curso física estado sólido

7/25/2019 Curso Física Estado Sólido

http://slidepdf.com/reader/full/curso-fisica-estado-solido 1/610

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOEN POWER POINT

2015

ARTURO TALLEDO

FACULTAD DE CIENCIAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA



CRISTALOGRAFÍA

Primer capítulo de cursoFÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO

FC UNI

Agosto 2013_2Lima, Perú

ARTURO TALLEDODoctor en Física



Introducción• Sólidos cristalinos (ordenados) y sólidos

amorfos (desordenados)• Lo que actualmente se conoce como FES es

básicamente la física de los cristales o sólidoscristalinos. La Física de sólidos amorfos seexplica en base a los conceptos de la Física de

cristales.• Los cristales son una disposición periódica de

átomos en el espacio real tridimensional(longitudes).



CRISTAL = RED + BASE

Un sólido cristalino se puede describirdefiniendo un conjunto ordenado de

puntos y asignando a cada punto un

conjunto de (1,2, 3...n) átomos en posiciones bien definidas



Definición de red cristalina

ntesindependieelinealment vectores sondonde 321 ,, aaa

1 1 2 2 3 3 1 2 3/ ; , , ED P P n n n n n n a a a

Conjunto de puntos descrito por tres vectores linealmenteindependientes y todo el conjunto de ternas de enteros Z3



Vectores Primitivos y celdas primitivas

• Se dice que una terna de vectores L.I es una

terna de vectores primitivos si junto con elconjunto Z define dicha red cristalina.

• El paralepípedo definido por la terna primitiva se llama celda primitiva

• La terna primitiva no es única• Todas las celdas primitivas tienen el mismovolumen



Red cristalina y vectores primitivos

a2a1



La terna (dupla) primitiva no es única

a2a1

b1 b2 c1

c2

d1

d2

u1

u2



Diferentes celdas primitivas de una red. Todastienen igual área (volumen)

a2a1

b1b2

c1

c2

d1

d2



CLASIFICACIÓN DE LAS REDESCRISTALINAS

• Se clasifican por sus propiedades desimetría

• Hay 5 tipos de redes bidimensionales

• Hay 14 tipos de redes 3D (redes de Bravais)



CELDA UNITARIA

• Cada tipo de red cristalina se identifica con

una celda convencional o celda unitaria, nonecesariamente celda primitiva.

• Los tres vectores l.i. que definen la celda

unitaria se llaman ejes cristalinos ovectores convencionales.



Redes Bidimensionales

• Oblicua

• Rectangular

• Rectangular centrada

• Cuadrada

• Hexagonal



Redes de Bravais 3D (1)




Cúbico

Hexagonal

Trigonal



Vectores primitivos y ejes cristalinosen una red sc

a

b

c

Ejes cristalinos

a = a ib = a jc = a k

Vectores Primitivos

a1 = a

a2 = b

a3 = c



Vectores primitivos y ejes cristalinosen una red bcc

• Ejes cristalinos• a = a i

• b = a j

• c = a k

• Vectores Primitivos

• a1 = 1/2 a (i + j - k )• a2 = 1/2 a (- i + j + k )• a3 = 1/2 a (i - j + k )

ab

c

a1

a2

a3



Vectores primitivos y ejes cristalinosen una red bcc

• Ejes cristalinos• a = a i

• b = a j

• c = a k

• Vectores Primitivos

• a1

= a’ = 1/2 a (i + j - k )• a2 = b’ = 1/2 a (- i + j + k )• a3 = c’ = 1/2 a (i - j + k )



Vectores primitivos y ejes cristalinosen una red fcc

• Ejes cristalinos • a = a i

• b = a j

• c = a k

• Vectores Primitivos • a1 = 1/2 a (i + j)• a2 = 1/2 a ( j + k )• a3 = 1/2 a ( k + i)

b

c

aa1

a3

a2



Vectores primitivos y ejes cristalinosen una red fcc

• Ejes cristalinos • a = a i

• b = a j

• c = a k

• Vectores Primitivos • a1 = a’ = 1/2 a (i + j)• a2 = b’ = 1/2 a ( j + k )• a3 = c’ = 1/2 a ( k + i)



Ejercicio

• Demostrar que el volumen de una celda primitiva de una red bcc es la mitad delvolumen de la correspondiente celdaunitaria

• Demostrar que el volumen de una celda primitiva de una red fcc es un cuarto delvolumen de la correspondiente celdaunitaria



El volumen de una celda primitiva es la cuarta parte de una celda unitaria fcc



El volumen de una celda primitiva es la mitadde una celda unitaria bcc



PLANOS CRISTALINOSUn plano cristalino puede ser definido por:

• Tres puntos no colineales de una redcristalina

• los vectores que van de uno de los puntos alos otros dos.

• la normal al plano• En FES se usa una convención especial paradesignar a los planos: Los índices de Miller



Índices de Miller

• Desde cualquier punto de lared no contenido en el planose trazan los ejes cristalinos.

• Se observan lasintersecciones del plano conlos ejes cristalinos.

• Se invierten los coeficientes• Se multiplican por el entero

que los convierte en la ternade enteros más pequeña, (hkl) , en esa proporción



Índices de Miller



El entero por el que hay que multiplicar a los interceptosinvertidos para obtener los índices de Miller es 1 si se

toma origen en el plano paralelo vecino inmediato

X

y

x

y

a

2 bO

O'

(1/2) a

b



Algunos planos cristalinos de redescúbicas



Familias de planos paralelos

• Dado un plano cristalino (hkl) por cualquier puntode la red se puede trazar un plano paralelo.• Un cristal puede considerarse como la

superposición de una familia de planos paralelos(cualquier punto de un cristal está contenido en

una familia de planos)• Planos equivalentes por operaciones de simetría

{hkl}



Algunos planos en redes cúbicas



ALGUNOS ÍNDICES DE MILLERVÁLIDOS

• Cúbico simple • (100), (110), (111), (120), (121), (221), (130)• BCC • (110), (200), (121),• (h+k+l) = entero par• FCC• (111), (200), (220)• (hkl) todos pares o todos impares



Distancia interplanar en redesortorrómbicas

xa

d

cos

x

y

z

d

plano (hkl)

a

d h cos

yb

d cos

zc

d cos

2221

c

l

b

k

a

hd

cúbicasredes para,222 l k h

ad

b

d k cos

c

d l cos



Estructuras cristalinas(sc monoatómica)

• Cristal = Red + base

• Red: cúbico simple• base: un átomo

• en origen (cualquier punto de red)• Polonio



Estructuras cristalinas(bcc monoatómica)

• Cristal = Red + base• Red: bcc• base: un átomo• en origen (cualquier

punto de red)• Li, Na, K, Rb, Cs, Ba,

Ta, W, Nb, Mo, Fe, Eu



Estructuras cristalinas(fcc monoatómica)

• Cristal = Red + base• Red: fcc• base: un átomo• en origen (cualquier

punto de red)

• Ca, Sr, Ni, Cu, Al, Ag,Au, Pd, Pt, Ir, Ne, Ar,Kr, Xe, Pb



Estructuras cristalinas (CsCl)

• Cristal = Red + base• Red: cúbico simple• base: dos átomos• Cs en origen (cualquier

punto de red)

• Cl en (1/2, 1/2, 1/2)a• TlBr, TlI, CuPd,

CuZn (bronce beta),AgMg, LiHg, AlNi, BeCu



Estructuras cristalinas (CsCl)



Perovskita



Estructuras Cristalinas (NaCl)

• Cristal = Red + base• Red: fcc• base: dos átomos• Cl en origen (cualquier

punto de red)

• Na en (1/2, 0, 0)a• LiH, NaCl, KCl, PbS,

AgBr, MgO, MnO, KBr.



• Cristal = Red + base• Red: fcc• base: dos átomos• C en origen (cualquier

punto de red)

• C en (1/4, 1/4, 1/4)a• C, Si, Ge, estaño gris.

Estructuras cristalinas (diamante)



Estructuras cristalinas (diamante)



Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS)

• Cristal = Red + base• Red: fcc• base: dos átomos• Zn en origen (cualquier

punto de red)

• S en (1/4, 1/4, 1/4)a• ZnS, ZnSe, CuF, CuCl,

AgI.



Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS)



Estructuras cristalinas (hexagonalcompacta)

• Cristal = Red + base• Red: Hexagonal

simple• base: dos átomos• Uno en origen (cualquier

punto de red)• otro en (2/3) a + 1/3 b + (1/2) c

• He, Be, Mg, Tl, Zn, Cd,Co,Y.



DISTANCIA ENTRE VECINOS MÁS CERCANOS

SC 6 a

BCC 8 2/3 a

FCC 12 2/2 a

HCP 12 ¿?

DIAMANTE 4 4/3 a



Factor de empaquetamiento de unaestructura fcc monoatómica

aR

Ra 42

3

3

)3

4(4

a

R

6

2

74,0



Encontrar la relación c/a en unaestructura hcp ideal

ac38

h

a

c/2

a

43

222 ca

a

2

3

3

2ah



CELDA WIGNER SEITZ

Desde cualquier punto de la

redSe trazan segmentos a los puntos vecinos máscercanos, segundos máscercanos, y así...Se bisecan dichos

segmentos con planos perpendiculares.La celda WS es el sólidomás pequeño formado porlas intersecciones de los planos.



Construcción de una celda WS



Una red cristalina como unasuperposición de celdas WS

(Hay una celda WS por punto de red)



Celda Wigner Seitz



Celda Wigner-Seitz de una red cuadrada



Celda Wigner-Seitz de una red cúbicacuerpo centrado (octaedro truncado)



Celda Wigner-Seitz de una red cúbicacara centrada (dodecaedro regular)



Imperfecciones de un cristal

• Efectos de superficie• Impurezas• Vacancias• fracturas



OPERACIONES DE SIMETRÍA DEREDES CRISTALINAS

• Operaciones de simetría de un objeto son aquellas que lodejan invariante.• Cualquier rotación respecto a un eje que pasa por su centro

es una operación de simetría de una esfera.• Una operación de simetría de una red cristalina es

cualquier traslación de una red cristalina por un vector:

• Otras operaciones de simetría son la inversión, reflexionesy rotaciones ; n = 1, 2, 3, 4, 6.

332211 aaaT nnn

n/2



TEORÍA DE GRUPOS

• Grupo es un conjunto con una operación( producto) que :

• es cerrado• es asociativo

• hay un elemento identidad• hay un elemento inverso para cada elemento• conmutativo = abeliano



Operaciones de simetría de untriángulo equilátero

• E, identidad• A, B, C, rotaciones de 180respecto a los ejes A, B y C,respectivamente

• D, rotación de 120 en sentidohorario respecto a eje perpendicular por el centro del

triángulo• F, rotación de 120 en sentidoantihorario respecto a eje perpendicular por el cenro deltriángulo A

BC

1

2 3



Tabla de multiplicación del triánguloequilátero

E A B C D F

E E A B C D F

A A E F D C B

B B D E F A C

C C F D E B A

D D B C A F E

F F C A B E D



Operaciones de simetría de un tetraedroregular ( T )

• Identidad

• C2x, C2y, C2z

• 8 rotaciones de 120(C3) alrededor de lasdiagonales de un cubo.

a

b

c

d



Algunos grupos de simetría



REDES CRISTALINAS Y GRUPOS DE SIMETRÍA

Sistema Celda unitaria Grupos Número deoperaciones de

simetríaTriclínico

cba C1 ,S2 (Ci)

12

Monoclínico

2/

cba C1h

C2

C2h

224

Ortorrómbico

2/

cba C2v

D2 (V)D2h ( Vh)

4

48Tetragonal

2

cba C4

S4

C4h

D2d

C4v

D4

D4h

44888816

Romboedral

23

2

cba C3

S6

C3v

D3

D3d

3666

12Hexagonal

3

2,

2

cba C3h

C6

C6h

D3h

C6v

D6

D6h

661212121224

Cúbico

2

cba TTh

Td

OOh

1224242448



Redes imposibles(Simetría de orden5 )

Un eje de simetría de orden 5 es incompatible con el concepto

e red. Considere que T es el vector detraslación de longitud más pequeño

T

T´

T´´

Nótese que T`+ T`` es demenor longitud que T



Redes imposibles(Simetría de orden 7 o mayor)

Un eje de simetría de orden n, donde n es 7 o mayor que 7, esncompatible con el concepto de red.

T

T´

Supongamos que T es el vector de traslaciónMás pequeño.

7nsi,T/n)(SenT 2` TT



Ejercicio: Estructura cristalina del grafito




altura c/2

altura c y 0

12 atomos por celda unitaria o celda primitiva



esfera negra altura c/2esfera roja altura 0 y c 4 átomos por celda unitaria

A1 : (0,0,0)

A2: 1/3 a +1/3 bA3: 2/3 a +2/3 b +1/2 cA4: (0,0,c/2)



RED RECÍPROCA

Segundo capítulo de curso

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO

FC UNI

SETIEMBRE 2013

Lima PerúARTURO TALLEDO

Doctor en Física



RED RECÍPROCA

DEFINICIÓN

La red recíproca de la red cristalina definida por a1, a2, a3 es el conjunto de puntos en

el espacio recíproco (L-1 L-1 L-1)

Zh,h,h ;hhh/RR 321332211 AAAgg

donde a su vez los vectores A1, A2 y A3 se definen como:

3a2a1a3a2a

2 1 .

A

3a2a1a 1a3a 2 2 . A

3a2a1a2a1a

2 3 .

A



RED RECÍPROCA

PROPIEDAD 1

El volumen ( ) de una celda primitiva de una redrecíproca está dado por

V

38

donde V es el volumen de la celda primitiva de la reddirecta.

Efectivamente:

)21()13()32(3V

3π8Λ aaaaaa

3)21(11)21(3)32(3

V

3π8Λ aaaaaaaaaa



RED RECÍPROCA

PROPIEDAD 2

El producto escalar de un vector R de la red directa

por un vector g de la red recíproca es un múltiplo

entero de 2 .

Efectivamente:

)h h (h n n n 332211332211 AAAaaagR

)nh n h n(h 2 332211 gR

Observar que :

ijπ2 ji aA



RED RECÍPROCA DE UNA RED

CÚBICO SIMPLE

iaa a1

jba a2

ik j

A a

2

3a

aa 2 1

j

ik

A a

2

3a

aa

2 2

k ji

A a

2

3a

aa 2 3

k ca a3

j

k

a

a

a

i

j

k

a

2

a

2

a

2

iA a 2

jB

a 2

k Ca 2

La red recíprocade una directa sc

es una sc



RED RECÍPROCA DE UNA RED FCC

baa 21 1

cba 21

2

aca 21

3

i

k

a1

a2a3

a

a4

iA

a

2

jB

a

2

k C

a

2

k jiA -a 2

1

CBAA - 1

4

a

2

a )(

2

a

2 31

ik k j

A



RED REC PROCA DE UNA RED FCC

baa

2

1 1

cba 2

1 2

aca 2

1 3

CBAA - 1

CBAA 2

CBAA 3

i

j

k

a1

a2a3

A1

A2

A3

a

a

4

a4

iA a 2

jB a 2

k C

a 2

La red recíprocade una directa fcces una bcc



RED REC PROCA DE UNA RED BCC

cbaa

2

1 1

cbaa 2

1 2

c b-2

1 3 aa

a1

a2

a3

a4

iA a 2

jB a 2

k Ca 2

BAA 1

2

a

2

a

2

a

2 31

k jik jiA

a

2 1 jiA



RED REC PROCA DE UNA RED BCC

cbaa 2

1 1

cbaa 21 2

c b-2

1 3 aa

1 BAA

CBA 2

A 3 CA

i

a1

a2

a3

a 4

iA a 2

jB

a 2

k Ca 2

a 4

La red recíprocade una directa bcc

es una fcc



ALGUNOS VECTORES EN REDRECÍPROCA DE UNA RED DIRECTA

BCC

(1,0,1) 1 CAg

(2,0,0) 2 2 Ag

(0,2,2) 2 2 3 CBg

(2,2,2) 2 22 4 CBAg

(1,3,0) 3 5 BAg

(2,4,2) 2 4 2 6

CBAg

i

k

g2

g3

g1

g4

g5

g6

a 4



ALGUNOS VECTORES EN REDRECÍPROCA DE UNA RED DIRECTA

FCC

a

π4

(1,1,1) 1 CBAg

(2,0,0) 2 2 Ag

(2,2,0) 2 2 3 BAg

(2,2,2) 2 22 4 CBAg

(2,4,2) 24 2 5 CBAg

(2,4,0) 4 2 6 BAg

g1

g2

g3

g4

g5

g6i

j

k



RED RECÍPROCA DE UNA REDRECTANGULAR

iaa a1

jba b2

k ca c3

ik j

Aa

2

c ba

c b 2 1

jik A b

2

c ba

ac 2 2

iAa

2

jB b

2

a

b

ia

π2

b

π2

A =

B =

a2

ia

π2

j b

π2

A =



Red recíproca de una red rectangular centrada

iaa a1

jia b2

1 a2

1 2

k ca c3

ji

k ji

Ab

2

a

2

2

abc

c 2

b

2

a

2 1

jik

A b

4

2

abc

ac 2 2

a1 = a

b

a2

2

b

B j

2

a

A i

2

4

b

A j

1 A



PROPIEDAD 3 (parte 1)

• La familia de planos paralelos {hkl} en la

red directa es perpendicular al vector de lared recíproca CBAg l k h

3121111 pn m aaaR

3222122 pn m aaaR

3323133 pn m aaaR

1312 R R R R N

cte)hh (h 332211 AAAN

121313121 p pnn p pnnh

…



PROPIEDAD 3 (parte 2)• La ecuación del plano perpendicular a g

0 )-( 1 gR R

g es vector más pequeño en esa dirección, o sea, vector primitivo dered recíproca

constante 2 N gR

Interceptos con ejes cristalinos: cba r ,q , p

g en términos de ejes cristalinos recíprocos CBAg l kh

, , N N N

h k l p q r

ph N 22 . p ga

Los índices de Miller del plano R . g = 2 N son (hkl)



CONCLUSIÓN: Los índices de Miller (hkl) definen unafamilia de planos paralelos entre sí y perpendiculares todosellos al vector de la red recíproca:

CBAg k h l



DISTANCIAS INTERPLANARES (1)

• Plano perpendicular a g que

pasa por el origen (Π0 ):

• Plano paralelo más cercano (Π1):

2a

0 gR

2 gR

porque dos vectores primitivos del plano Π0 y un vector R = a1 que va de origen a Π1 forman una terna primitiva

1Ag )2 ( aA 11

1aR 3a



DISTANCIA ENTRE PLANOSPARALELOS EN LA RED DIRECTA (2)

d gR g

2 d

g

d

g

R1

Π0 Π1

(Observe que R es vector primitivo de red directay g es vector primitivo de red recíproca)

Ver animación 3D

1 aR

1 g A



RED RECÍPROCA Y SERIES DEFOURIER (1)

• Propiedades físicas de un cristaltales como densidad de cargaelectrónica o potencialelectrostático debido a los ionesen los puntos de la red sonfunciones periódicas, con periodicidad de la red, es decir,son representadas por funcionesque satisfacen

)(f )(f rR r

r R

r + R

donde R es un vector de la red cristalina



CASO UNIDIMENSIONAL

• Si f (x + na) = f (x) ,entonces:a

x

x + n a

xe n)a

2π

(i

nncf(x)

dxe(x)f a1

c2/a

2/a-

n x)a

2π(i-

n

xa

nSenb xa

nCos x n

22a)f(

nn



SERIES DE FOURIERTRIDIMENSIONAL

rggr i

n

C)f( e

donde V es el volumen de la celda primitiva

Si f (r + R ) = f ( r), entonces:

dVe)(f V1 C

V

i-

rgg r



EJEMPLO EN CRISTALESUNIDIMENSIONALES

a

a/2

-V0

V

dxeVa1 c

4/a

4/a-

n x)a

2π(i-

0n

0

V , si x -a/4, a/4V(x)

0, para otros x en la celda unitaria

)en1

-en1

(π

V V(x)

n xa

2 i

..,..73, n

n xa

2 i

5,..1, n

0

x

en)

a

2π(i

nncV(x)



EJEMPLO EN CRISTALESBIDIMENSIONALES

área

i- d(área)e)(f área

1 C rg

g r

a/2

a/2

a

π2V

C C 0 0110

0

V , si x -a/4, a/4 , y -a/4, a/4V(x, y)

0, para otros (x,y) en la celda unitaria

20

11

V C

dydxeV

a

1 c

4/a

4/a-

)yx()a2π

(-

0

a/4

a/4-210

jiii



ZONAS DE BRILLOUIN

• De un punto de la red recíproca se trazan segmentossucesivamente a los vecinos más cercanos, segundosvecinos más cercanos, terceros vecinos y así

sucesivamente.• Se bisecan los segmentos con planos perpendiculares• El sólido más pequeño encerrado por los planos bisectantes

es la Primera Zona de Brillouin (celda WS en el espaciorecíproco)

• El segundo sólido más pequeño es la segunda zona deBrillouin, y así sucesivamente.



