da escola pÚblica paranaense 2009 · 1 produÇÃo didÁtico pedagÓgica a) identificaÇÃo...
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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
1
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
IES – UNICENTRO - GUARAPUAVA
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
UNIDADE DIDÁTICA
O USO DO SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO NA GEOMETRIA PLANA
OLIVIA PASINATO
CORONEL VIVIDA – PR
2010
2
SUMÁRIO
PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA ............................................................................................... 1
A) IDENTIFICAÇÃO ................................................................................................................................... 1
B) TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE ...................................................................................... 1
C) TÍTULO : O USO DO SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO NA GEOMETRIA PLANA ............... 1
D) OBJETIVOS ............................................................................................................................................ 1
d.1 OBJETIVO GERAL: ........................................................................................................................ 1
d.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ........................................................................................................ 2
E) FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................................................... 2
e.1 GEOMETRIA .................................................................................................................................... 2
O USO DO SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO ................................................................................. 5
e.2 GEOMETRIA DINÂMICA UTILIZANDO O SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO ................ 5
e.3 CONHECENDO O SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO ........................................................ 6
Figura 1: Tela principal do software Régua e Compasso ................................................................ 6
Figura 2: Tela editar Barra de Ícones ................................................................................................. 7
Figura 3: Tela objetos – editar ângulos .............................................................................................. 7
e.4 FERRAMENTAS ............................................................................................................................. 7
e.5 SITE DE INSTALAÇÃO DO SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO ........................................ 9
F) ESTRATÉGIAS DE AÇÃO .................................................................................................................. 10
f.1 Aplicação do curso ......................................................................................................................... 10
G) EXEMPLOS DE ATIVIDADES PARA APLICAÇÃO DO REC ........................................................ 10
g.1 Situação Problema ........................................................................................................................ 11
Figura 4: Cratera de Vista Alegre Origem Wikipédia, a enciclopédia livre. ............................... 11
SUGESTÕES : .......................................................................................................................................... 13
g.2 – Atividades adaptadas de livros didáticos, os quais constam no referencial consultado. 13
RETAS PERPENDICULARES ............................................................................................................... 13
ATIVIDADE 1 ........................................................................................................................................ 13
ATIVIDADE 2 ........................................................................................................................................ 15
ATIVIDADE 3 ........................................................................................................................................ 15
ATIVIDADE 4 ........................................................................................................................................ 16
ATIVIDADE 5 ........................................................................................................................................ 16
ATIVIDADE 6 ........................................................................................................................................ 16
ATIVIDADE 7 ........................................................................................................................................ 17
ATIVIDADE 8 ........................................................................................................................................ 17
ATIVIDADE 9 ........................................................................................................................................ 18
ATIVIDADE 10 ...................................................................................................................................... 18
ATIVIDADE 11 ...................................................................................................................................... 19
ATIVIDADE 12 ...................................................................................................................................... 19
ATIVIDADE 13 ...................................................................................................................................... 19
Figura 5: Selo da Cratera de Impacto de Vista Alegre ................................................................... 20
Figura 6: Área de Lazer ...................................................................................................................... 20
ATIVIDADE 14 ...................................................................................................................................... 20
SUGESTÕES DOS PARTICIPANTES .................................................................................................. 21
ATIVIDADE 15 ...................................................................................................................................... 21
ATIVIDADE 16 ...................................................................................................................................... 22
Arcos e Cordas ..................................................................................................................................... 23
ATIVIDADE 17 ...................................................................................................................................... 23
3
ATIVIDADE 18 ...................................................................................................................................... 23
ATIVIDADE 19 ...................................................................................................................................... 25
ATIVIDADE 20 ...................................................................................................................................... 25
ATIVIDADE 21 ...................................................................................................................................... 26
ATIVIDADE 22 ...................................................................................................................................... 26
ATIVIDADE 23 ...................................................................................................................................... 26
ATIVIDADE 24 ...................................................................................................................................... 27
ATIVIDADE 25 ...................................................................................................................................... 27
ATIVIDADE 26 ...................................................................................................................................... 28
ATIVIDADES ADICIONAIS ..................................................................................................................... 28
ATIVIDADE 27 ...................................................................................................................................... 28
ATIVIDADE 28 ...................................................................................................................................... 30
ATIVIDADE 29 ...................................................................................................................................... 30
ATIVIDADE 30 ...................................................................................................................................... 31
ATIVIDADE 31 ...................................................................................................................................... 31
ATIVIDADE 32 ...................................................................................................................................... 32
ATIVIDADE 33 ...................................................................................................................................... 32
ATIVIDADE 34 ...................................................................................................................................... 33
ATIVIDADE 35 ...................................................................................................................................... 34
ATIVIDADE 36 ...................................................................................................................................... 34
ATIVIDADE 37 ...................................................................................................................................... 35
H - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................. 37
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PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
a) IDENTIFICAÇÃO
Professor PDE : Olivia Pasinato
Área PDE: Matemática
NRE: Pato Branco
Professor Orientador: Prof. MSc. Maria Regina Macieira Lopes
IES Vinculada: Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO,
Guarapuava/PR
Escola de Implementação: Colégio Estadual Arnaldo Busato – EFMNP
Público Objeto de Intervenção: Professores de Matemática da Educação Básica
b) TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE
Geometria plana, incluída no conteúdo pertinente do ensino médio “geometrias” por
indicação das “Diretrizes Curriculares de Matemática para o Ensino médio” 1 (SEED –
2008).
