superficies y curvas en el espacio - 15 de junio
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SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO
Es este material se presentan algunas gráficas confeccionadas con el software MAPLE. A continuación de cada una se indica la sentencia utilizada para obtenerla. Tenga en cuenta que: 1) antes de realizar este tipo de gráficas es necesario cargar, por una sola vez durante la sesión de trabajo, el paquete de comandos gráficos, escribiendo with(plots):. 2) después de ingresar cualquier sentencia se debe terminar con ;. Ejercicio 1: Estudiar y representar gráficamente el lugar geométrico de los puntos del espacio, cuya ecuación es:
a) 93 =+ y . x
Esta ecuación representa (en R3) un plano proyectante sobre el plano coordenado XY.
3 y
9
z
x
b) 42 . (Implícitamente la variable y asume cualquier valor). 2 =+ zxLa ecuación podría escribirse y representa un cilindro circular proyectante sobre el plano XZ.
422 =+ zx 40 22 =++ zyx
> with(plots): > implicitplot3d(x^2+z^2=4,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]); c) 16 . 9 22 =+ yx Esta ecuación representa en R3 un cilindro elíptico proyectante sobre el plano XY. Se muestran las gráficas
de la superficie cilíndrica y de la directriz de ecuaciones: . ⎩⎨⎧
==+
0169 22
zyx
Observación: La curva directriz es una elipse. Considerada como una curva de R3 se expresa a través de la intersección del cilindro elíptico con el plano coordenado XY. En la gráfica que se muestra, el eje Z es perpendicular al plano del papel. La ecuación de esa elipse como curva en R2 se expresa a través de la ecuación: . 169 22 =+ yx
> implicitplot3d(9*x^2+y^2=16,x=-2..2,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]);
1
d) zx 42 = . Esta ecuación representa un cilindro parabólico proyectante sobre el plano X, cuya directriz está dada por
las ecuaciones: . ⎩⎨⎧
==0y
z4x2
> implicitplot3d(x^2=4*z,x=-2..2,y=-5..5,z=-1..1,numpoints=3000,labels=[y,z,x]); e) 16 . 4 22 =− yxEsta ecuación representa un cilindro hiperbólico proyectante sobre el plano XY, cuya directriz está dada por
las ecuaciones: ⎩⎨⎧
==−
0164 22
zyx
> implicitplot3d(4*x^2-y^2=16,x=-10..10,y=-15..15,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,z,x]); f) 0=− yx . sen
Es la ecuación de un cilindro proyectante sobre el plano XY. Las ecuaciones corresponden
a la curva directriz que se representa en el segundo gráfico. ⎩⎨⎧
==−
00
zysenx
> implicitplot3d(sin(x)-y=0,x=-3*Pi..3*Pi,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]); g) 1=zx . Es la ecuación de un cilindro hiperbólico proyectante sobre el plano XZ. La curva de ecuaciones:
corresponde a la directriz que se representa junto a la superficie. ⎩⎨⎧
==01
yzx
2
> implicitplot3d(x*z=1,x=-3..3,y=-5..5,z=-5..5,labels=[z,y,x],numpoints=9000); h) . Sea A=0=zx ( ){ }0 /,, 3 =ℜ∈ zxzyx .
PzxzxAP ⇔=∨=⇔=⇔∈ 000 pertenece al menos a uno de los planos coordenados YZ o XY. i) . Es la ecuación de un cilindro elíptico proyectante sobre el plano XY. 08565 22 =−++ yyxx
>implicitplot3d(5*x^2+6*x*y+5*y^2-8=0,x=-3..3,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]); j) . No existe ningún punto del espacio R3 cuyas coordenadas verifiquen esta ecuación. 022 =+x Ejercicio 2: Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica, en los siguientes casos:
a) Generatriz paralela al eje “z” y directriz dada por las ecuaciones: . ⎩⎨⎧
==
Γ0
22
zyx
La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos que pertenecen a las rectas:
(1), cuando
),,( zyxP
ℜ∈⎪⎩
⎪⎨
⎧
+===
ttzz
yyxx
g
0
0
0
) ( )0,00 , zyx varia en Γ .
( ) ⇔Γ∈000 ,, zyx (2). ⎪⎩
⎪⎨⎧
==02
0
02
0
zyx
Despejando de (1) y reemplazando en (2) resulta: ( 000 ,, zyx ) .0
22
ℜ∈⎩⎨⎧
=−=
ttz
yx
En consecuencia: zyx ∀= 22 es la ecuación de la superficie cilíndrica parabólica proyectante sobre el plano XY pedida. Se muestra su gráfica y la de la curva directriz, contenida en el plano XY.
>implicitplot3d(x^2=2*y,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=10000);
3
b) Generatriz paralela al vector (1, -1, 3) y la directriz es la curva . ⎩⎨⎧
==−
Γ5
149 22
xyz
La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos que pertenecen a las rectas:
(3), cuando
),,( zyxP
∈t,t3zz
t-yytxx
)g
0
0
0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+==
+=( )0,00 , zyx varía en Γ .
( ) ⇔Γ∈000 ,, zyx (4). ⎪⎩
⎪⎨⎧
==−
Γ5
149
0
20
20
xyz
Despejando de (3) y reemplazando en (4) resulta: .
Eliminando el parámetro t, obtenemos la ecuación:
( 000 ,, zyx )⎩⎨⎧
=−=−−−
51)2(4)3(9 22
txtytz
( )( ) ( )( ) 1524539 22 =−+−−− xyxz que representa la superficie cilíndrica hiperbólica buscada.