PRIMERA ZONA DE BRILLOUIN DEUNA RED CUADRADA

a

2

1



SEGUNDA ZONA DE BRILLOUIN DEUNA RED CUADRADA

1

2

a

2



TERCERA ZONA DE BRILLOUIN DEUNA RED CUADRADA

1

23

a

2



PRIMERA ZONA DE BRILLOUIN DEUNA RED HEXAGONAL

BIDIMENSIONAL

red directa

a

b

a

A

B

red recíproca

Primera zona de Brillouin de unared hexagonal bidimensional



Primera zona de Brillouin de una redFCC

a

4

a 4

La primera zona de Brillouin de una red FCC es la celda WSde una red BCC

a 4



Primera zona de Brillouin de una redBCC

a 4

a 4

La primera zona de Brillouin de una red BCC es la celda WSde una red FCC

a 4



Zonas de Brillouin de una red cristalinaunidimensional

PZB SZBSZBTZB TZB

a

2

a

a

-



DIFRACCIÓN DE RAYOS X

Tercer capítulo de curso


FC UNI

Lima Perúsetiembre 2013

ARTURO TALLEDO Doctor en Física



DIFRACCIÓN DE RAYOS X

cristalhaz de rayos X

placa fotográfica

Un haz monocromático de rayos X al incidir sobre unsólido cristalino es re-emitido en ciertas direccionesespecíficas que dependen de la estructura del cristal



LEY DE BRAGG(una explicación sencilla de la DRX)

d

d sen d sen

nsend2

send send

El haz es desviado un ángulo 2θ si encuentra en sucamino una familia de planos cristalinos que satisface:



LEY DE BRAGG

1

2

12 1

22

H a z i n c i d e n t e

(100)

(100)

( 2 1 0 )

( 2 1 0

)

( 2 1 0 )

x

D e t e c t o r

Cada familia de planos cristalinos produce un hazdesviado con respecto a la dirección incidente 2



Rayo incidente

electrón

r a y o

d e s v i a d

o

Campos del rayo incidente:

Campos del rayo desviado: eDA

fE t)-D(Kie

d w desv

+

22cos1

cme

f2

42

42e

Rayos X desviados por un electrón

eAE t) - x(K i i w inc

2

(factor de polarización)



P1

P2

M

N

Kd

Ki

Kd

Ki

2 2

ee DA

f E DK iDK iedesv

dd +

+

)-( 12rK K id

senK2 K- id K K

Rayos X desviados por dos electrones

12r

1 1 K - K

d i P M P N

Scattering

coherente



Rayos X desviados por n electrones

Para dos electrones:

e1)(e

D

A f E )- (iDK i

edesv

12d rrK +

ee)(eDA

f E iiDK iedesv

21d rK rK +

Se puede generalizar para n electrones que desvían un haz en K

in

1m

DK iedesv

md e)(eDA

f E rK



Rayos X desviados por un átomo

in

1m

DK iedesv

md e)(eDA

f E rK

donde n es el número de electrones en un átomo, pero para ser más precisosenemos que considerar que la carga de los electrones se distribuye como una nube

dVeeρ

)(eDA

f E i

V

DK iedesv

drK

)(eDA f f E DK i

aedesvd

Factor atómico dVe

eρ

f i

V

arK



P1

P2

M

N

Kd

Ki

Kd

Ki 2 2

ee DA f f E DK iDK i

aedesvdd +

+

12 ( - )

d i K K r

senK2 K- id K K

Rayos X desviados por dos átomos iguales

12r

1 2di ii K D

desv e a

AE f f (e ) e e

D +

K r K r



Rayos X desviados por los átomosde una celda primitiva

in

1 j aj

DK i

edesv

jP

d ef )(eD

A f E rK

)(eDA

F f E DK iBedesv

d

donde i

ja

n

1 jB

jP

ef F rK

, factor de base

dondePn , es el número de átomos por celda primitiva,

ajf es el factor atómico de cada uno de loselementos en una celda primitiva



Rayos X desviados por todos losátomos de un cristal

i1

DK iBedesv e)(eD

A Ff E d l

l

R K

N

)(eDA

FFf E DK iR Bedesv

donde i

1R e F

l

l

R K

N

, es el factor de red

R

, si , vector de red recíprocaF

0, si

N

K g

K g

N es el número de celdas primitivas en el cristal



Condición de Difracción

La intensidad de la radiación re-emitida por un cristal esnula en todas direcciones excepto en aquellas donde elcambio del vector de onda coincide con un vector de lared recíproca

gK

gK K + incdesv

cristalhaz de rayos X

Kinc

g1

g2

Kdesv1

Kdesv2



Condiciones de Laue

gK

La condición de difracción:

1 1 2 h K a

2 2 2 h K a

3 3 2 h K a

Fue enunciada originalmente por von Laue en la forma:

Y se llaman condiciones de Laue para la difracción



Equivalencia Laue-Bragg

gK gK

nsenK2 0g

d 2

nsen2

2

nsend2

donde es el vector de la red recíproca más pequeño en

esa dirección y n es un entero

0g

Kd

Ki

2



Descripción convencional

)(eDA

FFf E DK iBR edesv

)(eDA SFf E DK iedesv

, si h k ; con h,k, enterosF

0, si h k

N + +

+ +

K A B C

K A B C

)kh(i ja

n

1 j

jc.u

ef S rCBA ++

l

lhk

S se llama factor de estructura y la suma es sobre todoslos átomos de una celda unitaria.

Al factor F podemos llamarle factor de red primitiva.



Cálculo de F

2

Sen

2 N

Sen F

2

12

21 aK

aK

)e()e()e( F pi

0

ni

0

mi

0

321cK bK aK

N

p

N

n

N

m

2

Sen

2 N

Sen

e1

e1 eF

1

i

i mi

01

11

aK

aK

aK

aK aK

N N

m

23

22

21

2 FFFF



2 h K a

2 k K b

2 l K c

Condiciones de Difracción

0hkl

S

h k l + +K Α B C



Factor de estructura de unaestructura bcc monoatómica

)e(1f S ) (1/2))ki(ha

cb(aCΑ ++++

+ llhk

)kh(i ja

n

1 j

jc.u

ef S rCBA ++

l

lhk

++

++

impar esk hsi0,

par esk h,f 2 S a

l

ll

sihk

)e(1f S )k (hia ll++

+

hk

(0,0,0) 1 r

(1,1,1)2a 2 r



Factor de estructura de unaestructura fcc monoatómica

(0,0,0) 1 r

(1,0,1)2

a

2 r

(1,1,0)2a

3 r

(0,1,1)2a

4 r

)kh(i ja

n

1 j

jc.u

ef SrCBA ++

l

lhk

)eee(1f S )(1/2))ki(h)(1/2))ki(h)(1/2))ki(ha

a(cCΑcb(CΑb(aCΑ +++++++++

+++ llllhk

)e e e(1f S h)(i)(k ik)(hia

+++

+++ lll

hk

contrariocason0,

paridadmismalatienenk,h,f 4 S a

e

y sihk

ll



Factor de estructura de una estructurade diamante

(1,1,1)4a

5 r

(3,1,3)4a

6 r

(0,0,0) 1 r

(1,0,1)2a

2 r

(1,1,0)2a

3 r

(0,1,1)2a

4 r

(3,3,1)4a

7 r

(1,3,3)4a

8 r

++++ ++

+++)k (h

2ih)(i)(k ik)(hi

a e1)e e e(1f Sl

lll

hk

a

a

8 f , h, k son pares y h k es 2(par)

4f (1 ),si h,k y son todos imparesS

0, h,k son pares y h k es 2(impar)

0, o todos de la misma paridad

hk

si y

i

si y

n

+ +

+ +



ESFERA DE EWALD

haz incidente

CKi O

Kd

g1

g2

g3

Ki

Es una esfera en el espacio recíproco cuyo radio es igual al módulo delvector de onda incidente (o desviado).La condición de Laue se interpreta geométricamente como la intersección dea superficie esférica de Ewald con la red recíproca.



TÉCNICAS EXPERIMENTALES

• Laue, haz policromático

• Cristal rotatorio

• Debye Scherrer o método del polvo



Método de Laue

haz incidente

CKm O

Kd

g1

g2

g3

KM

e usa un haz polcromático con vectores de onda con módulosomprendidas entre Km y KM. Esto permite que ahora ya no tengamos unasfera de Ewald, sino un continuum de esferas y por lo tanto la intersección coned recíproca es un conjunto mayor de puntos. Da información sobre la simetría

monocristal.



Técnica del cristal rotatorio

haz incidente

CKiO

Kd

g1

g2

g3

Ki

Al rotar el cristal con respecto a un eje, rota también cada vector de la redrecíproca e intercepta a la superficie esférica de ewald en dos puntos.



Técnica del polvo o Debye Sherrer

Al moler el cristal se tienen partículas de algunos micrones, todavía cristales,orientados en todas las direcciones posibles. Es como si cada vector g rotaraalrededor de todos los ejes posibles, describe una esfera. La intersección de laesfera generada por cada g con la esfera de Ewald es una circunferencia. Paracada g se tiene entonces un cono de haces difractados que hace un ángulocon la dirección incidente.

Ki

g

haz incidente 2

2



Cámara Debye Sherrer



Método Debye Sherrer

Una cinta de película fotográfica sirve como detector de los ángulos en losque se producen ángulos difractados.



Difractómetro de polvos

na fuente de rayos X monocromáticos emite en una dirección fija y un detectorde gas recorre una circunferencia intersectando a los conos de haces difractadutomáticamente con ayuda de un software se almacenan los datos 2 vs

I



Difractómetro X´pert UNI



DIFRACTÓMETRO DE LA FC UNI



Verificación de estructuras

senK2 g

gK

El valor más pequeño de corresponde al vector de red recíprocade menor módulo

Si podemos construir una sucesión de los g más pequeños entonces

podemos determinar una sucesión de los más pequeños para los cualesse producen haces difractados.

jemplo: Discutir como hallar los 5 valores de más pequeños para los quexiste rayo difractado en el caso de una ortorrómbica F de parametros a = 4,= 6, c = 10



Estructura cristalina del grafito

La estructura del grafito es hexagonal a = 2,46 Å; c = 6,7 Å con base de 4átomos: A1 (0,0,0); A2 (1/3 a + 2/3 b); A2 (2/3 a + 1/3 b + ½ c); A4 (1/2 c);

Dé las dimensiones de los vectores convencionales de la red recíproca (A y C)Dé una expresión para el factor de estructura Shkl Identifique los 4 módulos más pequeños de los vectores de la red recíprocaIndique cuáles serían los 4 valores de 2 theta para los cuáles se obtendría rayosdifractados con radiación incidente de longitud de onda 1,54 angstron



esfera negra altura c/2esfera roja altura 0 y c 4 átomos por celda unitaria

A1 : (0,0,0)

A2: 2/3 a +1/3 bA3: 1/3 a +2/3 b +1/2 cA4: (0,0,c/2)

ab



red directa

a

b

a

AB

red recíproca

Primera zona de Brillouin de una

red hexagonal bidimensional

c

C

2,46

6,7

a Å

c Å

1

1

2,95

0,93

A Å

C Å

4

3

2

Aa

C c



1 2 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 3 2 21. . .i h k l i h k l i h k l

hkl e e e

+ + + + + + + + +

+ + +A B C a b A B C a b c A B C c

(110) 4 5,10

(hkl) Shkl ghkl (Å-1

) (2 (theta)

(001) 0 0,93

(002) 4 1,87 26,5

(100); (010),(1-10) algo 2,95 42,4

(101): (1-11) algo 3,09 44,5

(102) algo 3,49 50,6

(004) 4 3,74



INDEXACIÓN DE REDES CÚBICAS

senK2 g

gK

El valor más pequeño de corresponde al vector de red recíprocade menor módulo y los siguientes valores de cumplirán con la relación:

ara cada una de las estructuras cúbicas (sc, bcc, fcc, diamante)odemos hallar la sucesión de números gi/g1. Esta nos da la relación entre losenos de los ángulos .

k h

a

2

k ha

2

sen

sen

21

2 1

21

22 i

2i

1

i

1

++

++

ii

g

g

1/ SenSen i



INDEXACION DE REDES CÚBICAS(h,k, )

++222 l k h

1sen

sen

sc1sen

sen

bcc1sen

sen

fcc1sen

sen

Diaman(100) 1 1 - - -

(110) 2 2 1 - -

(111) 3 3 - 1 1

(200) 4 2 2 2/ 3 -

(210) 5 5 - - -

(211) 6 6 3 - -

(220) 8 22 2 2 3/2 2 3/2

(221) 9 3 - - -

(300) 9 3 - - -

(310) 10 10 5 - -

(311) 11 11 - 3/11 3/11

(222) 12 32 6 2 -

(320) 13 13 - - -

(321) 14 14 - - -

(400) 16 4 22 3/4 3/4

(322) 17 17 - - -



(h,k,l)

++222 l k h

1sen

sen

sc1sen

sen

bcc1sen

sen

fcc1sen

sen

Diamante(100) 1 1 - - -

(110) 2 2 1 - -

(111) 3 3 - 1 1

(200) 4 2 1,41 1.15 -

(210) 5 5 - - -

(211) 6 6 1,73 - -

(220) 8 22 2 1.63 1.63

(221) 9 3 - - -

(300) 9 3 - - -

(310) 10 10 5 - -

(311) 11 11 - 1.91 1.91

(222) 12 32 6 2 -

(320) 13 13 - - -

(321) 14 14 - - -

(400) 16 4 22 2,309 2,309

(322) 17 17 - - -

INDEXACION DE REDES CUBICAS



EJERCICIO

Prob1 Cap.6 Ashcroft and Mermin: Se han obtenido difractogramasde tres materiales A, B y C por el método Debye-Scherrer y se hanobservado los valores de los cuatro primeros ángulos de desviación(2 ) para cada material:

i se sabe que uno de ellos tiene estructura bcc monoatómico, otro fccotro tiene estructutura de diamante; identifique cada material con su

espectiva estructura.

A B C

42,2 28,8 42,8

49,2 41,0 73,2

72,0 50,8 89,0

87,3 59,6 115,0

θ



SOLUCIÓN A EJERCICIO De los datos para cada material se obtienen los correspondientessen

Comparando con tabla de indexación a redes cúbicas se llega a unaonclusión clara.

1θSen iθSenθSenA B C

0,3599 0,2486 0,3648

0,4163 0,3502 0,5962

0,5877 0,4289 0,70090,6902 0,4817 0,8433

A B C

1 1 1

1,16 1,41 1,63

1,63 1,73 1,92

1,92 1,94 2,31



Generación de rayos x



Espectros de rayos x generadospor un target de molibdeno



Difracción de electrones

De Broglie:

p

h

m2

p Ve

2

V150

A)(

entonces,,8000VV A0,134



DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UN CRISTAL IDEAL(tratamiento cuántico)

Supongamos que mandamos un haz de electrones rápidos a través delcristal, la interacción del potencial periódico con los electrones originatransiciones entre estados electrónicos. En la aproximación de Bohr, enteoría de perturbaciones, la probabilidad de transición por unidad detiempo entre el estado inicial y el estado final es proporcional alcuadrado del elemento de matriz:

k ψ k´ψ

d U k k )(ψ)r (ψ k k´´ rr

planasondas ψ .rk k

ie

rg

ggr .)U( ieV



DIFRACCIÓN DE ELECTRONES POR UN CRISTAL IDEAL

d eeV e ii

g

i

k k

rk rg

g

rk ..´.´

+ d eV i

g k k

rk gk

g

.´´

+

contrariocasoen,0

0´- si ,´

k gk g

k k

V



Difracción de neutrones

p

h

K Bave 23

aven E m2



ENLACE CRISTALINO

Capítulo 4 de curso

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOFC UNI, Setiembre 2013




¿Qué fuerzas mantienen unidos alos átomos de un cristal ?

• La interacción electrostática atractiva entre las

cargas negativas de los electrones y las cargaspositivas de los núcleos es enteramenteresponsable de la cohesión de los sólidos.

• Iones positivos separados entre sí, electronesde valencia también separados entre sí,

electrones de valencia cerca a iones positivospara minimizar la energía potencial y electronesno localizados para disminuir su energíacinética.



Algunas variantes de cómo actúanlas fuerzas electrostáticas

• Enlace Van der Waals o dipolar inducido

• Enlace iónico• Enlace covalente• Enlace metálico• Enlace de hidrógeno

• Analizaremos en este capítulo sólo los dosprimeros.



Cristales de gases inertes

• Interacción dipolar inducida o Van der

Waals• Potencial Lennard Jones

• Constantes de equilibrio

• Energía de cohesión

• Módulo de compresión y compresibilidad



Interacción van der Waals-London

31

51

0 R 3

- R

)(3

41

)(pR R p

R E

3R 1

)( R E

32

R

1 te)( Ep c

Ep 2 U

r

constante- U 6



Modelo cuántico de interacción van der

Waals

321

222

222

1

21

10

x2

2

1

2m

p

2

1

2m

p HHH

R

xe x x

22

2221

210 2

12m p

21

2m p H x x

)(2

121 x x s

amiltoniano de dos osciladores independientes

amiltoniano de interacción de dos osciladores que experimentan interacción dipolar:

Cambios de variable:

)(2

121 x xa )(

2

121 p p s )(

2

121 p pa



Modelo cuántico de interacción van der

Waals

23

22

a23

22

s10 )2

(21

2m

p)

2(2

12m

p HHH a s x R

e x R

e

...

2

8

1 -

2

2

11 /

2

2

3

2

3

2

0

1/2

3

2

R

e

R

em

R

e

2

3

2

0

2

8

1

2

1 U

R

ea s

6R

C -U



Modelo de Sólido de gases nobles



Potencial Lennard-Jones

12rep r B

U

El potencial repulsivo puede explicarse como una consecuencia deltraslape de nubes electrónicas de átomos vecinos así como al efectocuántico de aumento de energía cinética de los electrones porconfinamiento en un volumen muy pequeño. Se propone como fórmulaempírica para este potencial:

612 r C

r B

U

4 (R)U612

ij

r r



Gráfico del potencial Lennard Jones

4 (r)U

612

ij

ijij r r

es el valor de r para el cual U es cero

es el valor de la energía potencial mínima.

r r

)(4 U

6

ij

12

iji

jii j



Energía de interacción de un átomocon todos los demás

R pR p )(4 (R)U

6

ij

12

iji

ji ji

13,12 p j

-12ij

45,14 p j

-6ij

i R pi1

R pi2

R pi5

R pi3

R pi4



Constantes de la red en equilibrio

12 6

cristal NU (R) (4 ) 12,13 14,452 R R

0 )45,14)(6()13,12)(12( 2N-dR

dU7

6

13

12cristal

R R

1,09R 0



Energía de cohesión

1,09R 0

R

45,14R

12,13 N2 )(R U6

0

12

00cristal

) N(4(2,15)- (R)Ucohesión



Propiedades de los cristales de

gases inertes

Elemento Distanciaentre

vecinos(Angstrons )

Energía decohesió

n(Kj/mol )

Punto de fusió

n (K)

Potencial deionización

del átomolibre (en

eV)

εen 10-23

J

σ en Å

He 24,58 14 2,56

Ne 3,13 1,88 24 21,56 50 2,74

Ar 3,76 7,74 84 15,76 167 3,40

Kr 4,01 11,2 117 14,0 225 3,65

Xe 4,35 16,0 161 12,13 320 3,98

•Tabla 2 capítulo 3 de C. Kittel



Módulos de elasticidad

Módulo de Young l

F

A

L

Ll

A

F

Módulo de rígidez =

Módulo de compresión= P P

V V V

V

F

ATg

A

F

G1

)(



Módulo de compresión y compresibilidad

Definición de módulo de compresión o bulk modulus:

dVdp

VB

2

2

dVUd

VB

dV pdU

A 0K la entropía es constante así que la primera ley de la termodinámica es:

Y por lo tanto:

El módulo de compresión es una medida de la dureza del cristal o de laenergía necesaria para producir una deformación dada. A mayor valor de Bmás duro es el cristal




26

412

cristal

V

b

V

bU

2

NR V

3

12512 )N1/2)(12,13( b

l volumen de un cristal fcc monoatómico en términos de R (la distancia entreecinos más cercanos) es:

or lo tanto, la expresión para la energía del cristal en términos de V es:

onde: 636 N1/2)14,45)( b y

0V b2

V b4

dVdU

36

512cristal En equilibrio a presión cero:




2/3

12

2/56

3

0

63

0

122

cristal2

2

V

b6

V

b20

dV

UdVB

b

b

3

2/12/1

6

120 Nσ

14,4512,13

b b2 V

or consiguiente el volumen de equilibrio está dado por:

l módulo de compresión es entonces:

3

75



ENLACE IONICO

Li F

F -Li+

3+ 9+

9+3+



Definiciones Básicas

Afinidad electrónica

Energía de ionización

Energía de cohesión

Na

Na+

e + Cl Cl- + 3,6 eV

+ 5,1 eV +Na+ e

Cl- Na+ + +Cl- 7,9 eV



Energía electrostática o de Madelung

R q

41

)exp(-R/ (R)U2

0ij

otros , R p

q4

1

cercanosmás vecinos,R q

41

)exp(-R/

(R)U

ij

2

0

2

0

ij

i j

iji UU

icristal NUU



Energía electrostática o de Madelung

)R q

41

)exp(-R/z( N (R)U2

0cristal

Madelungdeconstante

pij

i j

icristal

NUU



Constante de red y energía decohesión

0R

q

4

N

)exp(-R/ρ

λz

N- dR

dU

N 2

2

0

i

)R

q

4

1

)exp(-R/z( N (R)U

2

0cristal

)R ρ

1(R q

4 N

U00

2

0cohesión

2

0 20 0

1 ρ α q z λ exp(-R / )

4 R



Cálculo de la constante de Madelungpara cristal unidimensional

R

i j ijr R α

...

