david bonacci et corinne mailhes: [email protected]

1/41

David Bonacci et Corinne Mailhes:[email protected]

[email protected], ou @n7.fr14-16 Port Saint Etienne, 31 000 Toulouse, France

Ouvrages de référence• Traitement Numérique du Signal, M.Bellanger, Ed.

Masson, collection CNET-ENST ( )

• T.N.S. 1.Bases, F.Castanié, polycopié ENSEEIHT, 1986.

• T.N.S. 2. Méthodes Avancées, F.Castanié, polycopié ENSEEIHT, 1987.

• Traité d’Electricité, EPFL, Ed Georgi

Vol XX, Traitement Numérique des Signaux, M.Kunt.

Vol VI, Théorie et Traitement des Signaux, M.De Coulon.

2/41

II- Filtres R.I.F. (à Réponse Impulsionnelle Finie)

1) Définition2) Filtres à Phase Linéaire3) Méthode de Synthèse

III- Filtres R.I.I.(à Réponse Impulsionnelle Infinie)1) Définition2) Propriétés3) Méthode de Synthèse

I- La transformée en Z : l’outil

IV- Implantation 3/41

� L’autre application des plus courantes en T.S., après l’analyse spectrale

� Filtrage linéaire invariant dans le temps� Relations numériques inspirées de l’analogique

h(n)x(n) y(n)

y(n)= x(n)∗ h(n) = Σ h(k)x(n-k) = Σ x(k)h(n-k)

h(n) réponse impulsionnelleH(f) = T.F.D. {h(n)} réponse fréquentielle

h(t)x(t) y(t)

y(t)= x(t)∗ h(t) = h(u)x(t-u)du = x(u)h(t-u)du

h(t) réponse impulsionnelleH(f) = T.F. {h(t)} réponse fréquentielle

~

4/41

Digital Signal Processors pourfaire du Digital Signal Processing (DSP)…Temps réel, flexibilité, fiabilité

• opération MAC : Multiply and AccumulateR ←←←← R + X * Yavec • Gestion de l’overflow : bits d’extension de la dynamique• Lecture de deux opérandes en un seul cycle micro (2 zones mémoires)• Mémoire circulaire gérée par le hard du DSP

DSP différent d’un processeur classique car :

5/41

I – La transformée en Z :l’outil du Traitement du Signal Numérique

0 20 40 60 80 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Te

L’échantillonnage idéal : x(t) � x(nTe) n=0,…,N-1

xe(n) = ΣΣΣΣ x(nTe) δδδδ(t-nTe)L’échantillonnage idéalprovoque une périodisationdu spectreautour des multiplesde la fréquence d’échantillonnage

Fe=1/Te

Xe(f)=FeΣ X(f - nFe)

À temps continu :Transformée de Laplace,Transformée de Fourier

À temps discret :Transformée en Z,Transformée de Fourier Discrète

6/41

Définition de la transformée en Z

{x(n)} � X(z) = Σ x(n) z-n

n = 0, 1,…,+∞ : TZ unilatéralen = - ∞,…,-1,0,1,…,+ ∞ : TZ bilatérale

Les relations entre ces transformées

Laplace : X(p) = ∫ x(t) e–pt dt

Fourier : X(f) = ∫ x(t) e–i2πft dt

z=e i2πf TZ=TFD~

p = i2πf TL = TF

T.Z : X(z) = Σ x(n) z–n

TFD : X(k) = Σ x(n) e–i2πkn/N

n=0

N-1

7/41

Propriétés de la Transformée en Z

x(n) ∗ y(n) � X(z).Y(z)

x(n-k) � X(z) z-k z-1 retard d’échantillonnage

Dans un filtre linéaire :

y(n)= x(n) ∗ h(n) � Y(z) = X(z).H(z)

h(t)δ(t) h(t)

Réponse impulsionnelle d’un filtre :

ImpulsionDe Dirac

h(n)δ(n) h(n)

SymboleDe Kronecker

8/41

Par analogieavec filtres analogiques, réponse fréquentielle rationnelle

H(z) = a0=1 � h(n) = T.Z.-1{H(z)}Σ bk z-k

Σ ak z-k

k=0

k=0

M

M

y(n) = -Σ ak y(n-k) + Σ bk x(n-k)M M

k=1 k=0

Des filtres analogiques aux filtres numériques

Remarque : on note « M » dans les deux sommes par simplicité.Nombre de coefficients dans les deux sommes pas forcément égaux.

