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Prof.: Paulo Cesar Costa

Geometria Espacial de Posição

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Noções primitivas

POSTULADOS

Postulados da existência

Numa reta e fora dela existem infinitos pontos.

Num plano e fora dele existem infinitos pontos.

Postulados da determinação

Dois pontos distintos determinam uma reta.

Três pontos não colineares determinam um plano.

Postulado da inclusão

Se uma reta possui dois pontos distintos num plano, então ela

está contida no plano.

Postulado de Euclides (ou postulado das paralelas)

Por um ponto fora da reta passa uma única paralela à reta dada.

OBS: geometrias não-euclidianas

Riemann transformou o plano euclidiano em uma superfície

esférica, adotando as retas como sendo circunferências

máximas e modificou o postulado das paralelas: por um ponto

fora de uma reta não existe qualquer reta paralela à reta dada.

Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F):

a) duas retas são coplanares ou são reversas.

b) duas retas concorrentes são coplanares.

c) duas retas coplanares são concorrentes.

d) duas retas não coplanares são reversas.

e) duas retas paralelas não tem ponto comum.

f) duas retas que não tem ponto comum são paralelas.

g) duas retas que tem um ponto comum são concorrentes.

h) duas retas que não tem um ponto comum são reversas.

i) duas retas coplanares são paralelas ou concorrentes.

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO ESPAÇO

1. por três pontos não-colineares

2. por uma reta e um ponto fora dela

3. por duas retas concorrentes

4. Por duas retas paralelas e distintas

DETERMINAÇÃO DE PLANOS

POSIÇÕES RELATIVAS DE RETA E PLANO

1. reta contida no plano

3. Reta paralela ao plano

2. reta secante ao plano

. P


Uma reta e um plano secantes têm um ponto comum.

Uma reta e um plano que têm um ponto comum são secantes.

Uma reta e um plano que não tem ponto comuns são paralelos.

Uma reta e um plano paralelos não tem ponto comum

Se uma reta e um plano possuem dois pontos distintos comuns, a

reta está contida no plano.

Se um reta é paralela a um plano e por um ponto do plano

traçarmos uma reta paralela à reta dada, então a reta traçada está

contida no plano.

Se, de duas reta paralelas distintas, uma é paralela a um plano,

então a outra é paralela a esse plano ou está contida nele.

Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então uma reta é

paralela à outra.

Uma reta paralela a um plano é paralela a qualquer reta desse

plano.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Uma reta paralela a um plano é paralela à infinitas retas desse

plano.

Se um plano é paralelo a uma reta, então toda reta desse plano é

reversa à reta dada..

Dado uma reta e um plano, existe no plano uma reta paralela à reta

dada.

Dadas duas retas distintas, existe um plano que contém uma delas e

é paralelo à outra

Por um ponto fora de uma reta existe um único plano paralela a ela.

Dados uma reta e um plano paralelos, existe no plano uma reta

concorrente com a reta dada.

Por um ponto fora de um plano existem infinitas retas paralelas a

esse plano.

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS


Se dois planos são secantes, então qualquer reta de um deles é

concorrente com o outro.

Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser

concorrente com uma reta do outro.

Se dois planos são secantes, então um reta de um deles pode ser

reversa com uma reta do outro.

Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um deles é

paralela ao outro.

Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um e outra

do outro podem ser concorrentes.

Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta de um deles é

paralela a qualquer reta do outro.

Se dois planos distintos são paralelos, uma reta de um e uma reta

do outro são reversas ou paralelas .

Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são

paralelos.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Se dois planos são paralelos a uma reta, então são perpendiculares

entre si.

Se um plano contém duas retas distintas paralelas a um outro

plano, então esses planos são paralelos.

i)

j)

DEFINIÇÕES

Retas perpendiculares

Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e

formam um ângulo reto.

Retas oblíquas

Duas retas são oblíquas quando são concorrentes e não

perpendiculares

Retas ortogonais

Duas retas são ortogonais quando são reversas e formam um

ângulo reto.


Duas retas perpendiculares são sempre concorrentes.

Se duas retas formam ângulo reto, então elas são perpendiculares.

Se duas retas são perpendiculares, então elas formam um ângulo

reto.

Se duas retas são ortogonais, então elas formam um ângulo reto.

