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de 24 07/05/2013 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO 00076 UFPS

CURSO: CÁLCULO INTEGRAL

UNIDAD 1

MODELOS MATEMÁTICOS

FORMULACIÓN, ANÁLISIS Y APLICACIÓN

CONTENIDO

1.1 INTRODUCCIÓN

1.2 FUNCIONES O ECUACIONES 1.2.1 EVALUAR UNA FUNCIÓN

1.2.2 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

1.2.3 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

1.2.4 DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES

1.3 FORMULACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS MEDIANTE

FUNCIONES

1.3.1 CÁLCULO DE MODELOS MATEMÁTICOS PARA MAGNITUDES VARIABLES

QUE CAMBIAN CON EL TIEMPO

1.3.1.1 EJEMPLO N° 1 Función polinómica cúbica

1.3.1.2 EJEMPLO N° 2 Función raíz cuadrada

1.3-2 FUNCIONES COMPUESTAS MUY UTILIZADAS EN ELECTRICIDAD Y

ELECTRÓNICA

1.3.2.1 FUNCIONES NO PERIÓDICAS

1.3-2.1.1 EJEMPLO N° 3 Función compuesta lineal y trigonométrica

1.3.2.2.2 EJEMPLO N° 4 Función exponencial

1.3.2.2 FUNCIONES PERIÓDICAS

1.3.2.2.1 EJEMPLO N° 5 Función triangular

1.3.2.2.2 EJEMPLO N° 6 Función compuesta (cuadrada y lineal)

1.3.2.2.3 EJEMPLO N° 7 Función trigonométrica rectificada

1.3.2.2.4 EJEMPLO N° 8 Función exponencial


UNIDAD 1

MODELOS MATEMÁTICOS

FORMULACIÓN, ANÁLISIS Y APLICACIÓN

1.1 INTRODUCCIÓN

Las grandes dificultades que afronta buena parte de los estudiantes de la Facultad de Ingeniería

de la universidad Francisco de Paula Santander (UFPS) en su proceso de formación en el área de

matemáticas radica, principalmente, en la presencia de algunas deficiencias en los conceptos

utilizados al pasar de la aritmética al álgebra(matemáticas del bachillerato), y del álgebra al

cálculo ( matemáticas universitarias).Por esta razón se hace necesario producir documentos que

hagan énfasis en los conceptos anteriormente mencionados para que el estudiante, con su

respectiva interpretación y adecuada simulación, refuerce los conceptos adquiridos en los cursos

de matemáticas desarrollados en la UFPS y, al mismo tiempo, para que una buena cantidad de

estudiantes pueda contar con un material bibliográfico que le sirva como referencia, a fin de

suplir alguna deficiencia o problema o inquietud que se le haya presentado en el cubrimiento de

los temas.

Estas dificultades que afrontan los estudiantes en los cursos de matemáticas y circuitos eléctricos,

en relación con la aplicación e interpretación de los modelos matemáticos motivan la

presentación de este documento, el cual tiene el propósito de servir como una introducción a los

cursos de cálculo y de circuitos eléctricos, y como una referencia para la respuesta a algunas

inquietudes que surgen en el tratamiento de los temas propios de la matemática y de algunos

cursos en el ciclo de formación profesional de la facultad de Ingeniería en la UFPS.

Las deficiencias de los estudiantes se hacen notorias cuando pasan de los procesos analíticos

literales a los procesos numéricos en el campo de la aplicación de las matemáticas. Por lo tanto,

el documento centra su atención en el concepto fundamental de función, el modelo matemático

que lo representa, el lugar geométrico o gráfica que suministra mayor información acerca del

comportamiento de la variable dependiente o función, y en la propia evaluación del modelo para

un valor determinado de la variable independiente como una aplicación a los problemas de

ingeniería.

En cuanto a la metodología utilizada en el documento, éste se inicia con algunas definiciones

sobre el concepto de función, aplicado a la relación de variables físicas como el volumen de

líquidos contenidos en recipientes de diferentes formas, las dimensiones variables y constantes de

los recipientes y lógicamente relacionada con el tiempo. Posteriormente, y mediante el desarrollo

de ocho ejemplos, presenta, en algunos casos, una manera de determinar los modelos

matemáticos, su representación gráfica, la evaluación de las funciones y de su primera derivada.

Estos ejemplos están conformados por funciones compuestas, continuas y discontinuas,

periódicas y no periódicas, que a menudo se presentan en las áreas de electricidad y electrónica

con las variables voltaje, corriente y potencia.


Debido a que en los fenómenos eléctricos los cambios en los niveles de energía pueden ocurrir en

tiempos relativamente muy cortos y que estos tiempos se pueden medir con instrumentos

desarrollados por la tecnología actualizada, se hace necesario profundizar en el estudio de los

fenómenos transitorios en el área de electricidad y electrónica, por ello en este documento, se

evalúan los modelos matemáticos utilizando diferentes unidades de tiempo que van desde las

horas hasta los picosegundos.

Finalmente, la asimilación de este documento por parte del estudiante, le permitirá conocer más

en detalle la terminología y las notaciones utilizadas en las aplicaciones de las matemáticas a los

problemas de ingeniería, así como la oportunidad de adquirir destrezas en el trabajo de desarrollo

algebraico, lo que redunda en una habilidad para asimilar más fácilmente los conceptos de las

diferentes asignaturas del ciclo de su formación profesional como ingeniero.