| H(f) |² = H(z) H(z-1 ) | z = e i2πfTe

Suppose coefs réels9/41

Spécifications des filtres numériques

10/41

Spécifications des filtres numériques

11/41

II – Filtres RIF (FIR) : 1) Définition

Cas particulier de filtres non récursifs :

y(n) = Σ bk x(n-k)d’où

H(z) = Σ bk z-k � h(n) = bn pour n=0,…,M

filtre à Réponse Impulsionnelle Finie(R.I.F.)� tout zéro, pas de pb de stabilité, faible sensibilité numérique� non récursif� à mémoire finie, défini par M+1 coefficients� phase linéaire possible

k=0

k=0

M

M

RIFx(n) y(n)


k=1 k=0

12/41

II – Filtres RIF (FIR) : 2) Phase Linéaire

H(f) = Σ bk e-i2πkfTe = R(f) e-i φ(f)

k=0

M

Temps de Propagation de Groupe (TPG) = évaluation du temps de propagation des paquets d’onde dans le système linéaire

τ(f) = - 1/(2π) φ’(f)Ex : une sinusoïde de fréquence f0 retardée de τ(f0) en sortie du filtre.

Phase linéaire = TPG constant φ(f) = φ0 + 2πτf • si φ0 = 0, on obtient un RIF à coefficients réels et symétriques

• si φ0 = π/2, on obtient un RIF à coefficients réels et antisymétriques

• sinon, RIF à coefficients complexes

h(n)

τh(n)

τ

13/41

H(f)

f

0 0.5

n

H(f)

f

0 0.5M+1 coefficients

II – Filtres RIF (FIR) : 3) Synthèse

14/41

�À partir d’un filtre idéal et troncature de la réponse impulsionnellehRIF(n)=hI(n).w(n) soit HRIF(f)=H I(f) ∗ W(f)

w(n) : fenêtre d’apodisationde support :n=-p,…,pconditionne l’ordre du filtre : filtre RIF d ’ordre2p+1

� filtre causal : décalage de la réponse impulsionnelle :hRIF(n)= hRIF(n-p)

influence des paramètres : ordre du filtre, fenêtre d’apodisationOndulations en bande passante et affaiblie égalesAmplitude des ondulations non constante

existe algorithmes d’optimisation pour égaliser les ondulationsdans la bande et hors bande : REMEZ

II – Filtres RIF (FIR) : 3) Synthèse

15/41

RIF : Choix de l’ordre (échelle linéaire)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.5

1

1.5

Fréquence (Hz)

Am

plitu

de

Ordre 20

Ordre 50Ordre 200

Synthèse par fenêtre naturelle (rectangulaire) 16/41

RIF : Choix de l’ordre (échelle logarithmique)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Fréquence (Hz)

Am

plitu

de (

dB)

Ordre 20Ordre 50

Ordre 200

Synthèse par fenêtre naturelle (rectangulaire) 17/41

RIF : Choix de la fenêtre (échelle logarithmique)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Fréquence (Hz)

Am

plitu

de (

dB)

RIF d’ordre 50

Fenêtre naturelle (rectangulaire)

Fenêtre de Kaiser

Fenêtre de Hamming

18/41

RIF : Choix de la fenêtre

Voir : « On the Use of Windows for Harmonic Analysiswith the Discrete Fourier Transform »,

F.J.Harris, Proc. Of the IEEE, vol 66, n1, Jan. 1978.