Se muestran las gráficas de la superficie cilíndrica y de la directriz de ecuaciones: . ⎩⎨⎧
==−
Γ5
149 22
xyz
> implicitplot3d(9*(z-3(x-5))^2-4*(y+2(x-5))^2=1,x=4.5..5.5,y=-6..3,z=-2..5,labels=[x,z,y],numpoints=10000); c) Proyectante sobre el plano YZ, directriz la circunferencia en ese plano de centro (0, 1, 0) y radio 2. La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos que pertenecen a las rectas:
(5), cuando
),,( zyxP
ℜ∈⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
+=t
zzyy
txxg
0
0
0
) ( )0,00 , zyx varia en Γ .
( ) ⇔Γ∈000 ,, zyx (6). ⎪⎩
⎪⎨⎧
==+−
Γ0
4)1(
0
20
20
xzy
Despejando de (6) y reemplazando en (5) resulta: . Luego ( 000 ,, zyx )⎩⎨⎧
=−=+−
Γ0
4)1( 22
txzy
( ) xzy ∀4=+1 22 es la ecuación de la superficie cilíndrica circular proyectante sobre el plano YZ buscada.
4
>implicitplot3d((y-1)^2+z^2=4,x=-5..5,y=-2..4,z=-2..2);
d) Generatriz paralela a la recta de ecuación 32
21 +=−
=− zyx cuya directriz es la hipérbola equilátera
con centro en el origen de coordenadas, eje focal se encuentra sobre la recta de ecuación xy = . La mitad de la distancia focal es de longitud igual a 2. Debemos encontrar la ecuación de la hipérbola sabiendo que sus focos se encuentran sobre la recta
xy = . Pensando en que los ejes x e y han sido rotados 45º, llegamos a que la ecuación de la hipérbola en
el sistema rotado es: 12`
2` 22
=−yx
(7).
Reemplazamos en (7) las ecuaciones de rotación correspondientes: ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−=
+=
)(22´
22´
yxy
yxx, y obtenemos las
ecuaciones (8). ⎩⎨⎧
==
Γ01
zyx
La superficie cilíndrica está formada por todos los puntos que pertenecen a las rectas:
(9) cuando
),,( zyxP
ℜ∈⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=+=
ttzz
tyytxx
g
0
0
0
2) ( )0,00 , zyx varia en Γ .
Despejando de (9) y reemplazando en (8) resulta: ( 000 ,, zyx ) ( ) ( )⎩⎨⎧
=−=−−
012
tztytx
. Eliminando el
parámetro t obtenemos: ( ) ( ) 12 =−− zyzx .
> implicitplot3d((x-z)*(y-2*z)=1,x=-10..10,y=-4..4,z=-2..2,numpoints=10000,labels=[y,z,x]); e) Generatriz paralela a la recta de ecuación zyx −=+=− 31 y cuya directriz es la curva
(10). Estudiar y graficar la curva directriz. ⎩⎨⎧
==++
00
zyxyx
Como la curva directriz es una ecuación de 2º grado con término rectangular, efectuamos la rotación de ejes correspondiente a 45º para identificar de qué curva se trata.
5
Las ecuaciones de rotación están dadas por:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
−=
´)´(22
´)´(22
yxy
yxx, reemplazándolas en (10) obtenemos
14´
42´ 22
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ − yx, que es la ecuación de una hipérbola con centro en el punto de coordenadas:
( ) ( )0,2´´, =yx y vértices en ( ) ( )0,22´´, +±=yx . La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos que pertenecen a las rectas:
(11), cuando
),,( zyxP
ℜ∈⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+=+=
ttzztyytxx
g
0
0
0
) ( )0,00 , zyx varia en Γ .
( ) ⇔Γ∈000 ,, zyx (12). ⎩⎨⎧
==++
00
0
0000
zyxyx
Despejando de (11) y reemplazando en (12) resulta: . ( 000 ,, zyx )⎩⎨⎧
=+=−+−+−−
00)()()()(
tztytxtytx
Eliminando t obenemos la ecuación de la superficie cilíndrica buscada:
( )( ) ( ) ( ) 0=++++++ zyzxzyzx
> implicitplot3d((x+z)*(y+z)+(x+z)+(y+z),x=-12..12,y=-12..12,z=-3..3,numpoints=10000,labels=[y,z,x]); Ejercicio 3: Hallar la ecuación de la superficie cónica, en los siguientes casos:
a) Vértice V (1,1,2) y directriz ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+Γ
0
194
22
z
yx.
La superficie cónica esta formada por los puntos de las rectas que contienen al vértice V (1, 1, 2) y a un
punto de la directriz ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+Γ
0
194
22
z
yx.
6
Las ecuaciones de dichas rectas se pueden expresar a través de: 0
)2(12
)1(11
)1(11
)
0
0
0
≠
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−+=
−+=
−+=
t
zt
z
yt
y
xt
x
g , con
variando en . (Notar que estas ecuaciones paramétricas no permiten obtener las coordenadas del vértice del cono). ( 000 ,, zyx ) Γ
Luego (13). ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+=−+=−+=
tzztyytxx
)2(2)1(1)1(1
0
0
0
( ) ⇔Γ∈000 ,, zyx⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+Γ0
194
0
20
20
z
yx(14)
Reemplazando (13) en (14) resulta: ( )( ) ( )( )
⎩⎨⎧
=−+=−++−+
0)2(236114119 22
tztytx
.
Eliminando el parámetro entre ambas se obtiene: ( ) 362
12142
)1(2192
2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
+z
yz
x.
