OBRAS RECOMENDADAS DE LA MISMA EDITORIALANGOT, A. Moderna matemtica para ingenieros. Con Ingenieros Electrotcnicos. Electrnicos y Fisicos. crn., 920 pginas, 358 figuras y 31 tablas. Rst. BEYER, K. Esttica del hormign armado. Tratado las Construcciones 2 tomos con 892 pginas, aplicacin volumen de 1 x 24

Manual de la Esttica de figuras y 74 tablas. Enc.

BRADY, G. Manual de materiales. (Traduccin del "Materials Handbook"). Un tomo de 780 pginas, 7.500 materiales diversos, 38 tablas. Hst. CASABO. J. Fabricacin de mosaicos y baldosas de cemento. Un tomo con 530 pginas. 306 figuras. RlJSt. DEDEBANT, G. Y MACHADO, E. A. M. Probabilidades. Un tomo de 380 pginas y 52 figuras. Enc. FERNANDEZ y GALLONI. Fsica elemental. 2 tomos. Sexta edicin, con 1055 paqinas y 1183 figuras. RlJSt. FERNANDEZ y GALLONL Trabajos prcticos de fsica. Nueva reimpresin, un tomo de 460 pginas y 266 figuras con 29 ta.ilas. RlJSt. FINK, D. Ingeniera del radar. Un tomo de 680 pginas, 471 figuras y 14 tablas. Ene, GALANTE. J. J. Tecnologa de las maderas. Segunda edicin. su rico de la elaboracin. Manual y mecnica Un tomo de 480 pginas y 490 figuras. HARDY, G. H. Curso de anlisis matemtico. Traduccin de la dcima edicin inglesa. Un tomo de 476 pginas y 61 figuras. Ene. KACZMAREK, E. Estampado prctico. (Segunda edicin] Libro para el taller y la ofic.na con problemas y sus soluciones. 1 Corte. Estampado plano, son sus y herramientas. 11. Embutido. Estampado de piezas Prensado Dispositivos automticos de alimentacin. 111. Herramientas binadas. Medios de alimentacin automtica e instalaciones con cinta transportadora, con 500 pginas y 486 figuras. Rst. KOLTHOFF, SANDELL, MEEHAN y BUCKENSTEIN. Anlisis qumico y cuantitativo. 4' edicin, un tomo de 1.250 pqir.as, 301 figuras y 171 tablas Enc. MEOLl, H. Lecciones de esttica grfica. Octava edicin. Un tomo de 535 pqlnas y 401 figuras. Pst. MORETTI, G, Mtodos matemticos de la fisica. Un tomo de Gil 430 ejercicios resueltos, 268 figuras. Rst.

c

PETERSEN y LEANZA. Elementos de geologa aplicada. Cuarta edicin Un to. de 482 pginas y 214 figuras. Rst. '" SABESINSKY FELPERIN, M. Proyecto de hormigones de cemento portland. e agregados normales. Rst. SElZER, S. Elementos de anlisis matemtico. Clculo diferencial. Clculo in gral. Aplicaciones. Un tomo de 310 pginas Rst. SElZER, S. Algebra y geometra analtica. Con numerosos ejercicios resuelt. Un torno de 775 pqinas y numerosas fiquras. Rst SMITH y GALE. Elementos de geometria analtica. Tercera edicin. Un torno de 435 pginas y 247 figuras, Rst. SOKOLNIKOFF. J. S. y SOKOLNIKOFF, E. S. Matemtica superior para inqenieros y fsicos, Ouinta edicin. Un tomo de GOO pginas y 137 Iiquras. Rst. THOMAS. C. E. Tccnoloqia mecnica (Instrumentos y herrarnientas l. Un tomo de 380 paqlnas con 221 [iqur as y 40 tablas. Hst. THOMAS, C. E. Tecnologia mecnica. ll (Mquinas y herramientas). Un torno de 350 pginas y 180 figuras. RlIst. USPENSKY, J. V. Matemticas a {as probabilidades. de 4GO pginas. Rst. edicin. Un tomo

OBRA DE GRAN INTERES

CURSO DE ANAUSIS MATEMATlCOPOn

G. H. HARDYTraduccin ele lal o edicin inglesa

INDICE DE MATERIAS

1. 11.111.IV. V.

Variables Funciones de variables rea-

Nmeros complejos.Lmites de funciones de va riable entera y positiva. lmites y funciones de una variable continua, Funciones continuas y discontinuas. Derivadas e ntecrales Otros teoremas de clculo diferencial e integral.\ IYII,i. F,lUI,A.

-

VI VII

VIII. Convergencia de series Infinitas El integrales infinitas. IX. Funciones logartmica, exponencial y circular de una variable real. Teora general de las funclonas loqarttrnlcas. exposlctonaes y circulares. Las desigualdades de Holder y M inkowskl. La demostracin de que too da ecuacin tiene una raz. Nota sobre problemas de l mites dobles, El infinito en el anlisis y en la Geornetrta

X.

1.11. 111IV.

Un tomo de 472 pginas y 59 figuras. Encuadernado en tela,

CURSO SUPEilIORDE

RESISTENCiA DE MATERIALES

t'l

CO,,'':1'R!JCCI~ 1\ (' LC~~,,'d. r.1Ln.A~

CURSO SUPERIORDE

RESISTENCIA DE MATERIAlJES(Traduoldo de Avanoed Mec!lllnlos of MaterhdsCOMPLETADO CON CAPITULOS iNTRODUCTORIOS A LA n.ORIA DE. LAS ESTRUCTURAS, nORIA MATEMATiCA DE LA ELASTICIDAD Y OTROS OEDICAOOS A LA RESOlUCION DE TOPICOS ESPECIALES

Pred B. Seely, M.Profesor Emrito de Mecnica Terica y Aplicada

James O. Smith, A. M.Profosor de Mecnica Terica y Aplicada de la Universidad de lttlnols

TRADUCIDO POR

ING. CIVIl. JOltGE S. G. SOIAMMAltELLAPl'Ofe801' Adjunto del Depnrtauiouto l lilllita,iln, dt: I);:'Ullit'uhl ll~\ luli I:Ollill\;ionCM de l'H'l'vt'io1110 la". '(lI!' se prl'~"ntan en las turbinas a vapor, en los a parutos para cruck inz del pl'lfoleo, etr.. suelen denominarse tem pe ratu rn s olevudas, y las que cst n por dchajo ,le aque l lmite, temperaturas ordi nurius, Amito" casos de fhIPIH'iu generalizuda scrn ana lizudos Im'yt'mente l'OIlJO sigue:

Fluenci eeneruli zudu a telll,Jerllturll ordinaria, Los metales estn eOB5litudo"bp o r una grun cantidad de peqoeos elementos dc no m inudos eri"tiles granos. Dicho cr istulcs t i e ne n planos llamados de des [izn m icn to CI1 los euales la n,,,i,,lt'llcia a las tcnsione- taugem'.de" e~, re!ai.vameole pe'lllda Y la Fluenciu en cada r ri st a] se eOllsidcra que es esencialmente el re.,ultado .Il'l de"lizamiento .'iegn uno de quello, planos. de una parte dd cristal con respecto a la otra, La Hucncia de una pieza met l ica es la resultante tle esaS deformaciones por corte o deslizamientos, en un gran nmero de cristales, Los planos de deslizamientos en los cristdes no son, en pa ru le los. sino estn orientados ms bien al azar en [a m asa del metal. Por la resistencia a la flnelleia de un material metlico es un estl\distieo 'lile re p resen t a Iu acde nu meru de cristales. se p ro ducido la Iluenci a en exisla]"s bajo la una e ie rt a carga, esos cristales no continuarn ddormando..,e Sin un aurnen to de la ellrga. E~I' aumento de r es istem-i a

la Iluencia se supone que es debido al resbalamiento que ofrecen los Iragment o "a diente de sierru", en los de desIiz.amien ro y a la resistencia de los crist ales vecinos que no han eXpi> rimentado {lueneia debido II la orientacin favorable de sus planos de deslixa m iento con a los de mxima tensi{n tan. lo que les resistir cond iciones que Jos anrer iores. El aumeuto de resistencia que a la Flueucia se denomina ('onsolidadn (} endurecim ieuto por trabajo en fro (st ra in h ardenwork cnld o st r a in strcugt hcning 1 Y es un permanente ~Sl ciertas ecione~ del tiempo corno el envejecimiento, etc, que Ia te mperuturaC\1 es tensin :l un cierto de dr-Forrnuc in en un e n 1\1.000 honb, te con"un

eorricnleme!l !l~

'Es importante sin si II un miembro rcsis" te nte cuy a falla se producira pOI' de acuerdo con 10 e xpuesto se lo por otro de 1111 material ms (lmite de luencia ms elevado) tic uiunera que sus para SOportar earglls, puedall ser reducidas, la forma de falla puede cmuhia r completamente y por exce,ha deformacin elstica, o por pundeo () por' mecnicas, resultando as fUlHlalllenldmente las bases del clculo.Fluencin 11 ait as !1c'1I!!H?NIIIHlS. lento (1 diferida ( ereep}, Si un uue mbro metlico est sometido II cargas, ,1 una temperatura superior 11 la de el aumento de r esistenci (cousolidaeini que los desl izumientos de los c ri-tales 1 no e" permanente. La tem pe rntu rn tIc rccrista liz aein es por encima de ,la cua l los cristales que han sufrido desliza. se recuust i tuycn la forma de cristales libres de tensin. Por eonsiguiente, el aumento de resistencia que al deslo ::llni~llto es rpidamente anulado neutralizado por la accin de recocido .r~8t1ltll~lte de la elevada temperatura, dando origen una ddonnllelOll p lst ica denominada defonulldn lenta 1) diferirla (creep). la misma carga que in ic i la Iluencia, 'El mecanismo por el cuu] 111 conso liclacin se anula 11 elevadas tempe ra luras se s,upol~e que es, como sigue: En cadu de desl izuurienro de UIl se cristadesordenados y cuando la temperatura es a un cierto eso" se recr ist a li san de acuerdo est rucn ra lltmiell del cristal a elida lado del de modo que el cristal adquiere la misma condi..iu o estado que l?xistia antes de producirse el deslizamiento vuelve I1 C~IH'rimentllr un, lluevo l!es!izamiento hajo la misma carga \ suvesrvumente . En erertns m iembros resistentes de acero sornedo" a altas e m pe ra t uras , la deformaciu lenta alcanzar. desde 11Igl1110'; ao", suficiente magnitud como para . la ill tensiones que se hubieran considerado muy reducidas v sqmrlls pa rn dicho a temperatura

miembros se ro m pen que e lst icns e xces ivas (J Ilucnciu 1'1', modos o mecanismos Irac tura haslureute tratndose de metliclls, que llescribiremo hren'menle il r-on rinuec in :i'11~u.nl''''Ji

miembros resisten-

('nrgus estticas,1,111

u

punto

que la

ru e n os

sin acusa!' nmGeneralmente oons idera

en tales la Ialls v la medida de la maxima n~sj, es la len"itll de rotura a traccin o construida m aterial dctil so m e( e s l l I d o ) raramente flhl caso el dafio antes de

t

rutado

La mn.goilld de.l ('OU 1;\ lrll

ron liznclo e1\lo\1I"(',>I,

dI'\l\u-l'cido:-4JU'IH'ld'l con

di'l PI'.

'HobiH{l>lL un tn\hlljn qll'> 1HUI

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"\";IH.'1110,'

di'

ult'il{'{)1i "

20deincierta"

ANAUSI5 DEI,

Parte UF, V"lores de Ias{le tensin y de supara

inclculo los

pory

lo"de los mtodos de deformaeiones en sistemas estticamente esfuerzos interiores en sistemas

ace ro debidos a miembros que deben en de que numerosos ensayos escasa inIlueneia sohre el costo total de fabricaciu. La produeein de anones my automviles ofrece de y estructurns. Atmc!uc esta valoSIR es los mtodos ser BIl tisfaetorio. tiles servicios y sean debidamente es

Parte TI', Ammsls sobre lade

la influencia dede y

deformaciones

resistente de los miembros,

}, 2, 3,

se pero tambin se libre uso de los resultadoso;U1Ui~1!;U,

mtodo5.

cuaodo "

una condicin6.

es sta, cm maquinado , fahrio

"Limitatious ano .r\,ppHeadon of Structurul t Engiw'('ring 24, 1935, "Fifry Years of Structural Rcference to the Engineering (Londres), Vol. v 25. Inl, Homater, S. C., Centuries ef Structural Vol. !l, 1938. J ohnston, Bruce, "Structural 5ignificanec uf 1939. 1.,""0, A. E. Marlm"alico/ Theory of Elllsticil,r, 1920. Le introduccin do e3te libro da excelente hii5toriH I.WliBa mutemtico de las tensiones. Vase tnmbin Indeh'rrnnate Stresses; (h~ J. L Parcel G. A. Maney, John Wiley t57159, para una exposicin ms sinttica dei terna, Moore, "The Que.t of Elnsti"ty", Engineering, L, N 3, Dki"mhrc nO,

razouahlc,

de este del

nnd Praetice in Mechanics", introduccin del Criffin ami Londres, .lB'/'L Pronerties versus Service Fuilures", The [ron VuL l i ,

Years Advunce in StructuralEngineering~ VL {9~~8. PIl

A1Wl)'Ii:\H,

Pro-

U lnos sometidos la forma JIl cuadas las frmulas

defo;rJ:J:UH;iones

ordinaria y en loa

de carga hacen inaderesistencia de materi ales.

