rezgések a m últ félévből m ár jó l

ism ert harmonikus (szinusz- vagy koszinusz-) rezgések:

x = A sin (w t + ó ) ( u> = ^ 7- = 2 5T\>).

x az eddigiekben kitérést vagy szögelfordulást jelentett, a további­

akban tetszőleges fiz ika i mennyiség lehet, akár p l. elektromos feszültség

is . (A rezgésjelenségeket legkényelmesebben demonstrálható katódsugár-

-oszcilloszkópnál az elektronsugár e ltérülését éppen az alkalmasan válto­

zó elektromos feszültség okozza, am it viszont látunk, az az . elektronsugár

szokásos értelemben vett k ité rése .) ,A az amplitúdó, S a fázis állandó,

CJ a körfrekvencia, T a periódus- vagy rezgésidő, v> a frekvencia vagy

rezgésszám; az Cj t + & , Ü l. a T-t vagy V -t tartalmazó, ezzel ekvi­

valens kifejezéseket fázisnak nevezzük.

- 3 -

1. § Harmonikus rezgések szuperpozíciója. Rezgések felbontása

Gyakran előfordul, hogy egy fizikai mennyiség egyszerre több ok m iatt

rezeg. Ha ezek a rezgések nem zavarják egymást, azaz mindegyik ok a

többitől nem befolyásoltatva fejti ki a maga hatását, a rezgések lineáris

(zavartalan) szuperpoziciójáról beszélünk. A kérdés csak az, hogyan adjuk

össze ezeket a rezgéseket. Ha a rezgő mennyiség skalár (nyomás, elektro­

mos feszültség, áramerősség stb.), az összeadás módja közönséges algeb­

ra i összeadás, ha pedig vektor (térbeli kitérés, elektromos i l l . mágneses

térerősség stb..), az összeadást ennek megfelelően kell elvégezni, cé lsze­

rűen egyirányú és merőleges komponensekre bontás segítségével. Em iatt

szoktunk egyirányú és egymásra merőleges rezgések összetevésérŐl be­

szélni. Skaláris rezgések esetén az iránynak természetesen sem m i értelme

sincsen, azonban a matematikai kezelés szempontjából ezek és az egyirányú

komponensek teljesen egyenértékűek.

Hol fordulhatnak elő ilyen összetett rezgések a természetben? Rövid

fejtörés után bárki kieszelne olyan mechanikai berendezést, mellyel a leg­

változatosabb rezgésösszetevéseket lehetne produkálni — különféleképpen

csatolt rugók vagy ingák segítségével —, ezek azonban meglehetősen erőlte ­

tett eszközök lennének (lásd 1.1 ábra). M int a későbbiek során kiderül, a

rezgések összetevése igazi jelentőséget a hullámok interferenciájánál kap,

igy ott majd bőségesen találkozunk természetes megjelenésűkkel. Éppen

ezért ebben a fejezetben a legkönnyebben megvalósítható oszcilloszkópos

demonstrációt választjuk.

1.1 Egyirányú rezgések összetevése

Ilyen esetben az eredő rezgés az egyes rezgések algebrai összegzé­

sével adódik: x - ¿Lx.. A továbbiakban néhány fontos speciális esetet v izs ­

gálunk.

a) Két egyenlő frekvenciájú harmonikus rezgés összetevésekor az

eredő' rezgés ugyancsak harmonikus rezgés lesz, a komponensekével meg­

egyező frekvenciával:

(1 . 1 ) A j sin(co t + rfj) + A2 sin(cot + ó 2) = A sin (cot + ó ).

Az eredő rezgés amplitúdóját és fázisállandóját az összetevők amplitúdói

és fázisállandói határozzák meg (1. 1.2 ábra). Az állitás a következő m ó ­

don is belátható: Emlékezzünk vissza arra - a m " lt félév elején tanultuk —,

hogy az egyenletes körmozgás tetsző­

leges egyenesre vett vetülete harm o­

nikus rezgőmozgás. Ennek megfele­

lően az 1 .3 ábrán m egrajzoltuk a két

rengést e lőállító " forgóvektor"-t a

megfelelő kezdőfázisokkal, és az ere­

dőjüket is elkészítettük. Képzeljük

most el, hogy az A^ és A^ vektorok

az egyenlő co m iatt egymással szö­

get tartva forognak a síkban, így ere­

dőjük is együtt forog velük állandó_

nagyság mellett, tehát A + Ag = A

m iatt x = Xj + x. ; am it bizonyítani1 .3 ábra

- 5 -

- 8 -

. 5

ábra

Az amplitúdó lassú változását lebegésnek nevezzük, az időtartamot, am i

két amplitudómaximum között telik el, lebegési időnek. Ez (1.7) teljes pe­

riódusának a fele, azaz T . = — — - , vagy a frekvenciákkal kifejez-l £JX - o>2

ve T . ■ = 1/(V , - D„). Bevezetve a \>. = — — lebegési frekvenciát, lát-c l * v Tg

ható, hogy

Az 1 .5 ábrán egy jellegzetes lebegés-képet láthatunk az összetevő rezgé­

sekkel együtt.

- Megjegyezzük, ha az összetevők amplitúdói különböznek, az eredő

amplitúdójának "lüktetése" megmarad, csak nem éri el soha a nullát. -

1.2 Egymásra merőleges rezgésekösszetevése

a) Ha a két rezgés egyenlő frekvenciájú, az eredő elliptikus (v. e l­

liptikusán poláros) rezgés lesz.

Legyen a két rezgés

(1.8a-b) x ^ A s in c o t , y = B sin(cot +6).

Az (l. 8a-b) függvények a mozgáspálya xy-sikbeli paraméteres egyenlet­

rendszerének tekinthetők. A szokásosabb alakot az idő-paraméter kiküszö­

bölésével nyerhetjük. Egyszerű számolás után az

(1.9) cos <5 = sin2 <5

összefüggést kapjuk, am i valóban egy e llipszis egyenlete (l. 1 . 6 ábra), any-

nyi e ltéréssel a megszokottól, hogy nem főtengelyhelyzetü. *

* Akinek (1.9) ellipszis voltában kétségei vannak, elemi — bár kicsit hosszadalmas — számolással maga

is elvégezheti a főtengely-transzformációt, megkapva ezzel együtt az a, b ellipszis-tengelyek, vala­

mint a cf szög értékét az A, B és 6 paraméterek függvényében. Tanács a számoláshoz: a transz- formáció egy y szögű forgatás.

- 9 -

A

1 . 6 ábra

Tekintsünk két speciális esetet:

1. A = B és S = (2k + 1) , ahol k = 0 , 1, 2 , . . . . Ebben az esetben

(1.9) egy kör egyenletét adja, ilyenkor c irku lárisán poláros rezgésekről

beszélünk.

2 . ó=k1C , ahol k = 0 , 1 , 2 , . . .D

Az (1.9) egyenlet ezesetben páros k értékekre az y = — x, páratlanokra

Baz y = - — x egyenletekké fa ju l. Ezeket lineárisan poláros rezgéseknek

nevezzük.

- Megjegyzés: Az oszcilloszkóp ernyőjén gyakorlatilag sohasem tudunk szép, ál­

ló helyzetű ellipszist létrehozni; ehelyett az látható, hogy az ellipszis tengelyének mind

a mérete, mind az orientációja folytonosan változik, mintegy nyulva-zsugorodva forog.

Ez annak a következménye, hogy pontosan egyenlő frekvenciákat igen nehéz beállítani, általában = w + £ k a valóságos helyzet ( £ nagyon kicsi). A két rezgést

ekkor az x = Asin cj t, y = B sin [ c ^ t + (£ t + (5 )] formába Írhatjuk, bevezetve az

időben lassan Változó £ t + d "fázisállandót”; aki pedig az (1.9) főtengely-transzfor­

mációját elvégezte, az ezzel már magyarázatot is kapott a problémára. —

b) Különböző frekvenciájú rezgések összetevésekor általában az előbb

tárgyaltaknál bonyolultabb görbék jönnek létre . Ha az összetevő rezgések

frekvenciáinak aránya kis egész számok arányával egyezik meg, a nagyon

dekoratív un. Lissajous-görbék keletkeznek.

Adjuk össze példaképpen az alábbi rezgéseket:

(1.10) x = A sin wt, y = B sin (2 cot + ~ ) = B cos 2 tót.

- 10 -

Az idő-paramétert kifejezve,

x V 2 2 2— = s inco t, = cos tó t - sin cot = 1 - 2 sin cot,A D

és összehelyettesitve kapjuk, hogy a pálya egyenlete parabola.

Az 1.7 ábrán két bonyolultabb Lissajous-görbét mutatunk be.

1.7 ábra

- Az előző alpont végén tett megjegyzésünk itt is igaz; a görbék las ­

sú mozgásának, torzulásának most is az az oka, hogy a pontos frekvencia-

-viszonyokat nem sikerült beáilitani, igy a görbék sohasem záródnak, a

mozgás nem periodikus. -

1.3 Rezgések felbontása. Fourier tétele

Bizonyára sokuknak feltűnt, hogy a rezgések összetevése cim sző alatt

eddig kizárólag csak harmonikus rezgések összeadásával foglalkoztunk, ho­

lott általánosabb definíciót adtunk rájuk. Erre, amellett, hogy ezek a leg­

egyszerűbbek, és könnyen tudunk velük számolni, vagy egy sokkal súlyo­

sabb okunk is, ez pedig Fourier tétele, am it bizonyítás nélkül közlünk:

-11 -

Egy f(t) = f(t + T) periodikus függvény általában e lőállítható a követ­

kező alakban11;

a 0 0

(1 . 1 2 a) f(t) = —~ ^ (a c o s k u t+ b s in k u it)

1 k = l k k

oo

(1 . 1 2 b) = c + I [c sin (ku)t + 6 )] ,

0 k = l K K

ahol 6j = 2 Í t/T , az a^ és b^ együtthatókat pedig az

T T

cos k cot dt, f m sin ku)t dt

0 0

integrálok adják, továbbá c^ = —— , c^

Matematikai táblázatokban igen sok periodikus függvény Fourier sora

megtalálható; közülük kettőt be is mutatunk.

Az 1. 8 a ábra az elektronikában fontos "fűrész-rezgést?' mutatja, m ely­

nek a tora:

az 1 . 8b-ábrán pedig egy négyszög-rezgés képe látható; sora az alábbi:

Az utóbbinál megrajzoltuk a konstans plusz az első három tagtól szárm azó

közelítő összeget. Látható, hogy m ár ez is elég jó l közelíti a függvényt.

A példaként fe lirt soroknál feltűnhet, hogy egyszerűbbek, m int a tétel

kimondásakor fe lirt (1 . 1 2 ) sor. Általában igaz, hogy ha az f(t) függvényre

*A tétel teljesüléséhez az f(t) függvénynek bizonyos megszorításoknak eleget kell tenni (ezért van a ma­

tematikusok jogos rosszalását kiváltó "általában" szó a tétel kimondásában), amelyek azonban annyira gyengék, hogy a fizikai alkalmazásokban elölorduló függvényeknél gyakorlatilag mindig teljesülnek, Így

nem is részletezzük ezeket. Ugyancsak nem vizsgálhatjuk, hogy az (1.12) végtelen sor az f<t) függ­

vény esetleges szakadási helyein hogyan viselkedik. Ezekkel később matematikai tanulmányaik során

részletesen foglalkoznak majd.

f(t)

í(t)cos5t

+ -- —cos7t

7

- 12

bizonyos szimmetria-tulajdonságok teljesülnek, a sor tagjainak a száma

csökken. így p l. ha a függvény páratlan (!. 1 . 8 a ábra), a koszinuszos tagok

együtthatói tűnnek el, páros esetben (1 . 8 b ábra) a szinuszosokéi.

Végezetül tehát, kis túlzással azt állíthatjuk — hivatkozva a Fourier

tételre hogy elegendő ism ern i a harmonikus rezgések tulajdonságait és

a velük való bánásmódot, m ert ezekkel tetszőlegesen bonyolult rezgéseket

is kezelni tudunk.

- 13 -

2. § Rezgések dinamikája

2.1 Harmonikus rezgőmozgás

A harmonikus rezgésekkel a m ú lt félévben m ár részletesen foglalkoz­

tunk, m ost inkább csak a teljesség kedvéért tárgyaljuk megint.

Ha egy testre csak az = - kx rugóerő hat, a mozgásegyenlet:

(2 . la ) m a^ a mic = -kx,

vagy átrendezve:

(2 . 1 b) x + — x = 0 .m

A (2 .1 ) egyenlet differenciálegyenlet, egy függvény benne az ismeretlen, itt

nevezetesen a kitérés-idő függvény. Behelyettesítésével meggyőződhetünk

arró l, hogy a (2 .1 ) egyenlet megoldása az

(2 . 2 ) x = A s in (w t+ < 5 )

harmonikus rezgőmozgást le iró függvény akkor, ha co nem akárm ilyen,

2 khanem co = — . Az A és S matematikai szempontból tetszőleges á l­

landók, konkrét fiz ika i feladatoknál a kezdeti feltételekből határozhatók meg,

am i a (2 . 1 ) egyenletnél többnyire a t = 0 -beli kitérés és sebesség szokott

lenni.

- Noha most Is, és a további két fejezetben is, a differenciálegyenletek felírása­

kor mindig mechanikai problémából ind ílunk ki, vegyik észre, hogy a megoldásfüggvény alakja nem a differenciálegyenletben szereplő fizikai mennyiségektől, hanem az egyenlet

szerkezetétől függ; azaz ha az ittenieket becsületesen megértik, a későbbiek során már szinte munka nélkül arathatnak. Előlegként egy példa, majd a II. évben fog sorra kerül­

ni: Egy csak kondenzátort és önindukciós tekercset tartalmazó un. ideális soros rezgő­

körben a kondenzátor egyszeri feltöltése után induló áramot meghatározó diff. egyenlet 2

+ —— I = C. Ezt (2.1)-gyel összevetve látható, hogy a körben folyó áram az idő-

dtnek szinuszos függvénye. Egyébként a később sorra kerülő (2.3) és (2.7) egyenleteknek

is lesz elektromos-rezgőkör analógja. -

-14 -

2.2 Exponenciálisan csillapodó rezgések

Egészen mostanáig, am ikor egy rugóra akasztott test m ozgását v izs ­

gáltuk, m indig úgy tettünk, m intha nem vennénk észre - legfeljebb azt mond­

tuk, hanyagoljuk e l hogy a rezgések amplitúdója csökken, a mozgás le-

csillapszik. Fordítsuk m ost erre a figyelmünket. Nyilvánvaló, hogy ezt va­

lam ilyen - a konzervatív rugóerő m ellett fellépő — disszipativ kölcsönhatás

okozza. Legtermészetesebb dolog, hogy m ind járt a levegő okozta közegel­

lenállást vegyük gyanúba. (A csillapodásnak nem kizárólagos oka a közeg-

ellenállás, hanem a rugó anyagának a belső súrlódása is jelentős lehet;

csak arra utalunk, hogy ugyanazon test rezgésénél a csillapodás sokkal

erősebb gumi-rugó esetén m int az acélrugónál.) M iután nem túl nagy se­

bességek fordulnak e lő az általunk megfigyelt esetekben, próbáljuk meg a

közegellenállást a Stokes-féle éllenállástörvénnyel (F ~ v) figyelembe

venni.

A súrlódási taggal kiegészítve a (2.1) egyenletet:

(2.3a) m ii = -kx - ex.

Rendezés után az

2(2.3b) x+ 2/3x + tü0x = 0

alakra jutunk, ahol 2 Q = és U>\ = — . (A — = 60 * je lö lés elég r m 0 m m 0 6

természetes, u i. súrlódás nélküli esetben igy kapjuk a (2 . l)-et, a c/m-et

pedig pontosan olyan ok m iatt je löltük éppen 2 (i -val, m int amilyennel a

matematikusok szoktak a határértékszám itásnál £ -hoz S -t választani.

Ti. igy jön ki szépen az eredmény.)

A (2.3) egyenlet elég bonyolult ahhoz, hogy a megoldásfüggvényt ne

egyszerű próbálgatással keressük meg, próbáljunk inkább ötletet nyerni

egy tényleges csillapodási folyamat megfigyeléséből. Az e lm últ félév során,

am iko ra Cavendish-inga torziós lengéseit vizsgáltuk, észrevettük,, hogy

az amplitúdó erősen csökken. Közvetlenül — természetesen — a fénymutató

lineáris rezgéseinek a csillapodását láttuk. Szerencsére film felvételünk is

van e rrő l (az inga igen lassú m ozgása m iatt a felvétel gyorsított); és az

ezen látott grafikont mutatja a 2.1 ábra. E lső észrevétel: egy rezgésre va­

lam ilyen csillap ító tényező ül, második i í ainjditud' nz időnek nem lineá­

r is függvénye. Hogy m ilyen, a r r h a r m a d i k tapasztalat ad választ:

Megmérve az egyoldali maxirh:ilis kiterísek sorozatát, és képezve az

X1 x3 X5~ , — , — ., . . . hányadosokat; jó közelítéssel egyenlő szá llóka t ka-

-15 -

X

2 . 1 ábra

púnk, azaz a kitérések m értani sorozatot alkotnak. Ezt észrevéve m ár

igen erős okunk van annak feltételezésére, hogy a csillapodás exponenciá­

lis . (Aki a m értani sorozat és az exponenciális függvény "köze li rokonsá­

gát" eddig még nem vette észre, az ennek belátása nélkül ne is menjen to­

vább.)

Foglaljuk össze eddigi sejtéseinket az

■»bt f(2.4) x = A e s in (u > t+ ó )

próbafüggvényben, és (nézzük meg, megoldása-e (2.4) a (2.3) egyenletnek.

A behelyettesítést előkészítendő szám ítsuk ki a (2.4) szükséges idő-deri­

váltjait:

x = A e [_ c j cos (w t + 6 ) - b sin (<ot +<5) J ,

x = A e [ (b2 - co2) sin (w t + ó ) - 2bu>cos (tüt )] .

A behelyettesítések és rendezések után kapjuk, hogy (2.4) akkor megoldása

a (2.3) egyenletnek, ha m inden időpillanatban teljesülnek a

- 16 -

2btü - 2 /J o> = 0, b2 - í*)2 - 2 /3 b + u>2 = 0

feltételi egyenletek, am i a

választással kielégíthető. Tegyük még hozzá, a megoldás csak akkor lesz

(2.4) tipusu, ha a csillap ítás elég kicsi, pontosabban ha >¡3 ; ellenke­

ző esetben a megoldás tisztán exponenciális je llegű lesz, ezzel azonban

most nem foglalkozunk.

Végeredményben tehát a (2.3) egyenlet rezgés-tipusu megoldására az

(2.6) x = A e s in (u> t+ S )

függvényt kaptuk, magát a rezgést exponenciálisan csillapodó rezgésnek ne-K w ff

vezzük. A (2. 6 )-bán szereplő ft a csillap itási tényező nevet v iseli, a

többi három paraméter jelentése a szokásos. (2.5b)-ből a rezgés periódus­

ideje is megkapható:

Az egyszeri lökés után magára hagyott rezgő rendszer mozgása m in ­

dig lecsillapszik; ha csillap itatlan rezgéseket akarunk e lőállitani, a disz-

szipálódott energiát m inden egyes periódusban pótolni kell. (Valahogy úgy,

m int am ikor a gyerekeket h intáztatják .) Az ilyen kívülről "kikény szeri tett"

csillapitatlan rezgéseket kényszerrezgésnek nevezzük, am it csavarrugós

rezgőrendszer esetén úgy lehet legkönnyebben létrehozni, hogy a rugó fe l­

függesztési pontját periodikusan föl-le mozgatjuk (2.2 ábra). A probléma

mozgásegyenletét is felírhatjuk, csak arra kell emlékeznünk, hogy a rugó

a hozzákapcsolt testre m indig a pillanatnyi hosszváltozásával arányos erőt

^Megjegyezzük, hogy más módon csillapodó rezgések is vannak, igy pl. a közönséges száraz súrlódás

V

- c ) hatására az amplitúdó lineárisan csökken. Aki nem hiszi, számoljon utána.

T2 Jt

2 .3 Kényszerrezgés; rezonancia

- 17 -

2 . 2 ábra

• ó J //7C7 t í eJ l esetünkben ez a 2 . 2 ábra je lö ­

léseivel Fx = - k [ (x + i 0- J (t)) -

- ( ] . Ennek megfelelően m ódosít­

va a (2.3) egyenletet, az

(2.7a) mx = - k [ x - J ( t ) j - c x

alakra jutunk. Elvégezve a beszorzást:

(2.7b) mx = - kx - ex + kb sincot,

olyan egyenletet kapunk, am i úgy is

tekinthető, m intha az eddig ism ert

két erőn ldvül a tömegpontra még egy

F q = kb amplitúdójú, szinuszosan változó erő is hatna. (Az elképzelés

egyébként annyira jogos, hogy kényszerrezgést igy is létre lehet hozni,

csak a technikai kivitelezése bonyolultabb k issé .) Hozzuk egyenletünket a

szokásos alakra:

(2.7c) x + 2 /Jx + COqX = f0 s in tót,

aholc 2 k . . kb

' m 0 m 0 m

A (2.7c) egyenlet egy megoldásának a megkereséséhez ism ét csak

egy k ísérlet tanulmányozásához folyamodunk. Az erre a cé lra szolgáló un.

Pohl-féle korong (1. 2 .3 ábra) lényegében a 2.2 ábra egyszerű kísérletének

a megfelelője, azzal a különbséggel, hogy ezzel a jobban vizsgálható fo r­

gási rezgéseket állitjuk elő. Az eszköz rezgéseket végző része egy jó l csap­

ágyazott tengelyen forogható korong, amelyhez a tengely körül feltekert

-18 -

spirálrugó kapcsolódik. Ezzel a rendszer a m ár ism ert csillapodó rezgé-r 2 “2

sekre képes, aminek a körfrekvenciája (2 . 5b)-ból: Ws = íCO0 ~ fi ; ne­

vezzük ezt most saját-körfrekvenciának. A kényszerrezgés úgy jön létre,

hogy a rugó m ásik végét hozzáerősitettük egy villanym otorral mozgatható

excenterkarhoz, melynek a rugó fe lö li vége a motor forgásakor harmoni­

kus rezgőmozgást végez. Mind a korongon, m ind az excenter-kar végén

egy mutató van, am i a korong, i l l . az excenter rezgéseinek amplitúdóját

és fázisviszonyukat jó l szemlélhetővé teszi.

Egészen kis fordulatszámmal jára tva a motort (alacsony gerjesztő-

-frekvencia) látható, hogy a korong mozgása követi az excenterét. Növelve

a frekvenciát, a korong-rezgések amplitúdói növekedni kezdenek, viszont

fázisban elmaradnak a gerjesztéstől. Még tovább növelve a frekvenciát, a

korong amplitúdói igen nagyra nőnek m ind nagyobb fáziskéséssel. Egészen

nagy gerjesztőfrekvenciáknál ú jra lecsökken az amplitúdó, a fáziskésés

pedig egészen 180°-ig nő. (Vigyázat: Am it az amplitúdókról és fáziskésé­

sekről mondtunk, az csak az un. stacionárius rezgési állapotra vonatkozik!

Ugyanis a gerjesztő-frekvencia megváltozása után m indig, egy meglehető­

sen kusza mozgás jön létre, amely csak bizonyos lecsengési idő elteltével

megy át periodikus rezgésbe.)

Ennyi k ísérle ti tapasztalat birtokában m ár megpróbálkozhatunk a

(2.7c) egyenlet stacionárius megoldásának a megkeresésével:

(2.8) x = A(co) . sin [tó t - £ (to)] .

A szokványos behelyettesitéses módszer itt is cé lra vezetne (otthon p róbá l­

ják majd ki); mégis inkább a tanulságosabb "forgó vektor"-őst választjuk.

Pontosan úgy járunk el, m int a rezgés-kinematikában tettük: A (2.7c)

egyenlet m inden tagját tO szögsebességgel forgó, megfelelő fázissa l b iró

vektorral reprezentáljuk, igy a "kitérés-vektor" hossza Aco^, a "sebes­

ség-vektor" ehhez képest 7c/2-lel siet és a hossza 2 A ¡3u, a "gyorsulás-

2-vektor" további JÜ/2-lel já r a sebesség előtt és a hossza Au) (1 .2 .3 a

'fí'ábra). (A fáziskülönbségek a cosx = (sinx)’ = sin (x + -£) és a -sinx =

= (sinx)" = sin (x + JT) összefüggésekből következnek.) E három vektor

összegének minden időpillanatban meg kell egyezni az f^ hosszúságú

"gerjesztőerő-vektorral". Ennek megfelelően az amplitúdó:

(2.9) A(co) = ---- °2 2 2 2 2 ’

(&» - co ) +4/3 W

a fáziskésés:

-19 -

X

2 . 3/a ábra

(2 . 10) . . . 2/3u)ó (cj) =; arctg — 1— - •

CJn - CJ

A (2 . 8 ) tehát az A(u>) és 6 (¿o) fenti választása mellett a (2.7) differen­

ciálegyenlet stacionárius megoldását szolgáltatja.

- Megjegyzés: Aki m ár többet tud a differenciálegyenletekről, az azt

is hallotta, hogy egy másodrendű lineáris egyenlet általános megoldása két

tetszőleges állandót is tartalmaz; ilyen pedig a (2 .8 )-ban nincs, ijedtségre

azonban nincs ok, m ert ez csak egy un. partikularis megoldás. A (2.7)

egyenlet általános — két tetszőleges, a kezdeti feltételekhez illeszthető ál­

landót tartalm azó - megoldása az > fi feltétel mellett a ^ . 6 ) és

(2. 8 ) függvények összege. Hogy a (2 .6 ) + (2. 8 ) függvény kielégiti a (2.7)

egyenletet, könnyen belátható; hogy más megoldás nincs, azt m ajd m ate­

matikában bizonyítják. Egyébként ez a magyarázata a kezdeti kusza berez-

gésnek is , ugyanis a (2 . 6 )-ből szárm azó exponenciális járu lék zavarja ösz-

sze időlegesen a stacionárius állapotot. -

V izsgáljuk meg, hogy a megoldásként talált függvény összhangban

van-e k ísérleti tapasztalatainkkal. Ebből a célból a 2 .4 ábrán megrajzoltuk

az A(6»>) amplitúdó- és a á (cj) fáziskésés-függvényeket két különböző

cs illap itási tényező m ellett. Ha összevetjük az ábra grafikonjait a Pohl-

-korongnál tapasztaltakkal, az egyezés megnyugtató. Nagyon érdekes az

amplitúdó viselkedése: Nem túlságosan nagy cs illap itási tényezők esetén a

görbe határozott m aximummal rendelkezik, valahol az csillapitatlan

körfrekvencia közelében; a maximum pedig annál kifejezettebb, m inél k i­

sebb a csillap ítás . A kényszerrezgés amplitúdójának ez a viselkedése a

rezonancia nevet viseli, a maximumhely frekvenciája a rezonancia-frek­

vencia, sőt vannak, akik az A(ío ) függvényt magát a rezonancia-görbe név

vei ille tik .

- 20 -

Első p illantásra a rezonancia-jelenségben van valam i meglepő. Ho­

gyan lehetséges az, hogy a rezgő-rendszer am plitúdója a kényszerítő rez­

gésének sokszorosára is növekedhet? A magyarázat a következő: Elég kis

cs illap itási tényezők m ellett ( ' igazi" rezonancia egyébként is csak ilyen­

kor jön létre) — m int az a 2.4a 111. 2.4b ábrán látható — cú ^ és a

rezonanciabeli fáziskésés íiT/2. Ezek szerint a gerjesztőerő (F^ =

= F^ sin co^t) m indig fázisban van a rezgő-rendszer sebességével

- 21 -

(x = [ A sin ( cor t - )] = (-A cos u ^ t ) ’ = A £Or sin íO^t), am i azt

jelenti, hogy azon a kényszererő m indig pozitív munkát végez, állandóan

növelve ezzel az energiáját. Színesebben mondva: a rendszer "energia-ak­

kumulátorként?' működik. Ez a növekedés addig tart, m íg a kezdetben elha­

nyagolható súrlódás és a vele já ró energiadisszipáció a rezonanciaesetben

fellépő igen nagy sebességek m iatt fölerősödve (F = - ex) ennek véget nem

vet. 8

- Az előbb elmondottak szerint m agától értetődő, m ire lehet a rezo­

nanciát felhasználni. Az igen kis intenzitású periodikus hatások a rezonan­

cia révén felerősithe tők, csak az alkalmas sajátfrekvencíáju rezgő-rend­

szert kell megkeresni hozzá; p l. igy sikerült Eötvösnek kimutatni a Coriolis-

erő "sulycsökkentő-növelc? 1 hatását (Eötvös-effektus), vagy - am it m ajd II.

éven tanulnak — ezen alapul a rádióvétel stb. Természetesen megfordítva

is igaz; ha egy objektumot periodikus erőhatások érhetnek, tervezésüknél

ügyelni kell arra , hogy sajátfrekvenciája (vagy sajátfrekvenciái?!) ne es-

sen(ek) egybe a várható kényszer-frekvenciákkal, elkerülendő az ilyenkor

fellépő káros berezgéseket, esetleg akár baleseteket is . Mondják, ezért

nem szabad a katonaságnak lépést tartva hidon átvonulni. Díszmenet m ia t­

ti h idösszeom lásról ugyan nincs tudomásunk, de hogy periodikus hatások

okozhatnak "rezonancia-katasztrófát?1, azt az egyesült államokbeli Tacoma-

öböl hídjának esete m utatja. -

2 .4 Csatolt rezgések

Az eddigiekben m indig csak egy rezgő-rendszer m ozgását vizsgáltuk.

(Félreértés ne essék, igy volt ez a kényszerrezgésnél is; a kényszererő

fo rrása ugyanis teljesen független a rendszertő l.) Felvetődik, m i történik

akkor, ha a rezgő-rendszerek "érzik?' egymás hatását. A legegyszerűbb

ilyen un. csatolt rendszert két sik-ingából rakhatunk össze a 2 .5 ábrán

látható módon. A csatolást az ingákat összekötő fonalra akasztott teher

b iztosítja .

Hozzuk lengésbe az egyik ingát. Néhány lengés eltelte után m ár lá t ­

ható, hogy a kezdetben nyugalomban hagyott inga egyre nagyobb amplitúdó­

jú lengésbe kezd, ugyanakkor a m ás ik amplitúdója egyre csökken, egészen

a mozgás állapotok teljes felcserélődéséig; azután kezdődik az egész e lö l­

rő l. Az egyes Ingák amplitúdóinak időfüggése teljesen megegyezik az 1 .5

ábrán látható lebegéssel. E lebegés frekvenciája változtatható, kísérletünk­

ben p l. a csatolást létrehozó súly megváltoztatásával (nagyobb súly <=>

szaporább lebegés és fordítva).

-22 -

© ©

V2 .5 ábra 2 . 6 ábra

Általában, bárhogy is indítjuk az ingákat, az előbb le ir t lebegés m in ­

dig tapasztalható; van azonban két kivétel; Ha az ingákat 0, vagy 7T fáz is ­

különbséggel inditjuk, a m ozgásállapot állandó m arad (1. 2 .6 ábra). Ilyen­

kor az amplitúdók nem változnak, a rendszer tagjai harmonikus rezgőmoz­

gást végeznek. Ha elég figyelmesek vagyunk, még az is látható - stopper­

re l akár meg is m érhetjük —, hogy ehhez a két un. saját-állapot-hoz tarto­

zó lengésidők különböznek(esetiinkben a TC fáziskésésüé a kisebb)11. E leg­

utolsó észrevételünk több m int érdekesség, jelentőségét az alábbi, bizonyí­

tás nélkül kimondott tétel mutatja.

Tétel: Egy tetszőleges kezdeti feltételek m ellett indított csatolt rend­

szer tagjainak mozgását le iró függvény e lőállítható a saját-rezgések m eg­

felelő amplitúdóval vett összegeként.

A bizonyítás lényegében a rendszer tagjaira fe lir t mozgásegyenletek

megoldása és ezek diszkussziója lenne. Az egyenleteket ugyan még fel tud­

nánk Írni, azonban ezek egy un. csatolt differenciálegyenlet-rendszert szol­

gáltatnának, am ivel m i még nem tudunk boldogulni. Hogy állításunknak

azért van valam i köze az igazsághoz, az is mutatja, hogy a m ért saját-len-

gésidőkből a lebegés frekvenciája m egjósolható(?).

E lm életi felkészültségünk hiányában inkább kísérletezzünk. Csatol­

junk az előbbi két szabadsági fokú és — a tapasztalat szerint — két saját-ál-

lapotu rendszerhez egy harmadik tagot. Az igy kapott három szabadsági

fokú rendszerhez három saját-állapotot találunk. Rögtön fö lm erül a gyanú:

Hátha teljesül ez az egyezés továbbra is, egészen a nagyon sok (netalán

végtelen) szabadsági fokú rendszerekre? Ezeknek a tanulmányozása azon­

ban m ár átvezet a következő fejezetbe.

A saját-állapot vagy más néven saját-rezgés fogalmakat érdemes jó l megjegyezni, ezek ugyanis a f i­zika modernebb fejezeteiben fundamentális jelentőséget nyernek majd.

- 23 -

Rugalmas hullámok

Kezdjük vizsgálatainkat egy sok tagból álló, erősen csatolt ingasor­

ra l. Meglökve az egyik szélen levő ingát, látjuk, hogy az ingák szép sorban

egymás után kilendülnek. Úgy Is megfogalmazhatjuk a látottakat, hogy a "k i-

lendülés" végigfutott az ingasoron; sőt ha sikerült a sort egyforma ingák­

ból, egyforma erős csatolással elkészíteni, még az is érzékelhető, hogy a

futás sebessége egyenletes. Még egy érdekes dolgot lehet megfigyelni:

A zavar az ingasor végigfutása után visszafordult, és ez mindig, bekövetke­

zett akár, ha szabadon mozoghatott a legszélső inga, akár, ha rögzítettük.

Legjobban talán úgy jellemezhetjük a látottakat, hogy az ingasor tag­

ja i önállóságukat alig megőrizve vettek részt a mozgásban, sokkal inkább

emlékeztettek valam iféle rugalmas folytonos közeg viselkedésére.

Nézzünk akkor hát egy ilyet. Nagyon alkalmas erre egy több méter

hosszú spirálrugó, de megteszi egy elég vékony gumicső is . E lőször feszít­

sük meg a rugót, majd rövid, határozott mozdulattal üssünk rá . Az ütés

következtében keletkezett zavar (egy "behomorodás") jó l érzékelhetően

egyenletes sebességgel végigfut a rugón, a végéről visszaverődik, és né­

hány oda-visszafutás után — minden bizonnyal energiadisszipáció m iatt ~

fokozatosan elhal. Ugyanezen a rugón más módon is kelthetünk rugalmas

zavart: Ha hossz-irányban megrántjuk, egy ’’ritkulás" az, am i egyenletes

sebességgel fut végig és verődik oda-vissza a rugón.

Mindkét kisérletünknél az alapvető tapasztalat valam iféle zavar egyen­

letes végigfutása a rugalmas vezetőn. Hogy a zavar nem tömeggel b iró

anyagdarabok futása, az magától értetődő, hiszen végül is a rugó helyben

marad, hanem m indkétszer egy "deform áció", vagy részletesebben, egy a

nyugalmitól különböző deformációs állapot mozgását tapasztaltuk, azaz a

rugalmas közeg minden darabja sorra felvette a zavarkeltés helyén lé tre ­

hozott k itérést vagy megnyúlást.

Hasonló jelenségeket többdimenziós közegekben is megfigyelhetünk.

Sima vízfelületre követ ejtve látható, hogy a vízfelület egyre távolabbi pont­

ja i hogyan érz ik meg a becsapódáskor keletkezett zavart. Mindenki tudja,

hogy a hang terjedéséhez idő kell; ezt többek között a "v isszhang"-jelensé­

géből, vagy a v illám lás utáni dörej késéséből tudhatjuk. Ne zavarjon sen­

- 24 -

kit, hogy a hangnál a terjedő állapotot nem látjuk, m ert érzékeny manomé-

terrel kimutatható itt is, m in t nyomásváltozás.

Foglaljuk össze eddigi tapasztalatainkat: Ha egy rugalmas közeg va­

lamelyik pontját megzavarjuk (az egyensúlyt felborítjuk), a közeg minden

pontja végigéll a zavart, mégpedig annál nagyobb időkéséssel, m inél mesz-

szebb van a gerjesztés helyétől. Az ilyen tipusu mozgásokat összefoglalóan

hullámmozgásnak nevezzük, a zavarterjedést magát hullám nak. Mivel a

hullám szó hallatán hajlamosak vagyunk csak a tartós gerjesztésü — egyéb­

ként valóban kiemelkedő fontosságú - periodikus hullámokra gondolni, ezért

engedményt téve a megszokásnak, az első két példához hasonló, rövid ger-

jesztésü nem-periodikus zavart lökéshullámnak is hivjuk.

Hogy m i nem terjed a hullámban, azt m ár tisztáztuk, fennmaradt

viszont a kérdés, hogy az állapot terjedése közben végül is m ilyen fiz ikai

mennyiségek transzportálódnak. Rövid gondolkodás után rájöhetünk, hogy

a keresett mennyiségek az energia és az im pulzus. Az e lső magától érte­

tődő, hiszen a közeg részecskéi sorra mozgásba jönnek (kinetikus energia),

i l l . a közeg darabjai egymás után deformálódnak (rugalmas potenciális ener­

gia); a m ásodik is hihetővé vá lik annak, aki megfogja a hullámvezető végét,

és érzi a rántást, am ikor a lökéshullám a kezéhez ér.

Még egy dolog m iatt idézzük v issza az e lső két kísérletet. Amikor a

zavart a rugóra ütve holtuk létre, a lökéshullám terjedése közben a rugó

részecskéi a hullám terjedési irányára merőlegesen tértek ki; az ilyen m ó­

don terjedő hullámokat transzverzálisnak nevezzük. Transzverzális hullám

csak sz ilárd testben keletkezhet, u i. a gerjesztés mechanizmusából követ­

kezően a deformáció ny irás i tipusu, ilyen pedig csak sz ilárd testben jöhet

létre. * A m ásodik kísérletnél - am ikor megrántottuk a rugót — a deform á­

ció ritkulás volt (lehet sűrűsödés is), ekkor a részecskék elmozdulásának

iránya megegyezett a terjedéséével; az ilyen hullámokat a longitudinális

jelzővel ille tjük . M iután minden közegre je llem ző a térfogati rugalmasság,

longitudinális hullám bárm ilyen anyagban kialakulhat.

Első pillanatra a viz felületi hullámai is transzverzálisaknak látszanak. Az igazság, hogy nem azok,

sőt még csak nem is rugalmas természetűek, keletkezésükért és terjedésükért a gravitáció és a felü­

leti feszültség a felelős. Hogy mégis gyakran hivatkozunk rájuk és használjuk őket demonstrációs célok­

ra, annak egyrészt könnyű előállithatóságuk az oka, másrészt közismertségüknél fogva szintén az egész jelenségkör szimbólumává váltak.

3. § Lökéshullámok

3.1 Terjedési sebesség

Az egész hullám tani témakör talán legfontosabb mennyisége a terje­

dési sebesség. Hogyan határozzák meg ezt a rugalmas közeg adatai (sűrű­

ség, rugalmas állandók)?. Az ennyire általánosan feltett kérdésre nagyon

nehéz választ adni, olyannyira, hogy elm életi fiz ika i tanulmányaik során

is csak homogén és izotrop közegekre fogják a problémát megoldani.

Lehetőségeinknek megfelelően m i szerényebb programot tűzünk ki:

Szám ítsuk ki a sz ilárd rudban, folyadékban és gázokban terjedő longitudiná­

lis , i l l . a kifeszitett húrban terjedő transzverzális zavar sebességét a köze­

gekre je llem ző adatokból úgy, hogy k ísérleti tapasztalatainkra hovatkozva

eleve feltételezzük a sebesség állandóságát.

3 .1 .1 T ranszverzális zavar terjedése húrban

Vegyünk egy gumikötelet vagy fémdrótot, és huzzuk ki jó feszesre.

Tapasztalat szerint az ilyen szálszerü testek csak akkor "hajlandók" a hu l­

lámvezetésre, ha bizonyos alapfeszültség van bennük; mondhatni az előfe-

szités teszi őket hurrá.

Kezdjük el huzni a gumikötél egy pontját (lehetőleg távol a kötélvé­

gektől) állandó v sebességgel, a kötélre merőleges irányban. Az egymás

utáni pillanatfelvételek— kissé idealizálva — a 3.1 ábrához hasonló képet

mutatnak: A kötél m ár mozgásba jött részei állandó v sebességgel mozog­

nak, a m ár mozgó és a még nem mozgó részeket elválasztó határ, a "hu l­

lámfront?' állandó c sebességgel halad. (Most használtuk ki a kísérleti

tapasztalatot!) Az A keresztmetszetű, g sűrűségű kötél teljes im pulzu­

sa az ábrán je lö lt pillanatban

p = 2 ct A 9 v,

ebből az impulzus A t idő alatti megváltozása

A p = 2 c A ^ v A t .

Az egyenletes sebesség fenntartásához a kötél mozgatott pontjára (a kötélre

merőlegesen) az impulzustétel szerint akkor

- 26 -

t - o

tg# *ST

(3.1) F = | ^ | = 2A<pvc

nagyságú erővel kell hatni. (Vigyázat; "az állandó sebesség fenntartásához

szükséges eró1' nem tévedés, u i. a kötél egyre nagyobb része kapcsolódik

be a mozgásba!)

A m ár egyszer mozgásba jö tt kötéldarab impulzusa nem változik, az

ebből gondolatban kivágott darabra ható erők (az általunk kifejtett F erő

és a szomszéd kötéldarabok által kifejtett két kötélirányu, F^ nagyságú

erő) eredője nulla. A 3.1 ábra szerint ebből

(3.2) F = 2 F 1 sínií-

következik.

A kivágva gondolt darab a hatás-ellenhatás törvénye szerint ugyan­

csak F nagyságú erővel húzza a szomszédait. A jobb o ldali szomszédra

ható erőket is feltüntettük a 3.1 ábrán; F^-lal az alapfeszültséget létreho­

zó erőt je löltük . Az ábra segitségével beláthatjuk, hogy

(3.3) F cos = F fl,

- 27 -

hiszen a k ira jzo lt (jobb oldali) hurrész impulzusának vízszintes komponen­

se nem változik . A (3.2) és (3.3) egyenletekből

következik. A c terjedési sebesség a (3. 5) eredmény szerint nem függ a

v részecske-sebességtől, azaz nem függ attól, hogy m ilyen a zavar; sőt

javasoljuk, e llenőrizzék otthon (3.5) helyességét egy olyan esetre, am ikor

a gerjesztés m ár megszűnt, és egy háromszög-alaku, "elszabadult" zavar

mozog c sebességgel.

- Eredményünk azonban csak akkor igaz, ha a v /c hányados olyan

kicsi, hogy a zavarkeltés következtében létrejött megnyúlás m iatti

többlet-feszültség sokkal kisebb a = F q/A alapfeszültségnél; e llen­

kező esetben p l. m ár a harántösszehuződást is figyelembe kell venni. -

3 .1 .2 Longitudinális hullám rudban vagy húrban

Ha egy rúd végére nagytömegű kalapáccsal ráütünk, egy kis ideig a

kalapács és vele együtt a rúd szélső keresztmetszetének a m ozgását á llan­

dó sebességűnek tekinthetjük. A zavar terjedése a rudban a 3.2 ábra sze­

r in t képzelhető el. A kalapács v sebességgel tolja a rúd végét, a rúd egy

részének darabjai ugyancsak v sebességgel mozognak jobb felé, m ig a

többi rud-részek még nem vettek tudomást a zavarról; a két tartományt

e lválasztó keresztmetszet (a hullámfront) c sebességgel halad jobbra.

- Hasonlóan a 3 .1 .1 pontbeli esethez, a külső erő hatására most is

úgy növekszik a test impulzusa, hogy egyre nagyobb darabja veszi fel a v

sebességet, nem pedig úgy, hogy a m ár mozgó darabok még tovább gyor­

sulnak. -

(3.4)

a (3.1) és (3.4) összefüggésekből pedig

azaz

(3.5)

<3 = E £ = E = E ( |f 1 + v2 /c 2 - 1)ct

- 28 -

• r

3 .2 ábra

A 3.2 ábrából leolvasható a rúd hullám frontig terjedő szakaszának a

relatív összenyomódása,

vt v

ct c *

ebből Hooke törvénye szerint a (nyomó) feszültség

6 ' = E t = E — , c

am iből az A keresztmetszetű rúdra a kalapács által kifejtett erő

(3.6) F = A © = AE — .c

Hogy az impulzustételt felhasználhassuk, előbb megkeressük a rúd t idő

alatt kapott impulzusát, am i p = A § > v c t ( 9 a rúd sűrűsége). Az idő­

egységenként! impulzusváltozás egyenlő a kalapács által kifejtett (3.6) sze­

rin ti erővel, azaz

A p v c = AE — , r c

am iből a longitudinális hullám terjedési sebessége rugalmas sz ilárd rud-

ban

- 29 -

Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha nem nyomjuk, hanem huzzuk a rúd végét.

A (3.6)-os form ula jő a húr longitudinális hullám aira is, a különbség a rud-

hoz képest csak annyi, hogy a húr (longitudinálisán) csak húzással gerjeszt-

hető.

3 .1 .3 Longitudinális hullám folyadékban és gázban

Merev falu csőbe zárt folyadékot (gázt) tekintsünk, a cső egyik végét

dugattyu zár ja le . A zavart a dugattyu állandó v sebességű benyomásával

hozzuk létre (3.3 ábra). Gondolatmenetünk az előző pontbelihez nagyon ha­

sonló; a hullám frontig terjedő

anyagdarab relatív térfogatválto­

zása a m últ félévben tanultak sze­

r in t

AV 1

(3.7) y = " ~K ^ P’

ahol A p a nyomásnövekedés, K

a kompresszió-modulusz. A (3.7)

segítségével kifejezhető az A ke-

i c t _______ j resztmetszetü dugattyu által a kö-

' zegre kifejtett erőtöbblet

3 .3 ábra

F = A A p = AK ( - ) = AK ,

m ajd az impulzustétel felhasználásával ( g ism ét a sűrűség)

AK — = A ű ve,c 3

melyből a v izsgált közegekben terjedő longitudinális hullám sebessége k i­

fejezhető:

A (3. 8 ) sebességképlet folyadékokra a jó közelítéssel állandó kompresszió-

-moduluszuk m iatt véglegesnek tekinthető, viszont a gázoknál a kifejezetten

nyomásfüggő K következtében további részletezésre szoru l. Ehhez bizo­

nyos hőtani ismeretekre lenne szükségünk, így a kapott form ula további tag­

la lására m ajd később térünk vissza.

-30 -

3.2 A hu llán függvény

Az előző pontokban a terjedési sebesség form ulá it a legegyszerűbb

zavarok (lökéshullámok) terjedésére vonatkozó gondolatmenettel vezettük

le, de a végeredmény a pontosabb elmélet és — számunkra m ost ez a hoz­

záférhető - a tapasztalat szerint is bárm ilyen je llegű zavar terjedési se­

bességére érvényes. (Annyi m egszorítással természetesen, hogy érvényes­

ségi határuk addig terjed, ameddig a kiszámolásukhoz felhasznált lineáris

Hooke-törvényé.) Eddig nem nagyon érdekelt bennünket, hogy a zavarter­

jedés közben az egyes közegpontok hogyan mozognak egymáshoz képest, az ­

az nem vizsgáltuk, m ilyen függvény ir ja le hullám terjedést. Próbáljuk

most ezt megkeresni.

3 .4 ábra

A 3 .4 és 3 .5 ábrán két különböző kitérés-időfüggvény szerint m ozga­

tott pontból szétterjedő zavar képe látható különböző pillanatokban, egydi­

menziós közeg (rúd, kötél, csőbe zárt folyadék s tb .) esetén; m indkét eset­

ben külön m egrajzoltuk a gerjesztett pont kitérés-idő függvényét is . Látha­

tó, a közeg m inden pontja végigcsinálja ugyanazt a kitérést, m in t a zavart

inditő pont (a hullámcentrum), de a távolságának és a hullám terjedési se­

bességének megfelelő idővel később. Ha a hullámcentrum kitérése az idő­

nek

£ (t, x = 0 ) = f(t)

alakú függvénye, akkor a tőle x távolságban levő közegpont kitérése az idő

függvényében

(3.9) f ( t , x) = f ( t-

31 -

{ X

r/4

2TH

azaz ez a pont egy adott pillanatban olyan állapotban van, m in t a hullámcent­

rum volt x/c idővel ezelőtt. Ily módon a hullámban a közegpontok k itéré­

se az idő és_a hely függvénye. (Ugyanigy a sebesség, nyomás, feszültség

s tb .) A zavart je llem ző mennyiséget megadó függvényt (amely tehát az időn

kivül a helytől is függ) hullámfüggvénynek nevezzük, a függvény argumen­

tumát a hullám fázisának.

Ha x előjelezett távolság, azaz helykoordináta, akkor a (3.9) függ­

vény "jobbra" haladó hullámot jelent. "B a lra " haladó hullám nál a kitérés

m int a hely és idő függvénye

(3 .9a)

alakú. Természetesen a kitérés ( f ) helyett bárm ilyen "hullám zód mennyi­

seget gondolhatunk; am it mondtunk, akkor is igaz.

3 .3 Energiaterjedés lökéshullámban

M ár e fejezet bevezetőjében megállapítottuk, hogy hullám terjedés köz­

ben energia és impulzus transzportálódik. Ebben a pontban az energia- (és

részben az impulzus-) terjedési viszonyokat fogjuk elemezni.

A könnyebb áttekinthetőség kedvéért vizsgálatainkhoz — talán a lehető

legegyszerűbb esetet — egy húrban terjedő háromszög alakú pulzust vá lasz­

tunk (1. 3 .6 ábra), a kérdést úgy feltéve^ hogy m ilyen módon és mennyi

energiát szá llit a zavar. A kérdés első részére elég könnyű a válasz: a húr

darabjai sorra egymás után v sebességgel kilendülnek, m ajd ugyanakkora

- 32 -

3.6 ábra

nagyságú, ellentétes irányú sebességgel a zavar leszálló részében v issza­

térnek az egyensúlyi helyzetbe (l. 3.6 ábra); igy a transzport egy része k i­

netikus energia form ájában történik. A szállíto tt teljes energia m ásik ré ­

sze rugalmas potenciális energia, m ivel a húr - ahol a zavar éppen fut -

deformálva (nyújtva) van. M iután a hurrészek egymás utáni kilendülése és

deformálódása maga a rugalmas zavar, az energiaszállítást úgy képzelhet­

jük el a lökéshullámnál, hogy egy "adag" kinetikus és egy "adag" potenciális

energia fut végig a húr mentén c sebességgel.

Az alább következő rövid számolás után a kérdés m ásodik (mennyisé­

gi) részére is választ adhatunk. M iután a húr egészének deform áció járól és

sebességéről nem beszélhetünk, csak a húr egyes darabjaiéról, igy célsze­

rű a teljes szállíto tt energia helyett a húr adott pontjainak energiasürüsé-

gét meghatározni; ebből egyrészt az egész is meghatározható, m ásrészt

- am i a fontosabb - az igy kapott eredmény (majdnem) tetszőleges alakú za­

varra is igaz, lévén a "sűrűség" pontbeli tulajdonság.

Egy g (tömeg)sürüségü, v sebességgel mozgó folytonos közeg u^

kinetikusenergia-sűrüsége (mint p l. a folyadékok áram lásánál is)

a csak nyújtott test rugalmas potenciálisenergia-sűrűsége a m últ félévben

tanultak szerint

(3.10a)1 2

(3 .10b)

- 33 -

ahol E a közeg Young-modulusza, £ a relatív deformáció. Az sűrűség

meghatározásához a zavar alátti hurrész deformációját szám ítjuk ki előbb

(jelölések a 3 .6 . ábrán): a nyugalmi, t az előfeszités utáni, t ' a

zavar által deformált hossz; d-vel a legnagyobb kitérést je löltük . A húr

"megzavart" részének alapdeforir. ációj a :

l - t .^ 0 =

teljes deformációja pedig

í - l

£ - —

Ez utóbbit tovább alakítva

S =

( f i +d2/ l 2 - í

(A gyökös kifejezést a kis x-ekre igaz ^1 + x * 1 + |- x közelitő fo r­

m ulával küszöböltük ki, ezzel egyben azt is eldöntöttük, csak olyan esetek­

re igaz a meggondolásunk, ahol d « 2, am i egyben a v « c m egszorítást

d vis je lenti, ugyanis a 3 .1 .1 pontban mondottak szerint j = — .) Folytat­

va az alakítgatást c

i - l ,£ =

1 d2

+ 2 p 2‘■Q

2

(1 + £ 0 ) ~ C 0 + 2 V •c

A számolás során még egy elhanyagolást tettünk: az alapdeformációhoz ké-

2pest a hullám okozta járu lék csak korrekció, — £ , , továbbá £ << 1 ,

v2 2 c 2Így ~ 2 a ^ 2 n iellett elhanyagolható. A (3.10b)képlethez az £

c c

- 34 -

mennyiségre van szükségünk, am i az előbb megbeszélt közelítés szellem é­

ben

- 2 2 v2

£ ’ £o + e0 1-C

Ha az energlasürüség zérus-pontjául az £ Q deformációju helyzetet választ­

juk, az potenciális energia-sürüségre az

1 v2

<3*U ) Up = 2 E £ 0 1c

form ulát kapjuk. M ár ez is értékes eredmény, azonban ha a (3.11)-es k i­

fejezést a & = E Hooke-törvény, és a (3 .5)-ös sebességformula

(- ff) felhasználásával átalakítjuk, egy igen érdekes és fontos ösz-

szefüggésre jutunk:

(3.12, u = \ E e 0 4 - J s>*2 - vc

Azt kaptuk tehát, hogy a c sebességgel futó rugalmas zavar esetén a hul­

lámvezető közeg kinetikusenergia- és potenciálisenergia-sűrűsége - a tett

közelítések m ellett - egyenlő. (Tessék megfigyelni, ezek az elhanyagolá­

sok ugyanazok, m int amelyekkel m ár a sebességformulákhoz vezető számo­

lásoknál is éltünk.) A (3.12) eredmény nagyon egyszerűen általánosítható

longitudinális zavarra is: A potenciálisenergia-sűrűség most is 1/2 E £ 2;

Vebben az esetben a relatív deformáció £ = - (lásd a 3 .1 .2 fejezetet),

2ezt behelyettesítve és felhasználva a c = E /g összefüggést, azonnal adó­

dik az Up = u^ egyénlőség.

Az energia-sűrűségek ismeretében most m ár meg tudjuk mondani,

hogy a háromszög alakú zavar összesen mennyi energiát s zá llít . Hivatkoz­

va a (3 .12)-es, összefüggésre, az U teljes energia

(3.13a) U = 2 lim l u , AV . = 2 / u dV vagy ü => 2 / u, dV,

AV -*0 Pl 1 J P ' ki V v

ahol az integrálás a hullámvezető közeg teljes térfogatára terjed ki. Az á l­

talunk tárgyalt esetben m ég egyszerűbb a helyzet; a zavar m inden pontjá-

- 35 -

bán egyenlő energia-sűrűségek m iatt a szállíto tt teljes energia

(3 .13b) U = 2 uR V = 2 . | £ v* . 2 £ A = 2 m v2

(A a húr keresztmetszete, m pedig a "m egzavart" rész tömege).

A teljes energia mellett fontos lehet még az energiatranszport időbe­

li viselte dése is. A kérdést pontosabban feltéve: a húr egy kiválasztott ke­

resztmetszetén időegységenként mennyi energia áram lik át, azaz mekkora

az energiaáram ? A húr egy adott helyén A t idő elmúltával az időszakasz

kezdetén tőle c A t távolsággal hátrább levő állapot je lenik meg, igy a

kiválasztott keresztmetszeten az időszakasz alatt a cA tA térfogatú hasáb

teljes energiája áram lik keresztül. Ennek megfelelően a J energiaáram

u c AtA(3.14) J = A t " = ucA,

ahol u a teljes energia-sűrűséget (u = u + u ) je lenti. Értelmes dolog azK p

energiaáram felületegységre eső részét meghatározni — e mennyiségnek a

többdimenziós hullámoknál van fontos szerepe —, bevezetve ezzel az ener­

gia áram -sürüs égé t:

(3.15) j = = uc .

- A m ásik transzportálódó mennyiségnél, az im pulzusnál ugyancsak

bevezethetnénk — analóg módon az energiához — a sűrűség, áram , áramsü-

rüség mennyiségeket; értelmezésüknél csak arra kellene ügyelni, hogy az

impulzus vektor. M iután a későbbi megfontolásainkhoz ezekre a mennyisé­

gekre nem lesz szükségünk, továbbá bizonyos matematikai je llegű problé­

m ák is fellépnének (pl. az impulzus árán;-sűrűség tenzornak adódna), igy

ezekkel nem foglalkozunk. -

3.4 Interferencia; hullámok visszaverődése

A természetben igen gyakran előfordul, hogy a tér egy pontjában több

hullám találkozik; ilyenkor a kialakuló hullámképet (eredő kitérést) együt­

tes hatásuk hozza létre. Ezt a jelenséget a hullámok interferenciájának ne­

vezzük. Ugyanezt jelenti, csak állitm ányi formában kifejezve: A találkozó

hullámok interferálnak egymással.

- 36 -

Bizonyára megszokták m ár, m inden ilyen esetben a következő kér­

dés szokott felmerülni: Az együttes hatásra kialakuló zavar összerakható-e

— s ha igen, m ilyen e ljárássa l — az egyedi zavarokból? Nos, valószínűleg

mindannyian nagyon meglepődnénk, ha kiderülne, hogy a hullámok találko­

zásakor nem a lineáris (zavartalan) szuperpozíció valósulna meg, azaz az

eredő k itérést nem a ^ (x, t) = J £ (t, x) e ljárás szolgáltatná (Lanem

Az mindenesetre nem árt, ha megnézünk egy kísérletet, előzetes v á ­

rakozásunkat megerősítendő. Egy hosszú, hullámvezető spirálrugóra m ért,

két egyidejű és egyirányú ütés után két transzverzális zavar (behomorodás)

keletkezik, melyek állandó sebességgel futnak egymás felé. Amikor egymás­

ra szaladnak, a teljes átfedés pillanatában jó l látható, hogy a zavar k itéré­

se megnövekszik, majd a két homorodás szétválik, és eredeti nagyságban

futnak tovább. Azt persze túlzás volna állítani, hogy a kitérések egyszerű

összeadodását láttuk, annyi viszont mindenesetre igaz, am it észleltünk,

az ennek nem mond ellent.

Fogadjuk most el munkahipotézisként — rövidesen egy egyszerű példán

be is látjuk —, a hullámok találkozásakor a kitérések lineárisan összegeződ-

nek. A 3.7 . ábrán hipotézisünknek megfelelően megrajzoltuk két teljesen

egyforma, háromszög-álaku zavar szuperpozícióját különböző fázisokban.

Minden fázis a lá megrajzoltuk a "zavarban" levő hurrészek sebességét is .

Fontos észrevétel: ahol az interferencia következtében a húr egy darabja

vízszintessé összegződik, ott a sebesség az eredetinek kétszerese, ahol

viszont kétszeres meredekségüvé szuperponálódott, ott a sebesség nulla.

A deformáció alakulását külön nem adtuk meg, ez az ábráró l is jó l leo l­

vasható; a vízszintes szakaszok deformációja nulla, a kétszeres meredek-

ségüeké kétszeresére nő.

Ennyi előkészítés után visszatérhetünk a szuperpozíció lineáris vo l­

tának a belátására. Ehhez csak az energia- és impulzusmegmaradást kell

feltételeznünk, továbbá, hogy az egymásutáni interferenciaképek az előzők

folytonos torzulásából keletkezhetnek, azaz ha csak kis idő telik el, a hul­

lámkép is csak kicsit változhat. Ezek után m ár könnyen bebizonyíthatjuk,

a fentebb k iró tt feltételek csak lineáris szuperpozíció esetén teljesülhetnek.

A 3.7 ábrasorozatot végignézve látható, hogy az impulzusmegmaradás tel­

jesül lineáris összegzésnél; esetünkben bármelyik pillanatban zéró a húr

teljes impulzusa. Az energiamegmaradás vizsgálatához válasszuk ki a

3.7d. ábrát. Ebben a fázisban a mir m inden része á ll, kinetikus energia

nincs, igy az összes energiát a deformációs résznek kell képviselni. A 3. 3

pontban beláttuk, zavarterjedés közben a szállíto tt teljes energia kinetikus

és potenciális komponense egyenlő. A (3.12) form ula szerint a potenciális­

mondjuk, pl. a

i

c

- 37 -

A' / k .

f y v

___ _ £ ^

' / \ ___ A .3.7 ábra

alakba is irható (d a zavar Legnagyobb kitérése, 2 1 a . zavar hossza). Ily

módon az egyforma két zavar által szállíto tt teljes energia az egyik poten­

c iá lis járu lékának a négyszerese: E.. = 4u .V , ahol V a húr 21összes p

hosszúságú részének a térfogata. Am ikor pedig a teljes átfedés p illanatá­

ban (3.7d ábra) a két zavar összes energiája a húr egy V térfogatú részé ­

ben, k izáró lag potenciális formában koncentrálódik, az energiamegmaradás

- 38 -

teljesüléséhez szükséges, hogy az eredő zavar kitérése az eredetiek két­

szeresére (az egyes kitérések egyszerű összegére) növekedjék; ekkor nő

ugyanis a potenciálisenergia-sürüség az összetevőkének a négyszeresére:

am i az energiamegmaradást je lenti. Még egy lényeges észrevétel: A fenti

meggondolásokból az is kiderül, hogy semmilyen m ás összetevési módnál

nem teljesülnének a k iró tt megmaradási tételek.

- Házi feladatként javasoljuk, hogy az olvasó a 3 . 8 ábrán látható két

zavar interferenciáját az előzőek szellemében gondolja végig. Ha ezt m eg­

teszi, bizonyára választ tud majd adni arra a ravasz kérdésre: "H o l van

a hullám energiája a teljes kioltás p illanatában?" -

Most pedig első p illanatra kicsit váratlan kérdés következik: M i tö r­

ténik, ha a rugalmas közegben terjedő zavar uj közeg határához é r ? (Ha­

marosan kiderül, e kérdésnek bizony sok köze van az interferenciához.)

Tapasztalataink természetesen vannak, igaz, eddig csak arra az eset­

re, am ikor az uj közeg teljesen "e lfa ju lt" változatú, azaz ha a húr vége

mereven rögzítve van, vagy - éppen ellenkezőleg — szabadon elmozdulhat.

Persze, annak sincs akadálya, hogy egy köztes esetet vizsgáljunk; p l. a

két különböző vastagságú húr összeforrasztásával m áris a kívánt helyzet

á ll előttünk. Bárm elyik esetet is nézzük, a közös tapasztalat: Ha a zavar

uj közeg határához ér, a határró l egy zavar visszafelé indul; Ezt a je len­

séget visszaverődésnek nevezzük. M ielőtt a részletesebb megfontolásokra

rátérnénk, a nem egészen világos jelentésű "u j közeg" fogalmát tisztázzuk.

Hullám tani szempontból különbözőknek tekintendők azok a közegek, am e­

lyekben a terjedési sebesség különbözik.

A továbbiakban csak a teljesen rögzített i l l . teljesen szabad végről

történő visszaverődést vizsgáljuk. Az egydimenziós problémák esetében

kevésbé fontos általános eset tárgyalj sát a szám olás i gyakorlatokra u ta l­

c

c

3. 8 ábra

- 39 -

juk; annyit azonban itt is megjegyzünk, ekkor nem csak visszaverődő, ha­

nem a m ásik közegbe átjutó, és az ottani terjedési sebességgel haladó un.

"m egtört" zavar is van.

A visszaverődés értelmezésekor megint csak — az e fejezetben m ár

megszokott - "félem pirikus" módszerhez folyamodunk; csak olyan megol­

dást fogadunk el, amely a legszembetűnőbb jelenséget, a zavar v isszafor­

dulását tartalm azza. (Ennyi benne az em pirikus.) Mivel m indkét visszave-

rődési módnál a zavar teljes energiája a húrban marad — szabad vég ese­

tén ez tr iv iá lis , rögzített végnél a fal tökéletes merevsége m iatt —, megkö­

veteljük az energiamegmaradást. (Energiadisszipáció a húr anyagában se

léphessen fe l . ) Szabad végről történő visszaverődés esetén - a húr ekkor

zárt rendszer — még az impulzusmegmaradás is teljesül. A m egm aradá­

si tételeket nemcsak a bemenő és kimenő végállapotokra ir juk elő, hanem

a visszaverődés időtartam ára is, minden időpillanatra.

a) V isszaverődés szabad végről

Induljon egy lökéshullám a 3.9a ábrán látható módo i. A k ísérleti ta­

pasztalatnak megfelelő legegyszerűbb visszaverődő zavar a bemenőhöz tel-

♦I

3.9 ábra

- 40 -

jesen hasonló, csak ellenkező irányban haladó lenne. Próbálkozzunk egy

ilyennel, bizva abban, hogy ez a kirótt feltételeknek is meg fog majd fe le l­

ni. Amikor a zavar a közeghatárhoz ér, induljon el egy zavar visszafelé,

m indig pontosan annyi, amennyi m ár "lefutott?1 a húrról, és az eredő k i­

térés e két zavar interferenciájaként áll elő. Könnyű belátni, hogy ilyenkor

m inden kikötésünk teljesül. A 3.9b ábrát tekintve látható, hogy az interfe­

rencia következtében vízszintessé vált hurdarab impulzusa és energiája fe­

dezi a húrró l "leszaladt” részét is . (Feleakkora tömeg szorozva kétszeres

sebességgel: m arad az eredeti impulzus. Nincs baj az energiával sem:

Egy m /2 tömegű, 2v sebességű, deformálatlan rész kinetikus energiája

valóban fedezi az m tömegű, v sebességű deformált darab teljes ener-

g iá ját.)

- Az eddigiekben természetesen benne van, de azért utasitásszerüen

is megadjuk a visszavert hullám megszerkesztését: Folytatjuk a zavart a

közeghatáron tul is, m intha az eredeti közeg folytatódna, majd a határon

túli részt tükrözzük a közeghatárra, utána ezt és az eredetit összeadjuk

pontról-pontra. -

b) Visszaverődés rögzített végről

Lényedében az előző pontban megfogalmazott módon járhatunk el, a

különbség csak annyi, hogy az impulzusmegmaradás helyett - am i itt a fal-

hozrögzités m iatt nem teljesül - természetes módon a húr végpontjának

f

/

c a

t e

3.10 ábra

- 41 -

helybenmaradását ir juk elő. Ez m indig teljesül, ha a visszafutó hullámot

ellentétes kitéréssel indítjuk v issza (l. 3.10 ábra). Az energiamegmaradás

belátása az e lőző pontbelihez nagyon hasonló, annyi e ltéréssel, hogy most

az interferencia következtében nulla sebességűvé vált hurdarab rugalm as

energiája növekedett meg a kellő mértékben (3.10b ábra).

- Itt is megadjuk a visszavert hullám szerkesztési u tasítását: Foly­

tatjuk a zavart a közeghatáron túlra, a határon túl eső rész t ellenkező k i­

térésűre ra jzo ljuk, m ajd ezt tükrözzük a közeghatárra, ezután ezt és az

eredetit pontről-pontra összeadva kapjuk a tényleges zavaralakot. -

3 .5 Kvázlsztatlkus deformáció,

m in t rugalmas hullám Interferenciájának határesete

A mechanika előzi! fejezeteiben a rugalmas testek deformitásának folyamatát úgy

képzeltük el, hogy a testre ható erő változásit rögtön követi a test minden részének de­

formál ódása. így tárgyaltuk pl. a rugóból és tömegpontból álló rendszer mozgását: Fel­

tételeztük, hogy a rugó egyes darabjainak relatív megnyúlása egyenlő, rugalmas szalag-

A t . a * 2

(3 .16) -7— = — — = . . . = £' l 2

(£ végig állandó a szalag mentén), és a megnyúlás minden pillanatban arányos a rugóra

éppen akkor hatóerővel, vagy —megfordítva az állítást - a rugó által kifejtett erő arányos

az abban a pillanatban fennálló megnyúlással.

(3 .17) F = EA - ^ r ~ = k A Í .

Ezzel szemben az előzőekben megállapítottuk, hogy az erő változására a rugal­

mas test különböző részei különböző időkéséssel reagálnak. Egy egyszerű példán meg­

vizsgáljuk a (3, IC) és (3.17) egyenlettel megfogalmazott kvázlsztatikus közelítés jogos­ságát, feloldva ezzel az e pillanatban kétségtelenül ellentmondásosnak látszó helyzetet.

Egyik végén rögzített £ hosszúságú rugalmas kötél másik végét huzni kezdjük

állandó v nagyságú, kötétirányu sebességgel. A kötélen lejátszódó deformációs folya­

matot a 3.11. ábra szemlélteti. A szemléletesség kedvéért a kötél egyes darabjainak

elmozdulását a függőleges tengelyen ábrázoltuk (erősen nagyítva) T/2 időközönként, ahol

T = t / c az az idő, amely alatt a longitudinális lökéshullám végigfut a kötél hosszán,

A deformálás megkezdése utáni T pillanatig a kötél részei sorra mozgásba jönnek, a

már mozgó és a még nem mozgó kötélrészt elválasztó felület (a hullámfront) c sebes­séggel balra mozog. A T pillanatban a hullámfront a rögzített véghez ér és visszave­

rődik, ellentétes kitéréssel. A beérkező és visszavert hullám interferenciájának ered­

ményeképpen a (T, 2T) időszakaszban a hullámfronttól balra eső kötélrész ismét nyuga­

lomba kerlil, de már deformált állapotban. A hulláijifront a 2T pillanatban eléri a jobb-

- 42 -

oldali, kényszermozgást végző végpontot, és a hullám innen ismét visszaverődik a bal­

ról érkező ("elsődlegesen visszavert") hullámhoz képest ellenkező kitéréssel. (A kény­

szermozgást végző kot élv ég a visszaverődés szempontjából úgy viselkedik mint rögzí­

tett vég, hiszen az elsődlegesen visszavert és az ismét visszavert hullám eredője a vég­

ponton nulla eredőjű kitérést kell hogy adjon.) A (2T, 3T) intervallumban a hullámfront

ismét balra halad, az eredő kitérés a három hullám interferenciájának eredménye lesz.

A 3T pillanatban a hullámfront a bal oldali végponthoz ér, innen ismét visszaverődik, és így tovább.

A 3.12, ábrán feltüntettük a kötél egyes részeinek a relatív megnyúlását is a kü­

lönböző pillanatokban. (A kötél mozgása kicsit emlékeztet egy olyan giliszta mozgására,

amelynek a farkát egy karóhoz kötöttük.) A jobb oldali végpont állandó sebességének

(az állandó "deformációsebességnek") a fenntartásához szükséges erőt megállapíthatjuk

a hullámfronttöl jobbra eső kötélrész relatív deformációjából a Hooke-törvény alapján

(amely erre az esetre alkalmazható, hiszen e kötélrész deformációja hely szerint egyen­

letes). Az ábrán feltüntetett deformáció-értékek szerint az erő nagysága ugrásszerűen

- 43 -

£

3.12 ábra

változik olyankor, amikor a hullámfront a n.ozga-

I / tott véghez érkezik. A 3.13 ábrán az állandó se-

' F bességü deformáláshoz szükséges erő nagyságát

I n rajzoltuk íel a kötélvégpont elmozdulásának (vagy

Y j a kötél teljes megnyúlásának) függvényében, kü-~ lönböző sebességű deform álások esetére. A szag-

| / gatott vonallal jelölt lépcsős iüggvény olyan ese-

X . tét mutat, amikor a deformálás időtartama össze-

J ( \ mérhető a hullám végigfutási idejével (hirtelen rán-

X I tás), a folytonos vonalú lépcsős függvény olyat,X amelyben a deformálás annyira lassú, hogy ez-

Y £ £ alatt nagyon sok hullám fut végig a kötélen oda-

- ^ -vissza. A végtelen lassú deformálás határeseté-

3.13 ábra ben a vékony vonallal jelölt egyenest kapjuk, azaz

ekkor a deformáláshoz szükséges erő az éppen

elért megnyúlással arányos, és a kötél bármely szakaszának a relativ megnyúlása egyen­lő egymással, minden pillanatban. Az ilyen c >>v feltételnek eleget tevő un. kváziszta- tlkus határesetben teljesül a (3.16) és (3.17) egyenlet.

A rugóból és tömegpontból álló rendszernél a helyzet bonyolultabb, a rugó végpont­

ja itt nem állandó sebességgel mozog, de a kvázisztatikus deformációra kapott feltételt általánosíthatjuk erre az esetre is: A hullám végigfutási ideje legyen sokkal kisebb, mint

a rezgés periódusideje.

- 44 -

4. § Harmonikus hullámok

4.1 Hullámfüggvény

Harmonikus hullámnak az olyan hullámot nevezzük, amelynek a hul­

lámfüggvénye szinuszos vagy-koszinuszos, azaz a (3.9) kifejezéseknek m eg­

felelően, a hullámcentrum harmonikus rezgőmozgást végez, kitérése

£ (t, x = 0) = A sin <ot,

és a tőle jobbra ("-" elője l) i l l . ba lra ("+ " előjel) x távolságban levő közeg­

pontok kitérése ,

(4. la ) | (t, x) = A sin <0 (t + -^-)

alakú függvény, c terjedési sebesség m ellett. Ezt a kétváltozós függvényt

a harmonikus hullám hullámfüggvényének nevezzük. (4.1a) argumentumának

alakítgatásával vele ekvivalens, de sok szempontból kifejezőbb alakra ju t­

hatunk. Ha az w = 2 JC/T behelyettesítést elvégezzük, és a T-t a záró je ­

len belülre visszük, a 2 Jl ( ) alakra jutunk. A nevezőbeli cT

szorzat éppen azt a távolságot jelenti, amennyire a hullám egy periódusidő

alatt e ljut. Je lö ljük ezt a távolságot A -val — neve hullámhossz —. amely

definíció szerint

(4.2) X = cT.

A hullámhossz szemléletes jelentéséhez másképpen is eljuthatunk: A ép­

pen az egymáshoz legközelebb levő azonos fáz isú helyek távolsága (egy a

hullám ró l készült pillanatfelvételen). A hullámhossz felhasználásával (4.1a)

a következő alakba irható:

(4.1b) | (t,x) = A s in 2 J t ( y + - j f ) . '

Ez az alak nagyon kifejezően m utatja a hullám m indkét változó szerinti (idő-

és térbeli) periodicitását, sőt expliciten tartalm azza mindkét változó perio-

dushosszát is . Még egy alak használatos: a (4. la ) argumentumában az

c o t i x beszorzást elvégezve, és az k = — je lö lést bevezetve, a c c

- 45 -

— számolásokhoz talán legalkalmasabb - form át kapjuk. A k mennyiség

neve hullám szám , jelentése a 2 hosszegységre eső hullámok száma,

m int azt a

(4 3) k =(4' 3) * c cT A

összefüggés mutatja.

- Egy — a m em orizálást is megkönnyítő — észrevétel: A (4.1b) és

(4. le ) függvényeket nézegetve, szembeötlő az idő- és helyfüggés szép,

szim m etrikus volta, ennek megfelelően szoros analógia az ezeket le irő

paraméterek között; igy az időbeliségre je llem ző w és T térbeli megfe­

le lői a k és A mennyiségek. (Térbeli párja csak a V = - jjr frekvenciá-

1nak nincs; a neki megfelelő jelentése a hosszegységre eső hullámok

száma lenne, erre azonban külön je lö lést nem vezettek be.)-

Még egy megjegyzés: A harmonikus hullámok ugyanugy kitüntetett

szerepet játszanak a hullámoknál, m int a harmonikus rezgések a rezgések­

nél. Ennek oka — hasonlóan, m int a rezgéseknél - a Fourier-tétel, m isze ­

rin t minden periodikus hullám harmonikus hullámok szuperpozíciójának te­

kinthető.

4.2 Energiaviszonyok, energiaterjedés

A lökéshullámokról szóló paragrafus 3. pontjában részletesen meg­

vizsgáltuk m ár a zavarterjedés közbeni energiaviszonyokat; legfontosabb

eredményünk: a közeg egy pontjában a kinetikus- és potenciálisenergia-

-sürüség egyenlő. Most, e fejezetben ugyanezt vizsgáljuk a harmonikus hul­

lámokkal. Nem m intha az ottani eredményünk harmonikus hullámokra nem

lenne igaz, ugyanis bármely sim a függvény elegendően kis szakaszon egye­

nessel közelíthető. Ennek megfelelően változatlanul igaz, hogy a közeg egy

pontjában a kétféle energia-sűrűség egymással egyenlő, a módosulás csak

annyi, hogy a különböző közeg-pontokban a teljes energia-sürüség általában

különbözik. így mostani vizsgálataink elsődleges célja inkább az, hogy e ljá ­

rás t adjunk az energia-sűrűségek kiszám olására olyan esetekben, amiicor

a hullámfüggvény tetszőleges f(t, x) — mindkét változó szerint d ifferenciál­

ható — függvénnyel van megadva, m ind a transzverzális, m ind a longitudi­

nális típusnál.

- 46 -

a) Transzverzális hullám

A 4.1 ábra egy J = f (t, x) hullámfüggvényü húr-darabot ábrázol egy

" 1 2 adott időpillanatban. A potenciálisenergia-sűrűség ( j E £ ) k iszám olá­

sához szükséges £ -hoz a 3 .3 pontbelivel lépésről-lépésre megegyező

gondolatmenettel juthatunk el, a különbség csak annyi, hogy az ottani véges

mennyiségek helyett az in fin itéz im ális A x, A | mennyiségekkel számo­

lunk, és az eredmény határértékben értendő.

4.1 ábra

Segítség a számoláshoz: A húr A x hosszúságú darabjának az átlag-

-deformációját az

l / 2 T~2

(44) t = “ (Ax) +(AÍ^ ~ AxA x o

kifejezés adja (A x^ a A x hosszúságú rész alapdeformál ás előtti hossza).

Az f(tp, x) függvény A x-hez tartozó A £ megváltozását a függvény x-

pontbeli érintőjének a növekményével közelítjük

(4.5) A £ ~ § 7 A x -

A szimbólummal az í(t, x) kétváltozós függvény egyik változó (esetünkben ez most

a hely) szerinti differenciálhányadosát jelöltük. Értelmezése pl. egy f(t, x) kétváltozós

függvényre: A

- 47 -

llm í i k * _ i A a -M jjü

A x-ȟ * X

hányados határértékét - ha létezik - az f(t, x) függvény x szerinti parciális differen­ciálhányadosának nevezzük és 3 f/3x-szel jelöljük. Természetesen, ahány változós a

függvény, annyi (elsőrendű) parciális differenciálhányados értelmezhető. Mateniatikai tanulmányaik során a többváltozós függvények differenciálásával kapcsolatban majd sok

szép tétellel fognak megismerkedni, nekünk pillanatnyilag maga az értelmezés is elegen­

dő. Még néhány szót a differenciálási technikáról: Amikor valamelyik változó szerint

differenciálunk, a többi változót konstansnak kell tekinteni, és az ily módon már egyválto­

zós függvény deriválásakor a jól ismert differenciálási szabályok alkalmazhatók. Példa­ként számoljuk ki az f(x, y) = y sin (xy + 3) kétváltozós függvény két elsőrendű parciális

d i 2 ' 3Ídifferenciálhányadosát: —— = y cos (xy + 3); —— = 6in (xy + 3) + xy cos (xy + 3).

o x cíy

É kis matematikai k itérő után a fentebb kitűzött számolás elvégezhe­

tő; a m ár ism ert átalakítások utár> a húr relatív deformációja

<4-6' e - ' o ' H í r ) 2'

a potenciálisenergia-sűrüsége pedig

. 2

"*p 2 “ w 2 ~ ^ 0 3x

2(Most is elhanyagoltuk az £ kiszámolásakor az L q-t nem tartalm azó

tagot, és a potenciálisenergia-sűrűség zérus-pontját az alapdeformációhoz

tartozó helyzetnél választottuk.) A Hooke-törvényre hivatkozva (4.7a) az

<4-,b> up - r e o ( H r ) 2

alakba is irható . ^ 2

A kinetikusenergia-sűrűség —g v ; az egyes húr-pontok sebessége

a kitérés adott helyen vett idő-szerinti differenciálhányadosa, azaz

xn> f(t+ A t, * ) - f(t, * ) 3

V , t V - - o —

Eszerint a kinetikusenergia-sűrűség

- 48 -

i / d í \

<4-8> uk = m ? r ) -

Eddigi eredményeinkben figyelemre méltó, hogy mindkét energiasürüség

kifejezésben a megfelelő parc iá lis differenciálhányadosok szerepelnek

— s m i több — azonos formában. Ha most felidézzük a hullámfüggvény

£ (t, x) = f(t - —) alakját, a két differenciálhányados között kapcsolatot te-

^ 9 f 9 íremthetünk. A ^r— idő-szerinti deriválttól a —— hely-szerinti deri-

j á t 9x

vált csak egy - — szorzófaktorban különbözik, azaz

( 4 9 ) _ i ^ Í L = J L L' • ] c 9 t 9x

Ha (4 .7b)-bán a (4 .9)-nek megfelelő helyettesítést elvégezzük, az

1 S 0 / 9 f \ 1 / 9 f \ 1 2

<4-1Ü) UP = 2 = 2 2 \ J 7 ) = 2 ^ ( i 7 1 = 2 ? V = \c

2eredményünk m egerősítését kapjuk. (A c = 6 / g átalakítást a (3.5)

sebességformulára hivatkozva tettük.)

b) Longitudinális hullám

A feladat most is az m int az a) pontban volt, a számolás azonban jóval

egyszerűbb. Az £ relatív deformációt longitudinális esetre nagyon könnyen

értelmezhetjük; a 4.2 ábra szerint a Ax hosszúságú rud-darab megnyúlá­

sa a t pillanatban A | , a relatív megnyúlása pedig

(4.11) = lim

A x * 0 A x

= lim ’

Ax-*0

f(t, x + A x) - f(

A x

S f t j X + A * )

t, x) a f

d x

t

11

1l i

, 1 AX 1 x ► 1

4.2 ábra

- 49 -

azaz maga a hullámfüggvény hely-szerinti parc iá lis deriváltja . Ezt fe lhasz­

nálva a potenciálisenergia-sürüség

a kinetikusenergia-sűrűség

1 2 1 / 9 f \2 .(4.13) uk = - ? v = - ? ( — J

A kétféle energia-sűrűség egyenlősége most is könnyen belátható; a (4.9)-

es összefüggés változatlanul igaz longitudinális hullámokra is, igy

1 / 9 f \ 1 E / 9 f \2 1 2(4.14) u - 2 E ( 9x ) - J 2 ( 2 t ) ~ 2 ? V ~ V

c

2

(A végeredményhez megint csak egy sebességformula, a c = E / £ össze­

függés vezetett.)

A fenti általános megfontolások után rátérünk a haladó (harmonikus)

hullámok energiaviszonyainak v izsgálatára. (Mint bizonyára észrevették,

az előző két alpont számolásainál a hullámfüggvényről csak a d ifferenciál­

hatóságot tételeztük fel, a periodikusságot m ár nem .) Tekintsük a

| (t, x) = A sin (cot - kx)

alakú harmonikus hullámot. A határozottság kedvéért legyen longitudinális

tipusu. A (4.12) és (4.13) formulák alapján az u és u energia-sűrűsé­

gek: k P

1 2 2 2 4

(4.15a) uk = 2 ^ A 40 C° S

(4.15b) Up = j E A2 k2 cos2 (¿ot - kx).

A 4 .3 ábrán megrajzoltuk az ufc kinetikusenergia-sűrűséget az (4.15a)-

nak megfelelően; az ábrát azonban ugyanolyan joggal a potenciálisenergia-

-sürüség grafikonjának is tekinthetjük, hiszen — m int azt m ár többször be­

láttuk — u^ = u , igy a teljes energia-sűrűség valamelyik kétszerese, pl.

- 50 -

2 2 2(4.16) uteljes = ? ^ W 0 0 8 (w t - kx).

Érdemes felfigyelni arra , hogy a teljes energia-sűrűség m ind az amplitúdó,

m ind a körfrekvencia négyzetével arányos; ugyanez teljesül a haladó hullám ­

ban szállíto tt energiára is, m ert (3.15) szerint az energiaáram-sűrűség

c . u , azaz teljes

(4.17) j = A^£02 9 c c o s (u)t - kx)i

Ezek után úgy képzelhetjük el a hullámok energiatranszportját, hogy vala­

mekkora energiacsomagok mozognak c sebességgel (a 4.3 ábra szaggatott

görbéjével ezt ábrázoltuk). Szokás még értelmezni a hullám átlagos ener-

giaáram-sürüségét; ennek definíciója - természetes módon —:

T

< j > = Y J j dt.

0

Ha (4.17) integrálását elvégezzük, az

(4.18) < j > = 2L A2 ? w c

kifejezés adja az átlagos energiaáram-sűrűséget harmonikus hullám ra.

<j>-ot a hullám intenzitásának is szokás nevezni.

- Vizsgán gyakran elhangzik az alábbi kérdés (lásd a 4.4 ábrát): Hol nagyobb a

hullám potenciálisenergia-sürüsége, az "a" vagy a "b" jelzésű helyen? Sajnos, megle­hetősen sokszor hallatszik a "maximális kitérés helyén" (ez az "a" hely) rossz válasz.Aki ezt mondja, elhamarkodottan és felületesen a harmonikus rezgőmozgás analógiájára hivatkozik, mondván: "Ahol nagy a kitérés, ott nagy a potenciális-energia". Ez ott (a harmonikus rezgéseknél) valóban igaz, itt azonban nem. A tévedés forrása abban rejlik,

- 51 -

4 .4 ábra

hogy a rezgőmozgás esetén a rugó plusz a hozzá kötött test energiájáról beszélünk, itt

viszont a-vizsgált test a rugalmas közeg egy darabja (nincs külön test és nincs külön ru­gó), aminek akkor és ott van potenciális energiája, amikor és ahol deformált állapotban

van. Ezt meggondolva, a helyes válasz már magától értetődő; az "a" helyen a közeg nincs

deformálva, pusztán c s í k áthelyeződött máshová, változatlan hossz mellett, ennek meg­

felelően a potenciális energia-sűrűség itt zéró. A kötéldarab hossza a "b" helyen tér el

legjobban az eredetitől, tehát itt van maximuma az energia-sürüségnek. Amiket most elmond­

tunk, az persze látszik a megfelelő formulákból is: a szinuszos hullámfüggvényü hullám

potenciálisenergia-sürüség függvénye koszinusz (négyzet)-es! -

4 .3 Harmonikus hullámok visszaverődése. Á llóhullámok

A lökéshullámokról szóló paragrafus 3. 4 pontjában m ár tárgyaltuk a

zavar-visszaverődéseket. Az ott elmondottak változatlanul helyesek itt is,

sőt kihasználva a hullámfüggvény konkrét alakját, azokat sokkal könnyeb­

ben kezelhető formában is megfogalmazhatjuk.

Érkezzen egy jobbra haladó hullám először egy szabad véghez, hul­

lámfüggvénye legyen

(4.19) | (t,x) = A sin (cot - kx).

Szabad végről a zavar ugyan olyan kitéréssel indul vissza, amilyennel be­

érkezett, igy az x = 0 pontból visszavert hullám alakja

(4.20) J refl = A s i n ( ^ t + k x ) .

- 52 -

Ha a vég rögzített, a visszainduló hullám kitérése ellentétes előjelű

lesz, -amit a fáz is JT-vel történő megnövelésével vehetünk figyelembe. Ez

utóbbit úgy is szoktuk fogalmazni, hogy rögzitett végről történő visszaverő­

dés esetén a hullám K "fáz isugrást" szenved. A reflektált hullám alakja

pedig

(4.21) £ refl = A sin (tót + kx + X ) = - Á sin (u)t + kx).

Az eredő hullámképet m indkét esetben a bemenő és a visszavert hul­

lám szuperpoziciója (interferenciája) határozza meg. Végezzük el a számo­

lást m indkét esetre, azaz készítsük el a (4.19) + (4.20) és a (4.19) + (4.21)

összegeket:

^ eredő = A S*n ^ 1 ” kx) + A sin (t«>t + kx) =

szabad vég:

(4 .22a) = 2A sin u> t .* cos kx,

rögzitett vég:

^ eredő = ^ S*n ~ ^ A s*n (u)t + =

(4 .22b) = 2A cos u)t . s in kx.

(Mindkét átalakítást közism ert trigonometrikus azonosságok segítségével

végeztük e l . )

A (4.22) függvények nagyon érdekes (és szokatlan) hely- és idő­

függést mutatnak. Ezek a függvények a hely- és időfüggést szorzat­

alakba szeparálódva tartalm azzák, szemben a (4.19)-es hullám függ­

vénnyel, ahol a hely és az idő együtt alkották a szinuszfüggvény argumen­

tumát. E "form ai" különbség jelentős változást okoz az eddig megszokott

hull ám terjedési mechanizmusban, am it a (4.22)-es kifejezések v izsgála tá­

val m ind járt be is látunk. Nézzük p l. a (4.22a) -t: A cos kx függvény zérus -

Jirhelyei az argumentum + n Jl (n = 0, 1, 2, . . . ) értékeinél vannak, és

a változók szeparáltsága m iatt ezek m indig a hullámvezető azonos helyeire

teljesülnek, igy a húr egyes pontjai m indig nyugalomban vannak. E pontok

a

kx = ' + n J t , (n = 0 , 1 , 2 , . . . )

feltétéiből:

x = (2 n + 1 ) = (2 n + 1 ) = -*■ (2 n + 1 ),

-53 -

azaz a nyugvó helyek, az un. csomópontok egymástól A/ 2 távolságban

sorakoznak, és az e lső csomópont a visszaverődés! helytől A/4 távol­

ságban van. A (4 .22b) függvény vizsgálata (rögzített vég) az előbbihez tel­

jesen hasonló eredményre vezet, annyi eltéréssel, hogy itt a visszaverő-

dési hely az első csomópont:

x = n, (n = 0 , 1 , 2 , . . . ) .

A csomópontokhoz hasonlóan megkereshetjük a húr m ax im ális am plitúdó­

val rezgő helyeit, a duzzadóhelyeket; ezek nyilvánvalóan a csomópontok

közötti felező helyeken lesznek. Es még egy fontos dolog: M iután az idő-

függést a sin cot (vagy cos tót) szorzótényező tartalmazza, az egész húr

végig egyforma fázisban rezeg, azaz a húr m inden pontja egyszerre (egy-

időben!) é r i el a helyének megfelelő m ax im ális kitérést, a m ax im ális k i­

térés felét, a nulla kitérést stb. Mindezek a tulajdonságok annyira e lté r­

nek a haladó hullám megszokott je llem zőitő l, hogy ezt a hullám form át külön

névvel is ellátjuk, és állóhullám nak nevezzük. A különbségeket hangsúlyo­

zandó, a 4 .5 . ábrán egy haladó (a) és egy állóhullám ot (b) is megrajzoltunk.

Ha csak a folytonos görbét nézzük, semm i különbség nincs, annál több, ha

a húr egy A t idővel későbbi helyzetét (szaggatott vonal) is m egrajzoljuk.

A 4 .5 . a ábrán jó l látható a rezgésállapot c sebességű vándorlása, azaz

a haladó hullám nál a húr m inden pontja m inden lehetséges k itérést felvesz

4 .5 ábra

- 54 -

(megfelelő időkéséssel), m ig a 4. 5b ábra szerint az á llóhu llám m al rezgő

hurpontok a helykoordinátájuknak megfelelő amplitúdóval egyforma fáz is ­

ban rezegnek.

a.

4 . 6 ábra

- Aki tehát azt a feladatot kapja (pl. vizsgán), hogy rajzoljon egy haladó vagy ál-

lóhulámot, az egy szinuszgörbe megrajzolásával nem úszta meg a dolgot, mert ez az

egy görbe még akármelyik lehet. Dönteni csak egy A t idővel későbbi hullámállapot meg­adásával lehet.

Még egy jellegzetes hiba: Elég sokan, ha állóhullámot akarnak ábrázolni, a 4.6a ábrán látható rajzot készítik el (pontosabban: csak a két szélső görbét). Nos ennek a rajz­

nak valóban van köze az állóhullámhoz, de csak annyi, hogy a húr mozgása közben m in­

dig a bevonalkázott részben tartózkodik. Csak érdekességképpen: Ha egy haladó hullámot

az előbb kifogásolt módon rajzolnánk meg, akkora 4.6b ábrán látható bevonalkázott sávot

kellene elkészítenünk. Kicsit képszerübben megfogalmazva az eddig elmondottakat: A be­

vonalkázott sávok az álló- vagy haladó hullámu húrról készült olyan fényképfelvételek­nek felelnek meg, amelyeknél az expozíciós idő a hullám periódusidejének a sokszorosa.

Egy-egy igazi "pillanatfelvétel" azonban szinuszos hur-képet szolgáltatna, olyat, mint amilyenből kettőt-kettőt be is rajzoltunk a bevonalkázott sávokba.

Az eddig elmondottakból m ár nyilvánvaló, hogyan lehet egy húron á l­

lóhullámokat létrehozni. Nem kell m ást tenni, m in t visszaverődést lé tre ­

hozni, és ekkor kialakul az állóhu llám . Ez igy igaz, de azért nem ennyire

egyszerű a helyzet. Eddigi gondolatmenetünkben csak egyszeri visszaverő­

déssel számoltunk, azaz a húrt egyik irányban végtelen hosszúnak gondol­

tuk. A reálisan létező hurok azonban véges hosszúságúak, igy ennek m eg­

felelően a húron sokszoros oda-visszaverődés történik, és az eredő hu llám -

kép mindezek interferenciájából adódik. Ez a körülmény annyit jelent, hogy

egy adott hosszúságú húron csak meghatározott gerjesztőfrekvenciák esetén

jöhet létre állóhullám , szemben a gondolatkísérletünkben szereplő, egyik

irányban végtelen hosszú és a vég te lenen gerjesztett húrra l, ahol az egy­

szeri visszaverődés tetszőleges frekvencia esetén állóhullám ot eredménye­

zett.

- 55 -

A diszkrét frekvenciák megkeresése végett végezzünk el egy tényle­

ges kísérletet, és reméljük, hogy az itt lejátszódó folyamatok végigköve­

tése a magyarázatot is megadja m ajd. Egy l hosszúságú húr egyik végét

rögzítsük a falhoz, a m ásik végét feszítsük állandó erővel magunk felé (ez­

zel ebben a húrban a c terjedési sebesség meg van határozva), ugyanak­

kor kis amplitúdóval rezgessük is ezt a pontot. (A majdani visszaverődések

szempontjából ez is rögzített vég!) Most pedig kövessük végig a kezünktől

elindult hullám sorsát: Az első végigfutás után a hullám visszaverődik, k i­

alakulnak a csomópontok és a duzzadóhelyek. A hullám azonban a kezünk­

rő l is visszaverődik, és ennek az előbbi kettővel való szuperpozíciója csak

akkor nem rontja a meglevő duzzadóhelyeket és csomópontokat, ha a m á ­

sodik visszaverődésből keletkezők éppen a m ár meglevők helyére esnek.

(A további visszaverődéseknél a helyzet m ár nem változik, ha p l. a m áso­

d ik reflexió nem rontotta e l a csomópontokat, akkor a többi sem fogja.)

Ez csak akkor következik be, ha a húron olyan hullámhosszuságu hullámok

terjednek (és szuperponálódnak á llóhu llám m á!), amelyekre igaz az a láb­

bi összefüggés:

n \ = i (n = 1, 2, 3, . . . ) .

Ezt átalakítva, a következő fontos eredményt kapjuk: Mindkét végén rögz í­

tett húron csak meghatározott frekvenciák mellett jöhet létre állóhu llám .

Ezeket a frekvenciákat a húr sajátfrekvenciáinak nevezzük:

^ n = 2h n’ (n = 1, 2’ 3’

( l a húr hossza, c a terjedési sebesség). Adott húr sajátfrekvenciái d iszk­

ré t (végtelen) sorozatot alkotnak. A tényleges kísérlet során, a nagy terje­

dési sebesség m iatt az egyes reflexiók utáni szuperpozíciókat szemmel

ugyan nem tudjuk követni, de hogy állóhullámokat csak meghatározott ger­

jesztőfrekvenciák m ellett sikerül létrehozni, az az előbbi gondolatmene-

tlinket igazolja. A 4.7a ábrán megrajzoltuk egy m indkét végén rögzített hú­

ron kialakulható állóhullám-módusokat (az ábrán a két legszélső helyzet

látható). Ugyanezen ábra b és c részén a m indkét végén szabad, i l l . az

egyik végén rögzített, a m ásik végén szabad rugalmas pálca á llóhu llám -

-módusai látható; feltüntetve alattuk a saj átfrekvencia-sorozatukat is.

