cursul meu 6 .transformata fourier

8/18/2019 Cursul Meu 6 .Transformata Fourier

1/37

CURS 6 Teoria sistemelor mecatronice

2.Transformata Fourier

∼

Fie o functie oarecare f(t), fig. 3.4. Sa consideram in figura 3.5 o functie periodica f (t ) , de perioada T, formata prin repetarea portiunii functiei f(t) cuprinsa intre –T/2 si T/2.

Fig.3.4 Fig.3.5

∼

Functia f (t ) se poate descompune in serie complexa Fourier.


2/37


3/37

∞∫ F ( jω ) ⋅ e jω t d ω

("2)

2π −∞

si

F(jω)

∞∫

f (t ) ⋅ e − jω t dt

("3)

−∞


4/37

relatia ("3) se numeste transformata Fourier a functiei f(t) sau spectrul frec ential al acesteifunctii, iar relatia ("2) integrala Fourier inversa sau transformata Fourier inversa .

Transformata Fourier se notea$a

F(+ ) F-f(t)("4)

iar transformata Fourier in ersa *

f(t) F-1

-F(+ )

("5)

armen 0u+oreanu "


5/37


Se demonstrea$a ca transformata Fourier exista numai in ca$ul in ca$ul functiilor continue detimp in orice t si care satisfac in plus conditia *

∞∫ f (t ) dt 0 si tg ωt nu admit transformata Fourier.

Din cele de mai sus, rezulta ca, du a cum o functie eriodica oarecare se oate descom une

in seria Fourier si are un s ectru de frecvente discret (! " , 2 ! " , #! "$..), tot astfel o functiede tim oarecare, ne eriodica, este ec%ivalenta cu integrala Fourier si are un s ectru defrecventa continuu, continand in general toate frecventele osi&ile .

' em lul

Fie


6/37

f(t) "(t)

F-f(t) F -"(t)

∞∫ "(t ) ⋅ e − jω t =

∞∫ e− jω t dt = −

"

∞

"

1tunci

⋅ e − jω t


7/37

=

jω

jω

−∞

!

!


8/37

' em lul 2

Sa se determine transformata Fourier a functiei de timp data in fig. 3. (Se'astian p.243)

F-f(t) F(+ )

∞

∫

f(t ) ⋅ e− jω t dt= ∫τ

"

⋅ e − jωt dt =

cos( ω ⋅ τ )

2 ⋅ τ


9/37

ω ⋅ τ

−∞

−τ

Se considera ca in acest ca$ F(+ ) este o functie reala. 1ceasta se datorea$a faptului ca f(t) este ofunctie para. epre$entarea grafica a functiei F (+ ) este data in figura 3. '.

aca 6 % !, atunci semnalul din figura 3. a de ine un impuls irac, ∂(t ) . 7n acest ca$, cos( ω ⋅ τ )= ω · τ si deci F(+ ) ".

e$ulta deci ca spectrul de frec enta al impulsului unitar este constant si egal cu " (fig.3. c).

1cest exemplu pune in e identa corelatia care exista intre durata unui semnal si spectrul defrec enta corespun$ator. u cat semnalul respecti durea$a mai putin, cu atat spectrul sau defrec enta este mai larg, deci pentru reproducerea lui este necesara o 'anda de frec ente tot mailarga.

armen 0u+oreanu 2


10/37


Fig.3.6


11/37

*m ortanta transformatei Fourier

7mportanta transformatei Fourier in TS consta in faptul ca ea sta la 'a$a metodei frec entiale destudiu a S8 S. 9 notiune fundamentala pentru aceasta metoda este cea de raspuns la frec enta.

aspunsul la frec enta al unui sistem este raspunsul lui fortat (considerat in regim permanent), pro ocat de un semnal de excitatie armonic (sinusoidal). Factorul de amplificare complex, caredetermina complet raspunsul la frec enta al unui S8 S este dat de raportul dintre transformataFourier a marimii de iesire si cea a marimii de intrare si re$ulta imediat daca este cunoscutaecuatia diferentiala a sistemului respecti (nu necesita integrarea ecuatiei diferentiale)

e exemplu, ecuatia din cursul 4

d 2 y(t )

+2ξω n

dy (t )

2

2

! < ξ


12/37

+ω n

y(t ) = kω n u(t )

are factorul de am lificare com le urmatorul *

armen 0u+oreanu 3


13/37


H ( jω ) =

y ( jω)

