dario micic - fizika, priprema za drzavnu maturu 1-4

Dario Mi i

Fizika I

Zagreb, akademska godina 2010./2011. www.pripreme-pomak.hr

Nakladnik Pomak, Zagreb 1. Ferenica 45 tel.: 01/24 50 904, 01/24 52 809 mtel.: +385 (91) 513 6794 www.pripreme-pomak.hr

Za nakladnika Branko Lemac

Dizajn ovitka minimum d.o.o.

Pomak, Zagreb, 2009. Intelektualno je vlasnitvo, poput svakog drugog vlasnitva, neotuivo, zakonom zatieno i mora se potovati (NN 167/03). Nijedan dio ove skripte ne smije se preslikavati ni umnaati na bilo koji nain, bez pismenog doputenja nakladnika. Skripta slui iskljuivo za internu uporabu na teajevima koji se, u okviru Priprema Pomak, odravaju kao pripreme za polaganje ispita iz fizike na Dravnoj maturi.

y4 3 P(4, 3)

I. MEHANIKA

2 Pod pojmom mehanika razumjevamo skup znanosti koje prouavaju meudjelovanje tijela te 1 njihovo gibanje u prostoru tijekom vremena. Fizikalno utemeljenje pojma prostora i vremena te meudjelovanja tijela prvi je dao Isaac Newton 1687. u svom djelu Philosophica x 1 O 1 2 Matematica. Prostor je, prema Newtonu, velika uplja kutija u kojoj su Naturalis Principia 3 4 5 1 razmjetena izaberemo proizvoljno tijela (zvijezde, planeti, ljudi, cvijetovi, kamenje, mobiteli ...). Valja uoiti da je Ishodite O prostor nezavisan od tijela koja su u njemu razmjetena. Dakle, postoji trodimenzijski prostor kao neovisna kategorija. Vrijeme, prema Newtonu, takoer postoji neovisno o prostoru i tijelima u prostoru. Ono tee uvijek jednako, neovisno o promatrau i njegovom poloaju u prostoru. Fiziku u kojoj se prostor i vrijeme razumjevaju u navedenom smislu uobiajeno je zvati Newtonovska ili klasina fizika.

I. 1. KINEMATIKAU kinematici opisujemo gibanje proizvoljnog tijela zabacujui uzrok gibanja toga tijela. Dakle, zanemarujemo meudjelovanje toga tijela i svih ostalih tijela. Utemeljimo pojam gibanja nekog, proizvoljno odabranog, tijela. Tijelo se giba kad mijenja svoj poloaj u odnosu na neka okolna (referentna) tijela tijekom vremena. Na primjer, vrh krede (tijelo) se giba u odnosu na plou (referentno tijelo) kod pisanja kredom po ploi. Poloaj odreujemo pomou koordinatnog sustava kojeg moemo proizvoljno odabrati. Npr. pri gibanju u ravnini rabimo dvodimenzionalni koordinatni sustav Oxy koji ima dvije koordinatne osi x (apscisa) i y (ordinata) koje najee uzimamo meusobno okomitima. Poloaj toke P u ravnini u odnosu na ishodite O(0, 0) odreen je ureenim parom (x, y) njenim koordinatama, npr. P(4, 3) (crte). Toka P je od ishodita udaljena 5 jedinica (Pitagorin teorem). Slino, pri gibanju po pravcu rabimo jednodimenzionalni koordinatni sustav npr. Ox. Na crteu je prikazana toka Q(3) koja je od ishodita O(0) udaljena 3 jedinice.

y4 3 2 1 1 O 1 2 3 4 5 1 Ishodite O izaberemo proizvoljno P(4, 3)

x

1

O 0 1

Q(3)

2

3

4

5

x

Da bismo dobili jedinine duljine na koordinatnim osima moramo se dogovoriti za osnovnu jedinicu za mjerenje duljine (a takoer i vremena odnosno intervala vremena). DULJINA (L, l, d, x ...) je odabrana za osnovnu fizikalnu veliinu u SI sustavu, pa se njena jedinica mora definirati. 1 METAR (1 m) je duljina prametra (tapa) koji se uva u ParizuGodine 1983. usvojena je sljedea definicija: Jedan metar jednak je duljini puta koji prevali val svjetlosti u vakuumu tijekom vremenskog intrvala (1/299 792 458) sekundi.

Izvedene jedinice za metar (ili bilo koju drugu fizikalnu veliinu) su: 1 dm = 10 1 m 1 cm = 10 2 m 1 mm = 10 3 m 1 m = 10 6 m 1 dam = 101 m 1 hm = 10 2 m 1 km = 103 m 1 Mm = 10 6 m

VREMENSKE TRENUTKE (i intervale) odreujemo pomou sata (tj. ure ili dobnjaka). VRIJEME (t, T ...) je odabrano za osnovnu fizikalnu veliinu u SI sustavu, pa se jedinica mora definirati.Godine 1976. definiran je standard za vrijeme: Jedna sekunda je vremenski interval potreban za 9 192 631 770 vibracija atoma cezija.

1

Pripreme za razredbene ispite

U klasinoj fizici je potreban samo jedan sat, jer se pretpostavlja da se informacija izmeu dviju toaka u prostoru moe prenositi beskonanom brzinom (pogledati komentar na stranici 26.). Koordinatni sustav sa satom nazivamo sustavom referencije.

Bitno je uoiti da referentni sustav ine: referentno tijelo smjeteno u ishoditu, sat i koordinatni sustav.

Dimenzije tijela su esto nebitne za danu fizikalnu pojavu, pa se pri opisu pojave one mogu zanemariti. Tada tijelo nadomjetamo materijalnom tokom. Materijalna toka je matematiki objekt koji nema dimenzije i u njoj je smjetena ukupna masa tijela. Zamjena realnog tijela s materijalnom tokom je uvijek valjano kod translacijskog gibanja krutog tijela. Npr. kod opisa gibanja automobila po autoputu automobil zamiljamo kao materijalnu toku. Jednako tako postupamo kod gibanja automobila u zavoju zato jer za kratke intervale vremena (odgovarajui) kruni luk moemo zamijeniti odsjekom tangente na kruni luk. Putanja gibanja je stvarni ili zamiljeni trag kojeg tijelo ostavlja pri svom gibanju. Npr. vrh krede po ploi. Ako je putanja pravac onda je to pravocrtno gibanje. Ako je pak putanja zakrivljena krivulja, onda govorimo o krivocrtnom gibanju. (pravocrtno gibanje udesno ili ulijevo) (krivocrtno gibanje) Prevaljeni put je duljina putanje od poetne toke (P) do krajnje toke (K). Prevaljeni put najee oznaavamo sa s, ili x ili L Uoimo: Tu veliinu mjerimo na brojaniku automobila. Odrediti prevaljeni put u opem sluaju krivocrtnog gibanja tijela je vrlo netrivijalno! Razmislite, kako odrediti duljinu puta od toke P do toke K na crteu!

K

P

P

r

K

Pomak, r , je usmjerena duina (vektor) koja spaja poetnu (P) i krajnju toku (K). Pomak je (kao i svaki vektor) odreen duljinom (ili iznosom ili modulom), smjerom (pravac na kojem lei) i orjentacijom (poetna i konana toka). Oznaka za pomak je npr. PK , ili r ...

a) pravocrtno gibanje To je gibanje kod kojeg je putanja tijela pravac. Dakle, za opis pravocrtnog gibanja rabiti emo jednodimenzionalni koordinatni sustav. Potanko emo o tom gibanju govoriti kasnije. Primjeri: Sprinteri u utrci na 100 m, vlak na ravnom dijelu pruge, muha pri letu u sobi (krae vrijeme), pu na listu kupusa (krae vrijeme). Sada emo uvesti pojam brzine i ubrzanja za translacijsko gibanje tijela.

2


Promotrimo gospoicu Micu pri subotnjoj etnji Ilicom.

tp =10h 30min

tk =10h 45min

x p =50m

xk =200m

U trenutku tp poinje razgledati izlog Benettona, u t1 =10h 35min stie pred izlog Mladosti na poloaju x1 =100m, baci pogled na nova izdanja, prisjeti se neke stvarice iz izloga Benettona, vrati se do Benettona da bi pomnije razgledala te se u trenutku tk nae na uglu Ilice i Frankopanske (na poloaju xk ). u vremenskom intervalu t = tk t p =15min gospoica Mica se pomakla za t = xk x p = 200m 50m = 150m pritom je prevalila put

= ( x1 x p ) + ( x1 x p ) + ( xk x p ) = 50 + 50 + 150 = 250mZa opisivanje translacijskog gibanja valja nam definirati sljedee veliine: brzina 1 Srednja brzina tijela po pomaku kao omjer pomaka i pripadnog vremenskog intervala.

v=

x xk x p = t tk t p

To je vektorska veliina.

Razumno je zapitati se kako to da je srednja brzina tijela po pomaku vektor kad je nismo zapisali kao vektor? Razlog lei u injenici da napisani izraz vrijedi samo za gibanje po pravcu na kojem svaki vektor (pa tako i uvedena veliina) moe imati samo dva smjera! Znai, x je algebarska veliina koja moe biti pozitivna, jednaka nuli ili negativna. U prvom sluaju se tijelo giba stalno u istom smjeru, u drugom miruje i u treem sluaju brzina tijela je mijenjala smjer tijekom gibanja! Nazivnik je, dakako, uvijek pozitivan. 2 Srednju brzinu tijela po prevaljenom putu kao omjer ukupnog prevaljenog puta i pripadnog vremenskog intervala.

v=

s t

To je skalarna veliina. Jedinica za mjerenje se izvodi iz definicije:

[v] =

[ x ] = 1m = 1 m [ t ] 1s sx kada t 0 . t

Trenutnu brzinu v definiramo kao graninu vrijednost omjera

v=

x x kada t 0 ili v = lim t 0 t ts t3Pripreme za razredbene ispite

Veliina (modul) ovog vektora jednak je graninoj vrijednosti srednje brzine po putu.

tk tk

v = lim

t 0

Ubrzanje (akceleracija) Ukoliko se trenutna brzina tijela v mijenja (po modulu i/ili po smjeru) tijekom vremena, definiramo novu fizikalnu veliinu koja opisuje tu promjenu. Za vremenski interval

t = tk t pbrzina se promjeni za

v = v k v p Srednje ubrzanje

a - omjer promjene brzine i pripadnog vremenskog intervala v tj. to je brzina promjene brzine. a= tOvako napisani izraz za srednje ubrzanje vrijedi za svako gibanje i to pri jednodimenzijskom (pravocrtnom), dvodimenzijskom (ravninskom) ili trodimenzijskom (prostornom) gibanju tijela. Inae, za pravocrtno gibanje dovoljno je napisati a =

je promjena brzine v algebarska veliina koja moe biti pozitivna, jednaka nuli ili negativna.

v pri emu se podrazumjeva da t

Trenutno ubrzanjea - granina vrijednost omjera

v v kada t 0 tj. a = lim t 0 t t

Jedinicu za mjerenje ubrzanja dobivamo iz definicije:

[ v ] = 1 s a] = [ [ t ] 1s

m =1 m s2

a1 Jednoliko gibanje po pravcuPutanja je pravac, a brzina konstantna, tj. v = konst

v=

x xk x p = t tk t p

( tk t p ) xk = x p + v ( tk t p )

Obino odaberemo

t p = t0 tk = t

x p = xo xk = x ( t ) x ( t ) = x0 + v(t t0 ) .

Poloaj tijela u ovisnosti o vremenu ima oblikAko uzmemo za poetni trenutak t0 = 0 onda imamo

x ( t ) = x0 + vt .

Poloaj toke kod jednolikog pravocrtnog gibanja je afina funkcija vremena.

4


Grafiki prikaz ovisnosti poloaja o vremenu: x - t dijagram: To je pravac koji sijee os poloaja u toki x0 !x,m 20 17.5 15 12.5 10 7.5 5 2.5 0.5 1 1.5 2 t,s

Nagib pravca ovisi o brzini: tg = v , je kut izmeu grafa i osi t. Navedimo dva primjera: 1) x01 = 5m; v1 = 5

m x1 (t ) = 5 + 5t s m x2 (t ) = 9t 2) x02 = 0m; v2 = 9 s

x1 x2

Jedna od moguih fizikalnih interpretacija grafova na crteu: Biciklist Toni proao je kroz ishodite konstantnom brzinom 9 m/s u smjeru osi x i nastavio tako voziti u istom smjeru. U istom trenutku i u istom smjeru ali na 5 m od ishodita prola je biciklistica Rua konstantnom brzinom 5 m/s i nastavila tako voziti u istom smjeru.

Prevaljeni put s(t) u ovisnosti o vremenu je s ( t ) = x = x ( t ) x0 = vt . Dakle

s ( t ) = vt . Uoimo da je put linearna funkcija vremena.Grafiki prikaz ovisnosti puta o vremenu: s - t dijagram: Uzmimo dva prethodna primjera: 1) s1 (t ) = 5 + 5t 2) s2 (t ) = 9t Vidimo da nema razlike izmeu s-t grafa i x-t grafa! To je zbog toga to brzina tijela nije mijenjala smjer tijekom gibanja!s,m 20 17.5 15 12.5 10 7.5 5 2.5 0.5 1 1.5 2 t,s

s1 s2

Grafiki prikaz ovisnosti brzine o vremenu: v - t dijagram Uzimamo prethodna dva primjera:v,ms 1 12 10 8 6 4 2 0.5 1 1.5 2 t,s

m s m 2) v2 = 9 s1) v1 = 5

v2 v1

Oba pravca su paralelna s vremenskoj osi!

