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Curvas de nivel
Beatriz Brito Martínez
Facultad de Ciencias, UNAM
16 de marzo de 2017
Contenido
1 Motivación
2 Definición
3 Ejemplos
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Terreno
Un mapa es una reproducción plana y a escala reducida de una zonade terreno que nos va a permitir la visualización de un sector de lasuperficie terrestre como si se contemplara desde una visión aérea.
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Curvas de nivel
DEFINICIÓN: • Se denominan curvas de nivel a las líneas que marca-das sobre el terreno desarrollan una trayectoria que es horizontal, estasestán a la misma altura sobre o bajo el nivel del mar. Por lo tanto po-demos definir que una línea de nivel representa la intersección de unasuperficie de nivel con el terreno. Las curvas de nivel no se cruzan entresi. Deben ser líneas cerradas, aunque esto no suceda dentro de las líneasdel dibujo. Cuando se acercan entre si indican un declive mas pronun-ciado y viceversa. La dirección de máxima pendiente del terreno quedaen el ángulo recto con la curva de nivel
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Terreno y curvas de nivel
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Terreno y curvas de nivel
A partir de información se puede identificar las forma morfológica delterreno.
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Definición
DefinitionDado un campo escalar de dos variables por la expresión z = F (x, y) ,se llama curva de nivel k al conjunto de puntos(x, y) del dominio de Fpara los cuales F (x, y) = k .
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Definición
DefinitionSi F : R3 → R es una función de tres variables, cuyos valores seobtienen mediante la expresión u = F (x, y, z) , la función no tienerepresentación gráfica usual, pero pueden hallarse sus superficies denivel, es decir , haciendo u = k se obtiene para los distintos valores dek, una familia de superficies.
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Ejemplos
Definition
x2 + y2 + z2 = r2
Ahora seaz =
√r2 − x2 − y2
De donde las curvas de nivel son z = K tal que k es una constantepositiva.
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Ejemplos
Definition
A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = r2 y z ∈ R}
Ahora Como z ∈ Rx2 + y2 = r2
De donde las curvas de nivel son x2 + y2 = r2 para todo z = k.
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Ejemplos
Definition
f(x, y) = x2 + y2
Ahora z = f(x, y)z = x2 + y2
De donde las curvas de nivel son k = x2 + y2 para todo z = k. Dondek es una constante.
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Ejemplos
Definition
f(x, y) =(xa
)2+(yb
)2Ahora z = f(x, y) (x
a
)2+(yb
)2− z = 0
De donde las curvas de nivel son k =(xa
)2+(yb
)2para todo z = k.
Donde k es una constante.
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Ejemplos
[Silla de montar]
Definition
f(x, y) =(xa
)2−(yb
)2Ahora z = f(x, y) (x
a
)2−(yb
)2− z = 0
De donde las curvas de nivel son k =(xa
)2−(yb
)2para todo z = k.
Donde k es una constante.
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Gracias
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