Choix entre largeur du lobe principal (pente du filtre)et les ondulations (ondulations dans les bandes)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

HammingHanningBartlett (triangulaire)Blackman… diverses façonsd’arrondir la coupure

19/41

RIF : Optimisation – critère moindres carrés

Critère : J(h) = Σ P²(n) | H(fn) – HI(fn) |²n=0

Nf - 1

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.5

1

1.5

Fréquence (Hz)

Am

plitu

de

RIF ordre 30, fenêtre rectangulaire

RIF optimisé MC

20/41

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Fréquence (Hz)

Am

plitu

de (

dB)

Filtre RIF d'ordre 33 optimisé avec REMEZ

RIF : Optimisation – algorithme de RemezCritère : avoir tous les maxima de l’erreur de même amplitude

Aucune démonstration de convergence… 21/41

III – Filtres RII (IIR) : 1) Définition

RIIx(n) y(n)


k=1 k=0

Filtres récursifs, propriétés proches des filtres analogiquesFonction de transfert :

H(z) = Σ bk z-k

1+Σ ak z-k

k=0

k=1

M

M

| H(f) |² = H(z) H(z-1 ) | z = e i2πfTe

Présence de pôles !!! Risque d’instabilité !!! 22/41

III – Filtres RII (IIR) : 2) Propriétés

Réponse impulsionnelle et stabilité

Si dénominateur n’a que des pôles simples, h(n) = Σ Ak pkn n>0

avec H(z) décomposé en éléments simples

H(z) = Σ

alors la condition de stabilité : entrée bornée - sortie bornée:|h(n)| < Bh pour tout n |pk| < 1 pour tout k

k=1

M

1-pkz-1

Ak

k=1

M

1

1

-1

-123/41

Réponse en phase : systèmes à minimum de phaseDéfinition :tous les zéros du numérateur du filtres sont dans le cercle unité(tous en dehors : système à maximum de phase)(en dehors et en dedans : système à phase mixte)Intérêt du minimum de phase : système inverse stablePropriété recherchée dans beaucoup d’applications

Réponse en phase : TPGOn démontre :filtres rationnels ne peuvent pas avoir de phase linéaire(sauf RIF)

III – Filtres RII (IIR) : 2) Propriétés

24/41

III – Filtres RII (IIR) : 3) Synthèse

1. Synthèse d’un filtre analogique HA(p)2. Transformation HA(p) →HN(z)

conservant certaines propriétés de HA(p) à HN(z).

Conservationd’une réponse

temporelle

Conservationd’une réponseharmonique

25/41

III – Filtres RII (IIR) : 3) Synthèse

26/41

III – Filtres RII (IIR) : 3) Synthèse par invariance à une entrée

On cherche : sN(n) = sA(nTe) pour une entrée de référencee(n) = e(t = nTe)

HN(z) = TZ{E(p)HA(p)}

TZ{E(p)}

Invariance impulsionnelle :

Invariance indicielle :

HN(z) = TZ{HA(p)}

HN(z) = (1-z-1)TZ{H A(p)/p}

Filtre numérique a la même réponse de référence choisie que le filtre analogique correspondant.

27/41

III – Filtres RII (IIR) : 3) Synthèse par invariance à une entrée

Les filtres analogique et numérique ont la même réponse impulsionnelle :-Conserve la réponse temporelle et la stabilité- mais…phénomène de recouvrement de spectre dû à l’échantillonnage,- Non respect de la spécification fréquentielle !

28/41

III – Filtres RII (IIR) : 3) Synthèse par conservation de la réponse harmonique

pHA(p)

zHN(Z) = HA(T(z))

Principe : changement de variable

1

1

-1

-1

Fractionrationnelle

29/41


Transformer une droite en cercle : transformation homographique,appelée Transformée bilinéaire

1- z-1

1+z-1p = c Souvent c = 2/Te

fA=Fe/π tan(π fN ) : préserve les basses fréquences~

30/41

fN

Gabarit numérique

fC1 fC2

ωA=2Fe tan(π fN ) ~

ωAωC1 ωC2

Gabarit analogique

Choix d’un modèleanalogique,Calcul de HA(p)

1- z-1

1+z-1p = 2

TeHN(z)

� changer p en z par la bilinéaire

�à partir du gabarit numérique, construire gabarit analogique

��synthétiser un filtre analogique satisfaisant (modèle ?)


31/41

FILTRES R.I.I.

