da escola pÚblica paranaense 2009 - … · a análise de regularidades. noÇÕes primitivas ponto,...
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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
1
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃOSUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAISPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
SEILA BARBOZA DE LIMA
Utilizando recursos computacionais e materiais manipuláveis como facilitador para a
compreensão da Geometria Euclidiana e algumas Geometrias não Euclidianas
MARINGÁ – PR
PDE - 2009
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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃOSUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAISPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
UNIDADE DIDÁTICA
SEILA BARBOZA DE LIMA
Desenvolvido por meio do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, na área de Matemática, com o título: “Utilizando recursos computacionais e materiais manipuláveis como facilitador para a compreensão da Geometria Euclidiana e algumas Geometrias não Euclidianas”.
Orientador: Prof. Dr. Valdeni Soliani Franco
MARINGÁ – PR.
PDE – 2009
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IN TRODUÇÃO
A partir da matemática moderna, notou-se um abandono no ensino de Geometria e nos
livros didáticos a geometria era deixada para os últimos capítulos, fato observado em
diversos trabalhos, tais como PAVANELLO (1989), PIROLA (2000), VIANA (2000),
PEREIRA (2001).
Pelo que as pesquisas na área de Educação Matemática mostram é que a maioria dos
alunos do Ensino Médio não está construindo o conhecimento, isto ocorre muitas vezes
devido a metodologia de ensino empregada pelo professor que, em geral, é a tradicional:
utilização de giz, apagador, quadro negro, livro didático, voz e por meio de exercícios
repetitivos sem a contextualização dos mesmos, tornando as aulas desinteressantes. Isto,
em geral, tem acarretado o insucesso do aluno, pois não ocorre uma aprendizagem
significativa. Por isso, muitas vezes, o aluno não consegue aplicar os conteúdos
matemáticos para resolver questões básicas do seu dia a dia e obtém notas bem abaixo
da média exigida nas avaliações institucionais como SAEB, Prova Brasil, ENEM, entre
outros.
Para, ORMEZZANO e SANTOS (2005), é inacreditável que vivendo em um ambiente
totalmente geométrico, e do conhecimento sistematizado adquirido nos bancos escolares
muitas pessoas não tem desenvolvido a capacidade de observação geométrica e de
diferenciação de suas dimensões, de relacionar o cálculo e a representação gráfica, de
conservar a proporção entre a medida real e a medida do desenho, de ver as relações
geométricas na composição de uma obra de arte, do pensar geométrico e do raciocínio
visual.
A matemática não pode ser focada apenas na memorização de fórmulas e na obtenção
dos cálculos, ela deve ser trabalhada para levar o aluno a interpretar resultados, à
criação de significados, à construção de instrumentos para a resolução de problemas, ao
desenvolvimento do raciocínio lógico, da capacidade de abstrair, generalizar, projetar.
De acordo com ANDRADE e PAVANELLO (2002), muitos pesquisadores consideram a
Geometria o conteúdo matemático que mais favorece o desenvolvimento das
capacidades acima citadas.
Segundo, FRANCO e GERÔNIMO (2010), a geometria surgiu no Egito e na Babilônia
de uma maneira não axiomática, mas intuitiva, com foco em aplicações de medições,
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através de medição repetida de um mesmo fenômeno, regras para auxiliar as atividades
de agrimensura e a construção de pirâmides. Na antiga Grécia, com Tales de Mileto
(624–547 a.C.) e Pitágoras (569–475 a.C.) teve início a Geometria com caráter
dedutivo, isto é, começaram a estabelecer as bases de uma geometria lógica e
organizada, utilizando um raciocínio dedutivo, sem precisar de repetidas medições
deduziam as fórmulas.
Para EVES (1992), a geometria é uma área da matemática que surgiu na antiguidade,
devido a necessidade do homem em medir a terra, isto é, em delimitar a terra. O homem
ao observar o seu dia a dia levou à concepção de curvas, superfícies e sólidos. Os
exemplos de círculos eram os mais destacados: contorno do sol e da lua, círculos
concêntricos obtidos ao cair uma pedra na superfície de um lago, entre outros.
Euclides, um professor e matemático grego de Alexandria, que escreveu a obra “Os
Elementos”, por volta de 300 a.C.. Esta obra contém uma introdução e treze capítulos
denominados de livros, nos quais nove capítulos são trabalhados a geometria e os outros
a aritmética dos números inteiros (maiores que zero) e também das razões entre estes
números.
Segundo, BARBOSA (1995), Euclides ficou famoso pela concepção da obra em si,
considerada como o 1º tratado científico, modelo para todos os outros em qualquer ramo
da ciência, e pela escolha que fez dos axiomas.
Na obra “Os Elementos”, no livro I, são enunciados os cinco postulados, que são
afirmações simples, aceitas sem precisar de demonstrações, mas observando o quinto
postulado não é isso que ocorre.
Vamos enumerar os cinco postulados de Euclides:
1. Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto.
2. Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta.
3. E, com todo centro e distância, descrever um círculo.
4. Todos os ângulos retos são iguais.
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5. Se uma reta t corta duas outras r e s (mesmo plano) de modo que a soma dos ângulos
interiores de um mesmo lado de t é menor que dois retos, então r e s, quando
prolongadas suficientemente, se cortam daquele lado de t.e s.
Nos livros didáticos de matemática o quinto postulado de Euclides é escrito da seguinte
maneira: Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela à reta
dada. Este quinto postulado ficou conhecido como o postulado das paralelas e foi
reescrito da maneira acima pelo físico e matemático escocês John Playfair em 1795 no
trabalho Elementos de Geometria.
Proclus Diadochus, um matemático, que na antiguidade não aceitava o quinto postulado
de Euclides, pois considerava que ele poderia ser demonstrado, portanto deveria ser
considerado um teorema. Vários matemáticos tentaram demonstrar o quinto postulado,
entretanto nenhum deles conseguiu. Não existe demonstração para o quinto postulado.
Existem duas maneiras de negar o postulado das paralelas: uma delas é assumindo que
existem pelo menos duas retas paralelas passando por um ponto P fora da reta e a outra
maneira é assumir que não existem retas paralelas a reta dada passando por um ponto P
que não pertence a reta dada. Assim, respectivamente, obtemos a Geometria Hiperbólica
(ou Lobachevsky) e a Geometria Elíptica (ou Riemanniana).
Segundo as DCEs (PARANÁ, 2008):
[…] Muitos problemas do cotidiano e do mundo só são resolvidos pelas Geometrias não Euclidianas. Um exemplo são os estudos que resultaram na Teoria da Relatividade em que a geometria do espaço, usada por Albert Einstein foi uma Geometria não Euclidiana, de modo como “a luz se propaga ao longo de geodésicas e a curvatura do espaço é determinada pela natureza da matéria que o preenche” (COURANT & ROBBINS, 2000 p.276), foram fundamentais.
Inicia as atividades da unidade didática com a Geometria Euclidiana Plana, a seguir a
Geometria Hiperbólica e por último a Geometria da Superfície Esférica. As atividades
foram elaboradas para o aluno compreender e diferenciar as três Geometrias. A teoria
dessas Geometrias será trabalhada no decorrer das atividades.
A maioria das atividades:
da Geometria Euclidiana e da Geometria Hiperbólica será desenvolvida com
o auxílio do GeoGebra que é um software de matemática dinâmica disponível no
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laboratório de informática das escolas estaduais do Estado do Paraná. Segundo
BORTOLOCCI (2010), o GeoGebra é um sistema gratuito criado por Markus
Hohenwarter da Universidade de Salzburg. Este software possui todas as
ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica: pontos,
segmentos, retas, secções cônicas. Por outro lado, equações e coordenadas
podem ser inseridas diretamente. Assim, este software tem a vantagem didática
de apresentar ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo
objeto, que interagem entre si: sua representação geométrica e sua representação
algébrica. Pela visão de, SILVA (2009), essa dupla representação de objetos é o
grande diferencial de utilizar o Geogebra, além disso, os softwares de geometria
dinâmica possibilitam trabalhar com as Geometrias de forma diferenciada, pois é
possível “arrastar” a figura construída através do mouse e também construir e
manipular objetos geométricos na tela do computador.
da Geometria da Superfície Esférica será desenvolvida utilizando materiais
manipuláveis. Segundo, RÊGO e RÊGO (2004), acreditava-se até algum tempo
atrás, que o aluno aprendia apenas pelo método tradicional e se não ocorresse a
aprendizagem a culpa era essencialmente do aluno, desprezava-se que cada
aluno tem uma maneira própria de pensar e que este pensamento pode estar em
constante processo de mudança. A utilização de materiais manipuláveis faz com
que os alunos tenham uma visão positiva da matemática, desenvolvendo o gosto
do prazer da descoberta para enfrentar os desafios. Pelo ponto de vista de
KALEFF (2006), os materiais manipuláveis e atividades didáticas desenvolvidas
em geometria devem propiciar ao aluno a visualização das formas geométricas e
a análise de regularidades.
NOÇÕES PRIMITIVAS
Ponto, reta e plano são noções primitivas, isto é, são conceitos aceitos sem definição.
Mas temos o conhecimento intuitivo dessas noções, por exemplo: a representação da
marca de um toque de grafite no papel, o traço de uma linha construída com o grafite
com auxílio de uma régua e por último uma folha de papel fina e rígida, nos fornece,
respectivamente, representações de ponto, de reta e de plano.
Segundo, BARROS, FRANCO e GERÔNIMO, (2010):
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“ Um comentário que deve ser feito é que, na história da humanidade, nenhum homem conseguiu ver um ponto, uma reta ou um plano! Isso porque apenas objetos tridimensionais são capazes de refletir radiações eletromagnéticas que excitem as células da retina, responsáveis pela visão. [...] A geometria é apenas um conjunto de pensamentos lógicos, os desenhos utilizados em seus teoremas são apenas representações gráficas dos elementos que não podemos ver! ”
Várias atividades da Geometria Euclidiana e da Geometria Hiperbólica serão
desenvolvidas no software GeoGebra, instalado nos computadores disponíveis das
escolas estaduais do Paraná. Este software tem acesso livre, isto é, pode-se utilizar e
copiar. Para baixar o software GeoGebra basta acessar o site: www.geogebra.org e
executar as instruções indicadas. O GeoGebra disponível nas escolas é na versão 3.0,
mas já existe a versão 3.1.