=

k ⋅ ω n2

=

k⋅ ω

n

2

(functia de raspuns in frec enta la

u ( jω)

( jω ) 2 + 2ξω


14/37

n

jω + ω 2

ω 2

− ω 2 + j

2ξω ω

n

n

n

la amorti$area ascoasa)

eci, proprietatile interne ale sistemului sunt reliefate de raspunsul lui la frec enta si deoarece totele determina raspunsul la orice alt semnal de excitatie, este de presupus ca unele din proprietatile

raspunsurilor la semnalele deterministe con entionale, or fi reliefate de catre parametriiraspunsului la frec enta. 1ltfel spus, pe 'a$a raspunsului la frec enta putem formula anumiteconclu$ii pri ind raspunsul sistemului la un alt semnal de excitatie.

#.# Te%nici de calcul &azate e transformata +a lace (Se'astian, 9la:)


15/37

a. Transformata +a lace

7deea de 'a$a (a metodelor operationale) de re$ol are a ecuatiilor diferentiale consta in asociereafiecarei functii f(t) de aria'ila reala t , numita original , a unei functii F(s) , de aria'ilacomplexa s ; < + , numita imagine .

1ceasta asociere este &iunivoca si se caracteri$ea$a prin aceea ca operatiilor de deri are si deintegrare aplicata functiilor originale, le corespund operatii alge'rice aplicate imaginilor. aurmare, ecuatiilor diferentiale intre originale le corespund ecuatii alge'rice intre imagini.

Deci, ro&lema rezolvarii ecuatiilor diferentiale se reduce la ro&lema rezolvarii ecuatiiloralge&rice.

1pare insa inter retarea mai dificila a re$ultatelor o'tinute in domeniul functiilor imagine. eaceea, folosind corespondenta 'iuni oca se trece din nou in domeniul functiilor original.

t

f(t)

re$ol are

solutie

s


16/37

F(s)

re$ol are

solutie

armen 0u+oreanu 4


17/37


Transformata +a lace &ilaterala a unei functii f(t) de aria'ila reala timp este definita de relatia *

L-f(t) F(s)

∞∫ f (t ) ⋅ e − st dt (" )

−∞

si, dupa cum se constata, ea se o'tine formal inlocuind in transformata Fourier aria'ilaimaginara jω cu aria'ila complexa s = σ jω .

=xpresia din relatia (" ) este imaginea 'ilaterala a functiei de timp f(t)(>ierre Simon 8aplace"?4@ "A2? astronom, matematician, fi$ician france$).

aca rel. ("2) se scrie su' forma ("?) si apoi se inlocuieste formal jω cu s se o'tine *

f (t ) =

"

+ jω

F ( jω) ⋅ e jωt d ( jω)

("?)


18/37

2π j −∫ jω

"σ + jω

f (t ) =

∫


19/37

F ( s ) ⋅ e st ds L-1-F(s)

pentru σ >σ !

("A)

2π j

σ − jω

elatia ("A) (integrala 0romBic: Cagner) defineste transformata +a lace inversa , f(t)denumindu se functia original.

*n TS, se utilizeaza mai mult transformata +a lace o&isnuita, careia de aici inainte ii voms une sim lu transformata +a lace si o ereaza cu functii de tim care se considera nule la t

" . 1re urmatoarea forma *

L-f(t) F(s)


20/37

∞∫ f( t) ⋅ e− st dt=∞∫

!

!

9'ser am ca tinand cont de formula lui =uler *("@) de ine *

f ( t ) ⋅ e − σ t ⋅ e − jω t dt

("@)

e − jω t = cos( ω t ) − j sin( ω t ) , ultima integrala

∞

∞

L-f(t) ∫ f(t) ⋅ e σ t ⋅ cos( ω t ) dt −

j ∫f(t) ⋅ e σ t ⋅ sin( ω t )dt

(2!)

!

!

e aici rezulta ca transformata +a lace a unei functii de tim este o functie com le a .

armen 0u+oreanu 5


21/37


-ro rietati ale transformatei +a lace

teorema liniaritatii * L-# "D f(t) < # 2D g(t) # " DF(s)< # 2DE(s) teorema intarzierii *L -f(t 6) es6 D F(s)

teorema derivarii originalului *

L

df (t )

sDF(s) – f(!)

dt


22/37

d

2

f (t )

=s2DF(s) sDf(!) – f (!)