� Prototypes de filtres analogiques� ButterworthPas d’ondulation |H(ω )|² = 1/ [1+(ω / ωc )2n ] n ordre du filtre, ωc pulsation de coupure à –3 dB, pôles sur le cercle unité� Tchebychef|H(f )|² = 1/ [1+ ε2 T²n(f)] avec Tn(cos(x)) = cos(nx)Relation de récurrence sur Tn : Tn+1 = 2x Tn(x) – Tn-1(x)Passent + facilement dans le gabarit que Butterworth pour même ordre� Elliptiques (Cauer)|H(f )|² = 1/ [1+ ε Sn(f,k)] k : sélectivité du filtreÀ gabarit donné, ordre du filtre le moins élevé� BesselPhase à peu près linéaire, TPG constantMais mauvaise caractéristique de module 32/41

Critère à minimiser :

Le vecteur θ contient les paramètres du filtreP : pondération spectrale à choisirHI : filtre idéalH : filtre à optimiserMéthodes du gradient

33/41

Algorithmes d’optimisation ne garantissent pas stabilité de la solution→ changer le vecteur paramètre : prendre les pôles + contrainte→ plus simple : stabiliser une solution instable en conservant moduledu filtre inchangé.Si p pôle instable,

H(z) = G(z) avec |p| >1

« réfléchir » ce pôle dans le cercle unité : changer p en p-1*

passe-tout de module unité : HPT(z) =

donc H’(z) = H(z) HPT(z) = G(z)

si appliqué aux zéros : filtre à minimum de phase.

1-pz-1

1

1-pz-1

1- p-1* z-1p1

1p(1- p-1* z-1)

34/41

IV – Filtres RII (IIR) : Implantation

Nécessité de fractionner en structures plus petites⌦Formes décomposées Série (cascade)H(z) = CΠ Hi(z)propagation des erreurs ParallèleH(z) = C + Σ Hi(z)

Éléments simples du 1er ou 2nd ordre

1+b1 z-1 + b2 z-2

1+a1 z-1 + a2 z-2

35/41

IV – Filtres RII (IIR) : ImplantationDécompositionen série

Obtenue en factorisant numérateur et dénominateur de H(z)et en mettant sous forme de produits de FT élémentaires

FT du 1er ordre FT du 2èmeordre

36/41

Décompositionen parallèle

Obtenue en décomposant H(z) en éléments simples

FT du 1er ordre FT du 2èmeordre

IV – Filtres RII (IIR) : Implantation

37/41

Stabilité de la cellule du second ordre

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-2

3 bits après la virgule(+/-)xx,xxx

2 bits après la virgule(+/-)xx,xx

arrondi : coin le plus prochetroncature :coin en bas, à gauche

a1

a2 a2

a1

Dans le plan (a1,a2), intérieur du triangle

Pôles ∈ C

Pôles ∈ R

39/41

alors RIF ou RII ?

41/41

Analyse Spectrale

∑∫+∞

−∞=

−−

ℜ

≈=n

nfTiE

nfti EenTxdtetxfX ππ 22 ).()()(

X k x n e

k N

i nk N

n

N

( ) ( )

,...,

/=

= −

−

=

−∑

2

0

1

0 1

π

[ ]x n x n w n

w n n NF ( ) ( ). ( )

( ) ,

=≡ ∉ −avec pour 0 0 1

Fenêtres de pondération :

NCtef /≈∆

Analyse Spectrale par Transformation de Fourier(déterministe)

[ ]TFD e W k k

f k N

i f n20

0 0

0π = −

=

( )

/avec

1/7

Analyse Spectrale

NCtef /≈∆

Analyse Spectrale par Transformation de Fourier(déterministe)

2 fréquences pures vues avec :

2/7

Analyse Spectrale

Fenêtres usuelles et leurs caractéristique

• Pour chaque fenêtre w(n) définie sur [-(M-1), M-1], le tableau ci-dessous donne la largeur à -3 dB du lobe principal (en fractions de N=2M-1) et le niveau du premier lobe latéral par rapport à celui du lobe principal.

3/7

Analyse Spectrale

Analyse Spectrale par Transformation de FourierCas stochastique stationnaire

( ) ( )S f TF Rx x= ( )τ

[ ] ( )fSXEL xLL =∞→

21lim

Deux théorèmes :

( )$ ( ) ( )

,...,

R mL

x n x n m

L N N m

m N

xn m

N

= −

== −

∗

=

−

∑1

0 1

1

avec ou L = -

Analyse Spectrale par corrélation

Analyse Spectrale par TFD

1. Analyse Spectrale par corrélation

( )[ ] ( )E S f S f W fx x$ ( )= ∗ ( )[ ] ( )Var S f S f Nx x

$ ≈ 2

4/7

Analyse Spectrale

Performances des estimateurs d’autocorrélation

• Biais et variance des estimateurs biaisé et non biaisé d’autocorrélation en fonction du rang k.