5


Povrina ispod tog dijagrama odgovara brojano prevaljenom putu u tom vremenskom intervalu.

Kako je kod ovog gibanja v = konst. a = Grafiki prikaz ovisnosti ubrzanja o vremenu: a - t dijagram

v m =0 2 t sa,ms 2 1.5 1 0.5 0.2 -0.5 -1 -1.5 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 t,s

a = 0 m/s To je pravac koji se poklapa s vremenskom osi.

2

a 2 Jednoliko ubrzano gibanje po pravcuPutanja je pravac a ubrzanje je konstantno (i po modulu i po smjeru), tj.

a = konst.Kako ovisi brzina o vremenu?

a=

vk = v p + a ( tk t p )v p = v0 vk = v ( t ) v ( t ) = v0 + at

v vk v p = t tk t p

( tk t p )

obino odaberemo

t p = 0s tk = t

brzina tijela u ovisnosti o vremenu

Linearna funkcija vremenaGrafiki prikaz: v - t dijagram Pravac koji sijee os ordinata u toki v0 . Nagib pravca ovisi o ubrzanju: tg = a , je kut izmeu grafa i osi t.

v,ms 1 8 6

v2

Navedimo primjer: 4 v1 m m 1) v01 = 2 ; a1 = 2 2 v1 (t ) = 2 + 2t 2 s s m m t,s 2) v01 = 0 ; a2 = 6 2 v2 (t ) = 6t 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 s s Jedna od moguih fizikalnih interpretacija grafova na crteu: OpelVectra2.2 krenula je u poetnom trenutku t = 0 s iz ishodita ubrzanjem a2 = 6 m/s2 i nastavila se gibati po pravcu tim ubrzanjem. OpelCorsa1.4 gibala se u poetnom trenutku brzinom v1 = 2 m/s i nalazila se ispred OpelVectre2.2 na udaljenosti v01 = 2 m. OpelCorsa1.4 se nastavila gibati po istom pravcu konstantnim ubrzanjem a1 = 2 m/s2. Automobili su se sudarili nakon 1s.

6


Povrina ispod dijagrama odgovara prevaljenom putu.

s = s1 + s2 s2 =

s1 = ( v0 0 )( t 0 ) = v0 t 1 1 1 ( v v0 )( t 0 ) = at t = at 2 2 2 2 1 s ( t ) = v0 t + at 2 2

Izraz za prevaljeni put s(t) je kvadratna funkcija vremena. Grafiki prikaz: s - t dijagram Graf je parabola koja polazi iz ishodita! Taj graf nikad ne pada! Znai, kako vrijeme tee put se uvijek poveava! Navedimo primjer: m m 1) v01 = 2 ; a1 = 2 2 s1 (t ) = 2 + t 2 s s m m 2) v01 = 0 ; a2 = 6 2 s2 (t ) = 3t 2 s ss,m 8 6 4 2

s2 s1t,s

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Kako je kod ovog gibanja s ( t ) = x = x ( t ) x0 slijedi x ( t ) = x0 + s ( t ) pa uvrtavanjem izraza za s(t) dobivamo funkcija vremena. Grafiki prikaz: x-t dijagram Graf je parabola koja sijee os ordinata u x0 ! Navedimo primjer: 1) x01 = 2 m; v01 = 2 m m ; a1 = 2 2 x1 (t ) = 2 + 2t + t 2 s s m m 2) x02 = 2 m; v02 = 0 ; a2 = 6 2 x2 (t ) = 2 + 3t 2 s s

x ( t ) = x0 + v0 t +

1 2 at . 2

Polueni izraz je ponovo kvadratna

x,m 8 6 4 2 0.5 -2 1 1.5 2 t,s

x2 x1

Grafiki prikaz ovisnosti ubrzanja o vremenu: a-t dijagram a = konst. Graf je pravac paralelan s vremenskom osi. Navedimo primjer: m 1) a1 = 2 2 s 2) a2 = 6a,ms 2 8 7 6 5 4 3 2 1 0.5 1 1.5 2 t,s

a2

m s2

a1

7


Povrina ispod tog dijagrama odgovara brojano promjeni brzine u danom vremenskom intervalu.

Vrlo esto odabiremo da je na poetku tijelo mirovalo u ishoditu, tj. sljedee poetne uvjete:

t0 = 0 s; x0 = 0 m; v0 = 0 m

v ( t ) = at; s ( t ) = 1 at 2 ; x ( t ) = 1 at 22 2

a3 Jednoliko usporeno gibanje po pravcuPutanja je pravac, a ubrzanje je konstantno ali negativno, tj. brzina se jednoliko smanjuje.

a 0 - suprotna od a za < 0 Za = 0 dobijemo nul-vektor 0 koji nema smjera. Za = 1 dobijemo (suprotni) vektor koji ima jednaki modul ali suprotnu orijentaciju.

13


Oduzimanje vektora Zbrajanje sa suprotnim vektorom

c = a b = a + ( b )

Rastavljanje vektora na komponente Rastavljanje vektora na komponente vrimo uvijek u zadanom koordinatnom sustavu najee se odabire pravokutni koordinatni sustav

npr. dvodimenzionalni

ax je x - komponenta

a y je y - komponenetaTada je a = ax + a y . definiramo jedinine vektore (ortove) u smjeru x - osi i =

ax ; u smjeru y - osi ax

j=

ay ay

; u smjeru z - osi k =

az az

Tada se svaki vektor u koordinatnom sustavu Oxy (tj. u ravnini) moe zapisati u obliku

a = ax i + a y j zbrajanje i oduzimanje vektora se lako obavlja: Neka su zadani vektori a = ax i + a y j i b = bx i + by j . Tada je

a b = (ax bx )i + (a y by ) jMnoenje vektora - skalarno mnoenje

a b = ab cos Rezultat mnoenja je broj (skalar). On je jednak umnoku iznosa vektora i kosinusa kuta kojeg zatvaraju. Budui da je i i = j j = 1 , i j = 0 onda je skalarni produkt

a b = ax bx + a y byVektorsko mnoenje a b = c kod ega je modul vektora c jednak c = a b sin

b a = cDobije se kao rezultat vektor okomit i na a i na b . Duljina vektora jednaka je povrini paralelograma kojeg razapinju a i b , tj umnoku iznosa vektora a i

b i sinusa kuta izmeu njih.Orijentacija vektora c je odreena pravilom desne ruke: prstima preklapamo prvi vektor a na drugi b , a onda palac pokazuje orijentaciju vektora c .

14


Vrijede relacije (tablica mnoenja jedininih vektora) i i = j j = k k = 0 , a takoer i

i j = k , j k = i , k i = j . Ako vektore a i b zapiemo u koordinatnom prikazu a = ax i + a y j , b = bx i + by j tada je njihov vektorski produkt a b = (axby a y bx ) k .b) Meudjelovanje tijela. Sila Da neko tijelo meudjeluje s nekim drugim tijelom zapaamo po nekim uincima: - poveanju ili smanjenju brzine - deformaciji tijela - promjeni oblika tijela - promjeni obujma tijela - promjeni stanja povrine tijela - promjeni agregatnog stanja tijela ... Sila je fizikalna veliina kojom opisujemo koliko je meudjelovanje jednog tijela na drugo. Odreena je iznosom, smjerom i orijentacijom vektor! Tijela mogu meudjelovati kad su u dodiru (npr. ruka i spuva) Sile dodira - elastina sila pri deformaciji tijela - sila trenja pri klizanju jedog tijela na povrini drugog. Tijela mogu meudjelovati kad su meusobno razmaknuta (npr. Zemlja i Sunce, Zemlja i magnetska kazaljka, natrljani balon i ruka). Sile na udaljenost (ili sile polja) - gravitaciona sila - magnetska sila - elektrina sila Sile dodira i sile na udaljenost potjeu od djelovanja (najmanje) dvaju tijela. Kaemo da su to sile u Newtonovom smislu ili da su to Newtonove sile. Meutim postoje inercijalne sile (npr. centrifugalna inercijalna sila) koje se pojavljuju u neinercijalnim referentnim sustavima koje ne potjeu od meudjelovanja dvaju tijela. Inercijalne sile nisu Newtonove sile! b1) Masa. Gustoa Lake je pokrenuti fieka nego kamion. Kaemo da je kamion tromiji ili inertniji od fieka. Masa fizikalana veliina kojom mjerimo inertnost tijela ili veliinu gravitacionog meudjelovanja tijela sa Zemljom. odabrana za osnovnu fizikalnu jedinicu jedinica se definira [m] 1 kilogram 1kg - masa prakilograma utega koji se uva u Parizu Gustou homogenog tijela definiramo kao omjer mase i obujma tijela: =m V

Jedinicu za gustou dobivamo iz [ ] =

[ m] = 1 kg [V ] m3

b2) Newtonovi zakoni Svakodnevno iskustvo nas upuuje na to da postoji odreena veza izmeu: - ubrzanja a tijela - mase m tijela - sile F koja djeluje na tijelo

F = konstPretpostavimo da guramo (iz mirovanja) fieka i kamion jednakom silom. Obzirom da je

mF mK slijedi da emo fieka lake pokrenuti, a takoer da emo lake poveavati brzinu fieku nego kamionu. Dakle je aF > aK .15Pripreme za razredbene ispite

Eksperiment

a~

1 m

Ubrzanje tijela je, uz djelovanje iste sile obrnuto proporcionalno s masom tijela na koje sila djeluje. Ako je m = konst (npr. djelujemo razliitim silama na fieka) tada F1 < F2 povlai a1 < a2 .Eksperiment a ~ F

Ubrzanje tijela je proporcionalno veliini (modulu) sile koja djeluje na tijelo i ima smjer sile. Ako na tijelo istovremeno djeluje vei broj sila F1 , F2 tada prethodni zakljuak vrijedi za njihovu rezultantnu FR . Dakle, FR = F1 + F2 + pa je ubrzanje tijela jednako a =

FR . Izraz ma = FR predstavlja II Newtonov zakon ili m m 1N i zovemo je Newton. s2

temeljnu jednadbu gibanja. Jedinicu za mjerenje sile dobivamo iz

[ F ] = [ m][ a ] = 1kg

Umnoak mase tijela i njegove akceleracije jednak je rezultanti svih sila koje djeluju na tijelo. Zakon smo formulirali u referentnom sustavu Zemlja (tj. Zemlja je referentno tijelo). Ukoliko je FR = 0 (ili sile ne djeluju) onda imamo

ma = 0 v a= t

v = 0 vK = vP v = vK vP

a to znai brzina tijela se ne mijenja (niti po modulu niti po orijentaciji). Drugim rijeima, ako je zbroj sila koje djeluju na tijelo jednak nuli ili nikakve sile ne djeluju, tada se tijelo giba jednoliko po pravcu ili miruje tj. FR = 0 vK = vP . To je prvi Newtonov zakon (I N. Z.). Promjenu brzine, (tj. ubrzanje) uzrokuje meudjelovanje tog tijela i drugih tijela (tj. sila). I N. Z. se esto naziva zakonom inercije. Referentni sustavi u kojima vrijedi ovako formuliran zakon inercije nazivaju se inercijalnim referentnim sustavima (IRS) (npr. povrina Zemlje je priblino IRS). Svi inercijalni referentni sustavi se, jedan prema drugom, gibaju jednolikom brzinom po pravcu. Djelovanje je uzajamno! Naziv sila i protusila se pridjeljuje postojeim silama proizvoljno!

F21 - sila s kojom na tijelo 2 djeluje tjelo 1 (npr. sila) F12 - sila s kojom na tijelo 1 djeluje tijelo 2 (protusila)III Newtonov zakon glasi

F 12

1 2

F 21

F12 = F21Protusila i sila su jednake po veliini ali su supotnog smjera. One djeluju na dva razliita tijela! (npr. sila F12 djeluje na tijelo 1 tj. hvatite tog vektora je u tijelu 1 i ona opisuje meudjelovanje tijela 2 i tijela 1 (crte)). III N. Z. vrijedi samo za dva tijela koja meudjeluju ali ne za tri ili vie tijela u (istodobnom) meudjelovanju! b3) Neke vrste sila

1 Sila tea F g - sila s kojom Zemlja djeluje na tijelo u svojoj blizini. Naime, Zemlja djeluje na sva tijela gravitacijskom silom. Pritom je gravitacijska sila tim manja to je tijelo udaljenije. Uobiajeno je gravitacijsku silu Zemlje blizu povrine Zemlje zvati sila tea.

16


Sila tea je jednaka umnoku mase m tijela i ubrzanja sile tee g.

Fg = mg

Sila tea je okomita na povrinu Zemlje (u smjeru prema sreditu Zemlje). Ubrzanje sile tee (na Zemlji) jednako je g = 9.81 ms2 . Dakako, i druge planete imaju svoju silu teu kojoj je ubrzanje razliito od navedenog na Zemlji. 2 sila pritiska, Fp - sila s kojom tijelo djeluje na podlogu na kojoj se nalazi 3 sila reakcije podloge, Fr - sila kojom podloga djeluje na tijelo koje se nalazi na podlozi. III N. Z. Fr = Fp

4 teina tijela, G - sila s kojom tijelo djeluje na podlogu na kojoj se nalazi ili na ovjes ako je objeeno.