A ra jzok ugyan a hurok és pálcák transzverzális rezgéséire vonatkoznak,

a feltüntetett frekvencia-sorozatok azonban igazak a megfelelő módon rög­

zített rudakban, i l l . a megfelelő módon határolt levegőoszlopokban (sípok­

ban) létrejövő longitudinális állóhullám-mődusokra is (természetesen a

megfelelő c használata m ellett).

- Elérkezett az ideje, hogy emlékeztessünk egy korábbi, a csatolt

rezgéseknél felvetett sejtésünkre, amely igy hangzott: Ahány szabadsági

- 56 -

Vn-(¿

4.7 ábra

foka van egy csatolt rendszernek, az annyi sajátállapottal (sajátfrekvenciá- val) rendelkezik. Nos, egy húr végtelen szabadsági fokú rendszernek tekint­hető, és valóban, a rajta kialakulható állóhullám-módusok (sajátfrekvenci­ák) végtelen sorozatát találtuk meg. -

Hatra van még az állóhullámok vizsgálata az energiatranszportjuk szempontjából. A kinetikus-és potenciális energia-sürüségek kiszámolá­sa pontosan úgy történik,mint a haladó hullámoknál (a (4.7) és a (4. 8) for­mula), viszont nem igaz az energia-sűrűségekre ott tapasztalt u = u

k pegyenlőség. Az eltérésnek az az oka - mint azt mindjárt be is látjuk — hogy az "állóhullámzó" húr minden darabja egyforma fázisban rezeg.A 4. 8 ábrán megrajzoltuk egy alapmódusban rezgő húr képét különböző időpontokban, feltüntetve mellettük az adott pillanatbani energia-sürüségek grafikonjait is. Az ábrasorozat a húr legnagyobb kitérésű helyzeténél kez­dődik; itt a húr minden darabjának a sebessége nulla, ennek megfe’“lően a teljes energiát a deformációs energia képviseli. A c ábrán a húr nincs deformálva, viszont ekkor maximális sebességgel rohannak a Ka1 pontjai az egyensúlyi helyzetükön át, igy hát ekkor csak kinetikus energia van.A köztes helyzetekben (b és d ábra) mindkét energia-fr.j r,a különbözik nul­lától, együtt képviselve a húr teljes energiáját. Látht’ő tehát, hogy az ál­lóhullámban az energia nem terjed (szemben a haladóhullámokkal), hanem T/4 időközönként "hintázik" a csak kinetikus és a csak potenciális formák között, mint ahogy az a 4. 8 ábráról is jól látható.

- 57 -

t-o

t-r/4 ------------ *

(•T/S

4. 8 ábra

5. § Többdimenziós hullámok

Tudatában annak, hogy az egydimenziós hullámok tanulmányozása so­rán is sok érdekes és általános érvényű eredményre jutottunk, mégis meg­kockáztatjuk azt a kijelentést, hogy legváltozatosabb és legjellemzőbb hul­lámtulajdonságok a többdimenziós hullámok vizsgálatakor bontakoznak ki.

A többdimenziós hullámok egyik természetes osztályozása a dimenzió­szám szerint történik; eszerint felületi (két-dimenziós) és térbeli (három- -dimenziós) hullámokat különböztetünk meg. A felületi hullámokra a legis­mertebb példa a viz (vagy más folyadék) felszínén terjedő zavar, a legközön­ségesebb térfogati hullám a levegőben* terjedő hanghullám.

Vezessünk be néhány elnevezést a többdimenziós hullámterjedés leírá­sára. Azt a térrészt, ahol a hullámjelenségek lejátszódnak, hullámtérnek nevezzük, a gerjesztési hely a hull ám centrum nevet viseli. A hullám cent­rumból (a dimenziószámnak megfelelően) minden irányban terjed a zavar, és ha a hullámtér azon pontjait összekötjük, amelyekben egy adott pillanat­

- 58 -

bán az állapot megegyezik, erry hullámfeltilethez jutunk. (Háromdimenzió­ban ez valóban egy felület, kettőben egy görbe.) Periodikus gerjesztés ese­tén az állapot akkor azonos, ha a rezgés fázisa egyenlő (modulo 2 T !), igy periodikus hullámoknál a hullámfelületet fázisfelületnek is szokás nevezni. Ha a hullámtér homogén és izotróp, a zavar minden irányban egyforma se­bességgel terjed, a hullámfelületeket koncentrikus gömbfelületek alkotják; az igy terjedő hullámok a gömbhullámok. Ezek kétdimenziós analogonjai a vizfelszin jólismert körhullámai. Ez látható az 5.1 ábrán: A folytonos görbék a hullámhegyek, a szaggatottak a hullámvölgyeket jelentik. Megraj­zoltuk a hullámfelületek néhány normálisát is (sugárirányú egyenesek); ezek iránya szabja meg a hullám terjedésének irányát. Az ábra térbeli meg­felelőjét ugyan nehéz megrajzolni, de kis fantáziával mindenki el tudja kép­zelni.

5.1 ábra

Ismerkedjünk meg még egy térhullám-formával. Ha egy gömbhullám­ból csak egy kis nyílásszögű kup-részt tekintünk, a centrumtól távol, a kúp által a gömbből kimetszett gömbsüveg már jó közelítéssel siknak tekinthe­tő, (Az 5.1 ábrán a most elmondották síkbeli megfelelőjét az ábra-rész ki­emelésével tüntettük fel.) A síkhullám hullámfüggvénye könnyen felírható; ha a terjedési irány az x-tengellyel párhuzamos, akkor a

l (x, t) = A sin a) (t - )

- 59 -

Ismert, egydimenziós alakot kapjuk. Ne feledkezzünk meg azonban arról, hogy a fázisfelületek most az x-tengelyre merőleges síkok.

A gömbhullám (vagy körhullám) hullámfüggvényét is felírhatjuk: Ha r a centrum és a hullámtér adott pontja közötti távolságot jelenti, e pont

de még nem vagyunk teljesen készen (erre utal a kifejezésben az A(r) függ­vény-jelölés). Rövid gondolkodás után belátható, az amplitúdónak az ener­giamegmaradás miatt függnie kell a helytől, ugyanis a centrum állandó amp­litúdójú gerjesztésekor a közegbe bevitt energia egyre nagyobb térfogatban oszlik el, azaz a centrumtól távol egyre kisebb az energiasürüség, ez pedig az amplitúdótól függ.

A helyfüggés meghatározása végett vizsgáljuk meg, mekkora energia áramlik keresztül- időegységenként egy a hullámcentrum köré irt r sugaru gömbfelületen. Stacionárius állapotban az e felületen időegység alatt át- áramlott energiának (az energia-áramnak) meg kell egyezni a hullámforrás teljesítményével (a hullámtérben nincs energia-disszipáció!); ezt P^-lal jelölve, a fentiek szerint

ahol <j > az átlagos energiaáram-sűrűség. A harmonikus hullám és a kö­zeg paramétereivel az áram -¡sűrűséget kifejezve (<j > = A^w^} c),

a helyettesítés és átalakítások után az amplitúdóra az

V ff „t — idő múlva jut a hull ám centruméval megegyező állapotba, azaz

| (r, t) = A(r) sin a) (t - -jj- ),

PQ = 4 5t r2 < j > ,

alakú helyfüggést kapjuk; így a gömbhullám hullámfüggvénye

A,0

. sin u> (t - —).r

r c

A kétdimenziós körhullám amplitúdójának helyfüggését az előbbihez hasonló módon határozhatnánk meg; csak a végeredményt közölve

5.1 A többdimenziós hull ám jelenségek; tapasztalati törvények

Az alábbiakban sorra vesszük a többdimenziós hullámterjedés közben észlelhető jelenségeket, majd megkíséreljük egy rendező elv segítségével egységbe foglalni ezeket.

Könnyen hozzáférhető, de talán a legszemléletesebbek is a viz felü­leti hullámai, így hát ezekkel kísérletezzünk. Attól nem kell félnünk, hogy ily módon csak egy szűk területre lesznek érvényesek a tapasztalataink, ugyanis minden fontos hullámjelenség modellezhető a vizhullámokkal. A fe­lületi hullámok előállítására az un. hullámkádat használjuk; ez egy nagy- felületü lapos edény, a szélén csökkenő mélységgel. (Ez utóbbi az edény­szél zavaró hatását csökkenti.) A hullámokat a vízbe érő, változtatható frekvenciával rezgő csúccsal keltjük. A vízfelszín alkalmas szögű megvi- lágitásával a kialakult hullámképek nagyon szépen tanulmányozhatók.

5.1.1 Interferencia

Ha a felszínt két helyen, két együttrezgő csúccsal gerjesztjük, mind­egyik centrum körül kialakulnak a körhullámok; vannak azonban a vízfelü­letnek olyan görbéi, amelyek mentén a felszín gyakorlatilag nyugalomban van, a hullámok itt "kioltották!' egymást. (Mivel a jegyzetben nyomdatech­nikai okokból fénykép nem közölhető, a Tankönyvben található nagyon szép képekre hivatkozunk. Természetesen az órán látottakat is felidézhetik lelki szemeik előtt.)

A jelenség a hullámok szuperpozíciója alapján értelmezhető: Ha a fe­lület egy pontjába a két centrumból kiinduló hullám éppen ellentétes kitérés­sel érkezik, eredőjük nulla kitérést eredményez. (Pontosabban akkor, ha még az amplitúdójúk is megegyezik.) Ahhoz, hogy ez a nulla kitérés az adott pontban tartósan fennmaradjon, szükséges, hogy a két szuperponálódó hul­lám fáziskülönbsége a kérdéses helyen állandó legyen ((2n +1)5T). Az ilyen tartósan állandó fáziskülönbségü hullámokat koherens (interferenciaképes) hullámoknak nevezzük. Nyilvánvaló módon, a hullán ok koherens voltát a hullámcentrumok konstans fáziskülönbségü gerjesztésével biztosíthatjuk. Kísérletünkben a két csúcs nulla fáziskülönbséggel mozgott, a kialakult in­terferenciaképet az 5. 2 ábrán szemléltetjük (a vastagabb vonallal rajzolt körök a hullámhegyeket, a vékonyvonaluak a hullámvölgyeket reprezentál­ják). Annak belátását, hogy a tartósan zéró kitérésű pontok hiperbolaive­ken helyezkednek el, az olvasóra bízzuk.

- Felhívjuk a figyelmet egy szóhasználati megállapodásra: Az inter­ferencia szót itt és a továbbiakban a szuperpozíciónál szükebb értelemben használjuk. Akkor mondjuk, hogy két (vagy több) hullám interferál egymás­sal (más szavakkal: szuperpoziciójuk interferenciát eredményez), ha lineá-

- 61 -

5.2 ábra

ris összegződésük időben állandó hullámképet hoz létre. Mivel ilyet csak az állandó fáziskülönbséggel találkozó hullámok adhatnak, mondhatjuk, hogy csak koherens hullámok találkozásakor jön létre interferencia. -

Megjegyezzük még: mivel a hullámkádas kísérleteknél a gerjesztés módja miatt mindig koherens hullámok keletkeznek, a legváltozatosabb in- terferencia-jelenségek megfigyelésére van lehetőségünk.

5.1.2 Hullámok elhajlása

Gerjesszünk körhullámokat a hullámtér egy pontjából, és helyezzünk el egy réssel ellátott akadályt a hullámok útjába. Mint az várható, a hullám a szabadon hagyott részen eljut az akadályon túli hullámtérbe is, és ha a rés elég nagy (tapasztalat szerint, ha jóval nagyobb a hullámhossznál), az 5.3a ábrán látható kép alakul ki. A centrum és a rés két szélső pontja által meghatározott szögtartományban terjed a hullám; a tartományon kivül, az akadály mögött hullámmentes zónák alakulnak ki. Ezt úgy is szoktuk mon­dani, hogy az akadály leárnyékolja a mögöttes hullámteret. Mindez elég természetesnek látszik, van azonban egy érdekes tapasztalat. Jól megfi­gyelve, az árnyékzóna határa nem éles, hanem határozottan az látható, hogy a hullámok behatolnak az árnyékzónába is, igaz egyre kisebb amplitú­dóval. Ezt a jelenséget a hullámok elhajlásának, idegen szóval diffrakció­nak nevezzük.

Az elhajlás egyre határozottabbá válik, ha a rés méretét csökkent­jük. A nyilás méretét a hullámhossznál is kisebbre választva (5.3b ábra),

- 62 -

a hullámok teljesen (!) behatolnak az akadály mögé, az árnyékzóna eltűnik. A rés pontosan úgy viselkedik, mintha hullámcentrum lenne.

Hasonló elhajlásjelenségeket tapasztalunk, ha a hullámok útjába vé­ges méretű akadályokat teszünk (az előbbi rések komplementerét). Nagy akadálynál kialakul az árnyékzóna - egy kis behajlással —, az egészen kis­méretű akadály mögé a hullámok teljesen behatolnak, árnyék nem keletke­zik.

Tapasztalatainkat a következőkben summázhatjuk: A hullámfelületek normálisaival jellemezhető irányú terjedés (több-kevesebb pontossággal) akkor bizonyul helyesnek, ha a hullámtérben levő rések, akadályok mére­te nagy a hullámhosszhoz képest.

5.1.3 Visszaverődés

A hullámtérbe helyezett akadályok a rájuk eső hullámokat visszave­rik; ez a jelenség a visszaverődés (reflexió). Az 5.4 ábrán egy kor- és egy síkhullám visszaverődése látható.

A visszaverődés törvénye legegyszerűbben síkhullámok reflexiója­kor fedezhető fel. Mindjárt kimondva a törvényt: A beeső és visszavert hullámfelületek normálisai (terjedési irányok), valamint a felület normá­lisa (beesési merőleges) egy síkban vannak, továbbá az általuk meghatá­rozott szögek egymással egyenlők (lásd az 5.4b ábrát). Az oc szög neve a beesési, az oc ’ -é a visszaverődési szög.

A törvény görbült visszaverő felületek és görbült fázisfelületü hullá­mok esetére is érvényes, annyi megszorítással, hogy görbületi sugaraik a visszaverődés helyén a hullámhosszhoz viszonyítva nagyok legyenek. (Ez

- 63 -

egyébként pontosan azt jelenti, hogy mind a fal, mind a hullámfelület a visszaverődés! helyen sikkal közelíthető.)

5.1.4 Törés

Ha a hullámtérben olyan tartományok vannak, amelyek­ben a terjedési sebesség külön­böző, akkor az őket elválasztó határfelület átlépésekor a hullám terjedési iránya ia megváltozik; azt mondjuk a hullám törést (re- frakciót) szenved. A törés ta­pasztalati törvényei az 5. 5 ábra jelöléseivel: A beeső és megtört hullám normálisai, valamint a határfelület normálisa egy sik- ban vannak; a beesési és törési szögre igaz az alábbi törvény:

5. S ábra

-64 -

ahol az hányadost a 2. közeg L-re vonatkozó törésmutatójá­

nak nevezzük, és c^ pedig a terjedési sebesség a megfelelő közegekben.

A törés síkhullámokra most megfogalmazott törvénye igaz görbült törő- és hullámfelületekre is, pontosan azzal a megszorítással, amit a visz- szaverődésnél már megbeszéltünk.

- A hullámkádban eltérő terjedési sebességű tartományokat - tapasz­talat szerint - a vízmélység helyi megváltoztatásával lehet létrehozni. (Mi ezt egy siklap vízbe merítésével értük el.) A sekélyebb vízben a hullámok lassabban terjednek, itt sűrűbben sorakoznak a fázisfelületek (az 5.5 ábrán ez a 2. közegnek felel meg). Még egy fontos észrevételre hívjuk fel a fi­gyelmet: A hullámok nemcsak behatolnak (megtörve) a másik közegbe, ha­nem a beeső hullám egy része a határfelületről mindig visszaverődik. -

ö. 2 A Huygens- és a Huygens-Fresnel-elv

A térbeli hullámterjedés és az előző pontokban részletezett jelensé­gek egységes értelmezésére Huygens 1678-ban egy elég hatékonynak bizo­nyult elvet mondott ki: Egy hullámfelület ninden pontjából elemi gömbhul­lámok indulnak ki, és egy későbbi időpontban kialakuló hullámfelületet ezen elemi gömbhullámok burkolófelülete határozza meg.

Az elv megalkotásában a legdöntőbb az - általunk is tapasztalt — kis résen történő elhajlás értelmezése volt. Ha úgy tetszik, ilyenkor pontosan egy a résből (a résbe eső fázisfelületből) kiinduló elemi hullám terjedését látjuk, azaz a rés hullámcentrumként viselkedik. Jobban belegondolva, ez elég természetes, hiszen a vízfelületnek ez a pontja is pontosan úgy rezeg (valamekkora fáziskéséstől eltekintve), mint az "igazi" centrum, csak az amplitúdója kisebb, ami miatt az elemi hullámok egyenként kis intenzitásu- ak. Az elemi hullámok frekvenciája, természetesen, megegyezik a hullám- centruméval.

A hullámterjedés maga, az elv szerint, a következőképpen képzelhető el: Tekintsük az O centrumu hullám H fázisfelületét (5. 6 ábra). Ennek minden pontjából gömbhullámok indulnak ki, melyek A t idő múlva c A t sugaruak lesznek. Ezek burkolója ugyancsak O centrumu gömbfelület, de c A t-vel nagyobb sugárral, azaz a H fázisfelület A t idő alatt c A t-vel nagyobb sugarura nő, ami éppen a hullám c sebességű terjedését jelenti. Azt mondhatnánk, minden rendben van, gondolatmenetünk közben azonban

átsiklottunk az elv egyik "gyenge" pontján, nevezetesen azon, hogy csak a külső burkoló adja helyesen a tapasztalatot, a belső nem. (A hullám nem terjed visszafelé!) Egyáltalán, a burkolófelület-elv fizikailag nem nagyon látszik indokolhatónak.

Mindazonáltal, az elv még ebben a formában is alkalmas a visszave­rődés és törés törvényeinek a magyarázatára. Érkezzen egy síkhullám-nya­láb oc beesési szöggel egy határfelülethez (lásd 5.7 ábra). A nyaláb egy ré­sze innen visszaverődik, a másik része behatol a 2. közegbe, ahol a terje-

- 66 -

dési sebesség az előbbitől különbözik; mondjuk legyen c^ > c^. Válasz-

szuk ki a beeső hulláin AB frontját, a^ért ezt, mert ennek az A pontja ép­pen elérte a határfelületet. Huygens elve értelmében innen elemi gömbhul­lámok indulnak ki a határfelület mindkét oldalán, a közegeknek megfelelő sebességgel. Az alatt az idő alatt, mig a kiválasztott front B pontja is a határfelülethez ér (a B’ pontba), az A céntrumu gömbhullámok az r^

és r^ sugaru (fél)gömbfelületekre terjedtek szét. Eközben persze a fázis­

felület pontjai sorra elérték a határfelületet, és mindegyik elindította a maga gömbhullámát a két féltérbe. E gömbhullámok az időkésés miatt rend­re kisebb sugaruak, és ha e két gömbsereg burkolóit megszerkesztjük, előttünk áll az AB front — T idővel későbbi — A’ B’ visszavert, ill. A’ ’ B* megtört helyzete. A T időkésés BB’ /c^ (jelölések az ábrán), ebből és

a terjedési sebességekből az r^ és r^ sugár meghatározható:

BB*(5.2a) r, = AA’ = c, T = c, . --- = BB’ ,

1 1 1 e,

2(5.2b) r2 = AA" =c2 r = . BB’ .

Az ABB’ derékszögű háromszög (5.2a) miatt egybevágó az AB’ A’ három­szöggel, azaz oc = oc ’ , ami a visszaverődés törvénye.

A törési törvény a közös átfogóju AB’ B és AB* A’ ’ derékszögű há­romszögekből, továbbá az (5.2b) összefüggésből származtatható: AB’ =

C2= BB’ / sin oí és A£’ = AA" / sin (l = BB’ . —— / sin ¡i ; a két egyenlet­

ből kiejtve a közös átfogót, 1

sinoc _ 1 _ sin (3 ~~ c2 ~ n21’

amit bizonyítani akartunk.Arra a már korábban felvetett kérdésre, hogy a beeső hullám intenzi­

tása milyen arányban oszlik meg a visszavert és megtört nyalábok között, az elv ebben a formájában nem tud választ adni; hasonlóképpen az elhajlás­jelenségek értelmezésére sem képes. E nehézségeket Fresnelnek sikerült kiküszöbölnie 1816-ban a Huygens elv olyan módosításával, hogy az 11. . . elemi hullámok bürkolófelülete" elvet az " . . . elemi hullámok interferenciá­ja" posztulátummal helyettesítette. A módosított, immár Huygens-Fresnel-

- 67 -

elv mindmáig helyesnek bizonyult, és mindazokra a problémákra is választ tud adni, amelyekkel az eredeti adós maradt.

Megfogalmazása: A hullámtér minden pontja elemi hullámok kiinduló­pontja, és a hullámtérben a makroszkópikusan észlelhető állapotot egy ko­rábbi, ismert hullámfelületből kiinduló elemi hullámok interferenciája ha­tározza meg.

Ennek megfelelően az elhaj­lás pl. a következő módon értel­mezhető: Az 5. 8 áhrán látható ré­sen történő elhajlásnál a P pont­ban észlelhető állapotot úgy kell kiszámítani, hogy az Ab’ ivda- rab minden pontjából kiinduló ele­mi gömbhullám által a P-ben kel­tett rezgéseket összeadjuk. Ezt elmondani könnyű, kiszámolni már nehezebb, hiszen e gömbhul­lámok által a P-ig megtett ut kü­lönböző, igy az összeadandó rez­gések amplitúdója és fázisa is kü­lönbözik. Egy esetre az elv he­lyességét azonban mi is beláthat­juk: ha az AB’ ivdarab (a rés) a

hullámhossznál sokkal kisebb, akkor a P-be érkező hullámok fázisa a P pont helyétől függetlenül nem (vagy alig) különbözik; igy mindig erősitik egymás hatását, azaz teljes elhajlás jön létre. Elméleti fizikai tanulmá­nyaik során majd az AB’ > X esetre is elvégzik a számolásokat, sőt meg­nyugtató választ kapnak arra a most függőben maradt kérdésre is, hogy a hullámok visszafelé (a centrum felé) miért nem terjednek, azaz a fázisfe­lületből a centrum felé induló gömbhullámok interferenciája valóban min­dig nulla kitérést eredményez-e.

5. 3 Doppler-effektus; fej hullám

Közismert és könnyen ellenőrizhető tapasztalati tény, hogy a felénk közeledő autó zúgását, az állomásra érkező mozdony füttyét magasabbnak halljuk, mint amikor már távolodik tőlünk. Órai kísérletünkben gyorsan forgó rúd egyik végére hangszórót erősítettünk, és határozottan észlelhető volt a hallott hang magasodása és mélyülése, attól függően, hogy a hang­szóró éppen közeledett vagy távolodott tőlünk mozgása közben. Énektanul­mányainkból tudjuk, de egy későbbi fejezetben mi is tárgyaljuk, hogy a hal­

- 68 -

lőtt hang magassága a frekvenciától függ, igy az előbb leirt tapasztalatok pontos megfogalmazása á következő: Ha a hangforrás mozog az észlelőhöz képest, az észlelt frekvencia különbözni fog a hangforrásétól. Hasonlókép­pen, változni fog az észlelt frekvencia a fordított szituációban is, azaz ha a megfigyelő mfozog és az adó áll.

Mint ahogy az alábbi megfontolásokból is ki fog majd derülni, az ész­lelt frekvenciaeltolódásban nem az adó és a megfigyelő egymáshoz képesti sebessége, hanem az adónak vagy az észlelőnek (esetleg egyszerre mind­kettőnek) a hullámot vezető közeghez viszonyított sebessége a mérvadó.Ha belegondolunk, ez elég természetes, hiszen minden egyébtől függetle­nül a közeg állapota határozza meg a terjedési sebességet, minden más esetleges. Ennek megfelelően, számolásainknál a vonatkoztatási rendszert a közeghez rögzítjük. Azt az esetet vizsgáljuk csupán, amikor az adó és az észlelő a közeghez viszonyított mozgása közben mindig egy egyenesen helyezkedik el.

a) Az adó áll, az észlelő mozog

A nyugvó adó sugározzon V frekvenciával; ez a hullám a közeg ál­tal meghatározott c sebességgel terjed. Az észlelő mozogjon az adó felé v sebességgel, kérdés: az eközben észlelt frekvencia mekkora.

Az észlelt frekvenciát, függetlenül attól, hogy a megfigyelő mozog-e vagy sem, az dönti el, időegység alatt hány darab hullám (hány \ hullám­hossz) ment az észlelési ponton keresztül. Az 5.9 ábra segítségével ez köny- nyen meghatározható; a megfigyelő mozgása közben A t idő alatt E-bői

5.9 ábra

az E’ pontba jutva nemcsak az OE szakaszra eső hullámokat észleli (eny- nyit észlelt volna, ha az E-ben maradt volna), hanem még az O'O szakasz­ra esőket is (O’ O = E’ E); a megfigyelés ugyanis az E’ pontban végződik, és ide az észlelés időtartama alatt az O’ pontból is eljutnak a hullámok.E hosszú mondat után a számolás már sokkal rövidebb:

v , = (c + v) A t

de \ = c/v , igy A . A t

- 69 -

(5.3) Y)’ = U (1 + ~ ).

A formula távolodó megfigyelő esetére is jó, csak ilyenkor —mint az könnyen belátható - az (5.3)-as képletben már feltüntetett negatív előjelet

kell használni.

b) Az adó mozog, az észlelő áll

Mozogjon az adó v sebességgel az észlelő felé, V frekvenciával re­zegve. Mig az adó T periódusideje alatt egy teljes hullámot kibocsát, vT távolsággal eln.ozdul a terjedés irányában (lásd 5.10 ábra), ezalatt a hul­lám "eleje" a közeg által meghatározott c sebességgel haladván oda jut, ahová álló adó esetén is jutott volna. Ez viszont azt jelenti, hogy a közeg­ben valóban rövidebb hullámhosszuságu hullámok haladnak az észlelő felé, aminek következtében az nagyobb frekvenciát észlel, mint az adó periódus­idejéből következő V = 1/T. A megrövidült hullámhossz (az 5.10 ábra je­

löléseivel)

5.10 ábra

V = A - vT = T(c - v) = ,

azonban =c/\>’ , igy

(5.4) v ’ = M -- L — .1 + —

c

(A végformulában szereplő "+,t jel az észlelőtől távolodó adó esetére vonat­kozik. )

-70 -

c) Fejhullám

Ha a másodikként tárgyalt eset olyannyira "elfajult" változatát vizs­gáljuk, amikor a forrás nagyobb sebességgel mozog, mint az általa keltett hullám sebessége, igen érdekes jelenség következik be. Erre a szuperszó- nikus (hangsebességnél gyorsabb) repülőgépek mostanában elég gyakran igen csattanós bizonyitékot szolgáltatnak az ismert "hangrobbanásuk" ré­vén. Az effektus persze, már régebből is ismert; tüzérségi lövéseknél először éles, sivitó hang hallható — ezt nevezték el fejhullámnak - csak később érkezik meg a torkolati dörej.

Próbáljuk meg a jelenség értelmezését a Huygens-elv alapján. Ha­ladjon egy lövedék v > c sebességgel (c a hangsebesség). Pályája men­tén, ahol éppen van, minden pontból sorra egymás után egy c sebességgel táguló lökéshullám indul el (lásd 5.11 ábra), és e gömbsorozat egy olyan állandó nyílásszögű kúppal burkolható be, melynek a csúcsa mindig a löve­dék. A kúp nyilásszögét a hullám és á lövedék sebessége határozza meg: 0 -val jelölve a fél-nyilásszöget, az ábra alapján

© = arc sin —.v

5.11 ábra

Hogy az igen nagy forrás-sebességeknél valóban a fenti mechanizmus szerint játszódik le a makroszkópikus hullám kialakulása és terjedése, ar­ról az órán saját szemünkkel is meggyőződhettünk; az alkalmas módon ger­jesztett vízfelszínen pontosan az 5.11 ábrának megfelelő hullámkép kiala­kulását szemlélhettük.

- 71 -

Visszatérve végtil a bevezetőben említett példákra; a hangot mi ak­kor halljuk, amikor a kupfelület alakjában terjedő lökéshullám áthalad raj­tunk. E frontban az energia-sűrűség igen nagy lehet (nagyon erős csattanás hallatszik), mert az interferencia következtében itt koncentrálódik az elemi lökéshullámok energiája.

5.4 Diszperzió; fázis- és csoportsebesség

Hullám tani vizsgálataink egyik legelső és legfontosabb felismerése azt volt, hogy

a rugalmas közegekben terjedő hullám sebességét a közeg állapota egyértelműen meg­

határozza.Eddig egyetlen nem rugalmas természetű hullámmal volt dolgunk — a viz felületi

hullámaival a hullámkádas kísérleteinknél —, de itt sem tapasztaltunk semmiféle anomá­

lis ("rendellenes") viselkedést; állandó frekvenciával gerjesztettük a felszín egy pontját, és innen valamekkora hullámhosszuságu hullámok terjedtek, valamilyen állandó sebes­

séggel. Nos, éppen ez az állandó, egyenletes gerjesztés volt az oka, hogy a megszokott

terjedési mechanizmustól semmilyen eltérést sem vettunk észre. Ha a hullámkádban egyszerre két különböző hullámhosszuságu hullámot kelthettünk volna, észrevettünk vol­

na, hogy e két hullám különböző (!) sebességgel terjed, azaz a terjedési sebesség függ a

hullámhossztól. Ezt a jelenséget nevezzük diszperziónak.Keressünk hát akkor egy másik bizonyítékot. A nagyerdei tó hidján átmenve dob­

janak be egy kavicsot a vízbe. Az első lényeges tapasztalat, hogy az ilyen egyszeri ger­

jesztéssel keletkező véges méretű hull ám vonulat (hullámcsomag) egészének a sebessé­ge különbözni a vonulatot alkotó néhány hullámhegy sebességétől, ezek ugyanis jól Lát­

hatóan a vonulathoz képest is mozognak. Megfigyelhető még, hogy a hullámcsomag szé­

lessége állandóan nő, továbbá mindig a nagyobb hullámhosszuságu hullámok tolakodnak

benne előre — ezek sebessége a nagyobb. Úgy tűnik, egy ilyen hullámcsomag sok, külön­böző hullámhosszuságu — ezért különböző terjedési sebességű — hullámból áll, és ezek

szuperpozíciója a látható (elég különleges viselkedésű) vonulat.

A vízfelszínen futó hullámcsomag viselkedése elég bonyolult, pontos tárgyalását

meg sem kíséreljük, inkább csak ötletet merítve belőle azt vizsgáljuk, mi történik akkor, ha diszperziót mutató hullámok szuperponálódnak. Elegendő ehhez csak két hullám ese­

tét vizsgálni, eredményünk tetszőleges sok hullám szuperpozíciójára is igaz. Legyen a

két hullám amplitúdója egyenlő, de a diszperziónak megfelelően az egyik sebessége és

hullámhossza c és A , a másiké — kicsit különbözve az előzőtől — c’ = c + A c és X =

= A + A A . Az 5.12. ábrán két ilyen hullám eredője látható, két különböző időpillanat­

ban. (A könnyebb rajzolhatóság kedvéért az ábrán ugyan háromszög-hullámokkal dolgoz­

tunk, mondanivalónk szempontjából kvalitative ezek Is megfelelnek, a számolásokat azon­

ban már szinuszos hullámokra végeztük.) Mindkét esetben tipikus "lebegési" görbét lát­hatunk, azzal a lényeges kiegészítéssel, hogy az M-mel jelölt maximumhely nem együtt

mozog a hullámokkal (lemaradt tőlük), a terjedési sebesség különböző volta miatt.

A maximumhely vándorlási sebességét nevezzük el csoportsebességnek, megki. •

lönböztetésül az egyes hullámok terjedését megadó fázissebességtől. A csoportsebesség

nagyon szemléletes elnevezés, ugyanis makroszkopikusan a hullámok alkotta csoport (a

maximumhely) vándorlása látható, nem pedig az egyes hullámoké.

-72 -

5.12 ábra

A feladatot így hát kitűztük; számoljuk ki a c* csoportsebességet az egyas hul­

lámok alkalmas paramétereiből. Legyen a két hullámfüggvény az ábrának megfelelően:

(5.5a) = A sin - -*-)>

<5-5b> ? 2(t,x) = -A s in (^r - j r ).

- 73 -

Egy adott időben ezeket összeadva, kialakulnak a térbeli lebegési görbék. Az összeadás- oc + R oc — 0

nál a sin oC - sin fl = 2cos ——— . sin — -— azonosságot használjuk, s mivel az Moc - fi

maximum hely viselkedését a szorzat lassabban változó — sin — ---- tényezője határoz­

za meg, a továbbiakban csak ezzel kell foglalkoznunk.A maximumhely A t idő alatti elmozdulásának meghatározása végett adjuk ösz-

sze a hullámokat a t majd a t + A t időpillanatokban. (A kevesebb írás kedvéért vá­lasszuk t -t nullának; ez nem jelent megszorítást.) A maximumhely először ott alakul

ki, ahol a szinuszos tényező argumentuma Jt/2, azaz az

(5.6a)

helyen. A t idő múlva a maximumhely máshol található, mégpedig az

_L _L Jt T ~ T’

(5.6b) *2 - — "T T - X I ^ 1

X A A' A

értéknél. Mint az látható (5.6b) első tagja éppen x_; képezve a A x = x , - különb­

séget, majd At-vel osztva, e hányados határértéke a c* csoportsebesség, A A.’ =

= A +AA , T’ = A helyettesítések és átalakítások után c* -ra a következőc +Ac

eredményt kapjuk:

m , Acc = c - A z x •

Ha a iázissebesség a hullámhossz folytonos függvénye, a határértékvétel után a

(5.7) C* = C - A 1 X

csoportsebességet megadó Rayleigh-féle egyenlethez jutunk. (5.7) tehát egy egymástól

nem nagyon különböző fázlssebességü hullámokból álló vonulat csoportsebességét adja.

(Az egyenlet speciális esetként tartalmazza a diszperziót nem mutató hullámok alkotta

hullámcsomag csoportsebességét is; ilyenkor dc/dA = 0, Így c* = c-vel, m in táz

várható is.) A csoportsebesség a fázissebességnél kisebb is, nagyobb is lehet; ezt a

c( A ) függvény konkrét alakja dönti el.

A vizhullámok mindkét esetre szolgáltatnak példát, ugyanis a nagyon rövid (A % 1 cm) hullámok terjedését a felületi feszültség, a hosszuakét (A ü 5 cm) a nehéz­

ségi erő határozza meg. (A köztes tartomány az un. vegyes hullámoké; itt mindkét ha­

tás egyszerre jelen van.) Itt nem közölt számítások alapján:

(5. 8a) kis A: c = ^ ~ ’

- 74 -

(5. 8b) nagy A :

Az (5.7) és (5.8)-as formulák alapján kiszámolható, hogy a nehézségi hullámoknál a cso­

portsebesség kisebb a fázissebességnél, a kapilláris hullámoknál éppen fordítva. Az el­

ső eset az un. normális diszperzió, a második az anomális diszperzióra példa.- Végül még néhány szót a vízfelszínen terjedő és "szétfolyó" hullámcsomagról.

Kicsit bonyolultabb matematikai eszközökkel kimutatható, nagyon rövid ideig tartó ger­

jesztéskor (jeladáskor) olyan hagy hullámhossztartományban indulnak hullámok, hogy a jelet csak több hullámcsomagból lehet felépíteni. F csoportokra különböző csoportse­

bességek adódván, a jel egyre nagyobb méretű lesz, szétfolyik. -

5. 5 Hangtan

E fejezet valójában méltatlanul viseli a Hangtan cimet, mivel a ha­gyományosan ide tartozó témakörök közül csupán eggyel foglalkozunk rész­letesen.x Azt fogjuk megvizsgálni, hogy a levegó'ben terjedő periodikus hullámok — a fizikai értelemben vett hang — a fülünk közvetítésével milyen érzeteket keltenek a tudatunkban. Olyan kérdésekre keresünk választ, hogy a hang objektive mérhető jellemzői, az energiaáram-sűrűség, frekvencia stb., milyen kapcsolatban vannak a hangérzet leírására utaló kifejezések­kel, a hangerősség, hangmagasság és hangszin szavakkal. A hangérzet e jellemzői nem fizikai mennyiségeket jelentő fogalmak; valahogy úgy alakul­hattak ki, hogy a különböző hangérzetek közötti különbségeket a fenti három szó segítségével tudjuk leírni. Az a tény viszont, hogy az emberek igen nagy többsége ezt a három minőséget érzi, és ezekkel egybehangzóan tesz különbséget a hallott hangérzetek között, arra enged következtetni, hogy a hang fizikai (műszerekkel mérhető) jellemzői és az érzetek között valami­lyen megfeleltetést lehet létesíteni.

Mint az eddigiekből már sejthető, a hang szón mi most a szükebb ér­telemben vett un. zenei hangot értjük; az előbbi három érzet-fajta csak eh­hez rendelhető. (A zajoknál és dörejeknél a magasság és a hangszin nem, vagy csak igen bizonytalanul érzékelhető.) A zenei hang olyan periodikus hullámnak felel meg, amely a periódusidejéhez képest hosszú ideig szól. Zenei hangot a hangszerek adnak, de ide tartozik az emberi ének- és be­szédhang is.

A téma iránt jobban érdeklődő olvasónak a Tankönyv "Hangtan" fejezetére hívjuk fel a figyelmét.

- 75 -

A hangérzetek közül elsőként a magassággal foglalkozunk. Nagyon könnyen bizonyítható, hogy két hang között akkor érzünk magasságkülönb­séget, ha a frekvenciájuk különböző, mégpedig az a hang a magasabb, amelyiknek nagyobb a frekvenciája. A legegyszerűbb kísérlet állításunk igazolására: egy változtatható fordulatszámu fogaskerékhez egy falemezt tartunk, és a hallott - egyébként nem túlzottan kellemes - hangot annál magasabbnak érezzük, minél gyorsabban forog a kerék. Ugyancsak a ma­gasság emelkedését halljuk, ha a húrt rövidebbre fogva pendítjük meg, és valóban — emlékezzünk csak vissza a húron kialakulható állóhullámokra — az alapfrekvencia annál nagyobb, minél rövidebb a húr.

A húr hangja egyben nagyon alkalmas arra is, hogy vizsgálatával a hangszinre (a hangszin-különbségre) is fizikai magyarázatot adhassunk.Még az állóhullámoknál tanultuk, hogy egy húr végtelen sok sajátfrekvenci­ával rezeghét, és amikor megpendítjük, akkor nemcsak az alap-, hanem még sok nagyobb sajátfrekvenciáju állóhullám is kialakul. (Erről a tanár­szakosok a demonstrációs gyakorlatokon a hur-hang oszcilloszkópos vizs­gálatával sajátkezüleg is meggyőződtek.) így hát, ha egy húrt (de bármilyen más hangszert is) megszólaltatunk, az egyszerre nagyon sok frekvencián szólal meg, mégis határozottan "egymagasságu" hangot hallunk; nem úgy, mint amikor egyszerre két húrt pendítünk meg.

Nos.a hangmagasságot egyértelműen és kizárólagosan az alapfrek­vencia határozza meg, a magasabb frekvenciák (az un. felharmonikusok) a hangszin kialakításában vesznetrészt. A hangszerek szerkezete, a meg­szólaltatás módja stb., ugyanis a felharmonikusok amplitudóeloszlását különbözőképpen módosítja (nem egyforma erősen szólnak a magasabb frek­venciák); ezért tudunk különbséget tenni egy fuvola és egy hegedű "a" hang­ja között, továbbá ezért lehet valakit a hangja után felismerni.

A hangmagasságnak van ugyan objektív mértéke, mégis szükségesnek bizonyult — elsősorban a zene hatására és'igényére _ szubjektív magasság- -skálát bevezetni. Ezt a skálát ének-tanulmanyainkból jól ismerjük; alap­egysége az "oktáv". Az egymástól oktávnyi távolságban levő hangokat egy­más után megszólaltatva a hallott hangokat egyenletesen magasodni érez­zük. Mérésekkel megállapítható, hogy az egymástól oktáv távolságban levő hangok frekvenciáinak aránya 2:1-hez, a magasabb javára.

Az emberi fül hallástartománya kb. 10 oktáv (16 Hz - 16 000 Hz), a beszéd hangterjedelme kb. 1 oktáv. A 10 Hz alatti rezgéseket már nem hangnak halljuk, minden rezgést külön érzékelünk. A 16 000 Hz rezgés­szám fölött ultrahangról beszélünk, ezt az emberi fül már egyáltalán nem

érzékeli.Most már csak a hangerősség-érzet van hátra. Kísérletileg igen

könnyen eldönthető — de nehezen is tudnánk mást elképzelni —, hogy a hang­erősséget a hanghullám energiája határozza meg; szabatosabban: a hullám energiaár am-sűrűsége.

- 76 -

Természetes igény, hogy a hangerősséghez is rendeljünk valamilyen skálát. Kísérleteket végezve hamar rájöhetünk, a fizikai egységre (W/m^) épülő skála nem alkalmas (nem célszerűen alkalmas) a hangosság-érzet leírására, ugyanis ha két egyforma teljesítményű hangszóró közül először egyet, majd mind a kettőt egyszerre megszólaltatjuk, alig (!) érzékeljük erősebbnek a kettő együttes hangját, mint az egyedüliét. (Vigyázat: tudato­san kerültük a "nem halljuk kétszer olyan erősnek" kifejezés használatát. Vegyék észre, ennek nem is lenne értelme!) Végül a következő tapasztalat hozza meg a várt eredményt: Sok emberrel végzett kísérletek alapján elég nagy biztonsággal kijelenthető, az emberi fül a hengerősség-különbség ösz- szehasonlitására képes; kicsit érthetőbben, hallás alapján ki tudunk válasz­tani olyan hangokat—jelöljük ezeket Ej, E^, E^-mal - amelyek hangos­

ságáról azt állíthatjuk, E^-t ugyanannyival halljuk hangosabbnak E^-nél,

mint az E^-t az E^nél, azaz bizonyos hangokat hangosság szerint lineáris sorba tudunk rendezni. (A félreértések elkerülése végett megjegyezzük: az E. jelöléseket még nem mennyiségi, hanem csak azonosító értelemben

használjuk.)Ha most megmérjük, hogy a szubjektív hangosság szerint ily módon

lineáris sorba rakott E , E , E hangok J , J , J intenzitása (energia-1 ¿a *5 1 * 0árama) mekkora, az intenzitások között a

viszonyt fedezhetjük fel. Ugyanez szavakban: Az egymás után megszólaló E , Eg, Eg hangokat akkor halljuk sorban ugyanannyival erősebbnek, ha

intenzitásuk az előzőének mindig ugyanannyiszorosára nő; vagy még tömö­rebben, mértani sor szerint növekvő ingerek váltanak ki számtani sor sze­rint növekvő érzeteket.

Ezt a tapasztalatot fejezi ki a Weber és Fechner által felfedezett un. pszichofizikai alaptörvény, mely szerint: Az érzet az inger logaritmusá­val arányos, azaz

J !(5.9) E = const. lg —r~ .

2

Ezek után már mennyiséget is rendelhetünk a hangerősség-érzethez: Az (5.9)-ben szereplő J^-t célszerűen az ingerküszöbnek szokás válasz­

tani, ez a legkisebb még hallható 1000 Hz-es hang intenzitása (jelölése Jq);

-77 -

az arányossági tényező pedig definició szerint 10 dB (olvasva: 10 decibel).

Ilyen választás mellett (5.9) a következő alakú:

(5.10) E = 10 P lg dB.J 0

Ezután lehet most már a hangerőssé?-érzetről mennyiségi értelemben is beszélni.

- A pszichofizikai alaptörvény nemcsak a most vizsgált esetre vonatkozik, szin­

te minden érzet és az öt kiváltó inger között ez a kapcsolat. így van ez a fényességérzet­

tel, de a hangmagassággal is. ("Taktikai" megfontolásból nem ott tárgyaltuk a törvényt:

mivel attól féltünk, ének-zenei tanulmányaik hatására néhányan - az igen erős beidegző­

dés folytán — szinte érezni vélik, hogy pl. a 256 Hz-es c^ hangnál az 512 Hz-es c^

hang kétszer olyan magas.)Minden esetre nagyon figyelemre méltó az emberi szervezet ezen tulajdonsága;

talán nem a legszerencsésebb megfogalmazás, de a lényeget érzékelteti, hogy nem is magát az ingert, hanem annak nagyságrend-változását érzékeljük. Úgy tűnik, az élő szer­

vezet az őt érő ingerek közül elsősorban a kisebb intenzitásuak között akar finomabb kü­

lönbséget tenni, ami egyben a relativ különbségek kiemelését is jelenti. A hengerősség-

nél pl. míg az ingerküszöb intenzitása 10 16 J/s cm2, addig a még fájdalom nélkül el-

-3 2viselhető hangé 10 J/s cm , azaz 13 nagyságrendet változik a fizikai hatás, és eköz­

ben az érzet lineárisan 0 dB-ről 130 dB-re nő. -

A kis kitérő után visszatérve; még nem állíthatjuk, hogy az (5.10)- es formula bármely két hang erősségkülönbségét mindig jól leírja. Az a helyzet, a dB-skála csak akkor adja helyesen a hangosság-érzetet, ha egyenlő frekvenciájú hangokat hasonlítunk össze; ugyanolyan dB számú, de különböző frekvenciájú hangokat nem egyformán érezzük hangosnak. Ezen a phon skála bevezetésével lehet segíteni: Akkor mondjuk, hogy egy tetsző­leges frekvenciájú, vagy frekvencia-összetételű hang hangossága x phon, ha füllel összehasonlítva egyforma hangosan halljuk egy x dB erősségű 1000 Hz-es tisztahanggal. A sok emberrel végzett mérések eredményét az 5.13 ábrán láthatjuk; a definícióból következően az 1000 Hz-es hang hangossága annyi phon, ahány dB az erőssége, a többi hangé pedig az un. "egyenlő hangosság görbéi" segítségével állapítható meg, így pl. a 20 phon hangosnak hallott 100 Hz-es hang kb. 50 dB erősségű, azaz fizikai inten­zitása több mint százszorosa a vele egyformán erősnek érzett 1000 Hz-es hangénál.

- 78 -

5.13 ábra

6. § A fényhullám

Annakidején, amikor a geometriai optikával foglalkoztunk — emlékez­zenek vissza — minden olyan kérdést kerültünk, ami a fény természetére vonatkozott volna. Ebből következően még a geometriai optika meglehető­sen szűkre szabott érdeklődési körében is néhány érthetetlen és megmagya­rázhatatlan jelenségre bukkantunk. Elég csak a fény színére, a prizma színbontására vagy a mikroszkóp véges feloldóképességére utalni, már­is világos, ezek a kérdések — melyek a geometriai optikában hibák, aber­rációk voltak - a fény fizikája szempontjából egyáltalán nem mellékesek, sőt az a valószínű, hogy éppen itt keresendő a lényeg.

6.1 A fény terjedési sebessége

Az előbb felvetett kérdések tisztázása előtt azonban szükséges még egy, a fénnyel kapcsolatos adósság tisztázása is. A geometriai optika fénysugarára ugyan azt mondtuk, hogy terjed, és ezzel a fény véges ter­jedési sebességét sugalltuk, holott valójában erre sem kísérleti bizonyí­tékunk, sem egyéb okunk nem volt, sőt a geometriai optikában az idő mint fizikai mennyiség nem is szerepel, ami azt jelenti, hogy a fény viselkedé­sének leírásához itt az idő nem szükséges, a fény terjedési sebességét vég­telennek tekinthettük. Kicsit részletesebben fogalmazva: Egy fényforrás

- 79 -

bekapcsolásának pillanatában a fényforrás fénye a geometriai optika felte­vései szerint tetszőleges helyen azonnal, a bekapcsolással egyidőben ész­lelhető.

Nos, egy ilyen idő nélkül terjedő hatás feltételezése eddigi tapaszta­latainkkal nem egyeztethető össze, mi több, még azt a kijelentést is meg­kockáztatjuk, hogy egy féléves fizikatanulás után már a fizikai világképünk­be sem nagyon illeszthető bele. Mindenesetre az a tény, hogy a geometriai optika jól elboldogul a végtelen sebességűnek feltételezett fénnyel, az arra utal, hogy a fény sebessége igen nagy lehet; ezért észlelhetetlen az időbeli terjedése kis távolságokon belül. Nem véletlen, hogy a fény véges sebessé­gére vonatkozó első kisérleti bizonyitékokat éppen csillagászati észlelések szolgáltatták.

A dán Olaf Römer (1676) a Jupiter egyik (az Io nevű) holdjának keringési idejét mérte, és a több évig tartó mérések során az Io keringési idejében tapasztalt periodi­

kus eltolódásokat a fény véges terjedési sebességével magyarázza.

A keringési időket a következő módon mérte: Az észlelések időpontjául mindig

azt a pillanatot választotta, amikor a hold árnyéka éppen megjelent a Jupiter felszinén,

igy a keringési idő két egymásutáni árnyékmegjelenés között eltelt idővel azonos. Na­

gyon sok megfigyelés után igy meg tudott állapitani egy "átlagos" keringési időt (42 óra

2S perc 16 másodperc). A dologban az volt az érdekes, hogy az átlagosnál mindig szisz­

tematikusan nagyobb periódusidő adódott, amikor a mérés ideje alatt a Föld pályájának ABC ivén haladt, azaz távolodott a Jupitertől (lásd 6.1. a ábra), a CDA ivén történő mé­

réseknél pedig az átlagosnál mindig kisebb. A legnagyobb ü l. a legkisebb keringési időt

a B ü l. D Föld-helyzetü észleléseknél kapta; az átlagtól való eltérés ezeken a helyeken

+ 15 másodperc volt. (A 6.1b. ábrán az egy évig tartó periódusidő-mérések eredménye

6.1 ábra

- 80 -

Römer a méréseiben mutatkozó eltéréseket a fény véges terjedési sebességével

magyarázta: pl. az ABC Íven azért adódik hosszabbnak a keringési idő, mert két észle­

lési pont között a Föld távolodik a Jupitertől, igy a periódusidő végét jelző, a hirt "ho-

*<¥' fénysugárnak hosszabb utat kell megtenni a Földig, amihez idő sziikséges. Az akko­

riban rendelkezésre álló csillagászati adatokból, valamint a saját méréseiből a fényse­

bességet is meghatározta, eredménye a jelenleg ismert értéknek kb. a 2/3-a volt.Az első laboratóriumi módszerekkel végzett fénysebesség-mérés Flzeau nevéhez

fűződik (1849). A mérés elvben nagyon egyszerű, hiszen "csak" egy rövid fény-impulzust

kell előállítani, és mérni, mennyi idő alatt tesz meg egy megadott távolságot; ugyanak­kor a megvalósítás nehézsége is nyilvánvaló, ugyanis igen pontosan kell meglehetősen

nagy távolságot, és - ami még nehezebb - igen kis időszakaszt mérni.

Fizeau kísérleti berendezését a 6.2. ábra mutatja. A fényimpulzusokat egy gyor­san forgó fogaskerék (FK) fogaira ejtett fény-nyalábból állította elő, melyek a T tükörről

visszaverődve ismét a fogaskerék peremére estek. (A lencsék és az FT félig-áteresztő

tükör szerepe nyilvánvaló, magyarázatra nem szorul.) A mérés menete a következő: Fo­

rogjon a kerék kezdetben elég lassan. Ilyenkor az egy fogközön átjutó fényimpulzus a tü­

körről visszaverődve még ugyanazon a fogközön vissza tud jutni, igy a távcső látómezeje

világos lesz. Növelve a fordulatszámot, elérkezünk egy olyan helyzetbe, hogy a résen átjutó fény a reflexió után éppen a rákövetkező fogba ütközik, azaz fény nem jut át a ke­

réken, a távcsőben sötét lesz. A mérés készen is van: A teljes fényút (2L), valamint egy fél fognyi elforduláshoz sziikséges idő ismeretében a fénysebesség kiszámítható.

Az idő.a fogaskerék fogszámából és fordulatszámából határozható meg. (Fizeau eredeti adatai: a fényút 2L = 2 x 8,633 km, a kerék fogszáma 720, fordulatszám az elsötéte-

désnél 12,68 s .) Fizeau első mérése már 5% pontosságra közelítette meg a ma is­mert értéket.

Azóta természetesen egyre nagyobb pontossággal, különböző elvek szerint Igen sok fénysebességmérést végeztek. A ma Ismert legpontosabb adat 1976-os, eszerint a fény terjedési sebessége vákuumban

(6.1) c = 299 792 458 (+ 1.2) m/s.

Mint a következő fejezetben majd kiderül, ez az egyik legalapvetőbb természeti állandó, és jelentőségéhez Illően már Igen nagy pontossággal sikerült is meghatározni (a relatív hiba 4 x 10~7 %!).

-81 -

Még egykiegészités: A (6. 1) érték a vákuumbeli fénysebesség; átlát­szó közegekben a fény a közeg anyagi minőségétől függően más és más, de a vákuumbeliénél mindig kisebb sebességgel terjed (pl. vizben kb. 225 000 km/s).

6.2 A fény hullámtermészete

A fény tehát véges sebességgel terjed. E megállapítás után azonnal két kérdés merülhet fel:

1. Mi terjed a fényben? — vagy ugyanez másképpen - Milyen fizikai mennyiség vagy mennyiségek terjedése a fény?

2. A fény mi módon, milyen mechanizmussal terjed?

Az_ első kérdéssel most nem foglalkozunk, a válasz kb. egy év múlva, elektrodinamikai tanulmányaik közben fog elhangzani. Szerencsére - tovább­haladásunk szempontjából számunkra ez most fontosabb is — a második kér­dés az elsőre adott válasz ismerete nélkül is megválaszolható. Érdekesség­képpen megjegyezzük, az emberiség megismerési sorrendje is ilyen volt; jó száz évvel megelőzte a terjedési mechanizmus felfedezése a fényre vo­natkozó legalapvetőbb kérdések tisztázását.

Hogyan terjedhet hát a fény — vagy még általánosabban feltéve a kér­dést - bármilyen fizikai hatás? Eddigi tapasztalataink alapján két lehetsé­ges terjedési módot tudunk elképzelni^.

1. A fizikai hatást individuális, egymástól többé-kevésbé függetlenül mozgó részecskék közvetítik, szállítják. (A közérthetőség kedvéért egy egyszerű példa: A puskából kilőtt sörétszemek impulzust, energiát stb. "visznek" a céltárgyba.)

2. Valamilyen kiterjedt közeg kollektív mozgása, állapotának változá­sa közvetíti a hatást, azaz a fizikai mennyiségek transzportja hullámmoz­gásban realizálódik.

Eldöntendő tehát, hogy e két terjedési mód közül melyik a fényé. Ami­kor a Huygens-elv segítségével a hullámok törési és visszaverődési törvé­nyét levezettük — szinte bizonyosra vehető — mindenkiben felötlött a gondo­lat: Ezekkel már találkoztunk, mégpedig a geometriai optikában, a fény tö­résével és visszaverődésével kapcsolatban. Néhányan talán még'arra a fel­tevésre is eljutottak ekkora hasonlóság láttán — akkor a fény is hullám.

Vizsgáljuk meg, nem elhamarkodott-e ez a gondolat. Az mindeneset- ra óvatosságra intő körülmény, hogy golyók falról történő rugalmas vissza­pattanása hasonló törvényt követ. (Tanultuk ezt is!) Hogy teljes legyen a£s elbizonytalanodás, még az is igaz, részecskék alkalmas feltételek melletti

MTovábbi terjedési mód a későbbiek során sem merül fel, — sőt - a természet még e kettő éles szétvá-

lasztását sem engedi meg, mint az majd ki fog derülni.

- 82 -

mozgására (irányváltoztatására) is lehet a Snellius-Descartes-törvényt használni, csak a törésmutatót kell a helyzetnek megfelelően értelmezni.

Az állítást akár mi is beláthatjuk; a felhozott példa ugyan elektromossággal kap­

csolatos, de szerencsére a középiskolás ismeretek elegendőek hozzá. Haladjon egy m tömegű, e töltésű részecske (a gyakorlatban általában elektron) a 6.3 ábrán látható mó­

don két egymáshoz képest párhuzamos, finomszövésü drótháló (DH) felé. A hálók egyik oldalán U^, a másikon U2 konstans potenciálú

tér van. Az állandó potenciálú helyeken a térerős­

ség nulla, azaz a részecske sebessége itt állandó.A sebesség csak a hálók közötti résben változik,

mégpedig a munkatétel értelmében az

(6 . 2 )1 2rrr. v, = e (U„ - U )

1

egyenlet által meghatározott módon. Még többet is mondhatunk ennél: Mivel a térerősség a hálók

közötti részen a beesési merőlegessel párhuza­

mos, a gyorsitó téren áthaladván a részecskének

csak a normális sebességkomponense változik, a tangenciális nem, azaz

(6.3)2t’

Az ábra és a (6.2) összefüggés alapján

(6.4)sinoc

sin /I

ami a törés megszokott alakú törvénye. A v /v "törésmutató" kifejezhető a potenciálok

1 2segítségével, ugyanis a potenciál definíciójából kövstkezően értelme van az — m v. =

= eUj egyenleteknek külön-külön is; igy ezekből a sebességeket kifejezve és (6.4)-be he­

lyettesítve

(6.5)sin f i 2 1 '

Szumma-szummárum, a törés és visszaverődés makroszkopikus tör­vényei nem döntenek el semmit, a fény ettől még lehet akár korpuszkuláris- akár hullámtermészetü, a döntést más utón kell tehát keresnünk.

Hosszabb-rövidebb gondolkodás után mindenki rájöhet, egyetlen-egy olyan jelenségcsoport van, ami perdöntő lehet a kérdés eldöntésében: az interferencia. Ha sikerül fénnyel interferenciát létrehozni, akkor hullám-, ellenkező esetben korpuszkuláris természetű; ezt kell tehát megkísérelni.

- 83 -

Igen gyakran egyszerre több fényforrás fényét látjuk, és közöttük mégsem észleltünk soha interferenciát. Elhamarkodva arra következtethetnénk, hogy a fény nem hullámjellegü. Persze, megint legyünk óvatosak, ne vessük mindjárt el ezt a lehetőséget. Annakidején megbeszéltük, az interferencia szükséges feltétele, hogy a szuperponálódó hullámok koherensek legyenek. (Emlékeztető: Két hullám akkor koherens, ha a tér egy adott pontjában ál­landó fáziskülönbséggel találkoznak.) Nos, minden további nélkül elképzel­hető, hogy a független fényforrásokból, de akár egy nagyfelületű forrás kü­lönböző pontjaiból kiinduló fénysugarak egymással nem koherensek, és ezért nem jön létre interferencia.

A megoldást a következő ötlet szolgáltatta: Lehet, hogy a különböző helyekről induló fénysugarak egymással nem koherensek, de önmagával minden fénysugárnak koherensnek kell lenni! (Akkor persze, ha egyáltalán hullámtermészetü.) A feladat tehát egy pontszerű fényforrás fényét felbon­tani, majd újraegyesítésükkel az interferencia lehetőségét létrehozni. A kí­sérletet végrehajtották, interferencia mutatkozott, a fény tehát hullámter-

mészetü.

Nagyon röviden ismertetjük Fresnel kísér­

letét (l. 6.4 ábra): Egy fényforrás (F) kiblendézett

fényét két, egymással majdnem 180°-ot bezáró sik-

tükörre (un. Fresnel-féle kettó'stükör) bocsátotta, majd az ezekről visszaverődő fény útjába helyezett

ernyőn interferenciaképet (világos-sötét csikók so­

rozatát) észlelt. A rajz alapján a magyarázat is na­gyon egyszerű: a két tükörről az ernyő pontjaiba a

fénysugarak úgy érkeznek, mintha az F^ és F2 v ir ­

tuális fényforrásokból indultak volna. Az F^P és

F P távolságok különböznek, igy az F-ből azonos2 v.

6.4 ábra fázisban induló sugarak P-be már fáziskülönbség­

gel érkeznek, és e fáziskülönbségtől függően erősí­

tik, gyengítik, vagy akár ki is olthatják egymást.

Fresnel klasszikus kísérletét akár meg is ismételhetnénk (laborgya­korlaton fogunk is vele találkozni), ehelyett azonban sokkal látványosabbak­kal bizonyltjuk a fény hullámtermészetét, kihasználva a rendelkezésünkre álló korszerű eszközparkot. Elhajlásjelenségeket fogunk tanulmányozni, lézert használva fényforrásként. A lézernek - sok egyéb érdekessége mel­lett -egyik legfontosabb tulajdonsága, hogy nagyintenzitásu, szinte tökélete­sen koherens fénynyalábot állit elő, lehetővé téve ezzel a fény hullámtermé­szetének tantermi méretekben történő demonstrációját.

-84 -

A hullámok elhajlását a viz felületi hullámainak tanulmányozásakor fedeztük fel, próbálkozzunk most is ugyanugy; állítsunk a fénnyaláb útjába egy igen keskeny rést. A rés mögé tett ernyőn nagyon szép interferencia- -kép mutatkozik: A résen elhajlás nélkül átjutott un. direkt nyaláb fényfoltja mellett jobbra-balra elhajlott, rohamosan csökkenő intenzitású fény-pont­sor látható. A pontsor a résnél különböző szögekben elhajló fénysugarak interferenciájának eredménye. Kvantitative a résen történő elhajlást még nem tudjuk kezelni — ugyanazok a matematikai nehézségek, mint amilyenek­ről az 5.2 pontban már beszéltünk majd csak az elméleti optikában ke­rülhet erre sor.

Szerencsére van olyan elhajlásjelenség is, amit már mi is tudunk ér­telmezni. Ha a fénnyaláb útjába sok, egymással párhuzamos, egyenközü rést - un. optikai rácsot — teszünk, lényegében az előző kísérlet "javitott" változatát kapjuk. (Az optikai rácsot úgy készítik, hogy sik üvegfelületet erre alkalmas berendezéssel egymással párhuzamosan, siirün felkarcolják, igy ezek a helyek átlátszatlanokká válván az épen maradt felület-csikok al­kotják a párhuzamos résrendszert. Az általunk használt rácson milliméte­renként 571 karcolás van, azaz két rés egymástól való távolsága, az un.

“3rácsállandó 1,75 . 10 mm.) Az eltérületlen nyaláb mellett most is meg­jelennek az elhajlitottak, de az előbbinél sokkal jobban eltérülve, és sokkal intenzivebben.

A Huvgens-Fresnel-elv alapján értelmezni is tudjuk a látottakat; a 6.5 ábrán ki­

nagyítottunk egy rácsdarabot, a balról érkező párhuzamos fénynyaláb a réseken elhajlik minden rés minden pontjából minden irányban. Válasszunk ki résenként egy-egy olyan

fénysugarat (lásd az ábrát), melyek egyformán ot szöggel térültekei, és azonos réshe­lyekről indultak. E sugársor egymással koherens, és ha az ot szög éppen akkora, hogy

a szomszédos sugarak között keletkező A utkülönbség a A hullámhossz egész számú többszöröse, azaz

6.5 ábra

- 85 -

(6.6) A = n \ = d sinoc,

akkor e sugarak erősítő módon interferálnak egymással, és csak ezek. Hasonlóképpen

viselkednek az ugyancsak oe szögű, de más réspontokból induló sugarak is. A maximá­

lis erősítések irányát — kifejezve a (6. 6)-ból - az

oc = arc sin (n . - j- )

összefüggés adja. (6.6) alapján megbecsülhetjük a lézerünk által kibocsátott fény hullám­hosszát is: Az első elhajlási kép kb. 20°-kal tért el a beeső nyaláb irányától, ebből és a

-5 -5rácsállandó ismeretében, ^ * 6 . 10 cm (a gyártó cég szerint A = 6, 328 . 10 cm).

Végezzük el a kísérletet mé?egyszer, de most fehér szinü fényt használva. Az er­

nyőn a direkt nyaláb helyén most is fehér foltot látunk, az elhajlási helyeken azonban sze­nes sávok jelennek meg; a növekvő elhajlási szög sorrendjében az ibolya, kék, zöld, sár­

ga és a vörös színek. A kísérlet tanúsága szerint a fehér fény tehát különböző szinü fény­

hullámok keveréke. Ha tapasztalatainkat összevetjük a (6.7)-es formulával, még többet

is mondhatunk, ugyanis (6.7) szerint növekvő \ -hoz növekvő elhajlási szög tartozik, azaz más szinü fény más hullámhosszuságu hullámot jelent; az ibolyáé a legkisebb a vö­

rösé a legnagyobb. (Mérések szerint a látható fény* hullámhossztartománya — idegen szóval spektruma — 4000 X-től 7000 A-ig terjed.)

Ennyi, a fényről szerzett ismeret birtokában már visszatérhetünk a bevezetésben

felvetett néhány "érthetetlen" jelenségre. A színek fizikai alapját megtaláltuk a hullám­

hosszban, sőt a prizma színbontása (hasonlóan a lencsék sZini hibája) is ezzel magyaráz­

ható. Ezt a tapasztalatot úgy fogalmazhatjuk, hogy az anyagok törésmutatója függ a hul­

lámhossztól, azaz diszperzió lép fel. Arra a kérdésre persze, hogy m iért és hogyan

függ a törésmutató a hullámhossztól és az adott közeg paramétereitől, még nem tudunk válaszolni, ehhez pl. azt is kellene tudni, hogy mi "rezeg" a fényben. A mikroszkóp vé­

ges felbontóképességének is a fény hullámtermészete a magyarázata: ha a nagyítandó

tárgy mérete összemérhető a fény hullámhosszával, róla a fény koherens módon szóró­

dik, ennek következtében a tárgy éles képe helyett elmosódott interferenciaképet lehet csak látni.

Végezetül tapasztalataink summája: A fény meghatározott sebességgel terjedő hullám. (Egészen pontosan fogalmazva: Bizonyos, a fénnyel kapcso­latos jelenségek megmagyarázhatók a fény hullámtermészetével.)

"Felsőbb években majd kiderül, a fény színképe a látható tartományon túl mind a nagyobb, mind a kisebb hullámhossztartományok felé folytatódik.

-86 -

II. RELATIVISZTIKUS MECHANIKA

1. § Éter-hipotézis, Michelson-kísérlet A speciális relativitás elve

A fény hullám természetű, meghatározott véges sebességgel terjed. Kérdés: Mihez képest? Átlátszó anyagi közegben (vízben, üvegben stb.) bizonyára a közeghez képest. És vákuumban?

A múlt században tett hipotézis: "A világot betölti valamilyen végte­len kis sűrűségű, amellett rugalmas közeg. Ez közegellenállást nem okoz (az égitestek észrevehető közegellenállás nélkül mozognak a világűrben), ugyanakkor úgy viselkedik, mint egy szilárd test, hiszen transzverzális hullámok terjedhetnek benne. (Polarizációs kísérletekkel bizonyítható, hogy a fény transzverzális hullám!) Ez a feltételezett, igen különös tulajdonsá­gokkal rendelkező közeg az "éter". A fény az éterhez képest terjed c se­bességgel, ehhez képest egyenletesen mozgó más vonatkozási rendszerben a fénysebesség a különböző irányokban különbözőnek adódik. Ilyen módon a (mechanika szerint) egyenértékű inerciarendszerek között van egy kitün­tetett: az, amelyik az éterhez van rögzítve. Ez az abszolút nyugalomban le­vő rendszer. A Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszerben mért, külön­böző irányokra vonatkozó fénysebesség pontos mérésével el lehetne dönteni, hogy a Föld áll-e vagy mozog az éterhez képest. Egy rövid fényfelvillanás­ból eredő fényhullám az éterben At idő alatt cAt sugaru gömbfelületig jut el. Az éterhez képest mozgó vonatkoztatási rendszerben ülő megfigyelő viszont azt tapasztalja (Id. 1.1 ábra), hogy A t idő alatt a fény a felvilla-

./ 2 2nás pontjától (c-v)At, (c+v)At, ilL yc -v A t távolságra jutott az ábrán jelzett irányokban, ha v a mozgó vonatkoztatási rendszer sebes­sége az éterhez képest. Az általa mért adatokból számolt sebesség tehát c - v, ha a fény a rendszer mozgásával egyirányban terjed, c + v ha ellen-

A különböző irányokban terjedő fénysugarak sebességkülönbségét - és ezzel a Földnek az éterhez viszonyított sebességét — Michelson próbálta mérni (1887-től kezdődően, évtizedekig) az 1.2 ábra szerinti eszközzel ("Michelson-féle interferométer"). Az A fényforrásból érkező fénysugár a B félig áteresztő tükörre esik, ott egy része áthalad és a C tükörről verődik vissza, másik része visszaverődik és a . D tükörről indul ismét

tétesen és , ha arra merőlegesen".

- 87 -

1.1 ábra

vissza. A C és D tükörről B-re visszaérkező fénysugarak egy része az E távcsőbe jut. A B tükrön szét­vált két fénysugár onnan egyenlő fázis­sal indult; ha az l és kar pon­

tosan egyenlő hosszúságú, és ha a fény terjedési sebessége (az eszköz­höz képest) mindkét irányban ugyan­akkora, akkor a távcsőbe is egyenlő fázissal érkeznek, erősitik egymást. Ha azonban a Föld - és vele az inter- ferométer ~ mozog az éterhez képest, mondjuk az ábrán jobbra, akkor a BDE és BCE utat a fénysugarak különböző idők alatt futják be:

Cl,o d . '2, oda2 2

c - v'2, vissza’

^1, vissza ~c * v’

24'2 |/2 2

~2 i2 2 c C-í>

- 88 -

Az időkülönbség

A beérkező nyalábok egymással interferálnak. Végtelen vékony és tökéletesen párhuzamos nyalábok Interferenciájának eredménye erősítés vagy gyengités, esetleg kioltás lenne (világos vagy sötét látómező) attól függően, hogy az időkülönbség a fény rezgésidejének hányszorosa.

(A t = 0, + T, + 2T, ...¡v ilágos, At = *-|-, +|‘T, . . . : sötét)

- 89 -

A valóságban a fénynyalábok kiterjedt kúpok, a tükrök sem pontosan merő­legesek egymásra, stb., aminek következtében a távcső látómezejében az interferencia nem valamekkora intenzitású homogén megvilágítást, hanem világos és sötét csíkokat eredményez. Magyarázatképpen lásd az 1.3 ábrát: Egy fénykúp útját követjük végig egy olyan interferométerben, amely csak abban tér el az ideálistól, hogy a T2 tükör egy kis 6 szöggel el van for­

dítva. A szétvált fénykúpok a kétszeri visszaverődés után úgy találkoznak a távcsőnél, mintha az F|’ és F” forrásokból indultak volna; azaz ugyan­

az a helyzet állt elő, mint a Fresnel-féle kettőstükör-kisérletnél. Egyéb­ként az interferencia-csíkok fellépte a mérés pontossága szempontjából ki­fejezetten kedvezőnek mondható, ugyanis a különbség izotróp (minden irány­ban egyenlő sebességű) és nem izotróp fényterjedés között abban mutatko­zik, hogy az interferencia-csikok helyzete eltolódik, ami sokkal szignifi- kánsabban észlelhető, mint a homogén fényességű látótér intenzitás-válto- zása: Ha pl. a fénysebességek különbözősége A t = T/2 időkülönbséget eredményez, akkor éppen olyan helyre esik sötét esik, ahol izotróp terje­dés esetén világos esik lenne. A Földet nem tudjuk megállítani az éterhez képest, hogy megnézzük, hova esnének a világos csíkok izotróp fényterje- dés esetén. Beláthatjuk azonban, hogy körbeforgatva az interferométert, nem izotróp fényterjedés esetén a csikóknak el kell tolódni. (Amikor a két kar szimmetrikusan helyezkedik el a Föld sebességének irányához képest, a két fénysugár egyenlő sebességgel halad; ehhez képest 45°-kal elforgatva viszont a legnagyobb időkülönbséget kapjuk. Ez a csikeltolódás akkor is várható, ha a karok nem tökéletes pontossággal egyenlő hosszúságúak.)

A várható időkülönbséget és csik-eltolódást megbecsülhetjük. Ha a Nap áll az éterhez képest, akkor a Föld v * 30 km/s sebességgel halad;10 m hosszúságú karokkal

A t ~ T = 3* 10' 15s-

_5X = 600 nm = 6 . 10 cm hullámhosszuságu (vörös) fény periódusideje

x= JL = -l ,,J ^ c m __ =2 10-15 s>

° 3 . 10 cm/s

Azt várhatjuk tehát, hogy az interferenciacsikok két szomszédos világos esik 1/6-részével tolódnak el. Ha a Nap is mozog, akkor az év legalább egy részében ennél nagyobbat kell várnunk. (Olyankor, amikor a Föld ke­rületi sebessége hozzáadódik a Nap sebességéhez.) Michelson interfero- méterének látómezejében már 1/100 csiktávolságnyi eltolódást biztonság­

gal lehetett volna észlelni.

- 90 -

A kisérlet eredménye: csik-eltolódás nem mutatkozott! Félév múlva sem! (így az a magyarázat is elesik, hogy a mérés idején a Nap és a Föld sebessége véletlenül éppen nullának adódott össze.) Esetleg a Föld magá­val ragadja az éter egy részét (mint a hajó egy vékony vizréteget)? Elvé­gezték a kisérletet magas hegycsúcsokon, léghajón. Nincs eltolódás. A leg­utóbbi, legpontosabb mérések szerint már 3m/s(!) éterhez képesti sebes­séget ki lehetne mutatni, és csik-eltolódás változatlanul nem mutatkozik. Talán a fény a fényforráshoz képest terjed c sebességgel? Megismétel­ték a kisérletet úgy, hogy a fényforrás szerepét állócsillag töltötte be. így sem kaptak eltolódást.

? ? ? ?

"Étermentő" próbálkozás (Lorentz-Fitzgerald, 1890 körül): "Van éter, de az éterhez képest mozgó testek mérete a mozgás irányában megrövidül

a nyugalmi hossz u 1 - — -szeresére." Valóban, ekkor — mint az olva­

só önálló számolással beláthatja - a t és 12 idő egyenlőnek adódik. Ez

a megrövidülés (a "Lorentz-kontrakció") nem mutatható ki, hiszen a mé­rendő távolság mellé fektetett méterrúd is megrövidül. így a megrövidü­lésből sem következtethetünk az éterhez viszonyitott mozgásra.

A következmények radikális levonása (Einstein, 1905): Ha elvileg nem mutatható ki semmi módon az abszolüt nyugvó vonatkoztatási rendszer (az "éter"), akkor az csak megszokásból származó, felesleges fogalom a fizi­kában. Úgy látszik, maga az természeti törvény, hogy az egymáshoz ké­pest egyenesvonalu egyenletes mozgást végző rendszerek nincsenek egy­máshoz képest kitüntetve; semmilyen módon nem lehet eldönteni két vonat­koztatási rendszer közül, hogy melyik áll és melyik mozog. A klasszikus mechanikában ezt fejezte ki a Galilei-féle relativitási elv, A Michelson- -kisérlet eredményéből az következik, hogy a fény terjedése alapján sem választhatunk ki kitüntetett rendszert: Ha a fény sebessége egy vonatkoz­tatási rendszerben izotróp és c nagyságú, akkor minden ehhez képest egyenletesen haladó rendszerben is izotróp és c nagyságú. Nincs éter, nincs abszolút nyugalomban levő vonatkoztatási rendszer; az egymáshoz képest egyenletes haladó mozgást végző rendszerek egyenértékűek a ter­mészeti törvények leírása szempontjából. Ez a speciális relativitási elv.

- Az "általános relativitás" a gyorsuló rendszerekre vonatkozik, azokkal itt nem foglalkozunk. -

A fénysebesség rendszerfüggetlenségére vonatkozó hipotézis első pil­lanatra összeütközni látszik a józan ésszel. Annyi biztos, hogy nem egyez tethető össze a klasszikus mechanika kinematikájával (vagy, tekintélyesebb kifejezést használva, a klasszikus tér-idő fogaloir.mal). Ennek illusztrálá­sára tekintsük a következő, merészen idealizált gondolatkísérletet: Az 1.4

- 91 -

ábrán a két vonatkoztatási rendszert egy-egy hosszú, egymás mellett csú­szó deszka képviseli. Mindegyik deszkán végtelen sürün pontszerű emberek állnak, órával a. kezükben; az egy deszkán álló emberek órái össze vannak igazítva. A deszkák egyben mérőrudnak is használhatók, centiméter-be­osztás van rajtuk. A K* rendszer a K rendszerhez képest v sebességgel jobbra mozog. (A K rendszer a K’ rendszerhez képest -v sebességgel balra mozog.) A két depzka között egy kis bomba robban fel; mindkét desz- ka egy kis folton megperzselődlk, s az éppen ott álló megfigyelők órája megáll. A robbanás pontjából é s pillanatában egy fényhullám indul, a rob­banás fényét egymás után pillantják meg a deszkákon sorakozó megfigyelők. A deszkák széléh álló megfigyelők azt az utasítást kapták, hogy mihelyt megpillantják a robbanás fényét, lökj ék .oldalba a másik deszkán közvetle­nül mellettük álló szomggédot és állitsák meg az órájukat. Mindegyik meg­figyelő azt fogja tapasztalni, hogy pontosan akkor, amikor a felvillanást látta, oldalba is lökték. Ez nem is lehet másképpen: A fény megérkezése vagy meg nem érkezése objektív tény, azt nem befolyásolhatja a vonatkozta­tási rendszer mozgása. Legyen egy Így kiválasztott megfigyelő-pár M és

M’ .Ezután mindkét rendszerben meghatározzák a fény sebességét a ka­

pott adatokból. A K rendszerben azt mondják, hogy a fénysebesség

Ax C = ¿ t ’

- 92 -

ahol Ax az M talpa álatti koordináta és a megperzselt koordináta közöt­ti különbség, A t az M óráján és a megperzselt K-beli megfigyelő órá­ján látható időjelzés különbsége. A K* rendszerben azt mondják, hogy a fénysebesség

c* = *2L c At* ’

ahol A x’ és A t’ M’ -nek és a K’ -beli megperzselt foltnak a koordiná­ta-különbsége, 111. M* és a megperzselt K* -beli megfigyelő órája által mutatott időkülönbség.

Azt mondják K-ban: "A K’ -beliek elrontották a mérést. A fény való­jában a x utat tett meg, ők pedig azt hiszik, hogy

(1.1) Ax’ =Ax - vA t

utat." Azt mondják K’ -ben: "A K-beliek elrontották a mérést. A fény va­lójában Ax’ utat tett meg, ők pedig azt hiszik, hogy

(1.2) Ax -A x ’ + vAt’

utat."A klasszikus kinematika szerint mindkettőnek igaza lenne abban, hogy

a másik rendszerben nem kaphatták ugyanazt a sebesség-értéket. A fenti két egyenlet ugyanis a klasszikus mechanikában helyesnek talált Galilei- -transzformáció, amely összekapcsolja a két esemény közötti koordináta- -differenciákut. (Ugyanazon két eseménynek az egyik és másik rendszerre vonatkozó koordináta-differenciáit.) Az egyenletek összeadásából rögtön adódik, hogy

(1.3) A t = A t’ ,

azaz a két esemény között eltelt idő a vonatkoztatási rendszertől független mennyiség. A két rendszerben mért fénysebesség nyilvánvalóan különböző­nek jön ki; akár az egyik, akár a másik egyenlettel számolva,

, Ax* Ax At C A t’ A t’ " V At* C " V*

A példa tanulsága: A fénysebesség rendszerfüggetlenségével a Galilei- -transzformáció nem egyeztethető össze, igy pl. ennek azon következmé­nye sem, hogy két esemény között eltelt idő nagysága független a vonatkoz­tatási rendszer választásától.

93 -

2. § A Lorentz-transzformáció

Azt a hipotézist tehát, hogy a fény minden inerciarendszerben ugyan­azzal a c sebességgel terjed, csak akkor remélhetjük fenntartani, ha sike­rül megfelelően általánosítani a Galilei-transzformáciőt. Igaz, hogyaGali- lei-transzformációt a tapasztalat megerősítette, de az eddigi tapasztalata­ink csak kis sebességű (v<< c) mozgásokra terjedtek ki. Mindenesetre meg kell követelnünk a keresett uj transzformációs törvénytől, hogy a voc c határesetben visszaadja az (1. 1) és (1. 2) egyenletet.

Nem kötjük ki eleve, hogy a két esemény időtávolsága a különböző rendszerekben ugyanannyinak adódjon. Ez az engedmény a hagyományos gondolkozás számára igen merésznek tűnhet, de a megszokáson kivül nincs komoly okunk az időtartam abszolút voltához (vonatkoztatási rendszertől való függetlenségéhez) ragaszkodni. Azt már régen megszoktuk, hogy két esemény távolsága függ a vonatkozási rendszertől (leülök a vonatban a deb­receni állomáson és felállók Karcagon; a vonathoz rögzített rendszerben a két esemény egyhelyü, a sínhez rögzített rendszerben nem), próbáljunk most hozzászokni ahhoz, hogy az időtávolság is függhet a vonatkoztatási rendszertől.

Minden inerciarendszerben kijelölhetünk egy koordináta-rendszert és egységes rendszeridőt. A koordináta-rendszer kijelöléséhez a vonatkoz­tatási rendszerben nyugvó pontok távolságát ott nyugvó méterrudakkal mér­hetjük, a hosszúság egységét minden egyes rendszerben úgy választva, hogy az ottani 1 m annak a két (nyugvó) pontnak a távolsága legyen, ame­lyek között 1650 763, 73 teljes hullám fér el a (rendszerben nyugvó) Kr-atom által kisugárzott vörös fényből. A rendszerben egyhelyü események közötti időtartamot ott nyugvó órával mérjük, az időegységet minden egyes rend- szerben úgy választva, hogy az ottani 1 s azon két (egyhelyü) esemény kö­zötti időtartam legyen, amelyek között a (rendszerben nyugvó) Cs-atom 9 192 631 770 számú rezgést végez. (Ha az óra nem az események közvet­len közelében van, akkor is az eltelt időt adja a két eseményről jövő fény­jel érkezésének különbsége, hiszen ugyanolyan távolságból, ugyanolyan se­bességgel érkeztek.) Nem egyhelyü események közötti idő méréséhez a rend­szerben sürün elhelyezhetünk nyugvó órákat, amelyeket a "pontosidő-jel- zés" módján szinkronizálunk: A "központi" órától a 0 pillanatban fényjelet indítunk minden irányba, és az ettől r távolságra levő órát a kezelője a

jel beérkezésekor a t = pillanatra állitja be. Ezek után bármilyen ese­

ményhez mindegyik rendszerben három hely- és egy időkoordinátát rendel­hetünk, bármilyen eseménypárhoz pedig három hely- és egy időkoordináta- differenciát.

- Vegyük észre, hogy minden inderciarendszerben úgy hangoltuk ösz- sze a hosszúság- és időegységet, hogy a fénysebesség a különböző rendsze­rekben ugyanannyinak jön ki. (1 m az a távolság, amit a fény 1650 763, 73

- 94 -

kripton-rezgés alatt megtesz. Mível pedig a nyugvó kripton- és cézium- -atom rezgésszámának hányadosa (bármilyen két esemény között) állandó,1 m az a távolság, amit a fény ( í i ^ / n ^ ) . 9 192 631 770 cézium-rezgés,

azaz a másodperc jól meghatározott — a vonatkoztatási rendszertől függet­len -hányada alatt megtesz. Ennek rovására viszont azt kell elfogadnunk tapasztalati tényként a Michelson-kisérletböl, hogy egy merev rúdon a rud- hoz rögzített fényforrásból származó fényből úgyanannyi hullámhossz fér el, akármerre fordítjuk a rudat és akármilyen másik inerciarendszerbe visszük át (a fényforrással együtt). így az egyik rendszerben hitelesített méterrudat a másik rendszerre átvive, ott is méterrúd lesz! -

Összefüggést keresünk tehát ugyanazon két esemény különböző, egy­máshoz képest egyenesvonalu egyenletes mozgást végző rendszerekre vo­natkozó

Ax, Ay, Az, At,Ül.

A x ’ , Ay’ , A z ’ .A t ’

koordináta-differenciái között. A keresett összefüggésektől a következőket kívánjuk meg:

a) Az egyik rendszerben egyhelyü és egyidejű események a másik rendszerben is egyhelyüek és egyidejüek legyenek. (Ilyen az 1. § végén tárgyalt példában a fény megpillantása és a szomszéd oldal- balökése!)

b) A Ax, . . . , A t differenciákat a Ax’ , A t’ differenciák függvényében megadó függvény ugyanolyan alakú legyen, mint a Ax’ , . . . , A t’ -t a Ax ......... A t függvényében megadó függ­vény. (Ellenkező esetben a vonatkoztatási rendszerek nem lenné­nek egyenértékűek!)

c) A v « c határesetben a transzformáció menjen át a Galilei-transz- formációba. (Hiszen azt a tapasztalat kis sebességekre igazolta!)

d) A fénysebesség a vonatkoztatási rendszerekben ugyanannyinak adódjék.

Az összehasonlítandó két vonatkoz­tatási rendszerben vegyünk fel olyan koor­dináta-rendszereket, hogy az x-tengelyek a "vesszős" rendszer "vesszőtlenhez" vi­szonyított sebességének irányába mutas­sanak, és a másik két tengely is legyen párhuzamos (2.1 ábra). Ekkor megpró­bálkozhatunk az (1 . 1) - (1 . 2) Galüei- -transzform áció legegyszerűbb általáno­sításával:

k LJ L .

-*~x

2.1 ábra

- 95 -

(2.1a) A x > k(Ax' + vA t’ ),

(2.1b) Ax’ * k(Ax - vAt),

(2.2) Ay =» A y ’ ,

(2.3) A z * A z*,

ahol a k állandó a vonatkoztatási rendszerek relatív sebességétől függhet. Az a) és b) kikötés beláthatóan teljesül, és ha v/c -*• 0 esetén k-*.1, akkor a c) kikötés is.

-a): Ha Ax* = 0 és At* = 0, akkor Axis, A t is nulla,b): v előjelének különbsége nem jelenti a szimmetria megsértését,

mert (2.1a)-ben A t’ együtthatója a IC rendszer K-hoz viszonyított se­bességének x-komponense,(2. lb)-ben A t együtthatója a K rendszer- K* -höz viszonyított sebességének x* -komponense. -

A kérdés most már csak az, hogy meg tudjuk-e határozni k érté­két úgy, hogy a fénysebesség mindkét rendszerben ugyanannyinak adódjon..

Alkalmazzuk a (2. la) és (2. lb) transzformációs formulákat a követ­kező két eseményre: 1. esemény egy fényjel megindulása, 2. esemény a fényjel megérkezése (egy anyagi ponttól egy másik anyagi ponthoz). Ekkor ha a fénysebesség mindkét rendszerben ugyanaz a c, akkor

ésA x ’ = c A t '

A x = c A t .

A (2. 1a) é s (2. 1b) egyenletbe At* = Ax’ /c- t , Ül. A t = áx/c -t inra

A x * k A x ’ (1 +--*),

A x ’ = k A x <1 - J L ).c

A két egyenletet összeszorozva, egyszerűsítések után

(2. 4) k ------ L

adódik. Sikerült tehát k-t úgy választani, hogy a (2.1)-(2.3) transzformá­ció összeegyeztethető legyen a fénysebesség rendszerfüggetlenségével, és a c) kikötés is teljesül: Ilm k * 1.

• Öft *■v /c -*0

A (2.1a) és (2.1b) egyenletekből kifejezhetjük At-tmint A * ' és A t’ függvényét, és A t’ -tmint Á x és A t függvényét. Az eredménye­ket összefoglalva, ugyanazon két esemény hely- és időkoordináta-differen­ciái között a

összefüggések állnak fenn, ahol k a (2.4) egyenlet által adott mennyiség.A (2.5)-(2.8) transzformációt Lorentz-transzformációnak nevezzük.x

- Elemezzük az 1.4 ábrához kapcsolódó gondolatkísérletet a Lorentz- -transzformáció szerint (a Galilei-transzformáció helyett): (1.1) helyett (2.5b)-vel, (1.3) helyett (2.6b)-vel számolva

a két rendszerben mért sebesség ugyanannyinak adódik. (Ami nem megle­pő, hiszen k-t úgy határoztuk meg, hogy ez jöjjön k i.) -

Meg kell még néznünk, hogy a nem x-irányban terjedő fénysugár sebessége is egyenlőnek adódik-e a két rendszerben. Ha a K-beli fényse­besség minden irányban c, akkor tetszőleges Ax, Ay, A z elmozdu­lást a fény

(2. 5a) A x = k(Ax’ + vA t’ ),

(2.5b) A x ’ = k(Ax - vAt),

(2. 6a) A t = k(At’ + -— Ax’ ),c

(2 . 6b) A t ’ = k(At - -^j-Ax),c

(2.7) Ay = A y ’ ,

(2 . 8) A z = A z ’

AxC - V

c

idő alatt tesz meg. Másképpen

A <2.5)>{2. 8) transzformációs egyenleteket Lorentz a mozgó testek elektrodinamikájával foglalkozó

munkájában már Einstein előtt használta.

- 97 -

A 2 A 2 A 2 2 A 2 ,A x + Ay + A z - & A t =0.

Legyenek a fény indulását és érkezését kijelölő K’ -beli koordináta-diffe­renciák A x ’ , . . . , A t ’ . A Lorentz-transzform áció szerint

A x '2 + A y '2 + A z' 2 - c^A t* 2 =

= k2 (Ax2 - 2vAxAt +v2A t2) + Ay2 +Az2 - c2k2(At2 -

2v2 A v2 2-— AxA t + — A x ) =

c c

-AxV (l -4 ) + A.2 - c2At2k2 (i - V ) ■c

'-----v---- ' '----- ^ 'A 2 A 2 l A 2 2 A 2 1

= Ax + Ay + Az - c A t .

2 2 2 2 2 9 2 9 2 De most A x + Ay +Az -c A t = 0, akkor pedig Ax + Ay +

’ 2 2 A ’ 2 +Az - c A t = 0 is fennáll, azaz

1/a x’ 2 + Ay ’ 2 + A z’ 2 _ _ Í A x2 +Ay2 +Az2

A t’ C A t

Az eredményünk megnyugtató: A fénysebesség IC -ben is c, tetszőleges irányban terjedő fénysugárra.

3. § Relativisztikus kinematika

3.1 Egyidejűség; okság

A Lorentz-transzformációnak néhány következménye furcsa, de meg lehet szokni. Az mindenesetre teljesül, hogy ha két esemény az egyik rend­szerben ugyanazon a helyen és ugyanabban a pillanatban történik, akkor a

- 98 -

két esemény a másik rendszerben is egyhelyii és egyidejű (az a) kikötés az előző pontban). Ha azonban Ax’ # 0, akkor A t’ =0 esetén is a (2.6a) egyenletből

A t = k - y A x ’ ,c

azaz ha K’ -bán két különböző helyen történt esemény egyidejű, akkor li­bán ugyanez a két esemény nem egyidejű. Az egyidejűség is relativ (vonat­koztatási rendszertől függő) vonatkozás!

Egy aggasztó dolog: Nem fordulhat-e meg az ok-okozati összefüggés ? Itt és most ok-okozati összefüggésen azt értjük, hogy az 1. esemény egy hatás elinditása (test eldobása, lökéshullám vagy fényjel stb. elindítása), amely hatás elérkezése egy másik testhez kivált ott egy 2. eseményt. Pél­da: A vadász rálő a nyulra és a nyúl megdöglik. Megengedi-e a Lorentz-- transzformáció, hogy valamilyen vonatkoztatási rendszerben előbb követ­kezzen be az okozat (a nyúl megdöglése), mint az ok (a puska elsütése)?

Terjedjen a hatás a K-rendszerben sebességgel. (Példánkban

a puskagolyó sebessége.) Ekkor itt az okozat

idő múlva követi az okot. A K’ -ben ugyanezen két esemény között

/ v w \A t’ =k (At - - y Ax) = kAt f i -— ^ ^

c ' c 7

idő telik el. A t’ csak akkor lehet negativ, ha

v wX > 1.2

c

Ez pedig csak akkor következhet be, ha a hatás sebessége vagy a vonatkoz­tatási rendszer sebessége nagyobb a fénysebességnél.

Mindmáig fénysebességnél nagyobb hatás-sebességet nem tapasztal­tunk. Reméljük, hogy nincs is. (A vonatkoztatási rendszert testekhez rög­zítjük, igy a vonatkoztatási rendszer sebessége sem lehet c-nél nagyobb.) Az okság elve az emberiség egyik legáltalánosabb tapasztalatának a meg­fogalmazása, a Lorentz-transzformáció helyességét pedig — mint látni fog-

- 99 -

juk - sok tapasztalati tény alátámasztja; ezért a relativitáselmélet kimond­ja: A vákuumbeli fénysebességnél nagyobb hatás sebesség nem létezik.

- A fenti, aláhúzott állitás fontos és igaz, de felhívjuk a figyelmet a "hatássebes­

ség" szóra, az állitás ugyanis erre vonatkozik. Ez a sebesség valamilyen anyagi objek-

tumnak (részecske, hullámimpulzus stb.) a sebessége egy inerciarendszerhez képest.

és azért kapta a "hatás" jelzőt, mert ok-okozati viszonyban levő eseményeket vagy ese­

mény-láncolatokat csak ilyenekkel lehet kiváltani, vagy ugyanezt másképpen mondva: in­

formációt küldeni. Ez a sebesség valóban legfeljebb c lehet.Vannak azonban (pontosabban fogalmazva: értelmezhetők) olyan sebességek is,

amelyekre a relativitáselmélet korlátja nem vonatkozik. Általánosa^ elég nehéz őket

jellemezni, az mindenesetre igaz, hogy nem hatássebességek. Lássunk néhány példát

ezekre:Felvillan egy lámpa, gömbhullám formájában, minden irányban c sebességgel

terjed a fény. Értelmes dolog a gömbhullám átellenes front-részeinek egymáshoz képes­ti távolodási sebességéről beszélni: ez 2c, ami azt jelenti, hogy a bekapcsolás utáni A t

idő múlva a frontok 2cAt távolságban lesznek egymástól. Hasonló jellegű sebesség sze­

repelt az I. 6.1. fejezetben, a fénysebesség Römer-féle mérésének elemzésekor: A Föld

a Jupiter felé halad v sebességgel (v a Naprendszerhez viszonyított sebesség), az Io

Jupiter mögiili kibukkanását jelző fényfront c sebességgel halad a Föld felé, igy a "kö- sledési" sebességük e + v, ami azt jelenti, ho^v ha az Io kibukkanása pillanatában a

Föld és az Io távolsága d volt, az Io-fény idő múlva észlelhető a Földön. Ez

persze nem ellenkezik azzal, ha az Io-ról induló fény sebességét megmérjük a Földön

(a Földhöz rögzített inerciarendszerben), természetesen c-t kapunk. Még egy példa: a

diszperzió tárgyalásakor értelmezett csoportsebességre sem vonatkozik a korlátozás. -

3.2 Idő-dilatáció

Ha a K’ -ben egyhelyü (Ax’ = 0) két esemény között a K’ -ben nyug­vó órák A t’ idő elteltét mutatják, ugyanezen két esemény között a K-ban nyugvó órák (2 . 6a) szerint-

(3.1) A t = kAt’

idő elteltét jelzik. Hosszabb időszakaszon azt értjük, hogy az atomok töb­bet rezegnek, a karóra többet kettyen, s feltételezhetjük, hogy minden pe­riodikus jelenségből ugyanolyan arányban több játszódik le, beleértve a ké­miai, végső soron atomi folyamatokon alapuló biológiai jelenségeket (sejt- osztódás, a nemzedékek váltása stb. ). A (3.1) egyenlet azt jelenti, hogy a hozzánk képest mozgó testben lejátszódó két esemény között a testhez rög-

- 100 -

zitett órák (pl. a test atomjai) ezerint rövidebb idő telik el, mint a mi óránk szerint. Népszerű példával élve: A hozzánk képest nagy sebességgel egyenletesen haladó űrhajós öregedése minden bizonnyal a saját atomjai, mint órák által meghatározott ütemben folyik, s ő a karórája tanúsága sze­rint úgy véli, hogy 60 éves korára öregedett meg. A mi óránk szerint azon­ban ezalatt

idő telt el. A testben lejátszódó események időtartamának a testtel nem együtt mozgó észlelő időskálája szerinti meghosszabbodását nevezzük idő­dilatációnak.