4R 1

3R 1

2R 1

R 1

2R α

...

41

31

21

12

... 4x

3x

2x

-xx)(1log432

2log 2α



Cálculo de la constante de Madelungpara NaCl (convergencia lenta)

i j ijr R α

...

2

6

3

8

2

12

1

6 α 2/12/1

...3R 82R 12R 6R α



Método de Evjen para constante de

Madelung

2/11 3)8/1(8

2

)4/1(121

)2/1(6 α 2/1

,461α1

La suma es sobre el primer cubo neutro




Madelung

2/11 3)8/1(8

2

)4/1(121

)2/1(6 α 2/1

,461α1

La suma es sobre el primer cubo neutro




Madelung

,751α2

,751α2

32

)8/1(8

3

)4/1(24

8

)4/1(12

6

)2/1(24

5

)2/1(24

2

)2/1(6

3

8

2

12

1

6 α

2/12 2/1

,7475651α

La suma es sobre el segundo cubo neutro




en cristales ionicos

Definición de módulo de compresión o bulk modulus:

dV

dp

VB 2

2

dVUd VB Y por lo tanto:

2

22

2

2

2

2

dV

R d

dR

dU

dV

dR

dR

Ud

dV

Ud

;dVdR

dR dU

dVdU

26NR 1

dV/dR 1

dVdR

A la distancia de equilibrio, cuando R = R0 y dU/dR = 0, se tendrá:

2

2

0

2

22

2

dR Ud

18NR 1

6NR 1

dR Ud

VB

;R N2V 3;4a N

V3



Módulo de compresión en cristalesionicos

2ρ

R R 4

q NR 4q2Nα

eρ

λz NdR

Ud 0300

2

300

2/ρR

2

R

2

20

0

2

2

0

2

22

2

dR Ud18NR 16NR 1dR UdVB

2

ρR

18R επ4qα

B 0400

2



Parámetros y medibles en cristalesiónicos

2

ρR

18R επ4qα

B 0400

2

)R ρ

1(R q

4 N

U00

2

0cohesión

λzqαρ

4

1 )/exp(-R R

2

00

20

)R q

41

exp(-R/z( N (R)U2

0cristal

De las medidas experimentales de B y R0 podemos hallar yLuego calcular la energía de cohesión y verificar con el experimento

ρ λ



Energías de Madelung y repulsivaspara el KCl.



Ley de repulsión de potencia inversa

m

2

0 R C

R q

4πα N

- (R)U

Conociendo R0 y B se determinan C y m. Luego se verifican estosresultados comparando la energía de cohesión experimental con lateórica:

2

400

2

2

0

2

22

2

qR B)18(4

1m dR

UdR N18

1

6NR 1

dR Ud

VB

m4R q N C 0

dR dU

0

1-m02

m1m

R q

4 N

U0

2

0

teóricacohesión



Propiedades cristales alcalinos con

estructura NaCl

lemento Distanciaentre

vecinos(Angstrons )

Energía decohesión

respecto aioneslibres

(Kcal/mol )

Punto de fusión

(K)

Potencial deionizació

n delátomo

libre (eneV)

zλen 10-23

J

ρen Å

iF 2,014 -242,3 24,58 0,296

iCl 2,570 -198,9 24 21,56 50 2,74 iBr 2,751 -189,8 84 15,76 167 3,40

aCl 2,820 -182,6 117 14,0 225 3,65

aBr 2,989 -173,6 161 12,13 320 3,98

•Tabla 5 capítulo 3 de C. Kittel 4ed ingles, 2da español.



FONONES


Capítulo V de cursoFÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO

FC UNILima, abril 2008



Introducción

os átomos están sometidos a potenciales que se pueden aproximar al de unscilador armónico simple. Constituyen un sistema de osciladores acoplados.

a descripción del movimiento se puede hacer clásica (Newton) o cuánticamentSchrodinger). A un modo de vibración de frecuencia , según Planck,se le puede considerar como una partícula de energía . A esta partículae le llama fonón.

ωω



Ondas elásticas en una barra contínua

eYS

A F

S

A'S(x)dx)S(xtudx)A'(ρ 2

2

x x+ dx

dxdu

e Esfuerzo Deformación unitaria

Ley de Hooke: ; Y es el módulo de Young

A’

F (x +dx)F (x)

02

2

2

2

t

u

Y x

u A'dxtu

dx)A'(ρ 2

2

x

S

uduu



Ondas elásticas en una barra contínua

qvω s

0

t

u

Y

ρ

x

u2

2

2

2

ω

q

uqxu 22

2

t)ωxi(qeAt)(x,u

uωtu 22

2

elación de dispersión: qv ω s

ρY

s



Densidad de modos de vibración en 1D

1eiqL

Condiciones de frontera periódicas:

dq π2L

dq(q)g

u (x) u (x L)

x x+ dx

F (x +dx)F (x)

dωdq

g(q)2)g(ω :dωωyω

Lx 0x

0L2π

L2π

nq

úmero de modos entre q y q + dq :

Número de modos entresv

1πL

)g(ω



Ecuación de onda en un mediocontinuo 3D

p)L2π

n,L2π

m,L2π

(q,q,q 321

1eee L)i(qL)i(qL)i(q 321

t)ωi(et),( rqAru

or condiciones de frontera periódicas:

22

2

ρ uu 0

Y t

sω v q




p)L2π

n,L2π

m,L2π

(q,q,q 321

3

33

3

q3

4π

2π

Vq

34π

2πL

Número de modos de vibración convector de onda entre 0 y q :

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

q

2q

1q

L 2

L 2 Número de modos de vibración con vector

de onda entre q y q + dq :

dqq4π

2

V qdg(q) 2

3




Número de modos de vibración con vector de onda entre q y q + dq :

Número de modos de vibración con vectorde onda entre

3s

2

2 vω

2(3)V

)(ωg

s

2

s3 v

dω

vω

4π 2

V dω)(ωg

)(ωg

ω

dωωyω

dqq4π 2

V qdg(q)

2

3



Vibraciones de un cristalunidimensional monoatómico

1-nn1nn2

2

uuuu-dt

udM n

1-n1nn2

2

uu-u2-dt

udM n

un un+1 un-1

n nCondiciones de frontera periódicas: u (x) = u (x+L)



Vibraciones de un cristalunidimensional monoatómico

( 1) ( 1)2M 2

iq n a iq n aiqna iqnae e e e

t)ωani(qt)i(qXn AeeAu n

Sen(qa/2)M4α

ω

iqaiqa

ee

2M 2

aqCos12αωM 2



Relación de dispersión para vibraciones

en un cristal unidimensional

Sen(qa/2)ωω m

M4α(q)ω

q

aπ

(q)ω

M4α

M4α

ωm

• Obsérvese la periodicidad:

a

π

)a

2 ω(qω(q)

ω(q)ω(-q)

• Hay N modos de vibración en la PZB

a N2πy

L2π

nq Por CFP :



Comparación con relación dedispersión lineal

2qa M4α

Sen(qa/2)M4α

• Para longitudes de onda grande,

es decir, q próximo a cero, la ecuación:

Comparable con la ecuación: qv ω s

Se reduce a :

Mα

avs La medida de la velocidad del sonidonos permite determinar las fuerzas

interatómicas



Velocidad de grupo y velocidad de fase

qω

vf qω

vg

sgf vv Para longitudes de onda grandes

Para valores de q cerca a la frontera de zona de Brillouin: 0g

Las ondas elásticas cerca de la frontera de zona experimentandifracción de Bragg



Densidad de modos de vibración en un

cristal monoatómico

dqdω1

πL

)g(ω

1

m

)2aq

(Cos aπL2

)g(ω



Cristal unidimensional diatómico

1M2M

a12n n212n

12n12n2n22n

2

2 uu2uαtdud

M

22n2n12n212n

2

1 uu2uα

dt

udM

n n

Condiciones de frontera periódicas: u (x) = u (x+L)



Cristal unidimensional diatómico

tiω

iq(2n)a2

1)a(2niq1

2n

12n eeA

eA

u

u

0 A

A

ωM2α (qa)Cos2-

(qa)Cos2- ωM2α

2

1

22

21

0 ωM2α (qa)Cos2-

(qa)Cos2- ωM2α2

2

21



Relación de dispersión para vibraciones encristal unidimensional diatómico

a2

π a2

π q

ω

2

1

M

M



Relación de dispersión para vibraciones encristal unidimensional diatómico

a2

π

a2

πq

2/1

21O M

1M1

2ω

ω

2A M

2αω

1O

2ω

M



Modos ópticos y modos acústicos

0 A

A

ωM2α (qa)Cos2-

(qa)Cos2- ωM2α

2

1

2

2

21

21 AA 0 ω

0AMAM M1

M1

2ω 2211

2/1

21O

Átomos vecinos vibran en fase

Desfasaje de 1800



Vibraciones en cristalestridimensionales monoatómicas

...1-lmn1lmn-lmn6

-2dt

2d

M

uuu

u

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xxlmn

t)r i(n

ne qAu

3 ramas acústicas

1,2,3 j ,M

)q( ω s

j

AαA )(- ωM 2 q

Diagonalizando



Vibraciones en cristales tridimensionalesdiatómicas

....1-lmn1lmn-lmn6

-2dt

1mn2d

1M

uuu

u

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

1- pqr - pqr6

-2dt

2d2M 1 uuu

u

pqr

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx pqr

3 ramas acústicas y 3 ramas ópticas

ω

q

TA1

TA2L

LO TO2

TO1



Determinación Experimental deRelaciones de Dispersión

• Dispersión de neutrones• Dispersión inelástica de rayos X• Espectroscopía Raman



Dispersión de Neutrones por un Cristal

Un haz de neutrones de energía E y momentum p inciden sobre un cristal.

Los neutrones pueden ganar o perder energía y momentum.

Los neutrones interactúan fuertemente con los núcleos y muy débilmentecon los electrones

Las leyes de conservación de energía y de momentum cristalino permitenobtener información sobre los modos de vibración del cristal

n

n

n

2

2M p´E'

n

2

2M p

E

p

p´

cristal



Conservación de energía y momentumcristalino

j j,

j n)(ωEE' qq

q h

gΔnq p- p' jq jq,

hh

En el proceso de dispersión de un neutrón por el cristal pueden involucraseferente número de fonones.

El momentum cristalino de un fonón definido como no esecesariamente la suma algebraica de las cantidades de movimiento de los

ones del cristal. Es simplemente un nombre. Juega un papel similar.

q



Dispersión de neutrones sinparticipación de fonones

El estado vibracional final del cristal es igual al inicial

La energía del neutrón no cambia

La cantidad de movimiento del neutrón cambia en

(condición de Von Laue para difracción)

La información que se obtiene es la misma que en difracción de rayos X

(ZERO PHONON SCATTERING)

gpp -'



Dispersión de neutrones con laparticipación de un fonón

• Los eventos en que un neutrón absorbe o emite sólo un fonón son losque proporcionan mayor información sobre las relaciones de dispersión.

• Las leyes de conservación:

)(ωEE' j qh

(ONE PHONON SCATTERING)

gqpp hh -'

Podemos escoger una dirección en la cual medir E’, y obtener así un puntode la relación de dispersión.La constante aditiva g puede ser ignorada porque podemos restringirnos ala PZB



Dispersión de neutrones conparticipación de dos fonones

(TWO PHONON SCATTERING)

gqqpp hhh '-'

)'(ω)(ωEE' j' j qq

)'(ω)(ωEE' j' j qppq hhh

i observamos la energía de los neutrones en una dirección dada es posiblebtener suma de energías de cualesquiera dos modos de vibración con q en laZB. Si hubiera sólo procesos con absorción de dos fonones el espectro de’-E vs número de cuentas sería un continuum



Determinación Experimental de la relación de dispersión

En la figura, p´1 y p´2 son momenta de neutrones que se han dispersado sin

rear ni absorber fonones.

l colocar el detector en la posición D ya se sabe cuál es el q del fonon absorbido

e determina ω midiendo la energía de los neutrones que allí llegan.



Resultados Típicos

Número relativo de neutrones dispersados en una dirección dada en funciónde la energía ganada por los neutrones. La curva continua es el ruido defondo debido a los procesos multifonónicos. Los picos se deben a losprocesos que involucran un solo fonón.



Espectrómetro de neutrones




gq v

dω dS

ω

dω dSqddS

g

ω

3

v

dS

2π

L g(ω(

dωqdω q



resumen. Haga un esquema de las relaciones de dispersión w vs kpara los siguientes tipos de sólidos:a) un sólido continuob) un cristal unidimensional monoatómico de parámetro de red ac) un cristal unidimensional diatómico de parámetro de red ad) un cristal tridimensional monoatómico de parámetro de red ae) un cristal tridimensional diatómico de parámetro de red a



EL OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO

22

22 x

C

m

ph

0 m

p x

C Q

0

2202

Q P h

1,1

,0

p xm

C P Q




12 22 Q P

P iQ P iQ 2,2

21

2 0220

hQ P h

12 22 Q P

1222 Q




,22

22

xC

m

ph

21

,2 0

220 N hQ P h

1

N N

n

1 n

1-n propiovalorel para Nde propiafunción

0




N

n

1

1 nn cte

11 nn n

0!

1

n

nn



TEORÍA CUÁNTICA DEL CRISTAL ARMÓNICO

0 m

p x

C Q

0

P iQ P iQ 2,2

20 mC

pm

i xm

pm

i xm

0

0

0

0

2

1

2,

2

1

2

22

22 x

C

m

ph

´)(´)()(21

)(21

´,

2 Ru R R D Ru R P

M R R R




´)(´)()(21

)(21

´,

2 Ru R R D Ru R P

M R R R

R

R .k k R Pu

k k e )(

2

1)(

2

)( )(

N

1 s

k mi R

me

s

si

s

R

R .k

R Puk

k ek )(2

1)(2

)( )( N

1 s k mi R

me

s

si

s

s

s s s

, 21

k k k k




0´),(´),(

´),( ´

R P R P Ru Ru

i R P Ru RR

crecíprocaredladevectores ,

recíprocaredladevectoresno,0.

k

k

R

R k

N ei

0,,

,

´´´´,

´´´´,

,

s s s

sskk s s

s

i

k k k

k k

k




R k k k

k

k e

k

u .,

, )(2

1 i

s s s

s s

e

m N

R

R k k k

k

k eR P .,

, 2i

s s s

s

s ek m

N

i

3

1 s

s s k ek e

0,0. Rei

k

R k




s s s

s

s

R s

R P M

k k k k

k k

,

2 )(41

)(21

s s s s

s

sU k k k k

k

k ,

)(41

s

s s s

, 21

k k k k




Supongamos que mandamos un haz de electrones rápidos a través delcristal, la interacción del potencial periódico con los electrones originatransiciones entre estados electrónicos. En la aproximación de Bohr, en

teoría de perturbaciones, la probabilidad de transición por unidad detiempo entre el estado inicial y el estado final es proporcional al

cuadrado del elemento de matriz:k ψ k´ψ



ie

rg

ggr .)U( ieV




d eeV e ii

g

i

k k

rk rg

g

rk ..´.´

d eV i

g k k

rk gk

g

.´´

contrariocasoen,0

0´- si ,´

k gk g

k k

V



DIFRACCIÓN POR LAS VIBRACIONES CRISTALINAS 1

)()U(

R rr aV

d eV e i

a

i

k k

rk rk R r ..´

d V e a

i

k k R rrk k .´

´

d V ee a

ii

k k R rR rk k R k k ).(´.´´




R K K .

´

1)( i

ak k e N

V

k k K ´

d eV V

V i

a

c

a rK rK .)(1)(

3

33

2

22

1

11

1

1

1

1

1

1.

iK

LiK

iK

LiK

iK

LiK i

e

e

e

e

e

ee

R K

gk k g ´,´ )( ak k V

gK R K

,.

N e i

Si la red está fija, es decir, si no hay vibraciones:




)(´ ..

q

q

q AAR uR R ii

q eeq

q

i

q

i

q

i

red eei N

e N

R qR qR K AAR K ..´. exp11

R qq

R qq

q

R K R K AAK ...´. exp11 iiii eeie

N e

N

...1exp .... R q

qR q

qR q

qR q

q AAK AAK iiii eeieei

quí mostramos los pasos para calcular el factor de red en un experimentode difracción cuando sí consideramos las vibraciones de la red

q

R qR K AK

.. exp11 i

q

i

red eie N




k k Ak k g gk k ´´)( ´,´ aqak k V iV

R K q

q

R K AK .. exp11 i

q

i

red ei N

e N

R K q

q

R K AK .. exp11 i

q

i

red ei N

e N

Si hablamos de la difracción de electrones por las vibraciones de la red,Tenemos que considerar sólo:

k k Ak k ´´´ aqk k V iq

q

q

q

q Nm

n

Nm

E

21

2

2A



TEORÍA DE BANDAS

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOFC-UNI

octubre 2013

ARTURO TALLEDODOCTOR EN FÍSICA



ESTADOS ELECTRÓNICOS EN UNCRISTAL (TEORÍA DE BANDAS)

• MODELO DE DRUDE (Ashcroft)• GAS DE FERMI DE ELECTRONES LIBRES (Kittel)• TEOREMA DE BLOCH (Aschcroft)• MODELO DE ELECTRONES CASI LIBRES (Ashcroft)• MODELO DE ELECTRONES FUERTEMENTE

LIGADOS (Omar)• MODELO KRONIG PENNEY (Mckelvey)



Modelo de DrudeLos electrones de valencia de un metal se mueven por todo elvolumen del metal no ocupado por los iones. Esto significaaproximadamente el 80% del volumen de una muestra metálica.

El comportamiento de estos electrones es como el de un gasmonoatómico ideal U = 3/2 N K B T. Obedecen la estadística deBoltzman.

Existe la probabilidad dt/ τ de que un electrón experimente unchoque en el intervalo de tiempo (t, t+dt). τ se llama tiempo de

relajación, tiempo de vida media del electrón, o tiempo de colisión.Los choques son con los iones fijos.

Entre dos choques cada electrón obedece las leyes de Newton, esdecir, se mueve en línea recta con MRU si ningún campo es aplicadoa la muestra o con movimiento acelerado si algún campo eléctrico o

ma nético es a licado.



ELECTRONES LIBRES EN 1D

cuación de Schrodinger:

E dx

d

m 2

2

2

2

Soluciones:

2mk E 22

Condiciones de frontera periódicas,

....2,1,n n, Na

2π n

L

2πk 1kLie

..a

2π-

E

k..L2π ..a

2π ..a

4π ..a4π -

ikxeA)( x

( ) ( ) x x L

EZE




E

ka

π

a

π

Periodicidad en el espacio recíproco: E(k+g) = E(k). k+g es equivalente a k.El vector k es indeterminado en un vector g de la red recíproca



E

a

π

a

πk


Esquema de Zona Reducida



ELECTRONES LIBRES

E

Primera banda

Segunda banda

Tercera banda

a

π

a

π

Esquema de Zona Periódica.