Existem outros software de geometria dinâmica entre eles o software: Cabri Géomètre.
No GeoGebra não precisa representar o plano, pois ele só trabalha com a Geometria
Plana. A seguir as atividades de Geometria Plana:
Atividade 1:
Com o auxílio do GeoGebra, verifique, se é possível construir 2 retas distintas passando
pelos pontos A e B.
figura 1
Uma das maneiras de verificar a atividade 1 no GeoGebra é a seguinte:
arquivo novo 3° ícone: reta definida por 2 pontos e clique em dois
pontos distintos.O software construirá uma reta a, que passa pelos pontos A e B.
Vamos renomear a reta a. Para isto: clique na reta a com o botão direito do mouse e
aparecerá uma janela de visualização conforme figura a seguir:
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figura 2
Clique em renomear e aparecerá uma nova janela de visualização:
figura 3
e apague a letra a e digite a letra r Ok.
Agora, vamos mudar a cor da reta r e colocar a reta com outra espessura então clique na
reta r com o botão direito do mouse e aparecerá uma janela de visualização como na
figura 2. Clique em Propriedades e aparecerá outra janela de visualização como na
figura a seguir:
figura 4
9
Para mudar a cor, clique em Cor e aparecerá a janela de visualização como na figura
abaixo e escolha uma cor de sua preferência
figura 5
Agora clique em Estilo e aparecerá a janela de visualização a seguir:
figura 6
arraste a seta que aparece para o número 5, como na figura acima. E assim, o GeoGebra
representa a reta na cor escolhida e com a espessura 5.
Construa outra reta passando pelos pontos A e B. Proceda novamente da seguinte
maneira: clique no 3º ícone: reta definida por 2 pontos e clique nos pontos A
e B. Assim o GeoGebra construirá uma reta a.
O que você observou?
Construa outra reta passando pelos pontos A e B.
Clique na reta com o botão direito do mouse. O que você observou?
Responda as seguintes questões:
1.1. Dois pontos distintos determinam quantas retas?
1.2. Dois pontos distintos pertencem a uma mesma reta? Justifique.
1.3. Três pontos distintos são sempre colineares? Justifique.
Orientações didáticas:
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Esta atividade possui dois objetivos: primeiro que o aluno se familiarize com o software
GeoGebra e o segundo é ele relembrar o postulado da determinação da Geometria
Euclidiana que dois pontos distintos determinam uma única reta.
Vale destacar que Axiomas e postulados são designações das proposições admitidas
sem demonstração.
Atividade 2:
Utilize o GeoGebra e responda as seguintes questões: na Geometria Euclidiana, quantas
retas distintas ficam determinadas por:
2.1. Um ponto?
2.2. Dois pontos distintos?
2.3. Três pontos distintos não colineares?
2.4. Seis pontos distintos sendo que quaisquer três deles são não colineares?
Orientações didáticas
Nesta atividade a ênfase será dada ao Postulado da Determinação da Geometria
Euclidiana. Todas os itens desta atividade podem ser realizadas com o auxílio do
GeoGebra e o último item além do Geogebra é possível resolver utilizando análise
combinatória em particular, combinação simples.
Atividade 3:
Nessa atividade, não será preciso utilizar o GeoGebra, responda as questões a seguir:
3.1. Você sabe o que significa dimensão? (caso você tenha dúvida em responder,
procure no Google dicionário dimensão)
3.2. Na Geometria Euclidiana, qual é a dimensão de um segmento? E de uma reta? E de
um plano? E de uma caixa de leite longa vida?
Orientações didáticas
Nesta atividade o aluno deverá ter uma noção da dimensão de um ponto, de uma reta e
de um plano, na Geometria Euclidiana.
Deve-se lembrar que na Geometria Euclidiana:
Ponto tem dimensão zero.
Linha (reta) não tem espessura apenas comprimento e assim a reta tem dimensão um
dizemos então que a reta é unidimensional.
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Plano não possui espessura apenas o comprimento e largura, dizemos então que o plano
tem dimensão dois, isto é, bidimensional. Um exemplo de um objeto sem espessura é a
sombra.
Observa-se no item 3.2., que as dimensões encontradas são números naturais. Deve
enfatizar que na Geometria Euclidiana a dimensão é sempre um número natural. Mas o
aluno deve tomar conhecimento que existem várias Geometrias não Euclidianas entre
elas: a geometria projetiva, a topologia, a geometria dos fractais, a geometria da
superfície esférica (um caso particular da geometria elíptica), a geometria hiperbólica
entre outras. Mais adiante, estudaremos a Geometria Hiperbólica e a Geometria da
Superfície Esférica. Nem tudo que é válido na Geometria Euclidiana é válido nas outras
geometrias. A dimensão é uma delas. Incentive seus alunos a pesquisar sobre as novas
Geometrias e a começar a observar o mundo em que vivemos com outro olhar, um olhar
mais geométrico.
Atividade 4:
4.1. Você deve lembrar que medir é comparar grandezas da mesma espécie ou medir
uma grandeza é contar quantas vezes cabe dentro dela uma certa unidade de medida que
é tomada como padrão. Dentre as grandezas: g, Kg, cm², cm³, cm, byte, MB, qual é a
que deve ser utilizada para medir o comprimento do segmento AB?
4.2. Observe os ícones do Geogebra, qual deles deverá ser utilizado para determinar a
medida do segmento de reta?
4.3. No GeoGebra, desenhe um segmento AB, e verifique a medida deste segmento.
Orientações didáticas
Nesta atividade será relembrado o que significa medir e algumas unidades de medida. O
professor neste momento pode citar o computador e suas unidades de medida: Kilobyte
(KB), Megabyte (MB), Gigabyte (GB), Terabytes (TB). Também o aluno deverá
explorar o software GeoGebra para verificar o ícone que deve ser utilizado para medir
segmentos de reta.
Atividade: 5 1
Considere as seguintes figuras e as regras sugeridas:
1 As atividades 5 e 6, foram adaptadas do livro Geometria Moderna, parte I, de Edwin E. Moise, Floyd L. Downs, Jr, p. 5.
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Número de pontos
destacados na cir-
cunferência
2 3 4 5 6
Número de regiões
divididas pelas
cordas do círculo 2 4 8 16 ?
figura 7
5.1. Observando a sequência de números da segunda linha da tabela acima, troque o
símbolo de interrogação abaixo do número 6 pelo número que você acha que deve estar
ali.
5.2. Trace uma circunferência e ligue seis quaisquer de seus pontos de todos os modos
possíveis. Conte as regiões assim obtidas. O resultado coincide com a resposta de 5.1?
Orientações didáticas
Esta atividade é um exemplo que não é possível generalizar uma propriedade, só porque
vale para três ou mais elementos.
Atividade 6:
Observando as figuras, responda o que se pede:
6.1. Qual segmento é mais longo, da figura 8, AB ou CD?
figura 8
6.2. Qual dos dois segmentos de reta à direita do retângulo, da figura 9, é continuação
do segmento de reta à esquerda do retângulo?
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figura 9
6.3. Os segmentos XY e YZ, da figura 10, possuem o mesmo comprimento? Compare
os comprimentos destes segmentos.
figura 10
Orientações didáticas:
Estas atividades de ilusões óticas mostram que não é sempre que podemos confiar nas
aparências, isto acontece também na Geometria e também em relações entre pessoas,
não confie ou despreze as pessoas só pelas aparências.
ÂNGULO
Um ângulo é a figura formada por duas semirretas com a mesma origem. As semirretas
são denominadas de lados do ângulo e a origem comum de vértice do ângulo.
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figura 11
Um ângulo formado por duas semirretas distintas de uma mesma reta é denominado
ângulo raso.
figura 12
Neste projeto, vamos denotar um ângulo por três letras maiúsculas, a letra que indica o
vértice do ângulo terá um acento circunflexo e estará localizada entre as outras duas. As
outras duas letras representam pontos das semirretas que formam o ângulo.
Na figura abaixo, temos o ângulo que pode ser representado conforme a definição
anterior por MÂT ou por TÂM. Existem várias maneiras de representar ângulos, você
pode pesquisar nos livros.
figura 13
Atividade 7:
7.1.Construa no GeoGebra um ângulo BÂC e calcule sua medida.
Para isto, arquivo novonão gravar arquivo atual.
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Precisamos de duas semirretas com mesma origem. Construiremos a semirreta com
origem em A passando por B. Assim 3° ícone: semirreta definida por
dois pontos e clique com o botão esquerdo do mouse num ponto do plano solte o mouse
e escolha a posição e clique em outro ponto assim teremos a semirreta com origem em
A passando por B.
Agora, com origem em A, construa a semirreta AC.
Vamos esconder o nome das semirretas. Você se recorda qual a maneira de esconder
objetos utilizando o Geogebra?
Caso, não se recorde: clique com o botão direito do mouse sobre a semirreta a e
aparecerá a seguinte janela de visualização:
figura 14
E clique em exibir rótulo e assim o nome da semirreta a ficará escondido. Da mesma
maneira esconda o nome da semirreta b. Obteremos o ângulo BÂC. Como mostra a
figura a seguir:
figura – 15
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7.2. Pesquise nos ícones do GeoGebra o que deve ser utilizado para calcular a medida
do ângulo BÂC, e calcule a sua medida.
Caso, você não consiga obter a medida do ângulo, siga o seguinte roteiro:
Clique no ícone: selecione três pontos ou duas retas e selecione os pontos C,
A, B no sentido horário e o GeoGebra fornecerá a medida do ângulo em graus, como
mostra a figura a seguir:
figura 16
7.3. Você desenhou no GeoGebra um ângulo com a mesma medida do ângulo da figura
acima?
7.4. É possível a medida do ângulo que você desenhou ficar igual a medida do ângulo
da figura acima? O que precisa ser alterado para que os ângulos sejam congruentes?