1.2 FUNCIONES O ECUACIONES

Muchas relaciones usuales involucran dos variables de tal modo que una depende de la otra, por

ejemplo, el área de un círculo y el radio del mismo. Esta relación es expresada mediante la

ecuación A = π * r2

, en donde el valor de A depende del valor elegido para r.

El área del círculo estará representada por la variable A (dependiente, unidades cuadradas)

El radio del círculo estará representado por la variable r (independiente, unidades lineales)

El término π = 3.1416, es una constante (adimensional)

Sí a cada valor de la variable independiente, le corresponde un solo valor de la variable

dependiente, a la ecuación o relación A = π * r2

se le da el nombre de función, se simboliza por:

A = f(r), o, A = g(r), o, A = h(r) y se lee que A es función de r. Otra notación es: A(r), la cual

significa que A depende de r.

1.2.1 EVALUAR UNA FUNCIÓN O ECUACIÓN

Evaluar una función es encontrar el valor de la variable dependiente para un valor dado de la

variable independiente.

Ejemplos:

1º Cantidades adimensionales. Dada la función A = π * r2,

Determine el valor de A para un valor de r = 1.5 ; Hallar A(1.5).

Solución: A(1.5) = π * (1.5)2

= 7.068583471, dependiendo de la precisión que se requiere, se

puede aproximar a 7.07

2º Cantidades dimensionadas: Dada la función A = π * r2

, metros2, con r en metros.

Determine el valor de A para un valor de r = 1.2 mts ; Hallar A(1.5 m).

Solución: A(1.2 m) = π * (1.2)2

= 4.523893421, mts2 dependiendo de la precisión que se

requiere, se puede aproximar a 4.53 mts2. Posibles respuestas: A = 4.53x10

– 6

Kmts2

= 4.53x10 4

ctm2


3º Cantidades paramétricas. Dada la función A = π * r2,

Determine el valor de A para un valor de r = a ; Hallar A(a).

Solución: A(a) = π * (a)2

. Respuesta: A= πa2

1.2.2 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN O ECUACIÓN

La gráfica de una ecuación en dos variables A y r es el conjunto de todos los puntos ( r , A ) en el

plano que satisfacen la ecuación.

A continuación en la figura N° 1, se encuentra la gráfica de la función f o sea la gráfica de la

ecuación A = π * r2

.

El dominio implícito de la ecuación corresponde a todo el conjunto de números reales para los

que resulta definida la función o variable dependiente A; Son todos los valores posibles que toma

la variable independiente en el modelo matemático para la cual existe el valor de la variable

dependiente o función. (- ∞ r ∞) aquí r puede tener valores negativos.

El dominio explícito de la ecuación corresponde a todos los valores posibles que toma la variable

independiente en la aplicación del modelo matemático, luego, al aplicar el modelo matemático

para obtener el área de un circulo, no existe explicación física para considerar un radio de valor

negativo, por lo tanto, el modelo matemático solo se aplicará para r 0, constituyéndose esta

expresión en el dominio explícito de la ecuación, en la gráfica de la ecuación corresponde a la

curva de la derecha dibujada en línea llena.

r -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

A= π*r2

28.2 12.5 3.1 0 3.1 12.5 28.2 50.2 78.5

BREVE TABLA DE VALORES

Dominio implícito de la ecuación: - ∞ r ∞

Dominio explícito de la ecuación: 0 r ∞ o r 0

Recorrido o rango de la ecuación: A 0

r 0 r 0

80

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 r

A

Figura N° 1


1.2.3 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

Como la mayoría de los problemas en ingeniería o fenómenos de la naturaleza dependen del

tiempo, utilizaremos a éste como la variable independiente en la mayoría de los ejemplos.

1 POLINÓMICA

ALGEBRAICA

2 RACIONAL

FUNCIONES

ELEMENTALES

3 EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

TRASCENDENTE

4 TRIGONOMÉTRICA

1.2.4 DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES

FUNCION ELEMENTAL: Una función elemental es aquella que se puede expresar en términos de

polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, mediante combinaciones de

sumas, restas, productos, cocientes y composición de estas funciones.

FUNCIÓN ALGEBRAICA: Una función algebraica es aquella que puede expresarse mediante un

número finito de sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces conteniendo potencias t n. La

evaluación de la función algebraica, se efectúa mediante el proceso de sumas, restas, divisiones,

productos y no requiere el uso obligatorio de la calculadora.

1 FUNCIÓN ALGEBRAICA: f(t) = an t n + an-1 t

n-1 + an-2 t

n-2 + …….. + a2 t

2 + a1 t

+ ao,

Dónde: an ≠ 0, n es un número entero positivo y es el grado del polinomio

Los términos ai reciben el nombre de coeficientes, ao es el término constante.

Ejemplos: f(t) = t 2 + 3 t

+ 1, polinomio de segundo grado

i(t) = 3 t , la corriente es un polinomio de primer grado

v(t) = 5 , el voltaje es un polinomio de grado cero o una constante

2 FUNCIÓN RACIONAL: Una función racional es un cociente de dos polinomios; f(t) = )(

)(

th

tg ,

dónde: g(t) y h(t) son polinomios.

Ejemplo: En electricidad: Sí p(t) = 2 t - ⅓ t 2 y v(t) = 12 - 2 t , entonces:

i(t) = (t)

(t)

v

p=

t

tt2

2 - 12

- 2 31

Luego la corriente i(t) es una función racional.

p(t) es un polinomio de segundo grado, v(t) es un polinomio de primer grado


FUNCIÓN TRANSCENDENTE: Una función trascendente es aquella que puede expresarse mediante

funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas; es toda aquella función que no es

algebraica, La evaluación de la función trascendente, se efectúa mediante el uso obligatorio de la

calculadora.

(3 EXPONENCIAL Y LOGARITMICA: Una función exponencial es una función de la forma

f(t) = at , en donde la base a es un número real fijo, una constante.

Nótese que en la función exponencial la variable está en el exponente, mientras que en la función

polinómica t n , la variable está en la base.

Las bases más utilizadas son: a = 10 y a = e = 2.718281828459….luego las funciones serán:

f(t) = 10t

, f(t) = et

Una función logarítmica es la función inversa de la función exponencial, esto es: f(t) = loga(t).

El logaritmo en base a del número positivo t , es el exponente a la que hay que elevar a para

obtener t

Por lo tanto, se puede escribir: si f(t) = loga(t), entonces: (t)f

a = t

Cuando a = 10 , recibe el nombre de logaritmo decimal : f(t) = log10(t) o f(t) = log(t)

Cuando a = e , recibe el nombre de logaritmo natural : f(t) = loge(t) o f(t) = ln(t)

4 TRIGONOMÉTRICA: Las funciones trigonométricas son derivadas de la trigonometría

elemental, en dónde se definen seis funciones trigonométricas básicas de un ángulo agudo , en

un triángulo rectángulo, como las razones entre pares de lados del triángulo, posteriormente se

generaliza esta definición para ángulos dirigidos de tamaño arbitrario.

Las funciones básicas son: Sen(), Cos(), tan(), Sec(), Csc(), Cot(), en donde , es el

ángulo en radianes o en grados.

Para ángulos mayores al agudo en el movimiento circular: = w t = 2πf t = T

2 t , en donde:

w es la frecuencia o velocidad angular en rad./seg.

π = 3.1416 radianes, f es la frecuencia del movimiento circular en ciclos/ seg. o vueltas/seg.

T es el periodo en segundos por ciclo o segundos por vuelta, lo anterior significa que la función

trigonométrica es periódica o sea que se repite cada periodo de tiempo.

Por lo tanto las funciones en el dominio del tiempo quedarán:

f(t) = Sen(w t), f(t) = Cos(w t), f(t) = Tan(w t), f(t) = Sec(w t), f(t) = Csc(w t), f(t) = Cot(w t)

Las funciones trigonométricas inversas serán:

f(t) = Sen-1

( t), f(t) = Cos-1

( t), f(t) = Tan-1

( t), f(t) = Sec-1

( t), f(t) = Csc-1

( t), f(t) = Cot-1

(w t)


Nota: Para funciones polinómicas de grado alto y varias de las funciones transcendentales,

despejar la variable independiente es en la mayoría de los casos bastante difícil y dispendioso (en

algunos casos es imposible), por lo tanto, para evaluar una función implícita, es preferible utilizar

un método numérico, mediante alguna programa computacional o utilizando el software de

Matlab.

1.3 FORMULACIÓN DE MODELOS MATEMATICOS MEDIANTE

FUNCIONES

1.3.1 CALCULO DE MODELOS MATEMÁTICOS PARA MAGNITUDES VARIABLES

QUE CAMBIAN CON EL TIEMPO

1.3.1.1 EJEMPLO Nº 1 Polinómica (cúbica)

En un depósito cónico, sí sale o entra un líquido, el volumen del depósito V, el radio r, y la altura

h del nivel del líquido son todas magnitudes variables que dependen del tiempo t.

En la figura N° 2, se observan dos instantes diferentes del recipiente cónico, en donde se

presentan los respectivos volúmenes del líquido contenido y las diferentes magnitudes variables

del nivel del líquido y constantes del recipiente cónico

ESPECIFÍCACIONES:

Sea H la altura del recipiente cónico, Magnitud Constante

Sea R el radio del área transversal del recipiente cónico, Magnitud Constante

Sea V el volumen del líquido contenido en el recipiente, Magnitud Variable

Sea h la altura del nivel superior del líquido contenido, Magnitud Variable

Sea r el radio del área del nivel superior del líquido contenido, Magnitud Variable

Formulación u obtención del modelo: Para cualquiera de los dos instantes presentados, el

volumen del líquido contenido se puede hallar mediante la fórmula:

V

r

R

H h

Instante t1

V h

r

R

H

Instante t2

Figura N° 2


V = ⅓ área de laπ base * altura = ⅓ π r2

h, encontrándose de esta manera una ecuación que nos

de el volumen del líquido contenido en función del radio r, y la altura h del nivel del líquido.

Modelo Matemático: V= f(r,h) ; V= ⅓ π r2

h (1)

En algunos casos habrá necesidad de expresar el volumen en función de una de las dos variables

solamente, para ello encontraremos la relación entre el radio y la altura a partir de los datos del

recipiente las cuales son constantes. Si se dibuja un corte transversal vertical del depósito, figura

N° 3, podremos encontrar las relaciones entre las diferentes variables:

Razones o ritmos de cambio:

A partir de las ecuaciones (1), (2) y (3) podremos encontrar las diferentes razones o ritmos de

cambio de cada una de las variables consideradas, por aplicación de la derivada con respecto al

tiempo a cada una de las ecuaciones.

Tomando la derivada con respecto al tiempo de la ecuación (1), tendremos:

t d

dV= ⅓ π [ 2 r h

t d

d r + r

2

t d

d h] , Notación:

t d

dV = f( r, h,

t d

d r,

t d

d h) , en donde:

t d

dV es la razón de cambio del volumen del líquido.

t d

d r es la razón de cambio del radio del área del nivel superior del líquido.

t d

d h es la razón de cambio de la altura del nivel superior del líquido.


t d

dV = π

2

2

H

R h

2

t d

d h, Notación:

t d

dV= f(h,

t d

d h), luego la función inversa es:

r

R

H h

Corte transversal vertical

Relación de las variables:

tan() = H

R =

h

r, por lo tanto: h =

)θtan(

r y

r = h* tan(), también: h = R

Hr y r =

H

Rh

Luego el volumen puede quedar expresado por:

V = ⅓ π 2

2

H

R h

3 ; V= f(h) (2)

V = ⅓ π R

H r

3 ; V= f(r) (3)

Figura N° 3


t d

d h=

2

2

R

H

2

1

h t d

dV, Notación:

t d

d h= f(h,

t d

dV)


t d

dV = π

R

H r

2

t d

d r , Notación:

t d

dV = f(r,

t d

d r), luego la función inversa es:

t d

d r =

H

R

2

1

r t d

dV, Notación:

t d

d r= f(r,

t d

dV)

Ejemplos numéricos:

Un recipiente cónico tiene 2 mt. de altura y 0.5 mt. de radio en el área transversal, se bombea

agua en el a razón de 0.01 mt3/seg.

1º. ¿A qué ritmo está subiendo el nivel del agua cuando la altura es 0.8 mt.

Datos del problema: H = 2 mt, R = 0.5 mt, t d

dV = 0.01 mt

3/seg , ¿Cuánto vale

t d

d h; para

cuando h = 0.8 mt

Solución: t d

d h=

2

2

R

H

2

1

h t d

dV=

2

2

(0.5)

2

2(0.8)

1(0.01) = 0.0795 mt/seg.

2º.¿A qué ritmo está aumentando el radio del área del nivel del agua cuando el mismo está en 0.2

mt.

Datos del problema: H = 2 mt, R = 0.5 mt, t d

dV = 0.01 mt

3/seg , ¿Cuánto vale

t d

d r; para

cuando r = 0.2 mt

Solución: t d

d r =

H

R

2

1

r t d

dV=

2

0.5

2(0.2)

1(0.01) = 0.01989 mt/seg.

3º. ¿Cuales son todas las dimensiones del recipiente cónico?

V= ⅓ π R2

H = ⅓ π (0.5)2

(2) = 0.5235 mt3

tan() = H

R=

2

5.0= 0.25 , = 14.03º , r = 0.25 h , h = 4 r


4º. ¿Cuánto demora el recipiente en llenarse si éste estaba vacío cuando empezó a entrar el

líquido?

Desarrollar la ecuación diferencial: t d

dV = 0.01 mt

3/seg

Separando los diferenciales: dV = 0.01 dt , integrando a ambos lados de la ecuación,

tendremos:

V

V0

d = t

t0

d )01.0( ; V = 0.01 t , o sea que t =

seg.mt 0.01

mt 5235.03

3

= 52.35 seg.

Razones de cambio entre las dimensiones del recipiente:

A partir de las ecuaciones (1), (2) y (3) podremos encontrar las diferentes razones de cambio

entre las diferentes variables consideradas del recipiente, por aplicación de la derivada con

respecto a cada una de las variables.

Tomando la derivada con respecto a r de la ecuación (1), tendremos:

r

V

d

d= ⅓ π [ 2 r h

r

r

d

d + r

2

r

h

d

d] , Notación:

r

V

d

d = f(r, h ,

r

h

d

d), en donde:

r

V

d

d es la razón de cambio del volumen del líquido con respecto al radio del área del nivel

superior.

r

r

d

d = 1, es la razón de cambio del radio del área del nivel superior del líquido con respecto a si

mismo.

r

h

d

d es la razón de cambio de la altura del nivel superior del líquido con respecto a su radio.

Tomando la derivada con respecto a la altura h del nivel del líquido en la ecuación (2),

tendremos:

h

V

d

d = π

2

2

H

R h

2

h

h

d

d, o sea que,

h

V

d

d = π

2

2

H

R h

2 , Notación:

h

V

d

d= f(h), (A)

Tomando la derivada con respecto al radio del área del nivel superior en la ecuación (3),

tendremos:

r

V

d

d = π

R

H r

2

r

r

d

d , o sea que,

r

V

d

d = π

R

H r

2 , Notación:

r

V

d

d = f(r), (B)


Diferenciales, ecuaciones diferenciales y su respectiva solución:

Las ecuaciones (A) y (B) obtenidas en el proceso inmediatamente anterior, son ecuaciones

diferenciales, en las cuales cada una está en función de dos variables solamente. Escrita éstas

como diferenciales, tendremos:

(A) dV = π

h2

dh (B) dV = π

r

2 dr

Desarrollando las ecuaciones diferenciales podremos volver a las funciones iniciales o primitivas.

Separando las variables e integrando a ambos lados de la ecuación (A), tendremos:

(A) V

V0

d = h

hh0

2

2

2

d H

R ; V = ⅓ π

2

2

H

R h

3

Separando las variables e integrando a ambos lados de la ecuación (B), tendremos:

(B) V

V0

d = r

rr0

2 d R

H ; V = ⅓ π

R

H r

3

1.3.1.2 EJEMPLO Nº 2º. Función raíz cuadrada

En la ribera de un río de 100 metros de ancho hay una planta eléctrica, en la otra ribera, a 2

kmts, corriente arriba, hay una fábrica. Se desea tender cables entre la planta eléctrica y la

fábrica de tal manera que parte de ellos vayan bajo tierra y parte bajo el agua como lo indica

la figura N° 4.