- A müon nevű elemi részecske nagyon hasonlit az elektronhoz. Ab­ban különbözik elsősorban, hogy a tömege néhány százszor nagyobb, s nem stabilis, mint az elektron, hanem keletkezése után hamarosan elbomlik más elemi részecskékre. Annyira azonban hasonlit az elektronra, hogy az atomokban az elektront helyettesítheti. Az ilyen "müon-atomokat" meg le­het ismerni arról, hogy más frekvencián sugároznak, mint a közönséges atomok, s így meg lehet mérni a müonok élettartamát: Meg kell mérni, milyen ütemben csökken a "rendéllenes" sugárzás. (A müonokat nagyener­giájú részecskegyorsítókban lehet mesterségesen előállítani.) A mérések­ből az adódott, hogy a müonok átlagos élettartama 2 . 10“®s.

A meghökkentő tapasztalat már most a következő: müonok a Föld lég­körének felső tartományában keletkeznek, a világűrből érkező nagyenergiá­jú részecskéknek (proton, elektron stb.) a levegő atomjaival való ütközésé­nél, néhányszor 10 km magasságban, s ezek a müonok eljutnak a Föld fel­színéig. A meghökkentő ebben az, hogy ha a müonok fénysebességgel jön-

-4nének is, a 30 km utat akkor is cstk 10 s, tehát az átlagos élettartamuk­nál 100-szór nagyobb idő alatt tudnák befutni!

A jelenség a klasszikus kinematika szempontjából teljesen érthetet­len. A relativisztikus kinematika szerint teljesen érthető: A müonoknak a saj átmagukhoz rögzített vonatkoztatási rendszerben 10“6s az élettártama, s jó közelítéssel ezt adja az atomokban kötött (a fénysebességnél jóval ki­sebb sebességgel mozgó) müonok élettartamának mérése. Azt az időt azon-

-6bán, amit a gyorsan mozgó müon "saját órája" 10 s-nak mutat, a mi Föld­höz rögzített óránk hosszabbnak méri, vagy fordítva:'Azt az időt, amit a

-4mi óránk 10 s-nak mutat, a müon órája sokkal rövidebbnek "méri".A müonok futási sebessége 0, 01%-ig megközelíti a fénysebességet,

60 év

- 101 -

és a 10 s sajátidőnek megfelel a földi órák szerinti—6

^~aaj át

időtartamé Ennyi pedig elég ahhoz, hogy a müonok nagy része elbomlása

előtt elérje a Föld felszínét. -

Egy vonatkoitatási rendszerben nyugvó két pont közötti távolság mé­rési módjában már megállapodtunk. Két mozgó pont közötti távolságot a következőképpen határozzuk meg: Megjelöljük a pontok koordinátáit ugyan­abban a pillanatban (a rendszeridő szerinti ugyanazon pillanatban), s ezek­ből számítjuk ki az adott pillanathoz tartozó távolságot.

Ha két pont K’ -ben nyugszik (pl. egy ott nyugalomban levő merev rúdnak a két végpontja), akkor K-ban mozog. Legyen a rúd x-irányu, és legyen a K’ -ben mérhető nyugalmi hossza = Ax’ . Akkor a rúd hosz-

sza K-ban a (2.5b) egyenlet szerint, az egyidejű leolvasást jelentő

3.3 Távolság-kontrakció

A t = 0

figyelembevételével, a

A x ’ = = kA x = k imozgási

összefüggésből

A hozzánk képest mozgó rúd hosszát a mozgás irányában |/1 - — -szer

rövidebbnek találjuk, mint amennyinek a vele együtt mozgó észlelő mérné. Ezt nevezzük távolság-kontrakciónak.

- Ha végiggondolnánk, milyen eredményt adna a radaros távolság- mérés, ugyancsak a (3. 2) formulához jutnánk. (A fénysebesség állandósá­gának és az idődilatációnak a figyelembevételével.) -

- A müon igy magyarázhatja a szerencsés leérkezését: "Azt állitják a Földön, hogy 30 km utat kell megtennem, s félő, hogy nem érek le élve. De úgy látom, rosszul adták meg a távolságot, hiszen nincs az 30 km, csak kb. fél kilométer.

( t 0 j 1 - ^2 = 30 k " • f i - (1-2 . 10-4) =

= f~2 . 0, 3 km)

Ennyit pedig 2 . 10 s alatt meg tudok tenni!" -- Ez a távolság-kontrakció nem egészen ugyanaz, mint amit az "éter­

mentő' próbálkozásnál említettünk. Ott az "éterhez" képest mozgó rudak hosszának megrövidülése volt feltételezve, mig itt arról van szó, hogy két egymás mellett elcsúszó, s saját rendszerükben egyaránt 1 m hosszúságú rúd hosszát a "másik" rudhoz rögzített rendszerben kölcsönösen rövidebb- nek találják 1 m-nél! -

3.4 Sebességtranszformáció

Kétely: "Jó, jó, értem én, hogy Lorentz-transzformáció meg idő­dilatáció, de ha a tőlem v sebességgel távolodó rendszerben a fény c se­bességgel távolodik, akkor hozzám képest mégis c + v sebességgel távolo­dik, nem c-vel."

Válasz: A c - c’ +v sebességösszeadási szabály a Galilei-transz- formáció következménye. A Lorentz-transzformáció szerint a K* -rend­szerre és K rendszerre vonatkozó sebességek között más összefüggés tel­jesül.

Tekintsük a következő feladatot: Egy tömegpont állandó 7 sebes­séggel :"-ozog K’ -ben. Milyen sebességgel mozog K-ban?

- 103 -

Legyen az 1. esemény a startvonal11 elhagyása, a 2. esemény a cél­szalag átszakitása. A Lorentz-transzformáció (2.5)-(2.8) egyenleteiből

(3.3) u• . u* + v

Aa _ k(Ax + vA t ) ___ x_

x k(At’ +vAx’ /c ^ 1 +vu^/c2

(3.4) uAy _ ________ A y’______

u / l -v2/c2

y k(At’ + vAx’ /c2) 1 + vuVc2

u’ ^ 1 - v2/c2

(3.5) u =Az ________Az*

Z k(At’ +vAx’ /c2) 1 +vu^/c2

ami a keresett összefüggés. Ugyanígy megkaphatjuk, hogy ü* mennyi, ha ü-t ismerjük, csak v-t -v-re kell cserélni:

u - v

0 . 6) u; - ; T ’1 - vu /c

X

(3.7)

(3.8)

u ^ 1 - v2/c2JL Í________

21 - vu /c

x

. . FT - TV /c

, 21 - vu /c

X

A sebesség-transzformációs formulák valamivel hosszabb, de ta­nulságosabb levezetése: A relativitáselmélet szerint is vektorlálisan lehet összeadni az elmozdulásokat, de csak ugyanarra a rendszerre vonatkozó elmozdulásokat! A következő okoskodás követését a 3.1 ábra segítheti:A IC rendszerben az anyagi pont elmozdulása

"pontosabban startpont, csak s jobb hangzás kedvéért nevezzük startvonalnak.

- 104 -

A x’ II • A t’ ,

■>><1 li . At’

A z ’ = u’ . z

. At’

A (K’ -ben rajzolt, tehát K-ban mozgó) startvonalhoz viszonyított elmoz­dulás a K-ból nézve nem ugyanennyi: A távolságkontrakció (3.2) formulája szerint az ilyen értelemben relatív ("ponthoz viszonyított?1) elmozdulás x- komponense

u’ . At’ . / 1 - v2/c2, x ’

az y és z komponens változatlanul

u’ . A t’ . z

Az anyagi pont K-hoz viszonyított elmozdulását most már a startvonal v A t elmozdulásából és a pontnak a startvonalhoz viszonyított (de K-ban mért) elmozdulásából közönséges vektori összegzéssel kaphatjuk:

Ax = v At + u^A t’ í 1 ~ v2/c2,

Ay = u’ At’ ,y

A z = u’ At’ . z

105 -

A K-beli sebesség komponensei az elmozdulás-komponensekből At-vel való osztással adódnak:

Ax , At’ , r 2 , 2 , l/ l - v /cu = = v + u — - W l - v / c = v + u ------- ‘—-—— ~x A t x A t » x . „ v Ax,

k (1 +■2 A t’ '

2 , 2 , 1 - v /c

V Ux , . 21 +vu /c

X

2 2v__ , , , v ,

v 4 — r- u’ + u ---— u2 x x 2 x c c____

21 + vu’ /c

X

U + V X

, / 2 1 + vu /c

X

stb. (A harmadik egyenlőségjel után a (2.6a) összefüggést használtuk * t "átváltására” . )

- A múlt század közepén Fizeau érdekes kísérletet végzett: megmér­te az áramló vizben haladó fény sebességét. A vízben haladó fénysugár sebessége a vizhez képest c/n, az optikában tett megállapitásunk szerint. A klasszikus sebességösszetevési szabály szerint a v sebességgel 'iramló

viz áramlásának irányába haladó fénysugár = - +v sebességgel ha­

lad a cső falához képest, az áramlással szentben haladó fénysugár c ^ =

= — - v sebességgel. Fizeau a (3.2) ábra szerinti kísérleti össze állítással n

ellenőrizte a fentiek helyességét. A mérés elve a Michelson-kisérlethez

- 106 -

hasonlít: Nyugvó víz esetében a fénysugarak futási ideje között nincs kü­lönbség, mig áramló viz esetén — az áramlás irányába és a szembe haladó sugarak között ~ van. Az interferenciacsikok eltolódásából a sebességkü­lönbséget ki lehetett számolni. Az eredmény azonban nem volt összeegyez­tethető a fenti egyenletekkel, hanem azok helyett a

cu = r v (1 - ^ * cu1 r n n

formulákkal. Az eredmény a klasszikus kinematika alapján megmagyaráz­hatatlan volt; a relativisztikus sebességtranszformációkból viszont rögtön következik, hogy ennek Így is kell lenni. A (3.3) transzformációs egyenlet­ből pl. áramlásirányu fénysugárra

u = c = x ff

c- + v n

1 +cv2

. c v „ v . c v v _* ( “ + v) (1 - — ) = - + v - — - — ~

n c n n t cnn

n

2 2 mivel a v /(cn) tag v(l - 1/n )-nél is jóval kisebb. A Fizeau-kisérleteredménye a relativisztikus sebességtranszformáció törvényének közvetlenkísérleti bizonyítékát szolgáltatja. -

4. § Relativisztikus dinamika

4.1 A kölcsönhatás törvénye; tömeg, impulzus

A klasszikus (newtoni) dinamika törvényeit azzal a megállapítással kezdtük, hogy két test kölcsönhatásában a sebességváltozások nagyságának hányadosa a két testre jellemző állandó; erre hivatkozva rendeltünk a tes­tekhez egy-egy - tömegnek nevezett - skaláris állandót. A tömeg a testek­re egyszer s mindenkorra jellemző, vonatkoztatási rendszertől független mennyiség volt, hiszen a sebességváltozások hányadosa a Galilei-transzfor-

- 107 -

xnácíó szerint egymáshoz képest egyenletesen haladó rendszerekben ugyani annyi, A következő oldalakon belátjuk, hogy a relativisztikus kinematika szerint ez utóbbi általában nem teljesül.

Vizsgáljuk a legegyszerűbb esetet, két pontosan egyforma A, B tö­megpont rugalmas ütközését. Rugalmas": a tömegpontok belső energiája nem változott; vagy a közvetlenül mérhető mennyiségek nyelvén fogalmaz­va: a tömegpontok semmiféle mérhető jellemzőjében - mint hőmérséklet, rugalmassági állandók Stb. - nem találunk változást a tömegponttal együtt mozgó vonatkoztatási rendszerben.)

írjuk le először az ütközést abban az inerciarendszerben, amely a két tömegpont tömegközéppontjához van rögzítve. Ebben a rendszerben a két pont kezdeti sebessége egyenlő nagyságú és ellentétes irányú: wA =

= - w . A klasszikus mechanika szerint az ütközés utáni sebességek is

egyenlő nagyságúak és ellentétes irányúak, w = - w (az impulzusmeg-A X)

maradás szerint: p + p2 az ütközés előtt nulla volt, akkor az ütközés

után is nulla), sőt a kezdeti sebességekkel is egyenlő nagyságúak, =

= w* - w = w* (az energiámegmaradás szerint: a kezdeti kinetikus A B B

1 2 i energia 2 . — ni w^; a végső 2 . — m ), Vegyünk fel egy K koordi­

náta-rendszert a fentebb választott inerciarendszerben úgy, hogy az x és y tengely a sebességvektorok szögfelezőivel a 4.1 ábra szerint párhuza­mos legyen. (Az ábrán már az alább következő számolások eredményeit is

feltüntettük.)

Tegyük fel, hogy a vizsgált egyszerű esetben a klasszikus mechanika

fent részletezett eredménye (w^ = w* = = w*, w* = -w*) érvényben

- 108 -

marad. (Az ütközés annyira szimmetrikus, hogy ez alig elutasítható felte­vés.) Írjuk le az ütközést abban a K’ koordináta-rendszerben is, amely

az x-tengely mentén w^ x(= ’w x) sebességgel halad. Ebben a rendszer­

ben az A pont az y’ -tengellyel párhuzamosan mozog.

A K-beli sebességkomponenseket jelöljük igy:

w a =vr>Ax 0 Ax ti

xw » = u_, w A = -u,,

Ay 0 Ay 0

WBx "V WBx “V

Hw - -u , w — u .

By 0’ By 0*

K’ sebessége K-hoz képest v^. A (3.6) és (3.7) sebesség-transzfor­

mációs összefüggések szerint akkor a K’ -beli sebességek kiszámíthatók.Az eredmény:

fw' = 0 w * = 0,

Ax Ax

,W . « U, W . = -U,

Ay Ay

’ *wö = -V, W _ * -V,

Bx Bx

b , 2 / 2 *» r . 27TwBy = -u F1 “ v /c * wBy = " F1 " Y /C ’

ahol

(4.1)

és

uo

- 109 -

(4.2)

- A számolás részletei:

(4.3)

- v_ o o

'Ax , 2 .2 1 ~Y0/G

= 0,

(4.4)Ay

uo I1 - v o/c2

1 - vo/c2

(u most bevezetett rövidítés.)

(4.5)- v - v

0 02 v

Bx 1 - v0<-v0,/c22 / 2

+ V0

(v most bevezetett rövidítés.)

(4' 6> WBy = . 2 / 2 1 + v ./c

2 / 2 í-Vq/c= - u --- — =-u

1 +v0/c

(1 -Vq/c2)

(1 + Vq/c2)2

= -u 1 -2 . 2 2

(1 + v0/c )/T ^ V .

Ugyanígy láthatjuk be a jobb oldali oszlop egyenlőségeit. - A sebességváltozások nagyságának hányadosa

„ a“ ' . ¡ JI**a I ________

I WBI | w * - * ' | (T - v2/c2

- 110 -

vagy — a továbbiak szempontjából tanulságosabb alakban -

I AWbI K1 - u2/cZ Vl - v V ^ V2 -t- u (1 - y2/c2)

/ l2 . 2

A

lí1 - WB /cZ

Ha fenn akarjuk tartani a tömeg eredeti definícióját, akkor azt kell mondanunk, hogy két, minden szempontból egyforma test tömege csak ak­kor egyenlő, ha a sebességük is egyenlő (mint példánkban a K rendszer­ben), általában pedig

mB I AWaI f 1 ~ WA ^i a |Aw’ I r ’2 , 2 ’ A I Bl y 1 - wB/cí

vagy tovább alakítva,

(4.7) mA . ^1 - w ^/c2 = mfi 1 - Wg /c2 = mo = áll.

t tm(w^) m(Wg)

1 / "2 2A testre jellemző állandó tehát nem m, hanem mQ = m j 1 - v /c ,

ahol v a test sebessége az adott vonatkoztatási rendszerben. Az m^ meny-

nyiség jelentése: A test tömege abban a rendszerben, amelyben a test nyu­galomban van; nevezzük ezért nyugalmi tömegnek. A test m = m(v) "moz­gási tömege" abban a rendszerben, amelyben a test v sebességgel mozog,

(4. 8) m(v) =m o

J - 2 . 2 * |f 1 - v /c

- Meggondolásainkban lényeges szerepet játszott az, hogy az A és B test minden szempontból egyforma; a (4.7) összefüggés csak ilyen tes-

- U 1 -

tekre érvényes, viszont (4 .8)-nál m ár nem szükséges a megkülönböztető "A" és "B" index, hiszen a két tömegpont egyforma, a tömegük csak a s e ­bességük különböző volta m ia tt különbözik. -

- Az e lső félévben a tömeg bevezetésénél fe lsoro lt k ísérletekben a

kel ezek sze rin t igen jó közelítéssel a testek nyugalmi tömegét m érjük; a k lasszikus mechanikában sebességtől függetlennek tekintett tömeggel szá ­m olva a kis sebességű m ozgásokra jó eredm ényeket kaptunk. A m ozgási tömegnek a nyugalmitól való e lté ré sé t az atom i részecskék m ozgásánál v á r ­hatjuk észlelhetően nagynak. -

A zért ragaszkodtunk a tömegnek a sebességváltozásokkal való defi­niálásához, m ert az így definiált (mozgási) tömeggel képzett

m ennyiségre teljesü lhet bárm ely inerciarendszerben a k lasszikus m echa­nikai im pulzusm egm aradásnak m egfelelő m egm aradási téte l. Nevezzük e z é r t a (4.9) m ennyiséget impulzusnak.

- Hogy valóban te ljesü l-e , azt a tapasztalat dönti e l. Annyit láttunk be, hogy az m v m ennyiségekre nem teljesülhet minden in e rc ia re n d sz er­ben a m egm aradási törvény, míg az mv m ennyiségre — legalábbis az á lta ­lunk v izsgált esetben — teljesülhet. -

Eredményünket összefoglalva: A testek tömege függ a sebességüktől, s igy a vonatkoztatási rendszertő l (tehát a tömeg sem "abszolút?1, hanem "re la tiv"); az im pulzusm egm aradás a (4.8) m ozgási tömeggel (4.9) sze rin t definiált im pulzusra teljesü l.

Newton U. törvényét, a dinamika alaptörvényét változatlanul igy Í r ­hatjuk:

pest, ilyenkor pedig m » m . Még v = 30 k m /s esetén is / l -^vz /c* ^ _8

« 1 - 0, 5 . 10 , igy m = 1, 000000005 m^! A kis sebességű ütközések­

i g 9)m 0 v

p = mv

4.2 Newton II. törvényének re la tiv isz tikus alakja

(4.10)dp _ d(mv) _ _d_ m pVdt = d t dt

- 112 -

azaz az impulzus idő sze rin ti differenciálhányadosa a tes t helyzetének (eset­leg további körülményeknek) a függvénye. Az F függvényt itt is erőnek ne-

xvezzük. A (4.10) egyenletet azonban nem Írhatjuk át a megszokottabb ma = F alakba, hiszen m nem állandó. Ha a (4.10) egyenletben a diffe-

2 2 2 2renc iá lást elvégezzük (figyelembe véve, hogy v = vx + v + vz> ®s vx>

v , v az idő függvénye), az x-kom ponensre például azy z

(4.11)7 7

o2 2

v /ca + vX X

v a + v a + v a x x y y z z

c2 (l - v2/ c2)= F

egyenletet kapjuk, és hasonló egyenleteket a m ásik két komponensre, vagy m indezeket összefoglalva

(4.12)íT* 2 7 2f 1 - V / c

v(va)

2 2 2 c (1 - v /c ) J

= F .

Ezekből — az erőkomponensek ism eretében — a gyorsulás három komponen­se kifejezhető, és ezután a mozgó pont helyét az idő függvényében ugyan­úgy határozhatjuk meg, m int ahogy az elm últ félévben tanultuk.

Két speciá lis , a gyakorlatban fontos esetben azonban a (4.12) egyen­let a klasszikus Newton-törvényhez hasonló alakúra egyszerűsödik.

1. A tömegpontra ható e rő párhuzam os a sebességgel. Ekkor — az x - tengelyt az e rő irányába véve — a (4.11) egyenletbe v = v = 0 -t írhatunk, és összevonások után az y z

(1 - V / c ,

összefüggést kapjuk az e rő és a gyorsulás között. Az egyenlet hasonló az m a^ = klasszikus egyenlethez, de m helyett az

m o

(1 - V / c )

un. longitudinális tömeget kell irn i.

Hogy a klasszikus mechanikában m egism ert erőtörvények módosulnak-e nagy sebességeknél, további vizsgálatot kivánna. Az elektrom os és mágneses erőtörvényekkel majd ebből a szempontból is foglal­kozunk az elektrodinamika és a felsőbb éves rela tivitáselm élet keretében.

- 113 -

2. Az e rő m erőleges a pillanatnyi seb esség re . A (4.11) egyenletbev = 0 - t irva. az x

egyenletet kapjuk. A tehetetlenség m értéke i tt az impulzusban is szereplő m ozgási tömeg, e z é r t azt néha nevezik transzv erzá lis tömegnek is .

A (4.13) egyenlet alapján dinamikai m agyarázatot fűzhetünk a fény- sebesség e lérhetetlenségéhez: A sebességet végtelen ideig ható állandó e rő sem növeli fénysebességig, m e rt a fénysebességhez közeledve a tehetetlen­ség a végtelenhez közeledik, az időegységenkénti sebességváltozás egyre kisebb lesz .

A (4.14) egyenlet alapján sik e rü lt közvetlenül e llenőrizni nagy pontos­sággal a re la tiv isztikus tömegnövekedést. A közönséges radioaktív bom lás­ból szárm azó fi -részecsk ék (elektronok) sebessége összem érhető a fény- sebességgel, a m este rség es részecskegyorsítókkal fe lgyorsíto tt ionok pe ­dig azt a százalék tö rtré szé ig m egközelíthetik. Az elektrom osan töltött gyors részecskéket ism ert elektrom os vagy m ágneses e rő té rb en - a b eé r­kezésük irán y ára m erőlegesen - e lté rítve ki lehet szám itani a (tran szv e r­zális) tömegüket. A (4.14) form ulát a tapaszta lat teljes m értékben igazolta!

Az előző fejezetben azt vizsgáltuk, hogyan módosul Newton II. törvénye, de úgy, hogy meggondolásainkban végig egy inerciarendszerben maradtunk: igy a törvénybeli módosulás lényegében a tömeg sebességfüggéséből adódott.

K érdés, m l történik akkor-, ha ugyanazt a kölcsönhatást két inerciarendszerben vizsgáljuk, vagy másképpen mondva, hogyan transzform álódik az e rő m értéke (az impul­zusváltozás gyorsasága) egyik rendszerből a másikba, (Tehát m ost sem vizsgáljuk azt, hogy a klasszikus mechanikában m egism ert erőtörvények m ódosulnak-e.)

A felvetett problém át egy nagyon speciális e se tre oldjuk meg; két okból e rre , m e rt egyrészrő l egyszerűsége ellenére tartalm azza a lényeget, m ásrész rő l pedig, n . éves tanulmányainkban pontosan e r re lesz szükségünk. Ugyan a speciális kölcsönhatás ism erete sem szükséges a kitűzött cél eléréséhez, a határozottság kedvéért azonban te ­kintsünk egy konkrét szituációt:

A K rendszerben nyugvó, végtelen hosszú, egyenes, töltött vezetőtől valami­lyen távolságban egy ugyanolyan töltéssel biró, pontszerű test van. A test sebessége a megfigyelés kezdetén nulla. Kérdés: Mekkora az impulzusváltozás gyorsasága a t = 0 pilla n a to n, illetve ugyanez a kérdés, de abban a K’ rendszerben, amelyik a vezető­vel párhuzamosan, állandó v sebességgel mozog (lásd a 4 .2 ábrát).

m(4.14)

4 .3 Az e rő transzform ációja

- 114 -

K

y '

K‘X a>

4 .2 ábra

A K rendszerben a helyzet nagyon egyszerű; mivel a te st sebessége a t = 0 pillanatban zéró, igy a (4.13) formula az

(4.15) m a = F0 y y

alakot ölti, azaz a te s t a taszítás hatására y-irányban kezd gyorsulni.A K’ -rendszerben a testnek v nagyságú, balra mutató sebessége van; az

eró' most m erőleges a sebességre , igy a (4.14) " transzverzá lis"-he lyzet állt elő, ennek megfelelően a mozgásegyenlet:

(4.16)1 - v / c “

a = F’ .y y

Össze szeretnénk hasonlítani F - t F ’ -vei, ennek érdekében először az ay y y

ill. a ’ gyorsulások közötti kapcsolatot kell megkeresnünk, lényegében tehát a sebes- ségtr^nszform ációs formulák m intájára a gyorsulástranszform ációkat kellene előállí­tani. Mivel ezekre te ljes általánosságukban nincs szükségünk, az a ^ -t megadóra is

csak a példa speciális e se té re , csak ezt az egyet határozzuk meg. Definíció szerint:

Az ehhez szükséges u’ - t a (3. 7)-nél találjuk, de kihasználva, hogy a te st K-ban állK = °>* fcy y

Auy . ( l - v2/c 2

At’

- 115 -

Mivel a^ = AUy/At, ezért (2.6b)-t felhasználva

Au . h - v / c ' Au J 2 2= _J£___I_________ = ____1 . J 1 - .v A ____

y . v . . a t ’ . v a » v < 2* (1 ■ T “Á T )

de A * / A t « u = 0, és k értékét beírva

(4.17) = ay (1 - v2/c 2).

A (4.17) kifejezést (4.16) -ba behelyettesítve

J) 2 2---------a ( l - v / c ) = F ,y y

ezt (4 .15)-tel összevetve

l/ 2 2(4.18) F | 1 - v /c = F^

adódik, ami a keresett transzformációs formula. Mint az a (4.1-8)-ból látható, K’ -ben ugyanarra a kölcsönhatásra (ezt még alaposan meg kell majd vizsgálni, hogy tényleg ugyanaz-e) kisebb impulzusváltozási gyorsaság adódik mint K-ban. Kíváncsian várjuk, milyen következményei lesznek ennek a fizika további fejezeteiben.

4. 4 Energia

2A munka AW = F A r ill. W1_ JJ = j F (r)d r definícióját fenn­

tartjuk . Ellenőrizzük a munkatétel érvényességét. A m ódosított Newton­törvény alapján

- _ (m + Am ) (v +Av) - mv _ , . _ v A r - _AW = FA r = " A t --------- = + vA m ) = mv Av +

2♦ v A m .

- 116 -

(A m -e t és A v - t kis m ennyiségnek tekintjük, és a m ásodrendben kis m eny- nyiségeket elhagytuk.) A (4. 8) tömegformulából kaphatjuk a sebességválto­záshoz tartozó tömegnövekedést' A gyorsítás kezdetén

2 2 2 2 2 2n “ ~ ‘

a végén

m c - m v = m^c ,

2 2 2 2 2 2 (m + A m ) c - (m + A m) (v + A v ) = m^c .

A két k ifejezés különbsége, ism ét elhanyagolva a m ásodrendben kis tago­kat,

2 2 2 2mc A ni - 2mv Am - 2m vA v = 0,

ahonnan

és igy

2 2 2 m v A ? + v Am = c A ni - A (mc )#

<4.19) AW = A (mc2).

A tömegpont (mozgási) tömege tehát a végzett munKával arányosan no.A m unkatételt - és konzervatív e rők re az energiam egm aradás té te lé t - ak­kor tarthatjuk fenn, ha a tömegpont kinetikus energiájának ezentúl nem a

1 2klasszikus -j- m v mennyiséget, hanem az

2(4.20) = mc + konstans

m ennyiséget nevezzük. A kinetikus energia nullpontját m eghatározó kons­tans é rtékét próbáljuk úgy rögzíteni, hogy a (4.20) kifejezés a v « c ha-

1 2táresetben visszaad ja a k lasszikus - m v form ulát. Ha vc< c, akkor

2 m0° 2 / . l v 2 \ 2 1 2mc = r — — n = y * *n„c ^ 1 + - — J * m „c + ~ m nv .

0 2 0

- 117 -

tehát a konstans é rték é t -m ^c^-nek választva

(4.21) E, = mc - m c k 0

Semmi akadálya azonban annak, hogy a konstans é rték é t nullának vá­lasszuk, a m unkatétel akkor is érvényben m arad . Az ilyen konstans-vá­lasz tássa l definiált

energ iát nevezzük a tömegpont saj átenergiáj ának. Ez nyugvó, tömegpontra sem nulla, hanem

A (4.23) energ iát nevezzük nyugalmi energiának.Egyelőre nem tettünk m ást, m int a tömegpont energiájának alkalm a­

sabb nullpontot választottunk, hogy kevesebb betűt kelljen felhasználnunk az energ ia fe lírásán á l. A munkatételben és az energiam egm aradás té te lé ­ben ez sem m i változást nem okoz, ha a testek nyugalmi tömege állandó.A következőkben azonban megmutatjuk, hogy a testek rugalm atlan ütközése so rán a nyugalmi tömegek sem m aradnak állandók! Ism ét a legegyszerűbb ese te t tárgyaljuk: Két teljesen egyform a tömegpont teljesen rugalm atlan ü t­közését. Az induló helyzet legyen azonos a 4.1 pontban tárgyalt ütközésé­vel. M ost a K rendszerben a két tömegpont ütközés után nyugalomba ke­rü l, a K* rendszerben pedig mindkettő b a lra halad vQ sebességgel. Az

im pulzusm egm aradás biztosan teljesül a K rendszerben, ak ár változatlan m arad a nyugalmi tömeg, akár nem: Az összim pulzus ütközés e lő tt is, után is nulla. Ugyanez teljesül a K" rendszerben az y-kom ponensekre. V izsgáljuk m eg viszont a K’ -beli impulzusok x-kom ponensét. Az ütkö­zés e lő tt

(4.22) E = mc 2

(4.23)

m ov m v_(L

1~2----- T~------2—7 -V + U (1 - V / c )

c2

0

Ütközés után

- 118 -

(A Wg sebességet a 4.1 ábra alapján Irtuk fel, hiszen az ütközés elő tti

helyzet ugyanaz, m int a rugalm as esetben vo lt.) Nem tételezzük fel, hogy az ütközés e lő tti és utáni nyugalmi tömegek egyenlők, de feltételezzük az ütközés sz im m etriá ja m iatt, hogy a két egyform a tes t nyugalmi tömege az ütközés után is egyenlő m arad egym ással. Az im pulzusm egm aradás sze ­rin t

n *2 m v m v0 0 0

j 1 - v ^ /c 2 / l - v2 / c 2 l /l - U2 / C 20 '

Felhasználva v (4.2) a la tti definícióját, egyszerű behelyettesítés után

0 "

azaz az ütközés utáni nyugalmi tömeg megnőtt a bemenőhöz képest; ennek m egfelelően a nyugalmi energ ia is m egnövekedett

x 2 2(4.25) ^ EÖ = 2m QC * 2m oC -te *'

Beláthatjuk, hogy a kinetikus energia ugyanennyivel csökken, vagy, ami ezzel ekvivalens, és m ég a szám olás is egyszerűbb: - A te ljes energia változatlan m a ra d t! - .

2 2 * 2 m .c + m c = 2m c .A B

2A bizonyítás m enete (mindenhonnan elhagyva a c -e s szorzófaktort):

m 0 m^

”’A+mB* |..,V + /.-.V J T T 7 7 ’(ism ét használva (4 .2)-t, valam int (4 .24)-et)

2

am i bizonyítandó volt.Számolásaink során az

(4.26) E, + E. = állandó k 0

rendkívül fontos eredm ényt kaptuk. Az energiam egm aradás tétele érvény­ben m arad rugalm atlan ütközésre is, csak a kinetikus és nyugalmi energia aránya változik meg.

Még a m últ félévben azt a hipotézist tettük, hogy a rugalm atlan ütkö­zésben (és m ás módon is) d isszipálódott energia a te s t belső energiájának, azaz a te s te t alkotó részecsk ék kölcsönhatási (potenciális) és kinetikus en er­giájának növelésére fordítódik. Ezek sze rin t azt kell mondanunk, hogy a testek nyugalmi tömege változik, ha a belső energiájuk változik, mégpedig

egyenlet által m egszabott módon. Összefoglalva: A tes t teljes tömege a rá ­nyosan változik a tes t által kapott energiával; ha az energiaközlés nem já r a testnek m in t egésznek a sebességváltozásával, a kapott energia a nyugal­m i tömeget növeli. Ha a te s t energ iát ad le anélkül, hogy a sebessége v á l­tozna (pl. m eleg ítésse l vagy e lektrom ágneses sugárzással), akkor a nyu­galm i tömege csökken.

A (4.23) nyugalmi energia ezek sze rin t nem egyszerűen csak egy fo r­m ális konstansnak bizonyult; A nyugalmi tömeg változhat, s az im pulzus- és energiam egm aradás az igy szám olt im pulzussal és a nyugalmi energia figyelem bevételével teljesü l.

Még egy következményt vegyünk észre : A te ljes energ ia állandósága egyben a tömeg állandóságát is je len ti és fordítva: A (4.22) egyenletben m eg­fogalm azott tön, eg -energ ia ekvivalencia sz e rin t a két m ennyiség szigorúan arányos egym ással. A töm eg- és energiam egm aradás törvénye igy eg£ m eg­m aradási té te llé olvadt össze: Z árt rend szer ö sszenerg iája és ezzel ö ssz - tömege állandó.

a

AE,belső2(4.27) A m ,

c

-1 2 0 -

A kapott szép eredm ényeket általánosítjuk tetszőleges testekből álló ren d szerek re , annak reményében, hogy a tapaszta lat ez t m egerősíti: Tet­szőleges rend szer összenerg iá ja egyenlő a ren d sze rt alkotó testek sa ját energiájának és a tagjai közötti kölcsönhatási energiáknak az összegével, de a rendszer teljes tömege a rend szer összenergiájával az

2(4.22) E = mc

összefüggésben van. Z árt rendszer összenergiája. és igy össztöm ege á l­landó.

A (4.22) egyenlet k ísé rle ti e llenőrzése m akroszkopikus testekkel rem énytelen: l g tömegnövekedéshez

2 20 2 2 20 14A E = c A m = l g . 9 . 10 cm / s = 9 . 10 e rg * 10 joule

energ iát kellene befektetni. Ez azt jelenti, p l. hogy 1 g viz tömege 100 °C - -9kai való m elegítésnél kb. 10 gram m al változik. Ilyen pontossággal töme­

get m érn i nem tudunk. Közvetlen k ísé rle ti bizonyitékokat a (4.22) egyen­le tre az atomi és élem i részecskék szolgáltattak. Csak néhányat említve:

1. Elem i részecsk ék ütközésénél olyan részecskék keletkezhetnek, am elyek nyugalmi tömege nagyobb, m int az e rede ti ré szecskék összes nyu­galm i tömege. Az összes m ozgási tömeg viszont ütközés e lő tt és után mindig egyenlőnek bizonyult.

2. Az atommagok nyugalmi tömege kisebb, m int a m agot alkotó neut­ronok és protonok ö sszes nyugalmi tömege.

M agyarázat: Az atom m agot alkotó részecskék között vonzóerő hat, ennek m egfelelően a kölcsönhatási potenciális energiájuk negatív (ahhoz ké­pest, am ikor egymástól végtelen távol lennének). így az összenerg ia kötött állapotukban kisebb, m int szabad állapotukban (mely utóbbi állapotban m é r ­tük meg a tömegüket), és ezzel a rend szer össztöm ege is kisebb, m int a ré szecskék "szabad" tömegeinek összege.

A "hiányzó" energ ia és tömeg eltávozott akkor, am ikor a részecskék atommaggá egyesültek.

3. Ha a fénynek energ iája van, akkor tömege is van. Ha tömege van, impulzusa is van. Ha im pulzusa van, akkor pl. elem i részecskéket meg tud lökni f'Com pton-effektus"), nyom ást fe jt ki a tükörre ("fénynyomás"). Mindkettőt tapasztalták, de később m i is fogunk m ég találkozni velük.

A speciális re la tiv itá s elm életének törvényei, bárm ilyen meglepőek a k lasszikus mechanikán felnőtt elmének, logikai ellentm ondást nem ta r ­talmaznak, a term észe trő l alkotott legalapvetőbb fogalmainknak (a filozó­fiai, ism ere te lm életi alaptörvényeknek) nem mondanak ellen . Az elm élet következményeit a tapaszta lat m egerősítetté , s az

- 121 -

és

E = mc

törvényeket a fizika legjobban m egalapozott és legfontosabb eredm ényei kö­zött tartjuk számon.

2

- 122 -

III. H Ő TAN

1. § Empirikus hőmérséklet, állapotegyenlet

1.1 Em pirikus hőm érsékleti skálák

Tapintási érzékszervünk az alakon és a fe li le t m inőségén kivül képes a testeknek olyan további tulajdonságát is érzékelni, am it a köznapi nyelv­ben a "m eleg", "hideg", "fo rró" stb. szavakkal irunk körül. Ez a hőérze t korlátozott pontosságú, korlátozott tartományú és nem is mindig m egbízha­tó. (Közism ert példa: ha az egyik kezem et hideg, a m ásikat m eleg vizből teszem át langyos vízbe, az egyik m elegebbet érez , m int a m ásik .) Még­is, a hőérze tre támaszkodva eljuthatunk néhány általános felism eréshez, amelyek lehetővé teszik a testek melegebb vagy hidegebb voltának mennyi­ségi jellem zésé t.

a) Felm elegedéssel, lehűléssel megváltoznak a testek fizikai je llem ­zői: geom etriai m ére te i (ha a feszültséget ill. nyomást állandónak tartjuk), feszültsége ill. nyomása (ha a m ére te it állandónak tartjuk), mechanikai, elektrom os és optikai tulajdonságai (rugalm assági állandók, elektrom os ellenállás, törésm utató), m egváltozhat a testek színe stb . Ha mindkét vé­gén ö ssze fo rrasz to tt különböző anyagi m inőségű drótpár egyik fo rrasz tá s i helyét m elegítjük a m ásikhoz képest, az áram körbe kapcsolt galvanorftéter áram ot jelez (term oelem ). U grásszerű anyagszerkezeti változás is bekövet­kezhet (halm azállapotváltozások). Ez utóbbiaknál különösen figyelem re m él­tó, hogy az átalakulás m egindulásától a befejeződéséig a test m elegedése vagy hülése m egáll. A m elegedő testek fizikai jellem zői általában egyirány- ban változnak, bár kivételek vannak. (Állandó nyomás m ellett a folyadékok és gázok térfogata, állandó térfogat m ellett a nyomásuk a m elegedéssel többnyire növekszik. Kivétel pl. a viz: az olvadás befejeződése utáni m ele­gedéskor a térfogata előbb egy k ics it csökken, azután kezd csak növekedni.)

b) Ha hidegebb tes te t m elegebbel összeérintünk, a hidegebb m eleg­szik, a melegebb hűl. Elég hosszú idő elteltével a hülés-m elegedés m eg­szűnik (amit m űszeresen is ellenőrizhetünk: fizikai jellem zőik m ár nem változnak tovább), a két tés te t egyformán m elegnek érezzük. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a két te s t term ikus egyensúlyban van. A kiegyenlítődési fo­lyamat gyorsabban vagy lassabban megy végbe a testek m éreté tő l, m inősé­gétől és az érin tkezés módjától függően. A két test közé alkalm as anyagból

- 123 -

készült fa la t téve, a kiegyenlítődést lassítan i tudjuk ("hőszigetelő*1), ideá­lis h a tá rese t az olyan hőszigetelő, amely a kiegyenlítődést teljesen m egaka­dályozza; neve: adiabatikus fa l.

Alapvetően fontos tapasztalat a term ikus egyensúlyra: ha az A tes t egyensúlyban van B-vel és B egyensúlyban van C-vel, akkor C is egyen­súlyban van A-val; a term ikus egyensúly ekvivalencia-reláció . így a te s ­tek állapotát egyértelm űen osztályozhatjuk hidegebb-melegebb voltuk sze ­rin t: egy osztályba soroljuk azokat, amelyek egym ással term ikus egyen­súlyban vannak. Az egym ással term ikus egyensúlyban levő tes tek re azt is mondjuk, hogy egyenlő hőm érsékletűek, vagy hogy a hőm érsékletük egyen­lői Ezzel uj fizikai fogalm at definiálunk, a hőm érsékletet. A m egfelelő hő- m érsék le ti osztály egy reprezentánsának körülirásával közölni tudjuk, m i­lyen m eleg egy test: "jéghideg", "olyan forró , m int a tűz". Pontosabb in ­form ációt is tudunk igy adni: "olyan hőm érsékletű, m int az olvadó jég", "olyan hőm érsékletű, m int az a higany, amelynek térfogata V = V +

V - V fo rr olv+ -------—-------- . 30, ahol V . és V. az olvadó jéggel, ill. az 1 atm100 olv fo rrnyomáson fo rró vizzel term ikus egyensúlyban levő higany térfogata".

M egállapodással kiválasztva egy m eghatározott fajtájú teste t, ennek is egy olyan jellem zőjét, am ely a m elegedéssel jól m érhetően (és m egha­tározo tt irányban) változik, a hőm érsékleti osztályokat szám m al je llem ez­hetjük, azaz a hőm érséklethez skálát rendelhetünk. Egy lehetséges skálát ad például az előző bekezdés utolsó példája sze rin t a higany térfogata, m ás fo lyadék—pl. alkohol — egy m ásik skálát, rézhuzal elektrom os e llen á llá ­sa egy harm adikat. Vegyük é sz re , hogy végtelen sokféle ská lát é rte lm ez ­hetünk aszerin t, m iféle tes t m ilyen fizikai jellem zőjének változásához köt­jük a m egszám ozást, és ezen belül milyen m egszám ozási re n d sze rt a lkal­mazunk. (Hőm érsékleti skálának éppen annyira egyértelm űen alkalm as az adott fizikai mennyiség bárm ilyen szigorúan monoton függvénye, m in t maga az e rede ti m ennyiség. A higany térfogata helyett — ha úgy állapodunk m eg - használhatjuk a vizolvadási hőm érsékleten felvett térfogathoz viszonyított térfogatváltozást, vagy annak m eghatározott többszörösét, vagy a log arit­m usát s tb .) .

A m egszám ozás rendszerének m egválasztásában levő szabadság le ­hetővé teszi a különböző fizikai m ennyiségekkel definiált hőm érsékleti sk á ­lák bizonyos fokú összehangolását. Az összehangoláshoz azt a m ár em líte tt tapasztalato t használjuk fel, hogy a halm azállapotváltozások lefolyása so ­rán a te s t (pl. jég-viz-keverék) hőm érséklete nem változik: a vele te rm i­kus egyensúlyban levő higany térfogata állandó m arad, amig az uto lsó jég ­darab is el nem olvad, A halm azállapotváltozási hőm érséklet továbbá re p ro ­dukálható, am in azt értjük, hogy ugyanazt a higanyt m áskor, m ásik olvadó jégbe téve, ugyanolyan térfogatra áll be. A halm azállapotváltozások hőm ér­sékleti fixpontokat rögzítenek, amelyek közül kettőhöz önkényes m egálla­

-1 2 4 -

podás sze rin t rendelhetünk szám értéket, bárm ilyen test bárm ilyen mennyi­ségének változásával óhajtjuk is rögzíteni a hőm érsékleti skálát.

Történelem: Négy fixpont-megállapodás volt szélesebb körben hosszabb-rövi- debb ideig elterjedve, mégpedig

olvadó jég 1 atm -án fo rró viz(olv. pont) (forráspont)

Celsius 0 100Réaumur 0 80Fahrenheit 32 212

Kelv-- 273,15 373,15

A három első megállapodás ötletszerű, a kerek számokhoz való ragaszkodás és a fagypontnak az em ber élettevékenysége szempontjából kitüntetett szerepe tükröződik bennük. (A Fahrenheit-skálában a negatív hőm érsékletek e lkerü lésére való törekvés is .) A negyedik fixpont-rögzitésben is van — bár kevesebb — önkényesség, m int látni fogjuk. -

A fixpontok m egválasztása azonban a hőm érsékleti skálák eg yérte l­m űségét m ég nem b iztositja . A közös vízfürdőben m elegített alkohol és hi­gany egym ással nem szigorúan arányosan tágul (ld. 1.1 ábra), az egyes közegek kiválasztott fizikai jellem zőjének változásával arányosnak definiált hőm érsékleti skálák (pl. a higany és az alkohol tágulása sze rin t egyenletes beosztással m egszám ozott hőmérők) csak a kiválasztott fixpontokon adnak azonos értéket. A gyakorlati életben megkövetelt pontosság szempontjából (szobahőmérő) ezek a különbségek á l­talában nem nagyok, elhanyagolhatók, de elvileg — és tudományos igényű m é­réseknél — sem m i e se tre sem . Tudo­m ásul kell venni, hogy a különböző kö­zegek fizikai m ennyiségeivel definiált hőm érsékleti skálák egym ástól külön­böznek. Ezeket em pirikus hőm érsék­leti skáláknak nevezzük. Az em p iri­kus skálák közül egyet a legcélszerűbb­nek mutatkozó m egállapodással a kö­vetkező pontban ki fogunk választani, és a fizikai törvényeket az ebben a skálában m egadott hőm érséklettel fogalmazzuk m eg.

___ ______m ég meíes>et>t>

hideg

r rcUtohoL h igan y

1.1 ábra

-1 2 5 -

1 .2 G ay -L u ssac tö rvénye; az ide á lisg á z -sk á la

Felidézzük a deform álható testek m echanikájának keretében m eg is­m ert Boy le -M ario tte-törvényt: adott mennyiségű gáz p nyomásának és V térfogatának szo rza ta változatlan hőm érsékleten állandó. (A hőm érséklet állandó vagy nem állandó voltát bárm ilyen em pirikus hőm érővel e llen ő riz ­hetjük!) Másképpen fogalmazva, a sű rűség arányos a nyom ással.

A közönséges körülmények között nem cseppfolyósodé gázokra - m int oxigén, nitrogén, hidrogén, metán, nemesgázok stb . - néhány vagy néhány­sz o r tiz bá r nyomásig a törvény igen nagy pontossággal teljesül, a pV szo rza t általában ezreléknél kevesebbet változik. Nagyobb nyomások ta ro - mányában m ár jelentős e lté ré sek tapasztalhatók a törvénytől, ezek tárgya­lá sá ra később v isszatérünk. Egyelőre az olyan ritk a gázok v ise lkedését vizsgáljuk, am elyekre a B oyle-M ariotte-törvény teljesül. Ezeket ideális gáznak nevezzük,

A B. -M. -törvény bárm ilyen anyagi m inőségű gázra elég pontosan tel­jesü l, ha a gáz nyom ása elég k icsi. ("Tetszőlegesen kis £ > 0 -hoz lehet találni olyan p^-t, hogy a pV szo rza t re la tiv változása £ -nál kisebb,

bárm ilyen értékeket vesz is fel p a (0, pQ) intervallum ban.") Az ideális

gáz tehát, te ljes szigorúsággal szólva, a valódi gázok végtelen kis sű rű sé ­gű, ill. nyomású határállapota, és az ideális gázra vonatkozó, a továbbiak­ban so rrak erü lő törvények is úgy értendők, hogy a végtelen kis sűrűség ha­táresetében teljesülnek tökéletesen. Annak megfelelően azonban, hogy min den m érés véges pontosságú, ideális gázon gyakorlatilag azt értjük , hogy "elég ritk a gáz".

A gázok nyomása állandó térfogaton, vagy a térfogata állandó nyomá­son, vagy általánosan, nyomásának és térfogatának szo rza ta a hőm érsék­let növekedésével növekszik. A különböző anyagi m inőségű elég ritka gázok viselkedésében G ay-Lussac nyomán végzett kisérletünkben figyelem re m él­tó egyöntetűséget tapasztaltunk. K isérle ti eszközünk üvegpalack volt, am ely­ben higanytóba nyúló keskeny üvegcső szolgált a palackba z á r t gáz nyomá­sá t m utató m anom éterként, ld. 1 .2 ábra. Két ilyen palackot — melyek közül az egyikben levegő volt, a m ásikban földgáz (túlnyom órészt metán) — közös vízfürdőben melegítettünk, a kezdeti egyform án szobahőm érsékletű és a t­m oszféra-nyom ású állapotból indulva. A gázok állapotváltozását jó közelí­tésse l állandó térfogatúnak tekinthetjük (a m anom éter-cső sokkal kisebb keresz tm etszetű a palacknál). A higanyszálak minden vizhőm érsékletnél egym ással egyenlő m agasságra emelkedtek, ha elegendő időt hagytunk a term ikus egyensúly beálltá ra, mutatva, hogy a vízzel és igy egym ással is term ikus egyensúlyban levő gázok nyomása az eredetinek ugyanannyiszoro­sá ra nőtt!

- 126 -

1 . 2 ábra

- Hogy két adott hőm érsékleti pont között a gázok nyomása (állandó térfogaton) nem ugyanannyival, hanem ugyanannyiszo ro sá ra nő, az 1 .3 . ábra sze rin ti k ísé rle tte l ellenőriztük. Az egyik palackot olvadó jégben "le vegőztük fel", azaz állítottuk.be 1 atm nyomásúnak, a m ásikat fo rrásban levő vizbe m eritve, aztán m egcseréltük a közegeket. Az e lső nyomásnöve kedését 28 torrnak, a m ásodik nyom áscsökkenését 20 to rrnak találtuk az e redeti 76 torrhoz képest, és valóban (76 +28)/76 « 76 /(76 -20).-

A kísérletünkben ta lá lt törvényszerűség G ay-Lussac törvénye: Az elég ritk a gázok állandó térfogaton bekövetkező re la tív nyom ásváltozása két tetszőlegesen rögzíte tt hőm érsékleti pont között független az anyagi m i­nőségtől. E törvény kézenfekvővé teszi, hogy az em pirikus hőm érsékleti skálák közül éppen a (ritka) gázok nyom ásváltozására alapozott ská lát vá­lasszuk: ez legalább a gázok körében független a hőm érő közegének anyagi m inőségétől. Úgy gondoljuk, a gázok ilyen különleges viselkedésében a hő­m érsék le t mélyebb - a következőkben felderítendő - fizikai ta rta lm a je len t­kezik, és bizunk benne, hogy a te rm észe ti törvények ebben a skálában egy­szerűbb alakúnak adódnak, m int m ás, önkényesebb hőm érséklet-skálákban. Definíció tehát:

Akkor mondjuk, hogy az 1 . tes t hőm érséklete x -sz e r nagyobb (= m a­gasabb), m in t a 2 . te s t hőm érséklete, ha az e redetileg a 2 . tes tte l te rm i­kus egyensúlyban levő ideális gáz nyomása x -sz e re sé re nő állandó térfoga­ton, am ikor az 1. tes tte l kerül egyensúlyba,

T1 P1(1.1) ~T~ ~ n~ (V = á ll.)

2 p2

(Az 1. és 2. tes t lehet ugyanazon tes t is, különböző hőm érsékleti állapot­ban.) Az igy definiált hőm érsékletet ideálisgáz-hőm érsékletnek nevezzük.

Az ideális gázra hivatkozó definíció alapján úgy lehet elvileg pontosan hőm érsékletet m érni, hogy a nyomások hányadosát egyre kisebb kezdeti nyomású gázzal határozzuk meg, és az eredm ényt nulla nyom ásra ex trapo-l áljuk.

A hőm érséklet egységének m egválasztásában a hagyományhoz igazo­dunk: a v í z 1 atm nyomáshoz tartozó olvadás- és fo rráspontja között legyen a hőm érséklet-különbség 100 egység. Az igy rögzített egység neve Thomson (lord Kelvin) tisz te le té re kelvin, rövidítése "K ". Az (1.1) definició sze rin t akkor

T - T(1.2) forr ° ‘V

To.v ^olv olv p . - p , fo rr olv

<T, - T . ) fo rr olvv----- ------'

100K

Egyszerű eszközünkkel a re la tiv nyom ásváltozásra

- 128 -

76= = 2,7p* - p . 28 fo r r olv

é rtéket kaptunk. Pontosabb m érések sze rin t

— % ------- >2.7315,pfo rr Polv

így

(1.3) Toly = 273,15 K.

Az ilyen egység-m egállapodással elláto tt ideálisgáz-hőm érsékletet K elvin-hőm érsékletnek nevezzük.

A hőm érséklet köznapi életben megszokottabb m egszámozásához a l­kalmazkodva, egy "t" C elsius-hőm érsék letet is bevezetünk, a

(1.4) t = T - T , = T - 273,15 Kolv

definicióval. Egysége term észe tesen szintén K, am ire azonban a °C ál­nevet is szoktuk használni.

A t C e ls iu s -é s a T Kelvin-hőm érséklet között tehát nem egység- kütönbség van, hanem nullpont-különbség. A °C fedőnév pusztán a r r a va ­ló, hogy mondatot lehessen vele rövidíteni. Megállapodás sze rin t " a fü r­dővíz hőm érséklete 32 °C" mondat azt jelenti, hogy a "fürdővíz C elsius- -hőm érséklete 32 K". F izikai egyenletekkel való szám olásban a kettő azo­nos egységet jelent, K és °C egységgel fe lir t hőm érsékleteket, ill. hő­m ér sékletkülönbségeket minden további nélkül ki lehet egymásból vonni és össze Lehet adni. Hőm érséklet-különbség vagy -változás m egadásánál AT és A t között sem m ilyen különbség nincs: " AT = 20 K", " A t = 20 °C" és " A t = 20 K' ugyanazt jelenti.

A kisérleteiukben használt egyszerű gázhő­m érő az állandó térfogatú állapotváltozást csak közelítőleg valósítja m eg. A m értékh itelesítő la ­boratórium okban az 1 .4 ábra szerin ti e lrendezést használják. A hajlékony csővel csatlakozó üveg m anom éter-cső em elésével-sü llyesztésével a gáz térfogata szigorúan az eredeti é rték re állítható v issza minden hőm érsékleten. Ezeket a gá^hőmé- rőket a kisebb m éretű , kényelmesebben használha­tó hőm érők precíziós h ite les ítésére használják.Az utóbbiak skálája tehát nem a működésűk alap- 1 .4 ábra

- 129 -

jáu l szolgáló fizikai m ennyiség (folyadéktérfogat, e lektrom os e llenállás stb .) szerin t, hanem a gázhőméró' gáznyomása sze rin t lin eá ris beosztást kap. Szerencsés körülmény, hogy a higany térfogata az o lvadás- és fo r r á s ­pontja közötti tartom ányban igen jó közelitéssel lin eá ris függvénye az (1 . 1) definició sze rin ti ideálisgáz-hőm érsékletnek, igy a hőm érsékleti fixpontok­ból kiinduló, geom etriailag egyenletes beosztással e llá to tt higanyos hőmé­rő jól közeliti az ideálisgáz-skálát. Ugyanez érvényes a platina elektrom os ellenállásának hőm érsékletfüggésére is .

1 .3 Állapotegyenletek

Adott anyagi m inőségű és anyagmennyiségü homogén közeg fizikai á l­lapotát véges szám ú jellem ző mennyiségének értéke rögziti olyan é rte lem ­ben, hogy további fizikai jellem zőinek értéke m ár ezekéből következik. így gázoknál és folyadékoknál két adat elegendő: a nyomás, hőm érséklet és sű ­rűség (adott anyagmennyiségnél: térfogat) közül bárm elyik kettő m ár m eg­szabja a törésm utató, viszkozitás stb . értékét. Az előbbi m ennyiségeket e zé r t állapothatározóknak vagy állapotjelzőknek nevezzük, a tes t ezek függ­vényében előállítható je llem zőit állapotfüggvényeknek. A három em lite tt á l­lapotjelző közül kettő egyebek között a harm adik é rtékét is m egszabja.(Az állapothatározók egyben tehát állapotfüggvények is .) A három állapot­határozó közötti összefüggést nevezzük állapotegyenletnek.

A sz ilá rd testeknek több független állapothatározója lehet, igy izo t- róp sz ilá rd testek esetében pl. a nyomás helyett a három főfeszültség. Hu­zalok, szalagok viselkedésének le irá sá ra viszont ism ét elég két állapotha­tározó: a hőm érséklet, a (longitudinális) feszültség és a hosszúság (vagy a re la tiv megnyúlás) közül valam elyik kettő.

Változó anyagmennyiségü (zárt felülettel definiált) fizikai ren d sze rt is fogunk vizsgálni, ilyennél a térfogat, a tömeg és a sűrűség közül kettő független állapothatározónak tekintendő.

A hőm érséklet és a nyomás a term ikus és m echanikai egyensúlyban levő tes t egészére és kisebb tartom ányaira egységesen jellem ző érték , eze ­ket intenzív állapothatározóknak nevezzük. A tekintett tes t térfogata és tö­mege viszont a része inek térfogatából, ill. tömegéből ö sszeadással kapha­tó, tehát additív m ennyiség. Az additív állapothatározókat a hőtanban exten- ziv állapothatározónak is nevezzük. A későbbi fejezetekben további inten­zív és extenziv állapothatározókkal fogunk m ég találkozni.

- 130 -

1 .3 .1 Id eá lis gáz

Adott mennyiségű gáz kezdeti állapotának p^, V^, állapothatá­

rozóit ism erve, a Boyle-M ariotte-törvény és Gay-Lussac törvényének fe l- használásával (pontosabban mondva, a G ay-Lussac-törvényre alapozott hő- m érsékletdefinició felhasználásával) ki tudjuk szám olni bárm ely két á lla ­pothatározóval (pl. p2> Vg) m egadott végállapothoz a harm adik értékét

(esetünkben T^-t). A p-V koordináta-rendszerben az azonos hőm érséklet­

hez tartozó állapotokat jelképező pontok halm aza (izoterm a) hiperbolát a l­kot (különböző hőm érsékletekhez tartozó izoterm ák m ás-m ás hiperbolát).A k e rese tt T értéke nem függ attól, m ilyen utón jutott a gáz a végállapot­ba, igy választhatunk olyan speciális folyamatokból álló utat, am elyekre vonatkozó összefüggést az állapothatározók között m ár ism erjük . Az 1. 5 ábra sze rin t választo tt ut izoterm ikus (T = á ll.) és izokór (V = á ll.) sza ­kaszokból áll: állandó hőm érsékleten tágitjuk a gázt, m ig el nem érjük a

kívánt V2 térfogatot (e közben a nyomása valam ilyen p * -ra süllyed), a z ­

tán állandó térfogaton m elegítjük P2 e lé résé ig . Az első szakaszon

a B oyle-M ariotte-törvény szerin t, a m ásodik szakaszon a G ay-Lussac- p

• rr /-tö rvényre alapozott hőm érsék let- definíció sze rin t az állapothatáro­zók között a

pi v i *

ill.

1 .5 ábra

összefüggés teljesül; a két egyenletből a sem kezdeti, sem végállapothoz

tartozó p*-ot kiküszöbölve

(1.5) P1 V1 P2 V2 PV - áll.

Az állandó értékét egyetlen összetartozó értékhárm asból m eghatározhatjuk.

- 131 -

például a Tq = 273,15 K, Pq = 1> 01325 . 10** N/m^ (= 1 atm) norm ál á l­

lapothoz tartozó Vq térfogat ismeretében. Az utóbbi a gáz tömegével a r á ­

nyos, hiszen homogén nyomás- és hőmérsékleteloszlás ese tén a gáz sű rű ­sége is homogén,

V = m v .0 0

ahol Vq = ~ ~ a norm ál állapotban felvett faj térfogat (a sűrűség recipro­

ca). ígyV DpV 0*0* = m — — = mr,

T„vagy

(1.6) pV = mrT,

ahol az r állandó már csak az anyagi minőségtől függ; neve: fajlagos gáz­állandó. (Levegő normálállapotí sűrűsége pl.

9 , - 1 . 2 9 3 - ^ r = - ^ . » ¿ . 1

- Az ideális gázok (1.6) állapotegyenletét a 2.1 pontban olyan alakba fogjuk átirni, amelyben az anyagi minőségtől függő r állandó helyett m in­den gázrá egyaránt vonatkozó univerzális állandó szerepe l. -

Az (1.5) törvénynek speciális következménye a térfogat és hőm érsék­le t arányossága állandó nyomás (izobár állapotváltozás) m ellett:

V T(1.7) ~ = - = r . (P = á l l . )

1 1

Az (1.7) egyenletet Gay-Lussac I. törvénye néven szokás idézni.- Az (1.7) összefüggést az (1.1) egyenlettel definiált hőm érsékleti

sk á lára való hivatkozás nélkül igy fogalmazhatnánk: az elég ritk a gázok re la tív térfogatváltozása állandó nyomáson két tetszőlegesen rögz íte tt hő- m érsék le ti pont között független az anyagi minőségtől, és ugyanakkora, m int a re la tív nyom ásváltozás ugyanezen két hőm érséklet között állandó térfogaton. Ezt közvetlenül az 1 .6 ábra sze rin ti k ísé rle tte l ellenőriztük. -

- Az 5 ., m ajd a 6 . 5-ban a hőm érsékleti skálát sikerül úgy általáno­sítanunk, hogy nem hivatkozunk az ideális gázokra. Akkor - amennyiben

-132 -

(1 . 1) érvényessége az uj skálában m ért h őm érsék letre is érvényesnek bizonyul — m ajd m agát az (1 . 1) egyenletet fogjuk G ay-Lussac II. törvényének nevezni. Ez többet fog tartalm azni az 1 . 1 pontban m eg­fogalm azott á llításnál — amely á llítá sra Gay-Lussac törvénye néven fogunk hivat­kozni, so rszám ozás nélkül — de azt is magában foglalja. -

Az állapothatározók közötti diffe­renc iá lis (kis m egváltozásuk közötti) összefüggések:

V -

I1 . 6a ábra

(1 . 8)

1 . 6b ábra

(T = á ll.)

(1.9)

A bennük fellépő

(1 . 10)

dVV

K = -V

I1 dT.

( f i ) T=áll

(p = á ll.)

(1 . 11 )

m ennyiséget izo term kom presszió-m odulusznak, ill. izobár (köbös) hőtá­gulási együtthatónak nevezzük. Ezek értéke az állapothatározókétól függ: az (1 . 6) ideálisgáz-törvény szerin t, a kijelö lt d ifferenciálásokat elvégezve (úgy, hogy a m egjelölt változót állandónak tekintjük) a

(1 . 12)

ill.

(1.13)

K = - VmrT d(l/V ) _ m rTdV = P,

_ 1 m r dT _ m r _ _1_ ~ V ‘ p dT " pV ~ T

kifejezéseket kapjuk.

- 133 -

Ha egy szerre a nyomás is, a hőm érséklet is változik (infin itérim áli- san), a re la tiv térfogatváltozás

(1.14) d p + /3 d T .

Innen kiolvashatjuk az állandó térfogaton bekövetkező m elegedés és nyom ás­változás közötti d ifferenciális összefüggést:

(1.15) dp = K ^dT (V = á l l . ) <£=> í ) = K/3 = .V = áll

1 .3 .2 R eális gázok

Az (1.6) ideálisgáz-törvénytől e lté ré s vehető é sz re nagy sűrűségű (nyomású) gázok esetében; példaképpen az 1.7 ábra 28 g nitrogén pV sz o r­zatát m utatja a nyomás függvényében, néhány különböző, állandó hőm ér­sék let m elle tt. Látható az ábrán, hogy néhányszor 10 bár nyomásig a pV

1.7 ábra

szo rza t valóban független a nyomástól, és arányos a hőm érséklettel, na­gyobb nyomások, ill. kisebb faj térfogatok tartom ányában azonban ettől e l­té r . A re á lis (valódi) gázok állapothatározói közötti összefüggésnek az (1.6)

- 134 -

gáztörvény csak a kis sű rűségekre vonatkozó h a tá rese te . Jobb közelítéssel teljesülő" állapotegyenletet Van dé r W aals javaso lt (1870 körül), a

’2„ v a ’ m , b’ rT a ’ b’ rT - a ’ b rTpv = rT -----~r - — = rT + — - — % rT + --------------- + ---- r —+ . , .v - b v v-b v v 2v

vagy — a könnyebben m egjegyezhető —

(1.16) (p + - y > ( v - b ’ ) = rTv

alakban, ahol a’ és b’ további, a gáz anyagi m inőségétől függő tapasz­tala ti állandó. A re á lis gázok állapotát m ég jobb közelítéssel le iró , több állandót tartalm azó függvényeket is konstruáltak azóta, de legjobb — ha m ár a V .d .W .-egyen le t sem kielégitő — a m éré s i adatokból táblázatos vagy grafikus form ában m egadott állapotegyenletet használni.

1 .3 .3 Kondenzált közegek

Állapotegyenletet kondenzált közegekre — folyadékokra és sz ilá rd testekre - is értelm ezünk: ezeknek is függ a térfogata a hőm érséklettől és nyomástól, ill. huzalok, szalagok esetében a hosszuk a hőm érséklettől és a feszültségtől,

V _ VV = V ( T t p ) < = * — - .. " = f(T, p),

0

lU‘ l - ii = i (T, € ) -í=i> ° = f(T, 6 ) .

í 0

Az 1. 8-10 ábra a viz, acélrud és gum iszalag izo term áit m utatja térfogat- -nyom ás-, ill. hosszúság-feszültség koordináta-rendszerben, az 1 .11-13 ábra az izobár vonalakat térfogat-hőm érsék le t-, i ll . hosszúság-hőm érsék­le t koordináta-rendszerben. (A térfogatnak és a hosszúságnak célszerűen a norm ál állapotokhoz viszonyított re la tiv változása van feltűntetve, igy az ábrázolt állapotegyenlet a kiindulási m ére t esetlegességétő l m en tes .) Ihfi- n itézim ális nyomás- és hőm érsékletváltozások e se té re a re la tiv m ére tv á l­tozás m indkét m ennyiség lin eá ris függvényének tekinthető; folyadéknál

- 135 -

f ( f )L. l 0( h ^ r)H M # »

6 f'fé)dJ e ,Jrf{f)d£ ' r í f f &

-i Í2- ol — e T

■ ¿■-/ff

1.12 ábra

-137 -

huzal, szalag, rúd esetében pedig

(1.18)

ahol K(p, T) és E (6 ', T) az izoterm rugalm assági együtthatók (kom presz- sz ib ilitási, ill . Young-modulus), fi (p, 1) és oc (6 ' , T) pedig a térfogati ("köbös"), ill. lin eá ris hőtágulási együttható. A sz ilá rd testeknél és sok esetben a folyadékoknál (a viznél és gum iszalagnál éppen n em !) a hőtágu­lás i együttható és a rugalm assági állandók olyan nagy feszü ltség - és hő­m érséklettartom ányban állandónak vehetők, hogy az (1.17,18) d ifferenciá­lis összefüggések a számbajöhető feszü ltség- és hőm érséklettartom ányban a véges m ennyiségek közötti összefüggésekre is használhatók, jobb-rosszabb közelítésben

€

/

fSO 300 3SD *00 rc*T)

1.13 ábra

(1.19)

(1 * 20)-

igy k és (i, ill. E és oc m egadása egyenértékű az állapotegyenlet (ki- sebb-nagyobb tartom ányra érvényes) m egadásával. Tájékoztató értékek az1.1 és 1 . 2 táblázatban találhatók.

- A gumi viselkedése érdekes hasonlóságot mutat az ideális gázokéval: jó közelí­téssel teljesül, hogy relativ megnyúlása a feszültségnek és a hőmérsékletnek csak az arányától függ.

azaz állandó hosszúság m ellett a feszültség a Kelvin-hőm érséklettel arányos. (Ezért szokás mondani, hogy "a gumi a kondenzált közegek ideális gáza” .) Ebből az adott álla­pothoz tartozó hőtágulási együttható és Young-modulus közötti egyértelm ű összefüggés adódik, am it az 1.10 ábrán fel is irtunk. Érdem es felfigyelni a r ra a tényre is, hogy mig a fémek és a kristályos ásványok (állandó feszültség mellett) a hőm érséklet növeke­désével tágulnak, a gumi összehuzódik. Ezt egyszerű k ísérle ttel megállapíthattuk: a gu­m iszalag a ra jta függő terhet m elegítésekor felem elte. A gumi ilyen különleges v iselke­dése csak egy bizonyos (bár nagy, a feszültségm entes hossz sokszorosáig terjedhető) megnyúlásig tart, tovább nyújtásához m ár olyan nagyságrendű feszültség szükséges, mint a fémhuzaloknál. Ebben az állapotban, éppúgy a feszültségm entes állapotban a "rendellenes" (negatív) hőtágulás is megszűnik. -

- Érdekes sajátossága a víznek, hogy az olvadáspont fölött 4 K többlethőmérsék­letig (t = 4 °C-ig) összehuzódik, csak ezután kezd tágulni, igy a víz sűrűsége t = 4 °C - nál m axim ális, amiből viszont az a — vízi élőlények szám ára előnyös — következmény adódik, hogy a 0 °C alatti léghőm érséklet révén bekövetkező lehűlés, majd megfagyás a tavak, folyók és tengerek felső rétegét érinti, az alsó réteg — ha a viz elég mély — nem hűl 4 °C alá (v.ö. "hó'áram lás", a 9 .3 .4 pont). -

1 .1 TÁBLÁZAT

Szilárd testek lin eá ris hó'tágulási együtthatója és Young-modalusza 300 K körül

Anyag ex (10 e /K) E(1010 N /m 2)

A1 26 6, 9

Ag 19 g

acél 12-17 21

Fe 12 20

Pb 42 1 ,6

invar (64% Fe, 36% Ni) 0 ,1 -2

Cu 17 11

Si 2

- 139 -

1.1 táblázat folytatása

Anyag <X(10_6 /K) E(1010 N /m 2)

SiC>2 (kvarc)* 8, 14

MMüveg 3-40

H20 (jég) 50

polietilén 200 0, 02

beton 10-14

gyémánt............................... J

98...

1 .2 TÁBLÁZAT

Folyadékok köbös hőtágulási együtthatója és kompresszió-modulusza

Anyag fi (10"3/K) K(108 N /m 2)

Na (olvadt) 0, 3 60

Hg 0,181 250

h2o 0,1-0 , 7 20

etilalkohol 1,1 10

benzol 1,2 11

petróleum 1 , 5 14

*A hőtágulás a különböző kristálytengelyek irányában különböző

^ F a jtá já tó l függően

- 140 -

2. § Az anyag molekuláris szerkezete, a molekuláris modell alapfeltevései

2.1 Ax atomok és molekulák lé tezé sé re utaló tapasztalatok

A molekulák lé tezésé re elsőként a kvantitatív kémia eredm ényei u ta l­tak. Miután tisztázódott, hogy minden anyagfajta végesszám u. kémiai e ljá ­rásokkal tovább nem bontható " tisz ta " anyagból — kémiai elem ből — épül fel, az egym ással vegyületet alkotó elem ek töm egarányára Dal tón (1800 kö­rül) két kvantitatív törvényszerűséget talált:

1. Minden vegyületben a vegyületet alkotó elem ek tömegaránya á llan­dó. (Pl. 1 g víz mindig 8/9 g oxigénből és 1/9 g hidrogénből á ll.) Hagyo­mányos elnevezéssel ez az "egy szeres súlyviszonyok törvénye".

2. Ha két elem egym ással többféle vegyületet alkot, akkor a tömeg­arányok hányadosa racionális szám . (Sőt, sok esetben, a közönségesebb ve - gyületek esetében, kis egész szám ok hányadosa. P l. a hidrogénperoxidban az oxigén-hidrogén-töm egarány 16, a vízben 8 , a kettő hányadosa 2 . A fe r- rioxidban a vas-oxigén-töm egarány 3, 491, a ferrooxidban 2, 327, a kettő

3hányadosa —.) Ez a "többszörös súlyviszonyok törvénye".

A két törvény csak úgy magy, rázható, ha feltételezzük, hogy a kémiai elem eknek van egy legkisebb, m egváltozhatatlan (legalább is közönséges kö­rülm ények között, egyszerű eszközökkel meg nem változtatható) alapegysé­ge, atom ja, és a kémiai vegyületekben csak egész számú atom társu lha t egész számú atom m al. Adott elem atom jait egym ással egyformának “ így egyenlő tömegűnek is — gondoljuk, különbözőkét különbözőnek. A vegyület legkisebb egységét, am it egész a ám u atomból szorosan összekapcsolt kép­ződménynek gondolunk, molekulának nevezzük. A molekulák a klasszikus fizika által v izsgált jelenségekben egységes egészként viselkednek. Külön­álló atomokból felépülő anyagok atom jait is (nemesgázok!) molekuláknak mondjuk, "egyatom os m olekulák".

A kém iai vegyületekben előforduló tömegarányokból ki lehet kombinál­ni az egyes atomok re la tív tömegét. Legkisebb tömegűnek a hidrogén atom ja bizonyult, kézenfekvőnek tűnhetne, hogy ennek tömegét válasszuk atom i tömegegységnek. A szén azonban - amelynek atom ja majdnem 12-sz e r na­gyobb tömegű a hidrogénatom nál - gyakorlati okokból alkalm asabbnak bizo­nyult (későbbi tanulmányainkban fogjuk látni, hogy m iért); atom i tömegegy­ségnek a szénatom tömegének 1/12 ré sz é t választo tták . A kémiai elem atom - súlyán egy atom atom i tömegegységekben m é rt tömegének m érőszám át é r t ­jük, vagyis azt a szám ot, amely m egadja, hogy egy atom ja hányszor na­

- 141 -

gyobb tömegű a szénatom tömegének 12 -ed részénél; hasonlóan a vegyület molekulasulya egy molekula atomi tömegegységekben m ért tömegének m érő - szám át jelenti.

A molekulák létezésének fe ltételezésével az anyagmennyiségnek ha­tározo tt je len tést adhatunk; az anyagmennyiséget egyszerűen m olekulaszám - m al m érjük. Addig is, amig meg nem tudjuk, hogy egy-egy molekulának m ekkora a tömege, és hány molekula van pl. 2 g hidrogéngázban, vagy 12 g szénben, választhatunk anyagm ennyiség-egységet a következőképpen: 1 mól anyagmennyiségü a közegnek olyan darabja, amelyben annyi m olekula van, m int ahány atom ot 12 g szén tartalm az . A molekulák mólonkénti szám át (12 g szénben levő szénatomok szám át) nevezzük Avogadro-Loschm idt-féle számnak, röviden Loschm idt-szám nak. A tömeg és a fenti módon é rte lm e­zett anyagmennyiség adott anyagi minőségű közegre arányos egym ással, az á tszám olási tényező azonban az

„ , db molekulap - 1 » » = m 0 L — S d ---------- o 5

definícióval é rte lm ezett móltömeg (ahol L a Loschm idt-szám , N a Loschm idt-állandó, m Q egy molekula tömege) az anyagi m inőségtől függ.

Jelen tése: a mólonkénti tömeg. (Annyi gram m , amennyi az ille tő vegyület m olekvlasulya. Ez utóbbi k ö rü lírást a móltömeg definiciój ának is tekinthet­nénk, ha nem használnánk a molekulák lé tezésére és egyform aságára tett fe ltev é s t.)

A m olekulákra hivatkozó m ennyiségeket tartalm azó egyenletekben a "m ól", " . . . darab m olekula a . . . fajtából" kifejezések tulajdonképpen egy- -egy uj fizikai dimenzió szerepé t töltik be. így az M m cltöm eg dimenziója

[ M > [tö m eg ] / [anyagm ennyiség],

egysége

{ M} = g/m ol vagy kg/m ol, esetleg kg/kmol,

hasonlóan a Loschmidt-állandóé

[ N ] =[darab molekula] / [anyagm ennyiség],

a L oschm idt-szám pedig fizikai dimenzió nélküli szám . Pusztán szokás kérdése, hogy a "db molekuls" k ifejezést nem tekintjük fizikai egységnek, csak körülirásnak, és a fizikai egyenletekben nem Írjuk, csak gondoljuk és mondjuk. A "m ól" egységet azonban fel szoktuk tüntetni, m e rt nélküle köny- nyen belezavarodunk az egyenletekbe.

A kondenzált anyagok sűrűsége és m ólsulya között nincs egyértelm ű összefüggés; a m olekuláris modell szerin t ez azt jelenti, hogy az egyes m o­lekulák anyagfajtánként különböző térfogatot foglalnak e l. A gázoknál m ás

- 142 -

a helyzet. Avogadro által megfogalmazott tapasztalati törvény, hogy adott nyomáson és hőm érsékleten bárm ilyen gáz 1 mólnyi mennyiségének térfo ­gata ugyanakkora. (A vizbontásban keletkező H^-gáz térfogata k é tszer ak­

kora, m in tá z O^-gázé, a 2 1 ^0 — *• 2H2 +02 kémiai egyenletnek m egfe­

lelően; a gázban a ''nehéz” O molekula ugyanakkora térfogatot foglal el,

m int a "könnyű" H molekula). Adat: norm álállapotban bárm ilyen gáz té r ­fogata

(2 . 2) V0 = 22,41 . 10“3 m 3/m ol;

jfezt nevezzük norm ál m óltérfogatnak.

Avogadro törvényét felhasználva, az ideálisgáz-törvényt olyan alakra hozhatjuk, amelyben az anyagi m inőséget csak a móltömeg képviseli.A norm ál m óltérfogat és fajtérfogat, i ll . sűrűség közötti összefüggés nyil­vánvalóan

- f ' s v 0 ‘ V ~ •

igy az (1 . 6) gáztörvényben szerep lő r állandó

r = R/M

alakban fejezhető ki, ahol

P V(2.3) R = ° - r -° = 8,314 —v ’ TQ mól K

anyagi minőségtől független állandó, neve általános gázállandó. Az id eá lis­gáz-törvény tehát bárm ilyen anyagi m inőségű (elég ritka) gázra

(2' 4> Q~ = ¥ T>

vagy

(2.5) pV = - g - RT,

' Az első fogalmazás egyszerűsége érdekében egy kicsit eltértünk a teljes igazságtól, amely; igy szólna:

V <P' Tü) ’ P -3 3\ '0 = lim ------------------- =22,41 . 10 m /m ól.~ p 0 Pü

- 143 -

vagy

(2.6) pV = RT

alakba irható.(A továbbiakban is a " jelzéssel ellátott nagybetűs extenziv meny-

nyiségeken mólnyi anyagmennyiségre vonatkoztatott értéket értünk.) Célsze­rű az (1.9) Van dér Waals-egyenletét is átírni moláris mennyiségekre:

(2.7) (P + ~ ) (V - b) = RT,X

ahol az a és b állandó az(l .16 >-ban szereplő, tömegegységre vonatkozó állandókkal az

összefüggésben van.

2 . 2 A molekulák m érete

Em lítettük m ár azt a tapaszta lati tényt, hogy a molekulák a konden­zált anyagokban elég jól m eghatározott, anyagfajtánként különböző térfoga­tot foglalnak el: a folyadékok és sz ilá rd testek sűrűsége igen nagy nyom ás­határok között (amilyet csak földi körülmények között elő tudunk állítani) néhány ezre léken belül állandó. A gázok sűrűsége közönséges nyomásokon a kondenzált anyagokénál jóval kisebb. A vízgőz sűrűsége például légköri nyomáson és fo rráspont körüli hőm érsékleten 0 , 6 kg/m ^, több m int e z e r ­sz e r kisebb a cseppfolyós vizénél. A gáz-halm azállapotba való átmenetnél tehát a molekulák által elfoglalt térfogat ug rásszerűen m egnő. Két dologra gondolhatunk: vagy a molekulák sa já t térfogata nőtt meg ("felfúvódtak"), vagy változatlan m ére t m elle tt eltávolodtak egym ástól. Avogadro törvényé­vel csak az utóbbi egyeztethető össze: a gázban egy m olekulára anyagi m i­nőségétől függetlenül ugyanakkora térfogat jut, és igen különös lenne, ha a kondenzált anyagban különböző m ére tű m olekulák következetesen ugyanak­k orára duzzadnának fel.

A? atom okról és m olekulákról ennek alapján e lső közelítésül a követ­kező egyszerű m odellt alkothatjuk: Az atomok hasonlatosak kemény, ru g a l­m as, de a rugalm as taszításon kívül rövid hatótávolságú vonzó kölcsönha­

- 144 -

tá s ra is képes golyókhoz; ha szorosan egymás m ellé kerülnek, összetapad­hatnak - tartó san és szilárdan: molekulákat alkotva, vagy könnyebben sz é t- szedhetően (lazábban): kondenzált anyaggá csomósodva (amelyen belül e se t­leg a m olekulák szorosabb egységet alkothatnak). A vonzó kölcsönhatás vagy csak a széttávolodást tudja megakadályozni — ez a folyadék —, vagy az egymáson való gördülést is - ez a sz i­lárd tes t. A molekulák között ható erők erőtörvénye és kölcsönhatási potenciál­ja a molekulák (tömegközéppontjai) kö­zötti távolságának olyan jellegű függvé­nye lehet, am ilyet a 2 . 1 ábra m utat.A gátban a molekulák átlagos távolsá­ga sokkal nagyobb a m éretüknél. (Füg­gőben m arad t kérdés: akkor gravitációt erő té rben m ié rt nem hullanak le az edény a ljá ra ? M iért töltik ki a rendel­kezésükre álló egész térfogatot?)

A molekulák m ére té t nagyságren­di tájékozódás igényével m egbecsülhet­jük például a következő jelenség alap­ján: A v izfelszinre cseppentett olaj szé tterü l, a sim a vízfelszínen összefüg­gő tartom ányt alkotva; ha az olajcsepp elég kicsi és a vizfelszin elég nagy volt, az olaj nem vonjít>e az egész felszint, hanem a szé tterü lés egy m eg­határozott sugárnál megáll* Feltehetjük, hogy eldro£ az o lajréteg vastagsá­ga egymolekulányi, de legalább is annál biztosan nem kisebb. K isérletünk-

-3 3ben 0, 001 térfogatarányu alkoholos ricinusoldatból 10 cm - t cseppentve 2

a v izre , kb. 100 cm terü letü kör alakú foltot kaptunk. Az alkohol a vízzel

elegyedett, a foltot a 10 cm 3 térfogatú olaj alkotta, így a rétegvastagság-8

kb. dQ « 10 cm. Ennyi lehet egy molekula átm érője, vagy in k á b b -a

sok szén - és hidrogénatomból felépülő olajm olekulát lánchoz hasonlónak gondolva ~ egy szénatom átm érője.

Ilyen vékony ré teg et közvetlenül látni nem lehet. Úgy tettük láthatóvá az olaj által elfoglalt tartom ányt, hogy előzőleg a viz fe lsz ínére likopódium- -po rt szórtunk (aprószem cséjü zsu rló -spóra), am it a szétfutó olaj maga e lőtt tolt, a felszínen egy portalan kört alakítva ki,

3A gyémánt sűrűsége 3, 5 g/cm , Loschm idt-szám nyi szénatom tehát

3kb. 3 cm gyém ántban van. A szénatomok itt szorosan egymás m ellett kell,

—8hogy legyenek (a gyémánt nagyon kemény!), dQ «■ 10 cm távolságra egy­

m ástó l. A Loschm idt-szám ezek s z e r in t— néhány nagyságrendig m egbizha-

- 145 -

tó b ecsléssel - 10 lehet. A későbbiekben a Loschm idt-szám több, ennél pontosabb m érés i módjával találkozunk. Előlegezzük ezek — egym ással összhangban levő - eredm ényét:

23 23 db m olekulaL = 6, 023 . 10 N = 6, 023 . 10 ------------------~ m ól

m , Més 1 atom i tömegegység = ______ ■szén

12 12 N

12 ' 10' 3 ^ ------- “ 1. 66« • 1»~27 kg.12 . 6 , 023 . 10 l/m ó l

2 .3 Brow n-m ozgás, hőmozgás; a kinetikus gázmodcll feltevései

Vízben d iszpergált apró részecskék — kísérletünkben TiO^ (titánfe­

hér) szem csék - állandó rendezetlen m ozgást végeznek (hirtelen sebesség - változásokban bővelkedő, zegzugos, kaotikus, kitüntetett irány t nem m uta­tó mozgást), amelynek élénksége időben nem változik. A je lensége t fe lfe ­dezőjéről Brown-mozgásnak nevezzük,

- Brown (lé27-ben) először virágpor-szem es éken figyelte meg a jelenséget, s az élet prim itiv megnyilvánulásának gondolta, de hamarosan tisztázódott, hogy sze rve t­len anyag szem cséi az' állandó rendezetlen mozgásban éppúgy ré s z t vesznek. A Brown- mozgás gázban lebegő részecskéknél, pl. cigarettafüst korom szem cséinél is megfigyel­hető. -

A Brown-mozgás ré sz le te s v izsgálata azt m utatja, hogy a m ozgás élénkségét (adott szem csem éret m ellett) egyetlen módon lehet növelni: a kö­zeg hőm érsékletének növelésével.

A jelenség kézenfekvő érte lm ezése m olekuláris modellünk sze rin t az lehet, hogy a d iszpergált részecskék rendezetlen m ozgása maguknak a v íz - molekuláknak a rendezetlen m ozgását áru lja el; a molekulákhoz képest nagym éretű szem csét minden oldalról bombázzák a beleütköző molekulák, és a sebessége attól függően változik véletlenszerűen, hogy éppen m elyik oldalról kap nagyobb lökést. A Brown-mozgás élénkülése a hőm érséklet em elkedésével a molekulák rendezetlen m ozgásának élénküléséről ad h irt. Ez nem kevesebbet jelent, m int hogy a hőm érséklet a m olekulák rendezet­len m ozgásának élénkségével van kapcsolatban, a h ideget-m eleget érzékelő

- 146 -

érzékszervünk a molekulák átlagos sebességének (vagy impulzusának? vagy kinetikus energiájának?) nagyobb vagy kisebb voltáról tájékoztat.

Egyben a r r a is v á lasz t kaptunk, m ié rt nem hullanak le a gáz m ole­kulái az edény a ljára : m ert nem állnak, hanem állandóan, nagy sebesség­gel mozognak.

- K ísérlet (ld. 2 .2 ábra): Az üveghengerbe öntött acélgolyók a henger fenekén gyűlnek össze; ha azonban a hengert alul záró lemezt egy v ib rá to rra l rezgésbe hozzuk, és így a golyókat állandóan mozgásban •tartjuk (amely mozgás a véletlen ütközések révén rendezetlen, ö ssze - *-v issza pattogó), a golyók betöltik az edény egész térfogatát. A golyók # , közé egy hozzájuk képest nagyméretű parafadugót téve, annak sebessé­ge is — bár a golyókénál lomhábban - véletLenszerüen ingadozik: Brown- • • # -mozgást végez! - • » • *

A rendszertelenü l mozgó, egym ással és a fallal véletlenszerűen ü t- közgető golyók viselkedése a gáz egy egyszerű gondolati m odelljét sugall­ja . Tekintsük a gázt állandóan mozgó, egym ással és a fallal rugalm asan ütközéseket végző, az ütközések között szabadon repülő molekulák soka­ságának. Feltételezzük m ég az előző pont eredm ényei alapján, hogy a m o­lekulák sa já t térfogata jóval kisebb, m int az edény térfogatának egy m ole­ku lára jutó ré sze . Az igy k ö rü lirt m odellt kinetikus gázmodellnek nevez­zük. E m odellre támaszkodó kvantitatív meggondolásokat m ajd a 4. §-ban végzünk.

2 .4 .1 Alapjelenségek

A hidrosztatika törvényeitől e lté ré s t tapasztalunk folyadék és sz i­lárd tes t érin tkezési vonalának kis környezetében, továbbá a térfogatukhoz képest nagy felszinü folyadékéseppek viselkedésében. Ilyenek:

a) A víznél nagyobb átlagsürüségü kis testek képesek a viz felszínén m aradni (szúnyog, borotvapenge, finom por), Archim edész törvénye e lle ­nére. Ha aztán egyszer a vízfelszín alá kerülnek (alányomjuk), nem em el­kednek fel; ezután m ár Archim edész törvénye sze rin t viselkednek. A je ­lenség a viz fe lszínét olyannak m utatja, m intha rugalm as hártya vonná be; a fe lszín a lá nyomva a testet, a hártyát mintha átszakitottuk volna.

2.2 ábra

2 .4 Felületi feszültség; a m olekuláris kölcsönhatás potenciális energiája

- 147 -

b) Egy dró tkere te t m osószeres vizbe m ártva és kiem elve, a folyadék vékony hártyaként feszül ki a kereten. Csakugyan feszül: ha a k e re tre la ­

zán cérn aszála t kötöttünk, és a hártyát a cérnaszál egyik oldalán elpattantjuk (pl. egy krétadarabot hozzáérintve), a m ásik oldalon épen m arad t hártya a cérnát fe sze sre húz­za (2 .3 ábra).

c'i Kis folyadékcsepp gömbalakot vesz fel (2.4 ábra). (A súlytalanság állapotában vedernyi folyadék is!) Általában, kis sulyu folyadék olyan alakot vesz fel, amelynél— adott perem feltételek m ellett, am it je len - fiett például a d ró tk ere t m egszabta határvo­nal — m inim ális felületű.

2 .4 ábra 2 .5 ábra

d) A folyadékfelszint határoló fal m ellett a folyadék felszíne e lté r a vízszin testő l, azaz nem m erőleges a tömegerők — speciálisan, a nehézsé­gi e rő - irányára, ld. 2 .5 ábra.

e) Széles felületű folyadékba állított keskeny csőben, un. ha jszálcső­ben vagy kap illá risban a folyadék egyensúlyi szintje magasabb vagy a lacso ­nyabb a külső folyadékszintnél, mégpedig magasabb, ha a fal m elle tti fe l­szín homorú, alacsonyabb, ha domború. Minél kisebb a kap illáris á tm érő ­je, annál nagyobb a szintkülönbség.

A fe lso ro lt jelenségeket felületi feszültség (a-c) és kap illáris je len ­ségek (d, e) néven foglaljuk össze .

2. 4 . 2 Mennyiségi összefüggések;felületi feszültség, felületi energia

I I alakú dró tkere te t a 2 . 6 ábra sze rin t téglalappá egészítünk ki egy könnyen elcsúsztatható rudacskával. A k ere te t m osószeres vizbe m ártva, m ajd kiem elve, a kialakuló folyadékhártya a rudat felhúzza. (Ha lehuzzuk, m egint v isszah ú zza .) A hártya tehát e rő t fe jt ki a rúdra, a folyadék ha tá ro ­ló vonalára m erőleges, a felszínnel párhuzam os e rő t. A rudat a ra jta függő

- 148 -

serpenyőbe rako tt sulyok m eghatározott értékig nem tudják lehúzni: a folyadékhártya nagyobb e rő t fe jt ki, m int am ekkora a rud-serpenyő-teher ö ssz ­súlya; am ikor pedig a teher elég nagy ahhoz, hogy a rúd meginduljon, uj egyensúlyi helyzet nem áll be; a rúd addig csúszik lefelé, amig a hártya el nem szakad, vagy a rúd el nem é r i a ke re t-d ró t végét. A folyadékhártya által a határoló sz ilá rd te s tre k ifejtett e rő ezek sz e rin t nem függ a h á r ­tya vastagságától vagy felületének nagyságától.Egyedül a határoló vonal hosszától függ: a m éré s t különböző m ére tű k e re ­tekkel (különböző hosszúságú rudakkal) m egism ételve, a hártya által kifej­tett e rő t a rúd hosszával és igy a határoló vonal hosszával arányosnak ta ­láljuk.

Tapasztalatainkat összefoglalva: a folyadék a fe lszínét határoló te s t­re vonzóerőt fejt ki, ami a határoló vonalra m erőleges és a felszínhez é r in ­tőleges irányú, nagysága pedig a vonal hosszúságával arányos,

(2.8) F = ot l .

(Az erőtörvényben szerep lő l hosszúságon a határoló vonal hosszát é r t ­jük, ami a kibérletünkben szerep lő rúd hosszának k é tszerese , hiszen a h á r­tya két^ fe lszín -határo ló vonal m entén érintkezik a folyadékkal, ld. 2 .7aábra .)

ffH 2 .7 a ábra 2 .7b ábra

E zt az erőtörvényt érvényesnek kell tekintenünk a folyadék felszínén bárhova gondolt vonalra, olyan értelem ben, hogy a folyadéknak a vonal egyik oldalára eső ré sze a m ásik o ldalra eső ré sz é t ilyen nagyságú és i r á ­nyú erővel húzza, hiszen másképpen a folyadékhártyának a határoló vonal és az elválasztó vonal közötti ré sze nem lehetne m echanikai egyensúlyban (lásd 2 .7b ábra).

A folyadékhártya tehát bizonyos fokig a rugalm as gumilaphoz hasonló­an viselkedik. Jól figyeljük m eg azonban a különbséget: a k ifeszitett gumi­lap a deform áció növekedésével egyre nagyobb e rő t fe jt ki, a folyadékhár­tya kifejtette e rő viszont ettől független, állandó nagyságú. Még egy fontos

- 149 -

különbség, hogy ugyanakkora re la tív m egnyúlás esetén a vastagabb gum i­lap nagyobb e rő t fe jt ki a vékonyabbnál, a folyadékhártya v iszont vastagsá­gától is függetlenül ugyanakkorát. Ez azt jelenti, hogy m ig a feszültségi állapotban levő gumilapnak egy kiválasztott k e resz tm etszet két oldalán le ­vő darab ja egym ásra az egész keresz tm etsze t mentén m egoszló felületi e rő t fe jt ki, addig a folyadékhártya két ré sze között ható e rő felü leti sű rű ­sége csak a keresztm etszetnek a folyadékfelszin közvetlen közelébe eső keskeny sávjában különbözik nullától (Id. 2 . 8 ábra). így érthető, hogy amig

2 . 8 ábra

a hártya vastagsága nagyobb ennek a sávnak a szélességénél, a folyadék r é ­szei, valam int a folyadék és a határoló fal közötti vonzóerő nagysága nem függ a hártya vastagságától.

Tudomásul kell vennünk tehát, hogy a folyadék felszíne m enti keskeny ré teg állandóan (külső e rő hiányában is !) feszültségi állapotban van. A (2. 8) erőtörvényben szerep lő együttható összefüggése a rugalm as testek m echa­nikájában érte lm ezett

feszültséggel:

<3 (x, y) = lim11 A »AA -»

AF ___nA A

- 150 -

AF(2 .9) oc(y) = lim

A y - 0 A- = / ( x , y) dx.

"b szélességit sávra"

(Az x - és y-tengely a 2. 8 ábra sze rin t értendő.)oC neve: felü leti feszü ltség , oc m érőszám a az e lválasztó ke resz tm et­

sze te t határoló vonal mentén, hosszuságegységenként fellépő belső felü­le ti erőével egyezik. Az oc felületi feszü ltséget a közeg anyagi m inősége (adott hőm érsékleten) m egszabja. Ennyiben a rugalm as anyagjellemzőkhöz hasonlit (Young-modulus s tb .) , és szokás kap illáris állandónak is nevezni. Egyben azonban m agát a feszültségi állapotot is megadja, m ivel — m int m ár leszögeztük - ez a feszültségi állapot a külső terhe léstő l nem függ.

A felületi feszültség jelenségének m ennyiségi törvényét összefoglaló és a felületi feszültség nevű m ennyiséget definiáló (2 . 8) összefüggést m ás alakba is Írhatjuk. Ahhoz, hogy a 2 .9 áb ra sze rin ti e lrendezésnél a ruda t A s távolsággal kvázi- sztatikusan lejjebb huzzuk, és igy a hártya fe lsz í­nét A A = t A s -s e l m egnöveljük,

A ’ W = F A s = ocl A s = n oc A A AS

munkát kell végeznünk. Ekkora munkát képes végez­ni a hártya is, amig a rudat felfelé m ozdítja A s utón, tehát amig a felülete A A-val csökken. így afolyadéknak a felületével arányos nagyságú felü leti energ iát kell tulajdoní­tanunk,

(2 . 10)

ill.

A E = ocAA.

(2.1 f) E = oc A.

(A (2.11) form ula fe lírásán á l éltünk az energia-nullpont szabad m egválasz­tásának lehetőségével.) A (2.11) egyenletet úgy értelm ezzük, hogy b árm i­lyen módon változik m eg egy cseppfolyós te s t felülete, a te s t energ iája — a m echanikában eddig figyelembe vett energiafajtákon kívül — oC A A-val v á l­tozik. A kap illáris állandónak (2. 8)-ca l egyenértékű — de, m in t látni fogjuk, á lta lánosításra alkalm asabb —definíciója ennek alapján; oc a felületegy­ségenkénti felületi energia. A folyadékfelszin m inim ális volta ezek sze rin t a - felü leti energ iá t is m agában foglaló - potenciális energ ia m inim ális vol­tát jelenti, összhangban az energiam inim um mechanikában m egfogalm azott elvével.