TENSIONES POR ACCION DE LAS FUERZAS EXTERIORES

2:)

CAPITULO 2

FORMULAS ELEMENTALES DE LAS TENSIONES DEBIDAS A CARGAS ESTATICASque un miembro resistente falle: (a) por o ({) por fractura, "e conside ra corrientemente que la magnitud siguificaliva I esto es, la magnitud ms directamente vinculada con la falla de la pieza y que cs requerida el 2 9 paso del mtodo rnc io na l de diseo descripto en el Art. es, para el caso , la t eusio n tangencial y para el caso (b }, la tensin normal de traccin en un punto de la pieza, sobre un determinado plano pa' san te por dicho punto. Por otra parte, cuando se considera que la magnitud significativa es la deformacin (} el trabajo de defnrmacin (como se analiza en el Art , 3I), se ver que esas magn itudes pueden ser fcilmente en {uncin de las tensiones normales y tan' genciales en el punto considerado. El punto de la y el plano particular por dicho punto, que deben ser cousidcrados para las tensiones significativas, dcben elegirse de modo que den los valores de estas ltimas donde la falla de la pieza tiene comienzo, Se admite, no obstante, que la Inllu de un miembro estructural no resulta de 111 accin en un punto, sino que aharcar las acciones desarrolladas en un rea Iinita o un finito del material, cialmente cuando la falla se produce por fIuencia generalizada. tensin en un punto puede no ser, pues, la tensin significativa. Este tpico ser considerado ms adelante, en el ArL 16.

7. Introduccin. f'l uencia

Tensiones por (lccin de las [uer zas exteriores y por otras CeSeIS deformar/tes, Las tensiones desarrolladas en un cue rpo pueden serlo por la accin de cargas corno por otras causas, tales como variaciones de ternpe ratura, contraccin, trabajo en fro de los cte. Estas ltimas con frecuencia acumpaau 11 los camhios rela tivamente vio, lentos de temperatura que se producen en las operaciones de soldadura y en los tratamientos trmicos de los metales, etc, Pueden alcanzar graudes valores, por ejemplo, en el cuerpo de un a rueda de ferroviario. dehido al calentamiento de la Ilan ta por el y enfriamiento que los frenos han dejado actuar. Asimismo presentarse en un miembro de debido 11 contraccin ,!,. 'r.a,rllalln por acc ion de! estirado en de

eaein, etc. Las tensiones de este origen suelen designarse con el noruhre de tensiones residuales o tensiones iniciales 1,. Las tensiones pueden asimismo clasificarse en micro-tensiones y macro-tensiones. Las primeras, tambin Ilamadas tensiones de textura (textura! , derivan fundamentalmente del proceso de obtensin o de fabrieacin del material; por ejemplo, en la tecnologa de los se durante el proceso de solidficacin guiente al estado fusin afectun solamente no rciones del material. Las teusinnes textura la historia del muteriul son esencialmente de las tensiones producidas por fuerzas exteriores. ms tensiones de textura por la deformacin permanente que fabricacin de las met licas o la efectivas de servicio, como resultado del 11 travs de los cristales, que los dividen en Las miero-tensio nes intrnsece de un marerru r, tratamientos trmicos su valor o sus uosi hi idudes la macro-tensin va asociada con una masa cousiderahle ferial es la tensin media un nmero relativamente las estructurales que componen el m a co mo son los cristales en los mater-iales metlicos, LI1S macrotcnsiones por causa ddormante, Por ahora nos nicamente de entre slo las o riainadas hit. tensioues de otro en su influencia sobre resistente de un a es incierta. ltimas cuando tienen ] natnralez.a y las tensiones por las Sin UHI ter iales dctiles sometidos 1.1 cargas rara vez se suman totalmente a otras co mo causa pro ductora del dao estructurn l. otra parte. las tensiones residuales son benefieiosag miembros resistentes cua ndo son cont.ra rio a las por llu; Precisamente, un de co ns.iste en idear mtodos que y dichas tensiones residuales, como los que se mencionan El laminado el alll!Ille co n chorro de arena y con cincel neuson que se cuando existen concentraciones de tensin de sobre tensiones en una parle considerable de como en el autodel cao de las armas de de esos pro, se analizan hrevcmente en

f y, dd 1', 'En el texto que ro t.ienou eqni vnlente

las d euomi na

tambin

Lockod-InIHHttj\ll

en f'IlKtdlann, pero Hternlmen te

o "trapptt\ 8tn:8rH,'l'I n, nnductu- por tfHl8OlH'K

fJH('t'lTftilHM

,

LAS TENSIONES

Formulns elementulee de las ten~i(lm!s por solicitacin. Ea el dimensionamiento de muchos m ie mb rus cst rur-tura les pieza" mer-n icas se utilizan una o varas de as (rmullls in,liclI paso, las tensiones" en todos los puntos de la seccin (o las tensiones que actan sobre las reas elementales d de todos los elementos longitudinales o fibras de la ) solamente sern iguales: (a) si la elongacin (ulargumiento por unidad de longitud) de esas fibras en correspondencia de la es el mismo, y (b ) si la tensin .en cada fibra es proporcional II lap p

i

o da

!p(e)'f.'l(:, '7

p(d)

P

(e'

m

elongacin y el factor de proporcionalidad fOS igual para todas Ias fibras. A su vez, para que las elongaciones de las fibras sean iguales, deben cumplirse las siguientes condiciones i debe ser recta. l. La porcion considerada de la de la 'l a, dichas elongaciones no ejemplo, en la iguales. cn2. La pieza, adems de ser recta, debe estar solicitada axil tricarnente ; en la pieza de la 'lb, las elongaciones considerablemente de unas fibras a otras. 3. La porcin que se considera debe tener una seccin transversal constante. En el caso de la Fig. Te, el cambio brusco de seccin or iginar grandes tensiones localizadas en correspondencia de las cillaIladuras. como indica la 'l y se desprende de la 8. reproduce la fotografa de un modelo de caucho. El de tensiones localizadas se estudia en el Captulo 12. 4. La carga debe ser en un punto o scccion suficientemente alejado de la donde existe la tensin 'J. Las tensio-

9, Limitaciones la fl'imnda de soUdtacdn ll:Xill (J desarrollado en el artculo anterior ser anlicado paru deducir ymostrllr las limitaciones de la frmula (T unn barra de forrnu sometida a dos fuerzas colinealcs de igual y opuestos, eOIl10 se indica en las 7b y 7L determinar la tensin normal en un punto de un plano a la direccin de llls cargas en un a cual de las en dichas se un esquema de cucrpo libre, de acuerdo con el Fr , del An. 8; en el cuso de l a por cuerpo el que unuest ra 7d. La ecuacin ob te-

f rr da

(1)

32

FORMUI", dc 105 remad,e. ih ie 'tf::'ltantes es dI? 693 kgic1U2. El proyecto especificaha una tewn tangencial adrnis de 700 k~!nH'. El ro nt r-at.istu hall fonveniente mur una chapa nudal ms ancha que la proyectada y agrl'gdr e! rcmuche ,,,\icion,,l en D. creyendo de e,e modo ol*"ltr una unin ms {,Mejorari:\ [u de la n niu hleieru ret ir ar el rcmachv en D?

r('si~"teute,

~{'gurdul

6. ('na vigJ\ de s('rcln ctwdrnr1n e::,t Hn.:itllUJda de mml!) que el de neutro coincide con u nn .i~' r,~iuH~1fi{'() o equiaxlal (1). tu :)2a

21., Un eje de acero de 10 eln de dimetro egtl 5o.metido 11 un empuje axiI d)l ton y su . .

62

TENSIONES Y m;FORMACIONES EN UN PliNTO

TENSIONES OCTAEDRICAS

63

(). 'ti "'" 45. Para un estado tensional simple, como el que se o r igmaen el ensayo comn a trnccin, la tensin tange ncia l -o('tllC!rie~ vale. de acuerdo con la Ee. 26:

(27)donde:

17j;

76

TENSIONES Y DEF'ORMACIONES EN UN ,PUNTOb) En un punto perteneciente a

COMPONENTES DEL TRABAJO TOTAL DE DEFORMACION ELASTlCA 77

l'l superfioic i,. Bulh-tiu 145, Eu_giHt1t~riug: E-"ll!.~dmellt Sru tinn. lcwa Sturc Collcge. lH40,

13fi

PIEZ\:, fLR\

A~ ~OUUT.\1l \S

.\ F!.EXION

TENSIONES CIRCUNFERENCIALES EN UNA V]GA CURVA

137

tienen secciones perfiladas, tales como la T, la doble T, etc., con un alma delgada o alas relativamente anchas, como se ver ms adelante. En la Fig. 86, A B Y Al B I representan las trazas de dos secciones rectas de la antes de la aplicacin de las cargas. Al cargar la pieza, la variacin . longitud de una fibra cualquiera limitada por ambas secciones, es igual a la distancia entre las rectas Al B l Y A' B' medida en la direccin d~ la fibra; I~ superficie neutra est representada IJor y el alargamiento de la fibra P'P, es PP'l' etc. Por conveniencia, supondremos que la traza A B es un de simetra y no cambia de direccin. . La deformacin lineal (variacin de longitud) de las fibras es propareional a sus respectivas distancias a la superficie neutra, pero la deformacin unitaria (variacin de longitud por unidad de longitud) no lo es, ya que las fibras no tienen la misma inicial, a diferencia de lo

Sus para cualquier punto de la seccin, estn dados por la frmula que se deduce en el artculo siguiente.

48

Tensionee circunferenciales en un punto

c~era

de una viga

eurva, Frmula de Winkler-Bach. Supongamos qne se requiere determinar la tensin normal en un punto cualquiera de una seccin recta de la curva, en funcin momento flexce M que acta sobre la seccin y de las dimensiones de la misma. De acuerdo con el Paso lo del procedimiento desarrollado en el Art. 8, se pone en evidencia el equilibrio de la porcin de viga situada a un lado de la seccin, COmo muestra la 87, y se aplican las ecuaciones de equivalencia (1) a las

le

o --r

xda

,yF'H', 87

{

que ocurre en las vigas rectas, donde las fibras son todas ellas de longitud y por lo tanto sus deformaciones unitarias, lo mismo que absolutas, varan linealmente con sus distancias al neutro. Si las tensiones normales de flexin no exceden el lmite de proporcionalidad del material, la tensin en una fibra es proporcional a su deformacin unitaria; por consiguiente, las tensiones elsticas en las fibras de una pieza curva no son proporcionales a las distancias que separan a dichas fihras de la superficie neutra. Se deduce, entonces, que mento resistente de una viga curva no est dado por la expresin ya que esta ltima ha sido obtenida en la hiptesis de que tensiones varan linealmente con las distancias al eje neutro. Por la misma razn, el eje neutro de una pieza curva solicitada a flexin no pasa por el baricentro de la seccin. La distribucin de las tensiones en la seccin la relativa del neutro verse en la 86; si la recta, la tensin debera ser nula en con el haricnt.rico debera variar linealmente como la lnea de trazo de dicha Las tensiones normales en una seccin recta tal como la AB denominan circunferenciales.

fuerzas que actan sobre dicha porcin de la pieza. Las expresiones as obtenidas son: (144) Jcrda=O =0 o bien (145) da 111= =0 o bien De acuerdo con el Paso 2 o del Art, 8, para resolver la Ec. 145 ha v qne hallar la relacin que vincula la tensin cr con la ordenada Mientras el material se comporta elsticamente:

v.