Valja se zapitati kolika je teina tijela? Ako tijelo miruje na horizontalnoj podlozi ili se zajedno s podlogom giba jednoliko po pravcu onda imamo G = Fr iz III. N. Z. i

Fg = Fr iz I N. Z. otkuda slijedi da je teina u tomsluaju jednaka G = Fg = mg . 5 sila trenja Ftr - sila koja se javlja kad su dva tijela u dodiru - sila trenja mirovanja djeluje horizontalna vuna sila Fv , a tijelo miruje. Na njega u suprotnom smjeru djeluje sila trenja mirovanja Ftrm (koju uzrokuje podloga) - sila trenja klizanja ukoliko vuna sila Fv dovoljno poraste, i poprimi vrijednost Fvk tijelo e zapoeti kliziti po podlozi. Ako se giba konstantnom brzinom tada iz I N. Z. Ftr = Fvk .pokus sila trenja klizanja ovisi o: - pritisnoj sili Fp , s kojom tijelo djeluje na podlogu

-

Ftr = Fp

kvaliteti dodirnih ploha vrsti dodirnih ploha

- faktor (koeficjent) trenja. Opisuje ovisnost sile trenja o kvaliteti podloga i o vrstipodloga. Uoiti da sila pritiska Fp ne djeluje na tijelo nego na podlogu. Protusila te sile djeluje na tijelo i jednaka je Fr.

17


-

sila trenja kotrljanja javlja se pri kotrljanju tijela po podlozi. Stotinjak puta je manja od sile trenja klizanja.

6 Elastina sila, Fe - sila koja se javlja u deformiranom tijelu U sluaju elastine opruge ona je proporcionalna veliini deformacije opruge x. l0 - duljina nerastegnute opruge l - duljina rastegnute opruge x = l l0 je produljenje (ili skraenje) opruge

Fe ~ x Fe = k x gdje je k =

Fe koeficijent elastinosti x

opruge. On ovisi o materijalu od kojeg je opruga napravljena. Jedinica za k je

[k ] =

[ Fe ] = 1 N . [ x] m

c) Primjena Newtonovih zakona c1) horizontalni hitac U homogenom gravitacionom polju zemlje g na

visini H, tijelu damo poetnu brzinu v0 u horizontalnom smjeru i omoguimo mu da pada. Na tijelo djeluje samo sila tea Fg (otpor zraka zanemarujemo)

ma = Fg = mg a = gUz koordinatni sustav kao na slici imamo: ax = 0 , a y = g Poetni uvjeti:

t0 = 0 sx(0) = 0 m vx (0) = v0 y(0) = 0 m v y (0) = 0

m s

x komponenta gibanja je jednoliko gibanje po pravcu ax = 0 : vx ( t ) = v0 = konst., x ( t ) = v0t , y komponenta gibanja je jednoliko ubrzano gibanje po pravcu

a y = g : v y ( t ) = gt , H = y (t p ) =

y (t ) =

1 2 gt 2

Vrijeme padanja tijela odredimo iz uvjeta:

1 2 2H gt p t p = g 2 2H g

Domet D je pomak u x smjeru

D = x ( t p ) = v0t p = v0

Vektor brzine v(t ) je u svakom trenutku tangencijalan na putanju parabolu.

18


t=

x(t ) 1 x 2 (t ) y (t ) = g 2 v0 v0 2 g y (t ) = 2 x 2 (t ) 2v0

Iz Pitagorinog pouka slijedi da je veliina (modul) brzine u bilo kojem trenutku data izrazom2 v(t ) = v0 + ( gt ) 2

Horizontalni hitac moemo gledati kao kombinaciju jednolikog gibanja po pravcu u horizontalnom smjeru i jednoliko ubrzanog gibanja (slobodnog pada) u vertikalnom smjeru prema dolje.c2) kosi hitac Gibanje tijela izbaenog poetnom brzinom v0 , pod

kutem , u odnosu na horizontalu u homogenom gravitacionom polju Zemlje. Na tijelo tijekom gibanja djeluje samo sila tea Fg (zanemarujemo otpor zraka) pa slijedi ma = Fg = mg a = g U odabranom koordinatnom sustavu je

ax = 0 t0 = 0 s

m , ay = g s2

Poetni uvjeti: x(0) = 0 m vx (0) = v0 cos v0 x y(0) = 0 m v y (0) = v0 sin v0 y U x smjeru - jednoliko gibanje po pravcu

vx (t ) = v0 x = v0 cos x(t ) = v0 x t = v0 cos t

U y smjeru - jednoliko usporeno gibanje po pravcu s poetnom brzinom

v y (t ) = v0 y gt = v0 sin gt y (t ) = (v0 sin ) t 1 2 gt 2

Vrijeme uspinjanja t H do najvie visine H odreujemo iz uvjeta da je u tom trenutku ykomponenta brzine jednaka nuli. Slijedi t H = tijelo jednaka je

v0 sin . Dakle, najvia visina H koju dosegne g

H = y (t H ) =

2 2 v 2 sin 2 v0 sin 2 1 v0 sin 2 g otkuda dobivamo H = 0 . 2g g 2 g2

Ukupno vrijeme trajanja hica:

t p = 2t H =

2v0 sin g

Domet kosog hica:

D = x(t p ) = v0 cos 2 v0 sin 2 D= g

2 2v0 sin v0 2sin cos = g g

19


Jednadba putanje kosog hica:

Iz izraza x(t) za jednoliko gibanje po osi x dobivamo t = y(t) dobivamo y (t ) = x(t ) tg

x(t ) . Uvrtavanjem u izraz za v0 cos

1 g x 2 (t ) a to je jednadba putanje (parabola). 2 2 2 v0 cos

I. 3. Koliina gibanjaDrugi Newtonov zakon

ma = Fmoemo zapisati i u malo drugaijem obliku. Rabei a =

v vk v p imamo = t t

ma =Veliina

mvk mv p t

=F

mv = ptj. umnoak mase tijela i njegove brzine ima vana svojstva. Naziva se koliina gibanja (ili katkada impuls) tijela. Jedinicu koliine gibanja dobivamo iz definicije:

[ p ] = [ m][v ] = kg

m Ns spk p p t = F ili F t = p .

II Newtonov zakon sada ima oblik

Izraz I = F t se zove impuls sile i jednak je umnoku sile i vremena djelovanja sile.

[ I ] = [ F ] [ t ] = Ns

Impuls sile jednak je promjeni koliine gibanja p .a) Zakon ouvanja koliine gibanja Neka imamo zatvoreni sistem tijela, vanjske sile neka ne djeluju, ili je njihov zbroj nula za svako tijelo sustava. Neka izmeu tijela sustava djeluju sile meudjelovanja, koje zadovoljavaju trei Newtonov zakon F21 = F12 (radi jednostavnosti dvije biljarske kuglice):

p1 = m1 v1 p2 = m2 v2 p1 = m1 v1 p2 = m2 v2 pu = 1 + Promjene koliina gibanja kuglicapsu p2 pu = p1 + p2

p1 = p1 p1 p 2 = p2 p 2Ako su estice za vrijeme sudara meudjelovale vremenski interval t, tada iz III N. Z.

F 21 t = F 12 t odnosno p2 = p1 . To znai da vrijedi p2 p 2 = ( p1 p1 )' odnosno m1 v1 + m2 v2 = m1 v1' + m2 v2 . To je zakon ouvanja koliine gibanja (ZOKG)

ZOKG: Ukupna koliina gibanja zatvorenog sustava je konstanta u vremenu.

20


Ako se nakon sudara tijela gibaju zajedno apsolutno neelastini sudar. ZOKG: m1 v1 + m2 v2 = ( m1 + m2 )v12

v12 =

m1 v1 + m2 v2 m1 + m2

Dio mehanike energije (kinetike) se pretvori u unutranju energiju. Ukoliko je mehanika energija ouvana apsolutno elastini sudar

m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2Nakon sudara tijela se ne gibaju zajedno.

I. 4. Rad. Snaga. Energijaa) rad sile Kaemo da sila F vri rad ako se pod njenim djelovanjem tijelo pomakne za s . Izvreni rad sile definiramo kao umnoak komponentne sile u smjeru pomaka i veliine tog pomaka. W = F s ili W = F s cos

ili kao skalarni produkt

W = F sPretpostavljamo da je sila konstantna i po veliini i po smjeru na itavom pomaku. Jedinica za mjerenje [W ] = [ F ] [ s ] = Nm J dul Rad je pozitivan kad je F istog smjera kao i s , tj. W > 0 kad je < 90 Rad je negativan kad je F suprotnog smjera od s , tj W < 0 kad je 90 < < 270 Rad je jednak nuli, W = 0 za 1 s = 0 nema pomaka 2 F = 0 tj. sila okomita na pomak. Sila F nikada ne vri rad.Grafiko raunanje rada: Povrina ispod F-s dijagrama brojano odgovara izvrenom radu. Ako je sila konstantna tijekom gibanja onda je situacija prikazana na crteu:

Za elastinu silu Fe = k x (uoiti da sila nije konstantna tijekom gibanja) rad je

brojano jednak povrini trokuta (crte):

W=

1 1 Fe x = kx x 2 2 1 W = k x2 2

21


Openito: Ako se sila mijenja (crte) tada uzimamo male pomake s1

na kojima moemo silu Fs1 smatrati konstantom. Raunamo mali doprinos rada W1 = Fs1 s1 a ukupan rad dobijemo zbrajanjem ovih malih doprinosa rada W = W1 + W2 + ...Korisnost ureaja,

WU - uloeni rad WK - korisni (dobiveni) rad W P Tada je = K = K . Uvijek je 0 < < 1. WU P Ub) snaga Ako sila F djelujui na tijelo tijekom intervala vremena t, izvri nad njim rad W, tada definiramo srednju snagu te sile

P= P =

Snaga je omjer izvrenog rada W i vremenskog intervala t za koji je dani rad izvren.

W = F v t

[ P] =

[ W ] = 1 J [ t ] s

1W W kada t

Ako t0 tada dobivamo trenutnu snagu P tj. to je granina vrijednost omjera t0! Dobivamo P = F v gdje je v trenutna brzina. c) mehaniki oblici energije Zaliha rada kojeg tijelo moe izvriti mijenjajui svoje stanje naziva se energijom.c1) energija gibanja (kinetika energija) Posjeduje ju tijelo koje se giba. Ovisi o: - masi Ek ~ m 1 2

2 - brzini Ek ~ v 2 Pogledajmo tijelo mase m, koje lei na horizontalnoj podlozi i miruje. Neka na njega pone djelovati konstantna sila F u horizontalnom smjeru ( Ftr - zanemarujemo). Nakon to tijelo prevali put s ono ima brzinu v (jednoliko ubr. gib.). Sila F jeizvrila rad W = F s = ma

Ek =

mv

v 1 2 = mv 2a 2

Ako tijelo koje se giba brzinom v ima kinetiku energiju

Ek = W =Naputak:

1 2 mv 2

Kada se kae zaliha rada onda se ne misli da je rad pohranjen u tijelu tj. ne misli se da tijelo ima rad. Rad nije funkcija stanja tijela (vidjeti poglavlje o toplini). To znai da tijelo ne sadri rad u sebi. Takoer, koliina topline i toplinski kapacitet tijela nisu funkcije stanja tijela. U drugu ruku, obujam, broj estica, unutarnja energija su funkcije stanja tijela (dakle, te veliine tijelo sadri u sebi). Rad se pojavljuje pri meudjelovanju dvaju ili vie tijela. U tom procesu se mijenjaju energije tih tijela. Analogna tvrdnja vrijedi za koliinu topline i toplinski kapacitet tijela.

22


c2) Energija poloaja u homogenom gravitacionom polju

- Gravitaciona potencijalna energija, E pg Posjeduje ju tijelo koje se nalazi u gravitacionom polju. Ovisi o: - masi E pg ~ m visini

E pg ~ h

jakosti gravitacionog polja E pg ~ g

E pg = mghRazina (referentno tijelo) od koje se mjeri visina moe se proizvoljno odabrati, jer je u svim fizikalnim pojavama vana ne sama potencijalna energija E pg , ve njena promjena E pg kojom se odreuje izvreni rad. Dakle, E pg ovisi otkuda mjerimo visinu a E pg ne ovisi o tome. Neka tijelo mase m podiemo s povrine Zemlje jednoliko malom brzinom (pa Ek moemo zanemariti). Znai tijelo podiemo silom F = Fg . Rad te sile na putu h jednak je W = F h = m g h. Ako tijelo ispustimo s te visine tako da ono padne na povrinu Zemlje, ono moe izvriti upravo toliki rad, tj. u stanju na visini h ima zalihu rada mgh tj.