c) TÍTULO : O USO DO SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO NA GEOMETRIA PLANA
d) OBJETIVOS
d.1 OBJETIVO GERAL:
Contribuir com as práticas docentes incentivando o uso do software
educativo Régua e Compasso para o ensino da Geometria na Educação Básica.
1 Documento oficial norteador do trabalho docente, delimitando pelo mínimo exigido por lei para o ensino médio da
Secretaria de Educação do Paraná (SEED)
2
d.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Para operacionalizar e alcançar o fim estipulado tem-se como objetivos
específicos:
Orientar os professores envolvidos no projeto a valerem-se das
ferramentas do Software Régua e Compasso no ensino da
Geometria.
Usar o Software Régua e Compasso, com situações problemas
criadas a partir de exemplos da realidade local.
e) FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
e.1 GEOMETRIA
A matemática surgiu para suprir as necessidades básicas, principalmente
as econômicas, para verificar a quantidade de objetos a partilha dos mesmos. A
origem da geometria que vem do grego onde geo =terra + metria= medida, ou
seja, "medir terra" esteve vinculada à necessidade de melhorar o sistema de
distribuição das terras.
A História conta que a Geometria perfaz um caminho desde as mais
remotas eras, onde as antigas civilizações necessitavam também de partilhar
terras, construir suas habitações surgindo assim, a necessidade de estruturas
geométricas para executá-las e esses conhecimentos prevalecem até nossos dias
utilizados como referenciais em trabalhos de construção dentro da arquitetura.
Em outras situações observa-se que a Geometria foi empregada pelos
povos primitivos na construção de objetos de decoração, de utensílios, de enfeites
e na criação de desenhos. Formas geométricas, com grande riqueza e variedade,
aparecem em cerâmicas e pinturas de diversas culturas e nestas manifestações
artísticas percebiam - se triângulos, quadrados entre outras.
Conta a historia que aproximadamente no ano 3000 a.C., (época dos
sumérios) foram encontrados alguns papiros que continham informações de
atividades geométricas. No decorrer dos tempos, cerca de 1850 a.C. alguns
3
outros papiros foram localizados com textos matemáticos e problemas sendo que
dentre eles vinte e seis destes são referentes à Geometria.
Os egípcios mostram seus conhecimentos geométricos, quando em 2900
a.C. construíram a pirâmide de Gizé2 utilizando com perfeição medidas e
aplicação de ângulos de forma coerente e precisa, onde se atribui aos gregos a
formalização da maneira que é ensinada hoje.
Neste percurso da história percebe-se o surgimento da Geometria. Os
gregos estabeleceram regras organizadamente utilizando conhecimentos que
aprimoravam os procedimentos empíricos, surgindo assim, importantes nomes
como Pitágoras, Tales de Mileto e outros que muito contribuíram aplicando seus
estudos com argumentos dedutivos da Filosofia à Geometria.
Em 300 a.C, Euclides, sistematiza a Geometria dedutiva iniciada por Tales
em 600 a.C., onde a mesma perde seu caráter unicamente utilitário e se
transforma em ciência.
Euclides, de Alexandria escreveu Os Elementos que é um tratado
matemático e geométrico consistindo de 13 livros escritos engloba uma coleção
de definições, sendo postulados, proposições das proposições. Esses livros dão
origem a Geometria Euclidiana. A importância desses escritos até nossos dias
são considerados a obra prima da aplicação da lógica à matematica. No contexto
histórico, se tem provado enormemente a influência em muitas áreas da ciência.
Alguns seguidores influenciados por: Nicolaus Copernicus, Johannes
Kepler, Galileo Galilei, Isaac Newton utilizaram esse conhecimento em suas
obras.