5/7

Analyse Spectrale

Analyse Spectrale par Transformation de FourierCas stochastique stationnaire

2. Analyse Spectrale par TF Directe

( )[ ]

npondératio de treefen )(

)().()(

)(1 2

,

nw

nwnxTFDkXavec

kXN

kS

p

pxp

=

=

( )[ ] ( )Var S k S k Np x, ≥ ∀2

( )[ ] ( )E S k S k W kp x x$ ( ), = ∗ 2

( )[ ] ( ) PCtefkWkSkSE xxpC /)(ˆ 2

, ≈∆⇒∗=

( ) ( )$S kMP

X kpc ii

M

==∑

1

1

2

[ ] ( )Var S k S k Mpc x$ ( ) /≈ 2

‘Périodogramme’

‘Périodogramme cumulé’

Dilemme résolution-variance

0 200 400 600 800 1000 1200-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Signal du fichier radar1

n

x(n)

TF

P

i=1 i=M

6/7

Analyse Spectrale

Effet du fenêtrage sur le périodogramme

7/7

Modélisation Paramétrique

Modélisation paramétrique

ChoixD’un modèle

Estimationdes paramètres

du modèle

Analyse spectrale, Compression, Détection, Classification…

Problématique :Construire un modèle mathématique« collant le plus possible »(au sensd’un critère)aux signaux(numériques)étudiés.

signalx(n)

++

Erreur de modèlee(n) =x(n)-x(n)^

-

modèlex(n)^

1/22


Modèle paramétrique générique

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−∞−−=44 344 21LL 1,;,,1 nBnBXnXfnX

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]X n f X n X n p B n B n q= − − −1 , , , , ,L L

X n a X n k b B n kkk

p

kk

q

( ) ( ) ( )= − − + −= =∑ ∑

0 0

( )[ ]( ) ( )[ ] ( )

E B n

B n B m n mB

=

= −

02cov σ δ

[ ]f . linéaireModèle ARMA

2/22


Modèle Auto-Régressif à Moyenne Ajustée (ARMA)

B(z)A(z)

Bruit Blanc

Modèle ARMA

Autocorrélation :

D.S.P. :

EstimateurSpectral

Pb : estimation des paramètres ? bk ?choix des ordres (p,q) ?

3/22


Exemple de DSP d’un ARMA(p,q)

4/22


Propriétés ARMA

∑∑==

−+−−=q

kk

p

kk knBbknXanX

01

)()()(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )X n S z S z H z H zX B→ = ∗∗. 1

( ) ( )S X ei f H ei fB

2 22

2π π σ= .

( ) ( )∑ ∑= =

−

+−−=p

kB

q

mKmkkXkX hbkmRamR

1

2σ

aRr .−=

( )

( )r =

+

+

R q

R q p

X

X

1

:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )R =

+ −+

+ −

R q R q p

R q R q

R q p R q

X X

X X

X X

...

...

...

1

1

1

rRa 1.−−=5/22


Modèle Auto-Régressif (AR)

1A(z)

Bruit Blanc

Modèle AR

EstimateurSpectral

Estimation des paramètres : ak , k=1,…, p et σ²eÀ l’aide d’algorithmes basés sur l’estimation de la corrélation.Critères pour l’estimation de l’ordre p

aRr .−=

( )

( )pR

R

X

X

:

1

=r

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )0...1

...01

1...0

XX

XX

XX

RpR

RR

pRR

−

−=R

rRa 1.−−=

6/22


Algorithme de Levinson-Durbin

7/22


AR(10) de 3 exponentielles bruitées

8/22


AR(10) d’une seule exponentielle bruitée

9/22


Choix de l’ordre

10/22


Choix de l’ordre

11/22


Ex : Canal multi-trajets : sélectivité en fréquence

s(t) = αi(t) e(t-τi(t))i=1

N

e(t)

|H(f)|

f

Exemple DVB-T : Délai max = 224 µs, Ds = 7.4 Mbauds, ISI = 1657 symboles

Modèles ARMA non stationnaires

par Nath. Thomas12/22


13/22


14/22


Canal sol-avion non-stationnaire

Filtrage linéaire variant dans le temps y(n)= Σ h (n, k)x(n-k)