E pg = mghc3) potencijalna elastina energija, E pe

To je energija pohranjena u deformiranom tijelu. U sluaju elastine opruge ovisi o: - deformaciji E pe ~ x 2 konstanti elastinosti E pe ~ k

Da bismo oprugu rastegli (ili stisnuli) za x, moramo izvriti rad nad njom jednak W =

1 2 kx 2

Kad se opruga vraa u nerastegnuto stanje, moe upravo toliki rad izvriti, tj u stanju protegnua x ima zalihu rada, tj. elastinu potencijalnu energiju

E pe =

1 2 kx 2

d) Zakon ouvanja mehanike energije (Emeh = Ek + Epg + Epe) Gledamo tijelo mase m koje slobodno pada s visine H (otpor zraka zanemarujemo). U stanju 1 tijelo ima ukupnu mehaniku energiju Eu1 = Ek1 + E pg1 = 0 + mgH = mgH ;

u stanju 2

Eu 2 =u stanju 3

2 mv2 m + mgh = 2h1 g + mgh = mg (h1 + h) = mgH ; 2 2

2 mv3 m Eu 3 = + 0 = 2 gH = mgH . 2 2

Dakle, tijelo ima jednaku energiju u stanjima 1, 2 i 3 a takoer i u svim ostalim meustanjima koja nismo naveli. Kaemo da je mehanika energija ouvana

Eu1 = Eu 2 = Eu 3 = mgH = konst.

23


Openito, u zatvorenom sustavu (u kojem nema sila trenja i sila otpora (disipativnih sila)) je zbroj svih oblika mehanike energije konstantan tijekom vremena, tj.

Ek 1 + E pg1 + E pe1 = Ek 2 + E pg 2 + E pe 2ili

Ek + E pg + E pe = konst. ZOME!Energija moe mijenjati oblik, ali se ne moe niti stvoriti, niti unititi! Ukoliko u sustavu postoje sile trenja tada mehanika energija nije ouvana. Tada je Ek 2 < Ek 1 tj. sila trenja je potroila dio mehanike energije Wtr = Ek 1 Ek 2 = Emeh . Mehanika energija prelazi u unutranju energiju tijela. Opi zakon ouvanja energije: ukupna koliina energije svih oblika, ukljuujui i mehaniku i sve oblike unutarnje energije, ostaje itavo vrijeme konstantnom. (E1 = E2 + W)

I. 5. Dinamika krunog gibanjav vektor obodne R brzine v mijenja smjer. Dakle, modul obodne brzine je konstantan v1 = v2 = v ali je v1 v2 .Pri jednolikom gibanju po krunici (konstantnom) kutnom brzinom = Znai, zbog promjene smjera obodne brzine v = v 2 v1 tijekom odgovarajueg intervala vremena t = t2 t1 postoji akceleracija a = promjene obodne brzine v . Kad t 0, tada 0, tj. 1 90 i v v (crte). Dakle, vektor v je okomit na vektor v1 i u smjeru je prema sreditu rotacije. Znai ubrzanje a takoer je u smjeru prema sreditu rotacije i zove se centripetalno ubrzanje. Pitanje je koliki je modul centripetalnogubrzanja. Moe se pokazati da je acp =

v . Akceleracija a ima smjer jednak smjeru t

v2 . R

Izraz za centripetalno ubrzanje se moe zapisati na vie meusobno ekvivalentnih naina: Rabei izraz za obodnu brzinu v = R imamo acp = 2 R . Slino, rabei izraz za obodnu brzinu v = acp = 4 2 R. T22R gdje je T period rotacije imamo T

Centripetalno ubrzanje se pojavljuje kod svih gibanja kojima putanja (trajektorija) nije pravac. To je istina zato jer zakrivljene dijelove putanje moemo shvatiti kao krune lukove na kojima (kao i kod gibanja po krunici) imamo centripetalno ubrzanje. U vezi sa centripetalnim ubrzanjem uvodi se pojam centripetalne sile Fcp = m acp kojega valja ispravno razumjeti. Centripetalna sila nije neka posebna sila nego je to nain djelovanja jednog ili vie tijela na uoeno tijelo mase m pri emu to meudjelovanje dovodi do gibanja uoenog tijela po krunom luku (ili krunici). Znai, razliite sile mogu igrati ulogu centripetalne sile (gravitacijska sila, sila trenja klizanja, Coulombova sila, magnetski dio Lorentzove sile ...) Navedimo sada razliite meusobno ekvivalentne izraze za centripetalnu silu.

Fcp = macp =

mv 2 mv 2 4 2 m tj. Fcp = ili Fcp = m 2 R ili Fcp = R. T2 R R

24


Ulogu centripetalne sile moe igrati npr. gravitaciona sila (gibanje m v 2 mZ M S . Zemlje oko Sunca). Znai imamo Z = R R2 Slino, u Bohrovom modelu atoma vodika ulogu m v 2 kq q centripetalne sile igra Coulombova sila. Dakle, vrijedi e = e 2 p . R R

Sila trenja (automobil mase m u zavoju polumjera R). Vrijedi

mv 2 = mg R

ako je podloga horizontalna.

Ulogu centripetalne sile moe igrati i rezultanta FR dvije ili vie sila.

Npr. tijelo objeeno o nit koje se vrti u horizontalnoj ravnini. FN - sila napetosti niti i Fg - sila tea na tijelo Rezultanta tih sila je FR = Fg2 + FN2 + 2 Fg FN cos i vrijedi

FR = Fcp . Ali nema straha od zaguljenih formula! Neka je kut izmeu sila FN i FR. Vrijedi Fg ctg = Fcp.

Ako se tijelo giba ubrzano po krunici tada vektor ubrzanja a ne gleda prema sreditu. Rastavljamo ga tada na: radijalnu komponentu ar = obodne brzine at =

v2 R

tangencijalnu komponentu uzrokovanu promjenom iznosa

at = R gdje je kutno ubrzanje tijela.

v =R = R tj. t t

I. 6. Inercijalni i neinercijalni sistemi referencijea) inercijalni sustav referencije sustav referencije u kojem vrijedi zakon inercije (I N. Z.) Newtonovi zakoni vrijede samo u inercijalnim referentnim sustavima. Prvi Newtonov zakon upravo postulira postojanje takavog sustava. Svi ostali referentni sustavi koji se jednoliko gibaju po pravcu u odnosu na taj sustav su takoer inercijalni referentni sustavi. Npr. uzmemo da je povrina Zemlje priblino inercijalni sustav. Tada je tramvaj koji se jednoliko giba na ravnoj pruzi takoer inercijalan sustav. Slino, avion pri pravocrtnom jednolikom gibanju, automobil pri jednolikom pravoctnom gibanju po Klaievoj ulici, muha pri jednolikom pravocrtnom letu su inercijalni sustavi. Meutim, gumeni ep koji se jednoliko giba po krunici nije inercijalan sustav! Istu fizikalnu pojavu mogu opisivati dva razliita promatraa iz dvaju razliitih inercijalnih sustava koji se meusobno gibaju relativnom brzinom V .Npr. promatra u sistemu zemlja - miruje promatra u sistemu tramvaj - giba se u odnosu na zemlju po pravcu brzinom V pojava - gibanje putnika u tramvaju iz poloaja 1 u poloaj 2.

25


R - pomak sistema tramvaj u odnosu na sistem zemlja za t rT - pomak putnika u sistemu tramvaj za trZ - pomak putnika u sistemu zemlja za tRabei crte nalazimo vezu izmeu pomaka: rZ = R + rT - relativne veliine Uzmimo radi jednostavnosti da je putnik materijalna toka te da se giba u smjeru relativne brzine V . Uzmimo takoer os x tako da se ona podudara sa smjerom vektora V . Slijedi xZ = X + xT ; yZ = yT ; zZ = zT ; tZ = tT . Obzirom da je X = VtT slijedi

xZ = xT + VtT yZ = yT zZ = zTDobiveni izrazi zovu se Galilejeve transformacije.

tZ = tT Prema pretpostavci vrijeme je u klasinoj fizici apsolutno tj. neovisno o promatrau. Znai, vrijeme jednako tee za promatraa u inercijalnom sustavu Zemlja kao i u inercijalnom referentnom sustavu tramvaj. Ako vrijeme jednako tee u svim inercijalnim sustavima onda su i vremenski intervali jedne te iste pojave meusobno jednaki u tim sustavima tZ = tT t . U klasinoj (Newtonovoj) fizici se uzima da je brzina prenoenja meudjelovanja izmeu dvaju tijela neizmjerno velika. to to znai? Pogledajmo dva tijela koja miruju na nekoj udaljenosti. Neka tijela meudjeluju gravitacijskom (ili elektrinom) silom. Pretpostavimo da se jedno od tih tijela priblii (ili udalji) od drugog tijela. Koliko treba vremena da drugo tijelo osjeti pomicanje prvog tijela? Ako se gravitacijsko (ili elektrino) meudjelovanje prenosi konanom brzinom onda je za to potrebno neko konano vrijeme. U klasinoj fizici uzimamo da drugo tijelo osjeti promjenu meudjelovanja istodobno s pomicanjem prvog tijela! Dakle, brzina prenoenja meudjelovanja izmeu tijela je neizmjerno velika.Kako su povezane brzine putnika izmjerene u razliitim sistemima? r vT = T - brzina putnika izmjerena u sistemu tramvaj tT

vz =V=

rZ - brzina putnika izmjerena u sistemu zemlja tZR - brzina tramvaja u sistemu zemlja tZ

rZ r R = + T tj. vz = V + vT - relativne veliine tZ tZ tT Ako se putnik giba jednoliko ubrzano v aZ = z - ubrzanje u sistemu zemlja t z aT = vT - ubrzanje izmjereno u tramvaju tT

26


iz vz = V + vT slijedi vz = V + vT . No, tramvaj se giba jednoliko po pravcu V = 0 vZ vT Rabei vZ = vT dobivamo a to povlai aZ = aT . - apsolutne veliine = tZ tT Valja uoiti da su relativne veliine one koje su meusobno povezane Galilejevim transformacijama (vektori poloaja, brzine). Apsolutne veliine ne ovise o izboru inercijalnog sustava (ubrzanje, vrijeme). Jednadbe gibanja, tj. II N.Z. imat e isti oblik u svim inercijalnim sistemima referencije

mZ aZ = FZ mT aT = FTSile meudjelovanja u oba inercijalna sustava su iste.b) neinercijalni sistem referencije - sistem referencije koji se giba ubrzano u odnosu na referentno tijelo. Npr. tramvaj pri polasku sa stanice ili dolasku na stanicu, automobil u zavoju, Zemlja pri gibanju oko Sunca. Radi jednostavnosti promatrat emo pravocrtno gibanje sustava. Sistem tramvaj i sistem zemlja. Promatramo uteg objeen o nit u tramvaju. Inercijalni sustavi PZ - uteg se za njega giba jednoliko po pravcu

brzinom V . Kako to objanjava? Djeluju sile

Fg - sila tea i FN - napetost niti. Sile lee naistoj vertikali i njihov zbroj jednak je nuli. Fg + FN = 0 V = konst.

PT - uteg za njega miruje. Djeluju sile Fg i FN ,njihov zbroj je jednak nuli uteg miruje.Inercijalni i neinercijalni sustavi PZ - (inercijalni promatra) - za njega se uteg giba

jednoliko ubrzano po pravcu. Djeluju sile Fg i FN koje vie ne lee na istom pravcu. Rezultanta tih sila je razliita od nule a to znai da se uteg giba jednoliko ubrzano: FR 0 ma = FR .

PT - (neinercijalni promatra) za njega uteg miruje.On zapaa sile meudjelovanja Fg i FN ija je rezultanta FR 0 , tj. ne vrijedi I Newtonov zakon. Dakle, uteg mase m miruje a ukupna sila na njega je razliita od nule?! To se protivi II N. Z. Da li odbaciti Newtonove zakone ili modificirati pojam sile? Rjeenje: promatra u neinercijalnom sustavu uvodi novi tip sile virtualnu silu tj. inercijalnu silu Fi = ma . Inercijalna sila je po veliini (modulu) jednaka umnoku mase tijela i ubrzanja sustava Fi = ma , a po smjeru suprotna od smjera ubrzanja sustava. Zbroj inercijalne sile Fi i rezultante FR je jednak nuli Fi + FR = 0 . Sada smo ponovo uspostavili valjanost I N. Z., a takoer i II N. Z. Valja uoiti da sila Fg opisuje meudjelovanje utega i Zemlje. Slino, sila FN opisuje meudjelovanje utega i niti. Koje tijelo djeluje na uteg inercijalnom silom Fi ? Nema takvog tijela. To znai da inercijalna sila nema protusilu. Time je naruen III N. Z. On ne vrijedi u neinercijalnom referentnom sustavu.

27


Ako se promatra nalazi u rotirajuem sustavu (jednoliko kruenje) tada e on osim sile Fe (elastine sile rastegnute opruge) morati uvesti inercijalnu silu Fi koju esto nazivamo centrifugalnom silom Fcf , a trebalo bi preciznije centrifugalna inercijalna sila Fcfi . Vrijedi

Fcfi =

mv 2 i usmjerena je od sredita vrtnje. R

Uvodi ju samo promatra koji rotira zajedno s tijelom PR (neinercijalan sustav). Za promatraa na Zemlji PZ (koji je u inercijalnom sustavu) centrifugalna inercijalna sila Fcfi ne postoji!