La expresión del primer miembro no está definida en (1, 1, 2) que son las coordenadas del vértice.
La ecuación ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )zyzxz −=−+−+−+− 23612241229 22 , se satisface también para x = 1, y = 1, z = 2, y constituye la ecuación de la superficie pedida. (Por la razón dada anteriormente, la gráfica no muestra el vértice del cono. No se visualiza ese punto que también pertenece a la superficie)
> implicitplot3d(9*(1+2*((x-1)/(2-z)))^2+4*(1+2*((y-1)/(2-z)))^2=36,x=-10..6,y=-8..8,z=-1..5,numpoints=5000); d) Directriz constituida por todos los puntos P(x, y) cuya distancia al punto Q (1, 2) es igual a la mitad de la distancia de P(x, y) a la recta de ecuación y = 8. Vértice V (1, 0, 4). Con estas condiciones buscamos la ecuación de la directriz:
)),(21),( rPdQPd = )),(
41),( 22 rPdQPd =⇔
7
( ) ( ) ( ) ⇔=−+−+−+−⇔−=−+− 0164414418
4121 222222 yyyyxyyx ( ) 1
16121 22
=+− yx , que
representa a una elipse con centro en (1, 0) y focos sobre la recta x =1.
La superficie cónica esta formada por los puntos de las rectas que contienen al vértice V (1, 0, 4) y a un
punto de la directriz ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+−
Γ0
11612
1 22
z
yx .
Las ecuaciones de dichas rectas se pueden expresar a través de: 0
)4(14
1
)1(11
)
0
0
0
≠
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−+=
=
−+=
t
zt
z
yt
y
xt
x
g , con
variando en Γ . ( 000 ,, zyx )
Luego (15). ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+==
−+=
tzztyy
txx
)4(4
)1(1
0
0
0
( ) ⇔Γ∈000 ,, zyx( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+−
Γ0
11612
1
0
20
20
z
yx (16).
Reemplazando (15) en (16) resulta: ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+
=+−−+
0)4(4
116
)(12
1)1(1 22
tz
tytx. Eliminando el parámetro entre ambas se
obtiene la ecuación: ( )( ) ( )
144
134
2
2
2
2
=−
+−−
zy
zx . El primer miembro no está definido en (1, 0, 4) que son las
coordenadas del vértice.
La ecuación ( ) ( )222 43314 −=+− zyx , se satisface también para x = 1, y = 0, z = 4 y constituye la
ecuación de la superficie pedida.
> implicitplot3d((3/4)*((x-1)^2/(z-4)^2)+y^2/(z-4)^2=1,x=-10..10,y=-10..10,z=-2..10,numpoints=5000); Ejercicio 4: Hallar la ecuación de la superficie de revolución engendrada al rotar las curvas siguientes alrededor del eje indicado. Identificar y representar gráficamente, si es posible, la superficie obtenida: a) Parábola de vértice en el origen de coordenadas y foco F (3,0), alrededor del eje X.
8
La Generatriz es la parábola de ecuaciones: . Si consideramos
, la ecuación de la superficie que se pide es:
0;0122 ==− zxy
xyyxF 12),( 2 −= 0)zy,x(F 22 =+± . Operando se obtiene la ecuación: 01222 =−+ xzy , que corresponde a un paraboloide de revolución.
> implicitplot3d(y^2+z^2=12*x,x=0..6,y=-10..10,z=-10..10,numpoints=5000); b) Hipérbola de focos (0,10) y (0, -10) que pasa por el punto P(2,3), alrededor del eje Y.
Las ecuaciones de la hipérbola son de la forma 1100 2
2
2
2
=−
−a
xay
, con z = 0.
La ecuación de la superficie de revolución que resulta de rotar dicha hipérbola alrededor del eje Y es:
1100100 2
2
2
2
2
2
=−
−−
−a
za
xay
El valor de a 2 se obtiene teniendo en cuenta que P (2, 3, 0) pretende a la superficie. Esta superficie de revolución recibe el nombre de hiperboloide de dos hojas.
> implicitplot3d(y^2/8.63-x^2/25.6-z^2/25.6,x=-5..5,y=-3..3,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[y,x,z]);
c) eje Y. ,2
ℜ∈⎩⎨⎧
==
Γ ttytx
Son ecuaciones paramétricas de la parábola contenida en el plano XY. Pasando a la forma cartesiana y considerando a la curva en el espacio, sus ecuaciones son:
. 0;2 == zxy
La superficie de revolución que se genera tiene por ecuación: 222 zxy += y su gráfica presenta el siguiente aspecto:
9
> implicitplot3d(y^2=sqrt(x^2+z^2),x=-5..5,y=-3..3,z=-3..3,numpoints=5000,labels=[z,x,y] );
d) eje X ,0cos2
π≤≤⎩⎨⎧
==
Γ tseny
tx
Son ecuaciones paramétricas de un arco de elipse, cuya ecuación cartesiana es de la forma: 14
22
=+ yx
con . 10 ≤≤ y
Considerando a la generatriz como una curva en el espacio, sus ecuaciones son: 0;14
22
==+ zyx.
Al girar esta curva alrededor del eje X, se obtiene un elipsoide de revolución de ecuación:
14
222
=++ zyx
: > implicitplot3d(x^2/4+y^2+z^2=1,x=-3..3,y=-2..2,z=-2..2,numpoints=10000); Ejercicio 5: Dados los puntos A(3,2,0) y B(2,1,-5) verificar que el lugar geométrico de los puntos P(x,y,z) tal que BPAP⊥ es una esfera. Encontrar las coordenadas del centro y su radio.
