Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Curvas de nível

Objetivos da unidadeDesenvolver experimentalmente a ideia de projeção ortogonal;1. Aprimorar a capacidade de visualização e associação de figuras 2. tridimensionais a uma representação plana;Aplicar o conhecimento geométrico a situações de caráter prático 3. por meio da construção de curvas de nível.

O experimento

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Geometria e medidas

O experimento

SinopseEste experimento propõe o estudo das curvas de nível e suas aplicações, usando massa de modelar. A partir da construção de um relevo, é possível desenhar suas curvas de nível e seu perfil topográfico. O caminho contrário também pode ser feito: a partir de um conjunto de curvas, podemos obter o formato do acidente geográfico.

ConteúdosGeometria Plana; �

Geometria Espacial, Paralelismo entre Planos, Projeções Ortogonais. �

ObjetivosDesenvolver experimentalmente a ideia de projeção ortogonal;1. Aprimorar a capacidade de visualização e associação de figuras 2. tridimensionais a uma representação plana;Aplicar o conhecimento geométrico a situações de caráter prático por 3. meio da construção de curvas de nível.

DuraçãoUma aula dupla.

Curvas de nível

Curvas de nível O Experimento 2 / 14

Introdução

Olhando para um mapa topográfico, podemos notar diversas curvas de cor castanho. São as chamadas curvas de nível, que mostram pontos do mapa de mesma altitude. As curvas de nível são usadas por vários tipos de profissionais como geólogos, engenheiros, cartógrafos, agrônomos etc e suas aplicações vão desde análise de erosões até manobras militares. Na mate­mática também são usadas no estudo de funções, quando queremos transformar gráficos com 3 dimensões em figuras planas. Este experimento propõe aos alunos que construam curvas de nível, identifiquem um relevo a partir desse tipo de representação e discutam sobre suas aplicações.

Material necessário

Massa de modelar; �

Palitos de sorvete; �

Linha de costura ( � ou linha de anzol);Régua. �

fig. 1

Preparação

Divida a sala em grupos de 4 alunos. Cada equipe deverá receber duas porções de massa (aqui foi utilizado 200 g de massa por porção), dois palitos de sorvete, um pedaço de linha de costura (em torno de 30 cm) e uma Folha do Aluno. A quantidade de alunos por grupo pode variar conforme a disponibilidade de massa de modelar.

Tipos de relevos

Esta etapa consiste na apresentação de alguns tipos de relevos a seus alunos. É interessante iniciar com uma discussão sobre quais relevos eles conhecem. Aqui estão sugeridos cinco acidentes geográficos. Peça para que os alunos os construam rapidamente com a massa, enquanto discute sobre o formato de cada um.

etapa

Peça aos alunos �

para dividir a massa recebida entre todos do grupo. Assim, cada aluno poderá fazer a sua construção nessa etapa.

EspigõesEste tipo de relevo tem como principal característica a presença de um sequência de morros com formas topográficas convexas.

Vales em formato "V"

fig. 2

fig. 3

Caso seja necessário, �

relembre o que significa uma figura ser convexa.

Vales abertos em formato “U”

Selas

fig. 4

fig. 5

O círculo vermelho �

na figura indica o relevo em questão.

Morros Redondos

Curvas de nível

Nesta etapa, os alunos aprenderão sobre as curvas de nível e como construí-las. As curvas de nível são as linhas que representam pontos de mesma altitude no relevo em um mapa. As figuras 7, 8 e 9 mostram exemplos dessas curvas.

fig. 6

etapa

fig. 7

fig. 8

fig. 9

300

300

200

350

200150

100

50

250

150

Observe que as curvas de nível são obtidas pela intersecção do relevo com planos paralelos que mantêm a mesma distância entre si. Essas intersecções, projetadas ortogonalmente sobre um plano, determinam as curvas de nível, conforme indicado na figura abaixo.

Os números mostrados nas linhas se referem à altura do plano que contém aquela linha. O indica o local do pico de um morro e o ponto mais baixo de um vale. Também

Manter a mesma distância �durante o corte garante que informações, como inclinação do relevo, por exemplo, não sejam perdidas.

Maiores informações �sobre projeção ortogonal são encontradas no Guia do Professor.

fig. 10

456

440432

42020m

20m400

equidistância vertical

416

432416

456440420400

é indicado o valor de sua altura, já que os cortes feitos podem não mostrar exatamente sua localização. Neste momento, os alunos devem construir as curvas de nível de um relevo. Eles devem seguir o roteiro abaixo, como na Folha do Aluno:

Construa com a massa um tipo de relevo. Fica a critério do professor se será feita uma construção por grupo ou se cada aluno fará a sua.

Marque nos palitos de sorvete, com a ajuda de uma régua, intervalos de 1,5 cm. Esse valor é uma sugestão para construções com 200 g de massa. Valores maiores para a distância entre os planos fornecem poucas curvas, o que impossibilita uma descrição adequada, e distâncias menores dificultam o corte.

Varie a distância entre �

as marcas nos palitos de acordo com a quantidade de massa disponível para cada grupo.

fig. 11

Amarre as pontas da linha, uma em cada palito.

Faça cortes em sua montanha, começando de baixo, de 1,5 em 1,5 centímetros (segure a massa caso o relevo ameace desmoronar durante o corte).

fig. 12

fig. 13

Não amarre a linha muito !forte, pois ela tem que deslizar pelo palito.

Desenhe os cortes em seu caderno.