2 As Pirâmides de Gizé, Guizé ou Guiza ocupam a primeira posição na lista das sete maravilhas do mundo antigo. A
grande diferença das Pirâmides de Gizé em relação às outras maravilhas do mundo é que elas ainda persistem, resistindo ao tempo e às intempéries da natureza, encontrando-se em relativo bom estado e, por este motivo, não necessitam de historiadores ou poetas para serem conhecidas, já que podem ser vistas.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A2mides_de_Giz%C3%A9
4
Com o passar do tempo, as pesquisas foram evoluindo, e a Geometria está
sendo vista com mais consideração tendo uma bibliografia ampla, dando
condições ao educador ter mais subsídios para seu trabalho, assim como, um
embasamento teórico de melhor qualidade.
Portanto, é interessante investigar e propor metodologias para o ensino da
Geometria, ressaltando a necessidade de novas técnicas e procedimentos para
que o aluno adquira noções preliminares e melhor aprendizagem, conseguindo
dessa forma experimentar, interpretar, visualizar, induzir, conjecturar, abstrair,
generalizar e demonstrar.
Nesse sentido, pode-se dizer que a Geometria pode ser vista como o
estudo das formas e do espaço, de suas medidas e de suas propriedades, em
que insere o homem no espaço, assim como a utilização do mesmo.
A Geometria tem arte, tem capacidade de mostrar um objeto em todas as
dimensões, formaliza o concreto e associa idéias, formulas, para os grandes
projetos, mas estava sempre à parte, sem um vinculo mais efetivo de ligação com
a própria Matemática.
Nesse contexto, surgiram as Tecnologias da Informação e Comunicação –
TICs, das quais se destacam os softwares de geometria dinâmica, dentre eles o
software Régua e Compasso objeto de interesse deste trabalho.
A importância da Tecnologia da informação e comunicação na escola surge
da necessidade de buscar formas diferenciadas para aproveitar os diferentes
meios como por exemplo, computadores (Internet).
O objetivo das TICs na educação é propiciar melhores condições de
aprendizagem por partes dos alunos mudando as formas de aprender e os
professores a ensinar. Segundo as Diretrizes das Políticas Públicas (2007) a
inclusão digital do Estado do Paraná é contemplada, quando se encontra:
A difusão das tecnologias estende-se à escola com a inserção do
computador no ambiente escolar, mas são necessárias ações que
conduzam além da instrumentalização, com o desenvolvimento da
consciência do uso pedagógico significativo deste recurso, para
5
haver verdadeira transformação em qualidade no processo de
ensino e de aprendizagem. (PARANA, 2007, p.5) [1]
O uso consciente de mecanismos auxiliadores podem levar o professor
superar dificuldades do ensino tornando o trabalho pedagógico significativo e
aproximando-se da vivência dos alunos, uma vez que hoje o fascínio pela
tecnologia, especialmente por parte dos adolescentes e jovens, é inquestionável.
O USO DO SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO
e.2 GEOMETRIA DINÂMICA UTILIZANDO O SOFTWARE RÉGUA E
COMPASSO
A Geometria Dinâmica é utilizada para designar programas interativos que
permitem a criação e manipulação de figuras geométricas a partir de suas
propriedades, sendo assim os programas usados na mesma não devem ser vistos
como referência a uma nova geometria e sim um complemento ao trabalho do
usuário.
Sabe-se que a maior dificuldade encontrada dentro de geometria é que os
alunos ao visualizar em uma figura geométrica (polígono) quase nunca
conseguem identificar certos elementos da mesma, mas, se for observada a sua
construção torna-se mais fácil a compreensão e o entendimento. A Geometria
Dinâmica auxilia nessa construção demonstrando assim, os possíveis
movimentos que a mesma proporciona.
Como o uso do computador está sendo incorporado ao currículo escolar e
cada vez mais presente no cotidiano do professor e do aluno. A sua utilização não
é simples e cabe ao professor contextualizar os conteúdos utilizando-se dos
recursos da GD, a fim de desenvolver e aprimorar habilidades e conceitos
geométricos.
Dessa forma, apresentam-se estratégias que evidenciam uma nova
abordagem para o ensino e aprendizagem da geometria, partindo da
experimentação e criação de objetos geométricos.
Com o objetivo de despertar o interesse pelo uso de softwares em sala de
aula, e que o professor consiga usá-los de forma crítica e consciente os recursos
6
disponíveis inserindo novas tecnologias, a GD traz boas possibilidades de
mudança em uma área que vem sendo negligenciada no ensino.
e.3 CONHECENDO O SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO
O Régua e Compasso é um software livre, de autoria de René Grothmann
(professor da Universidade Católica de Berlin, Alemanha), disponível, em
português, no endereço eletrônico http://www.khemis.hpg.ig.com.br/car/ É um
software multitplataforma, isto é roda em diversas plataformas como Microsoft
Windows©, Linux, Macintosh©, etc.
