curvas en el espacio - dim.uchile.cl
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Semana 11 [1/35]
Curvas en el espacio
October 21, 2007
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [2/35]
Velocidad, rapidez y vector tangente
Velocidad, rapidez y vector tangente~r : [a, b] â Rn una parametrizaciĂłn regular de una curva simple Î.
Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente,respectivamente, mediante
~v(t) =d~rdt
(t), v(t) = âd~rdt
(t)â =dsdt
(t), T (t) =~v(t)v(t)
=d~rdt
(t)/âd~rdt
(t)â,
donde s : [0, L(Î)] â R representa la funciĂłn de longitud de arco.
r(t)
T(t)
v(t)
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [3/35]
Velocidad, rapidez y vector tangente
Velocidad, rapidez y vector tangente~r : [a, b] â Rn una parametrizaciĂłn regular de una curva simple Î.
Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente,respectivamente, mediante
~v(t) =d~rdt
(t), v(t) = âd~rdt
(t)â =dsdt
(t), T (t) =~v(t)v(t)
=d~rdt
(t)/âd~rdt
(t)â,
donde s : [0, L(Î)] â R representa la funciĂłn de longitud de arco.
r(t)
T(t)
v(t)
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [4/35]
Velocidad, rapidez y vector tangente
Velocidad, rapidez y vector tangente~r : [a, b] â Rn una parametrizaciĂłn regular de una curva simple Î.
Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente,respectivamente, mediante
~v(t) =d~rdt
(t), v(t) = âd~rdt
(t)â =dsdt
(t), T (t) =~v(t)v(t)
=d~rdt
(t)/âd~rdt
(t)â,
donde s : [0, L(Î)] â R representa la funciĂłn de longitud de arco.
r(t)
T(t)
v(t)
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [5/35]
Velocidad, rapidez y vector tangente
Velocidad, rapidez y vector tangente~r : [a, b] â Rn una parametrizaciĂłn regular de una curva simple Î.
Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente,respectivamente, mediante
~v(t) =d~rdt
(t), v(t) = âd~rdt
(t)â =dsdt
(t), T (t) =~v(t)v(t)
=d~rdt
(t)/âd~rdt
(t)â,
donde s : [0, L(Î)] â R representa la funciĂłn de longitud de arco.
r(t)
T(t)
v(t)
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [6/35]
Acerca del vector tangente
Si ~Ï es la parametrizaciĂłn natural entonces
T (s) =d~Ï
ds(s)
debido a que âd~Ïds (s)â = 1.
ParametrizaciĂłn natural:Recorrer la curva Î con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(Ï ) = ~r (Ξ(Ï )) con Ξ una reparametrizaciĂłn, entonces
d~r1
dÏ(Ï )/â
d~r1
dÏ(Ï )â =
d~rdt
(Ξ(Ï ))dΞ
dÏ(Ï )/â
d~rdt
(Ξ(Ï ))â|dΞ
dÏ(Ï )| = signo
(
dΞ
dÏ
)
T (Ξ(Ï )).
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [7/35]
Acerca del vector tangente
Si ~Ï es la parametrizaciĂłn natural entonces
T (s) =d~Ï
ds(s)
debido a que âd~Ïds (s)â = 1.
ParametrizaciĂłn natural:Recorrer la curva Î con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(Ï ) = ~r (Ξ(Ï )) con Ξ una reparametrizaciĂłn, entonces
d~r1
dÏ(Ï )/â
d~r1
dÏ(Ï )â =
d~rdt
(Ξ(Ï ))dΞ
dÏ(Ï )/â
d~rdt
(Ξ(Ï ))â|dΞ
dÏ(Ï )| = signo
(
dΞ
dÏ
)
T (Ξ(Ï )).
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [8/35]
Acerca del vector tangente
Si ~Ï es la parametrizaciĂłn natural entonces
T (s) =d~Ï
ds(s)
debido a que âd~Ïds (s)â = 1.