Tender cables por tierra cuesta $ 30000, por cada kilómetro y hacerlo bajo el agua cuesta

$ 50000 por cada kilómetro.

Preguntas:

1°. Hallar una ecuación para la longitud total de los cables l en función de la distancia x (variable

indicada en la figura)

O

(2000 – x)

AGUA

FÁBRICA

100 mts

x 2 kmts

PLANTA

ELÉCTRICA

Figura N° 4


2°. Determinar el valor de x que produciría la distancia más corta entre la planta y la fábrica.

3º. Hallar una ecuación para expresar el costo total del tendido de los cables c , en función de la

distancia x (variable indicada en la figura)

4º. Determinar el valor de x que producirá el menor costo del tendido de cables

Determinar la longitud del tendido bajo agua y del tendido bajo tierra

Determinar el costo total de la obra

DESARROLLO:

1º. Sea O, el punto donde termina el tendido de cables bajo el agua

Distancias constantes: Ancho del río = 100 mts

Distancia de la planta a la fabrica por la misma ribera = 2000 mts

Distancias variables: PO = Distancia del tendido bajo el agua = 22 100 x

OF = Distancia del tendido bajo tierra = (2000 – x)

Sea l = PO + OF = longitud total del tendido de cables = 22 100 x + (2000 – x)

Luego la ecuación que presenta a la longitud total del tendido de cables en función de la

distancia x, quedará expresado por: l = 22 100 x + (2000 – x)

2º. Encontrar el valor de x, que minimiza la longitud l.

La menor longitud del tendido del cable es una recta entre la planta y la fábrica, o sea , cuando

x = 2000, por lo tanto: l = 22 2000 100 = 2002.4984 mts y el tendido de cables será todo

bajo agua.

3º. El costo total de la obra es: c = PO * 50 $/mt + OF * 30 $/mt, luego el costo total de la obra

en función de la distancia x es: c = 5022 100 x + 30 (2000 – x) ; notación: c = f(x)

A partir de la ecuación obtenida podremos construir la siguiente tabla de valores:

y elaborar la gráfica a continuación, figura N° 5, en donde el costo está en las ordenadas y la

distancia x en las abscisas

x metros 35 40 50 60 70 75 80 90

C costo $ 64247 64185 64090 64030 64003 64000 64003 64026


4º. Para determinar el valor de x que produciría el menor costo de la obra, procederemos de la

manera siguiente:

Tomamos la derivada con respecto a la distancia x, de la ecuación inmediatamente anterior, c

= f(x), la igualamos a cero y encontraremos el valor de x.

Tomando la derivada a ambos lados de la ecuación, tendremos:

x

l

d

d= 50

x

x

d

) 100( d 22 + 30

x

x

d

) - (2000 d =

22 100

50

x

x

- 30 = 0

Igualando a cero la primera derivada, tendremos: 22 100

50

x

x

= 30 , simplificando y

elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación:

25 x2

= 9*1002 + 9*x

2 ; 16 x

2 = 90000 ; x = 75

La longitud del tendido bajo agua será: 22 75 100 = 125 mts

La longitud del tendido bajo tierra será: (2000-75) = 1925 mts

El costo total de la obra será: C = 50 22 75 100 + 30 (2000-75) = 6250 + 57750 = 64000 $

1.3.2 FUNCIONES COMPUESTAS MUY UTILIZADAS EN ELECTRICIDAD Y

ELECTRÓNICA

En electricidad y electrónica algunas veces se presentan señales eléctricas las cuales quedan

completamente descritas mediante la conformación de funciones simples con su respectivo

dominio explícito.

Para evaluar la función en un determinado instante, reemplazamos la variable independiente en la

función a la cual le corresponde el dominio que incluye la variable independiente.

64500 $

C costo $

40 50 60 70 75 80 90 x mts

64000 $

Figura N° 5


1.3.2.1 FUNCIONES NO PERIÓDICAS

1.3.2.1.1 EJEMPLO Nº 3º Función compuesta (Lineal y trigonométrica)

La corriente que circula por una respectiva carga viene expresada por el modelo matemático de la

siguiente señal eléctrica o función compuesta continua:

i1 = (10 – 2.4 t) A, con t en ms, para 0 t 4.166 ms.

iS = f(t) = i2 = 15 Cos(377 t)A , con t en seg. para 4.166ms t 12.5 ms

i3 = - 5 A , para 12.5 ms t 16.66 ms

Periodo T = 2π = 16.66 ms , Frecuencia f = 60 hertz

La función es discontinua en t = 12.5 ms y en t = 16.66 ms

La gráfica de la señal eléctrica se encuentra en la figura N° 6.

Valores instantáneos de la señal:

iS(0) = (10 – 2.4 (0)) A = 10 A , iS(3 ms) = (10 – 2.4 (3)) A = 2.8 A , iS(4.166 ms) = (10 – 2.4 (4.166))

= 0.0016 0 A

iS(4.166 ms) = 15 Cos(377 (4.166x10- 3

)) = 0.0032 0 A , iS(8.333 ms) = 15 Cos(377 (8.333x10- 3

))

= - 14.99 - 15 A

iS(11.6 ms) = 15 Cos(377 (11.6x10- 3

)) = - 4.99 - 5.0 A , iS(12.5 ms) = 15 Cos(377 (12.5x10- 3

))

= 0.00166 0 A

iS(13 ms) = - 5 A , iS(15 ms) = - 5 A , iS(13 ms) = - 5 A

Valores instantáneos de su primera derivada:

Obtenemos la primera derivada de cada una de las ecuaciones en su respectivo dominio:

10 A

iS(t)

- 5 A

- 15 A 0 4.166 8.333 12.5 16.66 t (mseg.)