É um programa de Geometria Dinâmica, isto é, sua função é possibilitar o
trabalho com construções geométricas que podem ser alteradas movendo um dos
pontos básicos, permitindo a preservação das propriedades originais. Dessa
forma, permite explorar diversos aspectos relativos à Geometria Plana Euclidiana
e à Geometria Analítica.
Ao abrir o software, visualizamos a seguinte tela apresentada na figura 1:
Figura 1: Tela principal do software Régua e Compasso
Interface do Software Régua e Compasso
Menu Principal Barra de ícones
Linha de Status
Janela Geométrica
Lista de objetos
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Observam-se na interface duas janelas, a Lista de Objetos pode ser
fechada clicando em configurações desativando a mesma; e a Janela
Geométrica, onde são feitas as construções sendo que cada objeto visualizado
nesta janela tem sua representação algébrica mostrada na Lista de Objetos
(figura 2 e 3).
No Menu Principal, tem-se: arquivo, ações , configurações e ajuda.
A Barra de ícones visualiza-se as ferramentas disponibilizadas, ao clicar em
cada uma delas é possível ver o que a mesma representa.
Figura 2: Tela editar Barra de Ícones
Figura 3: Tela objetos – editar ângulos
e.4 FERRAMENTAS
Em detalhes, as principais ferramentas disponíveis e seus ícones são:
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Ponto Reta
Segmento Semi-reta
Interseção Reta paralela
Reta perpendicular Ponto Médio
Círculo Círculo com raio fixo
Compasso Ângulo
Ângulo de amplitude fixa Usar ângulos > 180º
Polígono preenchido Texto
Seção Cônica passando por 5 pontos Ocultar objeto
Exibir objetos ocultos Eliminar último objeto
Eliminar objeto Desfazer últimas remoções
Cor padrão do objeto Tipo padrão do ponto
Espessura padrão do objeto Círculos Parciais
Linhas Parciais Segmentos como vetores
Exibir nomes de objetos Mostrar valores dos objetos
Renomear Exibir cores selecionadas
Exibir grade Criar uma função
Desenhar com o mouse Expressão Aritmética
Rastrear ponto ou reta
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Rastreio automático de ponto ou reta
Animação Exibir comentário
Repetir construção Rodar Macro
Parâmetros de macro/Objetos/Definições
Bissetriz Perpendicular (macro)
Reflexão em uma linha (macro)
Reflexão em um círculo (macro)
Reflexão em um ponto (macro)
Ângulo Bissetriz como linha (macro)
Ângulo Bissetriz com semi-reta (macro)
Projeção de ponto para linha (macro)
Rotação (macro)
Rotação com ângulo (macro)
Troca (macro)
e.5 SITE DE INSTALAÇÃO DO SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO
Para trabalhar o Software Régua e Compasso há possibilidades de instalar
em seu computador gratuitamente, acessando o site:
http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/ o mesmo fornece informações como:
descrição, instalação, tutorial, macros, exercícios, biblioteca, galeria, construções
e passo a passo que são informações necessárias para o conhecimento desse
software.
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f) ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
A proposta de utilização do software Régua e Compasso apresentada
neste trabalho faz parte do projeto a ser desenvolvido no Colégio Estadual
Arnaldo Busato – EFMNP de Coronel Vivida (PR) com os profissionais de
Educação Matemática interessados em utilizar o software em suas aulas de
Geometria.
Para atingir os objetivos propostos, são consideradas as seguintes etapas:
f.1 Aplicação do curso
O total de horas previstas para a realização do curso de capacitação é de
32 horas, tempo considerado necessário para que os cursistas adquiram as
noções básicas do software.
O plano de implementação segue a sequência de atividades:
f.1.1 – Introduzir o assunto Geometria Dinâmica através de seminário;
f.1.2 –Apresentar as ferramentas do Software Régua e Compasso;
f.1.3 – Resolver situações problemas e exercícios propostos utilizando o
Software;
f.1.4 – Solucionar dúvidas surgidas no decorrer da implementação;
f.1.5– Avaliar continuamente as atividades no decorrer do curso.
g) EXEMPLOS DE ATIVIDADES PARA APLICAÇÃO DO ReC
No material didático utilizado constam exercícios extraídos da realidade
local, como por exemplo, as medidas da cratera de Vista Alegre3, e outros
exemplos sugeridos pelos participantes.
A interação com a realidade local dá importância e sentido ao trabalho.
