curso topografia ii

8/18/2019 Curso Topografia II

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UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREALFACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

TOPOGRAFÍA IICODIGO: 8A0014

SEMESTRE ACADEMICO: 2012-I-II

CREDITOS: 06

CONDICION: OBLIGATORIO

HORAS POR SEMANA: TEORIA: 04 PRACTICA: 04

PRE-REQUISITO: TOPOGRAFIA I

Por: FRANCI B. CRUZ MONTES

Lima, Abril 2012


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INTRODUCCIÓN

El presente texto Topografia II es un aporte de fundamental importancia para el estudianteo técnico, ya sea que se desempeñe en el ámbito académico o como operador en el sectorempresarial público o privado, y sale a la luz porque hacía falta adicionar a la bibliografíaexistente una obra de consulta acorde con las exigencias de la asignatura actualizada.

Los textos disponibles para la enseñanza de Topografía, no son en la actualidad suficientesy disponibles y en general, requieren ser combinados con un conjunto de teorías y ejemplos prácticos para que se puedan contrastar con los trabajos que se realizan en la ingeniería.

Los temas que se presentan es un esfuerzo para implementar el aspecto teórico y seacompañan ejemplos desarrollados para su fácil comprensión. Es un documento de estudio,que sirve de consulta y referencia aplicada a la topografía.

Este trabajo proviene de una minuciosa recopilación y aplicación de datos desde cuando eraalumno de ICTSA en 1970, Institución que dirigía el Ingeniero Civil Enrique Gutiérrez

Correa; sin embargo la mayoría de los temas se vienen dictando en la Universidad NacionalFederico Villarreal-Facultad de Ingeniería Civil en el Curso de Topografía II, y que elmismo Ingeniero Gutiérrez dictaba sus cátedras con gran acierto y esmero hasta el año2003. De allí provienen estos temas a nivel de tareas, prácticas calificadas, dirigidas yexámenes. Por ello mi reconocimiento infinito al Ingeniero Enrique Gutiérrez que nos hadejado un bagaje de conocimientos topográficos y que sus seguidores continuaremos por lasenda de la educación. En base a la documentación encontrada y otros aportes de nuestraexperiencia en este campo, presentamos al alumno, al técnico, al profesional de Ingeniería para que sirva de consulta y aplicación en los diversos campos de la vida diaria.

Se ha organizado el documento en secuencia como señala el silabo de la asignatura de

Topografía II, dictado en un semestre académico. Cada tema es un tópico seleccionado y presentan una revisión teórica de las herramientas más importantes que deben ser tomadasen cuenta para resolver los ejemplos que se acompañan.

Respecto a la innovación de los nuevos instrumentos electrónicos en este campo así comootras aplicaciones de la topografía, se adjunta en las últimas páginas de manera práctica lasguías para el uso de las Estaciones Totales como de la Nikon DTM-420, South NTS-352R,Topcon GPT-3107W, así también del GPSmap 60 csx.

No será una obra completa pero esperamos que cumpla con las expectativas, y exigenciasdel quehacer de la Ingeniería y estamos a su disposición para recibir las críticasconstructivas y cualquier aclaración de los temas expuestos.

Franci Cruz Montes


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TOPOGRAFÍA II

FORMA DE LA TIERRA

En Astronomía práctica la tierra se considera como una esfera perfecta.

En Geodesia la tierra se considera como un elipsoide de revolución.

En Topografía la tierra se considera como plana. El límite de la Topografía alcanza hasta 25 km dedistancia aproximadamente, considerándose dentro del campo de la Topografía una superficie de625 km2.

E’1 E’2

E’n-3E’n

E’n-1 E’n-2

En-2

En-1

En

E1

E2

En-3

?

N S

Z

A

h

A1

c

z

H

z 90 h0º h 90º

0º Z 360º

c : Cenit

: Nadir

N : Norte

S:Sur

H : Horizonte

Z=P

P

P1

O

O´G

r

X

Q’ Y=Q

2 2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

2

2

2 2

X Y Z1

a b

a bf

a

a be

a

a be'

b

e 2f f


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INSTRUMENTOS DE LA TOPOGRAFIA

Los instrumentos fundamentales son:a) Brújula b) Nivel de Ingenieroc) Teodolito, teodolitos electrónicos, distanciómetrosd) Estaciones totales

e) Sistema de Posicionamiento Global (GPS)

Brújula Colgante (Minas)

Brújula Brunton

Nivel de Ingeniero Wild NAK2

La

1

2

C O N D

O R

T I G R E

A G U I L A

L E O N

D R

D

R

D

R

P r o m

e d i o

P r o m e d i o

P r o m e d

i o

D=LecturaDirecta

R=LecturaInversa

Clinómetro

Teodolito Automático Wild T2Plano Topográfico Arqueológico


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INSTRUMENTOS ELECTRONICOS DE LA TOPOGRAFIA

Los instrumentos electrónicos empleados en la Topografía se basan en la propagación de las ondasluminosas y de las ondas de radio. Estos instrumentos electrónicos son:

Telurómetros.- Estos equipos utilizan ondas de radio, son de gran alcance y de aplicación primordial en Geodesia o en triangulaciones topográficas del más alto orden; pueden alcanzar hasta

150 km con precisiones del orden de ± (10 mm+3 ppm). Son de tamaño y peso mayor que loselectroópticos y precisan reflectores activos, es decir, dos aparatos idénticos uno en cada extremo dela distancia a medir. El equipo que opera como “master” emite un haz de microondas; el otro“remoto” la recibe, amplía y la vuelve a emitir en la misma dirección y sentido contrario, con lamisma fase. No es preciso que sean visibles entre sí los puntos de medición, y puede operarse encualquier hora del día o de la noche.

Geodímetros.- Estos equipos utilizan como portadora en la actualidad el láser. Son utilizados enGeodesia o en triangulaciones topográficas del más alto orden, con alcance máximo de 40-60 km,con precisiones del orden de ± (5 mm+1 ppm). El equipo reflector es pasivo, consistente en prismastallados para devolver la emisión en la misma dirección y sentido contrario al que incide.

Distanciómetros infrarrojos.- Utilizan como fuente portadora diodo láser, no es visible. Sualcance máximo es de 20 km, con precisión del orden ± (5 mm+1 ppm).

Algunos de estos equipos efectúan medidas de distancias sin necesidad de prismas reflectoressiempre y cuando se emitan la onda contra pared de hormigón o similares, pudiendo llegar adeterminar distancias de 100 m con precisión de +1 cm (DI-3000 Wild entre otros).

Los distanciómetros con fuente portadora de diodo normal de arseniuro de galio GaAs, de menoralcance, pero con fines propiamente topográficos, hasta 3-4 km, con precisiones del orden de ± (5mm +1 ppm). Las estaciones totales utilizan este sistema.

DISTOMAT WILD DI20-14Km DISTOMAT WILD DI4L-5Km

Telurómetro 150Km Geodímetro 40-60Km


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Pueden trabajar acoplados sobre teodolitos, o independientemente.Con la integración en las estaciones totales, prácticamente como tales instrumentos están cayendoen desuso, ya que su precio lo hace poco competitivos al tener que trabajar unidos con un teodolito,resultando la suma igual que una estación total.

Teodolitos electrónicos.- Son aquellos que han sustituido su limbo óptico por un sistemaelectrónico angular. Puede combinarse con un distanciómetro y conectarse a un terminal de datos o

a un computador. Tienen precisión angular de 1”, 3”, 5”.

Estaciones Totales.- Es frecuente en el mercado topográfico, realizar clasificaciones de lasestaciones totales, y así se pueden establecer tres grupos:

Estación semitotal .- Resulta de la combinación de un equipo de medida angular optomecánico,acoplado a un distanciómetro electroóptico; en la actualidad está casi desapareciendo.

Estación total modul ar .- Los dos sistemas de medida son electrónicos, pero son independientes,caso parecido al anterior.

Estación total in tegrada .- En un mismo equipo están integrados los dos sistemas. Una estación totales el instrumento que resulta de la integración en un solo equipo del sistema electrónico de medidade ángulos (y con imagen directa) y el sistema electroóptico para la medida de distancias, con unmicroprocesador para el cálculo automático de datos topográficos: distancia reducida o inclinada,con o sin correcciones, azimut, desniveles, trabajo en coordenadas polares o cartesianas, replanteode puntos y otros cálculos.

Todavía en este grupo podríamos hablar de otras estaciones totales de características especiales:Estaciones servodireccionales .- Son estaciones totales integradas que llevan incorporado uncomponente servomando, que permite girar y apuntar el instrumento con solo tocar una tecla. Llevacompensador de doble eje.

Estación total “One Man System” .- Es una estación total de sistema personal, que puede sergobernada desde el portaprisma, que lleva un teclado (RPU unidad de control inteligente) similar ala estación total, y esta, a su vez está mecanizada con servo para punterías automáticas.


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El Sistema de Posicionamiento Global (GPS).- Este sistema se basa en observaciones de señalestransmitidas desde satélites. Estas señales se recogen en estaciones terrestres por receptores. Semiden los tiempos transcurridos durante el viaje de las señales del transmisor al receptor, deesta forma se pueden calcular las posiciones de las estaciones receptoras.

Puede operar de día o en la noche, incluso con lluvia y ninguno de los dos requiere líneas de visuallibres entre estaciones. Esto representa un gran avance respecto a los procedimientos delevantamientos convencionales, que se basan en la medida de ángulos y distancias para ladeterminación de posiciones de puntos.

El sistema de levantamiento por satélite de la presente generación se llama Sistema dePosicionamiento Global (GPS). Se usa en todas las áreas de levantamientos topográficos ygeodésicos y ha revolucionado este campo, haciendo obsoletos los procedimientos tradicionales.


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METODOS TOPOGRAFICOS. REDES

Consiste todo levantamiento topográfico en trasladar al plano, con su cota, puntos determinados delterreno, partiendo, en planimetría, de una recta escrupulosamente medida y orientada que sedenomina la base, y en altimetría, tomando como origen un punto cuya altitud sobre el nivel delmar sea conocida, o al que se le asigne una cota arbitraria, arrastrando ésta a los demás puntos previo cálculo de los desniveles parciales de uno a otro.

Las determinaciones, tanto altimétricas como planimétricas, han de apoyarse, por tanto, unas enotras y convendrá realizarlo por etapas formando redes .

En planimetría la primera red constituye la tr iangul ación o red tr igonométr ica ; sus puntos muyespaciados se denominan vértices, y es análoga, aunque con lados más cortos, a las triangulacionesgeodésicas y en las cuales debe apoyarse si el trabajo lo requiere.