1 CICLO

wt

0 /2 3/2 2

W = 377 r/s

Figura N° 6


d

) 2.4 - (10 d

t

t = - 2.4

segundo

Amperios ,con t en ms, para 0 t 4.166 ms

O sea : iS´ = f(t)

´ =

t

S

d

d i

d

) t15Cos(377( d

t = - 5655Sen(377 t),

segundo

Amperios con t en seg,

para 4.166 ms t .12.5 ms

d

)5 -( d

t = 0

segundo

Amperios para 12.5 ms t 16.66 ms

Por lo tanto:

Para t entre 0 y 4.166 ms, la corriente se disminuye en 2.4 segundo

Amperios, o sea que se puede expresar:

t

S

d

d i0 t = iS

´(0) = - 2.4

segundo

Amperios ,

t

S

d

d ims 2 t

= iS´(2 ms) = - 2.4

segundo

Amperios

Para t entre 4.166 ms y 12.5 ms, la disminución o aumento de la corriente es variable:

t

S

d

d ims 8 t = iS

´(8 ms) = - 5655Sen(377 (8x10

-3) = - 708.3

segundo

Amperios , disminuye

t

S

d

d ims 10 t

= iS´(10 ms) = - 5655Sen(377 (10x10

-3) = 3324

segundo

Amperios , aumenta

Para t entre 12.5 ms y 16.66 ms, la primera derivada de la función es igual a cero, por lo tanto se

puede expresar:

t

S

d

d ims 3 1t = iS

´(13 ms) = 0

segundo

Amperios

t

S

d

d ims 15 t

= iS´(15 ms) = 0

segundo

Amperios ,

t

S

d

d ims 16 t

= iS´(16 ms) = 0

segundo

Amperios

1.3.2.1.2 EJEMPLO Nº 4º Función exponencial

La potencia absorbida por una respectiva carga viene expresada por el modelo matemático de la

siguiente señal eléctrica o función compuesta continua:

p1 = 10 – 10 e- 2 t VA, con t en seg., para 0 t 4 seg.

pS = f(t) =

p2 = 10 e- 2(t - 4) VA, con t en seg., para 4 seg. t 8 seg.

La función es continua en todos sus intervalos.




para 0 t 4 seg.

pS(0) = (10 – 10 e- 2(0)) = 0 VA , pS(1s) = (10 – 10 e- 2(1)

) = 8.64 VA

pS(4 s) = (10 – 10 e- 2(4)) = 9.99 10 VA

para 4 seg. t 8 seg.

pS(4.5s) = 10 e- 2((4.5) - 4) = 3.678 VA , pS(5 s) = 10 e- 2((5) - 4) = 1.35 VA

pS(8 s) = 10 e- 2((8) - 4) = 0.0033 0 VA


Obtenemos la primera derivada con respecto al tiempo de cada una de las ecuaciones en su

respectivo dominio:

d

)e 10 - (10 d 2 -

t

t

= 20 e- 2 t

segundo

iosVoltiamper ,con t en seg., para 0 t 4 seg.

O sea : pS´ = f(t)

´ =

t

S

d

d p

d

)e 10 ( d 4( 2 -

t

) -t

= - 20 e- 2( t – 4)

segundo

iosVoltiamper ,con t en seg.


Por lo tanto:

Para t entre 0 y 4 seg., se puede expresar:

t

S

d

d p0 t = pS

´(0) =20 e- 2 (0)

= 20 segundo

iosVoltiamper , la potencia aumenta en ese instante

10 VA

5 VA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 t (seg.)

pS(t)

Figura N° 7


t

S

d

d ps 2 t

= pS´(2 s) =20 e- 2 (2)

= 0.366 segundo

iosVoltiamper , la potencia aumenta en ese instante

Para t entre 4 seg. y 8 seg.,

t

S

d

d ps 4.5 t = pS

´(4.5 s) = - 20 e- 2( (4. 5) – 4)

= - 7.35 segundo

iosVoltiamper , la potencia disminuye en ese

instante

t

S

d

d ps 7 t

= pS´(7 s) = - 20 e- 2( (7) – 4)

= - 0.0495 segundo

iosVoltiamper , la potencia disminuye en ese

instante

1.3.2.2 FUNCIONES PERIÓDICAS

1.3.2.2.1 EJEMPLO Nº 5º Función triangular

El voltaje aplicado a una respectiva carga viene expresado por el modelo matemático de la

siguiente señal eléctrica o función compuesta continua y periódica:

Periodo T = 10 ms , Frecuencia f = 100 hertz

v1 = 65 t, v con t en ms, para 0 t 6 ms ;

vS = f(t) = v2 = - 3.335 t + 25.01, v con t en ms, para 6 ms t 8 ms

v3 = 65 t -

650 , v con t en ms, para 8 t 16 ms

La gráfica de la señal eléctrica se encuentra en la figura N° 8 .


vS(0) = 0 v , vS(3ms) = 65 (3) =

615 2.5 v , vS(7ms) = - 3.335(7) + 25.01 = 1.665 v

Si se desea encontrar voltajes instantáneos, para valores de tiempo que están por fuera del

dominio del primer ciclo, se debe obtener el respectivo modelo matemático para ese instante

- 1.67 v

vS (v)

5 v

t(ms)

0 6 8 10 16 18 20

T = 10 ms

Figura N° 8


determinad o utilizar el correspondiente valor del tiempo en el primer ciclo y las funciones

adecuadas.