3 Cratera localizada no Distrito de Vista Alegre em Coronel Vivida , com diâmetro de 9,5km e idade máxima de 120 milhões
de anos. Morfologia: depressão circular com bordas externas íngremes e relevo interno suave descrição de: Crósta,A.P.
Crateras meteoríticas no Brasil. Textos de Glossário Geológico Ilustrado. 2006, p. 2 http://www.unb.br/ig/glossario/
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g.1 Situação Problema
Ao procurar um tema gerador de aplicações para esse trabalho procurou se
algo de interesse da população local (Coronel Vivida - PR) para aproximar a
realidade do cotidiano do aluno.
A existência de uma Cratera no município de Coronel Vivida (figura 4) ,
causada pela queda de um asteróide a milhões de anos, é foco nos estudos
geográficos e geológicos pode também ser alvo nos estudos matemáticos como
aplicação da geometria.
Em recentes trabalhos realizados, pelo professor do Instituto de
Geociências da UNICAMP – Álvaro Penteado Crósta, foi localizado no ano de
2004, distrito de Vista Alegre, Coronel Vivida, Paraná, vestígios da queda de um
asteróide, há cerca de 120 milhões de anos, formando uma enorme cratera (
Cratera de Vista Alegre ).
Figura 4: Cratera de Vista Alegre Origem Wikipédia, a enciclopédia livre.
http://wikimapia.org/#lat=-25.945692&lon=-
52.695322&z=13&l=9&m=s&v=9&show=/1862003/pt/Cratera-de-Vista-Alegre
Nos estudos realizados no local constatou-se que a Cratera Vista Alegre
tem 9,5km de diâmetro possuindo topografia relativamente plana, em contraste
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com os terrenos muito acidentados em sua volta, é possível trabalhar conceito de
área e perímetro.
Sabendo-se dessa medida pode-se calcular a área que a mesma ocupa e
também o perímetro. Neste sentido, podemos utilizar o ReC para demonstrar ao
nosso aluno a visualização em escala, do espaço de terreno que a mesma
abrange.
.
Criando uma situação hipotética, a Prefeitura quer utilizar esse espaço com
alternativas de lazer e cultura. Para isso, compõem uma equipe de profissionais
engenheiro, arquiteto e paisagista com a finalidade de organizar a infra-estrutura
desse projeto.
No projeto do paisagista está prevista a construção de passarelas com o
objetivo de abrir a visitações até o centro da cratera.
Observando as diferentes formas para essa construção, com a finalidade de
embelezar, procurou identificar as formas mais interessantes e verificar a utilidade
que as mesmas possam ter.
Para isso resolveu pedir ajuda à comunidade.
Foram sugeridos vários tipos de polígonos e diagonais para colaborar de
diferentes maneiras. O paisagista resolveu verificar no Software Régua e
Compasso todas as formas sugeridas para viabilizar a obra e verificar as
possíveis modificações. Para contribuir com esse profissional, opine e mostre a
forma que julgar ideal.
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SUGESTÕES :
g.2 – Atividades adaptadas de livros didáticos, os quais constam no
referencial consultado.
1ª parte:
Nesta atividade, o objetivo é explorar conceitos que envolvem retas
perpendiculares, assunto a ser trabalhado em todas as séries de Educação
Básica.
RETAS PERPENDICULARES
ATIVIDADE 1
1 – Trace a reta s, perpendicular à reta r, passando pelo ponto P da reta r.
Procedimento:
Dados a reta r e o ponto P.
Determine A e B, traçando um arco qualquer de centro P.
Determine C, traçando arcos de centros A e B, de mesmo raio, com
medida maior que PA. Trace s passando por P e C. A reta s é
perpendicular a r.
Justificar no ReC
Trabalho experimental de acordo com o nível de escolaridade do
educando. Nos níveis iniciais verificar que APC é usando a ferramenta “ ângulo”.
Considerando o triângulo ABC, verifica-se que:
AC é raio
Logo: triângulo ABC é isósceles.
BC é raio
P é ponto médio de AB, por construção.
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Definindo altura do triângulo:
No triângulo isósceles, a altura relativa à base AB contém o ponto médio
de AB. Logo, o ângulo em P é 90º.
Existem outras maneiras de construções por exemplo: congruência de triângulos.
Demonstração:
2α + β =180º
α + β/2 + x =180º
2α + β + 2x =360º substituindo 2α + β temos:
180º + 2x = 360º
2x = 180º Logo, x = 90º
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ATIVIDADE 2
2- Trace s perpendicular à r passando por A.
ATIVIDADE 3
3–Trace a reta p perpendicular à semi reta AB passando pela sua origem A
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ATIVIDADE 4
4 – Trace s, pelo ponto A, tal que s ┴ r. Trace t, pelo ponto B, tal que t ┴ r.
ATIVIDADE 5
5 – Trace l, pelo ponto A, tal que l ┴ r. Trace m, pelo ponto B, tal que m ┴ s.
Chame de P o cruzamento de l e m, ou seja l ∩m = {P}.
ATIVIDADE 6
6 – Dadas as retas a e b paralelas, trace r, pelo ponto A, tal que r ┴ a. Trace s,
pelo ponto B, tal que s ┴ b.
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ATIVIDADE 7
7 – Dado um paralelogramo, trace a reta s perpendicular ao segmento AB,
passando por B.
Demonstrar a altura do paralelogramo.
ATIVIDADE 8
8 – Dada a reta r e o ponto P.
Fora de r marque C,
Trace um arco de centro C, passando por P e determinando A.
Determine B, traçando a reta AC
Trace s passando por P e B.
A reta s é perpendicular a r.
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ATIVIDADE 9
9 – Trace a reta a perpendicular a r e a reta b perpendicular a s, ambas passando
por P.
ATIVIDADE 10
10 – Determine o ponto C, sobre BC indicada no traçado inicial,
trace AC perpendicular a AB.
Justifica-se a construção de triângulos semelhantes.
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ATIVIDADE 11
11 – Construção de mediatriz
ATIVIDADE 12
12 – Uma das sugestões da comunidade foi construir passarelas sobrepostas
formando a figura de um avião. Baseado em um projeto já existente e paisagista
desenhou três eixos r, s e t, que denominou eixo do corpo do avião e eixos das
asas, conforme a figura abaixo. Cada um dos ângulos obtusos que r forma com s
e t mede 30º a mais que a medida do ângulo AÔB. Sabendo que as asas têm
comprimentos iguais, qual é a medida do ângulo OBA?
ATIVIDADE 13
13 – Os Correios do Brasil, em edição comemorativa, lançaram um selo com a
foto da cratera (figura 5). Aproveitando a divulgação decorrente deste fato a
prefeitura e o paisagista envolvido no projeto resolve construir uma área de lazer
com pavilhões tendo o intuito de abrigar os visitantes (figura 6).
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Figura 5: Selo da Cratera de Impacto de Vista Alegre
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. http://wikimapia.org/#lat=-25.945692&lon=-
52.695322&z=13&l=9&m=s&v=9&show=/1862003/pt/Cratera-de-Vista-Alegre
Figura 6: Área de Lazer
Construa a área de lazer proposta no ReC
ATIVIDADE 14
14 – Dentre os vários feitos do matemático grego Tales de Mileto, destaca-se um,
em que ele se propôs a medir a altura de uma pirâmide egípcia sem escalar o
monumento.
Seu experimento provavelmente ocorreu da seguinte maneira: Tales posicionou-
se ao lado a pirâmide cravando verticalmente uma haste no solo. A seguir mediu
o comprimento h da haste e o comprimento s da sombra projetada por ela;
calculou também a distância S entre o centro da pirâmide e o ponto mais distante
da sombra projetada pelo monumento, conforme mostra a figura abaixo.
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A partir dessa situação, Tales calculou a medida H da altura da pirâmide.
Supondo que os comprimentos medidos por Tales tenham sido: h=0,4 m; s=1,6m
e S=16,0m, calcule a medida H da altura da pirâmide.
Justificativa: Se dois triângulos são semelhantes, então os lados de um são
proporcionais aos lados homólogos do outro.
Com os conhecimentos apresentados, como poderíamos aproveitar o terreno que
faz circunferência da Cratera Vista Alegre para construir um Mirante de
observação?
SUGESTÕES DOS PARTICIPANTES
ATIVIDADE 15
15 – Dentre as sugestões para a construção de passarelas, houve aquela das
diagonais de um pentágono ABCDE. Para isso basta dividi-lo em triângulos,
traçando as diagonais que partem de um mesmo vértice, obtendo-se assim três
triângulos os quais proporcionam caminhos alternativos para os visitantes
fazerem suas caminhadas.
22
Além das passarelas para ampliar o entretenimento dos visitantes, foi sugerido
que o contorno do polígono formado fosse percorrido por cordas formando
tirolesas.
Justificativa: Para calcular o número de diagonais de um polígono é necessário
conhecer a fórmula: d = n (n-3)
2
Sendo:
d = número de diagonais e
n = número de lados do polígono.