Duas retas que formam um ângulo reto podem ser reversas.

Duas retas perpendiculares a uma terceira são perpendiculares

entre si.

Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.

Se duas retas formam um ângulo reto, toda paralela a uma delas

forma ângulo reto com a outra.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

DEFINIÇÕES

Reta perpendicular ao plano

Considere um reta r secante a um plano α em um ponto O. Diz-

se que r é perpendicular a α quando for perpendicular a todas as

retas do plano que passam por O.

Reta oblíqua ao plano

Considere uma reta r secante a um plano α em um ponto O. Diz-

se que r é oblíqua a α quando não for perpendicular ao plano

α

r perpendicular a α r oblíqua a α


Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares é necessários

que eles sejam secantes.

Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto com

qualquer reta do plano.

Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas distintas de um

plano, então ela é perpendicular ao plano.

Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um

plano, então ela está contida no plano.

Dadas duas retas distintas de um plano, se uma outra reta é

perpendicular à primeira e ortogonal à segunda, então ela é

perpendicular ao plano.

Se uma reta forma um ângulo reto com duas retas de um plano,

distintas e que têm um ponto comum, então ela é perpendicular ao

plano.

Duas retas reversas são paralelas a uma plano. Toda reta ortogonal

a ambas é perpendicular ao plano.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

DEFINIÇÕES

Planos perpendiculares

Considere dois planos secantes α e β. Diz-se que α e β são

perpendiculares quando um deles possuir uma reta perpendicular

ao outro.

Planos oblíquos

Considere dois planos secantes α e β. Diz-se que α e β são

oblíquos quando não forem perpendiculares.


Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares.

Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes.

Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é

perpendicular ao outro.

Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único

plano, perpendicular ao plano dado.

Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares

entre si.

Se dois planos são perpendiculares a um terceiro, então eles são

paralelos.

Se dois planos são perpendiculares, então toda reta perpendicular a

um deles é paralela ao outro ou está contida neste outro.

Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um delels

é perpendicular ao outro.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Obs

A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto

das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano.

DEFINIÇÃO

Projeção ortogonal

Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o pé da

perpendicular ao plano conduzida pelo ponto.

.


A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano e um ponto.

A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta.

A projeção ortogonal de um segmento sobre um plano é sempre um

segmento.

A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre o

plano, é menor que o segmento.

A projeção ortogonal, sobre um plano, de um segmento contido

numa reta, não perpendicular ao plano, é menor que o segmento ou

congruente a ele.

Se um segmento tem projeção ortogonal congruente a ele, então ele

é paralelo ao plano de projeção ou está contido nele.

Se dois segmentos são congruentes, então suas projeções

ortogonais sobre qualquer plano são congruentes.

Se as projeções ortogonais de duas retas, sobre um plano, são

paralelas, então as retas são paralelas.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Distância entre ponto e reta

DISTÂNCIAS

Distância entre dois pontos

Se A e B coincidem, a distância entre eles é nula.

Se A e B são distintos, a distância entre eles é o segmento AB.

Distância entre duas retas paralelas

Distância entre ponto e plano

Distância entre reta e plano paralelos

Distância entre dois planos paralelos

Distância entre duas retas reversas


Se PA é um segmento oblíquo a um plano α, com A em α, então a

distância entre P e A é a distância entre P e α.

A distância entre um ponto e um plano é a distância entre o ponto e

qualquer ponto do plano.

A distância entre um ponto e um plano é a reta perpendicular ao

plano pelo ponto.

A distância de um ponto P a um plano α é a distância de P ao ponto

P´ de interseção de α com a reta r, perpendicular a α, por P.

A distância entre uma reta e um plano paralelos é a distância entre

um ponto qualquer do plano e a reta.

A distância entre uma reta e um plano paralelos é a distância entre

um ponto qualquer da reta e um ponto qualquer do plano.

A distância entre a reta e plano paralelos é a distância entre um

ponto qualquer da reta e o plano.

A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto

qualquer de um e um ponto qualquer de outro.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

A distância entre dois planos paralelos distintos é igual à distância

entre uma reta de um deles e o outro plano.

A distância entre duas retas reversas é a distância entre uma e um

ponto qualquer de uma e a outra reta.

i)

j)

** FIM **

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