O'

= Ee

(146)

donde E es el mdulo de elasticidad longitudinal y e es la deformacin unitaria de una fibra situada a la distancia .Y del eje bario cntrico de 1Ft seccin. Si se expresa ;; en funcin de .y (y de las dimensiones de la viga), la Ec. 146 expresar cr en funcin de y (y de Para ello es conveniente expresar la deformacin unitaria z de cada fibra en funcin de la deformacin unitaria el) de la fibra haricntrics.

e) .'I!'r.llle:";

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I.jn rt'lllhllHl el' flmlJ:i:-is que

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!'lll';.n l'OTI-I.}1'\punde al

e-neo el! que In Hru-a de !tlt:I'Xf: Pi'< u u lit, :titlwl'a. Por eso un el pla n tenmk-uuo (h, las ecuaa-lnde tt;.Jvuh:ncM :-le omt+-'A

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3,02.5H

I-

B~Ai......-c

"",!cr-I

Hay dos principios que deben chservasse para la aplicacin del mtqdo que nos ocupa. En primer trmino, el valor de la relacin R] en la seccin equivalente debe ser aproximadamente el mismo que en la seccin real ya que, como surge de la Tabla 5, un cambio relativamente pequeo de esa relacin origina una variacin sensible en el valor de la tensin circunferencial (debida a flexin),. sobre todo cuando la magnitud de Rlc es pequea. En seguudo trmino. la forma de la seccin equivalente. en la parte ms cercana al centro de curvatura, debe diferir muy poco de la de la seccin real. Esta exigencia deriva del hecho de que. en la expresin de Z, los errores que se cometen en el valor del denomina'dor: (R + y) tienen un efecto tanto ms sensible cuanto menor es dicho valor, como puede infeeiese de la Ec. 153; para los elementos de rea ms prximos al centro de curvatura, el valor de (R + y) puede ser muy pequeo y entonces, cualquier error que lo afecte, incidir sensiblemente sobre el valor de Z. El problema que sigue ilustra sobre la aplicacin de estos principios al mtodo de la seccin equivalente.

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Seecin tl'1\l.eci"

5FHl. 95

Mrodo del 4reatransformada. La seccin de una viga curva puede transformarse grficamente de acuerdo con las expresiones deducidas en el Art. 48 de manera tal que el eje baricntrico de la seccin transformada resulte coincidente con el eje neutro de la seccin original. Rsal demostr que, utilizando dicha rea transformada, las nicas earaetedsticas geomtricas de la misma que se requieren para el clculo de las tensiones en la viga curva son su momento de inercia con respecto al eje baricntrico y la distancia que separa a los ejes baricntricos de la seccin original y de la transformada. El mtodo de Hsal no se utiliza en este libro; un anlisis del mismo puede verse en la obra que figura como referencia 4. al final de este capitulo.Problema ilu.strativo

Fihrll. exh'rior B

o

I I67

IB9

4

Helact'" R e

~ M. Un gancho de gra deaeere forjado, cuya seccin es la repeesemada en la Fil;. 94 apenas eXI'-de de un 2Yz por ciento. S. se utthza como oeCCl.m "'{Ulvalente un IUmple trapecio, tal eomo el ~ntad" en 1.. Fg, 94", la temin aB en la libra extrema interior :resulta igual 11 UlSO kg/cm". Este v aIor representa unerroe del 21 pe r ciento que se debe principalmente, como ya se I!r la frmula habra sido 785 kg/cm'. Para hallar la tensin transversal mxima en las alas interiores, hay que ealcular previamente la tensin cireunfereneial al nivel de la fibra media de aquellas ;

;;;Gu

= 59

2118 (I +. 1 - 4,66 ') =

0,181

x

4,8

=

59

+ 871 =

930 kgfcm'

Volviendo a entrar en la Tabla 6 con el valor 1>'/71 = 2.25 correspondiente al ala interior, se obtiene: @i = 1,10 Y entonces, de acuerdo con la Ee, 171, la tensin transversal! mxima en B ser: a' = @laG = 1,1l1 x 930 = 1.580 kgfcm' (compresin)

Epp

-;1- 1, 2 "1 /,,4.2 , .. r::~B I~ L-~ j~(0','andoel mtodo de la seccin corregida de B1eeh.

tal como el ARDE de la Fig. 103a. que aparece ampliado es el esquema de cuerpo libre de la Fig. 103c. Las caras AE y RD, que forman un ngulo muy pequeo de, tienen un rea a' correspondiente a la zona sombreada de la Fig. 103/:1. En cada una de esas caras, Iaresultante de las tensiones circunferenciales es una fuerza T (Fig. 103c) dada por la expresin:

S2 Tensiones radiales en las vigas eU'r'"VU~ En los Arts, 48 a 51 se han dado procedimientos. y frmwas para el clculo de las tensiones normales de flexin que se originan en las secciones rectas de las curvas (secciones planas que pasan por el centro de curvatura y son

T=

a da

donde f.1 es la tensin circunferencial en un a'. dada por la Ec, 148. La :fuema radial

cualquiera del rea en la cara DE es igual

162

PIEZAS CURVAS SOLICITADA.8 A FLEXION

TENSIONES RADIALES EN LAS VIGAS CURVAS

163

al producto de la tensin radial G" por el rea de dicha cara, o sea: F,. = (JI' (R + y) t da, donde t es el ancho de la viga a la distancia y del eje baricntrico. La ecuacin de equilibrio que resulta de igualar a cero la suma de las componentes radiales de las fuerzas que actan sobre el bloque ARDE de la Fig, 103c, es:

Problema ilustrativoProblema 100. La Fig, 104.. representa una piez.a curva utilizada como cuerpo de una prensa pesada. Las dimenecnes de la seccin AH son las que indica la Fig, 1046. La pieza e "t hecha de fundicin de hierro y soporta una carga P = 4.5(}~ kg. Cal",ular la ten.in radial en la seccin del alma donde sta se une con las alas interiores. Se supondr que ",1 compertamiento del material es elstico '1 que no se sobrepasa el lmite correspondiente.

ar(R

+ Ji) t de =Jr

2T sen (di:l2)

=

T de(173)

= TI [t(R + y)J

Para resolver la Ee, 173 es preciso conocer el valor de la fuerza T, dado por la Ec. 172. Sien esta ltima introducimos la expresin de a dada por la Ec, 158, se tiene:

T

=

~ J~ da + a:Z J~c ~ay

(174)

En la Ec. 174, la primera integral representa el rea a' de la Hg. 103b Y la otra integral tiene la misma forma que la que define la magnitud Z en la Ee, 153,. por lo cual haremos:

Z' =

_.!.(1;'

yda R +y

(175)Fw. lOl

donde Z' es una magnitud earacteratica del rea a' anloga a la magnitud Z de la seccin total a. Introduciendo esa expresin en la Ec.174, se tiene: y substituyendo este valor de T en la Ec. 173, se obtiene finalmente:

So,luci... El rea a de la seccin es iguala 139 cm 2 y el rea a" comprendida entre el borde interior (cncavo) y la seccin DD cuya tensin radial se quiere calcular. es igual a 75 cm". Adfims. se tiene: en = 7,62 cm, e, = 2,62 cm y R 12,22 cm. De acuerdo con la Ec, 175. el valor de X'es: Z' = _ ~ da = _ ~ [-2.62 .... Y a' )-7,62 +y= _

O"r

=

Rta (R

1ifa'

+

( y) '.1 -

Zf) Z'

(176)flllltOl'

~ R log e (R + y)].-2.62 = 0.798 75-7,62

[x-

en la cual Gr es la tensin radial en un punto ubicado a distancia )' del eje baricntrice de la seccin. Los signos de M y de y se determinan como ya se indic en el Art. 48. La Ec. 176 da valores bastante aproximados de las tensiones radiales en el alma de las secciones '1' o doble '1', pese a que la frmula de WinklerBach (Ec. 158) utilizada para el clculo de T en la Ee, 174, no da los valores correctos de las tensiones circunferenciales en dichas secciones; esto se debe a que el valor de la fuerza T es las alas de una seccin T o deble T cambia muy poco debido a la distorsin de la seccin cuyo anlisis se hizo en el Art, 51. Por otra parte. la adicin de una carga axil [esfuerso normal) al momento flexor tampoco afecta los valores de las tensiones radiales.

El valor de Z, calculado numricamente (ver Apndice III), es: Z = 0,290. El momento en la seccin A B vale: i'l1 - aa.700 kg cm y entonces la tensiOO radial. de acuerdo con la Ec, 176. es:

"r = Rl"

~"~el) (1 ~ ~;) =a8,700 X 75X

= 375 kg/cm" Esta tensin es de traccin ya que el valor de (JIr obtenido es positivo; puede observarse que un momento exor negativo produce siempre tensiones radales de traccin. El valor calculado representa la tensin radial mxima, como surge del diagrama de trazo interrumpido de la Fig. 1044, cuyas ordenadas representan la dsteibuen de Ias tensiones radiales a lo largo de la seccin AB. La curva de trazo lleno representa la variacin de las tensiones creunferenciales dadas por la Ec, 161, el valor mximo de estas ltimas tensiones es 218 kglcm'. En este caso, pues, la tensin normal mxima es la radial: quiere decir que al crecer la carga aplicada a la pieza, sta fallarla probablemente por fractura, producindose la separacin de las alas interorescon respecto al alma del perfil. Este tipo de falla ha podido observarse en vigas curvas perfiladas hechas de materiales fr.. ",:!'J'H

16 -!

FIEZAS CURVAS SOUCrrADAS A FLEXION

VIGAS CURVAS QUE TIENEN SECCIONES "LLENAS"

165

En este problema DO se ha considerado el efecto de la "",n"",ntracin de tensenes en el canto de unin del alma COn lss alas, debido al Cllalla tensin radial mAxitna ha de !SU seguramentemayor que la calculada precedentemente, Ese aumento de tensin ea un fenmeno me o menos Il>~ado y puede no tener importancia si el material de la viga ea dctil y las act.,. en fOmJ.a esttica. Pero si el material es frgil, o aun siendo dl1etil, si 1" est a cargu repetidas, las teneiones iocalizadao BOn .igniiicativu. La concentracin debida a lntinu"",wn)F611MULAS

FMULS

.A", = e-X (cos x

+ sen x)i/."

B x '= e--'" sen xDx

i/ x = e-x 'os

X

+ sen.Jx

z)

Ex, = e--:% sen x D:;: = e-'" cos x

ex"" e-Z(cos;r; - sen x)

= e-O: coeBx

x2.70 2.75 2'.80 2.85 2.90 2.95 3.00 3.05 3.10 3.15 3.20 3.25 3.30 3.35 3.40 3.45 3.50 3.55 3 . 60 3.65 3.70 3.75 ;:1. -80 3.85 3.90 14.8797 15.6426 16.4446 17.2818 18.1742 19.1060 20.0855 21.1153 22.1980 23.14:07 23.3361 24.5325 25.7903 27.1126 28.5027 29.9641 31. 004 33.1154 34.8J33 36.5982 38.4747 40.4413 42.52[1 4(.1012 46.99:>1 49.4024 50.7540 51. 9354 54.5982 90.0171 111. 3178 148,4132 244.1511 244.6919 403.4288 535.4917 6165.1416 1096.6332 1174.4832 1808.0424 2575.9705

ex = c-1'(005 x - sen x)

c"0.0287 0.0244 0.0204 0.0167 0.0132 0.0100 0.0071 0.0043 0.0019O

0.80

2.22;2.3396 2:.4596 2.5857 2.7183 2.8576 3.0042 3.1582 3.3201 3.4903 3.6693 3.8574 4.0552 4.2631 4.4817 4.7115 4.8105 4.9530 5.2070 5.4740 5.7546 6.0496 6.3598 6.6859 7.0287 7.3891 7.7679 8.1662 8.5849 !L0250 9.4877 9.9742

0.85 0.90

e.ssl.OO1.0

I.H) 1.15

0.4493 0.4274 0.40136 0.3867 0.3679 0.3499 0.3329

O.SI660.3012 0.2865 0.2725 0.2592 0.2466 0.2346 0.2231 0.2122 0.2079 0.2019 0.1920 0.1827 0.1738 0.1653 0.1572 0.1496 0.1423 0.1353 0.1287 0.1225 0.1165 0.1108 0.1054 0.1003 0.0954 0.0948 0.0907 0.0863 0.0821 O 0781 0.0743 0.0706

1.20 1.251.30 1.3.'