Atividade 8 2 :
8.1. O que você entende por triângulo? Desenhe três triângulos utilizando o Geogebra.
Caso você não consiga desenhar o triângulo no GeoGebra, leia atentamente a
observação, que está colocada depois da atividade 8.
8.2. Quantos triângulos você percebe na figura abaixo?
2 A atividade 8 foi adaptada do livro Geometria Moderna parte I de Edwin E. Moise e Floyd L. Downs, Jr., p. 71.
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figura 17
8.3. Nomeie todos os triângulos na figura à esquerda, abaixo. (há mais de quatro
triângulos)
figura 18
8.4. Quantos triângulos estão na figura à direita, acima?
Orientações didáticas:
Nesta atividade o aluno deverá se familiarizar com o GeoGebra relembrando as
definições de ângulo e identificando os triângulos nas figuras apresentadas.
Observação 1:
Existem várias maneiras de construir triângulos no Geogebra. Você já deve ter
escolhido uma para resolver a atividade 8.
Vamos analisar três maneiras para a construção de um triângulo:
1ª maneira:
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Utilizando três pontos não colineares. Para isto, arquivo novo 2° ícone:
novo ponto e clique em três pontos não colineares e o GeoGebra construirá os pontos
A, B e C. Vamos ligar estes pontos com segmentos de reta. Para isto, clique no 3° ícone:
segmento de reta definido por dois pontos e clique nos pontos A e B, depois
nos pontos B e C e por último nos pontos C e A assim teremos o triângulo ABC,
conforme a figura a seguir:
figura 19
É possível movimentar o triângulo ABC, arrastando um de seus vértices?
2ª maneira:
É utilizar diretamente a ferramenta para a construção do triângulo. Para isto, clique no
5° ícone: polígono e clicar em três pontos não colineares que serão os
vértices do triângulo. O triângulo possui quantos vértices? Então clique nestes pontos e
depois no primeiro ponto para fechar o triângulo. O GeoGebra construirá um triângulo
ABC:
Figura 20
O triângulo que você construir ficará sempre semelhante ao triângulo da figura 20?
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O que de diferente possuem os triângulos das figuras 19 e 20, além da forma?
3ª maneira:
Construir um triângulo no GeoGebra como se estivesse utilizando a régua e o
compasso. Primeiramente construir um segmento AB que será um dos lados do
triângulo. Para isto clicar no 3° ícone: segmento definido por 2 pontos e
clicar em 2 pontos e o GeoGebra construirá o segmento AB, conforme a figura a seguir:
figura 21
Para construir os outros lados do triângulo iremos construir duas circunferências com
centro em cada uma das extremidades e raio de medidas distintas. Clique no 6° ícone:
Círculo definido pelo centro e um de seus pontos e clique no ponto A que
será o centro da circunferência e solte o mouse e quando a circunferência estiver do
tamanho desejado clique e aparecerá o ponto C:
figura 22Faça de modo análogo uma circunferência com centro em B passando pelo ponto C,
conforme figura 23. As duas circunferências possuem pontos em comum? Quais são os
pontos em comum das circunferências?
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figura 23
Forme triângulos, se possível, escolhendo os pontos A, B e um ponto da
intersecção das circunferências, como vértices do triângulo. Quantos triângulos,
podemos formar se as duas circunferências:
a) tiverem 2 pontos em comum?
b) tiverem 1 ponto em comum?
c) não tiverem pontos em comum?
Retas Paralelas
Duas retas em um mesmo plano são denominadas retas paralelas quando não se
interceptam.
figura 24
Atividade 9 3 : 3 A atividade 9 foi adaptada do livro Geometria Moderna parte I de Edwin E. Moise e Floyd L. Downs, Jr., p. 5.
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Nessa atividade não precisa utilizar o software GeoGebra.
Observe a figura 25, e responda: as retas r e s são paralelas?
figura 25
Orientações Didáticas:
Esta atividade é um exercício de ilusão ótica, mas o principal é destacar que retas
paralelas são retas contidas em um mesmo plano e não possuem pontos em comum (não
se interceptam).
Triângulos
Triângulo é a figura formada por três pontos não colineares e pelos segmentos de reta
determinados por estes três pontos.
Atividade 10:
10.1. Utilizando o GeoGebra, desenhe um triângulo ABC.
10.2. Você já sabe que os pontos A, B e C são denominados vértices do triângulo e os
segmentos AB, BC e CA são denominados lados dos triângulos.
Observe o desenho do triângulo ABC que você construiu com o auxílio do GeoGebra, e
responda as seguintes perguntas:
a) Qual o nome que aparece em cada segmento do triângulo ABC, desenhado no
GeoGebra?
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b) Para formar um triângulo, você poderá escolher qualquer três pontos? Existe alguma
restrição para a escolha desses pontos?
c) Será possível construir um triângulo com vértices em três pontos colineares?
d) Qual a cor dos pontos (vértice do triângulo) A, B e C do triângulo ABC, desenhado
no GeoGebra? A cor destes pontos, indica algum comando (ou propriedade) realizada
no Geogebra?
10.7. Movimente o vértice A. Para isto, clique no 1° ícone: mover e clique
com o botão esquerdo do mouse sobre o ponto A, sem soltar o mouse. Responda:
a) É possível movimentar o ponto A? Quando você arrasta o ponto A os pontos B e C,
também se movimentam?
b) Quais os segmentos que ficam fixos quando se arrasta o vértice A? E quais os
segmentos que se movimentam?
c) O triângulo ABC muda de forma, quando arrastamos o vértice A? E a área do
triângulo permanece a mesma?
d) Arraste o vértice A sobre o segmento oposto a ele (segmento BC), a figura obtida é
um triângulo?
Orientações didáticas
Nesta atividade vale destacar que para construir triângulos dados três pontos, esses
pontos não podem estar alinhados e isto é possível verificar através de investigações
geométricas arrastando os vértices do triângulo.
Observação 2:
Você já observou as porteiras retangulares construídas de madeiras, geralmente tem
outra madeira na diagonal e assim teremos também outra figura geométrica, qual
figura? E nas vigas do telhado de casas construídas de madeiras, qual figura geométrica
você observa? O mesmo acontece com as torres de energia elétrica de alta tensão, as
torres de celular.
Geralmente, se analisarmos por parte as figuras notaremos que existe triângulos. O que
os triângulos têm de especial nestas construções? É a rigidez da figura triangular, pois
quando alteramos os ângulos internos do triângulo simultaneamente altera os seus lados.
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Atividade 11:
O que você entende por círculo? Cite alguns exemplos, que forneçam a idéia de círculo.
Atividade 12:
12.1. Vamos construir um círculo, utilizando o programa Geogebra que faz uma
construção imediata dessa circunferência, para isto procederemos da seguinte maneira:
arquivo novo 6° ícone: círculo definido pelo centro e um dos seus
pontos e clique em um ponto A do plano que será o centro da circunferência e solte o
botão do mouse e quando o círculo estiver no tamanho desejado clique novamente e o
GeoGebra construirá um ponto B que faz parte da fronteira do círculo.
Para pintar na parte interior do círculo clique no botão direito do mouse sobre o círculo
e aparecerá a janela de visualização a seguir:
figura 26
Agora clique em propriedades e aparecerá a seguinte janela de visualização:
figura 27
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Clique em estilo preenchimento e arraste a seta até 100%, conforme a janela de
visualização a seguir:
figura 28Agora, clique na cor, e teremos a seguinte janela de visualização:
figura 29
escolha a cor de sua preferência fechar e assim o círculo estará preenchido com a cor
que você escolheu. O GeoGebra, construirá um círculo:
figura 30
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Vamos destacar o raio AB deste círculo e calcular sua medida. Para isto, 3° ícone:
segmento definido por 2 pontos e clique nos pontos A e B, o GeoGebra
construirá a figura a seguir:
figura 31
Determinaremos o comprimento deste raio procedendo da seguinte maneira: Clique no
7º ícone (no GeoGebra: versão 3.1, 8 ºícone): distância ou comprimento e
clique no segmento AB e o GeoGebra calculará a medida deste segmento em cm.
12.2. Responda as seguintes questões, observando o círculo construído no item anterior:
a) Arraste o ponto B sobre a fronteira do círculo de centro A, e determine as medidas
dos segmentos AB, o que essas medidas possuem em comum?
b) Qual a relação de pontos que estão sobre a circunferência e o seu centro?
c) Construa um segmento que tem por extremidades os pontos F e E, distintos que estão
sobre a circunferência (fronteira do círculo) e também passe pelo centro A do círculo.
Determine as medidas dos segmentos: FE, EA, AF.
d) É possível arrastar os pontos E ou F e ainda o segmento EF passar pelo centro?
Caso seja Possível, determine a medida do segmento EF.
e) Qual é a relação entre as medidas dos segmentos EF e AE ou EF e AF? Em outras
palavras qual a relação entre a medida do raio e a medida do diâmetro de uma
circunferência?
Orientações didáticas
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Esta atividade é para que o aluno cada vez mais se familiarize com o software
GeoGebra e principalmente que consiga relembrar os conceitos de círculo e
circunferência. Além disso, com as investigações geométricas realizadas no GeoGebra,
ele compreenda:
que a distância entre o centro de uma circunferência e qualquer ponto dessa
circunferência é sempre o mesmo número real positivo.
que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio da circunferência.
Atividade 13:
Nesta atividade não precisa utilizar o GeoGebra. Vamos conversar sobre circunferência:
13.1. O que você entende por circunferência? Cite um exemplo que forneça a idéia de
uma circunferência.
13.2. Se considerarmos a circunferência e o seu interior, qual será a figura obtida?
13.3. Desenhe uma circunferência de centro em C passando pelo ponto X.
13.4. O que você entende por esfera? Cite um exemplo que dê a idéia de uma esfera?
13.5. Qual é a dimensão da circunferência? Qual é a dimensão da esfera?
Orientações didáticas
Nesta atividade, o aluno deve diferenciar: círculo circunferência e esfera. Destacando
que o círculo e a circunferência são figuras planas com dimensão 2 enquanto que a
esfera é uma figura espacial com dimensão 3.
Atividade 14:
Construa no GeoGebra um círculo Ω, de centro O e que passa pelo ponto B.