I. 7. Opi zakon gravitacijea) Keplerovi zakoni

1 Planeti se oko Sunca gibaju po elipsama. U jednom od arita je Sunce.

2 U jednakim vremenskim intervalima spojnica Sunca i planeta prebrie jednake povrine. 3 Za svaki planet je omjer kvadrata ophodnog vremena T i kuba njegove srednje udaljenosti od Sunca R jednak konstanti: 4 2 s2 T2 = konst. Vrijednost konstante se moe izraunati: konst = = 2.97 1019 3 . MS m R3 Za sve planete je ovisnost njihova ubrzanja ap o udaljenosti od Sunca r sljedeeg oblika:

ap =

MS r2 mp M S r2, - gravitacijska konstanta

Na planet djeluje gravitaciona sila

Fp = ma p =

Newton uz pretpostavku postojanja sile ovakve vrste izmeu Zemlje i Mjeseca uspjeva objasniti gibanje Mjeseca oko Zemlje. Newton 2222222 generalizira: Bilo koja dva tijela masa m1 , odnosno m2 na razmaku r (dimenzije tjela su zanemarive u odnosu na taj razmak tj. smatramo ih materijalnim tokama ili kuglama) se meusobno privlae gravitacionom silom

F =

je gravitacijska konstanta i dobivena je mjerenjem. Drimo da je svagdje u svemiruvrijednost gravitacijske konstante jedna te ista:

m1m2 r2

- opi zakon gravitacije

= 6.67 1011

Nm 2 kg 2

Gravitaciona sila je proporcionalna umnoku masa tijela i obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti izmeu tih tijela.

28


b) gravitaciono polje To je prostor oko masivnog tijela M, u kome se osjea gravitaciono djelovanje tog tijela. Za opisivanje polja uvodimo nekoliko veliina: b1) jakost gravitacionog polja, g m - probna masa F - sila s kojom u datoj toki na probnu masu m djeluje tijelo mase M

g=

F - jakost gravitacionog polja u datoj toki (u kojoj se m

nalazi probna masa). Ovisi samo o poloaju toke i o tijelu koje stvara polje M. Karakteristika toke polja

[g] =

[F ] = N = m [ m] kg s 2

- to je ubrzanje (dakle, jakost gravitacijskog polja u nekoj toki prostora

valja shvatiti kao ubrzanje koje e materijalna toka doivjeti u toj toki polja!) Ukoliko je tijelo M sferno (dakle kugla) ili tokasto onda je grav. sila jednaka F = jakost grav. polja jednaka je g =

mM ,a r2

M . r2

b2) gravitacioni potencijal Dovodimo iz probnu masu m u toku 1 u gravitacijskom polju tijela M. Pritom gravitaciona sila izvri rad W1 (naime tijelo M privlai probnu masu m), tj. u toki 1 probna masa m raspolae potencijalnom gravitacionom energijom koja je tim vea to je vea masa m. Vrijedi E pg ~ m . Relacijom

1 =

E pg1 m

se definira gravitacijski potencijal tijela M u toki u kojoj se nalazi probna masa m.

toki Jedinica gravitacijskog potencijala jednaka je Jkg1:

[ ] =

[E] = J . [ m] kg

Potencijalna

gravitacijska energija proizvoljnog tijela mase m u gravitacijskom potencijalu (koji potjee od drugih tijela) jednaka je E pg = m . Gravitacijski potencijal sfernog (ili tokastog) tijela mase M jednak je (r ) = Potencijalna gravitacijska energija jednaka je E pg (r ) =

M . r

mM gdje smo uzeli da je r

E pg () = 0 (time smo odredili proizvoljnu konstantu u potencijalnoj energiji). Ovaj izrazprelazi u poznati oblik E pg = mgh E pg = mgh koji vrijedi za proizvoljno tijelo mase m na udaljenosti h od povrine planete koja ima ubrzanje sile tee jednako g.b3) kozmike brzine prva: vI To je brzina s kojom treba izbaciti u horizontalnom smjeru tijelo da ono postane satelit datog objekta:

Fg = Fcp mg =

mvI2 to povlai vI = gR R29Pripreme za razredbene ispite

druga: vII To je brzina kojom treba vertikalno izbaciti neko tijelo (s povrine planete) pa da ono ode u , tj. oslobodi se gravitacijskog polja. Izraz za drugu kozmiku brzinu dobijemo iz zakona ouvanja energije (ZOE):

Ek 1 + E pg1 = Ek + E pg = 02 mvII mM =0 R 2 M vII = 2 = 2 gR = 2vI R

I. 8. Hidrostatika i hidrodinamikaFluidi: Tekuine: Plinovi: - tekuine i plinovi - malo stlaive, mogu tei tj. lako mijenjaju oblik - lako mijenjaju obujam i oblik. To su nakupine molekula (atoma) na sluajan nain rasporeenih koje se dre na okupu slabim silama.

a) pritisak i tlak Silu F koja djeluje na neku povrinu veliine A nazivamo silom pritiska ili kratko pritiskom. Tlak definiramo kao skalarnu veliinu p =

F . Ako je okomita komponenta sile konstantna A

na cijeloj povrini onda moemo pisati

p=

F A

Tlak je omjer normalne komponente F sile koja djeluje na povrinu kojoj je plotina A. Jedinica za mjerenje jednaka je 1 Pa:

[ p] =

[F ] = 1 N [ A] m 2

1Pa , Paskal

Atmosferski tlak 1 atm = 1.013 105 Paa1) Pascalov zakon Vanjska sila djeluje na fluid (tekuinu) (povrinska sila F) plotina klipa A. Tlak kojeg povrinska sila F uzrokuje u toki 1 iznosi

p1 =

F A

Mjerimo li tlakove u preostalim oznaenim tokama dobivamo p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 - Pascalov zakon Kad djeluju samo povrinske sile tlak u svim tokama unutar tekuine je jednak. Drugim rijeima, tlak kojeg stvaraju povrinske sile prenosi se bez izmjena u svaku toku tekuine. primjena hidraulini tijesak Da bi sile bile u ravnotei tlakovi u svim tokama tekuine moraju biti jednaki tj. p1 = p2 to povlai

F1 F2 = . A1 A2

30


a2) tekuina pod djelovanjem sile tee hidrostatski tlak U cilindrinoj posudi baze A imamo mirnu tekuinu gustoe i visine h i konstantne temperature. Tekuina se nalazi u gravitacionom polju jakosti g. Na dno posude e djelovati sila teina tekuine jednaka sili tei Fg .

Tlak na dno posude uzrokovan teinom tekuine iznosi

mg A h g = i zove se hidrostatski tlak. A A A hidrostatski tlak: ph = gh ph = Fg =ovisi o: - gustoi fluida - jakosti gravitacijskog polja - dubini ispod povrine fluida Uzme li se u obzir da na povrinu fluida djeluje npr. atmosferski tlak pa , tada je na dubini h ukupan tlak jednak

p = pa + ph = pa + gh

b) Sila uzgona Fu . Arhimedov zakon Kad se vrsto tijelo uroni u tekuinu sa svih strana tekuina tlai njegovu povrinu. Kako je tlak na veoj dubini vei, pojavljuje se rezultantna sila koja djeluje na tijelo suprotno od smjera sile tee tj. uvis. Tu silu nazivamo silom uzgona Fu .

Radi jednostavnosti pogledajmo silu na vertikalno uronjeni kvadar visine h i baze A. Sile F3 i

F4 jednake su po iznosu, ali su suprotne orijentacije tj. F3 + F4 = 0 . Isto tako F5 + F6 = 0 .Rezultantna sila (sila uzgona) je

Fu = F2 F1 = p2 A p1 A =

= gh2 A gh1 A = = gA(h2 h1 ) = gAh Fu = gV - sila uzgona - gustoa fluidag - jakost gravitacionog polja V - volumen istisnutog fluida (ili uronjenog dijela tijela V = A h) Uoimo da je: V = m masa istisnutog fluida Fu = mg - teina istisnutog fluidaArhimedov zakon: Tijelo uronjeno u tekuinu prividno gubi na svojoj teini onoliko koliko tei istisnuta tekuina. plivanje tijela u fluidu: Fu > Fg - tijelo ispliva na povrinu

f - gustoa fluida t - gustoa tijela f gV > t gV f > t - uvjet plivanja

31


lebdjenje tijela u fluidu: Fu = Fg - tijelo ostaje na datoj dubini

f = t - uvjet lebdjenjatonjenje tijela u fluidu: Fu < Fg - tijelo tone

f < t - uvjet tonjenja

c) dinamika fluida Promatramo tok idealnog fluida: - pretpostavljamo da nema viskoznosti (unutarnjeg trenja) - tok je stacionaran (laminaran) tj. putanje djelia fluida se ne sijeku - zamiljamo da je fluid konstantne gustoe, tj. ne moe se stlaiti c1) jednadba kontinuiteta (neprekidnosti) Tekuina prolazi laminarno kroz cijev promjenjivog presjeka. Definiramo maseni protok kroz neki presjek kao masa tekuine m koja za vrijeme t proe kroz popreni presjek A cijevi na crteu:

Slino, uvodi se volumni protok kao obujam fluida V koji za vrijeme t proe kroz popreni presjek A cjevi na crteu:

m t kg [ qm ] = 1 s qm =

Veza izmeu tih veliina je oblika qm = qV . Izvod jednadbe kontinuiteta: Pri stacionarnom toku nestlaivog fluida, za vrijeme t kroz presjek A1 protee masa

V t m3 [ qV ] = 1 s qV =

m1 = A1 v1tIsta takva masa mora proi i kroz presjek A2 zbog nestlaivosti

m2 = A2 v2 t Mora biti m1 = m2 (tekuina ne istjee iz cijevi osim na poetku i na kraju cijevi). Slijedi A1 v1t = A2 v2 tJednadba kontinuiteta je oblika

A1v1 = A2 v2ili openito A v = konst.

32


To moemo iskazati i preko volumnog protoka

qV =tj.

A vt = Av t

qV = konst.Jednadba kontinuiteta nam kae da je volumni protok du cijevi konstantan. c2) Bernoullijeva jednadba Povezuje tlak unutar fluida s njegovom brzinom i poloajem u gravitacionom polju.

p1 - statiki tlak s kojim fluid s lijeve strane djeluje na presjek A1 p2 - statiki tlak s kojim fluid s desne strane djeluje na presjek A2Za vrijeme t volumen

V1 = A1 v1t

se premjesti s poloaja h1 i brzine v1 na mjesto volumena

V2 = A2 v2 t = V1 V na poloaju h2 i brzine v2 .Taj premjetaj su izvrile sile pritiska, koje su pritom izvrile rad

W = p1 A1 v1t p2 A2 v2 t = = ( p1 p2 ) VIzvreni rad je rezultirao promjenom kinetike energije

Ek =

m = V i promjenom gravitacijske potencijalne energije

1 2 1 2 mv2 mv1 2 2

E pg = mgh2 mgh1

33


Kako je rad sila pritiska jednak promjeni mehanike energije

W = Ek + E pg 1 2 1 ( p1 p2 ) V = v2 v12 + gh2 gh1 V 2 2 1 1 1 2 1 p1 + v12 + gh1 = p2 + v2 + gh2 2 2 2 2ili

p+

1 2 v + gh = konst. - Bernoullijeva jednadba 2

Dakle, Bernoullijva jednadba opisuje injenicu da je ukupni tlak unutar tekuine koja se giba konstantan du cijevi.

U tehnikoj hidrodinamici se esto primjenjuju sljedei termini: - p statiki tlak -

1 2 v - dinamiki tlak 2 ph = gh - hidrostatski tlak 1 p + pd = p + v 2 - hidrodinamiki tlak 2

pd =

Ozbiljni fiziari se obino mrte na te termine!Torricellijeva formula istjecanja tekuine U posudi, poprenog presjeka A1 , imamo idealnu tekuinu do visine h. Kojom brzinom e

tekuina istjecati kroz mali otvor A2 na dnu posude? Kako je

A2 A1

1

iz jednadbe kontinuiteta slijedi

v1 A2 = v1 v2 A1

v2 v

tj. uzimamo da je brzina sputanja nivoa tekuine u posudi zanemariva. Bernoullijeva jednadba

1 1 02 + gh = pa + v 2 + g 0 2 2 v = 2 gh - Torricellijeva formula istjecanja

pa +

9. Rotacija krutog tijelaa) rotacija krutog tijela oko fiksne osi Kruto tijelo ne moe se deformirati. Udaljenosti izmeu bilo koje dvije estice tog tijela se ne mijenjaju tokom vremena. Pri rotaciji oko fiksne osi 0 sve estice imaju jednaku kutnu brzinu . i-ta estica ima pritom kinetiku energiju

mi vi2 2 vi = ri Eki =34Pripreme za razredbene ispite

Eki = Ekr =

1 mi ri 2 2 2

Ukupna kinetika energija krutog tijela (energija rotacije):

1 1 1 m1r12 2 + m2 r22 2 + ... + mi ri 2 2 + ... 2 2 2 1 = mi ri 2 2 2 i Definiramo moment tromosti (inercije):

I = mi ri 2i

To je mjera tromosti tijela u odnosu na rotaciju:

[ I ] = [ m] v 2 = kgm2 Ekr =1 2 I 2

Kinetika energija rotacije:

Momenti tromosti za neka tijela: prsten (cilindrina ljuska)

I CM = MR 2

valjak (cilindar) i disk

I CM =

1 MR 2 2

tap (oko CM)

I CM =

1 ML2 12

tap (oko jednog kraja)

1 I CM = ML2 3kugla

I CM =

2 MR 2 5

sfera

I CM =

2 MR 2 3

35


a1) Steinerov pouak (teorem o paralelnim osima) Usporedimo li momente tromosti tijela za dvije meusobno paralelne osi vrtnje (neka jedna od njih prolazi kroz centar mase CM tijela) koje su na razmaku d, tada vrijedi Steinerov pouak

I 0 = I CM + Md 2

a2) Moment sile, M moment sile M definiramo kao M=kF gdje je k krak sile (najkraa udaljenost od osi vrtnje do pravca djelovanja sile) F veliina (modul) sile

[ M ] = [ k ][ F ] = m NM =r F

Openita definicija preko vektorskog produkta

r - radijus vektor spaja os vrtnje s hvatitem sileModul tog vektora je

M = rF sin = povrina paralelograma M = kF k sin = r sin = k r

Smjer momenta se odreuje pravilom desne ruke: Prstima pokazujemo smjer preklapanja prvog faktora ( r ) na drugi ( F ). Tada palac pokazuje smjer momenta sile M .Uvjet ravnotee obzirom na rotaciju (vrtnju) tijela:

M1 + M 2 + M3 = 0tj.

M1 = M 2 + M 3ili

k1 F1 = k2 F2 + k3 F3Zbroj svih momenata sila u odnosu na datu os mora biti jednak nuli! Uoimo da je to nuno ali ne i dovoljno da bi tijelo bilo u statikoj ravnotei. Tijelo je u statikoj ravnotei ako je zasebno zbroj svih sila i zbroj svih momenata tih sila oko neke osi jednak nuli. a3) veza izmeu momenta sile i kutne akceleracije mi - masa i-tog djelia

Fit - tangencijalna komponenta sile koja djeluje na i-tidjeli tijela Ta komponenta dovodi do tangencijalne akceleracije

Fit = mi aitMoment te sile u odnosu na centar vrtnje 0 je

M = M i = mi ri 2 i i tj.M=I .

36


a4) Rad, snaga i energija rotacionog gibanja

W = F s = ( F sin ) s = = ( F sin ) r = M Rad pri malom pomaku s , tj. malom zakretu jednak je W = M Trenutna snaga jednaka je

P=

W =M otkuda slijedi P = M . t t 1 2 1 2 I1 I 2 2 2

Ukupan rad vanjskih sila jednak je promjeni kinetike rotacione energije:

Wtr = EKR1 EKR 2 =

b) kotrljanje i moment koliine gibanja Kod kotrljanja tijela, os rotacije vie nije fiksirana u prostoru.

vCM =

s R = = R - uvjet istog kotrljanja t t

Kotrljanje se moe shvatiti kao kombinacija iste translacije i iste rotacije. Pogledajmo:

Ukupna kinetika energija valjka, mase M i radijusa R, koji se kotrlja moe se zapisati u obliku

EK =

1 I P 2 2

I P - moment tromosti valjka s obzirom na trenutnu os vrtnje (oko toke P) I P = I CM + MR 2 1 1 EK = I CM 2 + M ( R ) 2 2 2 1 1 2 EK = I CM 2 + MvCM 2 2To je zbroj rotacione kinetike energije oko centra mase

1 I CM 2 2i translacione kinetike energije centra mase

1 2 MvCM 2

37


Dario Mi i

Fizika II






II. TOPLINATemperatura mjera za stupanj zagrijanosti nekog tijela. Jedinica za temperaturu je kelvin, K. Unutranja energija (U) zbroj kinetikih i potencijalnih energija svih estica koje tvore dano tijelo (mjerene u odnosu na sustav referencije u odnosu na koji tijelo miruje).

U = ( Eki + E pi )i =1

N

Koliina topline (Q) Dio unutranje energije koji prelazi s jednog tijela na drugo tijelo.

1. TERMIKO RASTEZANJEPromjene dimenzija tijela uzrokovane promjenom temperature tijela.

a) Linearno rastezanjetap (metalni) duljine l0 na temperaturi t0 . Produljenje zbog promjene temperature je l = lt l0 .

Iz pokusa je zakljueno da je: l ~ t = t t0

l ~ l0 l ovisi o vrsti tvariTo je obuhvaeno relacijom

l = l0 t

gdje je termiki koeficijent linernog rastezanja. Jedinicu za dobivamo iz relacije

=Slijedi [ ] =

l 1 l0 t

m 1 1 = K 1 = 0C 1 . m K Klt = l0 (1 + t )

Linearno rastezanje raunamo iz

Za metale je ~105 K 1 . esto se uzima

t0 = 0C

t = t 0 = t pa je gornja relacija oblika

lt = l0 (1 + t )

b) Volumno rastezanjeZamislimo metalni kvadar stranica a0 , b0 , c0 na temperaturi Na temperaturi t > t0 kvadar je oblika

t0 .c0

ctgrijanje kvadra

b0 a0

bt atNjegov obujam je Vt = at bt ct .

Njegov obujam je V0 = a0b0 c0 .

38


Pretpostavljamo da se kod grijanja (hlaenja) kvadar jednako rastee (stee) u svim smjerovima. Tada imamo

Vt = at bt ct = a0b0 c0 (1 + t ) =3

= V0 1 + 3 t + 3 ( t ) + ( t )2

(

3

)

Zanemarujemo lanove s 2 i 3 u odnosu na lan s . Dobivamo

Vt = V0 (1 + 3 t )Uvodi se oznaka za termiki koeficijent volumnog rastezanja = 3 pa imamo

Vt = V0 (1 + t )ili za

t0 = 0C

Vt = V0 (1 + t ) .

2. IZMJENA TOPLINE. AGREGATNA STANJAa) Izmjena toplineDva tijela na razliitim temperaturama izmjenjuju toplinu: - voenjem (lica u aju) - konvekcijom (zagrijavanje zraka u sobi radijatorima) - zraenjem (sunanje) Toplina s tijela vie temperature t1 prelazi na tijelo nie temperature t2 dok ne nastupi termodinamika ravnotea. U termodinamikoj ravnotei tijela imaju meusobno jednaku temperaturu .

Koliina topline (Q) koju neko tijelo moe predati (ili primiti) ovisi o masi tijela (m), razlici poetne i konane temperature (t) i vrsti tijela. Vrstu tijela opisujemo specifinim toplinskim kapacitetom (c). To se moe zapisati u obliku Qm t = t c odnosno Q = m c t.Pogledajmo gornji crte:

Q1 = m1c1t1 je koliina topline koju predaje prvo tijelo Q2 = m2 c2 t2 je koliina topline koju primi drugo tijelo U zatvorenom sustavu (idealnom kalorimetru) je energija ouvana: Q1 = Q2 to jest (Richmanovo pravilo smjese) m1c1 (t1 ) = m2 c2 ( t2 ) . Q . Jedinicu za specifini toplinski kapacitet dobivamo iz c = m t J Slijedi [ c ] = 1 . kgK39 Pripreme za razredbene ispite

b) Promjena agregatnih stanja

vrsto stanje: - amorfno neureen raspored atoma - kristalno ureen raspored atoma Za kristale je karakteristino da prelaze u tekue stanje pri odreenoj temperaturi temperatura talita.

Npr. komad leda poetne temperature 50C se zagrijava:

Kad se led zagrije do 0C, primio je koliinu topline

QL = mL cL ( 0C t L )

Ako se toplina i dalje dovodi led se pone taliti temperatura ostaje ista 0C istodobno postoje i led i voda. Da bi se sav led pretvorio u vodu treba dovesti koliinu topline (latentna toplina taljenja) QL ,talj = mL Ta energija se troila na kidanje veza izmeu molekula leda

=

QL , talj mL J . kg

(specifina toplina taljenja),

Jedinica za specifinu toplinu taljenja je [ ] = 1

Ako se toplina i dalje dovodi, nastala voda se zagrijava do 100C. Primljena toplina je QV = mV cV (100C 0C ) . Uz daljnje dovoenje topline, voda poinje isparavati temperatura se ne mijenja (1000C) istodobno postoji i voda i para. Da bi se sva voda pretvorila u vodenu paru treba dovesti koliinu topline

QV , isp = mV rr specifina toplina isparavanja vode.

(latentna toplina isparavanja)

Ako se toplina dovodi i nakon to je sva voda isparila, vodena para se poinje zagrijavati QP = mP cP ( t P 100C ) . 40Pripreme za razredbene ispite

Ukupna koliina topline dovedena tijekom ovog procesa je Qi f = QL + QL , talj + QV + QV , isp + QP gdje i f oznaava proces prijelaza iz poetnog stanja (i, led) u konano stanje (f, para).

3. PONAANJE IDEALNIH PLINOVA. PLINSKI ZAKONINa makroskopskoj skali plinovi: Na mikroskopskoj skali: - lako mijenjaju obujam - ispunjavaju itavu posudu - estice plina su slabo meusobno vezane - gibaju se kaotino

Stanje plina odreujemo makroskopskim parametrima: - masom, m (ili brojem estica, N) - tlakom, p - temperaturom, t (T) - obujmom, V Za datu koliinu plina (m = konst.) ostali parametri su meusobno povezani relacijom

f (p, V, t) = 0

(jednadba stanja plina)

a) Izobarni (Gay-Lussacov) zakon: p = konst.Pokusom je utvreno: Zagrijavamo li plin, da bi tlak ostao nepromijenjen moramo poveati volumen. Nadalje, iz pokusa slijedi V t V V1to se moe obuhvatiti relacijom

V = V1 t1 . Valja uoiti da je konstantan za 273.15C sve idealne plinove. Obzirom da je V = V2 V1 i t = t2 t1 , moemo pisati

gdje je temperaturni koeficijent irenja plina =

V2 = V1 (1 + t ) . V2 = V1 (1 + t2 )

esto se uzima t1 = 0C t = t2 0 = t2 pa je gornja relacija oblika ili za proizvoljnu temperaturu t

Vt = V1 (1 + t ) Vidimo da je V linearna funkcija temperature. Grafiki prikaz te ovisnosti dat je na crteu:

V V 1 , t,C0

Na t = 273,15C volumen idealnog plina iezava: V-273.15 = 0.

V 1 -273.15 0

273,15C se uzima za ishodite apsolutne skale temperature (Kelvinova skala). Dakle, veza izmeu Kelvinove i Celzijusove skale temperature je oblikaT(K) = t(C) + 273,15.

41


Pri prijelazu na Kelvinovu skalu izraz V2 = V1 (1 + t2 ) poprima oblik

V V V2 V1 = = konst 1 = 2 . T1 T2 T2 273,15Navedenu ovisnost nazivamo izobarnim zakonom (Gay Lussacov zakon) a moemo ga zapisati u obliku

V = konst , p = konst. TGrafiki prikazi u (V, T), (V, p) i (T, p) ravnini su dati na crteima:

V

V,T dijagram

V

V,p dijagram

T

T,p dijagram

izobara0

T

0

izobara p

izohora0

p

b) Izohorni (Charlesov) zakon: V = konst. (izovolumni)Pokusom je utvreno:p t p p1

To se moe obuhvatiti relacijom p2 = p1 (1 + t ) , (Charlesov zakon) odnosno ako je t1 = 0C ta relacija poprima oblik p2 = p1 (1 + t2 ) . U skali apsolutne temperature taj zakon poprima oblik (Charlesov zakon)

p1 p2 ili = T1 T2 p = konst. ili Tp = konstT

p

p,T dijagram

p

p,V dijagram

T T,V dijagram

izohora0

T

0

izohora V

izobara0

V

c) Izotermni (Boyle-Mariotteov) zakon: T = konst.Pokusom je utvreno:p

1 V

tj. obrnuta proporcionalnost tlaka i volumena to se moe zapisati u obliku

p1V1 = p2V2odnosno p V = konst.

d) Jednadba stanja idealnog plinaUkoliko se sve tri veliine stanja plina p, V, T mijenjaju istodobno (uz konstantnu masu plina, m), kombinacijom gornjih zakona moe se pokazati da su poetne i konane vrijednosti tih veliina meusobno povezane p1V1 p2V2 relacijom: , m = konst = T1 T2 imamo jednadbu stanja plina: 42Pripreme za razredbene ispite

Ta relacija se moe zapisati krae (jednadba stanja plina) pV = konst. T Konstanta na desnoj strani ovisi o broju estica plina N pa je moemo napisati u obliku: konst = k B N J gdje je k B = 1,38 1023 Boltzmannova konstanta. Dakle, jednadbu stanja plina moemo K zapisati i u obliku pV = N k B T Definira se koliina tvari (mnoina tvari) relacijom

n=

N m V = = N A M VM

gdje je N A = 6, 023 1023 mol 1 Avogadrov broj, M molarna masa i VM molarni volumen. Jedinica koliine tvari je [n] = 1 mol (osnovna jedinica SI sustava jedinica). Rabei tu definiciju jednadba stanja plina se moe napisati u obliku:pV = n k B N A T.

Uvodi se univerzalna plinska konstanta R = k B N A = 8,314 zapisuje u oblikupV = n R T

J pa se jednadba stanja Kmol

ilipV = m RT . M

Gustou plinam V moemo (rabei jednadbu stanja plina) zapisati u obliku

=

=

pM . RT

e) Daltonov zakon parcijalnih tlakovaAko u nekoj posudi imamo smjesu idealnih plinova (koji kemijski ne reagiraju) tada je ukupni tlak smjese jednak zbroju parcijalnih tlakova komponenata:

pu = p1 + p2 + p3 + ...gdje je pi tlak i te komponente u posudi kad nema ostalih komponenata (parcijalni tlak ite komponente). Jednadba stanja smjese ima oblikpu V = n R T

pri emu je n pokrata za ukupan broj molova (mnoine) smjesen = n1 + n2 + n3 + ...

43


f) Molekularno-kinetiki model idealnog plina1827. Brown je promatrao gibanje zrnaca peluda u kapljici vode. Ustanovio je da je putanja zrnaca peluda (priblino) oblika kao na crteu.Vidimo da je putanja gibanja zrnca peluda nasuminog oblika. Kae se da je gibanje zrnca kaotino. Pitanje je zato je to tako? Odgovor su dali Einstein i Smoluhovski 1905. Neobian oblik putanje zrnca peluda uzrokovan je kaotinim gibanjem molekula vode.

Na slian nain se i pojava difuzije plina kroz neki medij (npr. kroz drugi plin, tekuinu ili krutinu) objaanjava kaotinim gibanjem molekula plina kroz taj medij.Izvod temeljne jednadbe molekulsko-kinetike teorije idealnog plina, p =

1N m1vs2 3V

Pretpostavke: 1 estice plina su materijalne toke mase m1 koje se gibaju kaotino. 2 Meudjelovanje izmeu estica zanemarujemo. 3 Sudari izmeu estica (za koje drimo da su rijetki) te sudari estica sa stijenkama posude su elastini. 4 Broj estica, N, je ogroman ( 1023 ) i estice se gibaju u skladu s Newtonovim zakonima.

avs

a a

Neka se estice plina nalaze u kocki stranice a (i obujma V = a3) te neka se gibaju meusobno jednakom prosjenom brzinom kojoj je veliina vs. Zanemarujemo meudjelovanje plina s okolnim tijelima tj. gledamo plin u ravnotenom stanju kao zatvoreni sustav. Zbog toga je 1 1 1 valjano oekivati da se N molekula giba lijevo-desno, N molekula giba gore-dolje i N 3 3 3 molekula giba naprijed-natrag (zbog ravnopravnosti smjerova u 3D prostoru).Promatramo desnu (iscrtkanu) stjenku (koja ima beskonanu masu u odnosu na jednu molekulu). Pri sudaru sa stjenkom molekula promjeni koliinu gibanja za p = m1vs ( m1vs ) = 2m1vs . To se dogodi za vrijeme t koje moemo nadomjestiti vremenom izmeu dva 2a . uzastopna sudara molekule s istom stjenkom t = vsm1

vs vs

m1

Sila s kojom na stjenku djeluje jedna molekula pri sudaru je p 2m1vs m1vs 2 . f1 = = = 2a t a vsUkupna sila na stjenku kad djeluje

1 N molekula je 31 1 mv 2 Fu = Nf1 = N 1 s . 3 3 a

Tlak na stjenku kojeg uzrokuju molekule jednak je

1 m1vs 2 N F 1 1 p = u = 3 2 a = N 3 m1vs 2 S a 3 a Obzirom da je obujam kocke V = a 3 slijedi

44


p=

1N m1vs 2 . 3V

Dakle, dobili smo da je tlak razmjeran koncentraciji molekula (ukupan broj molekula po N obujmu posude) p ~ . S druge strane, prosjena kinetika energija jedne molekule je V 1 Ek = m1vs 2 pa se izraz za tlak moe napisati kao 2 2N p= Ek . 3V To se uobiajeno zapisuje u obliku

pV =

2 NEk 3

to prepoznajemo kao jednadbu stanja plina. Dakle, time smo izveli jednadbu stanja idealnog plina. Unutarnja energija idealnog plina kojega ine N molekula koje se translacijski gibaju u posudi volumena V (a koje meusobno ne meudjeluju) jednaka je zbroju svih kinetikih energija translacije tih molekula U = NEk . Rabei izraz za unutarnju energiju jednadba stanja se moe zapisati u obliku 2 pV = U 3 Usporedimo li eksperimentalno poluenu relaciju pV = k B NT i teorijski izvedenu jednadbu 2 NEk zakljuujemo da vrijedi 3 3 Ek = k B T . 2 U koordinatama (T, E k ) graf ovisnosti srednje kinetike energije molekule o apsolutnoj temperaturi idealnog plina je pravac koji prolazi kroz ishodite sustava: stanja plina pV =

Srednja kinetika energija molekula idealnog plina ovisi samo o temperaturi (a ne o vrsti estica). Ova relacija omoguuje definiciju temperature. Temperatura je mjera srednje kinetike energije molekula. Primjetimo da se unutarnja energija idealnog plina moe zapisati na sljedee naine:

U = NEk =

Obzirom da je masa plina jednaka zbroju masa pojednih molekula m = N m1 , relacija za tlak p= 1N m1vs 2 se moe zapisati preko gustoe plina 3V 1m 2 1 p= vs = vs 2 . 3V 3

3 3 k B NT = nRT . 2 2

45


4. TERMODINAMIKAMnotvo je termodinamikih sustava: ljudsko tijelo, nogometna lopta, zvijezda, njiva, aa u kojoj se nalazi voda ili aa u kojoj se nalazi zrak (za koju pogreno kaemo da je prazna), ... Radi jednostavnosti ograniavamo se na plinove male gustoe. Stanje takvog plina u (p, V) koordinatama prikazujemo jednom tokom. To znai da je plin opisan datom vrijednou tlaka kada se nalazi u posudi datog obujma u termodinamikoj ravnotei. Kaemo da su tlak i obujam veliine stanja plina. Slino su temperatura i koliina plina veliine stanja plina. Promjenu vrijednosti veliina stanja plina moemo ostvariti meudjelovanjem plina i okolia. Prijelaz iz poetnog stanja plina P u konano stanje K moe se ostvariti na neizmjerno razliitih naina (vidi crte). Kod toga uzimamo da su sva meustanja ravnotena tako da se u (p, V) dijagramu dobiju krivulje kao na crteu. Ako se stanja plina P i K meusobno podudaraju onda govorimo o krunom procesu koji je plin izvrio pod utjecajem okolia. Unutarnja energija plina moe se promijeniti izmjenom energije s okoliem u obliku rada i topline.

a) Rad plina pri termodinamikim procesimaNeka je p = konst (izobarni proces). Uzmemo posudu s klipom (motri crte) kojemu je plotina jednaka A. Neka je tlak plina u posudi, p, jednak vanjskom tlaku. Plin djeluje na klip silom F = p A. Neka okoli (toplinski spremnik) predaje plinu koliinu topline Q tako da je plin u svakom trenutku u stanju ravnotee s tlakom p. Kod toga plin djeluje na klip i pomakne ga za udaljenost s. Obujam plina se pritom promjenio za V = V2 V1 = A s . Rad kojega je plin izvrio u tom procesu jednak je W = F s = p A s. Dakle, rad u izobarnom procesu jednak je W= pV. Grafiki prikaz izobarnog procesa u (p, V) ima oblik prikazan na crteu:

Rad je brojano jednak povrini ispod pV-dijagrama.

Neka je V = konst (izohorni proces). Neka je plin u zatvorenoj posudi nepromjenjivog obujma. Ako plin preda koliinu topline Q okoliu, onda se tlak i temperatura plina smanje. Rad plina kod tog procesa jednak je nuli. V = 0 W = 0.

46


Neka je T = konst (izotermni proces). Neka je plin u kontaktu s toplinskim spremnikom konstantne temperature, T. Ako plin poveava obujam onda se tlak plina smanjuje (crte). Dakle, plin vri rad koji je numeriki jednak plotini ispod izoterme. Pomou integralnog rauna dobiva se V W = n RT ln 2 . V1

b) Prvo naelo termodinamikeKazali smo da se unutarnja energija termodinamikog sustava moe promjeniti u procesu meudjelovanja sustava i okolia: izmjenom topline Qi f s okoliom i vrenjem rada, Wi f . Pitanje je koji je oblik zakona o sauvanju energije plina i okolia. Ukupna energija plina i okolia je, naravno, konstantna (ouvana). Energija samog plina moe se mijenjati poveavati ili smanjivati. Promjena unutarnje energije plina opisana je relacijom (prvo naelo termodinamike) Qi f = U + Wi f . Sve tri veliine su algebarske i potrebno je uvesti dogovor o njihovom predznaku. Uobiajeni dogovor je: Q > 0 kada sustav prima toplinu od okolia! W > 0 kada sustav vri rad na okoliu!

b1) Adijabatski procesUkoliko sustav pri procesu ne izmjenjuje toplinu s okolinom tj. Q = 0 proces nazivamo adijabatskim (npr. eksplozije su priblino adijabatske). Iz prvog naela termodinamike slijedi: U = W . Ako se idealni plin adijabatski iri tj. V > 0, tada plin vri pozitivan rad, tj. W > 0, pa gornji izraz povlai U = W < 0 tj. plinu se smanjuje unutarnja energija. Kako je za idealni plin U T, plin se pri adijabatskom irenju hladi. Veza izmeu tlaka i volumena u adijabatskom procesu je opisana izrazomp1V1 = p2V2

> 1. CV Molarni specifini toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku, Cp, odnosno pri konstantnom volumenu, Cv, definiraju se relacijama 1 Qi f 1 Qi f Cp = . odnosno CV = n t V n t p

gdje je adijabatski eksponent =

Cp

U (p, V) dijagramu vidi se (motri crte) da je adijabata ( pV = konst ) strmija od izoterme ( pV = konst )! Drugim rijeima, adijabatski koeficijent je vei od jedinice.

47


c) Toplinski strojevi

U bitnom, toplinski stroj se sastoji od tri dijela (tri tijela): (i) topliji spremnik (spremnik vie temperature, Tv ; npr. loite parnog kotla) (ii) radno tijelo (npr. vodena para) (iii) hladniji spremnik (spremnik nie temperature, Tn ; npr. zrak)

T v Qv Qn Tn W

Naelo rada toplinskog stroja: Topliji spremnik preda radnom tijelu toplinu Qv. Radno tijelo izvri proces (najee kruni proces) tijekom kojega obavi rad, W. Kod toga nije mogu kruni proces za kojeg vrijedi W = Qv (ne postoji perpetum mobile prve vrste). Dakle, iz zakona ouvanja energije slijedi da se koliina topline Qn = Qv W mora predati hladnijem spremniku.

Maksimalna korisnost, , svakog toplinskog stroja jednaka je

=Openito vrijedi 0 < 1 .c1) Carnotov proces

Q W Qv Qn = =1 n . Qv Qv Qv

Izmeu mnotva razliitih krunih procesa koje moe vriti radno tijelo u toplinskom stroju, opisati emo Carnotov kruni proces. U tom procesu je radno tijelo idealni plin, a proces se odvija u sljedeim koracima (motriti crte):

1 izotermno irenje iz poetnog stanja 1 u stanje 2 (pri Tv) 2 adijabatsko irenje iz stanja 2 u stanje 3 (plin se hladi od Tv do Tn) 3 izotermno sabijanje iz stanja 3 u stanje 4 (pri Tn) 4 adijabatsko sabijanje iz stanja 4 u poetno stanje 1(plin se grije od Tn do Tv). Moe se pokazati da je Q ~ T , pa se za korisnost Carnotovog procesa dobiva

C = 1

Tn . Tv

Dakle, iskoristivost Carnotova procesa je tim vea to je omjer temperatura hladnijeg i toplijeg spremnika manji. Obzirom da je uvijek Tn > 0 (to je posljedica treeg naela termodinamike) to je, kao to smo naveli, C < 1 . Carnotov kruni proces je idealni proces kojega nije mogue izvesti u realnosti tako da za iskoristivost realnog krunog procesa, , vrijedi < C .d) Drugo naelo termodinamike

Zakon ouvanja energije vrijedi za sve procese u svemiru. Ipak, postoje procesi koje bi se, po tom zakonu, mogli odvijati ali ih nitko dosad nije opazio. Pomislimo samo na vlanu spuvu koju ispustimo s visine H (crte). Spuva padne na tlo i ostane na njemu mirovati. Prema zakonu ouvanja energije mogu je i spontani proces u kojem bi se vlana spuva s tla vratila u poetni poloaj. Meutim takav dogaaj jo nitko nije opazio!48

H

ne zapaamo

g

g


zapaamo

H

Mnotvo je slinih procesa (razmislite o nekima od njih). Zakljuujemo da zakon ouvanja energije ne moe objasniti zato se takvi procesi ne dogaaju. Dakle, nuno je uvesti novu fizikalnu veliinu kojom emo to moi opisati. Doista, uvedena je entropija (Clausius, 1834. godine) slijedeom relacijom:S = Qi f T

U tom izrazu S oznaava promjenu entropije termodinamikog sustava koji u reverzibilnom (povratnom) procesu iz poetnog (i) u konano stanje (f) izmjenjuje malu koliinu topline Qi f s okoliem (drugim tijelom) pri konstantnoj temperaturi T. Jedinica za mjerenje entropije je [ S ] =1 J / K . Od kljune vanosti je statistiko znaenje entropije kao mjere mikroskopskog nereda u termodinamikom sustavu. Razmotrimo sljedei primjer:Primjer: Neka se u zatvorenoj kutiji nalazi N =10 meusobno jednakih estica. (a) Na koliko meusobno razliitih naina moemo tih 10 estica raspodijeliti tako da ih N1 = 5 bude u jednoj polovici posude, a N2 = 5 u drugoj? (b) Na koliko meusobno razliitih naina moemo tih 10 estica raspodijeliti tako da ih N1 = 9 bude u jednoj polovici posude, a N2 = 1 u drugoj? Odgovori:

N! = 252 . N1 ! N 2 ! Svaki od ovih naina razmjetaja estica predstavlja jedno mikrostanje promatranog termodinamikog sustava. N! (b) Traeni broj naina jednak je wb = = 10 N1 ! N 2 ! U ovom sluaju je broj mikrostanja (kojim ostvarujemo zadano makrostanje N1 = 9, N2 = 1) znatno manji. Kaemo da je stanje (b) manje vjerojatno od stanja (a). Ekvivalentno je kazati da je stanje (b) ureenije od stanja (a). Rabei izraz (L. Boltzmann, 1877.) S = kB ln w 23 dobivamo S a = 7.63 10 J / K , Sb = 3.17 1023 J / K . Dakle, entropija ureenijeg sustava (b) je manja od entropije neureenijeg sustava (a).