ParametrizaciĂłn natural:Recorrer la curva Î con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(Ï ) = ~r (Ξ(Ï )) con Ξ una reparametrizaciĂłn, entonces
d~r1
dÏ(Ï )/â
d~r1
dÏ(Ï )â =
d~rdt
(Ξ(Ï ))dΞ
dÏ(Ï )/â
d~rdt
(Ξ(Ï ))â|dΞ
dÏ(Ï )| = signo
(
dΞ
dÏ
)
T (Ξ(Ï )).
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [9/35]
Acerca del vector tangente
Si ~Ï es la parametrizaciĂłn natural entonces
T (s) =d~Ï
ds(s)
debido a que âd~Ïds (s)â = 1.
ParametrizaciĂłn natural:Recorrer la curva Î con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(Ï ) = ~r (Ξ(Ï )) con Ξ una reparametrizaciĂłn, entonces
d~r1
dÏ(Ï )/â
d~r1
dÏ(Ï )â =
d~rdt
(Ξ(Ï ))dΞ
dÏ(Ï )/â
d~rdt
(Ξ(Ï ))â|dΞ
dÏ(Ï )| = signo
(
dΞ
dÏ
)
T (Ξ(Ï )).
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [10/35]
Acerca del vector tangente
Si ~Ï es la parametrizaciĂłn natural entonces
T (s) =d~Ï
ds(s)
debido a que âd~Ïds (s)â = 1.
ParametrizaciĂłn natural:Recorrer la curva Î con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(Ï ) = ~r (Ξ(Ï )) con Ξ una reparametrizaciĂłn, entonces
d~r1
dÏ(Ï )/â
d~r1
dÏ(Ï )â =
d~rdt
(Ξ(Ï ))dΞ
dÏ(Ï )/â
d~rdt
(Ξ(Ï ))â|dΞ
dÏ(Ï )| = signo
(
dΞ
dÏ
)
T (Ξ(Ï )).
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [11/35]
Acerca del vector tangente
AsĂ hay dos formas de calcular el vector tangente a Î en el punto P â Î:
(1) T (t) = d~rdt (t)/â
d~rdt (t)â donde t es tal que ~r (t) = P.
(2) Calcular la parametrizaciĂłn en longitud de arco ~Ï(s) y calcular
T (s) =d~Ï
dscon s tal que ~Ï(s) = P.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [12/35]
Acerca del vector tangente
AsĂ hay dos formas de calcular el vector tangente a Î en el punto P â Î:
(1) T (t) = d~rdt (t)/â
d~rdt (t)â donde t es tal que ~r (t) = P.
(2) Calcular la parametrizaciĂłn en longitud de arco ~Ï(s) y calcular
T (s) =d~Ï
dscon s tal que ~Ï(s) = P.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [13/35]
Acerca del vector tangente
AsĂ hay dos formas de calcular el vector tangente a Î en el punto P â Î:
(1) T (t) = d~rdt (t)/â
d~rdt (t)â donde t es tal que ~r (t) = P.
(2) Calcular la parametrizaciĂłn en longitud de arco ~Ï(s) y calcular
T (s) =d~Ï
dscon s tal que ~Ï(s) = P.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [14/35]
Curvatura
CurvaturaDefinimos la curvatura de la curva Î mediante
Îș(s) :=
â„
â„
â„
â„
dTds
(s)
â„
â„
â„
â„
(1)
Cuando Îș(s) > 0 definimos el radio de curvatura y el vector normal,
R(s) :=1
Îș(s), N(s) :=
dTds
(s)
/â„
â„
â„
â„
dTds
(s)
â„
â„
â„
â„
(2)
R
R
Figure: vector tangente y curvatura.Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [15/35]
Curvatura
CurvaturaDefinimos la curvatura de la curva Î mediante
Îș(s) :=
â„
â„
â„
â„
dTds
(s)
â„
â„
â„
â„
(1)
Cuando Îș(s) > 0 definimos el radio de curvatura y el vector normal,
R(s) :=1
Îș(s), N(s) :=
dTds
(s)
/â„
â„
â„
â„
dTds
(s)
â„
â„
â„
â„
(2)
R
R
Figure: vector tangente y curvatura.Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [16/35]
Utilizando la regla de la cadena se tiene
dTds
=dTdt
·dtds
=dTdt
/
dsdt
.