14.1. Construa dois pontos: um ponto M dentro da região circular e o outro ponto R fora
da região circular.
14.2. Construa os segmentos: OB, OM e OR e determine a medida desses segmentos a
seguir compare os valores encontrados.
14.3. Arraste os pontos M e R: de modo que eles fiquem no interior da circunferência e
depois ficando os pontos fora da circunferência. Observe a medida destes segmentos e
compare com o valor da medida do raio.
Orientações didáticas
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Na Geometria Euclidiana uma circunferência de centro O e raio r divide o plano em 2
regiões: a região interior é constituída de pontos cuja distância ao centro é menor que r e
a região exterior é constituída de pontos cuja distância ao centro é maior que r.
Observação 3:
Você reparou que no Geogebra para construir um círculo ele desenha apenas a fronteira
do círculo. Mas vale destacar que círculo é a circunferência e o seu interior. Apenas na
língua inglesa não se diferencia círculo e circunferência.
Circunferência, Círculo e Esfera
Seja O um ponto e r um número real positivo.
A circunferência de centro em O e raio r é o conjunto constituído por todos os pontos
C do plano tal que OC r= .
figura 32: representação de uma circunferência
O conjunto de pontos do plano que satisfazem a desigualdade OC r≤ é dito círculo de
centro O e raio r, em outras palavras, a reunião de uma circunferência com o conjunto
de seus pontos interiores é chamada de círculo.
figura 33: representação de um círculo
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Se A é um ponto tal que OA r< , dizemos que A está no interior do círculo.
Se um ponto B é tal que , dizemos que B é exterior ao círculo.
Chama-se esfera o conjunto dos pontos C do espaço que satisfazem a desigualdade
OC r≤ , isto é, o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são
menores ou iguais a r.
figura 34
Atividade 15
Na atividade 12, foi construído um círculo dado o centro e um de seus pontos. A seguir
veremos mais três maneiras de construir círculos no GeoGebra:
1ª maneira:
Construir um círculo utilizando o 6º ícone: círculo definido por três pontos.
15.1. Para construir o círculo os três pontos podem ser quaisquer? Qual a relação que
deve existir entre estes três pontos?
15.2. Após a construção destes três pontos relacionados de maneira correta, utilize o 6º
ícone: círculo definido por três pontos para construir o círculo. E clique nos
três pontos destacados e assim o GeoGebra construirá o círculo desejado.
15.3. Você consegue determinar o centro do círculo construído?
Caso, não consiga determinar o centro do círculo, siga as instruções abaixo para
determiná-lo:
Você se recorda o que é uma mediatriz de um segmento?
Sempre que falarmos sobre mediatriz, temos que indicar o segmento de reta que
estamos nos referindo. Lembre-se mediatriz sempre é de segmento de reta.
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Mas o que é mesmo mediatriz de um segmento de reta? É a reta perpendicular ao
segmento de reta que intercepta este segmento no ponto médio. Agora você consegue
justificar o motivo de não nos referirmos a mediatriz de reta?
Para encontrarmos o centro desta circunferência vamos construir duas mediatrizes: do
segmento AB e do segmento BC e a seguir encontrar o ponto O de interseção destas
mediatrizes.
Construa a circunferência de centro em O passando pelo ponto A. O que você
observou?
2ª maneira:
Vamos construir o círculo utilizando o 6° ícone: círculo dados centro e
raio clicar sobre um lugar na tela que será o centro da circunferência, e aparecerá a
seguinte janela de visualização:
figura 35
digite um número que é a medida do raio desejada conforme indica a janela de
visualização acima OK. Assim, obtemos o círculo: dado o centro da circunferência e
a medida do raio, conforme a figura abaixo:
figura 36
3ª maneira:
30
Na versão 3.1 do GeoGebra, temos mais uma opção para a construção do círculo.
Clique no 6° ícone: compasso e selecione dois pontos ou um segmento de
reta que será a medida do raio e depois um ponto que será o centro da circunferência,
conforme a figura 37 e o GeoGebra construirá um círculo com raio igual a medida do
segmento AB.
figura 37Orientações didáticas:
Vale destacar que só é possível construir uma circunferência dados três pontos A, B e C
distintos, se os pontos forem não colineares. Além disso, o círculo que contém os pontos
A, B e C. é único.
Postulado das paralelas
Euclides na obra “Os Elementos”, enumerou alguns Postulados, que são afirmações
simples, aceitas sem precisar de demonstração.
A seguir temos duas maneiras de enunciar o quinto postulado de Euclides também
denominado de postulado das paralelas:
1ª) Postulado das paralelas (quinto postulado de Euclides) escrito por Euclides da
seguinte maneira:
Se uma reta corta duas outras r e s (mesmo plano) de modo que a soma dos ângulos
interiores de um mesmo lado de t é menor que dois retos, então r e s, quando
prolongadas suficientemente, se cortam daquele lado de t.
31
2ª) Postulado reescrito por John Playfair em 1795 no trabalho Elementos de
Geometria:
Por um ponto fora de uma reta r pode-se traçar uma única reta paralela a reta r.
Atividade 16:
16.1. Após, a leitura do postulado das paralelas (quinto postulado de Euclides) escrito
acima de duas maneiras diferentes, transcreva a maneira que você achou de mais fácil
entendimento.
16.2. Faça a representação do Postulado de Euclides no GeoGebra.
16.3. Construa no GeoGebra, se possível, três ou mais retas distintas paralelas a uma
reta a dada passando por um ponto P, não pertencente a reta a. Que relação existe entre
as retas paralelas a reta a passando pelo ponto P.
Observação 4:
A seguir o roteiro (caso o aluno tenha dificuldade ainda em utilizar o GeoGebra) para
resolver a atividade 16.2:
Primeiramente, vamos construir uma reta a. Para isto, conforme já estudado, precisamos
de dois pontos distintos. Clique no 3º ícone: reta definida por dois pontos e
clique em dois pontos distintos A e B. O GeoGebra construirá a reta a, passando pelos
pontos A e B.
Para esconder os pontos A e B siga as seguintes instruções: clique no ponto A com o
botão direito do mouse e aparecerá a seguinte janela de visualização:
figura 38
32
exibir objeto e o ponto A ficará escondido. De maneira análoga esconda o ponto B.
Para construir um ponto P não pertencente a reta a. Clique no 2º ícone: novo
ponto e clique em um ponto do plano de maneira que ele não pertença a reta a. O
GeoGebra construirá um ponto C, renomeie o ponto C da seguinte maneira: em C
com o botão direito do mouse aparecerá uma janela de visualização:
figura 39
renomear e apague a letra C e digite a letra P OK.
Vamos construir uma reta b paralela a reta a, passando por P. Proceda da seguinte
maneira: clique no 4º ícone: reta paralela e selecione primeiro o ponto P e,
depois a reta a. O GeoGebra construirá a reta b paralela a reta a passando pelo por P.
Agora, construa duas novas retas c e d, que passam por P e que sejam paralelas a reta a,
siga o mesmo esquema para a construção da reta b.
Mude a cor da reta c. Para isto, clique no botão direito do mouse sobre a reta c e
aparecerá uma janela de visualização indicando reta b, reta c e reta d, conforme a figura
a seguir:
figura 40
33
Clique na reta c e aparecerá a janela de visualização:
figura 41 propriedades cor escolha uma cor de sua preferência fechar.
Orientações didáticas:
Nesta atividade, o aluno deve compreender o quinto Postulado de Euclides e representá-
lo através do desenho, como sugerido. A seguir as representações do quinto postulado
de Euclides (postulado das Paralelas):
1ª Representação: Postulado de Euclides (postulado das paralelas)
figura 42
2ª Representação do postulado de Euclides (postulado das paralelas) reescrito por John
Playfair
34
figura 43
Atividade 17:
Responda as seguintes questões utilizando, o GeoGebra:
17.1) Se r é uma reta paralela a uma reta s e m é paralela a reta s. Que relação existe
entre as retas r e m?
17.2) Dadas duas retas r e s cortadas por uma transversal, se um par de ângulos alternos
internos é formado por ângulos congruentes então o que pode-se afirmar em relação as
retas r e s?
17.3) Se duas retas paralelas r e s são cortadas por uma transversal podemos afirmar
que os ângulos alternos internos são congruentes?
17.4) Observe as duas questões anteriores o que pode-se concluir?
Orientações didáticas
Nessa atividade, é importante destacar os seguintes resultados:
Se r é paralela a duas retas, s e t, então s e t são paralelas.
Dadas duas retas cortadas por uma transversal, um par de ângulos alternos
internos é formado por ângulos congruentes se, e somente se, as retas forem
paralelas.
Atividade 18:
Vamos construir um triângulo ABC, utilizando a ferramenta do Geogebra e responder
as seguintes questões:
18.1. Indique os vértices, os lados e os ângulos internos do triângulo ABC, construído
no GeoGebra.
18.2. Os lados do triângulo são segmentos de reta?
35
18.3. Neste caso, qual unidade de medida mais indicada para medir os lados do
triângulo ABC?
18.4. Utilize as ferramentas do Geogebra, para medir todos os lados do triângulo ABC.
18.5. Utilize as ferramentas do Geogebra para medir os ângulos internos do triângulo
ABC. (Caso, você esqueceu: 7° ícone (na versão 3.1 do GeoGebra é o 8º ícone)
Ângulo e clique no sentido horário nos três pontos, lembrando que o segundo ponto tem
que ser o vértice do triângulo)
med(BÂC) =
med( ˆABC ) =
med( ˆACB ) =
med(BÂC) + ( ˆABC ) + med( ˆACB ) =
Construa três triângulos ABC, EFG e HIJ no GeoGebra e desenvolva as seguintes
questões, para cada triângulo:
18.6. Determine o perímetro.
18.7. Determine a soma dos ângulos internos dos triângulos.
18.8. Verifique com os outros colegas qual é o resultado da soma dos ângulos internos
dos triângulos que eles construíram.
18.9. Qual a soma dos ângulos internos dos triângulos construídos nesta atividade.
Orientações didáticas:
Nessa atividade é destacado o seguinte teorema da Geometria Euclidiana: para qualquer
triângulo a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180º. É possível demonstrar
este teorema utilizando o Geogebra, pois a demonstração é construtiva. É o que faremos
na próxima atividade.
