curso superior de resistencia de materiales - seely, smith

1. c edicin. Un tomo aplicacin volumen de 1 x 24 OBRAS RECOMENDADAS DE LA MISMA EDITORIAL ANGOT, A. Moderna matemtica para ingenieros. Con Ingenieros Electrotcnicos. Electrnicos y Fisicos. crn., 920 pginas, 358 figuras y 31 tablas. Rst. BEYER, K. Esttica del hormign armado. Tratado Manual de la Esttica de las Construcciones 2 tomos con 892 pginas, figuras y 74 tablas. Enc. BRADY, G. Manual de materiales. (Traduccin del "Materials Handbook"). Un tomo de 780 pginas, 7.500 materiales diversos, 38 tablas. Hst. CASABO. J. Fabricacin de mosaicos y baldosas de cemento. Un tomo con 530 pginas. 306 figuras. RlJSt. DEDEBANT, G. Y MACHADO, E. A. M. Probabilidades. Un tomo de 380 pginas y 52 figuras. Enc. FERNANDEZ y GALLONI. Fsica elemental. 2 tomos. Sexta edicin, con 1055 paqinas y 1183 figuras. RlJSt. FERNANDEZ y GALLONL Trabajos prcticos de fsica. Nueva reimpresin, un tomo de 460 pginas y 266 figuras con 29 ta.ilas. RlJSt. FINK, D. Ingeniera del radar. Un tomo de 680 pginas, 471 figuras y 14 tablas. Ene, GALANTE. J. J. Tecnologa de las maderas. Segunda edicin. rico de la elaboracin. Manual y mecnica su Un tomo de 480 pginas y 490 figuras. HARDY, G. H. Curso de anlisis matemtico. Traduccin de la dcima edicin inglesa. Un tomo de 476 pginas y 61 figuras. Ene. KACZMAREK, E. Estampado prctico. (Segunda edicin] Libro para el taller y la ofic.na con problemas y sus soluciones. 1 Corte. Estampado plano, son sus y herramientas. 11. Embutido. Estampado de piezas Prensado Dispositivos automticos de alimentacin. 111. Herramientas binadas. Medios de alimentacin automtica e instalaciones con cinta transportadora, con 500 pginas y 486 figuras. Rst. KOLTHOFF, SANDELL, MEEHAN y BUCKENSTEIN. Anlisis qumico y cuantitativo. 4' edicin, un tomo de 1.250 pqir.as, 301 figuras y 171 tablas Enc. MEOLl, H. Lecciones de esttica grfica. Octava edicin. Un tomo de 535 pql- nas y 401 figuras. Pst. MORETTI, G, Mtodos matemticos de la fisica. Un tomo de Gil 430 ejercicios resueltos, 268 figuras. Rst. PETERSEN y LEANZA. Elementos de geologa aplicada. Cuarta edicin Un to. de 482 pginas y 214 figuras. Rst. '" SABESINSKY FELPERIN, M. Proyecto de hormigones de cemento portland. e agregados normales. Rst. SElZER, S. Elementos de anlisis matemtico. Clculo diferencial. Clculo in gral. Aplicaciones. Un tomo de 310 pginas Rst. SElZER, S. Algebra y geometra analtica. Con numerosos ejercicios resuelt. Un torno de 775 pqinas y numerosas fiquras. Rst SMITH y GALE. Elementos de geometria analtica. Tercera edicin. Un torno de 435 pginas y 247 figuras, Rst. SOKOLNIKOFF. J. S. y SOKOLNIKOFF, E. S. Matemtica superior para inqenie- ros y fsicos, Ouinta edicin. Un tomo de GOO pginas y 137 Iiquras. Rst. THOMAS. C. E. Tccnoloqia mecnica (Instrumentos y herrarnientasl. Un tomo de 380 paqlnas con 221 [iquras y 40 tablas. Hst. THOMAS, C. E. Tecnologia mecnica. ll (Mquinas y herramientas). Un torno de 350 pginas y 180 figuras. RlIst. USPENSKY, J. V. Matemticas a {as probabilidades. de 4GO pginas. Rst.

2. OBRA DE GRAN INTERES CURSO DE ANAUSIS MATEMATlCO POn G. H. HARDY Traduccin ele lal o edicin inglesa INDICE DE MATERIAS 1. Variables 11. Funciones de variables rea- 111. Nmeros complejos. IV. Lmites de funciones de va riable entera y positiva. V. lmites y funciones de una variable continua, Funciones continuas y discontinuas. VI Derivadas e ntecrales VII Otros teoremas de clculo diferencial e integral. VIII. Convergencia de series Infi- nitas El integrales infinitas. IX. Funciones logartmica, expo- nencial y circular de una variable real. X. Teora general de las funclo- nas loqarttrnlcas. exposlcto- naes y circulares. 1. Las desigualdades de Hol- der y Minkowskl. 11. La demostracin de que too da ecuacin tiene una raz. 111 Nota sobre problemas de l mites dobles, IV. El infinito en el anlisis y en la Geornetrta -IYII, i. F,lUI,A. Un tomo de 472 pginas y 59 figuras. Encuadernado en tela, 3. CURSO SUPEilIOR DE RESISTENCiA DE MATERIALES CO,,'':1'R!JCCI~ 1 (' L t'l C~~,,'d. r.1Ln.A~ 4. CURSO SUPERIOR DE RESISTENCIA DE MATERIAlJES (Traduoldo de Avanoed Mec!lllnlos of Materhds COMPLETADO CON CAPITULOS iNTRODUCTORIOS A LA n.ORIA DE. LAS ESTRUCTURAS, nORIA MATEMATiCA DE LA ELASTICIDAD Y OTROS OEDICAOOS A LA RESOlUCION DE TOPICOS ESPECIALES Pred B. Seely, M. Profesor Emrito de Mecnica Terica y Aplicada James O. Smith, A. M. Profosor de Mecnica Terica y Aplicada de la Universidad de lttlnols TRADUCIDO POR ING. CIVIl. JOltGE S. G. SOIAMMAltELLA Pl'Ofe801' Adjunto del Depnrtauiouto 1" resiatencu eolll.ti(J1> .le uo (JI"meu- to resatente.. . .. ..".................. . , .. , , '" llS ) 5. Deformaeiones en 108 tres tipos de pie.".. . 4~ OAt'(TU,.O 3. TIII'I.WN". y Df"OtUI",oIOIl .. a !l:N UIl P;llTO, 'fl!Q!ttu lne r..A FALLA POR FI.UKNCH~ 11. R~/(tc&'Il Ji}nlt'e laR T.llSfones." 'm Punto 1'M'(I Diferente Plono Pa6anl~q pql' el ,lfiQmo HI, 1'1. 18. 19. 20. 21. 21. 23. 2l. Introduoen , .. . . . , , ,. Oorte puro ,', .. , , . Deuicln de Ir,. tensiones I'rineipltlea. Tenalones llrllleip,hl" en el eotllllo de corte pu!'" , . Teualonee tllongenoilh.,~ mxim..~ en flluei6n d" 1,,0 t"lI.l"II"O l'tllI"II!'''''~,,'. Ch'()ulo de ?Iobr tI".I,," lila tensiones prlnoipales " , ,. Orenlo de Mohr j Tlltl616u tnngeneal combinada COD .loa t~lIs1(mlla ""Im,"lI~. Repreeentaen de lIiol, " j para ol oatado tenslonul triple, ~ ............... TClIslones ocU>"tlrle",.. . . . . . . . . . . . . . . . .. .'........... ..," . ~ 2. Rel..cill6S 1:1111'" las Te.>II11,mcs 11 la. ne",macio".s EMIt.... en 1m Ptm/Q 25. Jutrodllcci611, ......... ,............. . ........ , ...... ,............ 64 26. Deformaciones fh1th.;W1 t1U t'uutlu do IUM ttm~iOflt:r.j. Htu-mnlt~t:l t;H lllullos orto~ gonulea. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..... ................. ........ 611 27. Relacin entre loa Illdul"le olaatlcidad , , .. ". ......... N 10. 2M 247 XV 213 183 183 186 195 199 204 210 2l1. 2. PIII.ea., en que 1(1. Fle;cn e. Domiauue, Pequca Deformacones INDlCE 67. Comporturuiento general de lns plU.C1HL ..... , ... , ,.,',.;,..... . . 1 1. Introduccin 59, Int.roduccidn .. "" ;., , , ,.; . 60. Definioin it)n H-FihutHr,if'lL , , ; Iutroduecin ,.,... ., " , . Tf.!lUJiJW.ui)$ dl'cunfere.neiah:'18 en HU punto cua.lquiera (h~ mm vign eurvn, Ft'- mulude. Viuklerllad.. . . . . . . . . , .. , . F'M~t()1'eir corrootiYtH lHU'n lu, n,plienein lIt, In, fl'IHula lle lna dgniJ. r{~etns, , , . MtOdO de la HI'od6n Def"orlUtlcin d 'igll-ij eul'vtU que titHWU StH~t~iont~s. T tlobk T o ~ilHiltU'N,. Viga eurv" "O" exl.I'8 de falla . 32. Interpretacln de las teort,.. du falla . 33. Apleuoln de 1,. teorllls do fllIl'. F61'mllllls 47. 48. oH. 41. 34, 35. :16. H7. 4" 43. 38. 39. 40. 49, 50. 51. 52. 53. 54, 51. 56, 51. 58. PARTE SEGUNDA. '1'01'1008 E8PEcrALl~S CONCEI~NIENTESA LA REsrSTE:->CIA y RIGIDEZ DE ELgMENTOS ESr.IWOTURALE8 SO~[ETIDOS A CARGAS E8TATIOA8 11. 102. Iutroducciu ,.,.,., ,., .. , ,"",.. ..".,., .... , , 328 103. El problema de la. detcrunuucidu (lt: Iua n-ns iouos por coutueto. .... l ' T . 329 10~. Il ipteais en 1M que S" funde h, solucin del prohlema de ln.s tonsdonee pOI' "ou, tacto , , . . , , "., .. , .. ,.,",... ., .. , . , . , , .. , 331 105. Nntnciu y Riguitieatl de lua tl'luiuos......... 336 106. '':xVl'e.ione8 ,IQ 1". t.,.sl~ CAR-TIG'LIAlSO 126. Importanca .11 In deformaci6n,., , """ ., ,., ,',., . 127, Dos planteo. gmll'ellltl.S , , : ' . . , , .. , .. , .. 131. Teorema de Cailllinu" , , .. , " """""'" .,' 132. Otros mtodo... ' , , , , .. , , , . . . . .. ., .. ,., "." ~ 2. Co.". ,e ( un ' " 1 uua tensill deee a a ,c'l' lo e"tlldera [i mi t ar a la la eslamos COlblt (ralH ,,""'liloreirol11!lldad 1 al [i mit e de de !Ua" , , mediante lu T"IlHltlOll til de la H:za , ) , ' 1 estuviera hecha ,,Ihnfo anlenor, 1 el o SI a de las terial indl(:a'H en;:. 1 1' ,',e admiliera un a fluenf.:ia de un matenal ,luco } ,C , , ' , , ' , 1ll"O!J:lUlJX , , " inh~rl(ll'es de la nnsm a. (. Iihras ( , 1 de " no llumentllnll ro n a "nHI:lIUaleneld ' hnllte ;istente de la seCl'in Por , e m,o( ,1 fI ',',,', liqninuye "roporci,,',Jualmente, 1 " ) 1 normal (e exion ( , el que existe en la cabesa de perno solrcituda al corte de la o la barra sometida a torsin de la 20c tambin se presenta en la de la 5, donde la horizontal, se es la que la falla 18. Definicin de las tensiones Cualquiera sea la eom- binacin de tensiones en un de un cuerpo solicitado, existen tres planos normales entre pasantes el punto, en los euale slo actan tensiones normales; las normales en esos planos donde las tensiones tangenciales son se denominan tensiones principales. La tensin normal mxima en un punto es siempre una de las tensiones principales. y por ello dichas tensiones pales revisten mucha importancia en los de . La tensin normal mnima en un es tambin una de las tcnsrnnes principales, y la restante principal pues, un va~or intermedio entre el mximo y el mnimo. En muchos casos, sm embargo, una de las tres tensiones es nula, y, con no poca frecuencia, son nulas dos de ellas, T 17 Corte puro. Si en un un punto de un euerpo solicitado existe una tensin tangencial haber una tensin tan" gencial de igual en plano en punto Esta afirmacin e" cierta indelH"IHlientellllente de que en los donde existen esas teusio- acten 1) no tensiones normales y demostrarse cubo uni!lIrio: cada una de cuyas las tensiones en un punto pueden no dar, en todos los ea- sos, los valores ms significativos de tensin para determinar las cargas mximas que puede resistir una pieza sin que se produzca dao , las relaciones entre Ias tensiones correspondientes 11 diferentes pasantes por el pun to una informacin bsica muy valiosa que ser ntil izuda en los restantes captulos de este lihro. En los articules que se enumeran algunas de relaciones elementales ms de di. tensiones suponer que el rea de Caso se lo denomi- y la fuerza Il.C1uan- considera nna ccrnponcnte dicha cara misma rea. este Iibro. el rea de In cara. cada cara del 'na volumen o tes en cada cara La tensin que reccin dada que existen trazando a las im" cuando se trata de resist i Iactorcs u del m,,,p1l""" temperatura, merece detenida refiere la distribur-in de las tenaiones. si un construido con muleriaJ est some- 11 cargas estitica.1 Il temperatura ordinaria, el dao estructural de dicho miembro consistir, en 18 Iluencia del mate- pero la C(Jirgla la falla solamente rmilll'ci6n m.,. y v, se trene : Si en la 241' se Ira- J- f. :;;a un rauio que orme un con el eje de 0', las coordenadaA del punto ;; hre la circunferencia representan las plano que forma un ( 90" como indica la .En 11 y suhstituyendo en ellas O por La 2"1" muestrll las !enAi(Jne~ O' O' V r en el do ; tensi,~nes actan s~bn: :lo~'p!~~os normales gl:HlleA por el y que forman un () con a telIsiones genci!!] en 39. en CIRCULO DE MOHH sienes de truccin a el plano. Una conveniencia de descomponer d Citado rensional considerado en esa forma surge del hecho dt (lile 111 accin ane last iea n Ilucncia de un material se presenta ordinariamente asociada con un estado de corte puro, mientras que iu Iructura, lue va acompaada por muy escasa o ninguna f'lue nr-ia, tiende 11 producirse cuando existe un estado tensional consistente en IPn;dones principales de traccin les o pneo diferentes, principalmente cuando se trata de un estado triple (t racein triple). Pero cuando esas tensiones iguales de trae- cin definen un estado dohle (n sea que la te rcern tensin principal es nula}, el material sude fallar por fiuencll antes que por raerura, debido 11114 tr-ns.ione s tangenciales que se desarroll an en planos in- dinados a 45 con respecto al plano de las dos tensione principales no nulas, Eslo li mit a la utilidad del Inoeedimiento que antecede para estudiar el efecto del estadn tellsiollal en un punto sobre el probabl modo de falla (f'luenciu o Iruetu ra fn~il), YIl que slo mite considerar simultneamente dos de las tensiones vale der-ir (pJe son ignorados los dectos dc las tensiones en inclinados con respecto al plano que contiene 11 siones principales oons.idcradas. En el a rt eulo que se lit de Mohr genendi"'Hla para el estado y se el procedimiento para hallar las tensiones tangcuciues en oetudricos pasantes por el punto en estudio, que hace incluir simultneamente en el anlisis el efecto de las t res tensiones principales. (e) A (1 lb) del circulo de Mohr estado plano que comprende dos (a) TENSIONES Y DEFORMACIONES ;:N UN PUNTO tensiones priIllcirllllcs, como indica esquemticamente la Debe observarse que tensin tangencia! mxima no es nula, sino que es igual a %al O %ff2, ya que la tensin mnima es igual 11 cero (1). Por otra parte, le deduce que un id) '9~ El es-taflo u-usioual en un punto {~8t definido flor una tensicin principal (h~ trnccin 0", 280 kg/cm' y unu tCl1.n principal de compnms;)n (J, 140 kg/cm', aiendo nula la tr reera tensiu principaL Dctcrmi- bar la tenaiu tangencial mximn mediante el erculo de Mohr y hallar 108 phUH>8 en IOB cuales, ella De verifica, lO. Construir el circulo de Mohr el estado tenaionu] en un punto un cuerpo en el cual dQS tensiones plindpul, El valor del ngulo (J' puede deducirse de la Fig. 29b, ~enendn en cuenta que; (20) (19) + T~ 1 +2 mxima Tmx es igual en magnitud a la 01" la circunferenciaFig. 29b) .y su valor es: oc CC'~o f'J;c +~ 1 2 CA OF = OC CH y la tensin p rincipal mnima 1'8; "mx Las te,nsiones pl"incipale" "1 y !Te son iguales 1 1" 11 , . " II as a SCISa!! (e los ll):m os .' y respeetivamentc, y su expresin algebraica resulta ser "' siguiente: donde If. Y (1, se e()lls.ll"I'~ll '1(1"1'" " .1,.. ,.~ VIIS SI son lW t ruce iu v si son de cumpresin. J negutrvas La tensin (11 dada por la h (1)." la '"' . . ,.ma 1 . . d " ~. t'1I~1n1l p r murpa rnx i. .~ !ellSWn a-. ada por la F., 20 e I I . , .'. . nima siem ire ~ ' . : . Sil em"HlIl pnnl"pal m t :. ' 1 que sea ulla le!IShOlI de l~(llllpre:,;.ill pt'nI si .'s de raCClUlI (eonHl ocurre en la F, 29(l . ' 1 ' .', , .... ... .... IIV sen! a len81011 principal 56 TENSIONES Y DEFORMACIONES EN UN PUNTO binacin de, tenaones est representada en la Fig, 29a, donde rf~ y ay son las tenslOn~s normales y T l~ t,ensin t~ngencillL Propongmonos hallar las te?~IOlleS no~ales mllXI~lI y ;n~nima (tensiones p riueipa- les) y tambin la tensron tangencial maxuna, en el punto considerado. Este prohlemn ha sido resuelto 1 F' 29b 1 en a '115. con auxi io del e~reulo de Mohr, .donde las tensiones normales se Ilevan como abs. ersas, las de traccin (positivas) hacia la derecho 1 d. . ( ivas] . ." " y IIlS e compre. sJO~ negativas hacia la iz.quier~a, y. las tensiones tangenciales- se llCHlII, como .ord?lladas, hacl~ arriba SI son positivas (ver Art, 21) y ha.em. abajo S,I son negatlv~~; las tensiones tangenciales en las :llnl:S don~le aclua.!Ty son pos:t1Vl!S, puesto que forman un ptll.' del ,..C!lt!(lo de l~s agUJ1IS d,el re!nj. Las coordenadas de dos puntos; A y E de la circunferencia de Mohr son resneetivnmcutc ( _)I ) l)' l ' ' . " .. ,. (1"" T Y ,l1y T . rcna oircunferencia debe pasar por ambos puntos y adem BU Centro debe encontrarse 80hr.e el eje de las .~. ser lO ~8l ' . .. .' . v, a , . r con81- e plinto e donde el dimetro AE corta II dicho eje. Ha. . oent;'o en e con radio igual a CA o CE, se truzn el circulo (le Mohr. El centro es. ~I punto medio de l segllH'nto DR, de modo 8U IIbsOlS8 es % kx+ ,.011 am )O!il I~ .x voy .. tensin tangencial denuda del punt: H de 42. un eslado d" las enSiOllf.'S ("rcera (en,l')!l con el nombre t ie- ~nele denom UIl 23. de !VInllO 11lItll Jos Sf~ ha snpllesl() lile e,dstu lel1sin plano. Sn , < =0 1"m,A, t 1"1(1. B Par" semictrculo, Para 66. DE 38 Introdncci6n. de flexin .M = la e8 CAPITULO ;: flEXION OBLICUA un seccin, tienen secciones resistencia a la a la frmula nrovectada para ohtener maxnna t ens.io nes desarrolladas resnou der In 67. de flexin: () = l'1r!I(llc); en otros la forma de la seccin ha sido diseada de modo que el mdulo resistente sea tan como resulta factible. No ohstante, en este veremos una seccin que ha sido racionalmente proyectada para ''''''''''Y'''o,,, normal o recta puede resultar inadecuada o ineficaz la flexin es V'.'Lll;U1 sen Ct.ces oc cr = km = k =k Suhsttuvende en la Ec. 103 la expresin de es dada por la Ec, no se tiene: pero: = I y por consiauente donde es el momento de inercia de la seccin con respecto al baricntrico ex al OX' e el momento centrfugo 69. 11(; FLEXION OBUCUA TENSIONES E1 LNA "IG,'. SOMETIDA A FLEXION OBUUJA 117 alrededor en el mismo otro angular para cuatro diferentes 120. ten -in hallarse co rno bnricntricu- ; en el centro del corte] (a) 20 cm de viga actan contenidas del baricntrieos, 5.625 cm'15' ]5 2' li),i}{)(j cm' 20 i2 al en un punto hallarse, de acuerdo con las en la direccin perpendicular al y sumando por unas y otras componentes. hb" ir :< 45" 47' (como indica la Fig, 66), encima del eje neutro estu solicitados a compresi u soHrt;, ~{l':; '~ traccidn. La. teusin normal en el vrtice tg (fu!Iv) tg = (11),00015.625)' tg 30 = 1,028 b h' fu ~~ 12 Problemas illl8trativos Todos 105 punta. de seccin y todos puntos pOUIO simplemente apoyada, con una separacin punto medio de luz acta una concentruda 2.700 kg~ neutro y la mxima tensin nor-mal flexin. suponiendo que el' nngulo de 45 con el plano medio vertical de la viga. Problemas 55 12', cr 101 kg/cm' 57~ crn, h era l 50 CEn. Si tensin normal de flexin rn- xima P vale kg/ru12 calcular el valor de P. Sil. la Fig. 69. b = cm. h == 20 cm. 1,9 cm. = 125 cm y P 1.80{) kg. Calcu- lar las tensiones normales de flexin coA y en C. 59. En la 70. b 15 cm, t == 5 cm, h 15 cm, lOO cm, P = 2.700 kg Yf = 30, Ca1eular la normal de flexion en.4 determinar la posicin del neutro. 60. Un perfil r de acero laminado, de mm de altura 12,2 kg/m peso (, es utili- Vale decir que, si la tensin en B es el factor que h. de considerarse limitativo de la capa cidad resistente de la viga, valor de la admisible obtenido mediante la formula ca rriete de flexin, al suponer que el eje X es el neutro, seria alrededor de un 15 por ciento er neo por exceso. v (b)(a.) B con los que que neutro es- plano de cargas y aplir-ar de Se supone que la est impedida (~ t or-sionar arriostrnmientos la terales, no representados en la Fi'ft. 71. 120 FLEXION OBLICUA DE NEUTRO AUMENTO DE TENSION EN PERFILES LAMINADOS 121 FIG.74Fro. 73 M. Una viga de madera, cuya seccin mide l2 x 40 cm, est sometida en su. extremos a UDa compresin de 28 kg/cm$ en un cuarto del rea de 1" secein, como indica la Fig, 74, de tal forma que la fuersa resultante P en el baricentro Criel rea rayada vale 3.360 kg. Soh,", la viga acta adems una carga uniformemente diatrihuida de 450 kg por metro lineal, elll el plano medio OY. La distancia entre apoyes es de 3.00 m. Rallar 1" tensin nermal m::mll producida en la viga. La deformacin de la pieza se supone deepreciahle. mxima en el perfil. {b} Si este ltimo estuviera diepueatc con el ala CD dirigida en el sentido ascendente del techo el ala DA en el sentido descendente, cul sera 1" tensin mxlma deaarrollada en 1a piez,,? Hesp.: (a) O'A -155; O'B = -190 kg/om$ (b) aA = + 505; crn = -- 725 !. 10.000 = 0,785 cm en cuanto a .1 se com.. ser igual a X s{3 = cm Problemas El valor de el: resulta ser (de acuerdo con la El'. H8), '150 45' su direccin es perpendicular al eje neutro, ya que 79. Calcular la flecha de la de madera en el Probo 53, que esa feche fuera la misma que una carga distribuida de igual to tal (120 kg). Ind'quese en un esquema, la direccin del corrimiento, Se supondr que E = 70.000 kgjem'. Re.p.: .6. = 1,84 cm 80. Calcular la flecha de la viga penpueste en el Prob. 54, suponiendo que la total (4.5{lO k;) estuviera uniformemente Indiquese eequemticamentc la del 'Corrimiento. Resp.:.:i. Ot4? cm neutro. 71. Resol,..r el Probo 6] por medio de la Ee. H2 y la construccin gdnca de la Fig. (12. 45 Deformadn de una viga sometida a flexin ohleua, macin elstica de una viga sometida a flexin oblicua un mtodo similar al utilizado en los para la determinacin de las tensiones. El momento flexor componerse en dos direcciones a los principales deformaciones originadas por una de esas componentes lan mediante las frmulas usuales correspondientes corrimiento transversal efectivo de un pUllto de la de los corrimientos calculados en base a los momentos como Este da tanto la como que la es 77. 132 FLEXJON OBLICUA CEJ'ITRO DE CORTE DE eN ti SECUON ASIMETRlClI. 133 nu donde 'u es la dis- V' Y por lo tanto; D~ se tiene :I:JfD V R' Pero:s.::,MD 2,81 ea = 0,40 cm z (1,21 + %. sen 260 38') d. = 0,143 V' De manera anloga se determina el valor Cv = 0,79 cm, distancia del punto D a la recta de accin de la fuerza de corte resistente perpendicular al eje V, como muestra la Fig. B4c. Por' eonsgniente, el centre de corte pedido e. el punto O (Fig. Me) determinado por las rectas de accin de las dos fuerzas de corte resistentes V R' ti. Una viga de acero, utilizada cornil parte integrante del armazn de vagones ferroviarios, tiene la sec- ciIl cuyas dimeneiones se indican en la Fig. 85. Determinar el punto (centro de corte) de la seccin por el cual debe pasar el plano de cargu P""" que la flexin no vaya acompaada de torsin. Resp.: Su = 6,~ cm, et' = 22.6 cm 1. Batho, C. B., "The Distriburion of Stress in Eeraain Tension Memben", Tra ....actio... of Ihe Canadian Socicty of CidJ Eng,neers, Vol. 26, p. 224. 2. Hatho, C. B., "The Elfect of the End Connections on the Dietriburion of Stress in Certain, Tensin Members", Joumal oi Lite FrankUn nnilute, Agosto 1915. 3. Cross, R . ''The Columu Analogy", Builetin: 215, Engineering Ex.periooerlt St.ation, Un- versity of Illinois, 1930. Desarrolla ecuaciones similares a la 133. pero en forma diferente. 4. Flemng, R.~ "Tahles Aid Selection of Steel Purlins for Sloping Roofe", Engineering Record, Marzo 3, 1917. Los textos 5-8 utilizan polgonos de mdulos resistentes. S. Floole, G. A. Y W. S. Kinne, $Iructural lfembers a",1 Co"n"'ljo"., l'lIcGr"w-HiIl Book Co., New York, 1924. 6. Jobnsce, J. B., C. W. Bryan y F. E. Tumeaure, }IIadern Framed Slma"res, Parte In, 9' edicin, Apndice C. Jobu Waey & Sonso New York, 1916. ) " (L;;V, = . da=. 'Id. "'~ 11 Tomando momentos con respecto al tanela del punto D a la recta de accin donde 3 es la distancia desde el extremo Iibre del ala superior. La tensin T = Q = .ti (1,21 + %3 sen 26 38') el momento esttico del rea rayada (Fig. al eje U. Por coasiguiente e recta de accin.. pero sentido opuesto a F ', PeTO VR es la resultante de las fuerz.as de corte V" Vi y V representadas en la Fg. 841>. Si tomamos como centro de momentos, para Ioca- li1l8J' la recta de accin de VR, el punto D (por donde pasan V. y V,), .,,10 ser necesario conocer el valor de V,. Dicho valor se calcula como sigue: (e!, Fw. 8~ (b = O,t.:) {~nl x = O.70em !J = 1 cm Problema 31. Unaviga tiene 1a seccin asmtric.. cuya forma y dimensiones se indican en la F;.114a. Localizar el punto (centro de corte) de la seccin por el cual debe pasar el plano de cargas si se quiere que la viga flexione sin sufrir torsin. Solw;i6n. Se determina el barcentro e de la seccin y se ealculan los momentos de segundo orden: 1Z' 111 e 1Xli con respecto a un par de ejes bericntricos convenientemente elegidoo (X. Y en 1.. Fig. B40). Esos valores son: I z = 1.765 cm" I y 0,955 cm' e =-0,.54 cm', Lo. ejes principales de inercia U, V Y los momentos de iuerria principales; Iv se determinan mediante las rmula del Apndice In. Los valores son: fu = 2,04 cm" = 0,68 cm'. Ahora supcnemos aplicada " la viga una carga de direccin perpendicular eje U, que origina en la seccin la fuerza de corte V' como mdica la Fg. 84/>. Para que la exn no vay.a acompaada de torsin, la fuerza de corte resierente VR debe tener la misma magnitud y 46 Centro de corte de l.m.a seccin asimtrica. En el Art, 34 (Cap- tulo 4) se desarroll UD mtodo para localizar el centro de corte de secciones no cerradas, compuestas por rectngulos angostos y que tienen un eje de simetra. Ese mtodo es tambin aplicable cuando la seccin, compuesta por rectngulos angostos, no tiene ningn eje de simetra, vale decir, es asimtrica. La manera de proceder es la siguiente. Se determinan los ejes principales de inercia baricntrieos de la seccin y se calculan los respectivos momentos de inercia. Se suponen aplicadas a la viga cargas que actan en un plano perpendicular a uno de los principales y se determina la recta de accin de la fuerza de corte rente, por el procedimiento del Art, 34. Luego se supone que las cargas actan en un plano perpendicular al otro eje principal y se determina, como antes, la recta de accin de la fuerza de corte resistente. El punto de interseccin de las rectas de accin de ambas fuerzas de corte resistentes es el centro de corte buscado. En el siguiente problema se desarrolla un ejemplo ilustrativo de ese procedimiento. En la flexin oblicua, lo mismo que el caso particular de la flexin recta considerado en el captulo precedente, la determinacin del centro de corte (y del eje de flexin) puede tener importancia, a fin de ubicar las cargas de modo que su plano pase por el eje de flexin, imp- diendo as que la viga experimente torsin al flexionar. 78. 134 FLEXION OBILICUA 1. J,o!mson, L, J., "An Analysi. of Genera Flexure ina Straigbt Bar ef Uniform Cro- Seeton", TraruM:lioMoflke AmericanSociety ofCivil Engineers, Vol. 56,1906, pg. 169. 8. John.on, L. J., hThe Determinarion of Unit Stre._ in the General Case oCElexure", Journol of Engineering Societies; Vol. 28. 1902. 9. Moo.re, H. F . hA Brief Discuaeion of the General Theory of the Flexuee of a Straight Bar of Uniform Cross Secrion, with Speeial Applicetion te the Flexure of Steam Tur- bine Blades", Bulletin 183, Engineering Experiment Stataon, University oCIIlino". 1928. 10. Saville, W. G. S., "Anaiyzing Non-Homogeneous Seetious Subjected to Bending and Direcr Stre ", Cil,jJ Engineering; Vol. 10, N 3, Marzo 1940, p. 170. H. Talbot, A. N., "Ffth Progrese Repon ef Special Committee 00 Stress.,. in Railroad Track", Buliain of lhe American Railwa;)r Engin""r. A..oeimion; Vol. 31, N 319, Septiembre 1929, pgs. 36-40. 12.. Watcrhury. L. A., Slres.es in SlTuclural SI""l Angles. John Wiley & Sons, 1911. CA.PITULO 6 PIEZAS CURVAS SOLICITADAS A FlEXION 47 Introduccin. Una de las hiptesis en que se basa la frmula de flexin M = oI] es que la pieza (viga) sobre la cual acta el momento flexor 111 es inicialmente recta; en lo que sigue nos referiremos, pues, a dicha frmula como la correspondiente a las vigas rectas. (1) Sin embargo, muchos miembros solicitados a flexin tienen forma curvilnea antes de que acte sobre ellos dicha solicitacin, como ocurre por ejemplo con los ganchos de gra, los eslabones de cadenas y los bastidores de las mquinas punaonaderas o balancines. Por otra parte, algunos miembros tienen partes curvas que soportan flexin aunque en su con- cunjunto la pieza est destinada a revestir otros esfuerzos; tal, por ejemplo, la extremidad de una barra con ojo, en un puente. Interesa, por ello, estudiar el efecto de la curvatura inicial de una pieza sobre las tensiones y las deformaciones producidas por las cargas que le son aplicadas en su plano de curvatura inicial. (2) Diferencia esencial entre las vigas rectas )' las curvas. En el anlisis que sigue supondremos que se cumplen todas las condiciones requeridas para que la frmula de las vigas rectas sea aplicable, salvo naturalmente. que la pieza tiene una curvatura inicial. Sea la viga curva DOE (Fig, 86) sobre la cual actan las cargas (acti- vas y reactivas) Q. Se admite que hay en la pieza una superficie cuyas fibras no cambian de longitud durante la flexin (dicha superficie se denomina superficie neutra) y que la variacin de longitud de las fibras comprendidas entre dos secciones rectas, tales como A B Y A1B!> es proporcional a la distancia que separa a dichas fibras de la superficie neutra, acortndose las que estn situadas encima de la superficie neutra y alargndose las que estn debajo de la misma; o, lo que es equivalente, que las secciones inicialmente planas se conserven planas durante la flexin. Esta hiptesis concuerda aproximadamente con la reali- dad, como se comprueba experimentalmente por medicin directa de las deformaciones, con extensmetros, excepto en aquellas vigas que Veremo-. Slll 1;). Il~ ]11'" 'i.:.:ax recta, .... pllPI1;~ npli-urse , :iin CIHW'It'I' t'lTiW II Jl~;:-:ar- que ,,;-tl icfumen te l!t"ll(,llalJ c-ouaidcru rae /'UfO'O pie,zns ('ID'yas : [a l'XIH'('Kil1 "";;1 eurva. ~I~ t-eflcve pu.es, a i,. Bulh-tiu 145, Eu_giHt1t~riug: E-"ll!.~dmellt Srutinn. lcwa Sturc Collcge. lH40, 79. 137 xo --r { , da y TENSIONES CIRCUNFERENCIALES EN UNA V]GA CURVA F'H', 87 fuerzas que actan sobre dicha porcin de la pieza. Las expresiones as obtenidas son: Sus para cualquier punto de la seccin, estn dados por la frmula que se deduce en el artculo siguiente. 48 Tensionee circunferenciales en un punto c~era de una viga eurva, Frmula de Winkler-Bach. Supongamos qne se requiere determinar la tensin normal en un punto cualquiera de una seccin recta de la curva, en funcin momento flexce M que acta sobre la seccin y de las dimensiones de la misma. De acuerdo con el Paso lo del procedimiento desarrollado en el Art. 8, se pone en evidencia el equilibrio de la porcin de viga situada a un lado de la seccin, COmo muestra la 87, y se aplican las ecuaciones de equivalencia (1) a las PIEZ:, fLR A~ ~OUUT.1l S . F!.EXION13fi tienen secciones perfiladas, tales como la T, la doble T, etc., con un alma delgada o alas relativamente anchas, como se ver ms adelante. En la Fig. 86, A B Y Al BI representan las trazas de dos secciones rectas de la antes de la aplicacin de las cargas. Al cargar la pieza, la variacin . longitud de una fibra cualquiera limitada por ambas secciones, es igual a la distancia entre las rectas Al Bl Y A'B' medida en la direccin d~ la fibra; I~ superficie neutra est representada IJor y el alargamiento de la fibra P'P, es PP'l' etc. Por conveniencia, supondremos que la traza A B es un de simetra y no cambia de direccin. . La deformacin lineal (variacin de longitud) de las fibras es propar- eional a sus respectivas distancias a la superficie neutra, pero la deformacin unitaria (variacin de longitud por unidad de longitud) no lo es, ya que las fibras no tienen la misma inicial, a diferencia de lo le e) ..'I!'r. dt:l T, TIt la CXPl-t'Kn I.jn rt'lllhllHl el' flmlJ:i:-is que (t' !'lll';.n l'OTI-I.}1'punde al e-neo el! que In Hru-a de !tlt:I'Xf: Pi'< u u lit, :titlwl'a. Por eso un el pla ntenmk-uuo (h, las ecuaa-ln- llle:"; de tt;.Jvuh:ncM :-le omtada y esta ltima est asoeiada fundamentalmente COn las tenaienea circunferenciales en las alas. FIG, 103 tal como el ARDE de la Fig. 103a. que aparece ampliado es el esquema de cuerpo libre de la Fig. 103c. Las caras AE y RD, que forman un ngulo muy pequeo de, tienen un rea a' correspondiente a la zona sombreada de la Fig. 103/:1. En cada una de esas caras, Iaresultante de las tensiones circunferenciales es una fuerza T (Fig. 103c) dada por la expresin: 911. Supngase que la pieza curva de la Fig. 92 tiene una seccin T euyas dimensioues guaro dan las proporciones indieadas en la Fig. H de la Tabla 5. Sean esas dimensiones, R = lO cm y 1= 2,5 cm. Si el valor de la carga aplicada es P = 1.800 kg, calcular la tensin circunferea- cial en el punte A, utilizando el mtodo de la seeeia corregida de Bleich, Se supone que las te""ion"" no exceden el .lmite elstico del material. 9!11. Calcular la tensin circunferencial mxima en la seccin DE de la pieza curva de Preb, 88, ntili>andoel mtodo de la seccin corregida de B1eeh. S2 Tensiones radiales en las vigas eU'r'"VU~ En los Arts, 48 a 51 se han dado procedimientos. y frmwas para el clculo de las tensiones normales de flexin que se originan en las secciones rectas de las curvas (secciones planas que pasan por el centro de curvatura y son T= a da donde f.1 es la tensin circunferencial en un a'. dada por la Ec, 148. La :fuema radial cualquiera del rea en la cara DE es igual 92. 162 PIEZAS CURVAS SOLICITADA.8 A FLEXION TENSIONES RADIALES EN LAS VIGAS CURVAS 163 Para resolver la Ee, 173 es preciso conocer el valor de la fuerza T, dado por la Ec. 172. Sien esta ltima introducimos la expresin de a dada por la Ec, 158, se tiene: Problema ilustrativo Problema 100. La Fig, 104.. representa una piez.a curva utilizada como cuerpo de una prensa pesada. Las dimenecnes de la seccin AH son las que indica la Fig, 1046. La pieza e"t hecha de fundicin de hierro y soporta una carga P = 4.5(}~ kg. Cal",ular la ten.in radial en la seccin del alma donde sta se une con las alas interiores. Se supondr que ",1 comper- tamiento del material es elstico '1 que no se sobrepasa el lmite correspondiente. Fw. lOl (173) (174) (175) yda R +y Z' = _.!.-(1;' al producto de la tensin radial G" por el rea de dicha cara, o sea: F,. = (JI' (R +y) t da, donde t es el ancho de la viga a la distancia y del eje baricntrico. La ecuacin de equilibrio que resulta de igualar a cero la suma de las componentes radiales de las fuerzas que actan sobre el bloque ARDE de la Fig, 103c, es: ar(R +Ji) t de = 2T sen (di:l2) = T de Jr = TI[t(R +y)J T = ~ J~da +a:Z J~c ~ay En la Ec. 174, la primera integral representa el rea a' de la Hg. 103b Y la otra integral tiene la misma forma que la que define la magnitud Z en la Ee, 153,. por lo cual haremos: donde Z' es una magnitud earacteratica del rea a' anloga a la magnitud Z de la seccin total a. Introduciendo esa expresin en la Ec.174, se tiene: So,luci... El rea a de la seccin es iguala 139 cm2 y el rea a" comprendida entre el borde interior (cncavo) y la seccin DD cuya tensin radial se quiere calcular. es igual a 75 cm". Adfims. se tiene: en= 7,62 cm, e, = 2,62 cm y R 12,22 cm. De acuerdo con la Ec, 175. el valor de X'es: y substituyendo este valor de T en la Ec. 173, se obtiene finalmente: en la cual Gr es la tensin radial en un punto ubicado a distancia )' del eje baricntrice de la seccin. Los signos de M y de y se determinan como ya se indic en el Art. 48. La Ec. 176 da valores bastante aproximados de las tensiones radiales en el alma de las secciones '1' o doble '1', pese a que la frmula de WinklerBach (Ec. 158) utilizada para el clculo de T en la Ee, 174, no da los valores correctos de las tensiones circunferenciales en dichas secciones; esto se debe a que el valor de la fuerza T es las alas de una seccin T o deble T cambia muy poco debido a la distorsin de la seccin cuyo anlisis se hizo en el Art, 51. Por otra parte. la adicin de una carga axil [esfuerso normal) al momento flexor tampoco afecta los valores de las tensiones radiales. 1ifa' ( Zf)O"r = Rta (R +y) '.1 - Z' (176) Z' = _ ~ da = _ ~ [-2.62 .... Y a' )-7,62 + y = _ ~ [x- R loge (R +y)].-2.62 = 0.798 7 5 - 7 , 6 2 El valor de Z, calculado numricamente (ver Apndice III), es: Z = 0,290. El momento flllltOl' en la seccin A B vale: i'l1 - aa.700 kg cm y entonces la tensiOO radial. de acuerdo con la Ec, 176. es: "r = Rl" ~"~el) (1 ~ ~;) = - a8,700 X 75 X = 375 kg/cm" Esta tensin es de traccin ya que el valor de (JIr obtenido es positivo; puede observarse que un momento exor negativo produce siempre tensiones radales de traccin. El valor calculado representa la tensin radial mxima, como surge del diagrama de trazo interrumpido de la Fig. 1044, cuyas ordenadas representan la dsteibuen de Ias tensiones radiales a lo largo de la seccin AB. La curva de trazo lleno representa la variacin de las tensiones creunferen- ciales dadas por la Ec, 161, el valor mximo de estas ltimas tensiones es 218 kglcm'. En este caso, pues, la tensin normal mxima es la radial: quiere decir que al crecer la carga aplicada a la pieza, sta fallarla probablemente por fractura, producindose la separacin de las alas interorescon respecto al alma del perfil. Este tipo de falla ha podido observarse en vigas curvas perfiladas hechas de materiales fr..",:!'J' H 93. 16 -! FIEZAS CURVAS SOUCrrADAS A FLEXION VIGAS CURVAS QUE TIENEN SECCIONES "LLENAS" 165 Fm.1''O. En este problema DO se ha considerado el efecto de la"",n"",ntracin de tensenes en el canto de unin del alma COn lss alas, debido al Cllalla tensin radial mAxitna ha de !SU seguramente mayor que la calculada precedentemente, Ese aumento de tensin ea un fenmeno me o menos Il>~ado y puede no tener importancia si el material de la viga ea dctil y las act.,. en fOmJ.a esttica. Pero si el material es frgil, o aun siendo dl1etil, si 1" est a cargu repetidas, las teneiones iocalizadao BOn .igniiicativu. La concentracin debida a l 4, puede utilizarse una expresin aproximada, ms sencilla, del trabajo efectuado por el momento flexor, En esas vigas, la curvatura inicial puede despreciarse y la expresin de la variacin angular a de se transforma en: (M ds)/El. El trabajo realizado por el momento M para producir la variacin angular ti d'lJ en el bloque elemental, que es igual a la energa dUM. vale entonces: y la energa de deformacin absorbida por toda la pieza debido al momento flexor, es: De ecnerdo con esta ltima expresin, el trabajo realizado en el bloque elemental, que es igual a la energa de deformacin, puede ponerse en la siguiente forma: T I , l l lM2ds dU M = 2M . a Iv = i EaYoR (178) (179) por lo IN2 IN2ds dU, = - - (a ds) = ---"2Ea2 2Ea PIEZAS CURVAS SOLICITADAS A FLEXION166 La energa de deformacin en todos los bloques elementales tanto, en toda la pieza) debido al esfuerzo normal N es: UN = JdUN = ~ JN;:s Esfuerzo de corte V. De manera similar se obtiene una expresin aproximada (1) para la energa de deformacin en el bloque elemental de- hida al esfuerzo de corte V, utilizando la tensin tangencial media: 't" = Va. La energa de deformacin por unidad de volumen en este caso es: %(-c2JG) = %(V2fGa2 ) , y para el bloque elemental: T Iva IV2ds IV v= 2 Ga2 (a ds) = 2 --;;- (186) {t~ Para. obtener un valor mibl exacto del tl'ahajn de deformacin tleltidn 8; esfuerae dE'rorte. suele tntrodueree en lag Bes. 180 y 181 un factor (te eorreeclon (fuctcr de forma). Por t:ll'mplH, H-i la seccin es, rectangular, el miembro tle-r-1~htl de las: Res, 180 ~: t81 elebe multipl..eree por 1,Z. T&leM enrreeeeues, ",in embargo, son uneeeearlae, a m1:'n.., Calcular la variacin de distancia (desplaeamentc relatlvll) producid.. por la carga P entre 1", puntos A y B de la pieza. Se supone que la. tensOOn"" no exceden re Ilmite elstico del material y que G =2/5 E = 84l>.OOl> kg/em". (191) r MN ds + , EaR ds -'J I N2 J"1 V2 flU = .'. - ds + - -- ds + -2 2 G a .2 i. Ga ' .. EaYoR cP , r M aN ds J...1V aM d T J EaR + .. EaR s (192) FIG. 106 Sol...",.., Se introducen en A B la. carga" ficticia. P', La. expresiones de .~, N Y V en uaa seccin cualquiera tal como {Fg. 10(6) son : M = - P - (P + 1"') R cos e N = (P + P') cos e v = (P + P') "".11 o y 1M derivadas pardales de esas expresiones con respecto a P' aon.: = -R CoB {I = cos 6 aV/Op' = sen!'l su = J. N (JI' ii -l- f.., V al" d . J.. M.. cM. oP s , J oP s + .. El ap (193) Introduciendo esas expresiones en 1a Ec. 192, donde d$ R dO, Y haciendo P' = O. se ti." el sgu:iel1lte valor para 1", aefQ!l'llUciu huecada: 96. Problemas . ,Quie~e deci~ que en una pieza de fuerte curvaturaeorno la de este problema, donde la rela- Clan ,R/t: es Igual a 1,67, la Ec, 193 da un valor de la deformacin 30 por ciento mayor qne la Ec, 192. ~uando la relacin Rlc es igualo superior a 3, sin embargo, el error no excede del 5 P'lr Ciento. IH (197) (196) (195) (194) P V2 = J2Gaw ds Ad6- M_ ds El' VIGAS CURVAS QUE. TIENEN SECCIONES DOBLE T,. T Q SIMILAR Para haUar el trabajo de deformacin debido al corte en las vigas de seeein T o doble tanto rectas como curvas, se supone generalmente (ver nota al pie relativa a las Ees. 180 y UU) que el esfuerzo de corte es resistido enteramente por el alma del perfil y que las tensiones taageneielee debidas al mismo se distribuyen uniformemente sobre la seccin del alma. El trabajo de deformacin debido al corte puede ponerse entonces as ; en la cual I' = memente de inercia de la seccin corregida (ver Tabla 6) con respecto al eje barcntrieo. El trabajo de deformacin debido a la flexin de una viga curva de seccin doble T puede entonces expresarse as: donde aw es el rea del alma de la seccin. Aplicando las expresiones anteriores, el trabajo de deformacin de una viga curva de seccin o doble T, puede ponerse como sigue: 54 Deformacin de vigu corvu qne tienen soociones dohle T, T o similares. Las expresiones deducidas en el artculo que antecede son vlidas para las vigas curvas que tienen secciones "llenas", pero cuando se aplican a vigas curvas de seccin T o doble T, dan valores de las deformaciones inferiores a los reales. Esto se debe fundamentalmente al cambio de forma que experimenta la seccin en ese tipo de vigas y que ha sido descripto en el Art. 51. Es lgico, entonces, utilizar la correccin de BJeich para el clculo de las deformaciones, lo mismo que para las tensiones, ya que la reduecin del ancho de las alas introdncida en ese mtodo toma en cuenta, con razonable exactitud, la disminucin de rigidez que experimenta la viga debido a la distorsin de la seccin. Hay otros factores, sin emhargo, que tambin contribuyen al aumento de la deformacin, entre los cuales se incluyen las tensiones radiales en el alma del perfil y la tendencia de la. seccin de cada ala a girar alrededor de un eje neutro propio, que se suma a la rotacin de la seccin en conjunto. Teniendo en cuenta la incertitud de las diversas variables incluidas en el preblem, parece justificado usar una expresin aproximada para la variacin angular A de de cada elemento de viga de longitud ds, similar a la utilizada para las vigas rectas, pero introduciendo 'en ella el momento de inercia de la seeein corregida de Bleich, Esa expresin es: II e... sen 26].+"[2 - sen 1J + - + --. R 2 4_,,/2 PR seu' ed6 + (+r.IZ (Pd + PR cosO) R' cos6 d6 . Ga j-r./2 El PIEZAS CURVAS SOLICITADAS A FLEXION PR coso 6 II Ea dv + + PR coo.' 6.ro J'+'12 PR s.en' 6 II [+r.12 (Pd + PR coa 6) R'cose . -+ .+ ..' d6 Ea -.,2 Ga . ..-_{2 Ene/.R -(Pd + PR co.6) R cl)s6 6 Pcos6 (- R cos6) R EaR d + EaR de = = ~.[!!.. + Sen26]+"/Z + PR [!!.._Ea . 2 . 117. SOlueiOn. Las tres caritas de H.350 kit transmitidas por la. ruedas se muestran en la Fig, 115.. con la separacin entre ruedas de 167,64 cm. Tal como indica dieha figura se utilizan l"reIioIema U1, Calcular el mximo momento flexor y el corrimiento mximo de un riel de ferrocarril som~tido a la carga de 11.350 kg transmitida por una sola meda. El riel apoya 50~ los durmentes, balasto y base ~ese supo,nen qne actan como apoyo elstieo (ver paragralo 62:) con una constante elstica k 140,62 kg por cm de longitud de viga por cm de eerzimiento y (de manera que la unidad de k es kg/cm). El riel es un perfil de 65,1 kg/m para el cual 1 = 3690 cm', E = 2:.109.300 kg/cm. Calcular tambin la mxima tensin de lle::rin en el riel suponiendo que su altura es de 18,1 cm y que la distancia del eje barientrico de la seccin al borde superior del riel es de 9,9 cm. ~: Las ecuaciones que dan el momento flexor y el corrimiento en el punto de apli- eacon de la carga inchryen el valor de la cantidad [3. Con la Ee, 2:16 se obtiene 108. 194 LA VIGA SOBRE APOYO ELASTICO CONTINUO VIGA SOBRE APOYOS ELASTICOS AISLADOS 195 en donde Y. es el corrimiento mximo de la viga producido por una cualquiera de las tres caro gas concentradas iguales P (ver Ec. 226). La curva elstica resultante aparece dibujada en trazo ms grueso en l. Pg. lIS/'; fue obtenida uniendo con una curva continua los puntos cuyas ordenadas representan los corr- mientes de diversos puntos de la viga, hallados por el mismo procedimiento utilizado en la soluci6n precedente para YD' El corrimiento mximo Yrnx se da en el punto O. y resulta Ymx = (P(?I2k) (A~ + A[3$. + Af3$ = (Pf$/2kl(0,2998 + 1,0000 + 0,2998) = 1,60 Yo En el Probo 117 se encontr que el corrimiento mximo Y. producido por una carga concen - trade P = 1l.350 kg era Y. = 0,33 cm. El corrimiento mximo debido a tres cargas concentradas de ese valor separadas por una distancia de 167,6~ cm es en consecuencia Yrnx = 1,6 X 0,33 = 0,528 cm el corrimiento mximo y la mxima tensin de fexn en la viga. Cul ser la mxima pre sin q por unidad de longitud entre el ala y la placa de apoyo de goma? 121. Si el corrimiento mximo de la viga del Probo IZO IIO debe exceder de 2,54 cm, a qu carga concentrada mxima puede estar sometida la viga? 122. En la solucin del Probo 119 la curva resultante de la Fig. 115c que muestra la distribucin del momento flexor en un riel debida a las tres cargas de 11.350 kg transmitidas por las rueda. indica que el mximo momento flexor negativo se encuentra en una seeen ubicada a aproximadamente 167.64 cm a la derecha de la rueda 3 o a la izqnierda de la rueda 1. Calcular el momento exor en cualquiera de estas dos secciones del riel. Resp.e - 0,28 M. 123. Calcular en el Probo 117 la presin aproximada por unidad de longitud de riel entre ste y loaelementos de apoyo de la base de la vfa situados directamente bajo la carga. Resp.: 45,5 kgfcm m. En la construccin de una fundacin temporaria que sirva de apoyo a una mquina pesada se desea elegir como apoyo una viga larga de madera que soportar una carga concentrada cerca de su punto medio y que descansar sobre la superficie horizontal y nivelada del terreno. El estrato superficial del terreno est formado por material sedimentario y debajo de ste se encuentra otro estrato grueso arcilloso. El valor del coeficiente de balasto para este terreno es k. = 2,77 kglcm'. Si la viga tiene 20,32 cm de ancho y 30,48 cm de altura. ealcu- lar el mximo valor de la carga concentrada que puede sostener la viga si se especifica que su tensin de f1exi6n no debe exceder de 105 kg/cmo El valor de E es para la madera de 84.000 kglcm'. 62 Viga sobre apoyos elstieos aislados eoa separacin uniforme. Se seal en la solucin del Probo 117 que poda suponerse, dentro de cier- tos lmites, que una viga muy larga sostenida por apoyos elsticos aislados descansaba sobre una fundacin elstica continua a los efectos del clculo de las caractersticas, La Fig, 116a muestra una viga muy larga sometida a una carga concentrada que descansa sobre apoyos elsticos aislados. La obtencin de las caractersticas en tal viga constituye por lo general un problema estticamente indeterminado bastante laberiose. La sustitucin por una viga sobre apoyo elstico continuo equivalente, en lugar de la viga real sobre apoyos aislados hace mucho ms sencillo el clculo. La. manera en que se hace esta sustitucin puede explicarse como sigue. Se supone que los apoyos elsticos aislados estn igualmente distan- ciados, siendo l la distancia entre apoyos tal como muestra la Fig, 116a, y que cada apoyo elstico tiene la misma constante elstica K; de esa manera, si la reaccin de uno de los apoyos elsticos sobre la viga es R y el corrimiento correspondiente del apoyo es y (igual al corrimiento de la viga en este apoyo) el valor de la reaccin es Momenro$. Haciendo uso del principio de superposicin se encuentra que el momento f1exor de la seccin D del riel es la suma algebraica de los momentos exores MID, l40D Y M.D en la seccin D producidos por las cargaa PI' Po Y p., respectivamente. Para calcular el momento flexor produedo por cada carga ecneeutrada se utiliza la Ec, 223a. De tal manera el momento lIexor en la seccin D est dado por la siguiente expresin: MD = (PI14(?) Cf3X1 + (p.14{3) C[3$. + (P.14{3) Cf3Xs = (P/4(?)(C~ + Cf3$> + C[3$') Los valores de [3$" [3$0 y f3$> son los mismos que loa encontrados e"la solucin de los corr- mentos; debe observarse en la Pg, 114. que las curvas del lIexor son simtricas con respecto al eje Y por lo cual el momento flexor para un valor negativo de [3x es el mismo que para el cerreapondienee valor positivo. Sasrituyendo los valores de C~, etc., que se pueden hallar en la Tabla 7 en la ecuacin precedente resulta MD = (P/4(?)(- 0.2036 + 0,4341- 0,1160) = 0,1145 (P/~f3) = 0,1145 Me en donde Me es el momento flexor mximo producido por una nica carga concentrada P = = P, = p. = p . Los momentos llexores en otras secciones de la viga se obtuvieron de manera 'anloga. La curva de momentos flexorea resultantes se indica con trazo grueso en la Fg, lIS". El momento flexer bajo cada una de las tres cargas se encuentra como sigue: bajo la carga P, el momento exor MPl es MPl = (P/4(?) (C~ + Cf3Xs + Cf3$ = (PI4{3) (1,0000 - 0,1972 - 0,(845) = 0,7183 M. Y por simetra resulta que el momento exor M p s bajo la carga p. tiene el mismo valor que el momento bajo la carga PI' El momento flexor Mp, bajo la carga p. es Mp, = (PI4(?)(C(?XI + Cf3$> + Cf3$ = (P/~(3) (- 0,1972 + 1,0000 0,1972) = 0,6054 ,':fe El momento flexor mximo producido por las tres cargas de 11.350 kg situadas a una distancia entre si de 167,64 cm es entonces 0.7183 M., donde M. es el momento 1IIexor en el riel producido por una sola carga de U.350 kg. La.solucin precedente muestra que el a~gado de las dos cargas reduce apreciablemente el valor mximo del momento exor mximo 'pero produce un gran aumento en el corrimiento mximo del riel. R=Ky (228) Problemas 120. Una viga larga formada por un perfil doble T de 10,16 cm de altura y construdacon una aleacin de aluminio estructural descansa sobre una placa horizontal gruesa de goma dura. El ala que est en contacto con la fundacin de goma tiene 10,16 cm de ancho. El valor de E es de 703.100 kg/cm2 y el momento de inercia 1 de la seccin, doble T es de 4470 cm", El valor del eoefieente de balaste 1 donde en el punto de aplicacin de R1 La tonces Fig. 1166, con la condicin de que la, presin total as ejercida sea igual a Rp En consecuencia el valor de la presin equivalente 111 est dado por la ecuacin 110. 198 LA VIGA SOBRE APOYO ELASTICO CONTINUO CARGA UNIFORMEMENTE DlSTRIBUUJA SOBRE PARTE DE LA VIGA ros Problemas ilustrativos De donde 4i --,-. 4'1 ------ I~ = . 219,5 = (l 013 cm-1 li 4El l 4, X 2.109.300 X 908 ' Adems 1t"f413 = 1t"/(4 X 0,(13) = 60,4 cm, de manera que la longitud del tramo entre las varillas de suspensin no excede de 1t"/4!!-. En consecuencia obtenemos por medio de la Ec, 226 l"rohlema 125. Una base de mquina proyectada para soportar vibraciones consta en parte de una viga de seccin doble T de 7,62 cm de altura y 3 kg/m de peso construida con una aleaein corriente de aluminio; la viga tiene una longitud de 6,096 ID Y est apoyada sobre resortes separados por una distancia de 1= 76,2 cm entre a, La constante elstica para cada resorte es K = 107.4 kg/cm. La fuerza ejercida por la. mquina sobre la viga e. una carga concentrada de 90S kg que acta en el punto medio de la viga. Calcular el corrimiento mximo y la mxima tensin de ftexin en la viga. Supngase que E = 703.010 kg/cm" ellOS cm' para la viga. Selud"',.. El valor de k segn la Ec, 232 es y P 3178 ,1l-fmx = - = -;---0--=-= = 61.100 kg cm 413 ,1' 61.100 O'mx = lle = 119,3 S12 kg/cm' y 107,4 k = K/! = = 1.41 kg/cm' ,,-.- 41-----,:-:-:---- 13 = 1/ "= I! 1,41 = O.ooS32 cm-1 ,4E! ! 4> X 703,(llO X lOS ' La tensin en una barra es O't = Ffa = )E/L. En consecuencia la mxima de la. tensiones en las varillas se dar en aqulla que est ms cerca de la carga, en donde el corrimiento J. de la viga (y por lo tanto dela varilla) es mximo. Por medio de la Ec, 226 se encuentra para elcorlrimienlomximo PB 3118 X 0,013 Ymx = 2k = 2 X 219,S= 0,094 cm Para poder ser considerada como una viga larga sobre una fundacin elstifa, la viga debe tener una longitud mnima de 3/2 (rt/l3)= 312(1t"fO,00632) = 567 cm. La viga tiene 609,6 cm de longitud. La longitud del tramo entre apoyos es de 16,2 cm y por lo tanto menor que 1t"14(? = 1t"f(4 X 0,(0332) 94,5 cm, que es limite superior de la separacin entre resor tes cuando se utiliza un apoyo elstico continuo equivalente para la solucin de este problema. Se supone que la viga descansa sobre un apoyo elstico continuo equivalente cuya constante de resorte es k = 1,41 kg/cm" dada por la Ec, 232. En consecuencia, aplicando la Ec, 226 se encuentra para elcorrimiento mximo La mxima tensin en las varillas es entonces ,'Ymx E 0,094 X 2.109,300 .. k 1 at = -y;- = = l300 gcm Problemas La mxima tensin de fiexin es k = KIl = 13.400/61 = 219,5 kg/cm" Para el valor de la constante El: del apoyo elstico continuo equivalente se eneuentra segn la Ec. 232 _ Me _ 27.300 X 3,.81 _ 992 "_1 0'-[- 105 - "'l5l cm 127. Supngase en el Prob, 126 que todos los datos permanecen iguales excepto la longitud de las varillas de 1,11 cm que ser abara de 182,9 cm en lugar de IS2,4 cm. Calcular la mxima tensin de flexin en la viga y la mxima tensin de traccin en las varillas de suspensin. 128, Un cao de acero largo soldado de aproximadamente 16,5 cm de dimetro externo se halla suspendido de una serie de resortes cada uno con una constante de resorte K = 16,83 kglcm. Los resortes estn separados por una distancia de 304,8 cm de centro a centro a lo largo del cao. El momento de inercia de la seccin transversal del cao e.. de 1170 cm' y su mdulo resistente de 141,6 cm'. El peso del cao es de 28,3 kg/m y una carga concentrada de 90S k.g; est suspendida en un punto cercano a la mitad de lo longitud del cao. Calcular la mxima tensin de flexin y el corrimiento mximo del cao. Despreciar el peso del cao en el clculo de la tensin pero considerado al calcular el corrimiento. Resp.: a = 10S5 kglcm'; Ymx = 17,8 Cm 63 Carga uniformemente distribuida. sobre parte de la viga. En la Fig, 117 una muy larga se encuentra apoyada sobre una fundacin elstica y est sometida a una fuerza uniformemente distribuida w por unidad de longitud sobre un tramo h de la viga cercano a su centro. Supngase que se desea determinar las magnitudes caractersticas en cualquier seccin () de la viga situada dentro de la longitud h. La seccin O est ubicada a una distancia a desde el extremo izquierdo de h. y a una distancia b desde el extremo derecho de h; tal como lo muestra la Fig. 117. Se resolver el problema suponiendo que la carga distribuida esequi- valente a una serie de cargas concentradas P x muy cercanas entre s, cada una de las cuales es igual a tvdx, siendo dx una longitud diferencial sobre la viga, y luego utilizando el principio de superposicin tal como se hizo en el Probo 119. 903 X 0,00332 = 2 X I,n = 2,66 cmy mx = K = ~ ="E = 0,967 X 2.109.300 = 13.400 kg/cm y L ., P 9/}8 Mmx= 4> X 0,00632 = 27.300kg.cm Pro1lllema 126. Una viga larga cuelga de una serie de varilla. de acero de 1,11 cm de dimetro y 152,4 cm de longitud, separadas por una distancia de 61 cm de centro a centro. La viga es un perfil doble T de acero de IS,24 cm de altura y peso de 18,6 kglm; el momento de inercia de su seccin transveraal es de 908 cm", resultando su mdulo resistente igual a 119,3 cm', Se aplica a la viga en su punto medio una carga concentrada vertical de 3173 kg, calcular la Dllxima tensin de Hexin en la viga y la mxima tensin de traccin en las varillas de suspensin. El valor de E para el acero es de 2.109.300 k;gfcm'. Solucwn. La eonstaute de resorte K para una varilla de suspensin se obtiene de la eeaa- ein que da el alargamiento de una barra axilmente cargada sometida a traccin. Es y = FL/aE, donde y es el alargamiento de la varilla, F es la carga axil sobre la barra, L es la longitud de la varilla, a es el rea de la seccin transversal y E es el mdulo de elasticidad. La ceastante elstica K de la varilla se define como Y el mximo momento flexor es 111. (237) (238) (239) Ec. 237, 6 = (w1/2k) (A[j.a. -A3b) M = (W4~2) (Bpa + Bpb) V = (w!4~) (epa - Cph) Los valores de las cantidades del segundo parntesis en las 238 y 239 pueden encontrarse en la Tabla 7. Momento Flexor Mximo. La ubicacin del punto O para el cual resultar mximo el momento flexor dado por la Ec. 238 seencuen tra como Si la longitud cargada 11 es corta, es decir, si h es menor que "/2(3, momento flexor se produce en el punto medio de la carga distribuida. Sih es mayor que ,,!2~, hay dos puntos en la longitud h para los que se da el mismo momento mximo. Estos dos puntos estn aproximadamente a distancias Te14(3 de cada extremo de la carga distribuida. Estos hechos se demostrarn en el problema ilustrativo que sigue. Problema: m. Una viga de madera muy 1ar15a cuya seccin transversal tiene 1(1.16 por 20,32 cm descansa sobre tierra. El mdulo de elasticidad de la madera es de 105.465 kgjemS y e] valor de k. para el terreno e. k. = ,~.432 kg/cm. Una carga uniformemente distribuida w = 3570 kglm se extiende en una longitud 11 3,048 ID de la viga cerea de su centro l:aI como puede verse en 1.. Fig, 118. Calcutae Ios valores mximos del corrimiento, la tensin normal y la tensin tangencial en la viga y la mxima presin por unidad de longitud entre Ia viga y la fundacin de tierra, Soludn. El valor de k es k = k. espesor de la viga 4.432 10,16 45 kgJem', En consecuencia y 13h = O.OHll X 3ll4,8 = 3,31. Adems. como a y 1> son las distancias sobre las cuales est distribuida la carga a ambos lados de cualquier punto de la zona cargada, ~" +~'= 3,31. Corrimiento. Segn la Ec, 236 el corrimiento de cualquier punto 1) de la viga situado ba]o la caega distribuida es y = (wJ2k) (2 - D~" - D@bl El eorrimieato mximo se encuentra eligiendo 1) como el punto medio de la longitud , sobre la cual est distribuida la carlll>, De esa manera @a po = 1,69, Los valores de Df3ac y correspcndientes a este valor de 3a. y (31) se encuentran en la Tabla 7.; sustituyndolos H' precedente se obtiene CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE Pi.RTE 01': LA VIGA 201 vamente, El corrimiento mximo de la viga tiene lugar en el punto -medo de la carga distribuida, en donde a = .. Rotacin, Mom.ento [lexor y Esfuerzo de Corte. Los valores de la pen- diente, el momento flexor y el esfuerzo de corte en el punto O producidos por una carga = w dx pueden encontrarse utihsando las Ec. 222, 223 Y 224, respectivamente. Los valores totales en el punto O producidos por toda la carga distribuida se encuentran aplicando el principio superposicin y son, respectivamente: (233) (236) reemplazar los trminos y D3b respectivamente, siguiente forma +-------+---4--+ X w dx ~ 6,y = 2k .d3z [eos ~x + sen~x) LA VIGA SOBRE APOYO ELA5TICO CONTINUO Yll = (u.'/2k) (2 - Teniendo en cuenta la Ec, 225 podemos e-pa. cos ~a y e-pb cos ?b por los smholos pudindose escribir entonces la Ec, 235 en FIG, 117, - 'iga largu sobre 3pOYO elstico cargadu en una '/lurte de 8U longitud y = (wI2k) (2 - e-[ja. C08 ~a - .dl/) cos ~b) IV elx y = L..)'=2k ~d3X (ces 13x + sen (3x) +. ..(~ w 2 k dx1, [ces fh + sen (3x) (234) El valor de a en la Ec. 234 es negativo aunque se le atribuye aqu un signo positivo puesto que la Ec, 221, que se utiliaa para plan- tear las Ec. 233 y 234, da el corrimiento slo para valores positivos de x. Este procedimiento se justifica pues el corrimiento de una viga sometida a una sola carga concentrada tiene el mismo valor, debido a la simetrfa, a iguales distancias en los sentidos positivo y negativo x, Integrando la Ec, 234 se obtiene el valor del corrimiento enO. t---- a - -......- - - b ----.JI wdx es infinitamente grande y se extiende a ambos lados del punto O = O), se requieren las, dos integrales siguientes para sumar los valores de ..y. .....------ 11 -----_M donde x es la distancia desde la carga Pz = w,elx hasta el punto O, y ~ y k son las constantes definidas en el pargrafo 61. El corrimiento resultante y del punto O producido por toda la carga distribuida ser igual a la suma algebraica de todos los valores ..y dados por la Ec. 233 para cada una de las cargas iodx, Puesto que el nmero de cargas Corrimiento. Haciendo uso de la Ec. 221 se encuentra que el corrimiento ..y del punto O debido a la carga Pz = w elx que se muestra en la Fg. 117 es 200 Los valores de D3a. Tabla 7 entrando en de la Ec. 236 columna x con los encontrarse en la de f1a y ~b respecti- 35,7 .rmx 2>: 45 [2 - (- 0.(219) - (-- 0,0219)J = o,au cm 112. 1115 "l'mx = 3{2 que es ":' =;{V{A}, donde Vea el esfuerzo de corte y A es el rea de la seccin rectangular. Resulta ED consecuencia la eleccin de la ubicacin aproximada del momento fleltor mximo a UDa distancia 7t/~ desde los extremos de la carga distribuida intrad..uce slo UD pequeo error. La mxima tensin d. flexin es ProMema 130. Supugase en el Prob. 125 que la carga concentrada de 908 kg est un. (ormemente distribuida en una longitud" = 60,96 cm. es decir, w = 14,9 kg/em. Si todos los dems datos del problema permanecen iguales, calcular el corrimiento mximo y la m- xima tensin normal en la viga, Sol""in. El valor de .~ en el Probo 125 era de 0,00832 cm-l. La longitud k = 60,96 cm I!(lbre la cual la carga est uniformemente distribuida es menor que lt/2~ = 189 cm y por lo tanto el corrimiento mximo y el mximo momento f1exor se producen en el punto medio de la longitud h. El corrimiento mximo se encuentra haciendo a = b = 30,48 cm en la Ee, 236. Resulta :'o = ~b = 0,25. El valor correspondiente de D3a y D(3b se eecueatran en la Tabla 7. El corrimiento mximo es CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE PARTE DE LA VIGA 203 Me 26.800 X 10,16 '-_l. Cfmx = T = 7lIO = 38,3 '"'l>lcm tribuida. El valor mximo, Mma:l' = 26.800 kg apare"e en dos seeeiones.; para la peiraeza e = 76,2 cm y , 228,6 cm y para la segunda .. = 228,6 cm y , = 16,2 cm. Si se supone que el memento f1exor mximo"" da en una seccin situada a una distancia 1r{~= n:l(4o X X 0,011lt6) = 7I) cm desde el extremo izquierdo (o derecho) de la carga distribuida, ten. dremos ~" = O,01l06 X 71,1 = 0,79, ~, = O,OlI06 X 233,1 = 2,58. Obtenemos entonces de la Ec. 238 w 35,7 M mx = 4~. (B:.a. + B~b) = 4 (0,01106). (0,3224 + 0,04(4) = 26.500 kg cm b) r'..a_ _ h " = 228,60 cru -----j.... b LA VIGA SOBRE APOYO ELASTICO CONTINUO ", I~ 5765 11530I /17259 v ( 23060 1 ~ = 76' b= 228,60 "...,.. , '" ..0.254 ./'"lj cm; a = 43,6 kg/cm! lU. Una zapata de h0rmig6n Iarga desclUUa sobre un terreno para el cual el valer da! coeficiente de balasto e. 10,,;= 2,77 kg/em3 La zapata tiene una seccin de 20,32 Cm de ancho por lW,32cm de altura y est sometide a una carga uniformemente diatrib"ida tu = 17,9 !. Momentos lexores. En los diagramas de la parte superior de las Figs. 120 Y 121 se dan las Curvas, para cada una de las longitudes sealadas, de los momentos flexores producidos en cualquier seccin por una nica carga concentrada P ubicada en el extremo izquierdo y a distancias L/12, LI6, etc., del extremo izquierdo, tal como se indica en cada una de las curvas. Si se desean los momentos fIexores producidos por una sola carga concentrada ubicada entre el punto medio y el extremo derecho, puede utilizarse la curva Correspondiente a la misma distancia medida desde el extremo izquierdo cambiando los extremos de la viga. si la carga P no acta exactamente en una de las uhicaciones para las que se han trazado las Curvas, la curva de momento flexor correspon_ diente puede oh tenerse fcilmente por interpolacin entre las Curvas dadas; por otra parte, si la longitud de la viga no es igual a una de las que figuran en los diagramas, puede encontrarse el momento [[exoren cualquier seccin para las longitudes superior e inferior a la verdadera longitud de la viga, obtenindose luego por interpolacin un valor apro- ximado del momento flexor en la seccin considerada de la viga real Cordmientos. En los diagramas de la parte inferior de las Figs. 120 y 121 se dan las curvas, para cada una de las longitudes indicadas, del corrimiento producido en cualquier seccin por una nica carga coneen, trada P situada en las posiciones que se seala en cada curva. Las obser- vaciones anteriores con respecto a la interpolacin para obtener los momentos flexores debidos a cargas P situadas en otras secciones se aplican tambn a los corrimientos. Estas curvas muestran la posicin y la forma real que asumira la viga como resultado de la accin de la carga P en comparacin con la posicin original de la viga indicada por la lnea A B en cada diagrama. Lmtes de la longitttd L. Son vigas cortas aqullas cuya longitud L es menor que aproximadamente 5/~. (aproximadamente 3'1t"/2~). En las Figs. 120 y 121 se dan Curvas de momentos flexores y corrimientos de vigas cortas que tienen Cuatro longitudes diferentes que van desde L = 5l~ a L 2/~. Si deben calcularse vigas sobre apoyo elstico de longitud menor que L = puede resultar conveniente construir otras curvas a partir de las ecuaciones que figuran en la obra citada COn el N 1 en la Bibliografa del presente captulo. Sin embargo, si fuera obtener valores aproximados del momento flexoi. del corrimiento, son posibles dos procedimientos. En lugar, si longitud L est entre 1/~ y 2/r;" las curvas de dan valores aproximados para el momento flexor el En segundo viga y su apoyo son que L ll~ o menos, nerse en caso los momentos son de:spl:eclaJJ!es. se supone el clculo de los es un est- """ ~ S I + Commieaws eltleolll LA VIGA SOBRE APOYO ELASTICO CONTINUO iC'I ...I 206 115. VIGAS CORTAS El valor 31 utlisado en el clculo de es para las tres id n.oa sola viga sobre elstico. Se el de ee coesr ;,rlUl aqui .eomo ciaI entre apoyos y de la lonatud 1 solo de la distan- d 1 . doble ' e as y CB del t ' e as vtgaa oble T. Con el objeto de obtener d I ' . , ' "amano muel"tra extendindose en 108extremos ms all de los "poyos el~s~:o~ep';;!:hd~~:e r, se la. en", Ec. 232 e d ]A . .., .....12 d' , a a e "BUCO separado ejerce Una pre.in uniforme sobre :~ una l8ta Lnela ambos del Entonc"s = 0,00328 X 914 4 mane", = y la luz ! = entre ' ra d 1 di menor que . no C ragrama superror derecho 1" Fig. encontramos en l. curva U. VIGA SOBRE APOYO ELASnco CONTINUO208 ricamente determinado. Los corrimientos calcularse entonces suponiendo una distribucin lineal de las fuerzas de reaccin provenien- tes apoyo elstico y aplicando las ecuaciones de al sistema de fuerzas que acta sobre la corta sobre elsticos aislados. El uroblema apoyos elsticos por un apoyo elstico continuo euurvajente ha sido analizado para en el 62. El aplicarse para problemas referentes a cortas sobre elst.icos aislados. Los momentos, corrimientos, etc., se calculan con curvas de las 120 v 121. Resultados inditos de experimentos realizados en la . St.ation de la de Illinois confirman Me 27.573 3,81 a = T = --lOS- = 1000 kgfcm Problema 133. Resulvase el Probo 125 en l. suposicin de e. de 304,8 cm y de que todo. lo. datos restuntes permanecen 5"1",16,,. El valor de = 2.54, es decir IJ = para: una viga (le interpolando entre estos de longitud e. 1,01 = 1,01 = 27.573 la longitud de 1.. viga obtenido en el Probo 125 era de 0,00832 enC'. En consecuencia, est. entre y 3/~. Segn la 121 el mximo momento 2m es 0,9 y para una 3l?' es 1,1 Afo' Entonces, se encuentra que el momento flexor mximo para la viga Pero, segn el Probo 125, M. = 27.300 kg cm. Luego 11mx cm. En consecuencia Carga 1: , ~- II A PraMem.. 134. Una carga P 59.000 est apoyada sobre un" estructura que consta de nueve vigas doble T de acero de 50,B cm altura y 104,2 kgfm de peso dispuestas corno muestra la Fig. 122. Tres de las vigas doble T esuin situadas paralelamente entre . y arnes- veesalmente a las otras seis que actan comoelstco.g aislados para las tres doble T; se supone que stas act aa como al flexionarse bajo la P. lo. valores mximo. del corrimiento y de la tensin normal en las tres vigas T y el eorri- miento y tensin norma! mximos en la viga de "poyo AA (o BE) ms cercaua a la carga P. Por medio de una interpolucn similar entre los valores 1~20 el corrimiento mximo es 1,13 )'0' Segn el Prob, 125, Y. = mximo es .ymx = 1,13 X 2,6l 3.03 cm 1,01 cm, se encuentra que el corrirnient.o 'I:'od".l". 80n 1&0,8 cm ; 1()4,2 kgjm [= 9.1H1ll 1"w, 122 kg/cm~ concentrada en Su purrto medio O,()(l328) 4.500.000 kg cm y sometida a una = Pi4f';= ymx = l,Oll 0,65 O,10Z cm para una momento en eousecuencia crulx = 21Jmx = 1,1 M. 4.950.000 kg cm La tensin mxima en lag tres vigas doble T ea . inferior d~recho de lo 120 encontramos, utilisando la curva marcad" '"'16 , que el corrmueneo mxim doble = I,OSY., poro Y = ~/Zk = 0,(03211)/(2 146,5) = 0,65 em, En con..ecuenca una. ais- K 48 El 48 X 2.109.300 X 50.500 2' 6- k ( = = = 2, ~O !l, cm Soluci6n. En un manual de aceros se encuentra un valor de 1 de 5i.500 cm' seccin doble T de 50,3 cm y W4,2 kg/m. La constante elstica K de un apoyo lado tal corno la viga AA e. k =! = 48 El = 22.650 = 148,5 kg,i'em' I IL,' 1 que proviene de la ecuacin y = 48 (p.L.'iEl) para el eerrimieato el> el centro de una simplemente apoyada tal como la AA de la Fig, 122 de longitud L, eornetida a una carga en su punto medio. Por medio de la Ec, 232 encontramos qne el valor de la conatanae k del apoyo elstico eont.inuo equivalente "S 116. PROCEDIM[ENTO EXPERIMENTAL PARA DETERMINAR EL VALOR K 211 66 Procedimiento experimental determinar el valm:' de i. Es irr'n.~,.t'H't... que el valor de k a en la resolucin de problemas de sobre una fundacin elstica sea determinado experimentalmente por un que tan exactamente como sea posible las caractersticas de la y de la fundacin elstica reales. Por valor k a urlear en el clculo de los eosri- mientes y tensiones en una va de ferrocarril debe obtenerse a de eIl,Sll,rO,Q en una va de ferrocarril real (ver Probo Ha valores de k). La 123a muestra un riel de una va de sometido a una carga concentrada P. Se una carga P a cada de manera qne p LA VIGA SOBRE APOYO ELASTICO CONTINUO YAA = 1,0 Yo= 0,65 cm Este valor del corrimiento se sustituye en la ecuacin y = ~(PILl'/EI) = YAA = 0,65 CORRIMIENTO y TENSIN Mxl140S BN LOS MOYOS ELSTICOS. AA (o la BB) de la Fg. 122 ms cercana" la P est sometida" las entre Iodos los apoyos elsticos. El corrimiento la viga AA en su punto si corrimiento de 1as tres vigas doble T en la seccin en que estas tres viga. la viga AA. Esta seccin est situada a una distancia O,le puede IICJoa, teniendo entonces una redistribucin de tensiones qne a la una resistencia adicional utilizable. Pueden darse tres etapas en el de una de espesor mediano sometida a en el caso de una de metal en sus bordes; la etapa de defermaen puramente elstica en que la deformacin de la es estrictamente a la y se debe slo a la la etapa de la . elstica en que la partes de tensiones elevadas resulta suficiente para permitir deformacin permanente mensurable de la como nn esta la traccin se ha convertido en un factor de la de la la de traccin en absorhe la parte esta tercera toma una forma . Si la es parte de la carga absorhida por traccin aun en CAPITULO ti of Hunway Pavements", Pro- 152 V 170. En esta obre de ",,,,a place circular van desde k, 2,77 kglcm3 kgcm~ para grava o grava l. Hetnyi, M" Beamo "" Elastic Foundation; Unveraity of Michigan Presa, 1946. Este libro un desarrollo bastante complete de la teora de viga. apovadee sobre una f""d.,e,n elstica, 2. Talbot, A. N., "Progrese Heport of the Special Commltree To on Stresses in Ra!. road Track", 'I'ransecrions of the American of Civil Engineers, Vol. 82, 1918, pgs. 1327.1332. Esta obra contiene resultados experimentos en que se midi la constante elstica k de la fundacin de vas de ferrocarril. 3. ,",'lI5iutynski, A., "Recherches sur le. dfoamations et le tra.vai] de Ia superstructure des de fer", extrado de Altn-alea de des sciences ie 0,1 el corrimieuto eso rnx = C...:~ (1 ~ f.l:.': , ,.'" ic ' ,. /La mxima tensin de flexin en la placa es mayor que la que se obtiene de las Ec. 248 y 249, particularmente para valores pequeos de 7@; sin embargo, para placas de material dctil y sujetas a cargas {w,.,/Et'J; doude coustante e .Icpeu.lc de la r-claclon {t ,/rY'- ~ 1HJ signe: O'= 1 5.72 121. PLACAS TENSIONES EN PLACAS CUADRADAS Placas circulares con bordes empotrados. Si una circular est rgidamente empotrada de manera que no en borde rotaciones o corrimientos radiales, el momento flexor promedio la tensin de flexin promedio) en cualquier seccin diametral son menores que las dadas por las ecuaciones de los prrafos precedentes, pues el momento flexor negativo en el borde disminuye el momento positivo en la parte central de la placa de manera anloga a lo que ocurre en una viga empo trada en sus extremos; por otra parte, el momento negativo en el borde de la placa es por lo general mayor que el momento en el centro, tambin anlogamente al caso de una viga con extremos empotrados. En condiciones de trabajo, sin embargo, los bordes de una placa. estn rara vez "empotrados", aunque por lo general estn sometidos a alguna restriccin; adems, una pequea fluencia local en el borde empotrado puede anular gran parte del efecto de la restriccin, transfiriendo de ese modo el momento a la parte central de la placa. Por estas razones la restriccin en los bordes de una placa es considerada de menor importancia, particularmente si la placa es de material relativamente dctil, que lo que indicaran los resultados de la teora de flexin de placas en el supuesto de extremos empotrados. Eu general, una placa de espesor medio con borde restringido (llamado empotrado) ocupar una posicin intermedia en resistencia entre la placa con borde simplemente apoyado y la placa con borde idealmente empotrado. Ver pargrafo 81 para las tensiones en placas relativamente delgadas con bordes empotrados. en .las m~s. gruesas debidos a las tensiones tangenciales. Russell y Clemmow sugmeroc que para placa~ circulares ms gruesas [(tly) > > con bordes empotrados sometidas a cargas uniformes los vado- la frmula de Grashof fueran multiplicados un factor de la relacin del espesor t al radio r. factor es . = 1 5,72 (t/r)2. Las experiencias de Hussell con placas de bosrdes firmemente empotrados dieron corrimientos que estaban en estrecho acuerdo con los valores calculados utilizando la frmula de Grashof y la constante C. Las frmulas de Grashof para los corrimientos dan valores demasiado grandes para placas ~e ~spesor entre delgado y mediano cargadas de tal manera que los corrmnentos sean mayores que aproximadamente la FIG. 12'7~ - Euerzn s 'iue actn.u ~ohre una l'la{-u sonnt ida u UHa carga HuHOl"UH' ~W , - mitad del espesor de la placa.. Ver pargrafos 81, 82 Y 83 para el anlisis de placas con grandes corrimientos. ,'70 Tensin en placas cuadradas; Carga uniformemente dii>tribli~la. Simplemerae apoyadas en los cuatro bordes. Experiencias realizadas COIl placa~ cuadradas apoyadas en los cuatro bordes indican que las esquinas tIen~~n a. alabearse que la seccin peligrosa es aproximadamente una seccion diagonal como la Ae de la Fig. 127. El momento flexor con a la A.e de las fuerzas situadas" un lado de la encontrarse como Sea dad de y sea b lado -obre la la carga lf/ a es su recta de accin por el baricen el baricentro se encuentra sobre una dis- a medida peependicularmeme. condieio. de se encuentra las reaccones Ig'cUIJles. teniendo cada una un valor U'b". Cl1l:I:gonal A e es 3P(" = - 1 - ..i P es la carga total. 7tt2 '. r cr=Resp.: 139. TIna placa circular de radio r 'l espesor t est .implemente apoyada alrededor de su borde y est cargada, a lo largo de la circunferencia de un crculo de radio r. concntrico con la placa con una carga uniformemente distribuida w dada por unidad de longitud de la circunferencia. Con los mtodos empleados en el paragrafo 68 deducir una expresi6n de la tensin de flexin promedio en la superficie de la placa, eu una seccin diametral, en trminos de IDa carga )' de las dimensiones ele la placa, 69 Coermentos en una circular. Las frmulas de Grashof, que se dan en la Tabla 3, para cl corrimiento mximo de placas circulares de material elstico ideal se obtuvieron utilizando la teora de la flexin de placas N o 3 de la Bihliografla}, Los experimentos realizados por G. M. Hussell han verificado las frmulas para cargas uniformemente distribuidas y bordes simplemente apoyados. Sus experimentos con placas de bordes sometidas a cargas uniformemente dis- t ribuidas mostraron que frmula de Grashof para el corrimiento era correcta para placas y de mediano < 1 para corrimientos no mayores que de la espesor la placa, pero que ms los valores medidos del corrimiento eran calculados medio de la frmula. Se esta au- sencia de corrimientos adicioaales 122. 222 PLACAS TENSIONES EN PLACAS RECTANGULARES 223 (256)aproximadamente_ .Mc O,034wb2 (t/2) 020( b2 f 2) cr - -- = = , .. 1(1 It 1 !. fl. 12 terial comienza a fluir en una parte de la seccin diagonal las tensiones se redistribuyen de manera de hacerse ms aproximadamente uniformes a lo largo de la diagonal. Placa cuadrada; Empotrada en los bordes, carga uniforme. Si la placa se halla rgidamente empotrada en los bordes de manera que en ellos no haya ni rotacin ni corrimientos y est sometida a una carga uniforme. mente distribuida U' por unidad de rea, el momento mximo es el momento negativo en el centro de cada uno de los bordes de la placa. El coeficiente de momento para el momento flexor en el centro de la placa tal como fue encontrado por varios investigadores a partir de la teora de flexin de placas es aproximadamente igual a 0,018; es decir, Mcentro = O,018wbll por unidad de ancho de la placa (254) y para el momento negativo en el centro de los bordes el coeficiente de momento es aproximadamente de 0,050.; es decir, Mbonte = O,OSOwbll por unidad de ancho de la placa (255) En consecuencia el momento negatsvo (y por lo tanto la tensin) en el bordees ms de dos veces y media mayor que el del centro. Pero como una pequea flueneia local en los bordes provocar una redistribucin de las tensiones hacindola ms uniforme, el coeficiente die momento a usar en los clculos, particularmente en el caso de materiales dctiles, podr tomar algn valor comprendido entre los dados en las ecuaciones anteriores. Si se utiliza el promedio de esos valores (0,034), el valor de la tensin resulta Nichols encontr, realizando ensayos con placas cuadradas de acero, un valor de cr = 0,141 (U'bll/t2) correspondiente a la primera deformacin permanente medible de la placa y Bach obtuvo experimentalmente un valor de cr = 0,19 (U'bll/t2) . 11 Tensiones en placas roo~; Cargas w:riformemente distribuidas. Simplemente apoyada en los cuatro bordes. Las experiencias realizadas con placas rectangulares indican que la seccin peligrosa es aproximadamente una seccin diagonal tal como la AC, Fig. 128, la misma que en placas cuadradas, excepto en el caso de una placa en que un lado sea mucho mayor que el otro. La presin a lo largo de los lados de apoyo varia probablemente de manera aproximada a lo indicado en la Fig. 128, pues se sabe que las esquinas tienden a alabearse (hacia arriba), pero la presin resultante sobre cada borde acta en el punto medio del mismo. El momento flexor promedio por unidad de ancho de diagonal puede encontrarse como se hizo con la placa cuadrada en el pargrafo precedente. Sea w la carga por unidad rie superficie sobre la placa. La carga (253) (252) c;= La tensin promedio cr en la superficie de la placa en su seccin diagonal es entonces La tensin mxima es mayor qu.e la C1 de la Ec, pero existen justificativos (que se dan en el prrafo siguiente) para supon.er que el momento (y la tensin) son casi constantes a lo largo de la diagonal y por lo tanto para suponer que c; es la tensin significativa. Coeficientes de momento. Si la placa estuviera apoyada solamente a lo largo de dos lados paralelos, actuara aproximadamente como U!1.a viga el momento flexor promedio por unidad de ancho en la seccin la placa perpendicular a los dos lados libres seria 1/8wb2 POi!' lo tanto el efecto de los apoyos a lo largo de los otros dos lados con- siste en reducir el momento flexor promedio por unidad de ancho de 1/8 wb2 a 1/24 wb2, par, este ltimo, contenido en un plano perpendicular a una diagonal. Los nmeros por los que se multiplica a wb2 para. obtener el momento flexor por unidad de ancho se llaman coeficientes de momento y se utilizan por 10 comn para indicar la intensidad del momento flexor transmitido a travs de una seccin en un punto cualquiera a lo largo de la seccin dada de la Por medio de la teora de la flexin de placas varios investigadores han encontrado coeficientes de momento para una placa cuadrada homog- nea. Si tal placa est sometida a una carga uniformemente distribuida ;t est simplemente apoyada a lo largo de los cuatro bordes de manera tal de impedir el alabeo de las esquinas (esta condicin requiere los apoyos ejerzan cerca de las esquinas fuerzas dirigidas hacia para mantener a la placa en contacto con los apoyos en las esquinas), el rno- mento flexor en los vrtices A y C (Fig. 127) es }vl1 = 0,0463 wb2 en el centro de la diagonal es = 0,0369 wf2. Esto significa que coeficiente de momento a lo largo de AC disminuye desde 0,0463 en las esquinas hasta 0,0369 en el centro. El promedio de estos coeficientes es valor 1/24 = O,M17 dado la Ec. 252. Este valor de I la Ec. 253) se ha utilizado mucho como hase para el diseo y justificarse por el hecho de que las tensiones elevadas en las son tensiones localizadas que no afec- tan el de la como un todo aun {;Ua"110 excedan del limite del y porque cuando el rna- y el momento flexor promedio por unidad de ancho de la diagonal es 123. 225 FIG. lZ!l TENSIONES EN PLACAS RECTANGULARES Si a = O, es si la placa es cuadrada, las Ee. 258 y 259 se reducen a las Ee, 252 y 253, respectivamente, La Ec, 259 no es aplicable a una placa muy y angosta, es decir, cuando a es muy grande comparado con b. En el caso de una placa larga esta lo's apoyos en los lados,cortos t,icnen po~o efecto en la forma trabai placa. lo cual esta acta aproximadamente como una viga simple de luz b; esa manera una placa tal el momento por unidad de ancho en su centro en la de la menor dimensin sera 1/8 wb2 La tensin en el centro de la placa es mayor en la direccin de la menor dimensin que en la otra. Esto verse consi- derando dos fajas EF GH (Fig. 129); los corrimientos las dos fajas en el centro son por supues- to iguales pero la faja ms corta, siendo la ms rgida, debe absor- ber la. mayor por lo cual la mayor tensin se da en ella .. En la Fig. se dan el momento flexor por unidad de ancho de la diagonal en la (designado M']Il,g), el momento flexor por unidad de ancho en el centro de la faja GH 129) en el sentido de la dimensin menor b designado ['I1ac) el momento flexcr por unidad de ancho en el centro de la EF 129) en el sentido de la dimensin mayor a {designado Las curvas y ecuaciones de la Fig. 130 fueron obtenidas por Wes- tergaard haciendo pequeas modificaciones en los resultados provenien- tes de la teora de flexin de placas. Las modificaciones se hicieron con el o?jeto de llegar a~xpresiones relativamente simples, y al hacerlo se t.uvtercn e~ cuenta algunas redistribuciones de tensin que acompaan a la flueneia en las zonas de tensiones altas (Y ms o menos localizadas). Se observar que el coeficiente de mcmenre para una losa cuadrada (bla = 1) es 1/24 = 0,0417 y que para una losa larga y angosta (bja = el coeficiente de momento correspondiente a la dimen. sin menor es 0,125. Para valores intermedios de b/a el coeficiente de momento es mayor en el sentido de la menor dimensin y su valor es intermedio entre los valores limites 1/24 y 1/8. Pero se seal antes el coeficiente de momento promedio dado en la Ec. 258 constituye probablemente, al menos para materiales dctiles, un mejor In- dice de la resistencia elstica utilizable de la placa que el coeficiente de momento en el centro de la dimensin menor. Placa rectangular con bordes empotrados, uniforme. Si la placa est rgidamente en los bordes y sometida a una. carga uniformemente el momento mximo por unidad de ancho se presenta en el centro de los bordes ms largos, es en los extremos empotrados de la central en la direccin menor. Primeramente consideraremos dos casos limites de losa rectangular de bordes Si la placa es muy larga y angosta (b/a = O), las fuerzas en extremos ms cortos de la placa tendrn un efecto despre.(259) (257) (258) 1 (a21W + aZ ) J. ] wb2 (tI2) 12 ti J(U'b2 ftjl) PLACAS cr= 1kf = (R1 + ! 11. - 1 h 2 11 1 1 1 . = - wba - h - - tcba - 11, = - wbak 2 2 2 3 12 Anlogamente, la tensin de flexin promedio en la superficie de la placa a lo largo de la diagonal AC es 1 12 [a2/(02 + y de tal manera el coeficiente del momento promedio es Pero h = ab/V Ir + a2 y AC = V b'.l + a'.l En consecuencia = 1 (a2/{b2 +(ji)] wlr 1 12 El momento flexe promedio por unidad de ancho de la diagonal es entonces Rz }"I(}. 128. - Fuerzas que i"wtian sobre uuu placa reetaugnla.r J'H,1Ul'thla :1 una O> .s a '" < e ~ '... ~ "" """Z ::; ~ -e " '"~ '"z { '.:< "" F~ ""e ~ !i:: + "-: - + " "~ "" ~ ~;.~ Q ~E "" '" ~ ~l'l -:'" " "" "" !... '" "': "" e-, '"-3 '" iC' +'" J " ... + -1- o .~ ~~ e - :: ! t; 1- k ~ >..e V o 228 : - '"M ~, t 1'; :;, '" .. ~ e O! '"~ '"-e ~ le ;; ., ""e., '", ""I':l Q '" ~e '" :s ~ e '" 8 ~ '" ""., -Z ~ .,.o: ~ -e..-e ;:; q :il '" ...:, i O! '" "!S < '" = '" '" it';l + s :~ "2.. '" '" +e El lj- '" ~ 00 ~e o., ... "j ::: -;; '" ! ~ !l '" :" .:': '" '" '" " ~ '" lO '" ;i1 '" .~; w: :: "'-1Il r.(} ;... " ;-~Z 'JI lllO 0.0265 0.0143 0.0117 1.4 U.170 0.1546 IU382 O. ll-lO 0.0747 0.0474 0.0274 0.0149 0.0121 r.e U.176 0.1533 0.1391 O.JIOO 0.0737 IUl482 I O.ll'l80 0.0152 0.0124 I.S 0.176 0.13117 0.1396 O.ll56 0.0763 O.U~!l7 IJ.0283 0.0154 0.0125 2.0 0.l76 0.15.11 0.1399 e.rreo 0.071'17 O.Q.lOO ! 0.0283 O.Oi5':> 0.0126 a.o 0.189 0.1,562 0.1403 O.1I!l,5 0.0772 0.tJ.l94 0.0287 I1l.0150 I0.OU7 I I ! d) Valore'! de e 1Il'lOO08 para determinar el mximo momento flexor en el a.poyo constituido por la viga flexible (Ter Ftg, 136) con la ecnnein llilv1!a ___+ 1,,8_-_0_.03_ 11-0.10 1~~t~.::~..~~..Il1-4.0 11-. -0.00ll c.ooi 0.009 0.100 0.0&' I~'~-0.009 0.007 0.101 0.138 0.167. 0.177 0.197 +0.005 0.034 0.126 0.169 0.198 U 217 0236 +0.02~ 0.076 0.152 0.~'03 0.239 I0:20:1' 0:287 +0.00, 0.082 O.IM 0.207 0.243 U.268 0.:!!1.1 +1.009 1 0.08l'J 0.145 (U92 0.227 I 0.200 0.27'; +0.038 0.073 0.129 0.170 0.199 I O "19 O "4" +0.035 0.063 0.1I0 0.144 0.170 IO:i86 o:~'1m +0.0310.0530.0910.120 0.140 0.15-1 e.m Vale~" 'al..res ti" e de i'lI B-O 11-0.05 8-0.10 11-0.20 N-O.OO 11-1.0 8-2.0 11-4.0 JI 0.33 1.015 0.751. 0.625 !l,.S2 0.200 0.145 0.1181 0.045 0.000 0.6 1.008 0.834 0.713 0.5M 0.342 (U122 0.136 0.f188 0.4l3S O 1.004 c.sse 0.748 0.003 0.394 0.261 0.18l'J 0.129 0.071 11.1 0.997 O.lI86 O lUISI 0.400 0.373 0.286 0.232 0.J71 1.0 o.m 0.001I 0.863 0.743 0.588 0.481 0.402 0.333 0.291> 1.2 O.lI9O 0.926 0.&74 0.796 0.6$ 0.579 0.512 0.470 0.-118 1.4 O.lIlIO 0.9311 0.8ll'Il 0.838 0.739 O.fI6.l 0.009 0.374 0.332 1.(1 0.991 0.961 0.020 0.873 0.793 0.735 0.691 0.ll6Z 0.628 1.8 0.991 O.MI 0.936 0.900 0.837 0.791 O~':57 0.733 O,jO ,o) Valonl3 de O usados para determinar el corrimiento del centro de la placa. con ID ~ca ecuaen .1 = e (1 - t.') El' j Mdulo de Poisson ," = 0,.15. "lore. Valores d" e de '" 11-0 n -0.01> 11- (UO 11 0.~'O 0.00 JJ-1.0 !.O Ji - ~.O l/-K 0.33 0.1591 0.1214 0.0983 0.071-1 0.0098 0.0234 0.0135 0.0079 0.0019 0.5 0.1379 0.1310 O.1I~'2 0.0879 0.0349 0.0358 11.1)233 u.urso O.OOi'il 0.6 0.1513 0.1345 O.lIBO 0.0956 0.0036 0.00131 0.0007 0.02~'8 O.OI~O 0.8 0.1563 0.13114 0.126-1 0.1080 0.07l6 0.OO 0.(>176 0.00!15 u.oao: 1.0 0.IM7 0.1428 0.1327 0.1179 0.0040 0.0771 O.llll.16 n.05,!H 0.tJ.l1l3 1.2 0.1554 0.1455 0.1314 0.1258 0.1004 0.00Z7 0.0825 0.0761 0._ 1.4 0.1553 0.1476 0.1415 0.1322 0.1167 0.1037 0.0074 0.0021 0.08.'111 UI 0.1534 0.149., 0.1446 0.1374 0.1233 0.1165 O.I09ll 0.1()i;ll o.roes 1.8 O.I5M 0.1009 0.14.3 0.1416 0.1321 0.1252 O.I:!oo (1.1165 0.1I2r. ZJ) 0.1357 0.1521 0.1493 0.1449 0.1375 0.1321 0.128l'J !lU233 0.1222 3.0 0.1565 0.155. 0.15M 0.1543 0.1,528 0.1511 0.11109 0.1500 0.1496 Carga concentrada en el centro. En las Tablas 12a y 126 se dan los valores de los momentos flexores M bo y M ec en el centro de una placa apoyada como muestra la Fig. 136 Y sometida a una carga concentrada distribuida en una pequea superficie circular. de dimetro do. La Ta- bla 12c da el valor del corrimiento mximo de la placa, que tiene lugar en 8U centro. La Tabla Ud da el valor del momento flexor mximo en las vigas de apoyo. J..a Tabla 126 da el corrimiento mximo en las mis, mas, que tambiIl se producen en el punto medio. Se observar que en las Tablas He y lId y 12c, IU 126se ha utilizado un valor de J.= 0,15 para el clculo de los valores la constante e, mientras que en la Tabla He J. = 0,25. Sin embargo, el efecto sobre el corrimiento del cambio del valor de J. es pequeo de manera que los valores de e dados en estas tablas pueden usarse para una placa que tenga eualquie:r valor de .t. 132. 243 ,li,terrninar el corrluienlo mximo en t"i ceuti o Pa? e (1 -,- 1-;;;; )'[dul de P~I8S0ll = O)15 TABLA 12 (continuaci.,,,} TENSIONES EN PLACAS RECTANGUL.~RES (J O O O O O O O O N-O e) Va10res de e usarl os para ti) Valores de e usa.lo par determiua r e! maxim n.on.ent o fe:or cn el apoyo C(HL~titHJJ por ln viga (ver Fig~ 13'6i cou b t;tllucil1 Pa ' M"i.::"" = e 4, ; :ll1l.l1o de Pni."isou y. = 0,15 Valor05 de Vuiore:j de ba ,'aJore, Valores tle e de 11'=4.0 ibrz H=O [{-O.OS H=O.lO f=0.2C 1.50 f{- LO N = 2,0 H.,.,w.:: 0.33 ~00.5 0.6 0.8 ~~ 1.D i;;1.2 1.4 1.6 :~ :iL8 2.0 :.~m3.0 ( 6 e-] ,/"a]ores de e ll~Ht1o~ para deterrllillHr el cor-r i mie.nto luxiwo del ap05"O cunstitntlo lH,f la y'ig-; tlex ihl.- con la t'l'uaciII j, = e(1 - Pa" . I.-idllln d~ l'O.S"'lTll ." ~ ('1.1:-;1,5')' ., .. '-- "" ;? t. PLACAS Problemas Ec. 260. 0.0276 0.0522 0.0717 0.0963 0.111 0.118 0.123 0.126 O.12i 0.130 0.131 N-0.05 -O.Olas 0.0307 0.0543 0.08.';0 0.103 0.114 0.120 0.123 0.127 0.1211 0.131 0.33 0.5 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3 ..0 V~lores de ola Va]o,e. V aJores. de e .le b! ,0.05 1,[0 f-0.2C -0.50 -i.o H=4.0 H'I!I/$OO 0.33 0.686 0.521 0.421 0.305 0.171 0.101 0.060 0,037 0.010 0.5 0.,168 0.396 0.348 0.284 0.200 0.148 0.119 0.100 0.080 0.6 0.398 0.350 0.314 0.268 0.202 0.161- 0.133 0.111 0.098 0.8 0.318 0.292 0.214 0.246 0.264 0.116 0.158 0.145 0.132 1.0 0.274 0.260 0.249 0.232 0.207 0.1!!9 0.176 0.168 0.159 1.2 0.248 0.242 0.236 0.225 0.209 0.198 0.190 0.184 0,177 1.4 0.235 0.230 0.225 0.220 0.210 0.204 0.198 0.195 0.199 1.6 0.225 0.223 0.221 0.217 0