(a) Traeni broj naina jednak je wa =

Drugo naelo termodinamike se moe iskazati na razliite, meusobno ekvivalentne, naine. Evo nekih od njih: 1. S. Carnot (1824.): Za pretvaranje topline u rad nuno je imati topliji i hladniji spremnik, pri emu je temperatura hladnijeg spremnika neophodno nia od temperature toplijeg spremnika. 2. R. Clausius (1850.): Toplina ne moe spontano prelaziti s hladnijeg tijela na toplije. 4. W. Thomson (Lord Kelvin) (1854.): Nemogu je kruni proces pri kojem bi jedini rezultat bio uzimanje topline Qv od toplijeg spremnika i njeno potpuno pretvaranje u mehaniki rad W, tj. da je Qn = 0. Ova formulacija je dobivena razmatranjem izraza za iskoristivost toplinskih strojeva kojeg smo ve naveli.

49


5. R. Clausius (1834.): Entropija se u izoliranom sustavu ne smanjuje, tj. ili ostaje nepromijenjena (povratni procesi) ili se poveava (nepovratni procesi). Dakle, S 0 . 6. L. Boltzmann (1877.): U svim spontanim prirodnim procesima termodinamiki sustav prelazi u stanje veeg nereda tj. prelazi iz manje vjerojatnih stanja u stanja vee vjerojatnosti (pogledati primjer!).

50


Dario Mi i

Fizika III






III. ELEKTROMAGNETIZAM III. 1. ElektrostatikaPlastini tap nakon trljanja o kou (ili kosu) ima sposobnost privlaenja komadia papira. tap je naelektriziran. Naelektritziranost karakteriziramo koliinom naboja Q. Jedinica za mjerenje koliine naboja: [Q] = 1C kulon Naelektrizirana tijela se ili privlae ili odbijaju.tap

komadii papira

Postoje dvije vrste elektrinog naboja: pozitivan i negativan . to je negativno nabijeno a to pozitivno odredi se dogovorom. Uzeto je da je naboj protona pozitivan a naboj elektrona negativan! 1909. Milikan postoji najmanja koliina naboja naboj je kvantiziran e = +1.6 1019 C - elementarna koliina naboja Bilo koju koliinu naboja moemo prikazati kao: Q = N e N cijeli broj! U zatvorenom sustavu, bez obzira kakvi se fizikalni procesi unutar njega deavali vrijedi da je: Q = konst. zakon ouvanja naboja Koliina naboja je nepromjenjiva u vremenu. a) Coulombov zakon Kulon ispituje torzionom vagom o emu ovisi sila izmeu dvaju tokastih (kuglastih) naboja.

F ~ Q1 Q 2Sila je proporcionalna umnoku naboja

F~

1 r2

Sila je obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti izmeu naboja. Coulombov zakon:

FC = k0

Q1Q2 , r2

k0 =

1 4 0

9 109

Nm 2 C2

0 - dielektrinost (permitivnost) vakuuma ( 0 = 8.85 1012 N 1m 2C 2 )Ukoliko se naboji postave u neko sredstvo (npr. vodu), tada je sila izmeu njih manja nego kad su u vakuumu. Definirajmo relativnu dielektrinost:

r =

FC k QQ > 1 tj. FC = 0 1 2 2 r r FS

Sila ima smjer radijalno od (istoimeni) ili prema (raznoimeni) naboju koji ju uzrokuje. Ako na neki naboj q < 0 (crte desno) djeluje vei broj drugih naboja (npr. Q1 > 0 i Q2 < 0), ukupna sila na naboj q se dobije vektorskim zbrajanjem pojedinih sila.

F F1Q1+

F2 q

F = F1 + F251

Q2


b) elektrino polje Prostor oko nabijenog tijela poprima nova svojstva u odnosu na sluaj kada, u tom dijelu prostora, nema nabijenog tijela. Nazivamo ga elektrinim poljem. Uoimo formalnu analogiju s gravitacijskim poljem. Za njegovo opisivanje uvodimo nekoliko veliina: b1) Jakost elektrinog polja, E Svaki naboj +Q (koji openito nije tokast ili kuglast) stvara polje. Zamislimo tokasti pozitivni probni naboj q proizvoljno malog iznosa. Dovodimo li u zadanu toku T (crte) razliite probne naboje, na njih e naboj Q djelovati razliitim silama, ali e vrijeditiF1 F2 F = = ... = q1 q2 q

F1

q1

T q2

F2

+Q

to jest, taj omjer karakterizira odabranu toku T u kojoj postoji elektrino polje E jakosti

F . q To je omjer sile na probni naboj u nekoj toki (koju moemo izmjeriti dinamometrom) i koliine naboja probnog naboja. Jedinica za mjerenje elektrinog polja jednaka je E=

[E] =

[F ] = 1 N . [q] C

Ukoliko je naboj Q tokast ili kuglast onda je Coulombova sila kojom taj naboj djeluje na naboj q jednaka

Qq F = k0 2 . r Elektrino polje tokastog ili kuglastog naboja Q jednako je Q E = k0 2 . rDogovor o smjeru elektrinog prikazan je na crteima (desno). polja

E1+ Q+1 2Q E-

-

E2+

Ukoliko polje stvaraju dva tokasta naboja Q1 i Q2 (ili vie naboja) onda vrijedi princip superpozicije: Ukupno polje tih naboja u proizvoljnoj toki T prostora se dobije kao vektorski zbroj pojedinih polja. Uoiti: u toki T se nalazi pozitivni probni naboj na kojega djeluje ukupna sila koju moemo izmjeriti. Kada imamo podatake o sili i probnom naboju onda modul elektrinog polja izraunamo E = F/q. Elektrine silnice linije elektrinog polja To su linije kojima bi putovao probni naboj q > 0 u polju uoenog pozitivnog (+) ili negativnog naboja ().izvor

E+ T E E-

+ Q1

E = E + + E-

-

Q2

ponor

52


Vektor jakosti elektrinog polja E je tangencijalan na liniju elektrinog polja u danoj toki. Gustoa linija je proporcionalna jakosti elektrinog polja na tom podruiju. Linije izviru na pozitivnom, a poniru na negativnom naboju. Linije se ne mogu presjecati! b2) elektrini potencijal, Kad se probni naboj q dovodi iz beskonanosti u neku toku polja, elektrino polje izvri rad proporcinalan s q.

E11

2

E2

+

-

W1 ~ qNaboj q u datoj toki raspolae elektrinom potencijalnom energijom E p el .r

Ep,el q

W q

E p el ~ qDefiniramo veliinu:

Q

=

E p el q

- elektrini potencijal toke polja.

To je omjer elektrine potencijalne energije probnog naboja q u nekoj toki polja i koliine naboja tog probnog naboja. Ovisi o poloaju toke i o naboju Q koji stvara polje. Jedinica za mjerenje:

[ ] =

E p el

[q]

=1

J = 1 V volt C

Za tokasti naboj Q (ili kuglasti ) je

B

A

( r ) = k0

> 0 za pozitivan naboj < 0 za negativan naboj Linije (plohe) koje spajaju toke u elektrinom polju istog potencijala nazivaju se ekvipotencijalnim (plohama) linijama. One su uvijek okomite na silnice elektrinog polja. Elektrina potencijalna energija dvaju naboja Q i q je

Q r

Q

+

r

A = B

ekvipotencijala linija silnica

E p el = q = k0

Qq r

Ako polje stvara vei broj naboja vrijedi princip superpozicije:

+

(r ) = 1 ( r ) + 2 ( r ) + 3 (r ) + ...b3) elektrini napon Gledamo pomicanje probnog naboja q izmeu dviju toaka 1 i 2 elektrinog polja naboja Q. Pri tom pomicanju elektrostatske sile izvre rad W12 . Rad je proporcionalan koliini naboja q.

1q 1

W 12

W12 ~ qDefiniramo veliinu elektrini napon U.

U=

W12 q

Q

2

2

To je omjer rada elektrostatskih sila W12 pri pomicanju naboja q iz toke 1 u toku 2 i koliine tog naboja.

53


Jedinica za mjerenje je

[U ] =

[W12 ] = 1 J 1V [q] CE pel 2 q E pel1 q

Kako se izvreni rad moe iskazati kao razlika elekrinih potencijalnih energija

W12 = E pel 2 E pel1slijedi da je elektrini napon U izmeu dvije toke polja jednak U =

tj.

elektrini napon je jednak razlici elektrinog potencijala izmeu tih toaka polja: U = 2 1 = .c) Elektrini kapacitet. Kondenzatori Kondenzator ureaj na kojem pohranjujemo elektrini naboj. Najee se sastoji od dva vodia (metalne ploe) razdvojena izolatorom (zrak, neki dielektrik). c1) Ploasti kondenzator d razmak izmeu metalnih ploa S plotina ploa Q koliina naboja U napon izmeu ploa (za danu koliinu naboja) - pokus U ~ Q Napon izmeu ploa proporcionalan je koliini naboja na ploama. Moemo napisati:

d +Q

-QS

U=

1 Q , tj. C Q C= U

C

U

C kapacitet kondenzatora. Ovisi o geometriji i o dielektriku izmeu ploa (ne ovisi o Q i U!)

[C ] =

[Q ] = 1 C 1F [U ] VS d

farad

Kapacitet ploastog kondenzatora:

C = r 0

r - relativna permitivnost dielektrikaIzmeu ploa se formira homogeno elektrino polje. Ako se naboj +q s pozitivne ploe prebaci na negativnu plou, tad elektrino polje izvri rad

d +Q -Q

W = Fel d = qE dTaj isti rad moemo iskazati preko napona W = q U qE d = q U

E=

U - jakost elektrinog polja unutar kondenzatora d [U ] V [E] = = 1 [d ] m

U

54


Energija ploastog kondenzatora Nabijanje kondenzatora do koliine naboja Q moemo ostvariti prenosei (u mislima) jedan po jedan elektron (naboja |qe|) s jedne neutralne ploe na drugu plou. Ploa s koje uzimamo elektrone e postati pozitivno nabijena, a ona na koju prenosimo elektrone negativno nabijena. Valja uoiti da se utijekom prenoenja elektrona napon izmeu ploa mijenja jer se mijenja i naboj ploa! Na kraju prenoenja elektrona, kada je naboj na ploama +Q odnosno Q, izvrili smo jednak rad kao da smo odjednom prenijeli koliinu naboja Q uz srednji napon izmeu ploa U koji je jednak

U=

U po + U kon

2

=

0 +U 2

tj. U =

U 2

Izvreni rad:W = UQ = U 1 Q = QU 2 2

Izvreni rad je pohranjen u obliku energije elektrinog polja kondenzatora.

1 W = QU 2 1 Q 1 Q2 1 1 = Q = = CU U = CU 2 2 C 2 C 2 2Spajanje kondenzatora serijski: U S = U1 + U 2su jednake.Q1

C1 U1

Q2

C2 nadomjetamo jednim ekvivalentnim QS

CS US

Koliine naboja na ploama ( Q1 , Q2 , QS )

U2U

Q1 = Q2 = QS Q US = S CSQ1 C1 Q U2 = 2 C2 U1 =

Qs Q1 Q2 = + Cs C1 C2

1 1 1 = + CS C1 C2

Reciprona vrijednost ekvivalentnog kapaciteta u serijskom spoju jednaka je zbroju recipronih vrijednosti pojedinih kapaciteta. To vrijedi za proizvoljan broj kondenzatora.Spajanje kondenzatora paralelno: Naponi na kondenzatorima su jednaki.

U p = U1 = U 2 Q p = Q1 + Q2 C pU p = C1U1 + C2U 2 C p = C1 + C2Kod paralelnog spoja ekvivalentni kapacitet u paralelnom spoju jednak je zbro

dario micic - fizika, priprema za drzavnu maturu 1-4

Documents