Como já destacamos estamos resolvendo atividades com a Geometria Euclidiana, você
já sabe que existem outras geometrias. Dependendo da Geometria a soma dos ângulos
internos de um triângulo nem sempre é dois ângulos retos.
Atividade 19:
Com o auxílio do software Geogebra, demonstre o seguinte teorema da Geometria
Euclidiana:
Para todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é 180º.
36
Utilize o seguinte roteiro:
19.1. Construa o triângulo ABC, e coloque os lados do triângulo na espessura 5.
Pode-se seguir o seguinte roteiro: crie três pontos não colineares. Para isto2º ícone:
novo ponto e clique em três pontos que sejam não colineares. E assim
teremos os pontos A, B e C não colineares.
Para construir os três segmentos: 3º ícone: segmento definido por dois
pontos e clique nos pontos A e B, a seguir nos pontos B e C e por último nos pontos C e
A, obtendo os lados do triângulo ABC.
Para mudar a espessura dos lados do triângulo, basta clicar com o botão direito do
mouse no segmento AB propriedade estilo espessura e mudar a espessura para o
número 5, analogamente para os outros lados do triângulo.
figura 44
19.2. Na Geometria Euclidiana, por um ponto B fora de uma reta r, quantas retas
passam por B e são paralelas a reta AC?
19.3. Construa uma reta a suporte contendo os pontos A e C e a seguir trace uma reta b
paralela a essa reta a suporte passando pelo ponto B.
37
figura 45
19.4. Qual a relação que existe entre as retas a e b?
19.5. A reta que contém AB é uma reta transversal que intercepta as retas paralelas em
quais pontos?
19.6. Essa reta transversal AB forma ângulos alternos internos com as retas paralelas.
Esses ângulos são congruentes? Justifique.
figura 46
19.7. Analogamente, a reta que contém BC é uma transversal que intercepta as retas a e
b, em quais pontos?
19.8. Essa reta transversal BC forma ângulos alternos internos com as retas paralelas,
esses ângulos são congruentes? Justifique.
38
figura 47
19.9. O que podemos concluir, na Geometria Euclidiana, em relação a soma dos ângulos
internos do triângulo?
Orientações didáticas:
O teorema da Geometria Euclidiana demonstrado nesta atividade: “Para todo triângulo,
a soma das medidas dos ângulos internos é 180º” é uma conseqüência do postulado das
paralelas e também do seguinte teorema trabalhado na atividade 17, “Dadas duas retas
cortadas por uma transversal, um par de ângulos alternos internos é formado por
ângulos congruentes se, e somente se, as retas forem paralelas”. É mais vantajoso para a
aprendizagem desenvolver as atividades no GeoGebra baseado sempre na
fundamentação teórica do conteúdo trabalhado. Deve ser destacado que estes resultados
são válidos na Geometria Euclidiana.
Atividade 20:
Com o auxílio do GeoGebra, verifique os seguintes resultados da Geometria Euclidiana:
20.1. A soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90º.
20.2. Cada ângulo do triângulo eqüilátero mede 60º.
20.3. A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos
ângulos internos que não lhe são adjacentes.
20.4. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer é 360º.
Orientações didáticas:
39
O aluno deve perceber que os resultados desta atividade são conseqüência imediata do
seguinte teorema da Geometria Euclidiana: Para todo triângulo, a soma das medidas dos
ângulos internos é 180º.
Observação 5:
Para os alunos que tem curiosidade e facilidade em trabalhar no computador é possível
elaborar macro construções, isto é, construir novas Ferramentas no GeoGebra.
Primeiramente deverá ser realizado no GeoGebra o desenho e após a finalização do
desenho, clicar em Ferramentas conforme a figura a seguir:
figura 48
E depois Criar uma Nova Ferramenta e aparecerá a seguinte janela de visualização:
figura 49
objetos finais objetos iniciais (próximo) nome &ícone (próximo) e digitar o
nome da Ferramenta Ok. Assim a nova ferramenta está construída e agora basta
salvar. Mas adiante o professor utilizará uma nova ferramenta para construir a reta
hiperbólica.
GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS:
40
GEOMETRIA HIPERBÓLICA E GEOMETRIA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
Primeiramente faremos alguns comentários sobre a Geometria Euclidiana, a seguir
comentaremos sobre a negação do quinto postulado de Euclides, e finalmente
discutiremos as Geometrias não Euclidianas.
Euclides era um professor e matemático grego, de Alexandria, que escreveu a obra “Os
Elementos”, por volta de 300 a.C. Nesta obra, Euclides selecionou, organizou,
desenvolveu e apresentou, alguns conhecimentos seus e de seus antecessores de forma
axiomática. Estes conhecimentos eram sobre a geometria plana e espacial e também
sobre a teoria dos números.
Esta obra é uma das mais editadas do mundo e só perde para a Bíblia no número de
edições. No ano de 2009, tivemos a tradução de “Os Elementos”, para o português pelo
matemático brasileiro Irineu Bicudo.
Já estudamos sobre o quinto postulado de Euclides (postulado das Paralelas), você se
recorda do enunciado desse postulado? Transcreva o enunciado do quinto postulado de
Euclides (postulado das
Paralelas).---------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------.
Durante muito tempo, vários matemáticos preocuparam em questionar a veracidade do
quinto postulado de Euclides. Acreditavam que não se tratava de um postulado, mas de
um teorema. Inúmeros matemáticos tentaram demonstrar o quinto postulado de
Euclides, mas nunca conseguiram.
Quatro matemáticos: o alemão Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), o húngaro Johan
Bolyai (1802 – 1860), o russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793 – 1856) e também
o alemão Georg Friederich Bernhard Riemann (1826-1866) lançaram bases de novas
Geometrias tão consistentes como a Geometria de Euclides.
Segundo, KASNER (1968), apenas Bolyai e Lobachevsky na década de 1830,
apresentaram suas teorias em que o quinto postulado de Euclides poderia ser substituído
41
da seguinte maneira: Por um ponto P que não pertence a uma reta r podem passar duas
retas paralelas a reta r dada. Surgindo, a Geometria Hiperbólica (Geometria de
Lobachevsky).
Existem duas maneiras de negar o postulado das paralelas:
1ª ) assumir que existem pelo menos duas retas paralelas passando por um ponto P fora
da reta, assim obtemos, como citado acima a Geometria Hiperbólica (ou Lobachevsk).
2ª) assumir que não existem retas paralelas a reta dada passando por um ponto P fora da
reta, em outras palavras, que qualquer par de retas de um mesmo plano devem se
interceptar, obtemos a Geometria Elíptica (ou Riemanniana). A Geometria da superfície
Esférica é um caso particular da Geometria Elíptica.
Nestas Geometrias não Euclidianas permanecem válidos os teoremas (proposições) da
Geometria Euclidiana que não dependem do quinto postulado de Euclides.
Atividade 21:
Nesta atividade, vamos conhecer um pouco da história das Geometrias não Euclidianas.
Faça uma leitura do texto abaixo, e encontre no caça-palavras as palavras sublinhadas
no texto:
Os matemáticos Gauss e Wolfgang BOLYAI (1775-1856) estudaram em
GOTTINGEN e pesquisaram sobre o quinto postulado de Euclides. Mesmo após terem
deixado a universidade eles mantinham contato sobre os estudos.
GAUSS não divulgava seus estudos sobre o quinto POSTULADO, pois naquela época
a Geometria EUCLIDIANA era considerada a única Geometria aceitável.
Wolfgang Bolyai enviou para Gauss duas tentativas de DEMONSTRAÇÃO do
postulado: na primeira, Gauss encontrou um erro e indicou esse erro para Wolfgang. Na
segunda, Gauss não deu seu parecer sobre a demonstração, e Wolfgang desistiu de
estudar sobre o Postulado e dedicou-se a outros problemas matemáticos.
Porém, o filho de Wolfgang Bolyai, JOHAN Bolyai também se tornou um matemático
e passou a estudar o quinto postulado, ficou vislumbrado com suas descobertas sobre as
paralelas, posteriormente denominado uma das novas GEOMETRIAS, que seu pai até
publicou no apêndice do livro Tentamen.
Quando Gauss, leu o apêndice do livro TENTAMEN escreveu para o amigo Wolfgang
Bolyai, citando na felicidade de saber que o filho de seu amigo escreveu sobre o mesmo
assunto que durante 35 anos ele estudou e não publicou.
42
Johan Bolyai continuou estudando sobre as PARALELAS e não publicou mais suas
descobertas , em 1848 teve uma grande surpresa ao saber que o matemático russo
Nicolas LOBACHEVSKY, também descobriu a nova Geometria dois anos antes da
publicação do livro Tentamen. E assim temos uma pequena noção de como surgiu a
Geometria Hiperbólica (Geometria de Lobachevsky).
Segundo, BOYER (1974), o alemão Georg Friederich Bernhard RIEMANN (1826-
1866) foi aluno de Gauss concluindo o doutorado em Gottingen. Na sua conferência
inaugural Das Hipóteses que Sustentam os Fundamentos da Geometria propôs que por
um ponto do plano, não se pode traçar nenhuma reta paralela a reta dada. Surgindo a
Geometria ELÍPTICA (ou Geometria Riemanniana). A Geometria da Superfície
ESFÉRICA é um caso particular da Geometria Elíptica.
Orientações didáticas:
O aluno com esta atividade, tem a oportunidade de conhecer um pouco da vida de
alguns matemáticos. O professor deve destacar que a descoberta das Geometrias não
Euclidianas precisou de muito estudo, existem outros matemáticos que também
dedicaram suas vidas ao estudo da teoria que envolve o quinto postulado de Euclides.