Diga aos alunos para �

começar a desenhar as curvas de baixo. Isso facilita a visualização da localização dos outros cortes.

fig. 14 Corte próximo da base.

fig. 15 Corte próximo do topo.

fig. 16

Meça a altura dos picos (ou vales) que ficaram entre os cortes e marque-os com um na curva.

fig. 17

Para uma medida mais �

precisa, marque com um lápis a distância do pico (ou do vale) e meça com a régua.

fig. 18

Nas formas mais comuns de relevo, as curvas de nível não se cruzam! Os relevos que gerariam cruzamento são raríssimos. Tente imaginar uma situação em que isso ocorra.

Reconstrução e comparação

de relevos

Nesta etapa, peça para que cada grupo faça uma construção de um tipo de relevo usando apenas uma porção da massa recebida, guardando o restante para ser usado posteriormente. Instrua-os a não mostrar para os outros grupos o relevo construído.

fig. 19

Atenção!

etapa

Como na Etapa 2, cada grupo deverá seccionar o relevo e construir as curvas de nível que deverão ser desenhadas numa folha separada e entregues ao professor. O relevo construído deverá ser guardado para comparação futura.

fig. 20

fig. 21

As folhas entregues deverão ser redistribuídas entre os grupos e, para que a atividade fique mais interessante, eles não devem saber a origem das construções. Agora, cada grupo tem em mãos as curvas de nível de um relevo desconhecido. Os alunos devem tentar reconstruir este relevo a partir das curvas de nível recebida. A figura 22 ilustra uma etapa da reconstrução.

Use uma das massinhas recebidas para fazer o relevo inicial, e a outra para a fase de reconstrução. Isto é, cuide para que o relevo inicial não desmanche!

A figura 23 mostra como ficaria o relevo da figura 21 reconstruído. É possível chegar bem próximo do relevo original.

Lembre os alunos que �

a distância entre os cortes deve ter o mesmo valor da espessura da massa no molde.

Atenção!

fig. 22

O professor pode reunir em sua mesa os relevos originais de cada grupo. Assim, terminada a reconstrução, os alunos poderão tentar identificar qual foi o modelo que originou o desenho.

Perfil topográfico

A partir das informações fornecidas por uma curva de nível, é possível obter uma linha conhecida por perfil topográfico do relevo. Essa linha representa as declividades e altitudes (cotas) do terreno, como mostrado no exemplo abaixo.

fig. 23 Reconstrução do relevo da fig. 21.

O relevo do exemplo �

é o Pão de Açúcar e o Morro da Urca, ambos localizados no Rio de Janeiro. Podem ser mostrados outros perfis de lugares famosos como motivação aos alunos.

etapa

Os alunos podem representar o perfil topográfico de uma linha horizontal do terreno, isto é, representar os aclives e declives que encontrariam se percorressem essa linha. Perceba que o perfil nada mais é que um gráfico que relaciona distâncias horizontais com as cotas dos pontos. Cada aluno deve fazer o perfil de um dos conjuntos de curvas de nível construídos por ele. Para isso, siga os seguintes passos:

fig. 24

5050

100

100

150

200

150200

250300350400

0

100

200

300

400

pão de açúcarmorro da urca

urca

Escolha a linha 1. que determinará o perfil a ser representado;

Trace perpendiculares à reta 2. pelas intersecções com as curvas de nível. Pode já ser construído um eixo cartesiano onde será construído o perfil. O eixo terá o valor das alturas;

fig. 25

Esboce retas paralelas equidistantes à 3. , indicando em cada uma o valor da cota correspondente;Determine a intersecção de cada paralela 4. com as perpendiculares relativas à curva de nível correspondente;

fig. 26

Una os pontos determinados.5.

fig. 27

fig. 28

O que indicam as curvas de nível consecutivas muito afastadas? E as muito próximas?

Podemos observar que curvas de nível próximas significam terrenos mais íngremes, e, quanto mais distantes as curvas de nível, mais suave é a inclinação do relevo em questão.

AplicaçõesDiscuta com seus alunos as aplicações das curvas de nível e perfis topográficos. Ambos são temas essenciais para geólogos, cartógrafos, agrônomos e outros profissionais, podendo ser utilizados para interpretação de evolução de erosões do terreno, cálculos de volume de terra ou aplicações militares. Proponha a seus alunos o seguinte problema de aplicação: Na figura a seguir, temos um trecho da carta topográfica de uma certa região. No ponto localiza-se uma torre de trans-missão de TV e no ponto encontra-se uma casa. As curvas de nível representam diferenças de cota de 20 m.

Interpretação das curvas

Construa o perfil da linha do terreno.Sugestão: adote 1 cm = 20 m como escala vertical.

Feito o perfil, questione-os:

No ponto existe uma torre de TV. A casa situada em recebe esse sinal?

Para resolver essa questão, os alunos devem fazer o perfil topográfico como mostrado na figura 30.

+347A

B

+275casa

casa

igreja

+305

+270

300

300

300rio branco

rio negro

rio v

erde

fig. 29

Interpretação das curvas

Pense e responda

Note que, a partir da curva �

de nível de cota 300, é possível saber a cota de todas as outras curvas.

O traço azul representa o sinal de TV. Pode-se observar que este não alcança . Assim, podemos concluir que a casa localizada em não recebe o sinal de TV da torre localizada em .

fig. 30

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutoresMiriam Sampieri Santinho, Rosa Maria Machado e Wilson Roberto Rodrigues

Coordenação de redaçãoRita Santos Guimarães

RedaçãoMariana Sacrini Ayres Ferraz

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos Patrocínio Língua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico Preface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto