química física del estado sólido: el gas de electrones libres
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a d e M a d r i d
n o m
a d e M a d r i d
Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
El gas de electrones libresEl gas de electrones libres
Luis SeijoLuis Seijo
Departamento de Química
Universidad Autónoma de [email protected]
http://www.uam.es/luis.seijo
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ContenidosContenidos
•• El gas de electrones libres monodimensionalEl gas de electrones libres monodimensional
–– EnergEnergíía de Fermi; densidad de estados; energa de Fermi; densidad de estados; energíía totala total
•• El gas de electrones libres tridimensionalEl gas de electrones libres tridimensional
•• Efecto de la temperatura: DistribuciEfecto de la temperatura: Distribucióón de Fermin de Fermi--DiracDirac
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BibliografBibliografííaa
• The Physical Chemistry of Solids, R. J. Borg and G. J. Dienes, (Academic Press, San Diego, 1992).
• Solid State Physics, N. W. Ashcroft and N. David Mermin, (Thomson Learning, 1976). [Caps. 2, 4, 5, 8 y 9]
• Electronic Structure of Materials, A. P. Sutton, (Clarendon Press, Oxford, 1993).
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Metales
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• Enlace metálico específico de fases condensadas.Tradicionalmente, es tratado muy superficialmente desde la química.
• Un punto de vista químico:• Extensión de la teoría de orbitales moleculares: gran abundancia de
MOs; agrupación en bandasInsuficiente; muchas custiones por contestar.
• Un punto de vista físico:
• Teoría de Bandas– no aporta una explicación simple de las fuerzas de cohesión entre los
átomos de un metal
– es la base de la comprensión de conductividad y magnetismo
– cálculos (ab initio o semiempíricos) “caso a caso”; estructurales; energéticos; propiedades estáticas y dinámicas; usado masivamente
• La pérdida de la periodicidad cristalina no juega un papeldeterminante en el enlace metálico
– ductilidad; entalpías de fusión pequeñas (5-10 kcal/mol)
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El gas de El gas de electroneselectrones libreslibres monodimensional: monodimensional: El El modelomodelo
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x0 L
eN electrones
Distribución monodimensional de electrones libres (*) con una densidad electrónica , de Ne electrones por segmento de longitud L.
(*) Cada electrón se muevesometido al potencial creadopor todos los demás y se acepta que éste es el mismopara todos los electrones y en cualquier punto del espacio disponible paratodos los electrones.
)()(2
2
22
xxxm
xxx ψεψ =∂
∂−�
[condiciones de contornoperiódicas (Born-von Karman)])()( xLx xx ψψ =+
Atención: éstas NO son las condiciones de periodicidad naturalesdel cristal; sólo son condiciones de contorno “razonables”
equivalen a construir una“macrored” de periodicidad L
ed
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El gas de El gas de electroneselectrones libreslibres monodimensional: monodimensional: NivelesNiveles permitidospermitidos
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⇒c.c.
;)(xki
kxx
xeNx =ψ ;
2)(
2
2
xx km
k�
=ε
xkiLkixki xxx eee = ⇒ 1=Lki xe1cos =Lkx
0sen =Lkx
⇒
πππ 2,4,2,0 xx nLk =±±= �
( )�,2,1,0 ±±=xnL
nk xx
π2=
Niveles permitidos
xk0L
π21
L
π22
L
π23
L
π21−
L
π22−
Lπ2
;si0 xx
xkixkikkee xx ′≠=
′
[ ] 1−= Lkx
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El gas de El gas de electroneselectrones libreslibres monodimensional: monodimensional: NivelesNiveles ocupadosocupados a T=0a T=0
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eN es muy grande (del orden de )2310
Principio de Pauli ⇒ máximo de 2 electrones / nivel electrónico ocupado
Último nivel ocupado (nivel de Fermi):
22
2,,
πππe
eFxFx d
L
N
Lnk ===
( ) ;212, eFx Nn =+ ;24
, eeFx NNn ≅−=4
,
eFx
Nn =
Energía de los niveles ocupados: 2
2
22
2
222
2
2
4
22)( xxxx n
mL
hn
Lmk
mk ===
πε
��
( )4,,2,1,0 ex Nn ±±±= �
–distribución quasi-continua de niveles
muy grande
–el nivel 0 se suele omitir2
22
8eF d
m
πε
�=
Energía de Fermi:
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El gas de El gas de electroneselectrones libreslibres monodimensional: monodimensional: NivelesNiveles
8
xk
22
2)( xx k
mk
�=ε
niveles ocupados
niveles vacíos
2
π
L
Ne+2
π
L
Ne−
Energía de Fermi
1ª (macro) zonade Brillouin
(de la “macrored”de periodicidad L) L
Ne π2
4+
L
Ne π2
4−
Fε
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El gas de El gas de electroneselectrones libreslibres monodimensional: monodimensional: DensidadDensidad de de estadosestados
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εε dD )(
Número de estados cuya energía está comprendida entre y ε εε d+
Número de estados cuyo vector de onda está comprendida entre y xk xx dkk +
xx dkkD )(
2
2
2xk
m
�=ε→xk
xx dkkm
d2�
=ε→xdk
( )xdk
m
m2/1
2 ε�=
estadounidades de longituddel eje
xkLπ2
1
π2
L==)( xkD
( )ε
εππd
m
mLdk
Lx 2/1
222 �= ε
επd
mL2/12/3
2/11
2�=
2/12/3
2/11
2)(
επε�
mLD =
ε
)(εD
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El gas de El gas de electroneselectrones libreslibres: : EnergEnergííaa totaltotal
10
∫=F
dDET
ε
εεε0
)(2
∫=F
dmL
ET
ε
εεεπ 0 2/12/1
2/11
2�
2/3
2/1
2/1
3
2
2F
mLε
π�=
EnergEnergííaa media media porpor electrelectróónn
2
22
48e
e
T dmN
E π�=
2
4
22
23eedN
m⋅=
π�
Fε6
1=
222
8eF d
m
πε
�=
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El gas de El gas de electroneselectrones libreslibres tridimensionaltridimensional
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Distribución tridimensional de electrones libres (*) con una densidad electrónica, de, de Ne electrones en un volumen V.