Geometria Hiperbólica
Como já vimos anteriormente, Bolyai e Lobachevsky apresentaram suas teorias
substituindo o quinto postulado de Euclides (postulado das paralelas) pela seguinte
afirmação: “Por um ponto não pertencente a uma reta r podem passar pelo menos duas
43
retas paralelas a reta r dada”. Surgindo, a Geometria Hiperbólica (Geometria de
Lobachevsky). A Geometria Hiperbólica substitui o quinto postulado de Euclides, mas
permanecem válidos os demais postulados, axiomas da Geometria Euclidiana que não
dependem do quinto postulado. A Geometria Hiperbólica foi elaborada através de uma
construção teórica. Existem três modelos que foram desenvolvidos para a Geometria
Hiperbólica. Neste projeto vamos estudar o modelo do disco de Poincaré, desenvolvido
pelo matemático francês Henry Poincaré entre 1822 a 1887.
MODELO DO DISCO DE POINCARÉ
O modelo do disco de Poincaré foi baseado na Geometria Euclidiana. A seguir iremos
descrever algumas características desse modelo:
Ponto: é a mesma noção primitiva utilizada na Geometria Euclidiana. A marca de um
toque de grafite no papel nos fornece a idéia de ponto.
Plano Hiperbólico: é por definição o interior de um círculo Euclidiano, em outras
palavras, consideremos uma circunferência de centro em O e raio AO, o plano
hiperbólico consiste de todos os pontos X tais que OX OA< .
figura 50 - representação do plano hiperbólico
Horizonte hiperbólico: é a fronteira do plano hiperbólico.
44
figura 51 - a fronteira do plano
hiperbólico é o horizonte hiperbólico
Atividade 22
22.1. Construa com o software GeoGebra, dois planos hiperbólicos de centro A e B,
respectivamente.
22.2. Plano Euclidiano e plano Hiperbólico possuem a mesma definição?
22.3. No GeoGebra não precisa desenhar plano Euclidiano, pois o GeoGebra trabalha
apenas com a Geometria Euclidiana. Mas nos livros didáticos de matemática como são
geralmente representados os planos Euclidianos?
Orientações didáticas:
O objetivo desta atividade é a compreensão do plano hiperbólico na Geometria
Hiperbólica no modelo do disco de Poincaré.
Retas Hiperbólicas:
Antes de definir retas hiperbólicas, vamos relembrar alguns conceitos da Geometria
Euclidiana.
Corda e diâmetro da circunferência:
Complete as duas frases a seguir para tornar as afirmações verdadeiras:
Corda é todo ----------------------de reta com extremidades na -------------------------------.-
Diâmetro é toda ---------------------- de circunferência que passa pelo ------------------.
A medida do diâmetro da circunferência é igual a ----------------------- da medida do raio
dessa circunferência.
Circunferências ortogonais:
Duas circunferências secantes são ortogonais quando em cada ponto da interseção, os
raios são perpendiculares.
45
figura 52 - representação de circunferências ortogonais
Atividade 23:
23.1. Sem utilizar o GeoGebra, verifique, em cada item se as circunferências são
ortogonais:
a)b) c)
figura 53
23.2. Utilize o GeoGebra, para construir duas circunferências ortogonais.
Orientações didáticas:
Esta atividade serve para o aluno compreender o significado de circunferências
ortogonais.
Definição de retas hiperbólicas no modelo do disco de Poincaré:
As retas hiperbólicas no modelo do disco de Poincaré são representadas por dois
modelos:
1º modelo: as retas hiperbólicas são representadas por cordas abertas que passam pelo
centro da circunferência (diâmetros abertos).
46
figura 54 - representação da reta hiperbólica
passando pelos pontos A e B.
2º modelo: as retas hiperbólicas são representadas por arcos abertos de circunferências
ortogonais ao horizonte do plano hiperbólico.
figura 55 - representação da reta hiperbólica
passando pelos pontos A e B
Atividade 24:
24.1. Quantos modelos de reta existem na Geometria Euclidiana e na Geometria
Hiperbólica no modelo do disco de Poincaré?
24.2. Observe a figura abaixo e nomeie as retas hiperbólicas no modelo do disco de
Poincaré, identificando a qual dos dois modelos do disco de Poincaré elas pertencem,
sabendo que os arcos são ortogonais ao horizonte do plano hiperbólico.
47
figura 56: representação de retas hiperbólicas24.3. Por um ponto P no modelo do disco de Poincaré, quantas retas hiperbólicas é
possível construir?
24.4. Quantas retas hiperbólicas podem ser construídas passando por dois pontos
distintos no modelo do disco de Poincaré?
Orientações didáticas:
Nesta atividade o aluno irá compreender a definição de reta no modelo do disco de
Poincaré na Geometria Hiperbólica. Nesta Geometria existe a definição de reta e ela
contempla dois modelos. Em outras atividades o professor deverá destacar que as retas
nesta Geometria são.limitadas porém infinitas. Vale destacar que a diferença entre a
Geometria Hiperbólica e a Geometria Euclidiana são os resultados que dependem do
quinto postulado de Euclides (postulado das paralelas).
Pontos ideais:
Os pontos de interseção das retas hiperbólicas com o horizonte são pontos que não
pertencem ao plano hiperbólico, chamamos de pontos ideais ou finais da reta
hiperbólica. Os pontos T e S são pontos ideais da reta hiperbólica da figura a esquerda.
Escreva os pontos ideais de todas as retas hiperbólicas das figuras abaixo:
figura 57 - representando os pontos ideais de algumas retas
hiperbólicas
Ângulos:
48
Se duas retas hiperbólicas interceptam num ponto A, a medida do ângulo formado entre
elas é por definição, a medida do menor ângulo formado pelas semirretas euclidianas
que são tangentes aos arcos (retas hiperbólicas) no ponto A.
Assim no modelo do disco de Poincaré, para calcular a medida de ângulo nesse modelo,
devemos primeiramente:
determinar as retas euclidianas tangentes aos arcos passando pelo ponto de
interseção;
determinar a medida do ângulo formado por essas duas retas.
figura 58 - ângulo hiperbólico
Atividade 25:
25.1. Determine, utilizando o transferidor a medida do ângulo formado entre as retas
hiperbólicas:
a)
b)
49
c)
d)
figura 59
25.2. Como são os ângulos no plano Euclidiano e no modelo do disco de Poincaré?
Há divergências nas suas medidas?
ângulo plano euclidiano ângulo no modelo do disco de Poincaréfigura 60
Orientações didáticas:
Vale destacar que para determinar a medida o ângulo hiperbólico no modelo do disco de
Poincaré devemos compreender as três condições:
se o ângulo hiperbólico for formado por dois diâmetros abertos,portanto o
ângulo formado entre eles já é Euclidiano;
se o ângulo for formado por um diâmetro aberto e um reta hiperbólica (arco
aberto de circunferência ortogonal ao horizonte do plano hiperbólico) teremos
que o ângulo é entre o diâmetro aberto e a reta tangente ao arco aberto no ponto
de encontro do dois.
se o ângulo for formado por duas retas hiperbólicas do modelo: arcos abertos de
circunferências ortogonais ao horizonte do plano hiperbólico teremos que o
50
ângulo entre eles é o menor ângulo formado pelas retas tangentes a estes arcos
no ponto de encontro entre eles.
Distância entre dois pontos no modelo do disco de Poincaré
A distância entre dois pontos A e B, neste modelo, é dada por:
d(A,B) = AU BVlnAV BU
⋅ , em que U e V são os pontos ideais da reta hiperbólica AB.
Uma das maneiras para determinar a distância entre dois pontos A e B na Geometria
Hiperbólica no modelo do disco de Poincaré é utilizar o desenho construído no
GeoGebra e a calculadora no campo de entrada do GeoGebra que possui os comandos
logaritmo neperiano (ln) e também, o módulo (abs) e as operações matemáticas básicas
entre outras.
A seguir um roteiro para o cálculo desta distância:
construir no plano hiperbólico com o auxílio do GeoGebra uma reta hiperbólica
que passa por dois pontos quaisquer e em seguida esconder esses pontos;
marcar os pontos A e B na reta hiperbólica construída;
determine os pontos ideais U e V desta reta hiperbólica;
agora adicione a parte algébrica do GeoGebra;
construa os segmentos Euclidianos: AU a= , 1AV a= , 1BU b= , BV b= e
AB e= .
digite no campo de entrada no GeoGebra:
“Distância hiperbólica entre A e B=” +abs(ln((a/a_1)*(b/b_1))) e depois clicar enter.
E o GeoGebra determinará a distância entre os pontos A e B
51
figura 61
Esta métrica foi desenvolvida por Poincaré para construir um espaço infinito (plano
hiperbólico), em um espaço limitado com a métrica Euclidiana (circunferência
euclidiana)
Observação 6:
Por que na fórmula da distância entre dois pontos A e B, no modelo do disco de
Poincaré precisa ter o módulo?
Vamos primeiramente relembrar a definição de módulo de um número real.
Dado um número real x, o módulo de x, denotado por |x|, é igual a “x” se x ≥ 0 e igual a
“– x” se x < 0. Você se recorda o que significa módulo na reta numérica?
Na reta numérica, o módulo de um número corresponde à distância desse número à
origem.
Lembre-se que módulo de um número é sempre um número real não-negativo.
Existe distância negativa?
Como não existe distância negativa, e o logaritmo pode ser um número negativo, então
para termos a certeza que o valor da distância hiperbólica entre os pontos A e B é um
número não negativo coloca-se o módulo.
Atividade 26:
Nas atividades que envolvem as retas hiperbólicas serão utilizados uma nova ferramenta
(macro construção) no GeoGebra: retas hiperbólicas que será instalada pelo
professor nos computadores:
26.1. Desenhe com o auxílio do GeoGebra, uma reta AB, no modelo do disco de
Poincaré, com na figura anterior, determinando os pontos ideais U e V, desta reta.
26.2. Determine a medida euclidiana do segmento AB.
26.3. Determine a medida do segmento, AB na Geometria Hiperbólica, utilizando a
métrica da medida do disco de Poincaré.
26.4. Complete a tabela abaixo, observando a distância entre os pontos A e B, na
Geometria Euclidiana (e) e na Geometria Hiperbólica (h), quando arrastamos os pontos
A ou B na reta hiperbólica, no desenho construído no item 26.1., no GeoGebra:
52
Posição dos pontos
A e B
Distância entre os
pontos A e B na
Geometria
Euclidiana (e)
Distância entre dois
pontos A e B na
Geometria
Hiperbólica (h)
Qual distância é a
maior: e ou h?
Posição inicial2º momento3º momento4º momento5º momento6º momento7º momento8º momento9º momento10º momento
Orientações didáticas:
Nesta atividade o professor deve incentivar os alunos a explorar o software GeoGebra
para arrastar os pontos A e B na reta hiperbólica, de forma a aproximar o ponto A ao
ponto ideal U e o ponto B ao ponto ideal V, e também aproximar os pontos A e B e
comparar a distância destes pontos A e B na Geometria Hiperbólica e na Geometria
Euclidiana. Vale destacar que quando os pontos A e B aproximam cada um da
extremidade do ponto ideal a distância entre os pontos A e B aumenta, observe o valor
na figura 62 o valor é 6,26 cm. Já quando os pontos estão um pouco distante dos pontos
ideais a distância entre os pontos A e B, na figura 63 é 1,74 cm . Agora quando os
pontos A e B ficam muito próximos o valor da distância entre os pontos A e B tende a
zero, como na Geometria Euclidiana.
figura 62
53
figura 63
figura 64
figura 65
Vale ressaltar que quando arrastamos os pontos A ou B na reta hiperbólica nem sempre
o GeoGebra mostra os pontos ideais, ainda não se conhece o motivo deste fato ocorrer.
Observe ainda, que apesar da fórmula indicar que quando os pontos A ou B, tendem
para os pontos ideais, a distância tende ao infinito, isso não pode ser observado quando
utilizado o software GeoGebra, pelo fato de existir na representação do ponto, uma
54
dimensão, e portanto, essa dimensão impede uma maior aproximação dos pontos A ou
B, dos pontos ideiais.
Atividade 27:
Com o auxílio da calculadora, determine a distância entre os pontos A e B no modelo do
disco de Poincaré, utilizando os dados que constam na tabela a seguir:
AU AV BU BV d(A,B) = AU BVlnAV BU
⋅ ,
0,91 3,82 2,58 2,271,42 3,34 1,98 2,811,93 2,95 2,54 2,362,04 2,79 2,53 2,30,34 4,56 4,36 0,580,2 4,76 4,73 0,230,14 5,49 5,49 0,140,02 6,31 6,27 0,030,002 7,4 7,2 0,0050,0002 8,15 8,24 0,00060,00008 9,34 9,65 0,00002
Orientações didáticas:
Nesta atividade o aluno determinará a distância entre dois pontos no modelo do disco de
Poincaré que é um dos conteúdos da Geometria Hiperbólica. Analisando os dados da
tabela o aluno deve compreender que quando os pontos A e B se distanciam e se
aproximam dos pontos ideais a distância entre eles aumenta rapidamente.
Retas Paralelas:
No modelo de disco de Poincaré, duas retas são paralelas se e somente se elas não
tiveram ponto em comum. A seguir vários modelos de retas hiperbólicas paralelas no
modelo do disco de Poincaré.
55
figura 66
figura 67
figura 68
Atividade 28:
Observe as figuras anteriores que representam retas paralelas na geometria Hiperbólica
e responda as seguintes questões:
28.1. As retas paralelas no modelo do disco de Poincaré mantém constante a distância
entre as retas?
28.2. É possível duas retas paralelas no modelo de diâmetro aberto, no modelo do disco
de Poincaré?
Orientações didáticas:
O aluno deverá observar algumas diferenças de retas paralelas na Geometria
Hiperbólica e na Geometria Euclidiana:
Uma delas é que na Geometria Euclidiana a distância entre as retas paralelas
permanece constante e isso nunca é válido na Geometria Hiperbólica. Em outras
palavras: as retas paralelas na Geometria Hiperbólica nunca são eqüidistante
enquanto que na Geometria Euclidiana elas são eqüidistante.
56
Na Geometria Hiperbólica existem retas paralelas que se encontram no ponto
ideal, mas é bom destacar que ponto ideal não pertence ao plano hiperbólico,
neste caso o modelo do disco de Poincaré.
Atividade 29:
29.1. Construa com o auxílio do GeoGebra as retas paralelas na Geometria Euclidiana e
com a nova ferramenta construída no GeoGebra (retas hiperbólicas) as retas paralelas no
modelo do disco de Poincaré.
29.2. Se uma reta hiperbólica intercepta uma de duas retas hiperbólicas paralelas então
ela deverá interceptar também a outra reta hiperbólica paralela?
29.3. Cite algumas diferenças entre as retas paralelas nestas Geometrias.
Orientações didáticas:
Nesta atividade o aluno deverá construir retas paralelas hiperbólicas com o auxílio do
GeoGebra em que o professor instalou a nova ferramenta: retas hiperbólicas.
O aluno deverá compreender as retas paralelas na Geometria Hiperbólica.
No item 29.2., apresenta mais uma diferença entre as Geometrias: Euclidiana e
Hiperbólica. Se uma reta intercepta uma de duas retas paralelas então:
tem que interceptar a outra reta paralela na Geometria Euclidiana;
esta reta pode ou não interceptar a outra reta na Geometria Hiperbólica.
Triângulos Hiperbólicos:
Você consegue imaginar triângulos na Geometria Hiperbólica, no modelo de disco de
Poincaré? Será que é possível construir triângulos nesta Geometria?
Na Geometria Euclidiana quantos pontos eram necessários para se construir triângulos?
Os pontos tinham que satisfazer alguma condição de existência de triângulos?
Na Geometria Hiperbólica quantos pontos são necessários para construir triângulos
hiperbólicos? Será que existe alguma condição de existência para a construção de
triângulos hiperbólicos?
Tente desenhar em uma folha de papel o plano hiperbólico e uma idéia de como seriam
os triângulos hiperbólicos?
A seguir alguns triângulos hiperbólicos no modelo do disco de Poincaré:
57
figura 69
figura 70
figura 71
Atividade 30:
Com o auxílio do GeoGebra, construa um triângulo hiperbólico ABC.
Primeiramente construa o disco de Poincaré e crie três pontos A, B e C, no interior do
disco, esses pontos podem ser quaisquer?------------------------------------------------------.
A seguir utilizando a ferramenta reta hiperbólica ou segmento hiperbólico que foi
instalada no computador construa o triângulo hiperbólico.
Para utilizar as ferramentas: reta hiperbólica ou segmento hiperbólico, basta observar os
passos que devem ser seguidos para obter os segmentos desejados e algumas vezes será
58
preciso arrastar alguns dos vértices do triângulo para a construção do triângulo
hiperbólico no modelo do disco de Poincaré.
Orientações didáticas:
Nesta atividade o aluno deverá explorar as novas ferramentas: retas hiperbólicas e
segmentos hiperbólicos para construir o triângulo hiperbólico.
Vale destacar que nas Geometrias: Hiperbólica e Euclidiana os três vértices do triângulo
não podem estar alinhados.
Atividade 31:
31.1. Construa dois triângulos hiperbólicos no modelo do disco de Poincaré.
31.2. Determine o perímetro do triângulo hiperbólico, observando se o segmento do
triângulo é um segmento euclidiano do diâmetro aberto ou hiperbólico do tipo ao arco
perpendicular ao horizonte. Lembre-se, para determinar o comprimento do segmento
euclidiano utiliza a ferramenta o GeoGebra diretamente. No outro caso, deve utilizar a
métrica da distância entre dois pontos da Geometria Hiperbólica, também com o auxílio
do GeoGebra.
3.13. Determine a soma da medida dos ângulos internos de cada triângulo construído.
Os resultados encontrados são iguais a 180º? Verifique com os outros colegas qual é o
resultado da soma dos ângulos internos dos triângulos que eles construíram.
31.4. Qual é a soma da medida dos ângulos internos de qualquer triângulo euclidiano?
31.5. Qual a diferença entre a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo na
Geometria Hiperbólica e na Geometria Euclidiana?
Orientações didáticas:
Nesta atividade o aluno é incentivado a construir triângulos hiperbólicos e a determinar
a soma dos ângulos internos do triângulo hiperbólico. E assim destacar mais uma
diferença entre a Geometria Euclidiana e a Geometria Hiperbólica que a soma das
medidas dos ângulos internos do triângulo.
Atividade 32:
Por que não há quadrados ou retângulos na Geometria Hiperbólica?
Orientações didáticas:
59
Nesta atividade o aluno deve relembrar a definição de retângulos, que é um
paralelogramo que possui os quatro ângulos internos iguais a 90º. Um retângulo pode
ser dividido, por meio de sua diagonal, em dois triângulos e desta forma concluir que a
soma dos ângulos internos dos triângulos é igual a 180º, pois maior não pode ser,
E assim perceber a impossibilidade da existência de retângulos na Geometria
Hiperbólica. Pois a soma dos ângulos internos de um triângulo na Geometria
Hiperbólica é menor que 180º.
a soma dos ângulos internos
do triângulo acima da diagonal
é menor que 180º ( na geometria
hiperbólica)
figura 72
Geometria da Superfície Esférica
Antes de iniciarmos a Geometria não Euclidiana: Geometria da Superfície Esférica,
veremos algumas definições e alguns resultados que envolvem a superfície esférica ou a
esfera.
Corpos redondos são caracterizados por possuírem em sua construção a utilização da
circunferência e do círculo. A esfera é um dos principais corpos redondos.
Já vimos anteriormente a definição da esfera da seguinte maneira: seja O um ponto no
espaço e R um número real positivo denomina-se:
esfera o conjunto dos pontos C do espaço que satisfazem a desigualdade
OC R≤ , isto é, o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O
são menores ou iguais a R.
superfície esférica o conjunto dos pontos C do espaço que satisfazem OC R= .
Dada uma superfície esférica de centro em O e raio R, os principais elementos são:
Centro: é o ponto O.
Raios: segmentos com extremidades em O e em qualquer ponto da superfície
esférica.
60
Pontos interiores: são os pontos X do espaço tais que OX < R.
Pontos exteriores: são os pontos X do espaço tais que OX > R.
Cordas: são segmentos com extremidades na superfície esférica.
Diâmetros: são cordas que passam pelo centro O.
Secções: são quaisquer interseção de um plano (que possua ponto interior na
esfera) com a superfície esférica.
Eixo: é qualquer reta que contém o centro O.
Polos relativos a um eixo: são os pontos de interseção do eixo com a superfície
esférica.
Equador relacionado a um eixo: é a secção perpendicular ao eixo pelo centro
da esfera.
Paralelo relacionado a um eixo: é uma secção perpendicular ao eixo.
Meridiano: é uma secção cujo plano passa por um eixo.
Distância polar: é distância de um ponto qualquer de um paralelo ao pólo.
Observação 6: A secção de uma esfera é um círculo, conforme a figura abaixo:
figura 73
Enquanto a secção de uma superfície esférica é uma circunferência, conforme a figura a
seguir:
61
figura 74
Circunferência máxima e Círculo máximo:
Circunferência máxima: é a circunferência obtida da interseção do plano que passa
pelo centro de uma superfície esférica com a superfície esférica.
Toda circunferência máxima possui raio igual ao da superfície esférica.
Observação 7: Quando um plano α passa pelo centro de uma superfície esférica S, ele é
denominado plano diametral.
Círculo máximo: é o círculo obtido da interseção do plano que passam pelo centro da esfera com a esfera.
figura 75
Observação 8:
Se A é um ponto de uma superfície esférica S,então existe um e somente um plano α
tangente a S tal que A Є α.
62
Figura 76: temos dois pontos de visão do plano tangente à esfera no ponto A
Já foi comentado anteriormente que a Geometria Elíptica é obtida substituindo o quinto
postulado de Euclides pela afirmação: que não existem retas paralelas (que qualquer par
de retas de um mesmo plano sempre se interceptam).
A Geometria da Superfície Esférica é um caso particular da Geometria Elíptica
(Geometria Riemanniana). A seguir serão dadas algumas definições da Geometria da
Superfície Esférica:
Plano: é a superfície de uma esfera.
Pontos: são os pontos euclidianos sobre a superfície da esfera.
Retas: são circunferências máximas da esfera.
As atividades, a seguir, tem como objetivo a compreensão da Geometria da Superfície
Esférica.
Atividade 33:
Nesta atividade serão utilizados os seguintes materiais: uma esfera de isopor, um conta
gotas (ou uma embalagem vazia pequena de cola) e um líquido com corante, para cada
dupla de alunos. O que a dupla observou quando colocou uma gota do líquido no topo
da esfera? Descreva o caminho percorrido desta gota na esfera.
Orientações didáticas:
Nesta atividade deve destacar que a reta na Geometria da Superfície Esférica não é a
mesma reta da Geometria Euclidiana. Na Geometria da Superfície Esférica as retas são
as circunferências máximas ou geodésicas.
A seguir duas fotos referente a esta atividade:
63
figura 77
Atividade 34:
Complete as seguintes lacunas, para tornar as sentenças a seguir verdadeiras:
34.1. Ponto na Geometria da Superfície Esférica tem a mesma noção de
_____________ na Geometria Euclidiana.
34.2. Reta na Geometria da Superfície Esférica é uma ________________ máxima ou
_______________.
34.3. Plano na Geometria da Superfície Esférica é a ___________________ da esfera.
34.4. Na Geometria Euclidiana: ponto, reta e plano são noções____________________,
isto é, ________ têm definição.
34.5. Na Geometria Euclidiana por dois pontos distintos existe uma única
_________________que passa por esses dois pontos.
34.6. Na Geometria Hiperbólica por uma reta r e por um ponto P fora da reta existam
________________retas paralelas a r passando por P.
Orientações didáticas:
Nesta atividade o aluno é convidado a comparar as três Geometrias: Euclidiana,
Hiperbólica e da Superfície Esférica.
Atividade 35:
35.1. Considere dois pontos A e B:
a) na folha de papel e construa a reta que passa pelos pontos A e B.
b) na superfície da esfera de isopor e também, construa a reta que passa pelos pontos A
e B.
35.2. A representação da reta AB, no item anterior, é a mesma nos dois casos?
64
35.3. Na Geometria Euclidiana e, na Geometria Hiperbólica, dois pontos distintos
quaisquer determinam quantas retas?
35.4. Dois pontos distintos quaisquer determinam quantas retas na Geometria da
Superfície Esférica?
Orientações didáticas:
O aluno deverá compreender a representação de retas na Geometria Euclidiana e na
Geometria da Superfície Esférica. Nesta última Geometria, as retas são as
circunferências máximas ou geodésicas. Deve destacar que o Postulado da determinação
da Geometria Euclidiana (por dois pontos distintos passa uma única reta) nem sempre é
válido na Geometria da Superfície Esférica.
Atividade 36:
Nesta atividade será utilizada os seguintes materiais: uma esfera de isopor, linhas
coloridas e alfinetes com cabeças coloridas. Vamos trabalhar com a Geometria da
Superfície Esférica, por meio das realizações das atividades propostas:
36.1. Na Geometria da Superfície Esférica, o que cada material citado acima deverá
representar?
36.2. Represente na superfície da esfera de isopor, retas passando por dois pontos
distintos.
36.3. É possível representar duas retas que se interceptam em apenas um único ponto?
36.4. Construa na esfera três circunferências máximas uma de cada cor, o que você
observou?
36.5. Represente três retas que passam pelos mesmos dois pontos opostos destacados
pelos alfinetes coloridos e uma reta representada pelo paralelo principal o equador. Qual
é o ângulo em que os lados são formados pelo segmento do equador e pelo segmento de
reta contido na reta que passa pelo ponto e seu oposto?
36.6. Com dois pontos distintos quantas retas, na superfície esférica, podemos formar?
36.7. E se os pontos distintos forem pontos opostos, quantas retas distintas podemos
formar?
36.8. Desenhe triângulos na Superfície Esférica. Calcule a medida dos ângulos internos
destes triângulos, utilizando o transferidor que você construiu.
36.9. Existem retângulos na Geometria da Superfície Esférica? Justifique.
Orientações didáticas:
65
Nesta atividade como na anterior deve destacar que retas na Geometria da Superfície
Esférica são as circunferências máximas. O aluno deverá concluir que a soma dos
ângulos internos do triângulo é maior que 180º e menor que 900º.
Deve destacar que na Geometria da Superfície Esférica não existem retângulos.
A seguir quatro fotos que representam: pontos, retas e triângulos na superfície esférica.
figura 78
figura 79
figura 80
66
Atividade 37 4 :
Imagine dois barcos pesqueiros A e B navegando lado a lado (paralelamente).
37.1. Desenhe em uma folha de papel o caminho percorrido pelos dois barcos.
37.2. Desenhe sobre a esfera os caminhos percorridos pelos barcos A e B.
37.3. É possível traçar retas paralelas para representar o caminho percorrido pelos dois
barcos na folha de papel e na esfera de isopor?
37.4. A resposta do item anterior tem algo a ver com o quinto Postulado de Euclides?
Orientações didáticas:
Nesta atividade o aluno deverá visualizar e compreender que na Geometria da
Superfície Esférica não existem retas paralelas. Esta é uma das diferenças entre a
Geometria Euclidiana e a Geometria da Superfície Esférica. Como já foi citado na
Geometria da Superfície Esférica não é válido o quinto postulado de Euclides
(Postulado das Paralelas).
Atividade 38 5 :
Um grupo de esportistas, tendo armado um acampamento, saíram para caçar ursos.
Andaram 15 Km para o sul, depois 15 Km para leste, quando viram um urso.
Carregando a caça, voltaram para o acampamento e verificaram que ao todo, tinham
caminhado 45 Km. Responda:
38.1. Qual a cor do urso?
38.2. Esta atividade, foi adaptada do livro de matemática: Matemática e Imaginação de
Edward Kasner publicado no ano de 1968. Nos dias atuais, será que é possível caçar
ursos?
Orientações didáticas
Esta atividade é um exemplo da Geometria da Superfície Esférica. O professor tem que
destacar que a Geometria da Superfície Esférica é considerada Geometria Euclidiana
quando uma circunferência máxima da esfera é considerada apenas uma circunferência
máxima. E é considerada Geometria não Euclidiana, em particular Geometria da
Superfície Esférica quando a circunferência máxima é também definida como uma reta.4 A atividade 37 foi adaptada do artigo de conclusão de curso: Uma possível inserção das geometrias não euclidianas no ensino médio de Marcelo Carvalho Antunes, p. 41. 5A atividade 38 foi adaptada do livro Matemática e Imaginação de Edward Kasner p.145.
67
CONSIDERAÇÕES FINAIS:
As atividades da unidade didática proporcionam um estudo sobre a Geometria
Euclidiana, bem como algumas Geometrias não Euclidianas: a Geometria Hiperbólica e
Geometria da Superfície Esférica.
Acreditarmos que, por meio de metodologias inovadoras, os conhecimentos necessários
podem ser construídos de uma maneira mais lúdica e prazerosa. Por isso as atividades
foram elaboradas para utilizar uma das mídias tecnológicas o software GeoGebra e
também alguns materiais manipuláveis para tornar as aulas mais dinâmicas, facilitando
assim a construção do conhecimento em Geometrias. O aluno deverá visualizar formas
geométricas, analisar regularidades, desenvolver capacidade de compreender fatos e
relações geométricas.
As atividades da unidade didática darão subsídios para que o aluno possa:
ampliar os conhecimentos da Geometria Euclidiana Plana; destacando o quinto
postulado de Euclides (postulado das Paralelas);
compreender algumas Geometrias não Euclidianas: Geometria Hiperbólica e Ge-
ometria da Superfície Esférica
desenvolver o raciocínio geométrico;
familiarizar-se com o software Geogebra e que ele possa utilizá-lo em outros
conteúdos matemáticos;
conhecer um pouco da história das Geometrias;
observar o mundo com um olhar geométrico, para que assim consiga resolver al-
gumas situações do nosso dia a dia com o conhecimento científico aprendido na
escola.
REFERÊNCIAS:
68
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metodológicos para as séries iniciais do ensino fundamental. Formação de
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para Ensinar Geometria: Um desafio para as licenciaturas em matemática. Sociedade
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