Por ejemplo: Determinar el valor del voltaje para t = 9 ms.

1º Utilizando el modelo correspondiente: vS(9ms) = 65 (9) -

650 = -

65 - 0.833 v

2º Utilizando el correspondiente valor del tiempo en el primer ciclo, ésto es, t = - 1ms, entonces:

vS(9ms) = 65 (-1) = -

65 - 0.833 v

Determinar el valor del voltaje para t = 15 ms.

1º Utilizando el modelo correspondiente: vS(9ms) = 65 (15) -

650 =

625 v

2º Utilizando el correspondiente valor del tiempo en el primer ciclo, ésto es, t = 5ms, y el valor

del voltaje para t = 15ms será: vS(15ms) = 0.833(5) = 4.165 v.

Determinar el valor del voltaje para t = 17 ms.

1º No se conoce el modelo matemático, para este valor de tiempo

2º Utilizando el correspondiente valor del tiempo en el primer ciclo, esto es, t = 7ms, y el valor

del voltaje para t = 17ms será: vS(17ms) = - 3.335(7) + 25.01 = 1.665 v


Como las funciones simples son solamente rectas inclinadas, entonces sus primeras derivadas

serán constantes en todo su respectivo dominio.

d

)6

5( d

t

t

= 0.833 segundovoltios para 0 t 6 ms

Luego vS´ = f(t)

´ =

t

S

d

d v

d

)25.01 (-3.335 d

t

t = - 3.335

segundovoltios para 6 ms t 8 ms

Significa que para t entre 0 y 6 ms, el voltaje se incrementa en 0.833 segundovoltios , o sea que se puede

expresar: t

S

d

d v0 t = vS

´(0) = 0.833

segundovoltios ,

t

S

d

d vms 2 t

= vS´(2 ms) = 0.833

segundovoltios

Para t entre 6 ms y 8 ms, el voltaje se disminuye en 3.335 segundovoltios , o sea que se puede expresar:


t

S

d

d vms 6.5 t = vS

´(6.5 ms) = - 3.335

segundovoltios ,

t

S

d

d vms 7 t

= vS´(7 ms) = - 3.335

segundovoltios

1.3.2.2.2 EJEMPLO Nº 6º Función compuesta (cuadrada y lineal)

El voltaje aplicado a una respectiva carga viene expresado por el modelo matemático de la

siguiente señal eléctrica o función compuesta discontinua y periódica:

v1 = 10 v, con t en US, para 0 t 5 us

vS = f(t) = v2 = -10 v, con t en US, para 5 us t 5 us

v3 = 0 v, para 10 us t 15 us

Periodo T = 15 us , Frecuencia f = 6.66x10 4

hertz

La función es discontinua para: t = 0, t = 5 us, t = 10 us, t = 15 us y así sucesivamente



vS(1 us) = 10 v , vS(7 us) = - 10 v , vS(11 us) = 0 v


Como las funciones simples son solamente rectas horizontales, entonces sus primeras derivadas

serán iguales a cero en todo el dominio de la función.

d

) (10 d

t = 0

segundovoltios para 0 t 5 us

Luego vS´ = f(t)

´ =

t

S

d

d v

d

)10 (- d

t = - 0

segundovoltios para 5 us t 10 us

d

)0( d

t = 0

segundovoltios para 10 us t 15 us

Por lo tanto se puede expresar que:

- 10 v

10 v

vS(t)

0 5 10 15 20 25 30 t(us)

Figura N° 9


t

S

d

d vms 3 t = vS

´(3 ms) = 0

segundovoltios ,

t

S

d

d vms 7 t

= vS´(7 ms) = 0

segundovoltios

t

S

d

d vms 12 t

= vS´(12 ms) = 0

segundovoltios

1.3.2.2.3 EJEMPLO Nº 7º Función trigonométrica rectificada

El voltaje aplicado a una respectiva carga, voltaje alterno a través de un thiristor, está expresado

por el modelo matemático de la siguiente señal eléctrica o función compuesta discontinua y

periódica:

v1 = 0 v, para 0 t 1.851 ms

vS = f(t) = v2 = 100Sen(377 t ) v, con t en seg, para 1.851 ms t 8.33 ms

v3 = 0 v, para 8.33 ms t 16.666 ms

Periodo T = 16.666 ms , Frecuencia f = 60 hertz

La función es discontinua para: t = 1.851 ms, t = 18.517 ms, t = 35.183 ms y así sucesivamente

La variable tiempo que se presenta en el eje de las abscisas se puede cambiar a la variable

desplazamiento angular mediante la relación siguiente (rad) = w(rad/seg.) * t(seg), por lo tanto, el

modelo matemático para el voltaje en función del desplazamiento angular quedará:

v1 = 0 v, para 0 0.6981 rad.= 92 = 40°

vS = f() = v2 = 100Sen() v, con en rad., para 0.6981 rad.= 92 3.1416 rad. = π

v3 = 0 v, para 3.1416 rad. = π 6.283 rad = 2π


La función es discontinua para: = 92 = 0.6981 rad, =

920 = 6.983 rad, y así sucesivamente


100 v

= 40º = = 0.6981 rad = 377 rad/seg* 1.851mseg.