-151 -

A felületi feszültség (2. 8) fenomenológikus erőtörvénye, ill. a (2.11) felületi energ ia létezése alapján értelm ezni tudjuk az előző pontban a-c) a la tt fe lso ro lt jelenségeket. Ugyanezekre tudjuk visszavezetni a görbületi nyomás jelenségét is . Az utóbbin azt a jelenséget értjük, hogy görbült fe l­színnel hatá ro lt folyadék csak akkor lehet egyensúlyban, ha a felszín homo­rú oldalán nagyobb nyomás uralkodik, m int a domború oldalon. Ezt egysze­rűen onnan tudjuk, hogy lehet szappanbuborékot fújni, de nem lehet szap­panbuborékot szívni (m árm int sz ívássa l előállítani). Az egyensúlyhoz szük­séges nyom ástöbbletet nevezzük görbületi nyomásnak. A görbületi nyomás függ a fe lszín görbületi sugarától: kisebb görbületi sugár - nagyobb görbü­leti nyomás. (A 2.10 ábra sze rin ti k ísérle tben a kisebbre s ik e rü lt szappan- buborék felfújta a nagyobbat.) Mennyiségi összefüggést kapunk a következő

gondolati k ísé rle t elem zésével: A súlytalanság állapotában (űrhajóban) egy vizgömb felü letét úgy növeljük kvázisztatikusan A = 4 7 t r 2 -rő l A + A A =

2 2= 4 Jt (r +• Ar) s; 4 ft r + 8 r A r - r e , hogy vékony csövön keresztü l vizet nyomunk a gömb közepébe (ld. 2.11 ábra). A fecskendő dugattyúja a folya­dékon

_ 2A W = pA . A s = p AV = p . 4 J tr A r,

munkát végez, a külső légkör

A ’ W2 = - p0 4 5t r A r

munkát. A felületi energia növekedése eközben

o £ AA = o t . 8 í t r A r ,

és egyenlő a külső erők által végzett munkával. Innen

- 152 -

(2.12) pg s P “ P0 =

Ha vizgömb helyett gáz-gömböt gondolunk viz-környezetben, az eredmény ugyanez. Buborék be lsejét a külső légkörtől két görbült felület határolja, Így egyensúlyi állapotban a belső és külső nyomás különbsége

(2.13) p - p o =: ±2É- .

2 .4 .3 A felületi energia m olekuláris é rte lm ezése

A felületi energ iát egyszerűen tudjuk érte lm ezni a molekulák között ható rövid hatótávolságú erők, ill . az ennek m egfelelő kölcsönhatási en er­gia feltéte lezésével. Ez pedig a m olekuláris e rők létezésének és rövid ha­tótávolságú voltának közvetett bizonyítékát jelen ti.

Az érte lm ezés, legegyszerűbb változatában, a következő lehet. F e l­tételezve, hogy a m olekuláris e rők erőtörvénye, ill. kölcsönhatási poten­ciá lja a 2 . 1 ábrához hasonló, a folyadék m olekulái a legközelebbi szom szé­daiktól átlagosan r Q-hoz közeli távolságban helyezkedhetnek el; lehet, hogy

a folyadék belsejében ennél egy k icsit közelebb (pozitív nyomás <=-> taszító erő), a fe lszin -m enti szom szédok egy k icsit m esszebb (negatív nyomás == pozitív huzófeszültség <=i> vonzó erő), de mindenképpen a párkölcsönhs - tási potenciál m inim uma közelében. Egy kiszem elt molekula kölcsönhatási energ iája csak az elég közeli molekulákkal nem elhanyagolható, éppen a rö ­vid hatótávolság m iatt. (A pár kölcsönhatási potenciál nullpontját c é lsze rű ­en a m olekulapár végtelen távolságához v e ttük .) E rős egyszerűsítésse l- amely azonban a fe ltéte lezett igazság lényegét tartalm azza ~ugy gondol­kozhatunk, hogy a molekula kölcsönhatási energ iája a köré képzelt RQ su -

garu gömbön ("hatásgömbön") belüli m inden egyes m ásik molekulával -E^

(Iád. 2.12 ábra), az azon kívüliekkel nulla. A hatásgömböt néhány vagy né­hányszor tiz m olekulaátm érőnyinek gondolhatjuk. De akkor a folyadék fe l­színén levő m olekula kevesebb szom széd-m olekulával áll kölcsönhatásban, m int am elyik a folyadék belsejében van (hatásgömbjének egy ré sz e a folya­dékon kívülre esik, ld. 2.13 ábra), igy potenciális energ iája az átlagosnál m agasabb (abszolutértékben kisebb, algebrailag nagyobb). Az egész folya­dék ebből szárm azó energ ia többlete arányos a felszínen elhelyezkedő m ole­kulák szám ával, m ível pedig minden molekula átlagosan ugyanakkora helyet foglal el, magának a felszínnek a nagyságával. Ezzel pedig a felületi en e r­gia (2 . 11) form ulájához jutottunk.

A folyadék belsejében bolyongó m olekula potenciális energ iája tehát— véletlen ingadozásoktól eltekintve - állandó, a helytől nem függ, csupán a

- 153 -

/f0 folyadékhatár közvetlen közelében* kezd emelkedni (hatásgöm b-sugár-

2.12 ábra nyi közelségtől). A folyadékmoleku­lák Ilyen módon lapos fenekű poten-

ciálgödörben helyezkednek el, amely egy elég jól m eghatározott sávban em elkedik fel a nulla energiájú sz in tre , és a felszin-közeli m olekulák a gö­dör fenekéről a partos ré sz re szorulnak, ld. 2.14 ábra. Sem a gödör m ély­

sége, sem az em elkedési sáv szélessége nem függ a gödör teljes sz é le ssé ­gétől (azaz a folyadékréteg vastagságától), egészen addig, amig az utóbbi a hatásgömb sugarával összem érhetővé nem vékonyul. Tekintve, hogy a fe ­lületi feszültség jelenségét kisebb, m int 10-6 cm vastagságú hártyák is— változatlan oc-val — mutatják, a hatásgömb sugara 10 c in-nél nem lehet nagyobb.

A felületi rétegben fellépő húzóerő erőtörvénye m ár következik a felületi energia (2 . 11) form ulájából, az e rő és a potenciális energ ia á lta­lános összefüggése sze rin t. A (2. 8) erőtörvénynek közvetlen m olekuláris é rte lm ezést adni olyan értelem ben, hogy a m olekuláris erőtörvény á lta lá ­nos vonásaiból belássuk ennek szükségszerű voltát, a zé r t lenne nehéz, m ert a molekulák között fellépő erők nagysága, ső t vonzó vagy taszító volta is igen érzékenyen függ az átlagos távolságuktól, szemben a párkölcsönhatá­si energiák "érzéketlenségével" az egyensúlyi távolság közelében.

- 154 -

2. 4 .4 H atárfelületi energia, illeszkedést szög, hajszálcsövesség

A kap illáris állandót m int a felszinm enti molekulák felületegységen­kénti energiatöbbletét értelm eztük (ahhoz viszonyított energiatöbbletet t i . , amivel a folyadék belsejében rendelkeznének). Ezen definíció alapján a sz i­lá rd testek kap illáris állandóját is értelm ezhetjük, bár ennek m érésé re olyan közvetlen módot nem ism erünk, m int a folyadékoknál, hiszen a felü­leti feszültség közvetlen m érése élesen definiált, de könnyen változtatha­tó szabad fe lszin lé tezésé t követeli meg, azaz folyadék-halm azállapotot. Egym ással érintkező közegek elválasztó felületéhez is rendelhetünk felüle­ti energ iá t (határfelü leti energia): értjük ezen a felszin közelében levő m o­lekulák energiatöbbletét. (Mindkét fajtáét összesen, ahhoz képest, amivel a sa já t közegük belsejében rendelkeznének; tényleges energiájukhoz a m á­sik fa jta molekulákkal valp kölcsönhatás is hozzájáru l.) oC.^-vei jelöljük

ennek felületegységenkénti ré szé t; a két index a két közegre utal. ex... ne­

ve: határfelü leti feszültség . A határfelü leti energiát és -feszü ltséget gáz és kondenzált anyag érin tkezési felü letére is értelm ezzük.

A gázmolekulák nagy átlagos távolsága m iatt azonban a határfelületi feszültség nagy pontossággal egyenlő a szabadfelszini felületi feszü ltség­gel, ha az egyik közeg gáz. A viz szabad fe lszínére vonatkozó k ísérle teink­ben valójában a v iz-levegő-határfelszin t vizsgáltuk, a levegőbe beleértve annak v ízgőz-ta rta lm át is .

A határfelü leti energia segítségével m agyarázni tudjuk a folyadékfel- szin edényfal-m enti görbülését: Az energiaminimum itt nem egyszerűen a szabad felület m inim um át jelenti, ami a sik -fe lszin lenne. Viz és üveg érintkezésénél gravitációs e rő térben a fal m enti szabad felszin felülről ho­m orú, tehát az energiam inim um szempontjából a nedvesített felület növe­kedése és a szabad üvegfelszin csökkenése egy bizonyos határig "m egéri" a szabad vízfelszín növekedését. Higany és üveg érintkezésénél fordított helyzet van: a higanyfelszin domború, a higannyal érintkező üvegfelület ki­sebb, m int sik higanyfelszin esetében lenne, itt tehát energetikailag kedve­zőbb a kisebb érintkező üveg-higany- -felszin , m ég a szabad üveg- és higany- X felszin növekedésének árán is .

Tapasztalat sz e rin t a sz ilá rd fa l­lal érintkező folyadék a fallal az anyagi m inőség által m eghatározott szöget zár 3 be (illeszkedési szög, ld. 2.15 ábra).Ezt a tényt az előbbi meggondolás alap­ján m ennyiségileg is értelm ezni tudjuk.V álasszuk ki a folyadékfelszinnek egy olyan keskeny sávját a fal m ellett,

2 .1 5 áb ra

- 155 -

amely már síknak tekinthető, Id. 2.15 ábra. Az egyensúlyi illeszkedési szög legyen , és ehhez képest változtassuk meg gondolatban a b ve­tületű felszln-sávot úgy, hogy a fallal cf £ ií- szöget zárjon be. Az összes felületi energia a fal mellett í hosszúságú, b vízszintes szélességű sávban

ahol oc 2* °C gg rendre a folyadék-gáz, folyadék-fal, fal-gáz

határfelületi feszültséget jelenti, Így az energiaváltozást ezeknek a megfe­lelő felületváltozásokkal való szorzataként Írhattuk fel. Egyensúlyi helyzet­ben az összenergia minimális, tehát a minimális E-hez tartozó q> az egyensúlyi illeszkedési J szöget adja. A minimum -feladato t megoldva, az Illeszkedési szögre

- Igazság sze rin t a gravitációs energia változását is figyelem be kelle tt volna venni, de m ivel az a térfogattal, és igy b^-te l arányos, elég k es­keny sávnál elhanyagolható a b-vel arányos felü leti energiához képest. -

Az illeszkedési szög attól függően tom pa- vagy hegyesszög (a folya­dék a fa la t "nem nedvesíti" vagy "nedvesíti"), hogy a folyadék m olekulái­nak a többi folyadék-molekulával, vagy a fal molekuláival való kölcsönha­tás i energ iája nagyobb abszolutértékü, azaz potenciáljuk a folyadék b e lse ­jében vagy a fal m elle tt alacsonyabb-e. K issé leegyszerűs íte tt fogalm azás­ban, oc13 - oc^ az az energiatöbblet felületegységenként, am ire s z e r t

tesznek a folyadékmolekulák, ha a folyadék belsejéből a fal m ellé kerülnek. Ha ez pozitív, energianövekedést, ha negatív, energiacsökkenést eredm é­nyez a fal-folyadék érin tkezési felü let növekedése.

E (CF) « ■<*) ♦ * í2 * - - ¿ J > <« 13

\

adódik.

-1 5 6 -

- A fogalmazási egyszerűsítés abban áll, hogy a fal- 6a folyadékmolekula kölcsön­hatási energiáját teljes egészében a folyadékmolekulához rendeltük. Ezt a beszédmódot egyébként az előzőekben Is használtuk, amikor egy-egy kiválasztott folyadékmolekula po­tenciális energiájának helyfüggését követtük a potenciálgödör felrajzolásával, a kölcsön­hatási energiát teljes egészében a kiszemelt molekulához rendelve. A molekulák egymás­sal való összes kölcsönhatási energiáját úgy kapjuk helyesen, hogy az előbbi módon egy molekula potenciális energiájának nevezett energiákat a molekulákra szummázva, még osztunk kettővel, mivel minden energia-tagot kétszer vettünk figyelembe. -

2.16 ábra

A potenciálgödör alakja nedvesítő és nem nedvesítő folyadék moleku­láira a mondottak szerint a 2.16 ábrához hasonló kell, hogy legyen.

A haj szálcsövesség m agyarázatá t és mennyiségi értelmezését is meg­kapjuk a határfelü leti energ ia felhasználásával, az energiáminímum elve sze rin t, A kapillárisban felem elkedő folyadék energiaváltozásában a gra­vitációs en erg iá t nem hanyagolhatjuk el, hiszen a térfogat- és felliletvál- tozása egyaránt a m agasságváltozásával arányos. Élhetünk viszont azzal a közelítéssel, hogy a kap illárisban levő folyadék szabad felszíne nem vál­tozik: elég szűk kap illárisban a folyadék felszínét gömbsüvegnek tekinthet­jük, amelynek m ére té t és alakj át az illeszkedési szög és a cső sugara meg­szabja, ld . 2.17 ábra. A kapillárisban levő folyadék magasságának változá­sával változik tehát a gravitációs, valamint a folyadék-fal-felületi energia, m ig a folyadék szabadfelszini energiája állandónak tekinthető. A 2.17 ábra jelöléseivel

104 - «„ ♦ + 2 S rh < « „ -<*„> - r V . j H . f .

-4 8 7 -

¿ÍT rc/cosl^

dEé s az energiám Inimum nak m egfelelő m agasság ra = O-ból, a határfelü­

leti feszültségek közötti (2 .15) összefüggést kihasználva, az

oc = oc 12 c o s if

je lö lés -rö v id ité sse l a

2 ex cos d 2 oc(2.16) h =9 gr

j p o^ dh = 2 í r r ((Xn _0<W +T = °)13 23'

eredm ény adódik, ahol R a folyadékfelszin görbületi sugara. Az eredmény nem nedvesítő folyadékra is jó, ott energiam inim um h < 0 értéknél követ­kezik be, cos < 0 m ia tt.

2 .18 ábra

- 158 -

Gyakorlásképpen érdem es megoldani a feladatot, e rők egyensúlyával, valam int a görbületi nyomás (2 , 12) form ulájának felhasználásával, nyom ás- egyensúly alapján is, ld. 2.18 ábra. A 2.19 ábrához kapcsolódik a követke­ző kérdés: ha egy kap illá ris t — m iután a folyadék m ár egyensúlyi m ag assá ­gáig em elkedett benne - kifurunk a folyadékszint alatt, a viz indul-e kifelé, vagy a levegő befelé? (Ha az előbbi teljesülne, egy kis ügyeskedéssel örökmozgót lehetne c s i­nálni !)

A felületi feszü ltség jelenségkörének e rövid tárgyalásában nem gondolkoztunk azon, mennyiben befolyásolhatja a jelenséget a hő­mozgás létezése . A hőmozgás hatásának tu la j­doníthatjuk az Eötvös Loránd által m ennyiségi­leg is m egfogalm azott tapasztalati tényt, mely szerin t a felületi feszü ltség a hőm érséklet nö­vekedésével csökken. A hőmozgás élénkülése a potenciálgödör "hatásos" m élységét csökkentheti olyan módon, hogy a m o­lekulák a gödör feneke fölötti energiaszinten, m agasabban helyezkednek el, megnövekedett kinetikus energiájuknak megfelelően.

Összefoglalva; a felületi feszültség és a kap illáris jelenségek m eg­e rősítik azt az elképzelésünket, hogy a molekulák között rövid hatótávol­ságú kölcsönhatás lép fel, a közeli m olekulapárokhoz potenciális energ iá t rendelhetünk.

3. § A termodinamika I. főtétel«

3.1 A belsőenergia é rte lm ezése ; az L főtétel általános m egfogalm azása

Az előző 8 -ban a molekulák lé tezésé re utaló néhány tapasztalato t te ­kintettünk át. Ezek, bár csak közvetett bizonyítékok, annyira egybehang­zók, hogy a molekulák lé tezésé t feltevésnél többnek, term észettudom ányos ténynek kell tekintenünk. Későbbi tanulmányaink során meg fogunk ism e r­kedni olyan k ísé rle ti e ljárásokkal is , am elyek a molekulák és atomok egyen­kénti je lzésé re és egyedi tulajdonságaik m é ré sé re alkalm asak.

Csupán a m egbeszélt tapasztalatok alapján is a molekulák tulajdonsá­gai közül megbízható ténynek vehetjük m éretük kicsinységét, tömegük jól m eghatározott voltát és rövid hatótávolságú kölcsönhatásra való képességü­

- 159 -

két. Nagyszámú molekulából álló közegben való viselkedésükre vonatkozó­lag pedig tudunk már annyit, hogy állandó — adott hőmérsékleten nem csil­lapodó — rendezetlen mozgást végeznek.

Erre hivatkozva, értelmezzük a testek (teljes) sajátenergiáját mint a testet alkotó molekulák összegzett kinetikus és potenciális energiáját. Az utóbbin itt a molekulák közötti, valamint a molekulák részei közötti kölcsön­hatási energiát értjük, nem vesszük bele tehát a más testekkel vagy erőte­rekkel való.kölcsönhatás energiáját — kivéve, ha magát az erőteret is a test­hez számítjuk (!).

- Erre az energiára vonatkozik a relativisztlkus tömeg-energia-ek-2

vivalencia E = mc formulája. -Belsőenergián a sajátenergiának és a rendezett m ozgás kinetikus

energiájának U = E ^ - E ^ különbségét értjük . A mechanikából ism ert rugalmas energia is része a belsőenergiának, de azt nem m eriti ki.

- A belsőenergiára pedig a nyugalmi tömeggel való ekvivalencia fo r­mulája vonatkozik. -

A saját- és a belsőenergia additiv mennyiség olyan értelem ben, hogy a test energ iája elegendő pontossággal egyenlő a makroszkópikua részeihez rendelt energiák összegével. A "m akroszkópikus" kikötés szükséges azért, m e rt a te s t része inek energiájából hiányzik a szom szédok m olekuláinak egym ással való kölcsönhatási energiája, m íg az egész te s t energiájában ez a já ru lék is sze rep e l. A m olekuláris erők rövid hatótávolsága b iztosít­ja azonban, hogy — ha a ré szek igen sok molekulából állnak, és így a határ közelében levők elég kis hányadát teszi ki az összesnek — a figyelmen kivül hagyott energia elhanyagolható az összenergiához képest. Kivétel, ha a test alakja olyan, hogy a molekulák zöme a határ közelébe esik(vékony r é ­tegek, kolloid-szem csék), vagy ha a határfelü leti energia döntően befolyá­solja a v izsgált jelenséget (felületi feszültség).

A korlátozott érvényességű m echanikai energiam egm aradás törvényé­nek általánosításaként kimondjuk a fizika talán legalapvetőbb feltevését, az energiam egm aradás törvényét: Zárt, azaz m ás testekkel vagy erő terekkel kölcsönhatásban nem álló fizikai rend szer teljes energ iája állandó. A te r ­m odinamika I. főtételén az energiam egm aradás törvényének a következő m egfogalm azását értjük; bárm ely tes t (fizikai rendszer) sajátenergiájának m egváltozása egyenlő a környezetétől kapott energiával. Ez a fogalm azás az energia lokális m egm aradását állítja, ami erősebb á llítás, m int az e n e r­gia üitegráljte (összesített, "globális") m egm aradása. Az utóbbi csak annyit jelentene, hogy ha egy tes t energ iája nő, akkor valahol a világegyetem ben ugyanakkora energiacsökkenésnek kell lenni, az előbbi sz e rin t v iszont a test közvetlen környezetében kell m egtalálni az ő energianövekedésének m egfelelő csökkenést. Az energiam egm aradás törvényének ezen szigorúbb változatát a hatások te rjed ési sebességének korlábos volta miatt kell fe lté ­teleznünk.

- 160 -

Ha a test rendezett mozgásának kinetikus energiája nem változott a folyamat során — és a hőtan keretében többnyire ilyen esetekkel foglalko­zunk — az I. főtételt a belsőenergiára fogalmazhatjuk meg: a test belső- energiájának változása egyenlő a környezetétől kapott energiával.

Első pillanatra úgy tűnhet, az I. főtételt tapasztalatilag ellenőrizni csak oly módon lehetne, hogy először is a molekuláris erőtörvényeket pon­tosan megállapítjuk, másodszor a test minden molekulájának sebességét és helyzetét megmérjük és a molekulák energiáit valóban összeadjuk. Ez reménytelen feladat, a molekulák túlságosan sokan vannak. Van azonban két kerülő ut. is, amelyen haladva az energiamegmaradás általános törvé­nyét tartalommal tölthetjük meg és érvényességét ellenőrizhetjük:

a) Statisztikus m egközelítés. A molekuláris energiák összegzéséhez nem szükséges minden molekula állapotát megvizsgálni. Homogén anyagi minőségű, hőmérsékletű és nyomású vagy feszültségű test bármely részéből mintát véve, biztosak lehetünk benne, hogy az egyes mintákban szereplő mo­lekulák energiájának átlaga kb, ugyanazt adja. Ennél többet is megtudha­tunk: a rendezetlen hőmozgást figyelve, a rendezetlenségben rendet vehe­tünk észre, statisztikai törvényeket. Term észetesen ilyen elinduláshoz is szükséges részletesebb ismeretekkel rendelkezni a molekuláris kölcsönha­tásokról, akár feltevés, akár a fizika fundamentális kölcsönhatási törvényei­nek. valamint az atomok és molekulák belső mozgástörvényeinek ism eretén alapuló meggondolás formájában.

b) Fenomenclógikus m egközelítés. A belsőenergia megváltozása a mo­lekulák átlagos sebességének, távolságának, kapcsolódásuk módjának (hal­mazállapotváltozás, kémiai reakció) megváltozásából ered. E változásoka test makroszkopikusan mérhető állapothatározóiban is kell, hogy jelent­ke zzenek. A Brown-mozgás vizsgálatából például arra következtettünk, ho^y az átlagos kinetikus energia növekedése hőmérsékletnövekedéssel jár. Változatlan hőmérséklet m ellett pedig a molekulák kölcsönhatási energiájá­nak változását m éret-, alakváltozás, ill. az ezzel járó feszültségváltozás árulhatja el. A belsőenergia tehát - ha csakugyan létezik - a test állapotha­tározóinak függvénye kell, hogy legyen. Jól meghatározott körülmények kö­zött adagolva energiát a testbe (úgy, hogy biztosan tudjuk, mennyi ment bele), ki tudjuk nyomozni, mi módon változnak a test állapothatározói a belsőenergia változásával, vagy — megfordítva a kérdést — milyen függvénye a belsőenergia az állapothatározóknak. Az I. főtétel fenomenológiai bizo­nyítékát éppen az jelenti, hogy ilyen állapotfüggvényt elég sok esetre sike­rült találni ahhoz, hogy általános létezésükre következtethessünk. (V.ö. a dinamika alaptörvényének az erőtörvények megtalálása révén történt tapasz­talati igazolásával!)

További vizsgálatainkat szükségképpen a fenomenológikus úttal kell kezdenünk, hogy rendszerezni tudjuk a közvetlen tapasztalatokat.

- 161 -

3 .2 Az I. főtétel m atem atikai megfogalm azása

3 .2 .1 Rendezett és rendezetlen energiaközlés

Az energiaközlés m ódjai közül eddig a m echanikai munkával találkoz­tunk. Egy test sa játenerg iája akkor változik mechanikai munka révén, ha r á külső erők hatnak, és az erők tám adáspontja elmozdul.

- M árm int a test azon darabja (anyagi pontja) mozdul el, am elyre a szóban forgó külső e rő hat. Megkülönböztetendő ettől a tám adáspont ván­dorlása. P élda: az álló lapon csúszó tes tre a lap által k ifejtett e rő tám adás - pontja (mint anyagi pont) elmozdul, a test által a lapra kifejtett e rő tám a­dáspontja (mint geom etriai pont) csak elvándorol, miközben a lap ré sz e i helyben m aradnak. Az utóbbi e rő munkája nulla! -

A tapasztalati tények lehetőség sze rin t egyértelm ű rendezéséhez szük­séges m ég leszögeznünk, hogy a hotani meggondolásokban munkán mindig a m akroszkopikus - tehát ténylegesen m érhető - elm ozdulásokkal szám olt munkát értjük.

Munkát egy testen külső e rő té r (= mező) vagy m ásik tes t végezhet.Az e lső esetben a mező és a tes t között történik energiaátadás; pozitív munka a testen: a te s t energiája nőtt, a mezőé ugyanannyival csökkent, és fordítva. (Nem szokás mondani, bár ellenvetés nem em elhető a kom plem en-

ra kifejtett felületi erők m unkáját a felületelem elm ozdulásával számoljuk. Hasznos i tt különválasztani a felületre m erőleges és azzal érin tő leges e rő ­komponensek m unkáját. Az előbbire iga::, hogy az egyik testen a m ásik á l­tal végzett munka egyenlő nagyságú és ellen té tes előjelű a m ásikon az egyik által végzett munkával, a kettő algebrai összege nulla,

Mechanikai egyensúlyban (kvázisztatikusan) végbemenő folyamatok két speciá lis esetében a munkát igen egyszerűen kiszám olhatjuk. Minden­oldalú egyenletes nyom ást kifejtő környezet által a testen végzett elem i, ill. te ljes munka (ld. 3.1 ábra)

té r kifejezés ellen: "a tes t munkát végez a m ezőn",) A testek által egym ás-

B’

2(3.2) d’ W = -pdV,

(Tágulásnál negatív!)

-162 -

A‘\j* p A d s - - p d V

Avj pcLA. cts. =-pctV í c t

3.1 ábra

Rugalmas huzal vagy szalag feszítése során a testen végzett munka

2 2

(3.3) d’ W = <ÖAd 1 = 6 dV, W ^ . ^ A J <5(l) d l = y J o ( £ ) d £ ,

ahol l a huzal hossza, A a keresztm etszete, 5 a feszültsége, £ a re la tív m egnyúlása. A (3.2) és (3.3) egyenlet sze rin t szám olt munkára tá ­gulási, ill. fe sz ités i munka m egnevezéssel hivatkozunk.

A tangenciális felületi erők m unkájára a (3.1) m érleg általában nem teljesül; ha a felületek egymáshoz képest elm ozdulnak (csúsznak), a tangen­c iá lis e rők munkájának algebrai összege, a súrlódási munka mindig nega-

a csúszási sú rlódási e rő ui. mindig e llentétes irányú a re la tív elmozdul á s -

A kölcsönhatásban résztvevő testek energiaváltozásáról ezek sze rin t a mechanikai munka nem mindig adhat teljes egészében számot, hiszen az I. főtétel éppen azt posztulálja, hogy az egyik testnek a m ásikkal való köl­csönhatás révén bekövetkező energianövekedése egyenlő kell, hogy legyen

1 1

tiv,

sá l.

- 163 -

a m ásik energiacsökkenésével, ami pedig pusztán m echanikai munkából(3.4) sz e rin t szám olt energiaváltozásokra nem teljesül. A m olekuláris szem lélet alapján ezt nem is várhatjuk. A m akroszkopikusan rendezett elm ozdulással já ró energiaközléshez, azaz a munkához hozzá kell m ég ad­nunk a rendezetlen m olekuláris m ozgás révén történő energiaközlést. (Szemléletesen: a testfe lszin i molekulák véle tlenszerű ütközéseiből eredő energiaátadást. Emlékezzünk v issza a súrlódás drótkefe-m odelljére, Id.3 .2 ábra!) Jelöljük az utóbbit Q-val (szükség sze rin t a folyam atra, vagy az energiacserében résztvevő testekre utaló indexekkel ellátva), ill. — in- fin itezim ális fo lyam at-szakaszra — d’ Q -val. Az I. fő tételt akkor az

(3.5) E2' " Eí">= Wl - 2 + Q l - 2 : dE (S) = d ’ W - d ’Q

alakban Írhatjuk fel, vagy - a sa játenerg iát részle tezve -

(3.6)

3 2 ábra ha pedig a rendezett m ozgás kinetikusenergiája nem változik a folyamatban,az

(3.7) U2 " U1 = Wl - 2 +Q l-* 2 ; dU - d’ W + d’ Q

alakban.A d’ W jelöléshez hasonlóan a megkülönböztető je lle l a r ra u ta ­

lunk, hogy d’ Q nem a test állapotához rendelt valam ilyen Q mennyiség m egváltozását jelenti (szemben dU-val), hanem egy kis fo lyam at-szakasz­hoz tartozó rendezetlen energiaközlést^ Röviden, d’Q nem egy Q á lla ­potfüggvény differenciálja. Az e"Í®5 sa já t- és U belsőenergia a test á lla ­potainak halmazán, W és Q a test folyamatainak halm azán érte lm ezett függvény ("állapotfi ggvény", ill. "folyamatfüggvény").

- 164 -

3. 2 . 2 E lső tájékozódás a belsőenergia állapotfüggésénekjellegéről; m elegítés

A (3.6) vagy (3.7) egyenlet egyelőre túl sok ism ere tlen t tartalm az: a rendezetlen energiaközlés m érésére közvetlen m akroszkópikus eljárásunk nincs, a .belsőenergia állapotfüggését pedig még nem ism erjük . Elem ezzük ezért először zárt rendszer tagjainak kölcsönhatását, ahol a rendezett kine­tikus energia és a belsőenergia összege az egész rendszerre állandó. Az előbbi változását mérni tudjuk, a belsőenergia változását igy m eghatározhat­juk, és a folyamatban bekövetkező állapotváltozásokat figyelve, adatokhoz jutunk arra vonatkozólag, mi módon függ a belsőenergia az állapothatáro­zóktól.

A 3 .3 ábra két egyforma test különböző módon lejátszódó kölcsönha­tásait ábrázolja: a) rugalmatlan ütközés súrlódással, b) rugalm atlan ütkö-

t i r^hcfip r ^ r ^ i IH* 1£—¿IzJZH 1_— :g íg d 3 | r jr |

a isvríócids b ruQatrrtatJan C' rugóimat d rn&egtiésütkösés út/cözéír

3 .3 ábra

zés maradandó alakváltozással, c) rugalmas ütközés (végső pillanatnak a ''holthelyzetet" választva), d) hőmérsékletkiegyenlitődés. Az energiaköz­lés a b) és c) esetben munkával történt, az a) esetben munkával is, a d) esetben munkavégzés egyáltalán nem volt.

Az a-c) esetben a rendezett mozgás kinetikus energ iája eltűnt, az I. főtétel szerint a belsőenergiának kellett a m egfelelő értékkel növekedni.A testek állapotváltozása (mindkettőé) az a) és b) esetben: m elegedés, a c) esetben: feszültségnövekedés. A belsőenergia ezek szerint állandó hőm ér­sékleten a feszültségnek, állandó feszültségen a hőm érsékletnek monoton növekvő függvénye. (Hozzá*kell még tennünk, hogy amennyiben anyagszer­kezeti változás nem történt. Ellenkező esetben a hőm érséklet állandó b e l­sőenergia m ellett is változhat: a viz-só-rendszer a só oldódásakor hűl!)

A d) esetben nem tűnt el rendezett kinetikus energia, a testek h om ér- sékletváltozása azonban azt mutatja az előzőek szerin t, hogy a be lsőener­giájuk megváltozott. A belsőenergia rendezetlen energiaközléssel való m eg­változtatásának ez a legközönségesebb módja: m elegebb vagy hidegebb te s t­tel való érin tkezés, m agyarul m eleg ítés-hű tés.

A rendezetlen m olekuláris m ozgás révén történő Q energiaközlést nevezzük ezentúl a m elegítés m értékének vagy egyszerűen m elegítésnek, tekintet nélkül a rra , hogy súrlódási munkához járu lékosan társu ló en erg ia ­közlésről, vagy különböző hőm érsékletű testek érin tkezése m ia tt fellépő

- 165 -

energ iaközlésrő l van szó. Az adott testen végzett m eleg ítést (a test szem ­pontjából) e lő je lezett mennyiségként értelm ezzük; pozitiv, ha a te s t en e r­giája ennek révén növekedett, negativ, ha csökkent. (Hlités = negativ m e­leg ítés .) Az I. főtételt akkor szavakban igy fogalmazhatjuk: a te s t sa já t­energiájának változása egyenlő a ra jta végzett munka és m elegítés ö ssze ­gével, ill. - a továbbiakban legtöbbször előforduló e se tre , am ikor a ren ­dezett kinetikus energia nem változik - a belsőenergia változása egyenlő a testen végzett munka és m elegítés összegével.

- A "m elegítés" szó jelen ti tehát a folyamatot és a m ennyiséget is, hasonlóan pl. az "elm ozdulás" szóhoz és a fizika sok m ás kifejezéséhez. É lesen m eg kell különböztetni v iszont a m elegítés és a m elegedés szót: a gázláng a fo rrásban levő vizet m elegíti, de a viz nem m elegszik. H osszab­ban elmondva ugyanezt, a gázláng rendezetlen m olekuláris m ozgás révén energ iát ad a víznek, de a viz hőm érséklete nem em elkedik. Fordítva, az összevegyitett kénsav és viz m elegsz ik , pedig sem m i nem m elegítette. Me­legítésen energiaközlést értünk a mondott speciá lis módon (dimenziója: energia, munka), m elegedésen a hőm érséklet változását (dimenziója: hő­m érsék let), -

A súrlódásos kölcsönhatásban ré sz t vevő testeken a p a rtn e r által vég­zett m elegítések összege éppen annyi kell, hogy legyen, am i pótolja a nega­tiv sú rlódási munka sze rin ti energiam érleg-hiányt, tehát

(3.8) = - f su rl. d f re l. > 0

mindig pozitiv. Ez az energiaközlés, az un. súrlódási m elegítés a sú rló ­dási munka révén történő energiaközléshez algebrailag hozzáadandó; a surlódó testek közötti szé to sz tásá ra általános szabályt nem tudunk monda­ni. Maga a súrlódási munka a rendezett kinetikus energia csökkenését e red ­ményezi, a vele já ró összegzett m elegítés a két tes t belsőenergiájának Ugyanakkora növekedését. Röviden összefoglalva: a súrlódás a rendezett m ozgás kinetikus energiájának belsőenergiává alakulásához vezet.

- A "m elegítés" szó helyett a "hőközlés" szót is szokás használni, mely utóbbi a "hőm ozgás révén történő rendezetlen energ iaközlés'1 k ifeje­zés röv id ítése . -

3 . 2 . 3 M elegítés-m érleg; a hőm érséklet általános fogalma

A testen a környezete által végzett (külső) munka nem feltétlenül egyenlő a test ré sze in végzett (az ő szempontjukból külső) munkák ö ssze ­gével, ugyanez vonatkozik a m eleg ítésre is . A 3 .4 ábra példáján (kötélen lecsúszó em ber) a kötél + em ber rendszeren a "külvilág", azaz a g rav itá ­ciós m ező által végzett munka mgh, az em beren (a m ező és a kötél által) végzett munka mgh - F gh, a kötélen (az em ber által) végzett munka nulla;

- 166 -

az egész rendszeren a környezet által végzett m elegítés nulla, az ^emberen a kötél által és a kötélen az ember által végzett (surlódá- 11sós) m elegítés nem: mindkettő pozitív, és összegük Q + Q ,.. =

em . kot.= Fgh > 0. A sajátenergia additivitása miatt azonban az egész rend­

szeren végzett külső munka és m elegítés összege a részeken (egy­más által is) végzett munkák és m elegítések teljes összegével egyenlő kell, hogy legyen. (Amennyivel nagyobb az összegzett m e­legítés az egész test szempontjából külső m elegítésnél, annyival kisebb az összegzett munka az egész test szempontjából külső mun­kánál. )

Sokkal egyszerűbb a helyzet, ha a kölcsönhatásban levő tes­tek között csúszási súrlódás nincs. Ez esetben a két test által 3. 4 egymáson végzett munkák összege nulla, de akkor szükségképpen ábra nulla az egymáson végzett m elegítések összege is . (Különben nem lenne egyenlő nagyságú az adott-kapott energia, azaz nem teljesülne az I. főtétel.) Más szóval, ami energiát az egyik test m elegítés révén ka- pott, azt a másik m elegítéssel adta le, teljesül tehát ilyenkor az energia megmaradásán túl a

(3.9) Q ( A - B ) = - Q ( B - A )

m elegités-m érleg is .Arra az esetre szorítkozva m ost már, amikor külső súrlódás nincs,

kijelenthetjük: m elegítés, azaz rendezetlen energiaközlés csak különböző hőmérsékletű testek között történhet, mégpedig a magasabb hőmérsékletű ad (pozitív) energiát az alacsonyabb hőmérsékletűnek. Ezzel objektív kri­tériumot találtunk arra, mikor mondunk egy testet magasabb hőm érsékle­tűnek a másiknál, és mikor mondjuk őket egyenlő hőmérsékletüeknek.E kritériumot definícióvá emeljük: magasabb hőmérsékletű az a test, ame­lyik a másiknak munkavégzés nélküli kölcsönhatásukban energiát ad. Erre támaszkodva, az érzékszervi tapasztalás számára hozzáférhetetlen tarto­mányban is egyértelműen beszélhetünk a hőmérséklet magasabb vagy ala­csonyabb voltáról.

- 167 -

3.3 Kondenzált közegek belsőenergtája

3.3.1 A belsőenergia hömérgékletfüggésének mennyiségi meghatározása súrlódási kalorim éterrel

A 3.3 a, b ábra elrendezése elvileg alkalmas lenne a belsöenergia ál­landó feszültség melletti hőmérsékletfüggésének kim érésére, gyakorlatilag azonban csak a bekövetkező melegedés tényének megállapítására használhat­tuk: a rugalmatlan ütközésnél bekövetkező melegedés nagyon kicsi. Kvanti­tatív vizsgálatot a 3.5 ábrán látható un. súrlódási kaloriméterrel végeztünk. Az eszköz egy hengeres rézedény hőmérővel, vízszintes tengely körül for- gathatóan felszerelve; az edényre néhány menet lapos rézfonat-szalagot te­kercseltünk, amit egy gyenge rugó és egy teher feszit az edény falára. Az edényt a haj tókarral egyenletesen forgatni kezdve, a teher a padlóról fe l­emelkedik, és — a rugót kissé megrövidülni engedve — állandó magasságú helyzetet foglal e l .* A rézedény a hajtókarhoz hőszigetelő müanyag-tárcsá- val csatlakozik, adiabatikus szigetelésnek tekinthető a rézszalagot a rugó­hoz és teherhez erősítő fonál is . Az edény, a beletöltött viz, a rézszalag és a hőmérő (higanya) viszont egymással termikus egyensúlyban van (ill. ha.nar egyensúlyba kerül), ezek együttesen alkotják a vizsgált termodinami­kai rendszert.

3 .5 ábra 3.6 ábra

F ( f t A f )

*A hötani értelm ezés szempontéiból közömbös, hogyan alakul ki a (nagy) súly, a (kis) rugóérö és a s ú r ­lódási erő ossz j átékából a mechanikai egyensúly. Annyi utalást mégis teszünk, hogy a szaLag egy kis<

- A<f forgásszöggel kijelölt - darabjának egyensúlyi feltételéből <ld. 3 .6 ábra) és a csúszási curlódás erőtörvényéből könnyen megoldható differenciálegyenletet kapunk a szalag része i között ható húzóerő

A (Q - }xc(hely függésére : F( f ) - F( f + ^ ) = A S = M-2 F(Cf) s in — * ^ .F ( <?)A</=> F = F Q e

/U= 0, 4 és Cf= 5 . 2 Jt (5 menet) esetén * egyensúlyi rugóerő a teher súlyának kb. 1 0 '5 része.

- 168 -

A hajtókar forgatása közben a műanyag-tárcsa csak munkát végez a rendszeren; forgatónyonu tékot fejt ki — akkorát, mint a teher és a rugó együtt, mivel a rendszer szöggyorsulása nulla — és közben a henger fordul.Az n fordulat alatt végzett munkát (a teher mg súlyánál sokkal kisebb rugóerő elhanyagollsával) W 2 Jt n mgr szerint számolhatjuk, ahol r a henger sugara. A rendszerrel igy közölt energia a henger és a szalag kö­zötti súrlódásban disszipálódik (belső munka és m elegités!), igy a belső­energia növelésére forditódik,

AU = W.

A hőmérő a rendszer hőmérsékletének a közölt energiával aránjos em elke­dését mutatja, a belsőenergia változása ezek szerint (legalább is kis tarto­mányban) arányos a hőmérsékletváltozással,

(3.10) A U = c A t .

A C arányossági tényező a testre jellem ző, nevezhetjük pl. a test ener­giatárolási kapacitásának, vagy nevezzük hagyományosan hőkapacitásnak.

- G yors m érésü n k egy tipikus eredm énye r -- ü, 02 m F m g = 50 N, F > > F ,0 0 r

m ré z ~ 14 m viz = U' 04 induló adatokkal: n = 50 fo rdu la tnál T - - 1 .4 K m e leg e ­

dés . így

(3.11) C = -2 50 . 0 ,0 2 . 50 Nm ^ 3 1 4 J_1, -íK 1 ,4 K

A fo rg a tá s befejeztével, ugyanannyi idő a la tt, m in t am eddig a m unkavégzés tö r ­tént, é sz rev e h e tő le h ű lé s t nem tapasztaltunk, igy utólag m eggyőződtünk ró la , hogy a re n d s z e r és a k ö rnyeze t közötti melep. ité se s e n e rg ia c se re e lég jó k ö ze litésse l valóban elhanyagolható volt. -

A belsőenergia változása a rendszer tagjainak belsőenergia-változá- sából adódik össze (additivitás!),

AU = C AT = AU . + A u = C . AT + C A T = (C , + C , , )AT, víz edeny víz edeny viz edeny

==> C = C . + C ..viz edeny

tehát a hőkapacitás is additiv. Az additivitásból következik, hogy homogén anyagi minőségű test hőkapacitása arányos a tömegével,

(3.12) C = cm,

ahol a c fajlagos energiatárolási kapacitás vagy fajhő már csak az anya­gi minőségtől függ. Értékét vizre meg tudtuk határozni úgy, hogy m egm ér-

-169 -

tűk a rendszer hőkapacitását különbözei vízmennyiségek esetére (az edény­be más tömegű vizet töltve), amiből

C = c . m . + Cvíz víz edeny

C’ = c . m ’ . + Cvíz víz edeny

c . . (m . - m’ . ) = C - C’ víz víz víz

= 180 J /K adódott; az előzi! m érés eredm ényével egybevetve ezt, látjuk, hogy 0, 01 kg víz az energiatárolási kapacitást 40 j/K - n e l növelte, a viz fajhőre igy

40 J /K 3 J JCviz 0,01 kg kgK gK

é rté k e t kaptunk.

Pontosabb m érések szerint

c . = 4187 T” 77‘ =4,187 ~ . víz kgK gK

- Ilyen pontos m é ré sn é l — a m it egyébként e lek tro m o s en e rg ia d issz ip á c ió ja révén tö rténő m e le g ité s se l lehet m egvaló sítan i ("áram hőhatása") — m á r m utatkozik a b e lső ­en e rg ia hőm érsék le tfüggésének á sz igo rú a rányosság tó l való e l té ré s e , azaz a fajhő (eny­he) h ő m érsék le tfüggése . A fen ti é r té k szigorúan véve 12 ° C - ra vonatkozik; 15 °C h ő m é r­sék le ten p l. c . = 4 , 184 J/g K .

3 .3 .2 Keverési kaloriméter; a Dulong-Petit-törvény

A különböző anyagok fajhőjének egymáshoz viszonyított értékét egy­szerűen és elég pontosan meg lehet mérni keverési kalorim éterrel. Ez hő­szigetelt edény, amelyben az ism ert különböző kezdeti hőmérsékletű és i s ­m ert tömegű közegeket összekeverjük (az egyik folyadék!), és mérjük a be­álló közös hőmérsékletet, ld. 3.7 ábra. Tökéletes hőszigetelést tételezve fel, valamint a súrlódási m elegítés elhanyagolhatóságát, az összehasonlí­tandó közegekből és az edényből álló rendszerre teljesül a (3.9) m elegítés- mérleg,

<3.13) Q i * Q 2 +Qedény - 0.

Mivel pedig a rendszer tagjai csupán m elegitéssel kaphatnak energiát, W = 0 igy az I. főtétel szerint AU. =Q. teljesül, amivel pedig a (3.13) m elegítés m érleg (3.10) szerint a

- 170 -

(3.14) C1A T 1 + C 2 AT2 +hornero ^

= 0

kalorimetriai egyenletté irható át. (Felté­teleztük, hogy a 2. közeg már az edény­ben volt, azzal termikus egyensúlyban, amikor az 1. közeget belekevertük.) 3.7 ábra

- Az összehasonlitási közeg rendsze­rint v í z . A szobahőmérsékletű üres edénybe először csak (melegebb) vizet öntünk, a kalorimetriai egyenletben ekkor az egyensúlyi hőmérséklet m eg­m érése után az edény hőkapacitása az egyetlen ismeretlen, belőle kiszá­molható, és a mérendő közeg tajhőjét már ennek ismeretében határozhatjuk meg.

Pontos m érésnél a környezettel való energiacsere korrekcióba veen­dő, a keveredés előtt és után lassan változó hőmérsékletnek az összekeve­rés pillanatára való extrapolálásával. -

Éppen mert a keverési kaloriméterben a viszonyitási közeg igen gyak­ran viz, elterjedt egy speciális energiaegység, amelyben a viz fajhőjének éppen 1 a mérőszáma. Neve: cal (kalória) ill. kcal = 103 cal (kilokalória); definíciója:

- A ca l egység e re d e ti defin íció ja: az az en e rg ia , am ely 1 g viz 1 fokkal való m e leg ítéséh ez szü k ség es . A tudom ány fe jlődése so rán előbb tudtak nagy pon tossággal re la tív fajhő t m é rn i, c sak később s ik e rü l t hasonló pontossággal m egm érn i az ado tt m e ­legedéshez szü k ség es en e rg iá t. Ez szü k ség essé te tte a m e leg ité s i kölcsönhatásban fo r ­g a lm azo tt en e rg ia sp e c iá lis , " c a l" egységben való m é ré s é t. T eljesebb igazság , hogy m ég az e n e rg ia á lta lán o s fogalm ának k ia laku lása e lő tt egy különleges "hőanyagot" té te ­lez tek fel (neve is volt: "flog isz ton"), am elynek a te stbe á ra m lá sa okozza a h ő m é rsé k le t em elk ed ésé t. E zt a "hőanyagot" va lam ifé le "fluidum nak" a m aga m inőségében e lp u sz tít­h atatlan , finom fo lyadékszerü ségnek gondolták, m ennyiségi je llem ző jéü l a "h ő m en n y isé ­get" veze tték be, és ennek egységéül a k a ló riá t. A XIX. század közepétől, Rum ford, M ayer, Jou le , H elm holtz és m ások m unkái nyomán tisz tázódo tt, hogy m eleg ed ést e lő ­idéző sp ec iá lis anyag nem lé tez ik , a m e leg ités (rég iesebb nevén "hőközlés") az e n e r ­g iaközlés egyik m ódj:i, am inek eredm ényekén t nem több "hő", hanem több en e rg ia le sz a te stben . A testben m á r nem különböztethető m eg az ilyen vagy olyan módon beju to tt en e rg ia ! Ha egy hideg d ró to t k iv iszek a szobából, az tán behozom m elegen, a szobában m aradók nem tudják m egállap ítan i, odakint h a jlitg a ttam -e vagy fo rrasz tó p ák áh o z é r in ­te ttem . -

(3,15) 1 cal = 4,187 J, 1 kcal = 4,187 kJ.

- 171 -

Néhány kondenzált anyag szobahőmérsékleten és atmoszféra-nyomá­son mért fajhőjének értékét a 3.1 táblázatban foglaltuk össze . A tömegegy­ségre vonatkoztatott c fajhő mellett az anyagmennyiség-egységre (mólra) vonatkoztatott

(3.16) £ = CM

fajhőt, az un. moláris fajhőt vagy mólhőt is feltüntettük. Ez utóbbiakat szem lélve, érdekes szabályszerűséget vehetünk észre, különösen, ha a mólhőket az általános gázállandó többszöröseként fejezzük ki: a kondenzált anyagok nagy részének — különösen az atomkristályos szilárdtesteknek, ezek közül is leginkább a fémeknek a mólhője igen közel van a

(3.17) C = 3R » 25 ( « 6 cal/molK)

értékhez. E szabályszerűséget Dulong-Petit-türvénynek nevezzük. Nem gondoljuk, hogy ez pusztán véletlen, bízunk benne, hogy a termikus jelen­ségek molekuláris értelm ezése során magyarázatot találunk rá.

3 1 TÁBLAZAT

Kondenzált közegek fajhője 20 °C-on

Anyag ni r i kJ C r r j i J L~ L km ól J " k g K c .

V ÍZ- L n i ó l K j R

A1 27 0. 90 0. 2151 w 2, 99

Ag 107, 9 0, 236 0. 056 25, 5 3 ,1 3

Fc 55, S 0, 44 3 0, 1 07 25. 0 3, OH

Cu 63, 5 0, 3S6 0, 092 24, 5 3, 01

Pb 207 0, 13 0, 031 26, 4 3 ,2 5

NaCl 58, 4 0, 87 0,21 50, 8 6, 24

(gyém ánt) 0, 51 0, 12 6, 1 0, 75

(graíit) 0, 71 0, 17 5 1,1

üveg 0 ,9 0, 21

beton 0, 8 0, 19

' H;>0 (Víz) 18 4,18 1,00 75, 6 9,1

H.,o (Kg) 2 , 1 0 ,5 37 4, 5

Hg 200, 6 0,140 0, 033 28 3, 4

benzol 78 2,1 40, 5 160 20

C 3 H 8

(propán folyadék)

48 2, 4 0, 57 105 13

- 172 -

3 .3 .3 Entalpia; izobár fajhő

Az előző pontban a rra hivatkozva csonkítottuk az I. főtételt a AU = Q egyenletté, hogy a kalorim éteres rendszer tagjai csak m elegítés­sel kapnak (egymástól) energiát. Ez nem egészen igaz, még tökéletes hő- szigetelés esetén sem, ha a hőtágulást figyelembe vesszük: az állandó nyo­mású környezet (a légkör) a hőtágulás során -pAV munkát végez. Konden­zált közegeknél, közönséges nyomású környezetben ez a munka nagyon ki­csi, az elhanyagolásából származó hiba általában csak a sokadik tizedes­jegyben, a m érési pontosság határán túl jelentkezne.

r, O -4- Szám példa: A v iz ho tágu lási együttható ja 20 C körü l (i z.2 . 10 l / K . A lé g ­

kör á lta l 1 g v iz 1 K -nek való m e leg ítése so rán végzett m unka nagysága pA V =

= p/3 VA T = 105 — . 2 . 10 4 m3 • 1 K = 2 . 10 5 J , am inek íig y e lem b e-m "

v éte le a v iz fajhőjének é r té k é t c sak a hatodik szám jegyében befo lyáso lná. -

Nagyobb hőtágulásu közegeknél, vagy nagyobb nyomású környezetben a tágulási munka m ár mérhető hányadát teheti ki a melegítésnek. Ekkor a rendszer tagjaira AU =Q helyett az I. főtételnek az állandó nyomású környezet térfogati munkájával kiegészített alakját használhatjuk,

(3.18) AU = Q - pAV <=> AU + pAV = A(U + pV) =Q (p = áll).

A (3.13) m elegités-m érleg most is teljesül: a rendszer valamelyik tagja ál­tal melegítés révén kapott energiát a többi melegítéssel adta le. Az is fenn­áll, hogy adott hőmérsékletváltozáshoz szükséges melegités arányos a hő­in érsékle tv ál tozással,

Q = C AT,P

és az arányossági tényező a (3.14) kalorim éteres egyenletből a hőmérsék­letek ismeretében meghatározható, csak az igy kapott C^, ill. értékek

nem pontosan a belsőenergia hőmérsékletfüggésének arányossági tényezői, hanem a (3.18) egyenlet szerint a

(3.19) H = U + pV

mennyiség (izobár) hőmérsékletfüggésének, a

(3.20) A H = C AT = mc AT (p = á ll.)P P w

egyenlet szerint. A H = U + pV segédmennyiségnek - éppen m ert az állan­dó nyomású folyamatokkal gyakran találkozunk - külön nevet adunk: entalpla (régies nevén "hőtartalom"). Az entalpia állapotfüggvény, hiszen U is,

- 173 -

p is, V is az, mégpedig extenziv (additív) állapotfüggvény. A (3.20) egyen­lettel definiált — a szabad hó'tágulást megengedő kaloriméterben (3.14) sze­rint mérhető — C és c mennyiség neve: izobár hőkapacitás, ill. izobár

P Pfajhő. Mérőszáma megegyezik az egységnyi hőmérsékletnöveléshez állan­dó nyomáson szükséges melegítésével, ill. ennek egységnyi tömegű közeg­re jutó részével.

- F eltéve , hogy a m e leg ítésen és az állan jó nyom ású k ö rnyeze t m unkáján kívül m ás en e rg iak ö z lés n incs. Ha van - Id. sú r ló d ás i k a lo r im é te r akkor az en ta lp ia m eg ­vá ltozása nem a m e leg íté sse l, hanem a m e leg íté s és a "többi" m unka ö sszegéve l egyen­lő. (A "több i munka" a k ö rnyeze t á lta l v égze tt - pA V tágu lás i m unkán kívül a többi: a sú r ló d á s i k a lo r im é te r e se téb en a tá rc s a á lta l v égzett m unka.)

A b e lső en erg ia izo b ár hőm érsék le tfüggésének a rán y o sság i tényezője a k a lo r i- m é te r re l m é rh e tő izobár fajhőből és a hő tágu lási együtthatóból könnyen m egkapható:

(3 .2 ’ ) AU = A H - pA V = C T - p |3 V A T = m (c - - ^ ) A T . (p = á l l .)

H asonlóan, huzal vagy sza lag állandó feszü ltségen való m eleg ítésén ek m é rték e nem pontosan a be lsőenerg iának , hanem a

(3.22) H = U - 0 A l

egyen le tte l de fin iá lt en ta lp iának a m egváltozásával egyenlő, am ibő l a b e lső en erg ia m eg ­v á lto zásá t

n Gcx.(3.23) A U = A H t 0 A A í = m c A T + A€>SacAT = m ( c + — — ) A T (6= á ll.)

p p y

s z e r in t szám o lhatjuk . -

A faj térfogat, móltérfogat mintájára értelmezzük a tömegegységre vonatkoztatott fajlagos- és az anyagmennyiség-egységre vonatkoztatott mo­láris belsőenergiát és entalpiát. Az eddigiekkel összhangban, az

ír mU = mu = —— U,M ~

H = mh = -77- HM ~

jelöléseket használjuk.

- Ism ét hangsúlyozzuk, hogy kondenzált te s tek e se téb en különleges közegek, kö­rü lm ények vagy különleges ké rd ésfe ltev é s k ivé te lével a hőtágulásból adódó té rfogati m unka anny ira k icsi, hogy a b e lső en erg ia és az en ta lp ia között nem kell kü lönbséget te n ­ni; ilyenko r á lta lában a m egkülönböztető "p" indexet sem te sszü k ki a fajhő m e llé . -

- Az e n ta lf ia en erg iad im enzió ju m ennyiség , állandó nyom áson végbem enő m e le - g lté s e s en e rg ia c se ré b e n a p a r tn e re k re szum m ázo tt é r ték e állandó m arad , vagyis ilyen ko rlá to zo tt körü lm ények között m egm aradó m ennyiség , így bizonyos szem pontból a z t a

- 174 -

s z e re p e t tö lti be, a m it egykor az "e lp u sz títh a ta tlan hőanyag" hőm ennyiség nevű, m eg m a­radónak gondolt m érték én ek szán tak . A központi fű tés te rv ezésév e l foglalkozó m érnök sz á m á ra " a közeg en ta lp íá ja" k ife jezé s jó l használható s z e m lé le te s ta r ta lm a : " a z , hogy hány k a ló ria van benne". -

3. 3. 4 A belsöenergia feszültségfüggése

A különböző feszü ltségekhez ta r to zó belső en erg ia -h ő m érsék le t-fü g g v én y ek ö s s z e ­i l le s z té s é t és ez ze l a b e lső en erg ia állapo thatározók tó l való függésének te lje s fe l té rk é p e ­z é sé t kerü lő utón érh e tjü k el, például ad iabatikus kváz isz ta tik u s fe s z í té s so rán bekövet­kező hő m é rsé k le tv á lto z ás m é ré s é v e l. A célhuzalt é s gum iszalago t y izsgá ltunk m eg; az előbbi fe sz íté sn é l nagyon k is le h ű lé s t ta p aszta ltunk (laza induló állapotból 1000 b á r f e ­szü ltsé g re fesz ítv e <5 T « - 0 ,1 K), az utóbbiénál ehhez k ép est nagyobb m érték ű fe lm e ­leg ed és t. (A k is h ő m é rsé k le tv á lto z áso k a t a v iz sg á lt te s tte l te rm ik u s kontaktusban levő e lek tro m o s e lle n á llá s v á lto zása alap ján m é rtü k . A g um izsinó r fe sz íté se s o rá n bekövet­kező m elegedés azonban közvetlenül is é rzék e lh e tő , a z s in ó r t ajkunkhoz vagy hom lokunk­hoz é r in tv e .) A h ő m é rsé k le tv á lto z ás az e lla zu lá s közben e lle n té te s elő jelű : az ac é lsza lag m e legszik , a gum i hül. A h ő m é rsé k le tv á lto z ás nagysága a fe sz ü ltség v á lto zássa l a rá n y o s ­nak bizonyult. É rd e k es ö ssz e fü g g és t vehetünk é s z re az ad iabatikus h ő m é rsé k le tv á lto z ás és a hő tágu lási együttható e lő je le között: az ac é l m e legedésné l tágul, fe sz íté sn é l m e leg ­s z ik . M indkét közegben olyan e lő je lű a fe sz íté sk o r bekövetkező h ő m érsék le tv á lto zás , am i " e llen e dolgozik" a kü lső e rő d e fo rm áló h a tásának . A h ő m é rsé k le tv á lto z ás n agysá­ga Is kb. a rányosnak lá ts z ik a hőtágu lási együttható nagyságával: a nagyobb fe lm e leg e ­d é s t m uta tó gum i h ő tágu lás i együtthatója jóval nagyobb ab szo lu té rté k ű az ac é lén á l. Az adiabatikus kváz isz ta tik u s á llapo tvá ltozás g ö rb é it — az ad iabatákat — ac é lh u za lra és gu­m isz a la g ra a S - t k o o rd in á ta -ren d sze rb en a 3. 8, i l l . 3 .9 ábrán ra jzo ltu k fel, a j e l ­leget k iem elő e rő s to rz í tá s s a l . (A folytonos vonalak izo te rm ák , a pontvonalak ad iab a ták .) A valóságban az iz o te rm ák és ad iabaták m ered ek ség e a ra jzo n lá thatónál sokkal kisebb m érték b en té r e l egym ástó l.

- P ontos la b o ra tó riu m i m é ré s e k s z e r in t az ad iabatikus fesz ítésb en bekövetkező h ő m érsék le tv á lto zás a közeg anyag- és á llapo tje llem ző itő l a

3 .8 áb ra 3 .9 ábra

- 175 -

(3 . 24)r Ot T , _6 t = - -------- d e

9 c y p

módon függ. E lm éle ti te rm odinam ikai tanulm ányaink so rán alkalm unk le sz belátn i, hogy ez az ö sszefüggés logikai következm énye a te rm odinam ika fő té te le inek .

A (3.24) ö s sz efü g g ésre tám aszkodva m eg tudjuk ha tá rozn i az adiabatikus r e v e r ­z ib ilis á llapo tváltozásban bekövetkező fe szü ltség v á lto zás és re la tiv m egnyúlás közötti a rán y o sság i tényezőt, az E ^ adiabatikus Y oung-m oduluszt. Az (1.18) á llapo tegyen le t­ből kiindulva (3 .24) fe lh aszn a tá sáv a l

d e d © ocT dér .. <x2 E T . _ d S -d £ = - g - +<*«5 T = — - o c — - d 6 = — (! -

7 p J p ad.

ahonnan

E (1

9 c y P

A m ásod ik egyen lőség u táni á ta lak ítá s jo g o sság á t áz ^ « 1 re lá c ió b iz to s ítja ,$ cp

a m it a k onk ré t m é ré s i adatok b eh e ly e ttes íté sé v e l lá thatunk be (Id. 1 .1 és 3 .1 táb láza t). A célhuzal e se téb en például az ad iabatikus Y oung-m odulusz az iz o te rm ik u sn á l szobahő­m é rsé k le t körü l m indössze 3% -kal nagyobb. -

A különböző feszü ltségekhez ta rto zó b e lső e n erg ia -h ő m érsék le t-fü g g v én y ek ö s s z e - n o rm á lá sá t a 3 .10 ábrán követhetjük, am elyen az acélhuza l fa jlagos b e lső e n e rg iá já t áb­rázo ltu k a h ő m é rsé k le t és feszü ltség függvényében, a ra jzo lh a tó sá g ked v éért igen kis h ő m é rsé k le t- é s igen nagy feszü ltség -ta rto m án y b a n . Az ad iabatikus fe s z í té s s e l a b e lső -

50 .

KJ-

Cl-

T-3O0K

ST 0 ’ tOOObar = <7*/V/o7y

u(T ,<3)-u(r,o)+ jgy -c 6 T t

u (300Kj 1000 bar)-

= U (300*; 1bar)i-J~ + 47± =

- U (300,1 K} 1bar)

fOS>9 300 300,1 r(K)

3.10 ábra

- 176 -

e n e rg iá t töm egegységenként ^ — — érték k e l vá lto z ta ttu k m eg, és egyben á t -2 a d . ? 2 E ?

m entünk a m á sik iz o b á r-v o n a lra , annak is a T + 6 T p o n tjá ra (6 T < 0). Ezek s z e r in t

2 2

u (T + S T; © ) = u (T, 0) + .

Az e re d e ti h ő m é rsé k le te t m o s t m á r állandó feszü ltség en való m e leg íté s se l e lérhetjük ,

am elynek so rán a közeg - (c + ) £ T a ; - c S T e n e rg iá t kap. A konkré t adatok -p X p

ból lá tha tjuk (az áb ra m enny iség ileg is h ite le s !) , hogy állandó h ő m érsék le ten a fe s z ü l ts é ­get 1000 b á r r a növelve (am i pedig m á r a fo lyásha tár nagyságrend jébe esik) a b e lső e n e r­g ia a lig többel növekszik, m in t állandó feszü ltség en bekövetkező 0 ,1 K m e leg ed é sse l.(Es ennek nagyobb ré s z e is a fe s z í té s s e l já ró hülés kom penzá lá sá ra a környezetből b e ­sz iv á rg ó ene rg iábó l szá rm az ik , a fe s z i té s i m unka az energ ianövekedésnek c sak k isebb r é s z é t fe d e z i.) A b e lső e n e rg iá t tehát döntően a közeg h ő m érsék le te szab ja m eg. Ez á l­ta lában m á s kondenzált közeg re is igaz.

- Az ad iabatikus leh ű lés (3.24) fo rm u lá já t fe lhasználva , az anyagjellem zők kons­tans vo ltának fe lté te le z é sé v e l a fajlagos b e lső e n e rg iá ra az

2 g.u ( T . 6 ) = u ( T0> 6- > + <cp + ^ - > ( T - T o ) = u < T o, 0 ) + — + ( C p + f L _ ) Í T +

oc6 <xG o íT o ( S 2(3. 25) + (cp + - ^ > (T - T0) = U(T0, 0) M cp + — e + ^ + c? (T - y +

ocS ocS 6 “ ocGT T+ To 95 u ( T o’ 0) - V T - T0, + - Ü 5 + —

2 6 2 k ife jezé st kapjuk. (Az elhanyagolt, <x - te l arányos tagok — — -n é l is á lta lában so k ­

kal k iseb b ek .) Az eredm énybő l lá tha tjuk , m ilyen e lhanyago lá ssa l bonthatnánk a kondenzált te s te k b e lső e n e rg iá já t m echan ika i (rugalm as) é s un. "h ő e n e rg iá ra " : ha figyelm en kívül hagyjuk a hő tágu lás t. E kkor ti. a be lső en erg ia egy tisz tán fe szü ltség tő l é s egy tisz tán h ő m é rsé k le ttő l függő tag ö ssz e g é re esn e s z é t. V alójában azonban a (3.25) egyen le t u to l­só, vegyes tag ja - külön legesen k is hőtágulásu ö tvözetek (m int p l. " in v a r") k ivé te lével -

2nagyságrenddel nagyobb a tisz tán ru g a lm as en e rg ián á l. A sz igo rúan s z é tv á la s z ­

to tt ru g a lm a s - és "hő en e rg ia" fogalom körében gondolkozva igencsak fogós k é rd és lenne, hogy hova tűnik a ru g a lm as en e rg ia , am iko r a k ife sz ite tt huzal felm elegedve e llazu l.

2

M indam ellett a ~'9E ^ e n e rg ia -ta g o t, bá r k icsi a többihez képest, valahogyan " é r té k e ­

sebbnek" érezzük : ennek ro v á s á ra közvetlenül ren d e z e tt k inetikus e n e rg iá t kaphatunk, a többiből c sak nagyon körü lm ényesen é s ha tá ro zo tt korlá tokkal, ld . 5 -6 . §. -

- A gum i ru g a lm as és hőtani v ise lk ed ése a fém ekétő l és 'eg y éb s z ilá rd testek é tő l, m in t lá ttuk , sok szem pontból e rő se n különbözik. Mig az utóbbiak ru g a lm as m egnyú lása c sa k e z re lé k nagyságrendű lehet, a gum iszalag e re d e ti hosszának tö b b szö rö sé re is nyu l-

- 177 -

0 ,^ 3 1 0 % ^ ¿,-Q95: ¿T=-Ő,GK

5w - j J f(6 )d e *>í & }*13003/'trg

cóT * 13003/Kg

u(Tt<5)~u(T,o)!

300 ~30f ~3CZ TM

3.11 ábra

hat. Ennek alap ján az t várhatnánk , hogy ru g a lm as en e rg iá ja a be lső en erg iáh o z v iszo n y ­lag nagyobb já ru lék o t ad, é s b e lső en erg iá ja a fém ekénél és m á s kondenzált közegekénél e rő seb b en függ a fe szü ltség tő l. A 3.11 ábra s z e r in t azonban éppen fo rd ítva van: az 1 .10 áb rán fe ltü n te te tt

á llapo tegyen le te t k ie légítő , un. ideá lis gum i be lső en erg iá ja egyá lta lán nem függ a f e ­szü ltség tő l, csupán a h ő m érsék le t függvénye.

Az o lv a só ra bizzuk annak belá tásá t, hogy a (3.25) egyen let g u m ira vonatkozó m egfelelő jében a ké t u to lsó tag éppen k ie jti egym ást, azaz a fe sz íté sn é l közölt e n e rg iá t a gum i éppen lead ja , m ire a kö rnyeze t h ő m é rsé k le té re v isszah ü l. (Ehhez a d iffe re n c iá ­l is hő tágu lási együttható és Y oung-m odulusz közötti ö sszefüggést kell fe lhasználn i, am i az 1 .10 áb rán m e g ta lá lh a tó .) -

3.4 Gázok belsó'energiája

3.4.1 Gázok fajhői

Szemben a kondenzált anyagokkal, gázok esetében az állandó térfoga­ton és állandó nyomáson történő melegítés és a hőmérsékletváltozás közöt­ti arányossági tényező — az állandó térfogathoz és állandó nyomáshoz tarto­zó izokór c^, ill. izobár c fajhő — lényegesen különbözik egymástól.

- 178 -

A kettő közül közvetlenül c mérhető a 3,12 ábrán vázolt elrendezés, az P

un. áram lási kalorim éter segitségével. A vizsgált gáz és az összehason­lítási közeg (általában viz) szembe áramlik. Egy átmeneti idő után állandó­sult állapot alakul ki, a cső falának hőmérséklete tovább nem változik, igy a melegítés-mérlegben a cső nem szerepel, a vizbó'l melegítéssel távozó energia maradéktalanul megtalálható a gáz melegítéssel kapott energiájá­ban. Az áramló közegek a hőmérsékletváltozás közben szabadon tágulnak, eredeti nyomásukat tartva, igy a melegítés-mérlegben az állandó nyomás­hoz tartozó fajhők szerepelnek;

c . . m . AT . + c m AT = 0. víz víz víz p

(xhy.^ a víz, m a gáz tömegáramát je len ti.) Az izokór c^ fajhő sokkal

kisebb pontossággal mérhető: ehhez a gázt tartályba zárva kell a keverési kaloriméter folyadékába tenni, és mivel a tartály hőkapacitása sokkal na­gyobb a mérendő gázénál, együttes hőkapacitásukat a gáz jelenléte csak a sokadik tizedesjegyben befolyásolja. Megismerünk viszont később közvetett m érési módokat, amelyek a két fajhő hányadosát szolgáltatják. A 3.2 táb­lázatban néhány gáz moláris fajhője található szobahőmérséklet és atmosz­féra-nyomás körüli állapotában. (A táblázatban a Cy izokór mólhők is meg­

találhatók, ezek a továbbiakban megbeszélendő közvetett mérésekből adód­tak .) A m érési adatok szerint a gázok fajhői elég széles hőmérséklet- és nyomástartományban állandók.

A táblázat adataiból itt is olvashatunk ki érdekes szabályszerűsége-" 5 7

két: az egyatomos gázok C mólhője kb. — R, a kétatomosaké kb. — R.^ p £* 2Feltűnő, hogy a - Cy különbség következetesen a gázállandóval egyen­

lő nagyságú.

- 179 -

Az állandó nyomású fajhő ismeretében az egyes állandó nyomások m ellett az entalpia hőmérsékletfüggése egyszerűen adódik:

(3. 26) H (T2, p) - H (Tr p) = Cp (T2 - T ^ ,

ill. —olyan nagy hőmérséklettartományban, ahol a fajhő m ár nem tekinthe­tő állandónak —

T2(3.27) H <T2, p) - H (Tlf p) = J C (T) dT.

T1

(C a nyomástól is függhet, de állandó nyomású folyamatokról lévén szó,

ezt nem jelöltük argumentumában.)

3.2 TÁBLÁZAT

Gázok fajhői 20 °C-on

Anyagc

PC~P CY ~V

C -C~ p ~V

C7_P

c . VÍZ

R /2cv iz

R /2 R

levegő 0, 240 0,171 1, 40

He 1 ,2 2 5, 04 0 ,7 4 3, 04 1, 00 1, 66

A r 0, 234 5, 01 0 ,1 4 0 3, 00 1, 00 1, 67

»2 3, 31 6, 88 2 ,3 5 4, 88 1, 00 1, 41

N20 ,2 4 0 6, 91 0,171 4, 92 0, 99 1, 40

° 2 0, 213 7, 00 0,152 5, 00 1, 00 1 ,4 0

CO 0, 242 6 ,9 6 0,171 4, 96 1, 00 1, 40

HC1 0,1 8 9 7 ,11 0, 135 5, 08 1, 02 1, 40

C l20, 382 8, 21 0, 281 6, 04 1, 09 1, 36

CO 0 ,1 9 5 8, 8 0 ,150 6, 8 1, 02 1, 3

H20(gőz) 0, 47 8,71 0, 36 6, 6 1, 06 1 ,3 2

NH3(gőz) 0, 51 8, 96 0, 39 6, 84 1, 06 1, 31

CH4 (m etán) 0, 520 8, 56 0, 405 6, 52 1, 02 1, 30

G3H8 <pr° - pán, gőz) 0, 376 16, 7 0, 324 14, 4 1, 15 1, 14

- 1 8 0 -

A belsőenergia hőmérsékletfüggése — ugyancsak állandó nyomáson - ebből az állapotegyenlet segítségével számolható. Ideális gáznál például A(pV) = RAT, Így

(3.28) U(T2> p) - U(T^, p )= A H - A(pV) = CpAT - RAT =

= <£p - ») <T2 - T l).

A különböző nyomáshoz tartozó fajhők ismeretében tehát a belsőenergia hőmérséklet-függését megtudjuk, de a különböző nyomásokhoz tartozó U(p, 1) vagy H(p, T) függvények még nincsenek összeillesztve.

Állandó térfogaton melegített gáz belsőenergiája csak a melegítés mértékével változik (a térfogati munka nulla), igy

(3.29) U(T2, V) - U (Tr V) =Cy (T2 - Tj),

vagy — ha a Cy mólhő függ a hőmérséklettől -

T2(3.30) U(T2, V) - U(Tlt V) = j Cy (T) dT,

amiből pedig az entalpia változása számolható ki az állapotegyenlettel; ideá­lis gáznál például

(3.31) H(T2, V) - H(T1( V) = CyAT + A(pV) = (Cy + R) (T2 - T ^,

(V = «»11.)

- Az utóbbi három egyenlet csak elvi jelentőségű, amig nem tisztáz­zuk, hogyan lehet az izokór fajhőt elfogadható pontossággal ténylegesen meghatározni. Vagy pedig (3.29) éppen meghatározására jó, ha az

U (T, V) függvényt valami kerülő utón sikerülne megkapni. -

- 181 -

3.4 .2 Szabadexpanzió és fojtás;az entalpia és belsőenergia nyomás,ill. térfogatfüggése

A különböző izobárokhoz tartozó entalpia- és belsőenergia-függvények összeillesztésére elvileg többféle m érési e ljárást felhasználhatnánk, igy fajhőmérést állandó térfogaton (amiről viszont láttuk, hogy közvetlenül nem megy), valamint hőmérsékletváltozás m érését adiabatikus kvázisztatikus expanzióban-kompresszióban vagy szabadexpanzióban.

Az utóbbi a gáz munkavégzés nélküli tágulását jelenti. Megvalósitása egyszerűen úgy történhet, hogy a tartályban levő gázt egy másik, üresre leszivott tartályba engedjük átáramolni egy csap kinyitásával. (Nem kvázi­sztatikus folyamat!) A környezet közben munkát nem végez, és a folyamat elég gyorsan játszódik le az uj egyensúly beálltáig, hogy közben a környe­zet által végzett melegités is elhanyagolható legyen. A folyamat körülmé­nyei tehát olyanok, hogy a gáz belsőenergiája állandó marad. A hőmérsék­letváltozás méréséből elvileg meg lehetne tudni, a végállapothoz tartozó izobár melyik hőmérséklethez tartozó pontja az, amelyen a belsőenergia értéke ugyanakkora, mint a kiindulási állapotban. A kisérletet Gay-Lussac valóban elvégezte néhány atmoszféra induló nyomással, és hőmérsékletvál­tozást nem tapasztalt. Ebből a rra a következtetésre jutott, hogy a gázok belsőenergiája csupán a hőmérséklet függvénye, adott hőmérséklet mellett nem függ a nyomástól vagy a faj térfogattól. A m érés pontosságát erősen korlátozza ugyanaz a körülmény, ami az izokór fajhő m érését: az edény nagy hőkapacitásu fala rész t vesz a termikus kölcsönhatásban. (Mire az expanzió után a tartály különböző szegleteiben levő gáz tartományok egy­mással és a hőmérővel termikus egyensúlyba kerülnek, addig az edény fa­lával is energiacsere történik.) Hasonló nehézség merül fel a munkavég­zéssel történő kvázisztatikus expanziónál: a lehűlés tényét tapasztaltuk (or­vosi fecskendőben elhelyezett termoelemes hőmérő segítségével), de a nagyságát csak úgy tudtuk megmérni, hogy közben a fecskendő hengeré­nek fala m ár jócskán visszamelegitette az expanzió során lehűlt levegőt.

Az edény zavaró hatását kiküszöbölendő, Joule és Thomson (1850 körül, egymástól függetlenül) stacionárius áramlásban vizsgálta (nem pe­dig az egész közeg uj egyensúlyát megvárva), bekövétkezik-e a gáz tágulá­sánál hőmérsékletváltozás. A nagynyomású gázt palackból fojtószelepen át engedve áramolni, a szelep két oldalán a nyomáskülönbség hosszú ideig kb. állandó marad. (Thomson sűrű vattacsomót használt fojtószelepként, elő­adási kísérletünkben pedig finoman állitható nyilásu un. tüszelep szabályoz­ta a gáz áram lását a kb. 100 atm nyomású palackból az 1 atm nyomású le­vegőbe.) Ezt a folyamatot — gáz stacionárius adiabatikus áram lását két kü­lönböző nyomású tartomány között — főj tásnak nevezzük. A stacionárius áramlásban a szelep közelében levő csőszakaszok belső fala hamarosan felveszi a gáz hőmérsékletét, igy a rövid szakaszokon a melegités elhanya­

- 182 -

golható, de a gázon végzett munka nem feltétlenül! Kiválasztva egy megha­tározott (mozgó) gáz-darabot, a környezete — a gáz szomszédos részei — által rajta végzett munka, miközben " átcsúszik" a szelepen (ld. 3.13 ábra)

W = P1 V1 - P2V2>

így

(3. 32) H1 = H2 < * = U2 - U! =

tehát a fojtási folyamatban a kísérleti elrendezés nem a belsőenergia, ha­nem az entalpia állandóságát biztositja.

A kísérletben a mérendő mennyiség a fojtószelep előtti és utáni hő­mérséklet. Ha ez változik, az entalpia a hőmérsékleten kivül a nyomástól is_ függ; ha nem, az entalpia csak a hőmérséklet függvénye: értékét adott mennyiségű és minőségű gázra a hőmérséklet egyértelműen megszabja.A kísérletek eredménye:

Nagy nyomásról indítva az expanziót, hőmérsékletváltozás mutatha­tó ki. (Kísérletünkben nitrogénnél lehűlést, hidrogénnél melegedést tapasz­taltunk. ) Az entalpia sűrű gáz esetében a hőmérsékleten kivül kimutatható- an függ a nyomástól ( <=i> a faj térfogattól) isj

A ío jtá so s expanzió t különböző nyom ásokró l és h ő m é rsé k le te k rő l inditva, m eg lehet k e re sn i azokat a nyom ás-h ő m é rsé k le t-p á ro k a t, am elyek rő l azonos végá llapo tba kerü l a gáz, ezze l pedig a p -T k o o rd in á ta -ren d sze rb en k ije lö ltük az állandó entalp iához ta rto zó pontokat, azaz az iz en ta lp gö rbéke t. é s g á z ra ezek e t a 3 .14 , i l l . 3 .1 5

áb ra m u ta tja . Az en ta lp ia h ő m é rsé k le ttő l való függését ado tt nyom áson (igy a k is nyom á­sok hatá rese téb en ) (3 .26) vagy (3.27) s z e r in t az izo b ár fajhő m é ré s e a lap ján ism e rjü k , és egy-egy ilyen e n ta lp ia -é r té k é rvényes az izen ta lp görbe m inden pon tjára ; a fa jh ő m é­ré s e k és a fo jtá so s le h ű lé s re kapott adatok b irtokában teh á t az en ta lp iá t m in t a hőm ér -

- 183 -

3.15 ábra

sék le t és nyom ás függvényét egye tlen (önkényesen válasz tható ) additív állandótól e lte k in t­ve m eghatároz tuk , e z z e l együtt pedig — az á llapo tegyen le t fe lh aszn á lá sá v a l — a b e lső e n e r­g iá t is . A 3 .1 8 és 3 .19 áb rán a n itro g én - és h id rogén-gáz en ta lp iá já t a nyom ás függvé­nyében áb rázo ltuk különböző h ő m é rsé k le te k m e lle tt (ezek az áb rák a 3 .1 4 és 3 .1 5 g r a ­fikon e g y sze rű á tra jzo lá sáv a l kaphatók), é s ugyanezeken az ábrákon a 3 .1 6 é s 3 .17 g r a ­fikonokból v e tt pV = f(T, p) é rték ek levonásával a b e lsőenerg ia-függvényeket is m eg -

- 184 -

7o 100 ' 2 0 0 p[1^R> J

3.16 ábra

L .1 i'o 100

3.17 ábra

2Ó0 p[10 sPa ]

sze rk e sz te ttü k . Végül a 3 .20 és 3 .21 áb rán a b e lső e n e rg iá t á tra jzo ltu k a re c ip ro k m ó l- té rfoga t é s a h ő m é rsé k le t függvényévé. Ez utóbbi grafikonok s z e r in t a m o lá r is b e lső - en e rg ia a re c ip ro k m ól té rfogatnak (= a m o lá r is sűrűségnek) e lég jó k ö ze líté s se l l in e á r is függvénye

(3. 33) U (T, V) = U (T0> 0) + Cv (T - T0) - =

= const. + C T -~v V

A függvényben a hőmérséklet arányossági tényezője definíció szerint az ál­landó térfogathoz tartozó mólhő (v.ö. 3.29), értéke a grafikonokból kiol-

- 185 -

3.18 ábra

-186 -

- 187 -

3.20. ábra

- 188 -

vasható, az l/V moláris sűrűség arányossági tényezője pedig a grafikono kon összefoglalt m érési eredmények szerint éppen a Van dér Waals-egyen letben szerepló' "a" állandóval egyezik!

A nagy s ű rű sé g rő l induló szabadexpanzióban ezek s z e r in t lehűlésnek kell bekö­vetkezni: a b e lső e n e rg ia a té rfo g a t növekedése e l le n é re c sa k akko r m a rad h a t állandó,

a „ha a levonandó — tag csökkenéséve l együ tt a k isebb ítendő Cy T is csökken. (A lehű ­

lé s közvetlen k ís é r le ti k im u ta tá sá t a m ondott körülm ény g á to l ja .) A fo jtásban v iszon t m elegedés is bekövetkezhet: a gáz á llapo tegyen le té t a (2.7) Van d é r W aals-egyenlettel közelítve, az en ta lp ia a hő m érsék le tn ek é s a té rfogatnak

= const + (C + R) T + bRT 2a~ v V

alakú függvénye, a té rfo g a ttó l függő tag tehát c sak a Van d é r W aals-együ tthatók által m egh a tá ro zo tt

2a bR<3. 35) T. *

un. in v e rz ió s h ő m é rsé k le t a la tt le sz negatív , és ekko r v ez e t a fo jtás hü lé shez . Valóban, a k ísé rle tü n k b en m e leg ed ést m u ta tó h idrogéngáz v ise lk ed ése is m egfordu l kb. 150 K hő­m é rsé k le t a la tt , az ilyen a lacsony induló h ő m é rsé k le trő l vég ze tt fo jtás m á r nála is hő- m é rsé k le tc sö k k e n é s t e red m én y ez .

3.4 .3 Ideális gáz belsőenergiája;összefüggés az izokór és izobár fajhő között; kvázisztatikus izoterm állapotváltozás

Ideális gázoknál, azaz a nagyon kis sűrűségek határesetében a belső­energia (3.33) állapotfüggése

(3.36) H<T’.Y) = const + CyT

-vé egyszerűsödik (V -» o o ), tehát ideális gáz belsőenergiája csupán a hőmérséklet függvénye.H Gay-Lussac sejtése Ideális gázra igazolódott. Ideális gáz esetében továbbá az entalpia sem függ mástól, mint a hőmér­séklettől. hiszen pY = RT, ezért

(3.37) H(T) = const + C^T + RT = const + (Cy + R)T.

Mivel pedig az entalpia hőmérsékletfüggésének arányossági tényezője defi­níció szerint az izobár fajhő101, kiolvashatjuk az ideális gáz két fajhője kö­zötti összefüggést:

(3.38) C = C + R. ( <^=í> c = c + r)' ' ~-p ~ v p v

*Az id e á lis v ise lk ed é s n y o m ástartom ányán belü l a nyom ás é s sű rű sé g m ég igen sok nagyságrenddel v á l­tozhat !

^ S z a b a to sa b b a n : az izo b á r fa jhő az en ta lp ia állandó nyom áshoz ta r to z ó h ö m érsé k le tfü g g ésé n ek a rá n y o s ­sá g i tényező je . M ivel azonban az id e á lis gáz e n ta lp iá ja c sa k a h ő m é rsé k le t függvénye, a C + R a r á ­nyosság i tényező egyéb fo lyam atok között az állandó nyom ású fo ly am a tra is jó ará n y o ssá g i tényező.

- 190 -

Ezzel magyarázatot kaptunk a 3.2 táblázatban megfigyelt egyik szabálysze­rűségre. Megjegyezhetjük továbbá az elég jól teljesülő tapasztalati szabályt

, . 3 5is: egyatomos gázok izokór mólhője kb. — R, kétatomosoké kb. — R.

- Ha m á r tudjuk, hogy ideális gáz belső e n e rg iá já t a h ő m é rsé k le t eg yérte lm űen m egszab ja , az e n ta lp iá ra nem hivatkozó gondola tm enette l is m egkaphatjuk a (3.38) ö s z - sze fü g g ést: A gáz t m e ghatározo tt hőm érsék le tű állapotából e g y sze r állandó té rfo g a ­

ton, eg y sze r állandó nyom áson m eleg ítve ju tta tju k el -ugyanazon T., hőm érsék le tű v ég á l­

lapotba, ld. 3 .2 2 a áb ra ; az izokór fo lyam atban a m e le g íté s se l kapott en e rg ia pontosan egyenlő a be lső en erg ia növekedésével, az izobár m e le ­g ítés v iszo n t a b e lső en erg ia (ugyanakkora) növelésén kívül a gáz á lta l tágulás közben végzett m unkát is fede­zi, igy

(3.39) C ¿ T = C AT + p A V = C A T + R A T ,~ p ~v ~ - v

am iből éppen a (3.3*) eredm ény következik.A fen ti gondolatm enet R óbert M ayertő l s z á rm a ­

zik (1840 körül), ennek alap ján á llap íto tta meg a-m eny- nyiségi ö ssze fü g g ést az addig független fiz ikai d im en- ziójunak tek in te tt munka és "hőm ennyiség '' között. Ad­dig ugyanis a fajhőket c sak re la tív , k a lo r im e tr iá s m é ­ré sb ő l ism e rték , a gázállandó v iszon t eleve munka je llegű m enny iséget je le n te tt ("fokon­kénti tágu lás i m unka"), igy (3.38) m ódot ado tt annak m e g h a tá ro z ásá ra , hogy 1 ea l hány mkp vagy Nm. A lev eg ő re vonatkozó - c y = 09 c a l /k ,K és r = 2«? J/k g K k ís é r le ti

ada t egybevetéséből valóban 1 ca l = 4, 2 J ö sszefüggés adódik. E zt Jou le közvetlen — a sú r ló d á s i k a lo r im é te re s elrendezésünkhöz hasonló je llegű — k ís é r le te i e rő s íte tté k m eg .

Az a tény, hogy az ideális gázok belsőenergiája csak a hőmérséklet­től függ, érthetővé teszi, m iért következik be lehűlés a kvázisztatikus adi­abatikus expanzióban: ez a folyamat úgy mehet végbe, hogy a gáz közben munkát végez (dugattyut tol maga előtt, elég lassan ahhoz, hogy a nyom á s- -homogenitás mindvégig fennálljon, de elég gyorsan ahhoz, hogy a fallal való m elegitéses energiacsere elhanyagolható legyen), igy a belsőenergiá­jából vészit, ami viszont a hőmérsékletének csökkenésével jár. Ahhoz, hogy kvázisztatikus expanzióban a hőmérsékletet állandónak tartsuk, m eg­felelő m elegítésről kell gondoskodnunk: pontosan annyi m elegítés szüksé­ges, amennyi munkát a gáz végez,

(3.39) = - Wi ^ 2 . * ( ^ AU =Q i ^ 2 +W1 ^ 2 ’ de AU = °>‘

V -v e l a gázon végzett munkát jelöltük, igy a gáz által végzett munka -W.

- 191 -

(Állandó hőmérsékletű, nagy hőkapacitásu környezetben ez magától bekö­vetkezik, ha az expanzió elég lassan játszódik le: mihelyt a gáz egy kicsit a környezet hőmérséklete alá hül, megindul az energiaszivárgás.) Az állapot­egyenletből (3.2) alapján könnyen kiszámolhatjuk a munkát, amig a gáz vé­gez, amig izotermikusan — változó nyomás mellett —V -rő l V térfogatra tágul: 1

V V,2 ,2

(3. 40)

V1 V1v„m _ _ . 2

M R T ' “

3 .4 .4 Kvázisztatlkus adiabatikus állapotváltozás; adiabaták

Ha a munkavégzéssel járó energiacsökkenést kompenzáló melegités nincs, a gáz hőmérséklete a tágulás során fokozatosan csökken, és ennek megfelelően a nyomása meredekebben zuhan a térfogat növekedésével, mint az izoterm folyamatban. Az utóbbiban a relativ nyomáscsökkenés a Boyle- -Mariotte-törvény szerint egyenlő a relativ térfogatnövekedéssel,

(3.41) -- - y — - = - - ^ r , ( < = (V + dV) (p + dp) = pV)

az előbbiben ennél nagyobb,

dp(3.42) ad. dV

V

ahol x 1 -nél nagyobb szám. A p-V koordináta-rendszerben ábrázolt adiabaták tehát az izoterm a-hiper bo- láknál meredekebben eső görbék, ld. 3.22b ábra.

Az adiabatikus és izotermikus kompresszió-modulusz hányadosát egyszerű eszközzel meg tudjuk m ér­ni, hiszen az expanzióban be követke-

-192 -

ző nyomásváltozást gyakorlatilag időkésés nélklil tudjuk m éréssel követni, szemben a nagyobb idő-tehetetlenségü hőmérsékletméréssel.

A m érést — Clement és Desormes nyomán — a 3.23 ábrán látható e l­rendezéssel végeztük. Az eszköz két kivezetéssel ellátott palack, amelyek közdl az egyikhez folyadék-manométer csatlakozik, a másik egy csappal

3.23 ábra

zárhatóan a légkörre nyilik. Induláskor a palackban a külső légnyomásnál kb. 1%-kal nagyobb nyomású, szobahőmérsékletű levegő van. (Be lefúj tünk, majd a csapot elzárva, megvártuk a termikus egyensúly beálltát.) A csapot rövid időre kinyitjuk, a benti nyomás a külső nyomás értékére zuhan. A csap elzárása után azonban a palackban maradt levegő nyomása ismét emelkedni kezd, mig végül beáll egy, az eredetinél alacsonyabb, de a külső nyomás­nál magasabb értékre.

A palackban lejátszódó folyamatot a 3.24 ábrán követhetjük. A felraj­zolt folyamat a palackban bentmaradó levegőmennyiségre vonatkozik, amely az eredetileg még bent levő többlet-levegőt a csap kinyitásakor kitolta a pa­lackból, az eredeti V térfogatáról V +AV = ^ ecjgn “re tágulva, majdnem

3.24 ábra

- 193 -

kvázisztatikus, adiabatikus expanzióval. (A nyomás-inhomogenitás nem le ­hetett több 1%-nál.) A csap elzárása után izokór melegedés következett be, az expanzióban lecsökkent hőmérsékletről az eredeti szobahőm érsékletre.* A végállapot ugyanaz, mint ami V-ről V + AV-re vezető izoterm expan­zióban állna be. Ap^-gyel jelölve az eredeti nyom ás többle tét, Ap2-vel a

végsőt, az ugyanazon kezdeti nyomásról és térfogatról induló, ugyanakkora térfogatváltozásnál bekövetkező adiabatikus és izotermikus nyomásváltozást ezekkel kifejezhetjük,

Ap , = - Ap és Ap. . = -(A p, - Ap ).ad 1 izoterm 1 2

Ez (3.41)-gyel és (3.42)-vei egybevetve, a

Apad A P 1(3.43) X -Apizot ~ Api “ Ap2

eredményt kapjuk. Gondosan elvégzett mérésünk szerint levegőre

X = 1 ,4 .

- K özvetett utón, a hang te r je d é s i sebességébő l is m egkaphatjuk X é r té k é t. Joggal fe lté te lezhetjük , hogy a hanghullám ban a levegő nyom ásvá ltakozása adiabatikus: a nagy frekvenc iáva l ism étlődő expanz ió -k o m p ressz ió s o rá n nincs idő a szom szédos levegő -tartom ányok közötti hőm érsék le tk ieg y en litő d ésre . Akkor pedig a

dVdp = - K , —* ad V

fo rm u lával de fin iá lt (adiabatikus) k o m pressz ió -m odu lusz a (3. 42) ö sszefüggés s z e r in t

(3.44) Ka d = * p - (> K i z o t = p !)

M ivel pedig a ru g a lm as hullám te r je d é s i s eb esség e gázban

a h an gsebesség é rtékébő l Te m eghatározható . A n o rm á lá llap o tra vonatkozó adatokkal

X = c 2 = — 1,2 9 ------— . (331 m /s ) 2 = 1, 40,P 1, 013 . 10 N /m

összhangban a C le m en t-D eso rm e s-k isé r le tb en kapo tt é rté k k e l. -

*M aga a nyom ásem elkedés ténye is b izonyltja , hogy az expanzióban valóban leh ű lés tö r té n t.

- 194 -

A 3.24 ábra további elemzésével megkaphatjuk az adiabatikus lehűlés értékét is a nyomásváltozás függvényében,

t i i- \ dT K ~ 1 dp / ' ATad ATizokor A p 2(5.45) — = — , <<= — T f ----------- í ----- = ~ — =

v - i A p i x - i A PadX p X p '

továbbá — (3.45) és (3.42) egybevetésével — a térfogatváltozás függvényé­ben,

(3.46) = - (Tc-1)

Az adiabatikus és izotermikus kompressziómodulusz x hányadosa a gáz izobár és izokór fajhőjével egyszerű kapcsolatban van. Az I. Sötétéit ideális gáz (d U = C^dT) adiabatikus (d’ Q = 0) és kvázisztatikus (d’ W =

= -pdV) folyamatára a

C dT = -pdV-V V *v

alakba Írhatjuk, amiből — a nyomást a gáztörvényből kifejezve — a

dT R dyT C V~v ~

egyenletre jutunk. Ezt a (3.46) formulával összehasonlítva, a tc tényező értékét kiolvashatjuk;

C C - C C(3.47,

~v ~v ~v ~v

A kisnyomású gázok izokór fajhőjét ennek alapján lehet elegendő pon­tossággal meghatározni.

- Az o lv a só ra b izzuk annak b e lá tá sá t, hogy az ad iabatikus h ő m érsék le tv á lto zás(3 .24) fo rm u lá ja a g ázo k ra is te lje sü l: oc he lyett a köbös hőtágu lási együttható 0 =

= ~~~ é r té k é t irv a , é s a gáz tö rvény t a lkalm azva q k isz á m ítá s ra , a (3.45) fo rm ulához

ju tunk. -

-1 9 5 -

Mivel az ideális gázok fajhői széles hőmérséklet-tartományban állan­dók, jc is állandó. Ennek felhasználásával az állapothatározók közötti össze­függést nagy változással járó kvázisztatikus adiabatikus folyamatra is meg­határozhatjuk: a differenciálegyenletnek olvasott (3.42) egyenlet integrálá­sával a

vagy másképpen a

P1V^C = p2V2X < = > pV X -állandó

egyenletet kapjuk.A kapott összefüggést a másik két állapothatározó-pár közötti össze­

függéssé is könnyen átírhatjuk a gáztörvény felhasználásával:

(3.49)

és

(3.50)

- AdUtwUlnu teompr—e«l<hnl tekintélyei felm elegedést tehet e lé rn i. A D iesel- motorok diigattyitfa a b w g w te « te rS 300 K hnméraékletii levegőt 1 b i r - r O iwkilva 30 bárig Is ÜMMenpomta, ami

I j * 800 K

hőmérséklet elérését ereAaényai. -

TV * _1 = állandó, (-e= pV* =

= pV . V *"1 * . . . . )

RT

K -l

T , \ P ) J px-l W " px-l p* - l>

= - K In V2 / P2 V \- f =>» ln ( - 1 . - L \ m 0,v ! V px

- 1 M -

3.5 A belsőenergiára vonatkozó tapasztalatok összefoglalása

A különböző Upusu közegek belsőenergiájának az állapothatározóktól való függé­sét speciális folyamatokra vonatkozó tapasztalatokból állapítottuk meg. némely esetben a tapasztalati tények e lég ö sszetett kombinálásával. Helyénvaló e zé rt s végeredm ényeket áttekinthető alakban összefoglalni (néhány k iegészítéssel), m ár csak a zé rt is , hogy a ké­sőbbi vizsgálatokban felhasználandó összefüggések egy helyen legyenek összegyűjtve.Az összefoglalás, term észetesen sem pontos, sem te ljes nem lehet; a különböző köze­gekre vonatkozó konkrét adatok táblázatokban vagy grafikonokban összeállítva speciális fiz ikai-hőtani-hőtechnikai kézikönyvekben találhatók m eg. A 3 .3 táblásat többé-kevésbé idealizált form ulákat tartalm az, érvényességük olyan hőmérséklet;- é s nyom ás-tarto­mányra terjed ki, amelyben a fajhők, valam int a rugalm assági és hőtágulási együtthatók állandónak tekinthetők. A táblázat célja, hogy az állapotfüggvények közötti összefüggé­sek jellegéről adjon képet. Hasonló igénnyel foglaltuk össse a tárgyalt kvázisztatlku* folyamatokra vonatkozó összefüggéseket a 3 .4 táblázatban, a nem kvázi sztatikus adiaba­tikus folyamatokra vonatkozókat pedig a 3 .5 táblázatban.

3.3 TÁBLÁZAT

Állapotegyenlet, belső energia, entalpia

rnmt MUpottfyMUl haiaö energia (♦ additív bmmma)

---- ') '(•«M M k t w « M

a) Maáits f ág pV . a «T. »V • BT ü =CyT | - S , » « * T - £ r T

* V ia óer Waaia- • c v - * » - a TY

c) folyadékV - v

— — f *»<t - v • - • f f - v á r 1 $ 1- *

■ e a - T j )

J í r .

d) MMtoiaal

- e < T -T ,>

• * * , T i

•) áfeéUa p n i - m la c

- V r *■?>*• - p r < T * , )

« (« , t i « < • . u

» - c(T - Tj) » • [ • - / * ''« •> « • ]j*-v Tl

- 191-

-1 9 8 -

’3.4

TÁB

LÁZA

T K

vázi

szta

tikus

fo

lyam

atok

(g

ázok

nál

mol

áris

, ko

nden

zált

köze

gekn

él f

ajla

gos

adat

okka

l)

iá. gaz T -

V.d.W. = áU C íügg a térfogattól és hőmérséklettől~P

fémhuzal - otAT T AT <c AT hőtágul áa

ideáll*gumiszalag

de = - - % r ("j)dT =

- <* (er, T) dT

d -* --T T d T -

- - 4 '< 4 »dTfT

*1-2 =

. - ¿ f r y r .

e, AT

r = áll.tetszőleges

>S * « * V ui +J *xT-v)dv

V!

v » - t / <r<T- ‘ *w > *i

id. gáz pV áll. R T l» ^ -l l *T ," | * 0 JÍ-áU .. l-M I.

Boy le-Mártott« törvény.

V.d. W. (J> * (V - h) - HT HTln = ~ -RTtn ♦

+ i — a_Yl

,) ._<Yj ' Y ,’

pV - Í(T, V) altérés a Boyle-Mariolle- törvénytől

femh. i f i» »

(*Í t f = E >9

“ f

+ i r c , - V

ideálisgumiszalag

d t - |r< t )d « -

E<8 ,D de

d6 = T f‘1(l:)dt--

- E(t,T)dt

d’q f'N tXit

- f / V v w

d'w = -J-f~'<t)dC

| / V ‘«*)d£41

0 V r V i -

- V '-^ > ]

4. izo?

- áll. adi­abatikus kvázi- sztatikus

tetszőleges d T ^ - | i d p

(d l - de ,

° V üi ' wi - . <Vui — i . i>

id. fáz

Ű . . . a . ? * .

pV* = áll., TV11' 1 - áll., T/p áll.

£vAt £vAT epATJL

* ~ £ ' JCV ttavatatt mérésre sUMÜmas

V.d.W. (P+^MY-b)“ “ áll.

T(V-b)*"1 ~ áll.

T/(p “ = áll.

-C +R C C

X « ^ ^ -jfi- (csak

fémh. AT - - — A6- ,9 c

“ E. d T = ------ 52--- A t9 C

Expanziónál hiilés; E - (nagyon kicsi)

.s?«ad. Hoo ke-törvény

id. gumisz. dT = f c T r (' r )de " r~p

- . ¿ r W

. T2 V T1Cv " Tx ~°v Tj

- j / f - \ £ >dc

CyAT ov AT expanziónál melegedés

3.6 A belsőenergia és entalpia változása halmazállapot -változásnál

A hőmérsékleti fixpontok kiválasztásánál m ár felhasználtuk azt a ta­pasztalatot, hogy állandó nyomáson végbemenő olvadás és forrás lezajlásá­ig a test hőmérséklete nem változik. Annak ellenére nem változik, hogy a környezetéből közben energiát kap. Az eredetileg fagypont alatti jég m ele­gebb környezetben t = 0 °C-ig (T = 273,15 K-ig) melegszik, aztán - bár a környezete tovább melegíti — a melegedés megáll, amig a jég egészében el nem olvadt (3.25 ábra), a további melegedés csak ezután indul. Fagyásnál és lecsapódásnál viszont a környezet kap energiát, mégpedig ugyanannyit, amennyit olvadásnál, ill. forrásnál leadott. Ha a kör­nyezet a kaloriméterben levő víz, az olva­dáshoz szükséges melegítést a tömegek és ^ hőmérsékletek méréséből, a fajhők ism ere­tében meg tudjuk határozni. A halmazállapot­változáshoz állandó nyomáson és hőmérsék­leten szükséges melegítés a közeg entalpiá- jának megváltozásával egyenlő, ennek fajla­gos (tömegegységenkénti vagy mólonkénti) értékét olvadás-, ill. párolgáshőnek nevez­zük, közös néven átalakulási hőnek. Adatok a 7 . 1 táblázatban találhatók.

Hasonlóan értelmezünk "átalakulási hc?'-t anyagszerkezeti változással já ró más folyamatokra is. ("Oldódási hő” , ké­miai "reakcióhő" vagy "reakcióenergia" stb .) Ezeken a folyamat állandó hőmérsékletűvé kényszerítéséhez szükséges melegítést értjük, állandó nyo­más vagy - ritkábban - állandó térfogat m ellett. Az előbbi az átalakulással járó entalpiaváltozást, az utóbbi a belsőenergia-változást adja. A kettő egy­másba átszámolható, az átalakulásnál bekövetkező térfogatváltozás ism e­retében. (V íz fagyásánál például kb. 8%-os térfogatnövekedés következik be.)

Az anyagszerkezeti változásokkal já ró folyamatokkal a 7. §-ban fog­lalkozunk részletesebben.

-<203 -

4. $ Az állapotegyenletek és a belsőenergia kvantitatív molekuláris értelmezése

Az anyag molekuláris szerkezetére tett feltevéseinket az eddigiekben csak a belsőenergia fogalmi értelmezéséhez használtuk fel, kvantitatív kö­vetkeztetéseket a molekuláris modell alapján nem tettünk. Ezt kíséreljük meg a következőkben, természetesen csak a legegyszerűbb esetekre szorít­kozna. A 3. 1 pontban körvonalazott két ut közül tehát most a másodikat, a statisztikus megközelítést követjük.

4.1 Ideális gáz

4.1 .1 Ideális gáz nyomása;a hőmérséklet gáz kinetikai jelentése

A gáz 2.3 pontban megbeszélt modelljéből indulunk ki, amely szerint a gáz a rendszertelenül pattogó rugalmas golyók halmazához hasonlóan vi­selkedik. A molekuláris kölcsönhatások rövid hatótávolságából — amiről a felületi feszültség elemzése során győződtünk meg — a rra következtethetünk, hogy elég kis sűrűségű gázban a molekulák közötti kölcsönhatás átlagos energiája a kinetikus energiájukhoz képest elhanyagolható, igy a gáz belső energiájához nem Járul hozzá. Ezt megerősíti az előző §-ban részletezett tapasztalat, amely szerint elég ritka gáz belső energiája nem függ a térfo­gattól és igy az átlagos molekulatávolságtól sem. A ritka gáz belsőenergiá­ja tehát a molekulák haladó mozgásához tartozó kinetikus energiából, vala­mint — esetleg — belső mozgásuk kinetikus és potenciális energiájából adód­hat össze (pl. forgás, rezgés).

A Brown-mozgás vizsgálatából leszűrt legfontosabb tapasztalat talán a mozgás nem csillapodó volta. Ez azt bizonyltja, hogy a molekuláris üt­közések — legalább is átlagosan - rugalmasak, a molekulák haladó mozgá­sának átlagos kinetikus energiája nem csökken. (Átlagosan rugalmas ütkö­zések: ha elő is fordul, hogy az ütköző molekulák összegzett kinetikus ener­giája csökken a belső mozgás energiájának javára, ugyanolyan valószínű­séggel előfordul a fordított eset is .) Átlagosan rugalmas ütközéseket téte­lezünk fel a molekulák és az edény fala között is.

E modell alapján a gáz nyomását ki tudjuk számolni anélkül, hogy a gázmolekulák és a fal közötti kölcsönhatás erőtörvényéről a rövid hatótá­volságon túl további részleteket kellene tudnunk. Az edény falára gyakorolt nyomás egyenlő a gáz molekulái által a falnak felület- és Időegységenként

204 -

átadott impulzus nagyságával. Az x-normálisu falhoz v^ sebességkompo­

nenssel érkező, m^ tömegű molekula -v^ sebességkomponenssel pattan

vissza, igy a falnak átadott impulzus*

A I (1) = 2 m v .x 0 x

Ha a térfogategységenkénti n molekulából An. rendelkezik v körüli

Av^. intervallumba tartozó sebességkomponenssel, a fal A felületén A t

idő alatt "koppanó" ilyen molekulák száma

Av .AtAn.,XI 1

ti. A t idő alatt mindazon molekulák eljutnak a falra a mon­dott sebességgel rendelkezők közül, amelyek a kezdeti pilla­natban a v At magasságú, A alapterületű hasábban tar­

tózkodtak, és csak azok (ld. 4.1 ábra), ezek részecskeáram - sürüsége

I

v :

v . An. . A . A t ./x.AtA j(v v . +Av .) = X1 1xi xi xi A . A t 4.1 ábra

Az összes beérkező molekula által felület- és időegységen­ként átadott impulzus nagysága, és ezzel a nyomás nagysága akkor

Alxp = 7 T

v >0 ““ ............... ' V >0XI XI

Ajív , v +A v ) . 2 m v = / 2m v2 . An = ^ ' xi xi xi7 0 Xi „ 0 xi i

1 "'s 2 *= 2 . m ~ ? v . An.,0 2 ^ xi 1 v .XI

vagy a sebességkomponens-négyzet átlagát a

’'M ivel a nyom ás és az im pu lzus a következőkben süriin fordul elő együtt, p he ly e tt az im p u lzu st I-v e l fogjuk je lö ln i.

- 205 -

definícióval bevezetve (számtani közép!),

(4.2) < e (x)> -

v ^ > 0xi

- A molekuláris mozgás rendezetlenségével indokoljuk a

X v ^ A n .= X v^, A n. átalakítást; feltételeztük, hogy ugyan­

annyi molekula megy balra, mint jobbra. -A hőmérséklet ideálisgáz-skáláját az ideális gáz állandó térfogatú

( állandón molekulakoncentráci6ju)melegedésénél bekövetkező nyomás- változással definiáltuk, a T hőmérsékletet arányosnak véve a nyomással. De akkor (4.1) szerint a hőmérséklet arányos az egy transzlációs szabad­sági fokra átlagosan jutó kinetikus energiával, közöttük csak egységválasz­tási különbség van. Az átszámolási tényezőt megkaphatjuk a (4.1) összefüg­gés és az ideális gáz tapasztalati állapotegyenletének összehasonlításával.A molekulakoncentrációt kifejezve a Loschmidt-állandóval és a móltérfogat­tal,

a (4.1) egyenletet

(4.3)

alakba Írhatjuk, amit a tapasztalati

(4.4) pV = RT

egyenlettel egybevetve, az

(4. 5)

eredményt kapjuk; a

(4.6) t B 8,31V m olK , , 8 , l0 -M J/K ~ 6, 02 . 10 1 /mol

arányossági tényező neve Boltzmann-állandó. Az ideális gáz állapotegyen­letét a Boltzmann-állandó segítségével a

alakba is írhatjuk, ahol n a molekulák térfogati koncentrációja.

4 .1 .2 Ideális gáz belsőenergiája;az ekvipartíció törvénye

Gay-Lussac I. törvényéből, amely szerint az adott hőmérsékleti pon­tok közötti relatív nyomásváltozáa nem fiigg a gáz anyagi minőségétől, kö­vetkezik, hogy különböző anyagi minőségű (különböző molekulatömegü) gázok akkor vannak egymással termikus egyensúlyban, amikor a molekuláik átla­gos kinetikus energiája megegyezik. (Nem pedig pl. akkor, amikor az átla­gos sebességük egyezik m eg.) E megállapítást kézenfekvő mechanikai kép­hez kapcsolhatjuk: Az érintkező testek közötti melegítés molekuláik rende­zetlen ütközései révén megy végbe; amig az egyik test molekuláinak átla­gos kinetikus energiája nagyobb, az ütközések gyakrabban vezetnek ezek energiaveszteségéhez és a másik test molekuláinak energianyereségéhez.

Gázok hőmérsékletének közvetlen kölcsönös melegítéssel való ki­egyenlítődése akkor következik be, ha közös edénybe kerülnek. Az ideális gázkeverék nyomása egyenlő az egyik és másik összetevő gáz molekulái ál­tal a falnak felület- és időegységenként átadott impulzusok összegével. Ha a keveredés és egyben a közös hőmérséklet beállta után a különböző töme­gű molekulák átlagos kinetikus energiája csakugyan egyenlő lesz, akkor azt kell várnunk, hogy a tényleges nyomás egyszerű összege annak a két nyomásnak, amivel külön az egyik és másik gáz rendelkezne ugyanilyen hő­mérsékleten, ha egyedül lenne az adott térfogatú tartályban. (Ez utóbbiakat parciális nyomásnak nevezzük.) Valóban, tapasztalati tény - Dalton törvé­nyének nevezzük - hogy gázkeverék nyomása egyenlő a parciális nyomások összegével, és ilyen módon arányos a teljes molekulakoncentrációval, füg­getlenül attól, milyen tömegű molekulák milyen arányú keveréke a tekintett gáz:

(4.7) p = nkT

- 207 -

P1 = nl kT

P2 = n2kT

(= 2nj <£*>)

(= 2n2 < £X >)

(4 .8)

P - Pj + P9 + . • • = (n + n2 + , . . ) kT = nkT, vagy pV NkT

ahol N = + N2 + . . . a V tartományban levő összes molekulák száma.

Az egymással termikus egyensúlyban levő testek minden transzlációs

szabadsági fokára átlagosan ugyanannyi — kT nagyságú — energia jut. Ez

az egyenletes osztozkodás vagy ekvipartició törvénye.- A gázkeverékekre vonatkozó (4. 8) gáztörvény alapján szokás a ke­

verékhez egy fiktiv móltömeget rendelni az

n. I n .M.m = Z — M- = — r H " (M- = m n- L>n x N í Oi

definíció alapján. (A tényleges móltömegek koncentrációkkal, vagy a teljes m öle kulasz ám okkal súlyozott átlaga.) Ezt helyettesítve a gáztörvény (2.5) alakjába, p, T, V, m között helyes összefüggést kapunk:

pV = 55TRT= w l r RT = N i S r RT = NkT-i i i ~ Oi

A levegő átlagos móltömege —lévén a molekulák 78%-a N , 21%-a O^, 1%-a egyéb, legtöbb ebből nemesgáz —

Mlev ~ 8 * 28 + 0i 2 * 32> g/mó1 ~ 29 g /m61. -

- 208 -

4.1 .3 Gázok fajhőjének értelmezése az ekvipartició alapján

Mivel egy molekula átlagos transzlációs energiája a három szabad­sági foknak megfelelően

/ 1 2 \ / l 2 1 2 1 2 x 2 mGV > - < í m0Vx +i “ oVy + ? moVz> =

(4.9)

= < 2 m0vx > + < l " V y > + < 2 ” oV! > = 3 < £ > ' | k T "

az ideális gáz belsőenergiájához a molekulák rendezetlen haladó mozgása

U = N . kT = '~ RT ~ tr. ~ 2 2

járulékot ad. A gáz AT-vel való melegedéséhez eszerint a transzlációs energia

AU = — R A T ~ tr 2

növekedése szükséges. De egyatomos gáz hőmérsékletének A T-vel valónöveléséhez összesen szükséges energia A u = C AT, és a tapasztalati

3 3 VCv = — R adat szerin t ez éppen — R AT! Ezek szerint, egyatomos gáz

molekuláinak másféle — a belső szerkezethez, ill. belső mozgáshoz tarto­zó — energiája nem változik a hőmérséklet növelésével, a hőmozgás heve­sebbé válásával; a betáplált energiát teljes egészében "kisajátitja" a mole­kulák haladó mozgása. Az egyatomos gáz molekulái (amelyek különálló ato­mok) teljesen merev gömbként viselkednek az ütközésekben, nem "rezegnek be ’, a belső szabadsági fokok nem vesznek rész t az energián való osztoz­kodásban.

- Ez meglepő kell, hogy legyen azok számára, kik m ár hallottak a r ­ról a tényről, hogy az atomból elektronokat lehet kiszedni, tehát van belső struktúrája. -

^M egragadjuk az a lk a lm a t, hogy (4.9) seg ítség é v e l k iszám oljuk , m ég is m ekkora se b e sség g e l m o zo g h a t- nak a m olekulák . A L o sch m id t-szá m é s a m ó lsu ly ism e re té b e n k iszám olva a m oleku lák töm egét, az

m = 3, 32 . 10 kg töm egű H m oleku la négyzetes á tla g se b e ssé g e 300 K h ő m érsé k le ten ] í< v 2 > =13kT _26

= y — - 1900 m /s ; a z m Q = 4 ,6 5 . 10 kg töm egű Ng m oleku láé ugyanezen a h ő m érsé k le ten

¡ < v 2 > - 520 m / s .

- 209 -

Hogyan magyarázhatjuk a kétatomos gázok izokór fajhőjének Cy =

= ^ R értékét? Elképzelést kell kialakítanunk arról, milyen is lehet egy

kétatomos molekula. Mig az atomot pici gömbnek (gömbszimmetrikusnak) gondoljuk, a kétatomos molekula rudhoz, vagy inkább talán súlyzóhoz ha­sonlíthat. De akkor forgási energiája is lehet. Az atom tömegének zöme, úgy látszik, kis helyen összpontosul, "majdnem pont?', annak forgási ener­giája nem lehet (legalább is akkora nem, hogy rész t vegyen az energián való osztozkodásban, hiszen ellenkező esetben az egyatomos gázok belső energiájából forgásra is jutna); de akkor a kétatomos molekulák forgási energiája is csak két független tengely körüli forgásból adódhat; az atomo­kat összekötő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték kb. akkora lehet, mint az atomoké, tehát nagyon kicsi, mig az e rre merőleges forgástenge­lyekre sok nagyságrenddel nagyobb, hiszen az atom-középpontok egymástól távol lehetnek. Végül is kimagyaráztuk, hogy-a kétatomos molekula három transzlációs energia-tagjához még két független tag járul, amelyekhez át­

lagosan szintén ^ kT energia tartozik, ti. a molekula atomjait összekötő

egyenesre he rőleges két fő tehetetlenségi tengely körüli forgás egyenkénti

< | V Í > = 2 kT

j áruléka. Tehát kétatomos molekulákból álló gázra

(4.10) U, + U „ = jj- RT + 2 . ^ RT = jf RT = C T,' ~ tr. ~rot. 2 2 2 ~ v

és igy érthető a fajhő tapasztalt értéke.

- Hogy a forgóm ozgás szabadság i fokai r é s z t vesznek az en e rg ián való o sz to z - kozdásban, m echanikai sze m lé le t a lap ján közvetlenül belátható: a lég p árn ás asz ta lon nyüzsgő korongok közé ö ssz ek ap cso lt ko rongpárokat is beengedve, ezek az ü tközések so rán fo rgásba is jönnek, a tra n sz lá c ió s en e rg iák ro v á s á ra . A zt nehéz inkább m agya­rázn i, m ié r t nem ju t fo rg ás i en e rg ia a h ossz tenge ly re , h iszen , b á r k ic s i a r á vonat­kozó teh e te tlen ség i nyom aték, m égsem nu lla . A p rob lém a anny ira komoly — az e le k tro n ­héj "p assz iv itá sá v a l" együtt —, hogy m egnyugtató m ego ldásának k e r e s é s é r e m ég v is s z a ­té rünk . -

- 210 -

4 .1 .4 Gázok szabadsági fokainak befagyásaés kiolvadása

A több, mint két atomból álló molekulák C mólhője — R-nél na-~v 2gyobb, eléri, sőt túl is lépi a 3R értéket. Itt az előzőek alapján 6 olyan szabadsági fokot várunk, amely rész t vesz az ekviparticióban. (A transzlá­ciós energiához tartozó 3 szabadsági fokon kiviil három tengely körüli füg­getlen forgásé.) Ahol pedig > 3R, a molekulát alkotó atomok rezgésére

gyanakszunk (vibrációs szabadsági fokok). Természetesen felvetődik a kér­dés, hogy a kétatomos molekuláknál m iért nem találjuk a vibrációs szabad­sági fokok jelentkezését a fajhő értékében.

A válasz áz, hogy elég magas hőmérsékleten megtaláljuk! A gázok faj­hői nem szigorúan állandók, hanem - nagyobb hőmérsékleti tartományt te­kintve — függnek a hőmérséklettől, másképpen mondva, a belsőenergia nem szigorúan arányos a hőmérséklettel. Figyelemre méltó, hogy a hőmérsék­let növelésével a fajhő sohasem csökken, csak növekedhet. Mintha a m ele- gitéssel egyre ujabb szabadsági fokok "olvadnának ki", olyan értelemben, hogy most m ár rész t vesznek az energián való osztozkodásban. Forditva, a hőmérséklet csökkenésével a fajhő csökkenhet, szabadsági fokok "fagy­nak be". (Ettől még a gáz elég jó közelítéssel ideális állapotú maradhat: ha a gáz sűrűsége kicsi, az ideálisgáz-törvény jól teljesül és a fajhő nem függ a sűrűségtől, ami azt jelenti, hogy a molekulák közötti kölcsön­hatás energiája még mindig elhanya­golható. ) A szabadsági fokok befa­gyását, ill. kiolvadását jól mutatja a H2 hidrogéngáz fajhőjének hő­

mérsékletfüggése, ld. 4.2 ábra.A görbét úgy értelmezhetjük, hogy elég alacsony hőmérsékleten a ro ­tációs szabadsági fokok befagynak, a magas hőmérsékleten megjelenő, két szabadsági foknak megfelelő faj­hő-növekedést pedig a vibrációs sza­badsági fokok kiolvadásának tulajdo­níthatjuk.

Hogy a kétatomos molekula rezgéséhez két szabadsági foknak megfe­

lelő 2 . kT energia tartozik, mechanikai meggondolással beláthatjuk: a

relatív (közeledő-távolodó) mozgás kinetikus energiája az ütközések révén felveszi a többi kinetikusenergia-tag átlagértékét, a potenciális energia időbeli átlaga pedig (ti. a két atom közötti kölcsönhatás energiájáé az egyen­súlyi helyzettől mint nullszinttől számítva) harmonikus rezgőmozgásban

5

4.2 ábra

- 211 -

egyenlő a kinetikus energia átlagértékével, igy ez is ^ kT. Egy rezgő rend­

szer (oszcillátor) tehát két szabadsági fokot jelent, összesen kT energiá­val. A kétatomos molekula belsőenergiájának vibrációs járuléka

(4.11) U .. = N . 2 . — kT = RT.' ~vibr. ~ 2

Ez az energiajárulék magas hőmérsékleten tényleg jelentkezik!Összefoglalva: a hőmérsékletet sikeresen értelmeztük a kinetikus

gázmodell alapján, azt találtuk, hogy a hőmérséklet arányos az egy transz­lációs szabadsági fokra jutó átlagenergiával. Megállapítottuk az ekviparti- ció törvényét - egyelőre csak gázokra —, amely szerint termikus egyen­súlyban levő testek molekuláinak minden transzlációs szabadsági fokára

átlagosan ugyanakkora, j kT nagyságú energia jut. Az ekvipartició tör­

vényét általánosítottuk is: az energia kifejezésében szereplő minden olyan független tagra, amelyben a hely vagy sebesség ( < = > impulzus) vagy szög- sebesség ( <=> impulzusmomentum) négyzete szerepel, szintén kT

energia jut átlagosan — ha csak a megfelelő szabadsági fok nincs befagyva. És hogy mikor van befagyva, arról egyelőre csak annyit tudunk mondani, a hőmérséklet csökkenésével egyre több fagy be. Mindenesetre a transzlá­ciós szabadsági fokok — amig a test gáz-halmazállapotban van — megma­radnak.

A gáz sűrűségének növelésével vagy hőmérsékletének csökkentésével a molekulák egymás közötti kölcsönhatási energiája egyre kevésbé elhanya­golható, a belső energiához ez is hozzájárul, egyre nagyobb hányaddal.Hogy mennyivel, a molekulák közötti kölcsönhatás potenciálfüggvényének konkrét alakjától függ. A reális gázok állapotegyenletének és belsőenergiá­jának elem zésére a molekuláris modell szemszögéből a 4. 4 pontban térünk vissza.

4 .2 Kondenzált testek

4 .2 .1 Szilárd test rugalmas viselkedésének atomos modellje

A kristályos szilárd testek (szilárdtestek) rugalmas viselkedésének értelm ezésére már a deformálható testek sztatikájának keretében alkottunk egy használható atomos modellt. E modell szerint az atomok a kristály rácspontjaiban levő egyensúlyi helyzetük körül rezgéseket végezhetnek, a

- 212 -

környező atomokkal való kölcsönhatás kialakította potenciálgödörben. A po­tenciálgödör meredekségét (a rezgést megszabó erőtörvény "rugóállandó­ját") összefüggésbe tudtuk hozni a makroszkopikus rugalmassági állandók­kal. Valamelyik kristálysikban levő molekulára a sik egyik oldalára eső szomszédai által összesen kifejtett huzó vagy nyomó (e sikra merőleges)

erőt a Young-modulusszal tudtuk kapcsolatba hozni: amikor a k ris- tálysikok az eredeti d távolságról d + x távolságra húzódnak szét, a r e ­

latív megnyúlás E = 7 ; a normális feszültséget kifejezve az egy atom-(1 ) „ 2 ra egyik oldalról ható húzóerővel és a rá jutó d területtel, a hú­

zás-összenyomásra vonatkozó Hooke-törvényből a

F ^e = —2— = E e = E j = » F (1) = Ed . x. n ,2 d na

kifejezést kaptuk.Hasonlóan, a nyirási alakváltozásban — amikor a kristálysikok egy­

m ással párhuzamosan csúsznak el x távolsággal — a tangenciális feszült­séget fejezhetjük ki az egy atomra az elmozduló sik egyik oldalán levő töb­

biek á 'tál összesen kifejtett, a síkhoz érintőleges F ^ erővel, amit a nyí­

rá s ra vonatkozó Hooke-törvénnyel kombinálva, a

F«>

S t - - V ' G r = > f W - G . d . xd

kifejezésre jutunk. (G a torzió-modulusz; az anyagok többségére 0, 3 E i ~ G ~ 0, 4E.)

Az egyensúlyi helyzetéből kimozduló atom az őt közrefogó hat sik kö­zül egyhez közeledik, egytől távolodik, néggyel pedig párhuzamosan moz­dul. A rá ható eredő erő akkor egy huzó, egy nyomó és négy nyiróerőből tevődik össze (mind egyirányú), tehát az egyensúlyi helyzetétől x távol­ságban

F (1) = -2Ex . d - 4G x d = -2 (E + 2G) x d. x

Ezek szerint a "rugóállandó"

D = 2(E + 2G) d,

- 213 -

a rezgés körfrekvenciája pedig

(4.12) co

Konkrét értékek néhány atomkristályos szilárdtestre a 4. 5.3 pont meggon­dolásaihoz kapcsolódó 4.1 táblázatban találhatók. (Az átlagos d atom távol­ságokat a mólsuly, a sűrűség és a Loschmidt-szám ismeretében meghatá­rozhatjuk. )

4 .2 .2 Szilárd testek fajhője

Az atomkristályos szilárd testekhez - az eddigi meggondolások szel­lemében — kristályrács-pontonként 6 szabadsági fokot, ennek megfelelően mólonként

(4.13a) U N . 6 . | k T = 3 L k T = 3RT

belsőenergiát és

(4.13) C = 3R -v ( ~ 25 mól K'

értékű mólhőt várunk, a kristályrácsban elhelyezkedő atomok ti. térben rezeghetnek, mozgásuk a három koordinátatengelynek megfelelő három füg­

getlen rezgésből tehető össze. (Egy rácsatom három oszcillá­tort je len t.) Valóban, a Dulong- -Petit-törvényben megfogalma­zott tapasztalat szerint, igen sok atomos kristály mólhője ek­kora. A szobahőmérséklet körül ennél lényegesen kisebb mólhő- jü szén (gyémánt, grafit) és szi­lícium esetében ismét a szabad­sági fokok befagyására gondol­hatunk; magas hőmérsékleten ezek is elérik a C ~ 3R érté­ket, ld. 4.3 ábra.

C {gyémánt}

¿oo ion eoo sva 1000 4.3 ábra

- A NaCl n ólhfíje C as 6R, am i m olekulánként 12 szabadság i foknak felel meg; ebből a r r a következtethetünk, hogy a k ő só -k ris tá ly b an a Na é s Cl atom nem szo ro san ö sszekapcso lódo tt, egységes egészkén t rezg ő párok, hanem egym ástó l függetlenül rezg ő atom ok (ionok) fo rm á jában vannak je len . -

- 214 -

A Dulong-Petit-törvény sok folyadékra is teljesül nagyjából, pl. a higanyra. Ez a rra utal, hogy a molekulák a folyadékban is rezgőmozgást végeznek az egyensúlyi helyzetük körül. Lényeges különbség a szilárdtes­tek és a folyadékok között ebből a szempontból az lehet, hogy a folyadék­molekulák rezgésközéppontja elvándorolhat, mig a szilárdtestek molekulái szigorúan — vagy legalább is szigorúbban — helyhez kötött pont körül rezeg­nek.

4 .2 .3 Egyszerű kép a kondenzált testek hőtágulásáról

A s z ilá rd te s te k hő tágu lásá t az atom ok közötti kö lcsönha tási potenciál a s z im m e t­rik u s voltával m a gyarázha tjuk . T isz ta parabolikus- po tenciá l (ideális rugóerő -tö rvény ) e s e ­tén az élénkebb hőm ozgássa l já ró nagyobb re z g é s i am plitúdó nem vá ltoz ta tna az atom ok egyensú ly i helyzetén , a 2 .1 áb ra s z e r in ti po tenciálgödörben rezg ő atom középhelyzete v iszon t a re z g é s i en e rg ia növekedésével távolodik a ta sz itó szom széd tó l, Id. 4 . 3a áb ra .

- E zzel az e g y sze rű képpel nem m a g y a rázh a t­ju k a v íz különleges v ise lk ed ésé t a 0-4 °C ta rto m á n y ­ban, ahol ti. m e legedésné l összehuzód ik . A m agya­rá z a to t későbbi tanulm ányainkban so r ra k e rü lő anyag- s z e rk e z e ti ism e re te in k gyarapodásával rem élh e tjü k m eg ta lá ln i. -

A gum i különleges v ise lk ed ésén ek m a g y a rá ­z a tá ra egészen m á sfé le m o d e llt e sze lhetünk ki. A gu­m i m o leku lá it c suk lósán ö ssz ek ap cso lt hosszúkás szem ekből álló láncnak képzelhetjük , am ely , ha nem rázkód ik , k is e rő v e l h o ssz ú ra kinyújtható, de ö s s z e - -v is s z a tekered ik , ha rázkód ik (hőm ozgás!), és a rázk ó d ás hevességének fokozódásával eg y re nagyobb e rő v e l le h e t a ké t végé t m egado tt távo lságban ta r ta ­n i. A g um izsinó r "m egken iényedési hosszát" (ld.1 .3 .2 pont) úgy é rte lm ezh e tjü k , m in t a te lje se n k i­e g y e n esíte tt m olekuláknak m egfelelő hosszúságot: to ­vább nyújtani m á r csak úgy lehet, ha az atom ok távo lsága változik a láncszem en belü l.

4.3 A Maxwell-Boltzmann-sebességeloszlás

4.3.1 Valószínűségi eloszlás, az eloszlás sürüségfüggvénye

Az előző meggondolásokban a molekulák kinetikus energiájának csak az átlaga szerepelt, ezt sikerült összefüggésbe hozni a hőmérséklettel. Nyilvánvaló azonban, hogy az átlagosnál kisebb és nagyobb energiájú mole­

- 215 -

kulák egyaránt előfordulnak az adott hőmérsékletű közegben. A rendszer­telen ütközések még akkor is hamarosan az átlagtól való eltérésekhez ve­zetnének, ha sikerülne a kezdeti állapotban azonos sebességűre beállítani a molekulákat. A nagyszámú véletlen ütközés a mozgásukban olyan fokú rendezetlenséghez vezet, amiben már rendet fedezhetünk fel: statisztikai törvényszerűségeket.

A következő kérdést tesszük fel: adott hőmérsékletű gázban ( < = > adott átlagos kinetikus energia mellett) milyen valószínűséggel várhatjuk, hogy egy találomra kiválasztott molekula a (v,v + AvI sebességtartomány­ba essen. Másképpen fogalmazva ugyanezt: igen nagyszámú molekulát meg­vizsgálva, milyen hányaduk esik ebbe a sebességtartományba. Hasonlóan, annak a valószinüségét is kérdezhetjük, hogy egy molekula egy sebesség­komponense a (v , v^ + Av^) tartományba essen (tekintet nélkül a többi se­

bességkomponens értékére), vagy hogy az ( £ , £ + A £ ) energiatartomány­ban találjuk, és igy tovább.

Jelöljük N-nel a megvizsgált molekulák számát, N(v, v + Av),N(v , v + Av ), N( £ , £ + A£ ) stb .-vei pedig azok számát amelyek az

X , X X

argumentumban jelölt tartományba esnek. A statisztika alapfeltevése, hogyANha elég nagyszámú egyedet vizsgálunk meg, elég jól meghatározott

érték: a "mintavételt" sokszor megismételve, mindig (majdnem) ugyanazt az értéket kapjuk.

- Az átlagtól való véletlenszerű eltéréseket nevezzük statisztikus in­gadozásnak. A mintavételek hol az átlag alatti hol a fölötti értéket adnak, az eltérések számtani közepe - az átlag definíciója szerint! - hosszú távon nullához tart. A statisztikus ingadozásnak alkalmas mértéke az átlagtól való eltérések abszolutértékeinek átlaga, vagy. inkább - az egyszerűbb al­gebrai kezelhetőség miatt még alkalmasabban - az eltérések négyzeteinek átlagából vont négyzetgyök, szokásos nevén az eltérések négyzetes átlaga ("root mean square"). A statisztikus ingadozás e mértékének relatív é rté­ke a minta egyedszámának korlátlan növelésével nullához ta r t - ha már csakugyan kialakult a teljes rendezetlenség. -

Annak valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott molekulát a (v, v + Av) sebességtartományban találjuk, definíció szerint

(4.14) P (v, v + Av)= lim — 1 V —N -»• oo

ANJelentése: az a szám, amely kórül a - — relatív gyakoriság ingadozik.

Nyilvánvaló, hogy a P valószínűség a [0,1] intervallumba kell, hogy essen.

- 216 -

A molekulák sebesség szerinti eloszlását olyan módon adhatjuk meg, hogy a sebességtengelyt véges Av^ szakaszokra osztva, megmondjuk, a molekulák milyen hányada rendelkezik éppen oda eső sebességgel. K ísérle­tileg pedig úgy határozhatjuk meg ezt az eloszlást, hogy egy elég nagy mintában megszámoljuk az egyes intervallumokba eső molekulákat - abban a reményben, hogy másik mintában is, a gáz összes molekulái között is kb. ugyanolyan hányad jut a megfelelő intervallumba. Az eredményt hisztogram- ban ábrázolhatjuk, a molekulaszámmal arányos magasságú téglalapokatemelve a Av. szakaszok fölé. A Av intervallumok szűkítésének csaki igyakorlati határa van: véges mintából készítve a hisztogramot, úgy célsze­rű választani a .dvj-ket, hogy egy-egy intervallumba még elég sok egyed essen, különben túl nagy lesz a statisztikus ingadozás. Végtelen nagy egyed- számu minta határesetében a Av.-kel nullához tarthatunk, és az így é rte l­mezett

határérték mint v függvénye kimerítően jellemzi a sebesség szerinti el­oszlást. Az f(v) függvényt a sebességnagyság szerinti eloszlás sűrűség­függvényének nevezzük.* (4.15) mintájára értelmezzük a sebességkompo­nens, energia stb. szerinti eloszlás ¿(v^), f( £ ) stb. sűrűségfüggvényeit.

Az eloszlás sűrűségfüggvényének ismeretében tetszőleges sebesség­intervallumba kerülés valószínűségét (az ott találás relatív gyakoriságát) kiszámolhatjuk. A (4.15) definíciós egyenletet közelítő egyenlőségként al­kalmazva véges, de kicsi Av-re és véges, de nagy N-re, a mondott való­színűséget a

formulából kapjuk, tetszőlegesen nagy sebességintervallumhoz tartozó re ­latív gyakoriságot pedig integrálással,

(4.15)

(4.16) P(v, v + Av) s: f(v) Av ~ AN(v, v + A v)N

v,2

v.1

A m atem a tik a i s z a k n y e lw e l ütközve, a fiz ik a i szövegekben az e lo sz lá s sűrűség függvényé t e lo sz lá s fü g g -v

vénynek is szok ták nevezni. A m atem atik áb an pedig ez utóbbin az J f(v)dv függvényt é r tik !- oo

- 217 -

Az eloszlás sűrűségfüggvényének értelmezéséből következik - és közvetlenül (4.17)-ből is látható hogy

oo(4.18) [ f(v) dv = 1 (= P (0, oo )).

Ez a normálási feltétel azt fejezi ki, hogy a találomra kiválasztott moleku­la sebessége biztosan beleesik a (0, oo ) intervallumba. (P = 1 valószinü- ségü esemény a biztosan bekövetkező esem ény.)

Analóg összefüggések teljesülnek más fizikai mennyiségek szerinti eloszlás sűrűségfüggvényére is.

A sebességtől függő bármilyen fizikai mennyiség átlagértékét a kis sebességintervallumokhoz tartozó egyedszámok szerinti számtani közepe­léssel kapjuk, pontosabban pedig ebből a Av, —»■0 határátmentettel. A ki­netikus energia átlagértéke például

1 2 > - m v. ANIv,, v. + Av.)/ C- \ . ■ 2 o i 1 1 1 \ £ > = lim -----------------------------------------=

Av.-O Nl oo.. y i 2 . . f i „ 2lim Z— ~lim - m v. f(v.) Av. = / - m v f(v) dv .. 2 o i i i 2 oAv.-»0 Ji o

Hasonlóan, az egy szabadsági fokra jutó kinetikus energia

oo

<^£(x) n> = f i m v“ f(v ) dv .J 2 o x x x

így átlagoltunk a 4.1 pontban, a (4.1) egyenlethez vezető gondolatmenet so­rán, csak ott megelégedtünk a közelitő összeggel. (Az ottani

An az itteni AN(v , v + Av ) -nek - - szeresét je len ti.)l A A1 XI V

4.3 .2 Mechanikai testek sokaságának sebességeloszlása

A megfogalmazott uj mennyiségek és átlagolási eljárások gyakorlá­saként meghatároztuk egy légpárnás asztalon nyüzsgő korongsokaság sebes­ségeloszlását. A korongok ütközései nem tökéletesen rugalmasak, ezért az

- 218 -

állandósult rendezetlenség fenntartásáról külön kellett gondoskodnunk oly módon, hogy az asztal határoló peremét váltakozó árammal táplált elektro­mágnes segítségével állandó rezgésben tartottuk. (A korong-sokaság alkot­ta "gázt" így "melegen tarto ttuk".) Az egyes korongok sebességét megha­tározott megvilágít ási idővel készült fényképekről mertük le. v a fényké­pen látható nyomhosszusággal, és v ennek meghatározott vetületeivel

arányos. A sebességnagyságra, valamint a sebességkomponensekre vonat­kozó hisztogramokat többszáz egyedet tartalmazó mintából rajzoltuk meg: az eloszlás időbeli állandóságában bizva, a húsz korongról egymás után készült több felvételről gyűjtöttük össze az adatokat. A felvételek nem mu­tatják a sebesség irányát, (vö. 5.1 pont!), igy a sebességkomponensekre vonatkozó hisztogramoknak csak a pozitív féltengelyre eső felét rajzoltuk meg (1. 4.4 ábra), kihasználva, hogy v és -v előfordulásának való­színűsége egyenlő.

A kapott hisztogramokra jól illenek az

2-Kv(4.19) f(v ) = Ce

-Kv2(4.20) f(v) = C ’e

görbék, ugyanazzal a K együtthatóval a kitevőben. A C és C’ együttható viszont különböző, értéküket a (4.18) normálási feltétel határozza meg:

- 219 -

oo 2 -Kv(4.21) C = 1 / í e * dv ,

/ 01■v/ x

oooo

(4.22) C’ = 1 / I e KV . vdv ./•

Semmi okunk sincs feltételezni, hogy az egymással és az edény falá­val rendszertelenül ütköző gázmolekulák sebességeloszlása lényegesen különbözne a rendszertelenül ütközgető makroszkopikus testek sebesség- eloszlásától. Mindkettőt a rendezetlenség ténye, valamint az impulzus- és energiamegmaradás törvénye szabályozza. (Kis különbséget jelenthet csu­pán, hogy az utóbbit csak a rázkódó fal energiabetáplálásával sikerült átla­gosan biztosítani, és hogy a korongok viszonylag nagyobb helyet foglalnak le saját térfogatukkal az "edényből", mint a gázmolekulák.) Megalapozottan feltételezhetjük tehát, hogy a gázmolekulák sebességeloszlását is a (4.19) sürüségfüggvény irja le. (A (4.20) függvényről be fogjuk látni, hogy (4.19) logikai következménye, és a síkbeli korongeloszlás (4.20) alakja a térben

-Kv2 2mozgó molekulák sebességnagyság szerinti eloszlásánál C’ e . v -re m ódosul.)

4 .3 .3 Matematikai kitérés a Gauss-függvény kezelésére

A továbbhaladáshoz szükséges , hogy bánni tudjunk a (4 .19 ,20 ) alakú függvények-2

k el. Á tlagok k iszá m ításán á l gyakran e lőfordul az e G auss-függvénynek és az2

x e alakú függvénynek az in teg rá lja .n = p á ro s ese tb en ezek p rim itív függvénye nem fe jezhető ki e lem i függvényekkel.

Ki tudjuk azonban szám oln i a (0, oo ) vagy (-co, oo) in tervallum on v e tt ha tá ro zo tt in teg ­rá lju k a t, é s ez az alkalm azásokban leg többször elegendő le sz . Az

oo

-oo

hatá ro zo tt in te g rá lt k iszám oljuk a következő feladathoz kapcsolódva: K eressü k a

függvénnyel m egadott domb té rfo g a tá t. (A domb a vég telen x, y síkon fe k s z ik .)

- 2 2 0 -

1. m egoldás: Az x, y s iko t az x -tengellye l párhuzam os, A yj s zé lesség ű cs ík o k ra

sze le te ljük ; egy e s ik fö lö tti dom b-darab té rfogata közelítő leg

^ o 2 9 ^ 2f -(x + y j -y . f _x2 -y .

i y , / e d x = e A y^ l e dx = e Ay^I ,

- oo - oo

az egész dombé pedig ezek szum m ájának A y. —► 0 h a tá ré rté k e ,

oo2

té rfogat = I

-o o

2. m egoldás: Az x, y s iko t koncentrikus körgyűrűkre szabjuk, és igy

2" r - f - 2 r - 2 i ° °

té rfogat = lim X 2 J Í r .e 1 A r . = Jt J 2 re r d r = Jt j^-e r J = JC.A r . - O i

A két m ego ldást ö sszehason lítva ,

/ e x dx = Í X éti J ( 2lv = -

2- O O 0

2(e p á ro s függvény!)

2Az x e függvények in te g rá ljá t e r r e v isszaveze the tjük a következő ö tle tte l: a

2 2 2 d . n-1 -x . , n-2 -x n -x—- j j - (x e ) = (n - 1) x e - 2x e (n > 1)

azonosság m indkét o ldalának h a tá ro zo tt in te g rá ljá t véve a (0, oo ) in tervallum on , a bal

n-1 -x 2olda l-p rim itiv függvénye x e , m ind a felső , m ind az a lsó határon nullához ta rt.így

oo

'/■*2 r 2-x , n-1 / n-2 -x , e dx = —- — I x e dx.

7 -x 2 f -x 2E zt a re k u rz ió s fo rm u lá t so rozato san alkalm azva, végül / e d x -h e z v a g y I xe dx-

0 0 hez jutunk, am it m á r ki tudunk szám oln i. Néhány gyakran e lőforduló hatá ro zo tt in teg rá l értéke:

- 221 -

4 .3 .4 A sebességkomponensre és sebességnagyságra vonatkozó Maxwell-Boltzmann-eloazlás

1 2Első alkalmazásként kiszámoljuk az ~ mQ v^ energiajárulék átlagát:

oo 2f 2 -Kvx

oo 9 /v e dv-Kv2 J X2 x . l - o ov c e dv = - mx x 2 o oo 2

-Kv

/ e x dvxoo -oo

•21 í r 2 - 5

¿ ¡ A J 5 e d ?

= | mo------------- - 4K-- 5

K1^ -o o

De a 4 .1 .1 pontban megállapítottuk, hogy a molekulák egy transzlációs szabadsági fokra jutó átlagenergiája

Ez a sebességkomponensre vonatkozó Maxwell-Boltzmann-féle sebesség­eloszlás sűrűségfüggvénye. Mivel a molekulák mozgásában nincs kitünte­tett irány (különben a mozgás nem lenne teljesen rendezetlen), a v és v^ sebességkomponensre vonatkozó eloszlás ugyanilyan alakú. y

Mint m ár megjegyeztük, a sebességnagyságra vonatkozó eloszlás sürüségfügg- vénye következik a sebességkomponensekre vonatkozó eloszláséból. Kövesstlk ezt előbb a légpárnás korongok sikbeli, kétdimenziós sebességeloszlásán. Határozzuk meg elő­ször, hogy a korongi* milyen hányada tartozik a (v , v + ¿ v ^ ) és ugyanakkor a

(v , v , + Av ) intervallumhoz. Ez egyszerűen ayj yj yJ

AN(v ,, v . + A v ) AN(v ,, v + A v .)---------* ----------- — *f(v .). Av és -------- ^ ^ a; f(v .) A v . hányad

n xi xi n yj ylszorzata. (Ha minden ötödik molekula rendelkezik 50 és 80 m /s közötti v sebesség­komponenssel és minden tizedik 70 és 90 m /s közötti v -nal, akkor átlagX minden ötve­nedül molekula olyan, hogy 50 m /s < v^< 80 m /s és Ugyanakkor 70 m /s < vy < 90 m /s

teljesül r á . ) Akkor pedig v és v + A v közé a molekuláknak

2 2 m v m v .o xi o VI

f(v) A v « ¿E C e 2kT A v , . C e 2 kT A v =l.J yj

2 2 m (v . + v .)9 ...yj

2 kT

hányada fog esni. ahol a szummázás azon i,J értékekre te rjed ki, amelyekhez ta r ­tozó A v . . A v . téglalap a (v, v+ Av)xi yjkörgyűrűbe esik. ( A v^. - t és A v - t gon­

doljuk a kis Av -nél is sokkal kisebbnek,1. 4. 5 á b ra .) Mivel A v kicsi.

-K(v2 . + v2.)Xl yj _

2 -Kv2 / A v . Av - (4.26) f(v) A v s C e ^ xi yj

, -Kv2= C e . v A v,

amit bizonyítani akartunk. ( 5 ! A v Av i .j YJ

4. 5 ábra

s; 2 JTv . A v a körgyűrű területe!)

- 223 -

A térben mozgó molekulákra a meggondoláson annyit kell módosítani, hogy a három tényező szorzatából összeálló valószínűségeket nem a sebességsik körgyűrűjére, hanem a sebességtér gömbhéjára szummázván, a 21tv tényező helyett 4 "xv járu l az exponenciális kifejezéshez.

A molekulák sebességnagyság szerinti eloszlásának sürüségfiiggvénye

2

(4.27) f(v) = C e 2kT . v 2 ,

1. 4. 6 ábra.A molekulák teljes transzlációs kinetikus energiájának átlaga

oo m0v2

2 2kT 2/ ’ dv

0m2 o 2 o 2oo m vo

2 ~ 2 kT J v e dv

0oo

2

d f

1 2 kT 0 = “ m | kT = 3<f ^ m v2 > = 3 < £ (X)> ,2 o m °p „ 2 2 o x2 - ? 2

0

amit vártunk is, hiszen ezt az eredményt előlegezve számoltuk ki az ideális gázok belsőenergiájának transzlációs járulékát.

- 224 -

4 . 3 . 5 A S tern -k isérlet

A molekulák sebességeloszlásának közvetlen m érésé t e lőször Stern végezte el (1920 körül). K ísérleti e lrendezését a 4 .7 ábra m utatja. Vá­kuumkamrában izzitott ezüstdrótból kipárolgó atomok a drótot körülvevő hideg henger belső falán lerakódnak; az izzó drót és a felfogó henger között még egy henger helyezkedik el, amely az ezüstatom okat csak egy keskeny r é ­sen engedi át, igy a külső hengeren elég hosszú idő múlva vonalszerű ezüst- csik jelenik meg - ha a külső és belső henger áll. Amikor viszont mindkettő nagy szögsebességgel forog (egyenlő szögsebességgel), az ezüstatomok csak akkor csapódnának be az előbbi vonalba, ha végtelen nagy sebességgel repülné­nek; ténylegesen az előbbi vonaltól tá­volabb érkeznek a külső hengerre , még­pedig a kisebb sebességű nagyobb e l- 4 .7 ábra m aradással. Végeredményben változórétegvastagságú, elmosódott ezüstsáv alakul ki a henger falán, amelynek vastagságeloszlásából v issza lehet számolni az ezüstatomok sebesség­eloszlását. A k ísé rle t eredménye sze rin t az izzó fémből kipárolgó atomok csakugyan a M axwell-Boltzm ann-eloszlást követik.

Stern k ísérle tének eredm ényében különösen figyelem re méltó, hogy az ezüst-atom ok a sebességeloszlásukat még a fém belsejéből örökölték, hiszen a vákuumkamrában repültükben elhanyagolható valószínűséggel üt­köztek egym ással! A (4.25) és (4.27) sebességeloszlás ezek sze rin t nem­csak a gázmolekulák transzlác iós sebességére teljesü l, hanem a sz ilá rd ­tes t atomjainak rendezetlen rezgőm ozgására is!

Különböző tömegű molekulák ke­verékében mindegyik m olekulafajtára kialakul az adott hőm érsékletnek és a molekulatömegnek megfelelő eloszlás; az átlagos kinetikus energ ia - az ekvi- partic ió törvényének megfelelően - ki­egyenlítődik, az átlagsebesség ennek megfelelően különböző lesz , a nagyobb tömegüeké kisebb, a tömegek négyzet­gyökének arányában. A sebességelosz­lás sűrűségfüggvénye a kisebb seb essé ­gek felé tolódik el, 1. az 1 :2 töm egará- nyu korongokból álló "gázkeverékre"

4. 8 ábra vonatkozó 4. 8 áb rát. A sebességelosz­

- 225 -

lások ilyen viszonya tetszőleges tömegű összetevőkre kell, hogy te ljesü l­jön, igy a vizmolekulák és a B row n-szem csék keverékére is. A Brown- részecskék tehát nem csak jelzik a hőmozgást, hanem maguk is hőmozgást végeznek! Az ő kinetikus energiájukra is teljesü l az ekvipartició törvénye, az

< E > = | m < v 2 > = 3 . | k T

form ula. Ez módot ad a k Boltzm ann-állandó k ísé rle ti m eghatározására, ami a L oschm idt-szám m eghatározását is jelenti.

4 .4 Koncentrációeloszlás erőtérben

4 .4 .1 A barom etrlkus m agasságform ula m olekuláris érte lm ezése

Feltételeztük, hogy az ideális gáz molekulái két ütközés közben sza ­badon repülnek. Nagy m agasságú gáztartály esetében azonban «z még akkor is ro ssz közelítés lehet, ha a m olekuláris kölcsönhatás elhanyagolható, m ert a m olekulákra a grav itációs erő is hat. Emlékezzünk a 2. §-ban fe l­te tt k é rd ésre : "M iért nem esnek le a m olekulák?" Azt mondtuk, azért, m ert állandóan mozognak. Ez igaz, de m égis várhatjuk, hogy a molekula­koncentráció lent (az alacsonyabb potenciálú helyen) valam ivel nagyobb lesz, m int fent.

- M odellkísérlet: A 2 .2 ábrán szerepelt "rázógép" golyói közül nem jut el mind az edény tetejéig: amelyik egy m eghatározott értéknél kisebb függőleges sebességgel in­dult, a tető e lé rése előtt v isszahall. -

Számoljuk k i a M axw ell-B oltzm ann-sebességeloszlásra támaszkodva, hogy a z q = 0 szinten nQ molekulakoncentrációju ideális gáz molekulái

közül hány molekula é r i el a z m agasságú szintet g ravitációs erő térben.A szám olásnál ügyeljünk a r ra , hogy a molekulaáram sebességeloszlása különbözik az adott térfogatban levő molekulák f(vz ) sürüségfüggvényü se ­

bességeloszlásátó l: adott z = áll. sikon fe lü let- és időegységenként átjutó olyan molekulák szám a, amelyeknek a fe lü letre m erőleges sebességkompo­nense a (v , v + A v ) intervallum ba esik (vö. 4 .1 .1 pont), z z z

- 226 -

A j(z; v , v + Av ) « v A n (z; v , v + A v ) « z z z z z z z

2 9m v m v

C n(z) e 2 kT vz A vz * ^ - n ( z ) e 2 kT A (- j2 v2) =o

= C’ n(z) e kT A £ ,

1 2ahol n(z) a molekulakoncentráció z magasságban, uí. az £ = — mQvz

kinetikusenergia-járu lék A v^-vel já ró megváltozása

'Hl gy fll p rt n 1 ni

A e - A < - f V = “r [ (Vz + Avz) - vz ] ^ ^ (2vz Avz ) =

= m v A v , o z z

és változóul m ost m ár inkább az egyszerűbbnek bizonyult kinetikus energiát választva,

.kT

A j (z; £ , £ + A e ) = C’ n(z) e A £ .

Az adott sikon időegységenként áthaladó molekulák kinetikus energia szerin ti eloszlása örvendetesen egyszerűbb alakú a M .-B .-seb esség e lo sz lásn á l: a sűrűségfüggvény az £ változónak tisz ta exponenciális függvénye.

A z m agasságú sikot azok és csak azok a molekulák é rik el, am elyek-1 2nek £ = ~ mQ v^ energ ia-járu léka a z = 0 sikon legalább mQgz nagysá­

gú volt (a többi még előbb visszahull); ezek kinetikus energiája pedig egy­ségesen mQgz értékkel csökken: a 4 .9 ábra felső görbéjének £ = mQgz -

nél elvágott farka ba lra tolódik egységesen mogz-vel, és változatlanul

exponenciális m arad (alsó görbe a 4 .9 ábr?p), csak az eredetihez képest

kTmindenütt e szorzóval zsugorítva. így

m zg okT

A j(z ; £ , £ + A £ ) = e • Z1 j (0; £ ,■ £ .+ A £ )

227 -

m.9* e ‘*>

Következésképpen a m olekulakoncentráció is ugyanilyen fak to rra l kisebb lesz,

mogzkT(4.29) n(z) = no e

De ez éppen a barom etrikus m agasságform ula! Az utóbbinak a fenomeno- lógikus aerosztatika törvényeiből levezetett

?ogz

n(z) = nQ e Po

alakját ugyanis átírva úgy, hogy m olekuláris adatok szerepeljenek benne (Po = nQkT, q^ - n ^ m0 ), éppen a (4.29) függvényt kapjuk.

Meggondolásunk érvényességét nem rontja, ha figyelembe vesszük a molekulák egym ással való ütközéseit, hiszen a molekulák átlagosan úgy cserélnek energiát, hogy az adott hőm érséklethez tartozó sebességeloszlás m eg m arad ja M .-B .-e lo sz lá s éppen a véletlen ütközések révén kialakuló állandósult e lo szlás . Ha egy molekula ütközés nélkül eljutott volna az adott z m agasságig, de egy másikkal való ütközésben lefékeződött, akkor helyet­te a m ásik fog eljutni.

4 .9 ábra

- 228 -

- A részecskekoncentráció külső erő té r okozta helyfüggését megfigyeltük a lég­párnás korongok sokaságán is, amikor az asztal síkját k issé ferdére állitottuk. -

- A barom etrikus magasságformula értelm ezésével a gázok hidrosztatikai nyo­másának molekuláris értelm ezését is megtaláltak: azé rt nagyobb a nyomás lent, mint fent, m ert ott nagyobb a molekulakoncentráció. -

Figyeljünk fel arra, hogy a sebességeloszlás nem változik a magas­sággal. Bár magasabb szintre csak az eredetileg nagyobb kinetikus ener­giájú molekulák jutnak el, a sebességük közben lecsökken annyira, hogy az átlagos sebesség és az átlagos kinetikus energia értéke változatlan marad.

Az erőtérben kialakuló koncentrációeloszlás levezetésénél nem hasz­náltuk fel, hogy az erőtér homogén, azaz hogy a potenciál lineáris függvé­nye a magasságnak, csak-aktuálisan ilyen potenciál szerint vágtuk le a mo­lekulaáram eloszlásának a farkát. A (4.29) eredmény bármilyen helyfüggé- sü potenciális energiára teljesül a következő általános alakban: ha a mo­lekulák potenciális energiája a 2. helyen A u = u0 - u -val különbözik az

1. helyen felvett értéktől, a molekulakoncentráciők között - és egy moleku­lára vonatkoztatva, az itt és ott találásának valószinüsége között - az

(4.30) kT

összefüggés teljesül.

4 .4 .2 A Van dér W aals-egyenlet értelm ezése; reális gázok belsóenergiája

Alkalmazzuk a kapott eredményt reális gázok egy leegyszerüsitett m odelljére.A potenciált itt egy m olekila szám ára a többi molekulával való kölcsönhatási energiája jelenti. A tartály belsejéből az edény falához jutó molekula potenciálja megemelkedik, hiszen ott kevesebb szomszéd veszi körül (vö. 2. 4 pont, a felületi feszültség é rte lm e­zésénél szerepelt hasonló gondolatmenet). A hatásgömbben tartózkodó molekulák szám a arányos a koncentrációval, igy ezzel arányos a potenciálgödör mélysége is,

(4-3!) Ubent = - P n-

A fal m ellett viszont kb. feleannyi m ásik molekula esik a hatásgömbbe,

A A“falnál ‘ 2 " Ubent 2

De akkor (4.30) értelm ében a koncentráció a fal m ellett a belső n koncentrációnál ki­sebb,

li n2kT „ [in

- 229 -

lesz. (Feltételeztük, hogy fi n « k i , azaz az átlagos potenciális energia sokkal k i­sebb az átlagos kinetikus energiánál.)

Mivel a fa lra gyakorolt nyomást a fal menti koncentráció szabja meg, a (4.7) egyenletben szereplő n helyett n’ - t kell Írnunk,

p = n’ kT = n (1 - - | ^ r ) kT - nkT - — — = — kT - — ,

vagy

, \( p + ----- t— V = N kT. (N = n V!)\ 2 v ^ ~

R

Vegyük még figyelembe, hogy a molekulák saját térfogata lefoglal valamennyit az edény térfogatából, kevesebb hely marad szabad repülésre. írjunk ezért V helyett V-b-t, ahol b a molekulák saját térfogatával arányos mennyiség. Így a Van dér Waals- egyenlethez jutunk:

(P + ~T~) (V -b ) = RT v2

a 2 ,ahol b és a = y N a gáz anyagi minőségétől függő állandó.

A molekulák közötti potenciális energia járuléka a belsőenergiához mólonként

fi M2 a

<4-32) t v.d .w. = - 2 = - l f ~ = - “ v ’

ami pedig a fojtási kisérlet kapcsán empirikusan talált kifejezéssel egyezik. (Aj ~ té­

nyező a (4. 32) formula felírásában azért szükséges, m ert az egyes molekuláknak a töb­bivel való párkölcsönhatási energiáit szummázva, minden energiatagot kétszer vettünk figyelembe, ti. mindkét partnernél.)

N /3N2

4. 5 Boltzm ann-eloszlás oszcillátorokra; Planck hipotézise

4. 5.1 O szcillátor-sokaság energ iaszerin ti e loszlása

Egyelőre elfelejtkezve a szabadsági fokok befagyásának lehetőségé­rő l, feltételezzük, hogy a kétatomos molekulák és a k ris tá ly rács pontjai­ban levő atomok rezgőm ozgást végeznek, am elyre teljesü l a M .-B .-s e b e s ­ségeloszlás. Minden oszcilláto r kinetikus energiájához potenciális energia is já ru l, és a két energiatag között állandó átalakulás folyik úgy, hogy a kettő összege,

I2(4. 32) \ m v2 + | Dx2 = — \ Dx2 = £ .2 o x 2 2 m 2

- 230 -

állandó m arad, amig egy m ásik molekulával való kölcsönhatás (ütközés) ezt meg nem változtatja . C élszerű ezé rt az oszc illáto r kinetikus és poten­c iá lis energiáját összevontan kezelni, és a te ljes o szcilláto r-energ ia sze­rin ti e loszlás sürüségfüggvényét m egkeresni.

A sebességkomponensre teljesülő eloszlás sürüségfüggvényét Írjuk inkább át a— vele arányos - impulzuskomponens szerinti eloszlásra (ami csak annyit jelent, hogy a kinetikus energiát impulzussal fejezzük ki, és tudomásul vesszük, hogy más lesz a normálási konstans értéke),

a hely szerinti eloszlás sürüségfüggvényét pedig az oszcillátor potenciális energiájának megfelelően, az általános (4.30) eredményt alkalmazva

alakban vehetjük fel. (Kétatomos molekuláknál x az atomok tömegközéppontjának távol­ságát, a szilárdtest atomjainál az egyensúlyi helytől való távolságot jelenti.) Ezek is ­meretében feleljünk a kérdéf re: az oszcillátorok milyen f(£ ) i £ hányada esik az (£ , t *A£ ) energiasávba. A sebe sségnagyság szeriúti eloszlás (4.26) formulájához vezető gondolatmenetét ismételjük meg:

(4.33) 2 m kT . ° >

(4. 34) f2(x) = C" e 2kT

I2x,

C’ e 2kT A x. =

£

ahol a szumm ázás azon i, j értékekre terjed ki, amelyekhez tartozó A x. . A I tég­lalapok az x, 1 fázissikon az J Xix.í

és

£ + A £

- 231 -

ellipszisek közrefogta gyűrűbe esnek, tehát /L A I A x. az e llipszis-gyűrű területe.i , j * i J

Az E ill. £ +A£ energiához tartozó ellipszis területe a 4.10 ábrán feltüntetett fé l-ten ­gelyek ism eretében kiszámolható,

belső terü let = a . b Ji = ^ 2 Z C ^ £ ,

. . 2 fi külső terü let = a . b J t = — — ( £ A £ ),

gyürü-terület - ^ A C .

4.10 ábra

Az oszcillátorok energia szerin ti e loszlását tehát a

_ JLk T 2 k T

(4.35) f( £ ) = C e ( <= f( £ ) A £ = — C’ C" e A £ )60

sürüségfüggvény irja le; a C norm álási tényező a

ooVT

(4.36) C / e ' d£ =1/0

norm álási feltételből határozható meg legegyszerűbben.

- 232 -

Az oszcillátorok átlagenergiájára a (4 .35) sűrűségfüggvénnyel

oo

íe e

(4.37) < e > =

kT d e[ -

kT ,, 2 £ kT e - (kT) e kTOO

/e kT d£ - kT e kT

kT

adódik, egyezően azzal, amit az ekvipartició törvénye sze rin t a két sza­badsági fokra vártunk, és igy egyezően a tapasztalati D ulong-Petit-tör- vénnyel (három tengely menti rezgés, atomonként 3 oszc illáto r, összesen 6 szabadsági fok), valam int a kétatomos gázok kiolvadó vibrációs szabad­sági fokaira tapaszta lt többlet-belsőenergiával.

4 .5 .2 Kvantált energiájú oszcillátorok

A (4.37) átlagot a közelitő összeg direkt szum m ázásával is kiszám ol­hatjuk. Vegyünk fel ehhez A £ = egyenlő energiaintervallum okat, és

f . = j t J o

d iszk rét energiaértékeket. A (4.37)-ben szereplő integrálok közelitő ösz- szegét akkor elem i utón kiszám olhatjuk,

'O'n w

(4.38)

i£ c _ _ .I 6 kT £ - £ I ( . k T ) ’ . £ Io o . \ / o . 1- xj-o j - y - )

(m értani so r!) és

I , £ 1 /J o o o .j=0 J

Ennek a sornak az összegét Jis kiszám olhatjuk, egy k is ügyeskedéssel m ér­tani so r összegére visszavezetve:

- 233 -

X jx^ = 0 + x + x2 + x 3 + ___ = X + X2 + . . . .

j=0 1_x 1_x2 3 + x + x + ___

3+ x + ___

x .. 2 x= — ( i + x + x +■• • ) =— j

(l-x )

így __ { £ okT

l u o J 6 E o ” kT(4.39) < £ > ----------- — ----------- = £ - 5 - = £ — £

j £ o 1-x o c_ O c okT e " kTe t 1 - e o

o

kTe

kT ^ oA* £ energiaintervallum m al nullához tartva , e « 1 + -— , éso kT

< £ > = kT ,

am i az előbbi eredm ény.

lal nem tartunk nullához? Ha nem ta r thatunk nullához, m ert a term észet olyan, hogy az atomi rezgések nem lehetnek akárm ekkora energiájuak, ha­nem csak egy m eghatározott alapérték többszörösei (1. 4.11 ábra). Igaz, hogy a k lasszikus mechanika törvényei szerin t egy rezgő rendszer energiá­ja bárm ilyen k is értékkel változhat, de nem lehetünk benne biztosak, hogy az atomi kölcsönhatások pontosan úgy viselkednek, ahogyan a nagyméretű testeknél tapasztaltuk. Próbaképpen számoljuk ki, mi adódna ez esetben a belsőenergia és a fajhő vibrációs járu lékára a "nyers" (4. 39) eredm ény­ből, rácsatom onként 3 oszc illá to rra l számolva:

- 234 -

U = 3N < e > = 3 N kT

*-okT = 3 RT

_£okT

_£okT - e - 1

au(4.40) dU = Cv dT =>Cv = = 3 R / kT

2 Í 2 \ kT

Ha a hőm érséklet olyan m agas, hogy kT » £ , azaz £ / k T « l ,— o o1 2kT ^oakkor az e s í 1 + -jpp közelítéssel élhetünk, és

U .. = 3 RT,~ vibr

c .^ .= 3 R .~ vibr

ugyanazt az eredm ényt kaptuk, mint am ikor í z oszc illáto r energiája foly­tonosan változhat. Ha viszont a hőm érséklet olyan alacsony, hogy k T « £ q,

kTakkor £ qA T » 1 , az e tag m ellett az 1 elhanyagolható, és a

~ )2 k T /C = 3 R~V £ o

kT

- 235 -

határértéket kapjuk. (Az exponenciális az £Q/k T -► oo határátmenetben

sokkal gyorsabban ni;, mint £Q/kT bármilyen hatványa.)

Úgy látszik, megtaláltuk a nyitját a szabadsági fokok befagyásának: annak következménye ez, hogy az atomi rendszerek energiája nem lehet bármilyen értékű, és ennek megfelelően atomok vagy atomi rendszerek energiát csak meghatározott adagokban, kvantumokban vehetnek fel vagy adhatnak le. Az energiaállapotok kvantumossága akkor mutatkozik észre­vehetően a közeg termikus viselkedésében, amikor a hőmérséklet olyan alacsony, hogy kT összem érhető az első gerjesztett állapot energiájával (vö. 4.12 ábra).

4.12 ábra

- A Planck által vizsgált konkrét probléma, amelynek megoldását a kvantum­hipotézis révén találta meg, a fekete test (fekete üreg) sugárzásának frekvencia-elosz­lása volt, ami az elektrom ágneses állóhullámok mint oszcillátorok lehetséges energia- értékeinek vizsgálatához vezetett. E probléma részleteivel U. éves tanulmányaink so­rán találkozunk. -

- Planck felism erésének jelentőségéről csak annyit, hogy ezzel kezdődött a mo­dern fizika, nevezetesen, az atomoknak és atomi rendszereknek a makroszkopikus v i­lágban m egism erttől különböző mozgástörvényeinek feltárása, az anyag szerkezetének

- 236 -

-m echanikai, elektrom os, kémiai viselkedésének - m egértése, aminek eredményekép­pen korunkra eltűntek a természettudomány hajdan elszigetelt területei közül a merev válaszfalak. -

4 .5 .3 Összefüggés az oszcilláto r frekvenciájaés energia-lépcsője között: a Planck-form ula

Az atomi oszcillátorok £ 0 energiakvantumainak nagyságát az egyes anyagokra megbecsülhetjük úgy, hogy a fajhő vibrációs járulékának tapasz­talt hőm érsékletfüggéséhez illesztjük a (4.40) form ulát. Gyors becslést tehetünk a következőképpen: az

f < * ) = r ^ - ) 2 eX ( x . - í f l )

függvényt ábrázolva, grafikusan m egkereshetjük azt az x -értéket, amely­nél f(x) az aszim ptotikus f(x), ----- *■ 1 értékének felét é ri el; a 4 .1 3 á b -(x—*■ oo )j-fl <j7orinf ez x = 2 ,9 . Feltételezve, hogy az atom kristályos sz ilá rd test egyes atom jai mint oszcillátorok mind ugyanazzal az energiakvantummal (a lehetséges állapotaik között egym ással egyenlő energiahézaggal) rendel­keznek, a fajhő (4.40) szerin ti értéke annál a . hőm érsékletnél csök­ken fe lére, am elyre

£o = 2 ’ “ T1 /2

te ljesül. A 4.1 táblázatban néhány fém (atom kristályok!) "fajhő-fele-

zési hőm érsékletét" és a belőle adódó £ 0 energiakvantum értékét tüntet-

4 .13 ábra

- 237 -

tűk fel. Feltűnő, hogy az energiakvantum annál kisebb lesz , minél puhább az anyag. (A 4 .3 ábrán található fajhó'-görbékbó'l ez szám olás nélkül is lá t­szik: a feltüntetett anyagok közül legmagasabb hőm érsékleten fagynak be az igen kemény gyémánt, legalacsonyabban az igen lágy ólom szabadsági fo k a i.) Próbáljunk kvantitatív összehasonlítást is tenni. A 4.1 táblázat folytatásában az egyes anyagok E ,G a E /3 rugalm assági állandóit, az atomok mQ tömegét és a k ristá ly rácsban becsült d atomtávolságokat is összegyüjtöttük és a körfrekvenciákat (4.12) szerin t kiszám oltuk. Az ada­tok szem lélésével ham ar észrevesszük: mind a négy közegben az oszcillá­torok energiakvantuma ugyanannyiszorosa a körfrekvenciának,

(4.42) £ - fi co.o

A (4.42) Planck-form ula bárm iféle rezg ésre igaznak bizonyult. A benne fellépő b állandó ma legpontosabbnak elfogadott értéke négy számjegyig

-34(4.43a) h = 1 ,056 '10 J s .

Planck-állandónak a ti állandó 2 JC -sz e re sé t nevezzük,

,Q4(4.43b) h = 2 J i t i = 6,626.10 J s .

- A C(T) fajhő-görbe jellegét elég jól visszaadja az egymástól függetlenül, ugyanak­kora frekvenciával rezgő atomok feltételezésé­re - az un. Einstein-m odellre - alapozott (4.40) formula, nagyon alacsony hőmérsékleten azon­ban túl gyors csökkenést ad: 1. 4.14 ábra; a mé­ré s i adatok szerin t a fajhő nem exponenciáli­san, hanem csak T 3-nel arányosan csökken. Modellünket tökéletesíthetnénk Debye nyomán úgy, hogy a sz ilárd test atom jait csatolt rezgő­rendszerként tárgyalva, amelynek meghatáro­zott sajátfrekvenciái lehetnek - a 4.1 táblázat-

4.14 ábra bán szereplőknél kisebbek és nagyobbak is - ,az egyes sajá trezgésekre (állóhullámokra) al­

kalmaznánk a Planck-féle (4.42) kvantumfeltételt. így a hőm érséklet csökkenésével az egyes sajátfrekvenciákhoz tartozó szabadsági fokok fokozatosan fagynak be. előbb a nagy-, később a kisfrekvenciájuak. Egyelőre azonban örülünk, hogy a szabadsági fokok befagyásának lényegét megértettük, és a finomabb részletek vizsgálatát felsőbbéves tanulmányainkra halasztjuk. -

Egy érdekes észrevétel: mivel az oszcillátor szomszédos energiaszintjei A j 6 = £ o =tico távolságra vannak egymástól, a 4.10 ábrán rajzolt két e llipszist két

szomszédos energiaállapottal azonosítva, ezek az x, 1 fázissikon éppen Planck-állan- dónyl terü letet zárnak közre:

2 Xgyürüterület = £ ^ = 2:JCti = h .

Egy kvantumállapotra ekkora terü le t ju t a fázissikból.

- 238 -

4 .1 TÁBLÁZAT

Pb Cu A1 C(gyémánt)

T l /2 23 78 97 470 K

kTl /2 0,32 1 , 08 1,34 6 , 5 i o ' 21j

¿0 0,95 3,2 4 ,0 19 io - 21 j

9 11,3 8, 92 2,7 3,5 103 kg/m 3

M 207 63, 5 27 12 10”3 kg/m ól

ilo6 3,4 1, 05 0,45 0,20 i o -2 5 kg

3r—=, w ° 3,4 2 ,3 2 ,55 ! 1 ,8 K* © 3

E + 2G 0,29 2 ,2 1,24 18,6 1011 N /m 2

D=2(E+2G)d 20 101 63 670 N /m

0,77 3,1 3,8 18 1013 s ' 1

_£oCJ 1 .2 1 ,0 1 ,1 1 ,1 i o "34 J s

4 .6 További kvantumfeltevések

Néhány á ltalánosítást k ikényszerít a Planck nyomán te tt nagy hord­e re jű felism erésünk. Minden esetben, am ikor szabadsági fokok befagyásá­val találkozunk, fel kell tételeznünk a kvantáltságot, vagyis í zt, hogy a megfelelő fizikai mennyiség nem akárm ekkora, hanem csak m eghatározott d iszkrét értékeket vehet fel.

- 239 -

4. 6.1 M iért nem gerjesztődik az atom?

Az atomi elektronok ("elektronfelhő") tartózkodása az energián való osztozkodástól bizonyára azt jelenti, hogy az alapállapot fölötti e lső g e r­jesz te tt állapot energiája nagyon magasan fekszik, a két energiaszin t kü­lönbsége a közönséges hőm érsékletek kT értékénél jóval nagyobb. Azt várjuk tehát, hogy nagyon magas hőm érsékleten maga az atom is g e rje sz ­tődhet, és ott a belső szabadsági fokai is részesülnek a bel^őenergia növe­kedéséből. Látni fogjuk, hogy ez csakugyan igy van.

Az atomok (elektronhéjak) g e rjesz te tt állapotainak energiakülönbsé­gét a kibocsátott fény frekvenciájából lehet m eghatározni, Bohr nyomán (1912) m erészen alkalmazva a (4.42) Planck-összefüggést az atom által legerjesztődése során kibocsátott fény-adag energ iájára és frekvenciá jára . Maga az a tény, hogy az atomok által kibocsátott fény vonalas szinképü (csak m eghatározott, d iszkrét frekvenciájú összetevői vannak, atomonként különbözők), m egerősíti az atomi állapotok kvantáltságára vonatkozó fe lte ­v ést. A színképek ilyen elem zéséből tudjuk, hogy az első g e rjesz te tt á lla-

-18pót valóban nagyon magasan fekszik, a H^atomé pl. 10 J - la l m agasab­ban az alapállapotnál. így a H-atom elektronfelhője csak

10_18J lo " 1 8 J 5 T = — ----- = -----------— ------ * 1 0 K

1 ,4 .1 0 J /K

körül lesz hajlandó ré sz t venni a hőmozgásban.

4 .6 .2 Rotációs energia

A ro tációs szabadsági fokok befagyásának ténye még különösebb fel­tev ésre ösztönöz: a szögsebesség, vagy az impulzusmomentum, úgy lá t­szik, nem vehet fel akárm ilyen értéket. Tekintve, hogy kis tehetetlenségi nyomaték esetében vannak befagyva még magas hőm érsékleten is a ro tá ­ciós szabadsági fokok, azt kell mondanunk, hogy az első lehetséges forgási állapot energiája k is tehetetlenségi nyomaték esetén fekszik túl magasan.

kifejezés pedig akkor vezet kis tehetetlenségi nyomaték esetén nagy en er­giához, ha az Lx impulzusmomentum van kvantálva. (Ellenkező esetben, ha ti. a szögsebesség értékei lennének m eghatározott é rtékekre korlátozva éppen kis 0 esetén sorakoznának sürün az energiaszintek.

- 240 -

Az a meglepő következtetés adódik tehát, hogy a kis tehetetlenségi nyomatékhoz tartozó rotációs energia azért nem szerepel a belsőenergiában, m ert értéke csak túl nagy lehetne. Éppen fordítva, mint klasszikus mechanikai okoskodással gondoltuk, hogy ti. azért nem szerepel, m ert a hozzá tartozó energia-járu lék túl kicsi.

E^y kalandos ötlet: A haladó- és forgómozgás analógiája szerin t az impulzusmo­mentum olyan viszonyban van a forgásszöggel, mint az impulzus a helykoordinátával. Hátha az impulzusmomentum-forgásszög-sikot a lehetséges állapotokhoz tartozó

impulzusmomentum és q> forgásszög-értékek éppen úgy h területű parcellákra osztják,mint az oszcillátorok lehetséges állapotaihoz tartozó I , x értékek az I , x síkot? Ezx xesetben, mivel a q> forgás szög a 2 3T tartományt egyenletes valószínűséggel bejárja,L szomszédos é rtékeire (Id. 4.15 ábra) a

(4.44) A ,L . 2Jt = h = » L , - L = fc. L - v h ' 1 X x,v+ l x,v X \>

(V = 0 , 1 , 2 , . . . )

megkötést (kvantálási szabályt) kapjuk, a forgási energia le ­hetséges é rtékeire pedig az

E . , . ^ - J Í v 2 IV = 0, 1,2, . . . )(4.45) 2 © 20

formulát.

becslés igényével számolva -

0 = 2 m r “ * 2 . ------ ^ ^ ------ (10 10 m)2 = | 10 46 kgm2.6 . 10 1/mol

A null-szint fölötti első. rotációs állapot forgási energiája

a . “Qo .Ti 1 0 ___ J

1 2G2 . | . 10 46 kgm2

A rotációs szabadsági fokok befagyása íll. kiolvadása akkor

T • =-22

1- 5 - 10 J ~ 10 K1, 4 IC'23 J/K

nagyságrendű hőmérsékletnél várható. És ez a 4.2 ábra szerint csakugyan igy van!Az atom tömegének túlnyomó része — előlegezve a következő évben részletezendő

-14ismeretet - kb. 10 m sugaru gömbben összpontosul. Könnyű utánaszámolni, hogy ak­kor a magános atom rotációs szabadsági fokának kiolvadását csak T % 10*® körül vár­hatnánk!

- 241 -

4 . 6 . 3 Tartályba zárt molekula

Úgy lenne következetes a körvonalazódó uj törvény rendszer, ha be­bizonyosodna, hogy az edénybe zá rt gázmolekulák transzlác iós energiája is kvantált, az impulzuskomponensekkel együtt. H a jó i meggondoljuk, az edénybe zá rt molekula körülményei nem is olyan alapvetően különböznek a k ristá ly rácspontjába kötött atométól. A különbség lényegében annyi, hogy az utóbbi szűk és parabolikus, az előbbi szé les és "szeg le tes" (h irte­len emelkedő falu) potenciálgödörben van, 1. 4 .16 ábra. (Az atomi elektron potenciálgödre pedig, a Coulomb-potenciálnak megfelelően, még szükebb és tö lc sé r a la k ú .)

A tágasságból az következik, hogy az energiaszintek nagyon sürün sorakoznak egymás után: Ha itt is teljesül, hogy a szomszédos állapotok a fázis síkból h te rü le tsá- vokat lefoglalva következnek egymás után, a szomszédos impulzuskomponens-értékekre az -t élhosszuságu edényben a

form ulát. Ha ez igaz, 1 mm élhosszuságu dobozba z á rt molekulára a legkisebb

transzlációs energia a nulla fölött

lehet. A transzlációs szabadsági fokok befagyásához ezek szerin t

10“23 J/K

hőmérsékletig kellene lemenni.A m egsejtett icva..tál;'si szabályokat egyelőre - az I. éves fizika keretében -

semmiféle általános törvénnyel nem tudjuk magyarázni. Az egym ással harmonizáló és a tapasztalati tényeket egységesen értelm ező szabályok azt mutatják, hogy az atomi á l­lapotok tényleg kvantáltak, de nem tudjuk, hogy m ié rt kvantáltak, a klasszikus fizika törvényeiből semm i ilyen nem következik. (Bár analóg jelenséggel találkoztunk: a hurok és lemezek sajá trezgései nem lehetnek akármilyen frekvencia-állapotuak.) Azt a tö r ­vényrendszert, amely az atom szerkezetét, belső mozgásuk és kapcsolódásaik törvény­szerűségeit olyan átfogóan tárgyalja, m int Newton törvényei a nagy testek hely- és se ­bességváltozáshoz vezető kölcsönhatásait, e század első felében m egtalálta Heisenberg és Schrödinger (1925 körUl), és a szabályok, amelyekre az előzőekben jutottunk, a kvan­tummechanika általános törvényeiből valóban következnek. E rrő l a hallgatóság felsőbb éves tanulmányai során győződhet meg. A rra, term észetesen, el kell készülni, hogy té ­tova sejtéseink némelyikét kisebb-nagyobb mértékben majd korrigálni kell, de megnyug­tatásul e lőre közöljük: nem lényegbevágóan, és a (4.42-47) kvantálási szabályokra épí­tő további következtetéseink eredményei nem fognak alapvető revízióra szorulni.

5. § Reverzibilis és irreverzibilis folyamatok; a termodinamika II. főtételének

fenomenológikus megfogalmazása

5.1 Irrev erz ib ilitás ; reverz ib ilitá s m int ideális ha tá rese t

Alapvető tapasztalatunk, hogy a term észetben a folyamatok általában m eghatározott irányban mennek végbe, ritka az olyan folyam at, amely pont- ró l-pon tra (szigorúan azonos állapotokon keresztü l) fordítva is lejátszódhat.

Csak néhány kiragadott pclda: meggyullad a gyufa és elég; összeom lik egy épület; m egrozsdásodik a gépkocsi alváza; a kinyitott palackból kiszö­kik a gáz és elkeveredik a levegővel; az asztalon meglökött hasáb lassu l, végül m egáll, és közben egy k icsit felm elegszik. E folyamatok fordított lejátszódása igen szokatlan látványt nyújtana.* Az utolsónak em líte tt folya-

Y isszaíelr pergetett filmen meg lehet őket nézni!

- 243 -

mát m egfordítása például az lenne, hogy az asztalon álló hasáb egy kicsit lehűl, közben megindul és egyre nagyobb sebességgel csúszik. Megfordit- ható folyam at a tisz ta , súrlódásm entes mechanikai mozgás: ha a m este r­séges hold v sebességgel halad át pályájának egy pontján, akkor ugyanin­nen -v sebességgel indítva, pontról-pontra v isszafelé fog haladni az e r e ­deti pályáján, mindenütt ellentétes vektoru sebességgel; a tökéletesen ru ­galm as ütközésről készült film et v isszafelé játszva, nem veszünk észre sem mi rendkívülit, éppoly hitelesnek fogadjuk el, mint az eredetit, hiszen a testek mozgása így is végbemenetett volna.

Ennek alapján a fizikai rendszerekben lejátszódó folyamatokat re v er­zib ilis (megfordítható) és irrev e rz ib ilis (meg nem fordítható) folyamatokra osztjuk. Az előbbitől azt követeljük meg, hogy a folyamat á llapo tró l-álla-

potra fordított irányban is lejátszódhas­son. Valójában a term észetben teljes szigorúsággal reverz ib ilis folyamat nem létezik, létezik azonban ideális h a tá r­esetként. (Éppen úgy, mint súrlódásm en­tes mozgás, m erev tes t, ideális gáz stb.) Egy adott folyamatot mindig egy meghatá­rozott fizikai ren d szer szempontjából sorolunk a reverz ib ilis vagy irrev erz ib i­lis folyamatok közé. Term ikusán, m echa­nikailag és kém iailag homogén test kvá- z isztatikus, belső súrlódástól mentes folyam ata (e tes t szempontjából) re v e r­zibilis; összetett ren dszer folyamata (az egész rendszer szempontjából) azon­ban akkor is irrev e rz ib ilis lehet, ha a tagjainak folyamata (az ő szempontjukból, külön-külön) rev erz ib ilis . Ha például két fémtömb hőm érsékletet úgy engedjük ki­egyenlítődni (1. 5.1 ábra), hogy közéjük egy papírlapot teszünk, és az egész rend­sz e rt adiabatikus fallal vesszük körül, akkor a kiegyenlítődés a két tömb között lassan , az egyes tömbökön belül ehhez képest gyorsan történik, igy a tömbök m elegitési folyamata kvázisztatikus (a hő­m érsék lete loszlás a testeken belül min­

den pillanatban homogén), és az egyes tömbök szempontjából rev erz ib ilis . (Külön-külön ugyanazokon az állapotokon keresz tü l v issza lehet vinni őket az erede ti h ő m érsék le tre .) Az egész ren dszer szempontjából azonban a folyamat irrev e rz ib ilis : a m egfordítása az lenne, ha az eredetileg egyenlő hőm érsékletű két tömböt összeérin tve, az egyik melegedni, a másik hűlni kezdene.

>V y

X ;

XÍi n1\ín1

ír1. pillanat

j 2pillanat' "1

j 3.pillanatL _ _

5.1 ábra

- 244 -

Egy rendszer szempontjából mindig irreverzibilis folyamat a rend­szer tagjai közötti véges hőm érséklet-, nyomás- vagy koncentráció­különbség kiegyenlítődése (keveredés), irreverzibilisek a nem kváziszta- tikusan lejátszódó és a belső súrlódással járó folyamatok is.

A nem kvázisztatikus folyamatokban mindig átmeneti inhomogenitások fordulnak elő, ilyen volt pl. a 3. §-ban tárgyalt szabadexpanzió és fojtás. Ezeket nem is tudjuk ábrázolni a p-V sikon meghatározott vonallal; csak a kezdeti- és végállapotot tudjuk határozottan bejelölni, és találomra meg­húzott szaggatott vonallal köthetjük össze őket, érzékeltetve, hogy közben nincs értelme a közeg hőmérsékletéről vagy nyomásáról beszélni, hiszen ezek pontról-pontra különbözhetnek. A mechanikailag vagy termikusán in­homogén közeg állapotát a nyomás, ill. hőmérséklet hely szerinti eloszlá­sával tudjuk (esetleg) megadni.

Többnyire irreverzibilisek a halmazállapotváltozások, az oldódás és a kémiai folyamatok is, a 7-8. §-ban tárgyalásra kerülő különleges esetek kivételével.

A só oldódása általában irreverzibilis folyamat; rendes körülmények között nem fordul elő, hogy az elsózott levesből a só összegyűlne és kivál­na. Az oldódás azonban jó példa arra is, hogy észrevegyük, a folyamatok iránya nem egyszer s mindenkkorra van megszabva, hanem a körülmények által: a meleg vízben telítésig oldott só igenis kiválik, amikor a viz lehűl!A 6. §-ban fogjuk keresni azt az általános elvet, amely a folyamatok irá­nyát szabályozza.

A következő pontokban olyan folyamatok vizsgálatára szorítkozunk, ahol az irreverzibilitást csupán az összetett rendszer tagjai közötti hőmér­sékletkülönbség kiegyenlítődése jelenti, a rendszer egyes tagjainak folya­mata kvázisztatikus és reverzibilis.

5. 2 Erőgépek és hűtőgépek

5 .2 .1 Erőgép fogalma

A munkavégzéshez az I. főtétel - az energiamegmaradás törvénye - szerint energiaforrás szükséges. Örökmozgó, klasszikus nevén "perpetuum mobile" nem létezik, azaz nem létezik olyan gép, amely úgy végezne mun­kát, hogy közben ne történne a környezetében levő testekben vagy erőterek­ben energiacsökkenést jelentő változás. Éppen az örökmozgók szerkeszté­sére végzett rengeteg sikertelen próbálkozás negatív tapasztalata vezetett az energiamegmaradás általános törvényének felism eréséhez! Energia- forrás bőven van a környezetünkben: bármilyen test lehűlése anyagszerke­zeti változás nélkül, állandó nyomáson vagy térfogaton, belsőenergiájának

- 245 -

a csökkenésével és igy "energtakihozatallal" já r . Az energ iafo rrást je len ­tő te s t belsőenergiájának ro v ására folyamatosan munkát végző szerkeze­teket hagyományosan erőgépnek nevezzük. (A "folyamatosan" kikötést úgy értjük, hogy a gép mindaddig működni képes, amig a felhasználható belső­energia el nem fogy. Nem kivánjuk tehát meg, hogy folytonosan működjön, elfogadjuk " folyam atos"-nak a ciklikus munkavégzést is, am ilyet a robba­nómotor vagy a dugattyus gőzgép szo lg á lta t.)

Erőgépet sokféle fizikai folyamat felhasználásával készíthetünk. Az5.2 ábrán vázolt gép energia- átalakitó része egy un. term o- elem -szendvics, amely a hoz­zákapcsolt elektrom otort fo r­gásba hozza, igy munkavég­zésre alkalm assá téve, ha az egyik oldalán levő tartályba meleg vizet öntünk: a munkát tehát a meleg viz belsőenergiá­ja fedezi. Az első te rm észe tes gondolat, hogy ha a meleg viz

alkalm as a m otor m űködtetésére, akkor még több meleg vizzel a motor még több munkát tud végezni. Meleg vizet öntöttünk tehát a szendvics má­sik oldalán levő tartályba is. A motor azonban nemhogy nagyobb te lje s ít­ményt szolgáltatott volna, hanem megállt! Energia valóban bőségesen van a környezetünkben, de a tények (közöttük a szendvics-m otor viselkedése) azt m utatják, hogy munkavégzéshez - a "szé tszó rt" energia rendezett moz­gás energiájává alakításához - még valami m ás is szükséges. Gépünk mű­ködésének a feltétele az volt, hogy két különböző hőm érsékletű energ iatá ro­ló te s t álljon rendelkezésre. Szem léletesen szólva, munka nyeréséhez olyan testek szükségesek, amelyekben az energia különböző "sűrűséggel" van táro lva.

5 .2 .2 Ideális Joule-gcp

Vizsgáljuk meg részletesebben az olyan gépek működési elvét, am e­lyek működésénél anyagszerkezeti (kémiai) folyamatok nem játszanak köz­vetlen szerepe t. Gondolatban megtervezzük az elképzelhető legegyszerűbb erőgépet, nem törődve olyan - a gyakorlatban fontos, de most m ellékes - szempontokkal, mint hogy a dugattyuk surlódnak és nem tömitenek tökélete­sen, hogy sem tökéletes hővezető, sem tökéletes hőszigetelő nincsen stb.A m unkavégzésre felhasználni kívánt energiát egy végtelen nagy hőkapaci- tásu tartályban gondoljuk táro ln i (hőtartály), amelyből hőszigetelő és hő­vezető "kapukon" át kívánság szerin t tudunk energiát elvonni m elegítés révén.

- 24G -

A hőtartály belsőenergiájaként táro lt energiát a hőtágulás igénybe­vételével tudjuk m unkavégzésre felhasználni. Munkaközegnek legalkalm a­sabbak a gázok, nagy hőtágulásuk m iatt. Legyen tehát a gépünk egy ideális gázzal töltött henger, amelyben dugattyu mozoghat súrlódás nélkül (1. 5. 3 ábra). A henger érintkezik a hőm érsékletű hőtartállyal, igy közöttük m elegités történhet, az energ iaáram lás irányát a hőm érsékletük viszonya szabja meg. Betolhatunk azonban közéjük egy hőszigetelő falat, am ellyel korlátozhatjuk vagy akár megakadályozhatjuk az en erg iacserét. A végzen­dő mechanikai munka legyen például homok fe lszá llitása a padlóról a pol­cokra. A dugattyúhoz kapcsolódó csigán súlytalan kosár függ, amelybe min­dig annyi homokot rakunk, hogy az általa k ifejtett forgatónyomaték éppen

- 247 -

egyenlő nagyságú legyen a gáznyomásból származó forgatónyom ttékkal, ill. - ha azt akarjuk, hogy a dugattyu befelé vagy kifelé mozogjon - végte­len kicsivel nagyobb vagy kisebb. Ezzel biztosítottuk a folyamat i.vázi- sztatikus voltát.

Az igy megtervezett gépünket próbáljuk például a következőképpen működtetni: Legyen a kezdeti állapotban a dugattyu valahol középhelyzet­ben (a kosár lent), a munkaközeg hőmérséklete T < T,, nyomása vala-a 1milyen p^. (Az 5.3 ábrán "a" állapot. ) A kosarat terheljük meg úgy, hogy a homok súlya egy picivel kisebb legyen, mint amennyi az egyensúlyhoz szükséges. A gáz akkor a dugattyut lassan tolja maga előtt; lehűlne és a nyomása csökkenne, de a hőtartályból mindig engedünk beleszivárogni annyi energiát, amennyi biztosítja a nyomás állandóságát (a "hőkapu" nyit­va). A térfogat növekedése ellenére a nyomás állandó értéken csak úgy tartható, ha a közeg hőmérséklete fokozatosan növekszik. Az izobár ex­panziónak határt szab, hogy á közeg hőmérséklete nem emelkedhet a hő­tartály hőmérséklete fölé ("b" állapot). Még valamennyi munkát azért

ki tudunk csikarni a hőmérséklet e lérése után is: zárjuk el a "hőka­

put", és engedjük a gázt adiabatikusan tágulni. Ehhez a kosárból egy-egy kis adag homokot kell kirakni az éppen szintben levő polcra, akkor a mechanikai egyensúly kissé megbomlik, a gáz tágul, amig a nyomása az egyensúlyi értékre nem csökken, és közben hül. Egyszer ezzel a folyamat­tal is meg kell állni, mert a henger véges hosszúságú ("c" állapot). Eddig mindenesetre sikerült a hőtartályból mc^(T^ - T^) energiát m elegítés­

sel elvonni, és az AabcC területnek megfelelő munkát nyerni: homok ke­rült a padlóról a polcokra, a kosárban levő homok pedig magasan fent van.

Ahhoz azonban, hogy a gépünk ciklikusan működjön, a dugattyut v isz - sza kell vinni a kiindulási helyzetébe, a munkaközeget ped’g a kiindulási állapotába. Ehhez viszont nekünk kell (pozitív) munkát végezni. (Mármint a homoknak, és a homokon a gravitációs mezőnek: homokot kell visszarak­nunk az éppen szintben levő polcról a kosárba, mindig annyit, hogy egy picivel nagyobb legyen a súlya, mint amennyi az adott gáznyomásnál az egyensúlyhoz szükséges; ezt a homokot a kosár a padlóra visszaviszi. )A legkevesebb munka, amivel a kezdeti állapotot visszaállíthatjuk, az Aaa’bcC területnek megfelelő, ez pedig, sajnos, nagyobb, mint amennyit az expanziós folyamatban kaptunk! (A legkisebb munkával járó visszaút: adiabatikus kompresszió "b"-ig, izoterm kompresszió "a’"-ig, adiabatikus expanzió vissza "a"-ig. Minden más, az adott körülmények között megva­lósítható ut ennél nagyobb munkabefektetést kívánna.) A végeredmény tehát: nemcsak hogy nem sikerült egy munkaciklusban homokot szállítani a pol­cokra, de még abból is le kellett hozni, ami már fent volt. (Sőt, a pincé­be is homok került!)