1,401.45 1,50 :1.55~7t

1.60 1.65 1.70 1.75 1. 80 1.85

1.901'95 2.00

2.052.10 2.15 2.20

2.252.30 2.35

:::

10.4856HI.5507 11. 0232 11.5884 12.1825 12.8071 13.4637 H.140

0.6353 0.6032 1).5712 0.5396 0.5083 0.4778 0.4416 0.4183 0.3898 0.3623 0.3355 0.3098 0.2849 0.2611 0.2384 O.21611 0.2079 0.1960 0.1763 0.1576 0.1400 0.1234 0.1078 0.0932 0.0795 0.0667 0.0549 0.0438 0.0337 0.0244 0.0157 0.0080 0.0008O

2.40 2.452.50

2.552.60 2.65

-0.0056 -0.0114 0.0166 -0.0213 -0.ll254 0.0289

0.3223 0.3212 0.3185 0.3146 0.3096 0.3036 0.2967 0.2890 0.2807 0.2719 0.2626 0.2530 0.2430 0.2329 0.2226 0.2122 0.2079 0.2018 0.1915 0.1812 0.1720 0.1610 0.1512 0.1+15 11.1322 0.1230 6.1143 0.1057 0.0975 0.0895 0.0820 0.0748 0.0679 0.0671 0.0613 0.0550 0.0492 0.0435 ll.0383 0.0334

-0.0093 -0.0391 -0.06511 -0.0896 -0.1109 -0.1294 -0.1458 -0.1597 -e.1716 -0.1815 -0.1897 -0.1962 -0.2011 -0.2045 -0.2068 -0.2078 -0.2079 -0.2077 -0.2067 -0.2046 -0.2020 -0.1985 -0.1945 -0.1899 -0.18,19 -0.1793 -0.1737 -0.1676 -0.1613 -0.1547 -0.1482 -0.1416 -0.1349 -0.1342 -0.1282 1215 0.1149 -0.1083 -0.1020 -0.0956

0.3131 0.2821 0.2527 0.2250 0.1987 0.1742 0.1509 0.12930.H191 0.090,1 0.0729 Q.0568 0.0419 0.02830.0158 Q.0044O

0.0672 0.0639 0.0608 0.0518 0.0550 0.0523 0.0498 0.0474 0.(1450 0.0432 0.0428 O.04OC8 0.0388 0.0369 0.03510.033~

-0.0059 -0.0152 -0.0236 -0.0310 -0.0376 -0.0434 -0.0484 -0.0527 -0.0563 -0.0594 -0.06W 0.0638 -0.0652 -0.0663 -0.0668 -0.0671 - 0.0'671 - O. 0669 -0.0665 -0.0658 -0.0648 -0.0631 -0.0623

:rr3.95 4.00 4.511 5.00 5.50 6.00 lb 6.50 7.00 7.50

0.0318 0.0302 0.0287 0.0273 0.0260 0.0241 0.0235 0.0224 0.0213 0.0202 0.0197 0.0192 0.0183 0.0111 0.0090 0.on67 0.OOC41 0.0041 0.0025 0.0019 0.0015 0.0009 0.0009 0.0006 0.0004

-OC.0320 -0.0347 -0.0369 - 0.0388 -OC.0403 -0.tl415 -0.0422 -0.0427 -0.0431 -0.0432 -0.0432 -0.0431 -0.042'1 -0.0422 -0.0417 .- 0.0408 -O 039!! -0.0388 -0.0378 -0.0366 - 0.0354 -0.0341 --O .0327 -0,0314 -O.OSOO - 0.0286 -0.0278 -0.0272 -0.0258 -0.0132 -0.0090 -0.0046 O 0.0000 ().0017 0.0()19 0.()018 0.0013 0.0012 0.0007 0.0004

-0.0004 -0.0024 -0.0042 -0.00l>8 -0.O73 - 0.0085 -0.0097 -0.0106 -0.0114 -0.0121 -0.0126 -O.01S1 -0.01a4 - 0.1}]37 -0.0139 - 0.0140 -0.0140 -0.0139 -0.Ol39 -0.0108 -O .0090 -0.0065 -0.0029 -0.0029 0.0007O

-0.0895 -0.0835 -0.0'771 -0.0721 - 0.0666 -0.0614 - 0.0563 -0.0515 -0.0469 -0.0432 -0.0424 -0.0383 -0.0343 -0.0306 -0.0211 -0.0238 -0.0206 --0.0177 - 0.0149 -0.0124 -0.0101 -0.0079 -0.0059 -0.0040 -0.0023 -0.00-08

-o0.0005 0.0019 0.0085 0 ..0090 0.0084 0.0058 0.0058 O.OOSl O.OOlll 0.0012 0.0001 O -0.0003 -0.0004

-0.0608 -0.0591 -00573 -0.0554, -0. 0534 -0.05a -0.0493 -0.0472 - 0.0450 -0.0432 -0.OU8 - 0.0407 -0.0385 -0.0365 -0.0344 -0.0323 -0.0303 -0.0283 -0.0264 -0.0245 -0.0221 -0.0210 -0.lH93 -0.0177 -0.0162 -0.Oa7 -0.0139 -0.0133 -0.0120 - O. 0023O

0.0003 O.1){l{)!3 0.0006 0.0005 O.OOO4i

0.0019 0.0029 0.0029 0.0024 0.0019 0.0018 0.0007 0.0006 0.0002O

LA VIGA SOBRE APOYO EL\STICO CONTINUO

VIGA CON CARGA CONCENTRADA

Hl3

rreseistemee de ejes con orgenes en los puntos O" O. y 0. situados respectivamente bajo las tres cargas P" p. y p

Prohlemas ilustrativosl"reIioIema U1, Calcular el mximo momento flexor y el corrimiento mximo de un riel de ferrocarril som~tido a la carga de 11.350 kg transmitida por una sola meda. El riel apoya

C,,"imie~$, Haciendo uso del principio de superposicin el corrimiento de cualquier punto~el riel tal como el D se expresa como la suma algebraica de lo. corrimientos y" y. e ya

50~ los durmentes, balasto y base ~ese supo,nen qne actan como apoyo elstieo (ver

produedos p,:r .las cargas P" p. y P" respectivamente. Teniendo en cuenta la Ec.221a podemos escribir YD = (P,3/2k) A[3:l't + (P,[3/2k) A~. + (P.3/ 2k) A~.

paragralo 62:) con una constante elstica k 140,62 kg por cm de longitud de viga por cm de eerzimiento y (de manera que la unidad de k es kg/cm). El riel es un perfil de 65,1 kg/m para el cual 1 = 3690 cm', E = 2:.109.300 kg/cm. Calcular tambin la mxima tensin de lle::rin en el riel suponiendo que su altura es de 18,1 cm y que la distancia del eje barientrico de la seccin al borde superior del riel es de 9,9 cm.~ : Las ecuaciones que dan el momento flexor y el corrimiento en el punto de aplieacon de la carga inchryen el valor de la cantidad [3. Con la Ee, 2:16 se obtiene

Af3""

en donde PI = p. = p. = P = 11.3;'0 kg, 13 = 0,0082 Y k 140,62 kg/cm'; los valores de A~. Y A>u pueden encontrarse en la Tabla 7 tal como se explic en el pargrafo 61.

11.350kg. P

11.350 ~g, EJ

11,350 kg.

+XCo.. las, Ee, 226 obtendremos Mmx = M.=

4i3f3P2k

P

11.350 4 X 0,0082

=

345.900 kg cm

+)',

Ymx

= Y. =

=

0,0082 X 11.350 2 X 140,62,

= {,33

cm

La mxima tensin de flexin esfJmx. =

345.900 X 9,9 = --3~ = 929 kgfcm2

Poslen original de 1110 viga descargada

_~'--,..J_

+X

, Y

A pesar de! hecho de que un riel no est apoyado de manera continua (105 durmientes estn aproximadamente a una distancia de 50,8 cm de centro a centro y el ancho del durmiente es aproximadamente de 20,3 cm), se ha encontrado midiendo las deformaciones especificas y los conimientns que e! riel acta prcticamente de la misma manera que una viga sobre apoyo elstieo continuo (ver pargrafo (2).l..reIioIema11S.Alinvestigar las tensiones en una va de ferrocarril se ha encontrado que e! valor de la constante elstica k de la base de la va vara desde k = 98,43 a 140,62 lr.glcm. Cul seria el efecto sobre el valor de la mxima tensin de llexn en el Probo 117 si se supusiera que e! valor de k es de 98.,43 kglcm' en lugar de 140,62 kg/cmS?

SOluciOn. La mxima tensin de flexin es Cima" = l~f,.ciI en donde.) 4EI/k. En consecuenciaClmx = (Pc/41tV

,"f. =

Pj4(3 = (Pj4)

/4El/k

MFH~.

De aqu resulta que la relacin entre O'mx para k = 98,43 Y O'm" para k = 140,62 es igualay' 140,62/93,43 = 1,093. De tal manera, una reduccin de un 30 por ciento en el valor de

115. _

2t[omentos y corriUli{"ntH8 ot'iginadH~ por tres cm-gu s que aot un snhl'e una viga N}U apoyo e1,stc-ocIHttiulIo

k produce un incremento de slu 9,3 pUl dento en la tensin. Este resultado se explica por el hecho de que la tensin es inversamente proporcional a la raz cuarta de k, de donde un error consideraloleen la determinacin del valor de la constante k resulta en IIn error muchomenor en 1os valores de la tensin de flexin.

l"reIioIema 11', Como llustracin del mtodo a utilizar cuando acta sobre la viga ms de una cargaconcent.l'ada~se pide determinar el mximo momento flexor y corrimiento resultante en el rid del Probo 117 bajo la accin de tres cargas de 11.350 kg transmitida" por ruedas separadas entre s por una distancia de 167.64. Lo. dems datos son los mismos que en elPral>. 117.

Las distancias del punto D a las cargas p, P~ y p. son x, = 209,55 cm, x, 41,91 cm v "'" = -125,73 cm, respeetivamente; en consec",encia I3xl 1,72,fix. = 0,34 Yh. = -1,03. E~ la Talola 7 se encuentran los valores: A~:2't = 0,1505, A~. = 0,9082: y A 13"" = 0,4900. Conviene recordar que la curva elstica producida por una sola carga concentrada en una viga larga puede considerarse simtrica con respecto al eje Y para cada carga, de donde para cada carga tiene el mismo valor para un (3x negativo que para el correspondiente De tal manera la ecuacin precedente Be transforma en

~xl3;"sitivo.

SOlueiOn. Las tres caritas de H.350 kit transmitidas por la. ruedas se muestran en la Fig, 115.. con la separacin entre ruedas de 167,64 cm. Tal como indica dieha figura se utilizan

;yD = (P[3/2k){O,1505

+ 0,9082 + 0,4900) = 1,5487 (P[3j2k) = 1,5487 X.

194

LA VIGA SOBRE APOYO ELASTICO CONTINUO

VIGA SOBRE APOYOS ELASTICOS AISLADOS

195

en donde Y. es el corrimiento mximo de la viga producido por una cualquiera de las tres caro gas concentradas iguales P (ver Ec. 226). La curva elstica resultante aparece dibujada en trazo ms grueso en l. Pg. lIS/'; fue obtenida uniendo con una curva continua los puntos cuyas ordenadas representan los corrmientes de diversos puntos de la viga, hallados por el mismo procedimiento utilizado en la soluci6n precedente para YD' El corrimiento mximo Yrnx se da en el punto O. y resultaYmx = (P(?I2k) (A~

el corrimiento mximo y la mxima tensin de fexn en la viga. Cul ser la mxima pre sin q por unidad de longitud entre el ala y la placa de apoyo de goma?121. Si el corrimiento mximo de la viga del Probo IZO IIO debe exceder de 2,54 cm, a qu carga concentrada mxima puede estar sometida la viga?

+ A[3$. + Af3$ = (Pf$/2kl(0,2998 + 1,0000 + 0,2998) = 1,60 Yo

En el Probo 117 se encontr que el corrimiento mximo Y. producido por una carga concen trade P = 1l.350 kg era Y. = 0,33 cm. El corrimiento mximo debido a tres cargas concentradas de ese valor separadas por una distancia de 167,6~ cm es en consecuenciaYrnx

122. En la solucin del Probo 119 la curva resultante de la Fig. 115c que muestra la distribucin del momento flexor en un riel debida a las tres cargas de 11.350 kg transmitidas por las rueda. indica que el mximo momento flexor negativo se encuentra en una seeen ubicada a aproximadamente 167.64 cm a la derecha de la rueda 3 o a la izqnierda de la rueda 1. Calcular el momento exor en cualquiera de estas dos secciones del riel. Resp.e - 0,28 M.

= 1,6

X 0,33 = 0,528 cm

123. Calcular en el Probo 117 la presin aproximada por unidad de longitud de riel entre ste y loaelementos de apoyo de la base de la vfa situados directamente bajo la carga. Resp.: 45,5 kgfcmEn la construccin de una fundacin temporaria que sirva de apoyo a una mquina pesada se desea elegir como apoyo una viga larga de madera que soportar una carga concentrada cerca de su punto medio y que descansar sobre la superficie horizontal y nivelada del terreno. El estrato superficial del terreno est formado por material sedimentario y debajo de ste se encuentra otro estrato grueso arcilloso. El valor del coeficiente de balasto para este terreno es k. = 2,77 kglcm'. Si la viga tiene 20,32 cm de ancho y 30,48 cm de altura. ealcular el mximo valor de la carga concentrada que puede sostener la viga si se especifica que su tensin de f1exi6n no debe exceder de 105 kg/cmo El valor de E es para la madera de 84.000 kglcm'.