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )032365
0312230
)5,1,2(,2,3
222 =+++−++−⇔
=++−−+−−⇔=
+−−=−−=
zzyyxxzzyyxxBPxAP
zyxBPzyxAP
427
25
23
25
0425
252
49
236
425
25
222
222
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⇔
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −++−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
zyx
zyx
Se trata de la ecuación de una esfera con centro ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
25,
23,
25C y radio 3
23
=r .
10
> with(plottools):c := sphere([5/2,3/2,-5/2], sqrt(27/4)):plots[display](c, scaling=constrained); Ejercicio 6: Hallar la ecuación de la esfera con centro en el punto C(2,3,-1) y que además se intersecta
con la recta determinado un segmento de longitud 16. ⎩⎨⎧
=−+−=++−0843
020345zyxzyx
Unas ecuaciones paramétricas de la recta dada son: r)ℜ∈
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=
+−=
+−=
t
tz
ty
tx
22
25
241
.
Para encontrar el radio miremos el siguiente dibujo:
16
d C
Sea d la distancia del centro a la recta, sabemos que: ,),(0
u
uCPrCd
∧= donde es un punto de la
recta y
0P
u es un vector dirección de la misma. Haciendo los cálculos se obtiene que 15),( =rCd .
Aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la esfera es: 289815 22 =+=r .
La ecuación de la esfera es: ( ) ( ) ( ) 289132 222 =++−+− zyx . Su gráfica tiene el siguiente aspecto:
> with(plottools):c := sphere([2,3,-1], sqrt(289)):plots[display](c, scaling=constrained);
11
7) Identificar y graficar las superficies cuyas ecuaciones son las siguientes:
a) 191625
222
=++zyx
b) c) xzy 422 =+ 14916
222
=−−zyx
d) 11649
222
=−+zyx
e) 94
22 xyz −= f) 1494
222
=+−zyx
g) h) 04 222 =+− zyx 022 =− zy
a) 191625
222
=++zyx
. Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada elipsoide. Realizamos a
continuación un estudio de la misma para llegar a obtener su representación gráfica:
i) Simetrías con respecto a los ejes coordenados
• eje X: Si el punto ( )zyx pertenece a la superficie, el punto P ,, ( )zyxP −− ,,´ simétrico de P con respecto al eje X, también pertenece a la superficie (y recíprocamente), en razón de que:
19
)(16
)(25
191625
222222
=−
+−
+⇔=++zyxzyx
La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje X. • eje Y: Por la misma razón, si el punto ),,( zyxQ pertenece a la superficie, el
punto ),, simétrico de Q con respecto al eje Y, también pertenece. (´ zyxQ −− La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje Y.
• eje Z: Si ),,( zyx pertenece a la superficie, ),,R (´ zyxR −− simétrico de R con respecto al eje Z
también pertenece. La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje Z.
En síntesis se trata de una superficie cuya gráfica es simétrica con respecto a los tres ejes coordenados, llamados ejes de simetría. Por lo tanto el origen de coordenadas es el centro de simetría.
Simetrías con respecto a los planos coordenados
• plano XY: Si el punto ( )zyx pertenece a la superficie, el punto P ,, ( )zyxP −,,´ simétrico de P con respecto al plano XY también pertenece (y recíprocamente), en razón de que:
19
)(1625
191625
222222
=−
++⇔=++zyxzyx
La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XY. • plano YZ: Si el punto ),,( zyxQ pertenece a la superficie, el punto ),, simétrico de Q con
respecto al plano YZ, también pertenece. (´ zyxQ −
La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano YZ. • plano XZ: Si ),,( zyx pertenece a la superficie, ),,R (´ zyxR −− simétrico de R con respecto al plano
XZ, también pertenece.
La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XZ.
En síntesis, la gráfica es simétrica respecto a los planos coordenados.
12ii) Intersecciones con los ejes coordenados (vértices):
• eje X:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
=++
00
191625
222
zy
zyx
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
=
⇔00
125
2
zy
x
. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==±=
⇔00
5
zyx
A (-5, 0, 0) y A´ (5, 0, 0) son los puntos en que la superficie intercepta al eje X.
• eje Y: B (0, -4, 0) y B´ (0, 4, 0) son los puntos de intersección con el eje Y.
• eje Z: C (0, 0, -3) y C´ (0, 0, 3) son los puntos de intersección con el eje Z.
iii) Intersecciones con los planos coordenados (trazas o secciones principales):
• plano XY: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=++
0
191625
222
z
zyx⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+
0
11625
22
z
yx.
Se trata de una elipse con semieje mayor de longitud 5 sobre el eje X y semieje menor de longitud 4 sobre el eje Y.
• plano XZ: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=++
0
191625
222
y
zyx⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+
0
1925
22
y
zx.
Se trata de una elipse con semieje mayor de longitud 5 sobre el eje X y semieje menor de longitud 3 sobre el eje Z.
• plano YZ: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=++
0
191625
222
x
zyx⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+
0
1916
22
x
zy.
Se trata de una elipse con semieje mayor de longitud 4 sobre el eje Y, y semieje menor de longitud 3 sobre el eje Z.
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados:
• plano paralelo al plano coordenado YZ: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=+⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=++
kx
kzy
kx
zyx25
1916
191625
222222
Si 5<k , se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje Y, sobre el plano X = k.
Si 5>k , no hay intersección.
Si 5=k , se obtienen los puntos A (-5, 0, 0) y A´(5, 0, 0).
• plano paralelo al plano coordenado XZ: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=+⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=++
ky
kzx
ky
zyx16
1925
191625
222222
Si 4<k , se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Y = k.