L


23/37

(ultimii doi termeni repre$inta

2

dt

polinoamele alorilor initiale pentru conditii initiale nule)

L d n f n(t ) = snDF(s)


24/37

dt

teorema integrarii originalului *

t

"

L

∫ f (t )dt

=

⋅ F ( s)

s


25/37

!

7n literatura de specialitate exista ta'ele cu transformatele 8aplace u$uale (directa si in ersa).

&. Functia de transfer

Fie un sistem mono aria'il liniar continuu si stationar descris de ecuatia diferentiala *

n

n −"

•

!

! −"

•

an ⋅ y+ a n −"

⋅ y + ......


26/37

+ a" ⋅ y + a!

⋅ y = " !

⋅ u+ "! −"

⋅ u + ......

+ "" ⋅ u+ "!

⋅ u (2")

in care m G n.

Se considera ca in momentul excitarii sale sistemul se afla in starea de ec%ili&ru (de $ero) si u(t)/ " pentru tH!, deci nu apar polinoamele conditiilor initiale. 9perand transformata 8aplace termencu termen se o'tine urmatoarea expresie operationala a ecuatiei diferentiale (2") *

n

n −"

•

!

! −"

•

a n ⋅ #( y)+ a n −"

⋅ # ( y ) + ......

+a" ⋅ # ( y )+a !

⋅ # ( y ) = "!

⋅ #( u) + "! −"

⋅ # ( u ) + ......

+"" ⋅ # (u ) +"!


27/37

⋅ # ( u)

armen 0u+oreanu


28/37


a

n

⋅ sn

⋅ $ ( s) + a

n−"

⋅ s n −" ⋅ $ ( s ) + ...... + a ⋅ s ⋅ $ ( s) + a

!

⋅ $ ( s) =

"


29/37

= " ⋅ s ! ⋅ % ( s ) + "

⋅ s ! −" ⋅ %( s ) + ...... + " ⋅ s ⋅ %( s ) + " ⋅ %( s)

!

! −"

"

!

e$ulta *


30/37

( a ⋅ s n + a

⋅ s n−"

+ ...... + a ⋅ s + a ) ⋅ $ ( s ) = ("

⋅ s ! + "

⋅ s ! −" + ...... + " ⋅ s + " ) ⋅ %( s)

(22)

n

n −"

"

!

!

! −"

"

!


31/37

9'isnuit, polinoamele in s sunt notate cu I(s) si >(s), deci a em *

-(s)01(s) / (s)0 U(s)

in aceasta relatie, expresia operationala a marimii de iesire este *

& ( s)

-1

-1 & ( s)

$ ( s ) =

⋅ % ( s )

⇒


32/37

y (t ) = L

-J(s) L

⋅ % ( s)

(23)

' ( s)

' ( s)

>entru a re eni in domeniul real al timpului(deci, trecerea din domeniul s in cel al tim ului t), tre'uie efectuata transformata 8aplace in ersa.

3&servatie. iferenta mare intre transformata 8aplace si transformata Fourier consta in aceea ca ultima nu tine cont de conditiile initiale ale ecuatiei alge'rice in care se transforma ecuatiadiferentiala (2") prin aplicarea transformatei 8aplace

>roprietatile interne ale sistemului sunt determinate de coeficientii a o,KK..,a n ai ecuatiei

operationale. Transferul informational insa, este determinat in plus si de coeficientii ' o,KK..,' m ai functiei de excitatie. e aceea pentru caracteri$area transferului informational reali$at de unsistem descris de relatia (2") se poate constitui o functie, de aria'ila s, continand atat coeficientii

ao,KK..,a n ,cat si coeficientii ' o,KK..,' m. 9 asemenea functie se numeste transformataoperationala.


33/37

Se denumeste deci functie de transfer (f.d.t) urmatoare transferanta operationala *

H ( s) =

"

⋅ s !

+ "

⋅ s ! −"

+ ...... + " ⋅ s +"

!

! −"

"

!

(24)


34/37

⋅ sn

+ ...... + a ⋅ s + a

a

n

+a

−"

⋅ s n −"

n


35/37

"

!

in relatia (22) re$ulta ca *

H ( s) =


36/37

$ ( s)

L

- y (t )

=

& ( s)

(25)

% ( s)

L u-(t )

' ( s)


37/37

armen 0u+oreanu ?

cursul meu 6 .transformata fourier

Documents