Momenro$. Haciendo uso del principio de superposicin se encuentra que el momento f1exor de la seccin D del riel es la suma algebraica de los momentos exores MID, l40D Y M.D en la seccin D producidos por las cargaa PI' Po Y p., respectivamente. Para calcular el momento flexor produedo por cada carga ecneeutrada se utiliza la Ec, 223a. De tal manera el momento lIexor en la seccin D est dado por la siguiente expresin:MD

m.

= (PI14(?) Cf3X1 + (p.14{3) C[3$. + (P.14{3) Cf3Xs =

(P/4(?) (C~

+ Cf3$> + C[3$')

Los valores de [3$" [3$0 y f3$> son los mismos que loa encontrados e" la solucin de los corrmentos ; debe observarse en la Pg, 114. que las curvas del lIexor son simtricas con respecto al eje Y por lo cual el momento flexor para un valor negativo de [3x es el mismo que para el cerreapondienee valor positivo. Sasrituyendo los valores de C~, etc., que se pueden hallar en la Tabla 7 en la ecuacin precedente resulta

MD = (P/4(?) (- 0.2036

+ 0,4341- 0,1160)

= 0,1145 (P/~f3) = 0,1145 Me

en donde Me es el momento flexor mximo producido por una nica carga concentrada P = = P, = p. = p . Los momentos llexores en otras secciones de la viga se obtuvieron de manera 'anloga. La curva de momentos flexorea resultantes se indica con trazo grueso en la

Fg, lIS". El momento flexer bajo cada una de las tres cargas se encuentra como sigue: bajo la carga P, el momento exor MPl es

MPl

= (P/4(?) (C~ + Cf3Xs + Cf3$ = (PI4{3) (1,0000 + Cf3$> + Cf3$

0,1972 -

0,(845) = 0,7183 M.

Y por simetra resulta que el momento exor M p s bajo la carga

p. tiene el mismo valor que

el momento bajo la carga PI' El momento flexor Mp, bajo la carga p. es

Mp, = (PI4(?) (C(?XI= 0,6054 ,'\:fe

= (P/~(3) (- 0,1972

+ 1,0000

0,1972)

El momento flexor mximo producido por las tres cargas de 11.350 kg situadas a una distancia entre si de 167,64 cm es entonces 0.7183 M., donde M. es el momento 1IIexor en el riel producido por una sola carga de U.350 kg. La. solucin precedente muestra que el a~gado de las dos cargas reduce apreciablemente el valor mximo del momento exor mximo 'pero produce un gran aumento en el corrimiento mximo del riel.

62 Viga sobre apoyos elstieos aislados eoa separacin uniforme. Se seal en la solucin del Probo 117 que poda suponerse, dentro de ciertos lmites, que una viga muy larga sostenida por apoyos elsticos aislados descansaba sobre una fundacin elstica continua a los efectos del clculo de las caractersticas, La Fig, 116a muestra una viga muy larga sometida a una carga concentrada que descansa sobre apoyos elsticos aislados. La obtencin de las caractersticas en tal viga constituye por lo general un problema estticamente indeterminado bastante laberiose. La sustitucin por una viga sobre apoyo elstico continuo equivalente, en lugar de la viga real sobre apoyos aislados hace mucho ms sencillo el clculo. La. manera en que se hace esta sustitucin puede explicarse como sigue. Se supone que los apoyos elsticos aislados estn igualmente distanciados, siendo l la distancia entre apoyos tal como muestra la Fig, 116a, y que cada apoyo elstico tiene la misma constante elstica K; de esa manera, si la reaccin de uno de los apoyos elsticos sobre la viga es R y el corrimiento correspondiente del apoyo es y (igual al corrimiento de la viga en este apoyo) el valor de la reaccin es

R=Ky

(228)

Problemas120. Una viga larga formada por un perfil doble T de 10,16 cm de altura y construdacon una aleacin de aluminio estructural descansa sobre una placa horizontal gruesa de goma dura. El ala que est en contacto con la fundacin de goma tiene 10,16 cm de ancho. El valor de E es de 703.100 kg/cm2 y el momento de inercia 1 de la seccin, doble T es de 4470 cm", El valor del eoefieente de balaste 1 X 703,(llO X lOS

1,41

= O.ooS32 cm-1 '

La tensin en una barra es O't = Ffa = )E/L. En consecuencia la mxima de la. tensiones en las varillas se dar en aqulla que est ms cerca de la carga, en donde el corrimiento J. de la viga (y por lo tanto dela varilla) es mximo. Por medio de la Ec, 226 se encuentra para elcorlrimienlomximo PB 3118 X 0,013 Ymx = = 2 X 219,S= 0,094 cm

2k

Para poder ser considerada como una viga larga sobre una fundacin elstifa, la viga debe tener una longitud mnima de 3/2 (rt/l3) = 312 (1t"fO,00632) = 567 cm. La viga tiene 609,6 cm de longitud. La longitud del tramo entre apoyos es de 16,2 cm y por lo tanto menor que 1t"14(? = 1t"f(4 X 0,(0332) 94,5 cm, que es limite superior de la separacin entre resor tes cuando se utiliza un apoyo elstico continuo equivalente para la solucin de este problema. Se supone que la viga descansa sobre un apoyo elstico continuo equivalente cuya constante de resorte es k = 1,41 kg/cm" dada por la Ec, 232. En consecuencia, aplicando la Ec, 226 se encuentra para elcorrimiento mximoy mx ==

La mxima tensin en las varillas es entonces

at =

,'Ymx

-y;- =

E

0,094 X 2.109,300

.. k 1 = l300 gcm

Problemas127. Supngase en el Prob, 126 que todos los datos permanecen iguales excepto la longitud de las varillas de 1,11 cm que ser abara de 182,9 cm en lugar de IS2,4 cm. Calcular la mxima tensin de flexin en la viga y la mxima tensin de traccin en las varillas de suspensin. 128, Un cao de acero largo soldado de aproximadamente 16,5 cm de dimetro externo se halla suspendido de una serie de resortes cada uno con una constante de resorte K = 16,83 kglcm. Los resortes estn separados por una distancia de 304,8 cm de centro a centro a lo largo del cao. El momento de inercia de la seccin transversal del cao e.. de 1170 cm' y su mdulo resistente de 141,6 cm'. El peso del cao es de 28,3 kg/m y una carga concentrada de 90S k.g; est suspendida en un punto cercano a la mitad de lo longitud del cao. Calcular la mxima tensin de flexin y el corrimiento mximo del cao. Despreciar el peso del cao en el clculo de la tensin pero considerado al calcular el corrimiento. Resp.: a = 10S5 kglcm'; Ymx = 17,8 Cm

903 X 0,00332 2 X I,n = 2,66 cm

Y el mximo momento flexor es

PMmx= La mxima tensin de fiexin es

9/}84> X 0,00632 = 27.300kg.cm

_ Me _ 27.300 X 3,.81 _ 992 0'-[105 -

"_1cm "'l5l

Pro1lllema 126. Una viga larga cuelga de una serie de varilla. de acero de 1,11 cm de dimetro y 152,4 cm de longitud, separadas por una distancia de 61 cm de centro a centro. La viga es un perfil doble T de acero de IS,24 cm de altura y peso de 18,6 kglm; el momento de inercia de su seccin transveraal es de 908 cm", resultando su mdulo resistente igual a 119,3 cm', Se aplica a la viga en su punto medio una carga concentrada vertical de 3173 kg, calcular la Dllxima tensin de Hexin en la viga y la mxima tensin de traccin en las varillas de suspensin. El valor de E para el acero es de 2.109.300 k;gfcm'.Solucwn. La eonstaute de resorte K para una varilla de suspensin se obtiene de la eeaaein que da el alargamiento de una barra axilmente cargada sometida a traccin. Es y = FL/aE, donde y es el alargamiento de la varilla, F es la carga axil sobre la barra, L es la longitud de la varilla, a es el rea de la seccin transversal y E es el mdulo de elasticidad. La ceastante elstica K de la varilla se define como

K

=

~ ="E = 0,967 y L

X 2.109.300 = 13.400 kg/cm

.,

Para el valor de la constante El: del apoyo elstico continuo equivalente se eneuentra segn la Ec. 232 k = KIl = 13.400/61 = 219,5 kg/cm"

63 Carga uniformemente distribuida. sobre parte de la viga. En la Fig, 117 una muy larga se encuentra apoyada sobre una fundacin elstica y est sometida a una fuerza uniformemente distribuida w por unidad de longitud sobre un tramo h de la viga cercano a su centro. Supngase que se desea determinar las magnitudes caractersticas en cualquier seccin () de la viga situada dentro de la longitud h. La seccin O est ubicada a una distancia a desde el extremo izquierdo de h. y a una distancia b desde el extremo derecho de h; tal como lo muestra la Fig. 117. Se resolver el problema suponiendo que la carga distribuida esequivalente a una serie de cargas concentradas P x muy cercanas entre s, cada una de las cuales es igual a tvdx, siendo dx una longitud diferencial sobre la viga, y luego utilizando el principio de superposicin tal como se hizo en el Probo 119.

200

LA VIGA SOBRE APOYO ELA5TICO CONTINUO

CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE Pi\.RTE

01':

LA VIGA

201

Corrimiento. Haciendo uso de la Ec. 221 se encuentra que el corrimiento ..y del punto O debido a la carga P z = w elx que se muestra en la Fg. 117 es w dx ~ (233) 6,y = 2 k .d3 z [eos ~x + sen~x)donde x es la distancia desde la carga P z = w,elx hasta el punto O, y ~ y k son las constantes definidas en el pargrafo 61. El corrimiento resultante y del punto O producido por toda la carga distribuida ser igual a la suma algebraica de todos los valores ..y dados por la Ec. 233 para cada una de las cargas iodx, Puesto que el nmero de cargas

vamente, El corrimiento mximo de la viga tiene lugar en el punto -medo de la carga distribuida, en donde a = ..

Rotacin, Mom.ento [lexor y Esfuerzo de Corte. Los valores de la pendiente, el momento flexor y el esfuerzo de corte en el punto O producidos por una carga = w dx pueden encontrarse utihsando las Ec. 222, 223 Y 224, respectivamente. Los valores totales en el punto O producidos por toda la carga distribuida se encuentran aplicando el principio superposicin y son, respectivamente: 6

==

(w1/2k) (A[j.a. -A3b)(W4~2)

(237)

MV

(B pa

+ Bpb)

(238) (239)

=

(w!4~)

(epa - Cph)

Los valores de las cantidades del segundo parntesis en las Ec. 237, 238 y 239 pueden encontrarse en la Tabla 7.

+-------+---4--+ X

.....------ 11 -----_MFIG, 117, -

t - - - - a - -...... - - - b ----.JI

\'iga largu sobre 3pOYO elstico cargadu en una '/lurte de 8U longitud

wdx es infinitamente grande y se extiende a ambos lados del punto O = O), se requieren las, dos integrales siguientes para sumar los valores de ..y.IV elx y = L..)' = 2 k ~d3X (ces 13x

Momento Flexor Mximo. La ubicacin del punto O para el cual resultar mximo el momento flexor dado por la Ec. 238 seencuen tra como Si la longitud cargada 11 es corta, es decir, si h es menor que "/2(3, momento flexor se produce en el punto medio de la carga distribuida. Sih es mayor que ,,!2~, hay dos puntos en la longitud h para los que se da el mismo momento mximo. Estos dos puntos estn aproximadamente a distancias Te14(3 de cada extremo de la carga distribuida. Estos hechos se demostrarn en el problema ilustrativo que sigue.

+ sen (3x)[ces

. ..(~ dx 1, w + 2k

fh + sen (3x)

(234)

El valor de a en la Ec. 234 es negativo aunque se le atribuye aqu un signo positivo puesto que la Ec, 221, que se utiliaa para plantear las Ec. 233 y 234, da el corrimiento slo para valores positivos de x. Este procedimiento se justifica pues el corrimiento de una viga sometida a una sola carga concentrada tiene el mismo valor, debido a la simetrfa, a iguales distancias en los sentidos positivo y negativo x, Integrando la Ec, 234 se obtiene el valor del corrimiento enO. y = (wI2k) (2 - e-[ja. C08 ~a - .dl/) cos ~b)Teniendo en cuenta la Ec, 225 podemos reemplazar los trminos e-pa. cos ~a y e-pb cos ?b por los smholos y D3b respectivamente, pudindose escribir entonces la Ec, 235 en siguiente forma

Problema: Una viga de madera muy 1ar15a cuya seccin transversal tiene 1(1.16 por 20,32 cm descansa sobre tierra. El mdulo de elasticidad de la madera es de 105.465 kgjemS y e] valor de k. para el terreno e. k. = ,~.432 kg/cm. Una carga uniformemente distribuida w = 3570 kglm se extiende en una longitud 11 3,048 ID de la viga cerea de su centro l:aI como puede verse en 1 .. Fig, 118. Calcutae Ios valores mximos del corrimiento, la tensin normal y la tensin tangencial en la viga y la mxima presin por unidad de longitud entre Ia viga y la fundacin de tierra,

m.

Soludn. El valor de k es k consecuencia

=

k. espesor de la viga

4.432

10,16

45 kgJem', En

y 13h = O. OHll X 3ll4,8 = 3,31. Adems. como a y 1> son las distancias sobre las cuales est distribuida la carga a ambos lados de cualquier punto de la zona cargada, ~" + ~'= 3,31. Corrimiento. Segn la Ec, 236 el corrimiento de cualquier punto 1) de la viga situado ba]o la caega distribuida es y = (wJ2k) (2 - D~" - D@bl

El eorrimieato mximo se encuentra eligiendo 1) como el punto medio de la longitud , sobre la cual est distribuida la carlll>, De esa manera @a po = 1,69, Los valores de Df3ac y correspcndientes a este valor de 3a. y (31) se encuentran en la Tabla 7.; sustituyndolos H'precedente se obtiene.rmx

Yll = (u.'/2k) (2 Los valores de D3a. Tabla 7 entrando en

(236)encontrarse en la de f1a y ~b respect i-

de la Ec. 236 columna x con los

2>:

35,7 45 [2 -

( - 0.(219) -

(-- 0,0219)J =

o,au

cm

262

LA VIGA SOBRE APOYO ELASTICO CONTINUO

CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE PARTE DE LA VIGA

203

Es importante sealar que los valores de D3a y D~.Q son muy pequeoll. Si se los despre 'k _ 35.7 _ I:f 793 Puede deducirse de este hecho que puede obtenerse un c.a, Ymx = W{ - --;:s- - . " , ,' d del corrimiento mximo de una viga sometida a una carga dtstribulda en va,or aproxrma o di d i . in -wlk una longitud ~ mayor que lt (en este problema ~Ia= 3.37) por me .0 e a ecuaci Ymax

' " E-------- o-----------ttL;:r '~:' "1 [l 11 1~L 11 Dll"...,.. ,0.254lcm

o.sos0,762 1,016

./'" '"

..( b)

Corle. Los valores del esfUerzo de corte se calculan por medio de la Ee, 239 y se indican por las ordenadas de la curva de la Fig. 118. El valor mximo se da en los extremos de la carga distribuida y es V m.u: = 785kg. La mxima teMin tangencial en la viga esul dada

......... r-

V

:,/'

por la frmula para secciones rectangulare1> que es ":' corte y A es el rea de la seccin rectangular. Resulta"l'mx

=;

{V{A}, donde Vea el esfuerzo de

",\~5765 11530

I

=

3{2

e t;

-+iC' ll! ,ol36 O'O>lllO 0.0474 IUl482O.Q.lOO 0.tJ.l94O.U~!l7

H -0.05

H-O.IO

H-O.20 N-O.50 N-LO

N-4.0

1I-11Ml

e.eies0.0189 0.02230.0:l~1I

LO

1.4

IO:i86

a.o

I.S 2.0

r.e

e.rreoI

!!

I

0.0265 0.0274 O.ll'l80 IJ.0283 0.0283 0.0287

I

I

0.0087 0.0070 0.0100 0.0061 IU1I2O 0.00ll8 0.013+ 0.0109 0.0143 0.0117 0.0149 0.0121 0.0152 0.0124 0.0154 0.0125 O.Oi5':> 0.0126 1l.0150 0.OU7

I

1

'. Los valores de Mar, y :lIbe para cualquier valor de ." pueden obtenerse Ee.260.

U 81i 1141 o

la

,o) Valonl3 de O usados para determinar el corrimiento del centro de la placa. con ID

ecuaen .1

= e (1

-

t.') El' j Mdulo de Poisson ," = 0,.15.

~ca

"lore.de '"0.33 0.5 0.6 0.8 1.0 1.21.4 UI 1.8 ZJ) 3.0

Valores d"11-0

e!.OJi - ~.Ol/-K

n -0.01>0.1214 0.1310 0.1345 0.13114 0.1428 0.1455 0.1476 0.149., 0.1009 0.1521 0.155.

11- (UO0.0983 O.1I~'2O.lIBO

11 0.~'O

0.00 JJ -1.0 0.0098 0.0349 0.0036 0.07\l6 0.0040 0.1004 0.1167 0.1233 0.1321 0.1375 0.1,528 0.0234 0.0358 0.0013\1

0.1591 0.1379 0.1513 0.1563 0.IM7 0.1554 0.1553 0.1534 O.I5M 0.1357 0.1565

0.126-1 0.1327 0.1314 0.1415 0.1446 0.14.3 0.1493 0.15M

0.071-1 0.0879 0.0956 0.1080 0.1179 0.1258 0.1322 0.1374 0.1416 0.1449 0.1543

0.077\1 0.00Z7 0.1037 0.1165 0.1252 0.1321 0.1511

0.OO

0.0135 0.0079 11.1)233 u.urso 0.0007 0.02~'8 0.(>176 0.00!15 O.llll.16 n.05,!H 0.0825 0.0761 0.0074 0.0021 O.I09ll 0.1()i;ll O.I:!oo (1.1165 0.128l'J lU233 0.11109 0.1500

0.0019O.OOi'ilO.OI~O

u.oao: 0.tJ.l1l3 0._ 0.08.'111 o.roes0.1I2r. 0.1222 0.1496

!

Carga concentrada en el centro. En las Tablas 12a y 126 se dan los valores de los momentos flexores M bo y M ec en el centro de una placa apoyada como muestra la Fig. 136 Y sometida a una carga concentrada distribuida en una pequea superficie circular. de dimetro do. La Tabla 12c da el valor del corrimiento mximo de la placa, que tiene lugar en 8U centro. La Tabla Ud da el valor del momento flexor mximo en las vigas de apoyo. J..a Tabla 126 da el corrimiento mximo en las mis, mas, que tambiIl se producen en el punto medio. Se observar que en las Tablas He y lId y 12c, IU 126 se ha utilizado un valor de J. = 0,15 para el clculo de los valores la constante e, mientras que en la Tabla He J. = 0,25. Sin embargo, el efecto sobre el corrimiento del cambio del valor de J. es pequeo de manera que los valores de e dados en estas tablas pueden usarse para una placa que tenga eualquie:r valor de .t.

242

PLACASProblemas

TENSIONES EN PLACAS RECTANGUL.~RESTABLA 12 (continuaci.,,,}e) Va10res de

243

145. Una placa cuadrada de acero tiene 182,88 cm de lado y 1.90 cm de Dos bordes "puestos descansan simplemente sobre apoyos rgdos (ver 136) que los otro. dos estn sostenidos por vigas de acero doble T de 1,62 cm. 1l2.8 cm' el mdulo resistente l/e = 29.7 cm'). La placa est sometida a una carga uniformemente distribuida de 0.28 kgjem'. Supngase que E 2.109.300 v u. 1 14. Calcular las siguientes cantidades: e] La mxima tensin de l~ placa. ' Resp.: lOS5 kg/em' b} El corrimiento mximo de la placa. Resp.: 1,57 cm e) La mxima tensin de flexin en las vigas. Resp.r 2040 kglcm' d) El corrimiento mximo de las vigas. n,89 cm 146. Resulvase el Probo 145 suponiendo que se eliminan las T de 7.62 cm, dejando los bordes correspondientes libres. Sugerena: El valor de igual. cero puesto que el valor de El para las vigas elsticas, que no estn es cero. Resp.: (a) 1913 kg)cm'. (o) 3,17 cm. (e) corrimiento la placa en el borde : 3,55 cm

e

u sarl os para ,li,terrninar el corrluienlo mximo en t"i ceut i o Pa? e (1 -,- 1-;;;; )'[dul de P~I8S0ll = O)15

,'aJore,

Valores tleH=O

e1.50 f { - LO

debrz0.5 0.6 0.8 1.D 1.2 1.4 [{-O.OS H=O.lO f=0.2C

N = 2,0

11'=4.0

i H.,.,w.::~0 ~~i;;

0.33

TABLA 12PLACAS RECTANGULARES APOYADAS SOBRE VIGAS FLEXIBLES EN DOS BORDES OPUESTOS Y SOBRE APOYOS RGIDOS &"i LOS OTROS DOS BORDES (vsa FlG. 136). LA PLACA SE lIALT.A SOldETWA A UNA CAllGA CONCENTRADA P EN U .. CENTRO QUE EST UNIFORMEMENTE DIS'TlUBUIDA SOBRE UN CinCULO CUYO DlMETRD ~ ES do = a/4

1.6 L8 2.0 3.0

:~

:.~me usa.l o parM"i.::""=

(

:i

6

a) Valor de

e

usados para d eterrniuar el momento fl exor M u , con la cuacinMLC

ti) Valores de

= CP; 1rldulo de Po issouV aJores. de

/. =:

O

C(HL~titHJJ por

det ermiua r e! max i m n.on.ent o fe\:or cn el apoyo ln viga (ver Fig~ 13'6i cou b t;tllucil1

Va]o,e. .le b!0.33 0.5 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.0 0.686 0.,168 0.398 0.318 0.274 0.248 0.235 0.225 0.220 0.217 0.212

e-i.o0.101 0.148 0.1610.116 0.1!!9 0.198 0.204 0.201 0.208 0.210 0.212 0.060 0.119 0.133 0.158 0.176 0.190 0.198 0.2()4 0.207 0.209 0.212

e

Pa4, ;

':\ll1l.l1o de Pni."isouy.

=

0,15

,0.050.521 0.396 0.350 0.292 0.260 0.242 0.230 0.223 Q.218 0.216 0.212

1,[0 0.421 0.348 0.314 0.214 0.249 0.236 0.225 0.221 0.217 (l.215 0.212

f-0.2C 0.305 0.284 0.268 0.246 0.232 0.225 0.220 0.217 0.215 0.2140,212

-0.50 0.171 0.200 0.202 0.264 0.207 0.209 0.210 0.211 0.2l! O.2l! 0.212

H=4.00,037

H'I!I/$OO

0.100 0.111 0.145 0.168 0.184 0.195 0.202 0.205 0.208 0.212

0.010 0.080 0.098 0.132 0.159 0,177 0.199 0.200 0.204 0.207 0.212

Vuiore:j deba

N-O(J

O O O O O O O

o)

Valores de.

e usarlos

M bc =

para determillar el momentc e xor llhe con la ecuacin el', Mdulo de Po isson 1-"e-] ,/"a]ores de

O

e ll~Ht1o~

para deterrllillHr el cor-r i mie.nto luxiwo del ap05"O cunstitntlo

V~lores

de

lH,f la y'ig-; tl ex ihl.- con la t'l'uaciII j, =N-0.05-O.Olas 0.0307 0.0543 0.08.';0 0.103 0.114 0.120 0.123 0.127 0.1211 0.131

e (1

-

Pa" . 1,5')'

I\.-idllln

d\~

l'O.S"'lTll ."

~ ., .. '--

('1.1:-; ""

ola0.33 0.5 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.61.8

0.0276 0.0522 0.0717 0.0963 0.111 0.118 0.123 0.126O.12i

Valor05de

2.0 3 ..0

0.130 0.131t.;?

J..

se encuentrnu

COl!

Ec. 260.

PLACAS141. Rel!ulvase el PrOD. lI5 suponiende que los cuatro bordes estn smplemeate \!Obre apoyoe rgdoe .. Sugerencia: el valor de 11 "a a infinito puesto que el para la vip rgida se supone indefinidamente (a) 711 kgcm~. (b) 0,99

PtACA CONTINUA SOBRE APOYOS CIRCULARES

245

CUt

donde a es la distancia entre las rectas de accin de Este momento se mantiene en con los momentos resstentes en las secciones D V ahora los valores de y a. Es evidente q u e ' es

18 Placa continua sobre eircuhues igualmente espaciados en lUD.hu ~iones. Sea una tal como una losa de piso unida a columnas circulares, o una placa de acero que de varillas y reforzada en donde cada varilla se une a la por de un disco circular soldado a la misma, que est sometida a una carga uniformemente distribuida; y supongamos que los estn de manera la placa resulta dividida en L la distanentre centros de apoyos lado del cuadrado

=tancia :: del

1lV

y que acta en el bareentre del rea

de la placa a una disdel apoyo. El valor de z est dado por

La resnltante de las tensiones taltlg,enc~iales en la seccin A acta en el baricentro de circular seccin A que est a la distanela p del centro del apoyo; el valor de p esp=

La expresin de a reswn.a, pues v a en la Ec. 270, encontramos

Sustrtuvendo las expresiones de

111' =jl{Fr.;:. 137FIG. 138

=

wV

Consideraremos el de un cuarto de Deseamos encontrar momento flexor en la A en cada una de las secciones centrales e v D entre una de las secciones B y E que unen ]os centros de siguiente mtodo da resultados se o 5 de la Se la tentangencial en la seccin est el error haber en esta si es que existe, tendr slo un peefecto sobre los Se supone tambin que las tensiones 'tangenciales en las otras cuatro secciones del contorno son bles. Las fuerzas actan sobre el cuarto son entonces muestra la en donde la sobre el cuarto considerado se Por condicin de la resultante de las tensiones verticales en la seccin A es y opuesta lit El momento aphcado a la es el momento de la formada por Ias fuerzas Este momento es

Este momento es mantenido en equilibrio por los momentos resistentes en los cinco bordes de la del momento apneaco, un recto del cuarto de es

= !'re[ eos 45 =

+es

el momento flexor perpendicular a un lado entero del designemce este momento por entonces

a la siguiente

=(

rcos 45Q

donde W/ es la carga total snhre el cuadrado. Por las condiciones de la suma w/iI;eJtmlica de todas las como ponentes de los momentos que actan sobre cuarto de perpendicutarrnente a cada. borde debe ser a cero. Entences

M=

246que para un lado entero

PLACASescribirse cos cos

TENSIONES EN PLACAS EUPTICAS

247

y por simetraPero los valores de y no In't'2t.[1 encontrarse slo con estas ecuaciones estticas; en otras el es estticamente indeterminado aun cuando estos valores medios de y exclusivamente a de las de equilibrio, la variacin del momento a lo de cada borde U"';H,n, radio de su

absorbida porcilndrica recta por ser

es

+(cpero

"PRO -

RC

.~.-

+ (C

PUl

1 ly!2 2:

-J-,.'

1 T2 ds , 2:sera

TI

PR'

total de deformacin para la-

:,':T;

J = 21=

u=

12

ds

.i,

'

rr ~ P ds j, 2cacutarse COliO suma momento flexor, 521, 523 535,

Debe hacerse notar que la debida al esfuerzo de = P es en este caso de acuerdo las consideraciones ya mencionadas, El ccr'rimiento vertical del extremo libre c alcularse ahora por Ec. :538 al derivar ambos miembros de que da

= rr JoSi en la Ec. 542 sustituimos su valor los valores de JI , calculando sus derivadas obtenemos corno r es urt au o las Ec. 239

una P una flexin;tambin=

PR. En consecuen-

(1 ---

dO

4

436

TEOREMA DE

SOLICIL\CION COMBINADA DE FLEXION y TORSION255. Demostrar que la Hecha mxima de viga de la inercia le del tramo central, el doble del que corresponde aen la el momento tramos extremos vale

Tomando las derivadas parciales respecto a W de las ~iones anteriores, tenemos-={I

as

i1w

=0

=x

=1

=0

=(1

4-

.:

_

Fr0), sobre la barra; hallar la componente

que acta

Resp.:

.0.;; =

P. ' h3 p ( \ 3'l:':f

15

FIeL 242

26}. "Una varilla cilndrica de radio r 242) tiene la forma de un anillo semicircular de radio R. La barra est fij a en un extremo v en el otro. En este extremo ribre se encueoara aplicado un par torsor T o Hallar llledia~te la Ec. 541 el giro de la seccin truusverwa]

262. En el Probo 251 hallar los corrimientos y del punto A en drreccidn de cada una de las fueraas F y P respectivamente. Plota: tol.al de! punto A ser suma vectorial de estos corrimientos ()F y op, y de ()'W que ya fue calculado en e! Probo 251.

144!) Intl:'l}Quccin, En el los corrimientos v rotaciones en estructuras estticamente determinadas en las cuales las ~cal'gas y deformaciones estn relacionadas Imealmente, \Ai:;ul~ua.no.El 131 muesun teorema en el as llamada a la de en la estructura. esta manera el uso del teorema de Castighano se limita a ciertas relaciones lineales entre y deformaciones desde que solamente estas condiciones . el> = U. El mtodo de las cargas unitarias o trata este captulo. es tambin un mtodo para el teorema de y no est de ciertas relaciones y las como en el teorema de Castialiano, cuall:,uier' manera, stas deben ser relativamente pequeas. ficticias ser ut.iliaado para un de estruccual slo se pero este mtodo es arurca me para solicitadas a etc.

141 Pie:;;as a fner:llas axiles, En la 2430: se halla :representada una estructura articulada en la cual elemento est sometido a una fuerza en sus extremos. Las cargas externas P y Q a la articulacin vertical apoyo en se supone moverse sin frieein en direccin horizontal Podemos encontrar el corrimiento 3 en direccin horizontal de la articulacin en si la relacin entre el esfuerzo axl S y la e de cada barra de la estructura est por una"curva OF de la 243b . De Ec. 507 3 dado por

expresada en trminos de S llamada la enero complementaria de estructura es la carga aplicada horizontalmente en B en la direccin de 3. la expresin de la funcin el> para esta estructura usando 13

METono DE LAS e\RGAS

SFJETAS

F(1ERZ \S AXILES

4A1

la sustituimos en la Ec. cial de lF'Tltf'

Tubera tridimensional. Si la tubera en la no se encuentran en un mismo es Ilamada tndlmHH1S1Cl!1aL estas condiciones existen en cada extremo del esfuerzo de corte. esfuerzo normal, flexor y un momento cuando

sustituyendo en la. Ecs. .eontrar el momento en 3.480 ,~ 6,1 en El

472 PIEZAS Y ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

FUERZ\S y

::l84, Encontrar mediante el mtodo de Ias tral del rericulade de la Fig. 275. a }' E san

ficticias la reaccin R, de! apoyo cenpara todas barras. Resp.: Ro = 1486 kg

2700kg

en l. mitad de FlG. 275

Fw.276

un extremo en otro mediante con una fuerza proporcional al esto

luz la resorte si ti es

"O"

presiste e] en extrereo deformacin en el resorte, 1m f1.u~n:1:i\

285. Eneontrsr mediante el mtodo de las cargas ficticia. la reaccin teal en 1" viga continua de la Fig, 276, siendo la luz del trame izquierdo I = che t 3 m. 2116. Una se encuentra empotrada en un extremo, apoyada en el otro carga concentrada P en la mitad de la luz. Mediante el mtodo de Iaa carga. la reacdn del "poyo en funcin de P. a una halla< 5

Resp.: R =

i6 p

281. En 1" Fig, 277 se muestra un eje eiludrieo cuya secen es circular y e.t empotrado en ambo. extremos. Si el eje es sometido a. un momento torsor T, encontrar el momento de tczsin reactivo en cada extremo.

Fw, 219(o es R extremo de

KIl. donde K

l. constante del resorte. Calcular la reaccin en cad,.m

el momento de empotrumienre en funcin de P, E, I y K*

:l!9:it Resolver el Prob. 283FlG, 277

la longitud

Ull. En la Fig, 272

dan lo. siguientes

288. En el Probo 286, considrese como tramiente y hllese su valor usando el mtodo

hperesttic el momento en el empolas carga. ficticias.

, Resp.: lt = -

16

3

P

289. La una tubera de extremos se encuentean empetrados, ffiihre una temperatura tubera es utilizada para llevar a una 370 0 C. un momento de inercia 1 = 16.600 cm' y 00 dilata 0,48 ro cada cien la tubera metros, con el camhio dado de temperatura, calcular las fuerzas y P y momentos en loo extremos de l. tubera, siendo E = 1.750.000 kgjCID' a temperatara,

Fw. 280

Resp.: P z

=

550 kg ; Pll = 90 kg

a.

Mn = 4.260 kg ID;. M.4 = 5,120 kg m

= :12,9 cm', 1 = momento flector

ro, ! = 1,8 m, = 930{) cm', Hallar 10B esfuerzos en Cl y AD Y el en AB, Considerar E igual par" todos lo. -elementos. Se D ~ 394 kg, SAl! = 328 kg, Jl,f = 6 kg ID

EN IlN 474 PIEZAS Y ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INIJETERMINAD:\S294. En la 281 hallar el momento flector ;'Yi A cantidades conocidas P, h Yel ex tremo librefuncin de la.

el

"5. En la Fig, 282 hallar el momento torsor en los empotramientos en Iuneion de 1". cantidades conocidas P, h Y La compar..do COIl h y l. Hesp.: T =

e de laPI'

barra res pequeo

=~~---,;-=,

155 Ventajas del teorema. En el desarrollo del destacado en el pargrafo 147 para determinar las fuerzas y momentos en estructuras elsticas estticamente usar el teorema de Cest.igliano en del mtodo de las cargas ficticias, El mtodo de Castigliano es conveniente cuando el nmero de la estructura estticamente indeterminada es casos de errores de como se ver en

en el otro.

en un resorte elstico en la en el resorte ser incgnita Sern considerados dos Primero supngase que antes de ser la carga uniformemente distribuida el elemento calce entre el extremo de la viga y el soporte lo sostiene, En que el resorte no esto es que sea demasiado o corto

156 Viga empotrada en un extremo Carga uniformemense 283, la y el resorte (la la

t ura,

por eonsizuient e

oCde deformacin dichatotal

para la longitud.Primer caso. De acuerdo con el procedimiento mento redundante se reemplaza extremo de la 283b), sula sometida a deformacin elstica almacenada gas. Por el teorema de Cast ighano

=0

El

nezat ivo de la Ec. 584 sigrutica que 8 1

opuesto a

476 PIEZAS Y ESTRUCTURAS

47Cuando se coloca arriba y el resorte deferrnacin en la cada. El procedimiento blema precedente, el 3: 2 no es cionamos las Ecs.

+ ar.]Si hacemos nuevamente U c= Si el resorte hubiera S2 - SI

dadohubiera

PIEZAS Y ESTRUCTURAS

INDETERMINADASes la enero dx de luego

INTERPRETACION DE

ECUACION (JUi oR,

=

Solucin: R ser la incgnita hiperesttica, La energa total de deformacin ga de deformacin de la viga, por ser rgido el "1'0)'0. Por tanto U = J % 1" Ec, 589 obtenemos aUiaR = A = f (MiEl) (OM/OR) dx, M = Rx cU/fJR x.por tanto luego

Problemo. 1':98. Solucionar el Probo 297 si la barra superflua RD es 0.13 cm debe ser forzada en su posicin antes de ser aplicada la carga P.

Sal ncwt De la El'. 5119 obtenemos= 0.13

AR = (3ED/I.')

",dx

positivo) coincide con el sentido de es la misma que en el problema an-

+ ojB ",1

El elemento superfino BD es estirado deformacin causada por la carga P. teroe, luego 50 -

64aE

(P

R)I

O.SIRaE

0,1J

agrupando y despejando R = 33.000 kgy

S=

~

B

-

R) = I.MO

Cuando la viga calza perfectamente A = O' Y R = 31BId que coincide con el obtenido en el pargrafo 148. ProJ>lema lIn. Encontrar las fuerza. axles en las barras del de acero de la Fig. 286, si P = 45.360 kg Y el rea de la seccin rransversal de cada miembro e. a ] 9,3 cm', El mdulo de elasticidad del acero es E = 2.100.000 kg/ cm". Eonsiderar la barra superflua BD, calza perfectamente y que el limite elstico del material no es

Comparado este resultado con el de! anterior vemos que falta. del elemento superfluo BD una modificacin sustancial en fuerzas elscausadas por las cargas del sistema. Agreguemos que si la P aumenta mente hasta la harre ms tensada alcance su limite de fl.uencia~ esfuerzos. de otras aumentan y una mejor diatrbucin de esfuerzos sin causar serio dao a laestructura. Esta circunst.ancia la cuestin de hasta donde es conveniente el clculo basado en la hiptesi. de fa elustcided.