Si 4>k , no hay intersección.
Si 4=k , se obtienen los puntos B (0, -4, 0) y B´ (0, 4, 0).
13
• plano paralelo al plano coordenado XY: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=+⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=++
kz
kyx
kz
zyx9
11625
191625
222222
Si 3<k
, se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Z = k. Si 3>k , no hay intersección.
Si 3=k , se obtienen los puntos C (0, 0, -3) y C´(0, 0, 3). Se trata de una superficie acotada. La figura muestra el elipsoide junto con algunas trazas que resultan de las intersecciones del mismo con planos paralelos al plano coordenado XY.
> implicitplot3d(x^2/25+y^2/16+z^2/9=1,x=-5..5,y=-4..4,z=-3..3,labels=[y,x,z]); b) . Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada Paraboloide circular o de revolución. Realizamos a continuación un estudio de la misma para llegar a obtener su representación gráfica:
xzy 422 =+
i) Simetrías con respecto a los ejes coordenados
• eje X: Si el punto ( )zyx pertenece a la superficie, el punto P ,, ( )zyxP −− ,,´ simétrico de P con respecto al eje X, también pertenece a la superficie (y recíprocamente), en razón de que:
xzyxzy 4)()(4 2222 =−+−⇔=+
La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje X.
• La gráfica no es simétrica con respecto a los ejes Y y Z.
Esta superficie carece de centro de simetría. Simetrías con respecto a los planos coordenados
• plano XY: Si el punto ( )zyx pertenece a la superficie, el punto P ,, ( )zyxP −,,´ simétrico de P con respecto al plano XY también pertenece (y recíprocamente), en razón de que:
x zyxzy 4)(4 2222 =−+⇔=+
La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XY.
• plano YZ: Si el punto ),,( zyxQ pertenece a la superficie, el punto ),, simétrico de Q con respecto al plano YZ, también pertenece.
(´ zyxQ −
La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XZ. • El paraboloide circular no es simétrico con respecto al plano YZ.
ii) Intersecciones con los ejes coordenados: en todos los casos resulta el origen de coordenadas.
14iii) Intersecciones con los planos coordenados:
• plano XY: . ⎩⎨⎧
==+
0422
zxzy⇔
⎩⎨⎧
==0
42
zxy
Se trata de una parábola contenida en el plano XY, con vértice en el origen y foco sobre el eje X, en el punto (1, 0, 0).
• plano XZ: . ⎩⎨⎧
==+
0422
zxzy⇔
⎩⎨⎧
==042
yxz
Se trata de una parábola contenida en el plano XZ, con vértice en el origen y foco sobre el eje X, en el punto (1, 0, 0).
• plano YZ: , resulta el origen de coordenadas (0, 0, 0) ⎩⎨⎧
==+
0422
zxzy⇔
⎩⎨⎧
==+
0022
xzy
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados:
• plano paralelo al plano coordenado YZ: ⎩⎨⎧
==+
kxxzy 422
⇔⎩⎨⎧
==+
kxkzy 422
Si 0<k , no se obtiene ningún punto.
Si 0>k , se obtienen circunferencias con centro en (k, 0, 0) y radio k2 , que aumenta a medida que k crece.
Si 0=k , se obtiene el origen de condenadas.
• plano paralelo al plano coordenado XZ: ⎩⎨⎧
==+
kyxzy 422
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ky
kxz4
42
2
Para cada valor de k se obtiene una parábola contenida en el plano Y = k, con vértice en el
punto ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛0,,
4
2
kky foco en ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ 0,,1
4
2
kk. Estas parábolas “se alejan” del eje X a medida que
k aumenta.
• plano paralelo al plano coordenado XY: ⎩⎨⎧
==+
kzxzy 422
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ky
kxy4
42
2
Para cada valor de k se obtiene una parábola contenida en el plano Z = k, con vértices en el
punto ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kk ,0,
4
2
y foco en ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ kk ,0,1
4
2
. Estas parábolas “se alejan” del eje X a medida que
k aumenta
El Paraboloide circular es una superficie no acotada.
En la figura se muestran algunas trazas que resultan de las intersecciones del Paraboloide con planos paralelos al plano coordenado XY. Las intersecciones de la superficie con planos paralelos al plano YZ son circunferencias, por lo tanto se trata de un Paraboloide de revolución.
15> implicitplot3d(y^2+z^2=4*x,x=-1..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[x,z,y]);
c) 14916
222
=−−zyx
. Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada Hiperboloide de dos hojas.
Realizamos a continuación un estudio de la misma para llegar a obtener su representación gráfica: i) Simetrías
Siguiendo los pasos realizados en los ejercicios anteriores, podemos concluir que la superficie es simétrica con respecto a:
• Los tres ejes coordenados • Los tres planos coordenados. • El origen de coordenadas.
ii) Intersecciones con los ejes coordenados:
• eje X: (-4, 0, 0) y (4, 0, 0)
• no existe intersección con el eje Y
• no existe intersección con el eje Z
iii) Intersecciones con los planos coordenados:
• plano XY: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=−
0
1916
22
z
yx, se trata de una hipérbola contenida en el plano XY con focos sobre el
eje X.
• plano XZ: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=−
0
1416
22
y
zx, se trata de una hipérbola contenida en el plano XZ con focos sobre el
eje X.
• plano YZ: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=+
0
149
22
x
zy, no existe ningún punto cuyas coordenadas verifiquen las ecuaciones
del sistema. Por lo tanto no hay intersección con el plano YZ.