0 200 400 600 800 1000-2

-1

0

1

2

3

4

true and estimatedparameters of the time-varying channel

15/22


Modèle de Prony

Modèle déterministe :Somme d’exponentielles complexesamorties

et

Intérêt : estimation de fréquences, amplitudes, phases et amortissementsIntérêt : estimation de fréquences, amplitudes, phases et amortissementsIntérêt : estimation de fréquences, amplitudes, phases et amortissementsIntérêt : estimation de fréquences, amplitudes, phases et amortissements

EstimateurSpectral

( ) ( ) 0 ,1

≥+=∑=

kkezbkRp

m

kmmX

( ) ( )kRkR XX −= * ou

16/22


Modèle de Prony

�Estimation AR�pôles

� Résolution de Vandermonde

�Amplitudes complexes

Estimation des paramètres

s n B z n s n a s n k n p

a s n k a n p

mm

p

mn

kk

p

kk

p

( ) , ( ) . ( ) ,

. ( ) , ,

= ≥ ⇔ = − − ≥ +

⇔ − = = ≥ +

= =

=

∑ ∑

∑

1 1

00

0 1

0 1 1

( ) ( )A z z z a zmm

p

kp k

k

p

= − ==

−

=∏ ∑

1 0

( ) *tHH1H XXxXXXa == − avec MC

( )[ ]

B V V V x

V

B

H 1 HMC

mn

MC p

t

z

B B

=

=

=

−

$

$ ... $

Vandermonde (Nxp)

1

17/22


( ) ( )∑ ∑= =

−⋅=P

m

L

imimmi

m

nnhAnx1 1

,,ˆ

Modèles Multi-impulsionnels

{ }miA ,{ }min ,P Signaux d’entrée impulsionnels de paramètres

( ) ( ) PmnnAnBmL

imimim ,...,1

1,, =−∂⋅= ∑

=

( ){ } Pmnh mSm ,...,1, , =Θ

Modèle de signal multi-impulsionnel multi-modèles

excitant P filtres générateurs (ARMA, Prony, …) de paramètres et donc R.I. mS ,Θ

18/22


Exemple de signaux électromagnétiques

0 2000-1

0

1

0

4

3

2

1

2000

( )nx

( ){ }4,...,1

, ,

=Θ

m

nh mSm

4=P

??

19/22


Modélisation Multi-Prony Multi-Date

0 0.5 1 1.5 2

Temps (µs)

Trans. en Ondelettes

-1

-0.6

-0.2

0.2

0.6

1

Temps (µs)

Modélisation paramétriquedes formes d’ondes

20/22


0 200 400 600 800 1000-4

-2

0

2

x 10-3

0 200 400 600 800 1000

-10

-5

0

5

x 10-4

0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Signal Original

Modèle

Exemple de signaux biomédicaux (EMG)

( )nx

( )nB1

( ){ }1,1 , Snh Θ

1=P

21/22


0 200 400 600 800 1000

-2

0

2

4

6

x 10-3

0 200 400 600 800 1000

-1

0

1

2

x 10-3

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

p-neuro 3c

Exemple de signaux biomédicaux (EMG)

( )nx

( )nB 1

( ){ }1,1 , Snh Θ

1=P

22/22

Analyse Spectrale

Paramètres

N=200échantillons, 100réalisations

SNR=-2dB p=60

Comparaison AR - Périodogramme

Cas d’un sinus + bruit

N : nombre de points de signal

γ: rapport signal à bruit

p : ordre du modèle (~ N/3 au maximum)1/17

Analyse Spectrale

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510

-2

10-1

100

101

102

103

104

105

106

107

Ordre = 2

Ordre = 4

Ordre = 6

Fréquences normalisées

dB

Spectre AR LSMYW

Périodogramme

3 sinus et du bruit, un signal d’école…

2/17

Analyse Spectrale… et si on augmente encore l’ordre ?