Preblema 2:99,

e13m

Deducir la expresion fue

287) es cargado con dos cargas cualquier seccin del anillo

de valor P. problema

fa)(a)Fro< 287

(b)

Solucin: Por simetrla observamos que los esfuerzos en A,D como indica la Fig, 28611. Sea R el esfuerzo en la barra superflua cin elstica U ser 1 R'

en

son ambos La energa

a S

deforma-

U

2'= O, S debe Fig. 2861> Y de

Solucin, Por simetrta considerarnos slo un cuadrante. En la Fg. 287& vemos la fuerza el momento actuando en la seccin A. paII~"fo 147, en dicha. coadicocortamos el en A aplicamos lo =0 nes no habr rotacin en seccin, luego '(JU lal~J\.:fo

PZ

expresarse en: las ecuaciones de

narcialrnente respecto a R de acuerdo a la ecuacin de la carga P. Lo hacemos haciendo USD de S = 5/8 (P R). Por tanto:

en la cual

u=aU

Jf1lRdO

2EI

v=

25

-R)'l 50 ---(P Mal'.' R) 1 +

La ecuacin anterior da

OMElP

Rde

o

Luego: R = O.~94P

=

22.300 kg; 51= (,::IlP

= a.250 kg.

ll! = 1'Vfo - -

2

R (1 - cos e)

y

a.w =1

480 PIEZAS Y ESTRl"CTURA,SLlJew

P

RO

o

tlc!'.pejando

0,182 PR

JI

0,182 PU -ocurre p ar a las

PRP:

Problemas3l:HL En el Proh. transversal cuadrada {), } la mx ima t e-nsidn calculada es30]~

seccin

fijos A

y e de

Encontrar por el mtodo de Castiglano el momento de ia burra en el Prob. 295 (Fig.

3ll2. TI aliar por el

de Cast igliauo la reaccin en

apoyo central de

Prono303. n anillo c-ireu lar elst.icc en forma de cuar-to mos como se muestra en la Fg. 288. una ngulO' de 45" con los. radios extremos, flexcre s en empotramien tos.

r

Fw. 288

FlG.

la

3lH. Hallar por el mtodo de Cast.igliano, el momento maxunc en eslabn mostrado en 289, tornando en cuenta la energa de deformacin debida a flexin nicamente y que las dimensiones de la seccin son pequeas compar-adas con el radio R. Resp.: J'1cfmx =PR~--;c;-.,,-;;:,-;;::-

30S. Determinar por el mtodo de Ca5ti;liano el momento flexor un anillo circular ~sobre la mitad (smil". al mostrado en 1" Fig. 287) la mitad nferior por

una carga vertical distribuida, w, por

horizontal de

pargrafo

donde

Besp.: ,'i!. =

158 Variante del mtodo energtica, En el pargrafo 13 se vio que la derivada de la de de una estructura

482

SELECCION

PARA LA PARTE IV

de la Ec. 500 (Cap. 13), tenemos

l'J7luego

= aU

L -_~'_"_

cos 2 IX

El alargamiento de sustituyendo la Ec, 594 en la

PARTE la se encuentra

en

=160 Introduccin. sometida a un esfuerzo se supone, especialmente si el estado de es que mximo de utilizable de la misma se alcanza cuando las una o tensin las fibras ms solicitadas a la del lmite elstico del material obtenidas en un ensayo de trae(o compresron) En muchos casos, sin la deformacin en las fibras ms solicitadas exceder en deformacin al lmite elstico causar dao estructural a la si la parte anelsrica de la deformacin es del mismo de elstica. Para presentar la idea de otra manera, en muchas de un elemento funciona satisfactoriamente resistieudo hasta una deformacin anelstica en las las cargas ser cadas antes de que ocurra una falla estructural por mayores causaron una tensin mxima es hallada en dctil que se hallan a cargas estticas correutes), provoquen tensiones . no dstrbaidas unifermemente sobre una porque tal distribucin pe'rnlHe al existir deformaciones anelsticas se una las tensiones de manera que es incremento en las Tales casos se sohcitada axilmente con brusco de seccausado por un ranura, etc., ta~~i.n en curvas aun en rectas de seccin constante. anlisis de barras cargauas axilmente es considerado en la VI. El mximo de a un elemento estructural sin causar el cese de su runcron correcta como elemento resistente a la carga ser frecuentemente denominado como mximo de carga utilizable lmite. La de debe ser menor que la carga mxima factor recalcarse asimismo cuanuo ocurren deformaciones de no a las tensiones pero s a las cargas i para gralo uronsito de la parte V determinar el incremento capacidad que la deformacin en las fibras ms en cantidatia'l' La pendiente de la curva en punto es por diferenciacin de la 623 Con respecto a lo cual da

En lasuperior de abscisas.

628 el mximo momento la sin comienzo, atgunes valores de las, d~formacwnes eonarse la mxima deformacin anelstica compatmtes con un funcionamiento corr~:to de una deformaein pliistlca de deformacin permanente

--c;-,---= ---

d

1 e

EFECTO DE PEQUE~AS DEFORMACIONES ANEIJA5TICA5

RELACIONque el mismo ocurre maneate en fibras exteriores el "1 momento flexer causa el comienzo de elasticidad cre aproximadamente la extensin este problema considerando permanente.

con fines Para la de los metales dicha deformacion corresponde al limite de fluencia convencional de materiales que no tienen un lmite de fluencia definido en sus diagramas de ensayos axiles, Los problemas que siguen el uso de lag ecuaciones obtenidas preced.entemente.p

"""I'"O,

Sol""in: La deformacin eerrespondiente

"'e =La mxima deformaeln tolerable

= :UOO,OOU ---- =0,001 =

O,Ol1

La sustitucin3 2

1,31

(h) Caso en que la deformneit> permallente e. del O,O!o

p

(e) Ca"u en que n defurm""ln

permanente e. del O,2WoFIG. 298. Defornweifi}l ltHehi,4it'fl

3:09. Resolver el Probo SOl>

Prohlema 308.

Una

altura, La viga es, de acero Lit viga horizontal se halla simplemente centro de la luz C'OD10 muestra

tiene una seccidn rectangular de S,! cm de ancho " cuyo diagrama de te~siones~es;ped6cagse ve IaDeterminar el momento

cm de

:01' en el se en el extremo o izquierdo del .rulemn, tal como la seccin m", la Fig. La pequea toleeaeca adoptada en el ajuste justifica esta hiptesis, Las fuer"as que actan en In percin del perno a la derecha de la seccin mm, se muestrllLl en la Fig, 300c. Se supone que el mximo valor de P se aleansa cuando se produce el momento de plllstifica.cn total resultante de la distribucin de tensionesen ".'" producen 1iU! momento de I,7.'lfe Tabla 23}. Se supone por otra a. se va incrementando el momento, plancha interior produce un a la de! perno y realizado esto, desarrolla un momento de total de valor 1,5Me en la seeein correspondiente al como se ve en.Como Ias fuerzas en la del IP~":rn~:.o'c~~~~:;:i:::~~. la suma algebrace de los momentos p ser igual a cero o en otra forma el momento flexo, en la seccin mm debe ser igual y contrario al par equiliheante. Luego:

luego

Estos valores de P P IC sensiblemente encontramos anteriormente para racienales la solucin

en la cual 3 indica a la planchuela y p ,,1 ruleman. El valor de b como se ve en la Fig, 300", resulta de sumar lo. espe&ores y es: b 3,55 cm despejando P en (a) y reernplasando valores

1U~ Una viga simplerneate formada por da" rectngnlos. de alto por 1,25 cm de porta una eerga P en -earga P que

Para el perno

161Pera la barra interior

Relacincuyodil~gr'anHl

definido.Istieas

8.400 (0,96 21.5 0,85 4,4} = 207.000 kg Y P w = PIS = 41AOO ensayo u la traccin de la cadena del presente problema. most r el comienzo de para una carga de 20tOOO lJ:uccoincide con Ias calculadas para los diversos elementos y

P

~~

estados de tensin Resu.lta interesante determinas- el valor de relacionada con La Hexiu perno en el la cual (fe = BAOO kglem 2

PU.J

si se considera que la carga mxima est elstico ji d'ado por corriente en

-en la cuall\cf :~/~ Pb ; se supone que el costado de la planchuela no ofrece ninguna resistencia .a la flexin del perno durante el comportamiento del mismo. De la ecuacin anterior:

= 102.000 kg La carga de -de l u d e 'la reast.encia.anelstiea5~

= 20.400 kg. Hesulta evident e

alrededor el resultada de pequeas deformaciones

rnrrrmrrr7T;Pi7

VIGAS DE MATERIAL SIN LIMITE DE FLUENCIA DE"I.I'UnO 510 EFECTO DE !'EQlJEAS DEFORMACIONES ANELASTICAS

y las lneas DA y AB, la relacin tensin- deformacin para las soJijcita. cienes de traccin y compresin. Para DA dicha relacin es

rondientes a cada valor de la deformacin, como se ve en la Fiv 30la uego, como vemos en la Fig. 301b, la curva promedio se reem 110 ; ll

E.'za

rr

= Ee

(629) (630)

3500

y para AB

a

=

CJ'e

+ ocE (z-

/Tra('dl'l 2800

2100

1400

7110

Ca}

O

1/

IcE:-t

V'

~ e:-

V'

--

---:..:..

-

--

Aclararemos la expuesta deduciendo una ecuacin d una relacin entre "~1 y el o entre 1'vl y h, para una de rectangular y hecha de un material cuya curva de tensiones-deformaciones para traccin y compresin se muestran en la 301a.

K:l'rQmediO

C"'llpresi'\1I

A teucin de alumini"

l'i 8'1:'

O3500

0002

0010

2800

a D ia.grama de tenaicnes y deformaciones espece as

hl Seccin deIr. ,iga

ea

.;;

'" ~

" ""

.... "" '" "!40(l

'" 700

Deformacin permanente de (1,21.

lb)

Haremos esto por el mismo usado en el pargrafo 165. La 302a representa un segmento de la sujeta a flexin pura, con pares valores en cada extremo, condiciones de equilibrio para un sector de entre las secciones ce y AA imponen que las fuerzas internas (e; en la seccin AA un par opuesto al par NI. Estas ecuaciones de equilibrio se expresan por las Ecs. 619 y 620, La primera de ellas localiza el eje neutro en el barieentre de la seccin, un resultado por cierto ligeramente errneo debido a la aproximacin usada representar la curva tensiones-deformaciones. La segunda ecuacin equilibrio es0.010

0.004

0.006

0.008

Deformaci6n eepeees,

+2

(631)

dos segmentos recto!' OA 'lB El . . q~ecorresponde al mdul~ de ~last~:~:~~~OAtl~n~ una ~eBndiente E dIente E admitindo' ze Ie ma erra e l 11 una pendeformacin . l . ~e que as coordenadas de] punto representen la ) a tenswn (ze> O'e) correspondientes al lmite de elasticidad,

En la Ec. 631 debemos expresar las tensiones o en cada en funcin de v, h. oc e as como (fe en lugar de las deformaciones especficas tal como de aplicar las Ecs. 629 y 630. Esas expresio-

512

EFECTO DE PEQUENAS DEFORMACIONES ANELASnCAS

VIGAS DE MATERIAL SIN LIMITE DE FLOENCIA DEFINIDO

513

nes se I~ue.dell ohtel~er ~ediante los tringulos semejantes de la Fig. 302a para eliminar los trminos de deformacin, obtenindosecr =

(ey/k --a;

h)s-s ).

(632) (633)HH,erJllU,.

a

=

a

e(l

+c

por el uso de una curva tensiones-deformaciones que es una aproxima. cin basada en las curvas reales de traccin y compresin, Sin embargo, existen muchos eusayosen vigas de materiales sin lmite de fluencia y los resultados muestran que los valores de M 1\.-1" son aceptables cuando se usan curvas aproximadas para determinar los valores de cre, OC y e:,.

L.a Ee. 632 representa valores de o en la porcin

elstica de la

VIga entre O y B Y la Ee. 633 en la porcin plstica de B a e como se muestra en la Fig. 302u. Sustituyendo estos valores de a e integrando, de la Ec. 631 obtenemos .

M

= 2cr ebc ~.;3

.f(l +

lh

----(~+

1

(634)

Valores de para total cuando (1. es distinto a cero, Cuando oc '1= O no existe un de plasrifieacin no producindose articulacin plstica hasta que ocurre el colapso por rotura. Por esta razn la resistencia mxima por flexin en vigas con materiales tales como aleaciones de aluminio, magnesio estao es a menudo asimilada al momento flexor produce un predeterminado de deformaciones en fibras extremas de la viga. Este procedmiento se en uno de los problemas ilustrativos que siguen.Problemas Unstrativos

De acuerdo al diagramacrebc2 y si dividimos la Ec, 634 por

simplificad o resulta

Problema 314. Resolver el Probo :no pan una viga 1 de a leacin de aluminio cuyo diagrama tensionee-deformacicnee para traccin y compresin se muestra en la Fig, :'lOla.compresin se Soluci6n: Las curvas tenaiones-deformeciones especficas para traccin promedia" como se muestra en las Figs. 301" y 301b Y las lneas OA se