ATIVIDADE 16
16 - Duas circunferências, de centros O e O’ e raios 9cm e 4cm, são tangentes
entre si exteriormente no ponto T e tangenciam uma reta r nos pontos A e B,
conforme a figura.
Determinar a medida do segmento AB.
Justificar o procedimento.
Justificativa: Teorema de Pitágoras : x2 + 52 = 132 , Em todo triângulo retângulo,
o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas
dos catetos.
23
Arcos e Cordas
ATIVIDADE 17
17 – Nos extremos das passarelas serão construídos quiosques com formatos de
circunferência, sendo que a forração seja aproveitamento de madeira reciclada e
o telhado em formato cônico com folhas de palmeiras e bambus.
A entrada do quiosque foi construída da largura da passarela, tendo um
afunilamento até o centro do mesmo, dando o formato de um triângulo isósceles
como demonstra o esboço. A partir dessas informações trace o segmento de reta
AB (uma corda qualquer do ponto A até o ponto B) que liga o centro C ao ponto
médio M de uma corda que é perpendicular a essa corda.
Justificativa: Em todo triângulo isósceles, a mediana relativa a base coincide com
a altura. Como CM é mediana do triângulo ABC, isósceles de base AB,
concluímos que CM também é altura, portanto, o ângulo CMB é reto.
ATIVIDADE 18
18 – Em uma circunferência, o segmento de reta que liga o centro C a uma
corda, perpendicularmente, encontra esta corda no ponto médio.
Animar um ponto.
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Justificativa: Em todo triângulo isósceles, a altura relativa à base coincide com a
mediana. Como CM é a altura do triângulo ABC, isósceles de base AB,
concluímos que CM também é mediana; portanto é ponto médio de AB.
2ª Parte
Dando continuidade ao desenvolvimento da produção didático pedagógica,
faz-se necessário a construção de polígonos regulares e atividades adicionais
para que o objetivo inicial do projeto seja contemplado na utilização do Software
Régua e Compasso.
Algumas sugestões de polígonos regulares
Justificativa:
Todo o polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência, portanto
se a circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, as cordas
consecutivas formam um polígono regular inscrito na circunferência.
Em todo polígono regular podemos inscrever uma circunferência. Se essa
circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as tangentes
nos pontos consecutivos de divisão formam um polígono circunscrito à
circunferência.
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ATIVIDADE 19
19 – Construir um heptágono regular
Comprove com as medidas dos lados
ATIVIDADE 20
20– Construir um decágono regular
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ATIVIDADE 21
21 – Construir um octógono regular
Calcular a área
Calcular o perímetro
ATIVIDADE 22
22 – Construir um dodecágono regular
ATIVIDADE 23
23 – Construir um pentágono regular
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ATIVIDADE 24
24 – Construir um eneágono regular
ATIVIDADE 25
25 – Construir um undecágono
Trace AB pelo centro O. Divida AB em 11 partes iguais. Destaque os pontos de
número par (ou impar). Determine C e D, com arcos de centro A e B e raio AB.
Determine E, F, G, H, I, J, L, M e N, traçando as semi-retas de origens C e D que
passam pelos pontos pares (ou ímpares). Destaque o undecágono regular inscrito
na circunferência.
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ATIVIDADE 26
26– Inscreva um heptágono regular l17, na circunferência ( dica dividir o diâmetro
em 17 partes iguais e traçar semelhante ao anterior undecágono usando os
pontos impares).
ATIVIDADES ADICIONAIS
ATIVIDADE 27
O triângulo de Sierpinski é muito utilizado na construção de fractais. Uma
construção muito interessante é a Esponja Menger fractal em matemática é uma
curva universal. Na medida em que tem uma dimensão topológica, e qualquer
outra curva (mais precisamente: qualquer espaço métrico compacto topológico de
dimensão). Encontram-se detalhes e apresentações de vídeos nos sites:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Esponja_de_Menger
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Sierpinski
http://www.youtube.com/watch?v=OLOq2SJqgXg&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=EvfT_KekfsE&feature=related
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27 – Construções do Triângulo de Sierpinski4
Traçar um triângulo equilátero.
Localizar o ponto médio de cada lado;
Com retas unir esses pontos formando um triânguloinscrito;
Com a ferramenta parâmetros de macros marcar os vértices do triângulo
inicial;
Novamente com a ferramenta parâmetro de macro marcar os lados do
triângulo central;
Clicar em macro outra vez e nomeie a construção;
Clique em rodar macro para a criação de novos triângulos dentro dos
vértices marcados.