)()(ˆ2
2
2
rrm
���ψεψ =∇−
[condiciones de contorno periódicas(Born-von Karman)]
),,(),,( zyxzyLx ψψ =+L
L
L
),,(),,( zyxzLyx ψψ =+),,(),,( zyxLzyx ψψ =+
;)(rki
keCr
��
��
=ψ 2
2
2)( k
mk
��=ε
( )�,2,1,0 ±±=xnL
nk xx
π2=
( )�,2,1,0 ±±=ynL
nk yy
π2=
( )�,2,1,0 ±±=znL
nk zz
π2=
( );,, zyx kkkk ≡�
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El gas de El gas de electroneselectrones libreslibres tridimensionaltridimensional
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xk
yk
L
π2Número de estados permitidos porunidad de volumen del espacio :k
�
( ) 3382
1
ππ
V
L=
Número de estados permitidos en unaesfera del espacio de radio :k
�
3
2
3
363
4
8FF k
Vk
V
ππ
π=
xk
yk
Fk
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El gas de El gas de electroneselectrones libreslibres tridimensionaltridimensional
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eF NkV
=3
26
2π
Último nivel ocupado a T=0 (nivel de Fermi):
;3
2
3
πFe k
V
N= 23
3πeF dk = (vector de onda de Fermi)
Esfera de Fermi: Esfera del espacio que contiene todos los estadosocupados a T=0 en el gas de electrones libres.
k�
Superficie de Fermi: Superficie del espacio que contiene todos los estados ocupadosa T=0 en un cristal dado; en general no es una superficie esférica.
k�
Energía de Fermi: Energía del último nivel ocupado a T=03/23/22
22
2
)3(22
eFF dm
km
πε��
==
Momento (lineal) de Fermi: �FF kp =
Velocidad de Fermi: mkmp FFF �==v
Temperatura de Fermi: FBF Tk=ε
Constituida por todos lospuntos del espacio quetienen energía
k�
Fε
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El gas de El gas de electroneselectrones libreslibres tridimensionaltridimensional: : DensidadDensidad de de estadosestados
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dkkD )(
Número de estados cuyo vector de onda tiene un módulo comprendida entre y k dkk +
estados por unidad de volumen del espacio k
� volumen del espacio k�
comprendido entre yk dkk +
dkkV 2
34
8π
π=
;2
2
2
km
�=ε
εε dD )( dkkV 2
34
8π
π=
dkkm
d2�
=ε
( )ε
επ
πd
mmV2
2/1
3
24
8 ��= εε
πd
mV 2/1
2/123
2/3
2�=
2/1
2/123
2/3
2)( ε
πε�
mVD =
ε
)(εD
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El gas de El gas de electroneselectrones libreslibres tridimensionaltridimensional: : EnergEnergííaa total y total y otrasotras propiedadespropiedades
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∫=F
dDET
ε
εεε0
)(2
2/5
23
2/32/3
5
2FT
mVE ε
π�= 3/2
3/53/42
10
3ee dN
m
π�=
3/23/222
)3(2
eF dm
πε�
=
3/23/53/42
10
3e
e
T dmN
E π�=
Fε5
3=Energía media por electrón:
Variación de la energía de Fermi con el volumen: VV
FF
3
2εε−=
∂
∂
Presión (interna) debida al gas de electrones: V
EP T
3
2=
Módulo de compresibilidad del gas de electrones: V
EB T
9
10=
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EfectosEfectos de la de la temperaturatemperatura::DistribuciDistribucióónn de Fermide Fermi--DiracDirac
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Dado un conjunto de Ne electrones en equilibrio térmico a la temperatura T,la probabilidad de que haya un electrón ocupando el nivel de energía iεviene dada por:
1
1)(
)( +=≡
− TkiiBFie
ppεε
ε
Número total de electrones: ∑=i
ie pN 2
si la energía de los nivelesvaría de forma quasi-continua
εεε dDp∫+∞
∞−= )()(2
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EfectosEfectos de la de la temperaturatemperatura::DistribuciDistribucióónn de Fermide Fermi--DiracDirac
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EfectosEfectos de la de la temperaturatemperatura::DistribuciDistribucióónn de Fermide Fermi--DiracDirac
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EfectosEfectos de la de la temperaturatemperatura::DistribuciDistribucióónn de Fermide Fermi--DiracDirac