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados:
• plano paralelo al plano coordenado YZ: X = k, 11649
222
−=+kzy
Si 4>k , se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje Y, sobre el plano X = k. A medida que k aumenta, las elipses “se agrandan” indefinidamente.
Si 4<k , no hay intersección.
Si 4=k , se obtienen los puntos (-4, 0, 0) y (4, 0, 0).
• plano paralelo al plano coordenado XZ: Y = k, 9
1416
222 kzx+=−
Cualquiera sea el valor de k, resultan hipérbolas con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Y = k. A medida que k aumenta en valor absoluto los planos respectivos se alejan del plano XZ y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.
• plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k, 4
1916
222 kyx+=−
16
Cualquiera sea el valor de k, resultan hipérbolas con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Z = k. A medida que k aumenta en valor absoluto los planos respectivos se alejan del plano XY y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.
Se trata de una superficie no acotada.
En la figura se muestran algunas trazas que resultan de las intersecciones del Hiperboloide de dos hojas con planos paralelos al plano coordenado XY.
> implicitplot3d(x^2/16-y^2/9-z^2/4=1,x=-15..15,y=-15..15,z=-10..10,numpoints=5000, labels=[y,x,z]);
d) 11649
222
=−+zyx
. Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada Hiperboloide de una hoja.
Realizamos a continuación un estudio de la misma para llegar a obtener su representación gráfica: i) Simetrías
Siguiendo los pasos realizados en los ejercicios anteriores podemos concluir que la misma presenta simetrías con respecto a:
• Los tres ejes coordenados • Los tres planos coordenados. • El origen de coordenadas.
ii) Intersecciones con los ejes coordenados:
• eje X: (-3, 0, 0) y (3, 0, 0)
• eje Y: (0, -2, 0) y (0, 2, 0)
• no existe intersección con el eje Z
iii) Intersecciones con los planos coordenados:
• plano XY: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+
0
149
22
z
yx, se trata de una elipse contenida en el plano XY con focos sobre el
eje X.
• plano XZ: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=−
0
1169
22
y
zx, se trata de una hipérbola contenida en el plano XZ con focos sobre el
eje X.
• plano YZ: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=−
0
1164
22
x
zy, se trata de una hipérbola contenida en el plano YZ con focos sobre el
eje Y. 17
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados:
• plano paralelo al plano coordenado YZ: X = k, 9
1164
222 kzy−=−
Si 3<k , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Y, sobre el plano X = k.
Si 3>k , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Z, sobre el plano X = k.
Si 3=k , se obtienen dos rectas de ecuaciones: zy21
±= sobre los planos X= ± 3.
• plano paralelo al plano coordenado XZ: Y = k, 4
1169
222 kzx−=−
Si 2<k , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Y = k.
Si 2>k , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Z, sobre el plano Y = k.
Si 2=k , se obtienen dos rectas de ecuaciones: zx43
±= sobre los planos Y= ± 2.
• plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k, 4
149
222 kyx+=+
Cualquiera sea el valor de k, resultan elipses con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Z = k. A medida que k aumenta en valor absoluto los semiejes de las elipses aumentan indefinidamente.
Se trata de una superficie no acotada.
En la figura se muestra algunas trazas que resultan de las intersecciones del Hiperboloide de una hoja con planos paralelos al plano coordenado XY.
> implicitplot3d(x^2/9+y^2/4-z^2/16=1,x=-6..6,y=-6..6,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[z,x,y]);
e) 94
22 xyz −= . Es la ecuación de una superficie cuádrica llamada Paraboloide hiperbólico.
i) Simetrías
Es simétrica con respecto a:
• eje Z
• planos coordenados YZ y ZX. ii) Intersecciones con los ejes coordenados: el origen de coordenadas (0, 0, 0) iii) Intersecciones con los planos coordenados:
18
• plano XY: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=−
0
049
22
z
yx, se trata de un par de rectas, contenidas en el plano XY que contienen al
de coordenadas, de ecuaciones: xy32
±= , z =0.
• plano XZ: , se trata de una parábola contenida en el plano XZ con foco sobre el eje Z
en el punto
⎩⎨⎧
=−=
092
yzx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
49,0,0 y ramas hacia el sentido negativo del eje z.
• plano YZ: , se trata de una parábola contenida en el plano YZ con foco sobre el eje Z,
en el punto (0, 0, 1) y ramas hacia el sentido positivo del eje z.. ⎩⎨⎧
==0
42
xzy
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados:
• plano paralelo al plano coordenado YZ: X = k, 94
22 kzy+= , o ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
94
22 kzy . Se obtienen
parábolas cuyos vértices se alejan del plano YZ cuando k aumenta en valor absoluto. Las ramas de las parábolas son ascendentes en el sentido positivo del eje Z .
• plano paralelo al plano coordenado XZ: Y = k, 49
22 kzx+−= , o ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
49
22 kzx . Se trata de
parábolas cuyos vértices se alejan del plano XZ cuando k aumenta en valor absoluto.
Si 2<k , las ramas “se abren” en el sentido negativo del eje Z.
Si 2>k , las ramas “se abren” en el sentido positivo del eje Z
• plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k, kxy=−
94
22
. Estas ecuaciones representan
hipérbolas para distintos valores de k.
Si k > 0, el eje focal es paralelo al eje Y.
Si k < 0, el eje focal es paralelo al eje X.
Si k crece en valor absoluto, los planos respectivos se alejan del plano XY y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.
Es una superficie no acotada. En la figura se muestra algunas trazas que resultan de las intersecciones del Paraboloide hiperbólico con planos paralelos al plano coordenado XY. MEJORAR LA SUP
> implicitplot3d(z=y^2/4-x^2/9,x=-10..10,y=-10..10,z=-3..3,numpoints=5000,labels=[y,x,z]);
19
f) 1494
222
=+−zyx
. Es la ecuación de un Hiperboloide de una hoja. La superficie no se intercepta con el
eje coordenado Y. Se muestran dos gráficas de la misma superficie.
> implicitplot3d(x^2/4-y^2/9+z^2/4=1,x=-6..6,y=-6..6,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[z,x,y]); g) . Es la ecuación de una superficie cónica. Realizamos su estudio para representarla luego gráficamente.
04 222 =+− zyx
i) Simetrías
La superficie presenta simetrías con respecto a:
• Los tres ejes coordenados • Los tres planos coordenados. • El origen de coordenadas.
ii) Intersecciones con los ejes coordenados: el origen de coordenadas iii) Intersecciones con los planos coordenados:
• plano XY: , se obtienen un par de rectas por el origen contenidas en el plano XY.
Sus ecuaciones son: 0,⎩⎨⎧
==−
04 22
zoyx
2 =±= zyx .
• plano XZ: , se obtiene el origen de coordenadas. ⎩⎨⎧
==+
0022
yzx
• plano YZ: , se obtienen un par de rectas por el origen contenidas en el plano YZ.
Sus ecuaciones son: 0,⎩⎨⎧
==+−
004 22
xzy
2 =±= xyz iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados:
• plano paralelo al plano coordenado YZ: X = k, 22 , o 24 kzy =− 14
2
2
2
2
=−kz
ky
. Para
distintos valores de k, se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Y. Si k crece en valor absoluto, los planos “se alejan” del plano YZ y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.
• plano paralelo al plano coordenado XZ: Y = k, 22 .Cualquiera sea el valor de k, resultan circunferencias con centro en (0, k, 0) sobre el plano Y = k. A medida que k aumenta las circunferencias “se alejan” del plano XZ y su radio crece indefinidamente.
2 4kzx =+
20
• plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k, 22 o su equivalente 24 kxy =−
14
2
2
2
2
=−kx
ky
. Para distintos valores de k, se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Y.
Si k crece en valor absoluto, los planos “se alejan” del plano XY y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.
Podemos concluir que se trata de una superficie no acotada. Esta superficie recibe el nombre particular de cono circular recto ya que las intersecciones con los planos Y = k son circunferencias con centros sobre el eje Y.
> implicitplot3d(x^2+z^2=4*y^2,x=-15..15,y=-6..6,z=-15..15,labels=[y,x,z]); h) . Esta ecuación es equivalente a: 022 =− zy ( ) ( ) 0=+− zyzy , que representa a un par de planos proyectantes, que contienen al eje X, de ecuaciones: xzyxzy ∀=+∀=− 0;0 . En la gráfica que sigue se muestran ambos planos.
> implicitplot3d([y=z,y=-z],x=-10..10,y=-5..5,z=-5..5,labels=[y,x,z]); 8) Hallar e identificar las ecuaciones de las proyecciones sobre los planos coordenados de las siguientes curvas:
a) ⎩⎨⎧
=−+=+
)18(02)17(
)22
zyxxzy
γ
La ecuación (17) es un paraboloide de revolución que tiene al eje X como eje de rotación. La ecuación (18) representa a un plano que contiene al origen de coordenadas. Si observamos las gráficas de ambas superficies, tal como se muestran en las figuras que siguen, vemos que la intersección entre ambas aparenta ser una circunferencia o una elipse.
• Si despejamos x en (18) y reemplazamos en (17) obtenemos la ecuación:
xzyzy ∀=−++ 0222 (19).
Todo punto cuyas coordenadas satisface el sistema también satisface la ecuación (19) que
es consecuencia del sistema. ⎩⎨⎧
=−+=+
02
22
zyxxzy
21
No vale la recíproca, es decir, existen puntos cuyas coordenadas satisfacen (19) pero no el sistema.
Completando cuadrados en (19) se obtiene: ( ) xzy ∀=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
45
211
22 , que representa una superficie
cilíndrica (que contiene a la curva γ ) con generatrices paralelas al eje Z. La misma es un cilindro proyectante sobre el plano YZ.
La proyección de )γ sobre el plano YZ, resulta de la intersección del cilindro proyectante con el plano YZ. Se
trata de la circunferencia de ecuaciones: ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
045
211
22
x
zy. Su centro es (0, -1,
21
) y su radio 25
.
Las dos primeras gráficas muestran diferentes vistas de las superficies (17) y (18). La tercera y cuarta incluyen al cilindro proyectante cuyas ecuaciones están dadas en (19). La quinta muestra la circunferencia (proyección de )γ sobre el plano YZ).
> implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0],x=-1..6,y=-3..3,z=-4..4,numpoints=2000,labels=[x,z,y]); > implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0,(y+1)^2+(z-1/2)^2=5/4],x=-1..6,y=-3..3,z=-4..4, numpoints=2000,labels=[x,z,y]); > implicitplot((y-1)^2+(z-1/2)^2=5/4,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000); • Procediendo de la misma forma, para obtener la ecuación de la curva proyectada sobre el plano XZ despejamos la variable y de (18) y la reemplazamos en la (17), resultando:
yxzzx∀=−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +− 0
22
2
, que representa una superficie cilíndrica (que contiene a la curva γ ) con
generatrices paralelas al eje Y (cilindro proyectante sobre el plano XZ). La curva )γ proyectada sobre el plano XZ es el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas verifican las ecuaciones:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
0
02
22
y
xzzxo ⎩⎨⎧
==−+−
00452 22
yxzxzx
Como en la primera de ellas aparece el término x z será necesario efectuar una rotación de ejes para obtener su forma reducida. Se deja como ejercicio comprobar que se trata de una elipse.
22
> implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0,x^2-2*x*z+5*z^2-4*x=0],x=-1..6,y=-3..3,z=-4..4,numpoints=2000,labels=[x,z,y]); > implicitplot(x^2-2*x*z+5*z^2-4*x=0,x=-5..5,z=-5..5,numpoints=5000); • Por último, despejamos la variable z de (18) y la reemplazamos en (17), para obtener:
zxyxyx ∀0=5+4+ 22 , que representa una superficie cilíndrica (que contiene a la curva γ ) con generatrices paralelas al eje Z (cilindro proyectante sobre el plano XY).
La proyección de )γ sobre el plano XY es la curva de ecuaciones: . Es necesario
efectuar una rotación para obtener la forma reducida. Verifique que se trata de una elipse. ⎩⎨⎧
==−++
0054 22
zxyxyx
> implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0,x^2+4*x*y+5*y^2-x=0],x=-1..6,y=-3..3,z=-4..4,numpoints=2000, labels=[x,z,y]); > implicitplot(x^2+4*x*y+5*y^2-x=0,x=-5..5,y=-5..5,numpoints=5000);
b) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
=−
)21(022
)20(234)
22
yx
zyxγ
La primera de las ecuaciones corresponde a un paraboloide hiperbólico y la segunda a un plano proyectante sobre el XY. • Si despejamos 22 −= yx en (21) y reemplazamos en (20) obtenemos la ecuación:
( ) xzyy∀=−
− 234
22 22
, Trabajando algebraicamente se obtiene: xzy ∀⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
413
23 2
, ecuación
que representa una superficie cilíndrica (que contiene a la curva γ ) con generatrices paralelas al eje X.
La proyección de )γ sobre el plano YZ resulta de la intersección del cilindro proyectante con ese plano.
23
Es una parábola de ecuaciones: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
0413
23 2
x
zy. En las figuras que siguen se muestran las
superficies y la curva.
> implicitplot3d([x^2/4-y^2/3=2*z,x-2*y-2=0,(y-3/4)^2=3/2*(z+1)],x=-8..8,y=-8..8,z=-4..4,numpoints=2000, labels=[y,x,z]); > implicitplot3d((y-3/4)^2=3/2*(z+1),x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=2000, labels=[y,x,z]);
• Para obtener la ecuación del cilindro proyectante sobre el plano XZ , despejamos 12+=
xy de la
ecuación (21) y lo reemplazamos en la (20), obteniendo: ( ) yzx ∀⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=−
41121 2 . La proyección del
cilindro parabólico sobre el plano XY es la parábola de ecuaciones: ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=−
041121 2
y
zx. En las figuras
que siguen se pueden ver las superficies y la curva proyectada.
> implicitplot3d([x^2/4-y^2/3=2*z,x-2*y-2=0,(x-1)^2=12*(z+1/4)],x=-8..8,y=-8..8,z=-4..4,numpoints=2000, labels=[y,x,z]); > implicitplot3d((x-1)^2=12*(z+1/4),x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=2000, labels=[y,x,z]);
• La curva 0=2+2
2=34)
22
yx
zyx
λ está contenida en el plano proyectante: zyx ∀=+− 022 .
La proyección de )λ sobre el plano XY son los puntos de la recta: (traza del plano
proyectante sobre el sobre XY). ⎩⎨⎧
==+−
0022
zyx
24
c) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=++
)23()22(16
)22
222
zyxzyx
γ
La ecuación (22) corresponde a una esfera y la (23) a un parabolide de revolución. • Para encontrar la ecuación de la curva proyectada sobre el plano XY, reemplazamos en (22) 22 yx + por
z, resultando: yx . Esta ecuación se verifica para zz ∀∧∀=−+ 0162 yx ∀∧∀z +−=
2651
y
yxz ∀∧∀+−
=2
651(representan un par de planos paralelos al XY).
La curva λ ) está contenida en el plano yxz ∀∧∀+−
=2
651. Podemos representar a la misma a través
de los sistemas: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
=+
2651)
22
z
zyxγ o equivalentemente
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=+
2651
265122
z
yx. En el primer sistema la curva
se expresa como intersección del paraboloide de revolución con el plano, en el segundo sistema la curva se expresa como intersección del cilindro con el plano. La curva )γ es una circunferencia con centro en el punto
(0, 0, 2
651+− y radio
2651+−
.
X
Y
Z
La proyección de )γ sobre el plano YZ son los puntos del segmento que verifican:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+−=
+−≤
=
26512
651
0
z
y
x
.
• La proyección sobre el plano XZ son los puntos del segmento que verifican:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+−=
=
+−≤
2651
02
651
z
y
x
.
25
• La proyección sobre el plano XY es la circunferencia de ecuaciones ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+−=+
02
65122
z
yx. ver
Se muestran las gráficas de las superficies que determinan )γ y su proyección sobre el plano XY.
> implicitplot3d([x^2+y^2+z^2=16,x^2+y^2=z],x=-5..5,y=-5..5,z=-4..8,numpoints=2000,labels=[y,x,z]); > implicitplot3d(x^2+y^2+(x^2+y^2)^2=16,x=-3..3,y=-3..3,z=-5..5,numpoints=5000);
26