Atividades preliminares para a construção da reta de Euler ( mediatriz, bissetriz,
baricentro)
4 O Triângulo de Sierpinski é uma figura geométrica obtida através de um processo recursivo. Ele é uma das formas
elementares da geometria fractal por apresentar algumas propriedades, tais como: ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais; ter área igual a zero; ser auto-semelhante (uma sua parte é idêntica ao todo); não perder a sua definição inicial à medida que é ampliado. Foi primeiramente descrito por Waclaw Sierpinski (1882 - 1969), matemático polonês
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ATIVIDADE 28
28- MEDIATRIZ
ATIVIDADE 29
29– BISSETRIZ
Traçar a bissetriz de um ângulo dado.
Justificativa: A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, sobre o
lado oposto, segmentos que são proporcionais aos lados do triângulo que formam
o ângulo considerado.
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ATIVIDADE 30
30 – INCENTRO
ATIVIDADE 31
31- BARICENTRO
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ATIVIDADE 32
32 - ORTOCENTRO
ATIVIDADE 33
33 - RETA DE EULER
É a linha que passa pelo ortocentro, o circunscentro e o baricentro de um
triângulo qualquer. Na verificação desses pontos os mesmos são colineares.
Em um triângulo qualquer, esses três pontos são colineares. O centro do círculo
de Euler está no meio do segmento de reta que liga o ortocentro e o circuncentro,
e a distância entre o baricentro ao circuncentro é a metade da distância entre o
baricentro e o ortocentro.
33
ATIVIDADE 34
34 - TRIÂNGULO RETÂNGULO INSCRITO NA CIRCUNFERÊNCIA
Construir um triângulo retângulo inscrito na circunferência
Calcular a área;
Calcular o perímetro;
Calcular seno, cosseno, tangente dos ângulos a1 e a2.
Animar o ângulo reto.
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ATIVIDADE 35
35 – Construção do Ciclo Trigonométrico no Régua e Compasso
Justificativa: Em um plano, um sistema cartesiano ortogonal uOv consideremos
uma circunferência de centro O e raio r=1. Observemos que:
- Os pontos A(1,0), B(0,-1), C(-1,0) e D(0,1) pertencem à circunferência e a
dividem em quatro partes iguais, que chamamos de quadrantes. Os quadrantes
são enumerados no sentido anti-horário.
Com os quadrantes definidos podemos obter seno, cosseno e tangente do ângulo
formado.
ATIVIDADE 36
36 – Construir um círculo e dentro dele comprovar que o ângulo interno é o dobro
do ângulo externo. Mover um ponto para verificação.
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ATIVIDADE 37
37 – Para presentear os visitantes, a Coordenação do Projeto resolve elaborar
uma pequena lembrança da Cratera esta lembrança terá a seguinte forma. Aos
matemáticos, coube a confecção e demonstração de possibilidades de volume e
modelos ideais para obter economia e também melhor aproveitamento de espaço.
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Como conclusão do Projeto, foi apresentado o esboço para futura construção das
passarelas e quiosques com tirolesas, escolhido entre as diversas sugestões
apresentadas.
Quanto à área de lazer, as propostas dependem de estudo orçamentário pela
Prefeitura.
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h - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] SEED PR. DIRETRIZES DAS POLÍTICAS PÚBLICAS 2007. p 5.
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/354-2.pdf acesso 28/11/09
CASTRUCCI, Benedito. Lições de Geometria Elementar. 9º Edição São Paulo: Livraria Nobel S.A., 1964.
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática 8ª série. 3ª ed. Editora Moderna Ltda. São Paulo, 1992.
BONGIOVANNI, VISSOTO, LAUREANO. Matemática e Vida 8ª série. 9ª ed.
Editora Ática. São Paulo, 1996.
Editora Moderna org. Projeto Araribá. 1ª Ed. 5ª a 8ª séries. São Paulo, 2006
GIOVANNI, José Ruy e Roberto Bonjorno. Matemática completa. 2ª ed. Renov. São Paulo: FTD, 2005.
IEZZI Gelson ...( et al.) Matemática (2º grau) Volumes 1, 2 e 3; 7ª Ed. São
Paulo. Atual Editora Ltda. 1974
GUELLI, Oscar. Matemática – Uma aventura do Pensamento 8ª série Ed
Reformulada. Ática; São Paulo; 2001.
PAIVA, Manoel. Matemática Volume Único. 1 Ed. Moderna; São Paulo, 2005.
www.cefetcampos.br/softmat Acesso em 06/03/2010
http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_geometria.php acesso
12/03/2010
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http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/index.html acesso 15/03/2010
http://www.tiosam.net/enciclopedia/?q=Tri%C3%A2ngulo_de_Sierpinski acesso
23/04/2010
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Sierpinski
acesso 21/07/2010
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