La segunda red , denominada topográfi ca o pol igonación , es interior a cada uno de los triángulos,distribuyendo en ellos puntos denominados poligonométricos, y el método seguido paradeterminarlos es de itinerario, que consiste en ir midiendo sucesivamente las rectas llamadas ejesque unen dos puntos y el ángulo que forman cada dos ejes consecutivos.

La tercera red , llamada de relleno , se apoya en la anterior, estableciendo itinerarios cortos dentro

de cada malla de poligonación, pero levantando, en cada estación, todos los detalles del terrenocircundante por el método que se conoce con el nombre de radiación, midiendo las distancias delos diferentes puntos al centro y los ángulos que forman estos radios con una dirección fija.

Casa

Radiaciones505,96

P o l i g o n a l

A

B

C

D

E

EstabloPozo

Postede Luz

Arroyo

Intersecciones

B

B


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CONTROL EN LOS LEVANTAMIENTOS

CONTROL

Se llama así a cierto número de puntos de la superficie terrestre cuya posición relativa se haobtenido con gran exactitud.

Todo país tiene diseminados en su superficie un conjunto de puntos de control geodésico queservirán de apoyo:1) Para amarrar los trabajos topográficos, y2) Efectuar el relleno de la superficie del país alrededor de cada punto de control.

Para elaborar el mapa de un determinado país, lo primero que se hace es determinar la posición deun punto que se llama Datum y que será el origen de coordenada de ese país. Las coordenadas deese punto se obtienen por observaciones astronómicas.

Este punto Datum servirá de apoyo o de control a una red de triángulos de lados muy largos, cuyosvértices constituirán el control de primer orden .

Estos vértices o puntos de control servirán de apoyo a otra red de triángulos de lados más cortos, ycuyos vértices constituirán el control geodésico de segundo or den .

Estos puntos de control servirán de apoyo a otra red de triángulos de lados más pequeños cuyosvértices constituirán el control geodésico de tercer orden y así sucesivamente hasta obtener unadensidad de puntos de tal modo que desde cada uno de ellos se puede efectuar el relleno topográficoempleando métodos e instrumentos limitados de la topografía (brújula, teodolito).

Uno de los objetivos fundamentales de la Geodesia es precisamente el establecimiento de estos puntos de control nacional que forman el Canevas o Esqueleto de la nación.

2do Orden 2do Orden

2 d o O r d e n

DATUM

3er Orden

3er Orden

RED GEODESICA


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DIVISION DEL CONTROLEl control se divide en:1. Control Horizontal2. Control Vertical

CONTROL HORIZONTAL

Está constituido por todos los vértices de las triangulaciones geodésicas. Este control puede ser de primer, segundo, tercer orden que constituyen respectivamente las triangulaciones geodésicas.

CONTROL VERTICAL

Está constituido por los mismos vértices de las triangulaciones geodésicas o por otros puntos (BMs)diseminados en la superficie del país formando una red de nivelación y cuyas cotas se han obtenidocon relación al nivel medio del mar (o sea cotas absolutas).

TIPOS DE CONTROL

En toda nación se tiene fundamentalmente el control básico y el control suplementar io .CONTROL BASICO .- Esta constituido por la triangulación geodésica de primer orden, cuyoslados pueden llegar hasta unos 60 o 70 km de longitud. En todo país hay una institución estatal quese ocupa de establecer el control básico. En el Perú ésta entidad es el Instituto Geográfico Nacional(IGN), cuya misión fundamental es el levantamiento de la Carta Nacional; es la responsable técnicay científicamente de sus resultados.

CONTROL BASICO:RED GEODESICA DESUDAMERICA

CONTROL BASICO:RED GEODESICA DEL PERU


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RED DE TRIANGULACION - SUR DEL PERU

CONTROL VERTICAL

TEODOLITO GEODESICO WILD T3

NIVEL GEODESICO WILD N3

TEODOLITO ASTROGEODESICO WILD T4


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TARJETA DE PUNTO GEODESICO: ESTACION VILLA SALVADOR

TARJETA DE BM: LM-j4


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CONTROL SUPLEMENTARIO .- Es la densificación del control básico nacional.Puede ser de 2do y de 3er orden, formado respectivamente por las triangulaciones geodésicas.

El control suplementario lo pone también el IGN y otras entidades estatales y particulares queacreditan idoneidad en estos tipos de trabajos.

Tanto el control básico como el control suplementario no constituyen una red suficientemente densade puntos para efectuar el relleno topográfico, entonces tenemos que tomar una de las 2 alternativas

siguientes: Efectuar el relleno topográfico empleando métodos fotogramétricos, o efectuar dichorelleno empleando métodos topográficos.

POR EL METODO FOTOGRAMETRICO .- Se programa una serie de puntos previamentefoto identificados que constituirán poligonales electrónicas o triangulaciones de lados más cortosque los del control suplementario y deberán ser conectadas al control nacional y sus vérticesconstituirán el control terrestre de la zona cuyas coordenadas y cotas se han obtenido con adecuadaexactitud y servirán para orientar las fotografías aéreas en el restituidor fotogramétrico para efectuarel relleno topográfico.

PLANEAMIENTO DE UN VUELO FOTOGRAFICO

CONTROL TOPOGRAFICO .- Está formado por vértices de poligonales o de triangulacionesdebidamente conectados al control nacional cuyas coordenadas y cotas se calculan con adecuadaexactitud. Estos puntos de control topográficos servirán para efectuar el relleno topográficoempleando métodos e instrumentos elementales de la topografía.

USOS DEL CONTROL

1. Para la confección de todo tipo de mapas y cartas incluyendo las de navegación.

2. Permitan dar perpetuidad a los límites o linderos nacionales y particulares que se conectan a él.3. Sirve para conectar todos los estudios topográficos proporcionando elementos de comprobación.4. Permiten determinar los desplazamientos horizontales y verticales de la superficie terrestre

ocasionados por movimientos telúricos, cumpliendo de ésta manera un rol científico.


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TOLERANCIAS PARA LOS CONTROLES HORIZONTALESFIGURA ORDEN

1° 2° 3° 4°TRIANGULACIONChequeo de base.- El error en la longitud de la basecalculada por triángulos después de compensar losángulos, no de be exceder de:

1/25,000 1/10,000 1/5,000 1/3,000

Cierre en cada tr iángu lo.- O sea la diferencia entrela suma geométrica (180°) y la suma de los 3ángulos observados, no debe exceder de:

3” 8” 12” 30”

Cierre de tr iángu los.- O sea el error angular promedio por triángulo, no debe exceder de:

1° 3” 6” 15”

El Error Relativo probable de la media aritmética dela longitud final de la base, no debe exceder de:

1/1’000,000 1/500,000 1/250,000 1/20,000

POLIGONACIÓNEl Error Relativo calculado con el cierre de posición, no debe exceder de:

1/25,000 1/10,000 1/5,000 1/3,000

Error Probable de la media aritmética (Ep): Error Relativo Probable (ER):

Ep= ±0.6745√ ∑v2 ER= Ep .n(n-1) Media(x)

REGISTROS PUBLICOS DE MINERIA (AREA DE GEODESIA)

La ley de catastro minero promulgado el 23 de mayo de 1996 da como marco de referencia para presentar los denuncios mineros y todas las propiedades mineras, las proyecciones cartográficasUTM obtenidas al proyectar las coordenadas del Elipsoide Internacional que tiene como puntoDATUM La Canoa-Venezuela.

ORIENTACION CON EL GIRÓSCOPO

En casos donde una orientación astronómica no es posible, se recurre al giróscopo Wild GAK1 uotra marca. Colocado sobre un puente permanentemente sujeto al T2, el GAK1 permite,independientemente del campo magnético terrestre, la determinación del Norte Geográfico en unos20 minutos y con una precisión de 20” (6 mgon) (ó precisión 10” con giróscopo geodésico).Quitado el GAK1, la presencia del puente no influye en la utilización del T2. El giróscopo es elinstrumento ideal para controles de azimuts en poligonales; transferencias de direcciones en trabajossubterráneos (el GPS no funciona), como túneles, galerías y pozos; orientación de instalaciones denavegación y dispositivos de telecomunicación, etc.

GIROSCOPOWILD GAK1


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FORMAS DE LA SUPERFICIE TERRESTRE

Según el objeto de estudio, se le considera a la tierra las siguientes formas:

1. LA SUPERFICIE REAL O TOPOGRAFICA.- Que es deforme semejante a una fruta arrugada, quelimita los continentes con sus respectivas elevaciones y depresiones y se prolonga por el fondode los mares.

2. LA FORMA DE UN GEOIDE.- Que es la figura que resultaría de cortar, limar e igualar lasrugosidades de los continentes dejándolos al nivel de los mares en calma. Esta figura no es niuna esfera ni un elipsoide, sino simplemente una figura achatada en los polos y ensanchada enel Ecuador. El Geoide es pues una superficie física real, equipotencial, de equilibrio y sobre lacual la gravedad es normal a ella en todos sus puntos. El Geoide no es una figura geométricaregular. Es la forma imaginaria dada a la tierra considerándola que está al nivel medio del marque se extiende a través de los continentes en forma continua, es una superficie equipotencial,es decir la vertical siempre será perpendicular en cualquier posición.

3. LA FORMA DE UN ELIPSOIDE DE REVOLUCION.- Que es como la considera la Geodesia, porser la figura que más se asemeja al Geoide y sobre el que se efectúan los cálculos geodésicos por ser una figura matemática.

Los elipsoides más conocidos son: El Elipsoide de Bessel (1841) El Elipsoide de Struve El Elipsoide de Clark (1880) El Elipsoide de Hayford (1909)

Siendo necesario uniformizar todos los cálculos geodésicos en todo el mundo, la Asociación GeodésicaInternacional en la Asamblea realizada en Madrid en 1924 acordó recomendar el Elipsoide de Hayford

Todos los elipsoides se diferencian por la medida desus parámetros:a = Radio Ecuatorial b = Radio Polare = Excentricidad

= Aplanamiento


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para referir a él todos los cálculos geodésicos, al que se le llamó ELIPSOIDE INTERNACIONAL, el cualtiene las siguientes medidas:

a = radio ecuatorial = 6’378,388 m b = radio polar = 6’356,912 mRadio medio = a + b = 6’367,650 m

2Radio medio ponderado = a + a + b = 6’371,229 m

3

f = Aplanamiento o achatamiento = a – b = 1 – b = 1 .a a 297

e2 = Excentricidad = a

2 – b2 = 1 – b2 = 0.006722670022a

2 a

2

Segunda excentricidad = e’2 = a

2 – b

2 = 0.006768170196886

b2

En el Perú se ha adoptado el Elipsoide Internacional desde el año 1925.

Por medio de satélites se han determinado varios elipsoides. Por la necesidad de mayor precisión confines estratégicos militares se puso en órbita los satélites NAVSTAR que generaron el Elipsoide WGS-84o elipsoide GPS.

El Sistema Geodésico Mundial de 1984 (WGS-84) es un sistema geocéntrico definido por elDepartamento de Defensa de los EE.UU.Los parámetros del elipsoide geocéntrico WGS-84 o Elipsoide GPS son:

a = 6’378,137 m; Aplanamiento o Achatamiento = 1/298.257223563

4. LA FORMA DE UNA ESFERA.- Que es como la considera la Geografía. Por consiguiente lasmedidas dadas por la Geografía están muy lejos de ser exactas, porque la tierra no es esférica.

En los estudios topográficos de superficies de gran extensión, pero dentro de los límites de latopografía, se admite la forma rigurosamente esférica, tomando como radio, el radio medio: N

Siendo: N = a ; = a(1-e2) .

(1-e2sen2)1/2 (1-e2sen2)3/2

a = radio ecuatorial; e2 = excentricidad; = latitud del lugar N y = son los llamados radios de curvatura de las dos secciones normales principales en un

punto del elipsoide.

DESVIACIÓN O DEFLEXIÓN DE LA VERTICAL.- Por todo punto de la superficie terrestre pasandos verticales:- La vertical correspondiente al Geoide que sigue la dirección de la gravedad y es perpendicular a

dicho geoide.- La vertical correspondiente al Elipsoide (llamado normal) que es perpendicular a dicho elipsoide.


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Estas dos verticales comúnmente forman un ángulo pequeño que se llama “desviación o deflexiónde la vertical” (1° a 3°)

Si desde un punto A de la tierra trazamos la normal AA’ al Elipsoide y la vertical AA’’ o direcciónde la plomada, estas no coinciden sino que forman un ángulo que recibe el nombre de “Desviacióno deflexión de la vertical”.

PUNTO DATUM.- Es un punto de la tierra en el que se asume que la dirección de la normal alelipsoide coincide con la dirección de la plomada; en otras palabras la superficie del Elipsoidecoincide con el Geoide, por lo tanto la desviación o deflexión de la vertical es nula. Es un punto de partida para la red de triangulación de primer orden geodésico. El punto DATUM considerado parala elaboración del Mapa del Perú está en un lugar llamada “La Canoa”-Venezuela (1956).

El Datum Sudamericano (1969) considerando la imprecisión determinada en el punto Datum “LaCanoa”, se aceptó en junio de 1969 el llamado Datum Sudamericano, en la Asamblea General delInstituto Panamericano de Geografía Histórica. Dicho Datum se calculó considerando el elipsoideGRS-67 (Sistema de Referencia Geodésico de 1967), eligiéndose como punto Datum un lugardenominado CHUA con respecto al cual Brasil hace sus cálculos geodésicos.

Se recomendó la opción del elipsoide GRS-67 no con el propósito de remplazar al ElipsoideInternacional de Hayford sino para que fuera utilizado cuando se requiera mayor grado de precisiónen los cálculos geodésicos.

Los parámetros más importantes de estos 2 elipsoides figuran en el siguiente cuadro:

PARÁMETROS DE DOS ELIPSOIDES

Datum ELIPSOIDE ORIGENCOORDENADAS GEODESICASLATITUD LONGITUD

Provisional deSudaméricaPSAD-56

Internacional de Hayforda=6’378,388m f=1/297

La Canoa 08°34’17.17”N 63”51’34.88”W

Sudamericano1969

GRS-67a=6’378,160m f= 1/298.25

CHUABrasil

19°45’41.65”S 48°10’04.064”W


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ACTUALES INNOVACIONES TECNOLÓGICAS EN TOPOGRAFÍA Y GEODESIA

Paralelamente con el desarrollo de la informática, la electrónica y las comunicaciones por satélite sehan creado tres herramientas innovadoras en lo que respecta a la topografía y la Geodesia, que enmuchas aplicaciones resultan más económicas permitiendo la simplificación del trabajo y ademásmejorar la precisión de los resultados.Estas tres herramientas son:

1. Las Estaciones Totales, que con el software para el registro de datos, su procesamiento y lageneración de información han permitido la “Automatización de la Topografía”.

2. El Sistema de Posicionamiento Global (GPS).3. El Sistema de Información Geográfica (SIG).

SISTEMAS GEODESICOS MUNDIALES (WGS-84)

Desde que se comenzaron a efectuar observaciones desde los satélites geodésicos se handeterminado varios elipsoides que tienen como centro “el centro de masa de la tierra” por lo cual seles llama Sistemas Geodésicos Mundiales o Globales. El centro de estos elipsoides es el WGS-84.

El Departamento de Defensa de los EE.UU. elabora parámetros de transformación de un sistemageodésico tradicional que es el Sistema Geodésico Geocéntrico Mundial WGS-84.

PARÁMETROS DE DATUMS GEOCÉNTRICOSDATUM a(m) f

WGS-60WGS-66WGS-72WGS-80WGS-84 6’378,137 1/298.25722357

EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL (GPS)

Este sistema del Proyecto NAVSTAR que fue desarrollado por el Departamento de Defensa de losEstados Unidos, con una inversión aproximada de 12 billones de dólares americanos, permitedeterminar la ubicación de un punto por sus coordenadas: Latitud, Longitud y Altitud.

El sistema consta de 21 satélites principales más 3 de repuesto, inclinados a 55 grados con relaciónal Ecuador y en órbitas de 12 horas alrededor de la tierra. Los 24 satélites están distribuidos en 6 planos orbitales a 60 grados de distancia en longitud.

La constelación de 24 satélites es controlada desde tierra por un sistema que consiste de unaestación de control Master, localizada en Falcón AFB cerca de Colorado Springs, EE.UU., 5estaciones de monitoreo y 3 antenas.

El desarrollo del Proyecto SIRGAS comprendelas actividades necesarias para la adopción en elcontinente de un sistema de referencia de precisióncompatible con las técnicas actuales de posicionamiento, claramente asociadas al Sistemade Posicionamiento Global (GPS).


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La estación “master” se encarga de procesar la información necesaria para el cálculo de lasefemérides precisas, y los parámetros del reloj. La información de estos cálculos es enviada periódicamente a los satélites desde las antenas en tierra a los usuarios. El segmento de controltambién tiene a cargo el funcionamiento apropiado de los satélites.

Los equipos del usuario, constan básicamente de una antena y un receptor con capacidad para el procesamiento de las señales y la información captada. La señal de radio transmitida por cada

satélite es recepcionada por el equipo conociendo el código de la señal, obteniendo de esta forma lainformación seudodistancia y detectando el mensaje de navegación. La información obtenida de 4satélites permite calcular la posición tridimensional, la velocidad y la hora.

SISTEMA DE REFERENCIA GEOCÉNTRICO PARA AMERICA DEL SUR(SIRGAS)

Los representantes de los países de América del Sur se reunieron en 3 oportunidades para establecer por acuerdo unánime un Sistema de Referencia Geocéntrico para América del Sur.

Este sistema está constituido en cada país sudamericano por los siguientes controles geodésicos(GPS):

1. Las estaciones de orden cero.2. Las estaciones primarias.3. Las estaciones secundarias.

El SIRGAS utilizó como sistema de referencia geocéntrico el Elipsoide GRS-80 cuyos parámetrosen Geodesia y Cartografía se consideran prácticamente iguales a los parámetros del ElipsoideWGS-84 (Sistema GPS).

En el Perú las estaciones de control cero son 4:1. La estación de Arequipa, ubicado en el Servicio Astrofísico de Characato.2. La estación de Iquitos, ubicado en el Servicio de Hidrografía de la Marina.3. La estación de Lima, ubicada en una de las azoteas del I.G.N.4. La estación de Piura, ubicada en la azotea de la Municipalidad.


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ESTACIONES DE LA RED GEODESICA NACIONAL GPS POR FASES


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PUNTO GEODESICO CON GPS


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ESTACIONES DE LA RED GEODESICA NACIONAL GPS

PUNTOS GEODESICOS

Orden “0” 10Orden “A” 51Orden “B” 82 Orden “C” 95

Total 238


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PUNTO GEODESICO GPS WGS-84: SCF6 – SANTA CRUZ DE FLORES - MALA


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PRINCIPIOS BÁSICOS PARA DETERMINAR POSICIONES SEGÚN EL GPS

Los objetivos del GPS son dos:1. La navegación (tierra, mar, aire).2. Posicionamiento preciso de puntos en la tierra, determinados por sus coordenadas.

Para fines topográficos y geodésicos el de mayor importancia es el “posicionamiento preciso de

puntos en la tierra”.

Los procedimientos del GPS para la determinación precisa de la ubicación de puntos, consistefundamentalmente en la medición de distancias desde puntos de ubicación desconocida a satélitescuyas situaciones (X, Y, Z) se conocen en el instante de la medición.

r 1, r 2, r 3 y r 2 son las distancias del satélite del punto A.

Como son 3 incógnitas, tomaremos 3 cualquiera de los 4 satélites, por ejemplo el satélite 1, 2, 3:

r 1= [(X1-XA)2+(Y1-YA) 2+(Z1-ZA) 2]1/2 r 2= [(X2-XA)

2+(Y2-YA) 2+(Z2-ZA)

2]1/2 Resolviendo este sistema se obtendrá lasr 3= [(X3-XA)

2+(Y3-YA) 2+(Z3-ZA)

2]1/2 incógnitas: XA, YA y ZA

A las distancias r i sin corregir se les llama Seudodistancia, debido a que los relojes atómicos delsatélite son de muchísima más precisión que los relojes del receptor en tierra; las distanciasSeudodistancias r i estarán afectadas por un error de sincronización (∆t).

Supongamos que este error de sincronización se ha mantenido constante en la determinación delas seudodistancias, por lo tanto, el error ∆r en cada seudodistancia será: ∆r= v(∆t).

Por consiguiente al considerar este error ∆r se tendrían 4 incógnitas:

XA, YA y ZA y ∆r; por lo tanto se necesitaría formar 4 ecuaciones, haciendo intervenir un cuartosatélite. Luego:

r 1+∆r = [(X1-XA)2+(Y1-YA)

2+(Z1-ZA) 2]1/2

r 2+∆r = [(X2-XA)2+(Y2-YA)

2+(Z2-ZA) 2]1/2 Resolviendo este sistema se obtendrá las 4

r 3+∆r = [(X3-XA)2+(Y3-YA)

2+(Z3-ZA) 2]1/2 incógnitas

r 4+∆r = [(X4-XA)2+(Y4-YA)

2+(Z4-ZA) 2]1/2

Teniendo presente que cada satélite daría origen a una ecuación, en una observación de un punto de la tierra y de acuerdo a la precisión que se requiera obtener, se formarán mayor


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cantidad de ecuaciones que de incógnitas, es decir tendremos ecuaciones redundantes, lascuales se resolverán aplicando el método de los mínimos cuadrados.

La precisión en la determinación de las coordenadas de un punto empleando el GPS, puedemejorarse aplicando el Método Diferencial.

METODO DIFERENCIAL.- Consiste en utilizar por lo menos dos equipos en forma simultánea.

Uno de ellos debe ubicarse en un punto de coordenadas conocidas (que se llama BASE), y el otroequipo (o más equipos) se ubica o se desplaza en puntos cuyas coordenadas se desea obtener (aeste segundo equipo se le llama REMOTO).

Con este método se elimina además o se minimiza los errores intencionales que se conocencomo “disponibilidad selectiva”, las cuales afectan al sistema GPS. Con el método diferencial se puede trabajar de las diferentes formas:

1. EN POST PROCESO.- Que consiste en que cada equipo (base y remoto) grave la informaciónsatelital mientras se encuentran en el terreno; una vez terminado el trabajo de campo losdatos se deben transferir a una computadora, la cual con un software especializado serealiza el proceso de los datos para el cálculo de coordenadas.

2. EN TIEMPO REAL.- Consiste en ubicar una estación “BASE” que permanentemente trasmitacorrecciones a una estación “MOVIL” (Robert), la cual en tiempo real aplica estascorrecciones mostrando las coordenadas directamente en el terreno con la precisiónnecesaria.

BAA

• Código en Tiempo Real, Fase en Tiempo Real – No requiere post proceso – Resultados disponibles de inmediato – Puede operar en dos modos

• RTK• RT-DGPS

T T i i e e m m p p o o R R e e a a l l


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CONTROL HORIZONTAL TOPOGRAFICO

Para poder montar ésta estructura que se llama control , en el terreno, se han ideado diversidad desistemas de apoyo o métodos que se adapten al terreno y al estado actual de la técnica instrumental.

SISTEMAS DE APOYO PARA LOS LEVANTAMIENTOSTOPOGRAFICOS

Sistema: es toda estructura que funciona como un todo.La estructura puede ser material, analítica o geográfica.

Estos métodos o sistemas de apoyos utilizados en las operaciones topográficas de campo son lassiguientes:

I. Sistema de poligonaciónII. Sistema de triangulaciónIII. Sistema de trilateración

I. SISTEMA DE POLIGONACION

Este sistema consiste en medir todos los lados y ángulos de una poligonal, orientándola por mediodel azimut de uno de sus lados.

Este método es muy eficiente cuando la zona por levantar es sensiblemente llana hasta ligeramenteondulada, pero cuando además es muy extensa resulta la poligonal inconsistente, por lo tanto enestos casos se deberá anclar a los puntos de control existentes en las cercanías de la zona de trabajo.

CLASIFICACION DE LA POLIGONACION

1. Poligonales cerradas.2. Poligonales abiertas.3. Poligonales ancladas o conectadas o amarradas.

De acuerdo al instrumento utilizado para la medida de sus lados, estas 3 clases de poligonales pueden ser:

a) Poligonales clásicas.- Cuando sus lados se miden con cinta de acero. b) Poligonales a la barra.- Cuando sus lados se miden con barra invar, y un teodolito de 1” de

precisión.c) Poligonales electrónicas.- Cuando sus lados se miden en un equipo EDM (o sea con un

instrumento para la medición electrónica de distancias).d) Poligonales al GPS.- Cuando sus lados se calculan con las coordenadas de sus vértices,

obtenidas satelitalmente.

1. POLIGONALES CERRADAS Utilizadas para zonas llanas y amplias o redondeadas. Son adecuadas para levantamientos delinderos de las propiedades, para proyectos de edificaciones, habilitaciones urbanas, levantamientosde poblaciones, etc.

Estas poligonales ofrecen garantías en la realización del levantamiento topográfico porque permitenobtener el error angular y el error lineal cometido en su levantamiento.


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Comprobación Angular:

Teóricamente se debe cumplir que: I=180(n-2)En la práctica: I’ ≠ I; I’= Σ de


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TOLERANCIAS PARA LEVANTAMIENTO DE POLIGONALES

I) Para poligonales de baja precisión:Tolerancia Angular: Ta= ±1’ √ n Tolerancia Lineal: ER = ±1/2500

II) Para poligonales de mediana precisión:Tolerancia Angular: Ta= ±30” √ n Tolerancia Lineal: ER = ±1/5000

III) Para poligonales de gran precisión:Tolerancia Angular: Ta= ±10” √ n Tolerancia Lineal: ER = ±1/10,000

2. POLIGONAL ABIERTA

Utilizadas para levantamientos de superficies alargadas, destinadas a proyectos longitudinales(ferrocarriles, caminos, canales, oleoductos, emisores de desagüe, etc.). Estas poligonales no permiten determinar el error angular ni el error lineal. Se puede ir verificando el error azimutaltomando el azimut verdadero del lado inicial y cada cierto número de lados volver a medir el

azimut verdadero de otro lado.

Tendremos que:

El error azimutal o error angular (Ea) = Z’DE verdadero calculado - ZDE verdadero medido.

O sea: Ea = Z’DE - ZDE Donde: Z’DE = Azimut verdadero de DE calculado a partir de AB

Z DE = Azimut verdadero medido en DE

Este error azimutal o error angular lo comparamos con la tolerancia angular, por ejemplo de “A”hasta “E”:

Ta== ±30”√ n; n= # de ángulos o vértices.

Nota.- El Azimut verdadero de una alineación recta se puede obtener:a) Ejecutando observaciones astronómicas de Sol o de estrellas. b) Por medio del teodolito giroscópico.

Poligonal abierta de pequeña longitud 600m.

I=180 (n-2)X=0ExY=0Ey

Si Z’DE es el azimut verdadero dellado DE calculado aplicando la regla práctica, partiendo de ZAB verdaderoy ZDE = Azimut verdadero medidoen el campo.


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EMISOR DE DESAGUE.-Es un colector de mayor diámetro que recibe las aguas residuales de una población y las lleva directamente a su destino: pozas de oxidación o el mar.

3. POLIGONALES ANCLADAS O CONECTADAS

Son aquellas que se desprenden de un punto de control geodésico y se deben cerrar también en otro punto de control geodésico.

Estas poligonales se utilizan en los levantamientos de grandes extensiones y de gran importancia.Es decir que deben ser conectados a los puntos de control geodésico del país.

“En principio, toda poligonal de gran importancia se deben desprender de un vértice de controlgeodésico y cerrarse en otro vértice o punto de control geodésico existente; este punto de control decierre debe ser del mismo orden o de un orden superior al vértice de control de arranque.

FORMAS COMUNES DE ANCLAJE DE POLIGONALES

1) Anclaj e de una poli gonal a un punto de control geodésico en su inicio:


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Marca de Azimut .- Es un punto debidamente materializado en el terreno, o un rasgo bien definido, por ejemplo: una cruz de iglesia, chimeneas, arista de un tanque elevado, etc., situado a unos 500mcomo mínimo del punto de control geodésico (P).

P es un punto de control geodésico del país, cercanamente ubicados con respecto a la zona porlevantar y se conocen sus coordenadas nacionales (Este, Norte).

Esta forma de anclaje no permite comprobación angular directamente, ni comprobación lineal.

La ventaja del anclaje consistirá en que las coordenadas de sus vértices resultarán en el mismosistema cartográfico de coordenadas del país, y por lo tanto dicha poligonal tratadaconvenientemente podría graficarse en la Hoja de la Carta Nacional.

NORMAS DE POLIGONALES (Comité Federal del Control Geodésico EE.UU.)

Clasificación de las Poligonales:CONCEPTO 1er ORDEN 2do ORDEN 3er ORDEN

Clase I Clase II Clase I Clase IIEl número de lados entre comproba-ciones de Z1 no debe exceder de:

5-6 10-12 15-20 20-25 30-40

Error estandar en las mediciones delongitud no debe exceder de:

1/600,000 1/300,000 1/120,000 1/60,000 1/30,000

Error de cierre en Z1 en puntos decomprobación no debe exceder de:

1”/Estación ó 2”√n

1.5”/Estación ó 3”√n




Después de la propagación del Z1 elerror de cierre de posición no debeexceder de:

0.04n√n ó 1/1’000,000

0.08n√n ó 1/50,000

0.2n√n ó 1/20,000

0.4n√n ó 1/10,000

0.8n√n ó 1/5,000

2) Ancl aje de una pol igonal a dos puntos geodésicos en su ini cio:

3) Anclaje de una poli gonal a un punto en su ini cio y otro en su cierr e:

Permite determinar el error angular y el error lineal de cierre, en efecto:

Error Angular (Ea) = Z’QN verdadero calculado - ZQN verdadero medido.

Error Lineal: Si X’Q e Y’Q son las coordenadas absolutas de Q obtenidas por cálculo partiendo delas coordenadas absolutas (UTM) de P, tendremos que:

Ex= X’Q - XQ Ey= Y’Q - YQ ; ET= (Ex

2+Ey2) ; además: ER = ET/Perímetro


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4) Anclaje Perfecto.- Consiste en conectar la poligonal a 2 puntos geodésicos en su inicio y a 2 puntos geodésicos en su cierre.

Del cuadro: N= # de estaciones para propagar el Azimut. = v2 ER = /MediaK= Distancia en km. n(n-1)

Ta= 30”n ; ER = 1/5000

RED DE POLIGONALES

Sabemos que cuando la superficie es sensiblemente llana el control horizontal del apoyo para ellevantamiento estará formado por una poligonal; y si la superficie es amplia dicho control estaráformado por una red de poligonales.Debemos tener presente que el error en distancias se acumula de acuerdo a la siguiente fórmula:ED=dn; Donde d= error unitario en distancias, o error en cada winchada si se ha medido con

cinta de acero, o error en cada tramo si se ha medido con distanciómetroelectrónico.

n= # de winchadas o # tramos.ED= Error de la distancia total.

Además el error angular se acumula de acuerdo a la siguiente fórmula:Ea=an; Donde a= Coeficiente de precisión.

n = # de lados o ángulos de la poligonal.Ea= Error angular.


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Por consiguiente, en levantamiento de superficies de considerable extensión, se deberá adoptar una poligonal principal o de 1er orden, de lados lo más largo posible y que abarque toda la extensión.Esta poligonal tendrá una apreciable precisión.

En los vértices de esta poligonal de 1er orden se anclarán poligonales secundarias o de 2do orden, delados más cortos y menos precisión que la de 1er orden, y así sucesivamente.

Ex, Ex Poligonal de 1er orden Poligonal de 2do orden Poligonal de 3er ordenET=(Ex

2+Ey2) Ta=10”n; Ta=30”n Ta=1’nER = ET/Perímetro ER = 1/10,000 ER = 1/5,000 ER = 1/2,500

PROBLEMA: Con los siguientes datos de una poligonal anclada P,A,B,C,D,Q; determinar:a) El azimut de los lados. b) El error de cierre angular y compensar los ángulos (Ta= 30”n)c) Las coordenadas de los vértices (Compensar las coordenadas, ER = 1/5,000 )d) Dibujo de la poligonal a escala adecuada, tamaño A1, incluir la escala gráfica, datos

técnicos, leyenda, norte, membrete.e) Determinar la distancia y el azimut de PQ.

II. SISTEMA DE TRIANGULACION

Consiste en cubrir la superficie por levantar con una malla de triángulos en la cual después deefectuar el reconocimiento y seleccionar los vértices de apoyo, se efectúa las siguientes medidas para realizar su levantamiento:

1. Se mide uno de los lados de los triángulos que se llama Base de la triangulación.2. Se orienta la base preferiblemente por medio de un azimut verdadero o astronómico, si la zona es

muy extensa.3. Se miden todos los ángulos de los triángulos, cerrando el horizonte en cada vértice.


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En el gabinete se efectúan los cálculos topográficos para determinar las coordenadas de todos losvértices, según la siguiente secuencia:

a. Se efectúan las correcciones a la base de la triangulación y se determinan sus errores. b. Se compensan todos los ángulos de los triángulos aplicando un método matemático.c. Se calcula la resistencia de figura.d. Se calcula la longitud de todos los lados de los triángulos trigonométricamente, aplicando la ley

de senos, partiendo del triángulo que lleva incorporada la base de la triangulación.e. Se calculan los azimuts de todos los lados partiendo del azimut de la base.

f. Se calculan las coordenadas parciales de todos los vértices.g. Se calculan las coordenadas absolutas.h. Se dibuja el sistema de triangulación a la escala especificada (por el método tradicional o algún

software topográfico).

CONDICIONES DE UNA ZONA PARA APLICAR EL SISTEMA DE TRIANGULACION

1. Debe ser una superficie muy accidentada.

2. Debe ser una región montañosa, donde la vegetación tupida dificulta la formación de poligonales.En zonas de vegetación alta y tupida es necesario construir torres de observación para poderefectuar las mediciones de los ángulos. El costo de construir estas torres sólo se justificaría si la

zona por levantar es muy extensa para un proyecto importante.

3. También se puede usar la triangulación en el levantamiento de ciudades, donde el intenso tráfico,dificulta el levantamiento de poligonales clásicas. Aunque en la actualidad debido al desarrollode los instrumentos electrónicos para medir distancias se puede utilizar dentro de las ciudades las poligonales electrónicas en lugar de la triangulación.

FIGURAS FUNDAMENTALES DE UN SISTEMA DE TRIANGULACION

1. La unidad básica es el Triángulo.

La triangulación se aplica cuando lasuperficie por levantar es accidentada.Cuando la triangulación es muy extensa,es conveniente medir dos bases:

a) Base de partida, y

b) Base de comprobación o cierre.


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2. La cadena de triángulos: Se utiliza cuando la zona por levantar está constituida poruna faja de terreno muy accidentado.

3. Cuadrilátero con dos diagonales.

G' G

B

A

D

C

E

F

H H'

1 0 0

4 0 0

6 0 0

4 0 0

2 0 0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

4 0 0

2 0 0

2 0 0

6 0 0

1 0 0

4. Aplicación del Cuadrilátero con dos diagonales.

CRUCE DE PUENTE


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C u e n c

a

Vaso

C o r t i n a

b

5. Cadena de Cuadriláteros.

6. El Polígono con Punto Interior. Para zonas muy extensas.

7. La Cadena Mixta.

El plano básico de Lima, fue elaborado por el Ing. Nicolás Devoto Cruz, utilizando una cadenamixta.En los países desarrollados y en las áreas metropolitanas y a lo largo de la carretera de primerorden el espaciamiento de los puntos de control es de 2 a 5 km; y en otras zonas cuyas tierrasson de mayor valor el espaciamiento de dichos puntos de control es de 5 a 7 km.En el Perú, en la costa y sierra sur dicho espaciamiento es aproximadamente de 20 km siendocasi nulo en algunas zonas de la selva.

8. La maraña de triángulos.


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SISTEMA DE APOYO MIXTO

Ciertas zonas tienen una parte sensiblemente llana y otra parte accidentada; en estos casosel control horizontal de la zona estará formado por un sistema de apoyo mixto. Es decir, enla parte llana, se diseñará una red de poligonales y en la parte accidentada un sistema detriangulación.

III. SISTEMA DE TRILATERACION Consiste esencialmente en una triangulación cuyos lados se miden electrónicamente y orientandosiempre uno de los lados de los triángulos por medio de un azimut preferiblemente astronómico oligado a la red nacional.

En el gabinete se calculan trigonométricamente los ángulos de todos los triángulos y luego se lescompensa.

Debido a la complejidad de los cálculos para la compensación de ángulos, la trilateración sólo seaplica en figuras sencillas o en aquellas en las cuales se disponen del programa de cómputoelectrónico para su compensación.


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RIGIDEZ DE UNA FIGURA DE TRIANGULACION

Es el efecto de la forma de los triángulos sobre la exactitud con la que se puede calcular la longitudde sus lados.Sabemos que los senos de los ángulos pequeños varían o cambian mucho más rápidamente que lossenos de los ángulos más grandes; por lo tanto es evidente que el error del lado calculado de untriángulo será mayor si el lado está opuesto a un ángulo pequeño que si está opuesto a un ángulo

grande.En todo triángulo es necesario conocer 2 de los ángulos para poder calcular un lado desconocido,aplicando la ley de los senos. Estos 2 ángulos conocidos se llaman ángulos de distancia, y se lesdesigna por las letras “A” y “B”. Siendo A= Angulo opuesto al lado por calcular.

B= Angulo opuesto al lado conocido o previamente calculado.

Como vemos en cada triángulo hay un ángulo que no interviene en el cálculo de lados, a este ángulose le llama Angulo Azimutal y se acostumbra designarlo por la letra “C”. Luego en esta triangulación pueden emplearse ángulos pequeños pero que no correspondan a losángulos de distancia “A” y “B”. Se recomienda que en una triangulación, los ángulos no deban ser menores de 30° ni mayores de 120°.

Ejemplo de aplicación.- En los triángulos ABC y DEF, los lados b y c tienen la misma longitud, sedesea determinar la precisión de los lados c y f opuestos a los ángulos de 60° y 15° respectivamente,

ambos ángulos se ha medido con una precisión de 20”.

En el triángulo ABC:Cálculo del lado c: (ley de senos)

c=500.Sen 60°00’20” = 565.2896 mSen 50° (-)

c=500.Sen 60°00’00” = 565.2579 mSen 50°

Error absoluto (ET)= 565.2896-565.2579= 0.0317 ER= 0.0317 = 1 1 .565.2896 17865 18000


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En el triángulo DEF:Cálculo del lado f: (ley de senos)

f=500.Sen 15°00’20” = 129.9508 mSen 95° (-)

f=500.Sen 15°00’00” = 129.9038 mSen 95°

Error absoluto (ET)= 129.9508-129.9038= 0.0470 ER= 0.0470 = 1 1 .129.9508 2764 3000

PRECISIONES ANGULARES Y LINEALES

En todo trabajo topográfico debe existir una relación de equilibrio entre la precisión en la medida delos ángulos y en la medida de las distancias.Por ejemplo existiría una incongruencia si se utilizara un distanciómetro electrónico para medir ladistancia y un teodolito de un minuto de precisión para medir los ángulos.

Supongamos que se va a ubicar un punto “P” por coordenadas polares, es decir por medio de unángulo , y a una distancia L, con respecto a la alineación fija AB.

Llamemos:

e= error o imprecisión en la medida del ángulo .eL= error o imprecisión en la medida de la distancia L.Para que haya equilibrio en la precisión de la medida del ángulo y la distancia L, se debe

cumplir que:

PP’ = PP”; PP’= desplazamiento transversal debido al Error Angular e.

L.e = eL

e = eL = ER = Error relativo en la medida de la distancia LL

Ejemplos de aplicación:1) Un punto P se va a ubicar en el terreno por coordenadas polares. Dicho punto se ubicará conrespecto a la recta fija AB y a una distancia de 300 m del punto A. Se utilizará un teodolito cuya precisión es de 30” y un distanciómetro electrónico cuya precisión de (5mm+5ppm), donde5ppm es 5 partes por millón de la distancia medida. Deducir si habrá equilibrio o congruenciaen la precisión en la medida del ángulo y en la medida de la distancia.

Solución:a) Cálculo del desplazamiento transversal que se originará debido al error de 30” en la

medida del ángulo .


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1”------0.0000048rad S = R R = 2.S = .S; Si S=1”; 180°x3600”= 648,000” 30”------ x 360 2 360 180

R = x1” = 0.000004848136811 radianes648,000”

Desplazamiento transversal que se originará = L.e = 300x30”x0.0000048 = 0.042 m

b) Cálculo del error en la medida de la distancia: L= 300 m

eL= 5mm+ 5 x 300; Donde: 5 x 300 = 0.0015m = 1.5mm1’000,000 1’000,000

eL= (5mm+1.5mm)

Luego, no habrá congruencia en la precisión en la medida del ángulo y la distancia.

2) La imprecisión al medir un ángulo de 5”. Calcular la correspondiente imprecisión máximarelativa en una distancia medida si se desea que haya un equilibrio en los errores angulares ylineales.

Solución:Para que haya equilibrio de precisiones angulares y lineales, debe cumplirse que:

L.e = eL Convirtiendo: 1 rad ------- 206,265”; 1 rad=180x3600”= 206,264.8062” e = eL = ER x ------------ 5” L5” = ER 5” = ER ER= 1 .

206,265” 41253

3) La exactitud relativa especificada en la medida de una distancia es de 1/41253. Calcular laimprecisión máxima que se debe tolerar al medir un ángulo para que exista congruencia en lacalidad de las medidas angulares y lineales.

Solución:

L.e = eL e = 1/41253 e = eL e = (1/41253)x206265”

L

e = ER e = 5”


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CONVERGENCIA DE MERIDIANOS

CÍRCULO MÁXIMO TERRESTRE.- Es aquel que tiene el mismo centro y el mismodiámetro de la tierra.

MERIDIANO TERRESTRE.- Es la circunferencia de un círculo máximo cuyo diámetro coincidecon el eje polar.

SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRAFICAS.- Es aquel que tiene como origen decoordenadas al punto de intersección del meridiano de Greenwich con el Ecuador Terrestre.

COLATITUD DE UN PUNTO DE LA TIERRA.- Es el arco del meridiano que pasa por el puntoy se mide a partir del norte hasta el punto, midiéndose de 0° a 180°.Ejm.: La colatitud del punto P según el gráfico anterior es: C=90°-70°=20°

La colatitud del punto Q según el gráfico anterior es: C=90°+12°=102°

Nota.- El Perú se encuentra situado en la parte central de la costa occidental de América del Surentre las coordenadas geográficas:

00°01’48” a 18°21’03” de latitud sur y 68°39’27” a 81°19’35” de longitud oeste de Greenwich. Su extensión aprox. es de 1’285,215 km2.

DEFINICIÓN DE COORDENADAS DE CONVERGENCIA.- Todos los meridianos geográficosconvergen en los polos terrestres, por lo tanto los azimuts geográficos directo e inverso de unaalineación recta no siempre difieren exactamente en 180° sino que además difieren en un ánguloque puede ser positivo o negativo que se llama “ Angulo de convergencia de Meridianos”. Luego, cuando la distancia entre los 2 puntos es considerable, se tendrá que: Para tramos largos: en km.

Todo punto de la tierra se ubica por suscoordenadas geográficas que son: Latitud(): que puede ser N ó S Longitud(): puede ser E ó WEjm.Coord. Geográficas del punto P son:P=70°N; P=30°E

Coord. Geográficas del punto Q son:Q=12°S; Q=30°W


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Para tramos cortos:

DEDUCCIÓN DE LA FORMULA PARA CALCULAR EL ANGULO DECONVERGENCIA DE MERIDIANOS (

)

1er Caso.- Cuando los puntos extremos de la alineación de la poligonal tienen la misma latitud, osea que están en un mismo paralelo.

Consideramos a la tierra esférica. Sean dos puntos A y B extremos de una alineación recta quetiene la misma latitud .

Sea C la colatitud de los puntos A y B. Por los puntos A y B tracemos sus respectivas tangenteslas cuales se cortarán en un punto T del eje polar, formando un ángulo , que es el ángulo deconvergencia de meridianos.


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Para obtener el ángulo de convergencia en segundos, multiplicamos el 2do miembro por 206265”(rad=206265”) y además reemplazamos el valor del radio medio de la tierra, según el Elipsoide de

Hayford:R=6’367,650m 6368 km

Luego: ”=206265( d ).ctg C6368

”=32.39 d ctg C; Donde d= distancia en Km.* se debe considerar el signo de ”.

Ejm.: Calcular la convergencia de meridianos de una poligonal de 10 km que se extiende en ladirección este-oeste a una latitud media de 13°S.Solución:

Sabemos que: = 32.39 d ctg C; Donde: C=90°+13°=103°

= 32.39x10x tg 13° = 74.77820711”

= 00°01’15”. El valor es apreciable en cualquier teodolito, por lo tanto esimportante considerarlo en el cálculo del error de cierre angular.

2er Caso.- Cuando los puntos A y B tienen diferentes latitudes, es decir que están en diferentes paralelos, que es el caso general.

Sea

el azimut verdadero AB (directo).Por B tracemos la perpendicular a A(NV), obteniendo la recta BF y están en un mismo paralelo; por lo tanto el ángulo de convergencia correspondiente a los extremos B y F se obtendráaplicando la fórmula (I) = d.ctg C …………..…..……(I)

RHaciendo D=distancia entre A y B tendremos que: d = D.sen

Fórmula general en radianes: = (D.sen

).ctg C ………….(II) R

Según la figura tenemos que:AB=AT() = AB..............(a)

ATEn el OAT rectángulo en A tenemos que:

AT=OA.tg C; OA=Radio = R

Luego: AT=R.tg C……………………...(b)

Reemplazando b en a: = AB ; llamando AB=d

R.tg CFórmula para calcular en radianes:

= d.ctg C …………..….……(I) R


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Por lo tanto reemplazando valores:” = 206265( D )sen

.ctg C6368

= 32.39xD.sen

. ctg C

Donde: D = distancia en km.C = Colatitud en grados sexagesimales.

Ejm.: Se tiene una alineación de 1 (un) km de longitud en la dirección E-W a una latitud media delPerú de 10°S, el azimut directo de dicha alineación es de 90°. Calcular el ángulo deconvergencia de meridianos y el azimut inverso de dicha alineación.

Solución: Cálculo del ángulo de convergencia de meridianos (): = 32.39xD.sen

. ctg C ; C=90°+10°=100°Luego:” = 32.39x1xsen 90 ctg 100°” = -5.7”

Cálculo del Azimut inverso (ZBA):ZBA= ZAB 180° ; ZAB = 90°; = -5.7”

ZBA= 90° + 180° -5.7”

ZBA= 269°59’54.3” Rpta.

Nota importante.- El ángulo de convergencia de meridianos puede calcularse también aplicandolas siguientes fórmulas:a) Cuando los puntos A y B tienen la misma latitud:” = ”.sen; Donde: ”= diferencia de longitudes geográficas en segundos.

= latitud común de los 2 puntos.”=(LA - LB); es la diferencia de longitudes geográficas.

b) Cuando los puntos A y B tienen diferente latitud:” = ”.sen(A+B)

2

Ejm.: Calcular la convergencia angular de los meridianos entre 2 puntos cuyas coordenadasgeográficas son: =45°15’15”N =75°13’28”W

=45°10’45”N =75°10’12”W.Solución:” = ”.sen(A+B) ; =0°03’16” ”= 196”

2” = 196”.sen 45°13’ ; (A+B)= 45°13’ ” = 139” = 2’19” Rpta. 2


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Ejm.: En la figura la estación 4 está a 13440m al Este de la estación Pedregal.El rumbo de la línea 4-5 calculado a través de la poligonal es de N44°10’20”E. El rumbo de la línea 4-5 obtenido por observación astronómica es N44°16’50”E. La latitud media de las estaciones Pedregal y 4 es de 36°43’30”N. Se pide:a) La convergencia de meridianos (”). b) Calcular la discrepancia preliminar de Azimut ().

c) Calcular el error de cierre azimutal (Ea).

Solución:a) Calculando la convergencia:” = 32.39xd.ctg C ; Colatitud C=90°-36°43’30” = 53°16’30”

” = 32.39x13.44.ctg 53°16’30” ” = 325”= 0°05’25” Rpta.

b) Cálculo de la discrepancia preliminar de Azimut ():= Error= Valor calculado – valor fijo. I=180(n-2)= 44°10’20” – 44°16’50” I= observados valor calculado= -0°06’30” Rpta Error=I’-I

c) Cálculo del error de cierre azimutal o angular (Ea):Ea= -0°06’30” + 0°05’25”; Suponiendo como tolerancia angular :Ea= -0°01’05” Rpta Ta=30”n

Ta=30”5 = 67.5” = 0°01’7.08”

EaTa se encuentra en la tolerancia.

CRITERIOS PARA CALCULAR LA EXACTITUD DEL CONTROL HORIZONTALTOPOGRAFICO

PARA POLÍGONOS BÁSICOS O TOPOGRÁFICOS DE 1ER ORDEN: Existen 2 criterios básicos:1. El criterio del Error Relativo (ER ):

E R = ET .Perímetro


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2. El criterio del Error de precisión en el plano (ET).-Este criterio consiste en considerar que el error de posición máximo permisible en el plano es de1/2mm= 0.05cm= 0.5mm.

Por lo tanto, de acuerdo a este error de precisiónmáxima permisible en el plano y considerando la

escala de dicho plano, se puede deducir el Errorabsoluto máximo permisible en una poligonal topográfica básica de 1er orden.

Ejm.- Supongamos que la escala del plano será de 1/1000. Deducir el máximo absoluto permisible de la poligonal topográfica básica de 1er orden.

Solución: dibujo terreno1/1000 1cm ----------10m

0.05cm----------- x x=0.05x10= 0.5m1

O sea que: ET=0.5m Es el Error absoluto máximo tolerable para la poligonal que serádibujada a la escala 1/1000.

Si la poligonal tiene 5 km de perímetro, el error relativo o proporcional o coeficiente deexactitud será:

E R = ET . = 0.5m = 1 .Perímetro 5000m 10000

Si fuera: dibujo terreno 1/5000 1cm ----------50m

0.05cm----------- x x=0.05x50=2.5m ET=2.5mPerímetro= 5 km = 5000m 1E R = ET . = 2.5m = 1 .

Perímetro 5000m 2000

PARA CALCULAR LA EXACTITUD EN POLIGONALES SUPLEMENTARIAS TOPOGRÁFICAS.El criterio de error de posición en el terreno es de empleo más frecuente que el de coeficiente deexactitud.

Ejm.- Se va a enlazar la poligonal del trazo de un ferrocarril cuyo perímetro es de 500m con los puntos de un control básico. Supongamos que asignamos un error absoluto ET=0.20m

El error relativo correspondiente sería:E R = ET . = 0.20m = 1 .

Perímetro 500m 2500


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ESTACIONES EXCÉNTRICAS

Es un punto auxiliar elegido en una posición cercana al vértice real de una triangulación, y desde elcual se realizan todas las direcciones angulares que deberían realizarse desde dicho vértice real ocentro.Se requiere de Estaciones Excéntricas cuando algunos de los vértices de una triangulación estánconstituidos por cruces de torres de iglesia, chimeneas, faros, etc. Que si bien pueden visualizarse

perfectamente en cambio es imposible estacionar el teodolito en ellos, por lo tanto las direccionesangulares de los lados que concurren en estos vértices hay que efectuarlas desde una estaciónexcéntrica.Los ángulos medidos desde una estación excéntrica hay que corregirlos para determinar los valoresque se habrían obtenido si las observaciones se hubieran efectuado desde el vértice real de latriangulación o centro.

Sea: (Fig a)

T= Tanque= Vértice real de la triangulación.E= Estación Excéntrica.d= distancia horizontal entre la excéntrica y el vértice real.a1, a2, a3,...,ai = Direcciones angulares medidas desde la Estación Excéntrica.

C1, C2, C3,...,Ci = Correcciones angulares que se deben aplicar respectivamente a lasdirecciones a1, a2, a3,...,ai para obtener las direcciones reales a’1, a’2,a’3,...,a’i.

S1, S2, S3,...,Si = Distancias horizontales o longitudes provisionales de los lados queconcurren en el vértice real (Tanque).

Observando la figura (b) después de trazar la paralela a EA desde el vértice T deducimosque:a’1= a1 + C1; Generalizando tendremos que: a’i = ai + Ci

DEDUCCIÓN DE LA FORMULA PARA CALCULAR LAS DIRECCIONES Ci

En el triángulo ATE: se conocen a1, d y S1 por lo tanto:

S1 = d ; de donde: sen C1 = d sen a1; Generalizando: sen Ci = d sen aiSen a1 sen C1 S1 Si

Como d es muy pequeño en relación a la longitud de los lados (Si) de los triángulos, el ángulo Ciserá muy pequeño y por lo tanto su seno será igual a su arco, por lo tanto podemos considerar que:

Ci”(sen 1”) = d sen aiSi


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Ci” = d sen ai ; Llamando: K= d .(sen 1”) Si sen 1”

Ci” = K ( sen ai ) ; Fórmula para calcular Ci” logarítmicamente. Si

O también:Ci” = 206265 d ( sen ai ) ; Fórmula para calcular Ci” por funciones trigonométricas.

Si Ci”= Corrección en segundos que se debe aplicar a la dirección ai para obtener a’i. Luego: a’1= a1 + C1”

a’2= a2 + C2” a’3= a3 + C3” ... ..... .....a’i= ai + Ci”

NOTAS IMPORTANTES1. Una vez estacionado el teodolito en la estación excéntrica E, la medición de las direcciones

angulares se comienza dirigiendo la visual al vértice real (T) y luego visando correlativamentelos vértices A, B, C, etc. Cerrando el horizonte respectivo y efectuando el mismo número de

series que se han utilizado en los vértices de la triangulación.2. La distancia “d” se mide indirectamente, eligiendo y midiendo dos pequeñas bases que partende la excéntrica E y midiendo además los ángulos adyacentes a dichas bases.

3. Las distancias Si se calculan provisionalmente para aplicarlas a la fórmula de las correccionesCi”, utilizando los ángulos de campo y aplicando la ley de los senos, partiendo del triángulo quelleva incorporada la base.

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE REDUCCIÓN AL CENTRO DE ESTACION

Desde la estación excéntrica E se han observado los ángulos: a1=81°24’30” y a2=144°25’22”,además se ha medido la distancia horizontal d=5.45m (medido indirectamente).Calcular los ángulos reducidos a la estación central: CRUZ, conociendo las distanciasS1=914.128m y S2=912.00m


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EJEMPLO DE UNA ESTACION EXCENTRICAESTACION EXCENTRICA: E; ESTACION CENTRAL: CRUZ; d= 5.45m

ESTACIONOBSERVADA ai Si

C”i=206265 d (sen ai)Si a’i=ai+Ci

CRUZ(centro) 0°00’00”

HATO

(a1)

81°24’30”

(S1)

914.128 C”1=+1216”=+0°20’16”

(a’1)

81°44’46”

UPE(a2)

144°25’22” (S2)

912.000 C”2=+717”=+0°11’57” (a’2)

144°37’19”

ANGULO CRUZ () = a’2-a’1 = 144°37’19” – 81°44’46” = 62°52’33” 1 radián= (180/)x3600” = 206264.8062”

PUNTOS DE SEGUNDO ORDEN

Puntos de segundo orden son aquellos que se ubican con respecto al control horizontalexistentes en las cercanías del lugar del estudio topográfico.Los puntos de segundo orden se pueden ubicar por intersecciones directas o por intersecciones

inversas.

INTERSECCIÓN DIRECTA.- Consiste en estacionar el instrumento en los puntos conocidos yluego dirigir visuales al punto por ubicar (P), midiendo los ángulos respectivos.Fundamentalmente se presentan dos casos:

1er

CASO: BISECCIÓN DIRECTA.- Se aplica cuando se conocen las coordenadas de dos puntos A y B.Para ubicar el punto P se miden con adecuada precisión los ángulos y . Con estos ángulos secalculan las coordenadas del punto P (Fig. a). El ángulo se obtiene por suplemento.

TRISECCIÓN DIRECTA.- Se aplica cuando se conocen 3 puntos: A, B y C.Consiste en dirigir visuales al punto P desde estos 3 puntos conocidos. Estas 3 visuales no se

cortarán en el punto, sino que formarán un triángulo pequeño que se llama “Triángulo deerror ”, cuya magnitud determina la precisión de la ubicación (Fig. b).

Ejemplo: Determinar las coordenadas de P, mediante observaciones angulares , desdelos puntos A y B de coordenadas conocidas. El teodolito utilizado es de precisión et= 1”. VERTICE ESTE NORTE

A 356494.495 8646282.257B 357294.391 8646686.624

=73°01’45”; =65°21’36” Ɵ= 180-(+)= 41°36’39” calculado


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Solución:Cálculo del azimut de AB (ZAB):

Donde: ΔX(+) ˄ ΔY(+) Z = ZAB= 63°10’56.23”

Cálculo de la distancia de AB (d):= 896.296m

Cálculo del azimut de AP (ZAP):ZAP= ZAB + ZAP= 63°10’50.23” + 73°01’45” = 136°12’35.23”

Cálculo del azimut de BP (ZBP): ZBA = 63°10’50.23” + 180° = 243°10’50.23” ZBP= ZBA - ZBP= 243°10’50.23” - 65°21’36” = 177°49’14.23”

Cálculo del lado AP:

Cálculo del lado BP:

Cálculo de coordenadas de P desde A:XP= XA + d.sen ZAP XP= 356494.495+ 1226.809 sen 136°12’35.23” = 357343.471

YP= YA + d.cos ZAP YP= 8646282.257+ 1226.809 cos 136°12’35.23” = 8645396.650

Cálculo de coordenadas de P desde B:XP= XB + d.sen ZBP XP= 357294.391+ 1290.931 sen 177°49’14.23” = 357343.483

YP= YB + d.cos ZBP YP= 8646686.624+ 1290.931 cos 177°49’14.23” = 8645396.627

Ex = -0.012; Ey = 0.023; EL = 0.025942; ER = 1 / (1258.870/0.025942) = 1/ 48526

Por consiguiente las coordenadas promedio de P serán:

XP= 357343.477 0.018YP = 8645396.638 0.018

INTERSECCIÓN INVERSA.- Consiste en estacionar el instrumento en el punto P por ubicar yluego dirigir visuales a los puntos conocidos, midiendo los ángulos correspondientes.Para ubicar el punto P por intersección inversa se aplica fundamentalmente el Problema de Pothenoty el Problema de Hansen.

Cálculo de la precisión planimétrica del punto P:


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PROBLEMA DE POTHENOT (O TRISECCIÓN INVERSA O PROBLEMA DE LOS 3PUNTOS O PROBLEMA DE LA CARTA)

Consiste en ubicar un punto tal como P con relación a 3 puntos conocidos del terreno A, B, y C.

EL PROBLEMA DE POTHENOT TIENE DOS SOLUCIONES:

1. LA SOLUCION GRAFICA.- Se aplica cuando solamente interesa marcar en el plano el punto

P, que corresponde al punto donde está parado el operador. En este caso la determinación de losángulos y se obtiene utilizando brújulas topográficas o cualquier teodolito rudimentario.2. LA SOLUCION ANALITICA.- Se aplica cuando se desean obtener las coordenadas del punto P.

SOLUCION ANALÍTICA DEL PROBLEMA DE POTHENOT SIMPLE

DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES QUE PERMITEN OBTENER ESTOS ANGULOS

De la figura ABCP se deduce que: g+h=360°- (++B) ........................(I)

En el triángulo 1: BP= b sen g ; En el triángulo 2: BP= a sen h

sen sen

o sea que: b sen g = a sen h sen g = a sen .........................(a)sen sen sen h b sen

Tomemos un ángulo auxiliar tal que: tg = b sen .......................(II)a sen

Reemplazando II en a:sen g = 1 aplicando una de las propiedades de las proporciones:sen h tg

Esta solución se aplica cuando se deseaobtener las coordenadas de P.

Se conocen las coordenadas de A, B y C.

Los ángulos de campo son y .

Las verdaderas incógnitas del Problema dePothenot son los ángulos g y h; puesto queuna vez obtenidos se puede calcularfácilmente las coordenadas de P.

PROCEDIMIENTO DE CAMPOSe hace estación con el instrumento en

el punto P y se dirige la visual a los tres puntos conocidos A, B y Cdeterminando los ángulos y .Los ángulos y se determinan con la precisión y con el instrumentoadecuado, de acuerdo a la utilizaciónque se va a dar al punto P.


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sen g + sen h = 1+tg sen g + sen h = tg 45° + tg = tg(45°+)sen g – sen h 1-tg sen g – sen h 1-tg 45°.tg

Transformando en producto la suma y la diferencia de senos:2 sen(g+h).cos(g-h)

2 2 = tg(45+) de donde:2 sen(g-h).cos(g+h)

2 2tg(g+h) ctg(g-h) = tg(45+) ctg(g-h) = tg(45+) ;2 2 2 tg(g+h)

2Invirtiendo ambos miembros:tg(g-h) = ctg(45+).tg (g+h) .....................(III)

2 2Las expresiones I, II y III se aplican en el cálculo de los ángulos g y h.Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones I y III se obtienen las incógnitas g y h.En los triángulos 1 y 2 se obtienen por suplementos los ángulos i y j respectivamente.Con los azimuts ZBA y ZBC, calculados con las coordenadas de A, B y C, se obtienen los azimutsZBP, ZAP y ZCP.

Con las coordenadas de A, B y C se calculan las distancias BA=b y BC=a.Aplicando ley de senos se calculan las distancias BP, AP y CP.Luego se calculan las coordenadas parciales de P y enseguida las absolutas.

EJEMPLO.- Un punto P se ha ubicado con respecto a los puntos A, B y C del control horizontal mediantelos ángulos de campo: =45°10’50 y =65°31’20”. Las coordenadas de los 3 puntos conocidos son: A x=+2090.52 B x=+825.91 C x= +422.10

y= -475.06 y=+577.17 y=+2225.14

Resolviendo I y III: g= 44°42’19”; h= 61°03’41”; j= 53°24’59” Aplicando ley de senos obtenemos BP: BP= 1631.504mPor suplementos, obtenemos i= 90°06’51” ZBP= 39°38’53.67” Coordenadas Parciales de P: X = +1041.02; Y= +1256.22Coordenadas Absolutas de P: XP = 825.91+1041.02= 1866.93; YP= 577.17+1256.22= 1833.399

Como comprobación se pueden obtener tres pares de coordenadas de P tomándose el promediocomo valor más probable.

SOLUCION GRAFICA DEL PROBLEMA DE POTHENOT

a) Se construye gráficamente el arco capaz de la cuerda AB y del ángulo opuesto . b) Se construye el arco capaz de la cuerda BC y del ángulo opuesto .c) La intersección de los dos arcos capaces dará la ubicación del punto P.

CALCULO DE LOS ANGULOS g y hg+h= 360°-(++B)g+h= 105°46’00” ………………..I Con las coordenadas de A, B y C calculamos:

a=1696.72m; ZBC=346°13’55”

b=1645.12m; ZBA=129°45’45” Luego: B= 143°31’50” Tg = b sen = 51°12’24”

a sen g-h= -16°21’22”……….………..III


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ARCO CAPAZ DE UNA CUERDA Y DE SU ANGULO OPUESTO.

Es el lugar geométrico de los vértices de los triángulos que tienen un lado común e igual alángulo opuesto a dicho lado común.Ejemplo.- El arco capaz de la cuerda AB y del ángulo opuesto , es el arco: APP1P2B

CONSTRUCCIÓN GRAFICA DEL ARCO CAPAZ

SOLUCIÓN GRAFICA DEL PROBLEMA DE POTHENOT

CONDICIÓN DE INDETERMINACIÓN

El problema de Pothenot queda indeterminado cuando los 4 puntos: A, B, C, y P estánen una misma circunferencia, o sea:

- Condición de indeterminación = + + B = 180° -

PROCEDIMIENTO:6. Graficamos a escala la cuerda A’B’=AB. 7. Por A’ construimos el ángulo ’= 8. Se traza la mediatriz de A’B’=AB. 9. Por A’ se traza la perpendicular a A’C. 10. Con centro en O y radio OA’ describimos la

circunferencia.El arco capaz de AB y del ángulo opuesto es: A’PP1B’.

PROCEDIMIENTO:1. Graficamos a escala la cuerda A’B’=AB. 2. Por A’ construimos el ángulo ’= 3. Se traza la mediatriz de A’B’=AB. 4. Por A’ se traza la perpendicular a A’C. 5. Con centro en O y radio OA’ describimos la

circunferencia.El arco capaz de AB y del ángulo opuesto es: A’PP1B’.

- Se construye el arco capaz de AB y elángulo opuesto .

- Se construye el arco capaz de BC y delángulo opuesto .

- La intersección de los arcos capaces darála ubicación de P, el cual se marcará en el

plano, pinchando con un alfiler.


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CASOS QUE SE PRESENTAN EN EL PROBLEMA DE POTHENOT

POTHENOT AMPLIADO.- Si se desea obtener mayor precisión en la determinación del punto P,o evitar el riesgo de su indeterminación así como también comprobar el trabajo, se pueden visar 4vértices ABCD midiéndose los ángulos , y . De esta manera se formarán 4 Pothenots:ABCP, ABDP, ACDP y BCDP calculándose las distancias AP, BP, CP y DP para continuar elcálculo hasta obtener cuatro valores de las coordenadas.

La compensación se hará tomando el promedio dedichas coordenadas como valor más aproximado, o sea:

X = X1+X2+X3+X4 ; Y = Y1+Y2+Y3+Y44 4

De los cuatro Pothenot se tienen que descartar aquellosen que el punto P resulte próximo al círculo de indeter-minación y resolver los restantes.

PROBLEMA DE HANSEN.- Consiste en ubicar un punto P con relación a dos vértices conocidosA y B.La precisión en la determinación de P, es menor que la que se obtiene aplicando el problema dePothenot.

PROCEDIMIENTO DE CAMPO:a) Se elige un punto auxiliar P’ desde el cual

se puedan visar los puntos A y B. b) Se mide aproximadamente la distancia

PP’, por ejemplo a estadia hasta unos1000m.

c) Desde P se miden los ángulos y , luegodesde P’ se miden los ángulos 1 y 1.

Para una buena determinación de P, debelograrse en la práctica que la suma de + + Bdifiera de 180° por lo menos unos 30°.

Para una buena determinación de P, debelograrse en la práctica que la suma de + + Bdifiera de 180° por lo menos unos 30°.


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Con estos datos se ejecutan los cálculos hasta obtener las coordenadas de P y P’. Como en el proceso de cálculo se obtiene la distancia precisa PP’, el problema de Hansen se utiliza principalmente para trasladar un lado o base geodésica AB a otra más pequeña PP’ que sirva deapoyo al trabajo topográfico por realizar.

Los problemas de Pothenot y de Hansen, así como los métodos de intersección directa sonfrecuentemente utilizados para el levantamiento de puntos que servirán de apoyo para la

fotogrametría aérea. En algunos casos podría ser conveniente la aplicación del método mixto dePothenot y Hansen.

Se resolvería, por ejemplo, los problemas de Hansen PP’AB, PP’BC, PP’AC y los pothenots ABCPy ABCP’ obteniéndose 5 pares de coordenadas para P y P’ de las que tomaríamos el promedio.

La principal aplicación del problema deHansen radica en que permite trasladar unlado geodésico a la zona del estudiotopográfico con adecuada exactitud y enforma económica.Solución analítica:a. Copias de Topografía de Basadre

(proceso de cálculo). b. Libro Topografía de Jordán (Ejemplo

numérico).


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TRIANGULACION TOPOGRAFICA

1) El objeto de la red topográfica es densificar los vértices de la red geodésica para disponer de puntos con menor espaciamiento entre ellos y de coordenadas conocidas que faciliten ladeterminación del relleno necesario aplicando métodos topográficos.

2) La red topográfica que se diseña para establecer el control horizontal de un gran proyecto deIngeniería Civil debe conectarse convenientemente a los vértices geodésicos que se encuentran

en su interior o próximos a su periferia para obtener la posición de sus vértices según el sistemade coordenadas del país. Los vértices de esta red se materializan en el terreno por hitos deconcreto y se les señala instalando en ellas banderolas para realizar las observaciones.

3) Si no es posible estacionar el teodolito en un vértice de la red geodésica nacional para efectuar laconexión respectiva, se determinarán las coordenadas de un vértice de la red topográficareferidas al sistema de la red del país, aplicando el Problema de Pothenot para lo cual esconveniente visar al menos cuatro vértices geodésicos, o mediante la aplicación del GPS.

4) Los triángulos de la red deberían tener la forma equilátera, que es la forma óptima, pero por los problemas de visibilidad entre vértices esta figura no es posible obtenerla en el terreno, por locual se recomienda que los ángulos no sean menores de 25°.

5) Si con esta recomendación no puede obtenerse una red de triangulación continua, se utilizaránPoligonales de precisión conectadas para densificar la zona en estudio.

6) Estudiar el “Diseño de la Red de Triangulación” sobre la hoja de la Carta Nacional que contienela zona del proyecto, considerando que:a) En el caso de triangulaciones topográficas, el lado medio de los triángulos estará

comprendido entre 1 km y 5 km de distancia, pudiendo alcanzar valores menores en casosespeciales.

b) Los vértices de la red se elegirán entre los puntos dominantes del terreno cuya intervisibilidadse analiza elaborando perfiles de las líneas entre estaciones, en base a las curvas de nivel de lahoja de la carta. Los triángulos se aproximarán a la forma equilátera y se tratará de que losángulos no sean menores de 25° ni mayores de 150°.

c) Las Bases de la triangulación se miden actualmente por medios electrónicos o con técnicasGPS. Las mediciones se efectúan en ambos sentidos debiendo emplearse la media aritmética.Las bases deben tener como longitud aproximadamente el valor medio de los lados de la red

de triangulación y es conveniente considerar al menos dos bases, situadas en la periferia y en posición diametralmente opuestas.

7) Se sabe que la topografía del terreno condiciona en la práctica la forma de los triángulos,alejándose notoriamente de la forma equilátera, por consiguiente es necesario recurrir alconcepto de “Resistencia de la Figura” de triangulación para diseñar una red que cumpla con losrequisitos de precisión requeridos, por ejemplo: Para una figura única de triangulación se especifica que la resistencia de la figura debe tener un

valor comprendido entre 25 y 40 para el segundo orden. Y un valor comprendido entre 25 y 50 para el tercer orden. Para una cadena de triángulos, la Resistencia debe tener un valor comprendido entre 100 y 130 para el segundo orden y un valor comprendido entre 125 y 175 para el tercer orden entre la base de partida y la base de cierre.

8) Como en cualquier sistema de triangulación las longitudes de los lados de los triángulos secalculan por la ley de los senos, se debe considerar que debido a que el valor de los senos de losángulos pequeños cambian considerablemente, un pequeño error de observación en estosángulos pequeños produce un gran error en el cálculo del lado opuesto respectivo.Recíprocamente el seno de ángulos grandes, por ejemplo cercanos a 90°, cambian muylentamente, por consiguiente un pequeño error de observación en estos ángulos origina un pequeño error en el cálculo del lado opuesto respectivo; en consecuencia es de desear que losángulos de una triangulación no sean menores de 25° ni mayores de 150°.


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PLANEAMIENTO DEL TRABAJO DE UNA TRIANGULACION DE 1er ORDEN

NOMBRE DEL PROYECTO: .........................................................................................

UBICACIÓN DEL PROYECTO: ............................................ Fecha: ..........................

1) METODOLOGÍA DEL TRABAJO: ESTUDIO DE TAREAS DE CAMPO

1.1 Reconocimiento y Monumentación.a) Estudio preliminar de ubicación de estaciones con el uso de cartas, fotos aéreas, etc. b) Croquis de la selección de estaciones a escala aproximada con distancias, ángulos y

azimuts magnéticos.c) Ubicación en el campo de la situación real de estaciones.d) Monumentación, descripción y embanderamiento de estaciones.

1.2 Base electrónica de partida y cierre.1.3 Azimut geodésico.1.4 Vinculación o Amarre en posición y altura.1.5 Ángulos horizontales y verticales.

2) MEDICION DE LA TRIANGULACION EN EL CAMPO2.1 Medición de bases electrónicas.2.2 Medición de azimut en la base de partida y cierre (por observación de sol o estrellas).2.3 Medición de ángulos horizontales y verticales.2.4 Amarre en posición y altura de la base de partida y de cierre.2.5 Descripción de estaciones nuevas y notas de recuperación de las estaciones antiguas.

3) TRABAJO DE GABINETE3.1 Verificación y cálculo de libretas de ángulos y distancias.3.2 Cálculo de la distancia de la base de p

curso topografia ii

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