ELECTRONES LIBRES EN3D

Ecuación de Schrodinger:

E m

22

2

Soluciones:

2mk E22

rk r ieA)(



Condiciones de frontera periódicas

3

33

3

k 3

4π

2π

Vk

34π

2πL

Número de estados convector de onda entre 0 y k :

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

q

2k

1k

L 2

L 2

k

1eeeL)i(k L)i(k L)i(k 321

p)L2π

n,L2π

m,L2π

(k ,k ,k 321

( , , ) = ( + L, y + L, z + L) x y z x



ENERGÍA DE FERMI

3F3 k

34π

2π

V(2) N

3/12F )(3k n

3/222

F )(3m2

E n

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

kF

EF

L 2

L 2



Densidad de Estados

Número de estados con vector de onda entre k y k + dk :

Número de estados con vectore onda entre E y E + dE

2/12/3

22

22V

)(Eg E m

dk k 4π 2

(2)V dE)(Eg

2

3

1/21/2

2 E2m

k

dE2m

dk 2k 2

dk k 4π 2V dk g(k) 23

FF 2E

3N)g(E

E

g(E)



Teorema de Bloch

Reemplazando (2) y (3) en (1) tendremos entonces la ecuación dechrodinger en la forma:

Obsérvese que el término )()V( rr en la ecuación (1) será:

q

r.qq

g

r.ggrr ii eceV)()V(

i( ) i ' i' ' '

' '

V( ) ( ) V c e V c e V c e g q g

g q

g q . r q . r q. r

g q g q ggq g q

r r

0cV cEq2

e'

''22 i

ggqgq

q

r.q

m

uesto que las funciones son linealmente independientes,endremos para cada q una ecuación así:

r.q ie2

2' '

'

q E c V c 02m

q g q g

g



Teorema de Bloch

Cualquier q siempre puede ser escrito como k - g donde k está en la PZBg es cualquier vector de la red recíproca. Luego:

0cV cE)(2 '

''2

2

gggk ggk gk

m

0cV cE)(2 '

''2

2

ggk gggk gk

m

Cambiando el nombre de los índices: g’ = g’ - g

Enfatizamos que ésta es simplemente la ecuación de Schrodinger en elspacio recíproco. Cada valor de energía esta asociado con

y todos los coeficientes donde g es cualquier vector de la redecíproca. Luego:

k c

gk c

Lqqd.)(cc)( )( rr k k.rrg

ggk

k.rrgk

ggk k ueeee iiii

Ecuación A



MODELO DE ELECTRONES CASILIBRES

0cE)(2

22

gk gk

m

0cV cE)(2 '

''2

2

ggk gggk gk

m

Ecuación A

Potencial periódico nulo, Vg = 0

'si ,0c

si,1c

'

g-k q

g-k q

g-k

g-k

22

22

)0( q

2

E ,)(

2

E ,EE

mm

g-k g-k

q.rq r i Ae )(




g

gk gggk g-k cVcEE 111

(0)

1

11

'

(0)

''

(0)

-

EE

cV

EE

cV c

gg g-k

gk gg

g-k

g-k gggk

Ecuación A1

Caso no degenerado:

1 si ,0cy,1c1

ggg-k g-k

1

(0) (0)1 E - E V, k-g k-g g g

1

11'

''-(0) cVcV cEE

gggk ggg-k gggk g-k

uesto que V es pequeño, esperamos:

)0(V

EE

cV c 2

(0)

- 11

g-k

g-k gggk

Ecuación B

Ecuación A2




Caso no degenerado:1

(0) (0)1 E - E V, k-g k-g g g

)V(0cEE

VV cEE 3

(0)(0)

1

11

11

g

gk g-k

gggg

gk g-k

)V(0 EEVV EE 3

(0)(0) 11

1

g g-k

gggg

g-k

Reemplazo ecuación B en ecuación A:

Los niveles no degenerados no cambian apreciablemente




m

m

j jgggg

gggggk gggk gggk g-k ,..., ,cVcVcEE 21

,..,'''

m

1 j

(0)

21

)0(VcV

EE1

c 2

1-(0) 11

m

j

g-k ggg-k

gk

Ecuación A1

Ecuación C

Caso Casi Degenerado:

i j

i

(0) (0)

(0) (0)1 2 m

E - E V, si i, j 1, m. E - E V, si , ,...

k-g k-g

k-g k-g g g g g

m...2,1,i, cVcVcEE,..,

m

1 j

(0)

21

ii

m

i ji j

gggggk gggk gggk g-k

Ecuación A2




m...2,1,i, cVcVcEE

,..,

m

1 j

(0)

21ii

m

i ji jgggg gk gggk gggk g-k

)0(VcV

EE1

c 2

1-(0) 11

m

j

g-k ggg-k

gk

Ecuación A1

Ecuación C


m...2,1,i,)0(V)cEE

VV(cVcEE 3

,..,(0)

m

1 j

m

1 j

(0)

21

j

ii

m

j

i

ji j

gggggk

g-k

gggg

gk gggk g-k

Reemplazo la ecuación C en A1:




m...2,1,i ,cVcEEm

1 j

(0)

ii

ji j gk gggk g-k

Caso Casi Degenerado:En una aproximación de primer orden los desplazamientos respecto al potencial

cero se calculan a partir de:

Matricialmente, por ejemplo, para m = 4:

0

c

cc

c

EE V- V- V-

V- EE V- V-V- V- EE V-

V- V- V- EE

4

3

2

1

4434241

3433231

2423221

1413121

-

-

-

-

(0)

(0)

(0)

(0)

gk

gk

gk

gk

g-k gggggg

ggg-k gggg

ggggg-k gg

ggggggg-k





0 -c

c

(0)EE V-

V- (0)EE

gk k

g-k ggk

a

π

a

πk

E

Eg

gV(0)EE k

2

V4

2

EEE

2200(0)(0)gk gk gk k

E E

)a

2(

V(0)EE k

)

a

2(

g V2E





0 c

c

(0)EE 2V-

2V- (0)EE

gk

gk

gk g

ggk

a

π

a

π

2g

(0) VEE gk

)a

4(

(0) VEE gk

E

Gap 2

k



MODELO DE ELECTRONES CASI LIBRES

k



Interpretación de Bragg

Cerca de la frontera de zona de Brillouin: 2aλ

n 2dsenθ

xa

CosB)(

x

xa

BSen)(

x

La superposición de ondas incidentes y reflejadas produce ondasestacionarias seno y coseno con diferentes valores de energía



MODELO DE ELECTRONESFUERTEMENTE LIGADOS

2121

212

1

a molécula :2H

Niveles de energía+ +

-



N núcleos y un solo electrón

+-

+ +++++ ++

N funciones de onda paraun solo nivel de energía

N funciones de onda para Nniveles de energía




Cuando hay N iones y un solo electrón cada nivel atómico dalugar a N niveles de energía, los cuales constituyen una bandade energía.




a) Potencial periódico b) Funciones de onda atómicasc) Funciones de onda atómicas multiplicadas por onda plana




)X(x)X(xe (x) j ν j νkXi

k j

N

1 j j ν)X-xk(i-

1/2k )X(xe N1 (x) j ikxe

N

1 j j ν

kXi

1/2k )X(xe N

1 (x) j

Satisface el teorema de Bloch

Cerca del j-ésimo ion se comporta como un orbital atómico:

scojamos una función de onda que satisfaga el teorema de Bloch y quee reduzca a una función de onda atómica para valores de x cerca de cada ion

Ec (1)

Ec (1a)

Ec (1b)




k k ΨHΨE(k)

)X(x)X(xe

1

(k) ', j ν j' ν

)k(Xi ' j

j j

X

H N

j

Cálculo de la energía

dxΨHΨ E(k)k

*

k

Ec (2)

)X(x(x)e(k)2

1

2

j ν νXki j

N j

N j

H Ec (3)

Reemplazando Ec (1) en Ec (2):




)X(xH(x)e(x)H(x)(k) j

j ν νXk i

ν ν j

'

V(x)

dx

d

m2

- 2

2

0

2

)X-(xvV(x) j

j

Cálculo de la energía

)X(x(x)e(k)

2

1

2

j ν ν

Xki j

N j

N j

H Ec (3)

Ec (4)

(x)V'v(x)(x)




(x))('V(x)-β ν* x

(x))('V(x)(x))(v2

(x) (x)H(x) ν ν ν2

2

0

2

ν νν x xdx

d

m

rimer término de la ecuación (4)

E (x)H(x) ν νEc (4a)




a)-(x)('V(x)- ν* a x

(x))('V(x)a)-(x)(v2

(x) a)-(xH(x) ν ν ν2

2

0

2

ν νν a xa xdx

d

m

egundo término de la ecuación (4), considerando sólo vecinos más cercanos

Ec (5)

a)(xH(x)ea)(xH(x)e )X(xH(x)e ν νika- ν νika j ν νXk i j'

Integral de traslape

k Cosk 2E )(




2E 0

)2

(sen4E )( 20

kak

220k k aγEE




)(2

a

)(2a

)(2a

y)k ,k ,(k k 0zyx

k i

jk

ji

R

cercanosmásvecinos j,

i

ss

0je γ-E (k)E R k

2ak

Cos2ak

Cos2ak

Cos2

ak Cos

2

ak Cos

2ak

Cos4E)(E xzzyyxss k

Caso 3 dimensional: banda s de un sólido con estructura fcc monoatómica

22ss ak γ12E)(E k



MODELO KRONIG PENNEY

a)nV(xV(x)

a b, xsi,0V-

b0, xsi ,0

V(x)

v

x

c

b

a

0-V

E V(x)2dx

2d

m2

2-

b0,xsi , 02 2dx

2d

a b, xsi, 02

2dx

2d

1/2

2Em2

α

1/2

2

)0V(Em2β




a b, xsi, 02 2dx

2d

b0,xsi , 02

2dx

2

b0,xsi , 0u)2α2(k dx

duk i22dx

u2d1

11

a b,xsi , 0u)2β2(k dx

duk i2

2

dx

u2d

222

(x)2k uikxe(x)k Ψ ikx

k 1k Ψ (x) e u (x)

(x)k uikxe(x)k Ψ




b0,xsi , 0u)2α2(k dx

duk i2

2dx

u2d

111

Caso 1: Si E>0

a b,xsi , 0u)2β2(k dx

duk i2

2dx

u2d

222

i(β-k)x -i(β k)x2u (x) C e D e , si x b,a

b0,xsi ,k)x-i(α

eBk)x-i(α

eA(x)1u




Usando como condiciones de frontera la continuidad de la función ysu derivada en x = 0 y en x = b

0 DCBA

0k)ci(βDe k)c--i(βeC k)b-i(αeBk)b-i(αeA

0k)ci(βDek βi k)c--i(βeCk -βi k)b-i(αeBk αik)b-i(αeAk -α

0 Dk βi Ck -βi Bk αiA k -αi




os coeficientes A,B, C y D se encuentran resolviendo estas ecuacionesimultáneas y la solución existe sólo si el determinante de susoeficientes es nulo, lo cual implica:

1)(Sol. c)(bkCos cCos bCoscβSen bαSenβ2α

2β2α




Caso 2: -V0 < E < 0

l procedimiento es igual pero es imaginario y podemos escribirlo así:α

Y teniendo en cuenta que:

Puede deducirse que habrá solución no trivial para A,B,C y D sólo si:

2)(Sol..... akCos cβCos bCosh γcβSen b Senh γβ2γ

2β2γ

iγ α

Senh xi x)(iSenyh xCos x)(iCos




Ambas, Solución 1 y Solución 2 son de la forma:

sto significa que dado un valor de k podemos hallar el correspondiente E

Para ver cualitativamente la existencia de bandas prohibidas y permitidaseescribimos ambas soluciones en las formas:

akCos (E)f

akCos )δ-cβ(Cos bαSenβ4α )β(α1 1

1/2

222

22

akCos )2δ-cβ(Cos

1/2

bγ2Senh2 γ24β

)2γ2(β1




Donde:

0EV- si , bTanh γβγ2

βγ - δTan 0

22

2

0Esi , bαTanβα2

βα - δTan

22

1



MODELO KRONIG PENNEYakCos )1δ-cβ(Cos

1/2

bα2Sen2β24α

)2β2(α1

E

f(E) f(E) =

= - V0 E = 0

0Esi, akCos )δ-cβ(Cos bγSenh γ4β

)γ(β1 2

1/2

222

22

0EV- si 0

aπ

k aπ

k

a π2

k a π2

k

a π3

k




ara resolver exactamente E vs k puede procederse del siguiente modo:

) Asegurarse de tener los datos V0 (en eV), a y c (en angstron) . ) Tomar 2000 valores de energía E en el intervalo (- V0 , V0) y para cada

no de ellos escribir los valores de y ( ó ) .

) Reemplazar y ( ó ), así como a, b y c en la solución (1) o

olución (2). De este modo se obtiene f (E).

) Para los valores de f(E) en el intervalo (-1,1) tome arco cos f ( E ) ysí podrá obtener k. Con lo cual habrá obtenido un punto de la relación d

Dispersión E vs k).

β α γ

β α γ



Otros métodos de cálculo de bandas

El método celularEl método de ondas planas aumentadas

El método del seudo potencial



EL MÉTODO CELULAR

Resuelve la ecuación de schrodinger en una zona de Brillouin conCondiciones de frontera:

-ik.Rˆ ˆ( ) (r) -e ( ) (r R)n r n r R

En la publicación original para calcular el estado de más baja energía de la banda 3s del sodio se aproximó la celdaWS a una esfera y se resolvió el problema como si fuera un

problema atómico pero con condiciones de frontera :

R)(r e (r) -ik.R

0)(r 0,0



SUPERFICIES DE FERMIa superficie de Fermi es definida como la superficie en el espacio k dentro de laual todos los estados están ocupados por electrones de valencia a 0K. Todos losstados fuera de la esfera de Fermi están vacíos.



SUPERFICIES DE FERMI

Método de Harrison: Una técnica para construir superficies de Fermi de metales.En primera aproximación consideramos que los electrones son libres. Las superficiesDe Fermi son esferas. Si salen de la PZB usamos dos o mas bandas.




1ZB2ZB

3ZB




Cómo puede pasarse de las superficies de Fermi para electrones libres aas de electrones casi libres?

c) La interacción del electrón con el potencial periódico del cristalrigina la aparición de bandas prohibidas en los límites de la zona.

b) La mayor parte de las superficies de Fermi cortan perpendicularmentelos límites de la zona.

d) El volumen total encerrado por la superficie de Fermi dependesolamente de la concentración electrónica y es independiente de losdetalles de la interacción con la red.

) El potencial del cristal redondea las esquinas afiladas de lasuperficies de Fermi.



CONDICIÓN DE LAUE

k

gg/2

f rontera de zona

de Brillouin

A diferencia de los experimentos deDRX con un haz monocromático,

odos los electrones están expuestos axperimentar una reflexión de Bragg,ero sólo la experimentarán aquellosue satisfacen la condición de Laue.stos son los que están en lasonteras de las ZB. La difracción deragg, a su vez, origina la aparición deandas prohibidas

2 2 2k´ k g 2 . k g22 . gk g

1.

2

gk g

g



SUPERFICIES DE FERMI Problema 5.14 de Omar:

3/12F )(3k n

Recordando que para un gas de electrones libres:

a) Cuando la concentración de electrones aumenta, la esfera de Fermi se expande.Demostrar que esta esfera empieza a tocar las caras de la PZB en una red fcc cuandoLa relación entre concentración de electrones y de átomos es n/na = 1,36

b) Suponga que algunos de los átomos en un cristal de cobre que tiene estructurafcc monoatómica son gradualmente reemplazados por átomos de zinc.Considerando que el zinc es divalente y el cobre monovalente, calcular la

razón deátomos de cobre a átomos de zinc en una aleación CuZn (bronce) a la cual laesfera de Fermi toca las caras de la zona. ( El bronce experimenta un cambioestructural a esta razón de concentraciones)




3a

n 3

3/12F )(3k n

Problema 5.14 de Omar: Recordando que para un gas de electrones libres:

a) Cuando la concentración de electrones aumenta, la esfera de Fermi se expande.Demostrar que esta esfera empieza a tocar las caras de la PZB en una red fcc cuandoLa relación entre concentración de electrones y de átomos es n/na = 1,36

b) Suponga que algunos de los átomos en un cristal de cobre que tiene estructurafcc monoatómica son gradualmente reemplazados por átomos de zinc.Considerando que el zinc es divalente y el cobre monovalente, calcular larazón de

átomos de cobre a átomos de zinc en una aleación CuZn (bronce) a la cual laesfera de Fermi toca las caras de la zona. ( El bronce experimenta un cambioestructural a esta razón de concentraciones)

Solución: La esfera comienza a tocar a la PZB cuando

Reemplazando este valor en la fórmula del enunciado se obtiene:

3a

k F

Mientras que na = 4/a3



SUPERFICIES DE FERMI DE ALGUNOSMETALES

Ver tabla de superficies de Fermi en archivo de internet



FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN

• En el estado fundamental, es decir a OK los N electrones en un cristal ocupan los Nestados de energía más baja, pero ¿qué pasaa una temperatura T ?



La Distribución Maxwell Boltzmann(*) • Dado un sistema de N partículas como las moléculas de un gas en un

recipiente, el número de partículas en un nivel de energía Ei, condegeneración gi es:

T/K E-i BiegA N i

donde A es una constante de normalización y K B es la constante de BoltzmannSi la densidad de estados es g(E), entonces:

dEg(E)eA N T-E/K B

dEg(E)eEA E T-E/K Btotal

Número total de partículas

nergía total del sistema de partículas

s válida para N partículas distinguibles que no obedecen principio de exclusión deauli

(*) Ver: Solid -State and Semiconductor Physics por J.P. McKelvey



Estadística Fermi Dirac• La probabilidad de que un estado de energía E sea ocupado por un

electrón a una temperatura T es:

1e1

(E)f Tμ)/K -(E B

donde es el potencial químico (depende de cada material) y K B la constanteuniversal de Boltzmann.

μ

Si la densidad de estados es g(E), entonces:

dEg(E)f(E) NNúmero total de partículas nergía total del sistema de partículas

Es válida para N partículas indistinguibles que obedecen principio de exclusión dePauli

dEg(E)f(E)E Etotal



Estadística Fermi Dirac

f (E)



INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FERMI

0

0

0

dE

E

f H(E)f(E)H(E)dEh(E)f(E)

E

B

E

hT K

6)(

)H(dEh(E)f(E)22

0

E

B

E

H T K 2

222

0 6)(

)H()dEEf

(-H(E)

E

0

h(E)dE )( E

)´´()(21

)H´()-(E)H( )( 2 H E E



Dinámica Semiclásica de los electronesen un cristal

¿Cómo se comportan los electrones de un sólidocristalino en presencia de campos externos?

1. Permanecen en su banda, n es constante

E1

k v

2. Un electrón con vector de onda k y energía En(k) tendrá

2. Obedecen la segunda ley de Newton en la forma:d

dt

k F



Límite de validez del modelo semiclásico

c

e B

m

2

gap

F

E (k) a <<

Ee

Los electrones obedecen la dinámica semiclásica con la condiciónde que los campos E y B no sean muy intensos. En la práctica estosignifica:

2

gap

c

F

E (k) <<

E

a es el parámetro de red




v m

)(v-)(-v k k

dk dE1

v

v se puede interpretar como la velocidad de grupo de un paquete defunciones de onda con k en el intervalo k k




v m

)(v-)(-v k k

E1

k v

v también se puede interpretarcomo el valor esperado deloperador para una función de

Bloch

i

m




vε

k

edt

)dE(

dtd)E(

dt)dE( k k k k

)(1

edt

)dE(k ε

k k E

Segunda ley de Newton y momentum cristalino

εk

edtd




2

2 2

1 d E

dk F a

dtdv

a

dtdk

dk dv

a

Masa efectiva de un electrón en uncristal

2

2

2

dk

Ed

m




F 2

2

dk Ed1

a

dtdva

dtdk

dk dv

a

Masa efectiva de un electrón en uncristal

2

2

2

dk Ed

m



TENSOR MASA EFECTIVA

2z

2

yz

2

zx

2

yz

2

2y

2

yx

2

zx

2

yx

2

2X

2

11

k E

k k

E

k k E

k k E

k E

k k

E

dk k E

k k

E

k E

2

m

E k

1gvv

dt

dk

k dt

dk

k dt

dk

k z

z

y

y

x

x

xxxx vvv

dtdv

x x x

x x

y y y y y

z zz z z

v v vdv dk dt dt

dv v v v dk

dt dtdv dkv v v

dt dt

x y z

x y z

x y z

k k k

k k k

k k k



CONCEPTO DE HUECO

s una seudopartícula cuyas propiedades físicas son equivalentes a las deodos los electrones de una banda con todos los estados ocupadosxcepto uno.