A megoldás: még egy hőtartályról kell gondoskodni, 1. 5.4 ábra, amelynek T^ hőmérséklete alacsonyabb -nél ("hütő”). Ezt a hőtar-

- 248 -

tályt felhasználhatjuk arra, hogy a visszaút első szakaszát (”d"-ig) állandó nyomáson, igy állandó kosár-terheléssel tegyük meg, a felső polcokról te­hát nem kell leszedni az egyszer már felvitt homokot. (Az alsó hőtartályt összenyitjuk a hengerrel úgy, hogy a hengerből m elegítéssel energia sz i­vároghasson a tartályba; a gáz nyomása csökkenne, de akkor megbomlik a mechanikai egyensúly, és a dugattyu befelé mozdul, helyreállítva az ere­deti gáznyom ást.) Ez a folyamat a "d" pontig mehet, ahol ti. a fokozatosan hülő munkaközeg eléri az alsó hőtartály T 2 hőmérsékletét. Ekkor elzár­juk a "hőkaput", és a közeget adiabatikus kompresszióval juttatjuk vissza az eredeti állapotába. Ehhez mégiscsak homokot kell a polcokról v issza-

- 249 -

rakni, de kevesebbet, mint amennyit felszállitottunk, hiszen a v issza to lás­hoz szükséges munka - AadcC terü le t - kisebb, mint amennyit a gáz az expanzió során végzett: a gépünk működik.

- Annak azonban, hogy nem kelle tt visszaszedni a felhordott homokot, á ra van. A felső hőtartályból kiszivattyúzott energia egy ré sze szempon­tunkból haszontalanul elveszett: az alsó hőtartály belsőenergiáját növelte. -

5 .2 .3 Term ikus hatásfok, veszteséghányad

Gondolati játékként konstruált gépünk működésének elem zéséből le ­szűrhetjük az általános tanulságot: ciklikusan működő erőgépet valamilyen körfolyam attal tudunk m egvalósítani, amelynek ti. a vég- és kezdeti á lla­pota megegyezik, és pozitiv munkát akkor végez a gép, ha az expanzió át­lagosan magasabb nyomáson történik, mint a kom presszió . Ehhez pedig két különböző hőm érsékletű hőtartály szükséges. Egy ciklus energ iam ér­lege: Az 1. hőtartályból a munkaközegbe ju t m elegítéssel e n e r­

gia, a munkaközegből a 2. hőtartályba ^ . A különbséggel egyenlő

W = Q L - Q u 1 . -bol 2 .-be

mechanikai munkát kaptunk, az 1 . hőtartályból kivett Qj nagyságú energia

W * 1 . -bői ** ^ 2 . -be07 = ---------------- - —

^ l .- b ő l ^ i . - b ő l

hányadát, mig a felvett energia

« ^ 2 .-be(5.1) l = q --------- ( = 1 - ^ )

1 . -bői

hányada "elértékte lenedett" a munkavégzés lehetőségének szempontjából: a 2. hőtartály belsőenergiáját növelte. (A munkaközegét nem növelte, m er az a ciklus végén v isszaállt az e re d e ti r e .) Az ^ hányadost a gép term ikus hatásfokának nevezzük, az (5.1) £ hányadost veszteséghányadnak.

Az 5.4 ábra körfolyam atát (két izobár, két adiabata) Joulé-körfo lya- matnak nevezzük. A Joule-körfolyam attal működő ideális gép veszteség­hányada

y < Tc-T») Tc ‘ - V . I c > l 2

' « l-b ő l ' V (Tr Tal ' T1 1 - Ta/T l ' T1 T1 '- 250 -

- 251 -

(Felhasználtuk, hogy az "a"-"d" és "b"-"c" pontokat adiabaták kötik ösz- sze, így

x-1— T1 To Ta

T /T = (p /p ) = — =*> — = — .) a 2 1 2 T T Tc c l

- A veszteséghányad ennél is nagyobb, ha T^< és > T9,

ha tehát gyakorlati okokból nem tudjuk az izobár expanziót T^-ig, az izo­

bár kompressziót pedig T0-ig vinni. Ez már nem ideális Joule-gép! -

Sokféle körfolyamatot összerakhatunk csak a 3. §-ban részletesen tárgyalt folyamatokból is, s válogathatunk közöttük, adott hőtartályok mel­lett, melyiknek kisebb a veszteséghányada. Három nevezetesebbet az5. 5 ábra mutat.

-A z 5. 4 és 5. 5 ábrán ra jzolt körfolyamatok lényegében lejátszódnak a valódi eró'gépekben: a Joule-körfolyam at a gázturbinában, az Otto-köríolyamat a benzinmotor­ban, a D iesel-körfolyam at a Diesel-m otorban, a Rankine-Clausius-körfolyamat a dugaty- tyus gőzgépben. Az igazi erőgépek működésében az elvi különbség gondolati gépünkhöz képest az, hogy a munkaközeg (benzin-, ill. olaj-égésterm ék) ciklusonként cserélődik, és a közeg nem külső hőturtály szolgáltatta m elegítés, hanem kémiai reakció lejátszódá­sa m iatt m elegszik. Gépünket ebből a szempontból a gőzgép közelíti meg legjobban: mun­kaközege külső hőtartályból — az égő széntől — kapja az energiát. Itt viszont a körfolya­matban szereplő állapotváltozások különlegesek, m ert a ciklusban halmazállapotváltozás is történik, v .ö . 7 .5 .3 pont és 7.18 ábrák. -

- Az erőgépet tervező gépészmérnök m ás szempontból is_ nézi a hengerben le já t­szódó folyamatot. Azt vizsgálja, hogyan alakul a nyomás a térfogat változásával az oda- és a visszauton, és az igy értelm ezett p-V diagram a gőzgép esetében például egyáltalán nem a munkaközeg egy anyagdarabjának körfolyamata. (Az utóbbi a kazánban kezdődik, és a lecsapódott "fáradt gőz" kondenzátumát a kazánba visszanyomó tápszivattyunál vég­ződik. ) Magában a munkahengerben a folyamat azzal indul, hogy a meleg gőz állandó T

hőm érsékleten és p^ nyomáson bejut a hengerbe, és eközben is m ár bármiféle állapot-

változás nélkül W , = p V munkát végez, Id. 5.6 ábra. A beömlő nyílás e lzárása betolasi 1 1

után indul a tulajdonképpeni termodinamikai folyamat, adiabatikus expanzió, amelyben aPoV2 2

gőz W = / pdV = U, - U munkát végez. Végül az expanzióban lehűlt gőz kitolása ad J ' 1 2

pott hasznos munka

w = Plvx + ux - u2 - p2v2 = (Ux *plVl) - <u2 + p2v2),

ez pedig a hengerben megfordult közeg entalpiacsökkenésével egyenlő. Az erőgépész­mérnök szám ára ezé rt az entalpia elsősorban azt jelenti, hogy "mennyi munka (lehető­sége) van a közegben". -

- 252 -

5.6 ábra

5 .2 .4 Erőgép átfordítása hűtőgéppé

A m unkaterm elő körfolyam at m egfordításával hűtőgépet kapunk, azaz olyan gépet, am ellyel energiát szállíthatunk alacsonyabb hőm érsékletű testből magasabb hőm érsékletűbe. A spontán energ iaáram lás iránya te r ­m észetesen nem fordítható meg, m elegítéssel mindig a magasabb hőm ér­sékletű testből szivárog energia az alacsonyabb hőm érsékletűbe. De expan­dál ó-kom prim álódó munkaközeggel kijátszhatjuk a törvény "kérle lhete tlen- ségét", igaz, csak mechanikai m unkabefektetése árán: adiabatikus expan­zióval a hütendő te s t hőm érséklete a lá kényszerítjük hülni a munkaközeget, engedjük beleszivárogni az energiát a hütendő testből, aztán kom prim álás- sal emeljük a hőm érsékletét az "energialerakodó hely" szerepét betöltő magasabb hőm érsékletű te s t hőm érséklete fölé, igy a munkaközeg annak ad át energiát. Példaként kövessük a Joule-körfolyam at m egfordítását, 1.5.7 ábra, a ’ b’ c ’ d’ ut. A folyamat munkavégzést kíván: a körfolyam at gör­béje által bezárt terü le t szerin ti munkát nekünk kell végezni, mégpedig nagyobbat, mint amennyit az ugyanezen hőtartályok közé épített munka­term elő ciklusban kapnánk. Ez abból következik, hogy a hütő körfolyam at adott hőm érsékletű hőtartályok m ellett nem pontos m egfordítása a munka­term előnek, m ert a munkaközeg hőm érséklete azon folyam atszakaszokban, ahol a munkaközeg az alsó, ill. fe lső hőtartállyal term ikus kontaktusbanvan, a hűtőgépnél végig T alatt és T fölött, az erőgépnél T„ fölött és

2 1 ^T j alatt kell, hogy maradjon. A Joule-körfolyam at a hőtartályokat is m a­

gában foglaló term ikus zá rt ren d sze rre irrev e rz ib ilis .

- 253 -

A hűtőgépnél szám unkra hasznos folyamat: energiaelvonás az alsó hő tartály tó l. H A felső hőtartályba ennél több energia kerül, a különbséget mechanikai munkával fedeztük,

W = Q. , - Q_ ,1-be 2 -bol

munkát kellett végeznünk. A Joule-körfolyam atos hűtőgépnél az 1. hő tar­tályba szállíto tt energiának csak

Q2-bői _ V W _ < I 2C (T , - T ) T , T. p c 1 c 1Q1-be

hányada ered a hütendő 2 . tartály tó l elvont energiából, a többit mechanikai munkával kellett fedezni.

*Nem mindig! A genfi ENSz-palotát úgy fütik, hon\ egy nagy hűtőgép alsó höta.tálya a Genfi-tó, ielsu hotartálva az ENSz-palota: "hőszivattyú".

- 254 -

5 .3 .1 R everzib ilisen hűtőgéppé fordítható erőgép; ideális Carnot-gép C arnot-körfolyam attal

A hőtartályokat is magában foglaló rendszerben reverz ib ilis körfolya­mat úgy valósítható meg, hogy a m elegitési energiaközlés a hőtartályok és a term ikusán homogén munkaközeg között végig infinitezim ális hőm érsék­letkülönbséggel történjen, a munkaközeg egyik izoterm áról a m ásikra való átmenete pedig adiabatikus és kvázisztatikus módon. Ekkor a v isszafelé lejátszódó ciklus végig ugyanazokon az állapotokon át megy végbe, mint az eredeti. (A m elegitési energiaközlés tényleges bekövetkezéséhez kell va­lam ekkora hőm érsékletkülönbség a hőtartály és a munkaközeg között, de nincs elvi a lsó határ, hogy mekkora; a reverz ib ilis körfolyam at ebben az értelem ben, azaz ideális határesetként lé te z ik .) Az ilyen - a hőtartályokat is beleértve rev erz ib ilis - gépet nevezzük ideális C arnot-gépnek. Leg­egyszerűbb változatában a gép homogén munkaközegből és a term ikus fo­lyamatban ré sz t nem vevő mechanikai berendezésekből áll (henger, dugaty- tyu, e rőátv ite li szerkezetek). A munkaközeg ekkor két izoterm ából és két adiabatából álló körfolyam atot - C arnot-körfolyam atot - végez. (Ideális gáz Carnot-körfolyam atát az 5 .8 , gum iszalagét az 5. 9 ábra m u ta tja .)A C arnot-körfolyam atot végző közeg term észetesen csak akkor működik ideális Carnot-gépként, ha az izoterm ák a hőtartályok hőm érsékletéhez tartozó izoterm ák.

5. 3 Az id eá lis Carnot-gép

- 255 -

Példaként kiszám oljuk az ideális gáz Carnot-körfolyam atával működő ideális Carnot-gép veszteséghányadát. A 3.4 táblázatban található ö ssze­foglalás sze rin t a felső hőtartály által a gázon és a gáz által az alsó hő tar- tályort végzett m elegítés (az 5 .8 ábra jelöléseivel)

V Vrb rh , v

Qi = ■ W U = pdv = — RT. / — = — RT, In — ,1-bol a-» b J M 1 / V M 1 V,

ill.

v o Va a

Vm c^2-be ^2 munkaközegbe ^ d - ^ c M ^ 2 V

d

b

igy a veszteséghányad

(5.3)Q T2-be = __2Q „ T 1 -bői 1

(A térfogatfüggő tényezőkkel való egyszerűsítésre az adott lehetőséget, hogy két izoterm án ugyanazon két adiabata által kijelölt térfogatok-párok aránya megegyezik:

T V 7C~1 V 1C_1 V V V V-J. = (_d) = => .A = _£ =*> = _£T„ V V V V, V. V , ’2 a b a b b d

1, 3 .4 táblázat, ill. (3.49) eg y en le t.)Az (5.3) veszteséghányad kifejezés term észetesen csak az ideálisgáz -

skála szerin t m ért hőm érsékletekkel teljesül, a felhasznált ide ál isg áz -tö r­vénynek m ás em pirikus skálában más alakja lenne.

Az ideális Carnot-gép hűtőgéppé fordítható, változatlan nagyságú mun­ka és m elegítés m ellett. Ez definíció szerin t teljesül bárm ilyen munkakö­zeggel működő C arnot-gépre, legyen az re á lis gáz vagy gum iszalag vagy halm azállapotváltozáson átmenő közeg (viz-gőz), ti. azt neveztük ideális Carnot-gépnek, am ire ez teljesü l.

- 256 -

5 .3 .2 Carnot-gép höcserélos Stirling-folvam attal

Carnot-gépet m ás körfolyamatra is lehet építeni, ha a ciklusnak a hőtartályoktól elszigetelt (adiabatikus) rész-folyam atában a gép munkaközegen kivüli elem ei is alkalm a­san ré sz t vesznek. Ilyen például a Stirling-m otor. Előnye a Carnot-körfolyamat alapján elképzelt géppel szemben, hogy tényleg működik (bár, term észetesen, nem ideálisan).A Stirling-motor a munkaközeg-gázon kívül belső hőtartályokat is tartalm az, amelyek a külső hőtartályoktól elszigetelt folyam at-részben a munkaközeggel term ikus kölcsön­hatásban vannak.

A gondolati, ideális Stirling-m otor külső és belső hőtartályait, valam int a munka- közeg-gáz folyamatát vázolja az 5.10 ábra. A munkavégző folyamat a ciklusban izoterm expanzió és kompresszió, melynek állandó hőm érsékleten ta rtását a T és hőm ér­

sékletű külső hőtartály biztosítja, a kl-betolható hőszigetelőkkel. A gáz hőm érsékletvál­tozása állandó térfogaton történik úgy, hogy a T -tői T^-ig terjedő hőm érséklet-sávot

átfogó belső segéd-hőtartályok közül mindig az van termikusán összenyitva a munkaközeg­gel, amelyiknek a hőm érséklete csak infinitezim álisan különbözik a közeg pillanatnyi hő­m érsékletétől. Az izokór hűtés és m elegítés során leadott, 111. felvett energia nagysága egyenlő: mindkettő Cy(T -T^), így ezek a ciklus energiam érlegében és a hatásfok kifeje­

zésében nem szerepelnek. A segéd-hőtartályok energiája sem változik meg a ciklus vé­gére, a veszteséghányad tehát ideális esetben (mindig csak infinitezim ális hőm érsékletkü­lönbség)

2-beQ1-ből

a tisztán gáz-munkaközeggel, Carnot-körfolyam attal működő Carnot-gépével egyezik. Nyilvánvaló, hogy az ideális Stirling-m otor is reverzib ilisen hűtőgéppé fordítható, te ­hát valóban ideális Carnot-gép.

5.10 ábra

- 257 -

- 258

5.11

áb

ra

- A tényleges Stirling-m otor egy felépítési vázlatát és működési módját az 5.11 ábra m utatja .* Az alsó munka-dugattyu fölött egy réz-vattával kitöltött átmenő üregii du­gattyú mozog, ez já tssza a belső hőcserélő szerepét. A henger félő határához az 1., a köpeny alsó részéhez a 2. hőtartály csatlakozik. (Az órán működtetett Stirling-motorban az 1. hőtartályt elektrom os fütőszál, a 2. hőtartályt a henger alsó köpeny-része körül áram ló csapviz képviselte.) A ciklus - kissé leegyszerűsítve és idealizálva - négy ré s z - -folyamatból áll: 1. A munkadugattyu a hőcserélővel együtt lefelé mozog, a gáz munkát végez, miközben hőmérséklete állandó, T^. Az expanzió során munkavégzéssel leadott

energiát az 1. hőtartály pótolja. 2. A munkadugattyu alsó helyzetében áll, a gáz térfo ­gata állandó, V'2; a hőcserélő felszalad (az 1. ütemhez képest gyorsan), a ra jta átáram ló

gáz állandó térfogaton lehűl, és közben a réz-va ttá t m elegíti. (Nem homogén hőm érsék­letűre: a felső tartomány melegebb lesz, m int az alsó; a vatta elég laza ahhoz, hogy egy ciklus alatt ne legyen észrevehető hőmérsékletkiegyenlitődés a függőlegesen egymás fö­lött sorakozó rétegek között.) 3. A henger alsó tartományában T2 ( < T^) hőmérsékletű,

ennek megfelelően az 1. folyam at-szakasznál kisebb nyomású gáz van. A munkadugattyut a lendkerék felfelé mozdítja, a komprimálódó gázt a munkavégzéssel betáplált energia ellenére a vizhütésü henger-köpeny állandó hőmérsékleten tartja: a gáz a 2. hőtartályt m elegíti. A hőcserélő eközben felső helyzetében áll. 4. A munkadugattyu áll, állan­

dó térfogatba zárva a kezdetben hőmérsékletű gázt. A hőcserélő lefelé indul (gyor­

san), a ra jta átáram ló gázt T -re m elegíti. Ezután ism ét az 1. folyam at-szakasz kez­dődik. -

5.4 Örökmozgók; a term odinam ikai hőm érsék let-skála

Az 5 .2 .1 pontban em lített örökmozgót - amelynek létezésé t az ener­giam egm aradás törvénye k izárja - elsőfajú örökmozgónak nevezzük. Az energiam egm aradás törvényét a legszilárdabban megalapozott term észe ti törvények egyikének tekintjük, ezé rt ma m ár nem tartjuk érdem esnek ilye­nek konstruálásával próbálkozni. Az I. főtételt igy is szokás fogalmazni: elsőfajú örökmozgó nem létezik.

5 .4 .1 Próbálkozás másodfajú örökmozgó konstruálásával

Megpróbálkozunk viszont un. másodfajú örökmozgó konstruálásával. Ezen olyan gépet értünk, amely pusztán egy hőtartály lehűlése árán folya­matosan munkát szolgáltatna, olyan gépet tehát, amelynek működési ciklusa végére - Planck fogalm azása szerin t - a világegyetemben sem mi m ás nem történne, mint egy te s t lehűlése és egy teher felem elése. Ilyen gép sem lenne érdektelen: az óceánok vizének 0, 01 K-nel való lehűlése évszázadokra biztosítaná a tengeri szá llítás energiaszükségletét, ha a hajók m otorja a

*Ilyen m otor működését figyeltük meg, a gáz folyamatát p-Y koordináta-rendszerben kirajzoltam a egy fénysugárral, amelyet a dugattyu mozgása és a nyomásmérő által vezérelt b illeg i tükör vetített a falra.

- 259 -

tengervíz lehűlése árán tudna működni. Hogy ez a feladat sem könnyű, az 5. 2-. 1 pont szendvics-m otorjának a példáján is láttuk, és a két hőtartály szükségességét elem eztük a m uhkaterm elő gépek elvének tárgyalása során.

Mégis, érdem es egy ötletet végiggondolni. Tegyük fel, hogy egy má­sik gépnek kisebb a veszteséghányada, mint valamely ideális Carnot-gépé. Legyen "A" a nagyobb veszteséghányadu Carnot-gép, "B" a kisebb vesz- teséghányadu m ásik:

>A QP2 -be . 2-beA B'1 —bői Ql-b ő l

Já rassu k a C arnot-gépet hűtőgépként. Ez a fenti egyenletben csak annyi m ódosítást jelent, hogy az "A" gépnél a "-ból" és " -ba" index-részle tet fel kell cseré ln i; az egyenlőtlenség iránya változatlan m arad, m ert az ideális Carnot-gép rev erz ib ilis , változatlan m elegítés-nagyságokkal hűtőgéppé fo r­dítható, így

q A „ q B2-ből > 2-be

q A q b „1-be 1-ből

Állítsuk be úgy a gépek löketét, hogy a ”B" erőgép éppen annyi "hulladék- energiát'' ju ttasson az alsó, 2 . hőtartályba, amennyit az "A” hütügép k i­szivattyúz,

qA = q b = > q b „ > q a2-ből W2 -be 1 -bői w l-be

A végeredmény: az 1. hőtartályból a kombinált gép energiát vett fel, vég­összegben pozitív munkát végzett, a 2 . hőtartály pedig sem m it nem kapott. Ez másodfajú örökm ozgó.. . lenne, ha létezne az ideális Carnot-gépnél k i­sebb veszteséghányadu (nagyobb term ikus hatásfokú) ¿rőgép.

5 .4 .2 A term odinam ika II. főtételének fenomenológikus megfogalmazása

Mindmáig azonban senkinek nem sikerült másodfajú örökmozgót k ész i- teni, és a negatív tapasztalatok felhalmozódása alapján úgy gondoljuk, e l­vileg sem lehet. E negatív tapasztalato t az I. főtételhez hasonlóan posztulá- tummá (alaptörvénnyé) fogalmazzuk: Másodfajú örökmozgó nem létezik. Ez a fenomenologikus term odinam ika II. főtétele, pontosabban, annak egyik m egfogalmazása.

- A másodfajú örökmozgó olyan eszköz lenne, amely a rendezetlen mozgásból rendezettet csinál anélkül, hogy ezé rt máshol - az alsó hőtar*

- 260 -

tályban - növekvő rendezetlenséggel kellene fizetni. Ezt az alapgondolatot próbáljuk meg a 6 . §-ban kvantitatív szinten megfogalmazni. A mozgás rendezettségének spontán növekedése olyan jelenségek létezését jelentené, mint az 5.1 pontban felhozott képtelen példa a lehűlés révén spontán fel­gyorsuló hasábról.

Az e rő - és hűtőgépek működésének elem zése során figyelmünket a rendezetlen energiaközlés meghatározott irányából fakadó irrev erz ib ilitás- ra fordítottuk. Úgy gondoljuk azonban, hogy más tipusu irreverzib ilitások- kémiai folyamatok iránya, rendezett energia disszipálódása stb. - is ez­zel közös fo r rá s ra vezethetők v issza . -

5 .4 .3 A term odinam ikai hőm érsékletskála

A II. főtétel fenti alakjából egy fontos következtetést m ár is leszű r­hetünk: ideális Carnot-gépnél kisebb veszteséghányadu erőgép nem létezhet (különben lehetne másodfajú örökmozgót készíteni), tehát bárm ilyen erőgép veszteséghányadára a

Qo u- T„(5.4) 2-be > _2

Ql-b ő l T 1

re láció teljesü l. Speciálisan, ideális Carnot-gép veszteséghányada sem lehet kisebb egy másik ideális Carnot-gép veszteséghányadánál, következés­képpen bárm ilyen munkaközeggel (reá lis gázzal, gum iszalaggal s tb . ) mű­ködő ideális Carnot-gépek veszteséghányada ugyanakkora. Az ideális gáz­zal működő Carnot-gépét m ár tudjuk:

ahol és T a két hőtartály ideálisgáz-skálában m ért hőm érséklete,

és ezek szerin t a m ás közeggel működő Carnot-gépeké is ugyanekkora. De akkor ezennel kezünkben van a hőm érsékleti skála olyan definíciójának le­hetősége, amely az ideálisgáz-skálával egybeesik, amig az realizálható, de ezen a tartományon kivül is é rte lm es (elvileg mérhető) mennyiség, és- végre - a hőm érő közegének anyagi minőségétől teljesen független:Legyen a 2. te s t term odinam ikai hőm érséklete annyiszorosa az 1. testének, amennyi a két te s t mint hőtartály közé épitett ideális Carnot-gép által a 2. és 1 . hőtartállyal lebonyolított m elegitéses energ iacsere nagyságának há­nyadosa, azaz a term odinam ikai hőm érsékletskálát az (5.5) egyenlőséggel definiáljuk. A term odinam ikai hőm érsékletskálán is megtarthatjuk a "K"

- 261 -

egyseget, hiszen, mint láttuk, uj skálánk az ideálisgáz-skálával egybe­esik, ahol ez utóbbi létezik.

Az ideálisgáz-skála ezek szerint szerencsés választás volt a végtelen sok lehetséges empirikus skála közül, bár nem véletlenül szerencsés: a r i t ­ka gázok meglepően egyöntetű viselkedése hivta fel rá a figyelmünket.A 4. §-ban pedig láttuk, milyen közvetlen, szem léletes jelentése is van: az ideálisgáz-hőm érséklet az egy transzlációs szabadsági fokra átlagosan jutó kinetikus energiával arányos.

6. §. A II. főtétel statisztikai megfogalmazása; entrópia

6.1 A véletlen mint a folyamatok irányának szabályozója

6.1 ábra

Kereshetjük viszont az események nagy törvényekben.

Az egyedi (atomi) eseménye­ket le iró mechanikái (és mint látni fogjuk, ugy anígy a kvantummecha­nikai) törvények egyenértékűen megengedik bármilyen esemény időben fordított lejátszódását is: ha a 6.1 ábrán látható egyik rugal­mas ütközés végbemehet, akkor végbemehet a másik ütközés is. Az irreverzib ilitás okát nem kereshet­jük az egyedi eseményeket kormány­zó törvények aszim m etriájában, számánál jelentkező statisztikai

6 .1 .1 Szimulációs játék a keveredésre

A statisztikai törvények szerepét legegyszerűbben a keveredés jelen­ségén követhetjük nyomon. A 6.2 ábrán látható folyamatok (gázkeveredés, piros és fehér cukorkák összerázása, végül az előbbieket utánzó, szim ulá­ló szerencsejáték) közös sajátossága: éppen az vezet irrev erzib ilis kon- centrációkiegyenlitődésre, hogy az egyedek ugyanakkora valószínűséggel mennek át a rendelkezésükre álló tartomány egyik feléből a másikba, mint vissza. A szimulációs játék szabálya a következő: amelyik zseton száma ki­jön a kockadobásnál, átkerül a másik rekeszbe. Ha a játékot sokáig foly-

- 262 -

levegőt öróm

Él

6 .2 ábra

tatjuk, legtöbbször 3-3, kevesebbszer 2-4 és 4-2, még kevesebbszer 1-5 és 5-1 m egoszlást találunk, végül nagy néha (átlag kb. minden hatvanadik dobásnál) 0-6 és 6-0 is. 12 zsetonnal játszva m ár több ezer dobásig kellene várni, hogy egyszer visszaáljon az eredeti rendezett helyzet. És Loschmidt- számnyi zsetonnal.. . ? ! A gázkeveredésben pedig a molekulák éppen ezt "játszák". E zért egyenlítődik ki a koncentaráció. Ha kevesebb egyed van az egyenlő térfogatú tartályok egyikében, az Egyformán valószínű események közül több vezet a rra , hogy az e tartályban levők száma növekedjen, mint hogy csökkenjen. Nem azért tehát, m ert szívesebben mennek innen oda, mint vissza, hanem éppen azért, m ert egyformán szívesen mennek oda és vissza.

Könnyen kiszámolhatjuk, mekkora valószinUséggel következnek be az egyes meg­oszlások. Hosszú távon minden egyed egyenlő valószínűséggel tartózkodik a két té rfé l­ben, így átlagosan annyival többször találunk n^ : n2 megoszlást : m^ megoszlásiul,

ahányszor többféleképpen valósulhat meg az lobbi az utóbbinál. 6 egyed esetében még ré s z ­letesen tudjuk követni, hányféleképpen alakulhatnak ki az egyes megoszlások:

0 : 6

- 123456

1 : 5 2 : 4 3 : 3

1 2345b 12 3456 123 4562 13456 13 2456 124 3563 12456 14 2356 125 3464 12356 15 2346 126 3455 12346 16 2345 134 2566 12345 23 1456 135 246

24 1356 136 24525 1346 145 23626 1345 146 23534 1256 156 23435 1246 234 15636 1245 235 14645 1236 236 14546 1235 245 13656 1234 246 135

256 1343<5 126346 125356 124456 123

6 15 20

- 263 -

Észrevehetjük, hogy a k:(n-k) m egoszlás annyi módon valósulhat meg, ahányféleképpen n különböző elemből k szám út ki lehet választani (n elem k-adrendü kombinációi):

Ez tehát egy m eghatározott m egoszlás (egy makroállapot) megvalósulási lehetőségeinek (a mikroállapotoknak) a szám a; nevezzük az adott makro­állapot statisztikus súlyának is.

- Különböző makroállapotoknak az olyan állapotokat tekintjük, am e­lyeket makroszkopikus m egfigyeléssel elvileg meg lehet különböztetni.A brójngőz-levegő-keveredésnél pl. a gáz szine jelz i, hogy egy-egy kis tartom ányban több vagy kevesebb brómmolekula van-e, de nem je lz i, hogy mely molekulák vannak ott. -

A mikroállapotok összes szám a a példánkban

egy-egy makroállapot bekövetkezésének valószínűsége

Speciálisan, = l / 2 n.

A két egyenlő m éretű tartály között bolyongó egyedek különböző megoszlásainak statisztikai súlyát k /n függvényében a 6.3 ábrán rajzoltuk fel n = 6, 36 és 3600 egyed ese té re . 3600 egyedből álló rendszerben m ár nem csupán annak igen kicsi a valószínű­sége, hogy mind az egyik tartományba gyűljön, hanem annak is, hogy a m egoszlás akár csak néhány százalékkal eltérjen a fele-fele aránytól. (Konkrét példa: annak valószínű­sége, hogy egyik tartományban kevesebb, mint 1700 egyed legyen, kb. 1%!)

6 . 1.2 Statisztikus ingadozás

Ez a Stirling-form ula. n In — nem olyan értelem ben közelíti ln n ! - t , hogy a kettő

különbsége n korlátlan növelésével nullához tartana, hanem csak úgy, hogy a kettő há­nyadosa 1-hez ta rt. Ilyen aszimptotikus közelités is elég lesz azonban minden további meggondolásunkhoz.

Példaképpen becsüljük meg az egyik féltartományban található molekulák (vagy

zsetonok) számának várható ingadozását. In = In W(k) közelítsük a < k > =— -

nél levő maximuma körüli hatványsorával, a k mennyiséget folytonos változóként kezel­ve. A hatványsor lineáris tagja nulla (hiszen ott az eloszlás-görbének vízszintes érin tő­je van), igy

InW(H) ís In W(< k>) + j ( k - < k » 2 + . . .

dK <k>

Mivel pedig

In W = In n ! - In k! - In (n - k )! = n In n - n - k In k + k - (n-k) In + (n-k);

d In Wdk = - In k + In (n - k),

d k

1n - k ’

/ d l n W \ J _ _ l _ _ _2_V dk2 ) “ "<k> ‘ <k> " <k>

dk <k>

Nagy számok faktoriálisaival számolni hosszadalm as, a Loschm idt-szám közelében meg m ár reménytelen, ehelyett közelitő formu­lát használunk. In n! közelítő kifejezéséhez nagy n-ek esetén a következő módon jutunk (1. 6 .4 ábra):

In n! x dx =

(6.1) = [ x In x -x ] = n In n-n + 1 :1

« n In n-n = n In — .

- 265 -

a

In W(k) = In W(< k >) - tk .

vagy .W(k) = C e <‘k

kifejezést kapjuk. 23Számpélda: <k > = 10 esetén annak az állapotnak a valószínűsége, amelyben k

13 ,,csak (!) 10 -nal. azaz < k> tizmilliárdod részével e ltér a középértékto'l,

W(k) -1000 _ ,„-400w «k> ) ~ e 46 10

-szer kisebb a pontosan fele-fele arányú megoszlásénál. Annak összegzett valószinüsé- gét, hogy a molekulaszám ennél távolabb essen < k > -tói, a 6. 5 ábra szerinti Gauss- görbe levágott szárnyai és az egész görbe alatti terület hányadosa adja. A Gauss-görbe különböző intervallumokon vett határozott integrálja táblázatokban megtalálható, a mon­dott területek aránya a példánkban szereplő adatokkal még 10-400_nál ís kisebb.

A mikroszkopikusan véletlen eseményekből a statisztikus törvények ilyen módon állítanak elő gyakorlatilag biztosan teljesülő makroszkópikus törvényeket, esetünkben azt, hogy a gáz a tartályt egyenletesen, homogén sűrűségeloszlással tölti ki.

- Egy általánosithatónak bizonyuló hasznos mellékeredményünk: < k > körül vélet­lenszerűen ingadozó egész szám (esetünkben a fóltartományban található egyedek száma, de ugyanígy pl. a radioaktív pre p a rátumban egyenlő időközökben elbomló atommagok szá­ma is) az átlagtól várhatóan /< k > értékkel tér el: a Gauss-görbe meredek zuhanása kb. ott kezdődik, ahol a kitevő e lé ri a -1-et, azaz k % <k> + < k>körül. -

6 . 5 á b ra

- 266 -

6.2 .1 Energiaeloszlás kialakulásának szim ulálása

A sikeresnek bizonyult gondolatot megkíséreljük a term ikus egyensúly kialakulásának követésére is alkalmazni. Induljunk ki egy egyszerű term o­dinamikai rendszerből, az egyensúlyi helyzetük körifl rezgő atomok alkotta szilárdtestből. Az N atomból álló teste t n = 3N számú, egymástól majd­nem függetlenül rezgő, egyenlő frekvenciájú oszcilláto rral modellezzük.A "majdnem függetlenül" azt jelenti, hogy általában mindegyik végzi a ma­ga rezgőmozgását a többitől függetlenül, néha azonban egy-egy energia­kvantumot átadnak egymásnak. Makroszkopikus te s tre gondolunk, de elég k icsire ahhoz, hogy feltételezhessük, bármelyik oszcillátor bármelyiknek egyenlő valószínűséggel adhat energiát.

Ez az Einstein-féle szilárd test-m odell, am it a szabadsági fokok be­fagyásának értelm ezésénél is használtunk. Ott abból indultunk ki, hogy az oszcillátorok energiaeloszlása Boltzm ann-eloszlás, most azt akarjuk meg­érteni, hogy m iért Boltzm ann-eloszlás. Az a reményünk, hogy ennek adód­ni kell a véletlen energiaátadások statisztikus törvényszerűségeiből.

A véletlenszerű energiacserélgetés lefolyását is szimulálhatjuk kocka­dobós játékkal. A 6.6 ábrán a 6x6-os négyzetrács n = 36 oszcillátort, a zsetonok pedig energiakvantumokat jelképezzenek. Játékszabály: q darab zsetont elhelyezünk tetszőlegesen a cellákban, és a v> darab zsetont ta rta l­mazó cellát £ = v £ 0 energiaállapotu oszcillátornak tekintjük. Ezután két kockával dobva kisorsoljuk azt az oszcillátort (sort és oszlopot), ame­lyik energiát ad. le; ha éppen ü res, ú jra sorsolunk. Ezután kisorsoljuk azt az oszcillátort, amelyik az energiakvantumot kapja. A játékot néhány száz dobásig folytatva, meghatározott alakú állandósult eloszlás alakul ki, füg­getlenül a kezdeti energiaeloszlástól. (Statisztikus ingadozásokkal, term é­szetesen. ) A kapott e loszlásra rá lehet fogni, hogy exponenciális: a v = 0 , 1 , 2 , . . . kvantummal rendelkező oszcillátorok nv szám a (sok rá - pillantással kapott átlagos száma) kb. m értani sorozat szerin t csökken,

6 .2 Osztozkodás az energián

n0 ~ " l ~ n2 ‘ '

Annak Pv valószínűsége tehát, hogy egy találom ra kiválasztott oszcillá­to rt v kvantumu állapotban találjunk,

- 267 -

1 1

igy a P q, P j , P^ valószínűségek is m értani sorozatot alkotnak.

n = 36, q = 36 esetén a m értani sorozat kvociense kb. — volt, a harm ad-1annyi összenergiát jelentő q = 12 esetében pedig kb. —. In Pv

az £ = \) £ q energia függvényében egyenes, mégpedig annál medekebben

zuhanó, m inél szegényebb energiában a ren d szer. Jelöljük "tr-val az In P = f(£ ) logaritm ikus valószínűségi eloszlás reciprok meredekségének abszolutértékét,

1 ln P 0" ln P1 1 1 P 0 1 P v -1<6*2) r = — i — • vagy t 7 = 1 T P ~ = ~ ~ p T " •o o 1 o v

A mondottak szerin t V annál nagyobb (az e loszlás annál laposabb), minél "kvantumdusabb" a tes t. A (6.2) egyenletet átírva, az £ = ^ £ 0 állapot felvételének valószínűségére a

- 268 -

VE,

(6.3) P = P e V o

kifejezést kapjuk. Ez pedig olyan, mint a B oltzm ann-eloszlás! A hőm ér­séklet - pontosabban, a Boltzm ann-állandóval átskálázott kT energia- dimenzióju hőm érséklet - szerepét a V param éter tölti be.

A játékot továbbfejleszthetjük term ikus egyensúly beállási folyama­tának szim ulá lására. E lőször külön-külön játékkal beállítjuk különböző energiagazdaságu két te s t belső sta tisz tikus egyensúlyát; egymásnak nem adhattak energiát: adiabatikus falat képzeltünk közéjük. Ezután a képzelet­beli hőszigetelést "eltávolítjuk", azaz most m ár megengedjük a két test közötti kvantum cserét is. (Ha mindegyik " test" 6x6-o s rá c s , úgy, hogy a kockapár-dobás előtt egy forintost is feldobunk: ha fej, a bal oldali te s t ad vagy kap, ha írá s , a jobb o ld a li.) Az eredmény, elég sok sorso lás után: kö­zös e loszlás alakul ki, a két eredeti közötti m eredekséggel (1. 6 . 7 ábra); a "m elegebb" te s t V -p a ram éte re csökkent, a "hidegebbé" nőtt, és sta ­tisztikus végösszegben az eredetileg "melegebb" energiát veszített, a "hidegebb" energiát kapott. A V -p a ram éte r tehát minden szempontból betölti a hőm érséklet szerepét.

együtt

6 .7 ábra

- 269 -

6 .2 .2 Az energiaeloszlás kialakulásának statisztikai értelm ezése

A (6.3) egyenlethez a szim ulációs játék tapasztalt eredményéből ju ­tottunk, átélve ilyen módon, hogy a véletlen kvantum cserélgetés tényleg exponenciális energiaeloszláshoz (m értani sorozathoz) vezet. Most szám o­lássa l követjük, hogy ennek szükségképpen igy kell lenni. Az alapgondolat: hosszú távon a kvantumok minden lehetséges elosztása az oszcillátorok között (minden "keverés") egyenlő valószínűséggel fordul elő; de akkor egy kiszem elt o szcilláto r V kvantumu állapotban többször található, mint a v + 1 kvantumuban, hiszen a többi o szcilláto r a fennmaradó q - v kvantumon többféleképpen osztozhat, mint az eggyel kevesebb q - ( v> + 1 ) kvantumon. Mennyiségi kijelentést is tehetünk:

w (n_1)q - V

q-(V +1 )

(N)ahol W az N oszcilláto r k kvantumon való osztoszkodási változatai- k

nak szám át jelen ti. Hogy m eghatározott számú oszcillátor több kvantumon többféleképpen osztozkodhat, nyilvánvaló; az is várható még a ré sz le te s szám olás előtt, hogy egy-egy ujabb kvantum "bedobása" nem annyira ugyan­annyival, mint inkább ugyanannyi szo rosára növeli az osztkozkodási lehe-

(N)tőségek szám át. é rtékét nem nehéz kiszám olni: N oszcilláto r annyi­

féleképpen osztozkodhat k kvantumon, ahány különböző o-betüvel kezdődő szót tudunk alkotni N számú o-betüből és k számú e betűből. (Hozzá­rendelés: oeeooeeeo.. azt jelenti, hogy az első oszcilláto r 2 kvantumu, a második 0 kvantumu, a harm adik 3 kvantumu s tb . ) Ezek száma pedig

(6 4) w <N)= i N = l ± k l L / N - l f k \1 ’ k k ! (N -l)! V k J

(Az első kivételével minden betűt felcserélhetünk, ami (N-l+k)! perm utá­ció. De ezek között azok, amelyek egymástól csak o-nak o-val vagy e- nek e-vel való fe lcserélésében különböznek, ugyanazt a szót adják, tehát mindegyik szót k ! (N—1)! példányban kap tuk .) Akkor pedig azon P q, P j , P 2>. . . valószínűségek aránya, hogy egy k iszem elt oszcilláto rt

0, 1 , 2 , . . . kvantumu állapotban találjunk,

- 270 -

p w ( n _ 1 ) ,__2 = ___ = i n g tál! / = n+a-2 nPj w (n_1) q ^ “ -2 ) ! / (q - l) !(n -2 )! q q ’

q-1

P1 Wq-1 n + q - 3 nv “ í V a u i (3<<"’‘"

q-2

és így tovább. Mindaddig tehát, amig n, q » -0, a P Q, P^, P ^ .........Py •

valószínűségek szükségképpen m értani sorozatot alkotnak, (q és n nagy, makroszkopikus testben Löschmidt-szám nyi rendű, q/n m ár nem fe lté t­lenül nagy!) A In Pv = f( £v ) egyenes reciprok m eredekségének abszo- lu tértéke

(6 . 5) ^ = m ^ _ = - ^ l n ( 1 + n ) tc o VJ+1 c o 4

és maga az eloszlás

(6 . 6 ) Pv = C e = C e

Ezzel m egértettük, m iért alakul ki a szim ulációs játékban tapaszta lt ex­ponenciális energ ia-e losz lás, és m iért alakul ki az Igazi oszcillátorok so­kaságában a Boltzm ann-eloszlás.

6 . 2. 3 Az energ iaszivárgás iránya

Annak is okát tudjuk adni, m iért éppen a T -param éterek nagysági sorrendje szabja meg az energiaszivárgás irányát. Vegyük szám ba, hány­féleképpen valósulhat meg az n^ és n ^ oszcillátorból álló A & B tes t

esetében a kvantumok egy q^ :q^ m egosztása, n^ oszc illáto r q^ kvan-

A / W Mtumon Vv (qA) = ^ J féleképpen osztozkodhat, és minden egyes

^ B / nB+qB_I>m ikroállapot ezek közül társu lha t a másik te s t W (q ) =1 ) számúB \ qB Jmikroállapotának bárm elyikével. Az A<i B tes t tehát egy m eghatározottq . :q m egosztás kikötése m ellett

A B

- 271 -

w = WA(qA) . WB(qB)

számú m ikroállapot bárm elyikében lehet, egyenlő valósziniiséggel. Hason-litsuk ezt össze a (q - l) :(q +1 ) megoszláshoz tartozó m ikroállapotok szá - A r5mával. Egy kvantum A —► B átadásával W csökkenni fog, W nőni, és

A Bha WA kevesebbed ré sz é re csökken, mint ahányszoro sá ra W nő, az

uj m egosztás többféleképpen valósulhat meg, mint az eredeti. Akkor pedig az egyenként irányitatlan kvantumátadások sta tisz tika i átlagban ahhoz ve­zetnek, hogy A , energiát ad, B energiát kap. Mivel az előző eredmények szerin t

W ^ - l ) = WA(qA) / ( I + A , WB(qB r 1) = WB(qB) . (1 + ,

a spontán energ iaszivárgás iránya a különböző lehetséges esetekben

nA < nB A - * B1 + = 1 + — , term ikus egyensúly

qA qB A B

A o HA o MB B

I> A ^ B ^ „ • term ikus egyensúly

A-— B- A form ális számoláson túl is átérezhetjük, hogy a "kvantumdusság" szabja meg,

milyen érzékenyen érinti egy-egy kvantum nyerése vagy elvesztése az osztozkodási lehe­tőségek szám át. A szegényebb test szám ára egy kvantum viszonylag többet jelent, mint a gazdagabb partner szám ára (W nagyobb tényezővel változik.) Ha a 36 oszcillátorból álló, eredetileg nincstelen test kap egy kvantumot, a "keverési lehetőségek" száma 1-ről 36-ra nő, a következő kvantum m ár csak 19-szeres növekedést jelent, ill. elvevése ugyanilyen arányú csökkenést. Két ilyen test közül az egyiknek osztva kezdetben 2 kvan­tumot, a másiknak semmit, az 1-1 átosztás az egész rendszer mikroállapotainak szám át 36 /19-szeresére növeli. -

Bonyolódik a helyzet, ha a két test különböző tipusu oszcillátorokból épül fel, pl.S - 2 Ej ill. j hézaggal az állapotok között. Ekkor A £ = 2 energia át­

adása egy kvantum elvesztését jelenti A szám ára, de két kvantum nyerését B szám á-/ nA \ / nB \

ra . így A mikroállapotszáma ^1 + —— J -ad ré szé re csökken, B-é ^ 1 + ---- J -

s ze resére nő. A folyamat irányát ekkor az

- 272 -

f (* * ; r ) ■qA * V D

\

\j - In ( 1 + — ) = In ( l + — ) ,£ 1 ' ^A 1 V V

IA ----► B

term ikus egyensúly B — A

reláció szabja meg, tehát az

formulával definiált T -param éter m ost is betölti a hőm érséklet szerepét. E példán látjuk, hogy r értékét a kvantumdusságon kivül az energiahézag nagysága ( «=> a kvan­

tumállapotok sűrűsége) is érdemben befolyásolja. Az tényező nélküli "csupasz"0

In (1 + — ) nem lenne jó m értéke a hőmérsékletnek.

Még általánosabb esettel a következő pontban foglalkozunk.

6.3 A term odinam ika n . főtételének sta tisz tikai megfogalmazása:

sta tisz tikus hőm érséklet és entrópia; a III. főtétel

6 .3 .1 A II. főtétel általános sta tisz tikai megfogalmazása

Kiemeljük eddigi meggondolásaink alapeszm éjét: Z árt rendszerben le­játszódó folyamatok a rendezettebb állapotból a rendezetlenebb felé vezet­nek. Ez a term odinam ika II. főtételének statisztikai m egfogalmazása.A "rendezettebb", "rendezetlenebb állapot"-nak szabatos definícióját tud­juk adni: rendezetlenebb az a m akroállapot, amely többféle m ikroállapottal valósulhat meg, másképpen fogalmazva, amelyben a ren d szer több m ikro- állapotot bolyonghat be véletlenszerűen. A törvény sta tisz tikus jellegű,

- 273 -

csak nagyszámú egyedből álló ren d sze rre van érte lm e. A "m ikroállapo- tok szám a" kifejezésnek pedig határozott jelen tést a kvantumosság fe ltéte­lezése ad.

6 .3 .2 Statisztikus hőm érséklet

Általánosítsuk az előző pont egyszerű m odellre vonatkozó meggondo­lásait. Nem tételezzük most m ár fel, hogy az energ iacserében résztvevő testek egyedeinek energiaszin tjei egyenközüek. (Vő. a dobozba zá rt r é ­szecske energ iaszin tje ivel!) Feltételezzük viszont továbbra is, hogy az energiaátadás során anyagszerkezeti változás (halm azállapotváltozás, ké­miai reakció) nem következik be, és egyelőre feltételezzük, hogy a testek térfogata állandó. Ezekkel a megkötésekkel azt biztosítjuk, hogy a kvantum- állapotok rendszere (az energiaszintek elhelyezkedése) a folyam at során nem változik. Feltételezzük végül, hogy az energiaátadás kvázisztatikusan folyik, azaz olyan lassan, hogy a partnerek külön-külön a folyamat minden pillanatában a te ljes rendezetlenség, vagyis az állandósult e loszlás álla­potában vannak. (Egy-egy apró energiaadag átadása között elegendő idő te ­lik el, hogy az energia szétoszoljon a szabadsági fokok k ö zö tt.) Ezen meg­kötések m ellett a testek belső energ iája csak m elegítéssel változhat, és a m ikro állapotok szám a egyedül a belső energiától függ. (Az esetleges ren ­dezett mozgás az állapotstrukturát nem befolyásolja!)

Legyen w ^ (u ^ ) és WB<U^) az egyes testek mikroállapotainak

száma (= az állapot sta tisz tikus súlya) a testek belsőenergiájának függvé­nyében. A két te s t alkosson együtt zárt rendszert, U + U = U = állandó.

A BAz A A B tes t egy adott megoszláshoz tartozó m ikroállapotainak

szám a, az előző pontban tett indokolás szerin t, az egyes testek m ikro- állapotszám ainak szorzatával egyenlő.

(6- 7> wa * b ‘V V - wa (V - w b (V

Ha A E > 0 energia megy át A-ból É-be, az A A B tes t állapotának sta tisz tikus súlya növekszik vagy csökken vagy állandó m arad. Az energia­szivárgás irányát a II. főtétel szerin t éppen ez szabja meg: ha a s ta tisz ­tikus súly növekszik, csakugyan A —*■ B lesz az energ iaszivárgás iránya, ha csökken, fordítva:

- 274 -

A BWA<UA),W B(UB) > WA(UA- A e )w b (u b 4 A e > term ikus egyensúly

A ^ B

4W < w b < V AE )

WA(UA- A E ) >w b (ITb >

Az egyenlőtlenségi relációkban A E esetleges érték , a két oldalon levő kifejezések még nem a testek állapotának jellem zői. Könnyen ilyenné a la ­kíthatjuk azonban, mindkét oldal logaritm usát véve, A E -vel osztva és a A E —*• 0 ha tá rérték e t képezve. így a

d l n W , d In W„ A < BdtJ, dlL

A —*■ Bterm ikus egyensúly A •*- B

reláció t kapjuk.* A

d In W,

d In W

d U,mennyiség az A tes t állapotának jellem zője,

Bd U a B tes t állapotáé.

Bés ezek akkor is é rte lm es kifejezések, am ikor még nem k erü lt a két te s t term ikus kontaktusba. Értékük nagy­sági sorrendje m egszabja, hogy - ha adiabatikus fal nem lenne köztük - melyik adna energiát a másiknak a re n ­dezetlen energ iacserélgetés sta tisz tikus átlagában (1. 6 .8 ábra). Az

___ 1 d In W ............. f , , 1 / 9\ n W \(6 . 8) ^ = — — - (V =all.) [szebben í r v a ^ r ^ — ) < v*gy

j _ i ( 3 w \ ] f wV 3U / J

’'igaziból A E-vel nem tarthatunk nullához, éppen a kvantumossal; m iatt, de nagy test energiaállapotai olyan sürün követik egymást, hogy a belső energiát folytonos változóként kezelhetjük.

- 275 -

form ulával definiált X mennyiség tehát a hőm érséklet általános érte lm e­zése szerin t a hőm érsékletnek egy lehetséges skáláját adja. A statisztikus súly energia szerin ti logaritm ikus deriváltjának azé rt a reciprokával defi­niáltuk a T -hőm érsékletet, hogy a megszokott növekedési irány megma­radjon: magasabb a hőm érséklete annak a testnek, amely energiát ad.A (6 . 8 ) form ulával érte lm ezett hőm érsékletet sta tisz tikus hőm érsékletnek

nevezzük; fizikai dimenziója energia, mint kT-nek. annak m értéke,

hogy a sta tisz tikus súly milyen roham osan nő energiabeszivárgás ha tására (vagy, egyenértékűen, milyen roham osan csökken energiakiszivárgás hatá­sára). M érőszám a a sta tisz tikus súly egységnyi energiabeszivárgás hatá­sá ra bekövetkező re la tiv változásával egyenlő. Amelyik te s tre ez nagyobb, az kap sta tisz tikus átlagban energiát attól, am elyre ez kisebb.

6 . 3 . 3 Statisztikus entrópia; a l l , főtétel sta tisz tikus alakjának m atem atikai megfogalmazása

Magának a sta tisz tikus súlynak (a m ikroállapotszám nak) a logaritm u­sát nevezzük el (statisztikus) entrópiának,

(6.9) $ = In W.

A továbbiakban a rendezetlenség m értékül W helyett inkább az entrópiát használjuk, tehát nem a bebolyongott mikroállapotok szám át, hanem ennek a logaritm usát - m ár csak azé rt is, m ert maga W makroszkopikus testnél kezelhetetlenül nagy szám . A statisztikus hőm érséklet és entrópia közötti összefüggés (6 . 8 ) és (6.9) szerin t

(6.10) ~ = ^ (V = áll. ), szebben írva: - |r =

vagy - mivel a kikötött körülmények között a belsőenergia csak m elegítéssel változhat (V = áll. esetben dll = d ’Q) -

(6 . 11 ) d § = .

Az entrópia definíciójánál fogva állapotfüggvény. Fontos tulajdonsága, hogy additív (<£=> extenziv) mennyiség,

(6-12) W V ? , - | ‘!- |" wa í b = i" w a ' V ' V 1" w b i

- 276 -

(A teljesebb igazság szerint ln W elsősorban ezért alkalmasabb mértéke a rendezetlenségnek, mint maga W: az additiv könnyebben kezelhető, mint a multiplikativ W .)

A II. főtételt az entrópia fogalmának felhasználásával igy mondhatjuk ki: Zárt rendszerben lejátszódó folyamatokban az entrópia csak növekedhet. Ideális határesetként állandó maradhat - ez a zárt rendszer reverzibilis folyamata - de sosem csökkenhet. Zárt rendszerben a fizika megmaradási törvényei szerint megengedett és szigetelő falak által meg nem akadályo­zott folyamatok mindaddig folynak, amig entrópianövekedéssel járnak.A statisztikus egyensúly ( s dinamikus egyensúly e termodinamikai egyen­súly, ami a termikus egyensúlyt is magában foglalja) állapotát az egész rendszer az entrópia maximális értékénél éri el. Ez a maximális érték a szigetelő falak jelentette kényszerfeltételek melletti un. feltételes szélső­érték, ami a szigetelő fal eltávolításával tovább növekedhet.

- Ismételten hangsúlyozzuk, hogy az entrópianövekedés törvénye sta­tisztikus törvény. Kis számú egyedből álló rendszerben észrevehető statisz­tikus ingadozások, flukutácíók jelentkeznek, igy kis valószínűséggel a meg­szokottól eltérő irányú folyamat is lejátszódhat. -

6 .3 .4 A Hl. főtétel

Még egy fontos tulajdonságára figyelhetünk fel az entrópiának. Mivel a test alapállapotát egyetlen mikroállapot valósítja meg (minden egyed a legalacsonyabb energiájú állapotában van), az entrópia az alapállapotban ln 1 = nulla. Ugyanitt a statisztikus hőmérséklet is nulla: bármilyen k icsi­vel (egy kvantummal) növekszik a belsőenergia, ln W nulláról végesre nő, igy l / V -*oo, amint a test az alapállapotához közeledik; a 6. 8 ábra gör­béi az U = 0 helyen függőleges érintővel futnak be a ln W = 0 értékbe.A termodinamika m . főtétele ezt a határ-viselkedést fogalmazza meg:A hőmérséklet korlátlan csökkentésével minden test entrópiája nullához tart. A hőmérséklet abszolút nullpontja az a hőmérséklet, amelyen a makroszkopikus testek alapállapotukban lennének; ez elvileg tetszőlegesen megközelíthető, de pontosan elérni gyakorlatilag lehetetlen. Az abszolút nulla alatti hőmérsékletnek pedig nincs jelentése!

- Negatív hőm érsékletet, m int a II. évben látni fogjuk, lehet értelm ezni, de ez nem az abszolút nulla alatt, hanem az "abszolút végtelen fölött" van! Ott lényegében a rró l lesz szó, hogy átmenetileg megvalósulhat olyan energiaeloszlás is, amelyben több egyed van magasabb energiaállapotban, mint alacsonyban. -

- Látni fogjuk majd, hogy a m . főtételt túl kategórikusan mondtuk ki. Teljesebb igazság szerin t csak szigorúan (mikroszkopikusan is) homogén te stre teljesül. -

- 277 -

6 .3 ,5 Erőgépek maximális hatásfoka, a termodinamikai és statisztikus hőmérséklet kapcsolata

Alkalmazzuk a IL főtétel statisztikai (entrópiás) megfogalmazását erőgépek minimális veszteséghányadának kiszámítására. Hogy zárt rend­szerben gondolkozhassunk, a két hőtartályt és a munkaközeget tartalmazó gépet egészítsük ki a munkavégzés tárgyával, legyen ez egy lendkerék.

A gép által végzett munka fordítódjék teljes egészében a lendkerék rendezett kinetikus energiájának növelésére, így ennek sem a térfogata (m erev!), sem a belsőenergiája nem változik, tehát az entrópiája sem .A munkaközeg entrópiája a ciklus végén ugyanannyi, mint az elején, mert az entrópia állapotfüggvény. Az egész rendszer entrópiaváltozása tehát a két hőtartály entrópia változásának összegével egyenlő (additivitás!). Le­gyen V és Tg a felső, ill. alsó hőtartály statisztikus hőmérséklete

( z ~2 < T^). és egy munkaciklusban a felső által a munkaközegen, ill. a

munkaközeg által az alsón végzett m elegítés ^ ill.

Qg = ke * A lendkerék egy ciklusban E = - Q2 nagyságú energiát

kapott. A felső hőtartály entrópiája Q / T értékkel csökkent, az alsóé

Q2—— vei nőtt, így az egész rendszer entrópiaváltozása - ami a n . főtétel l 2szerint negatív nem lehet -

fi Q, Qr, Q9 , t

r i 2 2 = 1 « 1-ből T 1

A veszteséghányad nem lehet kisebb a két hőtartály statisztikus hőmérsék­letének hányadosánál. Pozitív munkavégzés a ciklus során eleve csak akkor lehetséges (Q > ( ^ 2 csa^ akkor teljesülhet), ha < T ^ t azaz ha két

különböző hőmérsékletű energiatartály áll rendelkezésre. Ezért nem lehet másodfajú örökmozgót készíteni. Legnagyobb az entrópianövekedés, ha

= Q , azaz ha az energia csak "átfolyt" a munkaközegen, és a lendkerék

semmit nem kapott. Adott mellett legtöbb munkát pedig akkor kapnánk,

ha az alsó hőtartályon a munkaközeg nulla melegítést végezne. Ez a kör­folyamat azonban entrőpiacsökkenéssel járna, tehát a II. főtétel szerint nem mehet végbe. Q^-nek legalább akkorának kell lennie, hogy az entrópia ál­

landó maradjon. Az ideális határesetet, a minimális

- 278 -

veszteséghányadot, reverzibilis gép érhetné el ( A ^ =0), azaz ideális Carnot-gép. De a termodinamikai hőmérsékletet éppen az ideális Carnot- gép hőtartályai által felvett és leadott energia hányadosával definiáltuk, a(6.13)-m al azonos (5.5) egyenlet szerint. A statisztikus és termodinamikai hőmérséklet tehát ugyanazt a hőmérsékleti skálát adja, közöttük csak egy­ségválasztási különbség van,

(6.14) T = kT,

ahol T a termodinamikai hőmérséklet a megszokott Kelvin-skálában, k pedig az egységátszámolási tényező, amelyről könnyen megállapíthatjuk, hogy éppen a Boltzmann-állandó: ig^ egyezik meg pontosan a statisztikai meggondolással kapott energiaeloszlás a tapasztalati Boltzmann-elosz-1 ás sál.

6 .3 .6 Termodinamikai entrópia

Megszokásból - meg azért is, hogy ne kelljen mindig túl kicsiny szá­mokkal dolgozni - a m érési adatokat a Kelvin-egységű T hőmérsékletben szokás közölni. Ezzel összhangban, az entrópiát is célszerű átegységelni, hogy a fundamentális makroszkopikus m érési utasításul szolgáló (6.11) összefüggés formailag érvényben maradjon. Termodinamikai entrópiának fogjuk nevezni az

(6.15) S = k In W (=k ? )

mennyiséget. Ennek dimenziója energia/hőmérséklet, szokásos egysége J /K (régi könyvekben cal/K).

A termodinamikai hőmérséklet és entrópia között a

összefüggés teljesül. Ez az összefüggés módot ad arra, hogy a test állapot- strukturájának részletes ism erete nélkül, m elegítés- és hőmérsékletmé­réssel megállapíthassuk a rendezetlenség mértékének növekedését a term é­szetben lejátszódó folyamatokban. Vigyázzunk: a (6.16) összefüggés érvé­nyességét eddigi meggondolásaink állandó térfogatú kvázisztatikus m elegí­tésre bizonyítják csupán. Térfogatváltozás hatását az entrópiára a 6 .5 pont­ban fogjuk megvizsgálni.

- 279 -

A statisztikus és termodinamikai entrópia között éppúgy nincs lénye­ges különbség, mint a statisztikus és termodinamikai hőmérséklet között. Éppen ezért a "statisztikus", ill. "termodinamikai" jelzőt nem fogjuk min­dig odatenni a hőmérséklet és entrópia szó mellé. Alapjában véve mind­egy, az olvasó melyiket érti rajta.

- Példa: Kiszámolandó az n oszcillátorból álló nagy test ( n » l ) entrópiája, ha az oszcillátorok energiakvantuma £^, a test teljes belső’ energiája U = q és hőm ér­

séklete ennek megfelelő, azaz az

(6.18) T t =1" (1 = l" (1 + T*

összefüggés szerin ti. ( V = az egy oszcillátorra átlagosan jutó kvantumok szám a.)

Megoldás:

^ = ln ~ ln 'ty,+ ~ (n + q ) ln (n + q) - (n + q) -q! (n - 1 )! q! n! ' '

- q l n q + q - n l n n + n = q l n ■* ^ + n In = n [ V Ín (1 + + In (1 + vi) J

= » + 5 ) ] .

Mivel (6 .17)-bői

V kT- !kT

eo/kT e0/k T ■ t o/ k T ’- 1 1 - e

az eredményt az

(6.18a) = k Íj = nk Ín (1

■[ - k ln (1 - e k T ) - ~ - n k Ín (1 - e kT )

alakba is Írhatjuk, ahol <£> a belső energiának egy oszcillá torra átlagosan jutó része, U pedig a teljes belsőenergia.

A közeg mólonkénti termodinamikai entrópiája - n = 3 N és R = kN felhasználá­sával —

- 280 -

_ E £kT ¿0A klasszikus határesetben ( k T » £ „ =t> e a 1 - —---- , U = 3RT)0 kT ~ ’

*0(6.19) S = 3R - 3R In — = const + In T.

(6 .18b) S = - 3R In (1 - e kT ).

A (6.16) formulán alapuló m érési e ljá rá s alapján term észetesen ugyanezt kapjuk: a k lasz-szikus határesetben C = 3R = állandó, d’ Q = C dT,~v ~v

dS = C ~ ~v T

T

~ T = C In S = const + C In T.T ~v T0 - ~v

6.4 Az általános Boltzmann-eloszlás; a környezetéve

statisztikus egyensúlyban levő fizikai rendszer entrópiája

6 .4 .1 Termosztátban levő rendszer energiafluktuációt. az általános Boltzmann-eloszlás

Az általánosabb (6.18b) eredm ényt (6 .16)-re támaszkodva a fajhő hőmérsékletfüggésének ism eretében kaphatnánk. -

A 6 . 2 pontban úgy fogtuk meg az egy oszcillátor energiaflúktuációiban jelentkező statisztikai törvényszerűséget (a különböző energiájú állapotok elfoglalásának valószínű­ségét), hogy a kiszem elt oszcillá to rt szembeállítottuk a vele együtt zár t rendszert alko­tó többivel, ilyen módon az egyes állapotaiban való tartózkodásának valószínűségét kap­csolatba tudtuk hozni a többi szám ára jutó energia elosztási változatainak számával.

Ezt a meggondolást nemcsak egyedi oszcillátorokra alkalmazhatjuk, hanem bárm i­lyen fizikai rendsze rre — gáz m olekuláira, ezek egyes szabadsági fokaira, oszcillátorok vagy molekulák csoportjára, vagy akár makroszkopikus testre is — két feltétellel: Egyik, hogy a rendszer egy nála jóval nagyobb, m eghatározott hőmérsékletű rendszerre l (kör­nyezettel) állandósult statisztikus egyensúlyban legyen, együtt zár t rendszert alkotva. Amint mondani szoktuk, a tekintett rendszer "term osztátban van". A "term osztát?1 hőka­pacitása akkora, hogy hőm érsékletét nem befolyásolják észrevehetőén a belsőenergiájá­nak abból eredő változásai, hogy a kisebb rendszer hol kevesebbet, hol többet birtokolaz összesen rendelkezésre álló E. energiából. A továbbiakban a tekintett kisebb rend-osze rt egyszerűen rendszernek vagy testnek, a vele term ikus egyensúlyban levő nagyob-

- 281 -

bat term osztátnak vagy környezetnek nevezzük. A m ásik feltétel: a rendszer és a te r ­m osztát térfogata külön-külön állandó legyen. (Ez a m ikroállapot-struktura változatlan­ságát biztosítja az energiacserélgetés so rán .)

A rendszernek kiilönböző mlkroállapotai lehetnek, amelyek közül több Is tartozhat ugyanakkora rendszer-energiához, egymástól pl. abban különbözve, hogy ez az energia hogyan oszlik e l a rendszert alkotó egyedek között.

- 3 oszcillá tor mint rendszer példáján:

l (az állapot 1. 2. 3. E = q e.Qsorszám a) oszcillátor (rendszer-

-energia)

1. - - - 0 1

2. X - - 1£° 13. - A - 1£° > 3

4. - - X l e o J5. XX - -

« 0 ]6. X X - 2 t o7.

8.

X

XX

X 2 £ o

2 £ o>

6

9. - X X 2 e o10. - - XX

2 S .11. stb. -

A körü lírt e se tre kimondhatjuk, hogy a rendszer annyiszor nagyobb gyakoriság­gal (= annyiszor nagyobb valószínűséggel) található nulla energiájú állapotában, m int Ej

energiájú valamelyik állapotában, ahányszor több mlkroállapota van a környezetnek a teljes E.. energia birtoklásakor (U= E..), m int amikor csak U = E.. + AU = E - E jut neki: ° ° 0 1

!o _ W(EÖ> ^ U»W(EB) - l n ( E B - E 1)

P i “ W< V Et> E 1 " P i ' Ei

_ / d In W(U) \ 1

= V dU U = E kTö

(W ésU itt a környezetre vonatkozó érték, igy T a környezet hőm érséklete! A á U + 0 határértékkel egyenértékű a term osztát m éretének korlátlan növelése.) Ebből annak

valószínűsége, hogy a rendszer i-edik mikroállapotában legyen,

Ez az általános Boltzm ann-eloszlás. A benne fellépő C norm álási tényező értékét abból a követelményből kaphatjuk meg, hogy a rendszer összes mikroállapotainak valószínűsé­geit szummázva, 1 -e t kell kapnunk (valamelyik mlkroállapotában biztosan megtaláljuk),

-E A T(6.21) Ü P j = C Z e

a rendszer minden m ik- roállapotára

- E A TA C norm álási konstans tehát a Z = 2 . e állapotösszeg reciprokával egyen­lő.

Az általános Boltzmann-eloszlás szerin t a rendszer egyenlő valószinüséggel ta ­lálható mindazon mikroállapotaiban, amelyek ugyanakkora rendszer-energiához ta rtoz­nak. Egy adott energia (nem egy állapot 1) felvételének valószinüségét úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk az ilyen energiához tartozó egyes mikroállapotok valószinüségét,

E.

(6.22) P(E) X P. = C I e kT = W(E) . C . e ' E /kT ,Ef E energiájú , E ^ E energiájú

m ikroállapo tokram ikroál lapotokra

ahol W(E) a rendszer E energiához tartozó mikroállapotainak a szám a.A (6 . 20) eloszlásban fellépő C norm álási konstans értékének m egtalálását m eg-

könnyiti az az észrevétel, hogy a rendszer adott energiához tartozó egy mikroállapotának valószinüségét összerakhatjuk a rendszert alkotó egyedek £ , £ . , . . . energiájú kvan-

— £ / k Ttűm állapotának p , p2, . . . valószínűségeiből (amelyekre pedig a p = c e

Boltzmann-eloszlás teljesül), feltéve, hogy a rendszer-energ ia az egyedek energiájából egyszerű összeadással kapható (mint az ideális gáznál vagy az Einstein-féle sz ilá rd tes t­nél), és az egyedek egymástól statisztikusan függetlenül viselkednek . H Ha ugyanis a rendszert n egyed alkotja, a rendszerenergia

ahol £ v . £ y , az első, második stb. egyed energiája, annak valószínűsége pe-1 2

dig, hogy az első egyed £ energiájú állapotban legyen, és ugyanakkor a második V1

£ energiájú állapotában, és ugyanakkor . . . , ezek külön-külön valószínűségeinek2

szorzatával egyenlő

^Statisztikus függetlenség: ha az egyik egyed állapotát m eghatároztam, azzal még nem lettem okosabb a másik egyed állapotára vonatkozo jóslás tekintetében. Ellenpélda: két egyedből álló zárt rendszer egyik tagjának energiájáról ha megtudtam, hogy csökkent, akkor a másiké biztosan növekedett.

- 283 -

- Z e Vi/kTkT kTP = p , . p . . . p - = c e . c., eV. *v *v 1 21 Z n

. . . - ( Í T c ) e ' ] j = 1 J

n( Ti c

j - 1 -

-E /k T

am it a rendszerre vonatkozó (6.20) Boltzm ann-eloszlással összehasonlitva, a rendszer és az egyedek eloszlásának norm álási tényezői között a

(6.23) C = JT c.j = 1 j

összefüggést találjuk. Ha a rendszer egyforma egyedekből áll, ez

(6 . 24) C = cn

-né egyszerűsödik.

6.4.2 Az entrópia és a rendszer átlagenergiájához tartozó mikroállapot valószínűségének kapcsolata

6 . 9 ábra

- 284 -

Példaképpen a 6.9 ábrán felrajzoltuk n = 1, 3, 10 és 100 oszcillátorból álló rend­s ze rre a különböző energiák felvevésének valószínűségét kT = 4 £ ^ környezeti hőm ér­

séklet m ellett. (Nem a mikroállapotokét, hanem az egyes rendszer-energ iákra (6 .22) szerin t összegzett valószinüségeket!)

A C norm álási tényezőt az egyedi oszcillátorok energiaeloszlásának c norm á- lási tényezőiből (6.24) szerin t számoltuk, magát a c - t a 4 .5 .2 pontban a

oo - £ ()'>>/kTX c e = 1 feltételből m ár meghatároztuk:

\>= 0

- y k T v £ /kT I - e„/kT\ 1 ' e

tehát

(6.25)

- v £ / k T ; - E / k T il e 0 l ( e 0

( - e /kT\C = c" = ( l - e ° ]

így kaptuk a 6 .9 ábra görbéit. -

Az ábrán látható, hogy P(E) annál élesebb és az (adott környezeti hőm érséklet­hez tartozó) átlagenergiához annál közelebb fekvő maximummal rendelkezik, minél na­gyobb a rendszer. Makroszkopikus te st esetén (Loschmidt-számnyi egyed!) m ár elhanya­golhatóan kicsi annak valósziniisége, hogy a test energiája észrevehetően e ltérjen á vele egyensúlyban levő környezet hőm érséklete által m egszabott átlagértéktől, mely utóbbi ezek szerin t a rendszer jól meghatározott U belsőenergiájának tekinthető,

U = <E>,

a környezet hőm érséklete pedig egyben a test hőm érséklete is . A te s t által bebolyongott rengeteg m ikroállapot gyakorlatilag ugyanahhoz a rendszer-energiához tartozik, és a test entrópiáját úgy számolhatjuk, mintha z á rt rendszer volna:

(6.26) S(U) = k l nW( U) = k l n W( < E > ) = k l n - i - ,

ahol F = 1/W(<^E>) az átlagenergiához tartozó egy m ikroállapot felvevésének való-

sziniisége. ( <E> is, U is, W ( ^ E > ) i s , P is a környezet hőm érsékletének függvé­nye!)

- Szemléletesen szólva P -ről: a rendszer rendezetlensége annál nagyobb, m i­nél kisebb valószinüséggel lehet eltalálni, éppen milyen mikroállapotban van. Ha W = 1, akkor P^ is egsyel egyenlő; biztos találat, a rendszer teljesen rendezett; ha W = 2,

akkor P^ = 0, 5, m ár csak 50% az elta lálás valószínűsége. Analógia; ha egy zsebem és

egy doboz gyufám van, a gyufát egy odanyulással biztosan megtalálom; ha két zsebem

- 285 -

van, és teljesen rendetlen vagyok a gyufa hovatevését illetően, továbbá annyira feledé­keny, hogy minden próbálkozás után elfelejtem, melyik zsebembe nyúltam, átlagosan kétszer kell próbálkozni, mig egyszer a gyufát megtalálom. -

A (6.25) formulát tovább részletezhetjük, hiszen értékét ki tudjuk olvasni a

(6. 20) általános Boltzmann-eloszlásból:

(6 . 27) S - k l n — 7 F>7 k F = ^ + k l n c = ^ + k l n e Ce | | minden

U Um ikro- állapotra

A második alakhoz úgy jutottunk, hogy a normálási tényező értékét is részletesen beír­tuk (6.21) szerint. A (6.27) képlet kiválóan alkalmas arra, hogy a rendszer állapotstruk- turájának ismeretében kiszámoljuk az entrópiát a hőmérséklet függvényében.

- Mindjárt próbáljuk is ki ezt az n oszcillátorból álló rendszer példáján: (6.25)- ből véve C értékét, tényleg az entrópia más módon kiszámolt (6.18) értékét kapjuk. -

6.4 .3 A környezetével statisztikus egyensúlyban levő kis rendszer entrópiája

A hőmérséklet és az entrópia statisztikus fogalom, az eddig megbeszéltek szerint csak igen nagy számú egyedből álló rendszerre van értelmük. Kis egyedszámu zárt rend­szerre — szélsőséges példaként, egy szabadon repülő molekulára — nem is tudunk e meny- nyiségeknek semmiféle jelentést adni. Más a helyzet a környezetével statisztikus egyen­súlyban levő rendszernél. Itt semmi kifogás nem emelhető az ellen, hogy a környezet hőmérsékletét a rendszer hőmérsékletének is tekintsük. Ismét szélsőséges példát véve, egy molekula vagy egy oszcillátor időbeli viselkedése ilyen körülmények között rende­zetlen, véletlenszerű, és van értelme átlagos energiáról, sebességről stb. beszélni, valamint ezek különböző értékeinek felvevési valószinüségéről, eloszlások sürüségfügg- vényéről stb. Kis egyedszámu rendszer — akár egyetlen egyed — entrópiájára definíció­ként fogadjuk el a (6.26) egyenlet

-E /kT(6.28) S = k In - * = ~ + k In I e 1

1 mindenállapot­

alakját, az átlagosan bebolyongott állapotok számát pedig az átlagenergiához tartozó á l­lapot felvevési valószínűségének

W = ------ -------P1« E > )

reciprokával definiáljuk. (Kis rendszernél egyáltalán nem biztos, hogy az átlagenergiá­hoz tartozó állapot egyben a maximális valószínűségű állapot is, Id. a 6 .9 ábra 1 és 3 oszcillátorra vonatkozó P(E) görbéjét!)

- Ismét csak az Einstein-modell példáján: egy oszcillátor entrópiája (amely osz­cillátor számára a környezetet a többi oszcillátor alkotja)

- 286 -

i < e > 1 <£> " £ o^kT(6.29) s = k In ^ ' J y ) = ~ + k In — = —— - k In (1 - e ),

Ennek n-szerese pedig éppen az n oszcillátor alkotta test (6.18) entrópiáját adja!A speciális példára kapott örvendetes eredmény általánosítható: -

Statisztikusan független egyedekből álló rendszer entrópiája az egyedekig lebont­va additív! Azonos faj áju n egyedbó'l álló rendszernél a rendszer entrópiája egyszerű­en egy egyed entrópiáj ának az n-szerase.

Hogy ne mindig csak az oszcillátor-sokaság példáján próbáljuk ki általános meg­állapításaink alkalmazását, számoljuk ki egy gázmolekula entrópiáját (6.28) szerint, a 4. 6 pontban tett kvantálási feltevéseinkre támaszkodva. Feltételezzük, hogy a molekula

t 3V = C térfogatú tartályba van zárva, a termosztátot a határoló fal képviseli. (A fal mole­kulái — ld. Stern-kisérlet! — a fal hőmérsékletének megfelelő hőmozgást végzik, s a tekin­tett gázmolekula a velük való ütközések következtében változtatgatja véletlenszerűen az állapotát.) Először az egy transzlációs szabadsági fokhoz tartozó

- £„ A T -I2 /2m QkT p v = c e c e

Boltzmann-eloszlás c normálási tényezőjét határozzuk meg. Az

00 -I2 /2m kTi = Z<: > = X e XV ° c tr V = _ OO

állapot5sszeget — a transzlációs állapotok nagy sűrűségére hivatkozva - integrálással szá­moljuk ki. Ehhez úgy jutunk, hogy az állapotokat csoportosítjuk, összevonva a A l . im -XJpulzuskomponens-Intervallum hoz tartozókat; a A lví intervallumot olyan kicsire választ-

-r ./2 m „kTr X] 0juk, hogy a Boltzmann-faktort (az exponenciális tényezőt) egységesen e -nek

vehessük, ahol I . a A I intervallumon belüli valamelyik 1 érték, de a A I még xj xj x xjmindig sok állapotot tartalmaz,

<A T = ---- 3 Í -

j h/l

számút (hiszen az állapotok a 4 .6 pont feltevései szerint A ^ hézaggal sora­

koznak egymás után). Az igy összefogott összeg-részletek összegét integrálközelitő ö sz- szegnek tekintjük, a megfelelő határozott integrállal közelitjük, és az eredmény

i -I2. / m kT A l . n t -I2/2m kTi - = Z<1> = I e XJ ° . e x 0 dl =c tr h/l h I x

£ Í 2mokT f e ' 5 d£ = ± / ZJCrn T.

- 287 -

Az egyatomos molekula mint három transzlációs szabadsági fokból álló rendszer

mikroállapotát három impulzuskomponensének értéke rögziti, az 1 = j y^, I = J ^2 ’

i = > v ,im p u i* u s u , , = e<? + e ^ + t <z) = <-£-)2. - i - . y 2 - . . .z 1 3 1 V2 3 V 1 V 2 v 3 * 2m0 1

energiájú állapot felvevésének valószínűsége

-t^X)/kT - £ ^ /kT -e^ Z)/kT

P , , = p . p . p = c 3 e 1 . e 2 . e 3 V1 V2 * 3 V1 2 3

e v l v 2 v 3

= Ce~ kT .„ 3

Mivel pedig a T hőmérséklethez tartozó átlagenergia <£-> = — kT, az átlagenergiához

tartozó egy mlkroállapot felvevésének valószínűsége

<0_ - f - 3Pl ( < E >) = C e kT = Ce , ± - = \ = z j ?3 - \ (ZJtn^kT) 3 / 2 =

| 2 f t m ^ k T j 3/2 | 2 /3 2 K m ^ k T j 3/2

az entrópia tehát (6.28) szerint

V2 / 3 . 2'JCm kT 3k 3k , 0 — 4- — in -------------------- -2 2 .2

(6 . 30a)

3 3 2ÍCm0k 3 34 = - + - In -------— + — In T + In V = áll. + - In T + In V.

h

- Számpélda: egy

-3 3v.v. 41 . 1 i}V = 22 >41 • 10-" -S l = 3 , 7 2 . 1 0 - 26 m 3

6, 02 . 1023_3

térfogatba zárt nitrogén-atom (m = — ‘ —— = 2, 33 . 10 kg) statisztikus6, 02 . 10

entrópiája T = 273 K hőm érsékleten (kT = 3, 77 . 10- 2 1 J)

- 288 -

£ 3 3 . 1 , 1 1 . 10"17 m2 . 2 3C . 2. 33 . 10_26 kg . 3, 77 . 10~21 Ja ~ — = — + — in —*■----— ........ .... i i i . ■ i m i - ■ - —■~ k 2 2 ( 6 , 6 4 . 1 0 - 34 J8 )2

= 7 + 1 ln í1*39 • 104 iIL^ ) =16,

4 6az átlagosan bebolyongott állapotok szám a W = e = 7 , 4 . 1 0 . -Kétatomos molekulánál a transzlációs szabadsági fokokhoz még két rotációs já ru l.

Egy rotációs szabadsági fok állapotösszege az előzőhöz hasonló meggondolással — feltéve, hogy a rotációs szabadsági fokok ki vannak olvadva -

c , . „ » . y . - V “± = Z(1) _ —x 11 zxekT

gÍgy az entrópia - < e> = - kT átlagenergiával számolva -

~ T t r rő t 2 2

2.rekT + k In ----- -— ,

(6.30b)

. V2 / 3 . 2 l T m k 3 / 2

- Számpélda: a nitrogén-molekula tehetetlenségi nyomatékát - nagyságrendi becs­

lés igényével, a két atom távolságát 2r = 10 10 m -nek gondolva —2 —26 2 -20 2 -46 2

© = 2m . r = 2 . 2, 33 . 10 . 0, 5 . 1 0 kgm = 1 ,1 . 10 kgm -nek°N

vehetjük, ezzel T = 273 K hőm érsékleten

-46 2 -212TTQ kT = 2 IC. 1,1 . 10 kgm . 3, 8 . 10 J _. 2 / - 3 4 \ 2ti ( l , 056 .1 0 Js )

és a statisztikus entrópia

c o 4 A 104 = | + | In 2,78 . 10 + In 240 = 23, W = e ~ = 10 . -

Az atomok és molekulák belső m ozgástörvényeire vonatkozó ism ereteink gyara­podásával várhatjuk, hogy az állapotstrukturájukra tett sejtéseink egyik-másik ré sz le ­tén módosítanunk kell, de megnyugtatásul közöljük, hogy e módosítások a (6.30) e red ­mények lényegét nem fogják érinteni.

- 289 -

- Egy majdan teendő korrigálást azonban m áris jelzünk: Ki fog derülni, hogy az impulzusmomentum-komponensek statisztikusan nem függetlenek teljesen egymástól,

2 ÍTQ 20és ez a (6 , 30b) egyenletben ---------- *■ —r~ helyesbítést fog eredményezni. -h h2

Sok gázmolekula alkotta rendszer, pl. mólnyi gáz entrópiája (6 , 30)-ból a m ole-3 5kulaszámmal való szo rzássa l kapható, aminek eredményeként — k Ül. — k helyett a

C mólhő, k helyett az R általános gázállandó jelenik meg az entrópia-kifejezésben. AVsok molekula alkotta gázok entrópiájával kapcsolatban azonban a 8 .1 pontban majd egy érdekes problém ára bukkanunk, amelynek megoldása viszont kezünkbe adja a keverékek, oldatok, kémiai folyamatok statisztikai egyensúlyi feltételének kulcsát.

6.4 .4 Állapotsürüség; kapcsolat az energia- és impulzuseloszlás sűrűségfüggvényével

A statisz tikai meggondolásokkal levezetett (6.18) formula az egyedek egyes kvan- tumállapotainak, vagy több egyedből álló rendszer m ikroállapotainak valószínűségét ad­ja, a (6 . 22) form ula pedig élesen meghatározott energia felvevésének valószínűségét. Mérni viszont csak az adott változó — legyen az energia, sebesség, impulzus vagy im ­pulzusmomentum — meghatározott intervallumokba kerülésének valószínűségét tudjuk, ld. 4 .3 .1 pont. E kétféle valószinüség egyszerű kapcsolatban van egymással: annak P( f , J +A f) valószínűsége, hogy a £ változó értéke a (£ , 1 + A j ) intervallumba essen, egyenlő mindazon állápotok valószínűségének sum m ájáva l, amely állapotokban a kérdéses változó értéke ebbe az intervallumba esik. Ha a Ag intervallum elég kicsi, de még mindig sok állapot e sik bele, egy ilyen m ikroállapot felvevésének valószínűsé­gét egyszerűen meg kell szorozni a A<f intervallumba eső állapotok A T számával,

p <5, { « d . c - E<5i/‘ T4 r . c . - í <f| /kT. f ^ 4 f .

Mivel pedig az eloszlás 4 .3 .1 pontban értelm ezett sűrűségfüggvényét az

formulával értelm eztük, a sűrűségfüggvény és az egy m ikroállapot felvételének valószí­nűségét adó (6 . 20) Boltzmann-formula között az

« 5 , - c . - « ? > '« . &

összefüggés áll fenn. A

d r a r

mennyiséget állapotsűrüségnek nevezzük; jelentése: az adott változó egységnyi in terval­lum ára jutó mikroállapotok szám a.

Az állapotsürüség konkrét értékét az állapotstruktura ism eretében határozhatjuk meg. A 4. 5. 6 pontokban te tt feltevésekre támaszkodhatunk, m int az előző pont utolsó

- 290 -

példájában. Egy oszcillátor energiára vonatkozó állapotsiirüsége pl. a feltevések szerin t állandó (nem függ az energia értékétől), mivel a A E energiasávba eső állapotok száma

/c M , . p A £ . A I" 1(6.32) AI = — = > — 7 - = - 7 - ,£ 0 0

tehát az egy állapotra kapott valószinüséget egyszerűen meg kell szorozni -lal, ha0

az (8 , £ +A£ ) intervallumban találás valószínűségére kérdezünk rá; az oszcillátorC — ^ /k T - £ /k Tenergia szerin ti eloszlásának sűrűségfüggvénye pedig f(£ ) = -g— e = C e .

- Feltéve, hogy a A £ energiaintervallum ban sok állapot van ( E A £ ), és

ezek valószinüsége egymástól nem nagyon különbözik, ami pedig a

A £ < < kT

kikötést szabja. Folytonos eloszlással tehát akkor lehet tárgyalni az oszcillátorokat, ha £ o<< kT, azaz a vibrációs szabadsági fokok erősen ki vannak olvadva. -

A tartályba z á rt gázm olektlák esetében nem az energia, hanem az impulzus- -komponens szerin t egyenletes az állapotok elhelyezkedése (v.ö. 6. 4. 3 pont, utolsó példa)

(6.33) xv = T V ’

az energia megfelelő járulékának lehetséges értékei pedig az állapot sorszám ának négy­zetével arányosak,

(6.34) £ „ = $ ) V 2 = £ l V2.0

így itt egyszerűbb nem a rra kérdezni rá, m ilyen valószinüséggel találjuk a molekulát olyannak, hogy a transzlációs energia x-járu léka az ( £ , £ + A £ ) intervallumba essen, hanem hogy az impulzuskomponense legyen 1 és 1 + A 1 között. Az impulzuskom -

ponens szerin ti állapotsürüség a (6.33) formula szerin t állandó, az állapotok az impul-

zuskomponens-tengelyen j szakaszonként következnek egymás után, igy

A r _ ^ x _ . A T _______ i_<6’ 35> A h / f A I hx

Az egyes kvantumállapotok valószínűségét adó (6.20) Boltzmann-formulából impulzus (vagy ugyanígy sebesség) szerin ti folytonos e loszlás sűrűségfüggvényét készítve tehát

(csak egy - a norm ális faktorba olvasztható — jr szorzótényezovel kell számolni; az im ­

pulzuskomponens szerin ti eloszlás sürüségfüggvényére az

-I2 /2m kT f(I ) = C e X

- 291 -

formulát, a sebesség szerin ti e loszlására

2m0-

f (v ) = C e 2kT

-e t kapjuk. így le tt a mikroállapotokra vonatkozó tiszta exponenciális eloszlásból Gauss- -görbe jellegű sűrűségfüggvény, ld. 6 . 1 0 ábra.

- Term észetesen, az energiaeloszlás sürüségfüggvényét is fel tudnánk Írni, ha

akarnánk: Az állapot v sorszám át -rő l v + a T - r a növelve, az energia E ^ v 2-

-ró l £ ( V + AT) - re nő. így

6 .1 0 ábra

r r-2 2 1 . r - A r i 1ae= £i [ ( ^ aH - v J « 2e1vAr^i r = — =i7=^-.

és az egy transzlációs szabadsági fokra jutó energia szerin ti eloszlás sűrűségfüggvényé­re a

f(fc) = C e - £AT• f t

form ulát kapnánk.

- 292 -

6 .5 Az entrópia térfogatfüggése

Mindeddig olyan esetekre szorítkoztunk, ahol a test állapotstrukturá- ja az energiaátadás folyamatában változatlan maradt. Ilyen feltétel mellett igaz, hogy nagyobb energia biztosan több állapot bebolyongását teszi lehe­tővé, és igy a test belsőenergiájának növekedése feltétlenül entrópiájának növekedésével jár. Térfogatváltozás vagy anyagszerkezeti átalakulás vi­szont állandó belsőenergia mellett is entrópiaváltozáshoz vezet: az állapot- struktura megváltomv:'m, ugyanakkora energia több vagy kevesebb állapot bebolyongásához lesz elég. (Többhöz, ha a kvantumállapotok az energia­tengelyen sűrűsödnek^ kevesebbhez, ha széjjelebb húzódnak.) Előfordulhat, hogy a belsőenergia az állapotstruktura változásával olyan összhangban vál­tozik, hogy a test belsőenergiájának változása ellenére az entrópia válto­zatlan marad.

6 .5 .1 Izentróp állapotváltozás

Ez utóbbi eset következik be az adiabatikus reverzibilis expanzióban és kompresszióban. Adiabatikus reverzibilis változást két állapot között oda-víssza meg tudunk elvileg valósítani úgy is , hogy az adiabatikus álla­

pot változásban résztvevő testet zárt rendszerré egészítjük ki olyan másik testtel, amelynek entrópiája a folyamat min­den pillanatában állandó marad: a lendkerékkel felszerelt Carnot-gépet Lőtartályok nélkül járatjuk, azaz ponttá zsu­gorítva az izotermikus szakaszokat, 1. 6.11 ábra. Az ent­rópia állapotfüggvény, tehát a ciklus végén eredeti értéké­re áll vissza - ha a folyamat valóban reverzibilis volt, és a visszauton a lendkerék ugyanannyi mechanikai munkával növelte a közeg belső energiáját, amennyivel az oda-uton csökkentette. Ez önmagában még megengedné, hogy külön az oda-, külön a visszauton az entrópia változott legyen.E lehetőséget azonban kizárja a II. főtétel: a (lendkerékkel együtt) zárt rendszer entrópiája sem az oda-, sem a vissza-

6 11 ábra uton nem c s°kkenhet, az egyik folyamat szakasz nem

csökkentheti v issza a másikban megnövekedett entrópiát. Következéskép­pen mind az expanzió, mind a kompresszió folyamatában az entrópia ál­landó maradt, a belsőenergia változása ellenére. A tisztán mechanikai munkával (makroszkopikusan rendezett elmozdulással) kvázisztatikusan történő energia-betáplálás nem változtatja meg a test entrópiáját!

A 3.5 pont 3 .4 táblázatában található összefoglalás adiabatikus kvá-

- 293 -

zisztatikus ( =^> reverzibilis) folyamatra vonatkozó részében a kipontozott rovatokat ezennel kitölthetjlik: S = állandó, a folyamat izentróp. azaz ál­landó entrópiájú.

6.5.2 Entrópiaváltozás meghatározása makroszkopikus adatokból

Bármilyen reverzibilis folyamatot tetszőlegesen meg tudunk közelí­teni adiabatákból ("izentrópákból") és izokór szakaszokból összetett "csipkézett" folyamattal úgy, hogy az

/ ? - /pdVT

integrálok bármelyikének az eredeti utón vett értéke tetszőlegesen kis számnál is kevesebbel különbözzék a csipkézett úthoz tartozótól. (Közös integrálközelitő összegük van, 1.6.12 á b ra .) Mivel pedig a csipkés utón vett 6. 12 ábra

2 2 dU + pdV f dU + f pdV

T J T + J T 1 1 1

integrál az entrópiaváltozás értékét adja (hiszen már láttuk, hogy állandó d’Qtérfogaton dS = ^ teljesül, az adiabata-szakaszokon pedig az entrópia­

változás nulla), és az entrópia állapotfüggvény lévén, az egész folyamat kezdetétől a végéig bekövetkező változása nem függ attól, milyen folyamat­szakaszokból összerakott utón tetszett nekünk a rendszert innen oda juttat­ni, a tényleges folyamat utján számolt integrál is helyesen adja az entró­piaváltozást. Az eredetileg állandó térfogatú folyamatra kapott (6.16) ösz- szefüggés tehát általánosabbnak bizonyult: térfogatváltozással járó rever­zibilis folyamatra is igaznak,

vagy

(6.37a) = dU + pdV

vagy dU = dH - d(pV) = dH - pdV - Vdp felhasználásával

(6.37b)

ill. véges állapotváltozásra

1 1 1

Eredményünket felhasználva, ha ismerjük a közeg belsőenergiájá­nak vagy entalpiájának az állapothatározóktól való függését, valamint az állapotegyenletet (vagy, ami ezekkel egyenértékű, a és fajhők

hőmérséklet- és nyomás- vagy térfogat-függését), az entrópia bármely két állapot közötti változását ki tudjuk számolni, azaz - egy additiv állandótól eltekintve - meg tudjuk határozni, milyen függvénye az entrópia a többi állapothatározónak, közvetlenül a makroszkopikus tapasztalati adatokból, anélkül, hogy a mikroállapot-struktúrát ismernünk kellene.

6 . 5.3 Példák konkrét rendszerek entrópia változásának kiszámolására

1. Kiszámolandó az ideális gáz entrópiájának változása p^, V^, kezdeti ál­

lapottól p2> V2> T2 végállapotig.

Megoldás: Válasszuk a 6 .13a ábrán jelölt utat. A fajhők állandóságát felhasználva

(6 .39)T P V9 2 2

+ C In — = C In — + C In — . ~P y* ‘ V pt ~p Vt

- 295 -

6.13 ábra

ö)

A S-et m ásik állapothatározó-pár függvényében is előállíthatjuk a

P,V! P,V,

állapotegyenlet felhasználásával:

S„ - S. = C In C In ~P

P,To T,- C In —~p r. - (C - C ) In

~P ~v/ P,

(6.40)

C In — ~P i .

(6.41) C In — + C In —■f-1 2 ~P V1 1 1

Örvendetes, hogy (6.41) egyezik a molekulák állapotstrukturájára épülő meggondolás adta (6.30) eredménnyel.

Mivel az entrópia állapotfüggvény, a végeredmény a rra az ese tre is érvényes, amikor a gáz nem reverzib ilis utón jutott a végállapotba. Szabadexpanzióban például a gáz térfogata növekszik, a belsőenergiája és a hőmérséklete viszont állandó m arad.

(6.42) S2 - S j = R l n ^ = k N In —

- 296 -

Az entrópia tehát a szabadexpanzióban növekszik, annak ellenére, hogy a közegen m ele­gítés nem történt.

Ezt az eredm ényt (6 .41)-re való hivatkozás nélkül is megkaphatjuk, választva egy V^, T-től V2, T-ig vezető, a 6 .13a ábráénál alkalmasabb reverzib ilis utat. Leg­

egyszerűbb ezek közül az izoterm (kvázisztatikus) expanzió. E rre alkalmazva a (6.37a) form ulát, AU = állandó felhasználásával, közvetlenül az előző eredm ényt kapjuk,

T- V-

T- h Xi

- A szabadexpanziót végző gáz z á rt rendszer, entrópiája nem csökkenhet. A II. főtétel ilyen módon zárja ki annak lehetőségét, hogy a gáz magától ism ét visszagyüljön az eredeti szükebb tartályba: az entrópiacsökkenéssel já rn a . —

2. Kiszámolandó a Van dér W aals-gáz entrópiaváltozása.Megoldás:

dU = C dT + dV,~ ~ v v 2 ~

<P + - ^ ) ( V - b ) = H T = » p d V = \ )dV,

pdV dV

T = £v “ t “ + R V-b

(6.43)r 2 7 2 dV T

~2 ~ ~1 = J ~v t" + J R T ^ ^ V l n T T + R l nh - b ? l - b

Innen az adiabata egyenlete (izentróp folyamat; S = á ll.)

Sv RTo X - b / t 9 \ / V - b R /c

Cy ln — + RLn — - = ° => ( ^ ) • ( J = 0 T(V - b) ' V =ál l . ,

2vagy — T = (p + a/V ) (V - b)/R felhasználásával —

C + R

c(p + -% - ) <v - b) ~v = á11-

V ~

- 297

(De most C / C + R!) ~p ~v

3. Kiszámolandó állandó fajhőjü kondenzált anyag entrópiaváltozása állandó nyo­mású melegítésben.

Entrópiacsökkenéssel az a folyamat járna, amelyben a hidegebb testből szivárogna ener­gia a melegebbe. -

4. Kiszámolandó a gumiszalag entrópiaváltozása T^, £ ^, állapottól T^ á l­lapotig.

Megoldás: Válasszuk a T izotermán £ l - tői £ 2~ig vezető, majd az C 2 izo-

kóron T -ig vezető utat. A z izoterm és lzokór melegítés 3 .4 táblázatban adott formulá­it felhasználva,

- A gumi ismét szokatlanul viselkedik: izoterm nyúlásnál az entrópiája csökken.Ez összefügg azzal a tapasztalatunkkal, hogy adiabatikus nyújtásnál a gumi melegszik. Eredményünkből az adiabata 3 .4 táblázatban szereplő egyenlete = s 2-vel következik. -

állapot olyan kis környezetében, ahol a Young-modulusz és a hőtágulási együttható állan­dónak tekinthető.

Megoldás: Célszerű a (6.37b) összefüggésből indulni, a 3 .5 táblázatban megadott entalpia-függvény felhasználásával. A (6 . 37b) egyenletet fajlagos adatokkal, és p he­lyett 6 = -p-vel felírva.

Megoldás:

(6 . 44)

1

- Két test hőmérséklet-kiegyenlitődésében a teljes entrópiaváltozás, amig aT > T hőmérsékletű A test dE > 0 melegítést végez a B testen,

A B

dS = dS„ + dS A B

= d' q = Ti = Ti Ti?

2

dsI1

végül

(6.45)

1

5. Kiszámolandó a fémhuzal entrópiája a kezdeti feszültségmentes ( 0 = 0 ) , T = TQ

- 298 -

ebből bárm ilyen reverz ib ilis utón

(6.46) s ” s 0 = c J J d 6 = c l n - i - + ^ * T g

(ha (T - T ) « T , akkor In — ■ = In (1 + - - ) a: — ~ ~ — ). - ' 0 0 T T T T

6 . 5.4 Az entrópia térfogatfüggésének mikroszkopikus értelmezése

A 6 .4 .3 pontban tárgyalt példára visszagondolva, látjuk, hogy a gáz entrópiájá­nak térfogatfüggése abból szárm azik, hogy a tartály m éretének növelése az állapotok sű­rűsödését eredm ényezi. Egy élhosszuság ( -rő l l * -re való növelése — am i a térfogat ugyanolyan arányú növekedését is jelenti ~ azt eredményezi, hogy az eredetileg V -edik,

energiájú állapottal egyenlő energiájú egy m ásik, v ’ sorszám ú állapot lesz, az, am elyre

£ < * > '= {A)2 j l I = ( ± \ 2 _ ü l = e <*>

v ' t • 2mo W / 2m ** ’vagyis

v»' f _ V*V l V

teljesül. A 6.14a ábrán ké tszeresre növelt élhossz e se tére rajzoltuk fel a megfelelő transz­lációs állapotok sűrűsödését. (A folytonos vonalak az eredeti, a folytonos plusz szaggatott vonalak az uj állapotokat je lz ik .) Az átlagosan bebolyongott állapotok szám a a példa e se ­tében k é tszeresére nőt, általában pedig a térfogatnövekedés arányában.

Az entrópia térfogattal való növekedéséhez m ásik gondolatmenettel is eljuthatunk.Az egész térfogatot egyenlő AV térfogatú cellákra osztva, valamilyen = In é r ­

téket kapunk a rra az entrópiára, amivel rendelkezne a cellába zár molekula. Ha viszont a molekula az egész V térfogatban szabadon mozoghat, a bebolyongott állapotok száma W -nál V /A V -szer nagyobb: azon kívül, hogy a molekula az egy cellán belül lehetséges állapotok között "válogathat", még asze rin t is különböznek az állapotai, hogy éppen m e­lyik cellában tartózkodik. így egy molekula te ljes s tatisztikus súlya

6.14 ábra

A térfogat V-ről V’ -re való növelésével nem változik; változik viszont a cellák

száma, és az entrópia ezé rt

¿ 5 = lnK Í v )/(Wo Í ^ ] =‘" T

értékkel változik meg, az előző eredményekkel egyezően. A molekula állapotrendszeré- nek ezen elgondolás szerin ti sűrűsödését kétszeres térfogattágitásnál a 6.14 b ábra mu­tatja. Mig az előző gondolatmenet szerin t minden két régi állapot kozott jelent meg egy uj, m ost minden régi állapot megduplázódik. A két meggondolás egyező eredményt ad az átlagosan bebolyongott állapotok szám ára, ha az állapotok elég siirün helyezkednek el, ami pedig a transzlációs szabadsági fokokra, m int láttuk, mindig teljesül.

6. 5. 5 Gumiszálán entrópiájának hosszuságfüggése

- A gumi entrópiájának hosszuságfüggését a lánc molekula-modell egy leegy­szerűsíte tt változata segítségével próbáljuk megérteni. A gumi láncmolekuláit alkotó atomok "közönséges" rezgéséből adódó m ikroállapotszámot egy adott energiánál és hosszúságnál még megsokszoi-ozza a láncmolekulának az a lehetősége, hogy a végpontjai

- 300 -

között adott távolságot a lánc tagjainak különböző irányú beállás-kombinációjával érheti el, és min­den ilyen beállásmód mindegyik "rég i" állapot mellé egy-egy uj mikroállapotot jelent. Összeszá­moljuk a beállás-kombinációk szám át a követke­ző, igen erősen egyszerűsítő feltevésekkel: a mo- 6.15 ábra lekula N számú, egyenként b hosszúságú lánc­szemből áll, amelyek a molekula végpontjait összekötő egyenesen feküdhetnek, de azon akár előre, akár hátra irányulva, 1. 6.15 ábra. Ha mindegyik láncszem előre irányul, a molekula hossza l Q = Nb; ha egy hátrafelé, akkor csak £=( N- 2 ) b ; ha k számú irányul hátrafelé, akkor

í = (N-2k)b = nb (n = N-2k <=> k = - ^ ) .

Adott í = nb hosszúság tehát annyiféleképpen valósulhat meg, ahányféleképpen N lánc- 'J-n2

N-nszem közül — számút kiválaszthatunk, azaz

w / N \ ---------N!-------n l'N -n J ^ N -n ^ N + n ^

2 >■

féleképpen. Ezzel kell még szorozni az egyébként létező m ikroállapotszámot (amelyről feltételezhetjük, hogy a hosszúságtól nem függ, vagy legalább is nem nagyon függ), a molekulánkénti entrópia energiaosztozkodásból szárm azó sx = c In T + áll. értékéhez tehát a láncmolekula beállási változatainak lehetősége miatt még

, r , , N-n , N-n N+n , N+nl (6.47) s = k In Wq = k [N In N - In — - - y - In —— J

járu lék hozzáadandó. Az entrópiának a molekula két végpontja közötti távolság egységnyi növelésével j áró változása ebből

3 S i 3 s k f 1 . N-n 1 . N+n k , 1-n/N k u t<6-48) w = b ^ = b L i l n — - i l n ~ = b l n i r ^ = - b a r t h T ’o

am iről mindenki látja, hogy negatív: a tapasztalati adatokból szám olt (6.45) eredm ény­nyel egyezően, a gumi entrópiája a zsinór széthúzásakor csökkenne, ha a hőm érséklet állandó maradna. Izentróp nyújtásnál ezt az entrópiacsökkenést az entrópia hőm érsék­lettől függü c In T tagja kompenzálhatja: a gumi felm elegszik. -

6. 6 Nyílt rendszer irreverzibilis folyamatai

6.6.1 Egyenlőtlenség termikus zárt és termikusán rögzített rendszer entrópiaváltozására

A II. főtétel zárt rendszerre állítja, hogy entrópiája nem csökken­het. A környezetével kölcsönhatásban álló nyílt rendszer entrópiája, mint láttuk, bármelyik irányban változhat. Változását, ha a folyamat a rendszer

- 301 -

szempontjából reverzibilis, a (6.36-38) formulák alapján ki tudjuk számol­ni a makroszkopikusan m ért adatokból.

Belső irreverzibilitással járó folyamatokra a (6.36-38) formulák nem teljesülnek, és - nyilt rendszerről lévén szó - az entrópiaváltozás előjelére sem tudunk általános kijelentést tenni. Ehelyett azonban néhány, gyakorlatilag különösen fontos esetben találunk olyan egyenlőtlenségeket, amelyek alapján a folyamatok irányáról hasonlóan tájékozódhatunk, mint zárt rendszernél az entrópianövekedés törvényéből. Ezekhez az egyenlőt­lenségekhez abból az alapötletből juthatunk, hogy a rendszert és környeze­tét együttesen zárt rendszernek tekintjük, és feltételezzük, hogy a környe­zetben az ő szempontjából irreverzibilis változás a folyamat során nem történik. így, mivel összentrópiájuk nem csökkenhet, vagyis

(6.54) dS + dSo ^ 0 ,

magának a Tq hőmérsékletű környezetnek a ASq entrópiaváltozására

pedig a róla feltételezett reverzibilitás miatt

teljesül, a

egyenlőtlenséghez jutunk, ahol d’Q0 a rendszer által a környezeten vég­zett melegítés (a súrlódási melegítést is beleértve). Ha súrlódás közöttük nincs, a d’Q = - d’QQ melegítés-mérleg is teljesül, és a

egyenlőtlenséget állíthatjuk, ahol d’Q a testen a környezet által végzett melegítés, T0 pedig a környezet hőmérséklete.

- Ha a környezet egy kaloriméter közege, d’Q és d’Q0 közül d’Q0 a közvetlenül mérhető mennyiség. -

Termikusán zárt rendszeren adiabatikus fallal körülvett rendszert értünk, amely a környezetével csak súrlódásmentes mechanikai kölcsön­hatásban lehet. Ekkor a melegítés nulla lévén, a (6 . 56) egyenlőtlenség

(6.55)o

(6 . 56)

dS > 0

- 302 -

-ra egyszerűsödik. Az entrópíanövekedés törvénye tehát nemcsak (min­den kölcsönhatás szempontjából) zárt rendszerre teljesül, hanem csupán termikusán zárt rendszerre is. (Ezt különben igy is vártuk, mióta megál­lapítottuk, hogy a tiszta mechanikai munka nem változtatja meg az entró­piát. )

Termikusán rögzített rendszeren "termosztátban levő" rendszert értünk, azaz olyat, amely termikus egyensúlyban van nála jóval nagyobb hőkapacitásu környezetével (vö. 6.4.1 pont). Ekkor a környezet állandó Tq hőmérséklete egyben a test T hőmérséklete is, igy (6 . 56)-ot a

alakba Írhatjuk, amelyben már csak a tekintett közeg adatai szerepelnek.(T állandósága miatt írhattunk "d" helyett véges folyamat-szakaszra utaló " A " je le t .) Két speciális esetre az egyenlőtlenséget tovább részletezhet­jük, olyan alakba öntve, amely már a közeg állapothatározóit tartalmazza a Q folyamatfüggvény helyett: egyik az állandó térfogat, másik az állandó- és a környezetével egyenlő - nyomás esete. (A második esetben a rend­szer .emcsak termosztátban, hanem "barosztátban" is van .) Ekkor A'Q = A u , ill. A ’Q = AH = AU + p AV szerint a (6.57) egyenlőtlen­séget

alakba írhatjuk át.- Né feledkezzünk meg róla, hogy bár a (6.57-59) egyenlőtlenségek

a rendszer adatait tartalmazzák, a környezetét nem, mégis végső soron a zárt rendszerre talált n . főtételt fogalmazzák meg a mondott esetekre: a rendszer plusz környezete által alkotott zárt rendszer entrópianövekedését állítják a tekíntett-rendszer szempontjából irreverzibilis folyamatra. A for­mulák akkor mennek át egyenlőségbe, amikor a rendszer folyamata is re ­verzibilis. -

6 .6 .2 Szabadenergia és szabadentalpia

A II. főtétel rögzített hőmérsékletű és állandó térfogatú, vagy rögzí­tett hőmérsékletű és nyomású nyílt folyamatára vonatkozó (6.58), ill. (6.59) alakja képezi a kiinduló alapot az anyagszerkezeti változásokkal járó folya-

(6.57)

(6.58) A S ^ Y (T = á ll . , V = áll.)

ill.

(6.59) A s > — (T = á ll ., p = áll.) T

- 303 -

matok termodinamikájának, ennek megfelelően főleg a kémia szám ára nagy jelentőségű. Ott a (6.58), ill. (6.59) egyenlőtlenséget szivesebben használ­ják a(6.60) AU - T A S = A (U - TS) - 0, (T = á l l . , V = áll.)

(T= áll., p= áll.)

G

átrendezett alakban, nevezve a bennük előforduló

(6.62) F = U - TS

mennyiséget szabadenergiának, ill. az állandó nyomású folyamatban sze­replő

mennyiséget szabadentalpiának. (F is, G is extenziv mennyiség. A kettő egymással olyan viszonyban van, mint a belsőenergia az entalpiával.)A (6.60) és (6.61) egyenlőtlenséget - a n. főtételnek a megfelelő speciális esetekre vonatkozó alkalmas alakba átirt változatait - igy olvashatjuk: Rögzített hőmérsékletű rendszerben a folyamatok olyan irányban történ­nek, amely V = áll, esetben a szabadenergia, p = áll, esetben a szabad- entalpia csökkenéséhez vezet; egyensúly a szabadenergia, ill. szabadental- pia minimális értékénél áll be.

- Az entrópia (6.27) form ulája szerin t a szabadenergia pusztán a tekintett rend­szer állapotstrukturájából meghatározható a hőm érséklet és térfogat függvényében.A fenti egyenletet ugyanis a szabadenergia (6 . 62) definíciójával egybevetve, az

összefüggést kapjuk. Ebből m ár, ha szükséges, a szabadentaipiát is meghatározhatjuk, a definíciójukból következő

összefüggés szerin t. -

A szabadenergiának és a szabadentalpiának közvetlen jelentést is tu­dunk adni: az állandó hőmérsékleten tartott test két állapota közötti csök­kenésük megadja azt a hasznos munkát, amit a test a két állapot közötti fo­lyamatában maximálisan szolgáltatni képes állandó térfogaton, ill. nyomá­

(6.63) G = H - TS = U + pV - TS = F + pV

(6 . 64)-E ./k T

F = U - TS = -kT In — = -kT T e 1mindenm ikro-állapotra

G = F + pV

- 304 -

són. (Itt homogén rendszernél eleve csak anyagszerkezeti változással járó folyamatról lehet szó!) A tekintett termodinamikai testből, a vele termikus és mechanikus egyensúlyban levő környezetből, valamint a gépből és a mun­ka tárgyából ("lendkerék") álló zárt rendszer összenergiája állandó; hasz­nos munkán a munka tárgyának energianövekedését értjük, ami egyenlő a test és a környezet energiacsökkenésével,

W = - A U - A U . h o

(A közeg a folyamatban közvetve részt vesz mint a test állandó hőmérsék­leten, ill. állandó hőmérsékleten és nyomáson tartásához szükséges ener­gia fo r rá sa .) A TQ = T hőmérsékletű környezet belsőenergia-, térfogat- és entrópia változása között a

AU + p AV A ’Q . „ o o ____ oSo “ T T

összefüggés teljesül (a 6 . 6. 2 pontban tett feltevések mellett), a zártság miatt pedig a rendszer és a környezet térfogat- és entrópiaváltozása kö­zött a

A S + A S >0, AV + AV = 0 (p = á ll.) , vagy AV = A v = 0o o o

reláció. Mindezeket felhasználva,

W, = - AU - T A S + p A v < - AU + T A S - p AV = h o o

- A (U - TS) (V = á l l .)

- A (U + pV - TS) (p = á ll .),

rövidebben

r - A F (T, V = á ll .) r - A F (T, V = á ll .)

(6' 66) Wh = ^ == Wh max = 1l - A G (T, p = á l l .) h . max l _ AG (T,p = á ll .).

- Ekkora munkát képes szolgáltatni maximálisan egy galvánelem, vagy a Diesel-motorban folyamatosan elégő, kb. állandó nyomáson és hő­mérsékleten expandáló üzemanyag az adiabatikus expanzió kezdetéig. Az egyenlőség a munkavégzés forrását jelentő kémiai reakció reverzibilis le­játszódásának határesetében következik be, 1. 8.3 pont. -

- 305 -

6 . 6.3 Az energiaminimum elve mint a II. főtétel következménye

- A deformálható testek mechanikájában, majd a felületi feszültség tárgyalásában hivatkoztunk az energiamlnimum elvére mint önálló — a tapasztalati tények általánosítá­sából leszűrt - fizikai posztulátum ra. Egy példán megmutatjuk: -

Az energiaminimum elve a n. főtétel speciális következménye.

- Az energiaminimum elvének fentebb idézett alkalm azásainál még nem gondol­tunk a belsőenergia hőm érsékletfüggésére és a testnek a környezetével való termikus köl­csönhatására. Most viszont m ár különbséget kell tennünk term ikusán zárt és termikusán rögzített rendszer között. Példánkban az utóbbit választjuk. A példa: egy állandó hosszú­ságúra kifeszitett huzalt a közepén is befogva és meghúzva olyan kezdeti állapotra p re ­parálunk, hogy az egyik fele a m ásik fele ettől különböző 6 feszültségű legyen,-

aztán a középső befogást feloldva, engedjük a feszültségeket kiegyenlitődni,és utána még várunk a környezettel való term ikus egyensúly beálltáig. Keressük meg az egyensúlyi feszültséget.

Megoldás: A szabadenergia additív mennyiség,

F1 =mi £l + m2f2-

az egyes huzal-darabok fajlagos szabadenergiája pedig a 3 .3 táblázatban található belső­energia-függvény és a 6 .5 .2 pont 5. feladatának megoldásaként kapott (6.46) entrópia­függvény felhasználásával

2 T - T0 ocQT 0 ^f = u - T s = c ( T - T 0) + — * — + const - T (c + — - S()) =

(az "áll." úgy értendő, hogy a feszültségtől nem függ), Így a különböző feszültségű szaka­szokból álló huzal teljes szabadenergiája

2 2 2 J lmi *1 m2 ®2 6 1 ®2

<6-72> F = Y W + T 2E +áU- = Vl ! F +V2 l E +áU-’

amiben felism erjük a deformálható testek mechanikájának keretében érte lm ezett rugal­mas energia form uláját. A huzal össz-hosszusága állandó (a végeinek befogását nem ol­dottuk fel), a feszültségkiegyenlitődési folyamat tehát izokór, igy az egyensúlyi állapotot a huzal a szabadenergia minimumánál é ri el, ami pedig a (6.72) eredmény szerin t a ru ­galmas energia minimumát is jelenti.

Hogy ez a két szakasz feszültségének kiegyenlítődésénél következik be, a feladatnak a deformálható testek mechanikájának keretébenvégzett tárgyalása során láttuk. -

- Az energiaminimum szükségképpen együtt já r egy m ásik rendszer, vagy egy másik energ ia-járu lék maximumával, hiszen az energia m egmaradó mennyiség. És hogy adott körülmények között melyik energiajárulék m inim ális és melyik m aximális, a II. főtétel alapján lehet megtudni. A rendezett m ozgás energiájának csökkenése például a belsőenergia növekedésén át vezet entrópianövekedéshez.

- 306

Még egy nézőpont az energiaminimumhoz: Egy k iszem elt rendszer —pl. ge rje sz ­tett állapotban levő "atom héj", atomi vagy makroszkópikus oszcillá tor stb . - energiája ha jóval nagyobb a környezet hőmérséklete szerin t "neki járó" energiánál, akkor a kör­nyezettel való bármilyen gyenge kölcsönhatás előbb-utóbb a rra vezet, hogy a fölösleget a környezetnek átadva, lesüllyedjen az átlag-szin tre, akörül kT nagyságrendű energia­sávba jutó állapotok között bolyongva. Ha pedig nincs több állapota ilyen sávban, akkor az alapállapotban ragad, "befagy". -

6 . 7 Az I. főtétel homogén közeg reverzibilis

állapotváltozásaira érvényes átfogalmazásai

Az entrópiaváltozás makroszkopikus m érési adatokból való meghatá­rozása céljából felirt (6.31) formula átrendezésével a

(6 . 73a) dU = TdS - pdV

vagy

(6 . 73b) dH = TdS + Vdp

egyenletet kapjuk. Ezeket az I. főtétel homogén közeg reverzibilis folya­mataira vonatkozó alakjának is tekinthetjük, amelyben a melegítést ent­rópiaváltozással, a munkát térfogatváltozással fejeztük ki,

d’ Q = TdS; d’W = -pdV

szerint. (Az entalpiaváltozás a belsőenergia változásátóld(pV) = pdV + Vdp -vei különbözik, igy lett -pdV -bői V d p .) A szabad-energia és szabadentalpia megváltozás dU -tói, ill. dH-tól-d(TS) = -TdS - SdT -vei különbözik, igy e mennyiségekre a

(6.73c) dF = - SdT - pdV ,

(6 . 73d) dG = - SdT + Vdp

egyenleteket Írhatjuk fel. Ezeket is az I. főtétel különböző alakjainak te ­kinthetjük. Közülük a kitűzött feladat és a folyamat jellege által diktált szempontok szerint válogathatunk. A megfelelő egyenletek huzal vagy sza­lag esetében - az itt kényelmesebb, tömegre fajlagos mennyiségekkel -

e(6 . 73aa) du = Tds + “jj" d E. ,

- 307 -

(6. 73bb)1 + Edh = Tds - —y — d <3

6(6 . 73cc) df = -sdT + y d £

(6 . 73dd) dg = -sdT - d <3 .

- Hogy az I. főtétel igy megfogalmazott speciális alakjai mi mindenre jók, később fogjuk látni. Egy hasznos észrevételt azonban m áris tehetünk: a mechanikai (rugalmas) potenciális energia szerepé t izoterm folyamatokban a szabadenergia já tsza . Ezt m ár a 6 . 6 . 3 pontban elem ezett példán észrevettük, m ost általánosan beláthatjuk, az entrópia állapotfüggésének konkrét alakjára nem hivatkozva. A<S.73cc) egyenlet izoterm folyamat­ban

(6.74) df = - f -d e (T = á ll.) = S * e = g e f |- )* T = áll.

-vá egyszerűsödik, azaz a szabadenergia változása egyenlő a testen végzett izoterm mun­kával, vagy fordítva, a szabadenergia huzalhosszuság szerin ti negativ deriváltja megad­ja a huzal által kifejtett e rő tengelyirányú komponensét. Az előbbi összefüggésben ugyan a longitudinális feszültség és a relativ megnyúlás szerepel, de ezeket könnyen átírhatjuk erőkomponensre és huzalvég-elmozdulásra:

(Az F jelet, nem éppen szerencsésen, a hőtanban a szabadenergiára foglaltuk le az ál­talános szokásnak megfelelően, igy az erőt most irott T -fel jelöljük.)

Alkalmazási példaként határozzuk meg a láncmolekulás gumimodellre kapott(6.47) entrópiaformula alapján az egy összegubancolódott molekula által kifejtett erőta hossza és a gumi hőmérséklete függvényében. Kihasználjuk azt a feltevésünket, hogy a belsőenergia, valamint az entrópia nem láncszem-helyezkedésből eredő része csupán a hőmérséklet függvénye, igy az erő-számoláshoz előirt deriválás elvégzésénél az

f = u - kT (s* + ¿ lánf.) szabadenergia tagjai közül u és s* állandónak tekinthető, a hosz-

szuságtól egyedül s . , függ, amelynek a hosszúság szerinti deriváltját a 6 .5 .4 pont ~'tanc(6.48) egyenletében ki is számoltuk. Ennek felhasználásával a lánc által kifejtett erőre az

9 s . , , _sr- , „ -lánc kT xT = kT —------- = - — arth - j —x 3 x b

erőtörvényt kapjuk, amiben ha 3^-et a feszültséggel, a lánc x hosszát a szalag rela­

tív deformációjával arányosnak gondoljuk, az 1.10 ábrához hasonló állapotegyenlethez jutottunk:

- 308 -

e = const . th (const. —■) = í("^) •

Az f(— ) függvény konkrét alakját nem kell túl komolyan venni, hiszen a szám olás alap­

jául szolgáló modellt a lehetőségek határáig leegyszerűsítettük, de a tapasztalati ö ssze­függés lényegét helyesen tükrözi az eredmény: adott hossz m ellett = állandó. Az ideá­

lis gumi lánc-m odellje, úgy látszik, tartalm az valamennyi igazságot a hosszumolekulás közegek anyagszerkezetéről. -

- Még egy látókör-tágitó összefüggést felvillantunk: Ha a szabadenergiát valahon­nan ism erjük m int a térfogat és hőm érséklet függvényét — például a m ikroállapotstruktu- ráből, a (6.64) összefüggés a lap ján —, minden állapotfüggvényt szárm aztatni tudunk be­lőle. így, izokór hőmérsékletváltozásnál

(6-75) dF = -SdT =£► S = - ( - f f - ) .v

és ezzel az entrópiát kaptuk meg a térfogat és hőm érséklet függvényében, amiből m ár a belsőenergiát U = F + TS szerin t számolhatjuk, és igy tovább. Az előbbi példán pedig láttuk, hogy az állapotegyenlet hogyan kapható a szabadenergia ism eretéből.

7. §. Fázisátalakulások; kémiai potenciál

7.1 Átalakulási hőmérséklet, átalakulási hő

A halmazállapotváltozások és kristályszerkezeti átalakulások, közös néven fázisátalakulások az állapotstruktura ugrásszerű megváltozásával járnak. Két alapvetően fontos tapasztalati tényt a halmazállapotváltozások­ra már megfogalmaztunk; ezek más fázisátalakulásra is teljesülnek:1 . Fázisátalakulás adott nyomás esetén meghatározott hőmérsékleten tö r­ténik. (Ezek szolgáltatták a hőmérsékleti fixpontokat.)

- A tétel fenntartás nélkül érvényes szilárdtest megolvadására. A fo­lyadék -*• gőz54 átmenet történhet párolgás és forrás formájában is, ezek viszonyát később elemezzük; közülük a forrás megy végbe meghatározott hőmérsékleten. A nem kristályos szilárd testek, mint pl. üveg, paraffin, határozott olvadáspontot nem mutatnak, fokozatosan lágyulnak meg; való­jában nagy viszkozitású folyadéknak tekinthetők. Nem is nevezzük őket szilárdtesteknek, csak szilárd testnek. Az amorf szilárd testek csakugyan

*A gőz szót használjuk gáz helyett Vagy mellett, ha az adott közeg m ás halm azállapotaira Is gondolunk közben. A gáz és gőz sző viszonyára a 7. 5 .4 pontban visszatérünk.

- 309 -

folynak: a vízszintesen befogott iivegrud néhány év alatt észrevehetően le­görbül. -2. A fázisátalakulás az állapothatározók közötti összefüggés jellegének megváltozásával já r . Megváltozik egyebek között (ugrásszerűen) a térfogat, a belső energia és az entrópia értéke: az állapothatározók közötti összefüg­gést leiró függvényeknek szakadása van.

A 3.6 pontban definiált moláris, ill. tömegegységre vagy egy mo­lekulára (átlagosan) vonatkozó

(7.1) A H F - Hn - Hr ; A h , - h^ - hj ; A h = A - h^ - hj

"fázisátalakulási hő" (= entalpiaugrás) néhány anyag halmazállapotválto­zásaira a 7.1 táblázatban található, az 1 atm nyomáshoz tartozó átalakulá­si hőmérséklettel együtt. Az áttekintést segíti a 7.1 ábra, ahol néhány anyag entalpiáját rajzoltuk fel a hőmérséklet függvényében állandó (1 atm) nyomáson.

7.1 TÁBLÁZAT

Átalakulási hőmérsékletek és átalakulási hők

(moláris, 1 atm esetén)

Anyag Tolv.(K)

H i~olv.(kJ /möl)

Trforr.(K)

H . '-'pár(kJ /m ól)

M

(g/mól)

He - - 4,3 0, 08 4

H2 14 0 , 1 2 20 0, 9 2

N263,3 0, 72 77 5,6 28

° 254, 5 C£5 o o

|00 32

CH. (metán) 4 91 1 1 2 8, 8 16

C3H8 (propán) 86 231 19, 7 44

NH^ (ammónia) 195,4 5, 6 240 2 2 , 8 17

etilalkohol 159 4, 8 351,4 39 46

» 2° 273,15 6 ,0 373,15 40,6 18

Hg 334,3 2 , 8 691,1 60,4 200 , 6

Na 370, 8 2 ,6 1150 100 23

Pb 600 4,9 2000 190 207, 2

A1 931 9,6 2540 256 27

Cu 1156 13 2600 300 63,6

Fe 1800 15 2800 267 55, 8

W 3650 46 5000 360 184

A12°3 2320 118 3300 490 101, 9

- 310 -

A forráspont nyomásftiggését úgy demonstráltuk, hogy szobahőmér­sékletű vizet bírtunk forrásra légritkított térben (7.2 ábra), az olvadás­pontét pedig oly módon, hogy feltámasztott jégtáblára vékony drótot feszi­tettünk, és drót áthatolt a jégen, miközben a drót-átvágta helyen a viz is­mét megfagyott, mutatva, hogy nem a hőmérséklete emelkedett 0 °C fölé, hanem a fagyáspont süllyedt le a drót alatti nagy nyomású helyen (7.3 ábra), Az anyagok egy része - nagyobb része - fordítva viselkedik, mint a viz: nyomásnövekedésre az olvadáspont emelkedésével reagál. Érdekes tapasz­talat, hogy a vízhez hasonlóan viselkedik minden olyan anyag, amely szi­lárd halmazállapotban nagyobb térfogatú, mint cseppfolyósban (ilyen a vas is), fordítva azok, amelyeknél az olvadás já r térfogatcsökkenéssel.

•Szivattyúhoz

- 311

A viz forráspontjának a nyomással való emelkedése nagy jelentőségű a konyhai ké­miában. A bableves ui. nem attól fő meg, hogy a viz forrásban van, hanem hogy magas hőm érsékletű. Siettetni lehet a fővés folyamatát azzal, hogy a levest z á r t edényben fo rra l­juk, a keletkező gőz nyomásával megnövelve igy a légköri nyomást ("kukta fazék"), ami pedig a forráspont emelkedéséhez vezet. Ilyen ügyeskedésre feltétlenül szükség van m a­gas hegyeken: az ott uralkodó kisebb légköri nyomáson a viz forráspontja 80 C-ig is le ­sz állhat.

A jég nagy nyomás ala tti megolvadása szerepet já tszik a korcsolyaél súrlódásá­nak csökkentésében, a g leccserek vándorlásában stb.

7.2 Fázisegyensúly

Az átalakulási hőmérséklet fogalmát pontosabban meg kell fogalmaz­nunk, már csak az említett kivételek okának tisztázása érdekében is. Adott nyomáshoz tartozó fázisátalakulási hőmérsékleten azt a hőmérsékletet é rt­jük, amelyen a két fázis egymással termodinamikai egyensúlyban van (tartósan egymás mellett létezhet). Ezt az egyensúlyt statisztikus egyen­súlynak gondolhatjuk el, amelyben ti. a közeg molekulái átmehetnek a má­sik fázisba, de átlagosan egyenlő számban oda-vissza. Nyomáson itt az adott közeg nyomását értettük; speciálisan, a folyadék-gőz-fázisegyensuly esetében nem a barom éter-mutatta légköri nyomást, hanem a gőz parciális nyomását. Közönséges körülmények között a viz-gőz-átmenet úgy folyik, hogy a viz nem csupán a saját gőzével, hanem a (vízgőzt is tartalmazó) lég­körrel érintkezik. Többet remélünk megtudni a cseppfolyós-légnemü-átme- net lényegéről, ha a folyamatot tisztább, egyszerűbb körülmények között vizsgáljuk.

7.2.1 Folyadék-gőz-izotermák

A 7.4 ábra szerinti kísérletben étert cseppentettünk az üvegcsövet majdnem szinültig megtöltő higany fölé, majd a csövet dugóval lezártuk úgy, hogy levegő ne maradjon a csepp fölött. A függőleges üvegcsőhöz haj­lékony gumicsővel csatlakozó higanytartályt lejjebb süllyesztve, az éter egy bizonyos higanyszint-különbségnél forrni kezdett, és a tartályt lejjebb- -lejjebb engedve, a higany fölött mindig meghatározott - egyre kisebb - mennyiségű cseppfolyós éter maradt, a többi elpárolgott. Eközben a csőben és a tartályban levő higany szintjének különbsége állandó maradt, egészen addig, amig a cseppfolyós éter el nem fogyott. Ezután a tartály további süllyesztésével a nyomáskülönbség nőni kezdett, és a "száraz gőz" viselke­dése - térfogat-nyomás-összefüggése - egyre jobban kezdett hasonlítani a gázoknál megszokott Boyle-Mariotte-törvényhez. (Az egész folyamatot olyan lassan végeztük, hogy joggal feltételezhetjük, az éternek minden lépésnél

- 312 -

T i

Tl1

7.4 ábra

volt elég ideje a környezeti hőmérséklet felvételére: a folyamat izoter­mikus vo lt.)

A kísérlet szerint tehát a folyadékával érintkező gőz nyomása (rög­zített hőmérsékleten) állandó marad a térfogat változása ellenére is; a rendelkezésre álló térfogatot megváltoztatva, a folyadékból annyi párolog el, vagy annyi csapódik le a gőzből, hogy ez a nyomás ismét visszaálljon.A folyadékával egyensúlyban levő gőz nyomását telitési gőznyomásnak ne­vezzük. A telitési gőznyomás értéke függ a hőmérséklettől: amikor az étert tartalmazó üvegcsövet hajszárítóval melegítettük, a telitési gőznyomás

megnőtt. A tapasztalatokat a 7. 5 ábra p-V diagramján foglaljuk össze. V itt a folyadék plusz gőz

- 313

össztérfogatát jelenti, p a közös nyomást. Jól jegyezzük meg a folyadék- -gőz-izoterm ák alapvető jellegzetességét: amig mindkét fázis jelen van, az izoterm térfogatváltozás állandó nyomáson megy végbe. Eközben sem a gőz, sem a folyadék fejtérfogata nem változik, az össztérfogat változását a két fázis tömegarányának változása eredményezi. Amikor az m tömegű közegből rrij. van folyadék-, és m^ gőz állapotban, az össztérfogat

m. m(7.2) V = — V, + —^ V' m f m g

ahol V. és V a teljes közeg térfogata tiszta folyadék, ill. gőz állapotban, f S

A víz telitési nyomásának hőmérsékletfüggését a 7.6 ábrán látható egyszerű elrendezéssel mértük ki. A vizet jó ideig forralva, a higanytavon át levegő-gőz-keverék, majd gyakorlatilag tiszta gőz távozott, a lombikban a víz fölött már csak vízgőz maradt. A m elegítést megszüntetve, a kezdet­ben 100 °C hőmérsékletű viz+gőz hűlni kezdett, miközben a higany fokoza­tosan emelkedett a csőben, a lassú hülés során minden hőmérsékletnél meghatározott magasságig, mutatva a telitési gőz süllyedő hőmérséklettel csökkenő nyomását. A kapott gőztenzió-görbét a 7. 7 ábra mutatja. A kü­lönböző hőmérsékletekhez tartozó viz-gőz-izoterm ák jellege a 7. 5 ábra

te,v

7(1)7. 7 ábra

- 314 -

szerinti. A hőmérséklet növekedésével az izotermák vízszintes szakaszá­nak hossza - a tiszta telitett gőz és a tiszta telitett folyadék térfogatának különbsége - csökken, annak megfelelően, hogy a telitett folyadék fajtérfo­gata a hőmérséklettel növekszik, a telitett gőzé csökken. Végül egy megha­tározott kritikus hőmérsékleten (víznél T, = 647 K) a folyadék- és

gőzfázis között eltűnik a térfogatkülönbség, sőt minden különbség. E rre a jelenségre még visszatérünk.

Megjegyeztük már, hogy a telitési gőznyomás beállását statisztikus egyensúlynak értelmezhetjük: akkor következik be, ha a folyadék felületén időegységenként ugyanannyi molekula lép át a gőzfázisba, mint vissza. Visszagondolva a rra a megállapításunkra, hogy a folyadék molekulái poten­ciálgödörben vannak, számolás nélkül is nyilvánvaló, hogy a folyadékból kilépők száma a hőmérséklettel növekszik, hiszen nagyobb hőmérsékleten a molekulák nagyobb hányada érkezik a felülethez olyan sebességgel, amely elegendő a potenciál-fal leküzdéséhez. (Boltzmann-eloszlás!) Mivel pedig a potenciálgödörből kilépő molekulák az átlagosnál nagyobb energiájuak, párolgás közben a folyadék - ha energiautánpótlás a környezetből nem érke­zik elegendő mennyiségben - fokozatosan lehűl. A páxolgási hő éppen az az energia, ami anyagmennyiség-egységenként szükséges a hőmérséklet állan­dóan tartásához plusz a nagyobb térfogatú gőz tágulási munkájának fedezé­séhez.

7.2.2 Párolgás és forrás

Szokásos körülmények között végbemenő párolgás során a folyadék fölötti térben a gőz parciális nyomása kisebb az adott hőmérséklethez ta r ­tozó egyensúlyi (telitési) gőznyomásnál, a légköri nyomás viszont ennél na­gyobb. A párolgás irreverzibilis folyamat, bár termikusán és mechanikai­lag kvá^isztatikus. Amikor viszont a folyadék hőmérséklete eléri azt az é r­téket, amelyhez tartozó telitési gőznyomás megegyezik a légköri nyomás­sal (és igy a folyadék belsejében uralkodó nyomással isx ), a párolgás for­rásba megy át; a fázisátalakulás immár nem csupán a felszínen, hanem a folyadék belsejében is folyik. Buborékok jelennek meg a folyadékban az edény fala mentén, növekednek, leszakadnak, felszállnak; a visszamaradt kis buborék-maradvány újra nőni kezd, és igy tovább. ("Zubog a víz.")A forrás bekövetkezését igy értelmezhetjük: Az edény falán, vagy a folya­dékban levő szennyeződéseken megtapadt apró levegőbuborékok határoló felületén is folyik a párolgás, a forráspontnál alacsonyabb hőmérsékleten is; amig azonban a telitési gőznyomás nem éri el a folyadékban uralkodó

*Szigorubban: amikor a telitési nyomás e lé ri az adott rétegben uralkodó nyomást, amely a légkori nyo- másnál a hidrosztatikai nyomással nagyobb.

- 31* -

nyomást, a buborék meghatározott méreténél mechanikai egyensúly áll be, a buborék nem növekszik tovább. (A bezárt levegő nyomása a buborék térfogatának növekedésével csökken, a gőz ehhez járuló parciális nyomása pedig nem emelkedhet az adott hőmérséklethez tartozó telitési nyomás fölé, igy a levegő+gőz nyomása plusz a gör­bületi nyomás (!) meghatározott bu­boréksugárnál egyenlő lesz a buboré­kon kívüli folyadék-nyomással, 1.7. 8 áb ra .) Mihelyt azonban a hőmér­séklet növelésével a telitési gőznyo­más bármilyen kicsivel is fölé emel­kedik a légköri+ hidrosztatikai+görbü- letí nyomásnak, mechanikai egyensúly nem állhat be semmilyen buborék-mé­retnél, a buborék korlátlanul növek­szik. Az adott légköri nyomáshoz ta r ­tozó forráspont ezek szerint megegye­zik (a hidrosztatikai és görbületi nyo­mást elhanyagolva) azzal a hőmérséklettel, amelyhez tartozó telitési gőz­nyomás éppen a légköri nyomással egyezik. (Arra a ravasz kérdésre tehát, hogy mennyi a vizgőz parciális nyomása 100 °C hőmérsékleten, a válasz:1 a tm .) Ezért jelent a forrásban levő viz hőmérséklete hőmérsékleti fix­pontot, mig a levegő-párna alatt párolgó vizé nem: a csendes forrás folya­mán a folyadék és gőz egymással végig termodinamikai egyensúlyban van.

7 .2 .3 Tulhevités. tultelités. tulhütés

A forrás fentebb vázolt mechanizmusa magyarázatot ad a tulhevités jelenségére is: igen tiszta folyadék, amelyből előbb hosszas melegítéssel kiüztük a gázmaradványokat, képes átmenetileg a forráspont fölé meleged­ni, amíg végül véletlen fluktuációk során ki nem alakul a forrás megindu­lásához szükséges elég nagy sugaru gőzbuborék. Ekkor aztán a forrás h ir­telen, robbanásszerűen indul meg, miközben a hőmérséklet gyorsan lezu­han a normális forráspontra.

- A tulhevités után robbanásszerűen meginduló fo rrá s balesetveszélyes! A tulhe- vülés megakadályozása végett szoktunk laboratórium i fo rra lásnál un. forrkövet — pl. p o r­celáncserepeket — szórni a forralandó folyadékba. Az ezek nagy felületén megtapadó le ­vegő-buborékok biztosítják a fo rrás sim a megindulását. -

A légnemű —* cseppfolyós átmenet neve lecsapódás vagy kondenzáció. Akkor következik be, amikor a gőz állapota a 7. 5 ábrán szaggatott vonallal körülhatárolt tartományba kerül. Ez pedig történhet egyebek között izoterm kompresszióval (ezt láttuk az éteres kísérletben), vagy izokór, 111. izobár hüléssel. Ez utóbbi játszódik le, amikor a helyiség levegőnél hidegebb falán

Po

- Po+hs# -

P/evM+PsfrWfífirö (rj

7. 8 ábra

- 316 -

(ablakon) a levegőben levő vízgőz lecsapódik: a levegő hőmérséklete a he­lyiség zömében olyan magas, hogy a benne levő vizgőz parciális nyomása alatta van a telitési nyomásnak, a fal közelében viszont az alacsonyabb hő­mérséklethez tartozó kisebb telitési nyomást már túllépné, 1. 7.9 ábra.

P 0Hgoz

me/eg ¿evego

hidegK M

7. 9 ábra

Az egész térfogatában egységesen hütött gázban - amit pl. adiabatikus expanzióval megvalósíthatunk - előfordulhat, hogy a parciális gőznyomás túllépi a telitési értéket, a lecsapódás azonban nem indul meg (túltelített gőz). Tapasztalat szerint a kondenzáció a gázban lebegő apró szennyező­déseken (por-, koromszemcséken, és különösen elektromos töltéssel rendelkező részecskéken: ionokon), un. kondenzációs magokon indul meg. Ilyenek hiányában a gőz tartósan túltelített állapotban maradhat. Tultelitő- dés a légkör magasabb, tiszta rétegeiben is előfordul, amikor nagy pára- tartalmu légréteg felemelkedve lehűl. Ha ezután a túltelített gőzbe konden­zációs magok kerülnek, pl. repülőgép motorjának égéstermékéből, a kon­denzál ódás ott hirtelen megindul: a repülőgép kondenzcsikot húz.

- A túltelített gczben megjelenő helyi kondenzációt e lterjedten használják az atommagfizikában az egyébként láthatatlanul kicsiny részecskék pályájának m egjeleni- tésé re . A ködkamrában túltelített gőzt (többnyire alkohol-gőzt) adiabatikus expanzióval, vagy állandó hőm érséklet-gradiens fenntartásával lehet létrehozni (expanziós, ill. diffú­ziós ködkamra). A kondenzációs magokat azok az ionok jelentik, amelyek az áthaladó gyors részecskének a kam rát betöltő gáz atomjaival való ütközéseiben keletkeztek, igy a körülöttük kialakuló folyadékcseppek kirajzolják a részecske pályáját. Igen nagy en er­giájú részecskék pályájának je lzésére viszont a tulhevitett folyadékot használják fel, amelyben a pálya mentén keletkező ionok a fo rrás helyi megindulásához szükséges m a­gokat szolgáltatják (buborékkamra). -

Az átalakulási hőmérséklet túllépése folyadék —► szilárd fázisátalaku­lásban is előfordul: tulhütés. Forditva nem! Könnyen túl lehet hűteni pl. a fixirsót (NaHSO^, azaz nátriumtioszulfát), amelynek olvadáspontja 48 °C.

A fixirsót főzőpohárba helyezett kémcsőben megolvasztva, majd lassan hülni hagyva, hőmérséklete cseppfolyós állapotban szobahőmérsékletig is

- 317 -

süllyedhet. Ha a tulhütött olvadékba egy kristályszem csét ejtünk, a meg­szilárdulás (kikristályosodás) azonnal megindul, és a közeg hőmérséklete hirtelen felszalad az olvadáspontnak megfelelő értékre; a közeg egészének megszilárdulása m ár ott megy végbe. A kikristályosodás megindulásakor bekövetkező melegedést tapintással is érzékelhetjük!

- A közeg belsőenergiája a tulhütött állapotból induló hirtelen felme­legedésnél nem növekedett, a kikristályosodással az állapotstruktura vál­tozott meg: ugyanakkora belsőenergia más számú mikroállapot bebolyongá-

„ d In Wsához elegendő, igy W megváltozott, és vele együtt —— — is, tehát ahőmérséklet is. -

7.2 .4 Szublimáció; fázisdiagram, hármaspont

Fázisátalakulás közvetlenül is végbemehet szilárd és gőz-halmaz- állapot között, a szilárd test is párolog! Ezt a jelenséget szublimációnak nevezzük. Atmoszféra-nyomáson egyes anyagokat nem is lehet megolvasz­tani, m ert közvetlenül légnemüvé párolognak, a folyadékfázis kihagyásá­val. Ilyen például a szilárd CO , az un. szárazjég. A hevített jódkristály is közvetlenül jódgőzzé szublimál. A fordított folyamat - a gőzfázis szilárd fázisba való közvetlen átmenete - is bekövetkezik: a főzőpohárban hevített jód gőze a pohár hideg fedőjén ismét jódkristályokká kondenzál ódik. A szub­limáció folyamatában is meghatározott gőznyomás elérésénél áll be adott hőmérsékleten a fázisegyensúly. Tapasztalat szerint a szilárd- és gőz-fá- zis közötti egyensúly csak - az anyagi minőségtől függő - meghatározott nyomás alatt lehetséges, és e nyomás alatt a közeg nem lehet tartósan folyadék-állapotban. A szárazjég és a jód esetében ez a nyomás fölötte van az atmoszféra-nyomásnak (COg-re pl. 5, 3 bár), víz esetében alatta

(0, 006 bár). Cseppfolyós szenet pedig még senki nem látott: csak sokezer bár fölött létezhetne.

A három halmazállapot bármely párja tehát csak meghatározott mó­don összetartozó p, T értékpároknál lehet egyensúlyban, azaz egy-egy meghatározott p= p(T) görbe mentén. A három görbét a„p ,T koordináta- rendszerben ábrázolva, a p-T sikot három tartományra szabtuk, amelye­ken belül csak egy fázis létezhet egyensúlyi állapotban. Ezt a vonalábrát fázisdiagramnak nevezzük, 1. 7.10a és b ábra. (A görbék jellegének hang­súlyozása érdekében az ábrákon a tengelyeket nem lineárisan skáláztuk.)A három fázisegyensulyi görbe egy pontban találkozik. Ezt a pontot hárm as- pontnak nevezzük; ez az egyetlen olyan p ,T értékpár, amelynél mindhá­rom fázis egymással kölcsönösen egyensúlyban létezhet.

- 318 -

194,3 2/6 283 30* r(X) -7Q5 -36,5 ¿0 31 trc)

p(atm) kritpont

273:13273,16 373,13 6*7 r(K) OQOI tOO 374 <PC)

7.10 ábra

A v í z hármasponti hőmérséklete

(7.3) T\ = T . + 0, 01 K = 273,16 K,hp olv

másképpen mondva t^p = 0, 01 °C. 1954-ben történt nemzetközi megálla­

podás ezt az értéket a Kelvin-skála egységét definiáló értéknek fogadta el.Nem egészen igaz tehát, amit a Kelvin-skála egységé­nek definíciójaként az 1. 2 pontban kimondtunk, ill. ez módosult - úgy azonban, hogy 5 tizedes jegy pontossá­gig a régi és uj definíció egyező értéket ad. A hárm as­pont előállítására a 7.11 ábrán vázlatosan ábrázolt eszköz használható: a kettősfalú tartály leforrasztott üregében gondosan desztillált és kigázositott viz van olyan mennyiségben, hogy az üreget nem tölti ki telje­sen, igy saját gőzével érintkezik. Az edénybe öntött hűtőfolyadékkal az üregben levő viz egy része a belső fal mentén megfagyasztható, és ezután - a hűtőfolyadékot eltávolitva - az üregben levő közeg mindaddig őrzi a

hármasponti hőmérsékletet, amig a jégréteg teljesen le nem olvad, és vele együtt őrzi a hűtőfolyadék helyébe tett test, a hitelesítendő gázhőmérő ta r ­tálya.

7.11 ábra

- 319

7.3 Entrópiaváltozás fázisátalakulásnál; kémiai potenciál

7.3.1 Entrópiaváltozás meghatározása a fázisátalakulási hőből

A fázisegyensulyi állapotokon keresztül végbemenő fázisátalakulás reverzibilis folyamat, igy az entrópiaváltozást (6.36) alapján számolhatjuk. Állandó hőmérsékleten és az ehhez tartozó állandó fázisegyensulyi nyomá­son engedve végbemenni az átalakulást, az átalakulási hő mérésével az entrópiaváltozást is megkapjuk az

formula szerint. A fázisátalakulási entrópiaugrásról áttekintést ad a7.12 ábra, ahol néhány anyag entrópiáját ábrázoltuk a hőmérséklet függvé­nyében állandó (1 atm) nyomáson.

Mivel tapasztalat szerint az olvadás és a párolgás állandó nyomáson és hőmérsékleten pozitiv entalpiaváltozással megy végbe (pozitív melegí­tést kell a közegen végezni: endoterm folyamat), az entrópia szintén szi­lárd —> cseppfolyós —► 1 légnemű sorrendben növekszik, tehát a mikroálla- pot-rendszer ebben a sorrendben sűrűsödik.

- 320 -

A fázisátalakulási entrópiák ismeretében níeg tudjuk mondani, miért nem lehet stabilis a cseppfolyós viz, ha a vele termikus kontaktusban levő környezet hőmérséklete 273 Kr-nél kisebb: a jég entrópiája kisebb ugyan, mint a vele egyenlő hőmérsékletű vizé, tehát a megfagyásnál a viz entró­piája csökken, a környezeté azonban a megfagyáskor a víztől kapott ener­gia miatt, növekszik, mégpedig 273 K alatt nagyobb értékkel, mint amek­korával a vizé csökken, tehát a viz+környezet-rendszer szám ára a viz megfagyása jelent nagyobb rendezetlenségü állapotot. 273 K fölött fordított helyzet van: a megolvadáshoz energiabefektetés szükséges, amit a jég a környezetétől von el, így annak entrópiája csökken; ezt azonban fedezi (sőt, "tulfedezi") a jé g megolvadásával járó állapotstruktur a-változás miatti entrópianövekedés. 273 K (pontosabban, 273,15 K) hőmérsékletű környezetben a cseppfolyós viz és a jég tartósan, "békés egymás mellett élésben" együtt maradhat, egy csoport molekula átmenete a másik fázis­ba nem növeli és nem csökkenti az összentrópiát. Mindez értelemszerűen vonatkozik az egymással érintkező folyadék-gőz-fázisra és ugyanugy bár­milyen fázispárra.

7.3.2 Kémiai potenciál

Az előbbi meggondolást a 6 .6 .2 pontban definiált szabadentalpia se­gítségével is megfogalmazhatjuk: 273 K alatt a jég, efölött a cseppfolyós viz fajlagos szabadentalpiája kisebb; 273,15 K-nél a kettő egyenlő, egy csoport molekula átmenete a másik fázisba nem csökkenti és nem növeli a szabadentalpiát. Általában, találom ra kiválasztott nyomás és hőmérséklet esetén, egy molekulacsopört, vagy - még egyszerűbben - egyetlen mole­kula átmenete az egyik fázisból a másikba statisztikus átlagban vagy növel­né vagy csökkentené a két fázisból álló rendszer összes szabadentalpiáját, és a folyamat abba az irányba halad, amely a szabadentalpia csökkenéséhez vezet. Fázisegyensúly olyan nyomás- és hőmérsékletértéknél lehet, amely­nél egy molekula átmenete nem változtat az összes szabadentalpián. fJ~j- gyel és JJL-wel jelölve a rendszer szabadentalpiájának az I. ill. II. fázis 1 molfeulával való gyarapodására eső változását,a rendszer összes szabadentalpiája egy, molekula I.-*- II. átvándorlása révén

(7.5)

értékkel változik, és a fázisegyensúly feltétele

(7.6) /Un (T ,p)= ^ ( T .p ) .

- 321 -

A fentebb definiált fJ .j és ¡ j l mennyiség neve: az I . , ill. n . fázisú álla­

potban levő közeg kémiai potenciálja. Két fázisból álló rendszer összes szabadentalpiája - amely a hőmérsékletnek, a nyomásnak és az Nj,

molekula számnak egyértelmű függvénye - additív mennyiség, igy

<7. 7) G(T, p, Nj, Nn ) = Gj (T, p, Nj) + Gn (T, p, Nn > = Nj g j (T, P) +

+ Nn l n (T’p)

alakba irható, a kémiai potenciál pedig a szóban elmondott definíció érte l­mében

G G

(7‘ 8) ^ I “ = £l ’ ^11 “ = E li ’

A yU-j és kémiai potenciál tehát egyenlő a tiszta I . , ill. II. fázis

molekulánként! szabadentalpiájával, és mindkettő egyértelmű függvénye a nyomásnak és hőmérsékletnek. (A két fázisban más alakú függvénye!)

A (7.6) egyensúlyi feltétel következményként tartalmazza azt a ta­pasztalati tényt, hogy két fázis egyensúlya csak meghatározott módon ösz- szetartoző T, p értékpárok mellett lehetséges, hiszen egy egyenletet ir elő a két ismeretlen. T és p számára, amely szerint az egyiknek önké­nyesen megadott értéke a másik mennyiség értékét már megszabja.

Három fázis egyensúlya két független egyenlet teljesülését kivánja:

/Aj (T,p) =/X n (T,p); (T, p) = (T.p)

(A /ji (T.p) = (T,p) egyenlet már következményük.) Ezek T ,p é rté ­

két egyértelműen meghatározzák: hármaspont.

7.3 .3 A Clausius-Clapevron egyenlet

A fázisegyensúly feltételét megfogalmazd (7.6) egyenlet használatát a következő probléma megoldásával illusztráljuk: Ha a rendszer a T .p hőmérséklet-nyom ás-értékpárnál fázisegyensúlyban volt, és a hőmérsék­let T + dT -re változott, mekkora p + dp nyomásnál áll be ismét a fázis­egyensúly?

Az egyik és másik fázis kémiai potenciáljának(molekulánkénti sza- badentalplájának)változása a dT, dp változással az I. főtétel (6 . 73d) alak­ja szerint

- 322 -

(7.10) d yUj = - Sj dT + Vj dp ; d = - sn dT + yn dp.

Mivel pedig a két kémiai potenciál az eredeti T ,p állapotban is, a végső T + dT, p + dp állapotban is egyenlő volt egymással, a

d/U-i = (T + dT, P + d p J-yU jíT .p ) ; d ^ n = ^ n (T+dT,p+dp)-Mn (T,p)

megváltozások is egyenlők. Ezt - (7.10) szerint részletezve - a

- Sj dT + Vj dp = - Sjj dT + Vjj dp

egyenlettel fogalmazhatjuk meg. Átrendezve, a

s — s A h AH(7 i i ) —^í- = ---- — = -------- —1 ' dT vTT- v T T A v r T AV

differenciálegyenlethez jutunk. A kapott összefüggést Clausius-Clapeyron- -egyenletnek nevezzük. Az egyenlet a fázisátalakulási hő és a fázisátala­kulásnál bekövetkező térfogatváltozás ismeretében (mindkettő közvetlenül mérhető mennyiség!) megadja a p = p(T) fázisegyensulyi görbe meredek­ségét (az egyensúlyi nyomás hőmérsékletegységenkénti változását). Rögtön kiolvasható belőle az említett tapasztalati szabály: ha olvadásnál térfogat­növekedés történik, az olvadáspont a nyomás növelésével emelkedik; ha a térfogat csökken (viz!), az olvadáspont növekvő nyomással süllyed.

A Clausius-Clapeyron-egyenlet (differenciálegyenlet!) megoldása a fázisegyensulyi görbét szolgáltatja. Általában az egyenlet jobb oldalán sze­replő AH fázisátalakulási hő és a A v fázisátalakulási térfogatvál- ~F ~Ftozás maga is függ a hőmérséklettől. Folyadék-gáz-fázisegyensúlynál azon­ban, nem túl nagy szakaszon, A H r állandónak vehető (viz esetében~ r273-373 K között kb. 10%-kal változik), a fajlagos térfogatváltozásban pe­dig a folyadékfázis térfogatát a gőzé mellett elhanyagolhatjuk, végül a gőz állapotegyenletét az ideális-gáz-törvénnyel közelítjük,

a ~ f ’ - n - h * 7 '(gőz) (foly.)

E közelítésekkel a Cl. - Cl. -egyenlet a

- 323 -

egyenletté egyszerűsödik, amely zárt alakban megoldható:

A h .F Ah,“F

(7.12) In p = - RT + áll. =í> p = C e RT = C e kT

Ez pedig a 7. 7 ábrán látható tapasztalati gőztenzió görbével a várható pon­tosságig mennyiségileg is megegyezik.

A (7 .12) függvény feltűnően hasonlit a A h = f ^ + p A v ^ mélységű potenciál-

gödörhöz tartozó koncentráció-eloszláshoz. Valóban, (7.12)-höz hasonló egyenletet kap­hatunk közvetlenül a Boltzm ann-eloszlásra hivatkozva is . A 7.13 ábrán egy molekula á l­lapotrendszerét vázoltuk, az adott hőmérséklethez és nyomáshoz tartozó Boltzm ann-el- o szlással együtt úgy is, hogy az egyes állapotok valószínűsége van feltüntetve, úgy is, hogy egységnyi entalpiasávba esés valószínűsége. Az ábra vázlatos, csak azt akarja é r ­zékeltetni, hogy a gőz-állapotok A h^ hézaggal magasabban kezdődnek, és sűrűbben

követik egymást, m int a folyadék-állapotok. Annak valószínűsége, hogy egy kiszem elt molekula a gőzfázishoz ill. a folyadékfázishoz tartozzon, a gőz-, ill. folyadék-állapotok szum m ázott valószínűségével, azaz a 7.13 ábra felső ill. a lsó görbeszakasza ala tti te rü ­lettel egyenlő. E valószínűségek aránya a gőz- és folyadék-állapotok szum m ázott való­színűségével, azaz a 7.13 ábra felső ill. a lsó görbeszakasza a latti terü lettel egyenlő.E valószínűségek aránya a gőz- és folyadékmolekulák koncentrációjának arányát is m eg­adja,

P(£J7.13 ábra

- 324 -

_kT < állapotsürüség fo l tb a n >

"gőz ~ Dfoly. 6 < állapotsürüség gőzben >

Az állapotsürüség maga is függhet T-től, de az exponenciális tényezőhöz - a Boltzmann- -faktorhoz - képest gyengén, ahhoz képest állandónak vehetjük. A gőz nyomása a koncent­rációval kb. arányos, p = n . k . T, az arányossági tényezőben szereplő k T - t a C kons­tansba olvaszthatjuk (!), és igy a (7.12) egyenlethez jutunk. -

7.4 Az I. főtétel mennyiségi megfogalmazása anyagszerkezeti

változással járó folyamatokra

Irreverzibilis folyamatra a (6 . 73) egyenlőségek helyett csak egyen­lőtlenségeket Írhatunk, . . . = 0 helyett mindegyik egyenletben . . . < 0-t.Ha az irreverzibilitást csak a nem fázisegyensulyi állapotban bekövetkező anyagvándorlás okozza, a hőmérséklet és nyomás kvázisztatikusan (és a két fázisra nézve termikus és mechanikai egyensúlyban) változik, a több fázisból álló rendszer szabadentalpiájának teljes megváltozását infinitezi- mális hőmérséklet-, nyomásváltozás és az egyes fázisokban levő moleku­lák számának kis megváltozása esetén a

dG = Nj d ^ + Nn d m2 + f t r dNj +Mn dNn =

= N (- s dT + v dp) + N (-s dT + v dp) + X U. dN. =i ~i ~i n ~ii - n i ii 1

= -(NJ Sj + N:I sn ) dT + (NI xl + Nn yn ) dp + X M. N.

tagokból rakhatjuk össze. (Ezek a tagok mind szerepeltek az előző pont meggondolásaiban, csak ott nem mind egyszerre .) A végeredmény - az entrópia és a térfogat additivitását figyelembe véve -

(7.17d) dG = - S dT + V dp + T [A dN. .

Ilyen módon, független extenziv állapothatározóként az egyes fázisok anyag- mennyiségét bevezetve, a reverzibilis folyamatra vonatkozó (6 . 73d) egyen­lőséget - az I. főtétel egyik alakját - sikerült az egyenlőség megtartásával általánosítani olyan, mechanikailag és termikusán kvázisztatikus folyama­tokra, amelyekben az irreverzibilitást csak anyagszerkezeti átalakulás okozza (nem pedig hőmérsékleti vagy mechanikai inhomogenitás). A "te r­

- 325 -

mikus" és "mechanikai kölcsönhatás" mintájára nevet adunk a molekuláris anyag egyes fázisok közötti vándorlásával járó kölcsönhatásnak: anyagván­dorlási kölcsönhatás. Az I. főtétel (7.13-15) alakjainak általánositása anyag­bevándorlást megengedő kölcsönhatásokra egyszerűen a jobb oldalnak a fx. dN. tagokkal való kiegészítéséből áll:

(7 .17c) dF = -S dT - pdV + ^ Mj dNj >

(7.17b) dH = TdS + Vdp + X ¿t. dN. ,

(7 .17a) dU = TdS - pdV + X^U. dN. .

- Elég egyikük példáján megmutatni, hogyan következnek az előzőek­ből :

dF = d(G-pV) = dG - pdV - Vdp = - SdT - pdV + dN -

'------------- --------------- '- SdT + Vdp + 2-/jlí dN.

Az "eredeti" I. főtétel általánosított (7.17a) alakja legszimmetriku- sabb a kapott egyenletek közül: a belsőenergia változását olyan tagok szum- mája adja, amelyek mindegyike egy-egy, a különböző kölcsönhatásokra je l­lemző intenzív állapothatározónak és a megfelelő extenziv állapothatározó differenciáljának szorzata. Ezeket az intenzív állapothatározókat - a T hőmérsékletet, a -p feszültséget és a /x. kémiai potenciálokat - rendre a termikus, mechanikai és anyagvándorlási kölcsönhatás intenzitáspara­m étereinek nevezzük. Két test között akkor nem jön létre termikus, mechanikai vagy anyagátvándorlási kölcsönhatás ezt megakadályozó szige­telő fal hiányában sem, ha a megfelelő intenzitásparaméter a két testre egyenlő. Az áramlás irányát pedig az intenzitásparaméterek nagyságsor­rendje dönti el. Speciálisan két, önmagában anyagszerkezetileg homogén test (két fázis) közül a magasabb kémiai potenciálú testből vándorol anyag az alacsonyabb kémiai potenciálúba, amíg a kémiai potenciálok értéke ki nem egyenlítődik.

- Amivel ism ét csak azt - feltételt fogalmaztuk meg, hogy "am ig a testek és kör­nyezetük összentrópiája el nem érte az adott körülmények között lehetséges legnagyobb értékét?1. -

- A kémiai potenciált a szabadentalpiának azzal a változásával definiáltuk, amit állandó nyomáson és hőmérsékleten egy molekula bevándorlása okoz. A (7.17) egyenle­tek szerin t a kémiai potenciál egyben a szabadenergia, entalpia és belsőenergia moleku­lánként! m egváltozását is adja, csak nem állandó hőm érséklet és nyomás, hanem állandó hőm érséklet és térfogat, állandó entrópia és nyomás 111. állandó entrópia és térfogat m el­lett. A legutóbbit igy is fogalmazhatjuk — talán kevésbé félreérthetően —. a kémiai poten­ciál megadja, mennyi energiái hozzon magával a bevándorló molekula, hogy a rendszer

- 326 -

entrópiája ne változzon, noha a fázis adott térfogatában m ost m ár több molekula zsúfo­lódott össze. (így nem esünk zavarba, amikor kiderül, hogy az ideális gázok kémiai po­tenciálja negatív. Azt jelenti a negatív érték, hogy az entrópia csak úgy m aradhat állan­dó, ha az uj molekulák bevándorlásával párhuzamosan gondoskodunk megfelelő mértékű energiaelvonásról: több molekula ugyanakkora térfogatban nagyobb állapotsürüséget idéz elő, és változatlap belsőenergia m ellett az entrópianövekedést jelentene.) -

7.5 Kritikus hőmérséklet; gr'zok cseppfolyósitása

7. 5.1 Kritikus izoterma

kr

A folyadék-gőz vegyes fázis izotermáit vizsgálva (1. 7.5 ábra) egy kritikus hőmérsékletet találtunk, amely fölött nem létezik külön fo­

lyadék- és külön gőzfázis. A izotermán egy meghatározott p ^ nyo­

másnál és a hozzátartozó V. térfogaton a vegyes fázist folyadék- és Krgőz-oldalról határoló két görbe összeér (a párolgáshő nullára esik), az izotermának itt vízszintes érintőjü inflexiós pontja van:

(7.21) dV = 0, ^ = 0 2 u>dV

Ezt a • P^r állapotot kritikus állapotnak nevezzük. Néhány közeg k ri­

tikus állapotának adatai a 7.2 táblázatban találhatók.Ha vastagfalu zárt edényben saját gőzével érintkező folyadékot me­

legítünk, a fázishatár elég magas hőmérsékleten eltűnik. Hogy ez hogy;;n megy végbe, a közeg tömegének és a tartály térfogatának a viszonyától függ, 1. 7.14 ábra. Ha az edény térfogata kisebb, mint a közeg tömegének megfelelő kritikus térfogat, a melegítés­sel a folyadékfázis térfogata növekszik, mig be nem tölti az edény egész térfogatát, a fázisokat elválasztó határ tehát felfelé mozogva tűnik el. Ha az edény térfogata a f kritikusnál nagyobb, a gőzfázis térfogata növekszik, a fázishatár lefelé mozog. Ha pedig éppen eltaláltuk a kritikus térfogatot, a fázisokat elválasztó határ kb. helyben marad, azonban a folyadék és gőz minden jellemzőjének - sűrűségének, tö­résmutatójának stb. - különbsége fokoza­tosan csökken, végül a kritikus hőmérsék- 7.14 ábra

r*\

v- _

o

v<vler

V>Vk r

‘1/ler

- 327 -

Gázok kritikus állapotának adatai és T, , p, -hozk r k rillesztett Van dér Waals-állandói

7 .2 TÁBLÁZAT

kr Pkr Vkr a b

anyag(K) (io5 ^ )

m

, „ - 6 3 10 m' mól ’ m mól

He 5,2 2,29 57, 8 0,0035 23,9

H2 33,2 13,0 65, 0 0, 024 5 26, 7

V 126,1 34, 04 90,1 0,14 38,6

° 2 154,7 50, 8 78 0,14 31,6

CO 133 35, 0 93,1 0,15 39,6

O X 191 46,4 99, 0 0,23 42,8

C3H8 370 43,4 - 0, 92 88,6

co2 304,1 73, 9 94 0, 36 42,8

NH3 405,4 77,1 72, 5 0,43 37,4

h 2o 647,3 374,2 56 0, 55 30,4

leten megszűnik, és ezzel a fázishatár elenyészik. A fázishatár elenyé- szését megfigyelhetjük vastagfalu leforrasztott kapillárisba zárt CO£ melegítésénél. (Tkr = 314 K, p ^ = 75 bár) A kritikus pont körül a közeg

zavarossá válik: ez az igen nagy sürüségingadozások következménye.

7. 5.2 A fázlsszétválás értelmezése a II. főtétel alapján

- A kritikusnál jóval magasabb hőm érsék­leten a Van d é r W aals-izoterm ák (1. 7.15 ábra) egyre jobban hasonlítanak a B oyle-M ariotte-hiper- bolákhoz, eltekintve a V-* b szélsőségesen kis térfogatoktól. Érdekes, hogy a kritikus hőm érsék­let alatt, kis térfogatok tartományában a Van dér Waals-egyenlet jellegében a folyadékok viselkedé­sét is jól adja meg, noha az egyenletet az ideális állapotútól csak kicsit e ltérő gázokra vonatokozó meggondolás alapján kaptuk. (Az egyenlet szerin t V -* b esetén a nyomás rohamosan nő, ili. a nyo­más közönségesen megvalósítható változásai alig

7.15 ábra befolyásolják a térfogatot: a folyadék "összenyom ­

- 328 -

hatatlan” .) A hőtágulásra is nagyságrendileg elfogadható é rték adódik.Fázisátalakulásról azonban a Van d é r W aals-egyenlet nem tud: adott hőm érsék­

leten a nyomás a térfogatnak

(7.21) RTV-b

szerin t folytonos függvénye, márpedig a fázisát­alakul ás éppen az állapothatározók közötti ösz- szefiiggés ug rásszerű megváltozását (az állapot­egyenlet szakadását) je lenti. A reá lis gázok ál­lapotegyenletét jobban megközelítő számos is ­m ert állapotegyenletre ugyanez vonatkozik. Ille tv e .. .

Ha jobban meggondoljuk, a Van dér W aals-izoterm a "púpos" szakaszának V-vel emelkedő ré sze (ahol p monoton növekvő függ­vénye Y -nek) nem jelenthet mechanikailag stabilis állapotot: Ha véletlen ingadozások révén bárm ilyen kicsivel megnő a térfogat, akkor a nyomás is megnő, de akkor a határoló fal még jobban enged, de akkor a nyomás még jobban m egnő.. . egészen addig, mig el nem é ri az izo­te rm a helyi maximumának megfelelő értéket.A következőkben belátjuk, hogy a görbe megma­rad t részének is van még olyan szakasza, amely termodinamikailag nem stabilis, azaz nem az adott feltételek m elletti összentrópia-m ajrim um -

7.16 ábra

nak felel meg, másképpen mondva, ahol a közeg szabadentalpiája nem minimum. Az egy molekulára átlagosan jutó szabadentalpia változását egy meghatározott izoterm a mentén a (7.10) form ula alapján határozhatjuk meg, am i most (T állandósága miatt)

Vdg = v dp = ^ dp

-re egyszerűsödik. Az izoterm a egy tetszőleges pontjától indulva

g(P) = fo + n J Y(p)dp

vagy - m oláris adatokkal

J

- 329 -

a szabadentalpia változását tehát az "oldalra billentett" Van dér W aals-izoterm a alatti te rü le t adja meg, 1. 7.16 ábra. A területfüggvény az A pontig emelkedik, aztán B-ig haladva csökken (a p-tengelyen visszafelé megyünk!), de kevésbé meredeken (V(p) ala­csonyabban megy), ezután ism ét emelkedik, még kevésbé m eredeken. Tekintve, hogy az AB szakasz mechanikai instabilitás m iatt nem valósulhat meg, a g = g(p) függvény­nek két mechanikailag stab ilis ága van. A közeget kis nyomásról fokozatosan kom prim ál­va, a 3. ágon haladunk, és ez je lenti a legalacsonyabb szabadentalpiáju állapotot egészen addig, amíg egy Pp nyomásnál e görbe-ág nem kerül az 1 . ág fölé; ezután a legalacso­nyabb szabadentalpiát ( =*■ a legnagyobb rendszer+környezet-entrópiát) az 1 . ág jelenti.A két fiiggvcny-ág ott találkozik, ahol a pp-hez tartozó izobár az izoterm ából két egyen­lő terü le tü púpot vág ki. E szerin t az izoterm a F ’ - A és B - F" szakasza term odi­namikailag nem stab ilis, pp ala tt az 1. pp fölött a 3. izoterm a-ág jelenti a term odi­namikai egyensúlyi állapotot, kivételes helyzettől eltekintve (tultelités, tulhütés) ezek valósulnak meg. így az 1. ág a gáz, a 3. a folyadék-fázissal azonositható. pp nyomá­son a két fázis egym ással termodinamikai egyensúlyban van, tömegarányukat a rendel­kezésre álló térfogat szabja meg. A recept tehát: a Van dér Waals - vagy más, ponto­sabb meggondolásra épülő, de jellegében hasonló - állapotegyenlet "nyers" izoterm ájá­nak hullámos részé t helyettesiteni kell azzal az izobárral, amely az izotermából alul­felül egyenlő te rü le te t vág ki; ez az izobár jelöli ki az adott hőm érséklethez tartozó fá­zisegyensúly i nyomást, és a ténylegesen m érhető folyadék-gőz izoterm a alakját kapjuk.

A hőm érséklet növelésével az izoterm a F ’ , F" pontja közeledik egymáshoz,egy meghatározott hőm érsékletnél ö sszeér; ezt a hőm érsékletet értelm ezhetjük kritikushőm érsékletnek. Az összeeső A és B pont inflexiós pontot jelöl ki, ez a kritikus pont.A Van dér W aals-egyenletben szereplő a, b állandókat úgy szokás illeszteni, hogy T^rés p, a m érési adatokkal egyezőnek adódjék. Az illesztés könnyen megvalósítható k ra (7.22) deriválásainak elvégzésével kapott egyenletek alapján. -

7.5.3 Cseppfolyósitás kompresszióval;halmazállapotváltozáson alapuló hűtőgépek

Az olyan gázok, amelyeknek kritikus hőmérséklete szobahőmérsék­let fölé esik, nagynyomású palackban cseppfolyós állapotban tárolhatók, ahonnan nyomásszabályozó szelepen át párologva, ismét gáz-halmazálla­potban állnak a felhasználó rendelkezésére. A propán kritikus hőmérsék­lete biztonságosan szobahőmérséklet fölött van (T^ = 370 K), hasonlóan

- közel hozzá - a butángázoké; ez teszi lehetővé, hogy a propán-bután- -gáz ("PB-gáz") folyadék-állapotban, és igy gazdaságosan nagy mennyi­ségben szállítható legyen. A kritikus nyomásuk sem túl nagy (P^ ^ 40 b^r)

igy a tartálynak sem kell túl vastag falunak lenni. Összehasonlításul:T = 300 K hőmérsékleten, p = 20 bár nyomáson a (folyékony) PB-gáz sű­rűsége 600 kg/m 3, ugyanilyen hőmérsékleten és nyomáson a nem csepp­folyósodé metán (Tkr = 191 K) sűrűsége csak 16 kg/m , ugyanakkora tö­

megű metán szállításához tehát kb. negyvenszer nagyobb térfogatú, vagy jóval vastagabb falu tartály kellene. Ennek megfelelően a földgáz (amely-

- 330 -

nek metán a legfontosabb komponense) gazdaságosan csak csővezetékben szállítható, mig a PB-gáz folyadékként, palackban is.

A szobahőmérsékleten izoterm kompresszióval cseppfolyósítható gázokat előnyösen lehet hűtőgép munkaközegéül használni. Elterjedten al­kalmazzák e rre az ammóniát (NH„) és a különböző freonokat (CF Cl és 3 n m CHF^Cl^ összetételű vegyületek). A kompressziós hűtőgépek működési

elvét a 7.17 ábra mutatja, a munkaközeg-ammónia körfolyamatát pedig p-V és T-S koordináta-rendszerben a 7 .18/a, ill. 7.18A> ábrán rajzol­tuk meg.

- Amint a p-V koordináta-rendszerben fe lra jzolt folyamat görbéje a latti terü let a közeg által végzett munkát adja, éppugj a T-S koordináta-rendszerbeli görbe alatti terü let a közegen végzett m elegítés m értékét, hiszen a közeg szempontjából reverzib ilis folyamatban

Az izoterm ákital és adiabatákkal (= izentrópákkal) behálózott p-V sikot a benne levő folyamat-görbékkel együtt könnyen átrajzolhatjuk T-S síkká. Képzeljük el, hogy a p-V sík nyulós gumilemezből van, és ezt addig huzzuk-feszitjük-torzitjuk, amíg az izo te r­mák és az adiabaták egym ásra m erőleges vonalsereggé nem idomulnak, miközben, te r ­m észetesen, minden folyamat-görbe megváltoztatja az alakját. Az ideális gáz izobár és izokór vonalai az átrajzolásnál például a (6.40) és (6.41) függvényből p = á ll ., ill. V = áll, feltétellel adódó exponenciális görbékké válnak. A topológiai viszonyok azonban változat­lanul megmaradnak (milyen folyamat-görbe milyen m ásikat m etsz és milyen sorrendben

fruteSj

7.17 ábra

S,l

s tb .) ! -

- 331 -

7.18/a ábra

A munkaközeget egy kompresszor adiabatikusan süriti (A-B szakasz); a kompresszió során felmelegedett gáz levegővel vagy vízzel szobahőmér­sékletre visszahütve, eléri azt a hőmérsékletet, amelyen az adott nyomás telitési gőznyomást jelent szám ára (B-C szakasz), további hűtéssel pedig nem hül, hanem fokozatosan lecsapódik (C-D szakasz). A cseppfolyós, nagynyomású és szobahőmérsékletű közeg fojtószelepen át a hütendő térben elhelyezett csővezetékbe jut, nyomása a fojtási folyamatban (állandó ental- pia, irreverzibilis folyam at-szakasz!' az ott uralkodó alacsonyabb nyomás­ra csökken. E kisebb nyomáshoz tartozó forráspontja jóval alacsonyabb, mint a szelep előtti hőmérséklete, így gyorsan (irreverzibilisen!) elpáro­log belőle annyi, hogy az uj nyomásnak megfelelő forráspontra lehűljön: a fojtószelep egyik oldalán folyadékként belépő közeg egy része a másik oldalon már gőzállapotban lép ki. (D-E szakasz; az irreverzibilitást hang­súlyozandó, e folyamatszakaszt más vonaltípussal ra jzoltuk .)

- 332 -

- 333 -

- Ha a T-S sikon nem állnak rendelkezésünkre elő re m egrajzolt izentalp-vona­lak, a fojtási folyamatban elpárolgott anyagmennyiségről a folyadék fajhőjének, valamint az alacsonyabb nyomáshoz tartozó forráspontjának és párolgáshőjének ism eretében tá jé ­kozódhatunk, az entalpia állandósága alapján: ha a közeg folyadék-állapotban kerülne

hőm érsékletről T^-re, az entalpiája mólonként C (T^ - T^) értékkel csökkenne; e lpá­

rolog tehát akkora -jjj- hányada, hogy az ezzel já ró A H ^ entalpianövekedés az^ A/ !«*•

előbbit kompenzálja. -

A hűtőközeg hőmérséklete a fojtással a hütendő tartomány hőmérsék­lete alá került, ezért onnan a közegbe melegítéssel energia szivárog, ami­nek hatására ez tovább párolog, tartva az adott (kisebb) nyomáshoz tartozó forrásponti hőmérsékletét (E-A szakasz). Ezután a ciklus újrakezdődik.

- A hütendő tartományból elvont és a felső hőtartálynak (hűtővíznek, levegőnek) átadott energia mennyiségét a körfolyamat T-S-diagram jából olvashatjuk ki: az előbbit

az K*EAA* te rü le t adja, az utóbbiét a D*DCBA* te rü le t. A befektetendő munkát a p-V diagramból hasonlóan m érhetjük le . -

- Ha a v isszás ü rítés t a hűtőközeg teljes elpárolgása e lő tt ioditjuk (A’ -tői), a B-C "szárazgőzös" folyam atszakasz el is maradhat, a felső izobár egyben végig izoterm a is . Ha továbbá a lehűlést folyamatot fojtás helyett munkavégző adiabatikus expanzióval való­sítanánk meg, Carnot-hütőgépet kapnánk, a folyamat m egfordításával pedig C arno t-e rő - gépet! Ideális Carnot-gépet, persze, e folyamat is csak akkor valósitana meg, ha a fel­ső és alsó munkaközeg-izoterm a a hőtartályok hőm érsékletével megegyezne, ami viszont a m elegitéses energ iacserét reménytelenül lassúvá tenné. -

- Az 5.6 ábrán ra jzo lt Rankine-Clausius körfolyamat (a gőzgépek körfolyamata) a 7.18 ábra szerin ti körfolyamat megfordítása (viz-közeggel, m ás numerikus adatokkal) annyi különbséggel a folyamatban, hogy a kisnyomású kom presszió az F pontig tart, ahonnan a folyadék izokór kompresszióval (tápszivattyu!), majd izobár m elegítéssel (ka­zán kerül a nagynyomású elpárolgás kezdeti pontját jelentő D pontba. -

7. 5.4 Alacsony kritikus hőmérsékletű gázok cseppfolyósitása

A múlt század utolsó negyedéig még nem tudtak a levegőt alkotó nit­rogén és oxigén, valamint a hidrogén és a nemesgázok kritikus hőmérsék­leténél alacsonyabb hőmérsékletet előállítani, ezért hosszú ideig ezeket tekintették "igazi", "maradandó" (= permanens) gázoknak, szemben a csak esetlegesen gáz-halmazállapotu, de alkalmas körülmények között kondenzálódásra képes gőzökkel. Ma a "gáz" szót általánosan használjuk, a "gőz" szót pedig inkább csak (de nem kötelezően) a kritikus izoterma alatti hőmérsékletű gázokra, ezekre Is Inkább olyankor, amikor a kon­denzált fázisokkal való kapcsolatukra gondolunk. Tehát a szokásos szó- használat szerint a gőz Is gáz, de a gáz nem feltétlenül gőz.

A nagyon alacson kritikus hőmérsékletű gázok kritikus hőmérséklet

- 334 -

alá hűtését Linde azon ötlete alapján lehet megvalósítani (1885), hogy a hütendő közeg éppen a komprimált és előhű­tött gáz legyen (a hűtés "visz- szacsatolása", 1. 7.19 ábra).A tulajdonképpeni hütőfolyama- tot jelentő expanzió Így egyre alacsonyabb hőmérsékletről indul, végül - ha a hőszigete­lés elég jó, igy a környezetből beszivárgó energia nem vezet még előbb stacionárius állapot­hoz - az expandált gáz a k riti­kus hőmérséklet alá hűl, és egy része cseppfolyósodig akkor is , ha egy-egy expanzió az át­hidalandó hőmérséklet-interval­lumnak csak egy kis hányadát teszi ki.

A 7.19 ábrán a folyamat htilést eredményező ré sze fojtás, am int az Linde eredeti készülékében is volt. Lehet azonban használni hUléshez vezető másféle expanziós folyama­tot is, igy pl. munkavégző (kb. izentróp) expanziót. Az utóbbi előnye, hogy minden kö­rülm ények között hűtéshez vezet, míg a fojtás, m int láttuk a 3.42 pontban, csak egy m eg­határozott (Inverziós) hőm érséklet alatt.

A hélium inverziós hőm érséklete 12 K, eddig tehát elő kell hűteni a hélium -gázt, hogy a fojtásos Linde-gép működése elindulhasson. Munkavégző expanziót a Hé inverziós hőm érsékletig való hűlégének e lé ré sé re Claude.a kondenzálódási hőm érsékletéig (4 K) Kapica valósított m eg e lőször.

A "perm anens" gázok közül az utolsót, a He-ot 1908-ban s ik erü lt cseppfolyósíta­ni (Kamerlingh-Onnes). A folyékony hélium alacsony nyomáson történő párologtatásával el lehet érn i 'kb. 1 K hőm érsékletet, ennél alacsonyabbat m ár csak az anyagok m ágneses tulajdonságainak felhasználásán alapuló e ljárásokkal. ("Adiabatikus lem ágnesezés", am i­rő l felsőbb éves tanulmányainkban lesz szó; ezzel kb. 10~3 K-ig, ill. — a szabadsági fo­kok egy ré szé re vonatkozóan — 10-6 K-ig s ikerü lt eddig lemenni. Ez utóbbit C urti (Kürti Miklós) valósította m eg.)

Az igen alacsony hőm érsékletek a term észeti törvények kutatásában sok szempont­ból alapvetően fontos szerepet játszanak, gondoljunk csak a szabadsági fokok befagyásá­nak elvi je lentőségére. A hőmozgás kicsiny átlagenergiája, a nagyobb rendezettség az a to­mi jelenségek tisztább, egyszerűbb alakjukban való megfigyelését teszi lehetővé. A hő­m érséklet jelentős csökkenésével a makroszkopikus tulajdonságok is szembetűnően m eg­változnak, a közegek "szokatlanul" viselkednek: a nyulékony anyagok rideggé válnak (a gumit kalapáccsal p o rrá lehet törni: ott m ár egyáltalán nem ,ideális gumi}, a képlékenyek rugalm assá (az ólom megütve csengő hangot ad) stb. A közegek elektrom os és m ágneses viselkedésében Igen alacsony hőm érsékleten mutatkozó különlegességekkel a U. éven fog­lalkozunk.

kompresszor i elősütőKompresszor i t

7.19 ábra-

- 335 -

8. § Többkomponensű rendszerek; konfigurációs entrópia

8.1 Ideális gázkeverékek

Mindeddig a makroállapotok statisztikus súlyának megállapításában, azaz a hozzájuk tartozó mikroállapotok megszámlálásában az egyes mo­lekulák belső, kölcsönös és a külső erő térre l (vagy a határoló fallal) való kölcsönhatása által megszabott állapotstrukturát vettük figyelembe, vala­mint a "szétosztható" energia mennyiségét. Megállapítottuk, hogy a rende­zetlenség (==$> az entrópia) az energia növekedésével és az állapotok sű­rűsödésével növekszik. Van azonban a természetnek még egy eszköze a rendezetlenség növelésére: a keveredés. A folyamatok irányának statisz­tikus értelm ezését tulajdonképpen éppen ezzel kezdtük, csak aztán ezen a nyomon még nem haladtunk tovább.

8.1.1 Konfigurációs entrópia

Célul tűzzük ki a keveredéssel járó entrópianövékedés meghatározá­sát. Legegyszerűbb a feladat ideális gázok keveredésénél. Legyen Vj és V„ térfogatú tartályban egymással egyenlő hőmérsékletű és nyomású ideális gáz. A tartályokat összenyitjuk. Mennyivel változik az egész rend­szer entrópiája? 1. gondolatmenet: az 1. gáz állandó hőmérsékleten V^-ről

V = V +V térfogatúra tágult, a 2. gáz V -rő l szintén V -re, entrópiá- 1 2 2

juk tehát (6.42) szerintA S j - k N j l n f - . A S 2 = k N 2 l „ ^

-vei, összesen

(8.1) A S = 4 S 1 + A S 2 = k [ N 1 l n ^ - + N 2 l n ^ ] =

= k [ Ni in ^ + N2 ln ^ ]

értékkel növekedett. (N és N2 a két tartályban levő molekulák száma.

Mivel a nyomás és hőmérséklet közös, a molekulák térfogati koncentrá-

- 336 -

ciója is megegyezik, N /V. = N„/V„, igy az összesen N = N. + N szá- 1 1 2 2 1 2

mu molekula a térfogatok arányában oszlik el a két tartály között, mind azN V N V

1 1 2 2 összenyitás előtt, mind azután: — = — ésN V N V

A Vj és V2 térfogatú tartályban ismét N^, ill. számú mo­

lekula van, csak nem ugyanazok, mint az előbb. Kétely: ha a tartályokat elzárjuk, aztán megint kinyitjuk, az entrópia ismét növekszik a (8 . 1 ) sze­rinti A S-sel? Soha nem éri el a maximumot? Egyébként is, a végállapot miért lenne rendezetlenebb, mint a kezdeti?2. gondolatmenet: Az 1. és 2. tartályban levő gáz állapotát egyértelműen megszabja a részecskeszám , a nyomás és a hőmérséklet, egyik sem válto­zott, tehát az entrópia sem.

A két gondolatmenet különböző eredményre vezet. Végül is, változott vagy nem változott az entrópia a tartályok összenyitásával? A problémának egyetlen megnyugtató, következetes megoldása van: ha a két tartályban eredetileg levő gáz egyező anyagi minőségű volt, azaz egyforma molekulák­ból állt, a rendezetlenség nem nőtt, az entrópia sem; ha különböző fajtájú molekulák voltak a tartályokban, akkor a folyamat irreverzib ilis, a rende­zetlenség és igy az entrópia nőtt. A két esetet a matematikai megfogalma­zásban úgy lehet különválasztani, hogy tudomásul kell venni, az azonos faj­ta molekulák annyira egyformák, hogy elvileg sem lehet őket megkülönböz­tetni (megjelölni, névvel ellátni, szemben a 6. 2 ábra keveredési példájá­ban szereplő cukorkákkal: az utóbbiakban valami apr6 különbség van - egy karcolás, egy kis alak- vagy méretkülönbség), vagyis komolyan kell venni, hogy két, azonos belső állapotú molekula tökéletesen egyforma. Ez uj[

dolog a makroszkopikus testekhez szokott szemléletünknek, éppen annyira, mint az állapotok kvantumos volta. A tökéletes egyformaságot azzal tudjuk következetesen figyelembe venni, hogy olyan mikroállapotokat, amelyek csak abban különböznek egymástól, hogy két azonos fajtájú molekula fel van cserélve (az egyik foglalja el azt az állapotot, amit előbb a másik és fordítva), nem tekintünk különbözőnek. Az eddigiekben a gáz mikroállapo- tainak a számát ezek szerint eltúloztuk, Nj egyforma molekula esetén N. !-szor több különböző állapotot számoltunk, mint amennyi ténylegesen

különböző van. * (Egy mikroállapotból N. molekula cserélgetésével ennyi különböző állna e lő .) Azonos fajtájú molekulákat csak akkor lehet megkü­lönböztetni, ha számukra áthatolhatatlan fal különböző oldalain vannak. (Olyan értelemben, hogy a fal bal oldalán levő molekula biztosan ugyanaz a molekula, mint amelyik az előbb is a bal oldalon volt. Ennek megfelelő­

*Ez,szerencsére, a 6 .4 .3 és a 6 .5 .2 pontban a gázok entrópiaváltozására kapott eredményeinket nem befolyásolja: ott állandó m olekulaszámot tételeztünk fel, igy a figyelembe nem vett In N! csak a hatá­rozatlannak hagyott additív állandót befolyásolja.

- 337 -

en a szilárdtest atomjai megkülönböztethetők: potenciálgát választja el okét.)

Az elvi megkülönböztethetetlenség figyelembevételével az 1. gondolat- menet igy módosítandó; A kezdeti állapotban az 1 ., ill. 2.tartályba zárt gáz mikroállapotainak a száma

* *W W

<8 2) W = l.kezd . w g „ 2 ,kezd.v ‘ ’ l.kezd . N j! ’ 2 , kezd. N2 ! ’

az egész rendszeré (a kezdeti állapotban)* ' * *

W1 1 ^ Wrt , . W, ,sq ov w = l,kezd . 2 , kezd. = kezd.' kezd. Nx! * N2 ! N ^N gl ’

ahol W* a molekulák megkülönböztethetőségét feltételező állapot-szám­lálással kapott "rossz" statisztikus súly. A tartályok összenyitása után meg kell különböztetni két esetet. Ha a tartályokban különböző fajtájú mo­lekulák voltak, az uj mikroállapotszám

W * „= . végső

végső Nx !N2 ! ’

az entrópiaváltozás pedig

<8.4, A S - k » - k . ^ [ „ „ 1 ^ 1 , 1 1 ,kezd. W, „ 1 2 Jkezd.

az entrópia a különböző molekulák keveredésével nő, a folyamat irrev er­zibilis jellegének megfelelően.

Ha viszont a két tartályban azonos fajtájú molekulák voltak, az ösz- szenyitás után a mikroállapotok száma

#■ #W . „ W . „_ végső_______végső

végső N! (Nj+N,^)!

lesz, mert most már az N = + N2 számú molekula bármelyike bárm e­

lyikkel felcserélhető anélkül, hogy ezzel különböző mikroállapot jönne lé t­re . és igy

- 338 -

az entrőpiaváltozás nulla. Azonos fajtájú molekulák keveredésével az entrópia nem nő.

A 2. gondolatmenet kiegészítése is kézenfekvő a két eset közötti kü­lönbség figyelembevételével, a nyomás és hőmérséklet adott molekulaszám mellett egyértelműen megszabja az entrópiát, ha a molekulák azonos fajtá- juak. Ha nem, különbözhet még attól függően, hogy a különböző fajtájú molekulák el vannak-e rekesztve egymástól.

Általában, az azonos fajtájú molekulák megkülönböztethetőségének feltételezésével ("hagyományosan” ) számolt entrópiát korrigálni kell

N.(8.5) S' = - k I In N ! = - k X N. In —

t . i e1 í

értékkel, a szabadenergiát és szabadentalpiát ennek megfelelően

N(8. 6) F ’ = G’ = - TS’ = kT X N. In —i eí

-vei. Az entrópiaváltozás különböző minőségű, és számú moleku­

lát tartalmazó gáz vagy folyadék keveredésénél pusztán a keveredés miatt

<8' 7» A ’W - k k 1” i ; * N2 t o # 2]-

Ezt az entrópiakülönbséget - ahhoz képest, mint ha a két közeg szét lenne választva - konfigurációs entrópiának nevezzük.

- A konfigurációs entrópia (8.7) kifejezéséhez közvetlenül is eljuthatunk: Egy olyan mikroállapotból, amely a molekulák egyedi állapotok közötti valamilyen eloszlásának fe ­lel meg, N! számút kapnánk a molekulák minden lehetséges felcserélésével. De az Így kapott állapotok közül nem uj állapot az, amit az egyező fajtájú molekulák egymás közöt­ti felcserélésével kaptunk, Így az egyetlen eredeti mikroállapotból molekulafelcserélé-

N'sekkel csak , különbözőt kapunk, ami az entrópiaV 2

A skonf.= kln í r r r r =k [ V n í r + V " - ^ ]

növekedését jelenti. -A szabadenergia és szabadentalpia konfigurációs entrópiának megfelelő változá­

sa (8.7) -nek megfelelően

r Ni Nn(8.8) A F . . = AG. , = -T A S . = kT N In -r~ + N In — =' ' konf. konf. konf. L 1 N 2 N J

kT [ In c t + N2 In c2 ] (< 0),

ahol

az í-edik komponens koncentrációja. (Nem térfogati, hanem relatív, un. moláris kon­centrációja. )

8.1.2 Ideális gáz entrópiája és szabadenergiája

Uj felism erésünk figyelembevételével egészítsük ki az Ideális gázok entrópiájára 6 .4 .3-ban kapott eredményünket. Ott addig jutottunk el, hogy meghatároztuk egy moleku­la entrópiáját V térfogatú tartályban, T hőmérséklet esetén. Ha a tartályban N mo­

lekula van, az egy molekulára kiszámolt Z = Z ^ l III. Z = Z ^ Z ^ állapotössze­

get N-edik hatványra kellene emelni, amennyiben a molekulák megkülönböztethetők vol­nának. (Minden molekula minden állapota társulhat egymással, statisztikusan függetle­n t! .) A megkülonböztethetetlenség miatt azonban az igy kapott állapotösszeget N !-sal osztani kell,

Z = (Z(2 « « , /*!

A szabadenergia akkor (6.64) szerint, az egy- és kétatomos gázra a 6 .4 .3 pontbari .ka­pott állapotösszegeket felhasználva

F = -kT In Z = -kT [ N In ( + N In Z(2)t ') - N In — 1 -- L tr \ rőt / e J

340 -

(8.9b) S = - =N [ k in + cy lnk T + (£y ♦ k J ) ] =v

= N [ -k In p + 0^ In kT + (c^ + k jr) ] .

(a második alakot a pV = NkT Ideálisgáztörvény és a fajhők közötti Cy + R =

—>• cy + k = c reláció felhasználásával kaptuk). A szabadentalpiára pedig a

NkT

G = F + pV = -N f -^T '+ kT In + cyT In kT + k £ T ] =

(8.9c)

-N [ - k T In p + (c^ + k)Tln kT + k J T ]

c~P

form ula következik.

Az eredményekben megjelenő $ állandót kémiai konstansnak nevezik. Szerepét a kémiai reakciók egyensúlyát tárgyaló 8. 3 pontban fogjuk látni.