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EfectosEfectos de la de la temperaturatemperatura::DistribuciDistribucióónn de Fermide Fermi--DiracDirac
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EfectosEfectos de la de la temperaturatemperatura::DistribuciDistribucióónn de Fermide Fermi--DiracDirac
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EfectosEfectos de la de la temperaturatemperatura::DistribuciDistribucióónn de Fermide Fermi--DiracDirac
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PropiedadesPropiedades ttéérmicasrmicas del gas de del gas de electroneselectrones libreslibres
23
Número total de electrones
εε
π εεd
e
mVTkBF∫
∞+
−+
=0 )(
2/1
2/123
2/3
12
2�εεε dDpNe ∫
+∞
=0
)()(2
Energía total electrónica a la temperatura
εεεε dDpET ∫+∞
=0
)()(2
T
2/3
2/123
2/3
3
22
2F
mVε
π�=
εε
π εεd
e
mVTkBF∫
∞+
−+
=0 )(
2/3
2/123
2/3
12
2�
Capacidad calorífica electrónica a volumen constante, a la temperatura T
εεεε
dDT
pC elecV ∫
∞+
∂
∂=
0, )(
)(2
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CapacidadCapacidad calorcalorííficafica electrelectróónicanica a V a V constanteconstante
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número de electronesque se excitan (a T) TkB~
energía ganada porcada electrón que se excitan (a T)
TkB~
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CapacidadCapacidad calorcalorííficafica electrelectróónicanica a V a V constanteconstante
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número de electronesque se excitan (a T) TkB~
energía ganada porcada electrón que se excitan (a T)
TkB~
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número de electronesque se excitan (a T) TkB~
energía ganada porcada electrón que se excitan (a T)
TkB~
energía térmica (a T) 22~ TkB
capaciad caloríficaelectrónica a voluemen constante
T~
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CapacidadCapacidad calorcalorííficafica electrelectróónicanica a V a V constanteconstante
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por volumen V del metal (que contiene Ne electrones)
εεεε
dDT
pC elecV ∫
∞+
∂
∂=
0, )(
)(2
( )[ ]TkTkT
p
BFB
F
2cosh4
1)(22 εε
εεε
−
−=
∂
∂
εεε
ε dT
pDC FelecV ∫
∞+
∂
∂=
0,
)()(2
εεεε dDpET ∫+∞
=0
)()(2
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CapacidadCapacidad calorcalorííficafica electrelectróónicanica a V a V constanteconstante
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εεε
ε dT
pDC FelecV ∫
∞+
∂
∂=
0,
)()(2
( )[ ]ε
εε
εεεε d
TkTkD
BFB
FF ∫
∞+
−
−=
0 222cosh4
)(2
;2 Tk
xB
Fεε −= ;2 FB xTk εε += dxTkd B2=ε
dxTkx
xTk
T
xD B
Tk
FBF
B
F2
cosh4
)2(2)(2
2
2∫∞+
−
+= ε
εε
dxkx
xTkxDC B
FBFelecV ∫
∞+
∞−
+=
2,cosh
)2()(2
εε
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CapacidadCapacidad calorcalorííficafica electrelectróónicanica a V a V constanteconstante
29
εεε dx
xk
x
xTkDC FBBFelecV ∫
∞+
∞−
+=
22
2
2
,coshcosh
2)(2
0cosh
2=∫
∞+
∞−dx
x
x
6cosh
2
2
2 π=∫
∞+
∞−dx
x
x
TkDC BFelecV
22
, )(3
2ε
π= variación lineal con
pendiente proporcional a
T
)( FD εb
por volumen V del metal (que contiene Ne electrones)
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CapacidadCapacidad calorcalorííficafica electrelectróónicanica a V a V constanteconstantedel gas de del gas de electroneselectrones libreslibres
30
TkN
CF
BeelecV
ε
π 22
,2
=
Aconee NnN ,=
por volumen V del metal (que contiene Ne electrones)
2/1
2/123
2/3
2)( FF
mVD ε
πε
�=
3/23/22
2
)3(2
eF dm
πε�
=
V
Nd e
e =
por mol de metalp.ej. metal monoatómico
BA
F
BconeelecV kN
TknC 3
6
2
,,
=
ε
π
TkNk
nC BA
F
BconeelecV
=
ε
π
2
2
,, Tb=F
coneT
Rnb
2
2
,
π=
a temperatura ambiente
vibVC ,
210~
−vibV
F
cone CT
Tn ,
2
,6
≈
π