La velocidad del hueco es:

La energía del hueco es:

La masa efectiva del hueco es:

La carga eléctrica del hueco es: qh = e

h h e e

(k ) (k )v v

)k (E)k (E eehh

* *h e em (k ) m (k )h

eh k k El vector de onda del hueco es :



CONCEPTO DE HUECO

Ee Eh

Ke Kh

Eh (kh)

Ee(ke)

ke

kh

eh k )k (E)k (E eehh h h e e(k ) (k )v v e

*

eh

* k m)k (m h



CONCEPTO DE HUECO

dtd

dtd

εk k

eeh

ε

Ee Eh

ke

kh

La carga eléctrica del hueco es positiva



Conductores, semicondutores y aislantes

BV

Conductores semicondutores aislantes

gapgap

BV

BC

BC

BV

E



Conductores semicondutores y aislantes




(a) aislantes, (b) metal o semimetal, (c) metal



Concentración de portadores ensemiconductores intrínsecos

*h

22

v 2m

k )k (E

*e

22

gc 2mk

E)k (E

2/1g

3/2

2e

2e EE2m

2π

1 (E)g

2/13/2

2h

2h E2m

2π

1 (E)g

E(electrones)

E(huecos)




C2

C1

E

E

dEg(E)(E)f n 2

1

dE(E)g(E)f p hh

V

V

E

E




1/21/ 2

0 2 x x e dx

dEeEEe2m

2π

1n

g

BBF

E

TE/K 2/1

g

T/K E3/2

2

e

2

T/K ET/K E3/2

2Be BgBF ee

π2Tk m

2n




0

hh dE(E)g(E)f p

TE/K -T/K E

TE)/K (ET/K E-E-hBBF

BFBFee

1e

1

1e

1 -1 (-E)f 1f

2/1

3/2

2h

2h E2m

2π

1 (E)g

T/K E-3/2

2Be BFe

π2Tk m

2 p




pn

e

hBgF m

mLnTK

43

E21

E

T/2K E3/4he

3/2

2B

iBgemm

π2Tk

2 n

1/T



Estados de Impurezas

r εε4πeV(r)

0r

2

2

0

40

0

e2r

d )ε2(4πem-

mm

ε1

E

0,01eVEd

2,0mm

, 01ε0

er




Ordenes de magnitud:

2

0

40

0

h2r

a )ε2(4πem-

mm

ε1

E

eV0,01Ea



Concentración de portadores ensemiconductores extrínsecos

2in pn

T/K E3/2he

3

2B Bgemm

π2

Tk 4 pn

d

2i

d N

n

p Nn

emiconductores extrínsecos tipo n

emiconductores extrínsecos tipo p

2i

aa

n p N n

N



CONDUCTIVIDADELÉCTRICA DC

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOFC UNI

Octubre 2013




MODELO DE DRUDE

i no hay campo eléctrico los electrones se mueven con velocidades delrden de hasta 106 pero en direcciones al azar de modo que en promedio v = 0

dv ε

En presencia de un campo eléctrico constante los electrones adquierenuna velocidad constante, conocida como velocidad de arrastre, .dv



MODELO DE DRUDE

εq td

dvm

En t = los electrones chocan con “iones” y regresan a v = 0

τ

ntonces, en promedio los electrones viajan con velocidad :

τy t0tentret,εm

q

τεm2

q d drift velocity o

velocidad de arrastre



MODELO DE DRUDE

τ

mv-εq

td

dvm

τ

v-ε

m

q

td

dv

ε

m

τqv

τ

1-

td

dv

tdτ

1-

εm

τqv

dv

τt-

εm

τq

ε

m

τqv

n

Si t >> τ

)t/τ-e-1(εm

τq v

constanted velocida, m

τq εv



MODELO DE DRUDE

σ εJ

εJ τm

q nq

t = 0

t =

vd

vd

vd

Δt Δtd

Δt

dnq vJ

t

qtAnI d

v τ

m

2enσ



MODELO DE SOMMERFELDe basa en la descripción cuántica del movimiento de electrones libresgas de Fermi)

i no hay campo eléctrico externo, los electrones con k < kF se distribuyeimétricamente dentro de la esfera de Fermi. En presencia de un campoléctrico, la esfera de Fermi se desplaza.

k δ

d vk

m δ



MODELO DE SOMMERFELDólo contribuyen a la conductividad eléctrica los electrones llevados fuerae la esfera de Fermi por el campo eléctrico.

3Fk

3

4π

δk 2Fk 4π

3

1nef n

Fvdv

nef n

Fqef n vJ

dnq vJ τ

m

2enσ



Conductividad vs temperatura en metales

Si el cristal fuera perfecto no habrían choques de los electronescon la red. Los choques se producen por las impurezas y por

losfonones.



Conductividad vs temperatura en metales

τm

2enσ τ

m

2enσ

τ1

en

m ρ 2 τ

m

2enσ )

τ1

τ1

(en

m ρ

foni2 foni ρρ ρ



Conductividad eléctrica ensemiconductores

τmen

σ h

2

h

m τe μ

εvμ

e

ee

ee

m τe

μ εv

h

hh

hh

τ

m

enσ e

2

e

μenσ ee

μenσ hh

)e pμe(nσ he



Conductividad vs temperatura ensemiconductores intrínsecos

) μ(enσ hei

μ he y

TK 2/-Eg Be(T)f σ

depende de la temperatura exponencialmente

depende de la temperatura polinomialmente

revalece el comportamiento exponencial

) μ he



Conductividad vs temperatura ensemiconductores extrínsecos

vm

e μ -

r e

ee

μenσ ee

TK 23

vm21

B

2

r

-

e

μenσ ee

n un amplio rango de temperatura n = Nd semantiene constante. Los cambios de σ con la

mperatura se deben a la movilidad.

me

μ e

-

ee

( )

TK 3m

e μ 1/2

B1/2e

ee

-1e T

-3/2

e T μ



EFECTO HALL

Hε Hε

Si sobre una muestra por la que circula corriente eléctrica se aplica un campomagnético perpendicular a la corriente, entonces, aparecerá una diferencia de potencial en la dirección perpendicular a ambos. Sirve para determinar el tipo de portadores en semiconductores.

Hε Hε

0)B(vq Hd ε

Bvε dH

en

J- v x

d

BJen

1-ε xH

Bvε dH

xd

J v

p e

H x

1 ε J B

p e

en

1-R H

e p1

R H



EFECTO HALL

BveB)(ve-F eeLe

0)B(vq Hd ε

enBJ

ε eLe

Bvε eLe

e pBJ-

ε hLh 2

he

2e

2h

) pμe(nμnμ pμ

R

( ) HheLhhLeey εμe pμenεμe pεμenJ

he

e

x

e

pn

n

JJ



RESONANCIA CICLOTRÓNICA

GHz2,8B π2cω

c υ

Bve- r2mω

B*m

ecω

La resonancia ciclotrónica es comúnmenteusada para medir la masa efectiva del electrónen metales y semiconductores

B en kilogauss



RESONANCIA CICLOTRÓNICA

)(v

δ

Beπ2 cω

k

k

Bk vk

)(e- td

d

)(v

δk

Be δtT

k

tδ )(e - δ Bk vk

La trayectoria no es necesariamenteuna circunferencia:

v( k) es la velocidad normal a la órbita

B*m

ecω

Para electrones libres regresamos a:

:



EFECTO HALL YMAGNETORESISTENCIA

( )BvEv

e

τ

1

dt

d m

( )yxx vB Eevτ1

dtd

m

( )xyy vB Eevτ1

dtd

m

zz Eevτ1

dtd

m




ycxx vτωE m τe

-v xcyy vτωE m τe

-v zz E

m τe

-v

z

y

x

c

c

z

y

x

v

v

v

1 0 0

0 1 τω-

0 τω 1

E

E

E

m τe




z

y

x

-1

c

c2

z

y

x

E

EE

1 0 0

0 1 τω- 0 τω 1

m

τne

J

JJ

z

y

x

z

y

x

v

v

v

en

J

J

J




La resistividad es independiente del campo magnético

z

y

x

2c

c

c

2c

0

z

y

x

E

E

E

)τω(1 0 0

0 1 τω

0 τω- 1

)τω(1

σ

J

J

J

0

x x x x 0 x2c

σ0 E -E ; J (E ) J σ E

1 ( ω τ )c y c y

E

BJ en

1 -

m/τenJ

τω- Eτω- E x2x

cxcy

0(B) ρ

ne

1R H



MAGNETORESISTENCIA



PROPIEDADES TÉRMICASDE SÓLIDOS

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOFC – UNI JUNIO 2014




Calor Específico de sólidos(definición)

Q T

El calor específico molar es definido como:

onde es el calor requerido para elevar en la temperatura de unamol del sólido.

y puesto que en sólidos el proceso se realiza aproximadamentea volumen constante, tendremos:

ΔTΔQC

VT

EC

Recordando la primera ley de la termodinámica: VP EQ



Calor Específico de sólidos(Evidencia experimental)

El calor específico molar depende de la temperatura en la formamostrada en la figura:

A altas temperaturas el valor CV de cualquier sólido es aproximadamenteR donde R es la constante universal de los gases (R 2 cal/K) (Ley de

Dulong y Petit). Al disminuir T, el calor específico también decrece hastaacerse cero a 0K.



Modelo clásico

• Cada átomo es un oscilador tridimensional

• En un sólido con N átomos tenemos 3Nosciladores unidimensionales.• Los osciladores son independientes• Pueden tener valores continuos de energía

• Obedecen la estadística de Boltzmann.



Calor Específico de la red(modelo clásico)

Cada átomo está fijo a un punto de red oscilando

como un oscilador armónico simpleRecordamos de Física elemental que la energía promedio para unoscilador unidimensional es

Entonces la energía por átomo, considerado como un oscilador 3D es3 y la energía por mol es:

TBk prom

TBk

TBk Av N3

R 3 Bk Av N3 V C l calor específico molar a V constantes entonces:



Modelo de Einstein

• Cada átomo es un oscilador tridimensional• En un sólido con N átomos tenemos 3N

osciladores unidimensionales.• Los osciladores son independientes• Sólo Pueden tener valores discretos de

energía• Obedecen la estadística de Boltzmann.

ωnnE



Calor Específico de la red(modelo de Einstein)

0n

/E-e

0

/E-

e nE

n

n

T K

n

T K

prom

B

B

ωnnE

1

Tω/K

e

ω promE

B

os átomos son tratados comosciladores independientes pero

os valores de la energía estánados por la MECÁNICA CUÁNTICA



0n

/ωn-

0

/ωn-

0n

/E-

0

/E-n

e

e ωn

e

e E

n

n

T K

n

T K

T K

n

T K

prom

B

B

B

B

1

Tω/K

e

ω promE

B

T K B/ω-e

0n

0

nnω

n

n prom

x

x

x xn

11

0n 2n

1n

x

x x

dx

d x x

n

n

n

1-x

ω

x-1

xω E 1- prom




1T/K ωe

Eω Av N3

BE

21T/K ωe

T/K ωe

2

TBK Eω

R 3 VBE

BE

21/Tθe

/Tθe 2TEθR 3 V

E

E



2/Tθ

/Tθ2

E

V 1e

e

T

θR 3 C

E

E

A altas temperaturas, T >> , la expresión para CV se reduce a:

Eθ

0 e )(e T

θR 3 C /Tθ-/Tθ-

2

EV

EE

T B


Eθ

A bajas temperaturas, T << , la expresión para CV se reduce a:

R 3

1T

θ 1

1

T

θR 3 C 2

E

2

EV



Modelo de Debye

• En un sólido con N átomos tenemos 3Nosciladores unidimensionales.

• Pero cada átomo no es un oscilador, sino cadamodo de vibración colectivo, cada fonón es unoscilador.

• Cada oscilador sólo tener valores discretos deenergía

• Obedecen la estadística de Boltzmann.• Cada oscilador tiene frecuencia diferente.



Calor Específico de la red(Modelo de Debye)

Cada modo de vibración de la red es considerado como

un oscilador cuántico con valores de energía ωn h

qsvω

ωd)(ωgω)(-EE

1Tω/K e

ω E

B

3sv

2ω

2 π2

3V ) (ωg

Se usa aproximación de vibracionesen sólido continuo



Calor Específico de la red(modelo de Debye)

ωd

ω

0 1Tω/K e

ω

2ω3

sv2 π2

3V E

D

B

3/12sDAv

ω

0

n6vω N3 ωd)(ωgD

a integral es de 0 a un valor tal que:Dω




ωd

ω

02

1Tω/K e

e4ω

2TBK

2

3sv2 π2

3V VC

D

B

TBω/K

xd

/θ

02

1e

xe4x

3

Dθ

T 9R VC

D

T

x

ωd

ω

0 1Tω/K e

ω

2

ω3sv2 π2

3V

E

D

B




ara bajas temperaturas, T << :

3

Dθ

T R

5

4 π12 VC

Dθ

15

4 π4 xd

02

1xe

xe4x

ara altas temperaturas, T >> :Dθ

Dω2 4

V 22 3 2s B 0

B

3V ωC d ω 3R

2 π v K T 1 1

K T



Calor Específico de la red(Teoría exacta)

ωd)g( )E( E

-

V

V T

E C

g

ω3

vdS

2πL )g(



Calor Específico de los electrones

Considerando la contribución electrónica como la de un gas ideal:

C CC redeV

Kcal/mol3R 2

3 eC

Se esperaría entonces que la capacidad calorífica de los metales sea:

K cal/mol9R 4,5R 2

3 R 3VC

Sin embargo, el experimento contradice este razonamiento.Experimentalmente se observa que la contribución de los electronesal calor específico es sólo 0,01(3/2) R.

En metales:



a or specí co e os e ectrones

No todos los electrones del metal contribuyen al calor específico:

FE

TBK Av Nef n

FE

2TBK Av NE

FE

TBK

2C Re

0 0

E E f(E) g(E) dE - E g(E) dE F E

Más exactamente:



Calor Específico de los electrones

F F

0

E E f(E) g(E) dE N

F F

0

0 E = E g(E) dE N f

T T

2B

eF

K TπC

2 E

B NK

0

E f = E g(E) dE

T T

el C

0 0

E E f(E) g(E) dE - E g(E) dE F E

1e

1 (E)f Tμ)/K -(E B

F B

F B

(E - E )/K TF

(E - E )/K T2 2B

E - E e

K (e 1)

f

T T

F

B

E - E x =

K T

F

0

E f = (E - E ) g(E) dE

T T

el C

x2 2

F B 2x-

e g(E ) (K T) x dx

e 1

el C

N = n ó N = NA



INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FERMI

0

0

0

dE

E

f H(E)f(E)H(E)dEh(E)f(E)

E

B

E

hT K

6

)( )H(dEh(E)f(E)

22

0

E

B

E

H T K 2

222

0 6

)( )H()dE

E

f (-H(E)

E

0

h(E)dE )( E

)´´()(21

)H´()-(E)H( )( 2 H E E



Cálculo de Cel

)()(6

)( dEg(E)EdEg(E)E f(E)

22

00

g g T K B

total

)(E-dEh(E)dEh(E) F

00

F

E

E H F

E

B

E

hT K

6

)( )H(dEh(E)f(E)

22

0

)(6 )( dEg(E)dEg(E) f(E)

22

00

g T K n B



Cálculo de Cel

)(6

)()(

6

)(EdEg(E)E

2222

F

0

F B

F B

F F

E

otal E g T K

E g T K

E g E F

)(6

)( dEg(E)

22

0

F B

F F

E

E g T K

E g E n F

)(6 )(0

22

F B

F F E g T K E g E

)(

)(

6

)( -E

22

F F

F B

E g

E g T K



Cálculo de Cel

2

F )2

(3

1 -1E

F

B

E

T K

)(2

E 22

0total F Btotal E g T K

)(3

22

F B

total

V E g T K T

E

C

B

F

BV nK

E

T K C

2

2



Conductividad térmica de los electrones

τvdx

dT

dx

dTΔT x

dxdT

K ΔA

QΔt1

H

FFF

2B

2

e vE2

TK nπ 3

1 K

2Fvm

2

1 E

fononesK eK K

*F

2B

2

m3

τTK nπK

v, velocidad de los electrones,

, trayectoria libre media

dx

dTcτvn

3

1

dx

dTcτvnH 22

x

dx

dT vC

3

1H Ve

v)T(cnH

v)nJcomo(asi q

vC3

1K Vee



Conductividad térmica vs conductividadeléctrica de metales

τm

2enσ

KL T

*

F2B

2

m3

τTK nπK

22-8 2 π

L = 2,45 10 watt-ohm/grad3

B K

e

Número de Lorentz



Valores experimentales del numero de Lorentz

L x 108 watt-ohm/grad2

Metal 00C 1000C

Ag 2,31 2,37Au 2,35 2,40

Cd 2,42 2,43

Cu 2,23 2,33

Ir 2,49 2,49

Mo 2,61 2,79

Pb 2,47 2,56

Pt 2,51 2,60

Sn 2,52 2,49

W 3,04 3,20

Zn 2,31 2,33



Conductividad térmica de la red

dx

dTK H

vT

NK 234 3

1 K s

3

DBfonones

fononesK K

vC3

1K Vfononese

A bajas temperaturas:

A altas temperaturas:

fonones sK v R



Resistividad eléctrica vs temperatura en metales

)τ

1

τ

1(

en

m ρ

foni2

i 2i

m 1 ρ = cte ,n e τ

(Ley de Mathiensen)

2

x

B2 Bω/K T1 ω k x K T2 e 1

f 2f

m 1 ρ Tn e τ

Ff 2

f

vmρ T

n e B

f F2

2 N K m ρ v T

n e k

1n A

2n1

x



Resistividad eléctrica vs temperatura en metales

τm

2enσ τ

m

2enσ



Movilidad vs temperatura en semiconductores

vm

e μ -

r e

ee

μenσ ee

TK 2

3 vm

2

1 B

2

r

-

e

μenσ ee

n un amplio rango de temperatura n = Nd semantiene constante. Los cambios de σ con la

mperatura se deben a la movilidad.

m

e μ

e

-

ee

TK 3m

e μ 1/2

B1/2e

ee

-1e T

-3/2

e T μ

Los electrones en el fondo de la BCobedecen la estadística clásica.



EXPANSIÓN TÉRMICA

432

xf -xg-x )( c xU

)(

)(

xU

xU

edx

e xdx

x

T k c

g x B24

3

onsideremos la anarmonicidad del potencial y supongamos:

alculamos el desplazamiento medio utilizando la distribución de Boltzmannue da los valores posibles de x según su probabilidad termodinámica.



Fenómenos termoeléctricos

Efecto Seebeck

Efecto Peltier

Efecto Thompson



EFECTO SEEBECK

n un circuito formado por dos metales distintos homogéneos, A y B,on dos uniones a diferente temperatura, T y T+ , aparece una corrienteléctrica J, o bien, si se abre el circuito una fuerza termoelectromotrizf.t.e.m.) VAB que depende de los metales utilizados en la unión y de la

iferencia de temperatura entre las dos uniones.

T Q ε

T QV

T A A QV

T B B QV

TQ - - A B A B QV V

TQ -A

B

QV

T

material B

material A

TT



Cálculo de la termopotenciaelocidad de arrastre de los electrones debido al gradiente de temperatura

dx

dv

v-vxvv-xv2

1Q

2

vv

2

Qdx

d

2

Q

vv

2

d dT

dT dx

T

T d

d

2

Q

v

6v

m

e

d

v

ne

c

T d

d

eV

32

vm

3

1Q

2

e

k B2

Q

F

B B

E

T k

e

k

6Q

2

Drude Sommerfeld



EFECTO PELTIEREl efecto Peltier consiste en el enfriamiento o calentamientode una unión entre dos conductores distintos al pasar una corrienteeléctrica por ella y que depende exclusivamente de la composicióny temperatura de la unión.La potencia calorífica intercambiada en la

unión entre A y B es [Biel J. G., 1997]:

J B B

QT , J A A

J )( B A

Sale calorLlega calor



EFECTO THOMPSONEl efecto Thomson consiste en la absorción o liberación de calor

por parte de un conductor eléctrico homogéneo, con una distribuciónde temperaturas no homogénea, por el que circula una corriente

Coeficiente de Thomson T

QT

T J

H

Q= termopotencia



EFECTO TERMOIONICO

l efecto termoiónico consiste en la emisión de electrones de un filamentometálico por efecto de calentamiento.

1T

12 T T

Alto voltaje

Fuente para calentarfilamento

filamento

Altovacio

amperímetro

)( 1T S

)( 2T S



ste efecto se explica calculando la corriente debido a los electrones quesan a través de la barrera de potencial

trabajo función

EF

Nivel devacío

3

0)(v

22)(v)(v

L

d k

V

ek

V

e

k

E E

x

k

x x

x

F

z y x dk dk dk d



Considerando la probabilidad de ocupación según Fermi Dirac.

T k E f dk k dk dk

m

e

xk x x z y x ,

2

2

min3

2 2 2 2

2 2

2

/2 /2

3

/2

2

4

y B z B

x B F

k mK T k mK T

x y z

k mK T

E x xm

edk e dk e

m

k dk e

K

B s BeT K

h

me /2

3

4

Formula de Richardson-Dushman para la corriente de saturación

BoltzmannT K B



Corrección por factor de transmitancia cuántica en un potencial escalón.

0

3

4

e

F B

T K

B s E T K eT K h

me B /

4 /2

3

Corrección a la función trabajo por efecto de un campo eléctrico.