Ha eddig nem tudtuk volna az ide ál isgáz-törvényt, a szabadenergia (8. 9a) kife­jezéséből (6.74) szerint megkaphatnánk:

az entrópia pedig (6.75) alapján

8. 2 Oldatok

Ideális gázok keveredésénél az entrópia csak a keveredés miatt nő, és a szabadentalpia csak ezért csökken. Oldatoknál viszont az entrópia és a szabadentalpia amiatt is változik, hogy az oldott anyag molekulái más

környezetbe (más szomszédok közé) kerülnek, igy az állapotstrukturát más molekulák közötti kölcsönhatások szabják meg, mint eredetileg (cukor oldódásánál a vizmolekulák egymással és a cukormolekulák egymással való kölcsönhatása mellett, tll. helyett vizmolekulák cukormolekulákkal való kölcsönhatása vesz rész t az állapotstruktura kialakításában és az adott hő­mérséklethez tartozó belsőenergia "beállitásában"). Makroszkopikus mé­rések ezt úgy jelzik, hogy az oldódás melegedéssel vagy hüléssel (ill. ál­landó hőmérsékletre kényszerítve, energialeadással vagy felvétellel) já r , valamint - állandó nyomás mellett - térfogatváltozással.

- Közismert példa az alkohol-víz keveredés: melegedést és térfogat­csökkenést tapasztalunk. A só oldódása vízben viszont hüléssel já r (hideg­keverék). -

Éppen mert az entrópia és a szabadentalpia a konfigurációs részen túl is változik, az oldódás - szemben az ideális gázok keveredésével - nem mindig folyhat korlátlanul. A keveredés miatt a szabadentalpia feltétlenül csökken, de a molekuláris kölcsönhatás változása m iatt esetleg növekszik, igy valamilyen koncentrációnál beállhat a telítődés, azaz a termodinamikai (statisztikus) egyensúly: az oldott anyag koncentrációjának bizonyos értékét elérve, a szabadentalpia minimális értéket vesz fel. A telitési_ koncentrá­ció értéke függ a hőmérséklettől és - főleg gázok oldódásánál - a nyomástól,

8. 2. 1 Hie oldatok szabadentalpiája

Az elmondottakat mennyiségileg is tudjuk egyszerű meggondolásokkal követni híg oldatok esetében. Híg oldaton olyan oldatot értünk, amelyben az oldott anyag molekulái olyan kevesen vannak az oldószer molekuláihoz ké­pest, hogy egymással való kölcsönhatásuk elhanyagolható: az oldott moleku­lák hatásgömbjében csak elhanyagolható valószínűséggel tartózkodik másik

oldott molekula (1. 8.1 ábra). Ez egyben0 0 o 0 azt is jelenti, hogy az oldat higitásánál

' o o o hozzáadott ujabb oldószer-molekulák "nemi ° . o Ar'Q férnek hozzá" az oldott molekulákhoz, aÖV A / \ ’

°* °\ környezetük csupa oldószer-molekulából0 o_0v o ^ o _ o y áll.

°<o ° °Nio °l^at szabadentalpiája az eredeti0 x) o Jo tiszta oldószeréhez képest megváltozik.

x —<S Híg oldatoknál, éppen m ert az oldott mo-8. 1 ábra lekulák egymással való kölcsönhatása el­

hanyagolható, és minden oldott molekulát ugyanannyi oldószer-molekula vesz körül, mind a belsőenergia, mind a térfogat változása (állandó hőmérsékleten és nyomáson), mind az entrópia­változás strukturális - az egyedi állapotrendszer megváltozásából eredó'ré- sze - arányos az oldott molekulák számával. A szabadentalpia azonban

- 342 -

ezenkívül még a keveredés miatt is megváltozik, a (8. 8) eredményünk szerint

AG = - kT (n InJliíL + n I n * - k T n In - = kev. n N n

= kT n In ^ = kT n In cN

értékkel, ahol most N az oldószer, n az oldott anyag molekuláinak a számát je len ti.x (A közelítést ismét az oldat hig voltára, n « N - re hi­vatkozva tehettük.)

Az elmondottakat összegezve, az oldat szabadentalpiája

(8.10) G = N ^,o (p,T) + n y (p,T) + kT n In c

(= Gjjszta oldószer + n' ^ oldatmolekula beépülésével já ró s truk turális

szabadentalpiaváltozás > + < konfigurációs szabadentalpiaváltozás > ),

ahol ja0(p, T) és 41 (p,T) az oldószer, 111. az oldószer és oldott anyag konkrét anyagi minősége által megszabott függvénye a nyomásnak és a hőm érsékletnek. (A folyadék ál- lapotjeilemzui a nyomástól sokkal gyengébben függenek, mint a gázok jellem zői, és 14/ nyomásfüggését szélsőségesen nagy nyomások kivételével legtöbbször elhanyagol­hatjuk. Emlékezzünk pl. a rra , hogy a forráspont nagyon érzékenyen függ a nyomástól, az olvadáspont változása viszont általában csak nagyon nagy - többszáz bár - nyomásvál­tozásnál vehető é s z r e . )

A (8.10) kifejezésből ki tudjuk olvasni a hig oldatok különböző körülmények kö­zött beálló egyensúlyának feltételét.

8.2.2 Fagyáspontcsökkenés, forráspontemelkedés

Illusztrációként megkíséreljük értelmezni az oldatok viselkedésének néhány jellegzetes, közvetlen gyakorlati fontossággal bíró sajátosságát. Ilyen az oldatok fagyáspont-csökkenése és forráspont-emelkedése: az olda­tok fagyáspontja alacsonyabb, a forráspontja magasabb, mint a tiszta oldó­szeré, ha az oldott anyag a megszilárdult oldószerrel nem alkot vegyes kristályt, ill. ha az oldott anyag nem "illékony", azaz nem párolog az ol­dószerrel együtt. (A jelenséget sós víz viselkedésén figyeltük meg: -10 °C hőmérsékleten a sóoldat tartósan folyadék-állapotban m arad t.) A jelenség kvalitatív magyarázatát könnyen megtaláljuk: A desztillált viz olvadás­pontja, mint már tisztáztuk, azért éppen 273 K, mert ennél magasabb hő­mérsékleten a cseppfolyós viz fajlagos szabadentalpiája kisebb a jégénél

*Az ábécé betűinek véges szám ától kényszerítve, kénytelenek voltunk eltérn i az előző fi -ok azon jelölés* -rendszerétől, ahol N teljes molekulaszámot, n térfogategységenként! m olekulaszámot jelentett, nem akarván az indexek halmozásával nehezíteni az olvasó dolgát.

- 343 -

(a viz+környezet entrópiája nagyobb), alacsonyabb hőmérsékleten a jég szabadentalpiája kisebb a vizénél (a jég+környezet entrópiája nagyobb).A konfigurációs entrópia azonban az oldat entrópiáját növeli (szabadental- piáját csökkenti), igy a fázisegyensúly a folyékony oldat és a szilárd oldó­szer között alacsonyabb hőmérsékleten áll be, mint ha a folyadék is tiszta oldószerből állna: abban a tartományban valahol, ahol a tiszta oldószer­folyadék szabadentalpiája maga nagyobb lenne az oldószer szilárd-állapoti szabadentalpiájánál. Ugyanígy okoskodhatunk - értelem szerű módosítás­sal - a folyadék-gőz egyensúlynál. Röviden: az oldott anyag jelenléte mind­két irányban kiterjeszti a folyadékfázis határait.

- Mennyiségi tapasztalat, hogy híg oldatoknál a fázisegyensulyi hőm érséklet eltolódása arányos az oldott anyag koncentrációjával. Az oldat szabadentalpiájának(8. 10) kifejezéséből ez csakugyan következik. Ha adott p nyomáson a tisz ta oldószer fázisegyensulyi hőm érséklete T , akkor a (7 .6 ) feltételi egyenlet szerin t

(8.U ) M * ( P,T o) A M> . T 0) .

Az oldat fázisegyensúlya ettől e lté rő T = T0 + i T hőm érsékleten áll be, m ert az ol­datban az oldószer kémiai potenciálja - azaz a szabadentalpia egy oldószermolekula hozzáadására bekövetkező megváltozása állandó nyomás, hőm érséklet és oldott molekula­szám m ellett, a

(8.12) JLL(P,T)= f j ^ ) = M0 ( P ,T ) - k T |= M b (P .T ')-c k Tp ,T ,n

mennyiség - más módon függ a hőm érséklettől, igy a

(8.13) \x 1 (p,T) = / ¿ U(p ,T ) < = > / / (p,T) = (p,T) - ckT

fázisegyensulyi feltétel más hőm érsékletnél fog teljesülni. ("II" az oldat, "I" a tiszta oldószerből álló másik fá z is .) Feltételezve, hogy az egyensúlyi hőm érséklet eltolódása nem nagy, A T C C T ^, a

Mo <P’T >= A V P ’ To) + < A ^ 0>P=áll. = / y P ’T o > -S

közelítéssel élhetünk, ahol s a tisz ta oldószer fajlagos entrópiája, és ezzel a

u.1 (p, T ) - s 1 AT = u D (p, T ) - s ° A T - ckT = >r* o o ~ o o ^

(8.14) AT n c cs - s § - § ~ II — I

eredményt kapjuk, azaz valóban a hőm érséklet-eltolódás koncentrációval való arányossá­gát. Kiolvashatjuk azt is (8 .14)-ből, hogy AT pozitív, ha a A H ^ átalakulási hő po-

- 344 -

8 . 2 . 3 Gázok abszorpciója

A másik jelenség, amit értelmezni szeretnénk, a gázok oldhatóságá­val kapcsolatos. A gázok oldódását abszorpciónak nevezzük. Közismert tény, hogy a folyadékok képesek a gázokat abszorbeálni (igy kerül oxigén a vizbe, ami lehetővé teszi a vizi élőlények lélegzését), és ezen belül az is, hogy az oldott gáz egyensúlyi koncentrációja függ a nyomástól és a hőm ér­séklettől. A szódavizes üvegben uralkodó nagy nyomásőn a viz nagymennyi­ségű széndioxidot képes oldva tartani, amelynek nagy része élénk pezsgés közepette azonnal kiválik, mihelyt a pohárba csapolt szódaviz atmoszféra- nyomású környezetbe kerül. A hőmérséklettől való függést mutatják a viz melegítésekor fokozatosan megjelenő és növekvő levegőbuborékok. Általá­ban, a folyadékban oldott gáz mennyisége csökken a nyomás csökkenésé­vel és a hőmérséklet emelkedésével. Az utóbbi ad magyarázatot arra , hogy a hideg, sarkvidéki tengerek élővilága (mennyiségre) gazdagabb, mint a trópusi tengerké, ti. a hideg viz oxigénben dusabb.

- A gázokat a szilárd testek is képesek oldani, a hidrogént például a palládium nagy mennyiségben abszorbeálja. A gázok oldékonyságának nyo­más- és hőmérsékletfüggése felhasználható a rra , hogy a párologtatós hű­tőgépekben a mechanikai munkát (kompresszor!) melegítés helyettesítse.A 7. 9 ábra szerinti hűtőgépben a kompresszor szerepe annyi, hogy a k is­nyomású hideg gőzből nagynyomású meleg gőzt állítson elő (adiabatikus kompresszióval). Ugyanezt el lehet érni úgy is, hogy a párologtatóból ki­áramló ammónia-gőzt hideg vízzel elnyeletjük, aztán az ammónia-oldatot a csővezeték következő szakaszán melegítjük, aminek következtében az ammóniának az uj hőmérséklethez tartozó egyensúlyi oldat-koncentráció szerinti többlete az oldatból kiválik, a nagyobb nyomású gáz-párna ellené­re is. (Abszorpciós hűtőgép.) A 8. 2 ábra az ammónia vizes oldatának kon­centrációját mutatja a hőmérséklet és nyomás függvényében. -

t iá? tk? tó? so g? 4o eo o -eo -*o -eo (°c)

8. 2 ábra

- 345 -

- A gáz egyensúlyi oldat-koncentrációja az oldat-folyadék és a gó'zfázts összes szabadentalpiájának a minimumánál következik be. Az oldat fajlagos szabadentalpiájának koncentráció-fiiggését a (8. 10) formula adja, a fölötte levő gázkeverék kém iai potenciál­já t pedig az ideálisgáz-közelitéssel számoljuk, feltételezve még, hogy az oldószer p a r­ciá lis gőznyomása az oldódó gázéhoz képest elhanyagolható. Ekkor a fázisegyensúly feltételét az oldatban és az oldaton kivül levő gáz kémiai potenciáljának egyenlőségével fogalmazhatjuk meg:

3Gix j = (—5— ) = Y (p", T) + kT In ^ = w (p;'T) + kT In c (oldat),

1 3 " T .p .N N '

X (T) - IK(p'.T)kT(8.15) c = p e ( <= M r(T ,p ',c) =Mn (T ,p))

Említettük, hogy a folyadék szabadentalpiája a nyomástól nagyon gyengén függ (csak igen nagy nyomásváltozások esetén vehető észre), ezé rt a kitevő gyakorlatilag a nyomástól független, az oldott gáz egyensúlyi koncentrációja a nyomással arányos. Ez a Henry- törvény. A (8.15) form ula a te lité si koncentráció hőm érsékletfüggését is tartalm azza. Hogy a hőm érséklet növelésével a te lité si gázkoncentráció csökken-e vagy növekszik, a % (T) - y (fi, T) mennyiség előjelén múlik; részletesebb meggondolással - abból kiin­dulva, hogy a gázmolekulák az abszorpcióval alacsonyabb potenciális energiájú állapotba kerülnek - be lehet látni, hogy ez általában pozitiv, igy a hidegebb folyadékban az egyen­súlyi gázkoncentráció szükségképpen nagyobb. -

8.2.4 Az adszorpcióról

Az oldódás (abszorpció) az oldott anyagnak az oldó közeg teljes té r ­fogatában való eloszlását jelenti, az adszorpció viszont a (szilárd) test felületén való kötődést. Az adszorpció oka nyilvánvalóan a szilárd test fe­lületi molekulái és a környező gáz molekulái között fellépő Van dér Waals- kölcsönhatás. Az adszorbeált gáz statisztikus egyensúlyban van a környe­zettel (szabadentalpia-minimum!), az egyensúlyi adszorbeált gázmennyiség (adott adszorbens felület mellett) a hőmérsékletnek csökkenő és a gáz nyo­másának növekvő függvénye. Azonos körülmények között az adszorbeált gáz egyensúlyi felületi koncentrációja nagyobb a magasabb kritikus hőmér­sékletű gázokra. Közismerten jó adszorbens a porózus (és igy nagy felü­letű) un. aktiv szén, valamint a szilikagél. Az utóbbit elterjedten használ­

*A gáz kémiai potenciáljához a szabadén tál piát a (8.9c) formulából vettük, X(T)-ben összefoglalva a hő­m érséklettől függő tagokat. Ugyanezt az alakot az ideális gáz m akroszkópikus m érési adatokból nyert m oláris C T entalpiájából és C LnT - R In p entrópiájából is megkaphatjuk.~p ~p

- 346 -

ják a gázcseppfolyósitó berendezésekben, a magasabb kritikus hőmérsék­letű szennyeződés leválasztására (vízgőz).

8.3 Kémiai folyamatok egyensúlya

Az atomok molekulává kapcsolódása vagy e kapcsolatok átrendeződé­se egyedileg megfordithatő folyamat. A nitrogén-gáz közönséges hőmér­sékleten és nyomáson pl. molekulák alakjában létezik, de magas hő­

mérsékleten N atomokká disszociálhat,

N2 ^ 2N.

Általában, egy kémiai reakcióban V?, v L . . . számú meghatározott faj-n n 1 2

ta molekulából V j , V , . . . számú másfajta molekula alakul ki az ato­

mok átrendeződésével, és ez az átalakulás visszafelé is folyhat. X ^ ^ -v e l

jelölve az i-edik fajta kezdeti, ill. végtermék-molekulát, a kémiai reak­ciót általánosan a

(8 . 16) I v j x 1 i ? I v f x ni i i i i i

szimbolikus egyenlettel jelöljük. A kémiai reakciókban az anyagmennyiség célszerű egységének az egy reakció lefolyásához szükséges atomcsoportot tekintjük. A példaként felhozott reakcióban

v j - 1 . v f - í , ^ = N2, X j '- N .

8.3.1 A tömeghatás törvénye

A kémiai reakciók irányát is a II. főtétel szabja meg; a molekulák átrendeződése statisztikus folyamat, és abban az irányban történik sta­tisztikus átlagban több átalakulás, amely a reagáló közeg és a környezet entrópiájának növekedéséhez vezet. A kémiai reakciók többnyire állandó hőmérsékleten és nyomáson, ritkábban állandó térfogaton történnek, ilyen­kor a közeg plusz környezet entrópianövekedését a közeg szabadentalpiá- jának, ill. szabadenergiájának csökkenésévé fogalmazhatjuk át. (Konden­

- 347 -

zált közegben lejátszódó, gázfejlődéssel nem járó reakciónál a kettő kö­zötti különbség elhanyagolható.)

Legyen A^G az egy I —*-II elemi reakció lejátszódásához tartozó

szabadentalpia-változás, AG = N A^G a Loschmidt-számnyihoz tartozó.

(Az utóbbit használva, mindig feltételezzük, a közeg teljes anyagmennyi­ségéhez képest 1 mól olyan kicsi, hogy észrevehető koncentrációváltozást Loschmidt-számnyl elemi reakció lejátszódása nem je len t.) Az állandó hőmérsékletű és nyomású folyamat iránya A G előjelétől függően

I - * n(8.17) A .G = 0 egyensúly

I — II

Állandó hőmérsékletű és térfogatú folyamatban A^G szerepét a A ^F

szabadenergia-változás veszi át, A G -ét A F . A reakcióban bekövetkező szabadentalpia-, ill. szabadenergia-változást az egyes vegyületek kémiai potenciáljával kifejezhetjük,

i a i g v . t ' * va8y iA i f >v , t " f v * ' ’ !'*!■

Így az egyensúly feltételét

(8. 18)i i

alakban is Írhatjuk: kémiai egyensúly akkor következik be, amikor a kez­deti- és végtermék szummázott kémiai potenciálja egyenlő egymással.Az egyes vegyületek kémiai potenciálja adott hőmérsékleten és nyomáson vagy térfogaton a koncentrációtól függ, igy a szabadentalpia- vagy szabad­energia-minimum a kezdeti- és végtermék meghatározott koncentrációjá­nál következhet be.

A szabadentalpia a koncentrációtól a konfigurációs entrópia révén függ. célszerű ezért a koncentráció-függést A jG -ből leválasztani:

és A Sg az entrópiaváltozásnak pusztán az egyes molekulák kvantum-

állapot-strukturájának, valamint a belsőenérgiának a megváltozásából eredő részét jelenti. A konfigurációs entrópiához a gázkeverékeknél és oldatoknál végzett meggondolás általánosításával jutunk: egy elemi reakció lejátszódásával az egyes vegyületek molekuláinak száma az eredeti

1 1 11 II I ,1 I IV n2 ........ V n2 ’ ••• ~r61 “l " Vl ’ n2 " V 2 ’ ••• ’

nj* + V n^ + v !>* ’ • • -_re változik*, ezzel pedig a mikroállapotok szá­ma pusztán az "érvényes" felcserélések számának megváltozása mii tt

I I1 , 1 , II, II, T V 1 1 * 2 Tfn. Ui

ni v ••• V V _______ (V (n2) ••• i 1

(n i) (n2 ) . . . n i

faktorral szorzódik, ami az entrópiában

4 ! U = ‘ A i ^ k t o r 1rII n iII 1

a szabadentalpiában

1 0 ^ n ViI----------------------------- i II i A G = - kT In ---------- = kT In —---------1 ko,,í- tr i tt v t

11 "i i "t

= kT ( X v . In n. - X V. In n.)II 1 1 I 1 1

változást jelent. A reakcióegyensuly A , G + A , G, , = 0 -nál követ-1 0 1 konf.

kezik be, amit úgy értelmezhetünk, hogy eddig a konfigurációs entrópia nö­vekedése ellensúlyozni tudta a közeg+környezet strukturális entrópiacsök­

*n-nel ism ét nem koncentrációt, hanem az adott anyagmennyiségben található molekulák teljes számál jelöljük.

- 349 -

kenését, de tovább már nem. A (8.17) egyensúlyi feltételt akkor igy írhat­juk át:

X V .ln n . - 2! V In n = - A G AT = - A G /RT,

vagy

(8.19)

A kémiai reakció végtermék- és kiindulóvegyület-molekulaszámainak há­nyadosa tehát a hőmérséklet és nyomás által egyértelműen meghatározott értékhez közeledik. Ez a kémiai tömeghatás törvénye. A törvény állandó térfogatú folyamatban a mondottak szerint annyiban módosul, hogy AG helyett A F Írandó.

- Ne felejtsük el, hogy (8.19)-ben nj az adott anyagmennyiségben jelenlevő különböző fajta molekulák számát jelenti. Átírhatjuk az egyenle­tet térfogati koncentrációra is, csak ekkor vigyázzunk a rra , hogy a bal ol­dal számlálójában és nevezőjében levő molekulaszámok kitevőinek összege nem feltétlenül egyezik meg, igy még a térfogat valahanyadik hatványa az egyenletben megjelenhet, ill. a jobb oldal állandójába beolvasztandó. Gá­zok között végbemenő reakciónál a térfogati koncentrációt parciális nyo­mással is kifejezhetjük, ami ismét csak a K állandó átdefiniálását jelen­ti, de nem változtat azon az állításon, hogy ez csak a hőmérséklettől és a teljes nyomástól függ egy adott reakcióra, nem függ a koncentrációktól, ill. parciális nyomásoktól. (Az "állandó” kitétel igy értendő!) -

A kémikus művészete egyebek között abban áll, hogy a nyomás- és hőmérséklet alkalmas beállításával a reakció lefolyását éppen a kívánt irányba tereljed Hasonlóan fontos kérdés - amit a tömeghatás törvénye nem tartalm az-, hogy milyen gyorsan játszódik le a reakció. A reagáló molekuláknak először is találkozni kell elegendő gyakorisággal, másod­szor elég nagy energiával. Általában ugyanis a közeledő molekulák között elektromos taszítás lép fel, "potenciálgát" van közöttük (ennek magasságát nevezik aktivációs energiának), és a molekuláknak ezen át kell hatolni, hogy az átalakulás végbemehessen. Éppen ezért a reakciósebesség általá­ban érzékenyen függ a hőmérséklettől: a Boltzmann-eloszlás szerint a po- tecniálgát-megszabta küszöbenergiánál nagyobb energiával rendelkező mo­lekulák hányada a hőmérséklet növekedésével rohamosan növekszik. (Vö.

V . A GQ(p, T)TTn.

— = e RT = K(p,T).TTn. t1 A S + A S, ../ 1 0 1 korny.

A l ? « + A l S k 6™y.)

350 -

a 7.1 pontban a főzéssel kapcsolatban tett m egjegyzéssel.) Mindezekkel a kérdésekkel a kémia reakciőkinetika nevű fejezete foglalkozik, amire e fi­zika-kollégium keretében nincs helyünk kitérni.

8.3.2 A kötési energia és az állapotsürüség befolyása a kémiai folyamat irányára

Az izoterm kém iai folyamat egyensúlyának beálltát a Boltzm ann-eloszlásra h i­vatkozó közvetlenebb statisztikus meggondolással is követhetjük. A kezdeti és végtermék molekuláinak állapotai közös B oltzm ann-eloszlásra "fűződnek fel". Az elemi reakcióhoz szükséges - amint mondják, "sztöchiom etriai arányban levő" - kezdeti- és végterm ék- molekulacsoport á llapot-strukturájá t mutatja a 8.3 ábra, az egyszerűség kedvéért állan­dó térfogatú reakcióra gondolva, és - hogy a figyelmünket a lényegre összpontosithas-

e !

8.3 ábra

suk - a m olekulacsoport állapotait egyenközünek rajzolva. A kezdeti- és végterm ék álla- pot-strukturájában különbséget jelent

1 . az alapállapot (a legalacsonyabb energiájú állapot energiája,2 . az állapotsürüség.

Az utóbbit, mint külső feltétel, a térfogat is befolyásolja ádott anyagmennyiség (atom­szám) mellett. Másik külső feltétel a közegre kényszeritett hőmérséklet értéke, ami a Boltzmann-eloszlás többé vagy kevésbé meredek esését szabja meg. (Az alapállapotok energiáját önkényes, de közös nullszinttől mérjük. Nullhelyzetnek a különálló atomok legkisebb energiáinak szummázott értékét véve. a molekula alapállapoti energiájának abszolutértékét kötési energiának nevezzük.)

Az egymással termodinamikai egyensulyben levő vegyületek egy elemi reakció-

x j és V P x j1 molekulacsoportját úgy foghatjuk fel, mintbán részt vevő X l

meghatározott atomcsoport különböző lehetséges állapotait, amelyi i

spotokat ezek az

- 351 -

atomok a Boltzmann-eloszlás előírta valószínűséggel veszik fel. Tehát az elemi reak­cióhoz szükséges atomok csoportja számára egy lehetséges állapot az I. csoportosulás

£ energiával, egy másik az I. csoportosulás e j f energiával, ismét más állapot aIIII. csoportosulás S 1 energiával, és így tovább. (Ezt hangsúlyozza a 8.3 ábra bal ol­

dalán egybetolva ábrázolt I-n állapotstruktura.) így annak valószínűsége, hogy egy ta­lálomra kiválasztott sztöchiometriai atomcsoportot az I. , ill. II. csoportosulás egy meg­határozott i-edik állapotában találjunk,

-£*A T „ - £ n ./kTp ' = C e 1 . P11 = C e ‘ ,i í

annak valószínűségét pedig, hogy az I . , ill. II. csoportosulásnak megfelelő, de egyéb­ként tetszőleges energiájú állapotban találjuk, ezek szummája adja:

végül a kettő hányadosa,

(S.20) — = ---------- :----P - e Ja t

2- e

azt adja meg, hogy hányszor nagyobb valószínűséggel találunk egy találomra kiválasztott atomcsoportot a végső kémiai állapotban, mint a kezdetiben.

A 8.3 ábrán megfogalmazott egyszerű modellben a kétféle molekulacsoport alap­

energiája £ \ ill. £ a j-edik állapot energiája £ j = £ ^ + j £ \ ill.

£ = E ® + j £ ^ lévén, az állapotösszegeket zárt alakban kiszámolhatjuk

oo - e ./k T - £ A T ° ° -j E A T aV J a V o r2 . e = e ^ e = '

- £ A T c-" o -oés elég magas hőm érséklet esetén (e * 1 - “j^ r)

- £ A t - e A ty j ' kT a e ~ ----- ei £ o

- 352 -

ahol A £ a = £ ^ - £ * az alaállapoti energiák különbsége, az un. reakcióenergia .

A n. és I. csoportosulás valószinilségének arányát tehát a reakcióenergia és az állapot- süriiség együtt határozza meg. Alacsony hőm érsékleten az előbbi dominál, a többség az alacsonyabb alapenergiáju csoportosulás állapotában van, azaz az energiafelszaba­dulással já ró , exoterm folyam at-irány "előnyben van"; magas hőm érsékleten viszont, amikor a kT statisz tikus hőm érséklet jóval nagyobb a kötési energiánál, elsősorban az állapotsiirüség szabja meg a m egoszlási arányt: esetenként a folyamat energiaelnye­léssel já ró , endoterm irányba is folyhat, m ert ekkor lesz nagyobb a közeg+kömyezet rendezetlensége, azaz entrópiája.

- Tovább elemezve a (8.21) egyenlőséget, a tömeghatás törvényének (8.19) alakjához juthatnánk. Az átvezető gondolat az állapotösszeg és a szabadenergia közötti (6.64) összefüggésre épülhet, valamint az egyes molekulák szám a és a kezdeti, 111. vég­állapothoz tartozó molekulacsoportok előfordulási valószínűsége közötti kapcsola tra . -

8.3 .3 Egy numerikus példa a tömeghatás törvényének alkalmazására

(Csak az kövesse végig, aki csakugyan szeretné alaposabban m egérteni, hogyan is áll be a kémiai egyensúly a s truk tu rális és konfigurációs energia ö sszjá tékábó l.)

M egkeressük a nitrogéndisszociáció 2N folyamatának egyensúlyi koncent­

rác ió -értéke it különböző hőm érsékleteken. A szám olásban a 6 . 4 . 3 pontban kapott ered­ményeket használjuk, ennek megfelelően az eredm ényt nagyságrendi becslésnek tekint­hetjük. Állandó térfogatot tételezünk fel, az egyensúly feltétele tehát a szabadenergia minimális volta. £ ^(N) és e a(Ng) jelölje a N-atom, ill. a molekula legalacso­

nyabb energiáját valamilyen közös alapszinttől szám itva, ehhez já ru l még a .transzlációs és (N2~nél) a rotációs energia. Az állapotösszeget tehát a

-£ (N )AT Z(N2) = e Zí > 2> ZU

- e ( N ) A t

Z(N) = e z | r '(N)

szorza tra bonthatjuk.

A reakcióban beálló egyensúlyt a következő körülmények befolyásolják:51. Az —*■ 2N folyamatban 7 ,1 .10 J /m ó l energiabefektetés szükséges. A N^-mo­

lekulánként! reakcióenergia igy

R7 1 10 —18A £ = 2 € ( N ) - e ( N ) = - 1- ^ — J = 1 ,2 .1 0 J > 0,

a a 6.10

2. Két N-atomból álló rendszer állapotsürüsége nagyobb, m ert ketten vannak. Egy N-atom transzlációs állapotainak állapotösszege i = 1 cm élhosszuságu, V = 10_6m3 térfogatú tartályban a 6 .4 .3 pontban végzett szám olás szerin t

)ví 's « m n f ' * ,v2/1 „ K ) «* „ < » > ---------- - ( -------------------- 4 - ) ■

ez "előnyös” a molekulának.

két N-atomé (megkülönböztethetőnek gondolva őket)

Ztr (2N) = [ Z t r (N )]2 =(-V2/3 m kTv3

különbözik egy Nr atométól;

<No»=(-2/3 2 m kT ,3/2

2 Jt ti

_26 2 /3 -4 2 -34Adatok: m = 2 ,3 .1 0 kg; V = 10 m ; ti = 1 ,05 .10 J s .°így

»2 3 , 3 / 22Jt ti „ . -38 ' — ‘ '

v 2» - ( r r ^ w t i k )o

Minden megvalósítható hőm érsékleten Zt r (2N) » Zt r (N2), ez előnyös a két N-atomnak.

3. A N., molekula állapotsüriiségét növeli, hogy be nem fagyott belső szabadsági fokai

is vannak, ezt tehát megint neki előnyös. A mondott feltételezés sze rin t hanyagoljuk el a vibrációs szabadsági fokokat (bár igazság szerin t 5000 K körül m ár kezdenek kiolvadni), de vegyük figyelembe a két rotációs szabadsági fokot

_ ... . 2JrekT rő t 2 = ^2 ‘

A molekula tehetetlenségi nyomatékát a 6 .4 .3 pont számpéldájában

-46 20 * 1 , 1 . 1 0 kg m

-nek becsültük, ezzel

- 354 -

4. A gondolatmenet 5. pontjáig feledkezzünk meg a konfigurációs entrópiáró l. Akkor egy disszociáló molekulára

r - £ . A T - £ . A T - iA XF = 2 ^ n - Ml = - k T [ l n l e ’ - In I e ' J =

állapotára

2N minden állapotára

-2 e a(N)AT - e (N ) A T= - kT [ In (e Ztr(2N> - In (e Z ^ ) Z ^ (N.,)) J

szabadenergiaváltozás esne, a közeg+környezet statisztikus entrópiája molekula­disszociációnként

# A . F AEA, $ = A f + A = - — ± - = ---- _ 2 -+ in z í2N )-ln Z ÍN ) - ln Z ,( N )1^ 1 o 1 korny. kT kT t r t r 2 rőt 2

-vei változna.

a) Legyen T = 1500 K =*■ kT = 2 , l . l o " 2°J . Ekkor

. f * 1 , 2. 10’ 18 2, 1 . 10-20 2 , 1 . 10_2° 2 . 1 . 10"20 A i ^ = " — ^ ö + 31n--------r ^ - 1-51« -------™ _ l n — ^ r = ' 4 < 0 -

1 2 ,1 .1 0 20 3.10 38 1 ,5 .1 0 38 1 ,6 .1 0

gyobb állapotsürüség nem kompenzálta a magasabb energiaállapotot, a d isszociálás ent­rópiacsökkenéssel járna.

-20b) Legyen T = 5000 K, kT = 6 , 9.10 J . Ekkor

. ,»« 1 ,2 .1 0_18 6 .9 .1 0 ' 20 6 ,9 .10" 20 , 6 .9 .1 0 ' 20A. 7 - - 9n + 3 In ----- T7— - 1 , 5 In ------- — ^ T _ l n ----------- ^ = 37 > 0,1 6,9 .1 0 3.10 1 ,5 .1 0 1 ,6 . 10

a folyamat végbemegy, a gáz disszociált (atomos) állapotban van: a nagyobb állapotsü­rüség túlkompenzálta a magasabb energiaállapotot, a d isszociálás entrópianövekedést jelent.

5. Most pedig jusson eszünkbe, hogy a d isszociálással az eddig figyelembe nem vett konfigurációs entrópia is változik.

Legyen a V = 10 ® m3 térfogatú tartályban annyi nitrogén, amennyi 273 K5 2

hőm érsékleten 1 bár (= 10 N /m ~ 1 atm) nyomású lenne tisz ta m olekuláris állapotá­ban, azaz

= Ni ^ - = 6.1023 ^ - = 2,7.1019. I,norm . ~ 22. 4 . 10“3

. ®T* IQA , j . r - In ------ = In n. -• In 2 In n_ = In 2 , 7 .10 =45

1 konf. (Hj-l)! 2 ! I I

értékkel növeli, így a T = 1500 K hőm érsékletű gázban

A , / = A , / * + A , / , . = 4 5 - 4 = 4 1 > 0,1 1 1 konf.

legalább egy molekula ezek szerin t mégis disszociálni fog. A további molekulák d isszo- ciálása s o rra ugyanakkora értékkel csökkenti az entrópia s truk tu rális ré szé t, a konfi­gurációs entrópia növekedése viszont egyre kisebb: amikor m ár n{ < n^ nQrm számú

N„ molekula és n 0 számú N-atom volt a gázban, a soron következő disszociáció csak

A 'f =1 " i ! V _ , ni .1 konf. m (n i- l) ! (n n +2)! n (nn +l) ( n ^ ) ~ ln ^

értékkel növeli a konfigurációs entrópiát. A kémiai egyensúly akkor áll be, amikor a konfigurációs entrópia növekedése éppen csak fedezi a s truk tu rális entrópia csökkenését,

A f + A f ’ = 0 In + A ^ = 0,1 1 konf. 2 1

nil

azaz

2 A ' f * ^ 1 F onn 1 kT— = e (= e =K (p,T))

te ljesü lésekor T = 1500 K esetében az egyensúlyi koncentrációra igy az

II -4 -2— = e = 1 , 8.10nl

egyenletet kapjuk, amelyhez a változatlan atomszám kikötésével az

ni + ^ - = 2 , 7 . 1 0 19

egyenlet já ru l. A két egyenletből a gázban a disszociált állapotban levő molekulák

- 356 -

n 11 /2 —11 11n +~ n /2 = X hányadára az x = l ° értéket kapjuk. Átlagosan tehát minden 10

edik molekula disszociált állapotban van.T = 5000 K esetén a gáz disszoctációs egyensúlya

II 34 = 1016— = e

-nál áll be, amiből

adódik, azaz még ekkor is csak kb. minden századik molekula van d isszociált állapot­ban.

- Ha az érvényességi körén túl erőszakolt energiam inim um -elv alapján gon­dolkoznánk, az lenne meglepő, hogy egyáltalán van tekintélyes számú disszociált mo­lekula a gázban; ha az entrópianövekedés elve alapján, de a konfigurációs entrópiáról megfeledkezve néznénk a végeredm ényt, azon csodálkozhatnánk, hogy nem minden molekula disszociált (vö. a gondolatmenet 4 .b pontjában kapott eredményekkel). Ha pe­dig valaki kevesellené a d isszociált molekulák szám át, vegye é sz re , hogy a konfigurá-

!— 10ciós entrópia n^ a / n se 10 -nél eLéri a maximumát, és további disszociáció m ár

a konfigurációs entrópia csökkenésével já r ! -Eredményünk kvalitativen helyesen adja vissza a tapasztalatot: a szokásos kö­

rülmények között kétatomos molekulák formájában levő gázok elég magas hőm érsékle­ten jelentős mértékben dlsszoclálnak, a molekulák egy része egyatomossá bomlik.

9. § Transzport-jelenségek

9.1 Áram és áramsürüség; konvektiv és konduktív transzport

Az additív megmaradó mennyiségek - mint belsőenergia, impulzus, (kémiai) anyag, elektromos töltés - értéke a közeg egy adott tartományában csak úgy változhat, ha közvetlen környezetében e mennyiségek ellentétesen változnak. (Vö. a 3.1 pont megjegyzését a globális és lokális megmaradás­ról. ) Megengedhető ezért az a beszédmód, hogy a közeg tekintett része energiát, impulzust stb. kapott a környezetétől, és a kapott mennyiséget a környezet egyes részeitől származó, ill. a tekintett közeg-tartományt ha­tároló felület egyes elemein át kapott járulékokra bonthatjuk. Értelmet tu­lajdonítunk tehát annak a kérdésnek, hogy adott felületen adott idő alatt

- 357 -

mennyi energia stb. áramlott át, azaz értelm es kifejezésnek tekintjük az energia-, impulzus-, anyag- stb. áram

(9.1)

(9.2)

(9.3)

definícióját, ahol A ’E stb. egy adott felület-tartományon A t idő alatt átáramlott mennyiség, megállapodás szerinti átmenési irányhoz előjelezve (Ül. az impulzusáram esetében: irányítva). Az áramokat tehát egy felület­tartományhoz rendeljük; ez lehet zárt felület is. (Az utóbbi esetben általá­nosan megállapodhatunk az áramok előjelezésében. A szokásos megállapo­dás: A ’ E stb. jelentse a felület által bezárt tartományból kijövő mennyi­séget; az áram előjelezése ebből már következik.)

A közeg egy pontja körül felvett, meghatározott normálisu. külön­

böző A A ^ nagyságú felületekre vonatkozó áram értéke a felület nagysá­

gával arányos, ha A A ^ elég kicsi, másképpen, a differenciális áram arányos a felületelem nagyságával,

A j_(r) arányossági tényező a pont helyén kívül az n normálistól

is függ; neve: az adott ponthoz és felületálláshoz tartozó áramsürüség.Ha n valamelyik koordinátatengely irányába mutató egységvektor, a j stb. jelölést is használjuk.

- Mindezekkel a mennyiségekkel m ár találkoztunk, Így az energiaáram m al és -áram siirüséggel a hullámmozgás tárgyalásánál, az anyagáramot (tömegáramot) és impulzus áram ot pedig használtuk a dinamika alaptörvényének változó anyagösszetételt! tartom ányra való általánosításánál. Az im pulzus-áram sürüség kétindexes komponensei speciális esetekben a mechanikai feszültség komponenseivel azonosíthatók (!), 1. majd az elm életi mechanikában ("feszültségtenzor"). -

(9.4) dJ = j-(r) dA(n),

ü l. - vektormennyiség áramánál -

(9.5) dJ = J-(r) dA(n)

n

- 358

Az áram fogalmára támaszkodva, a hőmérséklet, (rendezett) sebes­ség, koncentráció (vagy kémiai potenciál), elektromos potenciál inhomoge­nitásainak kiegyenlítődésével járó energia-, impulzus-, molekulaszám-, töltésváltozásokat úgy foghatjuk fel, hogy a mennyiségeket a közeg szállítja ("transzportálja") az egyik tartományából a másikba. Az additív megma­radó mennyiségek ilyen értelemben vett szállítását közös néven transz- port- jelenségeknek mondjuk, és beszélünk energia-, impulzus-, (kémiai) anyag-, (elektromos) töltéstranszportról. A transzport-jelenségek között célszerű megkülönböztetni konvektiv és konduktiv transzportot. Az előbbin makroszkopikus, rendezett anyagáramlással járó szállítást értünk. Ezen belül különleges helyet foglal el a turbulens transzport: egy-egy megfi­gyelhető méretű tartományban rendezett áramlás van, de az áramlás je l­lemzői tartományonként statisztikusan ingadoznak. (A turbulens áramlás bizonyos értelemben átmeneti helyet foglal el a makroszkópikusan rende­zett mozgás és a teljesen rendezetlen hőmozgás között.) A konduktív transzport rendezett anyagáramlással nem járó, a hőmozgáshoz kapcsoló­dó szállítás. Amikor elektromos töltés transzportjára nem gondolunk, ne­vezzük molekuláris transzportnak is.

- A hullámmozgáshoz kapcsolódó szá llítást nem soroljuk egyik csoporthoz sem: makroszkopikusan rendezett mozgáshoz tartozik , de anyagáram lással nem já r . -

Emlékeztetésül idézzük az impulzustétel általánosítását ilyen értelemben vett tes tre : a felülettel körülhatárolt tartomány összimpulzusának válto­zási gyorsasága egyenlő az adott pillanatban belül levő részecskékre ható

Hasonlóan általánosítjuk a termodinamika I. főtételét: zárt határoló felüle­ten belüli közeg belsőenergiájának infinitezimális változása (differenciálja) egyenlő a felületen belüli anyag rendezett elmozdulásával számolt elemi munkának, a felületen belüli anyagon a környezet által végzett elemi mele­gítésnek és a felületen át folyó anyagáram által ezalatt szállított energiá­nak az összegével,

(9.8) dU = d’W + d ’Q - J (E) dt

(E) (E) (E)(J = J j . - elojelezési megállapodás szerint).

külső erők eredőjének és az anyagáramhoz tartozó impulzusáramnak az összegével

(9.7)

irányitás-megállapodás szerint).

- 359 -

- Alkalmazzuk a módosított I. főtételt a gőzburbínán átáram ló gőz munkavégzésé­nek kiszám olására. Határoljuk körül a 9.1 ábra szerin t a be- és kiömlési keresztm et­szet, a turbinaház és a turbinakerék által határolt tartom ányt, és legyen Al ' V1 ’ pi ’ ui a beöm lési keresztm etszet terü le te , a gőz itteni sebessége, sűrű­

sége, nyomása és fajlagos (tömegegységenkénti) energiája, a megfelelő " 2" indexű mennyiségek pedig ugyanezek a kiömlési keresztm etszetben. Stacionárius működést fel­tételezve, a közeg "ellenőrző felületen" éppen belül levő tömege és belsőenergiája idő­ben állandó; a környezettel való melegitéses energ iacserét elhanyagoljuk. A gőzön dt idő alatt végzett munka

d ’w = d ’w, + d ’w í j " 1kerék szom széd gőz

d’Wkerék + P1 V l dt * P2 A2V2

A belépő és kilépő keresztm etszethez tartozó tömeg­áram egym ással egyenlő nagyságú,

(m) (m) (m )_ (m) T(m)J - J j + J2 - -J1 ) b e + J 2>ki - ° -

Al

Jím) = A.' l , b e J 1 1 1 2 , ki y 2 2 2

és a te ljes konvektiv energiaáram a belépő tömegáramból a

(E )_ <E) <E) <E) <E) _ (m)-J - - (Jx + J 2 ) - J l ib e 2 , ki X I ,

összefüggés szerin t kapható. A (9. 8) egyenletet akkor a

T ( m ) T(m)- u J = ÍU “U ) J be 2 2 , ki 1 1 2 1 , be

dU = 0 = d’wkerék + [ ( u ^ / f , ) - <u2+P2/ p 2) ] 4 mbe dt

alakba Írhatjuk, ahonnan a gőz által a keréken végzett munka

d’w = - d ’w = (h - h ) dt ,keréken kerék 1 2 l ,b e

azaz egyenlő az áiömlő gáz entalpiájának csökkenésével.Mig konvektiv transzport esetén kézenfekvő és célszerű az anyagtranszporttal já ­

ró energia- és im pulzusáramot külön tagként feltüntetni a munka és m elegítés, ill. a külső erők m ellett, a molekuláris anyagtranszporthoz tartozó energia- és im pulzusára­mot be szoktuk olvasztani a külső melegítésbe, ill. a külső erőkbe, tekintve, hogy makroszkopikusan nem tudunk különbséget tenni közöttük.

A továbbiakban a molekuláris transzporttal foglalkozunk, ezen belül a diffúzió, hővezetés és belső súrlódás jelenségével, azaz molekuláris anyag- energia- és impulzus-transzporttal. Megfogalmazzuk a rájuk vo­natkozó legegyszerűbb tapasztalati törvényeket, és megkíséreljük ezeket ideális gáz esetére a kinetikus gázmodell alapján értelmezni.

- 360 -

Mondanunk sem kell, hogy a molekuláris transzport mindig entrópia­növekedéssel já r .

9.2 Diffúzió

9.2.1 Átlagos szabad üthossz és hatáskeresztmetszet

A gázokban végbemenő molekuláris transzport értelmezésében alap­vetően fontos szerepet játszik az átlagos szabad uthossz fogalma. Ezen azt az l távolságot értjük, amit a hőmozgás során a közeg egy molekulája két ütközés között átlagosan megtesz. Tegyük fel, hogy két molekula ak­kor ütközik össze, ha a középpontjuk R távolságon belülre kerül. Ekkor a kiszemelt molekula számára társai & = 3TR2 területü "céltárgyat" je ­lentenek; ezt a <5 területet hatáskeresztm etszetnek nevezzük. (Ha a mo­lekulát éles határral rendelkező merev gömbnek tekintjük, nem vesszük továbbá figyelembe, hogy az eltalálandó molekulák is mozognak, akkor a hatáskeresztmetszet az ütköző molekulák sugarainak R = R^ + R2 össze­

gével mint sugárral számolt kör területe. Ez term észetesen erős közelí­tés, aminek alapján csak nagyságrendi becslést tehetünk a hatáskereszt­metszet ismeretében a molekulaátmérőre és v iszont.) A két bevezetett mennyiség között egyszerű összefüggés áll fenn. Egy kiszemelt molekula sebességvektora mint tengely köré építsük egy hatáskeresztmetszetnyi alapterületü hengert, 1. 9. 2 ábra. Ennek a hengernek minden szabadut- hossznyi részében átlagosan éppen egy molekula (középpontja) tartózkodik. Ha tehát a molekulakoncentráció n, akkor

(9.10) ^ = ( < = 6t n = l) .no

9.2 ábra- Különböző fajta molekulák keverékénél a kiválasztott, mondjuk 1. fajtájú mo­

lekula mind a többi 1. fajtájúval, mind a 2. fajtájúnak ütközhet. A szabad uthossz ekkor

{ ________1________ Í = _______ I_______1 "l e i , 2 + n2 ®1,2 ’ 2 nl ff l , 2 + " 2 e 2 , 2 ’

- 361 -

ahol iij az i-edik fajta molekula térfogati koncentrációja, S \ pedig az " i" és "j"

molekula egym ással való ütközésének hatáskeresztm etszete . Ha az egyik komponens koncentrációja sokkal kisebb, a (9.10) formulát kapjuk v issza . -Az átlagos szabad uthossz véges volta m agyarázza a gázkeveredés folyamatának viszony­lagos lassúságát. A brómgőz diffúziójánál megfigyeltük (6.2 ábra), hogy a brómgőz és a tisz ta levegő tartom ánya közötti eredetileg é les határ 10 perc alatt kb. 10 cm szé lessé ­gű sávvá mosódott el, a brőmmolekulák átlagosan ilyen nagyságrendű távolságra jutottak el bolyongásuk során. Ha a molekulák csakugyan pontszerüek lennének, az JVJ = 160 g/m ól móltömegü Br2 brómmolekulák ütközés nélkül repülve az ekvipartició szerin ti

± 3 0 0 _ J _ mól K a ;1 0 0 m 160 mól K kg s

sebességükkel, pillanatok a la tt egyenletesen betöltötték volna az edény egész térfogatát; a sokkal kisebb elbolyongási távolság csak azzal magyarázható, hogy szabad repülésüket sürün m egszakította a többi molekulával való ütközés. Egyszerű meggondolással össze­függést találhatunk a bolyongás során átlagosan bekövetkező eltávolodás és a szabad ut­hossz között. Azzal az egyszerűsítő feltevéssel, hogy minden ütközés között i távolsá­got repül a molekula, és minden ütközés után egyenlő valószinüséggel indul előre vagy h á tra , a v> számú ütközés alatt e lé r t elbolyongási távolság négyzete

s><n2>= (I í / = I í 2 . t l 2 i .

l - l i X>‘ Ifi X’ 1 X’j

ahol l j egyenlő valószínűséggel ív a g y - l . A jobb oldal második összege ennek

megfelelően nulla (egyenlő számú pozitiv és negatív járulékot tartalm az), igy

< X2 > = v < i 2 >= V Í 2 . x, iA -j számú ütközés a la tt ugyanakkor a molekula (abszolutértékü összegben) az ütközé­sek lejátszódásának t idejével és a hőmozgás sebességével számolt

vt * v t

nagyságú utat tesz meg. így

amiből a fentebbi adatok szerin t

< x2 > = v t í ,

. < x 2 > 0 .12 m2 . .„ -7 .„ -5l = ------- = . „ ------ * 10 m = 10 cm.vt

Tekintve, hogy a brómgőz sűrűsége normál állapot körül kb. 1000-szer kisebb a folyé­kony bróm sűrűségénél - ahol a molekulákat szorosan egymás mellett gondolhatjuk elhe­lyezkedni - a molekulaátmérő a szabad uthossznál kb. e ze rsz e r kisebb lehet, azaz

, -10 , -8 d * 10 m = 10 cm.

- 362 -

nagyságrendi összhangban a 2.2 pontban (az olajcsepp szétterüléséből) kapott értékkel.Az atm oszféra-nyom ású gázokban a molekula szabad repülését ezek szerin t olyan

süríin szakítják meg a tá rsa ival való ütközései, hogy a kontinuum-modell - amelynek nyelvén a mechanikai aerosztatika keretében gondolkoztunk - se* jelenség szempontjából nem is olyan ro ssz közelítés: a nyomást valóban értelm ezhetjük a szom szédos gáz-ta r­tományok által az elválasztó felület mentén egym ásra k ifejtett erő felületi sűrűségeként. Más a helyzet az igen ritka gázoknál. 10- 5 to r r ( x. 10-8 bár) nyomáson - ami a követ­kezőkben ism ertetendő vákuumszivattyukkal könnyen előállítható - az átlagos szabad ut- hossz m ár kb. 10 m; a molekulák egym ással való ütközése elhanyagolható, a gáznyomást ekkor csak mint az edény fa lá ra gyakorolt felületi erő sűrűségét értelm ezhetjük, a gáz molekulái egym ásról "nem vesznek tudomást". Boltzm ann-eloszlásukat is az edény falá­val való ütközések állitják be.

- A folyadékra a szabad uthossz fogalma nem alkalmazható: a molekulák olyan szo­rosan helyezkednek el egymás m ellett, hogy egyedi ütközések közötti szabad repülésről nem beszélhetünk. Diffúzió folyadékban is lejátszódik, de sokkal lassabban, mint a gá­zokban. A hipermangán (kálimhipermanganát) a vizben oldódik, azt rózsaszínűre festve; a vízbe dobott hiperm angán-kristálykákat körülvevő rózsaszínű felhő igen lasan terjed t szét, az óra végére sem oszlott el a néhány cm*® nyugvó vizben. A folyadékffuzió mik­roszkopikus lefolyását úgy képzelhetjük el, hogy a folyadék molekulái rezgőm ozgást vé­geznek átmeneti egyensúlyi helyzetük körül, és közben egy-egy szerencsés alkalommal- ha éppen üres hely van a közelükben - átugranak egy másik egyensúlyi helyzetbe, hő- m ozgás-rezgésüket tovább akörül folytatva. Hasonlóan tudjuk értelm ezni a szilárd te s ­tekben - még lassabban végbemenő - diffúziót is . -

9.2.2 Stacionárius diffúzió; Fióktörvénye

Az előző pontban olyan eseteket tekintettünk, amikor a koncentráció­különbség kiegyenlítődése végbemegy. Most a stacionárius diffúzió egy­szerűbb esetét vizsgáljuk, amikor ti. a koncentrációkülönbség kiegyenlí­tődése folyik, de nem megy végbe, mert "forrás" és "nyelő" segítségével gondoskodunk a különbség állandó fenntartásáról. (A "forrás" pl.párolgó vízfelület, a "nyelő" a levegőrétegen átdiffundáló vizmolekulákat váró hi­deg felület, amelyen a megérkező molekulák lefagynak.)

A stacionárius diffúziót a rázkódó falu légpárnás asztallal szimulál­tuk: az asztalon nyüzsgő sárga korongok közé az asztal egyik oldalán meg­határozott időközönként ("állandó áramerősséggel") piros korongokat te t­tünk, s amelyik átbolyongott az asztal másik végéig, azt kivettük. P illa­natfelvétel-sorozatról megállapítva a sárga "molekulák" alkotta "gázban" diffundáló piros "molekulák" koncentrációeloszlását, a forrástól a nyelőig csökkenőnek, mégpedig kb. egyenletesen csökkenőnek találtuk. A koncent­rációeloszlás meredekségét az áram erősség változtatásával tudtuk befolyá­solni; a két mennyiség egymással arányosnak bizonyult. A m odell-kisér- let eredménye egyezik az igazi gázok diffúziójára vonatkozó tapasztalattal: a diffúziós áramsürüség arányos a koncentráció változási meredekségének nagyságával,

(N) n - n(9.11) = D 1 2A x„ - x.

- 363 -

vagy - differenciális mennyiségekkel irva az egyenletet, mely alakban nem lineárisan változó koncentrációeloszlás esetére is érvényes -

(9.12) (N) = _ D _£nd n3x

A (9.12) összefüggést Fick törvényének nevezzük: a diffúziós áram sürü- ség arányos a koncentrációgradienssel', és a diffúziós áram a csökkenő koncentráció irányába folyik. A D arányossági tényező neve: diffúziós együttható. A törvény folyadékban végbemenő diffúzióra is teljesül. Ideá­lis gázok esetében, adott hőmérsékleten, a koncentráció helyett parciális nyomást is írhatunk, a p = nkT összefüggés alapján, term észetesen ak­kor D értéke értelem szerűen módosul. A részecskeáram ot könnyen á tír­hatjuk tömegáramra is, aminek részletezését a hallgatóságra bizzuk.

A Fick-törvényt igen egyszerűen értelmezhetjük a kinetikus gázmodell alapján.Képzeljünk el a koncentráció­gradiensre merőleges felüle­tet (1. 9. 3 ábra), és számol­juk össze, hány molekula jut át balról jobbra és jobbról balra felület- és időegységen­ként. A kinetikus modellen belül is néhány egyszerűsítő feltevéssel élünk: Először is, úgy számolunk, mintha a mo­

lekulák — része mozogna 6

mindhárom koordinátatengely pozitív és negatív Irányában, egyenlő sebességgel. (Hogyaztán ez < v > vagy ^<v2> l * l / l

vagy <Clvx l> » bizonytalan * ^marad, de nagy különbséget 9. 3 ábranem jelent, és főleg az ered­mény jellegén nem változtat.) Az elválasztó felülethez egyik oldalról fe­lület- és időegységenként érkező molekulák száma - a 4.1 ponthoz hasonló, csak most leegyszerűsített gondolatmenet alapján -

n v A'CA"j+ " J- 6 A ' t A '

lenne, ha a koncentráció állandó volna. Második egyszerűsítő feltevésünk: mivel a molekulák utolsó ütközésüket átlagosan a felülettől 2 szabad ut- hossznyi távolságban végezték, a j + és j_ áram sürüség-járulékot szá­

- 364 -

molhatjuk az ottani koncentrációval. A balról jobbra és jobbról balra át­menő molekulák "nettó" áramsiirüsége akkor

JX = J+ - J . = í [“<*<,- * > - n <x0 + < >].

Harmadik feltevésünk: a koncentráció nem változik nagyon meredeken, a felülettől néhány szabad uthossznyi távolságig az x-koordinátának lineáris

függvénye, igy n(x + g) = n (x ) + (~“ ) . i . Ezzel a diffúziós áram - . . . . . o o axsűrűségre a xQ

v t d n<9' 13> jx = " T I x ’

kifejezést kapjuk, ami csakugyan a (9.12) Fick-törvénnyel azonos alakú. A diffúziós együttható értékét is ki tudjuk belőle olvasni:

v£(9.14) D= 3 ‘

Látható, hogy D a hőmérsékletnek növekvő és a diffundáló molekula tö-i/- kT~megének csökkenő függvénye (v ~ u ---- miatt), továbbá a teljes térfogati

1 m°koncentrációnak is ( t .= — , miatt) csökkenő függvénye. (A vizpá-

rolgásos példánkban n a viz-, n’ a levegőmolekulák koncentrációja, <5 a viz-viz, <o ' a viz-levegő molekulaütközés hatáskeresztm etszete.)

9.2.3 Diffúzió porózus falon át

Diffúzió porózus falon át is folyhat (pl. mázolatlan agyagedény falán). A Fick-törvény e rre az esetre is érvényes, csak koncentrációgradiensnek most a falban beálló gradiens tekintendő, és a diffúziós együttható a fal minőségétől is függ. (A fal két oldalán a koncentrációeloszlás homogénnek gondolható.) E rre az esetre a Fick-törvényt célszerűbb a

(N) *(9.15) jv ' = D (nx - n2),

alakba irni, ahol D* = D / S { ó a falvastagság). Annak illusztrálására, hogy a különböző anyagi minőségű gázok diffúziós együtthatója különböző, továbbá, hogy a diffúziós áram valóban a parciális koncentrációktól

- 365 -

fö ldgáz

9.4 ábra

( =í> állandó hőmérsékleten a parciális nyomásoktól) függ, a 9.4 ábrán lát­ható kísérletet végeztük el. Az agyaghenger kezdetben levegő-környezetben volt, a manométer nem mutatott különbséget a belső és külső nyomás kö­zött. A hengerre borított üvegbura alá ezután földgázt (metánt) vezettünk; a belső nyomás előbb gyorsan, majd lassabban növekedett, végül egy maxi­mum elérése után lassan csökkenni kezdett. A burát elvéve, a nyomáscsök­kenés felgyorsult, a belső nyomás még az eredetinek is alácsökkent, végül a belső és külső nyomás újra kiegyenlítődött. (A manométer a teljes belső nyomást mutatta!)

A jelenség értelmezése: A ritka gázok komponenseinek diffúziója egymástól függetlenül folyik, és a metán diffúziós együtthatója - a kisebb molekulatömegének megfelelő nagyobb átlagsebessége miatt - nagyobb az oxigén és nitrogén diffúziós együtthatójánál. Mivel a kezdeti állapotban (amikor a metán körülvette a hengert) a parciális koncentrációk különbsége egyenlő volt, a metán befelé irányuló diffúziós árama kezdetben nagyobb, mint a levegő kifelé irányuló árama, a hengeren belül gyorsabban nő a me­tán parciális koncentrációja és igy parciális nyomása is, mint ahogyan a levegőé csökken, az össznyomás ennek megfelelően növekedni kezd. Ami­kor viszont a burát elvettük, a hengert ismét levegő veszi körül, és a le­vegő befelé, a metán kifelé diffundál, mégpedig az utóbbi gyorsabban: a benti össznyomás csökkenni kezd.

9 .2 .4 Ozmózis

Az oldatban az oldott anyag diffúziója a Fick-törvénynek megfelelően folyik: a diffúziós áram arányos az oldott molekulák koncentráció-gradien­sével, és - amennyiben ¡az oldat termikusán és mechanikailag homogén - az egyenletes koncentráció-eloszlás kialakulásáig tart.

Az oldószer molekuláinak diffúziója olyan esetben mutatkozik szembe­tűnően, amikor az oldott molekulák diffúzióját egy számukra áthatolhatatlan fal megakadályozza, ugyanakkor az oldószer molekuláit átengedi. Ilyen szemipermeábilis (félig áteresztő) falat olyan oldatokra, ahol az oldószer

- 366 -

és az oldott anyag molekulái között jelentős méretkülönbség van, m ester­ségesen is elő lehet állítani, de a természetben is gyakran előfordul (el­sősorban élő szövetek hártyái között). A gyümölcshéjakon például a viz át tud diffundálni, de a cukor molekulái nem. Ezzel magyarázhatjuk azt á köz­ism ert jelenséget, hogy a vízbe tett szőlőszem megduzzad, sőt a héja szét­szakadhat, vagy fordítva, a tömény cukoroldatba tett meggy összefonnyad: az első esetben viz diffundált be, a másik esetben ki a gyümölcs héján át.A diffúzió a félig áteresztő falon abba az irányba folyik, amely az oldott anyag moláris koncentrációjának kiegyenlítődése felé vezet, egy bizonyos határig a nyomás-homogenitás felborulása ellenére is. Az oldószer szemi- permeábilis falon át folyó diffúzióját, ami az oldott anyagot tartalmazó ol­dal nyomásnövekedéséhez vezet, ozmózisnak nevezzük, az egyensúlyi nyo- mástöbbletet ozmózisnyomásnak. (Az ozmózis révén fellépő nyomáskülönb­séget a hártya rugalmassága hidalja át a két tartomány között - amíg a szilárdsága lehetővé te s z i .)

Az ozmózisnyomás értékét a II. főtétel szabja meg: a diffúzió statisz­tikus átlagban addig folyik, amig az oldószer-molekulák átvándorlása entrópianövekedést jelent a közeg+környezet szám ára, vagy másképpen mondva, amig - izoterm -izobár környezetben - a közeg szabadentalpia- csökkenését eredményezi, még másképpen fogalmazva, amig a két tarto­mányban az oldószer kémiai potenciálja egyenlő nem lesz.

Ha a tisz ta oldószerben a kémiai potenciál (a fajlagos szabadentalpia) /J.0(p, T), akkor az N o ld ó s z e r-é s n oldott molekulát tarta lm azó oldatban az oldószer kémiai poten­c iálja - hig oldatot feltételezve - a (8.13) egyenlet szerin t

H-o, oldatban = ^ o (p,T) " kT N’

tehát változatlan hőm érséklet és nyomás esetén kisebb a tisz ta oldószer kém iai poten­ciáljánál a keveredési entrópia szabadentalpla-csökkentő járuléka m iatt. Ha a fal két oldalán a nyomás egyenlő, a diffúzió korlátlanul folyik, s tatisztikus egyensúly nem áll­hat be. Beállhat viszont, ha a nyomások különbözők: piQ függ a nyomástól, mégpedig(7.10) szerin t - állandó hőm érsékleten -

d/*0 = v dp

módon, azaz növekvően ( v az oldószer egy molekulájára jutó térfogat). Az ozmózis egyensúlyi feltétele tehát: az oldat-oldalon a nyomás annyival legyen nagyobb, hogy a kémiai potenciál ebből adódó növekedése egyenlő legyen a keveredés m iatti csökkené­sével.

(9.16) v p = 7 kT .~ ozm N

Mivel pedig az oldat te ljes térfogata V = N v, a (9.16) egyenletet

<9‘ 17> » o zm V =nkT = l RT = ^ ° U anyag RT~ ^ o ld o tt anyag

- 367 -

alakba is Írhatjuk, ami pedig formailag egyezik a V té r ­fogatban n számú molekulát tartalm azó ideális gáz álla­potegyenletével ! (Ne felejtsük el, hogy n most megint nem térfogati koncentrációt, hanem az oldott anyag V térfogatban levő összes molekulájának a szám át je le n ti .)A (9.17) egyenlet Van’t Hoff törvénye. Az ozmózisnyomást fel lehet használni molekulasuly m eghatározására; maga az ozmózisnyomás mérhető pl. a 9. 5 ábra szerin ti e lren­dezéssel.

- Az az érdekes eredmény, hogy a hig oldatok az ideálisgáz-törvényt követik, azt sugallja, hogy az ozmózis-nyomást az oldott anyag parciá lis nyomásaként értelm ezzük. Ez emlékezéstechnikai szempontból meg­engedhető, de nem igaz: a folyadék nyomása nem rakható össze a komponensek parciá lis nyomásának összegeként,

9. 5 ábra sőt maga a parciá lis nyomás fogalma is csak gázokra é r ­telmezhető. Az ideális gázok és a hig oldatok közötti

analógiá azonban ennek ellenére is tovább vihető: részletesebb meggondolással be lehet látni, hogy a külső erőtérben beálló egyensúlyi koncentrációeloszlás gázokra levezetett formulája is érvényben m arad oldatok esetére , sőt az un. kolloid-oldatokra is, ahol az "oldott” anyagot a molekulárisnál jóval nagyobb, mikroszkópban látható szem csék je ­lentik. A szem csék gravitációs térben beálló egyensúlyi n(z) koncentráció-eloszlását (amit a gázoknál barom etrikus magasságformulának nevezünk) az

_ mgz kT

(9.18) n(z) = C e

9 folyfüggvény irja le, ahol m = mQ ( 1 --------------- ) egy kolloidszemcse tömegének és a

$ szemcsekiszoríto tt folyadék tömegének a különbsége, mg a szem cse Archimedész törvénye szerin t korrigált súlya. A (9.18) eloszlást szedimentációs (ülepedési) e loszlásnak ne­vezzük. A szedimentációs eloszlás vizsgálatával - ism ert tömegű kolloid-szem csék koncentrációjának magasságfüggését mérve - P e rrin (1909) néhány százalék pontoság­

gal meghatározta a k Boltzmann-állandót és ezzel az L = j^-mól Loschm idt-szám ot.

9.2 .5 Diffúziós légszivattyú

Mechanikai légszivattyúkkal (rotációs szivattyú) néhány vagy néhány tized-század m illibár nyomást lehet e l­érn i. Ennél "nagyobb vákuum", azaz kisebb nyomás e lé ré ­sére legközönségesebb eszköz az un. diffúziós szivattyú.Elvét a 9.6 ábra mutatja: A T tartály alján levő folyadékot (általában kis te lítést gőznyomásu szilikonolaj) elektromos fűtőtest fo rra lja ; az olajgőz a tartály t felülről lezáró perem nyílásain nagy rendezett sebességgel, lefelé irányulva tódul ki, a H hütőköpenyben áram ló víz (vagy cseppfolyós nitro­gén) által hütött falra, ahol lekondenzálódva, ism ét a ta r ­tályba jut. A leszívandó L tartományból a gázmolekulák rendezetlen mozgásuk során (diffúzió!) bizonyos eséllyel a gőzsugárba kerülnek, amely őket magával ragadja (rende-

A

9. 6 ábra

- 368 -

zett mozgását a sllru ütközések révén rájuk kényszerítve), és vagy az olajgőzzel egyUtt lekondenzálódnak a falon, vagy a folyadékból kiválva, az elővákuumot b iz to ­sító E rotációs szivattyú távolítja el az összesllrUsödött gázmolekulákat a te nem kondenzálődott olajgőzzel egyUtt. Maga a diffúziós szivattyú csak akkor kezd működ­ni, amikor a leszívandó te re t az elővákuum -szivattyú m ár kisnyomásúra szívta.Az elérhető nyomásnak elvi alsó határt szab a munkakozeg-olaj te litési gőznyomá­sa. Cseppfolyós nitrogénnel hlltött, korszert! munkaközeggel mUködő diffúziós s z i ­

vattyúval 10 bár (10 ^ to r r ) nagyságrendű nyomást lehet e lérn i. (Ez m ár csak (!) millió körüli molekulát jelent cm^-énként!)

9. 3 Hővezetés

A konvekciő és munkavégzés nélküli molekuláris energiatranszportot' nevezzük hagyományosan hővezetésnek. (Az elnevezés a hőanyag-elmélet korából származik, megszokásból őriztük m eg.)

9.3.1 A stacionárius hővezetés tapasztalati törvényei

Az előzőekben többször használtuk a "hőszigetelő", "jó hővezető" stb. kifejezéseket, bizva abban, hogy e fogalmak köznapi értelm e is elég az ott elmondottak megértéséhez. Most az e szavakhoz kapcsolódó mennyi­ségi jellemzőket, ill. törvényeket keressük. A stacionárius konduktiv energiatranszport (stacionárius hővezetés) fenomenológiai törvényeit alkal­masan vizsgálhatjuk a 9. 7 ábra szerinti összeállitással. A vizsgált közeg

(esetünkben szilárd rúd) egyik végét elektromos fütőspirállal melegítjük, a másikat áramló vízzel hütjük. A fűtőtestet bekapcsolva, a közeg pontjai­nak hőmérséklete változni kezd, majd - elég hosszú idő elteltével - időben

- 369 -

állandó értékre áll be. Ez azt jelenti, hogy a közeg minden kis tartom á­nyának a belsőenergiája ezután már állandó marad. A hűtővíz be- és kilépő hőmérsékletét, valamint a tömegáramát mérve, a rúdból a vizbe irányuló energtaáramot meghatározhatjuk, és ennek - a beállott stacionaritás sze­rint - egyenlőnek kell lenni a rúd bármely keresztm etszetén áthaladó energiaárammal, ha a rúd palástját jó hőszigetelő burkolja körül. Állan­dó keresztm etszetű homogén rúd esetén a mondott körülmények között a hőmérők a rúd hossza mentén lineárisan változó hőmérsékletet mutatnak, egy-egy adott keresztmetszetben pedig a hőmérséklet minden pontban azo­nos. A fütőszál áramerősségének változtatásával az energiaáram is, a hőmérsékletgradiens is változik, mégpedig egymással arányosan,

T - T

j(

(A keresztm etszet területével való arányosságot különböző keresztm et­szetű rudak összehasonlításával igazolhatjuk.) A (9.19) egyenletet átírhat­juk általánosabb hőmérsékleteloszlás esetére is érvényes lokális alakba.

,(E) , 3 T <9.20, ^

A konduktív energiaáram sürüségre vonatkozó (9.20) egyenletet Fourier- féle hővezetési egyenletnek nevezzük. A negatív előjel szerint az energia­áram a csökkenő hőmérséklet irányába folyik.

A (9.20) egyenletben fellépő X arányossági tényezőt hővezetési együtthatónak nevezzük. Nagysága a különböző anyagokra igen eltérő lehet, ennek alapján osztályozzuk őket (jó) hővezetőkre és hőszigetelőkre. Tájé­kozódásul néhány anyag hővezetési együtthatóját a 9.1 táblázatban közöljük.

9.1 TÁBLÁZAT

Hővezetési együtthatók

anyag ' m s / anyag Jm s

Cu 380 víz 0,6A1 200 benzin 0,11acél 60 levegő 0,024Jég 2,2 vizgőz 0, 024beton 1,3 co2 0, 014tégla 0,4üveggyapot 0,04

- 370 -

Gázok hővezetését a diffúzió mintájára értelmezhetjük. Feltételezzük, hogy a kijelölt felületen átmenő minden molekula akkora energiát szállit magával, amekkorával a felülettől szabad uthossznyi távolságban (utolsó ütközésének helyén) uralkodó hőmérsékletnek megfelelően az ekvipartició törvénye szerint rendelkezett, azaz £ = cy T(xq + l ) energiát, ahol

c = f 77 az izokór fajhő egy molekulára jutó része, f a molekula szabad- ~v Zsági fokainak száma. így az energiatranszport felület- és időegységenként- feltételezve a hőmérséklet lineáris változását az elválasztó felület né­hány szabad uthossznyi környezetében -

amivel valóban a Fourier-törvényhez jutottunk. A gáz hővezetési együtt­hatóját az egyenletből kiolvashatjuk:

Folyadékoknál és szilárd testeknél a hővezetés anyagtranszport nél­kül is folyhat, a rezgő molekulák vagy atomok közötti közvetlen energia­átadással.

- A fémek feltűnően nagy hővezetést együtthatóját figyelve, és emlékezve rá , hogy a fémek elektrom osan is jó vezetők, a r ra gyanakszunk, hogy az energiatranszport­ban az elektronok is ré sz t vesznek. Talán még sincsenek te ljesen befagyva az elektron­szabadsági fokok? E rre utaló gyanús körülmény az is, hogy a fémek fajhője magasabb hőm érsékleten fölé mehet a Dulong-Petit-törvény szerin ti - az atomok egészének rezgé­sével indokolható - 3R értéknek. -

9.3.2 Hőátadás

Folyadékokban és gázokban legtöbbször a konvektiv energiatransz­port ("hőáramlás") mellett a hővezetés elhanyagolható, néhány speciális, de fontos esetben azonban a helyzet éppen forditott. Ez utóbbi áll fenn la­mináris áramlásnál,ha a hőmérséklet az áram lás irányára merőlegesen változik. (Pl. hideg csőben meleg viz áram lik .) Turbulens áram lás ese­tében is létezik általában a fal mellett egy - sok körülménytől függő </* vastagságú - lam ináris határréteg, és az energiatranszport a faltól az áramlás turbulens magjáig hővezetéssel történik. A Fourier-féle hőveze­tést törvénynek megfelelően (1. 9. 8 ábra):

(7.21)

(7.22)- A = — ne = D n c = D p c , 3 ~v ~v * v

- 371 -

ahol Tfal a cső falának, Tfoly a turbulens áram lási magnak a hőmérsék­

lete. (Az utóbbit a heves turbulens keveredés miatt a keresztm etszet men­tén állandónak vehetjük.) Tekintve, hogy az

mennyiséget könnyebb mérni, mint a lamináris határréteg vastagságát, a (9.23) egyenletet inkább a

alakban szokás használni, és az oc hőátadási tényező értékét különböző áram lási körülmények (sebesség, csőátmérő, viszkozitás s tb .) esetére táblázatokban, grafikonokban vagy tapasztalati formulákban megadni.A (9.24) egyenletet (amelyben tehát az oc hőátadási tényező igen sok áram - lás-jellem ző függvénye) Newton-féle lehülési törvénynek nevezzük.

- Tájékozódásul: oc értéke a fűtőtest külső felülete és a mellette szabadon

áram ló levegő között 10 — — , a belső felülete és a'benne áram ló meleg viz között m s

1000 —- — körül szokott lenni.

(9.24) j (E) = ocAT vagy J (E )= A ocA T

Tapasztaljuk, hogy a testek munkavégzés nélküli, rendezetlen ener­giaközlésre - melegítésre - akkor is képesek, ha nem érnek össze. (Nap!) Itt is feltétele az energiaközlésnek, hogy a téstek különböző hőmérsékletűek legyenek. A jelenséget hősugárzásnak nevezzük. A hősugárzás olyan sok hasonlóságot (azonosságot?!) mutat a fénnyel, hogy mennyiségi törvényeit a fény fizikai természetével foglalkozó fejezet keretében, II. éves tanul­mányainkban fogjuk kikutatni.

9 . 3 . 3 A hősugárzásról

9.3 .4 A hőáramlásról

A konvektiv energiatranszportot szokás hőáram lásnak nevezni. így jut el a ka­zánban elégő gáz szabadentalpiájának csökkenéséből kapott energia a viz belsőenergiájá­nak formájában a fűtőtestig, onnan pedig belső és külső hőátadással, valamint hősugár­zással (és a kettő Között hővezeté ,el) a szoba levegőjébe. A viz makroszkopikus áram ­lásá t a ko rszerű központi fűtésekben keringető szivattyú biztosítja, régebbi tipusu fűtési rendszerekben pedig a gravitációs erő : a csővezeték előremenő és v isszatérő részében áram ló m eleg és hideg viz között fajsulykűlönbség van (hőtágulás!), így a gravitációs e rő forgatónyomatéka nullától különböző, ha a különböző hőm érsékletű vizet szállitó csővezetékeknek függőleges szakasza is van. Ugyancsak a hőmérsékletkülönbséggel já ró faj súly-különbség okozza a légkör á ram lásait is , ami szintén konvektiv energ ia-transz­porttal j.ár. A felületén befagyott tó alsó és felső v izrétegei között viszont nem jön lé tre hőáram lás: a 4 °C-os viz nagyobb fajsúlyú, mint a 0 °C -os!

9.4 Belső súrlódás

A belső súrlódás tapasztalati törvényét mechanikai tanulmányaink során lam ináris áram lásra a

(9 .2 5 ) s - , - 79w

ay

Newton-féle viszkozitási törvényben találtuk meg, ahol 6"t az áramló ré ­tegek közötti nyirófeszültség (felületegységenkénti belső súrlódási erő),

3wa sebességnek az áram lás irányára merőlegesen haladva mért

változási merédeksége; az arányossági tényező neve: viszkozitás. Ezt is megpróbáljuk értelmezni az ideális gázokra, az impulzustranszport alap­ján. Itt meg kell különböztetnünk a rendezetlen hőmozgás v sebességét

- 373 -

az áramlás rendezett w sebességétől. (Az előbbi az utóbbira szuperponá- lódik.) Az értelm ezés alapgondolata ugyanaz, mint a diffúzió és a hőveze­tés esetében: a két különböző sebességű gázréteget egymástól elválasztó felületen rendezetlen hőmozgásuk során átlépő molekulák átlagosan nem nulla x-impulzus-komponenst visznek magukkal, hanem a keresztm etszet­től szabad uthossznyi távolságban uralkodó rendezett mozgásnak megfelelő mo wx (y + i ) értéküt. (Jól bevált hasonlat: ha az egymás mellett külön­

böző sebességgel egyirányba haladó vonatokról utasok ugrálnak át egyenlő számban a másik vonatra, a saját vonatuk haladást irányára merőleges vo­natbeli sebességgel, akkor a gyorsabb vonat lassulni, a lassúbb gyorsulni fog .) A 9. 9 ábrán a felső rétegbe végösszegben szállított impulzus-x-kom- ponens felület- és időegységenként - amit makroszkopikusan súrlódási fe­szültségnek értelmezünk -

Í _ _ - L i i i*üri

9.9 ábra

(9.26) & = limAt-*0

A ’IX nv 1

A A t 3 1

v l 'd'W

9y

és igy csakugyan visszakaptuk a .(9.25) formulát. A viszkozitás ebből

v m(9.27a)

(9.27b)

v i vagy

ahol 6 " a hatáskeresztmetszet. (Nem a feszültség!)A kapott eredménynek kísérletileg ellenőrizhető tartalm a van, a ha­

táskeresztm etszet vagy a diffúziós állandó értékének ismerete nélkül is. Először is, a (9.27a) szerinti viszkozitás nem függ a gáz sűrűségétől (tér­fogati koncentrációjától). Ezt az első pillanatra meglepő eredményt k isér-

- 374 -

lettel ellenőriztük. Precíziósán szabályos üvegcsőben néhány századm illi­méter pontossággal illeszkedő golyót ejtettünk le; a ré s elég kicsi, hogy ott lam ináris áram lás alakuljon ki, igy a kapott eredményünk vonatkozzon rá . A golyó esési ideje 0,2-1 bár nyomástartományban csakugyan függet­lennek bizonyult a nyomástól, és igy a sűrűségtől!

Jobban meggondolva a dolgot, az eredmény már nem is tűnik olyan meglepőnek; ha ritkább a gáz, kevesebb molekula lép ugyan át adott idő alatt a másik rétegbe, de ezek utolsó ütközésüket messzebb végezvén, na­gyobb az impulzuskülönbségük a "fogadó" réteg molekuláihoz képest.

- Ha a gáz olyan ritka, hogy a szabad uthossz már összemérhető annak a résnek a méretével, ahol a közeg áramlik, a meggondolásunk nem érvényes: ilyen esetben az átlépők nem hozhatták magukkal a szabad ut- hossznyi távolságban uralkodó átlagimpulzust, m ert olyan nincs is. Való­ban, nagyon kis nyomásoknál a viszkozitás csökkenni kezd. -

Másik érdekes eredmény a hővezetési együttható és a viszkozitás összehasonlításából adódik. A (9.21) és (9.27) egyenlet osztásával a

értéket kapjuk a két mennyiség hányadosára, azaz a hővezetési együttható és a viszkozitás hányadosa az izokór fajhővel egyenlő. A m érési adatok szerint az összefüggés egy kettes faktoron belül valóban teljesül.

(A számolások könnyítése érdekében tett egyszerűsítő feltevéseink mellett ez nagyon jó, az alapgondolatot megerősítő eredménynek tekinthe­tő. Gondosabb számolás a tapasztalattal még jobban egyező eredményre vezet.)

Folyadékok belső súrlódását ilyen egyszerűen nem magyarázhatjuk, itt a közvetlen molekuláris kölcsönhatásnak nagyobb szerepe lehet az anyagtranszporttal járó impulzus-átvitelhez képest. A belső súrlódás mechanizmusának a gázokétól különböző voltára utal az is, hogy mig a gá­zok viszkozitása a hőmérséklettel növekszik, a folyadékoké csökken.

- 375 -

TARTALOMJEGYZÉK

I. REZGÉSEK ÉS HULLÁMOK ........................................................ 3Rezgések ........................................................................................... 31. § Harmonikus rezgések szuperpozíciója. Rezgések felbontása 4

1.1 Egyirányú rezgések összetevése ...................................... 51.2 Egymásra merőleges rezgések ö ssz e tev ése ................... 91. 3 Rezgések felbontása. Fourier t é t e l e ................................ 11

2. § Rezgések dinamikája ................................................................ 142.1 Harmonikus rezgőmozgás ................................................ 142.2 Exponenciálisan csillapodó rezgések .............................. 152.3 Kényszerrezgés; rezonancia ........................................... 1~2.4 Csatolt re z g é s e k ................................................................... 22

Rugalmas hullám ok............................................................................ 243. § Lökéshullámok ................................................................ .. 26

3.1 Terjedési sebesség ............................................................. 263.1.1 Transzverzális zavar terjedése húrban ................ 263.1. 2 Longitudinális hullám rudban vagy húrban ........... 283.1 .3 Longitudinális hullám folyadékban és gázban . . . 30

3. 2 A hullámfüggvény ................................................................ 313.3 Energiaterjedés lökéshullámban ..................................... 323.4 Interferencia; hullámok visszaverődése . . . ................ 363. 5 Kvázisztatikus deformáció, mint rugalmas hullám

interferenciájának határesete ........................................... 424. § Harmonikus hullámok ............................................................. 45

4.1 Hullámfüggvény ................................................................... 454.2 Energiaviszonyok, energiaterjedés ................................ 464. 3 Harmonikus hullámok visszaverődése. .Állóhullámok . . 52

5. § Többdimenziós hullámok ........................................................ 585.1 A többdimenziós hullámjelenségek; tapasztalati

tö rvények ................................................................................ 615.1.1 In te rfe ren c ia ................................................................ 615.1.2 Hullámok e lh a j lá s a ..................................................... 625.1.3 Visszaverődés ............................................................. 63

' M l -

5.1.4 Törés ........................................................................... 645.2 A Huygens- és a Huygens - Fresnel-elv ........................ 655.3 Doppler-effektus; fejhullám ........................................... 685.4 Diszperzió; fázis- és csoportsebesség ........................... 725.5 Hangtan ................................................................................ 75

6. 8 A fényhullám ........................................................................... 796.1 A fény terjedési sebessége ................................................ 796.2 A fény hullámtermészete ................................................... 82

H. RELATÍV IS ZTIKUS MECHANIKA ........................................... 871. S Éter-hipotézis, Michelson-kisérlet. A speciális relativitás

elve ..................... ............................................... ........................ 872. 8 A Lorentz-transzformáció ...................................................... 943. 8 Relativisztikus kinematika ...................................................... 98

3.1 Egyidejűség; okság .............................................................. 983.2 Idő-dilatáció ........................................................................ 1003. 3 Távolság-kontrakció ..................................................... 1023.4 Sebességtranszformáció ................................................... 103

4. 8 Relativisztikus dinamika ...................................................... 1074.1 A kölcsönhatás törvénye; tömeg, im pulzus...................... 1074.2 Newton n. törvényének relativisztikus a la k ja ................ 1124.3 Az erő transzformációja .................................................... 1144.4 Energia ................................................................................ 116

m . HŐTAN .............................................................................................. 1231. I Empirikus hőmérséklet, állapotegyenlet.............................. 123

1.1 Empirikus hőmérsékleti skálák ......................................... 1231.2 Gay-Lussac törvénye; az ideálisgáz-skála ................... 1261.3 Állapotegyenletek ................................................................ 130

1.3.1 Ideális gáz ................................................................... 1311.3.2 Reális gázok ................................................................ 1341.3.3 Kondenzált közegek ................................................... 135

2. § Az anyag molekuláris szerkezete, a molekuláris modellalapfeltevései ........................................................................... 141

2.1 Az atomok és molekulák létezésére utaló tapasztalatok 1412.2 A molekulák mérete ........................................................... 1442.3 Brown-mozgás, hőmozgás; a kinetikus gázmodell

feltevései .............................................................................. 1462.4 Felületi feszültség: a molekuláris kölcsönhatás

potenciális energiája ........................................................... 1472.4.1 A lapjelenségek.............................................................. 1472.4.2 Mennyiségi összefüggések; felületi feszültség,

felületi energia ........................................................... 1482.4. 3 A felületi energia molekuláris é rte lm e zése ........... 1532.4 .4 Határfelületi energia, illeszkedési szög, hajszál-

csövesség ................................................................... 155

- 3 78 -

3. § A termodinamika I. főtétele ................................................... 1593.1 A belsőenergia értelmezése; az I. főtétel általános

megfogalmazása ................................................................... 1593.2 Az I. főtétel matematikai megfogalmazása ................... 162

3.2.1 Rendezett és rendezetlen energiaközlés ................ 1623.2.2 Első tájékozódás a belsőenergia állapotfüggésének

jellegéről; melegités ................................................ 1653.2.3 Melegités-mérleg; a hőmérséklet általános fogalma 166

3. 3 Kondenzált közegek belsőenergiája ................................ 1683.3.1 A belsőenergia hőmérsékletfüggésének mennyiségi

meghatározása súrlódási kalorim éterrel .............. 1683.3.2 Keverési kaloriméter; a Dulong - Petit-törvény . 1703. 3.3 Entalpia; izobár fajhő .............................................. 1733. 3.4 A belsőenergia feszültségfilggése ........................... 175

3.4 Gázok belsőenergiája ........................................................ 1783.4.1 Gázok fajhői ................................................................ 1783.4.2 Szabadexpanzió és fojtás; az entalpia és belső­

energia nyomás- ill. térfogatfüggése...................... 1823.4.3 Ideális gáz belsőenergiája.; összefüggés az izokór

és izobár fajhő között; kvázisztatikua izoterm állapotváltozás ........................................................... 190

3.4.4 Kvázisztatikua adiabatikus állapotváltozás; adlabaták 1923. 5 A belsőenergiára vonatkozó tapasztlatok összefoglalása 1973.6 A belsőenergia és entalpia változása halmazállapot­

változásnál ........................................................................ . 2034. § Az állapotegyenletek és a belsőenergia kvantitatív

molekuláris értelmezése ........................................................ 2044.1 Ideális gáz ........................................................................... 204

4.1 .1 Ideális gáz nyomása; a hőmérséklet gázkinetikai jelentése ..................................................................... 204

4.1 .2 Ideális gáz belsőenergiája; az ekvipartició törvénye 2074.1 .3 Gázok fajhőjének értelmezése az ekvipartició

a la p já n ............. ............................................................. 2094.1 .4 Gázok szabadsági fokainak befagyása és kiolvadása 211

4 .2 Kondenzált testek ............. .. ............................................... 2124. 2.1 Szilárd testek rugalmas viselkedésének atomos

m o d e llje ................................ .. ............... ..................... 2124.2 .2 Szilárd testek fajhője ............................................. . 2144 .2 . 3 Egyszerű kép a kondenzált testek hőtágulásáról . . 215

4.3 A Maxwell - Boltzmann-sebességeloszlás ...................... 2154.3 .1 Valószínűségi eloszlás, az eloszlás sürüség-

függvénye ..................................................................... 2154 .3 .2 Mechanikai testek sokaságának sebességeloszlása 2184. 3.3 Matematikai kitérés a Gauss-függvény kezelésére 220

- 379 -

4 .3 .4 A sebességkomponensre és sebességnagyságravonatkozó Maxwell - Boltzmann-elosfclás ...................222

4. 3. 5 A Stern-kisérlet ................................................ .. .......... 2254.4 Koncentrációeloszlás e rő té rb e n ..............................................226

4.4 .1 A barometrikus magasságformula molekuláris értelmezése ......................................................................226

4 .4 .2 A Van dér Waals-egyenlet értelmezése; reálisgázok belsőenergiája ......................................................229

4. 5 Boltzmann-eloszlás oszcillátorokra; Planck hipotézise 2304. 5.1 Oszcillátor-sokaság energia-szerinti eloszlása . . 2304. 5.2 Kvantált energiájú oszcillátorok .............................. .....2334. 5.3 Összefüggés az oszcillátor frekvenciája és energia­

lépcsője között: a Planck-formula ........................ .....2374 .6 További kvantumfeltevések .............................................. .....239

4 .6 .1 Miért nem gerjesztődik az atom? ........................... .... 2404. 6.2 Rotációs energia ...................................................... .... 2404. 6.3 Tartályba zárt molekula ........................................... .....242

5. § Reverzibilis és irreverzibilis folyamatok; a termodinamikaII. főtételének fenomenológikus megfogalmazása ...................243

5.1 Irreverzibilitás; reverzibilitás mint ideális határeset . 2435.2 Erőgépek és hűtőgépek ...................................................... .... 245

5.2.1 Erőgép fogalma ........................................................... .... 2455.2.2 Ideális Joule-gép ...................................................... .....2465.2.3 Termikus hatásfok, veszteséghányad.......................... 2505.2.4 Erőgép átfordítása hűtőgéppé . . ................................ 253

5.3 Az ideális Carnot-gép ...................................................... .... 2555. 3.1 Reverzibilisen hűtőgéppé forditható erőgép;

ideális Carnot-gép Carnot körfolyamattal ........... .... 2555.3.2 Carnot-gép hőcserélős Stirling-folyamattal . . . . 257

5.4 Örökmozgók; a termodinamikai hőmérséklet-skála . . . 259 5.4^1 Próbálkozás másodfajú örökmozgó konstruálásával 2595.4.2 A termodinamika II. főtételének fenomenológikus

megfogalmazása ...................................................... .....2605.4. 3 A termodinamikai hőmérséklet-skála ................... .... 261

6. § A n. főtétel statisztikai megfogalmazása; e n tró p ia ........... .....2626.1 A véletlen mint a folyamatok irányának szabályozója . . 262

6.1.1 Szimulációs játék a k e v e re d é s re .............................. .....2626.1.2 Statisztikus ingadozás .............................................. .....265

6.2 Osztozkodás az energián ................................................... .....2676.2.1 Energiaeloszlás kialakulásának szimulálása . . . . 2676.2.2 Az energiaeloszlás kialakulásának statisztikai

értelmezése ..................................................................... 2706. 2.3 Az energiaszivárgás iránya ...................................... .... 271

- 3SÜ -

6. 3 A termodinamika II. főtételének statisztikai meg­fogalmazása; statisztikus hőmérséklet és entrópia; a III. f ő t é te l ........................................................................... 273

6.3.1 A II. főtétel általános statisztikai megfogalmazása 2736.3.2 Statisztikus hőmérséklet ........................................... 2746.3.3 Statisztikus entrópia; a II. főtétel statisztikus

alakjának matematikai megfogalmazása ................ 2766.3.4 A III. főtétel ................................................................ 2776.3 .3 Erőgépek maximális hatásfoka; a termodinamikai

és a statisztikus hőmérséklet kapcsolata .............. 2786.3 .6 Termodinamikai entrópia ......................................... 279

6.4 Az általános Boltzmann-eloszlás; a környezetével statisztikus egyensúlyban levő fizikai rendszer entrópiája ........................................................................... 281

6.4.1 Termosztátban levő rendszer energiafluktuációi,az általános Boltzmann-elosziás ........................... 281

6.4.2 Az entrópia és a rendszer átlagenergiájához tartozó mikroállapot valószínűségének kapcsolata ........... 284

6.4. 3 A környezetével statisztikus egyensúlyban levő kisrendszer entrópiája ................................................... 286

6.4 .4 Állapotsürüség; kapcsolat az energia- és impulzus­eloszlás sűrűségfüggvényével ................................ 290

6. 5 Az entrópia térfogatfüggése .............................................. 2936 .5 .1 Izentróp állapotváltozás ........................................... 2936.5.2 Entrópiaváltozás meghatározása makroszkopikus

adatokból ...................................................................... 2946. 5.3 Példák konkrét rendszerek entrópiaváltozásának

k isz á m o lá sá ra .............................................................. 2956.5 .4 Az entrópia térfogatfüggésének mikroszkopikus

értelm ezése ................................................................. 2996. 5.5 Gumiszalag entrópiájának hosszuságfüggése . . . . 300

6.6 Nyilt rendszer irreverzibilis folyamatai ...................... 3016.6.1 Egyenlőtlenségek termikus zárt és termikusán

rögzített rendszer en trópiaváltozására................... 3016.6.2 Szabadenergia és szabadentalpia . . ......................... 3036. 6.3 Az energiaminimum elve mint a II. főtétel követ­

kezménye ...................................................................... 3066. 7 Az I. főtétel homogén közeg reverzibilis állapot-

változásaira érvényes átfogalmazásai ........................... 3077. § Fázisátalakulások; kémiai potenciál ................................... 309

7.1 Átalakulási hőmérséklet, átalakulási hő ......................... 3097.2 Fázisegyensúly ...................................... ............................. 312

7.2.1 Folyadék - gőz-izotermák ......................................... 3127.2.2 Párolgás és f o r r á s ...................................................... 315

- 381 -

7.2.3 Tulhevités, tultelités, tu lh ií té s ................................ 3167.2 .4 Szublimáció; fázisdiagram, hármaspont .............. 318

7. 3 Entrőpiaváltozás fázisátalakulásnál; kémiai potenciál . 3207.3.1 Entrópia változás meghatározása a fázisátalakulási

hőből ........................................................................... 3207.3.2 Kémiai potenciál ................ . ..................................... 3217. 3.3 A Clausius-Clapeyron e g y e n le t................................ 322

7.4 Az I. főtétel mennyiségi megfogalmazása anyagszerke­zeti változással járó folyamatokra ................................ 325

7. 5 Kritikus hőmérséklet; gázok cseppfolyósitása .............. 3277. 5.1 Kritikus izoterma ...................................................... 3277. 5.2 A fázisszétválás értelm ezése a II. főtétel alapján . 3287 .5 .3 Cseppfolyósitás kompresszióval; halmazállapot­

változáson alapuló hűtőgépek ................................ 3307.5 .4 Alacsony kritikus hőmérsékletű gázok cseppfolyó­

sitása . ......................................................................... 3348. 9 Többkomponensü rendszerek; konfigurációs entrópia . . . 336

8.1 Ideális gázkeverékek ........................................................... 3368.1 .1 Konfigurációs entrópia ........................................... 3368.1.2 Ideális gáz entrópiája és szabadenergiája ........... 340

8.2 Oldatok .................................................................................... 3418.2.1 Híg oldatok szabadentalplája ................................... 3428.2 .2 Fagyáspont-cspkkenés, forráspont-emelkedés . . 3438.2 .3 Gázok abszorpció ja ...................................................... 3458.2 .4 Az adszorpcióról ......................................................... 346

8.3 Kémiai folyamatok egyensú lya ........................................... 3478.3 .1 A tömeghatás törvénye .............................................. 3478.3 .2 A kötési energia és az állapotstírüség befolyása

a kémiai folyamat Irányára ...................................... 3518.3 .3 Egy numerikus példa a tömeghatás törvényének

alkalmazására ........................................................... 3539. S T ranszport-jelenségek.............................................................. 357

9.1 Áram és áramsürüség; konvektiv és konduktív transzport 3579.2 Diffúzió ................................................................................. 361

9.2.1 Átlagos szabad uthossz és hatáskeresztmetszet . . 3619.2.2 Stacionárius diffúzió; Fióktörvénye ...................... 3639.2 .3 Diffúzió porózus falon át ........................................... 3659.2 .4 Ozmózis ...................................................................... 3669.2 .5 Diffúziós légszivattyú ................................................. 368

9.3 Hővezetés ............................................................................ 3699. 3.1 A stacionárius hővezetés tapasztalati törvényei . . 3699.3.2 Hőátadás ...................................................................... 3719.3 .3 A hősugárzásról ........................................ .. 3739. 3.4 A hőáram lásről ........................................................... 373

9.4 Belső súrlódás ...................................................................... 373- 382 -

A jegyzet tartalmáért a szerzők felelnek. Megjelent a Nemzeti Tankönyvkiadó Rt. műszaki gondozásában

Felelős főszerkesztő; Palojtay Mária Műszaki szerkesztő: Dobó Ferencné

Terjedelem: 33,6 (A/5) ív, 192 ábrával 13. változatlan kiadás- 1997

r J 3-1137

Készült a Dabas-Jegyzet Kft-ben Felelős vezető: Marosi György ügyvezető igazgató

Munkaszám: 97-0374