0 /2 2 5/2 3

1.851 8.33 16.66 24.99

Wt = (rad)

t (mseg.)

vS(t) w = 377 r/s

1 CICLO

Figura N° 10



Para 0 t 1.851 ms., o , para 0 0.6981 rad.= 92

vS(0) = 0 V , vS(1 ms) = 0 V , vS(0.15 rad) = 0 V , vS(0.5 rad) = 0 V

Para: 1.851 ms t 8.333 ms, o, para: 0.6981 rad.= 92 1.5707 rad = π

vS(4.166 ms) = 100Sen(377 (4.166x10-3

) = 99.999 100 V

vS(5. 555 ms) = 100Sen(377 (5.555x10-3

) = 86.61 86.62 V

vS(6.944 ms) = 100Sen(377 (6.944x10-3

) = 50.009 50 V

vS(1.5707 rad) = 100Sen(1.5707 rad) = 99.999 100 V

vS(2.094 rad) = 100Sen(2.094 rad) = 86.62 86.62 V

vS(2.617 rad) = 100Sen(2.617 rad) = 50.08 50 V

Para 8.33 ms t 16.666 ms , o , para 1.5707 rad. = π 6.283 rad = 2π

vS(10 ms) = 0 V , vS(16 ms) = 0 V , vS(2 rad) = 0 V , vS(5 rad) = 0 V



respectivo dominio:

d

(0) d

t = 0

segundovoltios , para 0 t 1.851 ms

vS´ = f(t)

´ =

t

S

d

d v

d

) 100Sen(377 ( d

t

t = 37700Cos(377 t)

segundovoltios ,con t en seg.

para 1.815 ms. t 8.333 ms.

d

(0) d

t = 0

segundovoltios , para 8.333 ms t 16.66 ms

Por lo tanto:

Para t entre 0 y 8.333 ms, y para 8.333 ms t 16.66 ms , se puede expresar:

t

S

d

d vms 1.0 t = vS

´(1.0 ms) = 0

segundovoltios , el voltaje no varía en ese instante

t

S

d

d vms 15 t = vS

´(15 ms) = 0

segundovoltios , el voltaje no varía en ese instante


Para 1.815 ms. t 8.333 ms

t

S

d

d vms 4.166 t = vS

´(4.166 ms) = 37700Cos(377 (4.166x10

- 3) = 8.08

segundovoltios , el voltaje aumenta en

ese instante en 8 voltios por segundo, o, 0.008 voltios por milisegundo, prácticamente no varía

en ese instante.

t

S

d

d vms 555 5. t = vS

´(5. 555 ms) = 37700Cos(377 (5.555x10

- 3) = - 18844.7

segundovoltios , el voltaje

disminuye en ese instante en 18844 voltios por segundo, o 18.8 voltios por milisegundo

t

S

d

d vms 6.944 t = vS

´(6.944 ms) = 37700Cos(377 (6.944x10

- 3) = - 32647.1

segundovoltios , el voltaje

disminuye en ese instante en 32647 voltios por segundo, , o 32.6 voltios por milisegundo

1.3.2.2.4 EJEMPLO Nº 8º Función exponencial

La corriente como respuesta de un circuito RL en serie, excitado con voltaje continuo, está

expresada por el modelo matemático de la siguiente señal eléctrica o función compuesta

discontinua y periódica:

i1 = 10 – 10 e- 2 t A, con t en seg., para 0 t 4 seg.

iS = f(t) = i2 = 0 A, con t en seg., para 4 seg. t 6 seg.


La función es discontinua para t = 4 seg., t = 10 seg. y así sucesivamente


1 CICLO, T = 6 seg.

10 A

5 A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 t (seg.)

iS(t)

Figura N° 11



para 0 t 4 seg.

iS(0) = (10 – 10 e- 2(0)) = 0 A , iS(1s) = (10 – 10 e- 2(1)

) = 8.64 A ,

iS(3. 9 s) = (10 – 10 e- 2(3. 9)) = 9.99 10 A


iS(4. 5s) = 0 A , iS(5 s) = 0 A , pS(5. 5 s) = 0 A

Si se desea encontrar voltajes instantáneos, para valores de tiempo que están por fuera del

dominio del primer ciclo, se debe obtener el respectivo modelo matemático para ese instante

determinado o utilizar el correspondiente valor del tiempo en el primer ciclo y las funciones

adecuadas.

Por ejemplo: Determinar el valor del voltaje para t = 8 s.

1º Utilizando el modelo correspondiente: para el intervalo de 6 seg. t 10 seg. el modelo

correspondiente es: i3 = 10 – 10 e- 2( t – 6) A, con t en seg., o sea que:

iS(8 s) = (10 – 10 e- 2(8 - 6)) = 9.81 A

2º Utilizando el correspondiente valor del tiempo en el primer ciclo, esto es, t = 2 s, entonces:

iS(8 s) = (10 – 10 e- 2(2)) = 9.81 A



respectivo dominio:

d

)e 10 - (10 d 2 -

t

t

= 20 e- 2 t

segundo

amperios ,con t en seg., para 0 t 4 seg.

O sea : iS´ = f(t)

´ =

t

S

d

d i

d

)0 ( d

t = 0

segundo

amperios ,con t en seg., para 4 seg. t 6 seg.

Por lo tanto:

Para t entre 0 y 4 seg., se puede expresar:

t

S

d

d i0 t = iS

´(0) =20 e- 2 (0)

= 20 segundo

amperios , la corriente aumenta en ese instante


t

S

d

d is 2 t

= iS´(2 s) =20 e- 2 (2)

= 0.366 segundo

amperios , la corriente aumenta en ese instante

Para t entre 4 seg. y 6 seg., se puede expresar:

t

S

d

d is 5 4. t = iS

´(4. 5 s) = 0

segundo

amperios , la corriente no existe en ese instante

t

S

d

d is 5 5. t

= iS´(5. 5s) = 0

segundo

amperios , la corriente no existe en ese instante

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