1/2 1/2

21/2 1/2

4 ( )

( )

E E U T

E E U



TEORÍA SEMICLÁSICA DECONDUCCIÓN

CAPÍTULO 9


FACULTAD DE CIENCIAS UNI

Noviembre 2013ARTURO TALLEDO

Dr. EN FÍSICA



n

n

f d e k J n3 v4

nn

n

f E d k H n3 v4

FLUJOS DE CARGA ELÉCTRICA Y DE CALOR

Se llama función de distribución de no equilibrion

ujo de carga ( Densidad de corriente eléctrica):

lujo de calor:

Ec. (2)

Ec. (1)



RELAJACIÓN

))((),(),,( 00 k k rk r nnn E f f t

En equilibrio:

Fuera de equilibrio :

),(),(

),,( 0 k rk r

k r f dt

t f d n

n

11

))(( /0

T K E n Be

E

k

Ec. (3)

/dt es la fracción de electrones que sufren una colisión ytambién la fracción de electrones que emergen hacia r, k



Cálculo de la función dedistribución de no equilibrio

34),,(

d dV t k r f dN

n

t

nnn

nnnn

t k t r

t t k r P t k t r f dt d dV dN

´)(´),(´);,,(´)(´),(´

4

0

3

´),(´)(´)(´ 0 t t P t f

t

dt t

n

P(t,t´) es la fracción de electrones que emerge en t´y sobrevive hasta t



La fracción P(t,t´)

´)(

´1´)´,(´),(

t

dt dt t t P t t

´´),(

´´),(

t

t t P

t

t t P

1),(

t t

t

t t

t d t t

´

exp´),(



Cálculo de la función de distribución deno equilibrio

´),(´

´)(´)( 0 t t P t

t f dt t t

´)(´

´),(´)( 00 t f dt

d t t P dt t f t

t

T T

E μ-eE-

E

f t t P dt f t

t v

00 ´),(´)(

´´´´

´)( 0000

t

f

t

T

T

f

t

E

E

f

dt

t f d nnnn

n

r

r

r

r

k

k



SIMPLIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN DE NOEQUILIBRIO PARA CASOS ESPECIALES

1) Campos eléctricos y gradientes de temperatura débiles

2) Campos electromagnéticos y gradientes de temperaturaespacialmente uniformes

3) Tiempo de relajación dependiente de la energía

t E t t t

E

f edt f t ´´),(

0/´0 k vk k

T

T

E μ--e

ε

Ec. (4)



CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA DC

E

f E e f

00 )(()()( k k vk k ε

d e k vJ

34

n

n)(

k

k vk vk n E E

nnnn

n

E

f E

d e

3

2)(

4

εk k vk vJ

E

f E

d e

32

4

Ec. (5)

Si B = 0, T= constante, μ = constante, la ec. 4 se reduce a :



CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA DC

k

k vk vk n E E E

f E

d e

3

2

4

))((1 k k

k vk

E f E

f

n E E

k k

k k vk

n E E

E f E

d e

))((14 3

2

)(())((

4)( 3

2 k vk

k E f d

E e F

uvvu dV dV Teorema apéndice I



EQUIVALENCA DE ELECTRONES YHUECOS

)(())((4)( 3

2 k vk k E f d E e F

)(4

)( 13

2 k M

ocupadosestados

F

d E e

))((4

)( 13

2 k M

sdesocupadoestados

F

d E e

Ec. (6)



Regreso al modelo de electrones libres

n

m

e

2

pm

e

2



CONDUCTIVIDAD TÉRMICA

t

E t t t E

f edt f t ´´),(

0/´0 k vk k

T

T

E μ--e

ε Ec. (4)

E

f E T

T

E f

00 ))(()()( k k vk k

B = 0, ε = 0, μ = constante, la ec. 4 se reduce a:

E

f E

T

E d

)))((()(v

4

02

3 k k vk H

E

d k H v

4 3

Ec. (7)

Ec. (2)

eemplazamos ec. (4) y ec. (7) en ec (2)



CONDUCTIVIDAD TÉRMICA

)))((()(v4

02

3 E

f E

T

E d

k k vk K

2

22

3 e

T k BK



COEFICIENTES GENERALES DE TRANSPORTE

t

E t t t E

f edt f t ´´),(

0/´0 k vk k

T

T

E μ--e

ε Ec. (4

Si existen al mismo tiempo un campo eléctrico y un gradiente de temperatura

E d

k H v4 3

d

e k vJ

34 Ec. (1)

Ec. (2)

Ec. (7)

E

f E T

T

E e f

00 ))(()()( k k vk k ε



COEFICIENTES GENERALES DETRANSPORTE

Reemplazando ec. (7) en ec. (1) y ec.(2)

T L L 1211εJ

T L L 2221εH

Q potencia termoeléctrica, es el coeficiente de Peltier

)))((()(v4

1 0

312

E

f E

T

E d

e

k k vk

)))((()(v4

1 0

321 E

f E E

d

e

k k vk



COEFICIENTES GENERALES DETRANSPORTE

11 22 1112 LQ 1112 L

J )( B A

Sale calorga calor

Q es la potencia termoeléctrica y es el coeficiente de Peltier



Otras Formas de Integrar

εk k vk vJ

E

f E

d e

32

4

)))((()(v

4

02

3 E

f E

T

E d

k k vk K

εk k vk vJ

E

f E dE

dS e

k

2

v

εk k vk vJ E

f

E dE E g e )(

2



PROPIEDADES DIELÉCTRICASY ÓPTICAS DE SÓLIDOS

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOFC UNI

Noviembre 2013




Permitividad Eléctrica

0E E

0 0σ E

D σ

0 r D E

0 r / E E

D σ

0 D E P

0( + ) D E



Permeabilidad Magnética

B

0B B

MB IL

N 0

0 Hr B

IL

N 00 B

H00 B Hr 0 B

0 B H H



Ecuaciones de Maxwell

aBE d dt

d- d

)I(Iμd d B

0da B

Q dε aE

t-

BE

tμεJμB

E

0 B

ρ Eε



Ecuaciones de Maxwell en el vacío

2 2

0 02 20

x t

E E

22

0 0 20

t

EE

0 B

0 E 0 t

-

BE

AAA 2 -)( )(

tμε 00

E

B

Identidad vectorial:

Aplicada a la tercera ecuación

Onda plana que se propaga a lo largo del eje XCon velocidad:

0 0

1c



Ecuaciones de Maxwell en mediosdieléctricos

2 2

0 02 2 0r r

x t

E E

22

2 0

t

EE

r r 0 0 r r r

1 c cv

nμ μ μ

c

0 B

0 E t-

BE

μt

EB

Identidad vectorial aplicada a la tercera ecuación

Onda plana que se propaga a lo largo del eje Xcon velocidad:

2r n

Nota: En general, depende de la frecuencia y puede ser real positivo, realnegativo o complejo, por lo tanto, en general n es número complejo n + ik

r



Índice de refracción complejo ycoeficiente de absorción

ω ωkωi (n ik) x ω t i n x ω t-

c cc0 0E E e E e e

ω q (n ik)

cñ

c

x x

0

ckω

2

02 eIeIIE

t)ωx(qi0 eE E n

c

q

ωv

ωq nc

Si el índice de refracción es complejo, entonces:

c

kω2α

t )vx(qi0 eE E

α es el coeficiente de absorción. Laonda no sólo disminuye suvelocidad, sino que también se amortigua.



Reflectancia normal

x

y

z

E1i

B1i

E1r

B1r

E1t

B1t

t)ωx(qi1i01i

1eE E

1q

t )vx(qi1r01r

1eB B

t)vx(qit02

2eE E

t)ωx(qi1i01i1eB B

t )vx(qi1r01r

1eE E

2 22 2

2

ñ

c q

qB E

2q

2

E

2B

t )vx(qit02

2eB B

1 11 1

1

ñ

c q

qB E



Reflectancia normal

2 11r 1i

2 1

ñ ñE E

ñ ñ

21r 1i EEE

Condiciones de frontera:

x

y

z

E1i

B1i

E1r

B1r

E1t

B1t

1q2q

2E

2B

21r 1i BBB

1 1i 1r 2 2ñ ( E E ) ñ E

11t 1i

2 1

2 ñE E

ñ ñ

2

2 1

2 1

ñ ñR

ñ ñ

1ñ 1, vacío

2ñ n i k 22

22

k 1)(n

k 1)(nR



Permitividad eléctrica y polarizabilidaden gases y líquidos

r 0 0

N χ (1 ) 1

Ep

0 D E P

0 0 r N α D E E E

pP N

0 D E P

onde N es el número de átomos (moléculas) por unidad de volumen yes el momento dipolar eléctrico de un átomo

χ N



Permitividad eléctrica y polarizabilidaden sólidos

local Ep

3210 EEEEE

pP N

0 D E P

onde N es el número de átomos (moléculas) por unidad de volumen y p es el momentoipolar eléctrico de un átomo

0 es el campo externo

1 es el campo debido a las cargas deolarización en la superficie externae la muestra

2 es el campo debido a las cargas deolarización en la superficie de la esfera

E3 es el campo debido a las cargas

entro de la esfera.

3m EEEEE local



Permitividad eléctrica y polarizabilidaden sólidos

local N EP local0

3

P

E E

0r

0

21 N α

3 Nα

13

E es el campo de Maxwell

Ecuación Clausius Mosotti

0 0 r

0

N+ =

13 N

D E E E

0

N

13 N

P E

r

r 0

1 Nα

2 3



Fuentes de polarizabilidad

olarizabilidad electrónica

Polarizabilidad iónica

Polarizabilidad dipolar



Dispersión de la polarizabilidad(experimental)



Dispersión de la polarizabilidadelectrónica

22

0

2

ω-ω/me

ωα

ω

/meωα

20

2

loc220

2

00

)ωm(ω

eex Ep

t i

loceeE xmt d

xd m 2

02

2

tiω0exx

loc020

2 eEx)ωm(-ω

22

r 20 0

N (1 ) n constante

m

e

ω0 usualmente en el ultravioleta

en el visible



5. 1016 1. 1017 1.5 1017

10 17

10 17

10 17

10 17

10 17

10 17

3.91 1016

; ancho de linea

7.5731 1016

; frecuencia fundamental

lot b b2 x2 , x, 0.11 1010, 16.5731 1016



Dispersión de la polarizabilidadelectrónica considerando relajación

tωi0

202

2

eE

m

e -

dt

dx xω

dt

xd tiω

02

2

eeEdt

dx bkx

dt

xdm

ti-022

0

eEiγωω

1

m

e ω)x(

iγωω

1

m

e ω)(α

220

2

iγωω

1me N ω)(

220

2

iγωω

1 ω)(

220

2 p

2 2 2 p 0

2 2 2 2 20

(ω ω )´( ω)

(ω ω ) + γ

2

p

2 2 2 2 20

( )´´( ω)

(ω ω ) + γ



LORENTZIANAS

2 2 2 p 0

2 2 2 2 20

(ω ω )´( ω)(ω ω ) + γ

5. 1016 1. 1017 1.5 1017

0 34

0 34

0 34

0 34

0 34

0

34

5. 1016 1. 1017 1.5 1017

0 34

0 34

0 34

0 34

0 34

0 34

2 p

2 2 2 2 20

( )´´( ω)

(ω ω ) + γ



LORENTZIANAS

5. 1016 1. 1017 1.5 1017

0 34

0 34

0 34

0 34

0 34

0

34

5. 1016 1. 1017 1.5 1017

0 34

0 34

0 34

0 34

0 34

0 34

Plot a x x2

b2

x2

b2

a2

x2

, x, 0.11 1010

, 16.5731 1016

Plot 1 b2

x2

x2

b2

x2

b2

a2

x2

, x, 0.0011 1010

, 16.5731 1016

a 3.91 1016

; ancho de linea

b 7.5731 1016

; frecuencia fundamental



Propiedades ópticas de sólidos iónicos

02201

*

0 )(u E

M

e

022

02

*

0 )(u E

M

e

)( 00*

uuenm

Eeuu2uαtd

udM *

12n12n2n22n

2

2

Eeuu2uαdtudM *

22n2n12n212n2

1

)(0

t xqie E

*2

220 0 0 2

0

1( ) 1

1

e mr

P n e

E

21

21

M M

M M

21

20

112

M M




2

20

(0) ( )( ) ( )

1

r r r r

1 0 Observar que entre ω0 y ω1 la permitividad relativa es negativay por lo tanto la parte real delÍndice de refracción es cero

1/ 2

1 0

(0)

( )r

r

Frecuencia de modos longitudinales




1 0

1/ 2

1 0

(0)

( )r

r

Frecuencia de modos longitudinales

0 r E 0

rk 0EE .ie

0 r 0 k E

Las ondas planas tienen que sertransversales, pero si εr = 0,pueden existir modoslongitudinales




1

Reflectancia

22

22

)1()1(

k n

k n

Permitividad

0




ca

2)(

Coeficiente de absorción

Resultados experimentales para el cloruro de sodio (b) y (c)

t



Polarizabilidad dipolar en campoconstante

τ p- (t) p dtdp 0

/0)( t e pt

)1()( /

0

t e pt

l momento dipolar de una molécula es cero en ausencia de campo y puede alcanzar elalor p0 en presencia de éste. La forma cómo evoluciona el momento dipolar está dadoor:

donde se llama tiempo de relajación. τ

i en el instante t = 0 el momento dipolar es p = 0:

i en el instante t = 0 el momento dipolar es p = p0 y seimina el campo eléctrico, entonces:



Dispersión de la polarizabilidad dipolar

τωi1

α(0)α(ω)

p(t)α(0)Eτ

1

dt

dp

tωieAE(t)

t-ieAα(0) E(t) α(0) p(t)

Se alcanzará una situación de “equilibrio dinámico” en la cual:

Supongamos que sobre nuestra muestra actúa un campo

La evolución hacia este “equilibrio estacionario” está dado por:

tωiα(ω)e p(t) Asumimos soluciones de la forma:

La polarizabidad no está en fase con el campo



Dispersión de la permitividad en sólidosdipolares

ωττω1

n(0)ω

22

2r ''

r

Debido a su pequeña masa los electrones siguen al campo instantáneamente

Por simplicidad ignoramos las corrección del campo local y consideramos que lacontribución iónica es muy pequeña.

)()()( ''r

'r ir

22

2r 2'

r ω1

n(0)nω

τωi-1

n(0)nω

2r 2

r

Los campos E y D no están en fase

00

1)(

ed

r

0

2)(

d

r n

i

N nr

11

)(0

02



Dispersión de la permitividad

τ

1ω ω'

r

Nótese que:

Si , entonces es una

constante igual a ω'

r

1

0r

Si , entonces disminuye ySe aproxima a n2

ω''r alcanza un máximo cuando

1

y la curva decrece a la mitad cuando 4/)1( 22

Para materiales dipolares τ es aprox 10-11 s (microondas)

ωττω1n(0)

ω 22

2r ''

r

22

2r 2'

r ω1

n(0)nω



Absorción Óptica y Permitividad Compleja

a situación es que en los tres casos la permitividad es una funciónompleja de la permitividad. Mostramos en las dos diapositivasiguientes que la parte imaginaria de la permitividad eléctrica estáirectamente relacionada con el calor disipado por efecto Joule de la

orriente de desplazamiento.




dt

d d

D J

Re Re

d

dW

dt J E

0 r r (t) ( ´ (ω ) i ´́ (ω ) ) (t)d - i ω J E

Calor disipado por efecto Joule por unidad de volumen:

0 r r (t) ( ´ (ω ) i ´́ (ω ) ) i t se

D E




´́ ´r r e (t)d R I I R E Cos t E Sen t E Cos t E Sen t J

Re R I E Cos t E Sen t E

R(t) = (E i ) Cos t - i Sen ti t

s I e E E E

Promediando en un período la potencia disipada:

Re Red

dW

dt J E




Conclusión: la rapidez de absorción de energía por el medio esproporcional a la parte imaginaria de la permitividad eléctrica :

)(ω ''r

NOTA: La perdida de energía por unidad de volumen y por unidad detiempo es igual a la variación del vector de Poynting por unidadde espesor.

dW S (x+ x)-S(x)

dt

d S x

dx

2''0 r

dW 1 ( ) E

dt 2



Propiedades ópticas de metales

220

1''

i

1)( 0

0E E i t

y e

E iω1

1

meτ

v *e

y

220

1'

Análogamente a modelo de Drude, expresión para conductividad ac :

τmv

-Eq td

dvm




JE

H

t 0

ωσ(ω)

i)(ω 0

)1()1(1 22

0

022

0

0'''

ii r r r

EE

H 0

t

i- EE

t t

EH i 0

Permitividad eléctrica compleja en metales:




n

k

ca

2)(

2222

)1()1(

k nk n

Reflectancia

Coeficiente de absorción

Îndice de refracción

Coeficiente de extinción

inñ r 2/1)(




'')( r r i

2/1

0

20

2

c

0 x I e

2/1

0

0

2/1''

22

r k n

1

1

Región de bajas frecuencias

Skin depth, profundidad de penetración

)1()1(1

220

022

0

0'''

ii r r r




p

2

2( ) (1 ) p

r

: 1 Región de altas frecuencias

onde q es la carga del electrón y N es la concentración de electrones

Li Na K Rb Ag

1,22 x 1016 Hz 0,89 0,593 0,55

p 155 nm 210 315 340

)1()1(1

220

022

0

0'''

ii r r r

Algunos valores de frecuencia de plasma:

*0

22

e

pm

Nq




2

2( ) (1 ) p

r

Si ω < ωp entonces n(ω) = i k

1 )1()1( 22

22

k nk n

Si ω > ωp entonces n(ω) = n real,Entonces el metal transmite comoun dieléctrico “normal”.

TRANSPARENCIA EN EL ULTRAVIOLETA

inñ r 2/1

)(




Si ω = ωp entonces = 0, la ecuación de maxwell:)(ωr

0 E

erá satisfecha para cualquier E, sin necesidad de que éste seaerpendicular al vector K , es decir, tenemos la posibilidad de modosongitudinales. A estos modos de oscilaciones longitudinales de los

lectrones se les llama plasmones



PLASMONES

Al valor de frecuencia ω = ωp se tiene que εr = 0 y por lo tanto laey de Gauss permite la propagación de ondas

lectromagnéticas longitudinales.

0 E

++++++++++++++++++++++

--------------------------------------u

A

u en

A

uAenσ

2 2 2

20

d u N e N m = - N e E = u

dt

22

p2

d u + u = 0

dt

*0

22

e

pm

Nq

N e A u = N e u

A

Frecuencia de plasmón volúmico en unsólido ideal (infinito)

E(t)



PLASMONES

Espectro de pérdida de energía para electronesque pasan a través de una película delgada demagmesio.

Espectrómetro con analizadorelectrostático para el estudio de

plasmones



- k z( , ) A Cos k x eiU x z

- k z( , ) kA Cos k x e zi x z - k z( , ) kA Sen k x e xi x z

lasmones superficiales: Considere un plasma semiinfinito en el ladoositivo del plano z = 0. Una solución a la ecuación de Laplace en ellasma es:

) Demostrar quek z( , ) A Cos k x e , 0eU x z para z

atisface la condición de frontera para la componente tangencial de E..

ncontrar E0x.

) Demostrar que la condición de frontera par D requiere que εr = -1,or lo tanto

2 21

2 s p Prob 1 cap 10 Kittel 5ta edición



Modo de plasmón de una esfera: La frecuencia del modo de plasmónniforme está determinado por el campo despolarizante de una esfera, donde= - n e r, y r es el desplazamiento promedio de los electrones de concentración n.emostrar usando la segunda ley de Newton que la frecuencia de resonancia delas de electrones es:

2

2*

03 p

e

Nqm

ebido a que todos los electrones participan en la oscilación, tal excitación es llamadana excitación colectiva o un modo colectivo del gas de electrones.

Prob 5 cap 10 Kittel 5ta edición



SPR en un experimento de reflexióninterna total

i

i

Sen

n un experimento de reflexión interna total la intensidad reflejada es igual a lantensidad incidente. Sin embargo hay un campo evanescente que se propagalo largo de la interface. Si la onda evanescente tiene la frecuencia del plasmón

uperficial, entonces, la onda reflejada tendrá un mínimo.



Modelo SPREETA Texas Instruments



Texas Instruments (35 dolares)



Transiciones interbandas en sólidos

t i

loceeE xmt d

xd m 2

02

2

220

2

ω-ω/meωα

Modelo cuántico, teoría de perturbaciones dependientes del tiempo:

0 j

220 j

j02

e ωω

f

me

ωα




2

0 V

vvc22

2

cv )tr,,()tr,,(dr´m

e ,t,ω,

t

cdt w k pAk k k

..exp 0 cct i rk eAA

),(u)(iexpt)(Ei-exp )tr,,( vvvvv-1

vv rk rk k k

pAr

m

e t),(H1

t

AE

)(Ve p2m

1H 2 rA

)(V p

2m

1H 2

0 r

A es el potencial vectorial magnético y se relaciona con E así:

De la teoría de perturbaciones dependientes del tiempo:




2

0

vc1

22

20

2

cv vcω)t´EE(iexp´m

Ee ,t,ω,

t

dt w Mek k

2

vcvc

vc22

20

2

cv Me/EE

1/EEexp

m

Ee ,t,ω,

i

t iw k k

vv*cvvc u)(iexp u )(iexpr rk erk k Me

V

d

)-E-(E2Mem

Ee

td d

vc

2

vc22

20

2

w



Transiciones interbandas en sólidos d)-E-(EMe

m2

Ee

dt

dWvc

2

vc222

20

2VC

d)-E-(EMe

m

e )( vc

2

vc222

0

22´´

r

vc E E

r )E-(E

MedS

me

)(vc

2

vc222

0

22´´

2/10

2

vc

3/2

2

*

220

22´´ E-Me

m2

me8

)(

r

Problema 24 capítulo 8 Omar

)-E-(E

E-EMe

me

)( vcvc

2

vc2220

22´´

k

r

dE dS

2)()(

22

v

k E k E k g



Relaciones Kramers-Kronig

020

20

0 xx

dxu(x) P

π

x2)v(x

0

20

20 xx dxv(x)x Pπ2)u(x

│f(z)│ → 0 uniformemente cuando │z│ → ∞

f (z) = u(x,y) + i v(x,y) tiene singularidades sólo debajo del eje real

u(x) es par y v(x) es impar .