En consecuencia
Îș(t) =
â„
â„
â„
â„
dTdt
(t)
â„
â„
â„
â„
/
dsdt
(t)
R(t) =1
Îș(t)
N(t) =dTdt
/â„
â„
â„
â„
dTdt
â„
â„
â„
â„
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [17/35]
Utilizando la regla de la cadena se tiene
dTds
=dTdt
·dtds
=dTdt
/
dsdt
.
En consecuencia
Îș(t) =
â„
â„
â„
â„
dTdt
(t)
â„
â„
â„
â„
/
dsdt
(t)
R(t) =1
Îș(t)
N(t) =dTdt
/â„
â„
â„
â„
dTdt
â„
â„
â„
â„
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [18/35]
Utilizando la regla de la cadena se tiene
dTds
=dTdt
·dtds
=dTdt
/
dsdt
.
En consecuencia
Îș(t) =
â„
â„
â„
â„
dTdt
(t)
â„
â„
â„
â„
/
dsdt
(t)
R(t) =1
Îș(t)
N(t) =dTdt
/â„
â„
â„
â„
dTdt
â„
â„
â„
â„
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [19/35]
Vector binormal y torsiĂłn
Vector binormalDefinimos el vector binormal B mediante
B = T Ă N.
B
N
T
T
N
B
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [20/35]
TorsiĂłn
Notemos que
dBds
=dTds
Ă N + T ĂdNds
= ÎșN Ă N + T ĂdNds
= T ĂdNds
,
AsĂ dBdsâ„T .
Pero sabemos que
B ·dBds
=dds
(
âBâ2) = 0,
lo cual implica que dBdsâ„B.
Luego dBds es proporcional a N.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [21/35]
TorsiĂłn
Notemos que
dBds
=dTds
Ă N + T ĂdNds
= ÎșN Ă N + T ĂdNds
= T ĂdNds
,
AsĂ dBdsâ„T .
Pero sabemos que
B ·dBds
=dds
(
âBâ2) = 0,
lo cual implica que dBdsâ„B.
Luego dBds es proporcional a N.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [22/35]
TorsiĂłn
Notemos que
dBds
=dTds
Ă N + T ĂdNds
= ÎșN Ă N + T ĂdNds
= T ĂdNds
,
AsĂ dBdsâ„T .
Pero sabemos que
B ·dBds
=dds
(
âBâ2) = 0,
lo cual implica que dBdsâ„B.
Luego dBds es proporcional a N.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [23/35]
TorsiĂłn
Notemos que
dBds
=dTds
Ă N + T ĂdNds
= ÎșN Ă N + T ĂdNds
= T ĂdNds
,
AsĂ dBdsâ„T .
Pero sabemos que
B ·dBds
=dds
(
âBâ2) = 0,
lo cual implica que dBdsâ„B.
Luego dBds es proporcional a N.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [24/35]
TorsiĂłn
TorsiĂłnDefinimos la torsiĂłn asociada a la curva como
Ï (s) = âN(s) ·dBds
(s).
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [25/35]
TorsiĂłn
TorsiĂłnDefinimos la torsiĂłn asociada a la curva como
Ï (s) = âN(s) ·dBds
(s).
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [26/35]
FĂłrmulas de Frenet
ProposiciĂłnSe tienen las siguientes relaciones:
(I) dTds = ÎșN,
(II) dNds = âÎșT + ÏB,
(III) dBds = âÏN,
Algunas aplicaciones:
1 Una curva con curvatura nula es una recta.
2 Una curva sin torsiĂłn es una curva plana.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [27/35]
FĂłrmulas de Frenet
ProposiciĂłnSe tienen las siguientes relaciones:
(I) dTds = ÎșN,
(II) dNds = âÎșT + ÏB,
(III) dBds = âÏN,
Algunas aplicaciones:
1 Una curva con curvatura nula es una recta.
2 Una curva sin torsiĂłn es una curva plana.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [28/35]
FĂłrmulas de Frenet
ProposiciĂłnSe tienen las siguientes relaciones:
(I) dTds = ÎșN,
(II) dNds = âÎșT + ÏB,
(III) dBds = âÏN,
Algunas aplicaciones:
1 Una curva con curvatura nula es una recta.
2 Una curva sin torsiĂłn es una curva plana.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [29/35]
FĂłrmulas de Frenet
ProposiciĂłnSe tienen las siguientes relaciones:
(I) dTds = ÎșN,
(II) dNds = âÎșT + ÏB,
(III) dBds = âÏN,
Algunas aplicaciones:
1 Una curva con curvatura nula es una recta.
2 Una curva sin torsiĂłn es una curva plana.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [30/35]
FĂłrmulas de Frenet
ProposiciĂłnSe tienen las siguientes relaciones:
(I) dTds = ÎșN,
(II) dNds = âÎșT + ÏB,
(III) dBds = âÏN,
Algunas aplicaciones:
1 Una curva con curvatura nula es una recta.
2 Una curva sin torsiĂłn es una curva plana.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [31/35]
FĂłrmulas de Frenet
ProposiciĂłnSe tienen las siguientes relaciones:
(I) dTds = ÎșN,
(II) dNds = âÎșT + ÏB,
(III) dBds = âÏN,
Algunas aplicaciones:
1 Una curva con curvatura nula es una recta.
2 Una curva sin torsiĂłn es una curva plana.
Curvas en el espacio
![Page 32: Curvas en el espacio - dim.uchile.cl](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012601/61981db20dea1f7c58030f80/html5/thumbnails/32.jpg)
Curvas en el espacio Semana 11 [32/35]
Integrales sobre curvas
Integral de una funciĂłn sobre una curvaSea Î una curva simple y regular en Rn, y sea f : Rn â R una funciĂłncontinua definida en Ω â Î.
Definimos la integral de f sobre la curva Î mediante:
â«
Î
fdâ :=
â« b
af (~r (t))
â„
â„
â„
â„
d~rdt
(t)
â„
â„
â„
â„
dt , (3)
donde ~r : [a, b] â Rn es una parametrizaciĂłn regular de Î.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [33/35]
Integrales sobre curvas
Integral de una funciĂłn sobre una curvaSea Î una curva simple y regular en Rn, y sea f : Rn â R una funciĂłncontinua definida en Ω â Î.
Definimos la integral de f sobre la curva Î mediante:
â«
Î
fdâ :=
â« b
af (~r (t))
â„
â„
â„
â„
d~rdt
(t)
â„
â„
â„
â„
dt , (3)
donde ~r : [a, b] â Rn es una parametrizaciĂłn regular de Î.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [34/35]
Integrales sobre curvas
Integral de una funciĂłn sobre una curvaSea Î una curva simple y regular en Rn, y sea f : Rn â R una funciĂłncontinua definida en Ω â Î.
Definimos la integral de f sobre la curva Î mediante:
â«
Î
fdâ :=
â« b
af (~r (t))
â„
â„
â„
â„
d~rdt
(t)
â„
â„
â„
â„
dt , (3)
donde ~r : [a, b] â Rn es una parametrizaciĂłn regular de Î.
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [35/35]
Aplicaciones
Masa de alambre parametrizado por ~r : [a, b] â R3, con densidad demasa dada por la funciĂłn contĂnua Ï(x , y , z):
M =
â«
Î
Ïdâ.
Centro de masa de una curva Î â R3, cuya densidad lineal de masa esÏ : R3 â R, se define como el punto de coordenadas:
xG =1M
â«
Î
xÏ dâ, yG =1M
â«
Î
yÏ dâ, zG =1M
â«
Î
zÏ dâ,
Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio Semana 11 [36/35]
Aplicaciones
Masa de alambre parametrizado por ~r : [a, b] â R3, con densidad demasa dada por la funciĂłn contĂnua Ï(x , y , z):
M =
â«
Î
Ïdâ.
Centro de masa de una curva Î â R3, cuya densidad lineal de masa esÏ : R3 â R, se define como el punto de coordenadas:
xG =1M
â«
Î
xÏ dâ, yG =1M
â«
Î
yÏ dâ, zG =1M
â«
Î
zÏ dâ,
Curvas en el espacio