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510

-2

100

102

104

106

108


dB

Ordre = 6

Ordre = 50

Ordre = 12

Périodogramme

Spectre AR LSMYW

3/17

Analyse Spectrale

Comparaison AR-Périodogramme

• Influence du nombre d’échantillons N

4/17

Analyse Spectrale

Comparaison AR-Périodogramme

• Influence du SNR

5/17

Analyse Spectrale

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510

-15

10-10

10-5

100


Ordre = 6

Ordre = 12

Ordre = 20

Spectres du modèle de Prony

( ) ( ) 0,1

≥+=∑=

kkezbkRp

m

kmmX

( ) ( )R k R kX X= −*6/17

Analyse Spectrale

Exemple d’émetteur de base

Exemples de mises en forme : NRZ, Biphase, RCF

TS

h(t)

TS

h(t)

- TS

h(t)

TS

Filtre de mise en forme :h(t) Bits

{bk}

Signal

B=(1+α)/2Ts

B=2/Ts

B=1/Ts

x(t) = bkh(t-kTs) = b(t)*h(t)k

Zk∈

avec b(t) = bkδ(t-kTs)k

bk h(t)bk

Information binaire

Symbole

7/17

Analyse SpectraleExemple d’égalisation fixe

Min{ E[e2(n)] } Copt = [Rxx]-1.Rbx

s(t) = αi e(t-τi) = 1. e(t) + 0.5 e(t-TS) + n(t)i=1

N

~

• « MMSE » : Minimum Mean Square Error

• Canal sélectif + perturbation sinusoïdale

sinusoïdal ( f = 1/3.1)

s(t)

S(f)

Copt (f)

8/17

Analyse Spectrale

aaaaa…

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510

-8

10-6

10-4

10-2

100

Périodogramme du signal

Fe = 22050 Hz

176 Hz

Fréquences normalisées9/17

Analyse Spectrale

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510

-4

10-2

100

102

104

106

108

1010

Spectre AR LSMYWOrdre 40


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510

-2

10-1

100

101

102

103

104

105

Spectre AR Yule-Walkerordre 400


Périodogramme du signal

Fe = 22050 Hz

176 Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510

-2

10-1

100

101

102

103

104

105

Spectre AR Yule-Walkerordre 400

Fréquences normalisées10/17

Analyse Spectrale

0 100 200 300 400 500 600 700 800

-40

-20

0

20

40

60

Fréquence (Hz)

Am

plitu

de (dB

)

Harmoniques de la fréquence statorique

Défaut d‘excentricité

Analyse spectrale du courant statorique

Ali ABDALLAH, Martin BLÖDT, Sylvain CANAT, Bruno DA GUES, Jean FAUCHER CODIASE/TIMSuD

Ali ABDALLAH, Martin BLÖDT, Sylvain CANAT, Bruno DA GUES, Jean FAUCHER CODIASE/TIMSuD11/17

Analyse Spectrale

0 5 10 1 5 2 0 2 5 3 0 35 4 0-5 0

-4 0

-3 0

-2 0

-1 0

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

F re qu en c y ( Hz)

Am

plitu

de P

SD

(d

B)

to rqu e va r ia tio nsh ea lth y c ase

Densité spectrale de puissance avec périodogramme moyenné

MAS - Essai avec et sans variations de couple courant statorique

Ali ABDALLAH, Martin BLÖDT, Sylvain CANAT, Bruno DA GUES, Jean FAUCHER CODIASE/TIMSuD

Ali ABDALLAH, Martin BLÖDT, Sylvain CANAT, Bruno DA GUES, Jean FAUCHER CODIASE/TIMSuD12/17

Analyse Spectrale

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-60

-40

-20

0

20

40

60

80Spectre du fichier x5 composante 1

Spectre (DSP)‘de raies’

Signal

-200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Signal du fichier x5 composante 1

Alternateur 60 KW Signal de flux : Essai sans court-circuit

périodogramme

AR

13/17

Analyse Spectrale

Reconnaissance en TF:Analyse Wigner de cliquetis

avec

sans

14/17

Analyse SpectraleReconnaissance en TF:Analyse Wigner de cliquetis

avec

sans15/17

Analyse Spectrale

Modèles paramétriques évolutifs

Signal de pression cylindre

16/17

Analyse Spectrale

Modèles paramétriques évolutifs

Apparition du cliquetis

17/17

david bonacci et corinne mailhes: [email protected]

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