Entonces:

TEOREMA 1:




C zω

dω )(ωf

i2π

1f(z)

z

d)f( PP

iπ

1)(xf 0

0

0

xx

dx(x)v P

1)(u

x

0

0 xx

dx(x)uP

1)(v

x

0zω

dω )(ωf

C1

(z)f iπzω

dω )(ωf

PPzω

dω )(ωf

C1

Fórmula integral de Cauchy:

A través de contorno superior: ,0)(xz 0




0

0 xx

dx(x)v P

1)(u

x

0

00 00 x p

dp(p)v

xx

dx(x)v P

1)(u

x

0 0

0

0

0

0 xx

dx(x)v

xx

dx(x)v-

)x(x-

(-dx)(-x)v x- p

020

20 xx

dx(x)x v P

2)(u

x




0

0 xx

dx(x)uPP

1)(v

x

0

00 00 x p

dp(p)u

xx

dx(x)uPP

π

1)v(x

0 0

0

0 xx

dx(x)u

)x(x-

(-dx)(-x)ux- p

020

20

0 xx

dx(x)uPP

π

2x)v(x




0

22

s

ds(s)''s P

2)('

ωs(s)χ

PPiπ

1χ(ω)

)(ω'χ'i)(ωχ' )(ωχ

Demostraremos ahora que la susceptibilidad eléctrica

022 ωs

ds(s)χ' P

π2ω

)('χ'

Satisface las condiciones del teorema 1 y por lo tanto:



Relaciones Kramers-Kronig Obsérvese que si extendemos la susceptibilidad como una funcióncompleja de variable compleja, entonces χ (ω) :

4 donde

2

i- ω

220

2001,2

iγωω

1 ω)( 220

2 p

satisface las condiciones del teorema 1.

Efectivamente:

Los polos están en la parte inferior del plano complejo y son:




de E E(t) ti-0

Consideremos ahora la transformada de Fourier de la susceptibilidad:

0 tsi , e

υ

t υSen ω

0tsi 0,

G(t) t/2-

0

02

2 p

que la interpretamos como la respuesta del material a un pulso decampo eléctrico:

Hay varias maneras de evaluar la integral A, pero sólo una conduce aResultados físicamente compatibles con principio de causalidad:

,

ωiγωω

dωe ω G(t)

220

t-i2

p

… A




)(ωE)(ωχ )P(ω (t)Eχ(t) (t)P

de)ωP( P(t) tωi-

Consideremos ahora la relación entre los campos E y P y susrespectivas transformadas de Fourier:

P(t) G (t') E (t-t') d ' , donde....t

Por teorema de convolución

de)tP( )P(ω tωi

de)ω( G(t) ti-

χ

dωe)(ωE)ωχ( )P(t tωi-




dωe G(t) )(ωχ 0

tωi-

En general, las relaciones Kramers Kronig se cumplenindependientemente del modelo, para cualquier

impar ´

par deG(t) )(ωχ ti-

Efectivamente, puede verse que esta función considerada como unafunción definida en el plano complejo satisface las condiciones para elteorema 1. (La única condición que debe cumplir G(t) es que:

tcuando 0 G(t)



Relaciones Kramers-Kronig para la permitividad

En general, las relaciones Kramers Kronig se cumplen

independientemente del modelo, para cualquier

022s

ds(s)''s P

2)('

022 ωs

ds(s)' P

π

2ω )(''



Bibliografía sobre relaciones Kramers-Kronig

• Mathematics for Physicists P. Dennerysección 23.

• Introduction to Solid State Physics 5taedición, capítulo 11

• Classical Electrodynamics second editionJ.D.Jackson



Polarizabilidad dipolar vs temperatura en gases

d)f(

d)f( p p

x

x

T T BB K /Cos pE-V/K e e f

θCosE p- V . Ep

nergía potencial de un dipolo en un campo eléctrico:

romedio de la polarización en presencia de un campo E a lo largo delje X:

/

0x

/

0

Cos 2

p

2

B

B

pECos K T

pECos K T

p e sen d

e Sen d



Polarizabilidad dipolar vs temperatura en gases

x p p L u

1L u = Coth(u) - u

B

p Eu =

K T

Si u << 1 ( campo pequeño) entonces:

2

xB

p p E

3K T

2r

r 0

1 1

1 3 3e i

B

p

K T



Polarizabilidad dipolar vs temperatura en sólidos

B-2 p E / K w e

1-w

B

B

-2 p E / K

-2 p E / K ew 1 e

T

T

B-2 p E / K 1w e

2T

x p = p (1- w) - p w = p ( 1- 2w)

B-2 p E / K x p = p 1 - e T

2

dB

2 p

K T

Dos orientacionesosibles para p

i pE mucho menor que KBT



CRISTALES FERROELÉCTRICOS

on aquellos cristales en que puede existir una polarización aún enusencia de campo externo.



CRISTALES FERROELÉCTRICOSa ferroelectricidad ocurre sólo en algunos pocos materiales y porebajo de una cierta temperatura TC llamada temperatura de Curie.

Típicamente:

CC

T T , TT

CB )(r ε

r r B 5, 1000C

C

T T

Divergencia deCatastrofe de la polarización



CRISTALES FERROELÉCTRICOSAlgunos materiales ferroeléctricos:

Material TC (K) Ps en esu cm-2 a T (K)

KH2PO4 123 16000 (96)KD2PO4 213 13500 -

RbH2AsO4 147 16800 (90)

KH2AsO4 96 15000 (80)

BaTiO3 393 78000 (296)

SrTiO3 32 9000 (4)

WO3 223 -KNbO3 712 90000 (523)

PbTiO3 763 150000 (300)

Sulfato de triglicina 322 8400 (293)

Seleniato de triglicina 295 9600 (273)




r C

T C

T T

r

21

3 1

1

3

3

p

2

T K B

Asumiendo polarizabilidad dipolar:

El modelo parece conducir naturalmente al fenómeno de ferroelectricidad, pero noestá de acuerdo con los rultados experimentales: Para el agua:

2

0 B

2Np

C 9 K

2

0 B

N p

T 9 K C

debye0,62 py103

1 329 m K 1100 T C

Sin embargo el aguano es ferroeléctrica




2r 2 2

t

A( ω) n

ω ω

0u2 d 2

2

t d u

2

ω2t

2r 2

t

A( 0) n

ω

El fenómeno de ferroelectricidad se asocia con polarizabilidad iónica

El fenómeno de ferroelectricidad se asocia con polarizabilidad iónica,¿Por qué decrece ωt?



CRISTALES FERROELÉCTRICOS *

0 0

P N eE

3 3

u

2 *2*

20

d 2Ne 2 - u 2

3u

e E d t

E et d u *2

2

2u2 d

*

*2t0

2 2Neω - 3

**2 2t

0

2Neω -

3t



Cristales ferroelectricos




0Pg)PT-(Tγ 3s4s0

)T-(Tγg 02

TTgγ

P 04

2s

66

44

220 2

1Pg

21

Pg21

gPE F P g

56

342 PgPgE-0 P

F P g

2/10

2/1

4s TT

gγ

P



PROPIEDADES MAGNÉTICASDE SÓLIDOS

Física del estado sólidoFC-UNI

Noviembre 2013




Revisión de fórmulas básicas

Lμ 2m

e- m

Bμ -V m

Sme- m

μ

2m r

2

e AI

Bμτ m

B

2r ωmL Momento angularorbital

Momentomagnético

Razón giromagnética orbital: -e/2m

mμRazón giromagnética de spin: -e/m



Revisión de fórmulas básicas

Bμμ 2m

e- dt d

LmB2m e

E

τL

dt

d

BL 2m

e E z

Segunda ley de Newtonrotacional

Frecuencia de

Larmor2m

eB ωL

Magnetón deBohr

0B 0B

0l m

1-l m

1l m

2m e



Susceptibilidad Magnética

B

0B B

MB IL

N 0

1 0

IL

N 00 B

H00 B

1r

MB H 00

H00

B

M

Permeabilidad magnética del

material



as cac n e os ma er a esmagnéticos

Paramagnéticos : 0

Diamagnéticos : 0

Ferromagnéticos : 510

Al, Mn, W

Cu, Au, Hg, agua, H

Fe, Ni, Co



Diamagnetismo de Langevin

r ω2

e AI 2

0el

r ωm F 200

m2

Be -ω 0

r ωm rωBe -F 20

Momento magnético delelectrón:

r Bωe- rωm -rωm 20

2

Aproximación válidapara campospequeños v

0FLF

B

Paul Langevin

(1872–1946)



v

B

μ

L

0FLF

v

B

μ

L

0F

LF

Electrón girando en sentido horario

Electrón girando en sentidontihorario

n cualquier caso el momento magnético orbital se hace mas negativoespecto al campo B



Diamagnetismo de Langevin

B4m

r e -

22

2 prom

20 r Z N

6me

-

B6m

r e -

22

-5-202 prom

329 1010r 10, Z,10 m

Si la órbita fueraplana

Para una nube electrónicaesférica

B

Mμ

Η

M χ 0



Diamagnetismo de Langevina susceptibilidad diamagnética es más claramente observadan aquellos sólidos en que las capas atómicas estánompletamente llenas

Elemento Susceptibilidad (X 10-6)

He - 1,9

Ne - 7,6

Ar - 19,0

F - - 44,0

Cl - - 24,2

Br - - 34,5

Na+ - 6,1

K+ -14,6



Paramagnetismo: modelo clásico

B B-V/K B Cos / K f e eT T

nergía potencial de un dipolo en un campo magnético:

Promedio de la polarización en presencia de un campo B a lo largo deleje Z:

/

0z

/

0

Cos 2

2

B

B

BCos K T

BCos K T

e sen d

e Sen d

CosB- V Bμ



Paramagnetismo: modelo clásico

2

B

N μM = N = B

3K T z

z L v

1

L v = Coth(v) -v

B

m Bv =

K T

Si v << 1 ( campo pequeño) entonces:2

zB

B3K T

20

B

μ μχ =

3K TSusceptibilidad paramagnética deLangevin o ley de Curie

María Sklodowska1867-1934



Paramagnetismo: modelo cuántico

Jμ 2m

e-g

2

1 m j

Bμ g ΔE B

T K E T K E

T K E

B B

B

ee

e//

/

1 21

1

T K E T K E

T K E

B B

B

ee

e//

/

2 21

2

z j B

eE - - μ B g m B g

2m jm B

μ B

B g

2

1 -E B1

B g

2

1 E B2



Paramagnetismo: modelo cuántico

T K BT K B

T K B

B B B B

B B

ee

e//

/

1

T K BT K B

T K B

B B B B

B B

ee

e//

/

2

21B N NμgM

Tanh xμ Ng ee

ee μ NgM Bx-x

-xx

B

T K

B g

B

B

T K

g N

B

B

20

T K

N

B

efect

3

20

Fig. 9.9



Paramagnetismo

El origen atómico del magnetismo

Figura 9.10

i

iLL

SLJ

i

iSS

Jm2e-gθCosμμ prom

1 j2j

1-1ss1 j j 1g

ll



Paramagnetismo

Reglas de Hund

) El número de spin s toma su máximo valor permitido según

Pauli ) El número l toma su máximo valor permitido segúnPauli consistente con 1.

) Si la capa es menos llena que la mitad, j = | l – s |, yi la capa es mas llena que la mitad, j = | l + s |,

EJEMPLOS:

3Pr

Un electrón f

Dos

electrones f

3Ce 2

5 S-L ,3 ,

2

1 s l

l ls 1, 3, m 2, L = 5, J = L - S 4m



Paramagnetismo en Metales

T K B

B

20 N

Densidad de estados de electroneslibres (a) en ausencia y (b) enpresencia de un campo B

Bμ)(Eg 2

1 N BFef

2ef B F B B B F

1M N 2 μ g (E ) μ B 2μ μ g(E )B2

)g(Eμμ χ F2B0 p

F

p T

T

2

3 χ

En los metales, la susceptibilidad no

depende de la temperatura y susvalores son menores



Ferromagnetismo

f T-T

C

Figura 9.15Figura 9.14

Magnetización espontánea debajo de una cierta temperatura,amada temperatura de transición o temperatura de Curie.

Por encima de dicha temperatura la susceptibilidad magnéticabedece la ley de Curie - Weiss.



Ferromagnetismo de la redLa teoría del campo molecular

MλΗW

TK

MλμgμTanhμg NMB

B0B

..(A)xμgμTK

MB0

B

(B)...Tanh xμg NM B

2B0

f B

μg N

Tk



Ferromagnetismo de la redLa teoría del campo molecular explica también ley de Curie

totΗ W H H

0 B0

B

μ g μM M (H+λM)K T

f

f

T 1 M H

T- T

f T C

f

C

T- T

Tanh xμ Ng M B

T K

B g

B

B

2B0

f B

μg N

Tk

H T

T T M

f

1T1 f



Ferromagnetismo de la redEl origen físico del campo molecular

W0B2 μ μsg sJ'z

μg Nμ J'

2B0

z

2B

12 0 3

μV μ tres órdenes de magnitud menos que experimento

r

21exch . j'-V ss

r επ4

e V

0

2

exch Criterio de Slater: cuando r/2r a >1,5(r distancia interatómica y r a radio atómico) j´se hacepositivo. Es la misma fuerza entre spines que explicaprincipio de Pauli pero favorece spines paralelos.

Vexch

y j´ energía y consante de intercambio,j´ positivo

¿interacción dipolar?



Antiferromagnetismo

Fluoruro demanganeso

1nTT

C

Orden ferromagnético Orden antiferromagnético

Susceptibilidad paralela y perpendicular alcampo para el MnF2.



Antiferromagnetismo

¿Cómo se diferencia un antiferromagnético de un paramagnétco?

1. Por el comportamiento de la susceptibilidadad magnética

2. Por experimentos con difracción de neutrones



Antiferromagnetismo

Datos de materiales antiferromagnéticos

Substancia TN (K) TN1(K)

MnO 116 610FeO 198 570

CoO 291 330NiO 525 2000



Ferromagnetismo en metales

El modelo de electrones itinerantes: La figura muestra densidade estados para banda 3d. Si no hubiera campo B, la

magnetización sería cero. La interacción de intercambio produceB = HW tiende a alinear los momentos en la dirección paralela.

Bandas 3d

e acuerdo a la teoría anterior, el momento magnético de un átomo deberíaer s donde s es entero o semientero, sin embargo toma valores 2.22,.72 y 0.54 respectivamente para Fe, Co y Ni respectivamente.

Bμ




El modelo de electrones itinerantes

2B0

20W μ2μ

2

1Mμ

2

1MΗμ

2

1 MB

2

1

F

2B0 Eg

2 μλμ2

nergía que pierde un electrón cuando su momento magnético rota 1800

Energía cinética que un electrón gana por encima del nivel de Fermi?

FEg

2 E respuesta

E n FEg

2

1

Condición para que los electrones de la BC produzcan ferromagnetismo:




Densidad de estados en las bandas 3d y 4s del níquel

(EF) produce ferromagnetismo porque cuando g(EF) esrande acomoda más electrones en un rango pequeño

e energía



Dominios FerromagnéticosEn su estado natural los materiales ferromagnéticosestán usualmente desmagnetizados

Weiss postuló que el cristal está subdividido en un granúmero de dominios y cada dominio sí está magnetizado

os dominios se pueden ver en un microscopio, puliendoien la muestra y colocando un polvo fino ferromagnéticoobre la superficie

os dominios se forman para minimizar la energía totalonstituida por cuatro contribuciones:

nergía magnetostática, energía de intercambio en las paredes de Bloch,nergía magnética anisotrópica y energía de magnetostricción.



Dominios Ferromagnéticos

Los cuatro tipos de energía

a energía magnetostática disminuye cuandon dominio grande se divide en 2 porque hay unctor de desmagnetización pequeño paraeometrías alargadas.

La interacción de intercambio hace quecuando un spin rote 1800 para formaruna pared se consuma energía. Estolimita el número de dominios.




Los cuatro tipos de energía

El efecto de la energía de anisotropía es

reducir el espesor de la pared porque cuandomás gruesa es la pared, más spines apuntan

en la dirección díficil

Pequeños dominios en

los bordes relacionados A la energía deMagnetostriccion.




Figura 9.24: Observación de los dominios ferromagnéticos conayuda de un microscopio óptico




El Proceso demagnetización

En cada ciclo se pierde energía igualal área de la curva de histéresis:

Figura 9.29




Disposición experimental para observar la curva dehistéresis



SUPERCONDUCTIVIDAD

CAPÍTULO 12FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO

FC UNIDiciembre 2013




RESISTENCIA ELÉCTRICA CERO

eike Kamerlingh Onnes

aboratorio Leiden, HolandaEstudió en Alemania, susrofesores: Bunsen yirchhoff]

En un material superconductor la resistencia eléctrica es nula.Esto generalmente ocurre por debajo de una temperaturacrítica Tc . Por encima de esta temperatura el material es un

metal normal.

Se han observado corrientes que persisten varios años. R = 0 , R = 10-25 ohm.



RESISTENCIA ELÉCTRICA CEROEn los metales existe una resistividad eléctrica residual atribuida alos choques de los electrones con las impurezas

Los gráficos muestran la comparación del comportamiento de laResistividad eléctrica en un metal y en un superconductor.



a forma como se produce la transición de metal a superconductorepende de la concentración de impurezas. En un metal puro laransición es abrupta.



OCURRENCIA DE LA SUPERCONDUCTIVIDAD



DIAMAGNETISMO PERFECTO OEFECTO MEISSNER

Observación hecha en Berlín en 1933 por dos físicos alemanes

Walther Meissner y Robert Ochsenfeld.

n una serie de experimentos con cilindros superconductores,emostraron que por debajo de Tc , el flujo magnético es súbita yompletamente expulsado.

MHB 0

HB 10

HM

1

l campo B dentro de un cuerpo en estado superconductor es cero.



DIAMAGNETISMO PERFECTO OEFECTO MEISSNER

l efecto Meissner-Ochsenfeld podría ser la base de un tren de levitación magnética.

Diamagnetismo perfecto significa también que el superconductor repele

cualquier imán.



CAMPO MAGNETICO EN UNAESFERA PARAMAGNÉTICA



Blindaje magnético



EFECTO ISOTÓPICO

Ha sido observado que la temperatura crítica de los superconductoresaría con la masa isotópica. Las primeras observaciones fueron hechas

por Maxwell y Reynolds (1950-51). En mercurio Tc varía de 4,185 a,146 K cuando la masa atómica media varía de 199,5 a 203,4.

constantecT



EFECTO ISOTÓPICO



CAMPO CRÌTICOoco después que Onnes descubrió la superconductividad, se descubrió

ambién que la superconductividad puede ser destruida por el efecto de unampo magnético. Si un campo magnético suficientemente fuerte,

amado campo crítico es aplicado a una muestra superconductora, ellauelve a ser normal y recobra su resistividad, aun a T menor que Tc.

2

1)0()(c

ccT

T T HH



CAMPO CRÌTICO

Tabla

Algunos valores de campo crítico para algunos superconductores



Superconductores tipo I y tipo II



TERMODINÁMICA DE LA TRANSICIÓNSUPERCONDUCTORA

n esta sección tratamos de unificar las observaciones anteriores.El pico de CV en T = Tc indica un apreciable incremento de la entropía(desorden) cuando T aumenta hacia Tc y la transición hacia el estadonormal es inminente. El estado superconductor tiene un orden mayor queel estado normal. cT T be /

V aC El comportamiento exponencial implica la presencia de un gap de energía en el espectrode los electrones. Este gap que está justo en el Nivel de Fermi previene a los electrones de serRápidamente excitados.

eT c4

B 10k




a densidad de estados g(E) vs E para un superconductor, ilustrando el gauperconductor en el nivel de Fermi. Está magnificado.

e E F 0001,0/




A N EEΔE

cc H H

dH H BdM 0

0

0

)(ΔE

2

02

1

ΔE c H

)0(21

ΔE 20 c H A 0K:

33 /10ΔE m J Si Hc(0) = 500 gauss,

energía de condensación, equivalente a calor latente de cambiode estadoΔE




y,,HRe C E T entrelación C

F

c B

E

T k n2

ΔE

)0(21

ΔE 20 c H

c

F

Bc T

E nk

2/1

0

2

2)0(

H

F

c B

E

T k nef n

GaussT c 10001,0)0( H

,10,5,5 3290 mneV E K T F c

)0(21

ΔE 20 c H



EL MODELO DE DOS FLUIDOS

Los electrones de conducción en una sustancia superconductora son dedos clases: superelectrones y electrones normales. Los superelectronestienen algunas propiedades especiales: no chocan, tienen entropía cero,

(orden perfecto) y una gran longitud de coherencia (104 Å). El númerode electrones depende de la temperatura. En 1934, Gorter y Casimirencontraron que la concentración de los superelectrones debe estardada por:

4

s 1cT

T nn

A 0K todos los electronesson superelectrones perocuando T aumenta, lossuperelectrones decrecen ennúmero y a T= Tc, todos son

electrones normales.



EL MODELO DE DOS FLUIDOSl modelo de dos fluidos explica la resistencia cero del superconductor.ara T menor que Tc, algunos superelectrones están presentes y puestoue tienen resistencia cero, cortocircuitan a los electrones normales.

El modelo puede relacionarse al concepto de gap. Todos loselectrones debajo del gap están congelados en su estado demovimiento. Aquellos encima del gap son electrones normales. Elgap decrece cuando la temperatura aumenta y desaparece a T = Tc.Cuando T tiende a Tc y el gap desaparece, todos los electrones sehacen normales.



ELECTRODINÁMICA DE SUPERCONDUCTORES

εed

m dtvs ss ven s J εJ

m

en

dt

d s s

2

0ε

n el estado estacionario, el campo eléctrico dentro de un superconductoresaparece. La caída de voltaje a través de un superconductor es cero.ntonces, de acuerdo con la ley de Faraday:

00 dt

d Bε

En estado estacionario el campo magnético dentro del superconductores constante, en contradicción con el efecto Meissner. Este formalismorequiere una modificación:

s J e

sn

ma

dt s

dJ

e sn

m

dt

d e

22BB

εJ

m

en

dt

d s s

2



ELECTRODINÁMICA DESUPERCONDUCTORES

s

J

e sn

m

2

B Ecuación de London

sJB0

BBm

en s

202

Ley de Ampere

F y H London



ELECTRODINÁMICA DESUPERCONDUCTORES

BBm

en s

202

y s y

m

en

xB

B 20

2

2

/0 xe y y

BB

2/1

20

en

m

s

Profundidad de penetración de London




Cálculos a mano alzada muestran que lo cual seerifica experimentalmente

A500

Otra confirmación impresionante es la variación de con la temperatura.

4

s 1cT

T nn

2/1

20

en

m

s y

2/1

4

4

10

cT

T

2/1

20

0

en

mcon




/0

2/1

0

2

xe s xm

e

s

n

y x Z

JBJ

Una tercera conclusión de la teoría de London es la existencia de unaorriente eléctrica fluyendo cerca de la superficie.

/0 xe y y

BB s J e

sn

m 2By Entonces:

El efecto Meissner está acompañado de una corriente superficial.



LA TEORÍA BCSDos electrones dentro de la esfera de Fermi se repelen entre sí por lanteracción coulombiana. Esta fuerza de Coulomb es reducidaustancialmente por el apantallamiento debido al resto de electrones en

a esfera de Fermi. Es más, es posible una fuerza atractiva entre doslectrones, lo cual permite que dos electrones se atraigan entre sí yormen una especie de molécula: el par de Cooper . La energía de enlacees más fuerte cuando los electrones tienen k opuestos y spines opuestos



LA TEORÍA BCS

uponer que dos electrones 1 y 2 pasan uno cerca del otro como semuestra en la figura. Debido a su carga negativa el electrón 1 atrae ionesositivos de modo que el electrón 2 ve un electrón apantallado por losones. El apantallamiento reduce la carga efectiva del electrón. Si estoucede el electrón 2 será atraído hacia el 1.



LA TEORÍA BCS

e dice que el electrón 1 es rodeado por una nube de fonones y quentre los dos electrones hay una interacción atractiva por intercambio de

onones. El electrón 1 emite un fonón que es rápidamente absorbido porl electrón 2.



LA TEORÍA BCS

2/ ´4

0

F

D

g E V e

a teoría muestra que el gap de energía a temperatura cero está dado por:

Donde es la frecuencia de Debye, g(EF) es la densidad de estados paral metal normal en el nivel de Fermi, y V´es la intensidad de lanteracción electrón-fonón.

D

Los estados en el rango de energía

Son ahora prohibidos y la funcióndensidad de estados experimentadeformaciones como se muestra en lafigura.

0 01 1,2 2 F F E E



LA TEORÍA BCSa teoría BCS muestra que la temperatura crítica está dada por:

0 3,52 B ck T a tabla muestra algunos resultados experimentales:



TUNELAJE NORMAL

Al cero absoluto no puede fluir corriente hasta que se aplique un voltaje

ee

g E

V 20

2

l gap es la energía necesaria para que un par de Cooper se disocie endos electrones, o un electrón y un hueco en el estado normal.

0



superconductor superconductor

EFECTO JOSEPHSON DC

21

T

t

i 1

2

T

t

i

212211 y ii enen

)( 1200 Sen J Sen J



superconductor superconductor

EFECTO JOSEPHSON AC

121

eV T t

i 212

eV T

t i

./2)0()( eVt t

/200 eVt Sen J

eV 2

Cuando un voltaje dc es aplicado a través de la unión, se obtendrá unaorriente alterna.



SQUID: Superconducting quantum interference device



) La producción de grandes campos magnéticos. Al decir grandes noseferimos tanto a una gran intensidad del campo magnético como alspacio en el cual se crea el campo.) La fabricación de cables de transmisión de energía. Aunque éstos yae manufacturan a partir de los superconductores convencionales (no de

os nuevos superconductores cerámicos), actualmente no sonompetitivos comercialmente con respecto a los cables aéreos normales,menos de que cubran una gran distancia (de cientos de kilómetros). En

os casos en que las líneas de transmisión deben ser subterráneas, habríaierta ventaja económica con la utilización de los cablesuperconductores.

) La fabricación de componentes circuitos electrónicos. Estosispositivos electrónicos fueron ideados originalmente con la intencióne utilizar la transición de estado normal a estado superconductor comon interruptor, mas resultaron decepcionantes con respecto a los logroslcanzados por los transistores de películas delgadas y se ha abandonadou uso en este aspecto



EL ESTADO FUNDAMENTAL SUPERCONDUCTOR

,,,,

,,,2112

21

)()(Hk k K k K k

K k k

k k

k

aaaa K U aak

enemos N electrones, cuya energía es principalmente cinética, en estadosndicados por el vector de onda k y el spin σ, y que interaccionan a travésel potencial U(K )

l primer término representa la energía cinética de los electrones medidaartir del nivel de Fermi.l segundo término representa la interacción entre electrones a través deos fonones.




,,,,

,,,2112

21

)()(Hk k K k K k

K k k

k k

k

aaaa K U aak

v ,v

v ,v

k k k k k k k k k k

k k k k k k k k k k

aaubaaub

aaubaaub

k k k k SenCosu v,0v22

k k u

k k K k K k

K k

k k k k

k

K k K k k k

K k

k

k

bbu K U uuk

uu K U k

v)(vv2

vv)(v)(2H

,

22

,

2

ransformaciones de Bogoliubov: tienen en cuenta propiedades de

mparejamiento




k k K k K k

K k

k k k k

k

K k K k k k

K k

k

k

bbu K U uuk

uu K U k

v)(vv2

vv)(v)(2

,

22

,

2

0v)(vv2 22 K k K k

K

k k k k u K U uuk

0v22 k k u

w

w

k K k uU v0




k

k

k

k u

k

k

220

2

220

2

121

v

121

0

220

2)(

21

)(211

wnU E g

k U

F

w

w



EL ESTADO FUNDAMENTALSUPERCONDUCTOR

.)(21

22/122

020

00

k

k k

El estado fundamental es un auto estado de H con una energía más bajaque la de una esfera de Fermi llena de electrones.




22

22 x

C

m

ph

0 m

p x

C Q

0

2202

Q P h

1,1

,0

p xm

C P Q




12 22 Q P

P iQ P iQ 2,2

21

2 0220

hQ P h

12 22 Q P

1222 Q




,22

22

xC

m

ph

21

,2 0

220 N hQ P h

1

N N

n

1 n

1-n propiovalorel para Nde propiafunción

0




N

n

1

1 nn cte

11 nn n

0!

1

n

nn




0 m

p x

C Q

0

P iQ P iQ 2,2

20 mC

pm

i xm

pm

i xm

0

0

0

0

2

1

2,

2

1

2

22

22 x

C

m

ph

´)(´)()(21

)(21

´,

2 Ru R R D Ru R P

M R R R




´)(´)()(21

)(21

´,

2 Ru R R D Ru R P

M R R R

R

R .k k R Pu

k k e )(

2

1)(

2

)( )(

N

1 s

k mi R

me

s

si

s

R

R .k

R Puk

k ek )(2

1)(2

)( )( N

1 s k mi R

me

s

si

s

s

s s s

, 21

k k k k




0´),(´),(

´),( ´

R P R P Ru Ru

i R P Ru RR

crecíprocaredladevectores ,

recíprocaredladevectoresno,0.

k

k

R

R k

N ei

0,,

,

´´´´,

´´´´,

,

s s s

sskk s s

s

i

k k k

k k

k




R k k k

k

k e

k

u .,

, )(2

1 i

s s s

s s

e

m N

R

R k

k k k

k eR P .,

, 2i

s s s

s

s ek m

N

i

3

1 s

s s k ek e

0,0. Rei

k

R k




s s s

s

s

R s

R P M

k k k k

k k

,

2 )(41

)(21

s s s s

s

sU k k k k

k

k ,

)(41

s

s s s

, 21

k k k k




Supongamos que mandamos un haz de electrones rápidos a través delcristal, la interacción del potencial periódico con los electrones originatransiciones entre estados electrónicos. En la aproximación de Bohr, enteoría de perturbaciones, la probabilidad de transición por unidad detiempo entre el estado inicial y el estado final es proporcional alcuadrado del elemento de matriz:

k ψ k´ψ



ie

rg

ggr .)U( ieV




d eeV e ii

g

i

k k

rk rg

g

rk ..´.´

d eV i

g k k

rk gk

g

.´´

contrariocasoen,0

0´- si ,´

k gk g

k k

V




)()U(

R rr aV

d eV e i

a

i

k k

rk rk R r ..´

d V e a

i

k k R rrk k .´

´

d V ee a

ii

k k R rR rk k R k k ).(´.´´




R K K .

´

1)( i

ak k e N

V

k k K ´

d eV V

V i

a

c

a rK rK .)(1)(

3

33

2

22

1

11

1

1

1

1

1

1.

iK

LiK

iK

LiK

iK

LiK i

e

e

e

e

e

ee

R K

gk k g ´,´ )( ak k V

gK R K

,.

N e i

Si la red está fija, es decir, si no hay vibraciones:




)(´ ..

q

q

q AAR uR R ii

q eeq

q

i

q

i

q

i

red eei N

e N

R qR qR K AAR K ..´. exp11

R qq

R qq

q

R K R K AAK ...´. exp11 iiii eeie

N e

N

...1exp .... R q

qR q

qR q

qR q

q AAK AAK iiii eeieei

Aquí mostramos los pasos para calcular el factor de red en un experimentde difracción cuando sí consideramos las vibraciones de la red

q

R qR K AK

.. exp11 i

q

i

red eie N




k k Ak k g gk k ´´)( ´,´ aqak k V iV

R K q

q

R K AK .. exp11 i

q

i

red ei N

e N

R K q

q

R K AK .. exp11 i

q

i

red ei N

e N

Si hablamos de la difracción de electrones por las vibraciones de la red,Tenemos que considerar sólo:

k k Ak k ´´´ aqk k V iq

q

q

q

q Nm

n

Nm

E

21

2

2A



Interacción electrón – electrón via un fonón

q

K k k K k k

K k k K k K k

k )k (´,´, ´´,,

E E

M M U

22

2

,

k )k (

2

q

K k k

K K

E E

M U

q

k

k -K k ́+K

k ́k

k -K k ́+K

k ́

q-q

ara el primer proceso

ara ambos procesos:



Interacción electrón – electrón via un fonón

22

2

,

k )k (

2

q

K k k

K K

E E

M U

q

q E E )()( :intervaloel Para K k k

q

K k k K

2

,2 M

U

k k Ak k ´´´ aqk k V i

q

aam N

K V V M

2

22222

,

K AK K qK k k



FÍSICA DE SEMICONDUCTORES

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOFC-UNI

Diciembre 2013

ARTURO TALLEDODOCTOR EN FÍSICA



La Distribución Maxwell Boltzmann(*) • Dado un sistema de N partículas como las moléculas de un gas en un

recipiente, el número de partículas en un nivel de energía Ei, condegeneración gi es:

T/K E-i BiegA N i

donde A es una constante de normalización y K B es la constante de BoltzmannSi la densidad de estados es g(E), entonces:

dEg(E)eA N T-E/K B

dEg(E)eEA E T-E/K Btotal

Número total de partículas

nergía total del sistema de partículas

s válida para N partículas distinguibles que no obedecen principio de exclusión deauli

(*) Ver: Solid -State and Semiconductor Physics por J.P. McKelvey



Estadística Fermi Dirac• La probabilidad de que un estado de energía E sea ocupado por un

electrón a una temperatura T es:

1e1

(E)f Tμ)/K -(E B

donde es el potencial químico (depende de cada material) y K B la constanteuniversal de Boltzmann.

μ

Si la densidad de estados es g(E), entonces:

dEg(E)f(E) NNúmero total de partículas nergía total del sistema de partículas

Es válida para N partículas indistinguibles que obedecen principio de exclusión dePauli

dEg(E)f(E)E Etotal



Estadística Fermi Dirac

f (E)



CONCEPTO DE HUECO

Ee Eh

Ke Kh

Eh (kh)

Ee(ke)

ke

kh

eh k )k (E)k (E eehh h h e e(k ) (k )v v e

*

eh

* k m)k (m h



CONCEPTO DE HUECO

dtd

dtd

εk k

eeh

ε

Ee Eh

ke

kh

La carga eléctrica del hueco es positiva



Conductores, semicondutores y aislantes

BV

Conductores semicondutores aislantes

gapgap

BV

BC

BC

BV

E




(a) aislantes, (b) metal o semimetal, (c) metal




*h

22

v 2mk

)k (E

*e

22

gc 2mk

E)k (E

2/1g

3/2

2e

2e EE2m

2π

1 (E)g

2/13/2

2e

2h E2m

2π1

(E)g




C2

C1

E

E

dEg(E)(E)f n

0

-

hh dE(E)g(E)f p




1/21/ 2

0 2 x x e dx

dEeEEe2m

2π

1n

g

BBF

E

TE/K 2/1

g

T/K E3/2

2

e

2

T/K ET/K E3/2

2Be BgBF ee

π2Tk m

2n




0

-

hh dE(E)g(E)f p

TE/K T/K E

TE)/K (ET/K E-EhBBF

BFBFee

1e1

1e1

-1 (E)f 1f

2/1

3/2

2e

2h E2m

2π1

(E)g

T/K E-3/2

2Be BFe

π2Tk m

2 p




pn

e

hBgF m

mLnTK

43

E21

E

T/2K E3/4he

3/2

2B

iBgemm

π2Tk

2 n

1/T




r εε4πeV(r)

0r

2

2

0

40

0

e2r

d )ε2(4πem-

mm

ε1

E

0,01eVEd

2,0mm

, 01ε0

er




Ordenes de magnitud:

2

0

40

0

h2r

a )ε2(4πem-

mm

ε1

E

eV0,01Ea




2in pn

T/K E3/2he

3

2B Bgemm

π2

Tk 4 pn

d

2i

d N

n

p Nn

emiconductores extrínsecos tipo n

emiconductores extrínsecos tipo p

2i

aa

n p N n

N



DIFUSIÓN DE PORTADORES EN SEMICONDUCTORES

Difusión bajo diferentes circunstancias: (a) un pulso de concentraciónvs x en t = 0. Las flechas indican corrientes de partículas. (b) Elnsanchamiento del pulso debido a la difusión en tres instantes sucesivos.

c) Un pulso de electrones difundiéndose y trasladándose en un campoléctrico. (d) La desaparición del pulso debido a la recombinación.



DIFUSIÓN DE PORTADORES EN SEMICONDUCTORES

Ley de Fick : Para una concentración no uniforme , la corriente deartículas J´(número de partículas por unidad de área y por unidad deempo) está dado por:

x

n D

´

onde D es llamada la constante de difusión. Esta ley establece que laorriente es proporcional al gradiente de concentración.

n el caso de semiconductores el flujo por difusión de electrones y huecosmplica corrientes eléctricas:

x

neDee

x

peDhh

Usando mecánica estadística se puede demostrar que:e

T k B



La ecuación de difusión para un tipo de portador.

E e p

x

p De

Por ecuación de continuidad:

E p x x

p D

x

J

et

p

flujo

2

21

´0

p p

t

p

iónrecombinac

No todos los portadores fluyen, algunos se recombinan:

iónrecombinac flujo t

p

t

p

t

p

´0

2

2

p p E p

x x

p D

t

p

Esta es la ecuación de difusión.



Solución en dos casos

1) Solución estacionaria para campo igual acero.

0´0

2

2

p p

x

p

2/1/01 ´, p- p p D L Ae D

L x D

2) Solución estacionaria para campo diferente de cero.

0211

21

2

D L

p

x

p

D

E

x

p

D

EL s s s Ae D L x D

2,1, p- p 2/

01



Grafico de las dos soluciones



pr0nr0 J J pr0nr0 J J

ng0nr0 J J pg0 pr0 J J

p n p n

C C

a

d

UNION p-n: Propiedad de rectificación



Unión p-n




)/0

0()( T K eV

ng ng nr n BeeJ J J e I

)1()( /0

0 T K eV

pg pg pr p BeeJ J J e

K eV Be /nr0nr0

0J J

ng0ng J J )1()( /

000 T K eV

pg ng pnn Be J J e I I

)1()( /

0

0 T K eV

ng ng nr n

BeeJ J J e

)1(I I /0

0 T K eV Be



)-(1I I /0

0 T K eV Be




)-(1I I /0

0 T K eV Be )1(I I /0

0 T K eV Be

)-(1I I /0

0 T K eV Be

)1(I I /0

0 T K eV Be)-(1I I /0

0 T K eV Be




Unión p-n: Cálculo de I0: corriente de saturación

pg0ng00 JJI e

0, p p-(x) p(x) p /

0n1n0nn1

xe p L x

x

- El campo eléctrico está concentradoen la unión misma.

- Discutimos primero la polarización positiva.La barrera de potencial es reducida por eV0.Huecos son inyectados desde región p dondeson mayoritarios a región n donde sonminoritarios.

- El exceso de concentración de huecos enla región está dado por:

es el valor de la concentración en equilibrio. pn0



Unión p-n: Cálculo de I0

a corriente es debida a la inyección y subsecuente difusión de portadores minoritarios

k eV n xn

Be p p /00

0

La barrera de potencial es reducida por eV0:

1/001

0

T k eV

n xn Be p p

0,1 //01 0

xee p x p B L xT k eV nn

x

p D

x

p D

n

pn

pn p

1



Unión p-n: Cálculo de I0

p

n p

n

pn

L

p D

L

n Dee

00 pg0ng00 JJI

p B L xT k eV

p

n p xn p ee

L p De I //0

0 10

p B L xT k eV

n

pn

p

n p

xn p ee L

n De

L

p Dee I

//00

010

00

20 )(I

n p

p

pn

ni

n L

D

p L

DT ne



Unión p-n: Cálculo del potencial de contacto

T/K ET/K E3/2

2Be BgBF ee

π2Tk m

2n

T/K EE

n0BFcn

e n

cU

T/K EE p0

BFcpe n cU

TK /

p0

n0 B0e nn e

EF

2

i

0n0B0 n

nLn

Tk p p

e

2

i

B0 n

NLn

Tk ad N

e

3,00 Para germanio con Nd = Na = 1016 cm-3



EL ANCHO DE LA UNIÓN Y EL CAMPO ELÉCTRICO

x N xn x N x pe x ad

)(

2

2

x

dx

d

n2

2

wx0 ,

d n eN

dx

d

0xw- , p2

2

a p eN

dx

d

(1) El campo es cero fuera de la unión(2) El campo es continuo en el punto x = 0 (el centro de la unión)(3) El potencial es continuo en x = 0 y lo escogemos igual a cero.(4) La deiferencia de potencial entre los bordes de la unión es 0

Aproximación: No hay portadores



EL ANCHO DE LA UNIÓN Y EL CAMPO ELÉCTRICO

2/10 /2 e N N N N w ad d an

a pd n N w N w

w02

)0(

2/10 /2 e N N N N w ad ad p

2/1

0 112

d a

pn N N e

www

El campo en x = 0



El transistor




Primera edición digital

Noviembre, 2015

Lima - Perú

© Arturo Talledo

PROYECTO LIBRO DIGITAL

PLD 2918

Editor: Víctor López Guzmán

http://www.guzlop-editoras.com/[email protected]/guzlop

twitter.com/guzlopster731 2457 - 959 552 765Lima - Perú

curso física estado sólido

Documents